КулЛиб электронная библиотека 

Начертательная геометрия: учебное пособие [В. А. Герасимов] (pdf) читать онлайн

Книга в формате pdf! Изображения и текст могут не отображаться!


Настройки текста:



ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Брянский государственный технический университет

В.А. Герасимов

НА ЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Утверждено редакционно-издательским советом университета

в качестве учебного пособия

Брянск

ИЗДАТЕЛЬСТВО БГТУ

2008

УДК

315 (075)

Герасимов, В. А. Начертательная геометрия: учебное пособие
В. А. Герасимов. -Брянск: БГТУ,

2008. - 128

1

с.

ISBN 5 - 89838 - 338 - 7
Изложены

основы

метода проекций и

методы

изображения

геометрических фигур на плоскости. Даны основные

сведения о

поверхностях. Рассмотрены способы преобразования комплексного
чертежа,

решения

позиционных

и

метрических

задач,

построения

разверток поверхностей.

Учебное

пособие

предназначено

для

студентов

всех

форм

обучения технических специальностей вузов.
Ил.152.

Библиогр.

Научный редактор

9

назв.

Р. К. Антипова

Рецензенты: кафедра "Графика и геодезия" Ерянекой государсrnенной
инженерно-технологической академии;

кандидат технических наук Т. И. Татарницева
Редакториздательства

Мажугина Л. Н.

Компьютерный набор

ЧупинаИ. И.

Иллюстрации

Герасимов В. А.
Темплан

2008

Подписано в печать
печать. Уел. печ.л.

г., п.19

. Формат 60х84 1/16. Бумага офсетная.
7,44. Уч.-изд.л. 7,44. Тираж 350 экз. Заказ

Офсетная

Издаrельсrnо Брянского государственного технического университета

241035,

Брянск, бульвар 50-летия Октября,

7,

БГТУ, тел.

Лаборатория оперативной полиграфии БГТУ, ул.

ISBN 5 - 89838 - 338 - 7

58-82-49
Институтская, 16

© Брянский

государственный

технический университет,

2008

3
ВВЕДЕНИЕ

Начертательная

котором

геометрия

изучаются

геометрических
геометрия

является

методы

фигур

занимается

на

разделом

изображения

плоском

графическим

геометрии,

в

пространствеиных

чертеже.

решением

Начертательная
пространствеиных

геометрических задач на плоском чертеже.

Один

из

создателей

ученый Гаспар Монж
представлять
предметы,

бумаги,

три

геометрии

французский

гг.) определил ее как «искусство

(1746-1818

на листе

имеющие

начертательной

имеющем только два измерения,

размера,

которые

подчинены

точному

определению».

Профессор В.И. Курдюмов
является

языком

техники,

(1853-1904

одинаково

гг.) писал: «Если чертеж

понятным

всем

народам,

то

начертательная геометрия служит грамматикой этого языка ... ».

Методы

начертательной

конструировании

автомобильной

сложных

геометрии
поверхностей

промышленности.

Известна

используются
в

роль

при

авиационной

и

начертательной

геометрии в архитектуре, строительстве, изобразительном искусстве,
физике, химии, механике, кристаллографии и многих других науках.
Начертательная геометрия является лучшим средством развития

у

человека

пространствеиного

воображения,

невозможно никакое инженерное творчество.

без

которого

4
Г ЛАВА 1. ОБРАЗОВАНИЕ ПРОЕКЦИЙ

Под проекцией геометрической фигуры на плоскость понимают
ее

изображение,

полученное

на

этой

воображаемых проецирующих лучей,

плоскости

подобно тому,

с

помощью

как фигура,

освещенная солнцем, отбрасывает тень на землю.
Различают два основных способа образования проекций:

1.

Центральное проецирование (перспектива).

2.

Параллельное проецирование.

1.1

Центральное проецирование

Аппарат

центрального

проецирования

проекций 1С1 и центр проецирования
этой

плоскости

(рис.

1).

S -

Центр

определяют

плоскость

точка, не принадлежащая

проецирования

берется

в

произвольной, но не бесконечно удаленной точке.
Центральной проекцией точки называется точка пересечения с

плоскостью проекций проецирующего луча, проходящего через центр
проецирования и данную точку.

Чтобы получить центральную проекцию точки А (рис.
центр проецирования
луч

S

1), через

и заданную точку проводится проецирующий

до пересечения с плоскостью проекций 1С1 .
Если точка В принадлежит плоскости проекций, то ее проекция

SA

совпадает с самой точкой В, В (рис.

1).

Если проецирующий луч, проходящий через точку С (рис.
параллелен

плоскости

проекций,

то

принято

считать,

что

1),
они

пересекаются в бесконечно удаленной точке Соо. Эту точку называют
не собственной.
По

одной

проекции

точки

нельзя

однозначно

положение самой точки в пространстве. Так, rочки D 1 ,

лежащие

определить

D 2, D 3 (рис.l ),
на проецирующем луче SD имеют одну и 1У же проекцию D '.

5
Две центральные проекции точки, полученные из центров

s2 ,однозначно определяют ее положение в пространстве (рис. 2).

Проекцию

Рис.l

Рис.2

Рис.З

Рис.4

линии

т

можно

принадлежащих ей точек (рис.
образуют

коническую

3).

поверхность.

построить,

проецируя

sl

и

ряд

При этом проецирующие лучи
Как

видно

из

рис.

4,

одна

проекция линии т не определяет ее положение в пространстве, так

как на конической поверхности можно разместить ряд линий (т,

1),

проекции которых совпадают (т '=n '= 1~.

n,

6

1.2. Параллельное

проецирование

1\ппарат параллельного проецирования определяiОт плоскость

проекций

1С1

проецирования

и

вектор

(рис.

5).

который

S,
При

называiОт

параллельном

направлением

проецировании

все

проецируiОщие лучи параллельны направлениiО проецирования.

В

зависимости от угла а между проецируiОщими лучами и плоскостьiО

проекций (рис.

5)

параллельные проекции делятся на косоугольные

(а#- 90°) и прямоугольные (ортогональные) (а= 90°).

Рис.б

Рис.5

Параллельное

проецирование

является

частным

случаем

центрального проецирования, когда центр проецирования находится

в бесконечно удаленной (несобственной) точке.
Параллельной проекцией точки называется точка пересечения с

плоскостью

проекций

проходящего

через

данную

точку

проецирующего луча, параллельного направлению проецирования.

Чтобы построить параллельнуiО проекциiО точки А (рис.
через нее параллельна направлениiО проецирования

S

5),

проводится

проецируiОщий луч до пересечения с плоскостьiО проекций.

При

лiОбая

параллельном

точка

проецировании,

пространства

имеет

как

одну

и

при

вполне

центральном,

определеннуiО

проекциiО. Обратное утверждение неверно. Например, точки В1 , В 2 ,

В 3 имеiОт одну и ту же проекциiО В'.

7
Однозначно определяют положение точки в пространстве ее две
проекции.

Чтобы получить параллельную проекцию т, линии т (рис.
необходимо

соединить

Проецирующие

лучи,

совокупности

проекции

принадлежащих

проходящие

образуют

через

эти

цилиндрическую

ей

точки,

6),

точек.
в

своей

поверхность.

Этой

поверхности может принадлежать ряд линий, все они будут иметь
одну и ту же проекцию (рис.
Только

чертеж,

геометрической
восстановить

6).

состоящий

из

фигуры-оригинала,

форму

оригинала,

не

менее

обратим
его

-

размеры

двух

по
и

проекций

нему

можно

положение

в

пространстве.

Основные инвариантные свойства

1.3.

параллельного проецирования

В

общем

случае

геометрические

фигуры

проецируются

на

плоскость проекций с искажениями. Характер искажения проекций

по

сравнению

проецирования

с
и

фигурой-оригиналом
положения

фигуры

зависит

от

относительно

аппарата
плоскости

проекций.

Наряду

с

этим

между

фигурой-оригиналом

и

ее

проекцией

существует связь, заключающаяся в том, что некоторые свойства

фигуры

сохраняются и на ее проекции.

инвариантными
проецирования.

(независимыми)
Перечислим

Эти свойства называют
относительно

основные

инвариантные

способа
свойства

параллель н ого проецирования:

1.
2.

Проекция точки на плоскость есть точка.

Проекция прямой на плоскость в общем случае есть прямая.

Она вырождается в точку, если прямая параллельна направлению
проецирования.

3.

Если

точка

принадлежит

линии,

то

проекция

точки

принадлежит проекции этой линии.

4.

Если отрезок прямой линии делится точкой в каком-либо

отношении, то и проекция отрезка делится проекцией точки в том же
отношении.

8
5.

Точка пересечения линий проецируется в точку пересечения

их проекций.

6.

Проекции отрезков параллельных прямых параллельны, и их

длины находятся в таком же отношении, как и длины проецируемых
отрезков.

7.

Проекции

двух

скрещивающихся

прямых

линий

в

зависимости от направления проецирования могут пересекаться или

быть параллельными.

8.

При

прямоугольном

проецировании

прямой

угол

проецируется без искажения (прямым углом), если одна из его сторон
параллельна плоскости проекций, а другая не перпендикулярна ей.

Плоская

9.

фигура,

параллельная

плоскости

проекций,

проецируется на эту плоскость без искажения.

1О.

При

параллельном

перемещении

фигуры

или

плоскости

проекций изображение фигуры на этой плоскости не изменяется.

Контрольные вопросы

1.
2.
3.

Как называются основные способы образования проекций?
Как строится центральная проекция точки?
В каком

случае

центральная

проекция

прямой

линии

представляет собой точку?

4.

В

чем

заключается

способ

проецирования,

называемый

параллельным?

5.

Как взаимно располагаются проекции двух параллельных

прямых?

6.

Что означает слово "ортогональный"?

9
Г ЛАВА

2.

Система

проекций

ТОЧКА И ПРЯМАЯ

из

трех

взаимно

перпендикулярных

плоскостей

является наиболее удобной для определения положения

геометрической фигуры в пространстве и выявления ее формы по
ортогональным проекциям (рис.

7).

Плоскости проекций называются:

1С1-горизонтальная плоскость проекций; 1С2 -фронтальная плоскость
проекций; 1Сз

-

профильная плоскость проекций.

Vl
ff2
1

lr-----1---- -

-

~

-

1'-.
1

1

'

IV

Рис.7
Плоскости проекций попарно пересекаются по трем взаимно

перпендикулярным прямым, которые образуют оси координат. Оси
делят каждую из плоскостей проекций на полы

Координатные оси обозначают: Х

Z -

-

(полуплоскости).

ось абсцисс; У

-

ось ординат;

ось аппликат. В точке пересечения осей находится

начало

координат О. Положительное направление осей показано стрелками.

10
Три плоскости проекций делят пространство на восемь частей
октантов. Нумерация октантов по казана на рис.

Пользоваться

пространствеиным

-

7.

макетом

для

изображения

проекций геометрической фигуры неудобно ввиду его громоздкости,
поэтому его преобразуют в комплексный чертеж (эпюр Монжа).
Преобразование осуществляется путем совмещения плоскостей 1С1 и

1С3 с фронтальной плоскостью проекций 1С2 (рис.

7).

Комплексный чертеж (эпюр)- плоский чертеж, составленный
из двух или трех связанных между собой ортогональных проекции

геометрической фигуры.

2.1.

Проекции точки

На пространствеином макете построим ортогональные проекции

точки А на три плоскости проекций (рис.

8).

Для этого через точку А

перпендикулярно к плоскостям 1С1, 1С2, 1С3 проведем проецирующие

лучи.

В точках пересечения этих лучей с плоскостями проекций

получим ортогональные проекции точки А: А
проекцию; А,,

-

фронтальную проекцию; А,,,

, -

горизонтальную

- профильную проекцию.

z

z

ff2

Az

А"

А"'

Az

~----~~------~

х
х

ff2 Ах .
1r1

ffЗ

Ау

А'
А'

Ау

у
у

Рис.8

Рис.9

у

11
Преобразуем пространственный макет точки А (рис.
комплексный чертеж (рис.

в ее

9).

Положение точки А (рис.

координаты: ХА, УА,

8)

8, 9)

в пространстве определяют три ее

число,

абсолютная величина которого

ZA.

Координата точки
равна расстоянию

от

-

точки

до

соответствующей

плоскости

проекции.

Координата ХА определяет величину расстояния от точки А до
профильнойплоскосmпроекций 1Сз: ХА= АА

,,,

ОАх =А 'Ау =А ''Az.

Координата УА определяет величину расстояния от точки А до

фратальной плоскосm проекций 1С2: УА
Координата

определяет величину расстояния от точки А до

ZA

горизотальнойплоскосmпроекций1Сi

Пусть

дана

координата ХА=

= АА "= ОАу =А 'Ах =А "'Az.

ZA= АА, = OAz

точка А(60,25,15).

60 мм,

УА=

Эта

А '~х= А '''Ау.

запись

означает,

что

25 мм, ZA = 15 мм.

Независимо от положения точки в пространстве на комплексном

чертеже ее горизонтальная и фронтальная проекции соединяются

линией связи

-

прямой, перпендикулярной оси Х, фронтальная и

профильная проекции соединяются другой линией связи

перпендикулярной оси

прямой,

-

Z.

Точка может принадлежать одной из плоскостей проекций или
находиться в одном из восьми октантов. Номер этого октанта можно
определить, построив по координатам точки пространственный макет

или проанализировав знаки координат точки по таблице:
Октант

1
11
111

IV

Знаки координат
х

у

+
+
+
+

+

z
+
+

-

-

+

-

Октант

v
Vl
Vll
Vlll

Знаки координат

z

х

у

-

+

-

-

-

-

-

-

+

-

+
+

Зная две любые проекции точки, можно определить ее третью
проекцию.

Если

известны

горизонтальная

проекции точки ИJ (рис.

И~

и

фронтальная

,

И ~

10), то для определения ее профильной

проекции И,,~ необходимо из фронтальной проекции точки И,~

12
провести прямую, перпендикулярную к оси

точки ее пересечения с осью
величине

координате

Z ?4z)

У точки

Z.

На этой прямой от

отложить отрезок, равный по

(УА).

Откладываем

вправо,

если

координата У точки положительна, и влево, если отрицательна.

z

z

А"

в'

.,

Ах

Вх

о

х ----~----------+-------

о

х ----~----------+---

~

~~
1

В"

)

А'

Blll

,

Bz

у

Рис.

Точка А

(

у

Рис.

10

рис.

10)

расположена в первом октанте, так как

положительные знаки имеют ее координаты Х, У,
Точка В
и

Z

11

( рис. 11) расположена в третьем

Z.

октанте. Координаты У

этой точки имеют отрицательные знаки, а координата Х

положительный

2.2.
Из

-

.

Проекции прямой линии

инвариантных

свойств

параллельного

проецирования

известно, что проекция прямой на плоскость в общем случае есть
прямая.

Она

вырождается

в

точку,

если

прямая

параллельна

направлению проецирования.

Для

определения

проекций

прямой

линии

достаточно

задать

проекции двух несовпадающих точек, принадлежащих этой прямой.

13
Соединив

прямыми одноименные проекции этих точек,

получим

проекции отрезка прямой. Проекции прямой обозначают строчными

буквами латинского алфавита, например а', а", а,"_
В зависимости от положения прямых относительно плоскостей
проекций различают:

Прямые

общего

положения

-

одной из плоскостей проекций (рис.

ff2

прямые,

не

параллельные

ни

12, 13).
В"

в"

Ах

Вх

Х --о----------------+х --------+---;---;-~--

Рис.

74

При вращении отрезка АВ точка А не меняет своего положения,

так как принадлежит оси вращения

i.

Точку В перемещаем по дуге

окружности так, чтобы отрезок АВ стал параллелен плоскости

Для этого точку В , повернем вокруг оси

n-z.

так, чтобы проекция

i,

отрезка А 'В,1 заняла положение, параллельное оси Х. Фронтальную
проекцию

В , ,1

найдем

вращения и линии связи,
Пример

8.

в

пересечении

следа

foa
проведеиной из точки В ,1 .

Вращением

вокруг

оси,

плоскости

перпендикулярной

ее
к

плоскости проекций, перевести плоскость треугольника АВС во
фронтально проецирующее положение (рис.

75).

53

."

l

А"

foy 1

[ "-- 1"1-- h"1
"tr----o--

в';

f ау 3

А'

[

, .,
=z

А'

Рис.

1

75

Р е ш е н и е. Если плоскость треугольника АВС занимает
фронтально проецирующее положение, то треугольник проецируется
на

фронтальную

плоскость

проекций

в

виде

прямой

линии.

Горизонталь фронтально проецирующей плоскости проецируется на
плоскость

n1

без искажения. Горизонтальная проекция горизонтали

54
перпендикулярна к оси Х, а ее фронтальная проекция вырождается в
точку.

В

плоскости

треугольника

построим

пересекающую ее ось вращения

i (i ..l n 1 ).

вокруг

горизонталь

оси

переведем

i

горизонталь

h

и

Вращением на угол ffJ
в

h

положение,

перпендикулярное плоскости 1С2 (h ..l1C2). На тот же угол ffJ повернем
точки А ,1

и В,1

. Точка С не изменяет своего положения в

пространстве, так как принадлежит оси вращения. При вращении

горизонтальная проекция треугольника АВС сохраняет свой вид и
величину, изменяется лишь ее положение.

Фронтальную проекцию треугольника А "1 В "1 С" найдем,
зная, что при вращении треугольника вокруг оси



l

принадлежащие

ему точки вращаются в горизонтальных плоскостях уровня. Поэтому

фронтальные

проекции

точек

перемещаются

по

прямой,

параллель ной оси Х.

Контрольные вопросы

1. Сколько
1С1 -

дополнительных плоскостей надо ввести в систему

1С2, чтобы определить натуральный вид фигуры, плоскость

которой перпендикулярна к плоскости 1С1 или к плоскости 1С2

2. Что

служит

горизонтального

признаком

положения

достижения

при

плоскости

выполнении

?
фигуры

преобразований

комплексного чертежа?

3. В

какой последовательности

способом замены

плоскостей

проекций отрезок прямой переводится в проецирующее положение?

4. Как

определяется

положение

центра вращения

и

радиуса

вращения точки при ее повороте вокруг горизонтали или фронтали?

5. Как
плоскости

должна

фигуры

проецирующее?

располагаться

из

общего

ось

вращения

положения

в

при

переводе

горизонтально

55
Г ЛАВА 5. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ

Задача

построения

линии

пересечения

двух

плоскостей

относится к позиционной.

Позиционными
установить

называются

взаимное

задачи,

положение

и

в

которых

взаимную

требуется

принадлежность

рассматриваемых геометрических фигур.
В результате решения позиционных задач определяются:

а) линии пересечения двух поверхностей;
б) точки пересечения линии и поверхности;
в) принадлежиость точки поверхности.
Рассмотрим

общий

и

частные

случаи

построения

линии

пересечения двух плоскостей

5.1.

Общий

случай

построения линии

пересечения

двух плоскостей

Две плоскости пересекаются по прямой

1,

которую строят по

двум принадлежащим ей точкам или по одной точке этой прямой и
ее направлению.

Для

определения

пересечения

двух

одной точки

плоскостей

а

L1,

и р,

принадлежащей

используется

прямой

следующий

алгоритм:

l.Ввести вспомогательную плоскость')' (обычно проецирующую
или

плоскость уровня).

Если хотя

бы

одна

из

пересекающихся

плоскостей задана следами, то в качестве вспомогательной удобно
использовать плоскость уровня.

2.

Найти прямые пересечения вспомогательной плоскости ')'с

каждой из заданных плоскостей.

3. В пересечении полученных прямых найти искомую точку L 1·
Пример. Построить линию пересечения двух плоскостей а и р
(рис.

76).

Плоскость а задана треугольником АВС, плоскость р­

двумя параллельными прямыми т и

n.

56

"

т

f 0У2- ----71'--------t--: : : : ; ; ; iii"'Q--$l-----t--т----q-----t--~
А" ~-

А'

Рис.

76

Р е ш е н и е. Для определения положения точек

L1

и

L2,

принадлежащих прямой пересечения, возьмем две вспомогательные

горизонтальные плоскости

')'1

и

')'2 .

Плоскость

плоскости по прямым с проекциями
пересечении

горизонтальных

L1

L1.

пересечет заданные

1 "С", 1 'С'

проекций

горизонтальную проекцию точки

')'1

этих

и

2"3", 2'3'.

прямых

В

определяем

Фронтальную проекцию точки

находим по линии связи на фронтальном следе вспомогательной

плоскости

')'1·

Для определения точки L2 используем плоскость ')'2 . При
построении

горизонтальных

проекций

прямых

пересечения

плоскости ')'2 с плоскостями а и р использованы только точки В, и

4 '.

Направление проходящих через них проекций прямых известно,

так как вспомогательные плоскости ')'1 и ')'2 взаимно параллельны
1

1

.

Если две параллельные плоскости пересекаются третьей, то прямые

пересечения параллельны.

57

5.2. Частные

случаи построения линии

пересечения двух плоскостей

Рассмотрим частные случаи построения линии пересечения двух
плоскостей:

1.

Если следы двух плоскостей пересекаются,

то прямая их

пересечения проходит через точки пересечения одноименных

следов плоскостей (рис.

ff2

77,78).

foa

Хр

Рис.

77

Рис.

foa

haa

1

Рис.

1

hop
79

78

foa

haa 1 1
Рис.

80

58
2.

Если

обе

плоскости

плоскости проекций,

перпендикулярны

одной

и

той

же

то прямая их пересечения перпендикулярна

этой плоскости проекций (рис.

79,80).

3. Если плоскости а и р проецирующие, то проекции прямой их
пересечения будут находиться

плоскостей (рис.

на соответствующих следах этих

81,82).
!'~ foa

hoa

fop !"= foa

!' =hop

Рис.81

п

hoa

Рис.82

"

П'

Рис.83

!'Ь foa

hoa
Рис.84

59
4.
другая

Если одна из пересекающихся плоскостеи проецирующая, а

-

плоскость общего положения,

то одна проекция линии

пересечения совпадает с соответствующим следом этой плоскости,
а вторая строится из условия принадлежности линии пересечения

второй плоскости (рис.

5.

83,84).

Если одна из пересекающихся плоскостей

то линия их пересечения

-

-

плоскость уровня,

соответствующая линия уровня (рис.

85,86).

f"

foa
11
т

x ------,_----~-----­

f ~ ho а -...Р.--""'*'1

т

Рис.

Рис.

85

86

Контрольные вопросы

1.

Служит

плоскостей

ли

признаком

пересечение

хотя

бы

взаимного

одной

пересечения

пары

их

двух

одноименных

следов?

2.

Как строится линия пересечения двух плоскостей, из которых

хотя бы одна перпендикулярна к плоскости 1С1 или к плоскости 1С2?

3.

Как строится линия пересечения двух плоскостей, из которых

хотя бы одна параллельна плоскости 1С1 или плоскости 1С2?

4.

В

чем

заключается

общий

способ

построения

линии

пересечения двух плоскостей?

5.

Как определить "видимость" в случае взаимного пересечения

плоскостей?

60
Г ЛАВА 6. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПРЯМОЙ
с плоскостью

Прямая

пересекает

плоскость,

если

она

не

принадлежит

плоскости и ей не параллельна. Проекции точки пересечения делят
соответствующие
которых

проекции

относительно

прямой

плоскости

на

два

участка,

определяется

с

видимость
помощью

конкурирующих точек.

6.1.

Общий случай пересечения прямой с плоскостью

Если прямая а и плоскость а занимают общее положение, то

алгоритм построения точки их пересечения К запишется:

1.
плоскость

Прямую а заключить во вспомогательную проецирующую

')'

(рис.

87).

for

Рис.

87

'

'

а"=!''

Рис.88

61
Найти прямую

2.

1 пересечения вспомогательной и заданной

плоскостеи.

В

3.

пересечении

полученной

и

заданной

прямых

найти

искомую точку к
Пример. Найти точку пересечения К прямой а с плоскостью

а( т,
(рис.

n ), определить видимость прямой относительно плоскости а
88 ).
Р

е

ш

е

н

и е.

Заключим

фронтально

проецирующую

пересечения

1

заданной

1,,

фронтальная проекция

прямую

плоскость

плоскости

известна

-

и

а

во

вспомогательную

Найдем

')'.

прямую

вспомогательной.

Ее

она совпадает с фронтальным

следом /о у вспомогательной плоскости. Горизонтальную проекцию

1,

построим из условия принадлежности прямой

1 плоскости а. Для
этого по известным фронтальным проекциям точек 1 и 2 пересечения
прямых т, n плоскости а с прямой 1 найдем их горизонтальные
проекции. В пересечении 1, и а, сначала найдем К ', затем по линии
связи на/" найдем К,,_
Определение видимости прямой а относительно плоскости а
выполним в следующей последовательности:

1)

в

плоскости

а

и

на прямой а

возьмем

соответственно

конкурирующие точки

1 и 3. Эти точки находятся на фронтально
проецирующем луче 1 3, поэтому их фронтальные проекции
совпадают (1 ,, = 3 ,, ). Точка 1, принадлежащая плоскости а, более
удалена от фронтальной плоскости проекций, чем точка 3,
принадлежащая прямой а (У1 > У3 ). Поэтому участок прямой а,
расположенный левее точки К находится за плоскостью а

-

невидим.

участок

На

фронтальной

проекции

прямой

а

этот

ее

будет

отмечаем штриховой линией;

2)

в плоскости а и на прямой а возьмем соответственно другую

пару конкурирующих точек

5. Эти точки находятся на
горизонтально проецирующем луче 4 5, поэтому их горизонтальные
проекции совпадают (4' = 5~. Точка 4, принадлежащая плоскости а,
более удалена от горизонтальной плоскости проекций, чем точка 5,
- 4

и

принадлежащая прямой а

62
(Z4 > Zs ).

Из этого следует, что участок

прямой а, расположенный правее точки К находится под плоскостью
а

-

будет невидим. На горизонтальной проекции прямой а этот ее

участок отмечаем штриховой линией.

6.2.

Частные случаи пересечения прямой
с плоскостью

Рассмотрим частные случаи пересечения прямой с плоскостью:

1.

Плоскость проецирующая, прямая общего положения.

Плоскость,

перпендикулярная

к

плоскости

проецируется на нее в виде прямой линии (рис.

проекций,

89, 90).
п

foa

"

hoa
Рис.

В

Рис.90

89

пересечении

этой

прямой

(проекции

плоскости)

и

соответствующей проекции прямой а определится одна проекция

точки К пересечения прямой а с плоскостью а.
Другая

проекция

точки

К

принадлежности заданной прямой а.

находится

из

условия

ее

63

2.

Плоскость общего положения, прямая- проецирующая.

Так

как

прямая

соответствующую

точки,

с

а

-

плоскость

которой

совпадает

проецирующая
проекций

одна

она

(рис.

проецируется

проекция

то

91,92),

точки

К

в

-

на

виде

точки

пересечения прямой с плоскостью. Другую проекцию К найдем из
условия принадлежности точки К плоскости а (точка К принадлежит

плоскости а, так как она принадлежит прямой

1плоскости а ) .

foa

а
п

11

11

t"

Х Ха

hoa
Рис.

Рис.92

91

Контрольные вопросы

1. В

чем в общем случае заключается способ построения точки

пересечения прямой с плоскостью

2. Как

определить

?

"видимость"

при

пересечении

прямой

с

проецирующей прямой

с

плоскостью?

3. Как

строится точка пересечения

плоскостью?

4. Как

строится точка пересечения

плоскостью?

прямой

с

проецирующей

64
ГЛАВА7.МНОГОГРАННИКИ

Многогранником
ограниченную

называют

замкнутои

фигуру,

пространственную

поверхностью,

которая

состоит

из

отсеков плоскостей, имеющих форму многоугольников.

7.1.

Построение сечения многогранника плоскостью

Сечением многогранника плоскостью в общем случае является
плоский

многоугольник.

Число

его

сторон

многогранника, пересекаемых секущей

многоугольника

сечения

обычно

равно

числу

граней

плоскостью. Для построения

используют

способ

граней

или

способ ребер.
Способом граней находят прямые пересечения каждой грани
многогранника с секущей плоскостью, т.е. находят стороны сечения.

Пересечение сторон определяет вершины многоугольника сечения.

Способом ребер
многогранника
многоугольника

с

находят точки

секущей

пересечения

плоскостью,

сечения.

т.е.

Соединяя

каждого

находят

вершины,

ребра

вершины
получают

многоугольник сечения.

Пример

1.

ПостроИIЬ сечение пирамиды плоскоСIЬю а (рис.

Р е ш е н и е. Для определения вершин К и

L

93).

треугольника

сечения используем способ ребер. В этом случае решение сводится к

нахождению точек пересечения ребер

SA

и

SB

с плоскостью а, т.е. к

задаче на определение точки пересечения прямой с плоскостью.

Для определения точки К, в которой ребро

пересекает

SA

плоскость а, выполним следующие действия:

1) заключим ребро SA
проецирующую плоскость ')'1 ;

во

вспомогательную

фронтально

2) найдем прямую 12 пересечения плоскостей 'J'J и а;
3) в пересечении прямых SA и 12 найдем точку К.
Аналогичным образом найдем rочку L. Для эrого закmочим ребро
во вспомогательную фронтально проецирующую плоскость

')'2 •

SB

65

hort

hoa
Рис.93

Ребро

занимает

SC

плоскостей проекций

частное

(SC 11 n3),

положение

относительно

поэтому принадлежащую ему

вершину М треугольника сечения найдем иным, чем вершины К и
способом. Точка

гранью

SCB.

L

принадлежит прямой пересечения плоскости а с

Эта прямая является геометрическим местом точек

пересечения с плоскостью а прямых, принадлежащих грани
Найдем точку
пирамиды.

L,

4

SCB.

пересечения плоскости а со стороной СВ основания

Плоскость

проходящей через точку

а

L

пересекает

грань

и найденную точку

в пересечении этой прямой с ребром

SC.

4.

SCB

по

прямой,

Точка М получится

66
Решение

задачи

на

построение

сечения

многогранника

плоскостью упрощается, если преобразовать чертеж так, чтобы в
новой

системе

плоскостей

проекций

проецирующее положение (рис.

секущая

плоскость

заняла

94).

Тогда одна проекция многоугольника сечения известна
совпадает с соответствующим следом секущей плоскости.
его

проекции

находят

из

условия

принадлежности

-

она

Другие
вершин

многоугольника сечения ребрам многогранника.

foa

Х ff2 Ха
ff1

Рис.
Чертежи
плоскость

а

на рис.

93, 94

прозрачна.

многоугольника

94

сечения

выполнены

При

следует

согласно условию,

определении
иметь

в

виду

видимости
очевидное

что

сторон
правило:

точка и линия, принадлежащие поверхности многогранника, видимы

только в том случае, если они расположены на видимой грани.

67

7 .2.

Развертка поверхности многогранника

Построение развертки многогранника сводится к построению
натуральных величин его граней.

Развертку многогранной поверхности можно выполнить тремя

способами:

а)

треугольников

(триангуляции);

б)

нормального

сечения; в) раскатки.
Рассмотрим

наиболее

универсальный

из

них

способ

треугольников. Этот способ используется для построения разверток
любых

многогранных

поверхностей,

а

также

для

построения

приближенных и условных разверток кривых поверхностей. Способ
основан

на

свойстве

«жесткости»

треугольника

-

три

отрезка

определяют единственный треугольник.

Развертка многогранника способом треугольников строится в
следующей последовательности:

1)

те грани многогранника, у которых число сторон больше

трех разбиваются на треугольники;

2)
3)

определяются натуральные величины сторон треугольников;
на плоскости последовательно

строятся треугольники,

из

которых состоят грани многогранника.

Пример

пирамиды

2.

Построить

развертку

поверхности

трехгранной

SABC (рис.95).

Р е ш е н и е. Так как основание АВС пирамиды лежит в
горизонтальной плоскости проекций 1С1, то оно проецируется на 1С1 в
натуральную величину.

Натуральные

величины

способом вращения вокруг оси
проходящей через вершину

ребер

i,

SA, SB, SC

определяем

перпендикулярной плоскости 1С1 и

S.

Для построения развертки поверхности пирамиды сначала на

свободном поле чертежа откладываем ребро
строим

треугольник

SA

и с помощью засечек

SAB, затем к нему
пристраиваем треугольники SBC, SA С, АВС.

последовательно

68

s''

х

с" в''1 с''1

А'

s

Рис.95

69
Контрольные вопросы

1.
2.

Чем задается поверхность пирамиды на чертеже?

Какая

фигура

получается

в

сечении

пирамиды

плоскостью,

проходящей через вершину пирамиды?

3.

В

каком случае в

сечении трехгранной пир амиды плоскостью

получается четырехугольник?

4.
5.
6.

В чем заключается сущность способа ребер?
В чем заключается сущность способа граней?
В

какой

последовательности

строится

развертка

пирамиды

натуральную

величину

способом триангуляции?

7.

Какими

способами

ребра пирамиды?

можно

определить

70
ГЛАВА8.ПОВЕРХНОСТЬ

Многое, что окружает нас в жизни, если смотреть с позиции

геометрии,

это линии и поверхности простых и сложных форм.

-

Поверхности широко используются в различных областях науки и
техники при создании очертаний различных технических форм или
как объекты инженерных исследований.

8.1.

Основные понятия и определения

Поверхность как объект инженерного исследования может быть
задана следующими основными способами:

а) уравнением; б) каркасом;

в) определителем; г) очерком.
Составлением
аналитическая
множество

геометрия;

точек,

видаF (х,у,

уравнений

поверхностей

она

координаты

рассматривает

которых

занимается

поверхность

удовлетворяют

как

уравнению

=О.

z)

В начертательной геометрии поверхность на чертеже задается
каркасом, определителем, очерком.

При каркасном способе поверхность задается совокупностью
некоторого

количества

линий,

принадлежащих

поверхности.

В

качестве линий, образующих каркас, как правило, берут семейство
линий,

получающихся

параллельных

при

плоскостей.

пересечении

Этот

поверхности

способ

используется

проектировании кузовов автомобилей, в самолето

-

рядом

при

и судостроении, в

топографии и т. п.
Поверхность, образованная движущейся в пространстве линией,
на чертеже может быть задана определителем поверхности.
Определителем

геометрических

фигур

поверхности

и

связей

называется

между

ними,

совокупность

позволяющих

однозначно образовать поверхность в пространстве и задать ее на
чертеже.

Способ образования поверхности движущейся в пространстве
линией называют кинематическим.

71
Линию,

образующую

при

своем

движении

в

пространстве

данную поверхность называют образующей (производящей).
Образующая при своем движении может изменять свою форму
или оставаться неизменной. Закон перемещения образующей можно,
в частности, задать

движении

неподвижными линиями,

опирается

образующая.

на которые при своем

Эти

линии

называются

направляющими.

На чертеже при задании поверхности ее определителем строятся
проекции

направляющих

линий,

указывается,

как

находятся

проекции образующей линии. Построив ряд положений образующей
линии,

получим

каркас

поверхности.

Пример

образования

поверхности кинематическим способом показан на рис.

Рис.

В

качестве

кривая.

Закон

образующей

96

а этой поверхности

перемещения

направляющими т и

n

96.

образующей

взята плоская
задан

двумя

и плоскостью а. Образующая а скользит по

направляющим, все время оставаясь параллельной плоскости а.

Различают

геометрическую

и

алгоритмическую

часть

определителя поверхности. Определитель имеет следующую форму

записи Ф( Г

) [

геометрическая

А

],

часть

где Ф

-

обозначение поверхности;

определителя,

в

ней

( Г) -

перечисляются

все

геометрические фигуры, участвующие в образовании поверхности и

72
задании ее на чертеже;

-

1А]- алгоритмическая

часть определителя

в ней записывается алгоритм формирования поверхности.
Определитель поверхности выявляется путем анализа способов

образования поверхности или ее основных свойств. В общем случае
одна и та же

поверхность

может быть

образована несколькими

способами, поэтому может иметь несколько определителей. Обычно
из всех способов образования поверхности выбирают простейший.
Например, боковая поверхность прямого кругового цилиндра может
быть образована четырьмя способами (рис.

97):
т

Ф( а,т)

1A1J

а)

Ф( Ь,т)

1A2J

б)

как след,

1Аз]

в)
Рис.

а)

Ф( с,т)

т

Ф( р,т)

1А4]

г)

97

оставляемый в пространстве прямой а при ее

вращении вокруг оси т (рис.

97 ,а).
Определитель поверхности - Ф (а, т) [А 1 ];
б) как след, оставляемый в пространстве кривой линией Ь при ее

вращении вокруг оси т (рис. 97,б).

Определитель поверхности- Ф( Ь, т)

[ А 2 ];

в) как след, оставляемый в пространстве окружностью с при

поступательном перемещении ее центра О вдоль оси т, при этом
плоскость окружности все время остается перпендикулярной к этой

оси (рис. 97,в).

Определитель поверхности - Ф (с, т)

[ А 3 ];

73
г) как огибающую всех положений сферической поверхности р
постоянного

радиуса,

центр

которой

перемещается

по

оси

т

(рис.97 ,г).

Определитель поверхности - Ф
Наиболее

простым

из

( р,

т

)

[А 4 ].

рассматриваемых

будет определитель

Ф(а,т)[А 1 ].
Задание поверхности на чертеже каркасом или определителем

не всегда обеспечивает наглядность ее изображения. В некоторых
случаях поверхность целесообразнее задавать ее очерком.
Очерком

поверхности

называется

проекция

проецирующей

цилиндрической поверхности, огибающей заданную поверхность.
По известному

уравнению поверхности или ее определителю,

или очерку всегда можно построить каркас поверхности.

Многообразие поверхностей требует их систематизации. Для
поверхностей,

образованных

кинематическим

способом

в

основу

систематизации положен их определитель.

В зависимости от вида образующей поверхности разделяются на
два класса:

класс

1 -

поверхности нелинейчатые (образующая

-

кривая

линия);
класс

2 -

поверхности линейчатые

(образующая

-

прямая

линия).

8.2.

Поверхности нелинейчатые

Поверхности

нелинейчатые

подразделяют

на

поверхности

с

образующей перемениого вида (изменяющей свою форму в процессе
движения) и на поверхности с образующей постоянного вида.

8.2.1.

Нелинейчатые поверхности с образующей
перемениого вида

К нелинейчатым поверхностям с образующей перемениого вида
относятся:

74

1.

Поверхность общего вида.

Такая поверхность образуется

перемещением образующей перемениого вида а по криволинейной
направляющей т (рис.

98).

т

at
Рис.98

2.

Каналовая

движением

поверхность.

плоской

Эта

замкнутой

поверхность

линии,

плоскость

определенным образом ориентирована в пространстве (рис.

образуется
которой

99).

Рис.99

Площадь, ограниченная образующей, монотонно изменяется в
процессе

ее

движения

по

направляющей.

Например,

каналовую

75
поверхность

имеет

переходный

участок,

соединяющий

два

трубопровода разной формы.

3.

Циклическая

поверхности,

когда

поверхность

образующая

монотонно изменяется (рис.

-

случай

окружность,

каналовой

радиус

которой

100).

Рис.

Примерам

частный

-

циклической

100

поверхности

может

быть

корпус

духового музыкального инструмента.

8.2.2.

Нелинейчатые поверхности с образующей
постоянного вида

К нелинейчатым поверхностям с образующей постоянного вида
относятся:

1.

Поверхность общего вида. Такая поверхность может быть

образована

движением

направляющей т (рис.

2.

произвольной

кривой

линии

а

по

1О 1).

Трубчатая поверхность. Образующей трубчатой поверхности

является окружность постоянного радиуса. Плоскость окружности
при

ее

движении

(рис.

102).

остается

перпендикулярной

к

направляющей

Примерам трубчатой поверхности может быть
проволоки круглого сечения.

поверхность

76

Рис.

101

Рис.102

8.3.

Поверхности линейчатые

Линейчатые
(образующей)

по

поверхности
заданному

образуются

закону.

В

движением

зависимости

от

прямой
закона

движения образующей получаем различные линейчатые поверхности.

8.3.1. Линейчатые

поверхности с тремя направляющими

К

поверхностям

линейчатым

относятся:

с

тремя

направляющими

77
1.

Поверхность косого цилиндра. Такая поверхность может быть

образована

движением

прямолинейной

образующей

по

трем

криволинейным направляющим (рис.IОЗ).

1

т

Рис.IОЗ

2.

Рис.104

Поверхность дважды косого цилиндроида. Эта поверхность

образуется в том случае, когда две направляющие кривые, а третья

-

прямая линия (рис.104).

3.

Поверхность два:жды косого коноида получается в rом случае, когда

одна из направляющих- кривая, а две других- прямые линии (рис.105).

1

Рис.

4.
случае,

105

Поверхность однополостного гиперболоида образуется в том
когда

направляющие

параллельные одной плоскости.

-

три

скрещивающиеся

прямые,

не

78
Пример.

Найти

принадлежащих

недостающие

поверхности

проекции

точек

однополостного

А

,,

и

В',

гиперболоида

(рис.106).

"

п

,,

ь''

1"

т

Рис.106

Р е ш е н и е. Для определения недостающей проекции точки,
воспользуемся

признаком

принадлежности

ее

поверхности:

точка

принадлежит поверхности, если она принадлежит какой-либо линии
этои поверхности.

Для данной линейчатой поверхности при построении проекций

образующей сначала задается ее горизонтальная проекция, а затем
находится фронтальная. Поэтому через известную горизонтальную

проекцию точки А, проводим проекцию образующей а2 ', определяем

ее фронтальную проекцию а2 ", на которой по линии связи найдем
искомую фронтальную проекцию точки А

,,_

Для определения недостающей горизонтальной проекции точки

В, выполним следующие построения:

1.

Построим рядобразующихзаданной поверхности а 1 , а2 , а3 , а4 .

79
2.

На

фронтальной

плоскости

проекций

через

известную

проекцию точки В,, проведем проекцию вспомогательной линии Ь ",
принадлежащей заданной поверхности и пересекающей образующие.
По известным фронтальным проекциям точек пересечения

3.

проекции

линии

Ь

,,

с

образующими

,,

а

а

,,

,,

а

,,

а

найдем

1 '
2 '
3 '
4
горизонтальные проекции этих точек. Соединив их плавной линией,

построим горизонтальную проекцию вспомогательной линии Ь ', на
которой по линии связи найдем искомую проекцию точки В'.
К линейчатым поверхностям с тремя направляющими относятся,

например,

поверхности

гребных

винтов

судов

и

пропеллеров

самолетов. В архитектуре и строительстве они используются при
возведении крытых зданий стадионов, рынков, вокзалов.

8.3.2. Линейчатые

поверхности с двумя направляющими

и плоскостью параллелизма (поверхности Каталана)

К

линейчатым

поверхностями

с

двумя

направляющими

и

плоскостью параллелизма относятся:

1.

Поверхность прямого цилиндроида. Такая поверхность может

быть образована движением прямолинейной образующей по двум
направляющим

т и

n

в

том

случае,

когда они

-

гладкие

кривые

линии, причем одна из них - плоская кривая, плоскость которой

перпендикулярна ПЛОСКОСIИ параллелизма а ( n С

2.
том

(рис. 107).

Поверхность прям ого коноида. Эта поверхность получается в

случае,

прямая,

а

f3, f3 j_ а )

f3

( n ..l

когда

причем

а

)

одна
она

направляющая

-

кривая

перпендикулярна

линия,

плоскости

а

вторая

-

параллелизма

(рис.1 08). Поверхность прямо го коноида используется в

гидротехническом

строительстве

для

формирования

поверхности

устоев мостовых опор.

3.

Поверхность

гиперболического

параболоида

(косой

плоскости). Такая поверхность образуется в том случае, когда две
направляющие

-

скрещивающие прямые

косой плоскости применяется

для

формирования

железнодорожных

и

в инженерно

поверхностей
автомобильных

(рис.

-

109).

Поверхность

строительной практике

откосов,
дорог,

насыпей,
набережных,

80
гидротехнических

сооружений

в

местах

сопряжения

откосов,

имеющих различные углы наклона.

foa

. Г./

1

т

т

hoa

Рис.107

п

Рис.108

11

Ха

п

1

hoa

Рис.

109

81
8.3.3. Линейчатые

поверхности с одной направляющей
(торсы)

Торсы являются развертываемыми поверхностями

-

они могут

быть совмещены с плоскостью без складок и разрывов. К торсовым
поверхностям относятся:

1.

Поверхность с ребром возврата. Эта поверхность образуется

движением прямолинейной образующей, во всех своих положениях
касательной

к

пространствеиной

кривой,

называемой

ребром

возврата.

2.

Цилиндрическая поверхность. Данная поверхность образуется

движением

прямолинейной

направляющей

и

образующей,

остающейся

скользящей

параллельной

по

кривой

своему

исходному

поверхность

образуется

состоянию (рис.11 0).

3.

Коническая

движением

поверхность.

прямолинейной

Эта

образующей,

скользящей

по

кривой

направляющей и проходящей во всех своих положениях через одну и

ту же неподвижную точку

S

(рис.111 ).

,,

s"

т

х

1

т L!---+--~'ff

Рис.110

Рис.111

s'

82

8.4.

Поверхности вращения

Поверхностью вращения называют поверхность,

вращением
прямои

-

какой-либо

образующей

линии

вокруг

получаемую

неподвижной

оси вращения поверхности.

Плоскости,

перпендикулярные

поверхность по окружностям

вращения,

пересекают

параллелям. Наименьшую параллель

-

называют горлом, наибольшую

оси

-

экватором.

На рис.112 показана поверхность вращения. Здесь образующей

является плоская кривая

ось вращения

ABCD ,

i

расположена в

одной плоскости с этой кривой.

·"

l

Рис.112
Линии, по которым плоскости, проходящие через ось вращения,

пересекают поверхность называют меридианами. Каждый меридиан
разделяется на

две симметричные относительно оси вращения линии,

83
называемые

плоскости,

полумеридианами.

параллельной

Меридиан,

фронтальной

расположенный

плоскости

в

проекций,

называют главным меридианом.
Основные свойства поверхности вращения:

1.

Отрезок меридиана между двумя точками поверхности есть

кратчайшее расстояние между этими точками.

2.
3.

Все меридианы равны между собой.
Каждая

из

параллелей

поверхности

вращения

пересекает

меридианы под прямым углом.

4.

Любая из нормалей к поверхности вращения пересекает ось

вращения поверхности.

Поверхности вращения на чертеже удобно задавать очерками,
проекциями ее характерных линий и точек. Фронтальным очерком

поверхности

вращения

является

меридиана, а горизонтальным

-

фронтальная

проекция

главного

горизонтальная проекция экватора.

Рассмотрим основные виды поверхностей вращения:

1. Цилиндр

вращения.

Эта поверхность может быть получена

вращением прямой, параллельной оси вращения

2.

i (рис.113).

Конус вращения. Поверхность конуса вращения может быть

получена вращением прямой, пересекающей ось вращения
• 11

l
1

z

(А ")

.Ift

l

i

(рис.114).

s"

(А"')

о

х ----+---+-----+---~"+---+----- у

у

Рис.113

Рис.114

84
3. Сфера. Образующая сферы- окружность, центр которой О
находится на оси вращения

4.

Тор.

вращения

Образующая

i

(рис.115).

тора

-

окружность

или

ее

дуга.

Ось

i лежит в плоскости этой окружности, но не проходит через

ее центр (рис.116,

11 7).

• 1

l
Рис.115

а)

Рис.116

б)

в)
Рис.117

г)

85
Различают открытый тор (круговое кольцо)
закрытый (рис.

117,

б), самопересекающийся (рис.

Образующей для открытого (рис.

(рис.116,117,а),

117,

116,117 ,а)

в, г).

и закрытого тора

(рис.11 7, б) служит окружноСIЬ, для самопересекающегося (рис.117, в, г)

-

дуга окружности.

Параболоид вращения. Такая поверхность образуется при

5.
вращении

параболы

вокруг

параболоида используется

ее

оси

(

рис.118

).

Поверхность

в параболических антеннах и зеркалах

рефлекторов.
Гиперболоид

6.
вращении

гиперболы

вращения.
вокруг

оси.

Эrа

поверхноСIЬ

Различают

образуется

при

двуполостный

и

однополостный гиперболоид вращения. Для двуполосrnого гиперболоида
вращения осью вращения служит действительная ось гиперболы (рис.119),
для

однополостного

гиперболоида

(рис.120)

-

ее

мнимая

ось.

Однополостный гиперболоид вращения также может быть образован
вращением прямой линии в случае, если образующая и ось вращения

-

скрещивающиеся прямые.
о

,,

l
о

oll

l

,,

l

Рис.118
Положение
помощью

Рис.119
точки

окружности,

на

поверхности

которая

Рис.120
вращения

определяется

проходит на поверхности

с

вращения

через эту точку (см. рис.114-116). В случае линейчатых поверхностей
вращения (цилиндр, конус) возможно использование для этой цели
прямолинейных образующих (см. рис.113,114).

86
Винтовые линейчатые поверхности

8.5.

Винтовой линейчатой поверхностью называется поверхность,

образуемая винтовым перемещением прямой.
Винтовое

перемещение
о

образующей АВ характеризуется
вращением

ее

вокруг

одновременным

движением,

.

1

оси

А111 о------о в;

и

поступательным

параллельным

11

l

~--о В''

этой

6

оси (рис.121). Закон перемещения
образующей

определяется

видом

винювой линии (ее направлением,
диаметром и шагом)
перемещения

и характером

образующей

по

направляющей.

На

практике

чаще

всего

встречаются винтовые линейчатые
поверхносm с

постоянным

направляющей
винювые

Au

1

шагом

линии.

поверхносm

х

Такие

называются

геликоидами.

Если

угол

образующей

к

0

90 ,

равен

называется

наклона

оси
то

вращения
геликоид

прямым,

если

этот

угол произвольный, отличный от

О и 90°, то геликоид называется
косым

(наклонным).

косые

геликоиды

открытыми

и

Прямые

могут

и

быть

закрытыми.

Рис.121

У

открытого геликоида образующая и ось вращения

-

скрещивающиеся

прямые, у закрытого- пересекающиеся прямые. На рис.
каркас прямого

закрытого

121

построен

геликоида.

Винтовые поверхности широко используются в технике. Винты,
пружины,

сверла,

винтовые лестницы

шнеки

-

для

перемещения

сыпучих

материалов,

все они имеют винтовые поверхности.

87
Контрольные вопросы

1. Что такое образующая линия поверхности?
2. Что такое направляющая линия?
3. Как задаются поверхности на комплексном чертеже?
4. Что такое определитель поверхности?
5. Что такое очерк поверхности?
6. В чем различие линейчатой и нелинейчатой поверхности?
7. Как образуется однополостный гиперболоид?
8. Как образуются поверхности вращения?
9. Перечислите основные свойства поверхности вращения.
10.Как определить положение точки на поверхности вращения?

11. Какие

поверхности называются циклическими?

88
ПЕРЕСЕЧЕНИЕ КРИВОЙ

Г ЛАВА 9.

ПОВЕРХНОСТИ ПЛОСКОСТЬЮ

И ПРЯМОЙ ЛИНИЕЙ

Рассмотрим
пересечения

общие

кривой

и

частные

поверхности

приемы

построения

плоскостью,

а

также

линии
приемы

определения точек пересечения кривой поверхности и прямой.

9.1.

Пересечение кривой поверхности плоскостью

Линия

пересечения

кривой

поверхности

с

плоскостью

представляет собой плоскую линию.
В общем случае для определения точек этой линии используют
следующий алгоритм:

1.
2.

Ввести вспомогательную плоскость.
Найти

линии

пересечения

вспомогательной

плоскости

с

заданной поверхностью.

3.

Найти

прямую

пересечения

двух

плоскостей

вспомогательной и заданной.

4.

В пересечении найденных линий и прямой получим точки

(чаще всего- две), принадлежащие линии пересечения поверхности с
плоскостью.

5.

Повторив перечисленные операции необходимое число раз,

определим

точки,

соединив

которые

получим

искомую

линию

пересечения поверхности с плоскостью.

Вспомогательные

плоскости

следует

выбирать

так,

чтобы

проекции линий их пересечения с поверхностью были простыми

-

прямыми или окружностями.

Построение линии пересечения следует начинать с определения

ее опорных точек (высшей и низшей, точек смены видимости и др.).
Способы определения опорных точек зависят от вида поверхности,
положения

поверхности

и

пересекающей

ее

плоскости

в

пространстве.

Видимость
поверхности,

линии

пересечения

определяется

которой она принадлежит.

по

видимости

Видимые участки линии

89
пересечения находятся на видимой части поверхности, невидимые

-

на невидимой.

Если

поверхность

задана

ее

очерками,

то

точки

смены

видимости линии пересечения всегда лежат на очерках поверхности и
делят проекцию линии пересечения на видимую и невидимую части.

При

построении

линии

пересечения

кривой

поверхности

плоскостью следует учитывать следующие особенности:
Если поверхность линейчатая, то точки, принадлежащие

1.

линии пересечения ее с плоскостью удобно определять как точки

пересечения

образующих

поверхности

(прямых)

с

секущей

плоскостью.

Если поверхность проецирующая (прямой цилиндр, прямая

2.
призма),

то одна проекция линии пересечения

известна

она

совпадает

с

ее с плоскостью

соответствующеи

проекциеи

поверхности.

3.

Если секущая плоскость

линии

пересечения

соответствующим

ее
следом

с

проецирующая, то одна проекция
поверхностью

плоскости,

совпадает

вторая

проекция

с

линии

пересечения находится из принадлежности ее точек поверхности.

Построение

линии

пересечения

обычно

упрощается,

если

преобразовать комплексный чертеж так, чтобы секущая плоскость
заняла проецирующее положение.

Следует отметить, что приемы построения линии пересечения
кривой поверхности плоскостью и линии пересечения многогранника

плоскостью одинаковы, так как любую кривую поверхность можно
аппроксимировать поверхноСIЬю многоrранника. Так, цилиндрическую
поверхность

коническую

9.2.
Для

можно

-

аппроксимировать

поверхностью

призмы,

пирамидой.

Пересечение поверхности вращения плоскостью

построения

поверхности

точек,

вращения

принадлежащих

плоскостыо

линии

целесообразно

пересечения

использовать

вспомогательные плоскости, перпендикулярные к оси вращения. В

этом

случае

вспомогательная

поверхность по окружности.

плоскость

будет

пересекать

90
Сечение

поверхности

вращения

плоскостью

является

симметричной фигурой. Ось симметрии фигуры принадлежит общей
плоскости симметрии поверхности и секущей плоскости. Плоскость
симметрии

проходит

через

ось

вращения

поверхности

и

перпендикулярна секущей плоскости.

Рассмотрим

пересечение

плоскостью

поверхности

прямого

кругового цилиндра и прямого кругового конуса.

В

зависимости

от

положения

секущей

плоскости

линиями

пересечения прямо го кругового цилиндра могут быть:

1.

Прямая

секущая

-

плоскость

касательна

к

поверхности

цилиндра (рис.122).

2.

Две параллельные прямые

оси вращения

3.

секущая плоскость параллельна

(рис.123 ).

i

Окружность


вращения

-

секущая

-

плоскость

перпендикулярна

l.

foa

foa
а

·11

11

l

Ха

х ---*------~+---~----~-

а

11

i

Ха

__k _

'

hoa

Рис.122

Рис.123

11

Ь

11

оси

91
4.

Эллипс

секущая плоскость

-

пересекает все

образующие

поверхности, т.е. не параллельна и не перпендикулярна оси вращения

i (рис.124,125).
·11

z

l

·111

l

В"'

hoa

2'
у

Рис.124
На рис.124 прямой круговой цилиндр пересекается по эллипсу

фронтально проецирующей плоскостью а. Горизонтальная проекция
эллипса совпадает с горизотальным очерком цилиндра, фршпальная

ОДНОИМеННЫМ СЛеДОМ ПЛОСКОСIИ а. Отрезки В" Н" И

2' 5'

-

с

раВНЫ

соответственно длинам большой и малой осей эллипса.

Если угол между плоскостью а и осью цилиндра

i равен 45°, то

проекцией эллипса на плоскость 1Сз является окружность.

Пример

1.

Построить линию пересечения прямого кругового

цилиндра плоскостью общего положения а (рис.125).
Р е ш е н и е. В сечении получаем эллипс, так как секущая

плоскость не параллельна и не перпендикулярна оси вращения. Ось
вращения цилиндра перпендикулярна 1С1 , поэтому горизонтальной

92
проекцией

искомой

линии

пересечения

является

окружность,

совпадающая с горизонтальным очерком поверхности цилиндра.

Построение

фронтальной

проекции

линии

пересечения

начинаем с определения ее опорных точек. Высшую (В) и низшую
(Н)

точки

линии

горизонтально

пересечения

проецирующую

находим,

введя

плоскость

так,

')'1

горизонтальный след был перпендикулярен следу
через

ось

цилиндра.

Эта плоскость

является

вспомогательную
чтобы

ее

h0 a

и проходил

общей

плоскостью

симметрии цилиндра и секущей плоскости а.

foa

Ха

Рис.125

Найдя проекции линии пересечения плоскостей а и

')'1 ,

сначала

определим горизонтальные, а затем фронтальные проекции высшей

93
(В)

и

низшей

(Н)

точек

линии

пересечения.

проекции точек смены видимости (А, С

Горизонтальные

известны, фронтальные

)

проекции этих точек найдем из условия их принадлежности фронтали

f

плоскости а. Промежуточные точки

(D,

Е, М,

N )

определим с

помощью вспомогательных плоскостей у2 , у3 .

В

сечении

прямого

кругового

конуса

плоскостью

может

получиться точка, прямая, две прямых, парабола, эллипс, окружность.
Признаками, определяющими вид сечения, могут служить значения

углов е и
вращения

ffJ наклона секущей плоскости и образующих конуса к оси
конуса (рис. 126- 128).

r1
Лбе

Гипероола

Рис.126

Рис.

Рис.128

127

Рассмотрим следующие случаи.

1.
В

Секущая плоскость проходит через вершину конуса.

сечении

конуса может получиться точка

(90 о >

е

> ffJ)

(рис.

126 ), прямая ( е = ffJ ) (рис. 127), две прямые ( ffJ > е> о о) (рис. 128 ).
2. Секущая плоскость не проходит через вершину конуса.
Линиями пересечения могут быть: эллипс ( 90 о > е > ffJ ),
окружность (е= 90 о ) (рис. 126), парабола (е= ffJ ) (рис. 127),
гипербола (ffJ > е > о о) (рис. 128).
В общем случае для построения линии пересечения прямого
кругового

конуса

плоскостыо

следует

находить

образующих конуса с секущей плоскостью.

точки

пересечения

94
Пример

2.

Построить линию пересечения прямого кругового

конуса фронтально проецирующей плоскостью а (рис.129).

ff2 Ха
х ff1

hoa

Рис.129
Р е ш е н и е. В сечении получаем эллипс, так как секущая

плоскость пересекает все образующие конуса и не перпендикулярна
его

оси

известна

вращения.

-

Фронтальная

проекция

линии

пересечения

она совпадает с фронтальным следом плоскости

h0 a

(точки В", Н", А", С"). Большая ось эллипса ВН проецируется на
плоскость 1С2 без искажения. Точка В"_ высшая, Н"- низшая точки
линии

сечения.

Проекция

малой

оси

эллипса

на

плоскость

1С2

вырождается в rочку А,,= С", расположенную в середине отрезка В,, Н".
Для определения горизонтальной проекции малой оси эллипса

через

известную

горизонтальную

ее

плоскость

фронтальную
у.

В

проекцию

сечении

конуса

проводим
получаем

95
окружность, на горизонтальной проекции которой находим точки А

',

С'. Проекции других точек линии пересечения можно найти с
помощью вспомогательных горизонтальных плоскостей.

9.3.
В

Пересечение кривой поверхности прямой

общем

случае для построения точек пересечения кривой

поверхности прямой используется следующий алгоритм:

1.
2.

Прямую заключить во вспомогательную плоскость.

Найти линии пересечения (одну или две) вспомогательной

плоскости с заданной поверхностью.

3.

В пересечении найденных

линий и заданной прямой найти

искомые точки пересечения.

Чтобы получить рациональное решение следует использовать
наиболее

простой

способ

определения

линии

пересечения

вспомогательной плоскости с заданной поверхностью путем подбора
положения

вспомогательной

плоскости

или

перевода

заданной

прямой в частное положение.

Для определения видимости прямой можно использовать метод
конкурирующих точек.

В примерах, приведеиных далее, преимущественно рассмотрены
геометрические тела, т.е. ограниченные части пространства вместе с

3.

их границами

Пример

поверхностями.

Найти точки пересечения прямой а с поверхностью

тора (рис.IЗО).
Р

е

ш

е

н

и

е.

Заключаем

прямую

перпендикулярную к оси вращения тора

.
1

а

в

плоскость

у,

и параллельную плоскости

н2 • Плоскость у пересекает тор по двум окружностям. В пересечении

этих окружностей прямой а получим искомые точки К1 и К2 .

Пример

4.

Найти точки пересечения прямой Ь с поверхностью

конуса (рис.131).

Р е ш е н и е. Так как прямая Ь проецирующая, то одна ее
проекция

-

точка. Она совпадает с соответствующими проекциями

96
точек пересечения прямой с поверхностью
сDронтальные

проекции

этих

точек

(

ь, =

находятся

из

к], = к2,

).

условия

их

принадлежности поверхности.

."

х ~~--~~~~----~ 1

.f

l

Рис.IЗО

Рис.131

Контрольные вопросы

1. Какие

линии получаются при пересечении цилиндра вращения

плоскостями?

2. Какие

линии получаются при пересечении конуса вращения

плоскостями?

3. Как

строится

малая

ось

эллипса,

получаемого

при

пересечении конуса вращения плоскостью?

4. Как в

общем случае строятся точки пересечения прямой линии

с кривой поверхностью?

5. Как

в

общем

случае

поверхности плоскостью?

строятся

линии пересечения

кривой

97
Г ЛАВА

10.

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ДВУХ КРИВЫХ

ПОВЕРХНОСТЕЙ

Две кривые поверхности пересекаются по линии, одновременно

принадлежащей каждой из них. Эта линия строится по точкам. В

общем случае линия пересечения двух поверхностей представляет
собой пространствеиную кривую, которая может распадаться на две и
более части.

Пусть заданы две пересекающиеся поверхностиаир (рис.132).

Рис.132

В общем случае для построения точек
линии

пересечения

двух

кривых

L1

и

L2,

принадлежащих

поверхностей,

используется

следующий алгоритм:

1. Ввести вспомогательную секущую поверхность - посредник у.
2. ОпредеЛИIЬ линии т и n пересечения поверхносm - посредника у с
каждой из заданных поверхностей.

3. В

пересечении линий т и

n найти искомые точки L 1 и L 2.

98
Последовательно введя ряд поверхностей-посредников, найдем

необходимое
Соединив
плавной

число

в

точек,

определенной

линией,

принадлежащих

линии

последовательности

получим

искомую

пересечения.

найденные

линию

точки

пересечения

двух

поверхностей.

Видимость
помощью

участков

линии

конкурирующих

пересечения

находятся

Секущие

точек.

на

поверхностей, невидимые

-

пересечения

определяется

Видимые

видимых

участки

частях

линии

пересекающихся

на невидимых.

поверхности-посредники

выбирают

такие,

проекции линий их пересечения с заданными поверхностями
простыми

с

чтобы
были

прямыми или окружностями. В качестве поверхностей­

-

посредников обычно используют плоскости или сферы.
Рассмотрим построение линии пересечения двух поверхностей

способом вспомогательных секущих плоскостей.
Построение

линии

пересечения

начинают

с

определения

ее

опорных точек (высшей, низшей, точек смены видимости и др.).
Способы

определения

пересекающихся

опорных

поверхностей,

точек

их

зависят

взаимного

от

вида

положения

и

положения относительно плоскостей проекций.

Высшая
установить

и

низшая

граничные

точки

линии

положения

пересечения

позволяют

вспомогательных

секущих

плоскостей.

Для

уточнения

вида

линии

пересечения

находят

ее

промежуточные точки. При этом следует учесть, что проекции линии
пересечения двух поверхностей всегда находятся в пределах контура

наложения проекций этих поверхностей (заштрихованные области на
рис.IЗЗ).
При построении линии пересечения двух поверхностей следует

учитывать следующие особенности:

1.

Если одна из пересекающихся поверхностей проецирующая,

то одна проекция линии пересечения известна

-

она совпадает с

вырожденной проекцией этой поверхности (рис.134).

2.

Если

хотя

бы

одна

из

пересекающихся

поверхностей

линейчатая, то точки, принадлежащие линии пересечения находятся
как

точки

пересечения

прямолинеиных

поверхности с другой поверхностью (рис.134).

образующих

этои

99
3.

Если пересекающиеся поверхности имеют общую плоскость

симметрии, то высшая (В) и низшая (Н) точки линии пересечения
принадлежат этой плоскости и могут быть построены

точно

(puc.133, 135). В противном случае они строятся прибли:женно (рис. 134).
4. Если плоскость симметрии пересекающихся поверхностей
параллельна одной из плоскостей проекций, то на ней совпадают

проекции видимой и нееидимой частей линии пересечения (рис.133).

5.

Если обе пересекающиеся поверхности заданы проекциями их

очерков,

то

проекции

линии

их

пересечения

касаются

поверхностей (точки В", Н", А, С' на рис.133 и точки
М",

N",

очерков

D ",

Е",

А', С' на рис.135). Причем точки смены видимости линии

пересечения всегда находятся на очерке той поверхности, которая
расположена ближе к наблюдателю.

Рис.IЗЗ

Рис.134

100
Пример. Построить линию пересечения поверхностей конуса и

сферы (рис.135).

х 1[2
1[1

Рис.135
Р е ш е н и е. Определим опорные точки линии пересечения.

Заданные

поверхности

имеют

общую

плоскость

симметрии

а,

которая проходит через ось вращения конуса и центр сферы. В этой

101
плоскости находятся высшая
пересечения поверхностей.

(

В

)

и низшая

(

Н

)

точки линии

Для определения проекций этих точек

воспользуемся способом замены плоскостей проекций
очерки заданных поверхносrей на плоскОСIЬ проекций

-

построим

n4, параллельную

их общей плоскости симметрии а. В пересечении очерков найдем

проекции высшей (В 1 ,~ и низшей Н1 ,, точек линии пересечения
поверхностей. Исходя из принадлежности этих точек поверхности
конуса, найдем их проекции в исходной системе плоскостей.

Видимость

горизонтальной

определяет сфера

проекции

линии

пересечения

на ее экваторе находятся точки смены видимости

-

А и С. Для определения этих и других точек используем общий
алгоритм построения точек, принадлежащих линии пересечения двух

поверхностей.

При

этом

в

качестве

поверхностей-посредников

используем вспомогательные секущие плоскости

Видимость

фронтальной

определяет конус

-

проекции

точки смены видимости

')'1 ,

')'2 ,
линии

D

')'з.

пересечения

и Е находятся на

главном меридиане конуса.

Другими опорными точками линии пересечения являются точки

М и

N -

на фронтальной плоскости проекций в этих точках линия

пересечения касается очерка сферы. Горизонтальные проекции этих
точек определяем в пересечении одноименных проекций главного

меридиана сферы и найденной линии пересечения.

проекции точек М и

N

Фронтальные

находим из условия принадлежности их

сфере.

Контрольные вопросы

1.

В пределах какой части проекций пересекающихся поверхно

-

стей получается проекция линии пересечения?

3.
4.

Какие точки линии пересечения называют опорными?

Каким

образом

выбирается

положение

вспомогательных

секущих плоскостей?

5.

В каком случае высшая и низшая точки линии пересечения

могут быть определены точно?

6.

Как определяется видимость проекций линии пересечения?

102
ГЛАВА

11.

МЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ

Метрическими

расстояние

или

называются

угол

между

задачи,

в

которых

геометрическими

определяют

фигурами

или

их

элементами. К метрическим относятся также задачи на построение
угла

или

отрезка

с

наперед

заданным

значением

соответственно

градусной или линейной величины.

11.1.

Определение угла между двумя
пересекающимися прямыми

Известно,

что

если

плоскость

угла

параллельна

плоскости

проекций, то угол проецируется на нее без искажения. Поэтому если
плоскость угла занимает общее положение, то для определения его
натуральной

величины

преобразования

необходимо

чертежа перевести

одним

плоскость

из

способов

угла в

положение,

параллельное одной из плоскостей проекций. Наиболее рационально
использовать

для этого

способ вращения

плоскости угла вокруг

линии уровня.

Пример

1.

Определить угол между двумя пересекающимися

прямыми а и Ь (рис.136).
Р е ш е н и е. Повернем плоскоСIЬ, за,цанную двумя пересекающимися

прямыми а и Ь, вокруг принадлежащей ей горизонтали
плоскость

заняла

положение,

плоскости проекций. Тогда

плоскость
вращения
Точка

без

h,

А

искомый

искажения.

Точки

угол

1

и

вращается
к

точки А

вокруг

оси

центра

на

эту

принадлежащие оси

вращения.

(А 'О',

А "0"

Зная

),

О

в

две

проекции

способом

треугольника найдем его натуральную величину

точки А 1 (А '1, А ''1).
определим

горизонтальной

проецируется

2,

чтобы

не меняют своего положения в процессе преобразования.

перпендикулярной

вращения

параллельное

h так,

R,

плоскости

величину

пересекающимися прямыми.

угла

ffJ

радиуса

прямоугольного
новое положение

Соединив точку А '1 с точками

натуральную

а,

между

1,

и

2 ',

заданными

103
А"

А'

h'
А'

1

hoa /
Рис.

11.2.

136

Определение угла между двумя
скрещивающимися прямыми

Мерой угла между двумя скрещивающимися прямыми служит
плоский угол между двумя прямыми, проведенными из произвольной
точки пространства параллельна данным скрещивающимся прямым.
Алгоритм решения задачи:

1. Взять в пространстве произвольную точку М.
2. Через точку М провести две пересекающиеся прямые,
параллельные двум заданным скрещивающимся прямым.

3.

Определить

натуральную

проведеиными прямыми.

величину плоского угла между

104

11.3.

Определение угла между прямой и плоскостью

Углом между прямой и плоскостью называется угол между
прямой и ее проекцией на данную плоскость.
Решение этой задачи значительно упрощается, если определить

не угол между прямой и плоскостью ( (/)

0
),

а

1 - острый угол между

прямой и перпендикуляром, опущенным из любой точки прямой на

плоскость: (/) =
0

90°- ')' 0

(рис. 137).

Рис.137

Алгоритм решения задачи

1. На прямой выбрать
2. Через точку М

:

произвольную точку М.
провести

прямую,

перпендикулярную

плоскости.

3. Используя
определить

один

из

натуральную

способов

величину

угла

преобразования

')' -

острого

чертежа

угла

между

заданной и проведеиной прямыми.

4. Определить
ПЛОСКОСТЬЮ: (/) =
0

искомую

90°- J'

величину

угла

между

прямой

и

0


Пример 2. Определить величину угла (/)

0

между прямой а и

плоскостью а, заданной треугольником АВС (рис.
Р е ш е н и е. Строим проекции фронтали

138).



горизонтали

h

плоскости а. На прямой а выбираем произвольную точку М, из
которой опускаем перпендикуляр Ь на плоскость а (Ь 'j_

h ';

Ь "j_

1 ,~.

105
Величину угла ')'

0

вращения

линии

вокруг

между прямыми а и Ь определим способом
уровня.

Искомая

прямой а и плоскостью а равна: fjJ =
0

величина

угла

между

90° - J' о.
В"

м"

['

Рис.138

11.4.

Определение угла между двумя плоскостями

Мерой угла между двумя плоскостями (/)

0

служит линейный

острый угол, полученный от пересечения граней двугранного угла
плоскостью, перпендикулярной к его ребру.

Если ребро двугранного угла известно, то для определения
величины угла необходимо преобразовать чертеж так, чтобы ребро
заняло проецирующее положение (рис.139). В этом случае обе грани
проецируются

на плоскость 1С5 в виде отрезков, острый угол между

которыми равен искомому

уголу

(/J

о

между двумя плоскостями.

106
В"

-- -- -х

ff2
ff1

Рис.139

Если ребро двугранного угла неизвестно, то в этом случае угол
0
(/)

между двумя плоскостями проще определить как острый угол

между

двумя

прямыми,

проведеиными

из

произвольной

точки

пространства перпендикулярно к заданным плоскостям (рис.140).

Углы (/)

0

равны между собой, так как стороны углов взаимно

перпендикулярны.

107

Рис.140

Пример 3. Определить угол (/) между двумя плоскостями а и р
0



11 n)

(рис.141).
foa

Рис.

141

108
Р е ш е н и е. Направление горизонтали и фронтали плоскости а

известно, так как она задана следами. Построим горизонталь
фронталь

f

f оа ) .

(a'_l h'; a"_l /")и Ь ( b'_l h0 a;

Далее способом вращения вокруг линии уровня найдем

натуральную величину угла

11.5.

и

плоскости р. Из точки М проведем перпендикулярно к

заданным плоскостям прямые а
Ь "j_

h

ffJ

о

между заданными плоскостями.

Определение расстояния между двумя
геометрическими фигурами

Расстояние между двумя геометрическими фигурами: точкой и
прямой, двумя параллельными прямыми, плоскостью и параллельной
ей прямой, двумя параллельными плоскостями

-

измеряется отрезком

перпендикуляра между ними. Кратчайшее расстояние между двумя

скрещивающимися

прямыми

равно

отрезку

их

общего

перпендикуляра, оно также равно расстоянию между параллельными
плоскостями, в которых лежат скрещивающиеся прямые.

Для

определения

натуральной

величины

расстояния

между

двумя геометрическими фигурами удобно преобразовать чертеж так,
чтобы одна или обе геометрические фигуры заняли проецирующее
положение.

В

этом

случае

отрезок

перпендикуляра

между

ними

проецируется на соответствующую плоскоСIЬ проекций без искажения.

Пример

4.

Определить расстояние от точки А до прямой т,

заданной отрезком ВС (рис.142

).

Р е ш е н и е. Способом замены плоскостей проекций переведем
прямую т в проецирующее положение. Для эrого сделаем две замены

плоскостей проекций: первую- новую фршпальную плоскоСIЬ 1С4 выберем

перпендикулярно плоскосm 1С1 и параллельна данной прямой т
вторую

-

( ~ 11

т,

),

новую горизотальную плоскОСIЬ 1С5 выберем перпендикулярно

ПЛОСКОСIИ 1С4 И прямой т

( Х2 j_

т

,,1 ).

В системе плоскостей проекций 1С4 -

1С5 натуральная величина

расстояния от точки А до прямой т будет определяться расстоянием

109
между двумя точками: точкой А '1 и точкой В '1 =С'1 , в которую
вырождается проекция прямой т.

Так как в системе плоскостей проекций

n1

-

n4

прямая т

является линией уровня, то используя свойство проекций прямого

угла, можно найти точку К- основание перпендикуляра, опущенного

из точки А на прямую т.

А"

В"

["
ff2
х ff1

А'

в'

с'
["
1

А"1

, т,1
к1, = в'1= [1=

А' 1
Рис.142

110
Пример

Определить расстояние от точки

5.

D

до плоскости,

заданной треугольником АВС (рис.143).

D"
["

h ,,
А"
В"

х ff2

ff1
А'

D"1
Рис.143

Реш е н и е. Введем новую плоскость

n4 так,

чтобы плоскость

треугольника АВС в системе плоскостей проекций

n1

проецирующее

новую

положение.

перпендикулярно

Для

горизонтали

системе плоскостей 1С1 -

этого

построим

плоскости

-

n4

заняла

ось Х1

треугольника АВС.

1С4 найдем проекции точки

D "1

В

и вершин

треугольника А ''1 , В" 1 , С"1 . Искомое расстояние определится
отрезком

D , ,1

К',1 перпендикуляра, проведеиным из точки

D , ,1

к

111
прямой,

плоскость

в

которую

n4 .

вырождается

Обратными

проекция

преобразованиями

треугольника

найдем

на

проекции

основания К перпендикуляра в исходной системе плоскостей.

Пример

6.

Определить расстояние от точки А до плоскости а,

заданной ее следами (рис.144).
Р е ш е н и е. Решим задачу способом замены плоскосrей проекций.
Введем новую плоскость

n4 так, чтобы в системе плоскостей проекций n1 -

1C4 плоскоСIЬ а заняла проецирующее положение (Х1 _l

hoa). В системе

плоскостей проекций n1 -1С4 найдем проекции rочкиА и произвольной точки

1, взятой на фронтальном следе плоскости foa· Соединив точки Х1а и
1 "1, построим проекцию следаjjа. Проекция отрезка перпендикуляраА ,,1 К"1
определит искомое расстояние от точки А до плоскости а.

foa
А''

Ха

1"1

Рис.144

112
Пример

7.

Определить

кратчайшее

скрещивающимися прямымиАВ и

CD

(рис.

расстояние

между

145).

Р е ш е н и е. Дважды сделаем замену плоскостей проекций так,

чтобы в системе плоскостей 1С4- 1Cs одна из прямых, например АВ,
стала проецирующей.

Построим проекции перпендикуляра MN между прямыми АВ и

CD,
на

учитывая, чтоМ'1 N'1 _l А'1 В'1 , а

M" 1 N" 1

Искомое расстояние равно отрезку

MN,

плоскость

1С5

без

искажения.

_l

C"1 D"1.

который проецируется

Обратными

преобразованиями

найдем проекции отрезка MN в исходной системе плоскостей.

В"

с"

ff2
tr1

x------+---+--+~------~---+-

в'

В"

1

Рис.145

113
Контрольные вопросы

1.

Как определить

расстояние

от точки до

прямой общего

положения?

2.
3.

Как определить расстояние между параллельными прямыми?
Как

определить

расстояние

между

параллельными

плоскостями?

4.
5.

Как найти натуральную величину плоского угла?
Как найти натуральную

величину угла между прямой

и

плоскостью?

6.

Как

плоскостями?

найти

натуральную

величину

угла

между

двумя

114
ГЛАВА12.ПЛОСКОСТЬ,КАСАТЕЛЬНАЯ

К ПОВЕРХНОСТИ

При проектировании и конструировании поверхностей строятся
касательные

плоскости

и

нормали

касательной

плоскости

является

к

поверхности.

частным

Построение

случаем

пересечения

поверхности плоскостью.

Плоскостью, касательной к поверхности в некоторой ее точке,

называется

плоскость,

которой

принадлежат

все

прямые,

касательные к всевозможным кривым, проведенным на поверхности
через данную точку.
В зависимости от вида поверхности элементом ее касания с

плоскостью может быть точка, прямая или плоская линия.
На поверхности могут быть точки, к которым нельзя провести
касательную плоскость.

Единственную точку касания с плоскостью имеет, например,

поверхность сферы, параболоида и эллипсоида вращения.
По

прямой

линии

(образующей)

плоскость

будет

касаться

поверхности конуса, цилиндра.

Касаясь в точке с поверхностью однополостного гиперболоида
вращения, касательная плоскоСIЬ при эrом пересекает его по двум прямым.

Касательную

плоскость

удобно

задать

двумя

прямыми,

пересекающимися в точке касания. Каждая из этих прямых является
касательной

к

соответствующей

кривой

линии,

проведеиной

на

поверхности через точку касания.

Нормалью к поверхности в данной точке называется прямая,
перпендикулярная касательной плоскости и проходящая через точку
касания.

Рассмотрим

примеры

построения

касательной

плоскости

к

различным поверхностям.

Пример

1.

Построить касательную плоскость а и нормаль

d

к

поверхности цилиндра в точке А (рис.146).
Р е ш е н и е. Элементом касания цилиндрической поверхности с

плоскостью будет прямая- образующая ВС, проходящая через точку А.
Эта прямая

-

одна из двух пересекающихся прямых, определяющих

касательную плоскость а.

115
В качестве второй прямой возьмем горизонталь

h,

проведеиную

через точку А касательно к окружности, лежащей на поверхности
цилиндра

и

горизонталь,

проходящей
а

ВС

-

через

фронталь

плоскости а и проекции нормали

h 0a, d"_l foa).

точку А.

d

Учитывая,

плоскости

а,

что

находим

h следы

к поверхности в точке А

(d'_l

Касательная плоскость а является горизонтально

проецирующей.

foa
В"

А"

h "=d"

f"
["

hoa
Рис.146

Пример

2.

Построить касательную плоскость а и нормаль

поверхности прямо го кругового конуса в точке А (рис.14 7).

d

к

116

s"

h'

Рис.147
Р е ш е н и е. Элементом касания конической поверхности с

плоскостью будет прямая

-

образующая

S2,

проходящая через rочку А.

На поверхности конуса через точку А проводим окружность с,
лежащую в горизонтальной плоскости.

Одной из двух пересекающихся прямых, задающих касательную

плоскоСIЬ будет образующая

S2,

другой

касательная

-

h

(горизонталь

плоскости а), проведеиная через точку А к окружности с.

Для

построения нормали к поверхности в точке А необходимо найти
проекции

фронтали плоскости а.

вершину конуса

S.

1

f

проведем через

Ее горизонтальная проекцияf, известна

Фронтальную проекцию фронтали

точки

Фронталь

f ,,

(f,

11 Х).

определим, найдя проекции

ее пересечения с горизонталью. Построим

поверхности в точке А

и

(d'_l h,, d"_lf ").

нормаль

d

к

117
Пример

3.

Построить плоскость а, касательную к поверхности

сферы в точке А (рис.148)

.

Р е ш е н и е. Проще сначала построить нормаль

d

в точке А

сферы, так как она проходит через точку А и центр сферы О. Затем
через точку А построим горизонталь

f (f, 11 Х; f

h (h ,,

11 Х;

h 'j_

"j_ d'~ касательной плоскости а.

h"

х ------------+------

f'

Рис.148

d~ и фронталь

118
Контрольные вопросы

1.

Как

построить

плоскость,

касательную

к

поверхности

в

некоторой ее точке?

2.
3.

Что называется нормалью к поверхности?
Что

может

являться

элементом

касания

плоскости

с

поверхностью открытого тора?

4.

Как построить плоскость, касательную к сфере в какой-либо

точке на сфере?

5.

Как построить плоскость, касающуюся конуса и сферы?

119
Г ЛАВА 13. РАЗВЕРТКА КРИВЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ

Рассмотрим поверхность как гибкую, нерастяжимую пленку.
Если

представленную

изгибания совместить

таким

образом

поверхность

можно

путем

с плоскостью без складок и разрывов, то

поверхность называют развертываемой.

Разверткой
полученная

поверхности

совмещением

называется

данной

поверхности

плоская
с

фигура,

плоскостью

без

складок и разрывов.
К развертываемым относятся гранные поверхности, например
пирамида,

призма и следующие кривые линейчатые поверхности:

цилиндрические, конические, торсы.

Разверткой боковой поверхности прямого кругового цилиндра

радиуса

R и высотой Н является
Н и 2nR (рис.149).

прямоугольник с размерами сторон

1

1
1

1
1

1

2k

2 7rR
Рис.149

Рис.150

120
Разверткой

боковой

является сектор радиуса
где

R-

поверхности

прямого

кругового

центральный угол которого

L,

радиус окружности основания конуса;

(/) 0

конуса

=

360°R
L

,

длина образующей

L-

конуса (рис.150).
Для

построения

разверток других

поверхностей

используют

различные способы, некоторые из них мы рассмотрим.
Развертки бывают точные, приближенные и условные.
Точные развертки можно построить только для развертываемых
поверхностей. Построение точных разверток кривых развертываемых

поверхностей
развертки.

сложно,

поэтому обычно

Сущность

построения

заключается

гранной

в

том,

что

поверхностью,

цилиндрическую

-

У славные
поверхностей.

кривую

строят их приближенные
приближенных

поверхность

например

разверток

аппроксимируют

коническую

пирамидой,

призмой.

развертки
Для

этого

строят

данная

для

неразвертываемых

поверхность

отсеками развертынамой поверхности

-

аппроксимируется

гранной, цилиндрической,

конической.

13.1.

Если
множества

Основные свойства развертки поверхности

рассматривать
точек,

взаимно

то

между

однозначное

поверхности

поверхность

соответствует

этими

и

ее

развертку

множествами

соответствие;

т.е.

единственная

два

устанавливается

каждой

точка

как

на

точке

развертке

на
и

наоборот. Отсюда вытекают основные свойства развертки:

1.

Длины

двух

соответствующих

линий

поверхности

и

ее

развертки равны между собой.

2.

Замкнутая линия на поверхности и соответствующая еи

линия на развертке ограничивают одинаковую площадь.

3.

Угол между линиями

на

поверхности равен углу между

соответствующими линиями на развертке.

4.

Прямой на поверхности соответствует также прямая на

развертке.

121
5.

Параллельным

прямым

на

поверхности

соответствуют

также параллельные прямые на развертке.

13.2. Приближенная

развертка развертываемых

поверхностей

Построение приближенных разверток развертываемых кривых
поверхностей (конических, цилиндрических, торсовых) сводится к
построению точных разверток гранных поверхностей, вписанных в
данные поверхности или описанных около них.

Алгоритм построения приближенной развертки:
Развертываемую

1.

поверхность

аппроксимируют

гранной

поверхностью (пирамидой, призмой).

2.
3.

Строят точную развертку гранной поверхности.

На развертке ломаная линия (одна или две), аппроксимирующая

направляющую поверхности, заменяется плавной кривой.

Пример

1.

Построить

развертку

боковой

поверхности

наклонного кругового конуса (рис.151 ).
Р е ш е н и е. Впишем в данную коническую поверхность
пирамиду. Для этого окружность основания конической поверхности

заменим

правильным

поверхность

гранями

-

шестиугольником

а

боковую

боковой поверхностью пирамиды с треугольными

S12, S23, ... S61.

пирамиды

123456,

способом

Определим натуральные величины ребер

вращения

вокруг

оси,

перпендикулярной

горизонтальной плоскости проекций и проходящей через вершину
Зная

пирамиды,

натуральные

величины

строим развертку ее

сторон

треугольных

боковой поверхности.

граней

Для этого

сначала на свободном поле чертежа откладываем ребро

S1

помощью

к

засечек

строим

треугольник

S12,

затем

последовательно пристраиваем остальные треугольники.

точки

4,3,2,1,6,5,4

плавной

линией,

получаем

S.

и с
нему

Соединяя

приближенную

развертку боковой поверхности наклонного кругового конуса.

122

S"

s
4

4

s'

1'

1

Рис.151

13.3.

Условная развертка неразвертываемых
поверхностей

Для

неразвертываемых

поверхностей

строят

условные

развертки. Алгоритм их построения следующий:

1.
2.

Поверхность разрезают на несколько частей.
Каждую из этих частей аппроксимируют развертываемой

поверхностью (гранной, цилиндрической, конической).

3.

Строят развертки развертываемых поверхностей, которыми

аппроксимируют данную поверхность.

Совокупность

этих

разверток

и

будет

являться

условной

разверткой данной поверхности.

Пример
(рис.152).

2.

Построить условную развертку поверхности сферы

123

1"

"

т

1
1

---т----

1

1

1

Х ------------

м

4

N

м'

4'

N'

2R

Рис.

152

Р е ш е н и е. Поверхность сферы разрезаем меридиональными
плоскостями на равные части (доли), например на шесть.
Построим развертку доли сферы, средним меридианом которой
является главный меридиан т. Заменяем долю поверхности сферы
отсеком цилиндрической поверхности, касающейся ее по главному

124
меридиану

(радиус

цилиндра

равен

радиусу

сферы).

Границами

отсека цилиндрической поверхности будут плоскости меридианов,

ограничивающие

долю

главного меридиана на

поверхности

n

сферы.

Разделив

дугу

14

равных частей, например на три, построим

образующие цилиндра АВ,

CD, MN.

Эти образующие проецируются

на горизонтальную плоскость проекций в натуральную величину. Для

построения

приближенной

поверхности дуга

14

развертки

отсека

аппроксимирована ломаной

цилиндрической

1234,

состоящей из

трех равных отрезков.

Строим развертку доли сферы. Для этого на свободном месте
чертежа проводим горизонтальную прямую и на ней откладываем

отрезок

4 ) проводим вертикальную
прямую, на коюрой оrющцьmаем отрезки 43, 32, 21. По обе стороны от
вертикальной прямой через точки 4, 3, 2 строим соответственно
горизонтальные отрезки М4 = 4N, СЗ =3D, А2 = 2В.
Соединив точки М, С, А, 1 и N, D, В, 1 плавными линиями
MN.

Через его середину (точку

получим фигуру, являющуюся условной разверткой половины доли
поверхности

сферы.

Развертка

доли

поверхности

сферы

будет

состоять из двух таких, симметрично расположенных фигур.
Полная развертка поверхности сферы в нашем случае будет
состоять из разверток шести ее долей.

Контрольные вопросы

1.
2.

Какие поверхности относятся к развертываемым

Для

каких

поверхностей

строятся

?

приближенные

и

условные развертки?

3.

Как

построить

приближенную

развертку

конуса?

4.

Как построить условную развертку сферы?

наклонного

125
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ
И РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1.

Арустамов, Х. А. Сборник задач по начертательной геометрии

1

Х. А. Арустамов.- М.: Машиностроение,

1978.-445 с.
2. Бубенников, А. В. Начертательная геометрия 1 А. В. Бубенников,
М. Я. Громов.- 3-е изд.- М.: Высш. шк., 1985.-288 с.
3. Гордон, В. О. Курс начертательной геометрии: учеб. пособие для
вузов 1В. О. Гордон, М. А Семенцов- Огиевский; под ред. В. О. Гордон,
Ю. Б. Иванова.- 24-е изд. стер.- М.: Высш. шк., 2000.-272 с.
4. Гордон, В. О. Сборник задач по курсу начертательной геометрии:
учеб. пособие для вузов 1 В. О. Гордон, Ю. Б. Иванов, Т. Е. Солнцева.
-М.: Высш. шк., 2000. - 320 с.
5. Иванов, Г. С. Начертательная геометрия: учеб. для вузов 1
Г. С. Иванов.- М.: Машиностроение, 1995.-224 с., ил.
6. Фролов, С. А. Начертательная геометрия 1 С. А. Фролов.- 2-е изд.,
пераб. и доп. -М.: Машиностроение, 1983. - 240 с.
7. Фролов, С. А. Сборник задач по начертательной геометрии/
С. А. Фролов.- М.:- Машиностроение, 1980.- 142 с.
8. Тарасов, Б. Ф. Начертательная геометрия. учеб. для вузов 1
Б. Ф. Тарасов, Л. А. Дудкина, С. О. Немолотов. - 3-е изд., стер.­
СПб.: Лань, 2003. - 231 с.
9. Соломонов, К. Н. Начертательная геометрия. учеб. для вузов 1
К. Н. Соломонов, Е. Б. Бусыгина, О. Н. Чиченева.- М.: • МИСИС • :
ИНФРА-М, 2004.-160 с.

Интернет -источники

1О.
11.
12.
13.
14.

http://graph.power.nstu.ru/wohlcin/umm/Graphbook/book/index.htm
http://traffic.spb.ru/geom/menu.html
http://www.informika.ru/text/database/geom/
http://agd.mmf.spbstu.ru/Tasks/ToolBook/Book.htm
http://innov.ncic.ru/bases/u/showbook.html?id=405

126
ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение ..........................................

................................. 3
Глава 1. Образование проекций .......................................... .. .4
1.1. Центральное проецирование ................................. 4
1.2. Параллельное проецирование о о о о о о о о о о о
6
1.3. Основные инвариантные свойства параллельного
проецирования .................................................. 7
Глава 2. Точка и прямая ...................................................... .9
2.1. Проекции точки .........
10
2.2. Проекции прямой линии ..................................... 12
2.2.1. Прямые уровня ......................................... 13
2.2.2. Проецирующие прямые ...... о о о о
15
2.3. Определение натуральной величины отрезка
прямой способом прямоугольного треугольника ..... 16
2.4. Деление отрезка прямой в заданном отношении ....... 18
2.5. Следы прямой ............
19
2.6. Взаимное положение двух прямых ......................... 21
Глава 3. Плоскость ........................................................ ..... 23
3 .1. Способы задания плоскости на комплексном
чертеже ......................................................... 23
3 .2. Положения плоскости в пространстве .................... 26
3 .2.1. Проецирующие плоскости .......................... 26
3.2.2. Плоскости уровня ..................................... 28
о
30
3.3. Прямая и точка в плоскости ...
3.4. Параллельность прямой плоскости ......
33
3.5. Параллельность двух плоскостей ........................... 34
36
3.6. Перпендикулярность прямой плоскости ....
3. 7. Перпендикулярность двух плоскостей .................... 3 7
•••

0000

•••••••••••••••••••

••••••••••••••••••••••••••••••••••••

••••••••••••••••••••

00000

••••••••••••••••••••••••••••••••••

000

0.0

••••••

000

00

••••••••••••••••

••••••••••••••••••

000

000

••••••••

127
3.8.
Глава

4.

Определение видимости геометрических фигур ........ 38

Способы иреобразования чертежа ........................... .42

4.1.

Способ замены плоскостей проекций .................... .42

4.1.1.
4.1.2.
4.2.

Замена одной плоскости проекций .............. .43
Замена двух плоскостей проекций ............... 46

Способ вращения ............................................. 49

4.2.1.
4.2.2.

Способ вращения вокруг линии уровня ......... 50
Способ вращения вокруг оси,
перпендикулярной плоскости проекций ......... 51

Глава

5.

Пересечение двух плоскостей ................................... 55

5 .1.

Общий случай построения линии пересечения
двух плоскостей ............................................... 55

5.2.

Частные случаи построения линии пересечения
двух плоскостей .............................................. 57

Глава

6.

Пересечение прямой с плоскостью ............................ 60

6.1.
6.2.
Глава

7.

Общий случай пересечения прямой с плоскостью ..... 60
Частные случаи пересечения прямой с плоскостью ... 62

Многогранники

..................................................... 64
7 .1. Построение сечения многогранника плоскостью ...... 64
7.2. Развертка поверхности многогранника .................. 67
Глава 8. Поверхность ......................................................... 70
8.1. Основные понятия и определения .......................... 70
8.2. Поверхности нелинейчатые ................................. 73
8.2.1.Нелинейчатые поверхности

с образующей перемениого вида .................. 73

8.2.2.

Нелинейчатые поверхности

с образующей постоянного вида .................. 75

8.3.

Поверхности линейчатые ................................... 76

8.3.1.

Линейчатые поверхности с тремя
направляющими ...................................... 76

128
8.3.2.

Линейчатые поверхности с двумя
направляющими и плоскостью

параллелизма (поверхности Каталана) ......... 79

8.3.3.

Линейчатые поверхности с одной

направляющей (торсы) ............................. 81

8.4.
8.5.
Глава

9.

Поверхности вращения ...................................... 82
Винтовые линейчатые поверхности ...................... 86

Пересечение кривой поверхности плоскостью
и прямой линией .................................................. 88

9.1.
9.2.
9.3.
Глава
Глава

Пересечение кривой поверхности плоскостью ......... 88
Пересечение поверхности вращения плоскостью ..... 89
Пересечение кривой поверхности прямой линией .... 95

10. Пересечение двух кривых поверхностей ................... 97
11. Метрические задачи ........................................... .102
11.1.

Определение угла между двумя
пересекающимися прямыми .............................

11.2.

102

Определение угла между двумя
скрещивающимися прямыми ............................. 103

11. 3.

Определение угла между прямой
и плоскостью ............................................... 104

11. 4.

Определение угла между двумя
плоскостями ................................................. 105

11.5.

Определение расстояния между двумя

геометрическими фигурами ............................. 108
Глава

12. Плоскость,
Глава 13. Развертка
13 .1.
13 .2.

касательная к поверхности ................... 114
кривых поверхностей ........................... 119

Основные свойства развертки поверхности ........... 120

Приближенная развертка развертываемых
кривых поверхностей ..................................... 121

13.3. У славная

развертка неразвертываемых

поверхностей ................................................ 122
Список использованной и рекомендуемой литературы ............ 126