Р е ц е н з е н т : учитель математики школы № 5 г. Люберцы В. В. Гузеев
Т48
Ткачева М. В.
Домашняя математика: Кн. для учащихся 7 кл. сред. шк.— М.:
Просвещение, 1993.— 191 с.: ил.— ISBN 5-09-002959-8.
t
Издательство «Просвещение» планирует выпуск трех книг под названием «Домаш
няя математика», предназначенных для учащихся VII, VIII и IX классов соответственно.
Все они предполагают семейное чтение и призваны помочь школьнику и его родителям
при совместных занятиях математикой.
Настоящ ая книга адресуется семиклассникам.
Т
4306020000— 691
40— 93, 111— IV кварт. 1003 г.
103(03) — 03
Посвящаю моим родит елям
Зеничевой Н. И. и Ходакову В. Л.
ОТ АВТОРА
Вспоминаю... Мне 12 лет. У мамы много хлопот с младшими
братом н сестрой, и папа берет меня с собой в отпуск. Едем в Ле
нинград: походить по городу, посетить Эрмитаж, Русский музей,
Петергоф... В дороге отец задает мне вопросы: «Почему в туннеле
шум от колес поезда громче, чем когда едем по открытой местно
сти?», «Почему солнце в зените кажется меньше, чем когда оно
садится за горизонт?», «Почему «усы» троллейбуса касаются
двух проводов, а трамвая — одного?», «А как бы ты поступила,
если б попала, например, в такую ситуацию...?» (ситуации раз
ные: «встретила нищего», «стала директором школы» и т. д.).
Иногда подолгу молчим, обдумываем какую-то проблему, ре
шаем задачу. Бывает, что я прошу папу рассказать что-нибудь
из его детских или военных воспоминаний, почитать стихи...
Сегодня уже я пытаюсь у своих детей пробудить желание по
стоянной работы ума и души. Получилось бы...
ПРЕДИСЛОВИЕ
для школьников
Уважаемые ребята! Перед вами — не обычная книга по математике.
С одной стороны, названиями параграфов первых двух глав она напоминает
учебник. С другой стороны, написана она совсем не как учебник: здесь
много решенных примеров, занимательных задач и шуток. Д а и параграфы
главы III имеют необычные названия. Прочтя эту главу, можно научиться
многим полезным для жизни вещам.
Для чего эта книга вам будет нужна?
Чтобы ответить на этот вопрос, решите для себя, как вы относитесь
к математике, и причислите себя к одной из следующих групп.
I г р у п п а . Люблю математику, нравится решать задачи, нравятся стро
гие рассуждения.
II г р у п п а . Равнодушен к математике, занимаюсь ею только когда нуж
но выполнить задание учителя.
III г р у п п а . Не люблю или боюсь математики (причины могут быть
разные: тяжело дается, запустил материал из-за болезни или лени и т. д.).
Теперь прочтите, чем будет полезна эта книга для каждой группы.
Для ребят I г р у п п ы . В книге, помимо обычных задач по алгебре
и геометрии, вы найдете занимательные математические задачи, рассужде
ния, исторические сведения, практические советы. Вам будет интересно и
полезно прочитать главу III. Книга поможет углубить и расширить ваши
знания по математике, а также увидеть интересные применения математики
в жизни.
Вы вполне сможете прочитать всю книгу самостоятельно. Однако будет
неплохо, если интересные ее страницы вы прочтете вместе с родителями
или товарищами, обсудите спорные вопросы.
Для ребят II г р у п п ы . Ваше равнодушие к математике, скорее всего,
объясняется тем, что вы не видите от нее никакой пользы, или все-таки
что-то недопонимаете (при решении задач, в доказательстве теорем). Не
приятно заниматься делом без удовольствия.
Давайте попробуем изменить ваше отношение к математике. Начните
с чтения главы III «Математика в жизни». Думаю, что каждый из вас найдет
там для себя интересные и полезные сведения.
Если у вас в течение учебного года возникают трудности с усвоением
математики, читайте и разбирайте параграфы глав I и II. В них вы найдете
решения основных типов задач, которые встречаются в учебнике, примеры
контрольных работ по основным темам.алгебры и геометрии. Прорешайте
их, проверьте, как вы усвоили ту или иную тему курса математики.
На страницах книги «разбросаны» различные задачи, для решения
которых чаще всего не требуется особых знаний, а нужны здравый смысл
и логическое чутье.
4
Попробуйте разобрать решения задач, предложенных на «Заниматель
ных страницах» после каждого параграфа. Если что-то не будет получаться,
обратитесь за помощью к старшим млн учителю, посмотрите ответы.
Главное
сделайте усилие над собой и постарайтесь прочитать всю
или почти всю книгу. Результат не замедлит сказаться не только в повы
шении отметок в журнале, но и в изменении вашего взгляда на обыденные
веши и явления.
Для ребят III г р у п п ы . Перед вами сейчас стоят две проблемы: первая —
устранить пробелы в знаниях н научиться решать задачи хотя бы так,
чтобы контрольные работы не вызывали страха и затруднений: вторая —
попробовать подружиться с математикой.
Первую проблему нужно решать так: самостоятельно или с помощью
товарищей, родителей, учителя разбирайте примеры, расположенные -слева
на страницах книги; после того как примеры понятны, переходите к само
стоятельному выполнению заданий, расположенных справа от примеров.
Так продвигайтесь до конца параграфа.
Когда будете уставать от решения заданий, отвлекайтесь на чтение
«Занимательных страниц» и параграфов главы I I I «Математика в жизни».
Там все должно быть доступно вашему пониманию.
ПРЕДИСЛОВИЕ Д ЛЯ РОДИТЕЛЕЙ
Уважаемые родители! Вы, конечно, прежде всего прочли предисловие,
обращенное к вашим детям. Наверное, основная цель книги стала ясна —
помочь ребятам, интересующимся математикой, поддержать и развить ин
терес к ней, а ребятам, у которых математика вызывает те или иные
затруднения,— помочь понять и полюбить ее.
Вам, как людям, изучавшим в свое время математику, а сейчас еще
и имеющим жизненным опыт, будет легче сориентироваться в структуре
книги и организовать занятия вашего ребенка по ней.
Особое внимание следует уделить ребятам, которые отнесли себя
к III группе. Они, возможно, не смогут воспользоваться указаниями пре
дисловия и начать работать самостоятельно.
Наберитесь терпения и регулярно, от 30 мин до 1 ч в день, занимайтесь
со своим ребенком по этой книге, если она понравится вам. Занятия
следует организовать так: повторяйте с помощью книги пройденный в школе
материал, а в какие-то моменты опережайте школьные задания (чтобы
ребенок на уроки приходил подготовленным к восприятию объясняемой
учителем темы). Книга поможет правильно решать задачи домашнего за
дания по математике.
Варианты контрольных работ предлагайте сначала решать ребенку само
стоятельно, а потом проверяйте решенное вместе с ним по образцу, который
предложен после контрольной работы.
Внимание уставшего ребенка переключайте на решение занимательных
нетрудных задач, на чтение параграфов главы III.
Помните, что «пик интереса» учащихся к математике приходится на
12— 13 лет и наша с вами задача — пробудить его, развить и удержать.
6
ПРЕДИСЛОВИЕ ДЛЯ УЧИТЕЛЕЙ
Уважаемые коллеги! Данное пособие может помочь вам организовать:
индивидуальные и дополнительные занятия с различными по уровню
подготовленности учащимися;
домашние занятия учащихся с помощью их родителей;
кружковые и дофаиультативные занятия (используя материалы «Зани
мательных страниц» и главы II I «Математика в жизни»).
Наличие в пособии главы I I I «Математика в жизни» призвано в основном:
послужить основой совместного досуга родителей и их детей, а также
для организации целенаправленных их совместных занятий математикой;
показать на понятных примерах применение уже имеющихся у детей
математических знаний в практической и повседневной жизни (§ 14, 15,
20, 22) ;
дополнить математический багаж учащихся на пропедевтическом уровне
умениями собирать и обрабатывать поступающую информацию и состав
лять элементарные частотные характеристики (§ 12, 13), умением строить
графы (§ 16, 17, 19), знанием азов комбинаторики (§ 16), решением задач
на оптимизацию (§ 17), топологическими навыками (§ 18, 21), алгоритми
ческой культурой (§ 14— 17, 19, 22).
Предполагается издание еще двух книг, объединенных общими идеями
с данным пособием и предназначенных для учащихся двух последующих
классов и их родителей.
Выражаю искреннюю признательность Борису Николаевичу Кукушкину
и Рубену Гургеновичу Газаряну за ряд ценных замечаний и дополнений
к содержанию рукописи.
Прошу все замечания и пожелания по совершенствованию данной части
пособия, дополнения в ее содержание присылать автору по адресу: 127521,
Москва, а/я 24, издательство «Просвещение», редакция математики.
ГЛАВА I. АЛГЕБРА
§ 1. Числовые и алгебраические выражения
I. Д е й с т в и я с о б ы к н о в е н н ы м и д р о б я м и .
Основное свойство дроби.
Величина дроби не изменится, если числитель и знаменатель дроби
умножить (или разделить) на одно и то же число, отличное от нуля:
числитель
А _ А - О
знаменатель— □
-о • О
и
А
□
_ А : О
□ : О
ЗАДАНИЯ
ПРИМЕРЫ
1) Приведем дробь
j-
к знаменате
лю 20.
Д*
1) Привести дроби
к знаменателю 6.
и
2~.
3
20 = 5-4, f = b = S -A
2) Запишем число 3 в виде дроби со
знаменателем 7.
Д
2) Записать число 9 в виде
дроби со знаменателем 5.
3= т=
с
'6
3) Сократи! | дробь joА
A
10
on
“
16:2
20:2
=
_8_
= 1СГ
3) Сократить дроби
]2 15
48 ’ 6 5 '
Но обычно сокращают дробь на наиболь
ший общий делитель числителя и знаме
нателя (в данном случае это число 4):
* Знаки Д и А ставятся в начале и конце рассуждения, решения задачи, доказа
тельства утверждения.
7
Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями
А , О _ А+ ® ■
А
О _ А —Q
□+ □
□
□
□
’
□
ПРИМЕРЫ
ЗАДАНИЯ
Выполним действия:.
,\
'
Л,
1
'
2 _
I ■ 2-2
8
8
03
03
или 2Т=
8 “
, 3
так как 2—
{
1■ 4 ^ 1 + 4 _ 5
6
3 — б + 3 - 2 ~ 6 б — б — 6’
9_3__ . 5 _ 1 9 _ ] 3 _ _6_ _ 3_
Z 8
Чтобы сложить два числа с разными знаками, нужно из большей
абсолютной величины вычесть меньшую и в результате поставить знак
числа, имеющего большую абсолютную величину.
ю
Подумайте, иллюстрацией какого правила и конкретно какого
примера могли бы послужить следующие рисунки:
9
@'ЕБ+о-ЕЕЬ; -ЕВ-п=-ЕЕЬ; ЕВ-оЕР; -ЕБ+а=-ЕР
Чтобы умножить (разделить) одно число на другое, нужно пере
множить (разделить) их абсолютные величины и, если числа имеют
одинаковые знаки, поставить в результате знак «плюс»; если раз
ные— знак «минус».
IV. Ч и с л о в ы е и а л г е б р а и ч е с к и е в ы р а ж е н и я .
Числовые выражения состоят из чисел, знаков арифметических
действий и скобок. Например:
- 1 2 + 2 - 1 :(0 ,5 -(3 ,2 +
44 )).
II
Чтобы найти значение числового выражения, нужно знать порядок выполнения действий.
1. Если есть скобки, то сначала выполняются действия в скобках
(в установленном в следующих пунктах порядке). Если скобок не
сколько, то сначала выполняются действия во внутренних скобках.
2. Выполняются по порядку следования действия второй ступени
( умножение и делени е).
3. Выполняются по порядку следования действия первой ступени
(слож ен и е и вычитание).
4. Если выражение записано в виде дроби, то находят по пра
вилам I —3 значения числителя н знаменателя дроби, затем — значение числителя делят на значение знаменателя.
ПРИМЕР
ЗАДАНИЯ
Найдем значение числового выраже
ния (над знаками действий в кружках
укажем порядок выполнения действий):
®
Алгебраические выражения состоят из чисел и букв, соединенных
знаками арифметических действий. Алгебраические выражения могут
содержать скобки.
Например: аа-\ -( l a b — |-Ь'2:с ) .
Заметим, что числовое выражение — это частный случай алгебраи
ческого выражения.
Числовое значение алгебраического выражения — это число, кото
рое получается в результате вычислений при замене букв числами.
12
|
,
j
ПРИМЕР
Найдем числовое значение выражения
2а —5а6 + 3
при а = — 1; 5 = 0,2:
A 2 - ( - 1 ) - 5 - ( - 1 ) - 0 ,2 + 3 = - 2 +
+ 1 + 3 = 2. Д
ЗАДАНИЕ
Найти значение выражения
—*+ 8 .ту — I при:
1) * = 0; у = — 1.
2) х = —2; у = 0.
3) * = 7 ; у — —2.
ПРИМЕР
Куплено,* тетрадей по 3 р. и у стерж
ней для ручек по 8 р. Запишем формулу
для нахождения стоимости * всей покуп
ки. Сколько стоит покупка, если куплено
20 тетрадей и 3 стержня?
Д s = .v -3 + y -8 . При * = 20; у = 3
.9= 20-3 + 3-8 = 60 + 24 = 84 (р.). Д
ЗАДАНИЕ
В первый день турист шел
а часов со скоростью 5 км/ч.
Во второй день он шел b часов
со скоростью 4 км/ч. Записать
формулу для нахождения прой
денного за два дня пути s. По
формуле найти числовое значе
ние пути s, если а = 8; Ь = 5
С помощью букв удобно записать основные законы сложе
ния и умножения чисел.
I П е р е м е с т и т е л ь н ы е з а коны:
a-f-6 = 6 + a, a-b = b'a.
*
1‘ . С о ч е т а т е л ь н ы е з а к о н ы :
{a + b) + с = а + (b-\-c), (ab)c = a(bc).
3. Р а с п р е д е л и т е л ь н ы й з а к о н :
a(b-\-c) =ab-{-ac.
1. Если перед скобками стоит знак «плюс» (в начале вы
ражения знак «плюс» обычно не пишется), то скобки и знак
«плюс» можно опустить, сохранив знаки всех членов выра
жения. Например:
2а + (Ь — с) = 2а + Ь — с, {a — 3 b ) — d = a — 3b — d.
2. Если перед скобками стоит знак «минус», то скобки и знак «ми
нус» можно опустить, поменяв знаки всех членов выражения, стоящего
в скобках, на противоположные. Например:
— (а — Ь) = — а-\-Ь, 2а — (36 — c-\-d) = 2 а — 36 + с — d.
ЗАДАНИЯ
Раскроем скобки в выражении.
1) - \ 2 x — ( 2 y - 7 z ) .
A — \ 2x — (2y — 7z) = — \2x — 2 y + 7 z . ±
2) 3 a + ( 2 a b - ( 5 b - 2 c ) ) .
А За + (2аЬ— (56 —2с) ) = 3 а +
+ ( 2 a b - 5 b + 2 c ) = 3 a + 2 a b - 5 b + 2c. А
ПРИМЕР
Запишем формулу для вычисления
площади S закрашенной на рисунке 1
фигуры.
A S — m n —х 2— ху. А
Рис. 1
14
Раскрыть скобки в выраже
нии:
1) З а + ( —2c+10fc).
2) 14х— (Зу + 62).
3) - ( 1 2 а 6 + &) +
-(- (4a + 8 d b ) - d .
4) 2 l x — (3y— ( 2 8 x y +z ) ) .
ЗАДАНИЕ
Записать формулу для вы
числения площади 3' закрашен
ной на рисунке 2 фигуры.
Рис. 2
Алгебраическая сумма состоит из числовых и алгебраических вы
ражений, соединенных знаком «плюс» или «минус». Поэтому выраже
ние, например, такого вида: а — Ь — мы можем назвать суммой
(алгебраической суммой), имея в виду, что а — Ь = а + ( — Ь).
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА J6 I
1. Найти значение числового выражения:
\ 3
1
ч о 2
|3
,
4 , 1 .
v
. лЗ
. п 1
а) Т “ Т ; б) 2ТТ— 17’ в) Т + Т 2 ' г> 10Т + 2Т 2. Вычислить:
а) 21,307-19,9375; б) 0,281-30,2, в) 21,762:3,1.
3. Вычислить:
1. Игра (для тренировки умения выполнять действия с разными знаками).
В игре участвует любое количество человек. Играть можно как на ули
це, так и дома. Если игра проходит на улице, то чертят на земле не
сколько окружностей и присваивают центральном)' кругу и каждому кольцу
определенное число: положительное, отрицательное или нуль, как, например,
на рисунке 3.
Все играющие набирают себе по одинаковом) количеству бит (камеш
ков). Первый по жребию бросает свои биты и и зависимости от попада16
ния в то или иное кольцо считает сумму набранных им очков (в нашем
случае это — 8-f- ( — 6 ) -2 + 3 + 9 = — 8 — 12 + 3 + 9 = — 8). Затем то же
проделывают другие игроки. Победит тот, кто не только наберет большее
количество очков, но и не ошибется при подсчете их количества.
Если играют дома, то чертят аналогичные круги циркулем на большом
листе бумаги. На этом же листе проводят прямую линию (рис. 4) и за
ней выстраивают фишки (ими могут служить, например, пуговицы, монеты,
ш аш ки), которые направляют в круги щелчками.
2. От 1 до 100. В квадрат размером 10X 10 клеток запишем натураль
ные числа от 1 до 100, как показано на рисунке 5.
7
2
3
4
5
б
7
8
9
10
11
12
13
/4
75
16
17
18
19
20
21
22
23
24 25
26
27
2В
29
30
31
32
33
J4
36
37
38
39
40
45
46
47 48 4 9
50
54 55
56
57 58
59
60
'47 42 4 3 4 4
J5
57 52
53
61
62
63
64
65
66
67 68
69
70
71
72
73
74
75
76
77 78
79
во
81
82
83
34
35
86
87 8 8 ' W -9 0
91
92
93
54
95
96
97
\А
Рис. 5
98
&
700
Белё ;р / > «
л '
17
Выберем внутри этого квадрата любой квадрат размером 2 X 2
пример, см. выделенный на рисунке 5 квадрат):
35 36
Будут ли обладать этим же свойством аналогичные суммы в любом
другом квадрате размером 2X 2 ?
Д Число, расположенное в левом верхнем углу любого квадрата 2X 2,
взятого из исходного квадрата 10X10, обозначим буквой п. Тогда нетрудно
видеть, что остальные числа этого квадрата выразятся через п следующим
образом: л + 1 , л + 10, « + 1 1 (рис. 6). Суммы чисел, расположенных в
противоположных углах такого квадрата, будут всегда одинаковы:
л + ( л + 11) = 2л + 11, ( я + 1 0 ) + ( п + 1 ) = 2 л + 1 1 . А.
ЗАДАНИЕ.
Рассмотрите теперь квадраты 3 X 3 , 4 X 4 и т. д. (рис. 5). Найдите
расположение групп чисел в этих квадратах, суммы которых будут одина
ковы (например, в любом квадрате 4 X 4 суммы чисел в заштрихованных
и в зеленых квадратах одинаковы) — (рис. 7). Докажите это и аналогичным
образом заштрихуйте другие группы чисел, обладающих таким же свой
ством
Рис. 7
18
3. Числа Фибоначчи.
З а д а ч а . Допустим, что в январе тебе подарили пару ново
рожденных кроликов. Через 2 месяца они рождают новую пару
кроликов. Каждая новая пара через 2 месяца после своего рожде
ния рождает новую пару. Старая пара кроликов рождает новую
пару уже каждый месяц (рис. 8). Сколько пар кроликов у тебя будет
в декабре?
Д Количество кроликов, имеющихся у тебя в январе, феврале......декабре,
образуют следующий ряд чисел
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144.
Эти числа обладают следующим свойством: каждое из них, начиная с
третьего, равно сумме двух предыдущих. Числа, полученные таким об
разом, называются числами Фибоначчи. Сложим все эти числа. Получим
результат: в декабре у тебя будет 376 кроликов.
1. Запишите еще два следующих члена предложенного выше ряда
Фибоначчи и найдите сумму чисел полученного ряда.
2. Если бы в качестве первых двух чисел мы взяли любые числа, а по19
следующие составляли бы по тому же правилу (сумма двух предыду
щих), то получили бы другой ряд чисел, также называемых числами
Фибоначчи.
Обозначив первые два числа буквами а и Ь, запишите 10 последо
вательных чисел Фибоначчи.
Подумайте, почему сумма первых 10 чисел Фибоначчи может быть
найдена умножением седьмого по порядку числа на 11.
§ 2. Степень с натуральным показателем
Степенью числа а с натуральным показателем п, боль
шим 1, называется произведение п множителей, каждый из
которых равен а:
а " = а -а -...-а.
п раз
Ск'пенью числа а с показателем I называется само число а:
а '= а .
показатель степени
основание степени
СТЕПЕНЬ
При нахождении значения выражения сначала выполняются дей
ствия возведения в степень, затем — все остальные действия в извест
ном порядке.
ПРИМЕРЫ
1) Основание степени 53 равно 5, по
казатель этой степени равен 3.
ЗАДАНИЯ
1) Назвать основание и по
казатель степени:
6,312; О2; ( —| ) 3; х'°.
Возведем в степень произведение:
1) (35)6 = 36У .
2) ( х У ) 4= (jc2) 4- У ) 4= У 4• у 3'4=
V2 /
3) Представить числа 9, 81,
243 в виде степени с основанием 3.
ЗАДАНИЯ
Возвести в степень произведение:
и (5 а )-.
/1 „ \ 4
2) ( т * )■
3) ( - 2 х У ) 6.
Записать произведение в ви
де степени:
1) З3дг3.
о\ 1 1,2
г) т й ■
3) 8а У 2.
4) & « “■
Вычислить:
1) ( т ) - 9
2)
3)
( т ) 3- 43-
( 4 ) 8-2-58
Чтобы возвести дробь в степень, нужно в эту
степень возвести числитель и знаменатель дроби.
ПРИМЕРЫ
3 АД Л Н И Я
Возведем в степень дробь:
т )
' V
21 (
'
'
152 V -
(l5i)<
b) 3 /
((а-/,) 100 ю! ' ' ' •
2)
^
=
^
Возвести в степень дробь:
и (4 )‘
31 ( ? ) ’
=
( ^
/ 2 \3 / 5 \5
\ 5 ) ' V2 )
1) Л .
’ з2
4)
^
5) (12*)' ‘
) 3= ( - ± ) 3
J 2 * ) ^ / 2 x \ 5 /_r У
1 т ъ W /
Вычислим:
Записать дробь в виде сте
пени:
\з у ) ■
25 ■
(26)4
(4а)'
3> i r
Вычислить:
23 5s
53 *25
1 52
Cj/r o f
I
_52 __ 2 5 __ ,. 1
г>2
Л
^ ,1
'
2-
"Вот вам три таблетки — сказал доктор, — прини
майте их через каждые полчаса". На какое время
хватит прописанных доктором таблеток?
ПРИМЕР
Определим, как изменится площадь
квадрата, если его сторона увеличится:
1) в 2 раза; 2) в 5 раз; 3) в п раз.
Д 1) Пусть длина стороны квадрата х см,
тогда его площадь равна:
S , = * 4.
ЗАДАНИЯ
1) Как изменится площадь
квадрата, если его сторону уве
личить в 3 раза? уменьшить
в 2 раза?
25
После увеличения стороны квадрата в
2 раза его длина станет 2х см, площадь
нового квадрата будет:
2) Как изменится объем куба, если его ребро увеличить
в 2 раза; в 3 раза; в п раз?
S 2 — (2 х ) 2 = 2 2х 2 = 4 х 2.
После увеличения стороны квадрата в
2 раза его площадь увеличится в 4 раза:
2) Если сторону квадрата увеличить
в 5 раз, то длина стороны станет 5л: см и
S , __(5лс)2 ___52*а __ _2
S,
х2
л-2
0'
3 ) Е сли сто р о н у к в а д р а та
в п р а з, то
S,
S,
(пх) 1
х2
ув е л и чи ть
„У ,
х2
Таким образом, при увеличении стороны
квадрата в п раз его площадь увеличи
вается в п2 раз.
2. Найти значение выражения:
а) ( —4) • ( —4)3; б) 12,s: 1213; в) (23)2.
3. Возвести в степень:
а) (2afcV )2; б)
4. Записать выражение в виде степени и найти значение’ полученного
выражения:
а) 0,253-43; б) ( 2 i - ) 2- ( ^ ) 2; в) f
5. Вычислить значение выражения
26
1. Задача. Какая цифра будет
числа 1989 в степень 1989?
. i . А Проследим, какой цифрой будет
возведении в натуральные степени
будут те же, что и при возведении числа 9
последней после возведения
оканчиваться число 1989 при
(очевидно, последние цифры
в соответствующие степени):
1 9 8 9 '= 1989;
19892= .. .1;
19893= .. .9;
19894= . .. 1;
Видим, что при возведении в натуральную степень числа, оканчивающегося
цифрой 9, результат будет оканчиваться цифрой 9 при возведении в не
четную степень и цифрой 1— при возведении в четную степень. (Напом
ним, четное число — это число, делящееся нацело на 2, т. е. число вида 2л,
где л — целое число; нечетное число — это число, не делящееся нацело
на 2, т. е. число вида 2 л + 1 . где л — целое число.)
27
Таким образом, число 1989|,8!> будет оканчиваться цифрой 9. Д
Очевидно, что числа, оканчивающиеся цифрой 0, 1,5, б, после возведения
в натуральную степень дадут число, оканчивающееся., той же цифрой.
З
А
Д
А
Н
И
Е
.
Попробуйте найти способ нахождения последней цифры числа, полу
чаемого после возведения в натуральную степень целого числа, оканчиваю
щегося цифрой 2, 3, 4, 7, 8.
2. Почти фокус. Попросите своих близких задумать двузнач
ное число, возвести его в третью степень и написать на бумажке
результат вычислений. Взглянув на результат, вы почти момен
тально сообщите, какое число было задумано.
Например, вам показывают число 103823. Через секунду вы можете ска
зать, что было задумано число 47.
t
Как узнать задуманное число?
Д Прежде всего нужно выписать и запомнить
от 1 до 10:
13= 1; 23= 8 ; З3= 2 7 ; 43= 6 4 ; 53= 125;
63= 216; 73= 343; 83= 512; 93= 7 2 9 ; 103= 1000.
кубы
чисел
Замечаем, что все кубы этих чисел оканчиваются разными, цифрами. При
этом кубы чисел 1, 4, 5, 6, 9, 10 оканчиваются той же цифрой, что и возводи
мое в степень число. У кубов чисел 2, 3, 7, 8 последняя цифра равна
разности десяти и числа, которое возводилось в куб. Например, 73= 343;
последняя цифра 3 может быть получена как 10 — 7.
Таким образом, когда вам сообщили число 103823, вы сразу можете
определить последнюю цифру задуманного двузначного числа — это
цифра 7.
Для того чтобы определить первую цифру задуманного числа, посту
пают следующим образом. Отбрасывают последние 3 цифры у сообщен
ного вам числа и рассматривают оставшееся число (в нашем случае
это 103). Далее определяют, между кубами каких чисел оно находится
(в нашем случае между 4 и 5). Меньшее из этих двух чисел даст первую
цифру задуманного двузначного числа. Значит, в нашем случае было
задумано число 47. ±
3. Историческая задача. Когда индийский царь Шерам узнал об удиви
тельной игре в шахматы, он приказал позвать к себе ее изобретателя —
ученого Сету.
Царь пообещал наградить бедного ученого, чем тот сам пожелает.
Сета попросил в награду за свое изобретение столько пшеничных зерен,
сколько получится, если на первую клетку шахматной доски положить одно
28
зерно, на вторую — в 2 раза больше, т. е. 2 зерна, на третью — еще в 2 раза
больше, т. е. 4 (22), на четвертую — еще в 2 раза больше, т. е. 8 . ( 2 3)
зерен, и т. д. до 64-й клетки.
■*3
; J
1
Царь подивился такой скромности ученого и велел слугам принести Сете мешок требуемой пшеницы. Слуги ушли, но... выполнить просьбу Сеты они не смогли. Почему же?
Д Подсчитаем, сколько всего зерен должны были выдать Сете в награду
за изобретение шахмат. Н уж но найти сумму:
М ож но непосредственно найти значение суммы. Но это займет очень много
времени. А можно попробовать оценить величину этой суммы, сравнив
ее с каким-нибудь числом. Очевидно, что сумма S больше, чем каждое
из слагаемых, ее составляющих. Вот и давайте считать, что 5 больше
последнего слагаемого 263, и найдем значение 263:
263= 260 • 23= (2 1° ) 6 • 8 = 10246• 8 = ( 10242) 3 • 8 = ( 1048576) 3• 8 =
= 9 223 372 036 854 775 808.
Но может быть, такое количество зерен действительно уместится в меш
ке (ведь зерно очень маленькое по размеру)?
Известно, что куб, ребро которого равно I м (так называемый куби
ческий метр), вмещает около 15 млн. зерен пшеницы.
Теперь подсчитайте, сколько таких кубических метров, заполненных
зернами, нужно поставить друг на друга, чтобы в них поместилось требуе29
мое количество зерен. Какова будет высота такой «башни»? (Для сравне
ния скажем, что среднее расстояние от Земли до Солнца равно
150 000 000 км.)
§ 3. Одночлены и многочлены
Выражение, являющееся произведением чисел, букв и их натураль
ных степеней, называется одночленом.
ПР ИМЕР
З АДАНИЯ
В одночлене —3a(2a2i W 2) выпол
ним действия умножения так, чтобы чис
ловой множитель и каждая буква в его
записи встречались только один раз. Для
этого воспользуемся переместительным и
.сочетательным законами умножения:
— 3a-2a2ftV ft'2= ( - 3 - 2 ) (a -a 2)(64-612) X
Х
с
2 =
—
6 a
W
.
Записать одночлен в стан
дартном виде:
1) 2хул3.
2) - 5 г т / у Д | 6.
3) 0,8ab7c3ab7.
4) — l,2u'V 0,4u3.
Такой вид одночлена называется стан
дартным видом одночлена. Числовой мно
житель одночлена называется коэффи
циентом одночлена.
Подумайте, почему именно такой вид
одночлена называется стандартным ви
дом.
Сообщим в качестве подсказки, что
слово «стандарт» произошло от англий
ского слова standard — норма, образец,
принимаемый за исходное для сопостав
ления с ним других подобных объектов.
ПРИМЕРЫ
Г
З А Д А Н ИЯ
1) Умножим одночлен 2ух25у4г на од
ночлен —4/ г 13:
1) Выполнить действие ум
ножения и результат записать
в стандартном виде:
A ( 2 - i x V z ) • ( - 4 / 2 13) = ( 2 ~ ( - 4 ) ) X
Х х а = ~ -х "у а3.
4) Найдем значение полученного в при
мере 3 одночлена при лс=1; у = 5; а = 3:
Д
! " - 5 а-33= у - 125-27 = 25-27 =
4) Найти числовое значение
полученного в задании 3 одно
члена при a = — I; й = |.
= 675. А
Степенью одночлена называется сумма показателей степеней вхо
дящих в него букв.
ПРИМЕР
Степень одночлена 4 -Л /3 равна 5
(2 + 3 = 5);
J
степень одночлена —0,5ай6с '2 равна
19 ( 1 + 6 + 1 2 = 1 9 ) .
ЗАДАНИЕ
Определить степень одно
члена:
2лг2у 5\ 7ху\ —4 -xy7za; 0,01.Л /г .
Многочленом называется сумма одночленов.
Одночлены, из которых состоит многочлен, называются членами
многочлена.
Например:
,дЛ член
частные случаи многочленов
За + а — Ь с — трехчлен |
31
Члены многочлена, имеющие одинаковую буквенную часть, назы
ваются подобными членами.
Замена суммы подобных членов одним одночленом называется
приведением подобных членов.
Чтобы привести подобные члены, нужно сложить их коэффициен
ты, оставив без изменения буквенную часть.
Примеры приведения подобных членов.
( Q
и
Д —обозначение буквенной части одночлена )
1) 5 0 + 2 р = 7 р
2) 4 Р —З Д - Р + 7 Л = (4-1) □ + (- 3 + 7 ) А = З р + 4 Л
3) tin + ab — 'ib —u + ЪЬ —2иЬ — ( 6— I )а + ( 1 —2 )all + ( — 3 + 5) b =
= 5 а — аТГ+2 Ь.
ПРИМЕРЫ
Приведем подобные члены в много
члене:
12а2+ 3 - 6 6 - 2 , 5 а 2+ 4 6 - 5 =
= (12 —2,5) а 2+ ( — 6 + 4 ) 6 + (3 — 5) =
= 9,5а2- 2 6 - 2 .
ЗАДАНИЯ
Привести подобные члены
в многочлене:
1) 45а— 126— 16а,
2) 14л:3- 5 - у 2- 8 г * - у 2- 9 .
После приведения подобных членов многочлен имеет стандартный
вид.
Приведем к стандартному виду много
член:
Записать в стандартном ви
де многочлен:
Ъху2+ 4 + — 7х2у —6 + + l x 1у — Тху2=
= ( 5 - W + ( 4 - l ) * 3+ (7 — 7)? и
= — 2ху2— 2дс + Ох2у = — 2ху 2— 2лс3.
Определить степень много
члена:
1) 2а*2- Ц - Л г в+ 0,1*15.
2) 1 8 + ^ 5y - 2 3 x y 5+ l i - ^ V .
равна 10, так как 10— наибольшая из
степеней одночленов, входящих в данный
многочлен.
В колесе 10 спиц. Сколько промежутков между спицами?
ПРИМЕРЫ
1) Найдем сумму многочленов:
(4а2+ 4иЬ + й2) + ( - 2 f t 2+ 3 a f t- 7 a 2) =
= 4о2+ 4мй + ft’2—2й2+ Зой —7ог =
ЗАДАНИЯ
1) Найти сумму многочле
нов:
9.v2—6 х ч + у 2 и
— 9.V2—блгуЧ- 2i/2.
= - З а 2+ 7 а * - * 2.
2) Найдем разность многочленов:
( 1y d 3— cd'2+ 0,5с) - (2 ,5 c -2 c d 2+
+ 0,5d3- 3) = 1yd3—cd'2+ 0 ,5 c —2,5c +
2) Найти разность много
членов:
16а‘ —8а2й + й2 и
8а' — 26 —4а2*.
+ 2cd2— 0,5d3+ 3 = d 3 +■cd2— 2,5c + 3.
2 Зак 3570 М. В Ткачёва
33
3) Представим многочлен
бду — 3.v2+ 2.vy2— 4
3) Представить многочлен
34 а'Ь + За — 19аЬг + Ьг
?+>
в виде суммы, а затем — в виде разности
каких-нибудь двух многочленов:
6ху — Зх2 + 2 ху2— 4 = (6ху) +
( —Зх2+ 2ху2 —4),
у — Зх2 + 2ху2 — 4 = (бху — 3.V2) —
— ( — 2ху2+ 4). А
4) Представим в виде суммы двух дву
членов трехчлен ,v2 — 3x2y-j-y3:
Л ,г — Зх2у + у3= х2— (2х2у + х2у) + у3=
= л-2— 2х2у —х2у -|- у3=
= ( ^ - 2 ? у ) + (у3- х 2у) А
в виде суммы, а затем — в ви
де разности любых двух много
членов.
4^ Представить трехчлен
Ъа*Ь~ — 2ab — b* в виде разно
сти двух двучленов; в виде сум
мы трех двучленов.
Как из пяти кусков цепи по 3 звена
в каждом собрать цепь из пятнадцати
звеньев, сделав только 3 распила?
Чтобы умножить многочлен на одночлен, нужно каждый член мно
гочлена умножить на этот одночлен и полученные произведения
сложить:
) = a - o . + D- A + D - Q
ЗАДАНИЯ
1) Записать произведение
1) Найдем произведение многочлена и,
в виде многочлена в стандарт
одночлена:
ном виде:
2а(Ь — За2+ 2а6) =
1) — Зх (2ху2— 8у + 15л'2у).
= 2а •Ь — 2а • За2-)- 2а •2аЬ =
= 2аЬ — 6а3-(-4а2й.
2) (Jj-ab2c — 2a7b — 0,\bc3')-ab.
2) Найдем
значение
(5х — Зу) -4х2— бх2 (4 х + у )
у = —27:
34
выражения
при * = 4 ;
2) Найти значение выраже
ния 12х(х —у) — 8у(у—х) при
* = 0 ,5 ; у = 2.
Д(5 а —Зу) -4 а2—5.г '(4 а + //) =
= 2 f tr f — 12(/а2—.SW*'—5.Л/ = — 17a2!/,
- 17' ( т У ' ( - 2 7 ) = - 1 7 - - ( - 2 7 ) =
= 1 ^ = 51. A
Вынесение общего множителя за скобки осуществляется на осно
вании распределительного закона:
ас-\-Ьс= (а + Ь)с.
Разложим многочлен на множители с
помощью вынесения общего множителя
^а скобки:
1) 2а£> + 3йс = й(2а + 3с).
2) 8а' —6*2= 2а • 4 + 2а • ( —За) =
= 2а (4 —За).
3) 4а2— 12а5= (4а2) -(1) + (4а2) X
Х.( —За3) = 4 а 2- (1 —За3).
Разложить
многочлен:
1) Ау —5аг .
2) 12а2+ 8,
на. множители
3) За 3- 1 2 а 5.
4) —4ай2+ 20а2й.
5) их2— 2 ua+ 3 aj.
6) —8aV + 6аV — 16аУ ,
7) 3 2 / V - 2 4 A / - 6 0 / V .
8) - 1 2 а |2й2У> + 72а,0й22с|5 +
+ 48а15й|в.
Можно заметить, что одночлены 4а2 и
— 12а5 имеют и другие общие множите
ли, например, —а, т. е. можно записать
4а2- 1 2 а 5= - а - ( - 4 а ) - а - (12а4) =
чЬ»"'
= —а ( —4а + 12а4) = —а( 12а4—-4а).
Правила вынесения одночлена за скобки
1. Обычно за скобки выносят одночлен (со знаком «плюс» или
«минус»), коэффициент которого равен наибольшему общему делителю
всех коэффициентов одночленов.
2. " Из буквенных множителей выносятся за скобки те, которые
имеются во всех членах, причем в наименьшей из встречающихся
степеней.
3. В скобках от каждого слагаемого остается одночлен, который при
умножении на вынесенный за скобки множитель дает исходный член.
2-
35
л-у
4) 8 х У - 12
- 18х3у ъг2= 2 • 4л:3• л- X
X у3 ■У — 2 • 6л3 •ху3— 2 ■9х3у 3у 2г2 =
= 2л 'У (4ху — 6л- — 9 y V ).
Убедимся в правильности выполненных
действий:
2х3у 3( 4 х у - 6 х - 9 у 2г2) =
= (2 л У ) (Аху) + (2л-У) ( —6л-) +
+ (2 л У ) ( - 9 угг г) = 8 л - У - 1 2 л У — 1 8 л У г2.
Такую проверку делать необязательно.
Однако, если сомневаетесь в верности ре
зультата, проверьте (устно или письмен
но) .
Попробуйте записать каждое натуральное число
от 1 до 9 с помощью только четырех "четверок",
знаков арифметических действий и скобок. Например:
1= (4:4):(4:4),2 = 4:4 + 4:4.
Чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно умножить каж
дый член одного многочлена на каждый член другого многочлена и
полученные произведения сложить:
(□ + о)('А+0 + Е\) = п л + а 0 + п ^ +
+ОЛ+о0+О£\
ПРИМЕРЫ
1)
Выполним умножение многочленов:
( 3 a - 2 l £ ) ( - 4 a 2j j 3) =
= (За) ( - 4 ? Г И З а) ■(ft3) +
+ ( - 2 f t ; ) - ( - 4 а2) + ( - 2 ft2) - (ft3) =
= - 22а3+ 3aft3+ 862а 2- 2 ft3.
зв
З А Д А Н ИЯ
Записать произведение в
форме многочлена в стандарт
ном виде:
1) ( х - 3 ) ( у + 2).
2) ( 2 ^ + 1 ) ( 3 - 4 у).
3) (а —5) (13—а ) .
= 12u5- 2a36 + 12 a V - 2 a V - 6a362+
+ a63— 6a264+ 65.
Некоторые многочлены можно разложить на множители способом
группировки.
ПРИМЕРЫ
1) Разложим многочлен
ab — За + 26 —6
II + >
на множители, объединив отдельные чле
ны в группы и вынося общие множители
за скобки (способом группировки):
об — За + 26 —6 = ( а б - З а ) +
(26 — 6) =
а ( 6 - 3 ) + 2 ( 6 — 3) = ( 6 - 3 ) (а + 2). А
2) Разложим на множители способом
группировки многочлен А / 2+ х у — у3—.т3:
Д (способ.
. (Гу'2+ х у —у3—л:3= ( Л 2—у3) +
+ Ц У Т * 3'! = У 2(х2—У) + х (У— х *) ■
= y V - y ) - . v ( . v 2- y ) =
= ^ - у ) (у2—х).
Машина имеет пять колес (одно запасное).
Чтобы покрышки снашивались
равномерно, водитель периодически
меняет колеса местами так, как показано на
схеме. Через 30 000 км оказалось, что
все колеса сносились одинаково. Сколько
километров "прошло" каждое колесо?
1. Записать произведение в форме одночлена в стандартном виде:
а) (2а й + 2) - ( - ^ а 26с5);
38
б) (Зху2) 3-(±-х2у У . '
2. Выполнить действия и результат записать в форме многочлена
стандартном виде (привести подобные члены);
а) {О,bed2 — 3c2d + 14-е/)
( I ,bc2d — 0,8а/2 -j- 1,5d) ;
б) 4 a ( a — 5b)\
г) (З а- 7 ) (8 — 2а ):
е) (а — Ь) (За — 5 6 -f-8).
в) (.т3— 17p).v5;
( — б х у + у ) (3.V — by2)-.
Д)
3. Разложить на множители многочлен:
a) 2ac + cb + 2ad + bd\
1. а) (2ай3с2)
б) 4ху + 2х2- 6 у - 3 х .
=
=
= - ^ а |+2й3+|с2+5= - i - a W ;
б) (Зху2) 3-( у А "у ) 2= 2 7 ^ 64 ^ У = 3 * У .
2. а) (0,5crf2- 3 c 2rf +
1
4- d\ - ( l,5c2rf-0 ,8 crf2+ 1.5cf) = 0 ,5 a j2- 3 r ( . ' +
l.5c2rf + 0.8crf2—X ,b tf= \ ,3 cd 2— 4.5c2rf;
б) 4a(a — 5Й) = 4 a - a — 4 а - 5 й = 4 а 2—20ай;
в) (x3— \7y)xb= x * — \7x5y,
r) ( 3 a - 7 ) ' ( 8 - 2 a ) = 3 a - 8 + 3 a - ( - 2 a ) + ( - 7 ) - 8 + ( - 7 ) . ( —2a) =
= 24a - 6a2- 56 + 14a = 38a - 6a2- 56;
д) ( — 6xy-\-y) (3x — 5i/2) = — 13x2y -(- ЗО.су3( - Зху — 5p3;
е) (a — b) (3a — 56 + 8) = 3аг - 5 а й + 8 а - 3 а й + 5й2- 8 й = 3 а 2- 8 а й +
+ 8а + 5й2- 8 й .
3. a) 2ac + cb + 2ad + b d = ( 2 a c + cb) + ( 2 a d + b d ) = c - ( 2 a + b) +
+ d - ( 2 a ± b ) = (2a + b ) ( c + d)-,
6) 4xy + 2x2— 6y — 3x — (4xy + 2x2) + ( — 6y — 3x) = 2 x ( 2 y + x) —
-3 (2 y + x ) = (2 y + x )(2 x -3 ).
ЗАНИМАТЕЛЬНЫЕ СТРАНИЦЫ
1. Делимость суммы чисел. Докажем, что сумма трех последовательных
целых чисел делится на 3.
Д Если первое число обозначить буквой п, то два следующих за ним на
туральных числа будут равны л + 1 и л + 2. Их сумма л + ( л + 1 ) + (л + 2) =
= 3« + 3 = 3- (я + 1). Число 3 - ( « + 1 ) делится на 3, так как 3 - (/; -f- 1) —
произведение двух множителей, один из которых равен 3. Д
39
В
З А Д А Н И Е 1.
Докажите, что:
1) Сумма пяти последовательных натуральных чисел делится на 5.
2$ Сумма трех последовательных четных чисел делится на 6.
З А Д А Н И Е 2.
Выясните, на какое число делится сумма трех последовательных не
четных чисел.
2. Сумма разрядных слагаемых. Если некоторое число записано бук
вами, например буквами a, b,-c, d, то, чтобы не спутать запись числа
с произведением a -b-c-d, принято обозначение abed. ___
Д окаж ем, что если а-\-Ь делится на 7, то число aba делится на 7.
Д Число aba представим в виде суммы разрядных слагаемых: aba =
= 1(ГОа+106 + а или a b a = 1-01а + 106. ( + )
Так как по условию задачи а + 6 делится на 7, то а-\-Ь = 7п, где
п — натуральное число, откуда Ь — 7п —а.
В равенство ( + ) вместо b подставим его выражение (7п — а):
a b a = \ Q \ a + \ 0 { 7 n — а) = 101« + 70л — 10а = 91а + 70/г = 7 -(1 3 а + Ю л ),
а такое число, очевидно, делится на 7. ^
ЗАДАНИЕ
Попробуйте аналогичным образом доказать, что число baa делится
на 7, если сумма его цифр (6 + 2а) делится на 7.
3. Задумай число. Попросите своего товарища задумать какоенибудь трехзначное число. Пусть он найдет сумму цифр этого
числа и отнимет ее от задуманного числа. После этого попросите
в полученной разности зачеркнуть любую одну цифру и сообщить
вам две оставшиеся. Теперь вы сразу можете назвать зачеркнутую, цифр
___ j __
Секрет ответа таков.
Д Пусть задумано число abc: а 6 с = 100а+106 + с.
Сумма цифр задуманного числа равна а -4-6 + с. Отнимем от задуман
ного числа сумму его цифр:
100а+ 106 + с — (а + 6 + с) = 99а + 96 = 9(11а + 6).
Число 9(11а + 6) делится на 9, значит, при вычитании из задуман
ного числа суммы его цифр всегда получится число, делящееся нацело
на 9.
После того как названы две оставшиеся после зачеркивания цифры,
вы их суммируете и подыскиваете такое число, какое нужно сложить с по
лученной суммой, чтобы получить ближайше? делящееся на 9 число. Это
@
40
число и определит зачеркнутую цифру. (Напомним признак делимости на 9:
если сумма цифр числа делится на 9, то и само число делится на 9.)
Например, пусть задумано число 589: 589— (5 -(-8 -(-9 ) = 5 8 9 — 22 = 567.
Зачеркнем цифру 6 Останутся 5 и 7. Сумма 5 - (-7 = 1 2 . До ближайшего
числа, делящегося на 9 (до 18), не хватает шести. Как видно, это число
и определяет зачеркнутую цифру. В том случае, когда после суммирования
двух оставшихся цифр получается число, делящееся на 9, была зачеркнута
либо, цифра 0, либо цифра 9. Д
ЗАДА НИВ
М о ж но ли продемонстрировать аналогичный «фокус» с другими много
значными (четырехзначными, пятизначными и т. д.) числами?
§ 4. Формулы сокращенного умножения
( Ъ + Д ) ( а - Д ) = Ш 2- Д 2
(a + b ) ( a - b ) = a 2 - b 2
ЗАДАНИЯ
ПРИМЕРЫ
Представим произведение в виде мно
гочлена:
Представить произведение в
виде многочлена:
•) ( 0 - Д ) ( 0 + Д ) =
1)
2)
3)
4)
=02
-Д =
а2- 4 .
2) (Зл: — и) ( З х + у ) = (Злг)2 — у 2=
=
= Q
9/с2— уп 2
2.
(л г-4 )(д г + 4).
(5 — 2а) (5 + 2а).
(Зх + 2 у ) { З х - 2 у )
(а -8 Ь )(8 Ь + а ).
Для вычисления квадрата числа, близ
кого к 1, в практических вычислениях
пользуются формулой
( 1+ сх)2« 1+ 2 «
Пользуясь формулой
( 1± а ) 2« 1+2сх,
найти приближенное значение
квадрата числа:
1) 1.02 .
2) 0,97.
3) 1,004.
4) 0,998.
(отбросив значение квадрата числа а, ко
торое мало по сравнению с 1):
1) 1Д12= ( 1 + 0 , 0 1 ) 2« 1 + 2 - 0 , 0 1 =
= 1 + 0,02=1,02.
2) 0,9972= ( 1 — 0.003) 2 5» 1—2 -0.003 =
= 1 - 0,006 = 0,994.
□ 2 ± 2-п -д +
д 2=
(
п
±
д
)2
а г + 2а Ь + Ь 2 = (а-1-Ь)2
а 2 — 2аЬ + Ьг = ( а —Ь)2
П РИ М ЕРЫ
ЗАДАНИЯ
Представим выражение в виде квадра
та одночлена:
1) 4аа= ( 2 а ) 2.
2) дг'° = (л:5) 2.
Представить выражение в
виде квадрата одночлена:
3>^ Ч т " 3"14)2-
4) 0,25а46б. 5) 0.0001Л /12.
6) g f a W .
1) 9л-2. 2) а 12. 3) | * У .
ПРИМЕРЫ
Представим одночлен в виде удвоен
ного произведения:
1) 6ab = 2-3ab.
2) - j x 3y = 2 ~ ^ x 3y.
44
ЗАДАНИЯ
Представить одночлен в ви
де удвоенного произведения:
1) I Оху. 2) 2Ьа2Ь.
3) -jab2. 4)
ПР ИМЕ Р Ы
ЗАДАН ИЯ
Представим трехчлен в виде квадрата
Представить трехчлен в вцде
двучлена:
квадрата двучлена:
J) хг — 2 х у + у 2= { х — у ) :г.
1) хг+ 2 х у + у ‘.
2) /пг + 6 т 4 - 9 = Й « + 2[йГ|- А -t- / к <
~= 2) т2— 2тп + пг.
3) а~ — 4а-\-4.
ПРИМЕР
Найдем значение выражения
(а + 2) (а2—2а + 4) — а(а — 3) (а+-,3)
при а = —3:
Д (а + 2) (а2—2а + 4) — а ( а — 3) X
X (а + 3) = (а34+ 23) - а ( а 2- З 2) =
= а ‘ + 8 —а3+ 9 а = 8 + 9а,
8+ 9 - ( - 3 ) = 8 - 2 7 = - 1 9 . А
Найти значение выражения
1) ( j r + l ) ( j r - * + l ) —х ( х — I ) (.V+ 1)
при х = 12. 2) ( 2 a - b ) (4а2+2аЬ + Ь-) +
+ (2a + b) (4а2—2ab + й2)
при а — 7.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА !* ‘I
1. Записать в форме многочлена в стандартном виде;
а) (3 х) ( З + а);
б) (а + 5)2;
в) (4х — у2) 2.
2. Разложить-на множители:
а) а~ — с1",
б) г 2— 16у6.
3. Представить в виде квадрата двучлена:
^а) jr2= 2.n /+ y 2;
б) 4а2+ I2ab + 9b'2.
4. Разложить на множители:
а) + + у 3;
б) + 6- 1 .
47
5. Найти значение выражения:
(a — ft) (а'2+ аЬ + 62) — а (а — й) (а + 6) при а = 3, й = — 2.
Р е ш е н и е (возможный вариант, оформления)
1. а)
б)
в)
2. а)
б)
3. а)
б)
4. а)
( 3 —х) ( З + х ) = 3 2—д^==9—х2:
(a + 5)2= d24 - 2 - a - 5 + 52= a 2+ 10a + 25;
(4Л-—у2) 2== (4а ) 2— 2 - (4.v)-t/2+ (у2) 2= 16л-2— 8ху2+ у '.
а'-’— сг = (а —г) (а + с ) ;
л-2- 16у6= х2- ( V ) 2= ( х - V ) ( x + V ) .
х2 —2ху + у = (х —у ) 2;
4а2+ 1 2 а й + 9й2= ( 2 а ) 2+ 2 - 2 а - З й + ( З й ) 2= ( 2 а + Зй)2.
х3+ ) Т + Т Г ^ 8 I ' 15
(умножаем обе части уравнения на 15):
5л + Зл = 120, 8л = 120, л = 120:8, л = 1 5 .
2) 6jr + ^ — |)2b 5с^ ^ , | -24.
» у + т = 149\
3r -6+ x
Z) 5 ~ 3 '
0ч 4л: —51
^
3
17 — З х __3 —х
4
~
2
•
(умножаем обе части уравнения на 24):
51
24* + 28 = 24— 15л-+9,
24.v + 15.v = 24 + 9 — 28,
3.r —7
4
Чдг+ l l
8
3 —х
2
39,v = 5, , = ^ .
ЗАДАНИЕ
ПРИМЕР
Найдем
(рис. 10):
д
неизвестный размер детали
150 + .1-==875. .V= 875— 150. ,v= 725
А
ПРИМЕРЫ
Решим следующие задачи:
1) Знайка задумал число. Если это число
умножить на 4, а к произведению приба
вить 8 и полученную сумму разделить
на 2, то получится 14. Какое число за
думал Знайка?
Д х — число, задуманное Знайкой:
14, 4.v + 8 = 28,
4* = 28 — 8, 4л: = 20, х — 5. А
52
Найти неизвестный размер
детали (рис. II, 12).
ЗАДАНИЯ
Решить задачи:
1) Незнайка задумал число и
отнял от него 3, затем разде
лил результат на 2 и к полу
ченному частному прибавил 6.
В результате получилось заду
манное число. Какое число за
думал Незнайка?
2) По всей границе прямо
угольного участка вырыли ка
наву. Ширина участка 150 м.
Длина канавы 1 км. Найти дли
ну участка.
3) Лодка шла по течению ре
ки 3 ч и против течения 5 ч.
Путь, пройденный лодкой по те
чению, оказался на 7 км длин-
(^путь '^=(скорость^*0$ремя'^
Скорость течения
□=£>
Зкм/ч
2) Лодка шла по течению реки 2 ч, за
тем — против течения 4 ч. Найти ско
рость лодки в стоячей воде, если она
прошла в общей сложности 48 км, а ско
рость течения реки равна 3 км/ч.
Л а' км/ч — скорость лодки в'стоячей во
де,
(х + З) км/ч — скорость лодки по тече
нию,
(.V—3) км/ч — скорость лодки против те
чения:
2(х + 3 ) + 4 ( х - 3 ) = 4 8 ,
2х + 6 + 4 х - 12 = 48.
нее пути, пройденного против
течения Найти скорость лодки
в стоячей воде, если скорость
течения реки 4 км/ч.
4) Я задумал число, прибавил
К нему 5, результат умножил
на 3. после чего получил число
в 2 раза больше задуманного.
Какое число я задумал?
2дг+ 4л-= 48 — 6 + 1 2 ,
6х=54,
а=
9 (км/ч). А
Масса рыбы 8 кг плюс половина ее
собственной массы. Какова масса рыбы?
53
КОНТРОЛЬНАЯ РАВОТА № 5
1. Выяснить, какое из чисел
ния I —, т = —2,5.
2. Решить уравнение:
—2; 0; 3,5 является корнем уравне
а) х —2 3 = — 17; б) За:— 18 = 0; в) - | х = 0 ;
г) 7аг— I = 5 ; д) 13(/ + 3 = 3(/— 17; е) 4 (.v — 2) —3(4 + jr) —2(.v —3) = — 19.
3. Одна сторона треугольника в 2 раза больше другой, а третья —
на 4 см меньше большей из них. Найти стороны треугольника, если его
периметр равен 21 см.
Р е ш е н и е (возможный вариант оформления)
1 1— ( — 2) ф —2,5; 1 - 0 ^ = - 2 , 5 : 1 - 3 , 5 = - 2 , 5 .
О т в е т . Число 3,5 является корнем уравнения 1 —х = —2,5.
2. а) .V—2 3 = - 1 7 , х = — 17 + 23, т = 6:
б) Зх — 1 8 = 0 , Зх=^18, х = 1 8 : 3 , х = 6;
в) -|-х = 0, а = 0:-|-, х = 0;
г) 7а — 1 = 5 , 7а = 5 + 1 , 7а = 6, х = у ;
д) 13(/ + 3 = 3(/— 17, 13(/ — 3 у = — 17 —3, 1 0 ( / = - 2 0 , у = - 2 ;
е) 4( а - 2 ) —3 ( 4 + а ) —2( а —3) = - 1 9 ,
4а — 8 - 12 — За —2х + 6 = — 19, 4а — За —2а = — 19 + 8 + 1 2 — 6,
—х = —5, х = —5: ( — 1), х = 5.
3. х с м — одна сторона треугольника;
2х см — вторая сторона треугольника;
(2 х —4) с м — третья сторона треугольника.
х-\-2х-\- (2х —4) =:21,
* + 2х + 2х — 4 = 21, 5jc=21 -f-4, 5а' = 25,
х = Ъ (см), 2 - 5 = 1 0 (см), 10 — 4 = 6 (см).
О т в е т . 5 см, 10 см, 6 см.
1
'
.
ЗАНИМАТЕЛЬНЫЕ СТРАНИЦЫ
1. Числовые ребусы.
В предложенных ниже числовых ребусах нужно вместо точек поста
вить цифры так, чтобы получился верный числовой пример. Фактически
решение числового ребуса сводится к решению своеобразно увязанной
группы уравнений.
54
Решим сначала следующий ребус:
+
7.8
. 041
Д Сложение «столбиком» начинается с последнего разряда (разряда еди
ниц) :
1
Очевидно, вместо точки может быть поставлена только цифра 3, так как
8 + 3 = 1 1 . После сложения единиц в разряд десятков переносится цифра I
(«один в уме»).
Складываем десятки:
К какому однозначному числу нужно прибавить 4 и прибавить 1
(перенесенную из разряда единиц), чтобы получилось либо число 4,
либо 14? Очевидно, число4 получить от сложения х + 4 + 1 не удаст
ся. Значит, нужно решить уравнение * + 4 + 1 = 14, откуда х — 9
(единица перейдет в разряд сотен).
Переходим к сложению сотен:
0
Решаем уравнение 7 + х + 1 = 10 (единица добавлена из разряда сотен).
В разряде тысяч может стоять только цифра 1, откуда х = 2 .
Таким образом, предложенный пример сложения выглядит так:
, 798
+ 243. Д
1041
Решите (расшифруйте) самостоятельно следующие числовые ребусы:
1)
~
.0 .
Л
754
2)
'■
6)
, 2.64
+ 1.3 .
.718.
, ..
+ 5
7771
х 2.9
+
;;■
Г+08
7)
-3)
xi::
227
4) __. . .43
4185.
181.9
36.87
+ 5 2 9 .4
.3802
.1 .4 3 .
8)
4.
тг
55
2. Фокусы с отгадыванием чисел.
Пример
Объяснение
Задумай число.
Умножь его на 2.
Прибавь к результату 7.
Прибавь задуманное число.
Отними 1.
Раздели на 3.
Сообщи результат.
Задумай число.
Прибавь к нему 3.
Результат помножь на 2.
Прибавь 4.
Отними задуманное число.
Прибавь 5.
Отними задуманное число.
У вас получилось'15.
2х
2.V + 7
Злг+7
Зх + 6
л-+ 2
Пусть в результате получилось
число а, т. е. л-+ 2 = а, значит,
задуманное число х .= а — 2 (за
думанное число на 2 меньше
того, которое сообщили).
Например, если в результа
те вам сообщили число 18, зна
чит, задуманр было число 16.
Объяснение
-------- ►
-------- >то должно
выполниться равенство 6 = — ^-( — 4) + 5 .
Равенство неверное (6=^7), значит, точ
ка М не принадлежит графику функции. Д
I U I,
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА М (>
1. Функция задана формулой у(х) = т 3+ 2дг2— 1. Найти значения функ
ции при т = 0; —2; 3.
2. При каком значении аргумента функция у(х) = —5 .v + y принимает
значение, равное 3?
3. Построить график функции -число 5; числу ( —3,2)->-число ( —4) (мы не
ошиблись: число ( —3) превосходит число ( —3,2)).
Для сокращения описания задания такой функции придумали символ
[хг], который и означает, что рассматривается часть числа х. Таким
образом, [2,7] = 2 ; [5] = 5 ; [ — 3 , 2 ] = —4. Построим график функции у = [х].
Рассмотрим, например, числа от 0 до 1. Целая часть каждого из них
(не включая 1) равна 0, т. е. для всех этих чисел у = 0. Построим
график функции у = [дг] на участке от 0 до 1 (рис. 27). Им будет гори
зонтальный отрезок с концами в точках 0 и 1, которому, однако, не прн-
Рис. 27
72
Рис. 28
Рис. 29
надлежит точка I (она отмечена светлым кружком), так как N 1 = 1 .
Рассмотрим теперь числа от 1 до 2, не включая число 2. Целая
часть каж дою из них будет равна 1, т. е. на отрезке от 1 до 2 функция
примет вид: у = 1. На рисунке 28 эта часть графика изображена отрезком
(без правого конца) прямой у = 1.
Рассуждая аналогичным образом, можно построить график функции
у = [х\ для любых х (рис. 29).
Понятие дробной части числа определяется как разность между самим
числом и его целой частью и обозначается символом
т. е. [х \= х — Ы .
Например:
(2,53) = 2,53 - (2,53) = 2,53 - 2 = 0,53;
{ - 1 3 } = - 1 3 - ( - 1 3 ) = - 1 3 - ( - 1 3 ) = - 1 3 + 1 3 = 0;
(— 7,5)= —7,5 —( — 7,5]= - 7 , 5 - ( - 8 ) = - 7 , 5 + 8 = 0,5.
ЗАДАНИЕ
Попробуйте построить график функции у={х\.
§ 7. Системы двух линейных уравнений
с двумя неизвестными
Системой двух линейных уравнений с двумя неизвестными назы
вается система вида
f a\x + b\y = c\,
/.ч
\ а2х-\-Ь2у = с 2,
'
где ai, Ь\, с|, 0 2 , Ь2, с2 — заданные числа, х и у — неизвестные.
Решением системы уравнений (*) называют такую пару чисел х\ у,
которые при подстановке в эту систему обращают каждое ее уравнение
в верное равенство.
Решить систему уравнений — это значит найти все ее решения или
показать, что их нет.
ПРИМЕРЫ
1) Проверим, является ли пара чисел
х = 1 0 , t/= 1 5 решением системы
I * + ( /= 2 5 ,
\ 2 х —у = 5 .
ЗАДАНИЯ
I ) Является ли пара чисел
= —2, у = 1 решением сисШ
у
I Зх— у =
Пара чисел х = 10; у = 1 Ь является реше
нием данной системы уравнений. А
2) Покажем, что пара чисел х = 0,
у = — 2 не удовлетворяет системе урав
нений
5 х + у У = — 1,
-З л г-у = -2
2) Какая пара чисел:
а) х = 4, у = — 1:
б) х = — 1, у = 1;
в) х = 4 , у — 1
является решением
уравнений
системы
—у х —З у = 1,
(т. е. не является ее решением).
х —2у = 2?
I
2) = — 1 — верное
равенство,
3 - 0 - ( - 2 ) = - 2 — неверное
равенство
( 2 + = - 2 ).
Пара чисел х = 0 , у = —2 не является
решением данной системы. А
5 -0 + -(
ПРИМЕРЫ
1) Решим систему уравнений
I х + 5у = 7,
1 3.V—2у = 4
способом подстановки.
Д Поступим следующим образом.
Из одного уравнения выразим одно
неизвестное через другое. В данном слу
чае удобнее из первого уравнения лг+ 5у =
= 7 выразить х через у:
х = 7 —5у.
В другое уравнение (в данном слу
чае во второе Зх — 2у = 4) подставим вме
сто неизвестного его значение, выражен
ное из первого уравнения;
3(7 —5у) — 2у = 4.
74
З А Д А Н ИЯ
Реши 1ь систему линейных
уравнений способом подстанов
ки:
1) ( х —у = — 1,
I 2 х + у = 4.
2) I х + 3у = — 1,
\ —х + 4у = 1.
3) | 2х—у = 5,
' -х + у = -4 ±
4) I — 2х + Зу = — 7,
I 2х —5у = 5.
5)
Найденное
значение
неизвестного
( у = 1 ) подставим в выражение для дру
гого неизвестного
(з: = 7 - 5 у ) :
х = 7 — 5 • 1= 2.
Найденная пара чисел х = 2, у = 1 явля
ется решением данной системы.
Кратко это решение можно записать
так:
а
1 ¾ ¾
х=7~ 5у-
3(7 — 5у) —2у = 4, 21 — 15(/—2у = 4,
— 17(/= — 17, (/ = 1;
х = 7 —5 - 1 = 2 .
■О т в е т. х = 2; у = 1. А
2 ) . Решим систему
Г2х — 4 у = 14,
\ -З х + 2 //= -9
способом подстановки.
Д ( 2х —4Ы
ЗАДАНИЯ
I ) В равнобедренном треугольни
ке АВС проведена к основанию ВС ме
диана AM. Докажем, что периметры тре
угольников АВМ и ACM равны.
Л Доказательство.
1- С А = А В по условию, так как
Д АВС — равнобедренный (рис. 148).
2. СМ = МВ, так как AM — медиана.
3. AM в треугольниках АВМ и
ACM — общая сторона.
4. Периметр треугольника обозначим
буквой Р с указанием треугольника, о
периметре которого идет речь:
Р д АВМ
—
1) Найти медиану равнобед
ренного треугольника, прове
денную к его основанию, если
периметр этого треугольника
равен 40 см, а периметр каж
дого из треугольников, на кото
рые разбила медиана исходный
треугольник, равен 28 см.
АВ+МВ+АМ
II
II
Р д асм — СА -(- СМ
II
AM,
откуда следует, что
Р
а Лв м =
Рис. 148
Р
алсм-
А
Рис. 149
2) В равнобедренном треугольнике
2) В равнобедренном треАВС с основанием АС проведена бис- угольнике АВС с основанисектриса BD, Л С = 4 2 см, Z .A B D = 2 \°. ем АС проведена медиана ВМ,
Найдем AD, А А В С , /.B DC.
АМ = 6 см,
ДЛВЛ4 = 25°,
Д В равнобедренном треугольнике АВС Д В Л С = 65°.
биссектриса BD является одновременно Найти АС, Л В, Z.C, Z.BMC.
высотой и медианой (рис. 149), поэтому
Л Д = у Л С = - | - 12 = 6 (см),
ДЛВС = 2 Д Л В О = 2 -2 Г = 42°,
Z.B D C =90°. А
5*
131
Серединным перпендикуляром отрезка называется прямая, про
ходящая через середину этого отрезка и перпендикулярная к нему.
На рисунке 150 А — серединный перпендикуляр отрезка.
Л
Рис. 150
1. Каждая точка серединного перпендикуляра отрезка равноуда
лена от его концов (рис. 151).
2. Каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на его
серединном перпендикуляре (см. рис. 151) (обратное утверждение).
я “ 4 ' « ' " “ “ “ » ..с^.1сплнку.1 ин стороны
АВ равнобедренного треугольника АВС
с основанием АС, равным 20 см, пере132
Серединный перпендикуляр
стороны КМ треугольника KLM
пересекает сторону LM в точ-
секает сторону ВС в точке D. Найдем
периметр треугольника АВС, если AD =
= 18 см, а периметр треугольника ABD
равен 66 см,
А Построим по условию задачи чертеж
и отметим известные элементы (рис. 152),
1. A A O D = a BOD по первому приз
наку равенства треугольников (АО — ОВ
по
условию,
OD
общая
сторона,
A A O D — A D O B = 90°). Отсюда получа
ем, что BD = AD = 18 см.
2. Так как Р &л„ 0 = 6 6 см, ,4 0 = 18 см,
D B — 18 см, то
Л В = 66 см — (18 см + 18 см) = 3 0 см
3. В Д Л В С : В С = Л В = 30 см.
4- Р даяс = Л В + ВС + С Л — 30 см +
+ 30 с м + 2 0 см = 80 см. ^
ке Л. Найти LM, если КА =
— 8 см, LA = 3 см.
Построение серединного перпендикуляра отрезка и
нахождение середины отрезка
Дано
Требуется
построить
Построение
'0
/
@>\
~i | .
1в
/ 1 ( [S
Ai
]В
/
W
1
ь
А
В
03
А
А
1
1
Построение перпендикуляра к прямой из точки,
не лежащей на этой прямой
Построение
П о с тр о е н и е п е р п е н д и к у л я р а к п р я м о й и з то ч к и ,
л е ж а щ е й на этой п р ям о й
Д ано
П о с тр о е н и е
Т р еб у е тс я
п о стр о и ть
О
а
Р
а
1
Р
(
а\
® ?\
-
)4 аV( р )\ а(1
\
.
р
р
)
Два признака равенства прямоугольных треугольников
1. Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треуголь
ника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого треуголь
ника, то такие треугольники равны (рис. 153).
2. Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника
соответственно равны гипотенузе и катету другого треугольника, то
такие треугольники равны (рис. 154).
Р и с 153
П РИМ ЕРЫ
1) Докажем свойство биссектрисы
угла: любая тонка биссектрисы нераз
вернутого угла равноудалена от его сто
рон.
Д Пусть BD — биссектриса угла АВС,
М — произвольная точка на биссектрисе,
134
Рис. 154
ЗАДАНИЯ
1) Попробуйте доказать об
ратное .утверждение: любая
тонка, находящаяся внутри не
развернутого угла и равноуда
ленная от его сторон, лежит
на биссектрисе этого угла.
М К и M L — перпендикуляры, проведен
ные из точки М к лучам ВА и ВС
(рис. 155). Таким образом, нам нужно
доказать, что M K — ML.
Д В КМ = д BLM как прямоугольные
по гипотенузе и острому углу {ВМ —
общая гипотенуза, Д К В М = /LLBM, так
как В М — биссектриса угла АВС). Сле
довательно, М К = М1 как стороны, лежащие против равных умов в равных тре
угольниках. Д
Рис. 156
2) Построим точку, равноудаленную
от всех сторон треугольника.
Д Очевидно, что все точки биссектри
сы А К угла А треугольника АВС равно
удалены от сторон А В и ВС (по свой
ству биссектрисы).
Все/ точки, лежащие на биссектри
се BL угла В, равноудалены от сто
рон ВА и ВС (рйс. 156). Значит* точ
ка О (точка пересечения биссектрис
А К и B L), лежащая как на биссектри
се А К, так и на биссектрисе BL, равно
удалена от сторон А В, АС, ВС, т. е. от
всех трех сторон треугольника.
Таким образом, точка пересечения
всех биссектрис углов треугольника рав
ноудалена от трех сторон треуголь
ника. А
Докажите самостоятельно, что бис
сектриса третьего угла С треугольника
АВС также пройдет через точку О, т. е.
докажите, что биссектрисы всех углов тре
угольника пересекаются в одной точке.
2) Построить точку, равно
удаленную от всех вершин
треугольника.
Указание.
Воспользо
ваться свойством серединно
го перпендикуляра отрезка.
После построения сделать
вывод относительно местопо
ложения точки, равноудален
ной от всех вершин треуголь
ника.
Эта задача может быть
сформулирована и на языке
практики. Например: «Где нуж
но копать колодец, чтобы он
был равноудален от трех домов,
расположенных не на одной
прямой?»
135
П о с тр о е н и е п р я м о у г о л ь н о г о т р е у г о л ь н и к а
по ги п о т ен у зе и о ст р о м у у гл у
Д ано
1. Даны прямая а и точка М, не лежащая на ней. С помощью циркуля и
линеики построить прямую MN, перпендикулярную к прямой а
2. В треугольнике АВС ДЛ = 100°, Д В = 50°. Серединный перпенди
куляр стороны АВ пересекает сторону ВС в точке К. Найти угол КАС.
3. Доказать, что Д Л В С = д Л |В ,С |, если Д С = Д С ,= 9 0 ° BC = BiC\ и
высота СН и С,Н, равны.
1. Д а н о : а, М.
П о с т р о и т ь: MA'J_a.
П о с т р о е н и е (рис. 157).
1) Окр. (,И; МА).
2) Окр. (Л; МА).
3) Окр. (В; МА).
4) Л/ = окр. (Л; М А ) X окр. (В: МА).
5) MN — искомая прямая.
2. Д а н о : а АВС, Д Л = 100°,
А В = 50°, МК — серединный
перпендикуляр стороны ВЛ
(рис. 158).
Н а й т и : А КАС
Р е ш е н и е .
\\
/V L -.
——
II
/
100°
= 1 0 0 °-5 0 °= 5 0 °.
О т.вет. А КАС — 50°.
юо°
Х/$
А
1) К.В — КА, так как точка К лежит на
серединном перпендикуляре отрезка АВ.
значит, ДВ/СЛ — равнобедренный.
2) Л КВ А = / - КА В как углы при ос
новании равнобедренного треугольника
ВКА.
3) А К А С = A B A C - А К А В =
•
Рис.
158
II
Z А'ВЛ = 50°
С
137
3. Д а н о : Д Л В С и /\ A i Ft tC i.
Z C = Z Ci = 9 0 ° , BC = fl,C,.
C H ± A B , CtH , ± A , B u CH=.
— ClHi (рис. 159). _____
Д о к а з а т ь : ДЛВС =
""
= Д Л |В |С |.
Д оказательство.
1) A C H B = A C i H i B , как прямоугольные ( А С Н В = А С\ Н\ В \ = 9 0 °)
по гипотенузе ( C B = C i B i ) и катету (СН = С\ Н\ ) .
2) А Н В С = A H i B i C i как углы, лежащие против равных сторон
(СН = С\Н\) в равных треугольниках ( д СНВ — A C i H i B i ).
3) а А В С = A A 1B 1 C 1 как прямоугольные ( Z C = Z C i = 9 0 ° ) по катету
(CB = CiB) и острому углу ( А Н В С = A H i B i C i ) , что и требовалось до
казать.
Попробуйте начертить каждую из предложенных
фигур, не отрывая карандаш от бумаги и не проводя
по одной линии дважды. Если выполнить задание не
удается, то подсказку можно найти в § 21 этой книги.
Й
1
ЗАНИМАТЕЛЬНЫЕ СТРАНИЦЫ
1. Задачи на построение.
З а д а ч а 1. Построить треугольник по двум сторонам и медиане к
третьей стороне.
д Пусть даны три отрезка а, b, с (рис. 160), являющиеся соответственно
двумя сторонами и медианой треугольника, который нужно построить.
А н а л и з . Сделаем от руки чертеж какого-нибудь треугольника АВС
138
Рис. 160
Рис. 16,
и отметим на нем отрезки а, b, с, по которым нам нужно было бы его по
строить (рис. 161). Неважно, что пока они отличаются от заданных от
резков по длине.
Рассуждаем так: в треугольниках ABC, ABM, АМС известно только по
две стороны, значит, никакой из них только по этим элементам построить
нельзя. Однако в наших рассуждениях мы пока не использовали еще одно
условие задачи: отрезок AM — медиана треугольника. Подумаем, как можно
воспользоваться этим.
В условии задачи фактически нам даны три отрезка. По ним или отрез
кам, которые можно получить из этих отрезков (деля их на части или увели
чивая их длины в несколько раз), можно построить треугольник по трем
сторонам. Делать это нужно с той целью, чтобы потом стало возможным по
строить искомый треугольник. Ничего не поделаешь: готового рецепта для
решения многих задач нет — нужно его искать.
Попробуем продолжить медиану AM за пределы треугольника на длину,
равную длине AM, т. е. построим отрезок AD — 2AM (рис. 162). Соединим
точки D и С и рассмотрим треугольники АВМ и DM C: AM = MD по по
строению; ВМ = МС, так как A M — медиана, следовательно, М — середина
отрезка ВС; Z.BM A = A C M D как вертикальные. Таким образом, ' а АВМ =
= A D M C по первому признаку равенства треугольников, откуда AB = DC.
Таким образом, в a ADC известны длины трех сторон: АС (по условию),
C D = A B (АВ дана по условию), AD = 2AM (AM дана по условию).
A A D C , а следовательно, и А АВС теперь можем построить.
После проведенного а н а л и з а условия задачи и рассмотрения спосо
бов построения намечаем пути построения треугольника по заданным эле
ментам и выполняем это построение.
П о с т р о е н и е (рис. 163).
139
1. А С = а.
2. Окр. (С; АВ).
3. Окр. (Л; 2АМ) \ отмечаем точку D пересечения окружностей.
4. AD.
5. М — середина AD.
6. Прямая СМ
7. Отрезок МВ; МВ = СМ.
8. Треугольник АВС.
Д о к а з а т е л ь с т в о и и с с л е д о в а н и е проведите самостоятельно.
З а д а ч а 2. Постройте треугольник по стороне, прилежащему к ней углу
и биссектрисе треугольника, проведенной из вершины этого угла.
2. Расстояние до реки.
f'SjL
1 г !
З а д а ч а 1. Представьте такую ситуацию: вы находитесь в
доме (точка Л на рисунке 164). Вам нужно дойти до реки, зачерпнуть ведро воды и сходить полить саженцы (точка В на ри
сунке 164); при этом вы, конечно, хотите, чтобы расстояние, которое преодо
леете (ЛО + ОВ)\ было наименьшим. Где должна быть расположена такая
точка (О) на берегу реки?
д А н а л и з . Рассуждаем так. Допустим, что дом и саженцы расположены
по разные стороны реки (а река узкая — вы ее можете перейти вброд; поэто
му на рисунке 165 река изображена прямой а). Тогда, очевидно, вашим
маршрутом будет отрезок АВ (кратчайшее расстояние между двумя точка
м и— длина отрезка, их соединяющего).
Теперь вернемся к данной задаче и переведем ее условие на матема
тический язык: точки Л и В расположены по одну сторону от прямой а; найти
точку О, лежащую на прямой а, такую, что ЛО + ОВ будет наименьшим.
П о с т р о е н и е . Через точку Л проведем прямую Л М -La (рис. 166).
На прямой AM отложим от точки М отрезок МЛ, такой, что М А \ = А М .
Соединим точки А\ и В отрезком Л|В. Отрезок А, В пересечет прямую а в ис
комой точке О.
Д л я д о к а з а т е л ь с т в а того, что найденная таким образом точка О —
искомая (и зная, что между точками Л, и В кратчайшее расстояние —
длина отрезка Л |В ), соединим точки Л и О. дМ Л О = д М Л 1& по первому
признаку равенства треугольников (ЛМ = МЛ|, МО — общая сторона,
но
- ^ ! ? ^ ~ п "б А ' ^ 0о = Ж ) ■ 3||ачит' А 0 = А ,0 . Таким образом, АО + О В =
Т " { 0 + О В — А ,В , т. с. точка О — искомая.
В и с с л е д о в а н и и попробуйте самостоятельно методом от против
ного обосновать тот факт, что точка О — единственная. Д
а д а ч а 2. На одном и том же берегу реки (на разных расстояниях
от нее) расположены два села А и В. Где нужно построить мост через эту
реку, чтобы он находился на одинаковом расстоянии от обоих сел?
3. Упражнения с листом бумаги.
J S S 1!
Применив смекалку, можно определенными перегибаниями выи / ) Резаиных из бумаги треугольников выполнить то, что на чертеже
/7
обычно делается с помощью циркуля и линейки (бумагу для этого
можно брать обыкновенную, но лучше цветную двустороннюю). Например,
на рисунке i 67 показано, как перегибаниями можно получить биссектрису
угла В треугольника АВС.
Попробуйте самостоятельно (вырезав предварительно из бумаги не
сколько произвольных треугольников) перегибаниями получить: 1) середин
ный перпендикуляр стороны треугольника; 2) медиану треугольника;
3) высоту треугольника; 4) точку пересечения медиан, биссектрис, высот.
Из листа бумаги произвольной формы линиями перегибов получите
равнобедренный треугольник.
4. Осевая симметрия и ее применение при построениях с препятствиями
и ограничениями.
Если через произвольную точку А плоскости проведем прямую, перпен
дикулярную к определенной прямой /, затем на этом перпендикуляре АО
(рис. 168) отложим отрезок ОА\ такой, что ОЛ| = ОЛ, то получим точку А,,
которая будет называться симметричной точке А относительно прямой I (/н а
зывают осью симметрии) .
Чтобы построить фигуру Ф|, симметричную Ф относительно прямой /,
строят точки, симметричные каждой точке фигуры Ф относительно оси /
(рис. 169).
Осевую симметрию называют еще зеркальным отражением относительно
прямой. Заметим, что точкой, симметричной точке, лежащей на оси сим
метрии, является сама эта точка.
141
А
Свойства симметричных точек.
1. При осевой
сохраняется (рис.
2. При осевой
в точки, лежащие
3. При осевой
(рис. 171)
симметрии расстояние между точками фигуры
170). ■
симметрии точки, лежащие на прямой, переходят
на прямой (рис. 170).
симметрии угол переходит в равный ему угол
Рис. 170
Рис. 171
Существуют геометрические фигуры, а также фигуры и тела в жизни и
практике, которые называют симметричными фигурами и телами.
Осью симметрии фигуры называется прямая, разбивающая данную
фигуру на две фигуры, симметричные относительно этой прямой.
Фигура, имеющая ось симметрии, называется симметричной фигурой.
Назовем оси симметрии некоторых знакомых нам фигур:
осью симметрии отрезка является его серединный перпендикуляр;
осью симметрии угла является его биссектриса;
142
I осью симметрии равнобедренного треугольника является медиана, про
веденная к основанию (а также биссектриса, высота, проведенные к осно
ванию) ;
осями симметрии окружности являются прямые, проходящие через ее
центр (их бесконечное множество).
На практике симметричными фигурами являются, например, листья
деревьев, фасады многих зданий и т. д.
На данном этапе знакомства с осевой симметрией и ее использованием
при решении задач нам нужно будет уметь строить в основном точки, отрез
ки, лучи и прямые, симметричные данным относительно заданной оси.
1) Как построить точку, симметричную данной относительно прямой,
описано в начале этого пункта.
2) Для построения отрезка А ,В i , симметричного отрезку АВ относитель
но прямой /, нужно построить точки Ai и В|, симметричные концам отрез
ка АВ'. они и будут концами искомого отрезка (рис. 172, а, б).
3) Для построения луча k\, симметричного лучу к относительно оси /,
нужно построить точку А |, симметричную началу луча А относительно оси I,
и точку В |, симметричную любой другой точке В, лежащей на луче к.
Луч Л|В| будет искомым лучом к\. В качестве точки В можно взять точку
пересечения луча (если она имеется) с осью / — эта точка отразится сама на
себя (рис. 172, в).
4) Для построения прямой а.\, симметричной прямой а относительно
оси /, нужно построить точки /Ci и Li, симметричные любым двум точкам К
ц/ L прямой а относительно /, и через них провести искомую прямую а,
(рис. 172, г).
143
З а д а ч и на п о с т р о е н и е .
З а д а ч а 1. Часть листа бумаги, на которой была расположена вер
шина С треугольника АВС, случайно оторвана и потеряна. Построить осно
вание высоты, которая могла бы быть проведена из вершины С, если бы лист
бумаги был цел.
д На чертеже уместились части сторон АС и ВС треугольника АВС
(рис. 173). Построим а АС\В, симметричный д Л В С относительно пря
мой АВ. Основание К высоты треугольника ЛС|В, проведенной из верши
ны Ci, будет также основанием высоты треугольника ЛВС, проведенной
из отсутствующей вершины С.
Обосновать справедливость построения можно с помощью свойств
симметричных точек. А
(О
Г
1 V
**
V-
и
\
С
в
с. 173
Рис. 174
Рис. 175
Следующие задачи решите самосто^ельно, предполагая, что
на имеющейся части листа бумаги хватит места на любое по
строение.
З а д а ч а 2. Вершина А треугольника АВС не уместилась на лис
те бумаги. Построить .основание биссектрисы угла А треугольника АВС
З а д а ч а 3. Вершина угла С недоступна. Точка D, попавшая на чер
теж, внутренняя точка угла С. Найти способ построения луча CD
(рис. 175).
З а д а ч а 4. В треугольнике, одна из вершин которого недоступна,
провести медианы.
144
§ И. Параллельные прямые
Две прямые на плоскости называются параллельными, если они
не пересекаются (рис. 176).
Отрезки и лучи называются параллельными, если они лежат на
параллельных прямых.
Прямая с называется секущей прямых а и b , если она пересекает
их в двух разных точках (рис. 177)
а
Ь
аЦб
Рис. 176
Рис. 177
Углы, образованные пересечением прямых а и b прямой с (рис. 177):
накрест леж ащие углы —3 и 5, 4 и 6;
односторонние углы — 4 и 5, 3‘ и 6;
соответственные углы — 1 и 5, 4 и 8, 2 и 6, 3 и 7.
Признаки параллельности и свойства параллельных
прямых (прямые и обратные теоремы)
№
п /п
1
(
Если при пересечении двух
прямых секущей накрест леж ащ ие углы равны, то прямые
параллельны.
Например, если Z. 1 = Z. 2, то
а ||6
С л е д с т в и е . Если две пря
мые перпендикулярны к од
ной и той ж е прямой, то они
параллельны . Например, если
a_L c и Ы - С , то а ||6
\
___
Свойство (обратная
теорема)
Рисунок
П ризнак (прям ая
теорема)
/я
Если две параллельные пря
мые пересечены секущей^ то
накрест л еж ащ ие углы равны.
Например, если
Уи
/
'b
/
L.
С л е д с т в и е . Если прямая
перпендикулярна к одной из
двух параллельных прямых, то
она перпендикулярна и к дру
гой. Например, если а \ \ Ь и
с_1_а, то с А - Ь
а
Ь
-
145
Продолжение
Рисунок
№
п/п
Признак (прямая
теорема)
2
Е сли при пересечении двух
прямых секущей соответствен
ные углы равны, то прямые
параллельны.
Например, если
Z 1 = Z 2 , то а||Ь
3
Если при пересечении двух
прямых секущей сумма одно
сторонних углов равна 180".
то прямые параллельны.
Например, если
Z 1+ Z 4 = 180°, то а\\Ь
*
Свойство (обратная
теорема)
Если две параллельные пря
мые пересечены секущей, то
соответственные углы равны.
Например, если а||й ,
го Z 1= Z 2
Если две параллельные пря
мые пересечены секущей, то
сумма односторонних углов
равна 180°.
Например, если а\\Ь,
то Z 1+ Z 4 = 1 8 0 °
ЗАДА Н И Я
ПРИМЕРЫ
к\
Докажем первый признак параллель
ности прямых, т. е. докажем, что
если / .1 = Z.2, то а\\Ь (рис. 178).
Д Доказательство проведем методом от
противного.
Допустим, что прямые а и А не парал
лельны. Тогда они пересекутся в неко
торой точке М (рис. 178). Образовался
треугольник АМВ, один из его углов —
угол 1, угол 2 — внешний угол этого
треугольника. По теореме о внешнем угле
треугольника Д 2 > Д 1 . Но это противо
речит условию Д 2 = Д 1 . Значит, наше
предположение о том, что прямые а и А
не параллельны, неверно. Следовательно,
прямые а и А параллельны. Д
N
N
X
УМ
Рис. 178
146
1) Пользуясь первым при
знаком параллельности, дока
зать следствие из него, т. е.
доказать, что если а_1_с и Ы-С,
то а || Ь.
2) Доказать второй признак
параллельности прямых, поль
зуясь свойством равенства вер
тикальных углов и первым при
знаком.
3) Доказать третийпризнак
параллельности прямых, поль
зуясь первым признаком и тем,
что сумма смежных углов рав
на 180°.
ПРИ МЕ Р Ы
ЗАДАНИ Я
1) Даны А В — ВС Д В Л С = A CAD
(рис. 179). Докажем, что BC\\AD.
Д Треугольник АВС — равнобедренный
значит, А В А С = А В С А . Тогда А В С А =
= A C A D (так как порознь они равны
углу ВАС). Но углы ВСА и CAD — на
крест лежащие равные углы. Следователь
но, по первому признаку параллельности
прямые ВС и AD параллельны. Д
Рис. 179
Рис. 180
2) В треугольнике ABC А А = 80°,
А В = 50°. Через вершину В проведена
прямая BD так, что луч ВС — биссектри
са угла ABD. Докажем, что AC\\BD.
Д Выполним чертеж по условию за
дачи (рис. 181):
ДЛЯТ) = 50° + 50° = 100°,
А В А С + ДЯВО = 80°+ Ю 0°=180°.
1) На рисунке 180 АВ = ВС,
CD — DE. Доказать, что
AB\\DE.
Рис. 181
2) В треугольнике АВС
А А = 40°, а внешний угол ВСЕ
равен 80°. Доказать, что бис
сектриса угла ВСЕ параллель
на прямой АВ.
Но A B A C и A A B D — односторонние уг
лы при пересечении прямых АС и BD
секущей Л/i, значит (по третьему призна
ку), прямые АС и BD параллельны. Д.
ПРИМЕРЫ
I) Найдем все углы, образовавшиеся
при пересечении двух параллельных пря
мых третьей, если один из углов на 30°
больше другого.
Д При пересечении двух параллельных
ЗАДАНИЯ
I ) Найти углы, образован
ные при пересечении двух па
раллельных прямых а и Ь се
кущей с, если один из углов
равен 45°.
147
2) Докажите, что прямая,
параллельная основанию рав
нобедренного треугольника, от
секает от него также равно
бедренный треугольник.
Рис. 182
^1
прямых третьей образуются либо рав
ные углы (накрест лежащие или соответ
ственные), либо углы, сумма которых рав
на 180“ (односторонние). В условии
задачи, очевидно, речь идет об односто
ронних углах.
Пусть х“ — величина одного из одно
сторонних углов, тогда по условию
*“ + 3 0 ° — величина другого угла. Их
сумма равна 180°:
* + * + 30= 180, 2л- = 180 — 30,
2 х = 150, * = 75,
* + 30= 105.
О т в е т . Образовавшиеся углы рав
ны 75“ и 105“. А
2) Докажем, что если биссектриса
внешнего угла треугольника параллельна
его стороне, то такой треугольник —
равнобедренный.
д Пусть А К — биссектриса внешнего
угла ВАМ треугольника ABC ( А \ = А 2 )
и АК\\ВС (рис. 182). Прямую АВ можно
рассматривать как секущую двух парал
лельных прямых А К и ВС. Тогда ^ 2 =
= Д З как накрест лежащие. Прямую
СМ можно также рассматривать как
секущую этих же параллельных прямых
АК и ВС. Тогда /.1 = . / 4 как односто
ронние. Следовательно, Z.3 = а !4, так как
каждый из них равен одинаковым по
величине углам 2 и 1, а потому
Л А В С — равнобедренный (углы при ос
новании равны). А
На гранях куба каждая фигура нарисована только
один раз. На предложенных рисунках показан куб в
трех разных позициях. Определите, какие фигуры
изображены на противоположных гранях куба.
148
/ - 2 = Л. ! = 4 0 °,
Z 3 = 1 8 0 ° - Z. 1= 180° — 4 0 °= 140°,
/ - 4 = Z. 3 = 140°. A
Все точки каждой из двух параллельных прямых удалены от другой
прямой на одинаковое расстояние.
Расстоянием между двумя параллельными прямыми называется
расстояние от произвольной точки одной прямой до другой прямой.
149
ПРИМЕР
Построим прямые, параллельные пря
мой а и удаленные от нее на 2 см.
Д Имеем прямую а (рис. 186). Возьмем
на прямой а произвольную точку А и
проведем через нее прямую п, перпенди
кулярную прямой а. Затем на прямой п
от точки А отложим отрезки AD =
= A D i= 2 см. Через точки В и Di про
ведем прямые р и pi, перпендикуляр
ные прямой п. Эти прямые и будут ис
комыми.
Доказательство и исследова
н и е построения проведите самостоятель-
ЗАДАНИЕ
Построить хотя бы одну
точку, удаленную от прямой а
на 2 см, а от прямой Ь — на
1,5 см (рис. 187).
У к а з а н и е . Построить сна
чала прямую,' удаленную от
прямой о на 2 см, а затем —
прямую, удаленную от прямой Ь
на 1,5 см. Провести исследо
вание полученного решения.
Сумма углов треугольника равна 180°.
ПРИМЕРЫ
1) Найдем угол А треугольника АВС,
если Д В = 45°, Д С = 1 0 0 °.
А ^-А + Д В + ^ . С = 1 80°, откуда Z.А =
= 180°— (Z B + А С ), Д Л = 1 8 0 °— (4 5 °+ 100°) = 1 8 0 ° - 145° = 35°.
О т в е т . Д /4 = 3 5 °. ▲
а
ЗАДАНИЯ
1) Найти углы а, (1, у по
рисунку 188.
е
Рис. 188
150
1
2) Да» равнобедренный треугольник
ЛВС с основанием АС. Найдем:
a) Д В, если Д Л = 40°;
и )
д_. л
I
:и
/„ D =
/ U
2) Доказать, что каждый
угол равностороннего треуголь
ника равен 60:,
.
Д а) Д Л = Д С = 4 0 ° (рис. 189),
Д В = 1 8 0 °-(Д Л + ДС) =
—i80°— (40°+40°) =
= 180° —80° = 100°;
б) Z.A + Д С = 1 8 0 ° - Д В =
= 180° —70° = 110°.
Но ДЛ = ДС, значит,
ДЛ = i . • 110° = 55°. А
3)
В равнобедренном
треугольнике
АВС с основанием АС проведена бис
сектриса ЛК. Найдем угол АКВ, если
Д С = 70°.
Д Выполним чертеж по условию задачи
(рис. 190).
Так как А А В С — равнобедренный,
то Д Л = Д С = 70°, А К — биссектриса
угла А. значит, А В А К = \ •70°=35°.
В ААВС
Д В = 1 8 0 ° - ( Д Л + Д С) =
= 180°— (70° + 70°) = 180°— 140° = 40°.
В ААВК
Д Л Л 'В = 180° — ( Z . B + Z.BAK) =
= 1 8 0 ° - (40°+ 35°) =
= 1 8 0 °-75° =105°.
3) Один из внешних углов
равнобедренного треугольника
равен 140°. Найти уг'лы тре
угольника. Сколько решений
имеет задача?
4) В равнобедренном тре
угольнике KLM с основанием
КМ проведены биссектриса КВ
и высота КН (рис. 191). Найти
углы треугольника КВН, если
Д 1= 20°.
О т в е т . ДЛ Л 'В=105°. А
151
Свойства прямоугольных треугольников.
1. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна
90° (рис. 192).
2. Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла
в 30°, равен половине гипотенузы (рис. 193).
3. Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипо
тенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30° (рис. 193).
ЗАДАНИЯ
ПРИМЕРЫ
1)
В
прямоугольном
треугольнике
ЛВС / , С = 90°, .//1 = 3 0 ° . Найдем гипо
тенузу АВ, если катет В С = 2 см.
Д Против угла в 30° в прямоугольном
треугольнике лежит катет, равный поло
вине гипотенузы (рис. 194): В С = у ,4 В ,
откуда АВ = 2ВС, т. е. ЛВ = 2-2 см =
= 4 см. А
1) В прямоугольном тре
угольнике
KLM
Д К = 90°,
/ - L = 30°. Найти КМ, если
L M = 13 см.
2) В прямоугольном треугольнике
ЛВС Z .С = 90°, /_В = 60° и 5C-}-.4fi =
= 15 см. Найдем гипотенузу треуголь
ника.
А В прямоугольном треугольнике АВС
(рис. 195) zl А -j- /_ В = 90°, откуда А А =
= 90°— Z. Б = 90° —60° =30°.
Против угла А лежит катет, равный
половине гипотенузы. Пусть В С = х ,
тогда АВ = 2х.
Из условия задачи ВС + А В = \ Ь см,
или л' 4 - 2лг= 15. Решим это уравнение.
х-1-2х=15, Зл:=15, х = 5 (см)
АВ = 2х = 2-5 = 10 (см). А
2) В прямоугольном тре
угольнике
KLM
Z /C = 90°,
Z-L = 30°, а удвоенная сумма
длин меньшего катета и гипо
тенузы равна 36 см. Найти
меньший катет треугольника
KLM.
3) Медиана BD, проведенная к осно
ванию равнобедренного треугольника
АВС, разделила его на части, каждая из
которых равна половине боковой стороны.
Докажем, что а АВС — равносторонний.
3) Высота, проведенная к
основанию
равнобедренного
треугольника, равна 13 см, а
боковая сторона этого тре
угольника равна 26 см. Найти
углы треугольника.
Д По условию задачи AD = D C = y АВ
(рис. .196). Но в равнобедренном тре
угольнике медиана, проведенная к осно
ванию, является также и высотой тре
угольника, значит, Z . A D B = 90°.
В прямоугольном треугольнике ADB.
Z.ADB = 90° и A D = y A B , откуда следу
ет, что A A B D = 30°. Тогда
A BAD = 90° —30° = 60°.
Но в равнобедренном треугольнике АВС
Z . C = Z-A, т. е. Z C = 60°. Тогда
Д В = 1 8 0 °-(^ Л + ZC) =
= 180° — (6 0 °+ 60°) = 180° — 120° = 60°.
В треугольнике АВС все углы равны,
значит, равны все стороны. Следователь
но, он — равносторонний. А
4) Обоснуем построение прямоуголь
ного треугольника по гипотенузе и остро
му углу.
4) Построить прямоуголь
ный треугольник, если его ги
потенуза равна 3,5 см, а один из
острых углов равен 15°.
153
Л Зная, что сумма углов треугольника
равна 180° или что сумма острых углов
прямоугольного треугольника равна 90°,
легко найти второй ос'грый угол. Зная
гипотенузу и два острых угла, т. е. два
угла, прилежащих к гипотенузе, можно
построить треугольник по стороне и при
лежащим к ней углам. А
Из вершины угла в 75° треугольника проведена
прямая, делящая этот треугольник на два равнобе
дренных треугольника. Найдите углы данного треу
гольника.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА .Ns И
1. В равнобедренном треугольнике угол при основании в 2 раза больше
угла, противолежащего основанию. Найти углы этого треугольника.
2. Построить прямоугольный треугольник, гипотенуза которого равна
3 см, а один из углов равен 20°.
3. Отрезок А К — биссектриса треугольника АВС. Из точки К прове
дена прямая, пересекающая сторону АВ в точке L так, что AL = LK . Дока
зать. что КЦ\АС.
Р е ш е н и е (возможный вариант оформления)
I. Д а но: ААВС. АВ = ВС,
f A = 2Z_B (рис. 197)
Н а й т и : Z . А , А В. АС.
Решение.
Пусть А В = х ° , тогда АА = А С = 2х°.
Сумма углов треугольника равна 180°:
дг+ 2лг + 2лг= 180, 5 х = 1 8 0 , л = 3 6 , А В =
= 36°, Z Л = ^ С = 2 - 3 6 ° = 72°.
О т в е т . 72°, 36°, 72°.
Рис. 197
IW
2 Д а н о : Д С = 90°, АВ--=
= 3 см, ДЛ = 20°.
Построить:
Рнс. 198
С
а
АВС*.
А н а л и з (рис. 198).
^ 5 = 90° —20° = 70°. Известны: АВ —
= 3 см, А А =20°, А В = 70°.
ДЛЙС можно построить по стороне АВ
и прилежащим к ней углам А и В.
В
П о с т р о е н и е (рис. 199).
1) АВ = 3 см.
2) А М А В = 20°
3) А КВА = 70°.
4) С — точка пересечения лучей ВК и AM, &АСВ — искомый.
До'к а з а т е л ь с т в о .
Л А С В — прямоугольный ( Z Л + Z В = 90°), ЛВ = 3 см,
Д Л = 20°, т. е. а АСВ — искомый.
Исследование.
Задача имеет единственное решение.
3. Д а н о : Д АВС, А К — биссектриса треугольника, AL = LK (рис. 200).
Д о к а з а т ь : КЦ\АС.
Доказательство.
1) A A L K — равнобедренный, так как
AL = LK по условию, значит, A L A K — A LKA.
2) A L A K = А КА С, так как АК — бис
сектриса угла LAC, A L A K = A L K A по до
казанному в п. 1, значит, A L K A = А КАС
(так как они оба равны углу LAK),
3) A L K A и А К А С — накрест лежащие
при пересечении прямых LK и АС секущей
АК, но если накрест лежащие углы равны,
то прямые LK и АС параллельны, что и
требовалось доказать.
* М ожно считать удовлетворительно выполненным задание, если ученик верно выполнит
построение, не привили при этом никаких обоснований.
155
Как в листе бумаги, вырванном из школьной те
тради, прорезать дыру, в которую пролезает взрос
лый человек?
__
ЗАНИМАТЕЛЬНЫЕ СТРАНИЦЫ
I. Вывод формулы суммы углов треугольника с помощью перегибаний
листа.
Вырежьте из бумаги (желательно с
разных сторон окрашенной в разные цве
та) произвольный треугольник и, выпол
няя перегибания его, как показано на ри
сунке 201, убедитесь, что сумма углов
треугольника равна развернутому углу,
т. е. 180°.
2. Построение с помощью циркуля и
линейки некоторых углов.
Строить прямой угол с помощью цир
куля и линейки мы умеем (см. построение
перпендикуляра к прямой).
Делить угол пополам с помощью цир
куля и линейки мы тоже умеем (см. по
строение биссектрисы угла). Значит, угол,
равный половине прямого, т. е. угол в 45°,
мы построим. Построим и угол, равный
половине угла в 45°— угол величиной
22°30'; сможем построить и угол 11° 15'
(половина от 22°30') и т. д. Умея строить
угол, равный данному (см. начало § 9),
очевидно, нетрудно построить, например,
угол в 67°30' (для этого нужно построить
угол в 45° и к нему «прибавить» угол
в 22°30').
Мы можем построить прямоугольный
треугольник по катету и гипотенузе. Если
Рис. 201
катет будет в 2 раза меньше гипотенузы,
то острый угол, лежащий против такого катета, будет равен 30° (второй
острый угол в треугольнике равен 60°). Таким образом, углы в 30° и 60° мы
также можем строить с помощью циркуля и линейки. С помощью построе
ния биссектрисы угла сможем построить угол, равный половине, четверти,
одной восьмой и т. д. от угла 30°.
Постройте угол, равный 75°, 105°, 135°, 120°, 150°, 165°, 37°30', 82°30',
3°45/. Объясните построение.
3. Геометрическое место точек (будем писать сокращенно г.м.т.) —
это множество всех точек, обладающих определенным свойством. Например:
биссектриса угла — это г.м.т., каждая из которых одинаково удалена
от сторон этого угла;
две прямые, параллельные данной и симметричные относительно этой
прямой — это г.м.т., равноудаленных от данной прямой;
окружность — это г.м.т. плоскости, равноудаленных от одной точки
(от ценура окружности);
сфера — это г.м.т. пространства, равноудаленных от одной точки —
центра сферы;
серединный перпендикуляр к отрезку — г.м.т., равноудаленных от концов
этого отрезка; серединный перпендикуляр к отрезку (за исключением точки
пересечения перпендикуляра с отрезком) можно считать также геометриче
ским местом точек, являющихся вершинами всех равнобедренных треуголь
ников, основанием которых служит заданный отрезок.
Интерес представляют задачи на пересечение геометрических
мест точек. Приведем примеры таких задач:
З а д а ч а 1. Найти точку, равноудаленную от трех заданных
точек, не лежащих на одной прямой.
Л Пусть даны точки А, В и С, не лежащие на одной прямой (рис. 202).
Геометрическим местом точек, равноудаленных от точек А и В, явля
ется серединный перпендикуляр к отрезку А В (на рисунке 202 это прямая /).
Геометрическим местом точек, равноудаленных от точек В и С, является
серединный перпендикуляр к отрезку ВС (на рисунке 202 это прямая п).
Точка 0 = 1Х п лежит как на прямой /, так и на прямой п, т. е. равноудалена
от точек А и В и от точек В и С, значит, от всех трех точек. Таким образом,
точка О — искомая.
То, что точка О — единственная, сле
дует из того, что две различные пря
мые на плоскости либо параллельны,
либо пересекаются (в одной точке). Так
как / и п не параллельны (докажите этот
факт методом от противного), значит, у
них одна общая точка (точка О). А
Отметим попутно, что точка О,
найденная вышеописанным способом,
является центром окружности, прохо
дящей через три не лежащие на одной
прямой точки А, В и С. Радиус этой
окружности R = ОА = ОВ = ОС.
157
I
Рис. 203
Рис. 204
З а д а ч а 2. Найти точку, удаленную от точки А на расстояние а,
а от точки В — на расстояние Ь. Сколько существует таких точек? (Рассмот
рите все возможные случаи.)
З а д а ч а 3. Найти точку, удаленную от прямой / на расстояние а,
а от прямой т — на расстояние Ь. Сколько существует таких точек?
З а д а ч а 4. Внутри угла задана точка М. Найти точку, равноудален
ную от сторон угла и удаленную от точки М на заданное расстояние а.
Всегда ли можно найти такую точку? (Рассмотрите возможные случаи.)
З а д а ч а 5. На «Занимательных страницах» предыдущего параграфа
с помощью осевой симметрии мы учились строить части высоты и биссект
рисы, проведенных из вершины треугольника, если эта вершина не умести
лась на листе бумаги. При этом мы допусками, что треугольник, симмет
ричный данному относительно прямой, содержащей его основание, умеща
ется на отведенном листе бумаги. А если не умещается? Как построить
часть биссектрисы угла 1т, не выходя за пределы отведенного листа бу
маги (рис. 203)?
4. Математический софизм «Все треугольники равнобедренные».
Напомним, что софизмами называют рассуждения, кажущиеся
правильными и приводящие к неверному заключению. Задача за
ключается в том, чтобы проверяя чертеж и шаг за шагом все
рассуждения, найти в них ошибку.
Д Пусть АВС — произвольный (начертим неравнобедренный — рис. 204).
Проведем биссектрису угла А и серединный перпендикуляр DO отрезка ВС
до пересечения с биссектрисой угла А в точке О. Из точки О опустим
перпендикуляры OF и ОЕ на стороны АВ и АС.
1) A A O F = a AOE как прямоугольные по гипотенузе (.40 — общая
гипотенуза} и острому углу (Z. F A O = А Е А О ) , следовательно, AF.= AE.
2) Д B O F = A СОЕ как прямоугольные по гипотенузе (ВО — СО, так
как точка О, лежащая на серединном перпендикуляре OD к отрезку ВС,
равноудалена от его концов) и катету (OF = OE как стороны против
равных углов FAO и АОЕ в равных треугольниках AOF и АОЕ), значит,
FB — EC, а так как A F = A E и F B = E C , то A F + F B = A E + E C , т. е. АВ = АС.
Значит, треугольник АВС — равнобедренный. ±
Найдите ошибку, которая привела нас к выводу о том, что все тре
угольники (мы рассматривали произвольный д А В С ) — равнобедренные.
®
158
ГЛАВА III. МАТЕМАТИКА В ЖИЗНИ
§ 12. Учет расходов семьи на питание
Почти все мальчики и девочки помогают родителям делать покупки в
магазине или на рынке. У некоторых ребят покупка хлеба, молока, спичек,
мыла и т. д,— их постоянная обязанность. Не за горами время, когда
мальчики и девочки сами станут взрослыми и им придется делать все
покупки в магазине так, как сейчас делают это их родители.
За купленные товары платят заработанными деньгами. Чтобы денег
хватало на необходимые приобретения (и какую-то часть из них можно
было бы откладывать на покупку крупных вещей, на отдых и т. д.),
нужно уметь разумно их тратить. Для этого необходимо знать, во-первых,
сколько денег за месяц (или за неделю) тратит семья на питание. Это —
постоянная часть расхода каждой семьи (есть еще обязательные еже
месячные расходы: плата за квартиру, электроэнергию, газ, воду и т. д.—
обычно их называют платой за коммунальные услуги). Очевидно, в сумме
все эти расходы не должны превышать дохода семьи.
Поучимся сами, а заодно поможем родителям вести учет покупок в про
дуктовом магазине (или на ркнке). Для этого можно использовать обык
новенную ученическую тетрадь (лучше в клетку). Двойной лист следует
разграфить 'так, как, это показано в таблице 1. Если какие-то покупки
семья никогда не делает, не включайте их в таблицу (например, если
овощи вы выращиваете в своем огороде).
В таблице 1 для примера заполнена графа покупок в понедельник.
В самой нижней строке «Итого» вы суммируете (можно с помощью микро
калькулятора) всю стоимость покупок в столбцах по дням недели. Затем
полученные семь сумм в конце недели складываете и получаете расход
денег на питание за неделю. В следующие недели вы можете потратить
денег больше или меньше. Но уже, умножив полученную сумму на 4 (в ме
сяце 4 полных недели), вы можете приблизительно представить расход
на питание семьи за месяц. А для большей точности (не поленитесь!)
проследите за покупками в течение всего месяца.
Из заполненной таблицы можно извлечь много полезной информации.
Например:
узнать, сколько крупы, сахара тратится семьей за^ месяц, и закупить
их сразу на месяц (чтобы не ходить в магазин лишний р а з);
если покажется, что расход на питание очень большой, можно подумать,
какие продукты из дорогостоящих следует частично заменить другими;
159
160
Таблица
подсчитать, сколько тратится в месяц денег на хлеб, молоко или любой
другой продукт в отдельности.
Разность между зарплатой и тратами иа питание и коммунальные
услуги — это те деньги, которые родители могут потратить на книги, походы
в кино, одежду, обувь, игрушки, спортивное снаряжение, поездку на отдых
и т. д. Решение о том, кому из членов семьи в первую очередь и что именно
необходимо купить, лучше всего принимать на семейном совете.
§ 13. Таблица игр чемпионата по футболу
Почти каждый мальчик и некоторые девочки «болеют» за ту или иную
футбольную команду. Тот, кто регулярно следит за матчами, наверное,
знает, как составляется таблица игр и как с ее помощью определяется
победитель. Для тех, кто хочет с этим познакомиться подробнее, а заодно
поучиться систематизировать поступающую информацию и делать опреде
ленные выводы по ней, предлагаем вместе с нами проделать следующее.
Составим таблицу игр по футболу и внесем в нее некоторые резуль
таты игр. (Их мы придумаем, а вы можете воспользоваться настоящими
результатами встреч на чемпионате страны какого-то года и заполнить
таблицу самостоятельно.)
В левом столбце под номерами записаны футбольные команды. В са
пой верхней строке записаны только номера этих же команд. Каждая
команда играет с каждой.
I На пересечении строки и столбца, соответствующих двум командам,
:ставят счет завершившегося матча. Например, сыграли команды «Спартак»
и «Днепр»: «Спартак» выиграл у «Днепра» со счетом 2:0 (табл. 2), т. е.
■Спартак» забил в ворота «Днепра» 2 мяча, а «Днепр» «Спартаку» —
кн одного мяча. В строке «Спартак», где она пересекается со столбцом 2
(соответствующим «Днепру»), мы и пишем счет 2:0. Одновременно в строte «Днепр» на пересечении со столбцом 1 (соответствующим «Спартаку»)
тавим счет 0:2, т. е. в строках счет записывается таким образом, что
1ервом месте стоит число забитых мячей, а после двоеточия стоит
о пропущенных мячей.
1
[осле того как все матчи сыграны и таблица заполнена, начинаются
ление победителя и расстановка команд по местам.
математике и в жизни часто пользуются словом «критерий». Крий — это признак, на основании которого проводится оценка, выносится
(ение и т. д.
р570 М. В Ткачёва
161
лавным
критерием выявления победителя является количество набранкомандой очков. Количество набранных очков записывается в строке
Юй команды, а подсчитывается оно таким образом: за каждую побе-
