КулЛиб - Классная библиотека! Скачать книги бесплатно 

Начертательная геометрия: Учебник для вузов. 2-е изд. [Юрий Иванович Королёв] (pdf) читать онлайн

Книга в формате pdf! Изображения и текст могут не отображаться!


 [Настройки текста]  [Cбросить фильтры]
Ю. И. Королёв

Начертательная

геометрия
2-е издание

Допущено Научно-методическим советом по начертательной геометрии и инженерной графике
Министерства образования и науки Российской Федерации в качестве учебника
для вузов инженерно-технических специальностей

С ^П П Т Е Р ’
М осква' Санкт-Петербург • Нижний Новгород - Воронеж
Ростов-на-Дону - Екатеринбург - Самара - Новосибирск
Киев - Харьков - Минск

2010

ББК 22.151.34Я7
УДК 514.18(075)
Юрий Иванович Королёв

Начертательная геометрия: Учебник для вузов. 2-е издание
Рецензент:
Иванов Г. С., д. т. н., профессор кафедры начертательной геометрии и черчения
Московского государственного университета леса, заслуженный деятель науки РФ
Заведующий редакцией
Руководитель проекта
Ведущий редактор
Редактор
Художественный редактор
Корректоры
Верстка

А. Кривцов
А. Юрченко
Ю. Сергиенко
А. Гущин
Л. Адуевская
Н.Солнцева, И. Тимофеева
С. Романов

Королёв Ю. И.
К68

Начертательная геометрия: Учебник для вузов. 2-е изд. — СПб.: Питер, 2010. —
256 с.: ил.

ISBN 978-5-388-00366-9
Начертательная геометрия входит в состав обязательных дисциплин ведущих технических и ар­
хитектурно-строительных вузов мира. Бе роль в подготовке специалистов и в решении приклад­
ных задач возрастает с развитием науки и техники.
Данный учебник соответствует требованиям государственных образовательных стандартов по
подготовке бакалавров, магистров и дипломированных специалистов по курсу начертательной
геометрии в технических вузах. Кроме теоретических основ образования изображений и геомет­
рических преобразований изложены правила оформления чертежей. Порядок решения геометри­
ческих задач подробно рассматривается на конкретных примерах с анализом рациональных вари­
антов построения изображений. В конце каждого раздела размещен дидактический материал для
закрепления изученного материала и самоконтроля.
Существенное отличие второго издания учебника заключается в том, что образование чертежа
рассматривается с позиции теории метода двух изображений. Как следствие, внесены соответст­
вующие изменения в содержание и редакцию отдельных глав, при этом учтены замечания и реко­
мендации многих специалистов по начертательной геометрии.
Допущено Научно-методическим советом по начертательной геометрии и инженерной графике
Министерства образования и науки Российской Федерации в качестве учебника для вузов инже­
нерно-технических специальностей.

ISBN 978-5-388-00366-9

© ООО Издательство «Питер», 2010

Все права защищены. Никакая часть данной книги не может быть воспроизведена в какой бы то ни было фор­
ме без письменного разрешения владельцев авторских прав.
Информация, содержащаяся в данной книге, получена из источников, рассматриваемых издательством как
надежные. Тем не менее, имея в виду возможные человеческие или технические ошибки, издательство не
может гарантировать абсолютную точность и полноту приводимых сведений и не несет ответственности за
возможные ошибки, связанные с использованием книги.

ООО «Лидер», 194044, Санкт-Петербург, Б. Сампсониевский пр., д. 29а.
Налоговая льгота — общероссийский классификатор продукции OK 005-93,
том 2; 95 3005 — литература учебная.
Подписано в печать 05.02.10. Формат 70x100/16. Уел. п. л. 20,64. Доп. тираж 2500. Заказ 21270.
Отпечатано по технологии CtP в ОАО «Печатный двор» им. А. М. Горького.
197110, Санкт-Петербург, Чкаловский пр., 15.

О гл а в л е н и е
Предисловие к второму изданию.............................................7
Введение....................................................................................8
Принятые обозначения..................................................................................................... 9

Глава 1. Предмет начертательной геометрии........................ 11
Глава 2. Начальные сведения о правилах оформления
изображений...............................................................13
2.1. Линии......................................................................................................................... 13
2.2. Масштабы и форматы............................................................................................... 15
2.3. Шрифты чертежные и принятые обозначения......................................................... 20
Вопросы и задания.......................................................................................................... 25

Глава 3. Метод проекций......................................................... 26
3.1. Центральное проецирование................................................................................... 26
3.2. Параллельное проецирование..................................................................................31
3.3. Ортогональное проецирование................................................................................ 34
3.4. Способы обеспечения обратимости изображений.................................................. 35
3.4.1. Двойное проецирование..................................................................................... 35
3.4.2. Проекции с числовыми отметками..................................................................... 38
Вопросы и задания.......................................................................................................... 40

Глава 4. Краткие сведения о геометрических
преобразованиях........................................................41
Вопросы и задания...........................................................................................................47

Глава 5. Образование и свойства комплексного чертежа ....48
5.1. Двухкартинный комплексный чертеж........................................................................48
5.2. Трехкартинный комплексный чертеж........................................................................ 55
5.3. Изображения-виды.................................................................................................... 59
5.4. Родственное соответствие в ортогональных проекциях...........................................61
Вопросы и задания...........................................................................................................63

Глава 6. Аксонометрический чертеж...................................... 65
6.1. Образование, основные параметры
и классификация аксонометрических проекций...................................................... 65
6.2. Стандартные аксонометрические чертежи..............................................................69
6.2.1. Изометрические прямоугольные проекции........................................................ 69
6.2.2. Диметрические прямоугольные проекции.......................................................... 70
6.2.3. Косоугольные фронтальные изометрические проекции....................................70
6.2.4. Косоугольные горизонтальные изометрические проекции................................ 71
6.2.5. Косоугольные фронтальные диметрические проекции..................................... 71
Вопросы и задания.......................................................................................................... 72

Глава 7. Чертежи элементарных геометрических объектов.
Позиционные и метрические задачи....................... 73
7.1. Чертежи точки и прямой линии................................................................................ 73
7.1.1. Прямые линии частного положения...................................................................79
7.2. Взаимное расположение прямых линий...................................................................80
7.3. Комплексный чертеж плоскости. Задачи принадлежности......................................82
7.4. Особые линии и замена определителя плоскости.................................................. 88
7.5. Относительное положение прямой и плоскости.......................................................91
7.5.1. Параллельность прямой и плоскости................................................................. 91
7.5.2. Пересечение прямой и плоскости. Видимость.................................................. 92
7.5.3. Перпендикулярность прямой и плоскости......................................................... 96
7.6. Относительное положение двух плоскостей............................................................ 97
7.6.1. Параллельные плоскости................................................................................... 98
7.6.2. Построение линии пересечения плоскостей...................................................... 98
7.6.3. Перпендикулярные плоскости...........................................................................103
Вопросы и задания.........................................................................................................104

Глава 8. Преобразование комплексного чертежа................ 110
8.1. Преобразование чертежа способом замены плоскостей проекций....................... 111
8.2. Преобразование чертежа способом плоскопараллельного перемещения........... 115
8.3. Преобразование чертежа способом вращения
вокруг проецирующей прямой линии........................................................ ..............118
8.4. Преобразование чертежа способом вращения вокруг линии уровня....................120
8.5. Преобразование чертежа способом дополнительного проецирования.................121
Вопросы и задания.........................................................................................................125

Глава 9. Многогранные поверхности....................................127
9.1. Изображение многогранников в аксонометрии.......................................................130
9.2. Решение отдельных позиционных
и метрических задач с многогранниками................................................................ 133
9.2.1. Задачи принадлежности....................................................................................133

9.2.2. Пересечение многогранной поверхности с плоскостью.................................. 133
9.2.3. Пересечение многогранных поверхностей.......................................................139
9.2.4. Метрические задачи...........................................................................................141
Вопросы и задания.........................................................................................................142

Глава 10. Кривые линии и свойства их проекций............... 144
10.1. Основные понятия и свойства проекций кривых линий....................................... 144
10.2. Проекционные свойства окружности и построение ее проекций.........................148
10.2.1. Ортогональная проекция окружности............................................................. 150
10.3. Построение линий в аксонометрии....................................................................... 155
Вопросы и задания.........................................................................................................160

Глава 11. Поверхности........................................................... 162
11.1. Кинематический способ образования,
понятие каркаса и определителя поверхности.....................................................162
11.2. Классификация поверхностей............................................................................... 164
11.3. Поверхности вращения..........................................................................................165
11.3.1. Алгебраические поверхности вращения.........................................................168
11.4. Пересечение поверхности с линией,
цилиндрической проецирующей поверхностью и плоскостью..............................175
11.4.1. Построение сечений поверхностей.................................................................180
11.4.2. Сечение поверхности плоскостью общего положения...................................185
11.5. Линейчатые поверхности.......................................................................................187
11.5.1. Линейчатые поверхности с одной направляющей линией.............................187
11.5.2. Линейчатые поверхности с двумя направляющими линиями........................189
11.5.3. Линейчатые поверхности с тремя направляющими....................................... 192
11.6. Винтовые поверхности...........................................................................................194
11.7. Нелинейчатые поверхности...................................................................................198
11.8. Изображение поверхностей в аксонометрии........................................................199
Вопросы и задания.........................................................................................................206

Глава 12. Построение линий пересечения
поверхностей......................................................... 210
12.1. Построение линий пересечения поверхностей способом плоскостей................. 211
12.2. Построение линий пересечения поверхностей
способом концентрических сфер.......................................................................... 217
12.3. Построение линий пересечения поверхностей
способом эксцентрических сфер........................................................................... 220
12.4. Частные случаи пересечения поверхностей второго порядка.............................224
12.5. Прямая и плоскость, касательные к поверхности................................................. 226
12.6. Построение линий пересечения поверхностей
на аксонометрическом чертеже............................................................................ 230
Вопросы и задания......................................................................................................... 234

Глава 13. Развертка поверхностей....................................... 238
13.1. Основные понятия и свойства разверток.............................................................238
13.2. Развертка многогранных поверхностей................................................................240
13.2.1. Построение развертки многогранной поверхности....................................... 240
13.2.2. Способ нормального сечения........................................................................ 244
13.2.3. Способ раскатки............................................................................................. 246
13.3. Построение разверток развертывающихся поверхностей...................................247
13.4. Условные развертки поверхностей....................................................................... 251
Вопросы и задания........................................................................................................ 254

Литература............................................................................. 255

Предисловие
к второму изданию
Структура и стиль изложения предлагаемого учебника в основном аналогичны
изданию «Начертательная геометрия: Учебник для вузов» (СПб.: Питер, 2006).
Его существенное отличие заключается в том, что в этом издании образование
чертежа рассматривается с позиций теории метода двух изображений и, как след­
ствие, внесены соответствующие изменения в содержание и отдельные главы. При
этом в значительной степени учтены замечания и пожелания рецензентов и коллег
в пределах рекомендаций Государственных образовательных стандартов и имею­
щихся возможностей по объему учебника.
В частности, в этом издании изменен подход к проблеме классификации, более
полно рассмотрен раздел преобразования чертежа, рассмотрен вопрос построения
прямых и плоскости, касательных к поверхности, уточнены отдельные понятия,
приведены дополнительные примеры практического использования теоретических
положений, в том числе и родственного соответствия, в решении позиционных
задач.
Автор выражает глубокую благодарность профессору В. И. Якунину и рецен­
зенту профессору Г. С. Иванову за существенную помощь в подготовке издания
своим внимательным отношением к данной работе, принципиальным подходом
к редакционной оценке теоретических положений и профессиональными реко­
мендациями.

Введение
В наши дни встречается глубоко ошибочное мнение, что начертательная геометрия
будет не нужна с внедрением машинной графики. Однако эффективность исполь­
зования машин однозначно зависит от знаний основ теории изображений и умения
их использовать как в стадии разработки системных программ, так и в решении
прикладных задач. Человек, не умеющий читать и разрабатывать чертеж на бумаге,
не сможет осмысленно сделать это и на машине. Поэтому начертательная геометрия
входит в состав обязательных дисциплин ведущих технических и архитектурностроительных вузов. Ее роль в подготовке специалистов и в решении прикладных
задач возрастает с развитием науки и техники. В современном мире невозможно
существование полноценного инженера без знания основ теории изображений,
которые называют техническим языком.
Все черчение базируется на начертательной геометрии и отличается от нее прави­
лами, которые устанавливают условности оформления и размещения тех или иных
изображений и документов, называемых конструкторскими, или строительными.
Именно этими правилами отличаются чертежи в различных странах. А суть их
одна, объединяет их начертательная геометрия. Другое дело, что мы со временем
врастаем в начертательную геометрию, в этот язык настолько, что естественно, не
замечая этого, пользуемся ее плодами в повседневной жизни, как пользуемся пись­
менностью, математикой и другими плодами своих знаний. Ведь излагая свои мысли,
мы не задумываемся над понятиями существительного, глагола и т. д., а просто
пользуемся ими. Так же, читая или разрабатывая чертеж, или изготавливая изделие
по чертежу, мы автоматически выделяем состав поверхностей, их геометрические
отношения и параметры, их определяющие, потому что понимаем цель и характер
образования изображений, которые использованы на чертеже.
Однажды на встрече с комсомольцами академик С. П. Королев так ответил на один
из их вопросов: «Я люблю фантастику в чертежах». Вдумайтесь в это! При этом
он наверняка не думал о начертательной геометрии, но чертеж в нем жил так же,
как живет в нас родной язык. Поэтому начертательная геометрия, как объективная
необходимость, родилась в прошлом, нужна в настоящем и будет необходима в бу­
дущем. Все начинается с мысли, выраженной чертежом!
Интенсификация учебного процесса в вузах выдвигает новые требования к мето­
дике и средствам обучения, обеспечивающим необходимое качество подготовки
специалистов. В связи с этим вузовский учебник должен давать возможность
выбора материала, содержать сведения, необходимые не только для учебного
процесса, но и для организации научно-исследовательской работы со студентами,
для решения ряда инженерных задач, для использования методики проблемного
обучения.

Поэтому в предлагаемом учебнике рассматривается суть метода проекций, ана­
лизируются основные способы построения изображений и дается представление
о геометрических преобразованиях. На основе теории метода двух изображений
рассматривается образование и свойства комплексного и аксонометрического
чертежа, а затем анализируются определители и изображения объектов и методы
решения позиционных и метрических задач на них. Определенный разброс в све­
дениях об аксонометрических проекциях продиктован стремлением использовать
их большую наглядность и показать единую теоретическую основу образования
чертежей и универсальность алгоритмов при пояснении решения отдельных задач.
Кроме того, это позволяет делать сравнительную оценку способов построения
изображений и вводить аксонометрию в самом начале процесса обучения. То есть
идти от простых к более сложным изображениям.
Использование в самом начале курса начертательной геометрии сведений о конс­
трукторских документах и правилах их оформления вполне естественно. Это
направляет работу преподавателя и студента в русло чертежа, что совершенно
необходимо при выполнении графических заданий, для закрепления понятия те­
оретического чертежа как графического документа и для технической подготовки
студента к изучению курса инженерной графики.
Педагогическая практика показывает, что изложение даже хорошо системати­
зированных теоретических основ начертательной геометрии не обеспечивает ее
глубокого практического освоения. Поэтому в предлагаемой книге основные те­
оретические положения сопровождаются конкретными примерами их применения,
сравнительной оценкой и выводами, а в конце каждой главы даются вопросы и задания
для самоконтроля и закрепления материала.
Увеличение объема книги при таком способе изложения окупается ее практичес­
кой ценностью. Студенты ценят литературу, которая помогает им разобраться
в прикладных задачах, приобрести опыт в подходе к решению конкретных задач.
А по мере накопления этого опыта учащийся начинает мыслить самостоятельно
на профессиональном уровне.
Надо научить человека плавать, и лишь тогда он сможет самостоятельно плыть на
время и в глубину.

Принятые обозначения
Изображение знаков выполняется в соответствии с принятыми стандартами офор­
мления технической и научной документации.
А, В, С, D ,... или 1У Обозначение точки: прописные буквы латинского алфавита или арабские
2, 3, U ...
цифры
0

Изображение точки (области расположения точки): круг диаметром 2-3 мм
тонкой линией

а, Ь, с, d ,...

Линия: строчные буквы латинского алфавита

а, Д у, S ,...

Плоскости, поверхности, углы: строчные буквы греческого алфавита

П

Плоскость проекций (картинная плоскость): прописная буква (пи) греческо­
го алфавита

(АВ)

Прямая линия, проходящая через точки А и В

[АВ]

Отрезок, ограниченный точками А и В

[АВ)

Луч, ограниченный точкой А и проходящий через точку В

\АВ\

Натуральная величина отрезка АВ (равная оригиналу)

|Да|

Расстояние от точки А до линии а

\А о\

Расстояние от точки А до поверхности (плоскости) а

\ab\

Расстояние между линиями а и Ь

|а р |

Расстояние между плоскостями а и р

=

Совпадение (А = В — точки А и В совпадают) и результат действия

2

Геометрические объекты конгруэнтны (равны по величине и форме)

~

Фигуры подобны

||

Линии и плоскости параллельны

J_

Линии и плоскости перпендикулярны

^

Скрещиваются

—>

Отображаются, последовательность действий

=>

Следует, логическое следствие



Принадлежит, является элементом множества: А е а — точка А принадле­
жит линии а; а э А — линия а проходит через точку А

с

Включает, сбдержит:

П

Пересечение:

а с а —а принадлежит плоскости а

а = а Г\ Р — прямая а получена пересечением плоскостей а

?

Следует найти этот результат, решить задачу

\

Отрицание знака

/£ 7

Действительное значение угла равно 90° (прямой угол)

А

Угол. Например: а л Ь — угол между прямыми линиями а и Ь

Za

Угол а (или число в градусах)

ZABC

Угол с вершиной в точке В

Глава 1
Предмет
начертательной геометрии
Процесс производства любого изделия начинается с разработки конструкторской
документации.
Конструкторскими документами называют графические и текстовые документы,
которые в отдельности или в совокупности определяют состав и устройство изделия
и содержат необходимые данные для его разработки или изготовления, контроля,
приемки, эксплуатации и ремонта.
Изделием называют любой предмет или набор предметов производства, подлежащий
изготовлению на предприятии.
Рассматривая только геометрические свойства изделий (их форму, размеры), об­
ратим внимание на то обстоятельство, что это пространственные геометрические
объекты, а документация на изготовление этих объектов представляется на бумаге,
следовательно, на плоскости.
Кроме того, основанием для изготовления изделия служат его размеры, указанные
в документации, которые будем называть геометрическими параметрами.
Очевидно, что данные о геометрической форме изделия и его параметрах содержит
графическая часть конструкторской документации, которая называется чертежом.
Следовательно, чертеж — это графический документ, в котором в виде плоских
изображений и геометрических параметров представлены данные, необходимые
для разработки или изготовления изделия.
Начертательная геометрия изучает способы построения изображений (моделей)
пространственных геометрических объектов на чертеже, их геометрические свойства
и методы решения пространственных геометрических задач на этих изображениях.
По сути своей начертательная геометрия является уникальным техническим язы­
ком, теорией или основой плоского изображения. Уникальность его заключается
в том, что он един для всего человечества. И информативность его настолько велика,
что заменить его другим языком практически невозможно.
Необходимо помнить, что мы здесь намеренно делаем акцент на понятии «чертеж».
Но законы начертательной геометрии распространяются на любое изображение
геометрических форм. Чертежи, построенные методами начертательной геометрии,
должны отвечать следующим основным требованиям.
1. Наглядность. Это свойство чертежа вызывать пространственное представление
об изделии.

2. Простота построений, то есть построение изображений и решение задач на них
должны быть достаточно простыми.
3. Обратимость —это возможность воспроизведения (представления) по чертежу
формы, размеров и положения изображенного объекта в пространстве, то есть
возможность восстановления (изготовления) оригинала.
4. Возможность решения геометрических задач с достаточной степенью точности.
Отсюда вытекают основные задачи начертательной геометрии:
□ изучение и разработка методов проецирования (моделирования) геометрических
объектов на плоскость;
□ исследование геометрических преобразований и их свойств;
□ разработка методов решения пространственных геометрических задач на плос­
ких изображениях;
□ разработка условий, обеспечивающих обратимость чертежа и качественное
изготовление изделия с учетом новых технологий.
Основным методом начертательной геометрии является метод проецирования,
поэтому чертежи, построенные этим методом, называют проекционными.
Однако для обеспечения наглядности чертежа и возможности производства из­
делия устанавливаются законы оформления изображений и сопровождения их
дополнительной информацией. Эти законы объединяют в целевые государственные
стандарты (ГОСТ). А свод этих стандартов называют Единой Системой Конструк­
торской Документации (ЕСКД).
В общей системе государственной стандартизации ЕСКД присвоен код 2. Внутри
ЕСКД стандарты объединяются по группам, которым присваивается цифровой код
от 0 до 9. Например, в учебном процессе изучаются стандарты следующих групп:
1. Основные положения;
3. Общие правила выполнения чертежей;
4. Правила выполнения чертежей изделий машиностроения и приборостроения;
7. Правила выполнения схем;
8. Правила выполнения документов строительных и судостроения;
9. Прочие стандарты.
В каждой группе стандартам присваивается порядковый номер. Таким образом,
обозначение конкретного стандарта будет выглядеть, например, как показано на
следующей схеме:
ГОСТ 2.301-68
Код ЕСКД
Группа TOw.

^ - Г о д регистрации стандарта
Порядковый номер ГОСТ в группе

Кроме того, стандарту присваивается наименование, например:
ГОСТ 2.301-68 Форматы.
Прежде чем изучать начертательную геометрию, изучим важнейшие законы офор­
мления изображений.

Глава 2
Начальные сведения
о правилах оформления
изображений
Правила оформления изображений мы будем рассматривать не в полном объеме,
а по мере их использования. При этом необходимо различать вид и назначение
изображения, например: чертеж, технический рисунок, художественный рисунок,
фотография, кинопленка —все они подчиняются единым геометрическим законам,
но оформляются по-разному. Мы будем рассматривать правила оформления черте­
жа и технического рисунка, а на первом этапе —правила оформления изображений
чертежа как в стадии их разработки, так и на завершающем этапе. Этим правилам
должны подчиняться и геометрические рисунки, иллюстрирующие положения
начертательной геометрии.

2.1. Линии
ГОСТ 2.303-68 для оформления изображений и иных данных на чертеже устанав­
ливает следующие типы линий и их наименование:

и
сплошная толстая основная линия, толщина s = 0,5,..., 1,4 мм;
сплошная тонкая линия, толщина (1/2 ... 1/3) s;

сплошная волнистая линия;

штриховая линия;

пунктир
5...30
\ штрих
штрих------ i
штрихпунктирная тонкая линия;

5...30
штрихпунктирная тонкая линия с двумя пунктирами.
Сплошная толстая основная линия выполняется толщиной от 0,5 до 1,4 мм
в зависимости от величины, сложности изображений, формата чертежа и средства
изображения.
Другие указанные типы линий называются тонкими и выполняются в два-три
раза тоньше основной линии. Толщина тонких линий, выполненных карандашом,
должна быть не менее 0,3 мм, а расстояние между линиями должно быть не ме­
нее 0,8 мм. Следовательно, толщина основной линии, вычерченной карандашом,
должна быть не менее 0,6 мм.
Толщина линий одного и того же типа должна быть одинаковой для всех изобра­
жений на данном чертеже, вычерчиваемых в одинаковом масштабе. Контрастность
линий должна быть ровной.
Каждый тип линии имеет свою область применения, свое назначение. На рис. 2.1
показан пример использования разных линий в изображениях детали, образован­
ной двумя цилиндрами и призмой, и тетраэдра (трехгранной пирамиды) ОАВС.
Линия сплошная толстая (основная) предназначена для изображения на чертеже
видимых линий контура детали, видимых линий пересечения поверхностей, линий
пересечения секущих плоскостей с поверхностями изделий при образовании раз­
резов и сечений, а также для изображения определенных линий таблиц, основных
надписей, внутренней рамки чертежа, структурных элементов схем.
Линия сплошная тонкая предназначена: для выполнения на чертеже вспомога­
тельных построений; для нанесения выносных и размерных линий на изображе­
ниях; для графического обозначения материала изделия (штриховки) в разрезах
и сечениях; для вычерчивания выносных линий и полок позиций, над которыми
делаются поясняющие надписи и обозначения; для подчеркивания надписей; для
указания воображаемых линий плавного перехода поверхностей и для других
вспомогательных построений.
Линия сплошная волнистая тонкая вычерчивается от руки и применяется для
ограничения (обрыва) изображений, разграничения вида и разреза.
Для изображения невидимых элементов (линий) применяется штриховая линия.
Например, изображение пирамиды ОАВС на рис. 2.1 будет непонятным, если не
показывать невидимые ребра.
Штрихпунктирная тонкая линия предназначена для изображения осей (симмет­
рии, вращения), центровых линий и следов секущих плоскостей при выполнении
разрезов и сечений.

Выносная линия

Видимые (основные)
линии
Границы между
видом и изображением\

След секущей
плоскости

Невидимые рёбра
Условные линии плоскости
Выносная л и н и я П о л к а

Графическое обозначение
материала (штриховка)
Рис. 2.1. Пример использования линий в изображениях

Линия штрихпунктирная тонкая с двумя пунктирами используется для изображе­
ния линий сгиба на развертках, изделий в промежуточных положениях, развертки,
совмещенной с видом.

2.2. Масштабы и форматы
Величина изображений объекта определяется масштабом и выбирается в зависи­
мости от его сложности, цели изображений и размера листа бумаги (или другого
материала) для их размещения.
Масштабом называют величину отношения длины / изображения отрезка (длины
на чертеже) к его действительной длине /.
Масштаб обозначают буквой «М» и записывают отношением / : /.
ГОСТ 2.302-68 Масштабы для изображения на чертежах устанавливает:
□ масштабы уменьшения: 1:2; 1:2,5; 1:4; 1:5; 1:10 и др.;
□ натуральная величина: 1:1;
□ масштабы увеличения: 2:1; 2,5:1; 4:1; 5:1; 10:1 и др.
Если масштаб указывается в отведенном для него месте, то он записывается отно­
шением, например, 1:2 и т. д., а в других случаях его указывают над изображением
по типу: М 1:1; М 1:2; М 2:1 и т. д., или в скобках рядом с другим обозначением,
например А-А (2:1).

На иллюстрациях, рисунках масштабы не пишут, и они могут отличаться от мас­
штабов, установленных стандартом для чертежа.
Изображения, выполненные от руки, называют эскизом. Эскиз выполняют в гла­
зомерном масштабе, который не указывают. Здесь важно выдержать соотношение
(пропорции) размеров отдельных геометрических элементов и их взаимного рас­
положения.
Лист бумаги или другого материала, на котором выполняют чертеж и необходимые
надписи, называют форматом. В конструкторской и учебной практике наиболее
часто для чертежа используется специальная бумага —так называемый ватман —
с размерами сторон формата по ГОСТ 2.301-68 Ь х а = 594 х 841 мм (рис. 2.2), ко­
торый обозначается А 1. Купленный вами лист может иметь несколько завышенные
размеры сторон. Перед использованием его следует обрезать.
Более мелкие форматы образуются последовательным делением на два длинной
стороны предыдущего формата. На рис. 2.2 показана последовательность образова­
ния форматов, их условное обозначение и оформление. Размеры сторон форматов:
А2 —420 х 594 мм; АЗ — 297 х 420 мм; AU — 210 х 297 мм.

Если формат отдельный, то его кромка называется внешней рамкой. Если формат
выделяется на листе большего размера, то внешняя рамка вычерчивается тонкой
сплошной линией по размерам сторон формата.

Все форматы можно располагать к себе длинной и короткой стороной, кроме фор­
мата AU, который располагается только короткой стороной. На форматах толстой
сплошной линией вычерчивается внутренняя рамка. С левой стороны она отступает
от внешней рамки на 20 мм (поле подшивки чертежей), а с трех других сторон —
на 5 мм. В правом нижнем углу формата размещается основная надпись, форму
и содержание которой устанавливает ГОСТ 2.104-68.
Для чертежей и схем установлена форма 1. В учебных работах мы не будем ис­
пользовать дополнительные графы, а содержание основных граф сделаем соот­
ветствующими стандарту и потребностям учебного процесса. Такой упрощенный
вариант формы основной надписи показан на рис. 2.3 для формата А 4, а пример ее
заполнения приведен на рис. 2.4.
Основные надписи и рамки выполняют сплошными основными и сплошными
тонкими линиями, как показано на рис. 2.3 и 2.4. Графы заполняют чертежным
шрифтом по ГОСТ 2.304-81.
Рекомендуемый размер шрифта указан ниже в пояснениях к заполнению граф,
а сведения о шрифте изложены в разделе 2.3. Графы на рис. 2.3 отмечены номерами
в круглых скобках.

В графах основной надписи указывают:
□ в графе 1 — наименование изделия (шрифт размера 5, 7, 10 (см. рис. 2.3
и 2.4);
□ в графе 2 —обозначение документа (шрифт размера 7), разъяснение обозна­
чения дано ниже;
□ в графе 3 —обозначение материала детали (графу заполняют только на чертежах
деталей);
□ в графе 4 —литеру, присвоенную данному документу, например У — учебная
работа (графу заполняют последовательно, начиная с крайней левой клетки,
шрифт размера 5);
□ в графе 5 —массу изделия по ГОСТ 2.109-73;
□ в графе 6 —масштаб (ГОСТ 2.302-68, ГОСТ 2.109-73), шрифт размера 7;
□ в графе 7 —порядковый номер листа (шрифт размера 3,5; на документах, состо­
ящих из одного листа, графу не заполняют);
□ в графе 8 — общее количество листов документа (шрифт размера 3,5; графу
заполняют только на первом листе);
□ в графе 9 —наименование или различительный индекс предприятия, выпуска­
ющего документ (шрифт размера 5,7);
□ в графе 10 —характер работы, выполняемой лицом, подписывающим документ
(шрифт размера 3,5);
□ в графе 11 —фамилии лиц, подписавших документ (шрифт размера 3,5);

Рис. 2.4. Пример размещения и заполнения формы 1
в учебных чертежах и схемах

□ в графе 12 —подписи лиц, фамилии которых указаны в графе 11;
□ в графе 13 —дату подписания документа (шрифт размера 2,5).
Другие графы в учебных работах не заполняются.
Рамки и основные надписи выполняют только на работах, которым придается
статус чертежа. Другие учебные задачи и работы могут выполняться на любой
бумаге в соответствии с требованиями, установленными учебным процессом.
Обозначение изделий и конструкторских документов, которое должно указывать­
ся в графе 2 основной надписи, устанавливается в соответствии с ГОСТ 2.201-80
и имеет следующую структуру:
ХХХХ. ХХХХХХ. XXX
Порядковый регистрационный номер
Код классификационной характеристики
Код организации-разработчика

Четырехзначный буквенный код организации-разработчика назначается по коди­
фикатору организаций-разработчиков. Мы записываем здесь код кафедры внутри
вуза — 076 — и код дисциплины, установленный кафедрой: 1 — начертательная
геометрия; 2 —инженерная графика (черчение). Тогда общий код: 0761 или 0762.
После каждой группы кода ставится точка и делается интервал шириной не менее
одного знака (одной буквы).
Код классификационной характеристики присваивают изделию и конструкторско­
му документу по классификатору ЕСКД. Структура учебного кода содержит:
□ XX —порядковый номер задания (от 01 до 99);
□ X —номер сборочной единицы в составе сборочной единицы;
□ XXX —вариант задания (от 001 до 999).
Например, первая работа по начертательной геометрии варианта 25 будет иметь
код 010025.
Порядковый регистрационный номер присваивает организация —разработчик до­
кумента. В учебных работах рекомендуется записывать порядковый номер изделия,
указанный в графе «Позиция» спецификации, или записывать три нуля.
Таким образом, полное обозначение работ по начертательной геометрии может
иметь вид 0761.010025.000.
К этому обозначению может добавляться код документа по ГОСТ 2.102-68:
□ СБ —сборочный чертеж;
□ ВО —чертеж общего вида;
□ ТЧ — теоретический чертеж;
□ /73 —пояснительная записка, и др.
Например, работа, определяющая геометрическую форму (обводы) изделия и ко­
ординаты расположения составных частей, относится к теоретическому чертежу
и может иметь обозначение 0761.010025 000 ТЧ.

2.3. Шрифты чертежные
и принятые обозначения
Надписи на чертежах и текстовые документы могут выполняться (ГОСТ 2.105-79):
□ машинописным способом;
□ типографским способом;
□ с применением печатающих и графических устройств вывода ЭВМ;
□ рукописным способом основным чертежным шрифтом по ГОСТ 2.304-81 с вы­
сотой букв и цифр не менее 2,5 мм.
Форма и размеры элементов шрифта определяются техническими средствами.
Для рукописи стандарт устанавливает шрифты типа «А» и типа «Б». Мы будем
использовать на чертежах шрифт типа «Б».
Установленные размеры шрифта даны в табл. 2.1.
Таблица 2.1. Основные параметры шрифта типа «Б»
Параметр

Обозначение

Размеры, мм

Размер шрифта

h

2,5

3,5

5,0

7,0

10,0

14,0

20,0

Высота строчных букв

с

1,8

2,5

3,5

5,0

7,0

10,0

14,0

Расстояние между буквами

а

0,5

0,7

1,0

1.4

2,0

2,8

4,0

Минимальный шаг

Ь

4,3

6,0

8,5

12,0

17,0

24,0

34,0

Минимальное расстояние
между словами

е

1,5

2,1

3,0

4,2

6,0

8,4

12,0

Толщина линий шрифта

d

0,25

0,35

0,5

0,7

1,0

1,4

2,0

Основные параметры шрифта показаны на рис. 2.5, а их численные значения уста­
навливаются в долях размера шрифта следующим образом:
□ h — размер шрифта равен высоте прописных букв в мм (высота строки);
□ с —высота строчных букв, с = 7/10 /?;
□ d —толщина линии шрифта, d = 1/10 h;
□ а —расстояние между буквами, а = 2/10 /?;
□ е —минимальное расстояние между словами, е = 6/10 h;
□ Ь —минимальный шаг строк (расстояние между основаниями строк),
Ь - 17/10 Л;
□ f —превышение буквы «О», f = 1/2 d.

Рис. 2.5. Основные параметры шрифта

Ширина букв и цифр в долях от размера шрифта h дана в табл. 2.2.

Таблица 2.2. Ширина букв и цифр шрифта типа «Б»
Буквы и цифры
Прописные буквы:

Относительный размер, h

5 уВуИуЙ , К у/7,//,0 , /7,Р, ТуУуЦуЧуЬуЭуЯуЪ'у

6/10

А уДуМуХуЫуЮ'у

7/10

ЖуФуШуЩу

8/10

ЕуГуЗуС
Строчные буквы:

5/10

j , 6уб у2уду ву Uy йу Ку Лу Ну Оу Пу ру уу Ху Чу Цу by Эу я;

5/10

М у Ь у Ы у Ю'у

6/10

Ж у / 77 , ф у Ш у Щ ‘у

7/10

Су З'у
Цифры:

4/10

2уЗу5,6у 7у8, 9у0;

5/10
6/10

1

4/10

Шрифт типа «Б» применяется с наклоном примерно 75° и без наклона.

Рис. 2.6. Начертание элементов букв

Типичные особенности начертания некоторых элементов букв можно проследить
по рис. 2.6.
На одном чертеже рекомендуется применять шрифт одного типа. Размер шрифта
выбирается в зависимости от размера формата, размера изображений и назначения
чертежа. Для учебных работ рекомендуются шрифты размера 2,5; 3,5; 5; 7. Для вы­
работки навыка рекомендуется делать разметку строки, размещение букв, обводку
шрифта, как показано на рис. 2.7 (линии делать бледными и потом не стирать).
Удобно для этой цели использовать трафарет.

В МЫ р а з м е т к а
Рис. 2.7. Разметка шрифта
_______ Шрифт типа Б с наклоном

Прописные букбы

АВВГЛЕЖЗИЙКЛМНОП
Строчные букбы

аббгдежзийклмноп
эюя
ШРИФ Т Шрифт типа А и Б
Шрифт шипа Б й р з нпк/юнп

АБВГДЕЖЗИЙКЛМНОП

аббгаежзийклмноп
рстцфхачшшьыьэюя
Р ис . 2.8. Русский алфавит (Кириллица)

На рис. 2.8 показана конструкция шрифта русского алфавита. Сравните начер­
тание наклонных и прямых букв прописного шрифта. Обратите внимание на
конструкцию строчных букв шрифта.
На рис. 2.6 и 2.7 показан пример написания слов только прописными буквами,
а также пример написания фразы, в которой используется прописной и строчной
шрифты. Сравните их размеры по высоте.
На рис. 2.9-2.12 показана конструкция шрифтов латинского и греческого алфави­
тов, арабских и римских цифр.
Заметим, что цифры не бывают строчными, они всегда имеют высоту прописного
шрифта.

ABCDEOHIJKL MNOPQRS TUVWXYZ
abcdefghijklmnopqrstu vwxyz
Рис. 2.9. Латинский алфавит

ABXAErHISKAMNOmPZTYgQEYZ
аРхЗефуг] кркХц уожвратошсо^ у/£
Рис. 2.10. Греческий алфавит

1234567890
Рис. 2.11. Арабские цифры

/ // III IV V VI VII V IIIIX X
Рис. 2.12. Римские цифры

Римские цифры допускается ограничивать горизонтальными линиями.
На рис. 2.13 показано, как писать индексы и дроби.

а;2 в'3 с " 3/

i1
A



Рис. 2.13. Написание индексов и дробей

Цифровые и буквенные индексы при обозначениях рекомендуется писать шриф­
том размера на один ранг ниже размера шрифта основного обозначения. Верхние
и нижние индексы должны быть написаны так, чтобы соответствующая линия
строки основного обозначения делила их пополам.

Дроби пишут шрифтом на ранг ниже размера целого числа или таким же шрифтом,
что и целое число, например, как написано 3/4 (см. рис. 2.13).

Вопросы и задания
Ответьте на вопросы, а если вы затрудняетесь, найдите ответ в главах 1 и 2.
1. Что изучает начертательная геометрия?
2. Какой документ называют чертежом и какие требования к нему предъявля­
ются?
3. Назовите типы линий, используемых для оформления изображений, и их на­
значение.
4. Начертите отрезок длиной 100 мм разными типами линий, соблюдая их тол­
щину и конструкцию, если толщина основной линии равна 1 мм (это примерно
половина диаметра стержня обычного карандаша).
5. Что называют масштабом и как он указывается на чертеже?
6. Каким отрезком будет изображена линейка длиной 500 мм на чертеже в масш­
табе: 1:1; 2,5:1; 1:4; 1:2?
7. Что называют форматом, его внешней и внутренней рамкой?
8. Как оформляется внутренняя рамка чертежа (тип линии, размеры, где распо­
лагается основная надпись)?
9. Как обозначаются и какие имеют размеры более мелкие форматы, изготовлен­
ные из формата А1, имеющего размеры сторон 841 х 594 мм?
10. Какие типы шрифта устанавливаются стандартом и что называют размером
шрифта?
11. Напишите шрифтом типа «Б» строчным размера 7 на своих тетрадях для лек­
ционных и практических занятий:
■ наименование предмета;
■ свою фамилию, имя, отчество;
■ шифр группы;
■ фамилию, имя, отчество преподавателя;
■ учебный год.
Рекомендация: начертите строки нужного размера и положите перед собой книгу
с изображенным шрифтом.

Глава 3
Метод проекций

Для построения изображений на плоскости широко используют следующие спо­
собы проецирования:
1. Центральное проецирование.
2. Параллельное (косоугольное) проецирование.
3. Ортогональное проецирование.
В этой главе мы рассмотрим содержание этих способов и покажем, в чем их единс­
тво и различие.

3.1. Центральное проецирование
Выберем некоторую плоскость /7', которую будем называть плоскость проекций,
или картинной плоскостью, линию / —геометрический объект (оригинал, прообраз)
и точку S —центр проецирования, или точка зрения (рис. 3.1).
Плоскость проекций неимеет границ, а на рисунке ее выделяют плоской фигурой
для наглядности.
Плоскость ГГ и точку зрения S, при заданном ее расположении относительно /7',
называют аппаратом проецирования.
Для получения изображения (образа) /' оригинала (прообраза) / на плоскости /7'
выберем на линии точку А.
Представим себе, что мы разглядываем точку А (одним глазом), и проведем через
нее и точку зрения проецирующую прямую (SA) до пересечения с плоскостью ГГ.
Это запишем так:
A' = (S A )(]/ r,

то есть изображение Л' точки А на плоскости ГГ получается как результат пересече­
ния прямой (SA) с плоскостью проекций /7'. Точку А' называют проекцией (.моделью,
образом) точки А (прообраза) на плоскости П\

Заметим, что оригинал (прообраз) может находиться как за плоскостью проекций
(рис. 3.1, а), так и перед ней (рис. 3.1, б). От этого принцип образования изобра­
жения не зависит.
Процесс образования изображения объекта называют проецированием, или отоб­
ражением, пространства на плоскость; прямые, связывающие точки оригинала
с их изображением, называют проецирующими прямыми, а полученное изображение
называют проекцией, или моделью, или картиной, или образом этого объекта. Чтобы
подчеркнуть способ организации изображения, перед словом «проекция» ставят
название способа проецирования, например А' — центральная проекция точки А,
а (SA ) —проецирующая прямая.
Для построения изображения линии / на ней выбирается ряд точек (,ABCD...), которые
проецируются на плоскость/7'. Проекции точек (4'S'C'D'...) соединяются плавной
кривой, и получается центральная проекция /' (образ) линии / (прообраза) на плос­
кость ГГ или модель линии / на плоскости П\
Чтобы отличать обозначение оригинала (линии /) от обозначения его изображения
(линии /'), будем в дальнейшем все изображения обозначать тем же знаком, что
и оригинал, но с добавлением индекса, который имеет плоскость проекций (в нашем
примере —апостроф): / —оригинал, /' —его изображение.
Очевидно, чем большее число точек линии мы спроецируем на картинную плос­
кость, тем точнее построим изображение. Отсюда можно сделать вывод: для пра­
вильного и быстрого построения изображения необходимо знать геометрические
свойства оригинала и их изменения в процессе проецирования.
Представим себе, что проецирующая прямая (S4) (см. рис. 3.1) последовательно
обегает все точки заданной линии /. Тогда множество этих прямых описывает
поверхность а, которая называется конической (S —вершина конуса, (S4) —об­

разующая прямая, / —направляющая линия). Тогда изображение /' линии / можно
представить как линию пересечения конической проецирующей поверхности а
с плоскостью проекций /7', то есть
Г = аП/7'.
Поэтому центральные проекции называют перспективой, а проецирование иногда
называют коническим.
Мы рассмотрели принцип построения модели точечного пространства (пространс­
твенной фигуры) на плоскость методом центрального проецирования. Из анализа
примера можно выделить важные свойства этого метода проецирования.
Свойство 1. Каждой точке оригинала соответствует единственная точка в его
проекции, то есть проекцией точки является точка.
Свойство 2. Проекцией кривой линии в общем случае является кривая линия.
Свойство 3. Если точка принадлежит линии, то ее проекция принадлежит соот­
ветствующей проекции линии (свойство инцидентности —взаимной принадлеж­
ности).
Следствие из третьего свойства: если линии пересекаются, то их изображения
пересекаются в проекции точки пересечения оригиналов.
Если линия (CN) —прямая, проходящая через центр S проекций, то она проециру­
ется точкой и называется проецирующей. На рис. 3.1 обозначены проекции С = N'
концов отрезка [CN].
Точки проецирующей прямой называют конкурирующими по отношению к наблю­
дателю. Если зафиксировать концы отрезка [CN], то наблюдатель видит точку Г, так
как она расположена к нему ближе и закрывает собой остальные точки этой пря­
мой. Это обстоятельство используют для определения относительной видимости
геометрических элементов на изображении. Невидимая точка N' взята в круглые
скобки. Таким приемом мы будем пользоваться и дальше.
Свойство 4. Проекция проецирующей прямой вырождается в точку, а фиксирован­
ные на прямой точки являются конкурирующими.
При проецировании фигуры, ограниченной поверхностью /?(рис. 3.2), каждой точке
А поверхности будет соответствовать одна (например, точка#) или несколько кон­
курирующих точек, кроме точек касания проецирующих прямых с поверхностью
фигуры. Совокупность проецирующих прямых, которые касаются поверхности,
образует коническую проецирующую поверхность а, линия пересечения которой
с плоскостью проекций ограничивает область возможных проекций точек заданной
фигуры.
Линия касания поверхностей а и называется контуром поверхности Д Проекция
контура поверхности называется ее очерком (очертанием).
Контур поверхности, следовательно, и очерк, является границей видимости (неви­
димая часть поверхности /5 условно затемнена, как будто в тени).
Если на поверхности выделена линия /, то строится ее проекция /'. При этом
в проекции видимая часть линии (до точки С —>С) изображается сплошной толстой
линией, а невидимая (участок CD-» CD') часть изображается штриховой линией

или не изображается вовсе. Точка С лежит на пересечении линии / с контуром
поверхности, а точка Г является точкой касания проекции /' с очерком поверхнос­
ти. Последнее замечание очень важно для правильного построения и понимания
изображений изделия.

Если линия / (см. рис. 3.1) прямая, то она вместе с центром S проекций образует
проецирующую плоскость a(S, /), где (S, /) — определитель плоскости. Тогда бу­
дем иметь изображение (рис. 3.3) прямой /' = af|/7', то есть проекция Г прямой /
определяется пересечением проецирующей плоскости а с плоскостью проекций/7'
и, следовательно, будет прямой.
Свойство 5. Проекцией прямой линии в общем случае является прямая линия.
Исследуем отдельные свойства проецирования прямой линии.
Точка А пересечения прямой / с плоскостью проекций^ называется следом прямой.
След прямой совпадает со своей проекцией.
Проецирующая прямая (SB) образует с линией / угол В') со­
ответственных точек. Построить изображения четырехугольника BCDE, лежащего
в плоскости а (а П Ь), и образы а', Ь' прямых линий а и Ь, указать направление
родства.

Глава 5
Образование и свойства
комплексного чертежа

Для обеспечения обратимости чертежа при ортогональном проецировании ис­
пользуется метод Монжа, в котором объект проецируется на две и более взаимно
перпендикулярные плоскости проекций. Такой чертеж называют эпюром Монжа,
или комплексным чертежом. Он получил самое широкое распространение.
Чертеж, состоящий из нескольких взаимосвязанных проекций, называют комплек­
сным..

5.1. Двухкартинный комплексный чертеж
Спроецируем ортогонально точку А (рис. 5.1, а) на две взаимно перпендикулярные
плоскости /7Г(И) _L/72(V) по направлениям s1и s2соответственно.
Вертикальную плоскость П2 называют фронтальной плоскостью, а плоскость П1
называют горизонтальной плоскостью проекций.
Буквы П1или Ни Л2или V соответствуют принятым обозначениям этих плоскостей
проекций в научной и учебной литературе. Это не принципиально, но полезно знать,
чтобы легче понимать изображения, в которых могут быть использованы разные
обозначения. Мы будем использовать обозначение /7.
Линия х=/7,П/72пересечения плоскостей называется осью проекций.
Проецирующие прямые, пересекаясь в точке А, образуют проецирующую плоскость
a (AA f ПАА2), которая перпендикулярна оси х. Эта плоскость пересекает ось х в точке
Ах, а плоскости проекций по прямым
а = (аП /7 ,)1 х,

Ь = (аП/72) 1 х .
Пересечение этих линий с проецирующими прямыми точки А однозначно опреде­
ляет положение проекций:
4, = аП (44,),
A2 = bf ](AA2).

Aj А
в

Рис. 5.1. Ортогональные проекции точки на две плоскости

На чертеже мы будем иметь только проекции (прообразы) A f и А2 образа (ориги­
нала) точки А (рис. 5.1, б). Если на оси х проекций принять за ноль числовой оси
точку 0 и направление 0Ах считать положительным, то можно построить правую
прямоугольную систему координат Oxyz, в которой расположены наши точки.
Но это все еще представление о пространственной картине, а чтобы получить пло­
скую картину, повернем плоскость П1вокруг оси х до совмещения с плоскостью /72,
как показано стрелкой на рис. 5.1, б. Тогда мы получим картину, изображенную
на рис. 5.1, в (здесь прямоугольники, изображающие плоскости проекций, и их
буквенные обозначения /7, и П2 не показаны). Так мы наложили друг на друга два
поля проекций, каждое из которых не ограничено размерами. Можно совместить
поля поворотом П2вокруг оси х до совмещения с П1Уот этого ничего не изменится,
и таким приемом в дальнейшем мы будем пользоваться. Линия (А1А2) называется
вертикальной линией связи. Она всегда перпендикулярна оси проекций х. Оси у и z
на таком чертеже не изображают, но их существование всегда имеется в виду.
Полученные изображения называются двухкартинным комплексным чертежом
(эпюром) точки (в нашем обозначении —точки А).

В его обратимости нетрудно убедиться. По эпюру на рис. 5.1, в легко восстановить
пространственную картину (рис. 5.1, б). Если в точках Л1и А2восстановить перпен­
дикуляры (проецирующие прямые), то их пересечение определит единственную
точку А (рис. 5.1, а), то есть обратимость обеспечена. Это утверждается и тем обсто­
ятельством, что на чертеже мы видим натуральную величину отрезков (в масштабе
чертежа), соответствующих трем координатам точки.
Такой подход к образованию комплексного чертежа и к его преобразованиям,
с которыми мы познакомимся позже, был принят изначально, он наиболее на­
гляден и прост, а поэтому получил самое широкое распространение.
Однако в наше время разработан метод двух изображений, который позволяет
дать более строгое проекционное обоснование образованию комплексного чертежа
(см. п. 3.4.1). В этом случае плоскости /7Ги П2 служат вспомогательными плоскос­
тями проекций (рис. 5.2, а, сравните с рис. 3.9). Основную плоскость /7' проекций
совмещают с 172и используют несобственные центры SjS1aS2ooпроецирования, а их
положение указывается направлениями проецирования соответственно.

Рис. 5.2. Образование комплексного чертежа методом двух изображений

Построим вспомогательные проекции А гпо направлению проецирования s, _LП1и А2
по направлению s2 J_Пг Направление основного проецирования s i x и наклонено
под утлом 45° к плоскостям проекций. В этом случае основная проекция А2 совпадает
с Ar aАI проецируется так, что [АхА;'] = [АхА г], то есть координата у сохраняется. Если
опустить в обозначениях А' и А2 основных проекций апострофы, то мы получаем
чертеж (рис. 5.2, б) такой же, как на рис. 5.1, в.
Если вместо /71взять вспомогательную плоскость Пь под углом 45° к вертикальной
плоскости (рис. 5.3, в), сохранив обозначение Л; первичной проекции, а направление
основного проецирования s ±П2(при прочих одинаковых условиях), то получится
чертеж (рис. 5.2, г, апостроф опущен), как на рис. 5.2, б. В этих случаях исключенная

точка и прямая находятся в бесконечности, проецирующая плоскость и линия связи
перпендикулярны оси проекций, как и на эпюре Монжа, показанном на рис. 5.1.
Ортогональные проекции проигрывают в наглядности, но упрощают процесс пос­
троения изображений, процесс измерений и преобразования чертежа, и поэтому
нашли самое широкое применение в инженерной практике. Исследуем более
подробно двухкартинный комплексный чертеж точки (рис. 5.3) с принятыми
обозначениями и терминами, которые дальше будем использовать постоянно.

Рис. 5.3. Двухкартинный чертеж точки

На рис. 5.3, а показаны изображения и обозначены:
□ П1(или Н) —горизонтальная плоскость проекций.
□ П2 (или У) —фронтальная плоскость проекций.
□ х12= П1П П2 — ось проекций, читается: «икс один-два», то есть пересечение пло­
скости с индексом 1 (/7f) и плоскости с индексом 2 (П2). Индексы 1 и 2 могут
отсутствовать, тогда х - П1П Пт

□ А — точка-оригинал.
□ s, -L/7Т,s2_L/72, s А/72 = 45° —направления проецирования. Далее их изображать
не будем, но всегда будем о них помнить.
□ Ах — пересечение проецирующей плоскости А1АА2 с осью х или ортогональная
проекция точки А на ось х.
□ А1— горизонтальная проекция точки А.
□ А2 —фронтальная проекция точки А.
□ А1Ах = АА2= у — глубина точки А (расстояние до /72).
□ A2Ax= AA1= z — высота точки А (расстояние до /7,).
□ ОАх = х — широта точки А.
Совместим П1с П2 поворотом вокруг оси х так, чтобы положительные полуплос­
кости проекций оказались по разные стороны от оси проекций, и получим двухкар­
тинный комплексный чертеж точки или эпюр Монжа (рис. 5.3, 6) с осью проекций.
В практике работы с изображениями обычно не чертят оси проекций, когда в них нет
необходимости. Но их присутствие выражается через линии проекционной связи и
размеры. Такой чертеж называют безосным (рис. 5.3, в). При изображении изделий
вертикальную линию AfА2связи соблюдают, но не вычерчивают, а при необходимости
ее обозначают короткими штрихами, как показано на рис. 5.3, в. В этом случае говорят,
что чертеж задан с точностью до параллельного переноса плоскостей проекций.
Ось х в безосном чертеже можно выбрать произвольно, но перпендикулярно линии
связи. Допустим, не зная истинного положения оси проекций, мы в безосном черте­
же сами задали ось х12(рис. 5.3, г). Сравнивая рис. 5.3, г и рис. 5.3, б>устанавливаем
связь координат точки А:
□ глубина у' = у + А;
□ высота z' = z - А
Этим координатам будут соответствовать новые плоскости П' 1 П2 проекций, ось
xj2 (рис. 5.3, а) и проекции А' А2. Но при этом И 7Л2] = у + z = у' + z', то есть эти
координаты определяют ту же самую точку А. Ось х12 всегда находится в пло­
скости Пь, которая делит двугранный угол П1АП2 пополам и называется четной
биссекторной плоскостью.
Выводы:
1. Двухкартинные чертежи с осью х проекций и без нее равноправны (обратимы).
2. Ось проекций х в безосном чертеже можно выбрать произвольно, соблюдая
перпендикулярность к линиям связи. При этом координаты объекта будут оп­
ределены с точностью до параллельного переноса плоскостей проекций.
Плоскости /71и/72проекций делят все пространство на четыре части (рис. 5.4, а), кото­
рые называют четвертями, или квадрантами. Такое деление легко просматривается,
если спроецировать все ортогонально по направлению s || х на плоскость П ±х.
Тогда плоскости становятся проецирующими и будут изображаться на П прямыми
линиями П1и П2, а ось х — точкой их пересечения. Четверть, в которой координаты
у и z положительны, называется первой (обозначена/). Последующие названия
и обозначения плоскостей присваиваются в направлении против движения
часовой стрелки.

На рис. 5.4, б первая четверть с точкой А (А, А2) показана отдельно, а на рис. 5.4, е
показан эпюр этой точки. Здесь: у > 0, г > 0.
На рис. 5.4, в показана вторая четверть с точкой В (Я, В2), а на рис. 5.4, е — ее эпюр.
Во второй четверти координата у точки отрицательна и поэтому обе проекции
располагаются выше оси х.

о*2

? ^2
9 Е2
By

с,
01
02

Рис. 5.4. Чертеж точек, расположенных в разных квадрантах

На рис. 5.4, г показана третья четверть с точкой Г, где у < 0, z < 0. Сравните эпюры
точек С (С1С2) и А (А 1А2) на рис. 5.4, е.
На рис. 5.4, д выделена четвертая четверть с точкой D, где у > 0, z < 0. Сравните
эпюры точек D (0;О2) и В (В,В2) на рис. 5.4, е. У точек, лежащих в четных четвертях
(// и IV), проекции располагаются по одну сторону от оси х (соответственно, выше или
ниже оси), потому что совмещаются полуплоскости с разными знаками координат.
У точки, лежащей в плоскости проекций, одна из координат равна нулю и одна
проекция лежит на оси дг, например: Е е П2>у£ = 0,Е1е х (рис. 5.4, в и 5.4, е); F е /7,,
zf = 0,F2 g x (рис. 5.4, д и 5.4, ё).
Поле точек, имеющих равные координаты глубин и высот (у = z), образует пло­
скость П13, которая называется биссекторной плоскостью нечетных четвертей
(рис. 5.5, а). Она делит первую и третью четверти пополам.

9 Di

Л - М,
z >0
у 0
z а на чертеже (рис. 7.18, в) обозначают
р1= fr Если след Р1нужно выделить, то для этого используют линию с разрывом
или ее элемент длиной 8-20 мм и примерно в полтора раза толще основной линии
изображений (рис. 7.18, в).
Профильную плоскость уровня у\\П3 читателям предлагается исследовать само­
стоятельно.
Плоскость, перпендикулярная плоскости проекций, называется проецирующей.
Плоскость a_L/7Tназывается горизонтально проецирующей (рис. 7.19, а) или вер­
тикальной плоскостью.
Горизонтальная проекция плоскости а вырождается в прямую, совпадающую
с горизонтальным следом а П (или а,), а ее фронтальная проекция совпадает
с полем П2. Фронтальный след а п = аГ\П2всегда перпендикулярен оси х и является
горизонтально проецирующей прямой га нулевого уровня бесконечной длины. На
эпюре (рис. 7.19, б) с осью х плоскость задается следами а п П ап . Если изменить
ось х до положения х', что соответствует параллельному переносу плоскостей про­
екций, то изменится положение только фронтального следа плоскости до а 'п^.

Это обстоятельство позволяет на эпюре изображать плоскость a _L/7, только одним
горизонтальным следом а, (рис. 7.19, в).
Между проекциями проецирующей плоскости, как и в плоскостях уровня, не уста­
навливается взаимно однозначного соответствия, то есть проекции А, соответствует
множество проекций А 2.
Плоскость /}(Р2) ± П 2 называется фронтально проецирующей плоскостью
(рис. 7.19, в). Ее свойства аналогичны, поэтому здесь не повторяются.

Плоскость /-L/73 называется профильно проецирующей плоскостью. Ее обычно
рассматривают в связи с фронтальной проекцией и осью г.

7.4 . Особые линии и замена
определителя плоскости
К особым линиям плоскости относят ее линии уровня и линии наибольшего на­
клона.
Горизонталь /?, проходящая через точку А плоскости а (рис. 7.20, а), параллельна
горизонтали h° нулевого уровня (следу) этой плоскости. Очевидно, что семейс­
тво горизонталей (фронталей) одной плоскости —это семейство параллельных
прямых. Следовательно, и проекции их будут параллельны.
На эпюре рис. 7.20, a h21| х. Точка 1( 1,f2) = h f| П2 — фронтальный след горизонтали,
h11
|h f. Аналогично, f 11|х, 2 (2122) = f ПП1— горизонтальный след фронтали, f 2 1|f ° .

У2

Рис. 7,20. Линии уровня плоскости

Теперь вместо определителя плоскости a (h° f| f°) можно использовать определи­
тель a (ft П 0- Если же задан определитель a (ft П О»т0»используя следы 1и 2 линий
уровня, легко построить следы 21е ft ° || ftf и 12 е f ° || f2плоскости.
Если известны направления линий уровня, то достаточно и одного следа прямой
линии уровня. Например, пусть найден след 1(1J2) = ft f| Пг Тогда через 12проводим
след f2 || f2, а через точку схода В (В1= В2) проводим ft ° || ft,.
Построение горизонтали плоскости общего положения а (а П Ь) (рис. 7.20, б) на­
чинают с ее фронтальной проекции h2\\x так, чтобы она пересекала уже известные
элементы плоскости. В нашем примере: 12 = h2 f| а2 -> \ е at; 22 = h2f)b2-> 21е Ь1
и (11У2,) e h f
Аналогично строится фронталь f: f 11| х; 31= f 1f| af -> 32 е
= f1П b1-> U2 е Ь2\
(3r t 2) e f r
В горизонтально проецирующей плоскости р (Д) (рис. 7.20, в) ftf = Д, а Ь21| х можно
построить в любом месте. Аналогично для фронтально проецирующей плоскости
у(у2) (рис. 7.20, г) f2 = y2n f%|| х.
Для определения следов ft° и f° плоскости а (а П Ь) (рис. 7.21, а) нужно построить
два горизонтальных следа М
= я П /7, и // (Н1Н2) = b П П1линий а и Ь плоскос­
ти, точку схода N (N1N2) = (М1 П х и один фронтальный след прямой, например
V (^)-bn/7r



Рис. 7.21. Замена определителя плоскости

Если точка схода N недоступна (лежит за пределами чертежа), то нужно построить
фронтальный след второй прямой: L (L1L2) = a f|/7r Следы ft° (ftf°) и f° (f2°) могут
служить новым определителем плоскости a (ft° П f°).
Если какой-либо след прямых линий а или Ь недоступен, в плоскости следует взять
дополнительную прямую (удобнее прямую уровня). На рис. 7.21, б в плоскости
a(h°C\f°) построена прямая (АВ) общего положения и линия уровня ft. Теперь
можно использовать определитель плоскости a (ABC) или а ((АВ) П ft).

Теорема: Линии плоскости, перпендикулярные к ее линиям уровня, являются линиями
наибольшего наклона этой плоскости к плоскости проекций.
Возьмем горизонтальную плоскость проекций /7, (рис. 7.22), плоскость а и точку
А е а. Линия уровня А е h || ап , если след показан.
Проведем в плоскости а прямую А е 11 h и отметим В (В,) - / П ссП. Ортогонально
спроецируем [АВ] -> [А1SJ. Обозначим: ZA - (АВ) А(А1В^ — угол наибольшего
наклона плоскости а к плоскости Пу Сравним его с углом АВ
и sin Я > sin % а А> (р. То есть из множества прямых линий плоскости а семейство
прямых / образует наибольший угол с плоскостью/7ГЛинии / называются линиями
наибольшего наклона или линиями ската плоскости а. Угол Я равен двугранному
углу а А/7,, и, чтобы его определить, достаточно найти угол наклона отрезка [АВ]
к плоскости проекций, например, способом треугольника (см. раздел 7.1, рис. 7.6).
Если плоскостью проекций служит плоскость Пг то вместо горизонтали h нужно
взять фронталь f.
Рассмотрим пример определения углов наклона плоскости a (ABC) (рис. 7.23).
Построим h h2-> h1(рис. 7.23, а). Через точку В1проведем горизонтальную
проекцию (£ Д ) -Lh1линии ската (BD) и построим ее фронтальную проекцию (В202).
Из A D1В1В*определяем ZЯ - а АПг
Построим f с a - > f 1-J>f2 (рис. 7.23, б) той же плоскости. В произвольном месте
построим фронтальную проекцию l21 f2линии наибольшего наклона плоскости а

кП2, возьмем на ней отрезок [F2 и построим горизонтальную проекцию /,
Способом треугольника через A F2E2E’ определяем Z ^ = а ЛПг

Рис. 7.23. Определение угла наклона плоскости

7.5. Относительное положение
прямой и плоскости
Прямая линия может принадлежать плоскости (I с а), быть параллельной пло­
скости ( / 1| а) и пересекаться с ней ( / П а).
Прямая принадлежит плоскости, если она проходит через две ее точки. Эти при­
меры рассмотрены нами выше.

7.5.1.Параллельность прямой и плоскости
Прямая параллельна плоскости, если она параллельна какой-либо прямой этой
плоскости.
Если через точку D(D102) (рис. 7.24) требуется провести прямую / 1| а ( я Г|Ь), то
нужно через D провести / параллельно любой прямой этой плоскости (на рис. 7.24
это не показано).
Если дано D2 е с2и нужно построить прямую линию с || а, то для этого:
□ построим (1г 22) || с2^ ( 1 г 2);
□ через точку D1проведем rf || (1-2,).

Рис. 7.24. Параллельность прямой и плоскости

Итак, г, || (1,-2,), с21| (1г 2г) =* г || (1-2) с а.
Если прямая d (d,d2) задана, то нужно в плоскости а построить прямую линию
в предположении, что она параллельна прямой d, и сравнить их проекции. Например,
построим ( 1-22) || d2, построим (1,-2) и сравним с dr Так как (1,-2) Иdv то d И сс.
В примере задана проецирующая плоскость /5 (с П d) ±/72.
Прямая линия параллельна проецирующей плоскости, если одна ее проекция па­
раллельна вырожденной в прямую линию проекции плоскости (рис. 7.25).

Рис. 7.25. Параллельность прямой и проецирующей плоскости

Если Ь, || а,, то в плоскости а всегда можно найти прямую с || Ь, то есть с11| Ь1и с21| Ь2,
следовательно Ь || а. Аналогично, если а21| Р2, то а || Д

7.5.2. Пересечение прямой и плоскости. Видимость
Задача построения точки пересечения прямой с плоскостью является ключе­
вой в задачах пересечения геометрических объектов, и поэтому к ней следует
отнестись внимательнее.
Рассмотрим относительное положение горизонтально проецирующей плоскости
а (а ) и прямой общего положения Ь (Ьр2) (рис. 7.26, а).

в2 = (С2)

В 1 = (O f)

а

б

в

Рис. 7.26. Пересечение прямой линии с проецирующей плоскостью

Так как ^ е а (, а плоскость обладает собирательным свойством, то А е а. Но
А1€ Ь1П сср следовательно, А2 е Ь2 и А = Ь П а, то есть точка А является точкой пе­
ресечения прямой Ь и плоскости а. Для определения видимости на фронтальной
проекции (рис.7.26,6) возьмем фронтально конкурирующие точки В2 = С2 и пос­
мотрим их горизонтальные В1и проекции. Так как точка В1лежит перед точкой
С1(ув > уг), то на фронтальной проекции будет видна точка# (В2), то есть плоскость.
В точке А видимость изменится.
Аналогично рассматривается задача для фронтально проецирующей плоскости
/3(Р2) (рис. 7.26, в), где А = с П /?и на горизонтальной проекции точка# (£;) е с (с,)
видна, значит, видна прямая до точки Д, а далее не видна.
Пусть задан эпюр плоскости a (ABC) (рис. 7.27, а) и прямой / общего положения.
Построим их аксонометрический чертеж (рис. 7.27, б)угде
□ (А \B\C\) — вторичная проекция плоскости a (ABC);
□ (А 'ВТ') —аксонометрическая (первичная) проекция;
□ // —вторичная проекция прямой/;
□ /' —первичная (аксонометрическая) проекция прямой /.
Требуется найти точку их пересечения М= / П ос и определить относительную ви­
димость. Рассмотрим решение задачи по рис. 7.27, б в аксонометрии.
Алгоритм (порядок) решения:
1. l a p — через прямую / проведем плоскость /3—посредник. В качестве посред­
ника чаще всего используется проецирующая плоскость. В примере выбрана
горизонтально проецирующая плоскость /3' (представьте, что она в пространстве
перпендикулярна координатной плоскости хОу). Для ее задания достаточно
указать вторичную проекцию /З'ее горизонтального следа, совпадающего с вто­
ричной проекцией // прямой / (/}' = // ). На рис. 7.27, б для наглядности выделена
аксонометрия /Г посредника с линией /' и указан ее профильный след /З'3\\ z'.

Рис. 7.27. Построение точки пересечения прямой с плоскостью в аксонометрии
по вторичной проекции посредника

2. m ( 1-2) = а П Р —находим линию тпересечения заданной плоскости а и посред­
ника Д для чего определяем ее точки 1и 2, начиная со вторичной проекции:

. г; =(а;в;) пр; -> г- 2; =(в/с/) пр; ->2';

■ ( ? ; - 2 / ) € т ; = Д 'П (/1Д 'Г ;);
■ (V-2') е т' = /}‘ П (А’В'С’) — аксонометрия линии пересечения /3и Л 48С.
3. М= шП/ = а П / —находим точку У1/ пересечения линии ш и заданной прямой /,
которая и будет являться точкой пересечения (встречи) прямой с плоскостью
а: М' = т' П —>М/. Задача решена.
Итак, краткая формулировка задачи и решения:
Алгоритм 7.1
Дано: а — плоскость, / —прямая.
Найти: М = / П а.
Решение:
1. l a p — через прямую линию / проводится проецирующая плоскость р ;
2. m = аП Р — строится линия пересечения плоскостей а и Р \
3. М= /П/п = /Г)а —отмечается точка пересечения (встречи) прямой и плоскости.
Для определения видимости используем конкурирующие точки 3-4, у которых
совпадают аксонометрические проекции У = V, а на вторичной проекции ближе

к наблюдателю находится точка 4/ е //, следовательно, в этой части аксонометри­
ческой проекции видна прямая /' до точки М\ В точке М' видимость изменится.
Рассмотрим это же решение на эпюре (рис. 7.28, а):
1. /с=/?—возьмемРА.П1и /г= /?г;
2. т (1-2) = a f ] p - возьмем 7, = (А1В) П Pt -> f2; 2t = (Б, Cf) П Р1-> 22;
3. М - / П т - ( * 2-22) €Ш2П/2-М2-»Мг

Рис. 7.28. Построение точки пересечения прямой линии с плоскостью на эпюре

Для определения видимости на горизонтальной проекции использованы горизон­
тально конкурирующие точки 1 е (40) и 3 е /, у которых fr = Зг Сравнивая положение
проекций 12и 32, видим, что точка 3 лежит выше, следовательно, при взгляде сверху
мы будем видеть ее, то есть будем видеть прямую / (/,) до точки М (>М,).
Для определения видимости на фронтальной проекции использованы фронтально
конкурирующие точки U е (АС) и 5 е /,у которых 42= 52, но глубина точки 5 (5f) больше,
то есть она ближе к наблюдателю, и, следовательно, будет видна прямая линия / э 5.
На рис. 7.28, б показано решение этой же задачи с помощью фронтально проеци­
рующего посредника у(у2). Проанализируйте это решение.
На рис. 7.29 задача решена с помощью посредника у(у'), который является про­
ецирующим по отношению к аксонометрической плоскости /7'. На изображе­
нии отмечаем след посредника у* = /'. Затем отмечаются точки V -> f', 2' -> 2V
М] = (f/-2/) П // -> M\ Видимость определяется так же, как на рис. 7.27.
Итак, алгоритм 7.1 одинаково работает на эпюре и в аксонометрии — основное
различие заключается только в названии проекций.

Рис. 7.29. Построение точки пересечения прямой линии с плоскостью
по первичной проекции посредника

7.5.3. Перпендикулярность прямой и плоскости
В решении ряда задач важно уметь выделить или построить прямые, перпендику­
лярные плоскости.
Из геометрии известен признак перпендикулярности: прямая перпендикулярна плос­
кости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым этой плоскости.
С учетом свойства проекций прямого угла в начертательной геометрии этот признак
формулируется так: прямая п перпендикулярна плоскости а, если она перпендику­
лярна пересекающимся линиям уровня этой плоскости (рис. 7.30, а).

Рис. 7.30. Построение перпендикуляра к плоскости

В конкретных проекциях о перпендикулярности прямой п и плоскости а судят так
(рис. 7.30, б): прямая линия п 1 а, если nfl / ) fc a , a n 2l f 2c а.
Определим расстояние от точки D (Dfl2) до плоскости a (ABC). Построим в плоскос­
ти горизонталь h (А2 e h 2-> h,) и фронталь f (Ст е f, -» f2) и через точку D проведем
прямую п 1 a (h П 0 , то есть Dt е л, 1 /?, и D2 е п2± f2.
В общем случае нормаль л не ограничена. Но если определяется расстояние от точ­
ки D до плоскости, то на линии выделяется отрезок Of, у которого точка Е = л П сс
называется основанием перпендикуляра. Она определена с помощью посредника
у 1 П 2: n2 = у2 (3 2-U 2) - > (3 r U,) П n, = Е, - > Ег

На чертеже расстояние от точки А (,Af А2) (рис. 7.31, а) до прямой линии I (/, /2)
общего положения определяют следующим образом (рис. 7.31, б):
□ через точку А проводят плоскость
которую задают горизонталью h(A1^ h 1±
± l1->A2e h 21|х) и фронталыо f (Д2 е f2i. l2-» >4f e fJ jt); после этих построений
будем иметь f} ( h n f ) ± l ;

□ определяют точку В = / П fr / с=/1/7, ->

(V~^f) (W 2) Л 1г =
□ отрезок [>4£] ([4;flt] [Л202]) равен расстоянию от точки А до прямой линии /
в проекциях. По проекциям определяют натуральную величину отрезка (см.
рис. 7.6).

Рис. 7.31. Определение расстояния от точки до прямой линии

7.6. Относительное положение
двух плоскостей
По взаимному расположению выделяют плоскости параллельные, пересекающиеся
и, в частности, перпендикулярные.

7.6.1. Параллельные плоскости
Две плоскости параллельны, если в каждой из них можно построить две пересекаю­
щиеся прямые, параллельные другой плоскости.
Плоскости а (а П Ь) и /3 (с П d) общего положения параллельны (рис. 7.32, а), если
на чертеже: а || с => а, || с,, а21| с2и b || d =>b11| d1f b21| dr

Рис. 7.32. Параллельные плоскости

У параллельных плоскостей у и 8 параллельны семейства горизонталей и семей­
ства фронталей, в том числе и следы h°y || /£ , f° || f£ (рис. 7.32, б), или соответ­
ствующие следы плоскостей уровня а21| а>2и проецирующих (1-2,) -> ( 12-2 2) иМ =
= (1-2) П (DF) -+ (1г 22) П (D2F2) = М2-+ Мг
Для построения точки N использована фронтально проецирующая плоскость
а(сг2) з (DE) и прямая (3-U) -
( 10-2 ,) ->М1= ( 10-2 ,) П (А /7,) -> М2— по вертикальной линии связи, так как линия 1-2
принадлежит плоскости а, а ее пересечение с прямой АВ определяет единственную
точку М. Аналогично определяем точку N.
Строим (30-Ь 2) * (В2С2) -> (30-4,) -> Nt = (30- 4 t) П (6fCf) ->N2 — п о линии связи. По
линии ММтреугольник пересекает заданную плоскость. Треугольная пластина по­
казана с учетом видимости относительно плоскости а.
Но следует не забывать, что в случае, если мы будем искать точки пересечения ли­
ний, например, тик плоскости а с плоскостью р (АВС)Унужно использовать родство
плоскости треугольника ABC, то есть необходимо построить его ось родства.
Способ плоскостей-посредников. Идея способа вспомогательных секущих плос­
костей, которые называют посредниками, показана на рис. 7.35.
Алгоритм 7.2
Дано: а и р — плоскости.
Найти: / (МЫ) = а П Д
1. у —вводится посредник у —проецирующая плоскость;
2. ш = а П у — определяется линия ш пересечения плоскости а и посредника у,
3. л = рГ\ у — определяется линия л пересечения плоскости р и посредника у
4. М = т П л —отмечается точка пересечения линий т и п ;
5. ;
7. р = рГ\М2;
5. Ь°а = * — фронтальная проекция гори­
зонтального следа совпадает с осью х и поэтому на чертеже не обозначается;

2. /7,ПуЗ= рПу или h°Pf -» h°Pi = лг; а Я) П Рп,

= М , ^ М г е дг;

3. П2 — второй посредник с аналогичными свойствами. Поэтому сразу отмечаем
N2- аПг П Рр2 ^ N l sxnMN(M^l,M2N2) = ar\p.

Рис. 7.37. Построение линии пересечения плоскостей, заданных следами

Если точки пересечения следов недоступны, удобно использовать в качестве пос­
редников плоскости уровня, например у{у2) || /7, и 2) || /7, (рис. 7.37, б).
Они пересекут заданные плоскости по линиям уровня:



уПа



■hft || pn• h ' t ||

a „f

;

Ьд ||

= N, -> N2, MN (М, N,, МД) - а

=М,-> М2.

рп 'г) -L/7,;
уП S= q (q2 - у2fl S2->