Домашняя работа по алгебре и началам анализа за 11 класс к задачнику А.Г. Мордковича [А. А. Сапожников] (pdf) читать онлайн

А.А. Сапожников

к задачнику «Алгебра и начала анализа. Задачник
для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений
А.Г. Мордкович, Л.О. Денищева, Т.А. Корешкова,
Т.Н. Мишустина, Е.Е. Тульчинская —
М.: «Мнемозина», 2001 г.»

Глава 5. Первообразная и интеграл
§ 37. Первообразная и неопределенный интеграл
984.

а) F(x) = x 3 ,

f(x) = 3x 2 ,

F' ( x ) = 3x 2 ;

б) F(x) = x 9 ,

F' ( x ) = 9 x 8 ;

в) F(x) = x 6

F' ( x ) = 6 x 5 ;

г) F(x) = x 11

F' ( x ) = 11x 10 ;

а) F(x) = x 2 + x 3 ;

F' ( x ) = 2x + 3x 2 ;

б) F(x) = x 4 + x 11 ;

F' ( x ) = 4 x 3 + 11x 10 ;

в) F(x) = x 7 + x 9 ;

F' ( x ) = 7 x 6 + 9 x 8 ;

г) F(x) = x 13 + x 19 ;

F' ( x ) = 13x 12 + 19 x 18 ;

986.

а) F(x) = 3 sin x ;
б) F(x) = −4 cos x ;
в) F(x) = −9 sin x;
г) F(x) = 5 cos x ;

F' ( x ) = 3 cos x ;
F' ( x ) = 4 sin x ;
F' ( x ) = −9 cos x ;
F' ( x ) = −5 sin x ;

987.

а) f ( x ) = −

985.

б) f ( x ) =
988.

а) f ( x ) =

б) f ( x ) =
989.

1
x
7

x2
1

F( x ) =

;

F( x ) = x + C ;

;

2 x
6
x

;

а) f ( x ) = 4 x 10 ;

б) f ( x ) = −3x 6 ;
в) f ( x ) = 5x 7 ;
г) f ( x ) = −9 x 19 ;
2

1
+C ;
x
7
F( x ) = − + C ;
x

;

2

F( x ) = 12 x + C ;
4 11
x +C ;
11
3
F( x ) = − x 7 + C ;
7
5 8
F( x ) = x + C ;
8
9 20
F( x ) = −
x +C;
20
F( x ) =

990.

x 3 x 17
+
+C;
3
17
x 10 x 34
F( x ) =
+
+C;
10
34

а) f ( x ) = x 2 + x 16 ;

F( x ) =

б) f ( x ) = x 9 + x 33 ;

991.

в) f ( x ) = x 13 + x 18 ;

F( x ) =

x 14 x 19
+
+C;
14
19

г) f ( x ) = x + x 14 ;

F( x ) =

x 2 x 15
+
+C;
2
15

1 x2
+
+C;
x 2
x2
1
1
1
− 2 ; F( x ) = x + + C ;
б) f ( x ) =
x
2 x x
а) f ( x ) = −

в) f ( x ) = −
г) f ( x ) =
992.

1

1
x2
1

2 x

F( x ) =

+x;

+ x 3 ; F( x ) =
+1;

F( x ) = x + x + C ;

а) f ( x ) = 4 x 3 − 6 x 2 ;

F( x ) = x 4 − 2x 3 + C ;

б) f ( x ) = 13x 6 + 9x 4 ;

F(x) = 13

г) f ( x ) = 12 x 10

F( x ) = x 5 −

а) f ( x ) = −3 sin x + 2 cos x ;

б) f ( x ) =

4

−

9

;
cos 2 x
2
;
в) f ( x ) = −4 cos x +
sin 2 x
5
г) f ( x ) = −13 sin x +
;
cos 2 x
994.

2

sin x

⎛

а) f ( x ) = sin ⎜ 3x +

⎝

x7
x5
+9 +C;
7
5

x6
+C;
2
12 x 11 3x 8
+ 3x 7 ; F( x ) =
+
+C ;
11
8

в) f ( x ) = 5x 4 − 3x 5 ;

993.

1 x4
+
+C;
x 4

π⎞
⎟;
6⎠

F( x ) = 3 cos x + 2 sin x + C ;

F( x ) = −4ctgx − 9 tgx + C ;
F( x ) = −4 sin x − 2ctgx + C ;
F( x ) = 13 cos x + 5tgx + C .

1
π⎞
⎛
F( x ) = − cos⎜ 3x + ⎟ + C ;
3
6⎠
⎝
3

995.

996.

⎛π
⎞
б) f ( x ) = cos⎜ − 2 x ⎟ ;
4
⎝
⎠
в) f ( x ) = cos(4 x − 3) ;

F( x ) =

x⎞
⎛
г) f ( x ) = sin ⎜ 2 − ⎟ ;
2⎠
⎝

x⎞
⎛
F(x) = 2cos ⎜ 2 − ⎟ + C .
2⎠
⎝

998.

;

(6 x + 1) 2
1
б) f ( x ) =
;
(8x − 3) 2
1
в) f ( x ) =
;
(7 x − 3) 2
1
г) f ( x ) = −
;
(10 x + 2) 2
а) f ( x ) =

б) f ( x ) =
997.

1

а) f ( x ) = −

1
7x − 9
1

F( x ) =

F(x) = −

1
+C;
7(7x − 3)

F(x) =

;

г) ∫ −

в)

∫2

x
5dx
x

4

∫ (x

3

9
cos 2 x
16
sin 2 x

15

dx = − 9tgx + C ;
dx =16ctgx + C ;

15
+C.
x
20
20
dx = −
+C.
2
x
x

=3 x +C.

б)

∫ − x 2 dx =

=5 x +C.

г)

∫

x4
− cos x + C .
4
1 ⎞
x 10
⎛
dx
=
+ tgx + C .
б) ∫ ⎜ x 9 +
⎟
10
cos 2 x ⎠
⎝
x3
в) ∫ ( x 2 + cos x )dx =
+ sin x + C .
3
1 ⎞
x7
⎛
dx
=
− ctgx + C .
г) ∫ ⎜ x 6 +
⎟
7
sin 2 x ⎠
⎝
999. а)

1
+C.
10(10x + 2)

2
7x − 9 + C ;
7
2
F( x ) = −
42 − 3x + C .
3

в) ∫ 6cos xdx = 6sin x + C ;
3dx

1
+C ;
6(6x + 1)
1
+C;
8(8x − 3)

б) ∫ −

∫2

1
sin( 4x − 3) + C ;
4

F(x) = −

а) ∫ 4sin xdx = − 4cos x + C ;

а)

1 ⎛π
⎞
sin ⎜ − 2x ⎟ + C ;
2 ⎝4
⎠

F( x ) =

;

42 − 3x

F( x ) = −

+ sin x )dx =

⎛ 1
x3
2⎞
⎜
⎟
x
dx
x
=
+
+C.
+
∫ ⎜⎝ 2 x ⎟⎠
3
⎞
⎛ 1
x2
б) ∫ ⎜⎜
+C .
+ x ⎟⎟dx = x +
2
⎠
⎝2 x
1000. а)

1 x4
⎛ 1
3⎞
+
x
dx
=
−
+
+C .
⎜
⎟
∫⎝ x2 ⎠
x 4

1001. а)

б)

1 x6
⎛ 1
5⎞
−
+
x
dx
=
⎜
⎟
∫⎝ x2 ⎠ x + 6 +C .

(2 − 9x )
6
∫ (2 − 9x ) dx = −

1002. а)

63

(7 + 5x )
13
∫ (7 + 5x ) dx =

14

б)

70

б) y =

1
2

сos x

+C.

+C

⎛π 1⎞
M ⎜ ; ⎟;
⎝ 3 4⎠

1003. а) y = sin x,

Y = − cos x + C ;

7

3
1
1
3
= − + C ; C = ; Y = –cosx + .
4
4
4
2
⎛π
⎞
M ⎜ ; −1⎟ ;
4
⎝
⎠

,

Y = tgx + C ;

−1 = 1 + C ;

C = −2 ;

Y = –tgx –2.
⎛π ⎞
⎝
⎠

1
1
1
+ С ; С = ; Y = + sin x.
2
2
2
x
Y = −3ctg + C ; 0 = −3 + C ; C = 3 ;
3

в) y = cos x, M ⎜ ;1⎟ ; Y = sin x + C ; 1 =
6
г)

y=

1

sin 2 (x / 3)
x
Y = −3ctg + 3.
3

⎛ 3π ⎞
, M ⎜ ;0 ⎟ ;
⎝ 4 ⎠

υ = 1+ 2t ;

1004.

s( t ) = t + t 2 + C ;

5 = 2+4+C;

C = −1 ;

2

s( t ) = t + t − 1 .
1005.

s( t ) =

υ = −4 sin 3t ;
4
2
cos t + .
3
3

1006. а) y' = x 4 − 3x 2 ;

s( t ) =

4
cos t + C ;
3

y=

2=

4
+C;
3

C=

2
;
3

x5
− x3 + C .
5
5

б) y' = x 12 − 8x 7
1007. а) y' = sin x + 1 ;

б) y' =
1009. а) y ' =

13

x2
−9

1010.

υ=

y=−

− 4x ;

+ sin x;

x2

б) y' = −

13 x 2
+
+C.
x
2
4
y = − − 2x 2 + C .
x

+x;

x2
4

5
x2

− cos x ;

6
;
2t + 1

x 13
− x8 + C .
13

y = − cos x + x + C .
y = sin x − 9 x + C .

б) y' = cos x − 9 ;
1008. а) y' =

y=

;

y=

9
− cos x + C.
x

y=

5
− sin x + C .
x

s( t ) = 6 2 t + 1 + C ;

s(0) = 6 + C = 3 ;

C = −3 ;

s( t ) = 6 2 t + 1 − 3 .
1011. a ( t ) = 2( t + 1) 2 ; υ( t ) =

2
2
1
( t + 1) 3 + C ; υ(0) = + C1 = 1 ; C1 = ;
3
3
3

2
1
1
1
1
5
( t + 1) 3 + ; s(t) = (t + 1) 4 + t + C2 ; s(0) = + C2 = 1 ; C2 = ;
6
3
6
6
3
3
1
1
5
s( t ) = ( t + 1) 4 + t + .
6
3
6
υ( t ) =

2
2
1012. а) f ( x ) = sin x + cos x = 1 ;

x
2

F( x ) = x + C .

x
2

F( x ) = − cos x + C .

б) f (x) = 2sin cos = sin x ;
в) f ( x ) = 1 + tg 2 x =

1

F( x ) = tgx + C .

;
cos 2 x
1
;
г) f ( x ) = 1 + ctg 2 x =
sin 2 x
x
x
1013. а) g(x) = 8sin cos = 4sin x;
2
2

F( x ) = −ctgx + C .
⎛π ⎞
M ⎜ ;3 ⎟ ;
⎝2 ⎠

G ( x ) = −4 cos x + C ; C = 3 ; G ( x ) = −4 cos x + 3 .
x
2

б) g(x) = 2cos 2 − 1 = cos x,
6

⎛π ⎞
M ⎜ ;16 ⎟ ;
⎝3
⎠

G ( x ) = sin x + C ; 16 =
x
2

в) g(x) = cos 2 − sin 2

3
3
3
+ C ; C = 16 −
; G ( x ) = sin x + 16 −
.
2
2
2

x
= cos x,
2

M ( 0;7 ) ;

G ( x ) = sin x + C ; 7 = 0 + C ; G ( x ) = sin x + 7 .

г) g(x) = 1 − 2sin 2

⎛π ⎞
M ⎜ ;15 ⎟ ;
⎝2 ⎠

x
= cos x,
2

G ( x ) = sin x + C ; 15 = 1 + C ; C = 14 ; G ( x ) = sin x + 14 .
1014. а)

б)

∫ (tg

∫ (cos
∫ (ctg

2

2

2

)

x + 1 dx = ∫

)

1
cos 2 x

dx = tgx + C .

x − sin 2 x dx = ∫ cos 2 x =

)

x + 1 dx = ∫

1
sin 2 x + C .
2

1

dx = −ctgx + C .
sin 2 x
1
1
г) ∫ sin x cos xdx = ∫ sin 2xdx = − cos 2 x + C .
2
4

в)

1
1
1
1015. а) ∫ sin 2x sin 6xdx= ∫ (cos 4x − cos8x)dx= − sin 4x − sin 8x+C *.
2
8
16
1
1
1
б) ∫ sin 4x cos3xdx = ∫ (sin 7x + sin x)dx = − cos x − cos 7x + C *.
2
2
14
1
1
1
в) ∫ cos3x cos5xdx= ∫ (cos8x+ cos 2x)dx= sin2x+ sin 8x + C.
2
4
16
1
1⎛1
1
⎞
г) ∫ sin 2x cos8xdx= ∫ (cos 6x − cos10x)dx= ⎜ sin 6x − sin10x ⎟ +C .
2
2⎝ 6
10
⎠

1
1
⎛1 1
⎞
1016. а) ∫ sin 2 xdx = ∫ ⎜ − cos 2x ⎟ dx = x − sin 2x + C .
2
4
⎝2 2
⎠
2
1
⎛1 1
⎞
⎛1 1
⎞
4
б) ∫ sin xdx= ∫ ⎜ − cos 2x ⎟ dx= ∫ ⎜ − cos 2x+ cos 2 2x ⎟dx =
2
2
4
2
4
⎝
⎠
⎝
⎠
1 1
1
1
1
1
⎛1 1
⎞
= ∫ ⎜ − cos 2x+ + cos 4x ⎟dx= x − sin 2x+ x+ sin 4x+C =
8 8
4
4
8 32
⎝4 2
⎠

=

3x 1
1
− sin 2 x +
sin 4 x + C .
8 4
32

1
1
⎛1 1
⎞
2
2
2
4
⎝
⎠
1 1
3x 1
1
⎛1 1
⎞
г) ∫ cos 4 xdx = ∫ ⎜ + cos 2x + + cos 4x ⎟dx = + sin 2x+ sin 4x+C .
8 8
8 4
32
⎝4 2
⎠

в) ∫ cos 2 xdx = ∫ ⎜ + cos 2x ⎟ dx = x + sin 2x + C .

7

1017. а) ∫

б) ∫

dx
2

2

sin x cos x

cos 2xdx
2

2

sin x cos x

=∫

=∫

sin 2 x+ cos 2 x

1 ⎞
⎛ 1
dx= ∫ ⎜
+ 2 ⎟ dx=tgx-ctgx+C .
2
sin x cos x
⎝ cos x sin x ⎠
2

cos 2 x − sin 2 x
sin 2 x cos 2 x

1018. а) f ( x ) = 2 x + 3 ;

2

1 ⎞
⎛ 1
dx = ∫ ⎜ 2 −
⎟ dx =-ctgx − tgx+C .
⎝ sin x cos 2 x ⎠

б) f (x) = 12 ( 3x − 1)3 ;

2

F(x) = x + 3x + C ;
f(x) = 0 ⇔ x = –3/2;
F(–3/2) = 9/4 – 9/2 + C = 0;
C = 9/4;
F(x) = x 2 + 3x + 9 / 4 .

F( x ) = (3x − 1)4 + C ;
f(x) = 0 ⇔ x = 1/3;
F(1/3) = C = 0 ;

1019. а) f (x) = 2x,

б) f (x) = 3x 3 ,

y = x + 2,

2

F(x) = x + C ;

F( x ) = (3x − 1)4 .

y = x 02 + C + 2x 0 (x − x 0 ) =

y = 3/ 4x 04 + C + 3x 03 (x − x 0 ) =

2 xx 0 − x 02

=
+C ;
2x 0 = 1 ;
x 0 = 1/ 2 ;
1
y = x− +C = x+2;
4
9
C= ;
4
9
F( x ) = x 2 + .
4

= 3x 0 3 x − 2

1 4
x0 + C;
4

3x 0 3 = 3 ;
x0 =1;
y = 3x − (9 / 4) + C = 3x + 2 ;

17
;
4
3
17
F( x ) = x 4 +
.
4
4

C=

1020. y = 3 cos 3x + 6 sin 6 x ;

Y = sin 3x − cos 6x + C ;
3π
6 = sin
− cos 3π + C ;
2
6 = −1 + 1 + C ;
C=6;
Y = sin 3x − cos 6x + 6 ;
π
⎛π⎞
Y⎜ ⎟ = sin − cos π + 6 = 1 + 1 + 6 = 8 ;
6
2
⎝ ⎠

§ 38. Определенный интеграл
1

1021. а) ∫ x 3dx =
2
−
3

8

x4
4

1
2
−
3

y = 3x + 2;

F(x) = 3/ 4x 4 + C ;

=

1
16
1 4
65
.
−
= − =
4 81 ⋅ 4 4 81 324

3

б)

dx

∫ x2

3

1
1
2
= − +1= .
x1
3
3

=−

1

x5
в) ∫ x dx =
5
−1
2

9

г)

dx

∫

2

4

x

4

=
−1

=2 x

9
4

32 1 33
+ =
.
5 5 5

= 6−4 = 2 .

π

1022. а)

π
π
2

∫ sin xdx = − cosx
π
2

π
2

в)

∫π

−

cos xdx = sin x

π
2
−

π
2

= 1 . б)

π
4

dx

∫π cos 2 x

−

= tg x

π
4
−

π
4

= 1+1 = 2 .

4
π
2

= 1+1 = 2 .

г)

2

dx

∫π sin 2 x

= −ctg x

π
2
π
4

=1.

4
π
2

1023. а)

∫π

−

π
3

π

cos 2xdx =

1
1
sin 2 x 2 π = .
2
2
−
4

4

π

π⎞ 3
2π
π 10 3
⎛
dx = −5ctg ⎜ x + ⎟ = −5ctg
+ 5ctg =
б) ∫
.
π
3⎠0
3
3
3
⎝
0 sin 2 ⎛ x + ⎞
⎜
⎟
3⎠
⎝
5

π

в)

∫π

2 sin

2
π
3

г)

x
x
dx = −6 cos
3
3

7

∫π cos 2 3x

π

π
2

= −3 + 3 3 .

π

dx =

7
7 7
tg3x 03 = 0 + = .
3
3 3

4
5

1024. а)

∫
1

3

б)

∫1

dx
2x − 1

dx
10 − 3x

=−

5

= 2x − 1 = 3 − 1 = 2 .
1

2
10 − 3x
3

3
1
3

=−

2
4
+2= .
3
3

3

9

2

∫

1025. а)

4 x 5 − 3x 4 + x 3 − 1
x2

1

2

1 ⎞
⎛
dx = ∫ ⎜ 4 x 3 − 3x 2 + x − 2 ⎟dx =
x ⎠
1⎝

2

⎛
x2 1 ⎞
1
1
= ⎜ x 4 − x3 +
+ ⎟ = 16 − 8 + 2 + − 1 + 1 − − 1 = 9 .
⎜
⎟
2
x
2
2
⎝
⎠1
−1 5x 7

−1

− 4x 6 + 2x

−1 ⎛
2 ⎞
2⎞
⎛
dx = ∫ ⎜ 5x 4 − 4x 3 + 2 ⎟ dx = ⎜ x 5 − x 4 − ⎟ =
3
x ⎠ −2
⎝
x
x ⎠
−2
−2 ⎝
= −1 − 1 + 2 + 32 + 16 − 1 = 47

б) ∫

3 6x 4

3

− 4x 3 +7x 2 − 1

3⎛
1 ⎞
1⎞
⎛
dx= ∫ ⎜ 6x 2 − 4x+7 − 2 ⎟ dx = ⎜ 2x 3 − 2x 2 + 7x + ⎟ =
2
x⎠2
⎝
x
x ⎠
2
2⎝
1
1
5
= 54 − 18 + 21 + − 16 + 8 − 14 − = 34 .
3
2
6

в) ∫

−1 3x 6

г) ∫

− 4x 5 − 7x 4 + 3x 2

−1 ⎛
3 ⎞
dx = ∫ ⎜ 3x 2 − 4x − 7 + 2 ⎟ dx =
x ⎠
−2 ⎝

x4

−2

−1

3⎞
3
⎛
= ⎜ x 3 − 2x 2 − 7x − ⎟ = −1 − 2 + 7 + 3 + 8 + 8 − 14 − = 7,5.
x ⎠ −2
2
⎝

(
0

)

3

3

1026. а) υ(t)=3t 2 − 4t+1 ; S(3)= ∫ 3t 3 − 4t+1 dt=t 2 − 2t 2 +t =27 − 18+3=12.

б) υ( t ) =

1

3

3 8 2 6
1
2
dt =
5t + 1 = − = .
0 5 5
5
5
5t + 1

; S(3) = ∫

5t + 1

0

3

(
0

)

3

2

0

3

в) υ( t ) = 4t − 6 t ; S(3) = ∫ 4t 3 − 6t 2 dt =t 4 − 2t 3 = 81 − 54 = 27
г) υ( t ) =

1

3

7t + 4

; S(3) = ∫

0

0

1
2
10 4 6
dt =
7t + 4 = − = .
0
7
7 7 7
7t + 4
3

6
⎛ x3 x 2
⎞6
1027. а) ρ(x) = x 2 − x − 1, l = 6; ∫ (x 2 − x − 1)dx = ⎜
−
− x⎟
= 48.
⎜
⎟0
2
0
⎝ 3
⎠

б) ρ(x) =

3

1
(x + 3)

2

3

1

, l = 3; ∫

0 (x

+ 3)

2

dx = −

1
1 1 1
=− + = .
x+30
6 3 6

⎛ x3

2

⎞

2

8

28

в) ρ(x) = − x 2 + 6x, l = 2; ∫ (− x 2 + 6x)dx = ⎜ − + 3x 2 ⎟ = − + 12 = .
⎜ 3
⎟
3
3
0
⎝
⎠
0

г) ρ(x) =
10

1

1
(2x + 1)

2

, l = 1; ∫

1

2
0 (2x + 1)

1

dx = −

1
1 1 1
=− + = .
2(2x + 1) 0
6 2 3

3⋅3
=10,5 (в ответе задачника опечатка).
2

3

1028. а) ∫ f (x)dx=3 ⋅ 1+3 ⋅ 1+
−2

3

б)

3 2⋅2
= 6,5 .
2

∫ f (x)dx = 3 ⋅ 2 ⋅

−2

4

1029. а) y = x 2 , y = 0, x = 4; S = ∫ x 2dx =
0

x3
3

4

64
.
3

=
0

3

б) y=x , y=0, x= − 3, x=1;
0

1

−3

0

S=- ∫ x 3dx+ ∫ x 3dx= -

x4
4

0

1

+
−3

x4
81 1 82 41
= + = = .
4
4 4 4 2
0

x3
в) y = x , y = 0, x = −3; S = ∫ x dx =
3
−3
0

2

0

2

= 9.
−3

x5
г) y = x , y = 0, x = -1, x = 2; S = ∫ x dx =
5
−1
2

4

2

4

=
−1

32 1 33
+ = .
5 5 5
2

⎛ x4
⎞
+ 2x ⎟ = 8.
1030. а) y = x + 2, y = 0, x = 0, x = 2; S = ∫ (x + 2)dx = ⎜
⎜
⎟
0
⎝ 4
⎠0
2

3

3

4

⎛ x3
⎞
64
32
б) y = − x + 4x, y = 0; S = ∫ (− x + 4x)dx = ⎜⎜ − + 2x 2 ⎟⎟ = − + 32 = .
3
3
0
⎝ 3
⎠0
4

2

2

2

⎛
x3 ⎞
32
в) y = 4 − x , y = 0; S = ∫ (4 − x )dx = ⎜ 4x − ⎟ = .
⎜
⎟
3
−2
⎝
⎠ −2 3
2

2

2

⎛ x4 ⎞
+x ⎟
⎟
⎝ 4
⎠

0

г) y = − x 3 + 1, y = 0, x = 0, x = −2; S= ∫ (− x 3 +1)dx= ⎜ −
⎜
−2

1031. а) y =

1
2

, y = 0, x = 1, x = 2; S = ∫

x
9
1
, y = 0, x = 1, x = 9; S = ∫
б) y =
x
1
4
1
, y = 0, x = 1, x = 4; S = ∫
в) y =
x
1

г) y =

1
x

2

1
2

0

=4 + 2=6.
−2

2

dx = −

1
1
1
= − +1 = .
x1
2
2

1x
9
1
dx = 2 x = 6 − 2 = 4.
1
x
4
1
dx = 2 x = 4 − 2 = 2.
1
x

−1

, y = 0, x = −1, x = −3; S = ∫
2

1

−3 x

dx = −
2

1
x

−1

=1−
−3

1 2
= .
3 3

11

π

π
π
2
1032. а) y = sin x, y = 0, x = ; S = ∫ sin xdx = − cos x 2 = 1.
0
2
0

π
6

π
3

б) y = cos 2x, y = 0, x = - , x = ;
π
3

π

1
3
3
3
+
=
S = ∫ cos 2xdx = sin 2 x 3 π =
.
2
4
4
2
−
π
−

6

6

π

π

4
π
π
в) y = cos x, y = 0, x = - , x = ; S = ∫ cos xdx = sin x 4 π = 2.
4
4
−
π
−

π

π
2

x
2

4

4

x
2

г) y = sin , y = 0, x = , x = π; S = ∫ sin dx = −2cos
π
2

x
2

π
π
2

= 2.

1
π
π
1033. а) y = 1 + cos x, y = 0, x = - , x = ;
2
2
2
π
2

π

1
π 1 π 1
⎛ 1
⎞
⎛
⎞2
S = ∫ ⎜1 + cos x ⎟ dx = ⎜ x + sin x ⎟
= + + + = π +1
π 2 2 2 2
2
2
⎠
⎝
⎠
π⎝
−
−
2

2

б) y = 1 − sin 2x, y = 0, x = 0, x = π;
π

π
1
1 1
⎛
⎞
S = ∫ (1 − sin 2x ) dx = ⎜ x + cos 2x ⎟ = π + − = π.
2
2 2
⎝
⎠
0
0

π
2

в) y = 2 − 2sin x, y = 0, x = 0, x = ;
π
2

π

S = ∫ ( 2 − 2sin x ) dx = ( 2x + 2cos x ) 2 = π − 2.
0
0

x
2

г) y = 2 + cos , y = 0, x = 0, x =
2π
3 ⎛

2π
;
3
2π

x⎞
x ⎞ 3 4π
⎛
S = ∫ ⎜ 2 + cos ⎟ dx = ⎜ 2x + 2sin ⎟ =
+ 3.
2
2⎠0
3
⎠
⎝
0 ⎝
2

x4
1034. а) ∫ x dx =
4
0

2

3

12

= 4 ; S = 2 ⋅ 8 − 4 = 12 .
0

π

π

2
π
π
π
б) S = ⋅ 1 − ∫ sin xdx = + cos x 02 = − 1.
2
2
2
0
2

в) S = 16 − ∫ x 2dx =16 −
−2

x3
3

2
−2

8 8 32
= 16 − − = .
3 3 3

π

π
г) S = ∫ sin xdx = − cos x 0 = 1 + 1 = 2.

0

1035. а) y = x, y = -0,5x + 5, x = -1, x = 3;
3

3
3
x2
⎛ 1
⎞
S= ∫ (−0,5x+5)dx − ∫ xdx= ⎜ − x 2 +5x ⎟ −
⎝ 4
⎠ −1 2
−1
−1

3
−1

9
1
9 1
= − +15+ +5 − + =14.
4
4
2 2

б) y = 2x, y = x-2, x = 4;
4

4

−2

−2

S = ∫ 2xdx − ∫ (x − 2)dx = x 2

4

⎛ x2
⎞
−⎜
− 2x ⎟ = 16 − 4 − 8 + 8 + 2 + 4 = 18.
⎟
−2 ⎜ 2
⎝
⎠ −2

4

x
4

в) y = − x, y = 3 − , x = −2, x = 1;
1
⎛
x⎞
x2 ⎞
⎛
S = ∫ ⎜ 3 − ⎟ dx − ∫ − xdx = ⎜ 3x −
⎟
⎜
4⎠
8 ⎟⎠
−2 ⎝
−2
⎝
1

г) y = 1 − x

y = 3 − 2x

1

x=0

1

⎛ x2 ⎞
1
1 1
7
− ⎜ − ⎟ =3 − +6+ + − 2=7 .
⎜ 2 ⎟
8
2 2
8
⎠ −2
−2 ⎝
2

2
2
⎞
2 ⎛ x2
S = ∫ (3 − 2x)dx − ∫ (1 − x)dx = (3x − x 2 ) + ⎜
− x⎟ = 6− 4+ 2− 2 = 2
⎜
⎟
0
0
0
⎝ 2
⎠0
2
1036. а) y = 1 − x 2 , y = -x-1; 1 − x = − x − 1 ; x 2 − x − 2 = 0 ; x = −1, x = 2;
1

2

2

∫

∫

∫

S = (1 − x 2 )dx + (−1 − x )dx − (1 − x 2 )dx =
−1

−1

1

⎛
x ⎞⎟
= ⎜x −
+
⎜
3 ⎟⎠
⎝
−1
3

1

2

⎛x
⎞
⎛
x3
⎜
+ x⎟ − ⎜x −
⎜ 2
⎟
⎜
3
⎝
⎠ −1 ⎝
2

2

⎞
⎟ =
⎟
⎠1

1
1
1
8
1
2
1 7
= 1 − + 1 − + 2 + 2 − + 1 − 2 − − 1 + = 2 − + 5 − − + 1 = 4,5.
3
3
2
3
3
3
2 3

б) y = x 2 -3x + 2, y = x-1; x 2 − 3x+2=x − 1 ; x 2 − 4x + 3 = 0 ; x = 3, x = 1;
3

3

3
3
⎛ x2
⎞
⎛ x3 3
⎞
S = ∫ (x − 1)dx − ∫ (x 2 − 3x + 2)dx = ⎜
− x ⎟ − ⎜ − x 2 + 2x ⎟ =
⎜
⎟
⎜
⎟
2
3
2
1
1
⎝
⎠1 ⎝
⎠1

13

=

9
1
27
1 3
32 1
1 4
− 3 − +1− 9 +
− 6 + − + 2 = −15 +
+ = 1+ = .
2
2
2
3 2
2 3
3 3

в) y = x 2 -1, y = 2x + 2; x 2 − 1 = 2 x + 2 ; x 2 − 2x − 3 = 0 ; x = 3, x = −1;
3

3

−1

−1

(

S = ∫ (2x + 2)dx − ∫ (x 2 − 1)dx = x 2 + 2x

)

3

⎛ x3
⎞
−⎜ − x⎟ =
⎟
−1 ⎜⎝ 3
⎠ −1

3

1
2
= 9 + 6 − 1 + 2 − 9 + 3 − + 1 = 10 .
3
3

г) y= − x 2 +2x+3, y=3 − x; − x 2 +2x+3=3 − x ; − x 2 + 3x = 0 ; x = 0, x = 3;
3

3
3
3
⎛ x3 3 ⎞
S = ∫ (− x 2 +2x+3)dx − ∫ (3 − x)dx= ∫ (− x 2 +3x)dx= ⎜ − + x 2 ⎟ =
⎜ 3 2 ⎟
0
0
0
⎝
⎠0

= −9 +

27
= 4,5
2

1037. а) y = x 2 -4x, y = −(x-4) 2 ; x 2 − 4 x = − x 2 + 8x − 16 ;

2x 2 − 12x + 16 = 0 ; x 2 − 6 x + 8 = 0 ; x = 2, x = 4;
4

⎞
4 ⎛ x3
1
S = ∫ (−(x − 4) )dx − ∫ (x − 4x)dx = − (x − 4)3 − ⎜ − 2x 2 ⎟ =
⎜
⎟
2
3
3
2
2
⎝
⎠
4

2

4

2

2

8 64
8
64 8
=0− −
+ 32 + − 8 = 24 −
= .
3 3
3
3 3

б) y = x 2 + 2x-3, y = − x 2 + 2x + 5; 2x 2 − 8 = 0 ; x = ±2 ;
2

∫

S=

2

∫

(− x 2 + 2 x + 5)dx − ( x 2 + 2x − 3)dx =

−2

−2
2

2

⎛ x3
⎞
⎛ x3
⎞
= ⎜−
+ x 2 + 5x ⎟ − ⎜
+ x 2 − 3x ⎟ =
⎜ 3
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠ −2 ⎝ 3
⎠ −2
8
8
8
8
32 64
= − − 4 + 10 − − 4 + 10 − − 4 + 6 − + 4 + 6 = 32 −
= .
3
3
3
3
3
3

в) y = x 2 -6x + 9, y = (x + 1)(3-x); ( x − 3) 2 = ( x + 1)(3 − x ) ;
( x − 3)( x − 3 + x + 1) = 0 ; x = 3, x = 1;
3

3

⎛ x3
⎞
1
3
S = ∫ (x + 1)(3 − x)dx − ∫ (x − 3) 2 dx = ⎜ − + x 2 + 3x ⎟ − ( x − 3) =
⎜
⎟
1
1
⎝ 3
⎠1 3
3

3

1

1
8
7 8
= −9 + 9 + 9 + − 1 − 3 − = 5 − = .
3
3
3 3

14

г) y = x 2 -4x + 3, y = − x 2 + 6x − 5; x 2 - 4x + 3 = − x 2 + 6x − 5 ;
2x 2 - 10x + 8 = 0 ; x 2 - 5x + 4 = 0 ; x = 4, x = 1;
4

4

∫

∫

S = (− x 2 + 6 x − 5)dx − ( x 2 − 4x + 3)dx =
1

1

4

4
⎛ x3 5
⎞
= ∫ ( −2x 2 + 10x − 8)dx = 2 ⎜ − + x 2 − 4x ⎟ =
⎜
⎟
1
⎝ 3 2
⎠1

1 5
5
⎛ 64
⎞
= 2 ⎜ − + 40 − 16 + − + 4 ⎟ = 2(28 − 21 − 2,5) = 2 ⋅ 7 − 2 ⋅ = 9.
3 2
2
⎝ 3
⎠
π
1038. а) y = cos x, y = − x, x = 0; x = ;
2

π
2

∫ cos xdx = sin x

π
2
0

=1;

0

π π 1 π2
⋅ ⋅ =
+1.
2 2 2
8

S = 1+

π
2

б) y = sin 2x, y = x- , x = 0;
π
2

π

S = ∫ sin 2xdx +
0

π π 1
1
1 1 π2
π2
⋅ ⋅ = − cos 2 x 02 = + +
= 1+ .
2 2 2
2
2 2 8
8
π
2

в) y = sin x, y = − x, x = 0, x = ;
π
2

π

S = ∫ sin xdx +
0

π π 1
π2
⋅ ⋅ = − cos x 02 = 1 + .
2 2 2
8

x
2

г) y = cos , y = x − π, x = 0, x = π;
π

π
x
1 π2
x
π2
S = ∫ cos dx + π ⋅ π ⋅ =
+ 2sin
= 2+ .
2
2 2
20
2
0
0

0
(x 2 -2x)(3-2x)
2 ⎞
3 2
13
⎛3
dx= ∫ (3x-2x 2 )dx= ⎜ x 2 - x 3 ⎟ = − − = − .
x-2
2
3
2
3
6
⎝
⎠
−1
−1
−1
0

1039. а) ∫
3 (x 2

б) ∫

− 4)(x 2 − 1)

x2 + x − 2

2

3

3

2

2

dx = ∫ (x − 2)(x + 1)dx = ∫ (x 2 − x − 2)dx =

3

⎛x
⎞
x
9
8
9 8 11
=⎜
−
− 2x ⎟ = 9 − − 6 − + 2 + 4 = 9 − − = .
⎜ 3
⎟
2
2
3
2 3 6
⎝
⎠2
3

2

15

3 (x 2

в) ∫

2

3
3
− 3x + 2)(2 + x)
dx = ∫ (x − 2)(x + 2)dx = ∫ (x 2 − 4)dx =
x −1
2
2
3

⎛ x3
⎞
8
8 7
= ⎜ − 4x ⎟ = 9 − 12 − + 8 = 5 − = .
⎜ 3
⎟
3
3 3
⎝
⎠2
1

г) ∫

−1

(9 − x 2 )(x 2 − 16)
2

x − 7x + 12

1

dx = − ∫ (9 + x)(4 + x)dx =
−1

1

⎛ x 3 13x 2
⎞
= ∫ (− x − 13x − 36)dx = ⎜ − −
− 36x ⎟ =
⎜
⎟
3
2
−1
⎝
⎠ −1
1

2

1 13
1 13
2
= − − − 36 − + − 36 = −72
3 2
3 2
3
π
2

π

12
1040. а) ∫ sin 2x cos3xdx= ∫ (sin 5x − sin x)dx=
20
0
1
⎛1
⎞
− ⎜ cos5x + cos x ⎟
2
⎝ 10
⎠

π
2
0

=

1 5
− =-0,4.
10 10

π

x
1π
1
2 3
2
π π π
б) ∫ cos 2 dx= ∫ (1+ cos x)dx= ( x+sin x ) π = − −
= π−
.
2
2π
2
2 8
4 8
4
π
4

4

4

π
3

π

13
в) ∫ cos 7x cos5xdx = ∫ (cos12x + cos 2x)dx =
20
0
π

1⎛ 1
1
3
⎞ 3 1⎛ 3 ⎞
.
= ⎜ sin12x + sin 2x ⎟ = ⎜⎜
⎟=
2 ⎝ 12
2
⎠ 0 2 ⎝ 4 ⎟⎠ 8
π

π

⎛1

⎞

1

⎛1

1

⎞

π

π π

г) ∫ sin 2 3xdx= ∫ ⎜ − cos 6x ⎟ dx= ⎜ x − sin 6x ⎟ = + = π.
12
⎠
⎝2
⎠ −π 2 2
−π
−π ⎝ 2 2
3

1041. а) ∫ f (x) = 1 ⋅ 1 + 1 ⋅
−2

3

1
2

1
2

1 3⋅3
−
=−3.
2
2
2
2

1
2

б) ∫ f (x) = 1 ⋅ − 2 ⋅ + 2 ⋅ = − 1 + 2 =
−2

⎧⎪x 2
⎪⎩6 − x

1042. а) f ( x ) = ⎨

16

−3 ≤ x ≤ 2
x>2

;

3
.
2

6

2

⎛
x2 ⎞
+ ⎜ 6x −
⎟ =
⎜
2 ⎟⎠
2
−3
−3
−3 ⎝
2
8
8
2
= + 9 + 36 − 18 − 12 + 2 = 17 + = 19 .
3
3
3
6

2

6

2
∫ f (x)dx = ∫ x dx + ∫ (6 − x)dx =

⎧ 1
⎪
б) f ( x ) = ⎨ x
⎪x 3
⎩
2

1

1
4

1
4

∫ f (x)dx = ∫
4

1043. а)

∫

0 < x ≤1

x3
3

;

x >1

2
1
1
x4
dx + ∫ x 3dx = 2 x 1 +
4
x
1
4

16 − x 2 dx =

0

2

= 2 −1+ 4 −
1

1 2
πr = 4π ; б)
4

0

∫

1045. а)

∫

4 − x 2 dx = πr 2 ⋅

0

4

б)

∫

64 − x 2 dx = πr 2 ⋅

−4
3

1046. а)

0

∫

− x 2 − 2x dx =

−1

60
32
+ 4 ⋅ 8 sin 60 o =
π + 16 3
360
3
5

1

4

∫ x − 1dx = 1⋅ 2 + 4 ⋅ 2 = 8,5 .
0

1047. а) y = 2cos3x − 3sin 2x + 6, y = 0, x = 0, x =
π
6

1 2 π
πr = .
4
4

45
2 π
+ 2⋅
= +1;
360
2
2

2
3
x dx = 2 ⋅ + 3 ⋅ = 6,5 ; б)
2
2
−2

∫

1 2 25π
.
πr =
4
4

25 − x 2 dx =

−5

4
1
1
1044. а) ∫ 4x − x 2 dx= πr 2 = ⋅ 4π=2π ; б)
2
2
0
2

1
3
=4 .
4
4

π
;
6

π

3
⎛2
⎞6
∫ (2cos3x − 3sin 2x + 6)dx = ⎜ sin 3x + cos 2x + 6x ⎟ =
2
⎝3
⎠0
0
2 3 1 3
1
= + − − +π= π− .
3 2 2 2
12
π
5π
б) y = 2sin 4x + 3cos 2x + 7, y = 0, x = , x = ;
4
4
5π
4

5π

4

4

3
⎛ 1
⎞ 4
S = ∫ (2sin 4x + 3cos 2x + 7)dx = ⎜ − cos 4x + sin 2x + 7x ⎟ =
2
2
⎝
⎠π
π

17

= 2+

3 7π
3 35π
+
−2− −
= 7π .
2 4
2
4

1048. а) y = x 3 , y = 10-x, x = 0; x 3 = 10 − x ; x = 2 ;
2

2

0

0

S = ∫ (10 − x)dx − ∫ x 3dx =10x −

x2
2

2

−
0

x4
4

2

= 20 − 2 − 4 = 14.
0

2

10

0

2

б) y = x 3 , y = 10-x, y = 0; S = ∫ x 3 dx + ∫ (10 − x )dx = 4 + 32 = 36.
3

в) y = − x , y = 5 + 4x, x = 0;
0

0

0

0

−1
0

−1

−1

S = ∫ (5x + 4x)dx − ∫ (− x 3 )dx = ∫ (5 + 4x)dx + ∫ x 3dx =
−1

= (5 x + 2 x 2 )

0
−1

+

4

x
4

= 5−2−
−1

1
3
=2
4
4

г) y = –x , y = 5 + 4x, y=0; − x 3 = 5 + 4 x ; x = −1 ;
3

−1

0

5
4

−1

3

∫ (5 + 4x)dx + ∫ − x dx

−

= −5 + 2 +

1049. а)

−1
=5x + 2x 2 5
−
4

x4
−
4

0

=
−1

25 25 1
27 3
−
+ = −3 +
= .
4
8 4
8 8

y = x , y = - x + 2. Полученная фигура будет квадратом со

2 , его площадь равна 2, S = 2.
б) y = x + 1 , y = -(x-1)2 + 2; x + 1 = -(x - 1) 2 + 2 ; x + 1 = ± (x - 1) 2 m 2 ;

стороной

x = 0, x = 1;
1

2
1
1
⎞
1 1
1
⎛ 1
⎞⎛ x
S= ∫ -(x − 1) 2 +2 dx- ∫ x + 1 dx= ⎜ - (x-1)3 +2x ⎟ ⎜ +x ⎟ =2 − − − 1= .
⎜
⎟
3
2
6
⎝ 3
⎠⎝ 2
0
0
⎠

(

)

0

x
2

в) y = x -2, y = ; x - 2 =

x
x
4
; x = ± m 2 ; x = 4, x = − ;
3
2
2

0
4
x
x2
S = ∫ dx − ∫ (− x − 2)dx − ∫ (x − 2)dx =
4
42
4
0
4

−

3

−

3

4 8 8
4
1
= 4− − + −8+8 = 4+ = 5 .
9 9 3
3
3
18

0

4
−

4
3

4

⎛ x2
⎞
⎛ x2
⎞
+⎜
+ 2x ⎟ − ⎜
− 2x ⎟ =
⎜ 2
⎟ 4 ⎜ 2
⎟
⎝
⎠−
⎝
⎠0
3

г) y = (x-1)2 , y = - x + 1 + 2; x + 1 = 2 - (x - 1) 2 ; x + 1 = ±2 m (x - 1) 2 ;
x = 0, x = 1;
1

1
1
1
⎛ x2
⎞
1
1 1 1
S = ∫ ( − x + 1 + 2 )dx − ∫ (x − 1)2dx = ⎜ −
+ x ⎟ − (x − 1)3 = − = .
⎜ 2
⎟
3
2 3 6
0
0
0
⎝
⎠0

1050. а) y = 3 − x 2 , y = 1 + x ; 3 − x 2 = 1 + x ; x = ±1 ;
1
1
⎛
1
⎛ x 2 ⎞ ⎞⎟
⎛1
⎞ ⎜⎛
x3 ⎞
⎛8 3⎞ 7
2
S=2 ⋅ ⎜ ∫ (3 − x )dx − ∫ (1+ x )dx ⎟ =2 ⎜ 3x − ⎟ − ⎜ x+ ⎟ =2 ⋅ ⎜ − ⎟ = .
⎜⎜ ⎜
⎟
⎟
⎜
⎟
3 ⎠
2 ⎠ ⎟
⎝3 2⎠ 3
0
⎝0
⎠
0 ⎝
0⎠
⎝⎝

б) y = x 2 , y = 2 − x ; x 2 = 2 − x ; x = ±1 ;
1

1
⎛
⎛1
⎞
x 2 x3 ⎞
1 1⎞ 7
⎛
S = 2 ⋅ ⎜ ∫ (2− | x |)dx − ∫ x 2dx ⎟ = 2 ⎜ 3x −
− ⎟ = 2⋅⎜2 − − ⎟ = .
⎜
⎟
2
3
2 3⎠ 3
⎝
0
⎝0
⎠
⎝
⎠0

1051. а) y = sin 2x, y =
π
4

16x 2
π

2

; sin 2 x =

π
4 16x 2

16x 2
π

2

; x=

π
4

x=0;

π

π

3
1
4 16 ⎛ x ⎞ 4
S = ∫ sin 2xdx − ∫ 2 dx = − сos2x − 2 ⎜ ⎟ =
2
π ⎜⎝ 3 ⎟⎠
0
0 π
0
0

=

1 16 π 3
1 π 6−π
− 2⋅
= − =
.
2 π 64 ⋅ 3 2 12
12

б) y = x 2 − 1, y = cos

πx
πx
2
; x = ±1 ;
; x − 1 = cos
2
2
1

1
1
1
⎛ x3
⎞
π
π
2
S = ∫ cos xdx − ∫ (x 2 − 1)dx = sin x − ⎜ − x ⎟ =
⎟
π
2
2 −1 ⎜⎝ 3
−1
−1
⎠ −1

=

2 2 2 2 4 4
+ + + = + .
π π 3 3 π 3
2

2
⎛ 2x ⎞
π
⎛ 2x ⎞
− 1⎟ ; x = , x = 0 ;
в) y = cos x, y = ⎜ − 1⎟ ; cos x = ⎜
2
⎝ π
⎠
⎝ π
⎠
π
2

π
2 ⎛ 2x

2

π

π

π ⎛ 2x ⎞ 2
π
⎞
S = ∫ cos xdx − ∫ ⎜
− 1⎟ dx = sin x 02 −
− 1⎟ = 1 − .
⎜
π
3
⋅
2
π
6
⎠
⎝
⎠0
0
0⎝

г) y = x 2 − 2x, y = sin

πx
πx
; x 2 − 2x = sin ; x = 0, x = 2;
2
2

19

2

2 ⎛ 3
2
⎞
π
2
π
x
S = ∫ sin xdx − ∫ (x 2 − 2x)dx = − cos x − ⎜ − x 2 ⎟ =
⎜
⎟
2
π
2 0 ⎝ 3
0
0
⎠
2

0

4 4
2 2 8
= + − +4= + .
π π 3
π 3
2

2

2
2
⎛
⎛ x2
⎞
x3 ⎞
− 2x ⎟ =
1052. а) S = ∫ (2x − x 2 )dx − ∫ (x − 2)dx = ⎜ x 2 − ⎟ − ⎜
⎜
⎟
⎜
⎟
3 ⎠
2
−1
−1
⎝
⎠ −1
−1 ⎝

8
1
1
1
= 4 − − 1 − − 2 + 4 + + 2 = 7 − 3 + = 4,5.
3
3
2
2
2

2

⎛
⎛ x3
1 ⎞⎛
5⎞
x2 ⎞
5 ⎞
⎛
б) S = ∫ (1 − x)dx − ∫ ⎜ x + ⎟⎜ x − ⎟ dx = ⎜⎜ x − ⎟⎟ − ⎜⎜ − x 2 − x ⎟⎟ =
2
2
2
3
4 ⎠
⎠⎝
⎠
−1
−1 ⎝
⎝
⎠ −1 ⎝
−1
2

2

= 2 − 2 +1+

1 8
5 1
5
5
− + 4 + − − 1 + = 7 − 3 + = 5, 25 (в ответе задачника
2 3
2 3
4
4

опечатка).
x

∫1

1053. а)

dt
t

x

=x;

б)

0

4

2 t

x
1
4

4x = x + 2x + 1 ;
x 2 − 2x + 1 = 0 ;
x =1.
x

∫
5

2t − 1

2t − 1

x
5

= x − 11 ;

= x − 11 ;

2x − 1 − 3 = x − 11 ;
2x − 1 = x − 8
⎧⎪2 x − 1 = x 2 − 16 x + 64
;
⎨
⎪⎩x ≥ 8
⎧⎪x 2 − 18x + 65 = 0
;
⎨
⎪⎩x ≥ 8
20

2t + 4
x
0

= 2;

=2;

2x + 4 = 4 ;
x=6.

x

dt

dt

2t + 4

= x ; 2 x −1 = x ;
2

в)

∫

г)

∫
2

dt
t+2

2 t+2

x
2

=2

=2

2 x+2 =6
x=7

x = 9 + 4 = 13 ;
x = 9 − 4 = 5 — не подходит;
x = 13 .
x

∫

1054. а)

x

x x⎛ 1 1
x ⎛1
1
x
⎞
⎞
; ∫ ⎜ + cos 2t ⎟ dt = ; ⎜ t + sin 2t ⎟ = ;
2 ⎝2
4
2 0⎝ 2 2
⎠
⎠0 2

cos 2 tdt =

0

πn
1
1
x
.
x + sin 2x = ; x =
2
4
2
2
x

∫

б)

x

x

∫π

cos 2tdt + sin 2tdt = 0 ;

0

1
1
sin 2t − cos 2t
2
2
0

4

sin 2x − cos 2x = 0 ; tg 2 x = 1 ; x =
x

x
π
4

=0;

π πn
+
.
8 2
x

x

⎛ 1
⎞
в) 2 sin tdt = x ; (1 − cos 2 t )dt = x ; ⎜ t − sin 2t ⎟ = x ;
⎝ 2
⎠0
0
0

∫

x−

∫

2

πn
1
sin 2 x = x ; x =
.
2
2

x

∫ (2 cos 2t + 6 cos 6t )dt = 0 ; (sin 2t + sin 6t ) 0 = 0 ; sin 2x + sin 6x = 0 ;

г)

x

0

sin 4 x cos 2 x = 0 ; sin 4x = 0 ; x =
x=

πn
.
4
x

1 t2
1055. а) ∫ tdt < ;
2 2
0

∫ (3t
x

б)

2

x

<
0

)

(

–

+
0

1
; x 2 < 1 ; x ∈ (− 1;1) .
2

− 8t + 3 dt > 0 ; t 3 − 4t 2 + 3t

0

x

πn
π πn
; cos 2 x = 0 ; x = +
;
4
4 2

–
1

1 t4
в) ∫ t dt < ;
4 4
0

+
3

х

x

3

<
0

)

x
0

>0;

x 3 − 4 x 2 + 3x > 0 ;
x ( x − 1)( x − 3) > 0 ;
x ∈ (0;1) ∪ (3;+∞) .

1
; x 4 < 1 ; x ∈ (− 1;1) .
4
21

∫ (2t + 5)dt > 6 ; (t
x

г)

2

+ 5t

)

0

x
0

> 6 ; x 2 + 5x − 6 > 0 ; ( x − 1)(x + 6) > 0 ;

x ∈ (−∞;−6) ∪ (1;+∞) .
x

1056. а)

1

1

x

1

1

∫ sin tdt < 2 ; − cos t 0 < 2 ; − cos x + 1 < 2 ; cos x > 2 ;
0

π
⎛ π
⎞
x ∈ ⎜ − + 2πn; + 2πn ⎟ .
3
⎝ 3
⎠
x

б)

1

∫ cos 2tdt >

2 2

π
2

;

1
sin 2t
2

x
π
2

>

1
2 2

; sin 2x >

2
;
2

3π
3π
⎛π
⎞
⎛π
⎞
2x ∈ ⎜ + 2πn;
+ 2πn ⎟ ; x ∈ ⎜ + πn;
+ πn ⎟ .
4
8
⎝4
⎠
⎝8
⎠
x

в) ∫ cos tdt <
0

3
3
3
x
; sin t 0 <
; sin x <
;
2
2
2

π
⎛ 4π
⎞
x ∈⎜−
+ 2πn; + 2πn ⎟ .
3
3
⎝
⎠
x

г) ∫ sin
π

x

t
t
x
3
x
3
dt > 3 ; − 2 cos
> 3 ; − cos >
; cos < −
;
2
2π
2
2
2
2

7π
⎛ 5π
⎞
x ∈⎜
+ 4πn;
+ 4πn ⎟ .
3
3
⎝
⎠
1057. а) Вершина параболы y = 2 x − x 2 , x в = −

2
= 1 ⇒ касательной
−2

в этой точке будет прямая у = 1.
1

(

S = 1 ⋅ 1 − ∫ 2x − x
0

2

)

1

⎛
x3 ⎞
1 1
dx =1 − ⎜ x 2 − ⎟ = 1 − 1 + = .
⎜
⎟
3
3 3
⎝
⎠0

б) Аналогично предыдущей задаче

y = 2 x 2 − 6 x , у = 4,5 —

касательная в точке х = 1,5.
3
2

3

⎛ x 3 3х 2 ⎞ 2 27 9 27 9
27
S = 4,5 ⋅ 1,5 + 2 ∫ x 2 − 3x dx = + 2 ⎜ −
+ −
= .
⎟ =
⎜ 3
4
2 ⎟⎠
4 4 4 4
0
⎝
0

22

(

)

у = 3х − 2
1058. а)
у = х 3 , х = 0,
у(1) = 1; у' = 3х 2 ; у'(1) = 3;
касательная
к
графику
у
=
х3
в
точке
х
=
1

1

0

0

S = ∫ x 3dx − ∫ (3x − 2)dx =

x4
4

1

—
1;

1

⎛ 3x 2
⎞
1 3
3
−⎜
− 2x ⎟ = − + 2 = .
⎜ 2
⎟
4
2
4
⎠0
0 ⎝

б) у = х 3 ; y '(x) = 3x 2 ; у '(0) = 0; y(0) = 0; у'(1) = 3; y(1) = 1;
y = 0, у = 3х − 2 — касательная к графику у = х3 в точках х = 0 и х =1;
2
3

x4
S = ∫ x dx − ∫ (3x − 2)dx =
4
0
0
1

3

1059. а) y = 3 −

1

2

⎛ 3x 2
⎞3 1
−⎜
− 2x ⎟ = .
⎜ 2
⎟
⎠ 0 12
0 ⎝

1 2
x ;
2

1
1
1
y = 3 − x 02 − x 0 ( x − x 0 ) = − x 0 x − x 02 + x 02 + 3 = − x 0 x + x 02 + 3.
2
2
2

y' = − x 0 = −1 , y' = − x 0 = 1 ; x 0 = 1 , x 0 = −1 ;
1
7
y = − x + + 3 = − x + , — искомые касательные;
2
2
1 2
7
7
y = x + ; 3 − x = − x + ; x 2 − 2x + 1 = 0; x = 1;
2
2
2
1

1

1⎛
⎛ x2 7 ⎞
⎛
⎛1⎛
7⎞
1 ⎞ ⎞
x3 ⎞
S = 2 ⎜ ∫ ⎜ − x + ⎟ dx − ∫ ⎜ 3 − x 2 ⎟ dx ⎟ = 2 ⎜ −
+ x ⎟ − 2 ⎜ 3x − ⎟ =
⎜
⎟
⎜
2⎠
2 ⎠ ⎠
6 ⎠⎟
0⎝
⎝ 0⎝
⎝ 2 2 ⎠0
⎝
0

1 1
= .
3 3
1
5
1
5
1
5
б) y = x 2 + ; y = x 02 + + x 0 ( x − x 0 ) = xx 0 + x 02 + ;
2
2
2
2
2
2
y '=x 0 =1 ; y '=x 0 = − 1 ; y=x+2 ; y = − x + 2 — искомые касательные;
1
5
x + 2 = x2 + ; x = 1 ;
2
2
= −1 + 7 − 6 +

1

1

1
⎛ x3 5 ⎞
⎛ x2
⎞
⎛1⎛ 1
⎞
5⎞
S = 2 ⎜ ∫ ⎜ x 2 + ⎟ dx − ∫ ( x + 2 ) dx ⎟ = 2 ⎜
+ x ⎟ − 2⎜
+ 2x ⎟ =
⎜
⎟
⎜
⎟
2
2
6
2
2
⎠
0
⎝ 0⎝
⎠
⎝
⎠0
⎝
⎠0

=

1
1
+ 5 −1− 4 = .
3
3

1060. а) у =

х 20 3
х2 3
3х 02
; у=
+ х 0 3 ( х − х 0 ) = 3х 0 х −
;
2
2
2
23

1) y ' = 3x 0 = 3, y' = 3x 0 = − 3;
x 0 = 1, x 0 = −1;

y = 3x −

2)

3
3
, y = − 3x −
− уравнение искомых касательных;
2
2

y ' = 3x 0 = − tg30o ; y ' = 3x 0 = tg30o ;
1
1
x0 = − ; x0 = ;
3
3

y=−

3
3
3
3
x−
, y=
x−
− уравнение искомых касательных;
3
18
3
18

1⎛
⎛1⎛
3 ⎞⎟
3 ⎞⎟ ⎞⎟
dx − ∫ ⎜ 3x −
dx =
1) S = 2⎜ ∫ ⎜ x 2
⎜
⎜ ⎜
2 ⎟⎠
2 ⎟⎠ ⎟⎠
0⎝
⎝0⎝
1

1

⎛ x3 3 ⎞
⎛ 3x 2
3 ⎞
3
3
= 2⎜
−
x⎟ =
− 3+ 3=
;
⎟ − 2⎜
⎜ 6 ⎟
⎜ 2
⎟
2 ⎠
3
3
⎝
⎠0
⎝
0
1
1
1
⎛1
⎞
3⎛ 3
⎛ 3x 2
⎜ 3⎛ 2 3 ⎞
3 ⎞ ⎟ ⎛ x3 3 ⎞ 3
3 ⎞3
2) S=2 ⎜ ∫ ⎜⎜ x
−
x−
x⎟ =
⎟ − 2⎜
⎟ dx − ∫ ⎜⎜
⎟ dx ⎟ =2 ⎜
⎜ 6
2 ⎟⎠
18 ⎟⎠ ⎟ ⎜⎝ 6 ⎟⎠
18 ⎟⎠
0⎝ 3
⎝
⎜⎜ 0 ⎝
⎟
0
0
⎝
⎠

=

3
3
3
3
.
−
+
=
27 27 27 27

б) у = −

х2
2 3

; у=

х 20
2 3

+

х0
х
х2
( х − х0 ) = − 0 х + 0 ;
3
3
3

x0
x
3
3
=−
, y' = − 0 =
;
3
3
3
3
x
1
x
1
x 0 = 1, x 0 = −1; y =
+
, y=−
+
− искомые касательные;
3 2 3
3 2 3
x
x
2) y ' = − 0 = 3, y ' = − 0 = − 3;
3
3

1) y ' = −

x 0 = −3, x 0 = 3; y = − 3x +
⎛1⎛

1) S = 2 ⎜ ∫ ⎜ −
⎜
⎝ 0⎝

24

3 3
3 3
, y = 3x +
− искомыекасательные;
2
2
1

1 x2
⎞ ⎛ x2
x
1 ⎞
x ⎞
x3
+
+
dx ⎟ = ⎜ −
⎟ +
⎟ dx + ∫
⎟ ⎜
3 2 3⎠
3
3 ⎟⎠
3 3
02 3
⎠ ⎝
0

1

=
0

1
;
3 3

⎛ 3⎛
⎜0
⎝ ⎝

2) S = 2 ⎜ ∫ ⎜⎜ − 3x +

3 x2
⎞
3 3⎞
dx ⎟ = − 3x + 3 3x
⎟⎟ dx + ∫
⎟
2 ⎠
02 3
⎠

(

3 3

) 0 + 3x 3
3

= 3 3.

0

1061. а) у = х 3 − 6 х 2 + 9 х + 1 ; y' = 3x 2 − 12 x + 9 ;

y(3) = 27 − 54 + 27 + 1 = 1 ; y' (3) = 27 − 36 + 9 = 0 ;
y = 1 — касательная к графику данной функции в точке х = 3;
х 3 − 6 х 2 + 9 х + 1 = 1 ; х ( х 2 − 6 х + 9) = 0 ; х = 0, х = 3;
3

⎛ x4
⎞
9x 2
− 2x 3 +
+ x⎟ −3 =
S = ∫ x − 6x + 9x + 1 dx − 3 ⋅ 1 = ⎜
⎜
⎟
2
0
⎝ 4
⎠0
3

=

(

3

)

2

81
81
27
− 54 + + 3 − 3 = .
4
2
4

б) у = х 3 − 3х ; y(−1) = −1 + 3 = 2 ; y' = 3x 2 − 3 ; y' (−1) = 0 ;
y = 2 — касательная к графику данной функции в точке х = –1;
х 3 − 3х = 2 ; х = −1, х = 2;
2

2
⎛ x 4 3x 2 ⎞
−
S = 3 ⋅ 2 − ∫ x 3 − 3x dx =6 − ⎜
⎟ = 6,75.
⎜ 4
2 ⎟⎠
−1
⎝
−1

(

1062. а) у =
а

1) S = ∫
1

1

2) S = ∫
a

)

1
х2

, у = 0, х = 1, х = а;
a

1
1
7
7 1 1
1
7
dx = ; −
= ; − +1 = ; = ; a = 8 .
2
8
a
x
8
8 a 8
х
1
1
7
1
dx = ; −
2
8
x
x

1

=
a

7
1 7 1 15
8
; −1+ = ; =
; a=
.
8
a 8 a 8
15

8
, a = 8.
Ответ: a =
15

б) у =
1) S =
2) S =

1
х2

, у = 0, х = −1, х = а;

а

a

−1

−1

1
10
1
∫ х 2 dx = 11 ; − x
−1
1

10

∫ x 2 dx = 11 ;
a

−

1
x

=

10
1
10 1
21
11
; − −1 =
; =− ; a=− .
11
21
11
a
11 a

=

10
1 10
; 1+ =
; a = −11 .
11
a 11

−1

a

25

Ответ: a = −11 , a = −

11
.
21

Глава 6. Степени и корни. Степенные функции
§ 39. Понятие корня n-й степени
из действительного числа
1063. а) 3; 4

б) 5; 7

361 = 19 ; 19 2 = 361 .

1064. а)

г) 37; 15

в) 11; 2

6

б)

6

1
1
1 ⎛1⎞
= ;⎜ ⎟ =
.
64
64 2 ⎝ 2 ⎠

г)

5

32
32
2 ⎛2⎞
= ;⎜ ⎟ =
243 3 ⎝ 3 ⎠
243

б)

6

− 64 = −2 ; (− 2)6 ≠ −64 .

г)

4

625 = −25 ; (−25) 4 = 625 2 .

5

в)

3

343 = 7 ; 73 = 343 .

1065. а) 25 = −5 ;

25 = 5 .

в) − 3 −8 = −2; 3 −8 = 2; −8 ≠ 23.

7 − 4 3 = 2 − 3 ; 7 − 4 3 = 4 + 3 − 4 3 . Верно.

1066. а)

б)

9 − 4 5 = 2 − 5 ; 2 − 5 < 0 ⇒ Неверно.

в)

7−4 3 = 3 −2;

г)

9 − 4 5 = 5 − 2 ; 9 − 4 5 = 5 + 4 − 4 5 ⇒ Верно.

1067. а)

в)

4

3

4

5

32 = 2 ;
3

64 = 4 .

9

б)

4

16
2
= ;
625 5

512 = 2 ;

1331 = 11 ;
3

0,125 = 0,5 ;

0,0081 = 0,3 ;

1070. а)

26

б)

г)

1069. а)

в)

16 = 2 ;

81 = 3 ;

1068. а)

в)

4

3 − 2 < 0 ⇒ Неверно.

4

5

1 4 81 3
=
= ;
16
16 2

100 10
=
.
121 11

г)
б)

4

0,0625 = 0,5 ;

г)

3

0,027 = 0,3 .

б)

3

3

3 3 27 3
=
= ;
8
8
2

в)

7

4

58 4 625 5
=
= ;
81
81
3

1071. а)

в)

3

7

− 128 = −2 ;

− 64 = −4 ;

г)

5

7

19 5 243 3
=
= .
32
32
2

б)

3

−

1
1
=− ;
8
2

г)

5

−

1
1
=− .
32
2

1072. а) − 24 81 = −6 ;

б) − 33 − 64 = 12 ;

в) − 54 16 = −10 ;

г) 43 − 27 = −12 .

1073. а)

5

32 + 3 − 8 = 2 − 2 = 0 ;

в) 34 16 − 43 27 = 6 − 12 = −6 ;
1074. а)

5

б)

4

625 − 3 − 125 = 5 + 5 = 10 ;

г) 12 − 63 0,125 = 12 − 3 = 9 .

(−3) 3 = 5 − 27 = −5 27 ; Да

б)

8

(−2)5 = 8 − 32

Нет

в)

10

(−7) 2 = 10 49

Да

г)

3

(−5) 2 = 3 25

Да

1075. а) 2 < 5 < 3 ;

б) 2 < 3 19 < 3 ;

в) 2 < 4 52 < 3 ;

г) 4 < 3 67 < 5 .
1
1
; x= ;
128
2

1076. а) x 3 = 125 ; x = 3 125; x = 5 ;

б) x 7 =

в) x 5 = 32 ; x = 2 .

г) x 9 = 1 ; x = 1 .

1077. а) x 4 = 17 ; x = ± 4 17 .

б) x 4 = −16 — решений нет.

в) x 6 = 11 ; x = ± 6 11 .

г) x 8 = −3 — решений нет.

1078. а) x 3 + 8 = 0 ; x = 3 −8; x = −2 .

б) 3x 8 − 9 = 0 ; x8 = 3; x = ±8 3 .

в) x 4 − 19 = 0 ; x = ± 4 19 .
6
5

г) 5x10 + 6 = 0 ; x10 = − ; — решений нет.
27

1079. а)

б)

4

в)

5

г)

3

3

х − 5 = −3 ; х − 5 = −27 ; х = −22 .

4 − 5х = −2 — решений нет.
9
.
2
57
7 − 4 х = 4 ; 7 − 4 х = 64 ; х = −
.
4
2х + 8 = −1 ; 2х + 8 = −1 ; х = −

1080. а)

3

x 2 − 9 x − 19 = −3 ; x 2 − 9 x − 19 = −27; x 2 − 9 x + 8 = 0 ;

x = 1, x = 8.

б)

4

x 2 − 10 x + 25 = 2 ; x 2 − 10x + 25 = 16 ; x 2 − 10x + 9 = 0 ;

x = 9, x = 1.

в)

7

x=

г)

6

2x 2 + 6 x − 57 = −1 ; 2x 2 + 6x − 56 = 0 ; x 2 + 3x − 28 = 0
−3 − 11
−3 + 11
=4; x =
= −7 .
2
2
x 2 + 7 x + 13 = 1 ; x 2 + 7 x + 12 = 0 ; x = −4, x = −3.

1081. а)

3

5 ; 2;

3

7;

5

40 ; 3 .

1082. а)

4

0,1; - 1;

в)

в)

5

− 1,5 ; - 2;

4

3

17 .

3

-5 .

-9 .

1083. а) 2 = 4 16 =

4

б)

5

100 ; 4;

г)

6

60 ; 2;

б) 0;

г)

3

3

3

4

2 ; 1;

3

75 .

20 .

- 0,25 ;

5

- 29 .

-2 .

2 4 = 4 (−2) 4 ≠ −2 ;

б) 5 = 6 15625 = 6 56 = 6 (−5) 6 ≠ −5 ;
1084. а)

3

6

4

(−2) 4 = 2 .

( −5)6 = 5.

15 − 4 90 ∨ 0 ; 3 15 ∨ 4 90 ; 50625 < 729000 ; 3 15 − 4 90 < 0 .

б) 3 − 7 150 > 0 .

в)

5

40 − 3 50 < 0 .

1085. а) 0,02х 6 − 1,28 = 0 ; х 6 = 64 ; х = ±2 .

б) −

3
3 8
х + 18 = 0 ; х 8 = 25 ; х = ± 4 5 .
4
4

в) 0,3х 9 − 2,4 = 0 ; х 9 = 8 ; х = 3 2 .

28

г)

4

300 − 5 < 0 .

г)

1 4
х − 2 = 0 ; х 4 = 16 ; х = ±2 .
8

1086. а)

в)

3

5

− 2;

− 12 ;
π
;
3

π
;
2
2,5;

2;

6

70 .

2π .

б)

5

− π;

3
;
π

г)

5

1
− ;
2

0;

1;
3

200 ;

7

π.
2π .

§ 40. Функции, y = n x их свойства и графики
1087.

а)

б)

г)

в)

1088.

а)

б)

29

в)

г)

1089.

а)

б)

в)

г)

1090.

а)

30

б)

в)

г)

1091.

а)

б)

в)

г)

1092. у = 4 х

а) х ∈ [0;1] , min y = 0, max y = 1;
б) х ∈ [1;3), min y = 1, max y не существует;
в) х ∈ [5;16] , min y = 4 5, max y = 2;
31

г) х ∈ [16; +∞), min y = 2, max y не существует;
1093. у = 5 х

а) х ∈ [ −1;1] , min y = −1, max y = 1;
б) х ∈ (−∞;1], min y не существует, max y = 1;
в) х ∈ [ −32;32] , min y = −2, max y = 2;
г) х ∈ [2; +∞), min y = 5 2, max y не существует.
1094. а) у = 4 х ; у = х 2 ;

4

х = х 2 ; x = x 8 ; x = 1, x = 0; (0;0), (1;1).

б) у = 3 х ; у =| х | ;

3

в) у = 6 х ; у = х ;

х = х ; x = 1, x = 0.

6

х =| х | ; x = 1, x = 0; (0;0), (1;1).

5

г) у = х ; у = − х − 2 ; (0;0), (1;1);
5

x = − x − 2; x = 1; (–1;–1).

1095. а) х = 0

б) х = 1

в) х = 1

г) х = 0, х = -1

32

⎧⎪ у = 4 х
1096. а) ⎨
;
⎪⎩2 х − 3у = 6

⎧у = 4 х
⎪
— одно решение.
⎨
2х
−2
⎪y =
3
⎩

y=4 x

4
⎧
⎪y = x
⎪⎧ у = 3 х
3 — три решения (в ответе задачника опечатка).
; ⎨
⎪⎩3y − 4x = 0 ⎪
3
⎩у = х
3

б) ⎨

y= x

⎧у = 5 х
⎪⎧ у = 5 х
⎪
; ⎨
в) ⎨
2 — одно решение.
⎪⎩6 − 2х − 3у = 0 ⎪ y = 2 − x
3
⎩

33

y=5 x

2
y = 2− x
3
⎧⎪ у = 6 х
;
г) ⎨
⎪⎩5 + х − 2 у = 0

⎧у = 6 х
⎪
⎨
5 х — нет решений.
⎪y = +
2 2
⎩

y=6 x

⎧⎪2x 2 , x > 0
1097. y = ⎨
⎪⎩ 4 x , x ≥ 0
1) у (х) убывает при х 4 25 ;

32 и

3

5∨ 3,

6

25 < 6 27 ;

в)

3

7 ∨ 6 47 ,

6

49 > 6 47 ;

2 3 3 = 6 8 ⋅ 9 = 6 72 ;

в)

4

1140. а)

4

4

6

6

6

б)

3

3 6 3 = 6 9 6 3 = 6 27 ;

г)

4

2 6 3 = 12 8 ⋅ 9 = 12 72 .

6

в)

а а 5 = a 3 a 5 = а8 ;

6

6

6

6

у 6 3у3 = 6 y 2 6 y3 = 6 3у5 .

3

3

1141. а)

6

6

6

ab 6 4ab = a 2 b 2 4a 3b3 = 4a 3b3 ;

б)

5 4 3 10 5 2

в)

6

5ab 2 ⋅ 5a 3b 4 = 5ab 2 25a 6 b8 = 125a 7 b10 ;

г)

8

6xz ⋅ xz5 =

a b ⋅

a b =

4

6

24

a b =

a b

6

6

10 13 8

a b ;

6

216x 3z3

6

24

x 4 z 20 =

24

216x 7 z 23 .

б)

12

а 5 : 4 а = 12 а 7 ;

г)

4

( 3) = 3 ;

б)

( 7)
5

а3 : а = 4 а ;

2

1143. а)

5

=7;

(

1144. а) 2 5

⎛

1⎞
2⎠

г)

)

4

5

⎝

1145. а)

( 3a )
3

= 16 ⋅ 25 = 400 ;

243
;
2

в) ⎜⎜ 3 ⋅ 5 ⎟⎟ =

44

10 8 6 10 5 2

3

1142. а)

в)

100 .

4

2а 4а 5 = 8a 3 4a 5 = 32а 8 ;

в)

15

40 ;

3b3 3b = 3b3 9b 2 = 27b5 ;

б)

г)

8

− 6 8 > −6 9 .

24 2 = 4 44 2 = 4 8 ;

1139. а)

8;

289 и

б)

г) − 4 4 ∨ −3 3 ,

6

9 и

9

= 27a 3 ;

a 2 b 3 : 6 ab 4 = 12 b −5 ;

a 3b 5 : 5 ab = 20 а11b 21 .

( а)
n

n

( b)
p

p

=a;
=b.

⎛ 1⎞
б) ⎜ b n ⎟
⎜ b⎟
⎝
⎠

2n

⎛1p ⎞
г) ⎜
b⎟
⎝b
⎠

2p

(

б) 5a 3 a

)

= b 2n ⋅

2

=

1
= b 2n − 2 ;
2
b

1
⋅ b 2 = b 2 − 2p .
b 2p

= 25a 2 ⋅ 3 a 2 = 253 a 8 ;

(

2

в) ⎛⎜ − 53 a 2 ⎞⎟ = 253 a 4 ;
⎠
⎝

б)

3 5

2 =62;

г)

3

3

б)

5 =45;

1146. а)
3

в)

1147. а)
5 3

в)

5х

б)
4

x =6x;

а10 = 15 а10 = 3 а 2 ;

1148. а)
3

г) 2 3 −3a 2

3
13
5х
5х + 13 +
= 23 5 х ;
2
5

13
= 13 ; 3 5х = 10 ; х = 200 .
10
4
2х + 4 32 х + 4 162 х = 6 ; 4 х

х=

1
4

2

1149. а)

4

; х=

3

8 − 37 3 8 + 37 = 3 64 − 37 = 3 ;

г)

3

17 + 3 3 17 − 3 = 3 17 − 9 = 2 .
3 ⋅ 3 −3 ⋅ 27 ⋅ 3 9 −

−5 ⋅ 8 ⋅ 3 25 ⋅ 32 +

5

5

−64
5

2

−729
5

3

= −5 ⋅ 16 − 3 = −83 .

33 ⋅ 4 2 ⋅ 4 46 ⋅ 35 = 4 2 ⋅ 32 = 144 ;

3

7 2 ⋅ 2 ⋅ 3 7 4 ⋅ 2 2 = 2 ⋅ 7 2 = 98 ;

в)

6

510 ⋅ 6 212 ⋅ 52 = 52 ⋅ 2 2 = 100 ;

г)

5

6 2 ⋅ 37 ⋅ 5 63 ⋅ 33 = 32 ⋅ 6 = 54 .

в)

3

4

x ⋅ 6 4 2 = 6;

= 31/ 2 +1/ 3+ 3/ 2 + 2 / 3 + 26 / 5−1/ 5 = −25 ;

б)

1152. а)

4

6 + 2 5 4 6 − 2 5 = 4 36 − 20 = 2 ;

3

4

ab = 6 ab .

1
.
2

в)

1151. а)

.

a3 = a ;

( 4 2 + 2 4 2 + 34 2 ) = 6 ;

6 − 2 17 5 6 + 2 17 = 5 − 32 = −2 ;

3

10

1 1⎞
⎛
5х ⎜ 2 − − ⎟ = 13 ;
5 2⎠
⎝

5

б)

3

4 =64.

3

б)

1150. а)

5

4 = 15 4 ;

3

г)

) = 32 −243a

16а 8b16 = 2a 2 b 4 ; б)

343m12 n 9 = 7m 4 n 3 ;

г)

5

1024x10 y5z15 = 4x 2 yz3 ;

4

0,0081a12 b 4c20 = 0,3a 3bc5 ,
45

1153. а)

б)

3

в)

5

8a 3b 6
2ab 2
;
=
27 x12 y 9 3x 4 y 3

3

343m12
64n 3p15

=

7m 4
4np5

(в условии задачника опечатка) ;

a10 b 20 a 2 b 4
=
;
32 x15
2x 3

1154. а)

г)

4

16r16s12 2r 4s 3
= 6 .
81p 24 q 4
3p q

xy 2 z 3 12 x 3 y 2 z = 12 x 5 y 6 z 7 ;

6

б)

3

s 4 p 3 t 5 : 15 st 2 = 15 s19 p15 t 23 ;

в)

4

a 2 bc 5 ⋅ 5 a 3b 5c 2 = 20 a 22 b 25c 33 ;

г)

9

k 4l3m 6 : 3 l6 m = 9

1155. а)

3

x − 26 x = 0 ;

2

x

(

6

)

x − 2 = 0 ; x = 0, x = 64;

4

4

x:

x = 2 ; x = 16; x = 3 ; x = 81 .
1
−1 + 3 1
= ; x=
;
x + 23 x − 1 = 0 ; 6 x =
4
2
64

4

4

( x) − 5 x + 6 ;

6

6

x − 54 x + 6 = 0 — это уравнение относительно

б)
6

в)

k 4m3
;
l15

4

x = −1 − решений нет.

г)

4

х + 28 х − 3 = 0 ;

8

х = −3

решений нет ;

8

х =1; х =1.

1156. f (x) = 2 7 x; 2f(x) = 4 7 x; f (128x ) = 2 ⋅ 7 128x = 47 x .
1157. f (x) = 2 5 x; 2f(x) = 4 5 x; f (32 x ) = 2 ⋅ 5 32 x = 45 x .
1158. f (x) = 3 x; g(x) = 6 x; 2 f ( x ) = 2 ⋅ 6 x ; g (64 x ) = 6 64 x = 26 x .
1159.

а)

б)

y
4-

y
4-

|

-4
|

-4
46

|

0

4 x

|

0

4 x

в)

г)
y

y

4|

|

-4

|

4-

|

|

4 x

0-

-4

|

0

|

4 x

§ 42. Преобразование выражений, содержащих радикалы
20 = 2 5 ;

1160. а)

б) 147 = 7 3 ;

в) 108 = 2 ⋅ 3 3 = 6 3 ;
3

1161. а)

в)

3

512 = 8 ;
4

1162. а)

в)

5

3

54 = 33 2 ;

г)

3

375 = 53 3 .

б) 4 160 = 24 10 ;
486 = 34 6 .

б)

3

а 4 = а3 а ;

г)

4

n13 = n 3 ⋅ 4 n .

б)

4

405а 5 = 3а 4 5а ;

г)

5

160m10 = 2m 2 ⋅ 5 5 .

75t 4 r 3 = 5t 2 r 3r ;

б)

4

256a 9 b13 = 4a 2 b 3 ab ;

250x 4 y 7 = 5xy 2 3 2xy ;

г)

5

320m11n15 = 2m 2 n 3 5 10m .

х3 = х х ;

m 7 = m5 m 2 ;
25а 3 = 5а а ;

24х 3 = 2х 3 3 ;

3

3

4

1165. а)

в)

б)

г)

1164. а)

в)

80 = 24 5 ;

405 = 34 5 ;

4

1163. а)

в)

24 = 23 3 ;

245 = 7 5 .

г)

2
2
72a 3b =
⋅ 6a 2ab = 4 2ab ;
3а
3a

1166. а)

б)

x2
b

в)

3
х

3

72a 4 b3
343x

3

=

x 2 2ab 3
2
⋅
9a = xa 3 9a ;
b 7x
7

a5х 2 3 a 2х
= ⋅
18
х 3

г) 3mn 4

80x 3
5 9

243m n

=

a
а
= а2
;
2
2

3mn ⋅ 2 4 5x 3 2 4 5x 3
.
=
3mn 2 3mn n 3mn

47

а 2 b =| a | b ;

1167. а)

в)

4

б)

а 4 b =| a | 4 b ;

25x 2 = 5 | x | ;

в)

1169. а) 2 5 =

а 3b = a 3 b ;
а 5 b = a 2 ab .

г)

50а 3 = a ⋅ 5 2а ;

1168. а)

3

б)

6

256с8 =| c | 26 4c 2 ;

г)

4

162а 8 = a 2 34 2 .

б) 5 2 = 50 ;

20 ;

2
= 14 .
7

в) 5 3 = 75 ;

г) 7

1170. а) 23 3 = 3 24 ;

б) 63 1

в) 33 2 = 3 54 ;

г) 34 2

1171. а)

в)

2
3=
3

4
;
3

б)

7 4
49 25
⋅
= 7;
3 =
5 7
25 7

1172. а) 7а 2 ab =

3

5
= 177 .
27

13
3
12 = 3 ;
2
2

г) 0,23 25 = 3

49a 5 b ;

1
.
5

б) 5аb 2 3 a 2 b = 3 125a 5 b 7 ;
г) 2m3 3m 2 = 3 24m 5 .

в) 5x 2 x = 50x 3 ;
1173. а)

1 3
= 240 ;
9

24 − 3 3 = 3 3 (2 − 1) = 3 3 ;

б) 27 3 + 7 384 = 27 3 + 27 3 = 47 3 ;
в) 25 64 + 5 486 = 45 2 + 35 2 = 75 2 ;
г)

4

512 − 4 2 = 4 2 (4 − 1) = 34 2 .

1174. а)

в)

5

3;

3

6

4;
15

18 ;

3;
3

30 ;

2;

б)

3

г)

6

2;

15

3;

3

( 3 m − 23 n )( 3 m + 23 n ) = 3 m2 − 43 n 2 ;
б) ( 3 5 − 3 )( 3 + 3 5 ) = 3 25 − 3 ;
1175. а)

(

)(

)

в) a − b a + b = a 2 − b ;
г)
48

( 3 4 + 2 2 )( 2

)

2 − 3 4 = 8 − 3 16 = 8 − 2 3 2 .

40 ;

5

4;

2;

4

4.

1176. а)

(

)(

)

x + y x − xy +y = x 3 − x 2 y +y x +x y − xy 2 + y3 = x 3 + y3 ;

(

)(

)

б) 3+ 4 a 9 − 3 a + a =27 − 9 4 a +3 a +9 4 a − 3 a + 4 a 3 =27+ 4 a 3 ;
в) ( 2 p + q )( 4p-2 pq +q ) =8 p3 -4 p 2q +2q p +4p q -2 pq 2 + q 3 =8 p3 + q 3 ;
г)

( 3 а +6 ab + 3 b )( 6 a +6 b ) = 6 a3 -6 a 2b +6 a 2b-6 ab2 +6 ab2 -6 b3 =

1177. а)

б)

(

3

m − 23 n

(3 5 − 3)

(

в) a 2 − a
г)

2

2

2

в)

k+l
3

k +3 l
m−n

3

10b − 15

7 k − 4 14

=

4
4

2b − 3

=

15b − 5

3b − 1

2 + 4 3k
k −4 2
3

a − 24 a 3 b + b2

1180. а)

б)

3

2

a −3b

m + 23 n
3

3

4 n + 4 mn + m
4

в)

4

3

a+ b;

(k + l) ⎜⎝

14 + 4 21k

4

( a − b ) = (a − b)a( −ab+ b ) =

= x −2 y ;

x +2 y

4

+ a − 2a 2 a ;

= 3 m 2 + 3 n 2 + 3 mn ;

m− n
x − 4y

1179. а)

в)

4

k + l ⎛3 2 3
k − kl + 3 l 2 ⎞⎟ = 3 k 2 + 3 l 2 − 3 kl ;
⎠

=

3

г)

= 3 m 2 − 43 mn + 43 n 2 ;

= 23 2 + 8 + 4 2 3 4 .

1178. а) (a − b ) :

б)

2

= 3 25 + 3 − 2 3 3 25 ;

) =a

(3 4 + 2 2)

)

a- b .

a + b

a + 24 a 2 b + b

=

2

=

=

;

б)

г)

( 4 a − 3 b) 2
4

a −3b

1
3

2 n +3 m

1
4

3

;

a+ b

x 2 − 3 xy

3

x − 3 xy

4

a 2 − 4 ad

4

3a − 4 a 2 d

=
=

3

x −3 y
1− 3 y

;

4

a −4 d

4

3 − 4 ad

.

=4a −3b ;

;

;
49

4

b + 2a a 2 b + a 3

г)

a a +4b

1181. а)

в)

a − 3 b2
a− b

b −a

3

a a+ b
4

a +b

1

1183. а)

1184. а)

в)

а
3

а

=

3

3

б)

3

3

3

3 2

a⋅ a

1

4

г)

23

50

4

256a 7 b 3 =

3

2 2m 4 n8 =

y5 9 x 4 y 2 =

б)
в)

4

5

4

43 k 2 l5 =

5 3

5

=

9

x2
5

x

4

9
7 −1

4

3 ⋅ 32
4

4

= 32 = 3 ;

4

3 ⋅ 32

=x

б)

2−

4
5

= 5 x6 .
2

3− 2

=2 3+2 2 ;

9 7 + 9 3( 7 + 1)
;
=
6
2

=

4

−2r ;

5x 2 ;

5 3 c 5d 8
d2
−
=−
c
15625
5

1188. а)

= 3 a + 6 ab3 + b .

= 3 a + 6 a b +b .

a− b

3

−162t 4 r 5 = 3 | r || t | 4 −2r = −3r t

в) 128a 6 b 9 = 8 | a 3 | b 4 2b ;

б)

a −b b
6

г)

=7 2 −7;

3
4a 2

= x5 x + 5 x 3 + 1 ;

a− b

5− 3
5− 3
;
=
5−3
2

=

625x 5 y6 = 5xy

1187. а)

x −1

6

б)

= а2 ;

5+ 3

2+1

3

a −b b

г)

=34;

2 ⋅ 22

2

3

7

1186. а)

2

2 ⋅ 22

a a2

1185. а)

в)

=

x9 − 1

5

3

3

2

5

б)

2
2 3
1
5
2
3
; б)
; г)
.
=
=
= 3 ; в)
2
9
5
3 3
5
3

=

2

=a a +4b,

= a − 4 a 3 b + b 2 ; б)

a +3 b

4

a a+4b

= 4 b −a a ;

4 3

1182. а)

(a a + 4 b) 2

= 4 a +3 b ;

3

4

=

3

43

г)

5

− 64m 6 n16 = −2mn 3 5 2mn .

3
3 4 3 3
| a | 4 a 3b3 =
a b ;
|a|
a2

c 2d 2 .
3

24 m 4 n8 = 2mn 2 ;

9x 4 y 7 = 10 9 x 4 y 7 ;

64k 2 l5 = 15 64k 2 l5 ;

г)

q 5 2 p 3q = 7

7

1189. а)

б)

4

5

2p 3q 6 = 35 2p 3q 6 .

5

23 2 2 = 5 3 16 2 = 5

43 3 4 4 3 ⎛4⎞
=
⎜ ⎟
3 4 3
⎝3⎠

в) 3

23 3 2 3 3 ⎛2⎞
=
⎜ ⎟
3 2 3
⎝3⎠

г)

34 33 3 =

1190. а)

9

− 2a 2 b 4 5a 3 = −

г)

5

(x − y )3
3

5

2

5

2 3 3 ⎛2⎞
32
=
;
⎜ ⎟ = 18
3
243
⎝3⎠
4 3

316 = 3 9 .

− 5 − а 25 = 9 а 5 ;

3

3 4

б)

х
у

у х
3
х у

в)

х х х х :

г)

2m 3

1
4m 2

3

27 14

(x − y )2

3

=

a

б)

m−n
m+n

m+n 4 m−n
=
;
m−n
m+n

80a11b 4 = −12 80a11b 4 ;

1
= −5
y−x

a3 a3 a ⋅

512 = 10 8 ;

4 4 3 ⎛4⎞
1024
=
;
⎜ ⎟ = 24
3
243
⎝3⎠

35 3 3 =

4

в)

1191. а)

2

3

3 3 3 13

a

= −15 (x − y )2 .
⋅

27 14

a

=a;

у
х у
= 3 3 = 1;
х
у х

16 11

х

=

16 15 16 11

х

n 12
: nm =
m

:

3

2m

х

=4х ;

n 12
: nm = 12 4mn : 12 mn = 12 12 = 6 6 (в
m

ответе задачника опечатка).
50 − 3 3 − 6 2+ 3 24+ 8=5 2 − 3 3 − 6 2+2 3 3+2 2= 2+ 3 3 ;
7
б) 6 4 х + ху − 9ху − 8 х 2 + х 3у =6 4 x + xy − 3 xy − 4 x +7 xy =
х
4
= 8 ху − 9 ху + 5 х = 5 ху + 5 4 х .
1192. а)

1193. а) − 5 24 10 ∨ − 4

23 3 ∨ 3 5 ;

б)

в)

4

6

3∨8 6 2 ;

5

99 ; − 10 160 < −80 99 .

24 ∨ 3 5 ;
16

6

24 < 6 25 .

81 > 16 72 ;
51

г) − 23 6 ∨ −3 5 2 ; − 6 48 > −6 50 .
1194. а)

3

6

5 3;

б)

5

35 3 ;

5

4;

в)

5

3 4;

3

25 2 ;

г)

48

1195. а)

(
б)

4

7 7;

4

(4 2 − 4 8)

г)

3

2;
16

)

2

2

=

2

2 + 8−4

=

4

2+ 8−4

= −1 ;

= 1;

2

( 3 + 1)
(1 − 5 )

= 3;

2

2

4

( 3 − 45 ) ( 3 − 45 )
2

4− 2 − 8

24 + 6 − 2 12
3

1 − 24 5 + 5

=

24 + 6 − 2 12
3

3 + 26 3 + 1

64 ;

4−3 2

=

( 9 + 3) = ( 9 + 3)
3

3

25 ;

2 1,25 ;

4 3 +3 6

в)

10

4−3 2

24 + 4 6

33 4 ;

100 ;

4

2

=

1
.
3

)(

)( )
n ) ( 4 m − 4 n )( 4 m + 4 n ) = (

(

1196. а) 1 + а 1 + 4 а 1 − 4 а = (1 + a )(1 − a ) = 1 − а ;

б)

(

m+

(
1197. а)
3

б)

3

3

9a 2 x − 2 3 3abx + b 2 x
3

3a − 3 b

16 x 2 − 3 25 y 2
3

1198. а)

4x − 3 5y

)=

3

x

m + n )( m − n ) = m − n .

( 3 3a − 3 b )
3

2

3a − 3 b

=3x

( 3 3a − 3 b ) ;

= 3 4x + 3 5y .

2x − 3y + 2y − 3x = x ( 2 − 3)+ y( 2 − 3)=

= ( 2 − 3)( x + y) ;

б)

3

3

3

4x 2 + 4 2 x 2 − 3 4 4 y3 − 4 2y3 = x 2 ( 3 4 + 4 2) − 4 y3 ( 3 4 + 4 2) =

= (3 x 2 − 4 y 3 )(3 4 + 4 2) ;

в)

3 4

3

3

= (a + b)(3 a − 3 b) ;
52

3

a + ab3 − a 3b − b 4 = 3 a (a + b) − 3 b(a + b) =

г) b a − ab + ab − ab b = b a (1 − ab) + ab(1 − ab) =
= (1 − ab)(b a + ab) .
1199. Рассматриваем данные выражения как квадратные трехчлены и
находим их корни:

а)

m −8 m −6 =

4

4

8

5

10

(
a + 12 = (

a +7

m −3

4

m +5 m +6=

б)
в)

(

6

x=

)

8

m +2 ;

)( m + 3);
a + 4)( a + 3) ;
4

m +2

10

г) 2 3 x − 6 x − 1;

)(

10

1 ± 1 − 4 ⋅ 2(−1) 1 ± 3
=
;
4
4

6

x = 1;

6

x =−

1
2

( 23 x + 1)(33 x − 1) = 3 − 1 ;
3
3
3
x
x ( 2 3 x + 1)
2 x2 + 3 x
4
4
x − 5 4 x − 2 ( x − 2 )( 3 x + 1) 4 x − 2
.
=
=
9 x −1
(34 x − 1)(34 x + 1) 34 x − 1
3

1200. а)

б)

3

6 x2 + 3 x −1

ab 4 a

1201. а)

(a + b) 4
=−

(
б)

( a 2 − b2 )

) (
2

m +4 n + 4 m −4 n
2(m − n )
2

2

a 2 + b2

=

ab ⋅ 4 a ⋅ 4 a
a 2 + b2
−
=
(a + b)(a − b)
(a + b) b

b(a + b )
b
;
=−
(a + b )(a − b ) a − b

4

=

b2
a

−

=

(

(

m+ n

m− n

)(

m+ n

= m + n − 2 mn =

1202. а)

x3 x − 1
3

)

x2 −1

(
−

)

⋅

(

m− n
3
3

3

2

:

1

− 3 mn =

3

m − n3

)(

) (

)

m − n m + n + mn − 3 mn =

)

x2 −1
x +1

)

2

;

= 4;
3

3

x 4 − 1 ( 3 x − 1)( 3 x + 1) ( x 2 − 1)( x 2 + 1) 3
3
−
=
− ( x − 1) = x 2 + 1 − 3 x + 1;
3
3 2
3 2
x
1
+
x −1
x +1
3

x2 +1− 3 x +1 = 4 ;
Ответ: х = 8; х = –1.

3

x2 − 3 x − 2 = 0 ;

3

x = 2, x = 8;

3

x = −1, x = -1.

53

б)
3
3

x +8

3

+

3

x 2 − 25
3

3

( 3 x + 2)( x 2 − 2 3 x + 4

=5;

3

x +2
x +5
2
3
x − 2 x + 4+ 3 x −5 = 5;

3

x +2

x2 − 3 x − 6 = 0 ;

+

3

( 3 x − 5)( 3 x + 5)
3

x +5

;

x = 3, x = 27;

x = −2, x = -8 − не входит в 0D3.

Ответ: х = 27.

§ 43. Обобщение понятия о показателе степени
2

3

1
2

5

1
2

1203. а) 5 3 = 3 25 ; б) 3
3
4

1204. а) с 4 =

с 3 ; б) p

3

= 37 ; в) 6 8 = 8 63 ; г) 4

3

3

= p11 ; в) x 4 = 4 x 3 ; г) y

1
4
2

= 4 413 .
2
3

= 3 y8 .

1
5
; б) t 0,8 = t 4 ; в) b1,5 = b 3 ; г) 8,50,6 = 5 8,53 .
5

1205. а) 0,2 0,5 =

3

1

1

1

1206. а) (2a )3 = 3 2a ; б) ax 5 = a x 3 ; в) 2a 3 = 23 a ; г) (2b ) 4 = 4 2b .
5

2
3

1207. а) 3(x − y ) = 3

(x − y )

2

3

;

б)

1,3

1208. а)

7

5

1210. а)

1
49 2

1211. а)

1
2
9 2

= 7 ; б)

3

1
1000 3

= 10 ; в)

в)
54

p

a 5 a −8

−9

−2 −5

p p

a

−2

1
= a −1; a = 6, a −1 = ;
6

1
= p −2 ; p = , p −2 = 4;
2

1
3

c = c 11 ; г)

1
27 3

б)

= 3 ; г)

1
1
0,16 2

4,3 = 4,3 3 .
1

11 2

5

1
25 2

a = a5 .
=5.

= 0,064 ;

2

4

81
⎛
⎛3⎞
в) ⎜ 3 ⎟ = ⎜ ⎟ =
;
16
⎝ 8⎠
⎝2⎠
1212. а)

4

2 ⎛ 2 ⎞4
= ⎜ ⎟ ; г)
3 ⎝3⎠
2

a 2 = a 3 ; в)

= 35 = 243 ;

4
3⎞3

1

2

b 4 = b 5 ; б)

= 3 x 2 − 3 y2 ;

1

3
= 0,6 7 ; в)
5

4

1209. а)

2
y3

г) x 2 + y 2 = x + y .
1

; б)

−

1

3

в) 3(a + b ) 4 = 34 (a + b )3 ;
1
= 1,3 2

2
x3

г) 0,001 3 = 0,01 .
б)

b −9

1
= b −3 ; b = , b-3 = 8;
2

(b )
2 1
г) ( t −3 ) −5 = t −1; t = 0,1, t -1 = 10;
t
2 −3

(

1213. а) 27 ⋅ 3− 4

)

2

=

( )

1
;
9

б) 16 ⋅ 2−3

6 −4 ⋅ 6 −9
1
= 6 −1 = ;
−12
6
6

1214. а)

б)

2

1
.
4

=

7 −7 ⋅ 7 −8
1
= 7−2 =
.
−13
49
7

54 ⋅ 49 −3
1
= 5− 2 ⋅ 7 −1 =
;
−7
3
175
7 ⋅ 25
1
8112 ⋅ 10 −7
б) − 5
= 3− 3 ⋅ 10 − 2 =
.
2700
10 ⋅ 2717
1215. а)

b −1 = b

1216. а)

в)

−

1
2

−

4
3

1217. а) 4
1218. а) 5
−

;

б)

= x4 ;

x −3

в) 32

1
2

12

3

1
4

−

г)

1

1

2

б) (− 16) 3

Нет .
1

г) (− 25)− 2

Да .
1

;

−
−
−
1
1
1
1
; б) 8 3 = ; в) 32 5 = ; г) 16 4 = .
2
2
2
2

Да .

1
5

5
12

= a3 .

a −2

3

−

2

1

1

=

b −5 = b

1

1

1

1

1

Нет .
1

2

1219. а) 2 2 < 3 2 ; б) 0,3 2 > 0,5 2 ; в) 5 2 > 5 3 ; г) 7 3 = 7 6 .
1220. а)

1 1
c2c3

1221. а)

1
x2

1

в) z 5 : z
1222. а)

−

1
2

:

5
c6

=

3
x2

=

; б) b

−

1 1
3b2

=

1
;
x

1
b6

; в)

б)

5
−
y 6

7

( )

=

1
: y3

1
b6

;

б)

(

1
c−1/ 2 2

)

4

1223. а)

=

х = х ; б)

⎛ −3 ⎞
г) ⎜ p 4 ⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
7
у3 3

2

3

у = у ; в)

−

2
9

3 1
z4z4

=

; г)

7
−
y 6

1

⎛ 3 ⎞3
в) ⎜ a 2 ⎟ = a 2 ;
⎜ ⎟
⎝ ⎠
1
х2

=

1
a2

г) m 3 : m 2 = m

= z 10 ;

1
b1/ 2 3

2
1
−
3
a a 6

−

1
−
c 4

1
5 2
d d

11
d2

=

1
3 4
c c

=c.

.

;

5
3

.

;

1

= p6 .

= z ; г)

4

55

1 4

1

( ) 2 a 0,8 = a 5 a 5 = a ;

1224. а) a 0,4

б)

10

(

c c−1,2

5

⎛ 3 ⎞4
в) ⎜ x 4 ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠

( x)
4

17
4

2

1

15

17

( )

= x 16 x 16 = x 2 ; г) b0,8

−

2
3

1

⋅ 7 12 ⋅ 7

−

3
4

=7

−

16 1 9
+ −
12 12 12

−

9

2 −1,5
3⎛
− ⎞
4 ⎜b 5 ⎟

⎜
⎝

⎟
⎠

−

4

=b

−

3 3
5b5

= b0 = 1 .

б) 21,3 ⋅ 2 −0,7 ⋅ 40,7 = 4 ;

1225. а) 10 5 ⋅ 10 2 ⋅ 100,1 = 10 ;

в) 49

−

1

3

) 4 = c10 c 10 = c 5 ;

=

1
;
49

г) 250,3 ⋅ 51, 4 ⋅ 6250, 25 = 25 ⋅ 5 = 125 .
1226. а) 4 0,7 : 2 −0, 4 = 21, 4 + 0, 4 = 21,8 ;
1+ 0 ,8 +

б) 3 ⋅ 90,4 : 5 3−1 = 3
1

1

2

в) 4 3 ⋅ 2 3 : 4
г) 8

−

1
3

−

1
3

1 5 1
+ +
6 3

= 43

1

⋅ 16 3 : 3 2 = 2
1/ 3

1227. а) ( 27 ⋅ 64 )

⎛ 1

⎞

( )

⎛ −3 ⎞
в) ⎜ x 4 ⎟
⎜
⎟
⎝
⎠

1229. а)

56

=9;
3

= 42 = 8 ;

4 1
−1+ −
3 3

=1.

= 3 ⋅ 4 = 12 ;

−1/ 2

в) ⎜ ⋅ 0,04 ⎟
⎝ 36
⎠
1228. а) m

1
5

−3 1/ 3

⎛1
⎞
б) ⎜ ⋅ 81−1 ⎟
16
⎝
⎠
⎛
⎝

г) ⎜ 5−3 ⋅

1
= ;
m

⎛ −11 ⎞
б) ⎜ 8x 2 ⎟
⎜
⎟
⎝
⎠

− (2 / 3)

(

г) 81x − 4

= x;

2
−
x 3

5
⋅x3

3
x5

1 ⎞
⎟
64 ⎠

= 6 ⋅ 5 = 30 ;

б)

= 2⋅3 = 6 ;

−1/ 3

= 5 ⋅ 4 = 20 ;

2/3

−

= 4x −1 =
3
4

=
2

4
;
x

x3
.
27

⎛ −1 ⎞
⋅⎜ y 2 ⎟
6
8
⎜
⎟
⎝
⎠ = y 7 y −1y 7 = y ;
−2
⎛ 4⎞
7
⎜y ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠

6
y7

2

= x5 ;

)

−1/ 4

−4

⎛ −2 ⎞
⎜с 3 ⎟
8 1 1
⎜
⎟
− −
в) ⎝ 1 ⎠1 = с 3 6 2 = с2 ;

⎛ 1 3
⎜ а 2 ⋅ b5
г) ⎜ 1 2
⎜⎜ 4 5
⎝ a b

с6 ⋅ с2

⎛

1

⎞

1

1

1

1

⎞
⎟
⎟
⎟⎟
⎠

20

= a 5b 4 .

1

1230. а) ⎜ x 2 − y 2 ⎟ x 2 y 2 = xy 2 − yx 2 ;

⎜
⎝

2

⎟
⎠

2⎛ 1

1

⎞

2

2

б) a 3 b 3 ⎜ a 3 + b 3 ⎟ = ab 3 + ba 3 ;
⎜
⎟
⎝
⎠
1 1⎛ 2
1
3⎞
1
в) b 3 c 4 ⎜ b 3 + c 4 ⎟ = bc 4 + cb 3 ;
⎜
⎟
⎝
⎠
1

1⎛

1

3

⎞

1

1

г) x 2 y 2 ⎜ x 2 − y 2 ⎟ = xy 2 − y 2 x 2 .
⎟
⎠

⎜
⎝

2

1⎞
⎛ 1
1231. а) ⎜ m 2 + n 2 ⎟ = m + n + 2 mn ;
⎜
⎟
⎝
⎠

2

2

1⎞
⎛ 1
г) ⎜ a 2 + 2b 2 ⎟ = a + 4b + 4 ab .
⎜
⎟
⎝
⎠

1⎞
1
⎛
в) ⎜1 − b 2 ⎟ = 1 + b − 2b 2 ;
⎜
⎟
⎝
⎠

⎛

⎞⎛

1

1

⎞

2

1⎞
2
1
⎛
б) ⎜1 + c 3 ⎟ = 1 + c 3 + 2c 3 ;
⎜
⎟
⎝
⎠

2

1232. а) ⎜ x 3 + 3 ⎟⎜ x 3 − 3 ⎟ = x 3 − 9 ;

⎜
⎝

⎟⎜
⎠⎝

⎟
⎠

1 ⎞⎛
1 1
⎞
⎛ 1
⎜
⎟
⎜
2
2
б) a + b
a − a 2 b 2 + b ⎟ = a1,5 + b1,5 ;
⎜
⎟⎜
⎟
⎝
⎠⎝
⎠
⎞⎛ 1
⎞
⎛ 1
в) ⎜ d 2 − 1⎟⎜ d 2 + 1⎟ = d − 1 ;
⎜
⎟⎜
⎟
⎝
⎠⎝
⎠
1
1
2
2⎞
⎛
⎞⎛
1
г) ⎜ p 3 − q 3 ⎟⎜ p 3 + (qp )3 + q 3 ⎟ = p − q .
⎜
⎟⎜
⎟
⎝
⎠⎝
⎠
1

1233. а)

4 ⋅ 32
1
32

−3

1

=

4
1
1− 32

;

1

a 2 − b2
=
б)
a−b

1
1
a2

+

1
b2

;
57

1

1

1

p2 − 5
=
г)
p − 25

x + x 2 x 2 +1
в)
;
=
1
2x
2
2x
1

1234. а)

1
1
p2

.

+5

1

c + c2d 2 + d
3

3

1

=

c2 − d2

1

; б)

1

1

m+n
2

2

1

1

= m3 + n 3 .

m 3 − ( mn ) 3 + n 3

c2 − d2

2

1
1
1
1⎞
⎛
1235. а) ⎜1 + c 2 ⎟ − 2c 2 = 1 + c + 2c 2 − 2c 2 = 1 + c ;
⎜
⎟
⎝
⎠

⎛

1 ⎞2

1

7

2

1

7

7

2

1

б) ⎜ m 4 − m 3 ⎟ + 2m12 = m 2 + m 3 − 2m12 − 2m12 = m 2 = m 3 ;
⎜
⎝

⎟
⎠

2

1⎞
1 1
⎛ 1
в) ⎜ x 2 − y 2 ⎟ + 2 x 2 y 2 = x + y ;
⎜
⎟
⎝
⎠
2

1⎞
⎛ 1
b + c − ⎜ b 4 + c 4 ⎟ = b + c − b − c − 2 4 bc = −2 4 bc .
⎜
⎟
⎝
⎠

г)

2

2

1⎞
2
2
2
2
⎛ 1 1⎞ ⎛ 1
1236. а) ⎜ a 3 +b 3 ⎟ − ⎜ a 3 − b 3 ⎟ =a 3 +b 3 +2 3 ab − a 3 − b 3 +2 2 ab =4 3 ab ;
⎜
⎟ ⎜
⎟
⎝
⎠ ⎝
⎠
2

1 ⎞
⎛ 3
б) ⎜ a 2 + 5a 2 ⎟ − 10a 2 = a 3 + 25a .
⎜
⎟
⎝
⎠
1
1
⎛ 1
⎞⎛ 1
⎞⎛ 1
⎞
1237. а) ⎜ x 4 + 1⎟⎜ x 4 − 1⎟⎜ x 2 + 1⎟ = (x 2 − 1)(x 2 + 1) = x − 1 ;
⎜
⎟⎜
⎟⎜
⎟
⎝
⎠⎝
⎠⎝
⎠

⎛

1

1

⎞⎛

1

1

⎞⎛

1

1⎞

⎛

⎟
⎠

⎜
⎝

1

1

⎞⎛

1

1

⎞

1

1

б) ⎜ k 4 + l 4 ⎟ ⎜ k 8 + l 8 ⎟⎜ k 8 − l 8 ⎟ = ⎜ k 4 + l 4 ⎟⎜ k 4 − l 4 ⎟ = k 2 − l 2 .
⎟⎜
⎠⎝

⎜
⎝

⎟⎜
⎠⎝

3

1238. а)

58

a−b
1
a2

1
− b2

3

(
(

⎟⎜
⎠⎝

)(
)(

⎟
⎠

)
)

a1/ 2 − b1/ 2 a1/ 2 + b1/ 2
a 2 − b2
−
=
=
a−b
a1/ 2 − b1/ 2 a1/ 2 + b1/ 2

1
= a2

1
+ b2

1 1

1

−

a + b + ( ab ) 2
1
a2

=

1
+ b2

1
a2
1

б)

x
1
x2

+

1
y2

y

+

1
x2

1
− y2

=

⎛1⎞
1240. а) ⎜ ⎟
⎝4⎠

б) 49

1
2

−

в) 216

−

⎛1⎞
г) ⎜ ⎟
⎝4⎠

−

⎛1⎞
⋅⎜ ⎟
⎝7⎠
1
3

−

1
2

1
⋅ 16 2

−1

−2

⎛ 1 ⎞
− 5−1 ⎜ ⎟
⎝ 25 ⎠
−1 ⎛

1 ⎞
−2 ⎜ ⎟
⎝ 25 ⎠

−1

⎛ −6
⎞
= ⎜ c 7 y −1 ⎟
⎜
⎟
⎝
⎠

=

−

−

−

1
3

= 2⋅5 − 9⋅

6

= c7 y ;
−1

= p 2q

−

3
2

.

1 41
=
;
5 5

= 7 −1+ 2 + 2−1− 2 = 7 +
1
2

ab
;
a+ b

=

x+y
.
x−y

−1

⎛ −1− 2 ⋅ 7 5 + 1 ⋅ 7 ⎞
= ⎜ p 7 2 ⋅ q 4 14 2 ⎟
⎜
⎟
⎝
⎠

1

+ 2−1 ( −2 )

−2

1

x−y

⋅ 25 2 − 812 ⋅ 125

−2

⎛1⎞
⋅⎜ ⎟
⎝6⎠

1
2

1

1
+ b2

x − ( xy ) 2 + ( xy ) 2 + y

3
⎛⎛ 3
⎞
⎞ 3
⎜ ⎜ − 7 −0,4 ⎟ 7 0,2 ⎟
1239. а) ⎜ c y
c ⋅y ⎟
⎟
⎜ ⎜⎝
⎟
⎠
⎝
⎠

⎛
2 1 ⎞3,5 ⎞
5⎛
⎜ −1 4 ⎜ − 7 14 ⎟ ⎟
б) ⎜ p q p q
⎜
⎟ ⎟⎟
⎜
⎝
⎠ ⎠
⎝

1 1

a + b + 2a 2 b 2 − a − b − a 2 b 2

1
1
=7 ;
8
8

= 6−1+ 2 − 5−1+1 = 6 − 1 = 5 ;

1
1
2 −3
8

= 2 ⋅ 4 + 2 −2 ⋅ 5 = 8 −

5
3
=6 .
4
4

1
1
⎛
⎞
1
−
−
−
14 26 13
⎛1⎞ 3
⎛5 2⎞
⎜⎛ 1 ⎞ 2
⎟
1241. а) ⎜ ⎜ ⎟ 7 −1 − ⎜ ⎟ ⋅ 2−3 ⎟ : 49 2 = ⎜ − ⎟ ⋅ 7 = 5 − =
= ;
25
8
7
8
8
8
4
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
⎜
⎟
⎝
⎠
1
1
⎛1 ⎞
−
−
2 −1 ⎜ − 1 ⎟
8 3 25 2 − 2−1
⎝ 5 ⎠ = 1 ⎛ 1 − 1⎞ = − 4 = −0,1 .
б)
=
⎜
⎟
1 1
8⎝ 5 ⎠
40
22
64 4 2 2
1⎛ 1
⎞
1
x 3 ⎜ x 2 + 1⎟
2 +1
⎜
⎟
x
2,2
⎝
⎠ , x = 1,44;
1242. а)
=
= 11 .
=
1
5
1
1⎛ 1
0,2
⎞
x 2 −1
x 6 − x 3 x 3 ⎜ x 2 − 1⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
5
x6

1
+ x3

59

2

1

1

3
б) m − 2, 25 = m 3 − 1,5, m = 8; m 3 − 1,5 = 0,5 .
1

m 3 + 1,5
1

1

2t 2
1243. а)
−
t−4

1
1

t2 − 2

1

1

2

б)

1
y4

2

−

1
y4

+3

=

1

1

t2 −2 1
2t 2 − t 2 − 2 t 2 − 2
= .
, t = 9;
=
=
t−4
t−4
t−4
5
1

2y 4 − 6 − 2y 4 − 6
1
y2

−3

−9

=−

12
1
y2

, y=100; −

−9

12
1
y2

=−

−9

12
= − 12 .
10 − 9

1244.

а)

3
a2

3
− b2

1

1

1 ⎞⎛
1 1
1 ⎞⎛ 1
1⎞
⎛ 1
⎞⎛ 1
⎜ a 2 − b 2 ⎟⎜ a+a 2 b 2 +b ⎟⎜ a 2 − b 2 ⎟⎜ a 2 +b 2 ⎟
1 1 ⎜
⎟⎜
⎟⎜
⎟⎜
⎟
a−b
⎠⎝
⎠⎝
⎠⎝
⎠=
+2a 2 b 2 = ⎝
1 1
1 ⎞⎛
1 1
⎛ 1
⎞
⎜ a 2 + b 2 ⎟⎜ a + a 2 b 2 + b ⎟
a+a 2 b 2 +b
⎜
⎟⎜
⎟
⎝
⎠⎝
⎠

a 2 +b 2

2

1⎞
1 1
⎛ 1
= ⎜ a 2 − b 2 ⎟ + 2a 2 b 2 = a + b ;
⎜
⎟
⎝
⎠

1
1
⎛
2
⎜ q2
p
б) ⎜
+
1 1
1 1
⎜⎜
2 2 q − p 2q 2
⎝p−p q
1

=

1

q2 + p2
1
q2

1⎞
1⎛ 1
( pq ) 2 ⎜ q 2 +p 2 ⎟
⎞ 1 1
⎜
⎟
⎟ pq 2 +p 2 q
q−p
⎝
⎠=
=
⎟
1 1⎛ 1
1⎞
p−q
⎟⎟ p − q
p2q 2 ⎜ p2 − q 2 ⎟
⎠
⎜
⎟
⎝
⎠

1
− p2

.
⎛

1245. а)

=

60

1
1
a 2 +b 2
1
a2

-

a −b−a+b
1/ 2

a

1
a2
1 1
a 2 -b 2

( a1/ 2 − b1/ 2 )

=0

+

b
1 1
a-a 2 b 2

1 1

⎞ ⎛

1 1

⎞

⎛

1 1

⎞

( a-b ) ⎜ a-a 2 b 2 ⎟ -a ⎜ a-a 2 b 2 ⎟ +b ⎜ a-a 2 b 2 ⎟
=

⎜
⎝

⎟ ⎜
⎠ ⎝

⎟
⎠

⎜
⎝
1 ⎛ 1 1 ⎞⎛
1 1⎞
a 2 ⎜ a 2 -b 2 ⎟⎜ a-a 2 b 2 ⎟
⎜
⎟⎜
⎟
⎝
⎠⎝
⎠

⎟
⎠=

б)

2a
2
a3

−

1
3

1
−
− 3a 3

2

−

a3
5
a3

2
−a3

−

a +1
=
a − 4a + 3
2

2
1
a +1
2a − 2 − a + 3 − a − 1
−
−
=
=0.
a − 3 a − 1 (a − 1)(a − 3)
(a − 1)(a − 3)

§ 44. Степенные фнукции, их свойства и графики
1246.

а)

в) y = x5

1247.

б)

г) y = x–4

а) y = x3/2

б) y = x1/4

в) y = x–(1/2)

г) y = x5/4
61

1248.

y = x1/3

а) y = 3 x

y = x1/4

б) y = 4 x

5

1249. f ( x ) = x 2 ;

1
⎛1⎞
а) f (4) = 32 ; б) f ⎜ ⎟ =
; в) f (0) = 0 ; г) f (0,01) = 0,00001 .
⎝ 9 ⎠ 243
1250. f ( x ) = x

−

2
3

а) f (1) = 1 ; б) f (8) =

1
⎛1⎞
; в) f ⎜ ⎟ = 4 ; г) f (0) − не имеет смысла. .
4
⎝8⎠

1251. а) y = x10 ; y(− x) = (− x)10 = x10 = y(x) ⇒ четная ;

б) y = x −(1/ 3)
в) y = x −15 ; y(− x) = (− x)−15 = − x −15 = − y(x) ⇒ не четная
62

4

г) y = x 3 — функция определена только для положительных чисел,
поэтому не является ни четной, ни нечетной.
1252. а) y = x 8 ; y ∈ [0;+∞ ) .

б) y = x
в) y = x
г) y =

−

3
4

−5

2
x5

; y ∈ (0;+∞ ) .
; у∈R

y≠0.

; y ∈ [0;+∞ ) .

12
1253. а) y = x ; убывает : ( −∞;0] ; возрастает : [ 0;+∞ ) .

б) y = x
в) y = x
г) y =

−

1
6

−11

1
x7

; убывает : (0;+∞ ) .
; убывает на R но x ≠ 0 .

; возрастает на R .
1

1254. y = x 4
⎧x = 1
⎧x = 0
; min y: ⎨
.
⎩y = 1
⎩y = 0

а) х ∈ [0;1]; max y: ⎨

⎧x = 0
; max y не существует .
⎩y = 0

б) х ∈ [1; +∞ ) , min y: ⎨

в) х ∈ ( 2;3) ; min y и max y не существуют .

⎧ x = 16
; min y не существует .
⎩y = 2

г) х ∈ ( 5;16]; max y: ⎨
5

1255. y = x 2
⎧x = 0
; max y не существует ;
⎩y = 0

а) х ∈ [0; +∞ ) ; min y: ⎨

⎧x = 1
; max y не существует ;
⎩y = 1

б) х ∈ [1;3) ; min y: ⎨

⎧⎪ x = 2
⎧x = 1
; max y: ⎨
не существует ;
4
⎪⎩ y = 2
⎩y = 1

в) х ∈ (1;2 ) ; min y: ⎨

63

⎧⎪ x = 8
; min y не существует .
⎪⎩ y = 128 2

г) х ∈ ( 6;8]; max y: ⎨
1256. y = x

−

2
3

1
4
б) х ∈ ( 3;5) , min y и max y не существуют ;

а) х ∈ [1;8] , min y = , max y = 1 ;

в) х ∈ [1; +∞ ) , max y = 1, min y не существует ;
г) х ∈ ( 0;1] , max y не существует, min y = 1 .
1257.

а) y = (x + 2)

в) y = (x – 1)–2/3

1258.

а) y = (x + 3)1/6 – 1

64

б) y = x7/2 – 3

г) y = x–1/3 + 4

б) y = (x – 2)–(1/9) + 5

в) y = (x + 6)7/4 + 2

1259.

г) y = (x – 3)1/2 – 1

а) y = 2x1/3

б) y = –x–(3/5)

в) y = ½x3/2

г) y = –2x1/4

1

1260. а) х 2 = 6 − х, х = 4;

3

б) х 2 =

1
х2

, х = 1;

65

2

1

в) х 4 = х 3 , х = 0, х = 1;

5
⎧
⎪у = х 2 ⎧у = 1
;⎨
;
1261. а) ⎨
⎪⎩ у = 1 ⎩ х = 1

1
⎧
⎪у = х 6
в) ⎨
,
⎪⎩ у =| х |

66

⎧ х = 0;1
, (0;0), (1;1);
⎨
⎩ у = 0;1

г) х 3 = x − 4, х = 8;

1
⎧
−
⎪у = х 3 ⎧х = 1
б) ⎨
,⎨
;
⎪у = х ⎩у = 1
⎩

2
⎧
⎪у = х− 3
,
г) ⎨
⎪⎩ у = 2x − 1

⎧х = 1
;
⎨
⎩у = 1

1262.

1263.

1264.

1

1265. f ( x ) = x 4 ;
1

1

а) f (16x ) = (16 x ) 4 = 2 x 4 ;
1

б) f (81x 4 ) = 3 | x | ;

1

⎛ 1 ⎞ ⎛ x ⎞4 x 4
;
в) f ⎜ x ⎟ = ⎜ ⎟ =
3
⎝ 81 ⎠ ⎝ 81 ⎠

1

г) f (x −8 ) = (x −8 ) 4 = x −2 .

1266. f (x) = x − (2 / 3) ;

а) f (8x 3 ) = (8x 3 )

−

9
⎛ x ⎞
⎟ = 2/3 ;
27
⎝ ⎠ x

в) f ⎜

2
3

=

1 −2
x ;
4

б) f ( x −6 ) = x 4 ;
г) f ( x12 ) = x −8 .
67

1267. а) у = х8 , у' = 8x 7 ;

б) у = х −4 , у' = −4x −5 ;

в) у = х 40 , у' = 40x 39 ;

г) у =

1268. а) у =

3
5
х ,

7

7
2

2

3 −
у' = x 5 ;
5

1

в) у =

3

х

1
х

, у' =

1

5
4

5

1
5

−

1
2 х3

б) у =

;

8

3 −
, у' = − x 5 ;
3
5

1

х5

4
1 −
− х 3;

г) у =

3

8

5 −
, у' = − x 3 ;
5
3

1

х3
3
х;
2

х2

б) у =

х

, у' =

3
х;
2

5

3

4

г) у = 5 х , у' = x 5 .

, у' = −

1270. а) у = х х , у' =

х
2 −
, у' = − х 3 ;
х
3

в) у =

, у' = −6x −7 .

б) у = 4 х 5 , у' = x 4 ;

в) у = х 2 , у' = x 2 ;
1269. а) у =

1
х6

7
3

4

г) у = х 2 ⋅ 3 х , у' = х 3 ;
3
х;
2

1271. а) у = 2х 4 + х х; у' = 8х 3 +
4

2 −
+ 3х 6 − 1; у' = − х 3 + 18х 5 ;
3
3
х
1
1
5
в) у = х −
; у' = 5х 4 +
;
х
2 х3

б) у =

2

1

г) у = х 3 − 7х 5 х; у' = 3х 2 −

42 5
х ;
5

1⎞
⎛ 2 ⎞⎛
− 1⎟⎜ х − ⎟ ;
х⎠
⎝ х ⎠⎝

1272. а) у = ⎜

у '= −

2 ⎛
1 ⎞ ⎛ 2 ⎞⎛ 1 ⎞
2 2 2 2
1
4
1
x − ⎟ + ⎜ − 1⎟⎜1+ 2 ⎟ = − + 3 + + 3 − 1 − 2 = 3 − 1 − 2 .
2⎜
x
x
x
x
⎠ ⎝
⎠⎝ x ⎠
x ⎝
x
x
x
x
x

)( x + 3);
1
(3x
y' = (9x − 7 )( x − 3) +
2 x
(

б) у = 3x 3 − 7 x + 5
2

= 9x 2 x + 27 x 2 − 7 x − 21 +
68

3

)

− 7x + 5 =

3x 3
2 x

−

7x
x

+

5
2 x

.

(

)(

)

в) y = 73 x + 5 x 5 − 7 x 3 + 1 ;
y' =

7
3

2
−
x 3

(x

)(

) (

5

)

− 7 x 3 + 1 + 5x 4 − 21x 2 73 x + 5 .

1
⎛
− ⎞
9
⎜
г) y = 2x + x 3 ⎟(5 − 2 x ) ;
⎜
⎟
⎝
⎠
1
4
⎛
− ⎞ ⎛
1 − ⎞
y' = −2⎜ 2x 9 + x 3 ⎟ + ⎜18x 8 − x 3 ⎟(5 − 2x ) .
⎜
⎟ ⎜
⎟
3
⎝
⎠ ⎝
⎠

1273. а) у =

y' =

3x

б) y =

(

2 3

x3 − 5
3

x +1

;
2

)

7

(

)

2

1 −
x3 5 −3
x +1 − x 3 x 3 − 5
3x 2 3 x +3x 2 −
+ x
3
3 3
=
.
2
2
3
3
x +1
x +1

(

)

3 x −7
x4 + 1

(

)

;

2

2

1 −3 4 1 −3
x x + x − 4 x 3 3 x + 28x 3
3
3
y' =
.
2
x4 +1

(

)

3
3 3
; g'(1) = 3 − = ;
2 2
2 x
⎛2⎞
; g' ⎜ ⎟ = 1;
⎝3⎠

1274. а) g(x) = x 3 − 3 x; x 0 = 1; g '(x) = 3x 2 −
2
3

б) g(x) = 3 3x − 1; x 0 = ; g '(x) =

1
3

( 3x − 1)2

в) g(x) = x −1 + x −2 ; x 0 = 1; g '(x) = − x −2 − 2x −3 ; g'(1) = −3;
1
3

г) g(x) = (5 − 2x) −3 ; x 0 = 2;
g '(x) = 2(5 − 2x)−4 ; g'(2) = 2.
1275. а) f (x) = 4 − x

б) f (x) = 12x

−

1
2

−

3
4;

7

x 0 = 1; f '(x) =

3 −4
3
x ; f'(1) = ;
4
4

− x; x 0 = 9; f '(x) = −6x

−

3
2

− 1; f'(9) = −

6
2
− 1 = −1 ;
27
9
69

4
3

2
3

в) f (x) = 2x 2 / 3 − 1; x 0 = 8; f '(x) = x −(1/ 3) ; f'(8) = ;
3
; f'(1) = −3 + 3 = 0.
x

г) f (x) = x −3 + 6 x ; x 0 = 1; f '(x) = −3x −4 +
3

1
⎛1⎞
1276. а) h(x) = ⎜ ⎟ ; x 0 = −1; h '(x) = −3 ⋅ 4 ; h'(x 0 ) = h '(−1) = −3;
x
⎝ ⎠
x
7

4

7
3

б) h(x) = x 3 − (1 − 3x)−1; x 0 = 0; h '(x) = x 3 −
в) h(x) =

1
x5

⎛
⎝

+ x 5 ; x 0 = 1; h '(x) = −5 ⋅

1⎞

2

1
x6

1277. а) g(x) =

⎛
⎝

1⎞ 1
⎠ x2

; h'( − 1) = 2(3 + 1) = 8.

5π
1
1
2
1
⎛1⎞
.
; g' ⎜ ⎟ = −
; α=
4 − 3x; x 0 = ; g '(x) = −
3
3
3
4 − 3x
3
6
⎝ ⎠
1

б) g(x) = −3 ( 2 + x ) 3 ; x 0 = 1 − 2; g '(x) = ( 2 + x )
-

α=

; h'(0) = −3;

+ 5x 4 ; h '(1) = −5 + 5 = 0;

г) h(x) = ⎜ 3 − ⎟ ; x 0 = −1; h '(x) = 2 ⎜ 3 − ⎟
x
х
⎠

3
(1 − 3x) 2

π
.
4

−

4
3;

(

(

)

g' 1 − 2 = 1;

)

1278. а) у = х 4 − 3х 3 , а = 2; у = 16 − 24 + 4 ⋅ 23 − 9 ⋅ 2 2 (х − 2 ) = −4 х .

б) у = 3 3х − 1; а = 3; у' = (3x

2
−
− 1) 3

; y = 2+

1
1
5
( x − 3) = x + .
4
4
4

в) у = 3х 3 − 5х 2 − 4; а = 2; у' = 9 x 2 − 10 x ;
y = 24 − 20 − 4 + 16( x − 2) = 16 x − 32 .
−

1

г) у = (2x + 5) 2 ; а = 2; у' = −(2 x + 5)
y=

−

3
2

;

1 1
1
11
.
−
( x − 2) = −
x+
3 27
27
27

1279. а) у =

2
х х − 2 ; у ' = x ; возрастает на [0; + ∞ ) ;
3

х = 0; у = −2 − min.
3
2

б) у = х 2 / 3 − x ; у ' = x

−

1
3 −1;

возрастает на x ∈ [ 0;1] ;

3
х ≥ 1 − убывает; х = 1 − max; y max = .
2

70

2
3
х х − 2; [1;9]; у ' = x ; max y = 16; min y = − .
3
2
3
1
б) у = х 2 / 3 − x; ( 0;8) ; у ' = x −(1/ 3) − 1; ymax = ; min y не существует.
2
2
2
16
8
в) у = х х − 2х; (1;9 ) ; у ' = x − 2; х = 4; y(4) = − 8 = −
− min;
3
3
3
y max не существует .

1280. а) у =

2

3
2
1
= ; y min = −2.
2

г) у = х 3 − x; [0;8]; у' = x
у max

∫(
1

1281. а)

0

∫(
4

б)

0

3

1

)

4

)

−1

5

1

4

( х − 3)

3

dx = −

11

в) ∫ 55 3х − 1dx =
2/3

г) ∫ (5х − 7)
2

1
2

− 1; у(0) = 0; у(8) = −2; у(1) = ;

⎛2 5 2 3⎞
64 16 272
+
=
.
х ( х + 1) dx = ⎜ х 2 + х 2 ⎟ =
⎜5
⎟
3
5
3
15
⎝
⎠0
0

3

1
3

⎛ x8 x 4 ⎞
⎟ =1+1 =3;
х + х dx = ⎜⎜
+
4 ⎟⎠
8 4 8
⎝ 8
0
7

1282. а) ∫ 3 1 − 2хdx = −

б) ∫

−

−

2
3 dx

0

4
3
(1 − 2х ) 3
8

1
( х − 3)−2
2

5
4

−1

4

3 3
3 3
= − + ⋅ 33 = − + 3 3 ;
8 8
8 8

1
1
1 1 3
= − 2−2 + = − + = ;
2
2
8 2 8
11

25
25
25 175
( 3х − 1)6 / 5 = 64 − = ;
18
18
2
2 / 3 18

1
3
= ( 5х − 7 ) 3
5

3

=
2

6 33 3
.
−
5
5
4

1283. а) у = 0, х = 4, у = х; S = ∫ xdx =
0

б) у = 0, х = 1, x = 3, у =

1
x

; S=
2
1

4

2 3/ 2
16
x
= .
3
3
0
3

2

1
1
1
2
∫ x 2 dx = − x = − 3 + 1 = 3 .
1
1
3
4

1

3
4

1
4

в) у = 1, х = 0, у = 3 x; S = 1 ⋅ 1 − ∫ 3 xdx = 1 − x 4 / 3 = 1 − = .
0

0

71

4

2
3

4

г) у = 2, х = 0, у = х; S = − ∫ xdx + 2 ⋅ 4 = 8 − x 3/ 2 = 8 −
0

0

8
⎧⎪ у = х −(8 / 5)
−
; x 5 = x 2 − 4 x + 1 ; одно решение.
1284. а) ⎨
2
⎪⎩ у = х − 4х + 1

1

⎪⎧ у = х1/ 9
; x 9 = 2 x + 3 ; нет решений.
⎪⎩ у = 2х + 3

б) ⎨

⎧⎪ у = х −(5 / 3)

в) ⎨

2
⎪⎩ у = 2х

⎪⎩ у = (х + 2)

72

−

5
3

= 2x 2 ; одно решение.

2

⎧⎪ у = х 2 / 7

г) ⎨

; x

3

; x 7 = ( x + 2) 3 ; нет решений

16 8
= .
3 3

1285.

а)

б)

в)

г)

1286.

1287.

1288.
1

а) х 2 < 6 − x; x ∈ [0;4 ) .

3

б) х 2 ≥ −2; x ≥ 1.

73

в) х

−

1
4

2

г) х 3 > x − 4; x ∈ [ 0;8 ) .

≤ х 3 ; x ≥ 1.

1

(

1289. а) f (x) = x 4 ; g(x) = x -2 ; f (16x8 ) = 16x 8

( )

2g( x ) −1 = 2 x − 2

−1

= 2x 2 .

(

2

б) f (x) = x 3 ; g(x) = x -3 ; f (27 x 3 ) = 27 x 3

(

) ( )

9 g( x ) − 2 = 9 x − 3
1290. а) f ( x ) =

−2

5x 3 − 3x 2 + 15x − 7
x x

=

5

3

7

15x 2 − 6x 2 + 15x 2 −
7

5

2
3

= 9x 2 ;

;

1

(15x 2 − 6x + 15) x 2 −

7

)

= 9x 6 ; предположение неверно.

3

f ' (x) =

1

) 4 = 2x 2 ;

3 2
x (5x 3 − 3x 2 + 15x − 7)
2
=
x3
5

3

1

15 2 9 2 45 2 21 2
x + x − x + x
2
2
2
2
=
x3

3

1

15 2 3 2 30 2 21 2
x − x − x + x
3 5x 7 − x 5 − 10x 3 + 7
2
2
2
.
= 2
=
3
5
2
x
x2

б) f ( x ) = ⎛⎜ 3 x −1 − 2x ⎞⎟(2 sin 2 x + cos x ) ;
⎝
⎠
⎛ 1 −4
⎞
f '(x) = ⎜ − x 3 − 2 ⎟ ( 2sin 2x + cos x ) + ( 4cos 2x − sin x )
⎜ 3
⎟
⎝
⎠

в) f ( x ) =
74

7 x 8 − 5x 4 + 12x − x − 2
3

x

;

(

3

)

x −1 − 2x .

2

1 ⎞3
⎛
7
3
1 −3
х
7x8 − 5x 4 +12x − x − 2
⎜ 56x − 20x +12 −
⎟ x
2 x⎠
⎝
3
.
−
f '(x) =
2
2

(

)

x3

х3

⎛
1
г) f ( x ) = ⎜⎜ x −
x
⎝

⎞
⎟⎟ tg (3x − 5) ;
⎠

⎛ 2
1
f '(x) = ⎜
+
⎜2 x
2 x3
⎝

⎞
3
1 ⎞
⎛
⎟ tg(3x − 5) +
⎜ x−
⎟.
2
⎟
x⎠
cos (3x − 5) ⎝
⎠

1291. а) f ( x ) =

2

x −1
x +1

(

)

2x x + 1 −
; f ' (x) =

(

1

(x − 1)
2

2 x

.

)

x +1

2

2

x +1

б) f ( x ) =

3

x +1

x3 − 1

в) f ( x ) =

x −1

3

; f ' (x) =

3x 2

; f '(x) =

2

(

3

(

)

x +1

(

)

(

)

= 3 x − 1 ; f ' (x) =

1

1292. а) g ( x ) = 2 x − x ; g ' ( x ) =
3

4

x = 2;

4

)

1
x3 − 1
2 x
.
2
x −1

x −1 −

x 3 − x3 +1

б) g ( x ) =

2

2

x +1

г) f ( x ) =

1 −
x + 1 − x 3 ( x + 1)
3
.

1
x

1 −3
x .
3

−1 = 0

x =1.

5

2 2 12 4
x − x + 2x ; g ' ( x ) = x − 34 x + 2 = 0 ;
3
5
x = 1; x = 16; x = 1.

3
4

4

в) g(x) = x 3 − 2x; g '(x) = 3 x − 2 = 0 ; x = 8 .
4

г) g ( x ) =

7

1

1

1

1

3 3 6 6
x − x − 2x ; g ' ( x ) = х 3 − x 6 − 2 ; x 6 = 2, x 6 = −1;
4
7

x = 64, решений нет.
3

1293. а) f ( x ) = x 2 −

2 2
x ; f ' ( x ) = 2x − x > 0 ;
3

⎧⎪4 x 2 > x
;
⎨
⎪⎩x > 0
75

⎧x (4x − 1) > 0
1
; x> .
⎨
x
0
>
4
⎩

–

+

б) f ( x ) = −
x < 2, x ≠ 0.

+
X

1
4

0

8
8 − x3
8 x2
; f ' (x) = 2 − x > 0 ;
>0;
−
x 2
x
x2
+

+
0

–
X

2

5
4
1⎛ 1
2
1
⎞
3 3 3 3
3
3
в) f ( x ) = x + x ; f ' ( x ) = x + 2x > 0 ; x 3 ⎜ x 3 + 2 ⎟ > 0 ; x > 0 .
⎜
⎟
5
2
⎝
⎠
1⎛ 1
5
3
1
1
⎞
−
8
1
1 −
г) f ( x ) = 0,4x 4 − x 4 ; f ' ( x ) = x 4 − 2x 4 > 0 ; x 4 ⎜ x 2 − 4 ⎟ > 0 ;
⎜
⎟
2
3
2
⎝
⎠
x > 16 .

1294.
а)

y = x − x ; y' =

1

− 1 = 0 ; 2 x = 1, x =

1
;
4

2 x
1
1
⎡ 1⎤
возрастает x ∈ ⎢0; ⎥ ; убывает x ≥ ; x = − max .
4
4
4
⎣
⎦
б)

76

x

y = x x + 2 ; y' = x + 2 +

=

3x + 4

> 0;
2 x+2 2 x+2
4
4⎤
4
⎡
x ≥ − − возрастает ; x ∈ ⎢− 2;− ⎥ − убывает ; х = − − min .
3
3
3
⎣
⎦
1295.
5
а) 21x4
+4
x 32+4
5x4−4
80 = 314
142
−4
33
x
4
3
y1

y2

y1 ' = 10x 4 + 3x 2 + 5 − возрастает, при всех х;

у2 ' = −

1
3

(14 − 3x) 2

− убывает, при всех х ⇒ однорешение : х = 2.

б) 4 10 + 3x = 74 − x 5 − 3x 3 − 8x ; y1 = 4 10 + 3x ;
y 2 = 74 − x 5 − 3x 3 − 8x ; y1 ' =

3
− возрастает,при всех х;
4 10 + 3x

y 2 ' = −5x 4 − 9x 2 − 8 − убывает, при всех х ⇒ одно решение: х = 2.

1296. а) у = х , у = −2 х, х = 4;
4

4

4

0

0

0

S = ∫ xdx + ∫ 2 xdx = ∫ 3 xdx =

3 4
2x 2

= 16 .

0

б) у = 2 х , у = − х , х = 9;
9

9

9

0

0

0

S = ∫ 2 xdx + ∫ xdx = 2 x 3

1297. а) у = 2 − х ; у =

х=

= 54.

х ; 3х + 5у = 22 ; 2 − х = х ; х = 1;

22 3
22
− х ; х ≤ ; 25х = 484 + 9х2 – 132х;
3
5 5

9х2 - 157х + 484 = 0; D = 24649 – 17424 = 852; х =
х=

157 − 85
= 4;
18

22 3
157 + 85 121
— отпадает; 2 − х =
− х;
=
5 5
18
9

3
12
2
2
х = х − , х ≥ 4; 25х = 9 х + 144 − 72 х ; 9 х − 97 х + 144 = 0 ;
5
5

D = 9409 – 5184 = 652; х =

97 − 65
− не подходит; х = 9.
18

77

4

(
1

S= ∫

22 / 3 ⎛ 22 3x ⎞
9
⎛ 9 ⎛ 22 3x ⎞
⎞
x − 2+ x dx+ ∫ ⎜ − ⎟ dx+ ⎜ ∫ ⎜ − ⎟ dx − ∫ 2 − x dx ⎟ =
5 ⎠
5 ⎠
4 ⎝ 5
4
⎝ 22 / 3 ⎝ 5
⎠

)

(

4

)

9

22

3
9
⎛4 3
⎞
⎛
3
3
2 ⎞
⎛ 22
⎞ 3 ⎛ 22
⎞
= ⎜ x 2 − 2x ⎟ + ⎜ x − x 2 ⎟ + ⎜ x − x 2 ⎟ − ⎜ 2x − x 2 ⎟ =
⎜3
⎟
10 ⎠ 4
10 ⎠ 22 ⎜
3 ⎟
⎝ 5
⎝ 5
⎝
⎠1
⎝
⎠4
3

10 484 484 88 24 198 243 484 484
16
+
−
− +
+
−
−
+
− 18 + 18 + 8 − =
3
15
30
5
5
5
10
15
30
3
6 134 243
−60 + 804 − 729 + 240 255
=− +
−
+8=
=
= 8,5.
3
5
10
30
30

=

б) у = х , у = 3 − 2 х , 4х − 5у − 21 = 0;
4
21
х = 3 − 2 х ; х = 1; х = х −
;
5
5
4
21
Легко увидеть, что х = 9; 3 − 2 х = х −
;
5
5
Легко увидеть, что х = 4;
9

4

(

)

9⎛ 4

S= ∫ xdx- ∫ 3-2 x dx- ∫ ⎜
1
1
4⎝ 5

3 9
3
21 ⎞
2 2 ⎛⎜
4
xdx= x - 3x- x 2

⎟
5⎠

3

1

⎜
⎝

3

4

⎞ ⎛ 2x 2 21 ⎞ 9
⎟ -⎜
- x⎟ =
⎟ ⎜⎝ 5 5 ⎟⎠
⎠
4
1

2
32
4 72 189 32 84
26
26 38
= 18 − − 12 + + 3 − − +
+
−
=9+
−5= 4+
=
3
3
3 5
5
5
5
3
3
3
(в ответе задачника опечатка).

1298. а) f (x) = 4 x ; у = х – 2 ; f ' ( x ) = x
4

−

3
4

; у=

44

−

х0 + х0

3
4

(х − х 0 ) ;

3
−
х0 4

= 1 ; х 0 = 1 ; у = 4 + х – 1 = х + 3.
1
1
1
3
б) f ( x ) = 3 ; у = 5 – 3х; f ' ( x ) = −3 4 ; y = 3 − 4 (x − x 0 ) ;
x
x
x0 x0
−

3
= −3 ; x 0 = ±1 ; y = 1 − 3( x − 1) = −3x + 4 ;
x 04

y = −1 − 3( x + 1) = −3x − 4 .
1299. а) y =

1 = x0 +
78

x М(0;1); y' =
1

2 x0

(− x 0 ) ; 1 =

1
2 x

; y=

x0 −

x0 +

1
2 x0

(x − x 0 ) ;

1
1
x0 ;
x0 = 1 ; x0 = 4 ;
2
2

y = 2+

1
1
( x − 4) ; y = x + 1 .
4
4
3

3

б) у = х 2 + 4 ; М(0;0); y' =

3
3
х ; y = х 02 + 4 +
х 0 (x − x 0 ) ;
2
2

3
х 02

3

3
3
0=
+4+
х 0 (− x 0 ) ; х 02 = 8 ; х 0 = 4 ; у = 8 + 4 + ⋅ 2( х − 4) ;
2
2
у = 3х − 12 + 12 ; у = 3х .

Глава 7. Показательная
и логарифмическая функции
§ 45. Показательная функция, ее свойства и график
1300. а) 23 = 8 ; б) 2 − 2 =
3

1301. а) 2 2 = 2 2 ; б) 2
1

2

−

1
1
; в) 25 = 32 ; г) 2 − 4 =
.
4
16
1
2

1

1302. а) 3 3 < 3 3 ; б) 3 2 > 3
2

−

1
2

−

7
3

в)

3
55

г)

3
−
8
5

∨5

4
∨ 57

−
1
2
; в) 2 3 = 3 16 = 2 2; г) 2 3 =
.
3
2
4
4

−

6
5

;

11
−
∨5 9

10

;

1304. а) 23 ⋅ 2 2 = 8 ⋅ 4 = 32 ;

в) 32 ⋅ 33 = 243 ;
1305. а) 25,3 ⋅ 2 −0,3 = 25 = 32 ;

−

3
2

.

12

515 < 515 ;
5

−

35
15

21
5 35

;

3

; в) 3 5 > 3 5 ; г) 31 > 3

4

1303. а) 5 3 ∨ 5 5 ;

б) 5

2

4

=

3
−
8
5



20
5 35

>

11
−
5 9

−3

;

;
.
2

⎛1⎞
⋅⎜ ⎟ = 3;
⎝3⎠
1
г) 5− 4 ⋅ 52 =
.
25
⎛1⎞
⎝3⎠

б) ⎜ ⎟

б) 7

−

1
2

⋅ 7 3,5 = 7 3 = 343 ;
79

⎛3⎞
г) ⎜ ⎟
⎝4⎠

в) 36,8 ⋅ 3−5,8 = 31 = 3 ;
1

1306. а) 4

в) 8

2

1
3

3,5

⎛1⎞
⎝2⎠

: 43 = 4 2 = 2 ;
1

⎛2⎞
г) ⎜ ⎟
⎝3⎠

⎛2⎞
:⎜ ⎟
⎝3⎠

1⎞
⎛
⎜⎛ 3 ⎞3 ⎟
г) ⎜ ⎜ ⎟ ⎟
⎜⎝ 4 ⎠ ⎟
⎠
⎝

2

5

2, 4

⎛1⎞
:⎜ ⎟
⎝2⎠

−2,3

−0, 6

3

27
⎛3⎞
.
=⎜ ⎟ =
64
⎝4⎠
⎛1⎞
=⎜ ⎟
⎝2⎠

3

= 2 −1 =

−1

1

⎛ 4 ⎞3
=⎜ ⎟ =
⎝3⎠

1
;
2

5

( ) :3

в) 3

1309. а)

4

5,1

8 ⋅2

2

⎛ ⎛ 2 ⎞ − 3 ⎞ ⎛ 2 ⎞5 3
г) ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ =
⎜⎝ 3 ⎠ ⎟ ⎝ 3 ⎠
2
⎝
⎠

3

= 3 = 27 ;

0 ,5

1, 25

:2

=

3 1 5
+ −
24 2 4

= 20 = 1 ;

б) 4 10000 ⋅ 100 : 103 = 10 −1 = 0,1 ;
4

в)

3

81 ⋅ 32,6 : 31,6 = 3 3

г)

4

16 ⋅ 3 128 : 23 = 2

+ 2,3 −1,6

7
1+ − 3
3

80

=3 2 ;
б) 3х =

в) 3х = 27 , х = 3;
5, х=

= 93 3 ;

1
, х = –1;
3
1
г) 3х =
, х = –4.
81

1310. а) 3х = 9 , х = 2;

1311. а) 5 х =

= 16 ;

8
⎛2⎞
.
=⎜ ⎟ =
27
⎝3⎠

⎛ ⎛ 2 ⎞ 4,1 ⎞ ⎛ 2 ⎞ 20,6 ⎛ 2 ⎞ 20,5 − 20,6
3
б) ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ : ⎜ ⎟
=⎜ ⎟
= 10 ;
⎜⎝ 3 ⎠ ⎟ ⎝ 3 ⎠
2
⎝3⎠
⎝
⎠
2, 7 3

−4

⎛ ⎛ 1 ⎞ 2 ⎞ 2 ⎛ 1 ⎞1 1
б) ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ = ⎜ ⎟ = ;
⎜⎝ 7 ⎠ ⎟
7
⎝7⎠
⎝
⎠

⎛ 3⎞
в) ⎜ 3 2 ⎟ = 33 = 27 ;
⎜ ⎟
⎝ ⎠
2

−6,3

−0, 7

1

6

⎛ 1⎞
1307. а) ⎜ 2 3 ⎟ = 2 2 = 4 ;
⎜ ⎟
⎝ ⎠

( ) ⋅2

⎛3⎞
⋅⎜ ⎟
⎝4⎠

б) ⎜ ⎟

: 82 = 8 3 = 2 ;

1308. а) 2 − 3

3, 7

1
;
2

⎛1⎞
⎝3⎠

х

б) ⎜ ⎟ = 81 , х = –4;

3

4

3

3

.

в) 8 х = 5 8 , х =

1312. а) 23х = 128 , х =

в) 32 х =

х

16
⎛4⎞
г) ⎜ ⎟ =
, х = 2.
25
⎝5⎠

1
;
5
7
;
3

1
3
, х=− ;
27
2

б) 63х = 216 , х = 1;

⎛1⎞
г) ⎜ ⎟
⎝7⎠

5х

=

х
1313. а) у = 3 — показательная; г) у =

1314. а) у = 7 х , у(3) = 343; у(−1) =

1
3
, х= .
343
5

( 3)

х

— показательная.

1 ⎛1⎞
; у⎜ ⎟ = 7 ;
7 ⎝2⎠

х

1
1
⎛ 1⎞
⎛1⎞
⎛3⎞
б) у = ⎜ ⎟ , у⎜ ⎟ =
; у(1) = ; у⎜ − ⎟ = 2 ;
2
⎝ 2⎠
⎝2⎠
⎝2⎠ 2 2

в) у =

( 3 ) , у(0) = 1; у(4) = 9; у(5) = 3
х

5
2

.

х

9
32
⎛4⎞
⎛ 3 ⎞ 27
г) у = ⎜ ⎟ , у⎜ − ⎟ =
; у(−1) = ; у(2,5) =
.
4
243
⎝9⎠
⎝ 2⎠ 8
1315. а) 2 х = 16 , х = 4;

в) 2 х =

1
2
⎛1⎞
⎝5⎠

, х=−
х

1316. а) ⎜ ⎟ =

⎛1⎞
⎝5⎠

1
;
2

б) 2 х = 8 2 , х =

г) 2 х =

1
32 2

7
;
2

, х=−

11
.
2

1
, х = 2;
25

х

б) ⎜ ⎟ = 25 , х = –2; (опечатка в ответе задачника).
х

5
1
⎛1⎞
в) ⎜ ⎟ =
, х= ;
2
25 5
⎝5⎠

х

1
⎛1⎞
г) ⎜ ⎟ = 625 5 , х = −4 − = −4,5 .
2
⎝5⎠

1317. б) у = 18 х − ограничена снизу ;
х

⎛4⎞
⎟ − ограничена снизу. .
⎝ 11 ⎠

г) у = ⎜

1318. б) у = (0,6) х − не ограничена сверху;

в) у = (7, 2) х − не ограничена сверху.
81

1319.

а)

б)
Y

Y
y=

4-

( 2)

1–

X

|

|

-4 0

x

X

|

1

0

|

4

⎛1⎞
y=⎜ ⎟
⎝n⎠

x

8

в)

г)
Y

Y
y=

2|

|

-2

( 7)

x

1–

X
|

0

⎛ 1 ⎞
⎟
y = ⎜⎜
⎟
⎝ 6⎠

x

X

|

1

0

|

2

1320.

а)

б)
Y

Y

x

⎛1⎞
y=⎜ ⎟
⎝ 2⎠

y=3x

1–
X

y=8x

|

-1

|

|

в) ( y = ( 7) x ; y = 5x ; y = ( 8) x .
Y

y=

( 8)

8–

x

x

⎛1⎞
y =⎜ ⎟
⎝2⎠

4–
1
|

-2 0

⎛ 1 ⎞
⎟⎟
y = ⎜⎜
⎝ 2⎠

X
-2

16, 2

⎛7⎞
б) ⎜ ⎟
⎝9⎠

1322. а) 17

< (12,1)
−

3
4

;

г) (0,65)

< 1 ; б) (9,1)

7

⎛5⎞
> 1 ; в) ⎜ ⎟
⎝3⎠

Y

2–
|

5

x

⎛1⎞
⎜ ⎟ ; y=
⎝2⎠

x

x

2

3

( 8)

x

x

1321. а) (1,3) 34 < (1,3) 40 ;

в) (12,1)

x

⎛ 1 ⎞
⎟ ; y=
⎝ 2⎠

⎛1⎞
y =⎜ ⎟
⎝2⎠

X

|

2

г) y = ⎜

y=

y = ( 7)

|

0

2

−3

⎛7⎞


1
0,65 2

.
8

⎛1⎞
< 1 ; г) ⎜ ⎟ < 1 .
⎝2⎠

х
х

1323. а) у = ( 3 ) = 3 2 — возрастает на R, т.к.

82

x

X

|

-2 0

1

0

⎛3⎞
y=⎜ ⎟
⎝4⎠

2–

3 >1.

x

⎛1⎞
⎜ ⎟ .
⎝8⎠

б) y = (0,3) x — убывает на R, т.к. 0,3 < 1.
в) у = 21х — возрастает на R, т.к. 21 > 1.
х

⎛ 4 ⎞
⎟⎟ — убывает на R, т.к.
г) у = ⎜⎜
⎝ 19 ⎠
⎛1⎞
⎝2⎠

4
19

х

1 .
2
⎝2⎠
x

1
⎛ 1⎞
в) y = 17 − x = ⎜ ⎟ — убывает на R, т.к.
< 1.
17
⎝ 17 ⎠
⎛1⎞
г) y = ⎜ ⎟
⎝ 13 ⎠

−x

= 13x — возрастает на R, т.к. 13 > 1.
х

х

x

1 1
1
⎛1⎞
б) ⎜ ⎟ > , x > 3 , х < 3;
2
8
2
2
⎝ ⎠

3

1325. а) 4 ≤ 64 , 4 ≤ 4 , х ≤ 3 ;
х

8 ⎛ 2 ⎞ x ⎛ 2 ⎞3
⎛2⎞
г) ⎜ ⎟ <
, ⎜ ⎟ < ⎜ ⎟ , х > 3.
27 ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠
⎝3⎠

х

в) 5 ≥ 25 , х ≥ 2 ;
x

⎛1⎞
⎝3⎠
1
б) 15 x <
; 15x < 15−2 ; x < −2 .
225

1326. а) ⎜ ⎟ ≥ 81 ; 3− x ≥ 34 ; x ≤ −4 .

x

243
⎛2⎞
;
в) ⎜ ⎟ ≤
8
⎝7⎠
1
; 2x
г) 2 x >
256

x

−3

⎛2⎞
⎛2⎞
⎜ ⎟ ≤ ⎜ ⎟ ; x ≥ −3 .
⎝7⎠
⎝7⎠
> 2−3 ; x > −8 .

1327. а) y = 2 x ; [1;4]; у max = 2 4 = 16 ; у min = 21 = 2 .

⎛1⎞
б) y = ⎜ ⎟
⎝3⎠

x

x

⎛1⎞
[-4;-2]; у max = ⎜ ⎟
⎝3⎠
0

−4

⎛1⎞
= 81 ; у min = ⎜ ⎟
⎝3⎠

−2

=9.

4

1
⎛1⎞
⎛1⎞
⎛1⎞
в) y = ⎜ ⎟
[0;4]; у max = ⎜ ⎟ = 1 ; у min = ⎜ ⎟ = .
81
⎝3⎠
⎝ 3⎠
⎝ 3⎠
г) y = 2 x ; [-4;2]; у max = 2 2 = 4 ; у min = 2−4 = 1/16 .
83

1328. а) y =

( 2 ) ; (−∞;4] ; у
x

max

=

( 2)

4

= 4 ; у min

не существует .

б) y = (1/ 3 ) ; (−∞;2] ; у max не существует ; у min = 1/ 3 .
x

в) y =

( 5 ) ; [0;+∞) ; у
3

x

max

не существует ; у min =

г) y = (1/ 7 ) ; [−2;+∞) ; у max = (1/ 7 )
x

−2

( 5)
3

= 7 ; у min

0

=1.

не существует .

х
1329. у = 2 ; 2 х = 32; х = 5; 2 х = 1/ 2; х = −1; x ∈[-1;5].

х

х

х

1330. у = (1/ 3) ; (1/ 3) = 81; х = −4; (1/ 3) = 1/ 27; х = 3; x ∈[-4;3].
1331. а) у = 4х

в) у = ( 3/ 8)− х

2

2

−1

, х ∈ R;

б) у = 71/ х , х ≠ 0;

+2

, х ∈ R;

г) у = (9,1) х −1 ; х ≠ 1.

1

х

х
1332. а) у = 2 + 1 ;

б) у = (1/ 3) − 2 ;

в) у = 4 х − 1

г) у = (0,1) + 2

84

х

1333.

а) у = 5 х +1

⎛3⎞
⎝4⎠

х −2

б) у = ⎜ ⎟

в) у = 3х − 2

г) у = ( 2 / 3)

х + 0,5

1334.

а) 3х = 4 − х, x = 1;

х

б) (1/ 2 ) = х + 3, х = −1;

85

в) 5х = 6 − х, х = 1;

х

г) (1/ 7 ) = х + 8, х = −1;

1335.

а) 2 х = −2х + 8, х = 2;

86

б) (1/ 3) = х + 11, х = −2;
х

в) 3х = − х + 1, х = 0;

г) 0, 2х = х + 6, х = −1;

1336. а) у = 3х , у = − х + 1; 3х > − х + 1 ; х > 0.

y=-x+1

б) у = ( 0,5 ) , у = 2х + 1;
х

y=3x

(0,5)х > 2х + 1 ; х < 0.
y=0,5x

y=2x+1

в) у = 5х , у = −2х + 1; 5 х > −2 х + 1 ; х > 0.

y=-2x+1

х

y=5x

х

г) у = (1/ 3) , у = х + 1; (1/ 3) > х + 1 ; х < 0.

87

⎛1⎞
y=⎜ ⎟
⎝3⎠

x

y=x+1

1337. а) у = 2 х ; у = х − 2 ; х ∈ R .

б) у = ( 2 / 5 ) ; у = − х − 3 ; ( 2 / 5 ) > − х − 3 ; х ∈ R .
х

х

⎛2⎞
y=⎜ ⎟
⎝5⎠

y=-x-3

в) у =

( 2) ; у = х − 4 ; ( 2)
х

х

x

> ( x − 4) ; х ∈ R .
y=

( 2)

x

y=x-4
х

х

г) у = ( 3/ 7 ) ; у = − х − 2 ; ( 3/ 7 ) > − х − 2 ; х ∈ R .

⎛3⎞
y=⎜ ⎟
⎝7⎠

y=-x-2

x

1338. а) у = 2 х ; у = −(3/ 2)х − 1 ; 2 х < −(3/ 2)х − 1 ; х < −1 .
х

х

б) у = (1/ 2 ) ; у = − х − 2 ; (1/ 2 ) < − х − 2 ; нет решений.
х

х

в) у = (1/ 5 ) ; у = 3х + 1 ; (1/ 5 ) < 3x + 1 ; х > 0 .
г) у = 3х ; у = −2 х − 5 ; 3х < −2 х + 5 ; х < 1 .
⎪⎧2 x , x ≥ 0
1339. f (x) = ⎨
⎪⎩3x + 1, x < 0

88

а) f (−3) = −3 ⋅ 3 + 1 = −8 ; f (−2,5) = −

13
; f (0) = 1 ; f (2) = 4 ;
2

f (3,5) = 8 2

⎧⎪4 x
, x –1;

95

1354. а) 2 х ≥ 2 / х , х ∈ (−∞;0) ∪ [1;+∞) ;

в) 5х ≤ 5 / х , х ∈ (0;1] ;

96

б) (1/ 4 ) < −4 / х , х ∈ (−1;0) ;
х

г) (1/ 8 ) > −(8/ х) ; х ∈ (−∞;−1) ∪ (0;+∞) ;
х

б) y = (1/ 3)

|x|

1355. а) y = 2| x |

в) y = 4| x |

г) y = 0,2| x |

x
1356. f ( x ) = 2 ;

а) f ( x1 )f ( x 2 ) = 2

x1

⋅ 2 x 2 = 2 x 1 + x 2 = f ( x1 + x 2 ) ;

б) f ( x + 1)f (2 x ) = 2 x +12 2 x = 2 ⋅ 23x = 2f 3 ( x ) ;
97

в) f (−2 x ) = 2 − 2 x =
г) f (cos 2 x) = 2cos

2

1
1
;
= 2
2x
2
f (x)
1

x

= 22

(1+ cos 2x)

⎛ 1 cos 2x ⎞
⎟ = 2f (cos 2x) ;
= 2 ⎜ 22
⎜
⎟
⎝
⎠

§ 46. Показательные уравнения
1357. а) 3х = 9 ; х = 2.

⎛1⎞
⎝9⎠

б) 2 х = 16 ; х = 4.

х

г) 0,5 х = 0,125 ; х = 3.

в) ⎜ ⎟ = 1 ; х = 0;
1358. а) 4 х =

⎛1⎞
⎝6⎠

1
; х = –2.
16

б) 7 х =

х

г) 0,2 х = 0,00032 ; х = 5.

в) ⎜ ⎟ = 36 ; х = –2.
1359. а) 10 х = 4 1000 ; х =

1
; х = –3.
343

3
2
1
. б) 5 х =
;х= − .
3
4
3
25
⎛1⎞
⎝5⎠

х

в) 0,3х = 4 0,0081 = 0,3 ; х = 1. г) ⎜ ⎟ = 25 5 ; х = –2,5.
1360. а) 0,3х =

в) 0,7 х =

1000
; х = –3.
27

1000
; х = –3.
343

⎛4⎞
⎝5⎠

х

б) ⎜ ⎟ =

⎛3⎞
⎝2⎠

х

г) ⎜ ⎟ =

25
; х = –2.
16
16
; х = –4.
81

1361. а) 2 х +1 = 4 ; х + 1 = 2; х = 1.

б) 53х −1 = 0,2 ; 3х – 1 = –1; х = 0.

в) 0,4 4 − 5 х = 0,16 0,4 ; 4 – 5х = 2 +

1
; х = 0,3.
2

⎛1⎞
⎝2⎠

2− х

=8 2 ; 2 – х = −3−

г) ⎜ ⎟

⎛1⎞
=⎜ ⎟
; х + 1 = 2х + 3; х = –2.
⎝3⎠
= 216 х ; 2х – 8 = 3х; х = –8.

1362. а) 3

б) 6 2 х − 8

98

2х + 3

1
; х = 5,5.
2

−1− х

⎛1⎞
⎝6⎠

4х −7

= 6 х − 3 ; 7 – 4х = х – 3; х = 2.

в) ⎜ ⎟

⎛2⎞
⎝3⎠

8 х +1

= (1,5) 2 х − 3 ; 8х + 1 = 3 – 2х; х =

г) ⎜ ⎟
1363. а) 3х

− 4,5

⋅ 3=

2
1
; 3х − 4 = 3−3 ; х 2 = 1 ; х = ±1 .
27

2

⋅ 0,5 = 32 ; 0,5 х − 5 = 0,5−5 ; х 2 − 5 = −5 ; х = 0.
2
2
1
; 2 х − 8 = 2 −7 ; х 2 = 1 ; х = ±1 .
2 −1 ⋅ 2 х − 7,5 =
128

б) 0,5 х
в)

2

2

1
.
5

г) 0,1х

2

− 5, 5

− 0 ,5

2

⋅ 0,1 = 0,001 ; (0,1) х = (0,1)3 ; х = ± 3 .

х⎛

3⎞
⎝2⎠

х

1364. а) 2 ⎜ ⎟ =

1 х 1
; 3 = ; х = –2.
9
9
3

х

х

27 ⎛ 3 ⎞
3
⎛1⎞
⎛ 3⎞2
б) ⎜ ⎟ 3 х =
; ⎜ ⎟ =⎜ ⎟ ;х= .
125 ⎝ 5 ⎠
2
⎝5⎠
⎝5⎠
х
х
−3
х
3
в) 5 ⋅ 2 = 0,1 ; 10 = 10 ; х = 3.
2

г) 0,3х ⋅ 3х = 3 0,81 ; 0,9 х = 0,9 3 ; х =

2
3.

1365. а) 3х − 3х + 3 = −78 ; 3х (1 − 27) = −78 ; 3х = 3, x = 1 .
2х −3 2
(5 − 1) = 4,8 ; 2х − 3 = −1, х = 1 .
б) 5 2 х −1 − 5 2 х − 3 = 4,8 ; 5

⎛1⎞
⎝7⎠

3х + 7

в) 2 ⋅ ⎜ ⎟

⎛1⎞
⎝3⎠

г) ⎜ ⎟

5 х −1

⎛1⎞
− 7⋅⎜ ⎟
⎝7⎠

⎛1⎞
+⎜ ⎟
⎝3⎠

5х

=

3х + 8

⎛1⎞
= 49; ⎜ ⎟
⎝7⎠

4 ⎛1⎞
; ⎜ ⎟
9 ⎝3⎠

5 х −1

3х + 7

(2 − 1) = 49; 3х + 7 = −2, х = −3

⎛ 1⎞ 4
⎜1 + ⎟ = ; 5х − 1 = 1, х = 0, 4 .
⎝ 3⎠ 9

99

⎡ 2x = 4 ⎡ x = 2
1366. а) 2 2 х − 6 ⋅ 2 х + 8 = 0 ; ⎢
;⎢
.
⎢⎣ 2 x = 2 ⎣ x = 1
⎡3x = 9 ⎡ x = 2
; ⎢
.
б) 32 х − 6 ⋅ 3х − 27 = 0 ; ⎢
⎢⎣3x = −3 ⎣не подходит
⎛1⎞
в) ⎜ ⎟
⎝6⎠

2x

⎛1⎞
⎛1⎞
⎛1⎞
− 5 ⋅ ⎜ ⎟ − 6 = 0; ⎜ ⎟ = 6, ⎜ ⎟ = −1; х = −1, не подходит.
⎝6⎠
⎝6⎠
⎝6⎠

2х

⎛1⎞
+ 5⋅⎜ ⎟ − 6 = 0 ;
⎝6⎠

⎛1⎞
⎝6⎠

г) ⎜ ⎟

x

х

х

х

х

х

⎛1⎞
⎛1⎞
⎜ ⎟ = −6, ⎜ ⎟ = 1; не подходит х = 0
6
⎝ ⎠
⎝6⎠

1367. а) 2 ⋅ 4 х − 5 ⋅ 2 х + 2 = 0 ; 2 ⋅ 22х − 5 ⋅ 2 х + 2 = 0 ; 2 х =

х = −1, х = 1.

5−3 1 х
= , 2 = 2;
4
2

б) 3 ⋅ 9 х − 10 ⋅ 3х + 3 = 0 ; 3 ⋅ 32 х − 10 ⋅ 3х + 3 = 0 ;
10 − 8 1 х
= ; 3 = 3; х = −1, х = 1.
3х =
6
3
х

х

⎛1⎞
⎛1⎞
⎛1⎞
⎟ + 15 ⋅ ⎜ ⎟ − 4 = 0 ; 4 ⋅ ⎜ ⎟
⎝4⎠
⎝ 16 ⎠
⎝4⎠

2х

х

⎛1⎞
+ 15 ⋅ ⎜ ⎟ − 4 = 0 ;
⎝4⎠

в) 4 ⋅ ⎜
х

−15 − 17
⎛1⎞
;
⎜ ⎟ =
4
8
⎝ ⎠

х

1
⎛1⎞
⎜ ⎟ = ; не подходит, x = 1.
4
4
⎝ ⎠

г) (0,25) + 1,5 ⋅ (0,5) − 1 = 0 ; (0,5)
х

( 0,5 )х =

х

2х

−1,5 − 2,5
; не подходит;
2
х

+ 1,5 ⋅ (0,5)х − 1 = 0 ;

( 0,5)х =

1
, х = 1.
2

х

⎛ 1⎞
⎛1⎞
⎛1⎞
⎟ − 17 ⋅ ⎜ ⎟ + 4 = 0 ; 4 ⋅ ⎜ ⎟
16
4
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎝4⎠

1368. а) 4 ⋅ ⎜
х

2х

х

⎛1⎞
− 17 ⋅ ⎜ ⎟ + 4 = 0 ;
⎝4⎠

х

17 − 15 1
⎛1⎞
⎛1⎞
= ; х = 1; ⎜ ⎟ = 4 ; х = –1.
⎜ ⎟ =
8
4
⎝4⎠
⎝4⎠

б) (0,01) + 9,9 ⋅ (0,1) − 1 = 0 ; (0,1)
х

( 0,1)х =

х

2х

+ 9,9 ⋅ (0,1)х − 1 = 0

−9,9 − 10,1
−9,9 + 10,1 1
х
; не подходит; ( 0,1) =
= ; х = 1.
2
2
10

⎛4⎞
⎝9⎠

х

⎛2⎞
⎝3⎠

х

⎛2⎞
⎝3⎠

в) 3 ⋅ ⎜ ⎟ + 7 ⋅ ⎜ ⎟ − 6 = 0 ; 3 ⋅ ⎜ ⎟
х

2х

х

⎛2⎞
+ 7⋅⎜ ⎟ − 6 = 0 ;
⎝3⎠

х
− 7 + 11 2
−7 − 11
⎛2⎞
⎛2⎞
= ; х = 1.
; не подходит; ⎜ ⎟ =
⎜ ⎟ =
6
6
3
⎝3⎠
⎝3⎠

100

х

х

⎛ 4 ⎞
⎛2⎞
⎟ + 23 ⋅ ⎜ ⎟ − 10 = 0 ;
⎝ 25 ⎠
⎝5⎠

г) 5 ⋅ ⎜

х

−23 − 27
⎛2⎞
; не подходит;
⎜ ⎟ =
10
⎝5⎠

х

2
⎛2⎞
⎜ ⎟ = ; х = 1.
5
⎝5⎠
1369. а) 2 2 х +1 − 5 ⋅ 2 х − 88 = 0 ; 2 ⋅ 2 2 х − 5 ⋅ 2 х − 88 = 0 ;
5 − 27
5 + 27
2х =
; не подходит; 2 х =
= 8; х = 3.
4
4

⎛1⎞
⎝2⎠

2х

б) ⎜ ⎟

⎛1⎞
−⎜ ⎟
⎝2⎠

х −2

⎛1⎞
− 32 = 0 ; ⎜ ⎟
⎝2⎠

2х

х

⎛1⎞
− 4 ⋅ ⎜ ⎟ − 32 = 0 ;
⎝2⎠

х

х

⎛1⎞
⎛1⎞
⎜ ⎟ = −4; не подходит; ⎜ ⎟ = 8 ; х = –3.
2
⎝ ⎠
⎝2⎠
в) 5 2 х +1 − 26 ⋅ 5 х + 5 = 0 ; 5 ⋅ 5 2 х − 26 ⋅ 5 х + 5 = 0 ;
13 − 12 1
= ; х = −1; 5х = 5; х = 1.
5х =
5
5

⎛1⎞
г) ⎜ ⎟
⎝3⎠

2х

⎛1⎞
+⎜ ⎟
⎝3⎠

х −2

⎛1⎞
− 162 = 0 ; ⎜ ⎟
⎝3⎠

2х

х

⎛1⎞
+ 9 ⋅ ⎜ ⎟ − 162 = 0 ;
⎝3⎠

х

х
− 9 + 27
−9 − 27
⎛1⎞
⎛1⎞
= 9 ; х = –2.
; не подходит; ⎜ ⎟ =
⎜ ⎟ =
3
2
3
2
⎝ ⎠
⎝ ⎠
х

⎛2⎞
1370. а) 2 х = 3х ; ⎜ ⎟ = 1; х = 0 .
⎝3⎠
⎛5⎞
б) 25 х = 7 2 х ; ⎜ ⎟
⎝7⎠
в) (1/ 3)

2х

2х

= 1; х = 0.

= 8х ; 72х = 1; х = 0.

х

х

х

⎛1⎞ ⎛5⎞
⎛1⎞
г) ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ; ⎜ ⎟ = 1; х = 0 .
⎝4⎠
⎝5⎠ ⎝4⎠
1371. а) 3х = − х − (2 / 3) ; х = −1 ;

х

б) (1/ 2 ) = 4х + 6 ; х = −1 ;

Y

Y
y=3x

2–
|

-2

|

0

|

2

y = −x −

X
2
3

6– y=4x+6
x
–
⎛1⎞
– y = ⎜⎝ 2 ⎟⎠ X
-2 0
2
|

|

|

101

х

г) (1/ 4 ) = 3х + 1 ; х = 0 ;

в) 5 х = − х + 6 ; х = 1 ;
Y

Y

y=5x

6–

X
6

|

|

|

-2 0

⎛1⎞
⎝2⎠

y=3x+1

6–
–
–

y=-x+6

⎛1⎞
y=⎜ ⎟
⎝4⎠

|

x

X

|

-2 0

2

х

1372. а) ⎜ ⎟ = 0,5х + 5 ; х = −2 ; б) 3х = − х + 4 ; х = 1 ;
Y

Y
y=

6–
–
–

1
x+5
2

⎛1⎞
y=⎜ ⎟
⎝2⎠

|

⎛1⎞
⎝7⎠

y=-x+4
X

|

х

х

г) 3 2 = −0,5х + 4 ; х = 2 ;

Y
y=2x+9
–
–
–
6–
– y = ⎛⎜ 1 ⎞⎟ x
–
⎝7⎠ X
-2 0
2
|

X
4

|

-2 0

2

в) ⎜ ⎟ = 2 х + 9 ; х = −1 ;

|

y=3x

x

|

-2 0

4–

|

Y
y = 3x / 2

–
4–
–
|

|

⎛2⎞
⎝3⎠

х

2х

1
x+4
2

|

-2 0

1373. а) 3 ⋅ 2 2 х + 6 х − 2 ⋅ 32 х = 0 ; 3 ⋅ ⎜ ⎟

y=−

2

х

⎛2⎞
+⎜⎟ −2 = 0;
⎝3⎠

х

−1 − 5
2
⎛2⎞
⎛2⎞
; не подходит; ⎜ ⎟ = ; х = 1.
⎜ ⎟ =
6
3
⎝3⎠
⎝3⎠

⎛2⎞
⎝5⎠

б) 2 ⋅ 2 2 х − 3 ⋅ 10 х − 5 ⋅ 5 2 х = 0 ; 2 ⋅ ⎜ ⎟
х

2х

х

⎛2⎞
− 3⋅⎜ ⎟ − 5 = 0 ;
⎝5⎠

х

3−7
3+ 7
⎛2⎞
⎛2⎞
; не подходит; ⎜ ⎟ =
; х = −1.
⎜ ⎟ =
4
4
⎝5⎠
⎝5⎠
в) 3

2 х +1
х

х

− 4 ⋅ 21 − 7 ⋅ 7

2х

⎛3⎞
= 0 ; 3⋅⎜ ⎟
⎝7⎠
х

2х

х

⎛3⎞
− 4⋅⎜ ⎟ − 7 = 0 ;
⎝7⎠

4 − 10
4 + 10 7
⎛3⎞
⎛3⎞
; не подходит ; ⎜ ⎟ =
= ; х = −1 .
⎜ ⎟ =
6
6
3
⎝7⎠
⎝7⎠
102

X

⎛3⎞
⎝5⎠

г) 5 ⋅ 32 х + 7 ⋅ 15 х − 6 ⋅ 25 2 х = 0 ; 5 ⋅ ⎜ ⎟
х

2х

х

⎛3⎞
+ 7⋅⎜ ⎟ − 6 = 0 ;
⎝5⎠

х

−7 − 13
−7 + 13
⎛3⎞
⎛3⎞
; не подходит; ⎜ ⎟ =
; х = 1.
⎜ ⎟ =
5
10
5
10
⎝ ⎠
⎝ ⎠

⎧⎪2 х + у = 16 ⎧х + у = 4
; ⎨
;
⎪⎩3у = 27 х ⎩ у = 3х

1374. а) ⎨

⎧х = 1
.
⎨
⎩у = 3

⎧⎪0,53х ⋅ 0,5 у = 0,5 ⎧3х + у = 1
; ⎨
;
⎪⎩23х ⋅ 2 − у = 32
⎩3х − у = 5

б) ⎨

⎧х = 1
.
⎨
⎩ у = −2

⎧⎪52 х − у = 125 ⎧2 х − у = 3 ⎧х = 2
; ⎨
; ⎨
.
⎪⎩4 х − у = 4
⎩х − у = 1 ⎩ у = 1

в) ⎨

⎧⎪0,6 х + у ⋅ 0,6 х = 0,6

г) ⎨

х

у

⎪⎩10 ⋅ 10 = (0,01)

−1

⎧у + 2х = 1
;
⎩х + у = 2

; ⎨

⎧х = −1
.
⎨
⎩у = 3

⎧⎪ 3 х + 2 у = 3 ⋅ 27 ⎧х + 2 у = 4 ⎧ у = 1
; ⎨
; ⎨
.
⎩3у − х = 1 ⎩х = 2
⎪⎩0,1х ⋅ 103у = 10
1
⎧
⎧27 у ⋅ 3х = 1
у=
3у + х = 0 ⎪⎪
⎪
⎧
5
б) ⎨⎛ 1 ⎞ х
; ⎨
; ⎨
.
у
2
у
−
х
=
1
⎪⎜ ⎟ ⋅ 4 = 2 ⎩
⎪х = − 3
⎪⎩
⎩⎝ 2 ⎠
5
2х + у
1
⎧
=
⋅ 5
⎪ 5
5
⎧2х + у = 0 ⎧х = −1
⎪
в) ⎨
; ⎨
; ⎨
.
х
⎩у − х = 3 ⎩у = 2
⎪⎛ 1 ⎞ ⋅ 5 у = 125
⎪⎜⎝ 5 ⎟⎠
⎩
11
⎧
⎧5 у ⋅ 25 х = 625
х=
у + 2х = 4 ⎪⎪
⎪
⎧
5
г) ⎨⎛ 1 ⎞ х
.
1 ; ⎨2 у − х = −3 ; ⎨
у
⎩
⎪⎜ ⎟ ⋅ 9 =
⎪у = − 2
27
⎪⎩
⎩⎝ 3 ⎠
5
1375. а) ⎨

( )

( 12 ) ⋅ ( 3 ) = 16 ; 6 = 16 ; х = −1.
5
б) ( 3 ) ⋅ ( 9 ) = 243 ; 3 = 243; х = .
2
х

1376. а)
3

2х

3

х

2х

х

2х

103

3 3

3х 2 − 3

2

− х
⎛ 10 ⎞
⎛ 9 ⎞2 2
⎟
1377. а) ⎜
= 0,81− 2 х ; ⎜ ⎟
= 0,9 − 4 х ; 3х 2 − 8х − 3 = 0 ;
⎜ 3 ⎟
10
⎝
⎠
⎝
⎠
4+5
1
х=
=3; х =− .
3
3
х2 +4

⎛4 2⎞
⎟
б) ⎜
= 20,25 х +1 ;
⎜ 3⎟
⎝
⎠
х = 6 ; х = −2 .

⎛9⎞
⎜ ⎟
⎝2⎠

−1−

х2
4

625 ⋅ 514 х − 9 = 6 125 ⋅ 56 х −12 ; 5

1378. а)

2х −

1
3

3

− 3х + 6

0,2 ⋅ 0,2
= 0,04
;
5
1
23
х + = −2х + 4 ; х =
=1 .
18
6
18

б)

= 4,52 х + 2 ; х 2 + 8х + 12 = 0 ;

3

х −1

1379. а) 27

= 9 х +1 ; 33

х −1

7х −

1 1
х− +
0,2 6 3

5
2

=5

х−

3
2

1
; 6х = 1; х = .
6

= 0,2 − 2 х + 4 ;

= 3 х +1 ; 3 х − 1 = х + 1 ;

9х − 9 = х 2 + 1 + 2х ; х 2 − 7 х + 10 = 0 ; х = 5; х = 2.
б) 2

13 − х 2

= 2 ⋅ 32 ; 13 − х 2 = 3 ; 13 − х 2 = 9 ; х 2 = 4 ; х = ±2 .
х +1

⎛1⎞
= 243 ; х − х + 1 = 5 ; х ≥ 5 ; х 2 − 10х + 25 = х + 1 ;
⎝3⎠
х 2 − 11х + 24 = 0 ; х = 3 не подходит; х = 8.

в) 3х ⎜ ⎟

г) ⎛⎜ 0,1

⎝

х +1 ⎞

⎟
⎠

х +6

=

1
; х ≥ −1 ;
10 6

( х + 1)( х + 6) = 6 ; х 2 + 7 х − 30 = 0 ;

х = –10 не подходит; х = 3.
1380. а) 3х ⋅ 7 х + 2 = 49 ⋅ 4 х ; 21х = 4 х , х = 0.

б) 2 х +1 ⋅ 5 х + 3 = 250 ⋅ 9 х ; 2 ⋅ 125 ⋅ 10 х = 250 ⋅ 9 х ; х = 0 .
х

4

⎛2⎞
⎛2⎞
1381. а) 6 2 х + 4 = 28 + х ⋅ 33х ; 64 ⋅ 2 х ⋅ 3− х = 28 ; ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ; х = 4
⎝3⎠
⎝3⎠
х

х

2

⎛5⎞
⎛5⎞
⎛5⎞
б) 354 х + 2 = 53х + 4 ⋅ 7 5 х ; 352 ⋅ ⎜ ⎟ = 54 ; ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ; х = 2.
⎝7⎠
⎝7⎠
⎝7⎠
⎛2⎞
1382. а) 2 4 х + 2 ⋅ 5−3х −1 = 6,25 ⋅ 2 х +1 ; ⎜ ⎟
⎝5⎠
104

3х

⋅ 22 ⋅ 5−1 = 2 ⋅ 6, 25;

⎛2⎞
⎜ ⎟
⎝5⎠

3х

=

5 ⋅ 6, 25
; (0,4) 3х = 0,064 −1 ; 3х = −3; х = −1.
2

б) 35 х −1 ⋅ 7 2 х − 2 = 33х +1 ; 3−1 ⋅ 7 −2 ⋅

(

1383. а) 4 5 − 2

)

х −12

35х
33х

⎛ 2 ⎞
⎟⎟
= ⎜⎜
⎝ 5 +2⎠

⋅ 7 2х = 3; 212х = 9 ⋅ 49; 2х = 2; х = 1.

х −12

(

; 4 5 −2

)

х −12

((

= 2 5 −2

))

х −12

;

4 = 2 х −12 ; х = 14 (в ответе задачника опечатка).

(

б) 9 3 − 8

)

2 х +1

⎛ 3 ⎞
⎟⎟
= ⎜⎜
⎝3+ 8 ⎠

9 = 32х +1; 2х + 1 = 2; х =

2 х +1

(

; 9 3− 8

)

2 х +1

((

= 33− 8

))

2 х +1

;

1
(в ответе задачника опечатка).
2

3− х

1
1
1
1
⎛1⎞
=
+ 207 ; ⋅ 3х − 3х ⋅ = 9х ⋅ + 207 ;
−⎜ ⎟
4−х
3
27
81
9
⎝3⎠
х
х
х
х
27 ⋅ 3 − 3 ⋅ 3 = 3 + 207 ⋅ 81 ; 3 = 9 ⋅ 81; х = 6.
1
4
б) 16 х +1 + 188 = 8 ⋅ 2 х − 0,53 − х ; 2 ⋅ 2 х + 188 = 8 ⋅ 2 х − ⋅ 2 х ;
8
16 ⋅ 2 х + 188 ⋅ 8 = 64 ⋅ 2 х − 2 х ; 2х = 4 ⋅ 8; х = 5.

1384. а) 3

х −1

1385. а) 24 ⋅ 32 х

2

− 3х − 2

2 х 2 − 3х − 2

− 2 ⋅ 32 х

2

2

− 3х

(24 − 2 ⋅ 3 + 3) = 9 ; 3
3+5
1
х=
=2; х=− .
4
2

3

б) 5 ⋅ 2 х

2

+ 5х + 7

+ 2х

2

+ 5х + 9

− 2х

2

+ 32 х

2

2 х 2 − 3х − 2

+ 5х +10

− 3 х −1

=9;

= 1 ; 2 х 2 − 3х − 2 = 0 ;

=2; 2

х 2 + 5х + 7

(5 + 2 2 − 23 ) = 2 ;

х 2 + 5х + 7 = 1 ; х = −2; x = −3.
⎛6⎞
⎝2⎠

х

1386. а) 18 х − 8 ⋅ 6 х − 9 ⋅ 2 х = 0 ; 8⎜ ⎟ − 9 х + 9 = 0 ; 8 ⋅ 3х − 9 х + 9 = 0 ;

32 х − 8 ⋅ 3х − 9 = 0 ; 3х = 9, 3х = −1; х = 2, не подходит.
б) 12х − 6 х +1 + 8 ⋅ 3х = 0 ; 3х (4 х − 6 ⋅ 2 x + 8) = 0 ; 2 2 х − 6 ⋅ 2 х + 8 = 0 ;
2 х = 4, 2 х = 2; х = 2, х = 1.
1387. а)

3 х +1 − 3 х − 2
1
1
=
;
= 0 ; 3х (3 − 1) = 2; 3х = 1; х = 0.
3х + 2 3х +1 (3х + 2)(3 ⋅ 3х )
105

5
5
= х + 2 ; 12 х + 2 − 12 х − 143 = 0 ; 12х (144 − 1) = 143; х = 0.
12 + 143 12
1
1
в) х
= х +1 ; 5 х +1 − 5 х − 4 = 0 ; 5х (5 − 1) = 4; х = 0.
5 +4 5
8
8
= х + 2 ; 11х + 2 − 11х − 120 = 0 ; 11х (121 − 1) = 120; х = 0.
г)
х
11 + 120 11
б)

х

2х + 1
= 1 ; 2 х − 2 х + 2 = −2 − 1 ; 2 х (1 − 4) = −3 ; х=0.
2х + 2 − 2
5 4 х −1 + 3
б)
= 2 ; 5 4 х −1 + 3 = 2 ⋅ 5 4 х − 6 ; 5 4 х −1 (1 − 2 ⋅ 5) = −9 ;
4х
5 −3
1388. а)

1
4х − 1 = 0; х = .
4

в)
г)

3х +1 − 1
х

3 +4

= 2 ; 3х +1 − 1 = 2 ⋅ 3х + 8 ; 3 (3 − 2) = 9 ; х = 2 .
х

72х − 1
= 3 ; 7 2 х − 1 = 3 ⋅ 7 2 х −1 + 3 ; 7 2 х −1 (7 − 3) = 4 ;
7 2 х −1 + 1

1
2х − 1 = 0; х = .
2
1389. а) 2 х

2

+ 2х −6

2

− 2 7 − 2 х − х = 3,5 ; х 2 + 2 х − 6 = а ; 2а − 2 −а +1 = 3,5 ;

2 2а − 2 − 3,5 ⋅ 2 а = 0 ; 2 ⋅ 2 2а − 7 ⋅ 2 а − 4 = 0 ;
2а =

7−9
1
= − − не подходит; 2а = 4, а = 2; х 2 + 2 х − 6 = 2 ;
4
2

х 2 + 2 х − 8 = 0 ; х = −1 − 3 = −4; х = 2.
2

2

+х

2

2+ х

2

= 26 + 33 − х − 2 х ; 32( 2 х + х ) − 26 ⋅ 32 х − 27 = 0 ; 32 х + х = 27 ;
2
−1 − 5
3
2х 2 + х = 3 ; х =
= − ; х = 1; 32х + х = −1 − не подходит .
4
2

б) 32 х

1390. а) 5 2 х
2

2

−1

− 3 ⋅ 5( х +1)( х + 2) − 2 ⋅ 56( х +1) = 0 ;

2

5 2 х −1 − 3 ⋅ 5 х + 3х + 2 − 2 ⋅ 56( х +1) = 0 ;
2
1 2х 2
⋅5
− 3 ⋅ 25 ⋅ 53х ⋅ 5 х − 2 ⋅ 56 ⋅ 56 х = 0 ;
5
52 х

2

−6х

− 375 ⋅ 5 х

2

− 3х

− 156250 = 0 ;

D = 140625 + 625000 = 8752 ;
2
375 − 875
5х −3х =
− не подходит ;
2
106

5х

2

− 3х

б) 32 х

2

= 625 ; х 2 − 3х = 4 ; х 2 − 3х − 4 = 0 ; х = 4, х = −1.
−1

− 3( х −1)( х + 3) − 2 ⋅ 38( х −1) = 0 ;

2

37 ⋅ 32 х − 33 ⋅ 3х
2187 ⋅ 32 х

2

−8х

2

+ 4х

− 2 ⋅ 38 х = 0 ;

− 27 ⋅ 3х

2

− 4х

−2 = 0;

2

D = 729 + 17496 = 135 ;
2
27 − 135
3х − 4х =
− не подходит ;
2187 ⋅ 2

162
1
=
;
4374 27
х 2 − 4 х = −3 ; х 2 − 4 х + 3 = 0 ; х = 3, х = 1 .

3х

2

− 4х

=

⎛3⎞
⎝2⎠

1391. а) 9 х + 6 х = 2 2 х +1 ; ⎜ ⎟
х

2х

х

⎛3⎞
+⎜ ⎟ −2=0 ;
⎝2⎠

х

⎛3⎞
⎛3⎞
⎜ ⎟ = −2 − не подходит ; ⎜ ⎟ = 1, х = 0.
⎝2⎠
⎝2⎠

⎛5⎞
⎝2⎠

б) 25 2 х + 6 + 16 ⋅ 4 2 х + 6 = 20 ⋅ 10 2 х + 5 ; ⎜ ⎟

4 х +12

⎛5⎞
− 2⋅⎜ ⎟
⎝2⎠

2х + 6

+ 16 = 0

D < 0 ⇒ решений нет .

⎧⎪ 3х −1 9 у = 27 ⎧х − 1 + 2 у = 6 ⎧ у = 1
; ⎨
; ⎨
.
⎩х = 5
⎪⎩2 2 х + у : 2 х = 64 ⎩х + у = 6
1
⎧ х −2у
: 6х =
⎪ 6
6
⎧х − 2 у − х = −2
⎧у = 1
⎧у = 1
⎪
б) ⎨
; ⎨
; ⎨
; ⎨
.
2х − у
1 ⎩ у − 2 х + х − 2 у = −1 ⎩− 1 − х = −1 ⎩х = 0
⎪⎛⎜ 1 ⎞⎟
⋅ 3х − 2 у =
⎪⎩⎝ 3 ⎠
3
1392. а) ⎨

⎧⎪2 2 х + 2 х ⋅ у = 10

1393. а) ⎨

⎪⎩ у 2 + у ⋅ 2 х = 15

сложим:

⎧⎪2 2 х + 2 ⋅ 2 х ⋅ у + у 2 = 25
;
⎨ 2
⎪⎩ у + у ⋅ 2 х = 15
2 х + у = ±5
1) 2 х = 5 − у ; у 2 + 5 у − у 2 = 15 ; у = 3, х = 1.
107

2) 2 х = −5 − у ; у 2 − 5 у − у 2 = 15 ; у = −3, 2х = −2 − не подходит
Итого (1;3)

⎧⎪7 2 х − 7 х ⋅ у = 28

б) ⎨

⎪⎩ у 2 − у ⋅ 7 х = −12

сложим:

⎧⎪(7 х − у) 2 = 16
;
⎨ 2
⎪⎩ у − у ⋅ 7 х = −12

⎧⎪7 х − у = ±4
;
⎨ 2
⎪⎩ у − у ⋅ 7 х = −12
1) 7 х = 4 + у ; у 2 − 4у − у 2 = −12 ; у = 3, х = 1.
2) 7 х = −4 + у ; у 2 + 4у − у 2 = −12 ; у = −3, 7 х = −7 − не подходит .
Итого х = 1 у = 3.
1394. а) 2 х = а . Имеет корни при а > 0.

б) 83х +1 = а + 3 . Имеет корни при а > –3.
в)

3

3х = −а . Имеет корни при а < 0.

⎛1⎞
⎝2⎠

х

г) ⎜ ⎟ = а 2 . Имеет корни при а ≠ 0.
х+2
(3 − а ) = а − 27 . При а = 3 реше1395. а) 48 ⋅ 4 х + 27 = а + а ⋅ 4 х + 2 ; 4

ний нет. При а ≠ 3: 4 х + 2 =
Итого а ≤ 3,a ≥ 27 .
+

–
3
х

б) 9 + 2а ⋅ 3

а − 27 а − 27
;
≤ 0 ; а ∈ (− ∞;3) ∪ [27;+∞) .
3−а
3−а

–
27
х +1

+ 9 = 0 ; 32 х + 6а ⋅ 3х + 9 = 0 ;

D
= 9а 2 − 9 < 0 ; а 2 < 1 ;
4

а ∈ (−1;1) .

§ 47. Показательные неравенства
х
1396. а) 2 ≥ 4 , х ≥ 2 .

б) 2 х < 1/ 2 , х < −1 .

в) 2 х ≤ 8 , х ≤ 3 .

г) 2 х >

108

1
, х > −4 .
16

х

1397. а) 3х ≤ 81 , х ≤ 4 .

1
⎛1⎞
б) ⎜ ⎟ >
, х < 3.
3
27
⎝ ⎠

в) 5 х > 125 , х > 3 .

г) 0,2 х ≤ 0,04 , х ≥ 2 .

1398. а) 32 х − 4 ≤ 27 ; 2 х − 4 ≤ 3 ; х ≤

⎛2⎞
⎝3⎠

7
.
2

3х + 6

4
4
; 3х + 6 < 2 ; х < − .
9
3
1
4х + 2
в) 5
≥ 125 ; 4х + 2 ≥ 3 ; х ≥ .
4
12
5х −9
г) (0,1)
< 0,001 ; 5х − 9 > 3 ; х >
.
5
>

б) ⎜ ⎟

1399. а) 7 2 х − 9 > 7 3х − 6 ; 2 х − 9 > 3х − 6 ; х < −3 .

б) 0,5 4 х + 3 ≥ 0,56 х −1 ; 4 х + 3 ≤ 6 х − 1 ; 2 х ≥ 4 ; х ≥ 2 .
в) 9 х −1 ≤ 9 −2 х + 8 ; х − 1 ≤ −2 х + 8 ; х ≤ 3 .

⎛7⎞
⎟
⎝ 11 ⎠

−3 х − 0,5

г) ⎜

⎛7⎞
х + 1,5 ; 4 х < −2 ; х < −

1
.
2

1400. а) 45 х −1 > 163х + 2 ; 5х − 1 > 6 х + 4 ; х < −5 .
1− 3 х

х +3

⎛1⎞
⎛ 1 ⎞
; 1 − 3х ≤ 2 х + 6 ; 5х ≥ −5 ; х ≥ −1 .
≥⎜ ⎟
7
⎝ ⎠
⎝ 49 ⎠
в) 11−7 х +1 ≤ 121−2 х −10 ; −7 х + 1 ≤ −4 х − 20 ; 3х ≥ 21 ; х ≥ 7 .
б) ⎜ ⎟

г) (0,09) 5 х −1 < 0,3х + 7 ; 10х − 2 > х + 7 ; х > 1 .

⎛1⎞
⎝4⎠

1401. а) 23х + 6 ≤ ⎜ ⎟

⎛7⎞
⎟
⎝ 12 ⎠

−2 х + 3

б) ⎜

⎛ 12 ⎞
>⎜ ⎟
⎝7⎠

⎛1⎞
⎝5⎠

в) 25− х + 3 ≥ ⎜ ⎟

⎛5⎞
⎝3⎠

г) ⎜ ⎟

2х −8

х −1

; 3х + 6 ≤ −2 х + 2 ; 5х ≤ −4 ; х ≤ −

4
.
5

3+ 2 х

; −3 + 2 х > 3 + 2 х ; нет решений.

3 х −1

⎛ 9 ⎞
− 1 .
⋅7 7< ; 7
7
2

> 4 64 ; 4 х −11 > 32 ; 2х − 22 > 5 ; х >

г) 0,25 ⋅ ⎜ ⎟

б) (0,6) х

;

1

3х+4

1403. а) 7 х

2 х −1

2

−5 х

6

⎛1⎞
< ⎜ ⎟ ; х 2 − 5х + 6 < 0 ; х ∈ (2;3) .
⎝7⎠
6

⎛3⎞
≥ ⎜ ⎟ ; х 2 − х − 6 ≤ 0 ; х ∈ [−2;3] .
⎝5⎠
1
≤ 121 ; 2х 2 + 3х − 2 ≤ 0 ; х ∈ [−2; ] .
2

−х

в) 112 х

2

+ 3х

г) 0,3х

2

−10 х

24

⎛ 1⎞
> ⎜ 3 ⎟ ; х 2 − 10 х + 24 < 0 ; х ∈ (4;6) .
⎝ 3⎠

−1

х 2 − 7 ,5

−7

х 2 8, 5
−
22 2

≥2 ;
11
2х 2 − 17 ≥ −28 ; х 2 ≥ − ; х ∈ R .
2
2

1404. а)

б) 0,9

х 2 − 4х

в) 14 х

2

+х

⎛ 1 ⎞
⎟⎟
г) ⎜⎜
⎝ 3⎠

27
.
2

2

≥ 2 − 7 ; х 2 − 8,5 ≥ −14 ;

3

⎛ 10 ⎞
< ⎜ ⎟ ; х 2 − 4 х + 3 > 0 ; х < 1, х > 3 .
⎝9⎠

≤ 196 ; х 2 + х − 2 ≤ 0 ; х ∈ [− 2;1] .

3 х 2 −13 х

>9;

13
3
⎛1 ⎞
х − х 2 > 2 ; 3х 2 − 13х + 4 < 0 ; х ∈ ⎜ ;4 ⎟ .
2
2
⎝3 ⎠

х
1405. а) 2 х + 2 х + 2 ≤ 20 ; 2 ≤ 4 ; х ≤ 2 .

б) 32 х −1 − 32 х − 3 <

⎛1⎞
⎝5⎠

в) ⎜ ⎟

3х + 4

⎛1⎞
+⎜ ⎟
⎝5⎠

г) 0,36 х −1 − 0,36 х

8 2х −3
8
(8) < ; 2х − 3 < −1 ; х < 1 .
; 3
3
3

3х + 5

⎛1⎞
> 6; ⎜ ⎟
⎝5⎠

3х + 4

5
⎛ 1⎞
⎜1 + ⎟ > 6 ; −4 − 3х > 1 ; х < − .
3
5
⎝
⎠
1
≥ 0,7 ; 0,36 х −1 (1 − 0,3) ≥ 0,7 ; 6 х − 1 ≤ 0 ; х ≤ .
6

1406. а) 32х − 4 ⋅ 3х + 3 ≤ 0 ; 3х ∈ [1;3] ; х ∈ [0;1] .

110

б) 52 х + 4 ⋅ 5 х − 5 ≥ 0 ; 5 х ∈ ( −∞;−5] ∪ [1;+∞) ; х ≥ 0 .
в) 0,2 2 х − 1,2 ⋅ 0,2 х + 0,2 > 0 ; 0,2 х ∈ ( −∞;0,2) ∪ (1;+∞) ; х < 0, x > 1 .

⎛1⎞
⎝7⎠

2х

г) ⎜ ⎟

х

х

⎛1⎞
⎛1⎞
+ 6⎜ ⎟ − 7 < 0 ; ⎜ ⎟ ∈ (−7;1) ; х < 0 .
⎝7⎠
⎝7⎠

1407. а) 2 2 х +1 − 5 ⋅ 2 х + 2 ≥ 0 ; 2 ⋅ 2 2 х − 5 ⋅ 2 х + 2 ≥ 0 ;

1
2 х ∈ (−∞; ] ∪ [2;+∞) ; х ∈ (−∞;−1] ∪ [1;+∞) ;
2
1
3

б) 32 х +1 − 10 ⋅ 3х + 3 < 0 ; 3 ⋅ 32х − 10 ⋅ 3х + 3 < 0 ; 3х ∈ ( ;3) ; х ∈ ( −1;1) .

⎛1⎞
⎝4⎠

2 х −1

в) ⎜ ⎟

х

⎛1⎞
⎛1⎞
+ 15 ⋅ ⎜ ⎟ − 4 < 0 ; 4 ⋅ ⎜ ⎟
4
⎝ ⎠
⎝4⎠

2х

х

⎛1⎞
+ 15 ⋅ ⎜ ⎟ − 4 < 0 ;
⎝4⎠

х

1⎞
⎛1⎞
⎛
⎜ ⎟ ∈ ⎜ − 4; ⎟ ; х ∈ (1;+∞) .
4⎠
⎝4⎠
⎝
г) 0,5 2 х −1 + 3 ⋅ 0,5 х − 2 ≥ 0 ; 2 ⋅ 0,5 2 х + 3 ⋅ 0,5 х − 2 ≥ 0 ;

0,5 х ≤ −2; 0,5 х ≥

1
; х ≤ 1 (опечатка в ответе задачника).
2

⎛5⎞
⎝3⎠

х

1408. а) 3х < 5 х ; ⎜ ⎟ > 1 ; х > 0 .

б) 6 х ≥ 2 х ; 3х ≥ 1 ; х ≥ 0 .
х

⎛ 12 ⎞
х
х
⎟ ≤ 12 ; 13 ≥ 1 ; х ≥ 0 .
13
⎝ ⎠

в) ⎜

⎛1⎞
⎝5⎠

х

г) 0,6 х > 3х ; ⎜ ⎟ > 1 ; х < 0 .
1409. а) см.рис. 5 х ≤ − х + 6 ; х ≤ 1 ;

⎛1⎞
⎝4⎠

х

б) см.рис. ⎜ ⎟ > 3х + 1 ; х < 0 ;

Y

Y

4–
y=5x
|

|

-2 0

–
2–
–

y=-x+6

|

|

2

X
|

-2

y=3x+1
⎛1⎞
y=⎜ ⎟
⎝4⎠
|

|

0

|

x

X

2

111

⎛1⎞
⎝2⎠

х

г) см.рис. 3х ≥ − х + 4 ; х ≥ 1 ;

в) см.рис. ⎜ ⎟ < 0,5х + 5 ; х > −2 ;

Y

Y
6– y=0,5x+5
–
–
–
– y = ⎛⎜ 1 ⎞⎟ x
–
⎝2⎠ X
-2 0
2
|

|

|

4–

y=-x+4

|

1410. а) 19

2х −3
х+2

+

–

2х − 3
3
≥ 0 ; х ∈ (−∞;−2) ∪ [ ;+∞) .
х+2
2
+

3
2
7х +1

б) 0,36 − х + 2 < 1 ;

X

7х + 1
1
> 0 ; х ∈ (− ; −2] .
7
−х + 2

–
−
в) 37

5х −9
х +6

≤1;

+

–
2

1
7

5х − 9
9
≤ 0 ; х ∈ (−6; ] .
х+6
5
+
–
9
-6

X

+
X

5

⎛ 29 ⎞
г) ⎜
⎟
⎝ 30 ⎠

9 х −18
6−х

> 1;

х

1411. а) 5 х + 3 ≤ 5 ;

9 х − 18
< 0 ; х ∈ (−∞;2) ∪ (6;+∞) .
6−х
+
–
+
-6
8
X
х
3
−1 ≤ 0 ;
≥ 0 ; х > −3 .
х+3
х+3

2 х −1

⎛ 4 ⎞ 3х + 5 4 2 х − 1
б) ⎜ ⎟
> ;
−1 < 0 ;
9 3х + 5
⎝9⎠
–

+
-6

112

X
4
|

|

-2 0

≥1;

-2

y=3x

–
5
−
3

X

5
−х − 6
< 0 ; х < −6, х > − .
3
3х + 5
х

х
8
−1 ≥ 0 ;
≥ 0; х >8.
х −8
х −8
3х + 4
3х + 4
2 х + 12
г) (0,21) х − 8 < 0,21 ;
−1 > 0 ;
> 0 ; х < −6, х > 8 .
х −8
х −8
+
–
+
-6
8
X

в) 17 х − 8 ≥ 17 ;

х −4
−3
3 х

1 х−4
;
− 3 < −3 ;
х
27
+
–
0
х−4
< 0 ; х ∈ (0;4) .
х

1412. а)

6 х −1
−1
х

<

+
4

81 6х − 1
;
− 1 ≤ −2 ;
64
х
+
–
0
7х − 1
1
≤ 0 ; х ∈ (0; ] .
х
7

⎛8⎞
б) ⎜ ⎟
⎝9⎠

2− х
−2
8 х

≥

1 2−х
;
− 2 > −2 ;
х
64
–
+
0
2−х
> 0 ; х ∈ (0;2) .
х

в)

X

+
1
7

>

5 х +1
+1
х

–
2

121 5х + 1
;
+ 1 ≥ −2 ;
36
х
+
–
1
−
8х + 1
1
8
≥ 0 ; х ≤ − ,х > 0 .
х
8

⎛6⎞
г) ⎜ ⎟
⎝ 11 ⎠

х⎛ 3⎞

х

⎝8⎠
х

X

≤

⎛3⎞
⎝2⎠

х

1413. а) 4 ⎜ ⎟ ≤ 2,25 ; ⎜ ⎟ ≤

⎛1⎞
⎟ > 0,25 ;
⎝ 18 ⎠

б) 9 х ⋅ ⎜

X

+
0

X

9
; х≤2.
4

х

1
⎛1⎞
⎜ ⎟ > ; х 2 .
⎝4⎠
⎝4⎠
⎝ 12 ⎠

г) 3 х ⋅ ⎜

1414. а) 8 −2 х + 8 > 512 ; −2 х + 8 > 3 ; 2 х < 5 ; х = 1; х = 2 ; ответ: 2.

⎛1⎞
⎝9⎠

8 х − 23

≥

б) ⎜ ⎟

1
25
; 8х − 23 ≤ 2 ; х ≤
; х = 1, х = 2, х = 3; ответ: 3.
81
8

в) 25 х − 7 ≤ 16 ; 5х − 7 ≤ 4 ; х ≤

11
; х = 1, x = 2; ответ: 2.
5

г) 0,14 х − 5 > 0,001 ; 4 х − 5 < 3 ; x < 2 , х = 1 ; ответ: 1.
1415. а) 2 х ⋅ 3х ≥ 36 х ⋅ 6 ; 6 х ≤ 6
х

х

х

х

б) 3 ⋅ 5 ≤ 225 ⋅ 15 ; 15 ≥ 15

⎛1⎞
⎝3⎠

х

⎛ 16 ⎞
⎟
⎝9⎠

1416. а) ⎜ ⎟ ⋅ 4 х < ⎜
х

⎛2⎞
⎛ 36 ⎞
б) ⎜ ⎟ ⋅ 3х > ⎜
⎟
11
⎝ ⎠
⎝ 121 ⎠

−

−

1
2

1
2

; х≤−

; х≥−

1
.
2

1
;
2

х −1

; x < 2x − 2 ; x > 2 ;

2х + 3

; x < 4 x + 6 ; 3x > −6 ; x > −2 .

1417. а) 2 2 x +1 − 32 x +1 < 32 x − 7 ⋅ 2 2 x ; 2 2 x ( 2 + 7) < 32 x (1 + 3) ;

⎛3⎞
⎜ ⎟
⎝2⎠

2x

>

9
; 2x > 2 ; x > 1 .
4

б) 3x +1 + 3x + 2 + 2 ⋅ 3x > 2 ⋅ 7 2 x +1
x

⎛ 3 ⎞
3x (3 + 9 + 2) > 14 ⋅ 7 2x ; 3х > 7 2x ; ⎜ ⎟ > 1 ; x < 0 .
⎝ 49 ⎠
1418. а) 5 x −1 ⋅ 2 x + 2 > 8 ⋅ 10 x
2

2

− 3x + 2

; 8 ⋅ 10 х −1 > 8 ⋅ 10 x

2

− 3x + 2

;

2

х − 1 > х − 3х + 2 ; x − 4х + 3 < 0 ; х ∈ (1;3) .
2

2

б) 32 x +1 ⋅ 2 2 x − 3 < 81 ⋅ 61− 2 x ; 81 ⋅ 6 2 х − 3 < 81 ⋅ 61− 2 x ; 2 х 2 + 2 х − 4 < 0 ;

x 2 + х − 2 < 0 ; х ∈ (−2;1) .1419. а) 2 2 − х > 2 х − 3 ; см.рис. х < 2 ;
114

Y
y=2x-3

4–
2–
|

y=22-xX
|

|

2

4

|

|

-2 0

б) 33 − 2 х ≤ 2 х + 1 ; см.рис. х ≥ 1 ;
y=2x+1

Y
2–

y=33-2x
X

–
|

|

0

1420. а)

|

2

х 2 + 4х + 4
( х + 2) 2
≥ 0; х
≥ 0 ; х > 3, х = −2.
х
3 − 27
3 − 27

б)

0,2 х − 0,008
0,2 х − 0,23
<
0
;
< 0 ; х > 3, х ≠ 5.
х 2 − 10х + 25
( x − 5) 2

в)

25 − 0,2 x
52 − 5− х
≤
0
;
≤ 0 ; 2 ≤ − x; х ≤ −2.
4х 2 − 4х + 1
(2x − 1) 2

г)

х 2 + 6х + 9
( х + 3) 2
>
0
;
> 0; х > 2 .
2х − 4
2х − 4

5
5
≥ х + 2 ; 12 х + 143 ≤ 12 х + 2 ; 12 х (1 − 144) ≤ −143 ;
12 + 143 12
12 х ≥ 1 ; х ≥ 0 .

1421. а)

x

16 х + 42
42
1
≤ 22 ; х ≤ 21 ; 16 х ≥ 2 ; х ≥ .
х
4
16
16
8
8
х
х+2
в)
≤ х + 2 ; 11 + 120 ≥ 11 ; 11х (1 − 121) ≥ −120 ;
x
11 + 120 11
11х ≤ 1 ; х ≤ 0 .

б)

г)

5 х + 15
15
< 4 ; х < 3 ; 5х > 5 ; x > 1 .
х
5
5

⎡5 8⎤
⎣
⎦

1422. а) 26х −10 − 9 ⋅ 23х −5 +8 ≤ 0 ; 23х − 5 ∈ [1;8] ; 3х − 5 ∈ [0;3] ; х ∈ ⎢ ; ⎥ .
3 3

б) 5 2 х +1 − 5 х + 2 ≤ 5 х − 5 ; 5 2 х +1 − 5 х ( 25 + 1) + 5 ≤ 0 ;
115

⎡1 ⎤
5 ⋅ 52 х − 26 ⋅ 5 х + 5 ≤ 0 ; 5 х ∈ ⎢ ;5⎥ ; х ∈ [− 1;1] .
⎣5 ⎦
3
в) 38 х + 6 − 10 ⋅ 34 х + 3 + 9 ≥ 0 ; 34х + 3 ≤ 1; 4х + 0 ≤ 0; x ≤ − ; 34x + 3 ≥ 9 ;
4
3⎤ ⎡ 1
1
⎛
⎤
x ≥ − ; х ∈ ⎜ −∞; − ⎥ ∪ ⎢ − ; +∞ ⎥ .
4⎦ ⎣ 4
4
⎝
⎦

г) 32 х + 2 − 3х + 4 < 3х − 9 ; 32 х + 2 − 3х (81 + 1) + 9 < 0 ;

⎛1 ⎞
9 ⋅ 32 х − 82 ⋅ 3х + 9 < 0 ; 3х ∈ ⎜ ;9 ⎟ ; х ∈ ( −2;2 ) .
⎝9 ⎠

⎧⎪2 х +1 > 4

1423. а) ⎨

⎪⎩7

3 х −10

⎧х > 1
;
< 49 ⎩3х − 10 < 2
; ⎨

⎧⎛ 1 ⎞ 4 х + 2,5
> 2
⎪⎪⎜ ⎟
б) ⎨⎝ 2 ⎠
⎪ х 2 −1
⎪⎩10
> 1000
х ∈ (−∞;−2) .

⎧х > 1
; х ∈ (1;4) .
⎨
⎩х > 4

1 ⎧
⎧
3
⎪− 2,5 − 4х >
⎪х < −
2; ⎨
; ⎨
;
4
⎪х 2 − 1 > 3
⎪⎩х ∈ (− ∞;−2) ∪ (2;+∞ )
⎩

⎧⎪0,4 − х + 3 < 0,16 ⎧⎪− х + 3 > 2 ⎧х < 1
; ⎨ 2
; ⎨
; х ∈ (−1;1) .
2
⎪⎩0,1х +1 > 0,01 ⎪⎩х + 1 < 2 ⎩х ∈ (− 1;1)

в) ⎨

⎧⎪ 5 ⋅ 52 х − 0,5 ≥ 1 ⎧⎪52 х ≥ 1
; ⎨
;
⎪⎩0,26 − 9 х ≤ 125 ⎪⎩59 х − 6 ≤ 53

г) ⎨

(

⎧х ≥ 0
; х ∈ [0;1] .
⎨
⎩х ≤ 1

)

1424. а) ( х − 6) 5 х − 6 − 25 < 0 ; x ∈ (6;8) .
+

(

–
6

)

+
8

X

б) (2 х + 1) 33 − х − 9 > 0 ; x ∈ ( −(1/ 2); 1)
–

(

+

)

–
1

1
−
2

X

1425. а) (2 − 8) 3 − 81 < 0 ; x ∈ (3;4 ) .
х

х

+

–
3

116

+
4

X

б) (3х + 2 −

1 ⎛ 3− 2х 1 ⎞
)⎜ 5
− ⎟ ≥ 0 ; x ∈ [− 5;2] .
27 ⎝
5⎠
–
+
–
-5
2
X
1
; х = −1 .
2

1426. а) 2,5 2 х + 3 ≤ 6,25 ; 2 х + 3 ≤ 2 ; х ≤ −
7х −9

12
8
⎛2⎞
≥
; 7х − 9 ≤ 3 ; х ≤
; х =1.
125
7
⎝5⎠
в) 1,15 х − 3 < 1,21 ; 5х − 3 < 2 ; х < 1 ; х = 0 .
2
г) 0,7 9 х + 4 > 0,49 ; 9 х + 4 < 2 ; х < − ; х = −1 .
9

б) ⎜ ⎟

1427. а) 5 х

2

− 2х

≤ 125 ; х 2 − 2 х − 3 ≤ 0 ; х ∈ [− 1;3] .

Ответ: 5.

⎛1⎞
б) ⎜ ⎟
⎝7⎠

2 х 2 − 3х

≥

Ответ: 3.

1
⎡ 1 ⎤
; 2 х 2 − 3х − 2 ≤ 0 ; х ∈ ⎢− ;2⎥ .
49
⎣ 2 ⎦

в) 2 − х + 8 х > 128 ; − х 2 + 8х − 7 > 0 ; х 2 − 8х + 7 < 0 ; х ∈ (1;7 ) .
Ответ: 5.
2

г) (0,3) х

2

−х

> 0,09 ; х 2 − х − 2 < 0 ; х ∈ (− 1;2) . Ответ: 2.

1428. а) 2 х + 2 − х 2 ≥ 3х

2

− 2х + 2

; х 2 − 2 х + 2 = а ; 3а ≤ −а + 4 см.рис.
Y
y=3a

4–
–
2–
–
|

y=-a+4
X
|

|

|

|

2

-2 0

|

4

а ≤ 1 ; х 2 − 2х + 2 ≤ 1 ; х = 1 .
б) 2 х

2

− 4х + 5

≥ 4 х − 2 − х 2 ; х 2 − 4 х + 5 = а ; 2 а ≥ −а + 3

см.рис.

Y

y=2

4–
–
2–
–
|

|

-2 0

a

y=-a+3
X
|

|

2

|

|

4

а ≥ 1 ; х 2 − 4х + 5 ≥ 1 ; х ∈ R .
117

1429. Т =

Т0 − Тс
t

+ Tc ; 30 =

100 − 20

210

t

t

t

+ 20 ; 10 ⋅ 210 = 80 ; 210 = 8 ;

210

t
= 3 ; t = 30 .
10
Ответ: более получаса.
⎛
⎞
⎜T −T
⎟
lim ⎜ 0 t c + Tc ⎟ = Т с
t →+∞
⎜ 10
⎟
⎝ 2
⎠
Физический смысл этого предела состоит в том, что температура чайника с
увеличением времени будет все больше опускаться до комнатной, но никогда не опустится станет ниже.

§48. Понятие логарифма
1430. а) log 2 8 = 3 , 23 = 8 .

б) log 3

1
1
= −2 , 3− 2 = .
9
9

4

в) log 1
2

1
1
⎛1⎞
=4, ⎜ ⎟ =
.
16
16
⎝2⎠

⎛1⎞
⎝5⎠

−4

г) log 1 625 = −4 , ⎜ ⎟
5

1
1431. а) log 2 2 = 1 , 2 = 2 .

⎛1⎞
⎝3⎠

= 625 .

0

б) log 1 1 = 0 , ⎜ ⎟ = 1 ;
3

в) log 0,1 0,1 = 1 , 0,11 = 0,1 .

г) log 5 1 = 0 , 50 = 1 .
5

1432. а) log 4 64 = 3 , 43 = 64

⎛1⎞
⎝5⎠

в) log 0, 2 125 = −3 , ⎜ ⎟

б) log 2 4 2 = 2,5 , 2 2 = 4 2 .

−3

= 125 .

г)

lg 1005 10 = 2,2 ,

10 2,2 = 1005 10 .
⎛1⎞
1433. а) log 2 24 = 4 , б) log 1 ⎜ ⎟
⎝ 3⎠
3

1
= −3 .
27
в) lg 0,0001 = −4 .

1434. а) log 3

−7

= −7 . в) log8 8−3 = −3 , г) log 0,1 (0,1) = 5 .
5

б) log 0,1 0,0001 = 4 .
г) log 1 81 = −4 .
3

118

1435. а) log

7

49 = 4 .

в) log 1 2253 15 = −2
15

1436. а) log

в) log

3

2

log12 1,3

1438. а) 2

⎛1⎞
⎝6⎠

2 + log 1 20

в) 3

6

log 2 , 2 5 − 2

4 log 3 2

б) 4

=

1
=− .
3
10

log 4 23

= 23 .

log 1 7
4

1+ log 7 4

4
.
169

г)
б) 0,5

2

1
.
2

=2

4 2

б) 7

125
⎛5⎞
= ⎜ ⎟ ⋅5 =
,
11
121
⎝ ⎠

2 log 8 3

3

⎛1⎞
⎝4⎠

1
5
⋅ 20 = .
36
9

=

1

1

г) ⎜ ⎟

= 8 ⋅ 9 = 72 .

log13 4 − 2

1440. а) 8

г) lg

2 8 =5.

64
= −6 .
729

б) log 0,5

= 1,3 .

1439. а) 13

в) 2,2

2

= 8.

3 + log 2 9

2

г) log 3

81 3 = 9 .
log 3 8

в) ⎜ ⎟

1
.
3

1= 0.

1437. а) 3

в) 12

б) log

=7.

= 7 ⋅ 4 = 28 .

( 7)

4 + log

log 0 , 5 4 −1

0 ,5

7

5
10

.

− 3 log 6 2

= 2−3 =

− 2 log 5 3

=

б) 6

= 2 4 = 16 .

г) 5

1
.
8

1
.
9

1441. а) lg x = 1 , x = 10 .

б) lg x = −2 , x = 10 − 2 =

в) lg x = 3 , x = 1000 .

г) lg x = −4 , x =

1442. а) log 9 x =

в) log8 x =

1
, x = 3.
2

1 49
.
=
2 2

= 2⋅4 = 8 .

г) 10 lg 5 − 0,5 =

= 9.

= 49 ⋅

1
.
100

1
.
10000

2
, x = 0,32 = 0,09 .
3
3
г) log 0, 25 x = , x = 0,53 = 0,125 .
2
б) log 0,027 x =

1
, x =2.
3
1

1443. а) log 4 x = −

−
1
1
2
, x = 4 2 = . б) log 0,125 x = − , x = 0,5−2 = 4 .
3
2
2

119

4
1
, x = 2− 4 =
.
5
16
= 1000 .

в) log 32 x = −

x = 0,1−3

3
log 0,01 x = − ,
2

г)

1444. а) log х 4 = 2 , x = 2 .

б) log х 27 = 3 , x = 3 .

в) log х 49 = 2 , x = 7 .

г) log х 125 = 3 , x = 5 .

1445. а) 2 х = 9 , х = log 2 9 .

б) 12 х = 7 , х = log12 7 .

х

⎛1⎞
⎝3⎠

г) (0,2) х = 5 , х = −1 .

в) ⎜ ⎟ = 4 , х = log 1 4 .
3

1446. а) log х

1
= −3 ; x = 3 .
27

1
= −4 , x = 2 .
16
1
1447. а) log х 3 = , x = 9 .
2
1
в) log х 7 = , x = 343 .
3

б) log х 1 = 2 , нет решений.
г) log х 1 = −3 , нет решений.

в) log х

1
1
, x=
.
2
16
1
1
г) log х 8 = − , x =
.
3
512
1
4
1448. а) 3х +1 = 14 , х = log 3 14 − 1 , б) 45 х − 4 = 10 , х = log 4 10 + .
5
5
⎛2⎞
⎝7⎠

3− х

= 11 ; 3 − х = log 2 11 ; х = 3 − log 2 11 .

в) ⎜ ⎟
г)

б) log х 4 = −

7

( 5)

1449. а) 2 х

7

8 1
= 6 ; 8 − 9х = log 5 6 ; х = − log
9 9

8−9х

2

+1

5

6.

= 7 ; х 2 + 1 = log 2 7 ; х = ± log 2 7 − 1 .

2

б) 90,5 х = 2 ; 0,5х 2 = log 9 2 ; х = ± 2 log 9 2 .
в) 0,1х

2

1

−2

⎛ 1 ⎞3
г) ⎜ ⎟
⎝8⎠

= 3 ; х 2 − 2 = log 0,1 3 ; х = ± log 0,1 3 + 2 .

х 2 +1

= 0,1 ;

1 2
1
х + 1 = log 1
; х = ± 3(log8 10 − 1) .
3
10
8

1450. а) 4х−5⋅2х=−6; 22х−5⋅2х+6=0; 2х=2; х=1; 2х=3; х=log23.
б) 16х=6⋅4х−5; 42х−6⋅4х+5=0; 4х=5; х=log45; 4х=1; х=0.
в) 9х−7⋅3х=−12; 32х−7⋅3х+12=0; 3х=4; х= log34; 3х=3; х=1.
г) −9⋅7x+14=−49х; 72х−9⋅7х+14=0; 7х=7; х=1; 7х=2; х=log72.

120

1451. а) 9х+1+6=189⋅3х−2; 9⋅32х−21⋅3х+6=0; 3⋅32х−7⋅3х+2=0; 3х= 1/3;
х=−1; 3х=2; х=log32.
б) 25х+1+3=100⋅5х−1; 25⋅52х−20⋅5х+3=0; D/4=25.

10 + 5 3
3
1
= ; х=log5 =log53−1; 5х= ; x=−1.
25
5
5
5
6− 4 1
5
в) 4х+1+5=24⋅2х−1; 4⋅22х−12⋅2х+5=0; 2х=
= ; х=−1; 2х= ; х=log25−1.
4
2
2
1
1
1
1
1
г) ( )х+1+3=( )х−1; ( )2х−8⋅( )х+12=0; ( )х=2;
4
2
2
2
2
1
х=−1; ( )х=6; х= log 1 6.
2
5х=

2

1452. а) 2х≥9; х≥log29;

в) (

б)12х≤7; х≤log127;

1 х
) log 1 4;
3

г) (0,2)х>5; −x>1; x11; 3−х< log 2 11; х>3− log 2 11;
7

1453. а) 3х+1≤14; 3х≤

7

г) ( 5 )8−9х0 х=0; х=log2а;
б) 9х−(2а+1)3х+а2+а−2=0; 32х−(2а+1)3х+а2+а−2=0; 3х=а+2, 3х=а−1,
при а ≤ −2 — решений нет, при а∈(−2; 1]: х=log3(а+2);
при а>1 х=log3(а+2), х=log3(а−1).
1456. а) y = logxx2; x > 0, x ≠1; y = 2.

Y

4–
–
2–
–
|

|

-2 0

X
|

|

2

|

|

4

121

б) y = 2log 2 x

в) y = x log x 2

Y

|

|

2

-2 0

|

|

|

|

|

2

|

-2 0–
-2–

X
|

-2 0

4

Y
2–
–

4–
–
2–
–

X
|

|

|

1
x

Y

4–
–
2–
–
|

г) y = log x

|

4

X
|

|

2

|

|

4

§ 49. Логарифмическая функция, ее свойства и график
1457. а) log24=2; log28=3; log216=4;

1
1
1
=−1; log2 =−2; log2
=−4;
2
4
16
в) log232=5; log2128=7; log22=1;

б) log2

г) log2

1
1
1
=−3; log2
=−5; log2
=−7.
8
32
128

1458. а) log2 2 =

б) log2

2
8

=1−

в) log2 32 =
г) log2

4
32

3
1
4
1 3
=− ; log2
=2− = ;
2
2
2 2
2

5
7 15
; log216 128 =4+ =
;
2
2 2

=2−

1459. а) log 1
7

1
3
; log2 8 = ;
2
2

5
1
2
7
5
=− ; log2
=1− =− .
2
2
2
2
128

1
=2;
49

в) log0,10,0001=3;
1460. а) log 1
5

б) log3 27 =

3
;
2
г) log0,2625=−4.

5
1
1
=− log55+log5125=− +3=2,5;
2
2
125

36
1 3
б) log6
=2− = ;
56
2 2

в) log0,2

г) log0,110 1000 =−(log10100+log10 10 )=−2,5.
1461. а) б)
122

25
5

=−2+

1
3
=− ;
2
2

Y

2–
–

X

в)
2–
–

|

|

0
–
-2–

|

|

X
|

|

|

2–
–
0
–

3

1462. а) б)
2–
–

Y
X

в)
2–
–

|

|

0
–
-2–

|

|

2–
–

0
–
-2–

X
|

|

|

|

2–
–
0
–
-2–

3

Y
X
|

|

|

|

0
–
-2–

2–
–
0
–
-2–

3

в)
2–
–

Y
X
|

|

|

|

3

Y
X
|

|

|

|

3

г)

Y

1463. а) б)
2–
–

|

|

3

0
–
-2–

3

0
–
-2–

X
|

|

г)

Y

|

Y

0
–
-2–

3

0
–

2–
–

Y
X
|

|

|

|

3

Y
X
|

|

|

|

3

г)
Y
X
|

|

|

|

3

2–
–
0
–
-2–

Y
X
|

|

|

|

3

1464. а) log47 1 и 7 < 23;
б) log 2 / 3 0,8> log 2 / 3 1, так как основание 2/3 < 1 и 0,8 < 1;

в) log9 15 log327 = 3> 1;

г) log1/12

1
2
> log1/12 .
7
3

б) log2,30,10; х< 7/2;

в) log9(8х+9)=у; 8х+9>0; х>−(9/8);
г) log0,3(2−3х)=у; 2−3х>0; х<

2
.
3

1
; log20,7; log22,6; log23,7;
6
2
1
б) log0,317; log0,33; log0,32,7; log0,3 ; log0,3 .
3
2

1485. а) log20,1; log2

а) у=log2х, у=−х+1, х>1;

1486.
Y
2–
–
0
–
–

|

|

|

3

|

|

|

6

X

б) у = log0,5х, у = х−1, х ∈ (0; 1);
Y

2–
–
0
–
–

|

|

|

3

|

|

|

X

6

127

в) у = log1 7 х, у = 7х, х ∈ (0;
Y
2–
–
0
–
–

|

|

|

|

|

г) у = log3х, у = −3х, х >

1
.
3

Y
1–

X

|

3

1
);
7

6

|

0
-1–

X

|

|

1

1487. а) у = log4(х−1), у = −х+2, х ∈ (1; 2);
Y
1–

|

0
-1–

X

|

|

1

б) у= log1 2 (х+4), у=3х−2, х>0.
2–
–
|

1488. а) log2х≥−х+1, х≥1;

|

0
–
-2–

|

X

|

|

в) log9х∈−х+1, х∈(0; 1];
Y
|

0
–

|

X

|

|

0
–
2–

128

|

|

|

X

2

2–
–

Y
|

|

2

|

X
|

X

|

|

г) у = log1 3 х1.
2–
–

Y
|

|

б) log1 2 х ;
2
2

2–
–
|

X

|

2

Y
|

|

2

0
-1–

2

1489. а) log3х4х−4, х∈(0; 1);

Y

2–
–

|

Y

|

0
–
–

Y
|

|

|

3

X

в) log5х≥6−х, х≥5;
2–
–
0
–
-2–

г) log1 3 х>х+

Y

2–
–

X
|

|

2

|

|

|

|

0
–
-2–

6

2
1
, 0 0 возрастает, при х < 0 убывает.
Y
2–
–
|

|

|

|

0
–
–

|

6

4

|

X

3

⎧⎪−3x + 3, x ≤ 1
1491. f(x)= ⎨
⎪⎩log1 3 x, x > 1
а) f(−8)=27, f(0)=3, f(9)=−2, f(−6)=21, f(3)=−1;
б) функция убывает на х ∈ R.
Y
4–
–
2–
–
X
|

0
–

|

|

|

3
129

1492. а) у=log5(х2−5х+6), х2−5х+6>0, х3;
б) у= log 2 3 (−х2−5х+14), х2+5х−140, х12;
г) у=log0,2(−х2+8х+9), х2−8х−932>4⇒log34< 3 9 ;
б) log0,53∨sin3; 3∩0,5sin3, т. к. |sinх|≤1⇒0,5sin3 3 7 ;
г) lg0,2∨cos0,2; lg2−1∨cos0,2; lg2−10⇒ lg0,2log712;
б) log0,512−log0,52∨log0,512−2; log0,56≥ log0,510;
в) log1 3 16+ log1 3 4∨ log1 3 (16+4); log1 3 64< log1 3 20;

г) log

3

15− log

3

4∨ log

3

(15−4); log

3

15
< log
4

3

11.

1524. у=ab2; logcу=logс(ab6)=logса+6logсb.
1525. х=
1526. х=

ab 2
ab 2
; lognх= logn
= lognа+2lognb−lognс.
c
c
a 2c3
b

; lognх= logn

a 2c3
b

=2lognа+3lognс−

1
lognb.
2

2 3

1527. а) log216а b =4+2log2а+3log2b;

7
log2b;
2

б) log2(1/8а( b )7)=−3+log2а+
в) log248а a b4=4 + log23+
г) log2

b3
4a 5

=3 log2b−2−5 log2а.

1528. а) log5

б) log5
в) log5

3
log2а+4 log2b;
2

125a 4
b4

625( ab)3
12

c

25 5a 6b 7

c3

⎛ a6
г) log5( ⎜
⎜5 2
⎝ b

⎞
⎟
⎟
⎠

=3+4 log5а−4 log5b;

=4 +

1
3
log5а + 3log5b− log5c;
2
2

=2,5+6 log5а+7log5b−3 log5с;

−3

)=log5

b6 5
a18

=

6
log5b−18 log5а.
5

1529. а) log4х= log42+ log47; log4х= log414; х=14;
б) log1 3 х− log1 3 7= log1 3 4; log1 3 х= log1 3 28; х=28;

в) log9х= log95+ log96; log9х= log930; х=30;
г) log1 4 х− log1 4 9= log1 4 5; log1 4 х= log1 4 45; х=45.
1530. а) log612+ log6х= log624; log6х= log62; х=2;
б) log0,53+ log0,5х= log0,512; log0,5х= log0,54; х=4;
в) log513+ log5х= log539; log5х= log53; х=3;

г) log1 3 8+ log1 3 х= log1 3 4; log1 3 х= log1 3

1
1
; х= .
2
2

1531. а) log23х= log24+ log26; log23х= log224; х=8;

134

б) log

x
= log
2

3

3

6+ log

3

2; log

3

x
= log
2

3

12; х=24;

в) log45х= log435− log47; log45х= log45; х=1;
г) log

2

(

x
)= log
3

2

15− log

2

6; log

2

x
= log
3

2

5
15
; х=
.
2
2

б) lg(9⋅10−3)=lg9−3;
г) lg(9⋅10−5)=lg9−5.

1532. а) lg(9⋅102)=lg9+2;
в) lg(9⋅104)=lg9+4;

1533. а) lg(lg50) = lg(1+lg5)≈lg(1,7);
б) lg(lg(0,005))=lg(lg5−3), т. к. lg5−322,5= 2 2 ; 32∨25; 9 0 ⎧ x > 2
1549. а) log2(3х−6)=log2(2х−3); ОДЗ: ⎨
; ⎨
⇒ x > 2;
⎩2x − 3 > 0 ⎩ x > 1,5
3х−6=2х−3; х=3;
б) log6(14−4х)= log6(2х+2); 14−4х=2х+2; 6х=12; х=2;
⎧14 − 4x − 6 > 0 ⎧ x < 3,5
в) log1 6 (7х−9)= log1 6 х; ОДЗ: ⎨
; ⎨
⇒ x ∈ (−1;3,5)
⎩ 2x + 2 > 0
⎩ x > −1
7х−9=х; х=3/2;
⎧7x − 9 > 0
г) log0,2(12х+8)= log0,2(11х+7); ОДЗ: ⎨
⇒ x > 9 / 7 ; 12х+8=11х+7;
⎩x > 0
х=−1, не проходит по ОДЗ.

⎪⎧ x 2 + 6 > 0
1550. а) log3(х2+6)=log35х. ОДЗ : ⎨
⇒ x > 0 ; х2−5х+6=0; х=3, х=2;
⎪⎩5x > 0
б) log1 2 (7х2−200)= log1 2 50х; ОДЗ: х>
7х2−50х−200=0;

200
;
7

D
25 − 45
=625+1400=452; х=
не подходит, х=10;
7
4

⎧x + 6 >0
⎪
в) lg(х2−6)=lg(8+5х); ОДЗ: ОДЗ : ⎨
⇒ x > 6 ; х2−5х−14=0;
8
⎪x > −
5
⎩

138

х=−2 не подходит; х=7.
⎧x > 8
⎪
2
г) lg(x −8)=lg(2−9x); ОДЗ : ⎨
2 ; х 0; ⎢
⎢⎣ x > −2 + 2 6
х2+4х−20=1; х2+4х−21=0; х=−7, х=3;
⎡ x < 5 − 15 2
б) log1 3 (х2−10х+10)=0; ОДЗ : x 2 − 10x + 10 = 0; ⎢
; х −10х+10=1;
⎢⎣ x > 5 + 15
х2−10х+9=0; х=9, х=1;
в) log7(х2−12х+36)=0; ОДЗ : x 2 − 12x + 36 > 0; ∀x ≠ 6 ; х2−12х+36=1;
х2−12х+35=0; х=7, х=5;
г) log12(х2−8х+16)=0; ОДЗ : x 2 − 8x + 16 > 0; ∀x ≠ 4 ; х2−8х+16=1;
х2−8х+15=0; х=3, х=5.
1552. а) log3(х2−11х+27)=2;
⎡
11-2 3
⎢x <
2
ОДЗ : x 2 − 11x+27=0; ⎢
; х2−11х+27=9; х2−11х+18=0; х=9, х=2;
⎢
11+2 3
⎢x >
2
⎣
⎡
−1 − 21
⎢x <
2
2
2
б) log1 7 (х +х−5)=−1; ОДЗ : x + x − 5 > 0; ⎢
; х2+х−5=7;
⎢
−1+ 21
⎢x >
2
⎣
2
х + х − 12 = 0; х = −4, х = 3;
⎧x > 5
; х2−3х−10=8;
в) log2(х2−3х−10)=3; ОДЗ : x 2 + 3x − 1 > 0; ⎨
⎩ x < −2

х2−3х−18=0; х = 6, х = −3;
⎡
−3 − 13
⎢x <
2
2
2
г) log1 3 (х +3х−1)=−2; ОДЗ : x + 3x − 1 > 0; ⎢
⎢
−3+ 13
⎢x >
2
⎣
х2+3х−1=9; х2+3х−10=0; х=−5, х=2.
1553. а) log2(х2+7х−5)=log2(4х−1);

139

⎧⎡
−7 − 69
⎪⎢ x <
2
⎧⎪ x 2 +7x − 5 > 0 ⎪⎪ ⎢
−7+ 69 2
ОДЗ : ⎨
; ⎨⎢
х +7х−5=4х−1;
−7+ 69 ⇒ x >
2
x
>
⎢
⎪⎩4x − 1 > 0
⎪
2
⎪⎣
⎩⎪ x > 1/ 4
х2 + 3х − 4 = 0; х = −4 не подходит, х = 1;
7
⎪⎧− x 2 + 5x + 7 > 0; ⎧∀x
б) log0,3(−х2+5х+7)=log0,3(10х−7); ОДЗ : ⎨
;
; х>
⎨
x
>
7
/10
10
⎩
⎩⎪10x − 7 > 0
−х2+5х+7=10х−7; х2+5х−14=0; х=−7 не подходит, х=2;
в) log2(х2+х−1)=log2(−х+7);
⎡⎧
−1 − 5
x>
⎧ x + x − 1 > 0 ⎢⎢ ⎪⎪
2
⎛
−1 − 5 ⎞ ⎛ −1 + 5 ⎞
⎪
⎨
⎢
ОДЗ : ⎨
;
;7 ⎟⎟ ;
−1 − 5 ⎢ ⎪ x > −1 + 5 ⇒ x ∈ ⎜⎜ −∞; 2 ⎟⎟ ∪ ⎜⎜
2
⎪x <
⎝
⎠ ⎝
⎠
⎪
2
⎢⎩
2
⎩
⎢x < 7
⎣
2

х2+2х−8=0; х=−4, х=2;
⎡ ⎧ x < −1
⎧⎪ x 2 − 4x − 5 < 0 ⎢ ⎨
г) log0,2(−х2+4х+5)=log0,2(−х−31); ОДЗ: ⎨
; ⎢ ⎩ x > 5 х 0; log2х=3; х=8; log2х=1; х=2;

б) log 24 х−log4х−2=0; ОДЗ: х > 0; log4х=2; х=16; log4х=−1; х=

1
;
4

в) log12 2 х+3 log1 2 х+2=0; ОДЗ: х > 0; log1 2 х=−2; х=4; log1 2 х=−1; х=2;
2
г) log 0,2
х+log0,2х−6=0; ОДЗ: х > 0; log0,2х=−3; х=125; log0,2х=2; х=

1555. а) 2 log 52 х+5log5х+2=0; ОДЗ: х > 0; log5х=

log5х=−

−5 − 3
1
=−2; х=
;
4
25

1
5
; х=
;
2
5

б) 3 log 24 х−7log4х+2=0; ОДЗ: х > 0; log4х=

7−5 1
= ; х= 3 4 ; log4х=2; х=16;
6
3

2
х−7log0,3х−4=0; ОДЗ: х > 0; log0,3х=
в) 2 log 0,3

140

1
.
25

10
7−9
1
=− ; х=
;
3
4
2

log0,3х=4; х=0,0081;
г) 3 log12 2 +5 log1 2 х−2=0; ОДЗ: х > 0; log1 2 х=
log1 2 х=

−5 − 7
=−2; х=4;
6

1
1
; х= 3 .
2
3

1556. а) log2х= log23+ log25; ОДЗ: х > 0; log2х= log215; х=15;
б) log74= log7х− log79; ОДЗ: х > 0; log7х= log736; х=36;

в) log1 3 4+ log1 3 х= log1 3 18; ОДЗ: х > 0; log1 3 х= log1 3

9
9
; х= ;
2
2

г) log0,49− log0,4х= log0,43; ОДЗ: х > 0; log0,4х= log0,43; х=3.
1557. а) 2log8х= log82,5+ log810; ОДЗ: х > 0; х2=25; х=5; х=−5 не подходит;

б) 3log2

1
1
− log2
= log2х; ОДЗ: х > 0; log2х= log24; х=4;
2
32

в) 3 log1 7 х= log1 7 9+ log1 7 3; ОДЗ: х > 0; log1 7 х3= log1 7 27; х=3;
г) 4log0,1х= log0,12+ log0,18; ОДЗ: х > 0; х4=16; х=2, х=−2 не подходит.
⎧x > 2
⎪
1558. а) log3(х−2)+ log3(х+2)= log3(2х−1); ОДЗ: ⎨ x > −2 х>2;
⎪ x > 1/ 2
⎩

log3(х2−4)= log3(2х−1); х2−2х−3=0; х=3, х=−1 не подходит;
⎧ x > −4
⎪
б) log11(х+4)+ log11(х−7)= log11(7−х); ОДЗ: ⎨ x > 7 х∈∅. Нет решений;
⎪x < 7
⎩
в) log0,6(х+3)+ log0,6(х−3)= log0,6(2х−1); log0,6(х2−9)= log0,6(2х−1); х2−2х−8=0;
⎧ x > −3
⎪
ОДЗ: ⎨ x > 3 х>3; х=4, х=−2 не подходит;
⎪ x > 1/ 2
⎩
г) log0,4(х+2)+ log0,4(х+3)= log0,4(1−х);
⎧ x > −2
⎪
ОДЗ: ⎨ x > −3 х∈(−2; 1); log0,4(х2+5х+6)= log0,4(1−х); х2+6х+5=0; х=−5 не
⎪x < 1
⎩
подходит, х=−1.
1559. а) log23(2х−1)−log23х=0; ОДЗ: х>

1
; 2х−1=х; х=1;
2

б) log0,5(4х−1)−log0,5(7х−3)=1;
3
1
⎧ x > 3/ 7
ОДЗ: ⎨
х> ; 4х−1= (7х−3); х=−1 — не подходит ⇒ нет решения.
7
2
⎩ x > 1/ 4
141

⎪⎧ x 2 -5x+8 > 0 ⎧∀x
в) log3,4(х2−5х+8)−log3,4х=0; ОДЗ: ⎨
; ⎨
;
⎩ x>0
⎩⎪ x>0
х2−6х+8=0; х=4, х=2;
г) log1 2 (х+9)− log1 2 (8−3х)=2; ОДЗ: х∈(−9;

8
); 4(х+9)=8−3х;
3

7х=−28; х=−4.
1560. а) f(x)=log3(5x−2); f(3x−1)=log3(15x−7); log3(5x−2)=log3(15x−7);
7
1
⎧x > 2 / 5
ОДЗ: ⎨
;х>
; 5х−2=15х−7; 10х=5; х= ;
15
2
⎩ x > 7 /15

б) f(x)=log2(8x−1); f(

x
+5)=log2(4x+39); log2(8x−1)=log2(4x+39);
2

⎧ x > 1/ 8
; х > 1/8; 8х − 1 = 4х + 39; 4х = 40; х = 10;
ОДЗ: ⎨
⎩ x > −(39 / 4)
⎪⎧log (x 2 + 3x − 2) − log 2 y = 1
1561. а) ⎨ 2
; у=3х−2; log2(х2+3х−2)=log2(6х−4);
⎪⎩3x − y = 2

⎧⎡
−3 − 17
⎪⎢ x <
2
2
⎪⎧ x 2 + 3x − 2 > 0 ⎪⎪ ⎢
ОДЗ: ⎨
; ⎨⎢
−3 + 17 ; х> ;
3
x
>
⎪⎢
⎩⎪ x > 2 / 3
2
⎪⎣
⎪⎩ x > 2 / 3
x2−3х+2=0; х=2, у=4; х=1, у=1;
⎧⎪2x + y = 7
⎪⎧ y = 7 − 2x
; ⎨ 2
б) ⎨
;
2
⎪⎩log3 (x + 4x − 3) − log3 y = 1 ⎪⎩ x + 4x − 3 = 21 − 6x
⎧ ⎡ x < −2 − 7
⎧⎪ x 2 + 4x − 3 > 0 ⎪ ⎢
7
ОДЗ: ⎨
; ⎨ ⎣⎢ x > −2 + 7 ; х< ; х2+10х–24=0;
2
x
2x
0
−
>
⎪
⎩⎪
⎩x > 7 / 2
х=−12, у=31; х=2, у=3.
1562. а) 7 log 52 (2х)−20log5(2х)−3=0; ОДЗ: х > 0

log52х=

10 − 11
1
1
1
125
=− ; 2х=
; х=
; log52х=3; х=
.
7
7
7
2
5
27 5

⎧ x < −1
б) log12 2 (х2+х)+ log1 2 (х2+х)=0; ОДЗ : x 2 + x > 0; x(x + 1) > 0; ⎨
;
⎩x > 0

log1 2 (х2+х)=0; х2+х−1=0; х=
142

−1± 5
=0; log1 2 (х2+х)=−1; х2+х=2;
2

х2+х−2=0; х=−2, х=1;
2
в) log 0,3
(х+1)−4log0,3(х+1)+3=0; ОДЗ: х > –1;

log0,3(х+1)=3; х+1=0,027; х=−0,973; log0,3(х+1)=1; х+1=0,3; х=−0,7;

1
x2 + 1
)=1; ОДЗ : x + 1/ x > 0;
> 0;
x
x
1
1
log2(х+ )=1; х2−2х+1=0; х=1; log2(х+ )=−1; 2х2−х+2=0. Решений нет.
x
x
9
1563. а) lg2х−lgх+1=
; ОДЗ: х > 0; lg2х−lgх+1+ lg3х−lg2х+lgх−9=0;
lg 10 x
lg3х=8; lgх=2; х=100;
37
;
б) log32 x +3log3х+9=
log3 (x / 27)
г) log 22 (х+

log 33 х+3 log32 х+9 log32 −3 log32 x−9log3х−27=37; log 33 х=64; log3х=4; х=81;

9
; ОДЗ: х > 0; x 1/100;
lg100x
2 lg2х−4 lgх+8+ lg3х−2 lg2х+4 lgх=9; lg3х=1; lgх=1; х=10;
−218
; ОДЗ: х > 0; x ≠ 128;
г) log 22 х+7log2х+49=
log 2 (x /128)
в) lg2х−2 lgх+4=

log 33 х+7 log 22 х+49log2х−7log2х−49log2х−343=−218;
log 32 х=125; log2х=5; х=32.

1564. а) x log3 x =81; ОДЗ: х > 0; прологарифмируем по основанию 3:
log 32 х=4; log3х=±2; х=9; х=1/9;

б) x

log0,5 x

=1/16; ОДЗ: х > 0; прологарифмируем по основанию 1/2:

log12 2 х=4; log1/2x = ± 2; х=1/4; х=4;
в) x log2 x =16; ОДЗ: х > 0; прологарифмируем по основанию 2:
log 22 х=4; log2x = ± 2; х=4; х=1/4;

1
1
; ОДЗ: х > 0; прологарифмируем по основанию :
81
3
1
log12 3 х=4; log1/3x = ± 2; х=9; х= .
9

г) x

log1 3 x

=

1565. а) x1+ log3 x =9; ОДЗ: х > 0; log 32 х+log3х−2=0; log3х=−2; х=

1
;
9

log3х=1; х=3;
б) x

log0,5 x − 2

2
=0,125; ОДЗ: х > 0; log 0,5
х−2log0,5х−3=0; log0,5х =3; х=0,125;

143

log0,5х =−1; х=2;

1
1
; ОДЗ: х > 0; log 22 х+5log2х=−4; log2х=−1; х= ;
16
2
1
log2х=−4; х=
;
16

в) x 5+ log2 x =

г) x

log1 3 x − 4

=27; ОДЗ: х > 0; log12 3 х−4 log1 3 х+3=0; log1 3 х=3; х=

log1 3 х=1; х=

1
;
27

1
.
3

⎧(x − 3)(x + 5) > 0
x−3
⎡ x < −5
⎪
; ⎢
=2; ОДЗ: ⎨ x − 3
;
x +5
⎣x > 3
⎪⎩ x + 5 > 0
2log2|х−3|=2; |х−3|=2; х=1 не подходит; х=5;
⎧(x + 3)(x + 5) > 0
x+3
⎡ x < −5
⎪
)=4; ОДЗ : ⎨ x + 3
б) log3(х+3)(х+5)+ log3(
; ⎢
x +5
>
0
⎣ x > −3
⎪⎩ x + 5
log3|х+3|=2; |х+3|=9; х=6, х=−12.
1566. а) log2(х−3)(х+5)+ log2

1567. а) lg100х⋅ lgх=−1; ОДЗ: х > 0; lg2х+2 lgх+1=0; lgх=−1; х=

1
;
10

1
; lg2х+2 lgх+1+ lgх+1−6−3 lgх=0;
x
1
lg2х=4; lgх=±2; х=100; х=
.
100

б) lg210х+ lg10х=6−3 lg

1568. а) 2 lgх2− lg2(−х)=4; ОДЗ: х0; 9 lg2х+2 lgх−40=0; lgх=
х=

1
1020 / 9

; lgх=

−1 − 19
20
=−
;
9
9

18
=2; х=100.
9

1569. а) log5(6−5х)=1−х; ОДЗ: 5х1/4; 4⋅3х−1−1=32х−1;
32х−4⋅3х+3=0; 3х=3; х=1; 3х=1; х=0.
1570. а) log9(3х+2х−20)=х−хlog93; ОДЗ: 3x+2x–20>0;

3х+2х−20= 9x − x log9 3 ; 3х+2х−20=9х⋅3−х; 2х−20=0; х=10;
lg 2 x −1

−4 − 2lg x 2

2
⎛2⎞
⎛5⎞
= 6, 25−2 − lg x ; ОДЗ: х>0; ⎜ ⎟
=⎜ ⎟
;
⎝5⎠
⎝2⎠
lg2х−1=4+4 lgх; lg2х−4 lgх−5=0; lgх=5; х=10000; lgх=−1, х=1/10.

б) 0, 4lg

144

2

x −1

1571.
2

а) 6log6 x + x log6 x =12; ОДЗ: х > 0; x log6 x =6; log 62 х=1; х=6; х=
б) 10lg

2

x

+ 9x lg x =1000; ОДЗ: х > 0; хlgх=100; lg2х=2; lgх=± 2 ; х= 10±

⎧x + y > 0
⎧log 5 (x + y) = 1
⎪
;
1572. а) ⎨
; ОДЗ: ⎨ x > 0
+
=
log
x
log
y
1
6
6
⎩
⎩⎪ y > 0

2

.

⎧x = 5 − y
;
⎨
2
⎩log 6 (5y − y ) = 1

{
{

⎡
⎢
у −5у+6=0; ⎢
⎢
⎢⎣
2

1
;
6

y=2
x −3
.
y=3
x=2

⎧ x + 2y > 0
⎧⎪log 0,5 (x + 2y) = log 0,5 (3x + y)
x>0
⎪⎪3x + y > 0
; ОДЗ : ⎨ 2
б) ⎨
⇒
2
y>0
x
−
y
>
0
⎪⎩log 7 (x − y) = log 7 x
⎪
⎪⎩ x > 0

{

⎧ y = 2x
; х2−3х=0; х=0, у=0 не подходит; х=3, у=6;
⎨
2
⎩log 7 (x − 2x) = log 7 x
⎧x > −y
⎪
⎧x = 3 + y
⎧log (x − y) = 1/ 2
;
в) ⎨ 9
; ОДЗ : ⎨ x > 0 ; ⎨
⎩log 64 (3 + y) = log 64 4y
⎩log 64 x − log 64 y = 1/ 3
⎪⎩ y > 0

{

x = 3+ y
у=1; х=4;
3 = 3y

⎧3x − y > 0
⎧⎪log1 3 (3x − y) = log1 3 (x + 4)
⎪
ОДЗ
:
;
г) ⎨
;
⎨ x > −4
2
2
⎪⎩log 9 (x + x − y) = log9 x
⎪x 2 + x − y > 0
⎩
⎧ y = 2x − 4
⎨ 2
2 ; х = 4; у = 4.
⎩x − x + 4 = x

{

{

⎧ x y
x > 0 x + y = 4 ⎧x = 4 − y
;
1573. а) ⎨2 2 = 16
; ОДЗ :
; ⎨
;
2
y > 0 xy = 3
⎩4y − y = 3
⎩log 3 x + log 3 y = 1

{
{

⎡ y=3
⎢ x =1
.
у −4у+3=0; ⎢
⎢ y =1
⎢⎣ x = 3
⎧ 1 2x 1 − y 1
x > 0 2x − y = 3
⎪( ) ( ) =
б) ⎨ 3
3
27 ; ОДЗ: y > 0 ; log 2x = log 4y ;
2
2
⎩⎪log 2 2x − log 2 y = 2
2

{

{

145

{

y = 2x − 3
; 6х=12; х=2, у=1;
log 2 2x = log 2 (8x − 12)

⎧ x y
;
в) ⎨9 ⋅ 3 = 81
⎩log 2 x + log 2 y = 1

⎧⎪ y = 4 − 2 x
; х2−2х+1=0; х=1, у=2;
⎨
⎪⎩4 x − 2 x 2 + 1 = 0

⎧(1/ 2) x ( 2) y = log9 3
;
⎩log 4 y − log 4 x = 1

г) ⎨

⎧− x + (y / 2) = −1
⎨log y = log 4x ;
4
⎩ 4

⎧ y = −2 + 2 x
;
⎨
⎩− 2 + 2 x = 4 x

х=−1, решений нет.

⎧log 2 (x − y) − log 2 3 = 2 − log 2 (x + y)

1574. а) ⎨
⎩log1 2 (x − y) = −2

;

⎧x = 4 + y
⎨2 − log 3 = 2 − log (2y + 4) ;
2
2
⎩
log2(2у+4)=log23; у=−(1/2), х=3(1/2);

⎧log3 (x + 2y) − 2 log 3 4 = 1 − log 3 (x − 2y)

б) ⎨
⎩log1 4 (x − 2y) = −1

;

⎧x = 4 + y
⎨log (4 + 4y) = 1 + 2 log 4 − log 4 ; log3(4+4у)=log312; у=2, х=8.
3
3
⎩ 3
⎧⎪2 log y + 3x 2 +5x −5 = 7 ⎧⎪log3 y = 2, y = 9
3
; ⎨
;
2
x 2 + 5x −5
=7
⎪⎩3log 3 y − 3x +5x −5 = 3 ⎪⎩4 + 3

1575. а) ⎨

х2+5х−5=1; х2+5х−6=0; х=−6; х=1;

⎧⎪2 log x + 2 y2 + 4y − 4 = 8
2
;
б) ⎨
y 2 + 4y − 4
= 11
⎩⎪3log 2 x + 2

⎧⎪log 2 x = 3, x = 8 2
; у +4у−5=0; у=−5; у=1.
⎨ y2 + 4y − 4
=2
⎪⎩2

§ 52. Логарифмические неравенства
1576. а) log2х≥4; х≥16;

в) log2х<

1
; х∈(0;
2

2 );

б) log2х≤−3; х≤
г) log2х>−

1
, х>0;
8

3
1
; х>
.
2
2

1577. а) log1/3х ≤ 2; х ≥ 1/9;

б) log1/2х≥−3; х∈(0; 8);

1
в) log0,2х
;
125

г) log0,1х>−

1578. а) log5(3х+1)1; ∈(0; ); х∈(0; );
5
5
4
4

3

(2х−3)log5(3х−4); ОДЗ: х>

3
; 6).
2

4
4
; 2х ; х≤9; х∈( ; 9];
5
5
4
4
г) log3(8−6х)≤log32х; ОДЗ: х∈(0; ); 8≤8х; х≥1; х∈[1; ).
3
3
б) log0,6(2х−1)

9
9
; 2х≤10; х∈( ; 5];
5
5
1
1
б) log0,4(12х+2)≥ log0,4(10х+16); 2х≤14; ОДЗ: х>− ; х∈(− ; 7];
6
6
в) log1/3(−х)> log1 3 (4−2х); ОДЗ: х0; ⎢

⎢⎣ x < −2 2

2

х +9х−10≤0; х∈[−10; −2 2 );
г) l o g 2 (х2+10х)≥ log 2 (х−14); х2+10х>х−14; ОДЗ: х>14; х2+9х+14>0;
х>14.
1582. а) log1/2(6−х)≥ log1/2х2; 6−х≤х2; ОДЗ: х0; х2+22>13х; х2−13х+22>0;
х∈(0; 2)∪(11; +∞);

в) log1/4(−х−6)≤ log1/4(6−х2); −х−6≥6−х2; ОДЗ: 6−х2>0; х∈(− 6 ;
х2−х−12≥0, решений нет;

6 );

147

⎡ x > 27

г) log0,5(х2−27)> log0,5(6х); х2−278; х2−7х−8>0; х∈(−∞; −1)∪(8; +∞);
б) log1/2(х2+0,5х)≤1; х2+(1/2)х≥(1/2); 2х2+х−1≥0; х∈(−∞; −1]∪[ 1/2; +∞);
в) log2(х2−6х+24)0; ⎢

х∈(0;

5
1
]∪[
; +∞);
5
25

2
х−7log0,3х−4≤0; ОДЗ: х>0; log0,3х∈[−
б) 2 log 0,3

⎧
10
⎪ x ∈ (0;
]
; х∈[0,0081;
⎨
3
⎪ x ∈ [0, 0081; +∞)
⎩
148

10
];
3

1
; 4];
2

в) 3 log 24 х−7log4х+20; log4х∈(

г)

3 log12 3 х+5 log1 3 х−2>0;

х∈(0;

3

1
; 2); х∈( 3 4 ; 16);
3

⎡ log1 3 x < −2
ОДЗ: х>0; ⎢
;
⎢ log1 3 x > 1
⎢⎣
3

⎡
1
⎢ x ∈ (0; 3 ) ;
3
⎢
⎢⎣ x ∈ (9; +∞)

1
)∪(9; +∞).
3

1586. а) log 22 х2−15log2х−4≤0; ОДЗ: х>0; 4 log2х−15 log2х−4≤0;

log2х∈[−

1
1
; 4]; х∈[ 4 ; 16];
2
4

б) в учебнике, по-видимому, опечатка.

log12 3 х2−7 log1 3 х+3≤0; ОДЗ: х>0;
⎧

1

x ∈ (0; 4 ]
3
⎪⎪
27 ; х∈[ 1 ;
4 log12 3 х−7 log1 3 х+3≤0; log1 3 х∈[ ; 1]; ⎨
4
3
1
⎪
x ∈ [ ; +∞)
⎪⎩
3

1
4

27

];

в) log 32 х2+13log3х+30; log5х≤1; х∈(0; 5];
7

г) 4log0,6х≥ log0,68+ log0,62; ОДЗ: х>0; х4≤16; х∈(0; 2].
1588. а) log1 3 =+ log1 3 (4−х)>−1; ОДЗ: х∈(0; 4);

log1 3 (4х−х2)> log1 3 3; 4х−х20; х∈(0; 1)∪(3;4);
149

б) log2(7−х)+ log2х≥1+ log23; ОДЗ: х∈(0; 7); log2(7х−х2)≥ log26; х2−7х+6≤0;
х∈[1; 6];
в) lg(7−х)+ lgх>1; ОДЗ: х∈(0; 7); lg(7х−х2)>1; х2−7х+103/2;

log7(

6x − 9
6x − 9 − 2 x − 3
4 x − 12
)0; ОДЗ: х< ; х≠ ; 1. х∈( ; ); 51 − тождество. Итого: х< .
3
3
1591. а) log5х−12≤0; ОДЗ: х>

г) log5−х0,32;
⎩

1
⎧log3 (6x − 1) ≤ log3 (9x + 11)
⎧3x ≥ −12
; ОДЗ: х∈( ; 3); ⎨
;
log
(3
−
x)
>
log
(4x
−
1)
4
⎩5x < 4
6
⎩ 6

б) ⎨

1 4
⎧ x ≥ −4
⎨ x < 4 / 5 ; х∈( ; ).
4 5
⎩

⎧⎪log3 x 2 > log 3 125 − log3 5
; ОДЗ: х>1;
⎪⎩log 0,2 (x − 1) < 0

1594. а) ⎨

⎧log3 x > log3 5
;
⎨
⎩x − 1 > 1

⎧x > 5
; х>5;
⎨
⎩x > 2

⎧⎪log1 2 x 2 ≥ log1 2 28 − log1 2 7
1 ⎧x ≤ 2
; ОДЗ: х> ; ⎨
;
4 ⎩4 x − 1 > 1
⎪⎩log3 (4x − 1) > 0

б) ⎨

151

⎧x ≤ 2
1
⎪
1 ; х∈( ; 2].
⎨
x
>
2
⎪⎩
2
⎧⎪log 0,1 (x 2 − 12) < log 0,1 (− x)
1595. а) ⎨
; ОДЗ: х∈(− 12 ; 0);
⎪⎩2 x −1 > 1/ 8

⎧⎪ x 2 − 12 > − x
;
⎨
⎪⎩ x − 1 > −3

⎧⎪ x 2 + x − 12 > 0
, решений нет.
⎨
⎪⎩ x > −2
⎧3x 2 −5x − 4 < 9
⎪
б) ⎨
; ОДЗ: х>0;
2
⎪⎩log1 5 (x + 3) ≥ log1 5 4x
х∈[1; 3].

2
⎪⎧ x − 5x − 6 < 0 ⎧ x ∈ (−1;6)
; ⎨
;
⎨ 2
⎪⎩ x − 4x + 3 ≤ 0 ⎩ x ∈ [1;3]

§ 53. Переход к новому основанию логарифма
1
+log49=−log23+log23=0;
3
1
1
б) log 3 3 2 +log3 =2+ log 3 2 + log3 =2;
2
2
1596. а) log2

в) log259−log53=0;
г) log164 − log48 = log4(2/8) = −1.
1597. log23=а;
1
1
а) log32=
= ;
log 2 3 a
в) log34=

2
2
= ;
log 2 3 a

1598. log52=b;
2
2
а) log225=
= ;
log5 2 b

152

б) log3

1
1
1
=−
=− ;
2
log 2 3
a

г) log3

1
2
2
=−
=− .
4
log 2 3
a

б) log2

1
2
2
=−
=− ;
25
b
log5 2

в) log2125=

3
3
= ;
log5 2 b

г) log2

1599. log23=а;

1
1
2a + 1
(1+2log23)= (1+2а)=
;
3
3
3
1
3a + 1
г) log854= (3log23+1)=
.
3
3

а) log49= log23=а;

б) log818=

в) log481=log29=2а;
1600. а) log27∨ log74; log27>

в) log35∨ log54;

1
4
4
=−
=− .
625
log5 2
b

2
1
; б) log69∨ log98;
> log98;
log 2 7
log9 6

1
> log54;
log5 3

г) log1114∨log1413;

1
> log1413.
log14 11

1
log25; log26 > log2 5 .
2
3
1
3
; log1 2 3< log1 2 ;
2
2
2

1601. а) log26∨log45; log26∨

б) log1 2 3∨ log1 4

в) log96∨log37; log3 6 < log37;
г) log1 3 4∨ log1 9 7; log1 3 4< log1 3

7.

1 1
+ +1)log2х=7; log2х=4; х=16;
2 4
б) log3х+ log 3 х+ log1 3 х=6; (1+2−1)log3х=6; log3х=3; х=27.
1602. а) log4х+ log16х+ log2х=7; (

1603. а) 3 log 32 х=

5
1
1
+2; 3 log32 х−5log3х−2=0; log3х=− ; х= 3 ;
log x 3
3
3

log3х=2; х=2;
б) 2 log 22 х=

1
5
2
+3; 2 log 22 х−5log2х−3=0; log2х=− ; х=
; log2х=3; х=8.
log x 2
2
2

1604. а) 9log3 4 + log

6

б) log38⋅log227− 3log9 25

3 ⋅log336

2log3 36
=16+4=20;
log3 6

3log 2 27
=9−5=4;
log 2 2

1
1
=16 ;
2
2
14log 2 9
2 log481
=4+14=18.
2log 2 3

в) 34log3 2 +log5 2 ⋅log425=16+
г) 100,5lg16 +14log3

1605. а) 5log29⋅log364+ 3log6 8 ⋅ 2log6 8 =10⋅6+8=68;
153

б) 24log 2 3−1 +log93+log364⋅log43=

81 1
+ +3=44;
2 2

в) 16(log945−1)log119⋅log5121=32(log95)log59=32;
г) log153⋅log53 log 3 5 ⋅(1+log35)=2.
1606. а)

log 2 56
log 2 7
−
=(log27+3)( log27+2)− log27(log27+5)=
log 28 2 log 224 2

= log 22 7+5 log27+6− log 22 7−5log27=6;
б)

log 3 135
log3 5
−
= 5log3 5 + log32 5 + 6 − 5log 3 5 − log32 5 =
log 45 3 log1215 3

= (3 + log35)(log35 + 2) − log35(5 + log35) = 6.
1607. lg2=а, lg3=b;

а) log412=1+ log43=1+
в) log0,53=−log23=−

lg 3
b
;
=1+
lg 4
2a

lg 3
b
=− ;
lg 2
a

б) log618=1+ log63=
г) log1 3 24=

lg 3
b
+1;
+1=
lg 6
a+b

lg 24 3lg 2+ lg3 3a+b
=
.
=
1
− lg 3
−b
lg
3

1608. log25=а, log23=b;
log 2 15 a + b
;
=
а) log315=
log 2 3
b

1
1
2a + b
log275= (2log25+ log23)=
;
3
3
3
1
a + 2b
в) log1645= ( log25+2 log23)=
;
4
4

б) log875=

г) log1512=

log 2 12 2 + b
.
=
log 2 15 a + b

1609. а) lg1, log43, log27;
в) log31; log54; log79;

б) log30,5; lg1; log0,50,1;
г) log70,6; log21; log0,20,3.

1610. а) lg 0,3 ; log15 7; log12 7;2log 2 5.

⎛1⎞
б) log 1 1; ⎜ ⎟
⎝2⎠
7

log 2 4

; log6 7;9log 3 15.

1
⎧x > 0
; log32 x +log3х−2=0; log3х=−2; х= ;
1611. а) log3х+1=2logх3; ОДЗ : ⎨
≠
x
1
9
⎩
log3х=1; х=3;

154

⎧x > 0
б) 2logх5−3=−log5х; ОДЗ : ⎨
; log 52 х−3log5х+2=0; log5х=2; х=25;
⎩x ≠ 1
log5х=1; х=5;
в) log7х−1=6logх7; log 72 х− log7х−6=0; log7х=3; х=343; log7х=−2; х=

1
;
49

⎧x > 0
; log 22 х−10 log2х+9=0;log2х=9; х=512;
г) log2х+9logх2=10; ОДЗ : ⎨
⎩x ≠ 1
log2х=1; х=2.
1612. а) log4(х+12)logх2=1; ОДЗ: х>0, х≠1; logх(х+12)=2; х+12=х2;
х2−х−12=0; х=4; х=−3 − не подходит;
б) 1+logх5log7х=log535logх5; 1+log75=logх35; х=7.

x2
=8; ОДЗ: х>0; (log2х+2)2+2 log2х=11;
8
1
log 22 х+6 log2х−7=0; log2х=−7; х=
; log2х=1; х=2;
128
49
1 1
49
б) log 32 х+ log 92 х+ log 227 х=
; ОДЗ: x > 0; (1+ + ) log32 х=
;
9
4 9
9
36
6
1
log 32 х=
; log3х=± =±2; х=9; х= .
9
3
9
2
1613. а) log 0,5
4х+log2

1614. log (2x +1) (5 + 8x − 4x 2 ) + log (5− 2x) (1 + 4x + 4x 2 ) = 4
⎧ x > −1/ 2
⎪⎪ x < 5 / 2
а) log(2х+1)(5+8х−4х )+2log(5−2х)(2х+1)=4; ОДЗ : ⎨
;
⎪x ≠ 0
⎩⎪ x ≠ 2
2

log(2х+1)(5−2х)+1+2log(5−2х)(2х+1)-4=0;
2
2 log (5
− 2x) (2х+1)−3log(5−2х)(2х+1)+1=0; log(5−2х)(2х+1)=1/2;

2х+1= 5 − 2 x ; 4х2+4х+1=5−2х; 4х2+6х−4=0; 2х2+3х−2=0;
х=−2 − не подходит; х=

1
; log(5−2х)(2х+1)=1; 2х+1=5−2х; 4х=4; х=1;
2

б) log3х+7(9+12х+4х2)=4−log2х+3(6х2+23х+21);
3х+7=а; 2х+3=b; а>0, а≠1, b>0, b≠1; logаb2=4−logbab; 2 log a2 b−3logаb+1=0;
logаb=1/2; 4х2+12х+9=3х+7; 4х2+9х+2=0; х=−1/4; х=−2 − не подходит;

§ 54. Дифференцирование показательной
и логарифмической функций
logаb=1; 3х+7=2х+3; х=−4 − не подходит. Итого: х=−1/4.
155

1615. а) log9х2+ log32 (−х)0; у′=4х3−

4 4x 4 − 4
=
;
x
x

возрастает: х∈(1; +∞); убывает: х∈(0; 1]; х=1 − min;
1640. у = х−lnх; у′=1 –

1
; y’ = 0 при x = 1; y(1) = 1;
x

1
; е]; y (1/e) = (1/e) + 1; y(e) = e – 1; уmin = 1; уmax = е−1;
e
б) х∈[е; е2]; y(e2) = e2 – 2; уmin = е−1; уmax = е2−2.
а) х∈[

1641. а) f(x)=e2x; y=2ex−5; f′(x)=2e2x; y=2 e 2 x 0 + e 2 x 0 −x0 e 2 x 0 — общее

уравнение касательной к графику y = f(x); x0=
б) f(x)=ln(3x+2); y=x+7; f′(x)=
x0=

2 dx

1

2

б) ∫ (e5 +
1

160

3
3x
3
; y=
+ln(3x0 + 2)−x0
;
3x + 2
3x0 + 2
3x 0 + 2

1
1
; y=x+ln3− .
3
3

1642. а) ∫

x

=lnx

2
1

=ln2;

1
)dx =(ех+lnx)
x

2
1

1
; y=2ex+e−e=2ex;
2

=е2+ln2−е;

1

0,1
dx=0,1ln(x+1)
0 x +1

в) ∫

1
0

=0,1ln2;

2
e2x
)dx =(
+2lnx)
x
2

2

г) ∫ (e2x +
1

6

1
dx
= ln(2x−1)
2x
1
2
−
3

1643. а) ∫
0

1
dx
=(− ln(6−5x))
5
5x
6
−
+
−1

б) ∫

1/ 2

в) ∫

0

8

г) ∫

1
1
dx= ln(4x+1)
4
4x + 1

dx

59− x

=−ln(9−x)

8
5

2
1

=

1
1
1 11
ln11− ln5= ln
;
2
2
2
6

6
3

=

0
−1

=−

12
0

=

e4
e2
+2ln2−
.
2
2

1
1
1 11
ln6+ ln11= ln
;
5
5
5
6

1
ln3;
4

= ln4.

1644. а) у=0; х=1; х=е; у=

б) у=0; х=3; х=−1; у=

e1
1
; S= ∫ dx=lnx
x
1x

e
1

=1;

3 dx
1
1
; S= ∫
= ln(2x+3)
2x + 3
−1 2x + 3 2

3
−1

=

1
ln9=ln3;
2

2

в) у=0; х=е; х=е2; у=

г) у=0; х=2; х=5; у=
1645. а) у=ех; у=

e 2
2
2
; S= ∫ dx=2lnx e =4−2=2;
x
e
e x

5 dx
1
1
; S= ∫
= ln(3x−5)
3x − 5
3
−
3x
5
2

3
2

3
2

=е3−ln3−е2+ln2=е3−е2+ln

51
1
; у=1; х=5; S=4⋅1− ∫ dx=4−lnx
x
1x

в) у= x ; у=

=

1
ln10.
3

1
; х=2; х=3;
x

S= ∫ (e x − 1/ x ) dx=(ех−lnx)
б) у=

5
2

5
1

2
;
3

=4−ln5;

1
; х=4;
x
3

4
2
1
S= ∫ ( x − ) dx= x 2 −lnx)
3
x
1

4
1

=

16
2 14
− ln4− =
−ln4 (в ответе задачника
3
3 3

опечатка);
e1 1
1
e
г) у = – ; у=−1; х=е; S=1⋅(е−1)− ∫
dx=(е−1)− lnx =е−2.
1
x
1x x
161

1646. а) f(x)=3ex+4; a=

3
3
; f′(x)=3ex+4= ; ex+4=e−1; x=−5;
e
e

1 −6x−13
13
e
; a=−2; f′(x)=−2e−6x−13=−2; e−6x−13=1; 6х+13=0; x=−
;
3
6
9
в) f(x)=2e−7x+9; a=−14; f′(x)=−14 e−7x+9=−14; −7х+9=0; x= ;
7
г) f(x)=42 – e0,1x−4; a=0,1; f′(x)=−0,1 e0,1x−4=0,1; e0,1x−4=−1 − решений нет.
б) f(x)=2+

1647. а) g(x)=6−

1
1
1 2x−3
e ; a= 3 ; g′(x)=− e2x−3< 3 ; x — любое число;
2
e
e

б) g(x)=х+e4x−3; a=5; g′(x)=1+4e4x−3