Решение задач по физике. 25 шагов к сдаче ЕГЭ
[Электронный ресурс] : учебное пособие / Н. А. Парфен
тьева.— Эл. изд. — Электрон, текстовые дан. (1 файл
pdf : 499 с.). — М. : Лаборатория знаний, 2017.—
Систем, требования: Adobe Reader XI ; экран 10".
ISBN 978-5-00101-551-2
В настоящем пособии кратко рассмотрены теоретические
вопросы, знание которых потребуется учащемуся при реше
нии задач и выполнении теоретических заданий при сдаче
ЕГЭ. Кроме того пособие содержит более 300 примеров
решения задач по всем разделам физики с подробными по
яснениями, примеры тестов и условия задач, самостоятельно
решая которые, можно оценить свои возможности успешной
сдачи экзамена.
Пособие будет надежным помощником учащимся при
подготовке к экзаменам в школе и абитуриентам для
поступления в вуз, а также их наставникам.
УДК 53(075.3)
ББК 22.3я729
Деривативное электронное издание на основе печатного
аналога: Решение задач по физике. 25 шагов к сдаче ЕГЭ :
учебное пособие / Н. А. Парфентьева. — М. : Лаборатория
знаний, 2017. —496 с. : ил. — ISBN 9 78-5-00101-028-9.
В соответствии со ст. 1299 и 1301 ГК РФ при устранении ограничений,
установленных
техническими
средствами
защиты
авторских
прав,
правообладатель вправе требовать от нарушителя возмещения убытков или
выплаты компенсации
ISBN 978-5-00101-551-2
(с) Лаборатория знаний, 2017
Оглавление
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
1.5.
1.6.
1.7.
2.1.
2.2.
2.3.
3.1.
3.2.
3.3.
3.4.
4.1.
4.2.
Предисловие
Шаг 1. Механика. Кинематика
Перемещение, путь, скорость
Прямолинейное равномерное движение
Относительность движения. Классический закон сложения
скоростей
15
Движение с переменной скоростью
Прямолинейное равноускоренное движение
Кинематика движения материальной точки по окружности
и вращательного движения твердого тела с неподвижной
осью вращения
20
Криволинейное движение
Примеры решения задач
Тесты
Задачи для самостоятельного решения
Шаг 2. Динамика. Законы Ньютона
Основные понятия динамики
Основные силы в механике
Законы Ньютона
Примеры решения задач
Тесты
Задачи для самостоятельного решения
Шаг 3. Динамика. Законы сохранения
Импульс тела. Закон сохранения импульса
Примеры решения задач I
Тесты I
Задачи для самостоятельного решения I
Механическая работа. Мощность
Кинетическая и потенциальная энергии
Закон сохранения механической энергии
Примеры решения задач II
Тесты II
Задачи для самостоятельного решения II
Шаг 4. Статика
Условие равновесия материальной точки
Момент силы. Условие равновесия тела с неподвижной
осью вращения
87
4.3. Условия равновесия свободного твердого тела
4.4. Определение центра тяжести и центра масс
4.5. Типы равновесия тела
Примеры решения задач
Тесты
Задачи для самостоятельного решения
88
88
90
91
100
101
Шаг 5. Динамика криволинейного движения материаль
5.1.
5.2.
6.1.
6.2.
6.3.
6.4.
6.5.
7.1.
7.2.
7.3.
7.4.
7.5.
8.1.
8.2.
8.3.
ной точки
Основные понятия динамики криволинейного движения
Движение тел в поле силы тяготения
Примеры решения задач
Тесты
Задачи для самостоятельного решения
Шаг 6. Элементы гидромеханики
Основные понятия
Закон Паскаля. Гидравлический пресс
Атмосферное давление
Закон Архимеда
Уравнение Бернулли
Примеры решения задач
Тесты
Задачи для самостоятельного решения
Шаг 7. Молекулярная физика. Газовые законы. Основное
уравнение МКТ газов
Основные понятия
Газовые законы
Объединенный газовый закон. Уравнение Клапейрона —
Менделеева
Закон Дальтона
Основное уравнение молекулярно-кинетической теории газов
Примеры решения задач
Тесты
Задачи для самостоятельного решения
Шаг 8. Первый закон термодинамики
Основные понятия и законы
Первый закон (начало) термодинамики
Изопроцессы в газах с точки зрения первого закона термо
динамики
159
Примеры решения задач
Тесты
Задачи для самостоятельного решения
103
103
105
105
117
119
121
121
122
123
124
126
129
132
133
135
135
137
139
141
141
145
151
153
155
155
158
160
162
163
Оглавление
5
Шаг 9. Второй закон термодинамики. Теория тепловых машин 165
9.1.
9.2.
9.3.
9.4.
10.1.
10.2.
10.3.
10.4.
11.1.
11.2.
11.3.
11.4.
11.5.
12.1.
12.2.
12.3.
12.4.
12.5.
12.6.
13.1.
13.2.
13.3.
13.4.
13.5.
Второй закон (начало) термодинамики
Тепловая машина
Идеальный цикл Карно
Холодильная машина
Примеры решения задач
Тесты
Задачи для самостоятельного решения
Шаг 10. Реальные газы, влажность. Свойства жидкостей
Насыщенный и ненасыщенный пар
Влажность
Свойства жидкости
Тепловое расширение жидких и твердых тел
Примеры решения задач
Тесты
Задачи для самостоятельного решения
Шаг 11. Уравнение теплового баланса. Фазовые превра
щения первого рода
Агрегатные состояния вещества
Плавление и кристаллизация
Испарение и конденсация
Кипение жидкости
Уравнение теплового баланса
Примеры решения задач
Тесты
Задачи для самостоятельного решения
Шаг 12. Электростатика. Закон Кулона. Напряженность
Способы электризации тел
Свойства электрических зарядов
Закон Кулона
Напряженность электрического поля. Силовые линии
Электрическое поле точечного заряда и некоторых других
заряженных тел
Проводники и диэлектрики в электрическом поле
Примеры решения задач
Тесты
Задачи для самостоятельного решения
Шаг 13. Потенциал. Разность потенциалов
Работа электростатической силы по перемещению заряда
Потенциал
Эквипотенциальные поверхности
Принцип суперпозиции для потенциала
Связь напряженности электрического поля с потенциалом
Примеры решения задач
Тесты
Задачи для самостоятельного решения
Шаг 14. Электрическая емкость. Энергия электрического поля
Электрическая емкость проводника
Емкость конденсатора
Последовательное и параллельное соединение конденсаторов
Энергия электрического поля
Примеры решения задач
Тесты
Задачи для самостоятельного решения
Шаг 15. Постоянный электрический ток. Законы Ома
Сила тока
Классическая теория проводимости металлов
Закон Ома для однородного участка цепи
Последовательное и параллельное соединение резисторов
Шунтирование приборов
Электродвижущая сила. Закон Ома для полной цепи
Последовательное и параллельное соединение источни
ков тока. Правила Кирхгофа
Тепловое действие тока. Закон Джоуля — Ленца
Примеры решения задач
Тесты
Задачи для самостоятельного решения
Шаг 16. Токи в различных средах
Ток в электролитах
Примеры решения задач I
Токи в вакууме и в газах
Примеры решения задач II
Полупроводники. Собственная и примесная проводимость
полупроводников
Примеры решения задач III
Тесты III
Задачи для самостоятельного решения III
Шаг 17. Магнитное поле. Индукция магнитного поля. Силы
Ампера и Лоренца
Магнитное поле. Вектор магнитной индукции
Магнитное поле проводников стоком различной конфигурации
Закон Ампера
Взаимодействие двух прямолинейных проводников с током
Рамка с током в магнитном поле
Движение заряженных частиц в магнитном поле
Магнитные свойства вещества
Примеры решения задач
Тесты
Задачи для самостоятельного решения
Шаг 18. Явление электромагнитной индукции и самоиндукции
Опыты Фарадея
Магнитный поток
Явление электромагнитной индукции. Правило Ленца
Движение прямолинейного проводника в магнитном поле
Работа при движении проводника с током в магнитномполе
Вывод формулы для ЭДС индукции
Явление самоиндукции
Энергия магнитного поля
Примеры решения задач
Тесты
Задачи для самостоятельного решения
Шаг 19. Колебания и волны. Механические колебания
Уравнение колебаний
Характеристики гармонических колебаний
Кинематические характеристики гармонического колебания
Динамика гармонических колебаний
Примеры расчета частоты колебаний в различных механи
ческих системах
Преобразование энергии при гармонических колебаниях
Сложение колебаний, направленных вдоль одной прямой
Затухающие колебания
Вынужденные колебания
Упругие (механические) волны. Классификация волн
Вывод уравнения плоской волны
Интерференция волн
Стоячая волна
Звук
Примеры решения задач
Тесты
Задачи для самостоятельного решения
Шаг 20. Электромагнитные колебания. Свойства электро
магнитных волн. Переменный ток
Колебательный контур
Затухающие колебания
Вынужденные колебания
Переменный ток
Генератор переменного тока
Трансформатор
Электромагнитные волны
20.8. Основные свойства электромагнитной волны
20.9. Шкала электромагнитных волн
20.10. Радиоволны
Примеры решения задач
Тесты
Задачи для самостоятельного решения
Шаг 21. Геометрическая оптика
21.1. Прямолинейное распространение света
21.2. Законы отражения света
21.3. Законы преломления света
21.4. Явление полного внутреннего отражения
Примеры решения задач I
21.5. Линзы
21.6. Построение изображений в собирающей линзе
21.7. Построение изображений в рассеивающей линзе
21.8. Вывод формулы линзы
21.9. Оптические системы
Примеры решения задач II
Тесты II
Задачи для самостоятельного решения II
Шаг 22. Волновая и квантовая оптика
Волновая оптика
22.1. Интерференция света
22.2. Оптическая разность хода
22.3. Условия наблюдения интерференционных минимумов
и максимумов
22.4. Опыт Юнга
22.5. Расчет интерференционной картины
22.6. Применение интерференции
22.7. Дифракция света
22.8. Дифракционная решетка
22.9. Дисперсия, поляризация, рассеяние света
Примеры решения задач I
Тесты I
Задачи для самостоятельного решения I
Квантовая оптика
22.10. Тепловое излучение. Гипотеза квантов Планка
22.11. Фотоэффект
22.12. Законы Столетова для внешнего фотоэффекта
Примеры решения задач II
Тесты II
Задачи для самостоятельного решения II
Шаг 23. Элементы теории относительности
23.1.
23.2.
23.3.
23.4.
24.1.
24.2.
24.3.
24.4.
24.5.
25.1.
25.2.
25.3.
25.4.
25.5.
25.6.
Принцип относительности Галилея и теория эфира
Постулаты теории относительности
Следствия из постулатов теории относительности
Элементы релятивистской динамики
Примеры решения задач
Тесты
Задачи для самостоятельного решения
Шаг 24. Атомная физика. Модель атома Бора
Свойства атомов. Модели атомов
Модель атома по Бору
Волны де Бройля
Принцип неопределенности Гейзенберга
Лазеры
Примеры решения задач
Тесты
Задачи для самостоятельного решения
Шаг 25. Ядерная физика. Явление радиоактивности, де
ление и синтез ядер
Состав ядра
Дефект масс и энергия связи
Явление радиоактивности
Закон радиоактивного распада
Ядерные реакции
Примеры решения задач
Тесты
Задачи для самостоятельного решения
Современные проблемы физики. Элементарные частицы
Ответы на вопросы тестов и к задачам для самостоятель
ного решения
Чтобы выигрывать, прежде всего нужно играть.
А. Эйнштейн
Предисловие
У спех сдачи экзамена зависит, в основном, от знания предмета. Ос
новная цель данной книги не только подготовить ученика к успешной сдаче
экзамена по физике, но и дать ему более глубокое понимание законов физики.
Очевидно, что учащемуся надо приобрести навыки решения задач и отве
тов на вопросы тестов. Не трудясь, это невозможно.
Поэтому в пособии дается достаточно много задач с решениями, кото
рые надо разобрать с ручкой в руках, а также задач для самостоятельного
решения, решение которых позволит учащемуся проверить свои знания
и умения.
Вариант, предлагаемый на ЕГЭ, состоит из двух частей.
Первая часть: 1) качественные вопросы, требующие выбора правильного
ответа; 2) задачи-упражнения для получения числового ответа; 3) анализ
графиков; 4) определение показаний физических приборов; 5) выявление
соответствия формулы и закона или формулы для определения физической
величины.
Вторая часть: 1) качественный вопрос, требующий письменного объясне
ния ответа; 2) задачи, решение которых записывается с объяснением логики
решения и формулировками использованных в нем законов.
В пособии даются рекомендации и приводятся примеры по всем видам
предлагаемых заданий: 1) краткое изложение теории; 2) примеры ответов
на вопросы и решения задач разного уровня сложности, при этом задачи
по определенной теме идут под тем же номером, что и теория; 3) в конце каж
дой темы (шага) тесты и задачи для самостоятельного решения; 4) ответы
на вопросы тестов и к задачам (в конце книги).
Пособие может быть использовано как учащимися, так и учителями стар
ших классов, а также студентами первых курсов технических университетов
для восстановления знаний по физике, приобретенных в школе. Приводятся
некоторые выводы и формулы с использованием элементов математическо
го анализа, что поможет учащемуся легче перейти к курсу физики высшей
школы.
Кроме этого в книге есть материал, в котором, как рассчитывает автор,
физика предстает современной, живой наукой, что особенно должно стиму
лировать читателя к ее изучению и пониманию этой науки. В конце пособия
дается краткое изложение современных проблем физики.
Желаю успеха!
Механика. Кинематика
В разделе физики «Механика» изучаются механическое движение,
условия и причины, вызывающие его, а также условия равновесия тел.
Механическим движением называется изменение положения тела или
его частей относительно других тел с течением времени.
Всякое движение относительно. Характер движения зависит от того, от
носительно каких тел мы его рассматриваем.
Тело, относительно которого мы рассматриваем положение других тел
в пространстве, называется телом отсчета.
Системой отсчета называют тело отсчета, систему координат, связан
ную с телом отсчета, и выбранный метод отсчета времени, т. е. часы. Выбор
системы отсчета зависит от условий данной задачи.
В физике широко пользуются моделями, которые позволяют из всего мно
гообразия физических свойств выбрать главное, определяющее данное физи
ческое явление. Одними из первых моделей реальных тел являются матери
альная точка и абсолютно твердое тело.
Материальной точкой называется тело, размерами и формой которо
го можно пренебречь в условиях данной задачи; таким образом, движение
реального тела можно рассматривать как движение геометрической точки.
Абсолютно твердым телом называется тело, расстояние между любыми
двумя точками которого остается постоянным при его движении.
Эти модели позволяют не рассматривать деформацию тел при их движении.
Движение реальных тел, как правило, сложное. Поэтому для упроще
ния решения задач пользуются законом независимости движений: всякое
сложное движение можно представить как сумму независимых простейших
движений. К простейшим движениям относятся поступательное и враща
тельное.
Поступательным называется движение, при котором отрезок, соединя
ющий любые две точки твердого тела, перемещается при движении парал
лельно самому себе. Из этого следует, что все точки тела при поступательном
движении движутся одинаково, т. е. с одинаковыми скоростями, ускорения
ми и по одинаковым траекториям. Траектория — линия, описываемая ма
териальной точкой при ее движении.
Вращательным называется движение, при котором все точки абсолютно
твердого тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной
прямой, называемой осью вращения, причем эти окружности лежат в пло
скостях, перпендикулярных оси вращения.
Пользуясь законом независимости движений, сложное движение твердо
го тела можно рассматривать как сумму поступательного и вращательного
движений.
К)
oi
0)
ч
00
К)
01
12
1.1. Перемещение, путь, скор ость
На рисунке 1.1 показано движение карандаша. Переход из положения
А]В1 (начальное положение) в положение А2В2 (конечное) можно рассматри
вать как сумму двух движений: поступательного (в положение А2В') и вра
щательного (в А2В2).
Движение и вообще все физические явления описываются с помощью фи
зических величин, между которыми устанавливаются соотношения, назы
ваемые физическими законами.
Измерение любой физической величины делается по отношению к еди
нице этой величины. Например, бессмысленно говорить, что длина равна 1.
Станет понятно, чему она равна, если около нее будет стоять единица изме
рения — метр, сантиметр и т. д.
Мы будем использовать при определении величин Международную систе
му единиц, СИ (интернациональная система). Основными величинами си
стемы СИ в механике являются метр (м), секунда (с), килограмм (кг). Такие
величины, как скорость, ускорение, являются производными.
Кинематика описывает движение тел без выяснения причин, вызываю
щих данное движение. Начнем с изучения движения тел, которые можно
рассматривать как материальные точки.
Основной задачей кинематики является определение закона движения,
а также уравнения движения, позволяющего определить положение тела
в любой момент времени. Заметим, что все приведенные ниже формулы спра
ведливы и для описания поступательного движения абсолютно твердого тела.
1.1. Перемещение, путь, скорость
Перемещение s — вектор, соединяющий начальную А и конечную В точ
ки траектории, по которой двигалась материальная точка некоторый проме
жуток времени At (рис. 1.2).
Путь I — длина траектории.
При прямолинейном движении (траектория —
прямая линия) модуль перемещения s равен дли
не пути I, если движение происходит в одном на
правлении.
Для заметок
13
Механика. Кинематика
Быстрота изменения положения материальной точки в пространстве с те
чением времени характеризуется средней и мгновенной скоростями.
Средняя скорость перемещения — векторная величина, равная отноше
нию перемещения к промежутку времени, за которое это перемещение про
изошло:
vcp=s/t.
(1.1)
Пусть точка движется по траектории от Л. до В.
На рисунке 1.2 показаны перемещение s и вектор средней скорости оср.
Гораздо чаще для характеристики движения мы пользуемся понятием
средней путевой скорости (скорости прохождения пути), равной отноше
нию пути к промежутку времени, за который этот путь пройден:
(1.2)
^ср I ~ 1/1 •
На рисунке 1.2 Z
длина кривой АВ. Очевидно, что, поскольку s < I,
должно выполняться и условие Ц.р — ^ср/ •
Мгновенная скорость — вектор скорости тела в данный момент вре
мени.
Мгновенной скоростью называется предел (lim) отношения малого пере
мещения As к промежутку времени At, за который это перемещение произо
шло, при стремлении At к нулю:
^мгн
As
- 11Ш —.
дмо At
(1.3)
Мгновенная скорость направлена по касатель
ной к траектории. Это вытекает из следующих со
ображений: вектор Уср направлен вдоль секу
щей АВ3 (рис. 1.3). Если At стремится к нулю,
то в пределе точки А и В3 сольются в одну точку,
при этом секущая превратится в касательную.
Рассмотрим движение точки в прямоугольной
системе координат (рис. 1.4).
Положение точки характеризуется положени
ем радиуса-вектора г. Из рисунка видно, что пе
ремещение точки равно изменению радиуса-век
тора: As = Аг, Аг = гв - гА.
Тогда мгновенную скорость точки можно опре
делить как первую производную радиуса-вектора
по времени:
А/’
^мгн = 11Ш —
дг^о At
Рис. 1.4
14
1.2. Прямолинейное равномерное движение
1.2. Прямолинейное равномерное движение
Равномерным прямолинейным называется движение, при котором ма
териальная точка за любые равные промежутки времени совершает одина
ковые перемещения. При этом движении мгновенная скорость совпадает
со средней скоростью перемещения:
Аг
^мгн
^ср
М
Пусть Хо — координата точки в момент времени ^ = 0 (рис. 1.5), а х — коор
дината в момент времени t. Очевидно, Ах = х - Xq. Из определения скорости
следует: vx = (х - x^/t, откуда уравнение движе
ния материальной точки, т. е. х = f(t), имеет вид:
X = х0 + vxt,
Рис. 1.5
(1.4)
где их = ±и, где и = и
Тогда получаем закон движения тела в виде:
х = х0 ± vt.
(1-5)
На рисунке 1.6 показаны зависимости vx(t) и x(t) от времени при раз
личных значениях скоростей: fx = 2 м/с, 3 м/с, -2 м/сих0 = 2 м. Из ри
сунка очевидно, что чем больше их, тем больше угол наклона графика
x(t) к оси абсцисс. По графику vx(t) (см. рис. 1.6, а) можно найти модуль
перемещения s за время t, определив площадь заштрихованного прямо
угольника.
Рис. 1.6
Для заметок
15
Механика. Кинематика
1.3. Относительность движения.
Классический закон сложения скоростей
Для описания движения необходимо выбрать систему отсчета. В ряде за
дач приходится рассматривать движение одного и того же тела относитель
но разных тел, причем эти тела, а следовательно, связанные с ними системы
отсчета, могут двигаться относительно друг друга. Обозначим скорость дви
жущейся системы отсчета относительно неподвижной й0, скорость тела от
носительно неподвижной системы отсчета о. (Обычно в качестве неподвиж
ной принимается система отсчета, в которой телом отсчета является Земля.)
Скорость тела относительно подвижной системы отсчета есть о'.
Пусть в начальный момент времени начала координат, связанных с под
вижной и неподвижной системами отсчета, совпадают (рис. 1.7, а). Матери
альная точка также находится в начале координат. За время At материаль
ная точка переместилась в неподвижной системе на As, в подвижной — на
As', а начало координат подвижной системы переместилось на As0
(рис. 1.7, б): As = As0 +As'. Разделив на At левую и правую части равенства,
получим
As _ As0
At At
As'
At ’
откуда
V = Vq + v'.
(1.6)
Рис. 1.7
Полученное уравнение выражает классический, закон сложения скоростей.
Скорости v, v0 и о' обычно имеют следующие названия и обозначения:
и — абсолютная скорость, йабс; и' — относительная скорость, йотн; ^о —
16
1.4. Движение с переменной скоростью
переносная скорость, %. Тогда классический закон сложения скоростей
запишем в виде:
^абс
^отн "i” ^пер ’
(1-7)
т. е. абсолютная скорость тела равна геометрической сумме векторов относи
тельной и переносной скоростей.
1.4. Движение с переменной скоростью
Величина, характеризующая быстроту изменения скорости, называется
ускорением.
Среднее ускорение определяется отношением изменения скорости к про
межутку времени, за который это изменение произошло:
пср = Ли/At.
(1.8)
Если ^ и f2 — мгновенные скорости в моменты времени tr и t2, то
Av = v2-vx, At = t2-ti
На рисунке 1.8 изображены векторы мгновен
ных скоростей и ускорения. Сделаем параллель
ный перенос вектора v2 в точку А. Тогда Ай опре
делит направление «Ср.
Мгновенное ускорение — ускорение тела в дан
ный момент времени. Это физическая величина,
равная пределу отношения изменения скорости
к промежутку времени, за который это изменение
Рис. 1.8
произошло, при стремлении промежутка времени
к нулю:
^мгн
Лу
= 11Ш —
А^о At
(1.9)
Вектор мгновенного ускорения амгн направлен так же, как и вектор изме
нения скорости Ай при А£ —> 0, и не совпадает в общем случае с направлени
ем вектора скорости v.
Пусть мгновенное ускорение лмгн направлено,
как указано на рис. 1.9, под углом к вектору ско
рости. Ускорение характеризует изменение ско
рости по модулю и по направлению. Разложим
ускорение на две составляющие: ах — тангенци
альное (или касательное пк) ускорение и ап — нор
мальное (или центростремительное пцс) ускоре
ние. Составляющая ускорения ах направлена
по касательной к траектории и характеризует изДля заметок
17
Механика. Кинематика
менение скорости по модулю; составляющая ап направлена к центру кривиз
ны траектории (по нормали к скорости) и характеризует изменение скорости
по направлению. ап = и2/R, где и — модуль мгновенной скорости, R — радиус
кривизны траектории в данной точке (покажем ниже). Модуль мгновенного
ускорения
(1.10)
^мгн
1.5. Прямолинейное равноускоренное движение
Когда нормальное ускорение тела равно нулю, ап = 0, скорость не изменя
ется по направлению. В этом случае полное ускорение равно тангенциально
му а = ах. Если при этом ускорение остается постоянным по величине,
то материальная точка движется прямолинейно и равноускоренно и среднее
ускорение равно мгновенному: пср = амгн.
Направим ось ОХ вдоль направления движения тела в момент времени
t = 0 (рис. 1.10). Из определения ускорения следует, что ах = —---- —, где
vOx — скорость тела при £ = 0. Тогда составляющая скорости по оси X
(1.И)
На рисунках 1.10 показаны скорости и направления ускорения (ах > 0
и ах< 0).
^х — ^0х + (txt'
О
б)
Рис. 1.10
Пусть скорость изменяется со временем, как
показано на рис. 1.11. Разделив промежуток вре
мени на малые отрезки Ath в пределах каждого
из которых скорость можно считать постоянной,
получим, что перемещение за некоторый про
межуток времени At численно равно сумме пло
щадей малых прямоугольников, т. е. площади
криволинейной трапеции (заштрихованная пло
щадь).
18
1.5. Прямолинейное равноускоренное движение
Зная закон изменения скорости при прямоли
нейном равноускоренном движении и изобразив
его на графике (рис. 1.12), мы получим форму
лу для определения изменения координаты тела
со временем. Это изменение численно равно пло
щади заштрихованной трапеции:
Рис. 1.12
Следовательно, положение (координата) материальной точки определяется
уравнением движения
х = х0 + vOxt + axt2/2.
(1.13)
В это уравнение мы подставляем значения кинематических характеристик
с учетом их направления, поэтому для решения задач удобны следующие вы
ражения для скорости и координаты точки:
х = XQ±vQt ± at2/2,
(1-14)
vx = ±v0±at,
(1-15)
где к0 и п — модули начальной скорости и ускорения.
Если начальная скорость и ускорение совпадают по направлению, движе
ние тела будет ускоренным-, если направления их различны, то движение за
медленное. Изобразим на графиках зависимости ax(t), vx(t) и x(t) (рис. 1.13)
для равноускоренного и равнозамедленного движений, при условии Оох > О,
взяв числовые данные: х0 = 0, иОх = 1 м/с, ах = 1 м/с2; 3 м/с2; -0,5 м/с2;
-1 м/с2. Если ах>0и ускорение совпадает по направлению с вектором на
чальной скорости (рис. 13, а), то скорость непрерывно возрастает (рис. 13,6).
Это видно также из графика зависимости x(f) (рис. 1.13, в): увеличивается
тангенс угла наклона касательной к кривой, который определяет мгновен
ную скорость материальной точки о = Ах/At = tga. (Заметим, что здесь мы
говорим о численном значении скорости, так как скорость имеет наимено
вание (размерность), а тангенс угла — безразмерное число.) График x(t) при
ах>0 — парабола с ветвями, направленными вверх (см. рис. 1.13, в). Верши
на параболы в общем случае не совпадает с началом координат. Касательная
к параболам при t = 0 общая, так как начальные скорости одинаковы. При
ахq since
gL
чаем: п =—
(n > 0 и целое число). Окончательно
2
4 2fo since
Для заметок
35
Механика. Кинематика
.
п=
2gL
2 •
Ро since
2
2gL
2ghsina
2
К)
/г sin О' _ 2
W
2
Движение двух тел
В задачах о движении двух тел обычно требуется определить время и ме
сто их встречи, а также расстояние между телами, их относительную ско
рость, т. е. скорость одного движущегося тела относительно другого. Усло
вие встречи тел — равенство их координат, а относительная скорость:
(Л
О)
^отн! = ^1 - ^2 ( ^отн2 = ^2 - ^1 ).
00
Задача 16. Два мяча одновременно бросают вертикально вверх: один с пола
со скоростью ^j = 10 м/с, другой с высоты /г = 1 м со скоростью v2 = 5 м/с.
Определите, на какой высоте они встретятся.
Решение. Направим ось У вертикально вверх, начало координат совме
стим с полом (рис. 1.34). Уравнения движения мячей будут иметь вид:
gt2
У1 = ^Д - 2 ’
gt2
y2=h + v2t2
ю
(1.37)
ы
(1.38)
Условие встречи: у^
у2 или
st2
h
откуда tB =-------
Хп.т, поэтому изменением
потенциальной энергии шарика в поле силы тяжести можно пренебречь.
\kx2
Гй
Окончательно и = .\----- =XJ— =4 м/с.
у т
ут
Задача 8. На нити длиной 2 м висит небольшой ящик с песком массой
т = 2 кг. Пуля, летящая горизонтально, попадает в ящик и застревает в его
середине, при этом угол О' максимального отклонения нити составляет 30°.
Определите скорость пули и0, если масса пули т0 = 10 г. (Это устройство
называется баллистическим маятником и ис
пользовалось раньше для определения скорости
пуль.) Размеры ящика существенно меньше дли
ны нити.
Решение. Взаимодействие пули и ящика абсо
лютно неупругое. Выберем направление оси X, как
показано на рис. 3.17. Так как проекции внешних
сил на ось X равны 0, можно написать закон со
хранения импульса для системы «ящик — пуля»
в проекциях на эту ось:
Рис. 3.17
movo = (т0 + m)v.
(3.32)
Из (3.32) можно определить и0, если известна скорость v. Воспользуемся
законом сохранения механической энергии. Нулевой уровень отсчета потен
циальной энергии совпадает с осью X. Тогда в положении 1 ящик с застряв
шей в нем пулей обладает только кинетической энергией, а в положении 2 —
только потенциальной энергией: Ек\ = (т + m0)v2/2, En2 = (т + mo)gh.
Из рисунка 3.17 определяем h = l - Icosa. Закон сохранения механической
энергии имеет вид: (т + mo)v2/2 = (m + m0)gl(l-cos О'), откуда о = yjgl(l-cosa),
uQ = Z^o±£L /J/qT^^J = 350 м/с.
Задача 9. Определите вторую космическую скорость спутника для выхода
из области притяжения: 1) Земли; 2) Солнца. (Радиус и масса Солнца равны
7 ■ 105 км и 2 • 1030 кг соответственно).
Решение. Второй космической v^ скоростью называется минимальная
скорость, которую надо сообщить телу с поверхности Земли (Солнца), чтобы
оно вышло за пределы притяжения Земли (Солнца), т. е. никогда не верну
лось бы на Землю (Солнце). Сила тяготения — консервативная сила, поэтому
для расчета кп можно воспользоваться законом сохранения механической
Для заметок
жения равна силе тяжести: G----^- = mg, откуда GM3= gR3. Следовательно,
Ra
для Гцз получаем более простую формулу: fII3 = -]2gR3.
Задача 10. Определите скорости шаров Ui и и2 после прямого, абсолютно
упругого удара. Массы шаров соответственно т^ и т2, скорости до удара fi
и v2 (рис. 3.18).
£1
">
V'.
и2
Рис. 3.18
Решение. Абсолютно упругий удар — это взаимодействие, в результате ко
торого механическая энергия сохраняется. Прямым (центральным) ударом
называется удар, при котором векторы скорости лежат на линии, соединяю
щей центры шаров. Будем считать, что трение отсутствует, так как о силе
трения ничего не говорится в условии задачи. Тогда закон сохранения им
пульса выполняется и записывается в виде: т^ +m2v2 =т1й1 +т2й2. Запи
шем это уравнение в проекции на ось X, предположив, что после удара шары
разлетаются в разные стороны:
miVi - m2v2 = -miUi + т2и2.
(3.33)
Поскольку удар абсолютно упругий, справедлив закон сохранения энергии
т1и12
т2и22 _ т^2
т2и22
(3.34)
82
Примеры решения задач II
Уравнения (3.33) и (3.34) образуют систему относительно неизвестных щ
и U2.
Перенесем все члены, содержащие т^, в левую, а т2 — в правую часть
уравнений:
^1(^1 +
и1) = т2(и2 + и2),
^1(^1
-Ui) = m2(u%-v2).
Очевидно, что щ ^ -щ; и2 Ф —и2. Если бы это было не так, то это означа
ло бы, что шары, столкнувшись, не изменили своей скорости ни по моду
лю, ни по направлению. Следовательно, можно разделить левые и правые
части равенств друг на друга. Тогда получим Vi - щ = и2 - v2, откуда и2 =
= щ + р2 “ щ.
Подставив и2 в (3.33), получим уравнение относительно щ: т^ — т2и2 =
= -т1и1 + т2(о1 + ц2) - m2Ui.
_ 2m2v2 + и1(т2 -т^
Решение этого уравнения имеет вид:
и1 т1 + т2
_ 2т1и1 + v2(ml -т2)
Если массы шаров равны, то и^ = v2, и2 = иъ т. е. после
И2 —
т1 + т2
прямого, абсолютно упругого удара тела обмениваются скоростями.
Задача 11. На гладком столе лежит канат длиной I, один из концов кото
рого немного свисает. Определите скорость каната в тот момент, когда он
полностью соскользнет со стола (рис. 3.19). Считать, что сила трения отсут
ствует.
1
С
и
Рис. 3.19
Решение. Поскольку сила трения отсутствует, воспользуемся законом со
хранения механической энергии. Выберем за нулевой уровень потенциаль
ной энергии центр тяжести каната в тот момент, когда он соскользнет со сто
ла. Тогда в положении 1 тело обладает только потенциальной энергией,
а в положении 2 — только кинетической: Eni = mgl/2, Ек2 = mv2/2. Прирав
нивая эти выражения и решая относительно и, получим v = y[gE
Задача 12. От удара груза массой М = 50 кг, падающего свободно с высоты
Л = 4 м, свая массой /и = 150 кг погружается в грунт на As = 10 см. Определите
Для заметок
83
Динамика. Законы сохранения
среднюю силу сопротивления грунта, считая удар
груза о сваю абсолютно неупругим.
Решение. При падении груза на сваю его ско
рость 1?о = y^gh (рис. 3.20). При абсолютно неу
пругом взаимодействии после удара груз и свая
движутся, как единое целое, с одинаковой скоро
стью и. К системе «груз — свая» применим закон
сохранения импульса, если считать, что суммар
ный импульс внешних сил (силы тяжести и силы
сопротивления) мал по сравнению с импульсом
силы взаимодействия. Тогда в проекции на ось У:
Ми0 = (т + М}и.
К)
w
Рис. 3.20
(3.35)
Кинетическая энергия системы «свая — груз» после удара Ек = (т +
+ М)и2/2. Изменение кинетической энергии равно сумме работ силы сопротивления и силы тяжести: АЕК =АТ + Асопр, 0 - (m + M)v2/2 = (т + M)gAs - ГсопрДз,
откуда Fconp = (т + M)g + (М + m)o2/2As. Выразив скорость и из (3.32), получим
h
М
= (т + M)g +
= (m + M)g 1 +
2As(m + M)
As{M + m
F
\2
= 6860 Н.
Тесты II
Ш
Шарик массой т, привязанный к нити длиной I, начинают вращать
в вертикальной плоскости. Определите работу силы тяжести в момент, когда
шарик сделает 1,5 оборота.
Тело массой т равномерно движется по горизонтальной плоскости под
действием силы F, направленной параллельно плоскости. Определите рабо
ту силы трения при перемещении s.
Тело падает свободно с высоты h. Равны ли работы силы тяжести за рав
ные промежутки времени? Выбрать правильный ответ:
1) равны, так как сила тяжести постоянна;
2) не равны, так как за равные промежутки времени точка приложения
силы тяжести совершает разные перемещения;
3) не равны, так как в разные моменты времени скорость тела различна;
4) равны, так как сила тяжести — консервативная сила.
И
Работа силы, растягивающей пружину на Дх, равна 15 Дж. Чему равна
работа этой силы при сжатии пружины на Дх?
и
Пружину жесткостью k растягивают на Xi, а затем сжимают также
на Xi. Определите суммарную работу силы упругости.
пь
3) у v > пп.
Задачи для самостоятельного решения
Каким должен быть радиус выпуклого моста, чтобы в его верхней точке
сила давления автомобиля на мост была в 2 раза меньше его силы тяжести?
Скорость автомобиля 144 км/ч.
121
Летчик массой 70 кг ведет самолет по окружности радиусом 200 м
со скоростью 100 м/с. Под каким углом к горизонту наклонены крылья са
молета и чему равна сила давления Fa летчика на сиденье? (Ускорение сво
бодного падения принять g = 10 м/с2.)
L31 На нить длиной I подвесили груз. Какую минимальную горизонталь
ную скорость надо ему сообщить, чтобы он сделал полный оборот в верти
кальной плоскости? Ответьте на тот же вопрос в случае, если груз закреплен
на невесомом стержне.
и
Найдите максимальную разность между значениями силы натяжения
нити при вращении в вертикальной плоскости шарика массой т на невесо
мой нити.
и
Шарик массой т = 200 г подвешен на невесомой растяжимой нити
жесткостью k = 120 Н/м. Нить с шариком отводят в горизонтальное положе
ние и отпускают. Каково растяжение нити при прохождении шариком по
ложения равновесия?
(Л
0)
со
Ра> Рс>
2) Ра = Рв = Pci
3) Рс> Ра> Pei
а
4)Pc>Pb>Pa
Рис. 6.17
Для заметок
Элементы гидромеханики
133
Льдинка, в которой замерзла дробинка, плавает в стакане с водой. При
таянии льдинки уровень воды в стакане (выберите правильный ответ):
1) останется прежним;
2) понизится;
3) повысится.
Вес кубика в жидкости при его полном погружении вдвое меньше, чем
в воздухе. Определите отношение плотности жидкости к плотности веще
ства, из которого сделан кубик.
а
Легкий шарик объемом V и массой т положили в сосуд с жидкостью,
в которую он погрузился на 1/3 своего объема. Насколько изменился уро
вень жидкости в сосуде, если площадь сечения сосуда S?
а
Выберите причину уменьшения устойчивости лодки, если человек
встает в ней в полный рост:
1) уменьшение глубины погружения;
2) изменение положение центра тяжести человека;
3) движение человека при подъеме;
4) изменение положения центра тяжести системы «человек — лодка».
Чему равна глубина водоема, если на дне давление равно 2 атм?
И Шарик плавает на поверхности жидкости. Как изменится выталкива
ющая сила и объем погруженной в воду части шарика после того, как в ней
растворили соль?
Для каждой физической величины определите соответствующий харак
тер изменения:
1) увеличивается;
2) уменьшается;
3) не изменяется.
Запишите в таблицу выбранные цифры для каждой физической величи
ны. Цифры в ответе могут повторяться.
Сила Архимеда
Объем, погруженный в жидкость
Задачи для самостоятельного решения
ГП В цилиндрический сосуд налиты ртуть и вода, причем их массы одина
ковы. Общая высота столба жидкости 1 м. Определите давление жидкости
на дно сосуда. Плотность ртути 13,6 • 103 кг/м3.
Определите плотность однородного тела, вес которого в воздухе 10 Н,
а в воде 6 Н.
134
Задачи для самостоятельного решения
Шарик, подвешенный на пружине, опускают в воду. Растяжение пру
жины уменьшается при этом в 1,5 раза. Вычислите плотность материала ша
рика.
Небольшой пробковый шарик погружают в воду на глубину 0,5 м и от
пускают. На какую высоту над поверхностью воды подскочит шарик? По
верхностным натяжением и сопротивлением воды пренебречь. Плотность
пробки 2 • 102 кг/м3.
а
Брусок сделан из сплава железа и никеля. Определите процентное со
держание сплава, если известно, что брусок весит в воздухе 33,52 Н, а воде
29,6 Н. Плотность железа 7,8 • 103 кг/м3, а никеля 8,8 • 103 кг/м3.
Сосуд стоит на тележке, которая соедине
на пружиной с неподвижной стенкой (рис. 6.18).
В сосуде на глубине h имеется отверстие, закры
тое пробкой. Какая сила подействует на пружину,
если пробку вынуть? Площадь отверстия S.
й Плотность жидкости, перекачиваемой насо
Рис. 6.18
сом, увеличили на 20% . На сколько процентов изменилась скорость жидкости в насосе, если мощ
ность насоса осталась прежней?
0 В сосуд с водой опустили трубку сечением 8 = 2 см2. Затем в трубку на
лили 72 г масла (рм = 900 кг/м3). На сколько уровень масла в трубке выше
уровня воды в сосуде?
При подъеме груза массой т = 2000 кг с помощью гидравлического
пресса затрачена работа А = 40 Дж. При этом малый поршень сделал п = 10
ходов, перемещаясь за один ход на Л = 10 см. Во сколько раз площадь боль
шого поршня больше площади малого?
Объем надводной части айсберга 200 м3. Определите массу айсберга.
Плотность воды 1000 г/м3, плотность льда 900 г/м3.
11| Шарик всплывает с постоянной скоростью в жидкости, плотность ко
торой в 4 раза больше плотности материала шарика. Определите силу сопро
тивления жидкости при движении в ней шарика, считая эту силу постоян
ной. Масса шарика 10 г.
12] Бак высотой 60 см стоит на земле и доверху наполнен водой. В боко
вой поверхности бака на высоте 10 см от его дна сделано отверстие, закры
тое пробкой. На какое максимальное расстояние от бака попадет на землю
струя, если вынуть пробку?
Для заметок
Молекулярная физика.
Газовые законы.
Основное уравнение МКТ газов
К)
W
(Л
В этом разделе физики для описания состояния системы, например,
газа, используют два метода. Первый основан на микроскопическом опи
сании, когдаобъекты рассматриваются как совокупность огромного числа
движущихся частиц. Так, газ рассматривается как совокупность молекул,
и ставится задача определения характеристик движения молекул. Второй
метод основан на макроскопическом описании. В этом случае система харак
теризуется макропараметрами, которые можно измерить с помощью прибо
ров, например термометра и барометра.
о
со
Гп сила притяжения FnD больше, чем сила отталкивания:
А/-
= Fnp потенциальная энергия минимальна, суммар
ная сила, действующая на молекулы, равна нулю.
При г < /’о сила отталкивания становится больше
силы притяжения:
Рис. 7.2
Для заметок
< Аг
< 0 . При значе
ниях г ~ d потенциальная энергия неограниченно
возрастает. Это означает, что сила отталкивания
также стремится к бесконечности, т. е. две молеку
лы не могут сблизиться на расстояние меньшее,
чем г0. Это позволяет рассматривать взаимодействующие молекулы как упругие шарики диаме
тром г0, где г0 — минимальное расстояние между
их центрами. При этом реальное взаимодействие
молекул моделируется законами абсолютно упру
гого удара.
Силы взаимодействия определяют и характер
движения молекул. Молекулы газа движутся
хаотически (силы FB3 малы), в твердых телах мо
лекулы колеблются около положений равнове-
Молекулярная физика. Газовые законы
137
сия, в жидкостях молекулы также колеблются около положений равнове
сия, время от времени, однако, перескакивая в новое положение, отстоящее
от предыдущего на несколько межмолекулярных расстояний.
7.2. Газовые законы
Средние расстояния между молекулами газа велики (г » г0), поэтому
силы взаимодействия малы и ими можно пренебречь, а также можно прене
бречь размерами самих молекул. Газ, для которого это справедливо, называ
ется идеальным газом. Идеальный газ — модель реального газа.
Любой газ при давлениях, меньших 10 атм, можно рассматривать как
идеальный. Газ характеризуется тремя параметрами: объемом V, давле
нием р и температурой Т. Температура может быть измерена по разным
температурным шкалам, например по шкалам Цельсия (Г), Кельвина (Т),
Фаренгейта (tF). Абсолютная температура (температура по шкале Кель
вина) связана с температурой по шкале Цельсия соотношением: Т [К] ~ t°C +
+ 273 °C. Следовательно, значения температуры одного и того же тела, из
меренные по этим шкалам будут различаться, однако градус Цельсия равен
градусу Кельвина, поэтому изменение температуры по обеим шкалам одина
ковы: Af °C = ЛТ. Соотношение температур по шкалам Фаренгейта и Цельсия:
ГС = (5/9)(^-32).
Если значения температуры и давления газа в различных точках объема
имеют разные значения, то температура и давление являются функциями
координат, т. е. Т(х, у, z), р(х, у, z). В этом случае газ (система) находит
ся в неравновесном состоянии, и мы не можем назвать значения давления
и температуры, определяющие состояние системы. Если систему, находя
щуюся в неравновесном состоянии, предоставить самой себе, то температу
ра и давление постепенно выравниваются, система приходит в равновесное
состояние, при котором температура и давление во всех точках объема
одинаковы,. Можно определить параметры газа, если он находится в равно
весном состоянии.
Процессы, происходящие в системе (газе), удобно изображать на графи
ках, например на графике зависимости давления газа р от его объема V или
от температуры Т. На графиках этих зависимостей мы можем изображать
только такие процессы, при которых каждое промежуточное состояние явля
ется равновесным. Экспериментально исследовались процессы, при которых
один из трех параметров и масса газа оставались неизменными. Эти законы
называются газовыми законами. Если газ подчиняется газовым законам,
его можно считать идеалъны,м (еще одно определение идеального газа).
1. Закон Бойля — Мариотта. Для данной массы, газа при постоянной
температуре произведение давления газа на объем остается величиной по
стоянной:
/?У= Const,
ИЛИ
Р1У1=Р2^2-
(7.1)
138
7.2. Газовые законы
Рис. 7.3
Зависимость давления от объема газа изображе
на на рис. 7.3.
Процессы, происходящие при постоянной тем
пературе, называются изотермическими, а кри
вые, изображающие процессы при Т = const, —
изотермами. Так как р = const/V, изотермы
являются гиперболами.
2. Закон Гей-Люссака. Для данной массы газа
при постоянном давлении объем изменяется при
увеличении температуры, по линейному закону:
7 = 70(1 + <
а= 1/273 °C.
(7.2)
Объем некоторой массы газа при постоянном давлении и повышении тем
пературы на 1 °C увеличивается на 1/273 часть объема, который эта масса
занимала при О °C.
Подставив О' в (7.2), получим
У0(273°С + ^ °C)
273 °C
Абсолютная температура Т = 273 °C + / °C, тогда при р = const
273 °C
= const.
(7.2а)
Закон Гей-Люссака можно сформулировать следующим образом: отноше
ние объема к абсолютной температуре для данной массы, газа при постоян
ном давлении остается постоянным.
Процессы, происходящие при постоянном давлении, называются изобар
ными (изобарическими), а линии, изображающие изобарный процесс, —
изобарами. На рис. 7.4 показаны две изобары при различных давлениях
Pi < Р2 (очевидно, что при данной температуре чем больше объем, тем меньше
давление). Около точки £ —> -273 °C (Г —> 0) зависимости изображены пун
ктирными линиями, так как эти зависимости
найдены экспериментально, а при низких темпе
ратурах газ превращается в жидкость, и они уже
не верны. Продолжив экспериментальные зависи
мости V (t °C) до пересечения с осью абсцисс, най
дем, что они пересекаются в одной точке.
3. Закон Шарля. Для данной массы газа при
постоянном давлении объем изменяется при уве
личении температуры по линейному закону:
р=р0(1 + at),
где t — температура в °C.
Для заметок
(7.3)
Молекулярная физика. Газовые законы
139
По аналогии с законом Гей-Люссака закон Шарля можно записать в виде
р/Т = const при
V = const.
(7.3а)
Закон Шарля можно сформулировать еще и так: для постоянной массы
газа при постоянном объеме отношение давления газа к его абсолютной
температуре остается постоянным.
Процессы, происходящие при постоянном объ
еме, называются изохорными (изохорическими),
а линии, изображающие их на диаграммах, —
изохорами.
На рисунке 7.5 изображены изохорные процес
сы при разных значениях объема. Зависимости
вблизи абсолютного нуля изображены так же, как
и при изобарных процессах, пунктирными лини
ями. Указанные три закона устанавливают связь
Рис. 7.5
двух из трех параметров газа.
7.3. Объединенный газовый закон.
Уравнение Клапейрона — Менделеева
1. Уравнение, устанавливающее связь трех параметров газа (р, V, Т) при
постоянной массе газа (т = const), называется объединенным газовым за
коном.
Пусть система, находящаяся в состоянии 1 (рис. 7.6) с параметрами
Ръ ^i, Ti, перешла в состояние 2 с параметрами р2, V2, Т2. Переведем си
стему из состояния 1 в 2 следующим образом: сначала газ изотермически
расширяется до объема И2 (кривая 1-1), а затем изохорно нагревается
до температуры Т2 (отрезок 1'-2). Итак, промежуточное состояние газа 1'
характеризуется параметрами р', V2, Т^ При изо
термическом расширении для постоянной массы
газа m = const справедлив закон Бойля — Мари
отта (7.1):
PiVr=p'V2.
(7.4)
При изохорном нагревании справедлив закон
Шарля (7.3):
р1 = Е1
(7.5)
Ti Т2
Выразив р' из (7.4) и (7.5) и приравняв оба выражения для р', получим равенство ——— - ——— , т. е. для постоянной массы газа т = const его параметры
pV = const.+
---р, Vn Т связаны соотношением
Т
140
7.3. Объединенный газовый закон
Это уравнение называется объединенным газовым законом (уравнением
Клапейрона).
2. Уравнение Клапейрона — Менделеева (уравнение состояния идеаль
ного газа) связывает термодинамические параметры p,V, Т и количество ве
щества газа V.
Моль равен количеству вещества, содержащему столько же молекул,
сколько их содержится в 0,012 кг углерода (С12). В одном моле любого ве
щества число молекул равно числу Авогадро NA = 6,022 • 1023 моль4. Масса
моля М равна произведению массы одной молекулы ш^ на число Авогадро NA:
M = m0NA.
(7.6)
Из опыта известно, что 1 моль любого газа при нормальных услови
ях (р0 = 1 атм = 1,013 • 105 Па и/0 = 0 °C, т. е. То = 273 К) занимает объем
Ио - 22,4 л = 22,4 • 10 3 м3. Уравнение Клапейрона для одного моля идеально
го газа можно записать в виде:
РУ = Povo = const, .
---(7.7)
Т
То
Отношение R = PqVq/Tq = const называется универсальной газовой посто
янной и равно
R = 1 атм-22,4 л = ^ а»л = ад1
1 моль-2 73 К
моль К
моль К
(7.8)
Если в сосуде увеличить число молей в v раз, то давление в нем при той же
температуре также увеличится в v раз. Таким образом, с учетом того, что
т
v = —, получаем:
pV = —RT.
(7.9)
М
Это соотношение называется уравнением Клапейрона — Менделеева.
Все перечисленные газовые законы являются частными случаями уравне
ния (7.9), если один из параметров газа остается постоянным. Так, напри
мер, при Т = const получим pV = const (закон Бойля — Мариотта), и т. д. Уни
версальная газовая постоянная связана с постоянными — числом Авогадро
Na и постоянной Больцмана fe = 1,38 • 1023 Дж / К — соотношением:
R = kNA,
(7.10)
Подставив (7.10) в (7.9), имеем pV = NkT. Если разделить обе части этого
уравнения на объем газа V и учесть, что п = N/V (п — концентрация молекул
газа, т. е. число молекул в единице объема), то получим другой вид уравне
ния Клапейрона — Менделеева:
р = nkT.
Для заметок
(7.11)
141
Молекулярная физика. Газовые законы
Уравнения (7.9) и (7.11) называются уравнениями состояния идеального газа, так как они связывают между собой параметры газа (идеального),
характеризующие его состояние.
м
w
7.4. Закон Дальтона
Если в сосуде объемом V находится смесь газов, то давление смеси опреде
ляется законом Дальтона: давление смеси газов равно сумме парциальных
давлений: p=Pi + рг + —
Парциальное давление Pi — давление компонента смеси при условии, что
mt RT
он занимает весь объем, т. е. Pi = ——~, где тх и Mj, — масса и молярная
масса i-ro компонента смеси. Таким образом, если в сосуде находится смесь
различных газов, то
RT Л mt
!
0. Абсолютный нуль —
это температура, при которой фактически прекращается поступатель
ное движение молекул. Для одноатомного газа формула (7.19) определяет
полную механическую энергию молекулы идеального газа.
Для заметок
145
Молекулярная физика. Газовые законы
\^Т
Введем понятие средней квадратичной скорости: fcp кв = ^v - Л----- •
Средняя квадратичная скорость равна квадратному корню из среднего
квадрата скорости.
Примеры решения задач
Газовые законы
План решения задач по теме «Газовые законы и уравнение состояния
идеального газа»
1. Вводим параметры, характеризующие два состояния газа.
2. Используем условия задачи для определения параметров газа в разных
состояниях.
3. Выясняем, есть ли постоянные параметры.
4. Записываем один из газовых законов или уравнение состояния идеаль
ного газа.
5. Если объем газа ограничен подвижным поршнем или столбиком жид
кости, то записываем условие равновесия поршня или столбика жидкости.
6. Из написанных соотношений составляем систему алгебраических урав
нений, которую затем решаем (число уравнений должно быть равно числу
неизвестных).
7. Иногда при решении задачи удобно изображать процесс на pV-, рТ- или
ИТ-диаграмме, что облегчает решение.
Задача 1. В пробирке длиной Z = 10 см, расположенной вертикально, над
воздухом находится столбик ртути высотой А = 3 см. Пробирку переворачи
вают вверх дном. Определите, какой высоты столбик ртути останется в про
бирке. Принять ратм = 1,013 • 105 Па, плотность ртути р = 13,6 • 103 кг/м3.
Решение. Если перевернуть пробирку, то воздух, заключенный под столби
ком ртути, расширится. В положении 1 (рис. 7.11,
слева) объем воздуха Vr = (I — h)S, в положении 2
объем воздуха V2 = (I - x)S. Условия равновесия
столбика ртути в первом положении:
ЕД1+Ед2+ад = 0,
(7.20)
где Ед2 = paTMS, Fal=p1S, где Pi — давление воздуха
в пробирке, т = pSh — масса столбика ртути в по
ложении трубки 1.
В проекции на ось Yуравнение (7.20) имеет вид:
PrS -mg- p&TyiS = 0, или рх - pgh - paTM = 0, откуда
Р1=Ратм + р^.
Рис. 7.11
146
Примеры решения задач
Условия равновесия столбика ртути во втором положении:
^+^> + 77^ = 0,
(7.21)
где F^ = ^Д2 = Ратм^ ^2 = P2S’ ГПХ = pSx.
В проекции на ось Y уравнение (7.21) имеет вид: paTMS — Р2^ — mxg = 0, от
куда р2 =Ра™ “ Р^Температура воздуха не изменяется, процесс расширения происходит изо
термически. Следовательно, для воздуха, запертого столбиком ртути, спра
ведлив закон Бойля — Мариотта (Р1У1 = P2V2), из которого получается ква
дратное уравнение относительно неизвестного х:
(Ратм + P^)(Z “ ^) = (Ратм “ P^)(Z “ *)•
(7.22)
Для удобства расчетов обозначим pgl + ратм = A, paTMZ - (ратм + P^)(Z - h) = В.
А± Ja2 -4pg-B
Тогда решение ^ 2 =--------------------•
2pg
Подставляем числовые значения: А = 1,15 • 10° Па, В = 2,78 • 103 Па • м,
pg= 1,33 • 105 Па/м.
Физический смысл имеет только один из корней уравнения
AА2- 4р?Б
х =----- -------------- = 0,026 м.
2pg
Второй корень имеет значение, большее Z, что невозможно.
Заметим, что в задачах этого типа для простоты расчетов удобно пользо
ваться тем, что атмосферное давление определяется по формуле ратм = р^Л0,
Ло = 760 мм рт. ст. = 76 см рт. ст.
Подставив ратм в (7.22), получим (Ло + h)(l - Л) = (Ло - x)(Z — х). Выразив Ло,
h, I в сантиметрах, получим х = 2,6 см.
Задача 2. При нагревании газа на 1 К при постоянном объеме давление
увеличилось на 0,2%. Какова начальная температура газа?
Решение. Газ нагревается при постоянном объеме — процесс изохорный.
Pi = —
Ti , где Т2 = Ti + АТ. Из условия задачи следует, что
По закону Шарля —
Р2 ^2
1
А А 1,002
ДТ
Р2 - Pi' 1,002, т. е. — = —---- —, откуда Л =--------= оООК.
7^
Д+АТ
1 0,002
Задача 3. Давление воздуха внутри бутылки, закрытой пробкой, равно
0,1 МПа при температуре Zi = 7 °C. На сколько градусов нужно нагреть воз
дух в бутылке, чтобы пробка вылетела? Без нагревания пробку можно вы
нуть, прикладывая к ней силу 30 Н. Сечение пробки 2 см2.
Решение. Чтобы пробка вылетела из бутылки, необходимо, чтобы давле
ние воздуха в бутылке равнялось p = F / S. При нагревании объем не изменяДля заметок
147
Молекулярная физика. Газовые законы
ется. По закону Шарля р0/Т1=р/Т2, откуда Т2 = рТ1/р0; следовательно,
ЛТ = Т2-Т1 =0,571 =140 К.
Задача 4. В вертикально расположенном цилиндре с площадью сечения
100 см2 под невесомым поршнем находится воздух при температуре 0 °C. На пор
шень ставят гирю массой 10 кг. На сколько градусов надо повысить температу
ру воздуха, чтобы объем остался прежним? Атмосферное давление 105 Па.
Решение. В начальном и конечном состояниях газа объем остается посто
янным. Следовательно, газ мог перейти из одного состояния в другое в ре
зультате
изохорного
процесса:
р^/^ =(ратм + rng/S)/T2.
Отсюда
т _ Ра™ + mg/S
72 Я*
Ратм
Изменение температуры газа АТ = Т2-Т1= ——^—7] = 27 К А7 = 27 °C.
^Натм
Уравнение Клапейрона — Менделеева
Задача 5. Нагревается или охлаждается газ, если процесс его расширения
происходит по закону pV4 = const? Масса газа постоянна. Рассмотрите два
случая: 1) п < 1, 2) п > 1.
b
Решение. Подставив в уравнение Клапейрона
Менделеева
b = const, получим:
b V = ^RT;
гп
М
^-^RT
у"-1 м
ЬМ
Выразим температуру из последнего уравнения: Т =
mRV^1 ’
Отсюда ясно, что если п < 1, то при расширении газа температура увели
чивается, если же п> 1, то при расширении газа температура уменьшается.
Итак, в первом случае газ нагревается, т. е. Т^ > То, во втором — охлаждает
ся: Т2 < TQ.
Эту задачу можно было решить графически.
Изобразим на рИ-диаграмме (рис. 7.12) изотерму,
проходящую через точку, соответствующую на
чальному состоянию газа (кривая 0), а затем зави
симости pVn при п 1 (кривая 2).
Затем нарисуем изохору, соответственно V > Ио.
Следовательно, Т2 < То < Тъ т. е. при и < 1 газ
нагревается, при n > 1 охлаждается.
Задача 6. По газопроводу передается углекис
лый газ при давлении р = 50 Н/см2 и температуре
f = 17 °C. Какова скорость движения газа по трубе,
Рис. 7.12
148
Примеры решения задач
если за т = 5 мин через поперечное сечение S = 6 см2 протекает m = 2,5 кг угле
кислого газа?
Решение. Объем, занимаемый газом при данных температуре и давлении,
mRT
можно определить из уравнения Клапейрона
Менделеева (7.9): V =
Мр ’
где М = 0,044 кг/моль — молярная масса углекислого газа СО2. Этот объем
газа проходит через сечение S за время т, следовательно, V = vSt, откуда
V
mRT .
f = — =------- = 1,52 м/с.
St MpSx
Дж
кгм
< моль - К)
М=
кг
с
к моль;
Закон Дальтона
Задача 7. Сосуд разделен пополам тонкой полупроницаемой перегородкой
(рис. 7.13), пропускающей водород и не пропускающей кислород. В левую
половину сосуда впускают mi = 36 г кислорода и т2 = 4 г водорода. Общий
объем сосуда 7=20 л, температура 27 °C. Определить давление в левой и пра
вой половинах сосуда, когда установится равновесие.
Решение. В левой половине сосуда будут нахо
диться кислород и водород, в правой — только
водород (из-за условия полупроницаемости пере
городки). Давление в левой половине сосуда, со
гласно закону Дальтона, равно: Pi = Рн + Ро, где
_ т2 RT
— парциальное давление водорода,
Рн~^~г
_ т} 2RT
Рис. 7.13
да, откуда рх =
парциальное давление кислоро
(RT ^
т9
2т, = 4,96 105 Па.
Давление в правой половине сосуда определяется только парциальным
^2 RT
— =2,48 105Па.
давлением водорода: Р2 = Рн =
М2
Задача 8. Во сколько раз изменится подъемная сила воздушного шара,
если наполняющий его гелий заменить водородом? Весом оболочки шара
пренебречь. Молярная масса воздуха Мэфф = 0,029 кг/моль.
Решение. На шар действуют две силы: сила тяжести FT и сила Архимеда
Дыт (рис. 7.14). Подъемная сила Рпод = Рвыт - Рт, где Рвыт = pHg, р — плот
ность воздуха. Сила тяжести, действующая на шар, заполненный гелием:
Для заметок
гелия, откуда Fno^ = (р - рнеЖ#- Очевидно, что
подъемная сила, действующая на шар, заполнен
ный водородом, ^под2 = (р - рн)Ж где рн — плот
ность водорода.
Из уравнения Клапейрона — Менделеева най■^эфф Р
дем выражение для плотности газа р = ——.
Запишем плотности газов (воздуха, гелия, во1 п ^ЭФФ^ п
^НеР
М ир
дорода): р =
, рНе=^^> Рн=^г1X1
Подъемные силы, действующие на шар, заполненный гелием и водородом,
(^эфф-^н)Р^
(Чфф-^Не)Р^
-^под! —
RT
Найдем отношение этих сил
^под2 _ ^эфф
Дюд1
^Н
^эфф —-^Не
-^под2
^под.н
Гпод.Не
RT
0,029-0,002 = 2 7
0,029-0,004 25'
Основное уравнение МКТ газов
Задача 9. Вычислите массу молекулы воды ( МН20 = 0,018 кг/моль).
Решение. Масса молекулы равна отношению молярной массы к числу
Авогадро:
_^НгО_ 0,018
Шн2° “ Na " 6,02 1023 = 3 кг26 кг.
Задача 10. Сколько молекул воздуха N приходится на 1 см2 стены за 1 с.
Давлениератм = 1 • 10° Па, t = 27 °C, масса моля воздуха М = 0,029 кг/моль.
Решение. Согласно уравнению Клапейрона — Менделеева, р = nkT. Из этор
го выражения найдем концентрацию молекул воздуха п = — . Число моле-
кул, ударяющихся о стенку за 1 с, N = —rwcpKBS, где средняя квадратичная
n
N
Р [ЗКТ
Р / 3R _ о 1 п23
Окончательно
------ . ------ о - —.----- - z 1U с
скорость fcp.KB
6kT\ М
6k\TM
Па I
Дж - К
2 1
IN] Дж
тт------- ------------------------------ м = “
кг
с
---- КА моль-К
К
V
моль
150
Примеры решения задач
Задача 11. Определите плотность кислорода р0 при давлении 2 • 105 Па,
если средняя квадратичная скорость его молекул равна 103 м/с.
1
2
Решение. Согласно основному уравнению МКТ, Р = ~пт^СрКЪ. Очевидно,
что плотность ро = топ, где то — масса молекулы кислорода. Окончательно
1
2
3Р
А
кг
Р = -роЦ>р.кв> отсюда Ро=—--- =
Цф.КВ
•
М
Задача 12. Средняя кинетическая энергия молекулы идеального газа
Е = 6,4 ■ 10“21 Дж. Давление газа р = 4 мПа. Найдите число молекул газа
в единице объема (концентрацию).
Решение. Средняя энергия поступательного движения молекул идеально
го газа
E = -kT.
2
Давление р = nkT, где п — концентрация молекул, k — постоянная Больц
мана, Т — абсолютная температура газа. Решая совместно эти два уравне
ния, получим для концентрации молекул
п = -^- =
= 9,38■ 1017 м’3.
kT 2Е
[п] - — - Н
- 1
Дж м2 Н м м3
Задача 13. С какой скоростью растет толщина покрытия стенки серебром
при напылении, если атомы серебра, обладая средней энергией Е = Ю'17 Дж,
производят давление на стенку р = 0,1 Па? Атомная масса серебра
А = 108 г/моль, его плотность р = 10,5 г/см3.
Решение. Если за время At толщина слоя серебра стала равной At, то ско
рость роста толщины покрытия есть Al/At. Объем напыленного слоя AV = SM,
где S — площадь поверхности стенки. Этот объем можно выразить через мас
су и плотность: АУ = т/р = moN/p, где т — масса серебряного покрытия, на
пыленного за время АД т0 — масса молекулы, А — число молекул, р — плот
ность серебра.
Определим толщину слоя:
АП_тоА
—
—
•
(7.23)
S
pS
Изменение импульса молекулы, подлетевшей к стенке и осевшей на ней,
равно импульсу силы fAt = mQAj = то(О ~ v) = -m^v.
На стенку действует такой же по модулю импульс силы /СТА/ = mov. Если
на стенку за время At осядет N молекул, то импульс силы, подействовавший
на стенку в результате ударов о нее А молекул, будет FAt = Avm^.
Для заметок
Молекулярная физика. Газовые законы
151
Давление на стенку
кит^
p = F/S =
Skt
(7.24)
т0и2
Средняя кинетическая энергия молекулы Е = —, откуда
j2Em0
pSAt
Тогда p = N--------- . Отсюда к =
S^t
рт0Е
mQ pAtS _ mQ pkt
Подставив это выражение в (7.23), получим А1 =
pS^2mQE pfem^E
Учитывая, что масса молекулы т^ = к[/кА, для скорости роста покрытия по
к=Р / M_=9ip-10
м/с.
лучим окончательное выражение:
kt р\кА-2Е
Тесты
Ш
При накачке футбольного мяча температура воздуха внутри камеры
увеличилась на 10% , а давление возросло в 2,2 раза. Во сколько раз увеличи
лась масса воздуха?
Чему равно давление воздуха, запертого столбиком ртути высотой 10 см
в пробирке (рис. 7.15), если атмосферное давление 760 мм рт. ст.?
и
При изохорическом нагревании давление
газа возросло на 20%, на сколько процентов изме
нилась его температура?
И
Объем газа при температуре 27 °C равен 1 л.
Определите объем газа при нагревании и увеличе
нии температуры в 2 раза. Давление остается по
стоянным.
0
Как изменился объем газа при переходе
из состояния 1 в состояние 2 (рис. 7.16)? Масса
газа постоянна.
Р
Найдите отношение плотностей кислорода
и азота при одинаковых температурах и давле
ниях.
И
Газ перешел из состояния 1 в состояние 4
(рис. 7.17). Какие процессы происходили при
этом переходе? Выберите правильный ответ:
0 Газ, находящийся в закрытом сосуде, переходит из состояния 1 в состо
яние 2 (рис. 7.18). Как изменится температура газа?
Газ сначала охлаждают при постоянном объеме, а затем расширяют
при постоянном давлении (рис. 7.19). При каком процессе газ может пере
йти сразу из состояния 1 в состояние 3?
из
Давление и температура идеального газа равны риТ, количество веще
ства — V, молярная масса — М. Установите соответствие между физически
ми величинами и формулами, по которым их можно рассчитать, используя
данные задачи. К каждой позиции первого столбца подберите соответствую
щую позицию из второго столбца.
Физическая величина
А) плотность газа
Формула
1) m = vM
Б) объем газа
2)
Р
vRT
MRT
3) Р =-------Р
А) р = nkT
ЦТ] Смесь азота и кислорода находится в сосуде объемом 1 л. Определи
те давление смеси, если массы азота и кислорода равны соответственно 28 г
и 32 г, а температура газа 27 °C.
[12] Какое количество молекул углерода в алмазе массой 0,006 кг?
131 Во сколько раз отличается средняя квадратичная скорость молекул
водорода от средней квадратичной скорости молекул кислорода при той же
температуре?
Для заметок
Молекулярная физика. Газовые законы
153
При расчетах параметров газа, который можно считать идеальным,
мы пренебрегаем силами взаимодействия молекул. Если учесть эти силы,
то как будут изменяться давление и температура?
Для каждой физической величины определите соответствующий харак
тер изменения:
1) увеличивается;
2) уменьшается;
3) не изменяется.
Запишите в таблицу выбранные цифры для каждой физической величи
ны. Цифры в ответе могут повторяться.
Давление
Температура
ю
W
ь
(Л
б)
ч
00
Q).
9.2. Тепловая машина
Работа любого теплового двигателя основана на том, что теплота перехо
дит из области с высокой температурой в область с более низкой температу
рой, при этом часть теплоты превращается в механическую работу с помо
щью определенного устройства. На рис. 9.1 представлен принцип действия
парового двигателя.
В рабочее тело поступает нагретый в паровом котле пар, который, расши
ряясь, двигает поршень. После того как поршень возвращается в исходное
ю
01
166
9.2. Тепловая машина
Насос
Рис. 9.1
положение, остывший пар вытесняется через выпускной клапан и попадает
в конденсатор, где превращается в воду. С помощью насоса вода возвращает
ся в паровой котел.
Принципиальная схема тепловой машины изображена на рис. 9.2. Тепло
вая машина (двигатель) состоит из нагревателя,рабочего тела и холодиль
ника. Коэффициент полезного действия тепловой машины
=—•100% = ^—^-100%
(9.1)
Qi
Qi
где Qi — количество теплоты, передаваемое нагревателем рабочему телу,
|Q2| — количество теплоты (по модулю), передаваемое рабочим телом холо
дильнику. Модуль мы берем потому, что отдаваемая системой теплота обычно считается отрицательной величиной.
Опишем работу тепловой машины. Если рабочее
Нагреватель Г,
тело (например, газ в сосуде с поршнем) получает
теплоту, то газ начинает расширяться — газ совер
шает положительную механическую работу. На
пример, при изотермическом процессе (рис. 9.3)
можно получить работу, равную площади заштри
хованной фигуры 1-С—2—V2-Vi—1. Однако тепло
вая машина должна работать по циклу, именно
благодаря этому работа совершается непрерывно.
Холодильник Т-,
Цикл — это последовательность процессов,
в результате которой система возвращается в исРис. 9.2
Для заметок
Второй закон термодинамики. Теория тепловых машин
167
ходное состояние. Если система возвращается
в исходное состояние (при сжатии газа — процесс
2-С-1) через те же состояния, что и при расши
рении (процесс 1—С-2), то суммарная работа газа
за цикл будет равна нулю. Из рисунка 9.3 видно,
что для того чтобы работа за цикл была положи
тельной (больше нуля), возвращение в исходное
состояние должно осуществляться процессом, ко
торый изображается кривой 2-В-1, проходящей
Рис. 9.3
ниже кривой исходного процесса 1-С-2. Следова
тельно, для работы тепловой машины необходим
холодильник для понижения температуры рабочего вещества. Заметим, что
тепловой двигатель позволяет преобразовать тепловое хаотическое движе
ние молекул в направленное движение поршня.
9.3. Идеальный цикл Карно
Коэффициент полезного действия первых тепловых машин был очень мал,
поэтому необходимо было понять принципиальные способы его увеличения.
Французский инженер Сади Карно показал, что самым выгодным являет
ся тепловой двигатель, работающий по циклу, состоящему из двух изотерм
и двух адиабат (рис. 9.4), причем все процессы обратимы.
Обратимым процессом называется процесс,
который можно провести в прямом и обратном
направлении через одни и те же промежуточные
состояния, при этом в окружающих телах не про
исходит никаких изменений.
При обратимом процессе осуществляется по
следовательный переход от одного равновесного
состояния к другому; следовательно, обратимый
процесс должен протекать бесконечно медленно.
Все реальные процессы, являются необратимыми
и происходят с конечной скоростью.
Рис. 9.4
Так как цикл Карно — это обратимый цикл, состоящий из обратимых процессов, он является идеальным.
Кривая 1-2 (см. рис. 9.4) соответствует изотермическому процессу, при
котором Qi = А/. Это процесс был выбран потому, что именно при изотерми
ческом процессе вся теплота, сообщенная рабочему телу, переходит в меха
ническую работу. (Заметим, что этот процесс передачи тепла при Т = const
является обратимым. При изотермическом сжатии через те же состояния,
т. е. по кривой 2-1, газ отдавал бы количество теплоты, также равное фр)
Кривая 2-3 — это адиабатическое расширение газа и тоже обратимый про
цесс, при котором температура рабочего тела понижается от температуры
нагревателя Т^ до температуры холодильника Т2.
168
9.3. Идеальный цикл Карно
Кривая 3-4 соответствует изотермическому сжатию газа при температуре
Т2, в результате которого количество теплоты Q2 = Л2, т. е. часть теплоты,
полученной от нагревателя, после совершения работы передается холодиль
нику.
Далее в процессе адиабатического сжатия температура газа снова повыша
ется до 7\ (по кривой 4-1), соответствующей температуре начала цикла. Кри
вые 2-3 и 4-1 — адиабаты, при этих процессах теплообмен не происходит.
Основная идея Карно при выборе процессов цикла состояла в том, что при
теплопередаче теплота должна идти только на работу, а не на изменение тем
пературы, причем все процессы в цикле (изотермы и адиабаты) должны быть
обратимыми.
Коэффициент полезного действия идеального теплового двигателя (ма
шины)
% = ^'100%
(9.2)
где Д и Т2 — температуры нагревателя и холодильника, соответственно.
Коэффициент полезного действия любого реального теплового двигате
ля, работающего в том же диапазоне температур, что и идеальный, всегда
меньше рид:
Тг-Т2
Отсюда следует что
(9.3)
Знак равенства справедлив для идеальной
тепловой машины, работающей по циклу Карно.
Таким образом, для идеальной машины
^i
Qi
т. е. отношение абсолют
ных температур нагревателя и холодильника определяется отношением ко
личеств теплоты, которыми обменивается рабочее тело с нагревателем и хо
лодильником.
Запишем (9.3) в ином виде:
nw4i-S'ioo%'
(9.4)
)
Из выражения (9.4) очевидно, что КПД можно повысить, увеличив тем
пературу нагревателя или понизив температуру холодильника. В качестве
холодильника обычно используется окружающий воздух, поэтому увеличе
ние КПД идет за счет увеличения температуры нагревателя (например, неко
торые машины работают на перегретом паре). Паровая турбина с 7\ = 800 К
и Т2 = 300 К имеет КПД, равный 62% . У реальных турбин КПД порядка 40%.
Для заметок
Второй закон термодинамики. Теория тепло вых машин
169
Заметим, что КПД идеальной тепловой машины не зависит от рабочего вещества (газ, пар), а зависит только от температур нагревателя и холодиль
ника. Это позволило ввести термодинамическую шкалу температур, совпадающую с абсолютной шкалой, называемой шкалой Кельвина. Введение же
любой эмпирической шкалы связано с рабочим телом (ртутные, спиртовые
термометры и т. д.), причем градус зависит от коэффициента теплового расширения вещества.
9.4. Холодильная машина
Холодильная машина — это тепловая машина, работающая по обратному
циклу (рис. 9.5).
Внешние силы совершают работу А, в резуль
тате чего от холодильника отбирается теплота Q2
и нагревателю передается теплота Qi.
Очевидно, что Qi = Q2 + ^- Эффективность хо
лодильника определяется холодильным коэффи
циентом
м
w
О)
со
Q2 _ ^2 _ 1
(9.5)
A Qi~Q2 (Qi/^) —1
который может больше единицы.
В бытовых холодильниках используется фреон,
Рис. 9.5
кипящий при низкой температуре. В процессе ки
пения теплота отбирается у воздуха, находящегося в холодильнике. Затем фреон сжимается компрессором и конденсирует
ся, при этом выделяется тепло, которое передается окружающему воздуху.
Температура кипения фреона при атмосферном давлении равна -30 °C. За
метим, что температура кипения существенно зависит от химических добавок.
Примеры решения задач
План решения задач на определение КПД цикла:
1) определяем, при каком процессе данного цикла рабочее вещество полу
чает теплоту;
2) находим работу, получаемую за один цикл, при этом для определе
ния работы часто удобно использовать изображение цикла на рУ-диаграмме
и определять работу по площади многоугольника, изображающего цикл.
Задача 1. Паровая машина мощностью N = 14,7 кВт потребляет за 1 ч ра
боты массу тп = 8,1 кг угля (удельная теплота сгорания q = 3,3 • 107 Дж/кг).
Температура котла 200 °C, холодильника 58 °C. Найдите КПД этой машины
и сравните его с КПД идеальной тепловой машины.
Решение. КПД тепловой машины равен отношению производимой ме
ханической работы А к затраченному количеству теплоты Q1? выделяю-
со
0 и по закону
сообщающихся сосудов уровень жидкости в капилляре ниже уровня жидкости в сосуде. Заметим, что формулы (10.5) и (10.9) совпадают, хотя выведены
из разных физических соображений.
10.4. Тепловое расширение
жидких и твердых тел
ь
^
(Л
о
д
ч
со
Из опыта известно, что большинство веществ при нагревании расширяются, т. е. объем их увеличивается, а при охлаждении — сокращается.
С точки зрения молекулярного представления о строении вещества это по
нятно, так как при увеличении температуры возрастает кинетическая энер
гия движения молекул, и они, преодолевая силы притяжения, разлетаются
на большие расстояния. Вследствие этого среднее расстояние между ними
увеличивается. При нагревании, как показали эксперименты, линейные
размеры твердых тел (длина, ширина и т. д.) изменяются по закону
°
К)
Z = Zo(l + aO,
(10.10)
g
где Z и Zo — размеры тела при температурах Z и 0 °C соответственно, а — коэффициент линейного расширения. (Значения а для разных веществ мож-
м
01
w
180
10.4. Тепловое расширение жидких и твердых тел
но найти в табицах физических величин.) В широком диапазоне изменения
температуры величину ос можно считать постоянной. Если начальная тем
пература тела равна некоторому значению Ц, то для определения линейного
размера тела 12 при t2 часто можно пользоваться формулой
12 = /1(1 + «ДО,
(10.11)
где li — размеры тела при ti, At = t2- ti (в градусах Цельсия).
Оценим ошибку при расчете по формуле (10.11). Если известен размер
тела li при температуре Ц, то из (10.10) можно определить длину при 0 °C:
1 + а^
Тогда, согласно (10.11), имеем
Z2 =Zo(l +«f2)
li(l +at2)
(1 + atJ
(10.12)
Заметим, что а — величина порядка 10 6-10 5 (К х), at — много меньше
1
единицы, и тогда
= 1-а^. С точностью до членов того же порядка, пре
1 + а^
небрегая числами (осЦ2 в выражении (10.12), получаем формулу:
/2 = ^1(1 + а М(1 ~ ^1) = /1(1 + сАЦ.
Заметим, что изменения температуры, измеренной по шкалам Цельсия
и Кельвина, совпадают, поэтому можно левую часть (10.12) записать в виде
Al = I- lQ = аЛ0АТ.
При нагревании объем тела изменяется также по линейному закону:
7А0(1 + М
(10.13)
или V — Vo = рК0ДТ, где Ко — объем тела при 0 °C (273 К), р — коэффициент
объемного расширения, АТ = Т - 273.
Заметим, что не имеет смысла говорить о линейном расширении жидко
сти, так как жидкость принимает форму сосуда, в который она налита, имеет
смысл говорить только об ее объемном расширении. Формула (10.13) спра
ведлива для расчетов изменения объема твердых и жидких тел.
Найдем связь между коэффициентами линейного и объемного расшире
ния. Пусть длина ребра кубика при 0 °C равна /0, тогда его объем при темпе
ратуре t (в °C) равен V=l3 = ^(1 + Р0В то же время / = /о(1 + at) и, соответственно, I3 = $ (1 + аЦ3. Приравни
вая выражения для объемов, получим: 1 + Зос£ + 3(ai)2 + (аЦ3 = 1 + pf,
откуда р = За, если пренебречь членами порядка (а/)л, где тг > 1. Это соот
ношение справедливо для низких значений температуры, пока произве
дение at действительно мало. Заметим, что О' — величины порядка 106—
НГ5 (К1).
Для заметок
181
Реальные газы, влажность. Свойства жидкостей
При нагревании изменяется плотность веществ, масса остается постоянт
ной, а объем увеличивается: р = —. Подставив в эту формулу правую часть
из (10.13), получим р =
_ Ро
где ро
Vod + pO 1 + pf
плотность при 0 °C.
ю
W
ь
(Л
Примеры решения задач
Влажность
б)
Рекомендации к решению задач
1) В формулу для определения относительной влажности входят давление
или плотность насыщенного пара, которые определяем по таблице, если в ус
ловии задачи этих данных нет.
2) Для определения массы пара в некотором объеме воздуха используем
определение относительной влажности через плотность пара.
3) Если известна точка росы %, то давление пара в воздухе равно давлению
насыщенного пара при ip.
4) При температуре кипения воды 100 °C давление насыщенного пара рав
но атмосферному давлению.
Задача 1. Определите относительную влажность воздуха при температуре
20 °C, если точка росы равна 5 °C. Давление насыщенного пара при темпера
турах О и % соответственно равно рнп1 = 2,33 кПа, рнп.р - 0,88 кПа.
Решение. Давление рп при О приблизительно равно рнп.р и
*4
00
О
м
ы
(Л
ф = ^Р.100%=40%.
Рнп1
Замечания.
1) В конечное выражение не вошли данные задачи, но они были использо
ваны для определения давлений.
2) Мы не учли изменение давления при увеличении температуры,
но Т\/Т^ = 1,05. Поэтому в пределах точности расчета этим отношением мож
но пренебречь.
Задача 2. Относительная влажность воздуха в помещении 60%, а темпе
ратура 18 °C. До какой температуры надо охладить металлический предмет,
чтобы его поверхность «запотела»?
0)
00
МРшУ
КТ100%
(ф2 -фД = 0,21 кг.
= кг.
Задача 4. В комнате при температуре воздуха 15 °C относительная влаж
ность (pi = 10%. Как изменится относительная влажность, если температура
в комнате понизится до 10 °C? Давление насыщенного пара при температу
рах ti и t2 равно соответственно рНП1 = 1,71 кПа, рнп2 = 1,23 кПа.
Решение. Влажность воздуха при температурах tx и t2 равна:
9!=^—100%;
-Ki (расстояние между стеклами
мало),
F = F' = kp-S = kpnRl, F = g
Для заметок
Др = a
2^ т
d )pd
< R2
Искомая
R
кг - М
м3-кг
1
м
кг
•м
< м3;
сила
= н.
Реальные газы, влажность. Свойства жидкостей
185
В двух длинных, открытых с обеих сторон капиллярах, распо
ложенных вертикально, находятся столбики воды длиной 2 и 4 см. Найдите
радиусы кривизны нижнего мениска в каждом из капилляров. Внутренний
радиус капилляра 0,5 мм, смачивание полное.
Решение. Для того чтобы определить форму нижнего мениска, найдем
на какую высоту h0 поднимается вода в капилляре диаметром d0, опущенном
Задача 4.
в воду (рис. 10.14 а). По формуле (10.5) получаем, что До =----- (6 = 0°, cos 6 = 1).
Р^'о
2 0,073
= 0,0298 м. Мы видим, что h^ hQ < h2, сле
Вычисляем:
103-9,8 0,5 10’3
довательно, в первом капилляре нижний мениск вогнутый (рис. 10.14, б),
а во втором — выпуклый (рис. 10.14, в). Запишем условие равновесия столби
ка воды в капилляре:
^ + Г2 + ад = 0.
ю
W
ь
(Л
0)
*4
00
F). Сила сопротивления воздуха, действующая на шарик, пропор
циональна его скорости v (Fconp=-ku). Определите отношение скоростей
установившегося движения при разных направлениях вектора Е. Масса
и заряд шарика равны соответственно тид, причем ^ > 0.
Решение. На шарик действуют три силы:
сила тяжести FT=mg, сила сопротивления
Fconp и кулоновская сила F. Шарик начинает
двигаться равноускоренно, скорость шарика
увеличивается, одновременно увеличивается
и сила сопротивления. С того момента, когда
сумма сил, действующих на шарик, становится
равной нулю, шарик начинает двигаться равно
мерно (рис. 12.29).
Условию равенства нулю векторной суммы всех
сил FT + F + Fconp = 0, действующих на шарик,
в проекции на ось У соответствуют два случая:
1) вектор Е направлен вниз и совпадает по направлению с силой тяжести,
тогда kvr - qE - mg = 0 (рис. 12.29, а);
2) вектор Е направлен вверх — в сторону, противоположную силе тяже
сти, тогда qE + kv2 - mg = 0 (рис. 12.29, б).
Из написанных для обоих случаев уравнений найдем скорости:
qE + mg
mg - qE _
ц qE + mg
u1 =---------- , v2=---------- • Окончательно — =---------- .
k
k
v2 mg - qE
Задача 13. Над бесконечной металлической плоскостью расположен
на расстоянии а положительный заряд q. Определите силу, с которой заряд
притягивается плоскостью, а также напряженность электрического поля
в точке А (рис. 12.30, а).
Решение. На поверхности плоскости, обращенной к заряду, индуцируют
ся отрицательные электрические заряды. Силовые линии перпендикулярны
поверхности проводника. Чем ближе точки плоскости к заряду, тем больше
плотность индуцированного заряда. Возникающее поле аналогично полю,
созданному двумя точечными разноименными зарядами +q и -q, находящи
мися друг от друга на расстоянии 2а (метод зеркальных отображений). Кар
тина силовых линий поля показана на рис. 12.30, б. Сила, с которой заряд q
N
W
b
UI
0)
*4
00
0, т. е. емкость конденсатора увеличивается. Изме
нение энергии удобно определить по формуле (14.10), так как разность потенциалов между обкладками постоянна и равна U: АТУ =
си2 сои2 леи2
2
2
2
АТУ = fo^ (£z!UL = 8,85-10"12 Дж.
2d
2
Энергия электрического поля конденсатора увеличилась. При внесении
диэлектрика в электрическое поле конденсатора происходит поляризация
диэлектрика, поле ослабляется, однако благодаря источнику заряд на пла
стинах увеличивается и, соответственно, напряжение остается прежним.
Увеличение энергии электрического поля происходит за счет работы источ
ника.
Задача 7. В плоский воздушный конденсатор
вставили металлическую пластину толщиной do
(рис. 14.11). Заряд на обкладках конденсатора q.
Конденсатор отключен от источника. Расстояние
между пластинами d, площадь пластин S. Опре
делите изменение емкости конденсатора и энер
гии его электрического поля, если конденсатор
не подключен к источнику.
Решение. На металлической пластине индуци
руется заряд, причем внутри пластины поле от
сутствует. Конденсатор с вставленной пластиной
можно представить как два последовательно сое
диненных конденсатора (рис. 14.12) с емкостями
n
rО =-------------£°^ £°^ =----------£0^^°
Определим изменение емкости: ЛС = r
СЭКВ-С
>0.
d-d0
d
(d-do)d
Емкость конденсатора не зависит от того, чему равны 1Х и 12. Измене2
2
ние энергии электрического поля ЛТК = W2 — ^ь АТ4^ =
2СЭКВ 2С0
-^ 1)
и ферромагнетики (ц » 1).
1. Диамагнетики. Согласно молекулярной теории магнетизма, магнит
ные моменты атомов или молекул диамагнетика (золото, свинец, медь) в от
сутствие внешнего магнитного поля равны нулю. Магнитный момент атома
складывается из магнитного момента ядра и магнитных моментов электро
нов, движущихся по орбитам вокруг ядра. Каждый электрон, вращающийся
вокруг ядра, можно считать элементарным круговым током с собственным
магнитным моментом. Кроме этого у электрона есть собственное магнитное
Для заметок
Магнитное поле. Индукция магнитного поля
307
поле, называемое спиновым. У диамагнетиков элементарные магнитные мо
менты ориентированы таким образом, что суммарный магнитный момент
атома (при отсутствии внешнего магнитного поля) равен нулю.
При внесении диамагнетика в магнитное поле начинается переориентация
электронных орбит, в результате чего магнитный момент атомов становится
отличным от нуля. При этом элементарные магнитные моменты атомов, со
гласно закону электромагнитной индукции, ориентируются так, чтобы ком
пенсировать причину, вызвавшую их появление (правило Ленца, см. шаг
18), т. е. против внешнего магнитного поля. Таким образом, диамагнетик
намагничивается против внешнего поля, поэтому магнитное поле в диа
магнетике слабее, чем внешнее поле, т. е. ослабляется и ц < 1. Диамагнетик
выталкивается из неоднородного внешнего магнитного поля в область более
слабого поля.
2. Парамагнетики. Атомы (молекулы) парамагнетика (алюминий, пла
тина, вольфрам) при отсутствии внешнего магнитного поля обладают маг
нитным моментом, но в результате теплового движения они ориентированы
беспорядочно и парамагнетик не намагничен. Внешнее магнитное поле ори
ентирует атомные магнитные моменты так, чтобы они установились вдоль
линий магнитной индукции подобно устойчивому равновесию рамки с то
ком в магнитном поле (см. раздел 17.5), при котором вектор магнитного мо
мента рамки направлен по внешнему полю. Таким образом, парамагнетик
намагничивается и его собственное поле направлено в ту же сторону,
что и внешнее магнитное поле, поэтому магнитное поле в парамагнетике
усиливается и ц > 1. Строгой ориентации вдоль линий поля мешает тепловое
движение, поэтому величина ц уменьшается с ростом температуры.
Отметим, что относительная магнитная проницаемость диа- и парамагне
тиков зависит не от индукции внешнего магнитного поля, а от материала,
из которого они сделаны.
3. Ферромагнетики. У ферромагнетиков (железо, кобальт, никель,
сплавы хрома и марганца) намагниченными (при отсутствии внешнего маг
нитного поля) являются целые макрообласти, на
зываемые доменами. Размер доменов порядка
0,01-0,1 мм. Каждый домен представляет собой
маленький магнит. В ненамагниченном ферро
магнетике магнитные моменты доменов ориенти
рованы беспорядочно и суммарное магнитное
поле, создаваемое ими, равно нулю (рис. 17.17, п).
При внесении ферромагнетика в магнитное поле
магниты доменов ориентируются вдоль внешнего
магнитного поля (рис. 17.17, б), поэтому величи
на магнитной индукции в ферромагнетике суще
ственно (на 2-3 порядка) больше индукции поля,
в которое он внесен.
Рис. 17.17
К)
W
(Л
308
17.7. Магнитные свойства вещества
Полная индукция магнитного поля в ферро
магнетике В = Во + Вм, где Bq — индукция
внешнего магнитного поля, Вм — индукция
В
поля, созданного ферромагнетиком, ц = — » 1.
Относительная магнитная проницаемость ц у фер
ромагнетиков зависит от величины Bq.
Пусть ненамагниченный железный сердеч
Рис. 17.18
ник помещен в соленоид, сила тока через кото
рый может плавно увеличиваться, при этом со
ответственно увеличивается индукция создаваемого им магнитного поля:
Bq =\1qIN/I. С ростом Bq увеличивается и В (кривая ОА на рис. 17.18), так
как все большее число доменов устанавливается вдоль линий магнитной
индукции внешнего поля. При значении Во = Внас, соответствующем точ
ке А (см. рис. 17.18), почти все домены выстроены вдоль линий поля,
ферромагнетик достигает магнитного насыщения. Дальнейшее увели
чение Во приводит лишь к слабому росту магнитной индукции. Теперь
уменьшаем Во, уменьшается и В, но кривая размагничивания лежит
выше кривой ОА (основной кривой намагничивания), поэтому при
Bq = О, В ^ 0. Это означает, что домены частично остаются ориентирован
ными; остаточное намагничивание характеризуется значением индук
ции Вост. Остаточное намагничивание является причиной существования
постоянных магнитов. Чтобы железный сердечник размагнитить, необ
ходимо создать внешнее поле Во, противоположное по направлению пер
воначальному. Тогда с его увеличением (по модулю) индукция поля В бу
дет продолжать уменьшаться и в точке D станет равной нулю: железо
полностью размагнитится. Соответствующее полному размагничиванию
внешнее магнитное поле характеризуется величиной ВОк- С ростом внеш
него поля противоположного направления в области Bq > ВОк сердечник
опять начнет намагничиваться, но уже в противоположном направлении.
В точке Е достигается магнитное насыщение, как и в точке А. Дальше,
при уменьшении Во, индукция В тоже начнет уменьшаться, и в точке F
при Во = О будет опять наблюдаться остаточное намагничивание железно
го сердечника (-Вост) той же величины, что и в точке А, но противополож
ного знака. При дальнейшем увеличении Bq индукция достигает насыще
ния в точке А, но процесс не повторяет основную кривую намагничивания.
Таким образом, мы видим, что намагниченность ферромагнетика зави
сит не только от значения индукции внешнего поля Во, но и от того, в ка
ком состоянии он был до помещения в поле Во. Это явление получило на
звание магнитного гистерезиса, а кривая ACDEFA называется петлей
гистерезиса.
Для заметок
Магнитное поле. Индукция магнитного поля
309
Магнит из железа долго сохраняет намагниченность, поэтому его назы
вают постоянным магнитом. Однако если по нему ударить молотком,
то домены вернутся в неупорядоченное состояние и кусок железа размаг
нитится.
Потеря намагниченности происходит также при нагреве. Температура,
при которой вещество скачком теряет ферромагнитные свойства, называ
ется температурой (точкой) Кюри. При температуре выше точки Кюри
ферромагнетик становится парамагнетиком. У парамагнетиков, как уже от
мечалось, с ростом температуры нарушается степень ориентация атомных
магнитных моментов и происходит их размагничивание. Температура Кюри
у железа 770 °C, у кобальта ИЗО °C, у никеля 356 °C.
Объяснение магнитных свойств вещества основывалось на положении, что
все магнитные поля создаются электрическим током. В постоянных магни
тах это элементарные токи, обусловленные движением электронов по орби
там в атомах. Этим объясняется сходство конфигурации полей, создаваемых
соленоидом и железным намагниченным стержнем, этим же объясняется не
возможность отделить северный от южного полюса магнита.
Примеры решения задач
Определение индукции магнитного поля
Задача 1. Круговой виток радиуса г, по которому идет ток /2, находится
вблизи бесконечного прямолинейного провода, по которому идет ток Д. Про
водник и виток лежат в одной плоскости (рис. 17.19). Расстояние от центра
витка до проводника равно 2г. Определите индукцию магнитного поля
в центре витка. Чему должна быть равна сила тока /2’ чтобы индукция маг
нитного поля в центре витка стала равной нулю?
Решение. Магнитное поле создается прямым проводником с током
и круговым витком. Вектор магнитной индукции Д поля, создаваемого
прямым проводником с током (см. рис. 17.19), лежит в плоскости черте
жа. Вектор индукции В2 магнитного поля витка
с током перпендикулярен плоскости витка и так
же лежит в плоскости чертежа. Согласно прин
ципу суперпозиции полей В = Вг+ В2, или в про
о _—
НоД
екции на ось Y: В = Bi — В2, где Д—,
2?'
D НоД
о ^о f г Д
Д=----- • Итак, В = — Д- — • Отсюда следу4л/
ет, что индукция магнитного поля в центре витка В = 0, если Д =—. Окончательно Д = 2k/i.
2л
