Математика в таблицах: 5 - 1 1-й классы:
М34 справ, материалы. — Москва: ACT: Астрель, 2014. — 95, [1] с.: ил. — (Школьная
программа).
ISBN 978-5-174)17214-6 (ООО «Издательство АСТЧХЖеят.)
ISBN 978-5-271-05626-0 (000 «Издательство Апрель») (Желт.)
ISBN 978-5-17-059064-3 (000 «Издательство АСТ»ХЕЮ)
ISBN 978-5-271-23839-0 (000 «Издательство Астрель») (ЕЮ)
Справочный материал по всему школьному курсу математи
ки в 5-11 классах сгруппирован в тематические таблицы. Весь
материал распределен в соответствии с содержанием школьных
предметов — математика, алгебра, геометрия — по разделам,
адресованным ш кольникам 5 -6 классов, 7 -9 и 10-11.
Пособие предназначено для повторения материала и под
готовки к контрольным работам, зачетам, экзаменам.
УДК 373:51
ББК 22.1я2
ISBN 978-5-17-017214-6 (ОСЮ «Издательство АСТ»ХЖелт.)
ISBN 978-5-271-05626-0 (0 00 «Издательство Астрель»ХЖелт.)
ISBN 978-5-17-059064-3 (0 00 «Издательство АСТ») (ЕЮ)
ISBN 978-5-271-23839-0 (0 00 «Издательство Астрель») (ЕЮ)
МАТЕМАТИКА 5—6
Натуральные ч и сла........................................
Признаки делимости......................................
НОК и Н О Д .....................................................
Действия с обыкновенными дробями.........
Положительные и отрицательные числа.. .
Действия с положительными
и отрицательными числами . ......................
6
7
8
9
9
10
АЛГЕБРА 7—9
Формулы сокращенного умножения...........
Свойства степени............................................
Пропорция.......................................................
Свойства квадратного корня........................
Свойства корня я-й степени........................
Свойства числовых неравенств....................
АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА 10—11
Логарифмы.......................................................
Пределы...........................................................
Производная......................................... . . -. .
26
28
29
Функции
Степенная функция...................................
Показательная функция..........................
Логарифмическая ф у н кц и я....................
Тригонометрические функции...............
Обратные тригонометрические
ф ун кц и и .....................................................
Интеграл...........................................................
Вычисления с помощью интеграла.............
Комбинаторика................................................
Комплексные ч и сл а.......................................
31
32
33
34
36
38
40
42
44
ГЕОМЕТРИЯ 7—9
У глы..................................................................
Треугольники..................................................
Площадь треугольника...................................
Равные и подобные треугольники...............
Прямоугольный треугольник........................
Равнобедренный треугольник......................
Равносторонний треугольник........................
Параллелограмм..............................................
Т рапеция.........................................................
Многоугольники..............................................
Окружность ....................
Углы в окружности.......................................
Декартовы координаты на плоскости.........
4
46
48 .
50
51
54
56
57
58
60
62
64
68
69
ГЕОМЕТРИЯ 10—11
Углы в пространстве......................................
Тела вращения
Цилиндр .....................................................
К он ус...........................................
Сфера и ш а р ..............................................
Декартовы координаты в пространстве. . . .
Векторы....................................................
Правила арифметических действий
Переместительный закон
а + Ь = Ъ+ а
а - b = b *а
Сочетательный закон
а + (6 + с) = (а + Ь) + с
а - (& • с) —(а • 6) • с
Распределительный закон
а- (& + с) = а - 5 + а * с
а - ( Ь- с ) = а- Ь а - с
Признаки делимости
На 2: последняя цифра — четная (О, 2, 4, 6, 8).
Пример: 24, 248, Ж .
На 3: сумма цифр числа делится на 3.
Пример: 45 (4 + 5 = 9 — делится на 3);
Я6 (8 + 6 = 14 — не делится на 3);
На 4: число, составленое из двух последних
цифр, делится на 4 (00, 04, 08, 12 и т. д.).
Пример: 248, 512, Я 5 .
На 5: последняя цифра 0 или 5.
Пример: 340, 235, 1 S T .
На 9: сумма цифр числа делится на 9.
Пример: 198 (1 4- 9 + 8 = 18 — делится на 9);
J28T (2 + 8 + 1 = 11 — не делится на 9).
На 10: последняя цифра 0.
Пример: 1830, 2 0 1 7 .
На 25: число, составленное из двух последних
цифр, делится на 25 (00, 25, 50, 75).
Пример: 1375, 2 4 0 , -805, 650.
7
НОД либо меньше данных чисел, либо равен
меньшему из них.
Наименьшее общее кратное
НОК (180,1368) = 2- 2 ' 3 ' 3 * 5 * 2 * 1 9 = 6840
__________ ♦
______ X f X
выписываем и не совпадаю
все делители
щие с ними де
меньшего
лители другого
числа
числа
I
•
8
НОК либо больше данных чисел, либо равен
большему из них.
Действия с обыкновенными дробями
Сложение
и вычитание:
а _|_ с _ а + с
Ъ Ъ
Ъ
а _ с _ а -с
Ь Ь
Ъ
а
с _ ad +Ъс
Ь d
bd
а _ с _ ad —be
b d
bd
дробей с общим
знаменателем
дробей с разными
знаменателями
Умножение
a . с = a -c
b d
b d
Деление
a , c _ a %d _ a • d
b d
b c
be
Положительные и отрицательные числа
I I I
I
I
I I I I
I
- 9 - 8 - 7 -6 - 5 - 4 - 3 - 2 -1 0
H I-4
I
1
I
2
I 4I 5I 6I 7I 8I 9I *
3
|0| = 0 |2| = 2
Модуль числа равен расстоянию от нуля до
числа на координатной прямой.
Противоположные числа — числа с одинаковыми
модулями и разными знаками (5 и -5 , - 1 ,5 и 1,5).
\а\ = а, если а > 0
|а| = - а , если а < 0
\а - b\ = \b - а\
-а + а = 0
а + (-а ) = 0
а- а= 0
9
5£
5
S
2
2
х
л
с
0)
h
IО
с
С
10
с
1
3
*
о
о
Знак числа
с больш им
м одулем
+
а
*
с*
£
а
у
3
0Q
а
К
о
3
а
Действия
с модулями
+
Зн ак
ответа
+
Действия
с модулями
+
Знак
ответа
П ерем но
ж и ть
П оделить
+
П оделить
П ерем но
ж и ть
1
.
3
3ь>
<
fee
Действия
с модулями
1
Знак ответа
П оделить
В ы честь из
больш его
м одуля
м ен ьш и й
П ерем но
ж и ть
Зам ен яем на слож ение: а - Ъ —а 4- (-Ь )
С лож ить
ф
С лож ить
S
2
X
л
Ч исла с разны ми знакам и
с
о
X
У
S
О трицательные
числа
s
2
П оложительные числа
Д ействия
СО
АЛГЕБРА 7—9
Формулы сокращенного умножения
Квадрат суммы
(в + ft)2 = а2 + 2аЪ + Ь2
Квадрат разности
(а - Ъ)2 — а2 - 2аЬ + Ь2
Куб суммы
(а + ft)3 = о3 + 3 а2Ь +
+ 3оЪг + Ь3
Куб разности
(а - ft)3 = о3 - 3a2ft +
+ 3aft2 - ft3
Разность квадратов
a 2 - ft2 = (a - ft)(a + ft)
Сумма кубов
a 3 + &3 = (a + b) x
x (a2 - ab + Ы2)
Разность кубов
a 3 - ft3 = (a - ft) x
x (a2 + aft + ft2)
Свойства степени
• =a m +
am an
n
am : an = am~n
(am)n
=a mn
( a b Y n = am bm
=1
fa
>\m=bm
\bJ
a0
1
° m
a*
=Ja n-
an
a"
-
=
=
S'
nJa
"Jo™
11
Пропорция
Пропорция 2 = £ равносильна следующим
о
а
равенствам:
а _ 6.
с
d*
d _ с щ b = d
Ь
а 9 а
с'
Основное свойство пропорции:
a d = be
Свойства квадратного
(арифметического) корня
J a - Jb = Jab
Ja _ la
Jb
Vb
( J i) m = JJ^
J ab = J\a\ ■ Vi*i
j i _ J\J\
w
M
= (-v/0)'"
Свойства корня л-й степени
nJa = nhJ a k
nJ a _ la
---nJT
•JB
w
(nJ a )m - "Jo*
”i f j i = mnJa
nJ~a • nJ b = nJ a~ b
12
Свойства числовых неравенств
а, Ь — любые числа
Если а > b и b > с, то а > с
(свойство транзитивности).
Если а > Ь , то a + c > b + c (с € R).
Если а > b и с — положительное число,
то ас > Ъс.
Если а > b и с — отрицательное число,
то ас < Ьс.
Если а > b и с > d, то а + с > b + d.
а, Ь — положительные числа
Если а > b > 0, то i < - .
а
Ъ
Если a > b > 0 n c > d > О, то ас > bd .
Если а > b > 0 и m € ЛГ, то ат > Ьт .
Если a > b > O n m e N 9 то mJa > mJb
13
Двойное неравенство (а < Ь < с)
Сложение двойных неравенств
Если а < К с и р < / п < ^
то a + p < b + m < c + q.
Умножение двойных неравенств
с положительными членами
Если 0 < а < & < с и 0 < р < т < д ,
то ар О
- а , если а < О
Свойства модуля
|а| > О
М = 1«НЫ
|а + б| < |а| + |й|
-а| = |а|
И = м
\ь\
IM
|о - Ь| > ||а| - |6||
|а -Ь | = |г>-а|
в 2 + Ь2 > 2|а1>|
14
ФУНКЦИИ
Линейная функция у = к х + Ь
15
Дробно-линейная функция
у = - (к
* 0 , * * О)
X
(обратная пропорциональность)
График — гипербола.
Оси симметрии — прямые у = х и у = —х.
Центр симметрий — начало координат (точка 0).
4
k> 0
Область определения:
0) и (0; +оо).
Функция убывает
на каждом
из промежутков
(—оо; 0) и (0; +°°).
у
(-о о ;
х)
X
—
k< 0
Область определения:
0) U (0; + оо).
Функция возрастает
на каждом
из промежутков
(-о о ; 0) и (0; + о о ).
(-о о ;
16
у<
у=AJ
.
~~
0
Г
Квадратное уравнение
ах2 + Ьх + с = О
Дискриминант: D = ft2 - 4ас,
D > О — два действительных корня,
D — О — один действительный корень,
D < О — нет действительных корней.
Формула корней
Свойства корней
(теорема Виета)
Квадратное уравнение ах2 4- Ьх + с = 0
^
Х*-2
-b ± J b 2-4 a c
2в
х л 4- х 2 — ~ 1
z
а
*1 ' *2= 1
Приведенное уравнение (а = 1)
х2 + рдс + q = 0
*1 + *2 = -р
■* 2 = q
Уравнение с четным вторым коэффициентом
(Ь = 2k)
а х2 4- 2Ах 4- с = 0
_
- k± Jk2- ас
-*1 9 “
а
2 - Математика в табтшцах
X! ' Х2 = £
17
Квадратный трехчлен
ах2 + Ьх + с
Корни квадратного трехчлена:
„
*» ■*
•
•
_ - Ь± Jb 2 - 4ас
Та--------
Чтобы найти корни квадратного трехчлена,
нужно решить соответствующее квадратное
уравнение ах 2 + Ьх + с = О.
Разложение квадратного трехчлена
на множители
D< 0
D> 0
D= 0
Не раскладывается
ах 2 + Ьх + с = а(х -
jc1)(jc -
х2)
ах 2 + Ьх + с = а(х - x t)2
Выделение квадрата двучлена
из квадратного трехчлена
ах 2 + Ьх + с =
= «(** + * * + О =
V
а
а.'
= а('(х 2 + 2- ± -х + -5 1 ) + £ - i i ) =
2а
4 а2'
а
4а2'
= а (х + ь ) 2 + 4 ас ~ ь2
^
2а'
4а2
18
Квадратичная функция у = ох2 + Ьх + с
График — парабола.
Ось симметрии — прямая х = х0,
а > 0 — ветви вверх, при х0 —
наименьшее значение.
а < О — ветви вниз, при х0 —
наибольшее значение.
Координаты вершины параболы: х0 = - А , Уо = у(х0).
Ч
Корни функции (или нули функции) — это точки
пересечения графика функции с осью Ох.
щ Корни функции определяются как корни
Т соответствующего квадратного уравнения
# ах2 4- Ьх + с = О
а
0
>
а
У* к
D > 0
Два
корня
0
V1
XJ
J x2 у
*
Уji
D < 0
Нет
корней
и
о
V7
н
0 = 0
Один
корнь
< 0
Уi k
* i = *2
X
У, к
\
0
/1
0
X
Уi i
J
0
X
i
19
Квадратное неравенство
Решение квадратного неравенства:
1) найти корни соответствующего квадратного
уравнения ах2 + Ъх + с = О;
2) схематично изобразить график квадратичной
функции у = ах 2 + Ьх + с;
3) записать промежутки, на которых
квадратичная функция положительна
(неравенство ах2 + Ъх + с > О) или отрицательна
(неравенство ах2 + Ьх + с < 0).
(Т) ах2 + Ьх + с > 0
D > 0
\ /.
а >0
(D
D = 0
D < 0
ЧУ .
(-ОО; X l) U
(х2; + ° ° )
U ( х х; + оо)
и
[дгх; * 2]
D > 0
/V
(*1?
х 2)
20
U
[х2; + оо)
(—оо* +оо)
{*!>
0
D = 0
D < 0
*1=*2
/ \
■
/ \
0
0
(-о о ; + °°)
(-ОО; +00)
(- о о ; X j] U
®
Ч У
*1=*2
(- о о ; дсх) U
®
а < 0
(2) ах2 + Ьх + с < 0
j
Прогрессии
Арифметическая прогрессия
Формула л-го члена
Характеристическое
свойство
ап = а х + (п - 1)d
а п - 1 + а п+1
Сумма п первых
членов
Л
п
2а г + d { n - 1)
2
а1 +
Свойство
_
2
П
= а2 + а п - 1 =
= ак + ап - к
ап
Геометрическая прогрессия
Формула 71-го члена
ьп
= ь \ ■чп~1
Х арактеристическое
свойство
Сумма п первых
членов
= b1 - \ ~ qn
1-q
bi * bn = &2 ' bn - 1 = •••
... = bk - bn _ k
s = , Jb i-q
21
Средние величины
Среднее арифметическое
двух величин
а+ Ь
2
п величин
ai + a2+ ...
п
+
ап
Среднее квадратичное
^Т ь2
двух величин
/1/
п величин
Vл
2
2
°1 + а 2 +
•••
2Ч
+ ® в>
Среднее геометрическое
(среднее пропорциональное)
двух величин
Jab
п величин
">1
• ®2 • — • « я
Золотое сечение
Величина а делится на части х и а - х так,
чтобы х = Ja(a
-
х) =
* а ~ 0,618а
х
а - х
а
22
Тригонометрические тождества
Основные тождества
sin2 а + cos2 а = 1
tg а =
cos а
ctg а =
sm а
tg а •ctg а = 1
1 + tg2a = —L 1 + ctg2a - —i—
sin2a
Формулы сложения
sin (а ± Р) = sin a cos Р ± cos a sin Р
cos (а ± р) = cos a cos Р + sin a sin р
Формулы
половинного угла
11
+ cos a
a I
cos1
2 1
V
1• a I
sin —
1
2 |
/1 - cos a
V
2
=
sin a . =
1 +cosa
2
1 - cos a
sin a
Формулы
двойного угла
cos 2 a = cos2a - sin2a
cos 2a = 2 cos2a - 1
cos 2a = 1 — 2 sin2a
sin 2 a = 2 sin a •cos a
tg 2a =
2tg l0g„ X.
Если 0 < а < 6 < 1 и х > 1, то
loga X > logfc X.
Если 1 < а < 6 и 0 < х < 1 , то
log0 х < log6 X.
Если 0 < а < Ь < 1 и 0 < х < 1 , то
loga X < logj X.
27
Пределы
С войства пред ел ов
lim с = с
х~+ а
lim ( Д х )+ £(*)) = lim /(х ) + lim £(х)
х —а
х—
*■а
х—
>а
lim ( f ( x) - g( x) ) = lim /(х ) * lim £(х)
х
а
х—
»а
х—
*а
lim /(х)
lim Л *! _ х -*а
lim £(х)
i - а £(*)
х—
►
а
lim (k ■f(x)) = k • lim /(х )
х -* а
х —а
П р ед ел ы н ек о то р ы х п о сл едовател ьн остей
а > 0 , b > 1, а > 0, р — н атурал ьн ое число
lim (1 + 11
П—оо V л/
lim —
—е
lim n{nJ a - 1) = In а
Л—оо
= в
lim nJ n — 1
Л оо
l i m 106*" = 0
Я—* оо я а
lim — = 0
Л-* оо л!
lim ^
Л—оо
л
tg I
lim — — = 1
Л *• oo l
п
lim nJa = 1
— О
О
lim
л
28
.
1
sin
—
lim
" = 1
Л—ОО 1
п
= 0
— оо
V
+ V
+
-
f lP + 1
+ nP
.
1
Р + 1
Производная
y' = f '(x )=
lim %L
Ax —*■0 &X
Вторая производная: f ' ( x ) = ( f ( x ) ) '
Производные высших порядков:
/*">(*) = (/;•+ о о )
Е(у) = (0; +°°)
Возрастающая
функция
а
0
1
х
D(y) = ( - о о ; + о о )
Е(у) = (0; +оо)
Убывающая
функция
Логарифмическая функция у = \oga х
(а > О, а ~ 1, х > 0)
0 1
У 1^
1 -----------
0
/\
__ .
.
|
а I
0(1/) = (0; + о о )
Е(у) = (-°°; +°°)
Возрастающая
функция
32
к
1д
i \ i
0 а \
1 >(«/) = (0; + о о )
Е(у) = ( - о о ; + о о )
Убывающая
функция
3 - Математика в таблицах
33
Тригонометрические функции
у
Щ
у )
=
( - ° ° ;
+ ° ° ) ;
Е
=
( у )
s i n
х
[ - 1 ;
=
1 ] .
Наименьший положите!п>ный период Т — 2п.
Нечетная функция. Нулш функции: х = nk.
Функция возрастает на промежутках
[-5
+
2жк;
|
2я *
+
]
;
убывает на промежутка: к [5
_
JC
-
1 -
г
*3 я
* >
Щ
2
/
/
=
C O S
|
*
X
(~°°; +°°); Д О / ) = [ - 1 ; 1 ] .
Наименьший положгггельный период Т
я ( г /)
2я*] .
+
З л
I
?
У
2пк;
у = sin х
Hi
—v
+
=
Четная функция. Ну ли функции: х
—
=
?
2я.
4-
nk.
Функция возрастает на промежутках
[-я + 2nk ; 2nk ] ;
убывает на промежупгках [2я&; я + 2пк].
У t
k
у=
C O S
JC
1
\
З2 л Х
34
-л
/
/ я2
'
--------- ------
-
0 A jy ? !'
- 1
2
2
2 л
*
У = tg *
Щ ) ) = ( - | + я й ; 5 + я*); ; Д(у) = (-°°; +°°).
Наименьший положителы аый период Т = п.
Нечетная функция.
Функция возрастает на ка[Ждом промежутке из
области определения.
Асимптоты: х = - + nk, k е Z.
2
г/i
1
N>|»
О
J \п
!
у
= ctg
X
D ( y ) = (я/г; 2я£); £(у) = (-оо;; +«>).
Наименьший положительньш период Т = я.
Нечетная функция.
Функция убывает на каждо:м промежутке из области определения.
Асимптоты: х = я/г, /г 6 Z.
k
1
А
1\
-«!
V 1
1
1
1
о .____
!V
il
А
л
я| „
л \ 1I X
л
4 2 \l
К
35
Обратные тригонометрические функции
у = arcsin х
Щу ) = [-1; 1].
[-=;!]■
Нечетная функция.
Возрастает на всей области
определения.
у = arccos х
Щ у ) = [-1; 1].
Е(у) = [0; я].
Убывает на всей области
определения.
У1
л
2
/\
-1 / 1
1у 0 1
1f
г
х
л
2
Уi 1
л
\ л
1\ 2 ^
1 >\ 1
1
\|
1
1
-1 0 1
X
у = arctg х
к
Щ у ) - (-°°; к»).
ад-(-1;?).
у = arcctg х
Щ у ) = (-°°; +°°).
Д(у) = (0; я).
Убывает на всей области
определения.
Асимптоты: х = 0 и х — я.
Ж
0
х
1
Нечетная функция.
Возрастает на всей области
определения.
Асимптоты: х = - 5 и х = 5 .
2
2
У\
к
1Г
2
-1 0
1 X
Значения тригонометрических функций
некоторых углов
а,
рад
30°
п
3п
2
2
60°
90°
180°
270°
Л
sm а
72
cos а
л
2
tg а
7з
ctg а
45°
п
3
не
опр.
7з
2
-1
Л
7з
Л
не
опр.
не
опр.
не
опр.
Соотношения между обратными
тригонометрическими функциями
arcsin х = -arcsin (-х) = 5 - arccos х
arccos х = п - arccos (-х) = ^ - arcsin х
arctg х = -arctg (~х) = ^ - arcctg х
arcctg х = я - arcctg (-х) = ^ - arctg х
37
Интеграл
Неопределенный интеграл — это выражение
F(x) + С для всех первообразных функций
от данной функции Дх):
Fix) + С = j tix)dx
Основное свойство
(jf (x ) d x )' = fix)
Интегралы некоторых функций
jkdx = k x + C
j*cos xdx = sin x + C
Г
гЛ+ l
_
f xndx = x
+ C
Jsinxdx = —cos x + C
J Idx = In И + C
f 1 dx - tg * + C
Jcos~r
je xdx = e* + C
f—i —d i = -c tg x + C
\azdx = — + C
J
In a
jig xdx = -ln|cos x| + C
и
■8
H
lnjsin x| + C
Основные правила интегрирования
I * • f{x)dx = k ■jf(x)dx
j(f(x ) + g{x))dx = jf(x)dx + jg(x)dx
38
Формула Ньютона-Лейбница
jf(x)dx = F(b) - F(a) = F(x)j‘
Свойства определенного интеграла
jf(x)dx = 0
а
b
с
Ь
jf(x)dx = ff(x)dx + j7 (x )d x
а
а
с
b
a
jf(x)dx = -jf(x)dx
a
b
b
b
j k-f(x)dx = k jf(x)dx
a
a
b
b
b
j(f(x) + g(x))dx = jf(x)dx + Jg(x)dx
a
a
a
a
a
Если Дх) четная, то J f(x)dx = 2jf(x)dx .
.0
-a
a
Если Дх) нечетная, то J f(x)dx = 0.
ь
m(b —a) < J/(x )d x < M(b — a),
a
где М и т — наибольшее и наименьшее
значения Дх) на отрезке [а; 6].
39
Вычисления с помощью интеграла
Площадь криволинейной трапеции
40
Длина кривой
У>
1
№
ь
1= j j l +( f ' ( x) ) 4x
1
1
а
"о|
1
1 ^
Ъ
х
а
Площадь поверхности вращения
Vi
ь
S = 2 n |7(*W l+ (/'(*))2d*
{
(! |
0 hi/
!
6
w
X
Объем тела вращения
Vi
l
/(*)
ь
V
= n U f ( x ) ) 2d x
{
°
ж
41
Комбинаторика
Факториал
п\ = 1 • 2 ■3 * ... • п
Основное свойство факториала
тй = п * (п - 1)!
Размещения из п по m элементов
Соединения, отличающиеся самими элементами
или их порядком.
<
-
= п(п - 1)(п - 2) ... ( п - т + 1 )
Перестановки
Соединения, отличающиеся только порядком
элементов.
Р п = и! = 1 • 2 • 3 • ... • п;
Рп = Ап
Сочетания из п по т элементов
Соединения, отличающиеся только самими
элементами.
Q m
п
_
42
=
П\
т\(п - т)\
_
Ат
^П_
=
Рт
n(n - l ) ( n - 2). . . (п - т + 1)
1 • 2 • 3 *... • т
Свойства сочетаний
jW
л
п ~ ^п
/шт + 1 _ ^
/Л
, /^« + 1
Сл+ 1 ~ Сл + Сл
С®
л + c lл + С2
л + ... + с "л 1 + с "л = 2"
Бином Ньютона
(а + 6)" = о" + С* ап 1 Ь + С2 ап~2Ъ2 +
+ ... + С *ав-*5* + ... + Ь"
С„=п;
п(п - 1) .
С2п
2
Ck =
’
n
Л*
(n-k)\k\
Треугольник П аскаля
л= 0
1
л= 1
X
л= 2
л= 3
1
л= 4
1
л= 5
1
л= 6
п = 7
1
1
4
5
6
7
I
Ч /
1 2
1
\ /
3
3
1
6
10
15
21
4
10
20
35
1
5
15
35
1
6
21
1
7
1
По этой схеме определяются биномиальные
коэффициенты.
43
Комплексные числа
z = х + iy (i2 = - 1)
Re z = x - действительная часть комплекс
ного числа,
Im z = у - мнимая часть коплексного числа.
Комплексно-сопряженные числа
z = а + ib
и
z — а — ib
Действия с комплексными числами
*1 + Z2 = (*! + х 2) + Цуг + у2)
*1
zl ’ z2
-
f l = *1*2
%
2
*2
“
(* 1
-
*
2>
+
^ 1
-
У
2
>
= (* 1*2 “ У1У2> + *(*1^2 + * 2У 1>
У1У2 + -* 2 У 1 - * 1 У 2
2
2
* 2 + ^2
2
2
* 2 + ^2
- 0>
,
2
Тригонометрическая форма записи
комплексных чисел
44
Модуль коплексного числа
\г\ = г = J a 2 + Ъ2
Аргумент комплексного числа
Arg z = arg z + 2nk (k = 0, 1, 2, ...),
где arg z = cp — главное значение аргумента.
Показательная форма записи комплексных
чисел
z = rei(b
Формула Эйлера
>= cos ф + i sin ф
Произведение и частное комплексных чисел
* Г Ч - Г1Г2 *
