METHODS
OF
MATHEMATICAL PHYSICS
by
S ir H a ro ld Jeffreys
M. A., D. Sc., F. R. S.
an d
B erth a S w irles (L ady Jeffreys)
M. A., Ph. D.
Third E dition
CAMBRIDGE
CAMBRIDGE UNIVERSITY PRESS
1966
Г. ДЖЕФФРИС, Б. СВИРЛС
МЕТОДЫ
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ
ФИЗИКИ
ВЫПУСК 2
П ер евод с английского
п од ред.
В. Н. Ж а р к о в а
И ЗД А Т Е Л Ь С Т В О «М И Р »
Москва 1970
Ф ундам ентальное руководство по прикладной математике,
написанное известным геоф изиком Г. Д ж еф ф р и сом и его суп р у
гой Бертой Свирлс, представляет собой вы даю щ ееся явление
в мировой литературе. С ним мож но сравнить лишь такие
труды, как „Методы математической физики" Куранта и Гиль
берта или „М етоды теоретической физики" М орса и Ф еш баха
(выпущенные изд-вом „Мир" в русском переводе), которые
являются настольными книгами для всех, кто работает в области
физико-математических дисциплин. Д л я удобства читателей р ус
ский перевод разбит на три выпуска: вып. 1 вышел в 1969 г.,
вып. 2 и 3 намечено издать в 1970 г.
Книга Г. Д ж еф ф р и са и Б. Свирлс привлечет внимание фи
зиков, геофизиков и астрономов, имею щ их дел о с той областью
прикладной математики, где наряду с чисто рецептурной вы
числительной техникой н еобход и м о строгое понимание методов
математической физики. Книга окаж ет так ж е больш ую помощь
аспирантам и студентам старших курсов.
Редакция
космических
исследований, астрономии и ге офизики
Г. Дже ффр ис , Б. Св и р л с
МЕТОДЫ м а т е м а т и ч е с к о й
ф и зи ки
вып. 2
Редактор Э. А, Медушевская
Художник Е. М. Золотарев
Художественный редактор В. М. Вар л а ши н
Технический редактор Л . П. Кондюкова
Корректор Е. Г. Литвак
Сдано в производство 3/XI 1969 г.
Подписано к печати 12/11 1970 г.
№ 2 60Х90'/.«.= 11 бум. л. 22 уел. печ. л. Уч.-изд. л. 19,45. И зд. № 27/5570.
З ак. 379.
Бум ага тип.
Цена 1 р. 22 к,
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»
Москва, 1-й Рижский пер., 2.
Ордена Трудового Красного Знамени
Л енинградская типография № 2 имени Евгении Соколовой Главполиграфпрома
Комитета по печати при Совете Министров СССР.
Измайловский проспект, 29,
2-3-1, 2-6-1
70
’
ОГЛАВЛЕНИЕ
о т РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
ГЛАВА 9. ЧИСЛЕННЫ Е МЕТОДЫ
7
ГЛАВА 10. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИ СЛЕН ИЕ
101
ГЛАВА 11. Ф УНКЦИИ КОМ ПЛЕКСНОГО ПЕРЕМ ЕННОГО
132
ГЛАВА 12. КОНТУРНОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ И ИНТЕГРАЛ БРОМ ВИЧА
195
ГЛАВА 13. КОНФОРМ НОЕ ПРЕО БРАЗОВАНИЕ
249
ГЛАВА 14. ТЕОРЕМА ФУРЬЕ
279
ГЛАВА 15. ФАКТОРИАЛ И СВЯЗАННЫЕ С НИМ ФУНКЦИИ
333
УКАЗАТЕЛЬ
351
от
РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
Во второй выпуск вошли гл. 9 — 15, посвящ енны е числен
ным методам, вариационному исчислению, интегрированию по>
контуру и и нтегралу Б ром ви ча, конформным отображениям,,
теореме Фурье, ф ак тор иал у и связан ны м с ним функциям.
Главы 9 и 11 перевели Л . В. Никитин, А. А, Гвоздев и
Б. В. Костров; гл. 10 —А. Л . Л евш ин и Е. Л . Резников,,
гл. 1 2 — 15 —М. Л . Гервер,
В. Н . Ж а р к о в
Глава 9
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
я не получаю удовлетворения от ф ормул, пока
не почувствую численных значений величин,
Л о р д Кельвин
„ Жи з н ь С и л ь в а н у с а Томпсона"
9.01.
П риближение многочленами. Почти д л я всех числен
н ы х методов характерно, что значение некоторой функции f { x )
з а д а н о в р яд е отдельны х значений л: и не зад ан о в проме
ж у т к а х м е ж д у ними. Д л я вычислительных целей эти проме
ж у тк и зап ол н яю тся в предполож ении, что f { x ) м ож но з а м е
н ить многочленом, совп адаю щ и м с f { x) в тех точках, где
за д а н ы значения этой функции. Самый простой случай — ли
нейная интерполяция, когда из таблицы берут только д в а
соседние значения, а все промеж уточны е вычисляют, пред
п ола гая, что f '{ x ) в р ас см а три в ае м ом интервале постоянна.
Т а к о й способ д а е т достаточную точность лиш ь при условии,
что / '( х ) мало меняется на и нтервале м е ж д у зад ан н ы м и з н а
чениями. О д н ако часто встречаю тся случаи, когда нужно
«обращать внимание на производные более высокого пор яд ка.
П ри б ли ж ен и е многочленами никогда не м ож ет быть м а тем а
ти чески точным (кроме того случая, когда са м а функция
/ (л:) — многочлен), но при подход ящ их условиях м ож ет д а в а т ь
так у ю ж е точность, с какой з а д а н ы сами табличные значения.
9.011.
Интерполяционная ф орм ула Л а гр а н ж а * ).
У{х) з а д а н а при x = xi, Х2 ,
х„. Тогда функция
e ( x ) = f(x,)
I
I
П усть
{х-хп)_ ,
( x - X l ) { K - K i ) ... ( Х - Х п )
,
I f
_ X,) { X , - x , ) . . . ( x , - x n ) ' ^ ’ " ' ^ '
/
ч
( X ~ X l ) .. . ( x ~ x n - i )
- X , ) . . . {Xn - X n - , )
’
( 1)
•совпадает с f ( x i ) при x = xi, с /(лгг) при X = X2 и т. д. Ф ун к
ция g (л:) — многочлен степени п — 1. Она симметрична в том
*) В действительности принадлеж ит Варингу [1]. Вновь открыта Эйлером
в 1783 г. П убяикации Л агранж а относится к 1795 г. О днако, по-видим ом у,
эта ф ормула ^ я а известна ещ е Н ью тону. И сторические ссылки м ож но
«ай т и в книге П ирсона [2].
смысле, что не меняется при перестановке индексов. П оэтом у
значения из т аб л и ц мож но брать в лю бом порядке.
Больш инство интерполяционных формул мож но вывести из
ф орм улы Л а г р а н ж а . С ам а форм ула Л а г р а н ж а не всегда
у д о б н а из-за того, что на практике g { x ) в основном опреде
л яется соседними табличными значениями и, значит, линейная
и нтерполяция н у ж д ает с я только в небольших поправках.
А в ф ормуле ( 1) все аргументы стоят симметрично и нуж но
учиты вать в к л а д всех сл агаем ы х. Вычисления упрощ аю тся,
если используется ф ормула, в которой явно учтена особая
роль соседних значений и тем самы м утрачена симметрия.
9.012.
Разделенны е разности. П усть имеется таб л и ц а зн а
чений f{Xr) в точках Xi . . . Хп. Д л я к а ж д ы х д ву х п осл ед ова
тельных значений аргум ента Хг и Хг+\ обр азу ем отношение
f. iXrXr^,) = Ix.Xr^,] =
_
(2)
У потребительны оба обозначения: и /j, и [XrXr+i]. Выписанное
отношение н азы ва ю т первой р а зде ле нной разностью. З а т е м
составим
f2{XrXr +,Xr+2) = [XrXr^lXr^^] =
I
•
(3)
Это вторая р а з д е ле н на я разность. Высшие разности строятся
таким ж е о бразом , причем на к а ж д о м ш аге зн ам енатель
п р ед став л яе т собой разность тех значений х, которые только
один р аз встречаю тся в числителе. Возьмем теперь п роизволь
ное значение х, не совп адаю щ ее ни с одним из Xi, X2 , . . .
Разд елен н ы е разности, со д ерж ащ и е х, сущ ествую т и по опре
делению равны
[xxi] =
[xXiX2]=
,
откуда
f { x ) = f { xi ) + [ x x i ] { x - x i ) ,
(4)
откуд а
[xxi] = [x^x2 ] - ^ [ x x ^ x 2] { x - Xi),
(5)
[XX,X2 . . . X„] =
~ ’
(6)
откуда
[XXIX2 . . . Xn~i] = [Xi . . . Xn] + [XX1 X2 . . . x n \ { x - Xn).
(7)
П од стави м в первое равенство разность [xxi] из второго.
Тогда получим трехчленную формулу, со д ерж ащ ую [ХХ1 Х2].
П о д ста ви м вместо l x x i x 2] вы раж ен и е, з а д а в а е м о е третьим ра-
венством. П р о д о л ж а я этот процесс, окончательно имеем
/ (х) = / (л:,) + (л: - Xi ) {[Х1Х2] + (л; - Хг) {[xix^x^] +
где
R ( х) = [ХХ1Х2 . . . Х п ] ( х - x i ) { Х - Х 2 ) . . . { х - Хп).
(9 )
Р аскроем скобки и получим
f{x ) =
f (Xi) +
{ х -
Xi)
+ (х -
Xi)
[Х,Х2] + { х - X i ) { х - Х 2 ) [ Х 1 Х 2 Х 3 ] + .
. . . ( х ~ X n - l ) [Х1Х2 . . . x J + R (х),
. . +
(10)
или
f i x ) = P { x ) + R{x).
(11)
Это тож дество, получаю щ ееся из определения разд ел енн ы х
разностей. Ценность этой ф ормулы зави си т от величины R{x) ,
которую нел ьзя получить из одних определений, если неизве
стна сам а f (x) . Но если каким-либо другим способом у д ается
установить пределы д ля R{x) , то одновременно определяю тся
и
пределы ошибки,
допускаемой при отбрасы вании
R{x) .
В этом случае Р { х ) о к азы в ается многочленом степени « — 1,
при б л и ж аю щ и м f {x) с точностью, которую можно оценить.
Рассмотрим теперь разделенны е разности функции х ' при
целом г. Разность
-X
4- . . . + л:''-'
(12)
п р ед став л яе т собой многочлен степени л — 1. Это свойство
мож но сра зу установить и д л я любого многочлена степени г.
П оэтому р азд ел е н н ая разность п ор яд ка г многочлена сте
пени г постоянна, а все разности более высоких порядков
равны нулю.
Д ал ее, функция f {x) совп ад ает с интерполяционной функ
цией Л а г р а н ж а g ( x ) в точках x = xi, Хз, . . . , х„. П оэтому р а з
деленные разности g (x ), в зяты е в этих п точках, совпадаю т
с соответствующими разностям и f ( x) . С ледовательно, ф ормула
( 10) д ает д ля g (х)
g ( x ) = P ( x ) + [xxi . . . x „ ] ( x - x i ) . . . ( x - x n - i ) ( x - x „ ) ,
(13)
причем р азд ел е н н ая разность в последнем члене п р ед став л яе т
собой п-ю разд еленн ую разность g'(x). Но g (х) — многочлен
степени п — 1, и поэтому его п-я р азд ел е н н ая разность р а в н а
нулю. С ледовательно,
g(x) = P(x)
(14)
д л я всех значений х. П оэтому если определить R ( x ) как
f { x ) ~ P { x ) , то /?(х) = 0 при x = xi, Х2, . . . . Хп. Это не следует
И З того, что в (9) имеется сомнож итель, равный нулю, так
к а к разделенны е разности не определены д л я со в п ад аю щ и х
точек.
П редп ол о ж и м теперь, что на и нтервале (а, Ь) функция f { x )
имеет производны е вплоть до п о ряд ка п. Тогда и R { x ) имеет
производные до п ор яд ка п, поскольку gf (х) — многочлен. Пусть
Хи Х 2,
Хп располож ены в порядке возрастани я. И х п оря
д ок не влияет на R{x) , так ка к g (л:) — симметрична. Тогда
в силу того, что R { x ) = 0 при л: = л:| и х = х2, по теореме Р о л л я
/?'(л:) = 0 при некотором п ромеж уточном значении х. А н ал о
гично R ' { x) = 0 при некоторых х в ка ж д о м из интервалов о т
Х2 до лгз, . . . от
ДО Хп. И спользуя теорему Р о л л я еще раз,
видим, что /?"{х) = 0 при п — 2 значениях х, л е ж а щ и х м е ж д у
Х\ и Хп. П р о д о л ж а я рассу ж д ен и я, получим, что
= О
при одном промеж уточном значении, ск аж е м , при х = 1. Но.
дифференцирование формулы (8) д ает
(х) = (и - 1)! [л;.Х2. . . Хп] +
W.
(15>
П оэтому
Ш = ( п - 1)1 [Х,Х2...Х „ ].
(16>
С ледовательно, м е ж д у Xi и х„ л еж и т по крайней мере однозначение х, д л я которого ( п — 1)-я р азд ел е н н ая разность р а в н а
( « — 1)-й производной f ( x) , умноженной на 1/(и — 1)!. П ол уч ен
ный р езультат верен д ля к а ж д о г о п. С ледовательно, м о ж н »
заменить п — I н а г а и получить
[ х ж ,.. .л:„]
(17>
где т) л еж и т на интервале, концы которого п р ед став л яю т со
бой наименьшее и наибольш ее значения из х, т. е. Xi и ХпВ о зв р а щ ая сь теперь к (9), имеем
R
M
- i i
/ '" Ч л ) { X -
X , ) ( Х - Х 2) . . . ( Х - Х п ).
( 1 8 ).
Если можно установить пределы д ля «-Й производной во всех
п р о м еж у тках м е ж д у п значениями аргументов, то тогда 1*1ожнрполучить оценку ошибки, получаю щ ейся при зам ене f (x) на
Р{х) . О тб расы ван и е J?(x) в (10) приводит к интерполяционной
ф ор му ле Ньютона.
П оследовательное применение (12) показы вает, что га-я р а з
д ел ен н ая разность х" р ав н а 1. Это следует т а к ж е и из (17).
Д ействительно, если /( x ) = .v", то п р а в а я часть (17) р ав н а 1
д л я всех X и, следовательно, числители всех высших разн о
стей равны 0. Это свойство удобно использовать при аппрок
си м аци и за д а н н ы х значений функции степенным рядом . Д ей
ствительно, если все л-е разд ел енн ы е разности равны
то
— коэффициент при л:”. Вычтем
из всех табли чн ы х зн а
чений и снова составим разделенны е разности. Если все ариф
метические действия были произведены правильно, то разн о
сти п ор яд ка п — I будут постоянными и их значение будет
коэффициентом при x"~^ и т. д. Процесс получения коэффи
циентов автоматически контролируется: л ю б а я арифметическая
о ш и б к а о б н а р уж и ва ется на следую щей стадии вычислений.
И з формулы (18) видно, что если
(х) не слишком сильно
меняется, то R { x ) будет наименьшим при использовании т а б л и ч
ных значений Xi, . . . л;„, наиболее близких к симметричному
расположению относительно х. Ф о рм ул а пригодна при любом
выборе табличных значений, но ош ибка, которая н еизбеж на
при неравной нулю
(х), значительно меньше при интерполя
ции, чем при экстраполяции. Подобным образом обычно боль
ш а я точность получается при интерполяции в середине таблицы ,
чем у ее краев. Т аб л и ца разностей составляется следую щ им
о б р азо м ;
/3
h
h
X,
i(x,)
Хг
Цхг)
[XiXtl
[XiXiXi]
[X2X3]
Хъ
[XtXiXiXt]
[XiXjXi]
fix,)
[XiXiXiX^]
IXiXi]
[x.xtx^]
Kt
IXiXsl
Ч
f M
[x.iXtXsXs]
IXiX^Xe]
П р и интерполяции м еж д у х^ и лг4 в к л а д
наименьший при
использовании разностей [х^х^], [х2хзх^] и [х^х^х^х^] или любой
д р у г о й последовательности, которая зак ан чи в ается на этой ж е
третьей разности. И з вторых разностей об язательн о нужно
в з я т ь одну из тех двух, которые были использованы д л я о б р а
з о в а н и я этой третьей разности. И з первых разностей о б я за
тел ь н о нужно вы брать одну из тех, по которым бы ла получена
и сп о л ьзо в ан н ая втор ая разность. В остальном выбор пути без
различен — нужно только прийти к той ж е самой третьей р а з
ности. В результате всегда получится многочлен третьей стелвни, значения которого сов п ад аю т с f { x ) при х = хг, х^, х^, х^.
Впрочем, арифметические вы кладки будут проще, если при
д е р ж и в а т ь с я насколько возможно б л и ж е к горизонтали таблицы.
П редставлени е (10) обычно менее удобно, чем (8); разделенд ы е разности высших порядков обычно м алы и при умножении
12
Глава 9
на д в а или более сом нож ителя трудно следить за положе*
нием запятой. П ри пользовании (8) начинаю т с конца и вычи
сляю т (x — x n- i ) [xiX2 . . . Хп]. П р и б а в л я ю т полученную величину
к [Х]Х2 . . . Хп-\\, ум н о ж а ю т р езу л ьтат на { х ~ Хп- 2 )> п ри б ав л яю т
к \X\X2 . ■■ л:„_2] и п р одол ж аю т таким образом вплоть до н ач ал а
строки (8). Но лучше всего ср а зу вычислить первые д ва члена.
Они д аю т линейную интерполяцию. Эти члены можно непо
средственно получить при помощи арифмометра (m ultip ly in g
machine). С н а ч а л а берется /(x i) и поворотом ручки переводится
на счетчик произведений. З атем н абирается [Х1 Х2 ] и последова
тельно у м н о ж а ется на все требую щ иеся значения х — Xi л о Х2 — Х 1
включительно. Последнее произведение д о лж н о д ав ать /(лгг),
что проверяет вычисление [Х1Х2]. Регистр множителей перед
н ачалом ум н ож ени я нужно очистить, так чтобы последователь
ные значения х — Xi мож но было читать на нем. Запиш ем
теперь (8) в виде
ИХ
f (х) = {/ (;ti) + (х - Х|) 1x1x2]} + { х - xi ) ( х - Х2) {[xi xix^x^] +
+ { х - Х^){[Х’^Х2Х.^Х^]+ . . . } } .
П о с л е д н яя группа членов в большинстве случаев п р ед став л яе т
собой лишь малую поправку, а члены в первой скобке у ж е
вычислены на арифмометре. Ж е л а т е л ь н о сохранять при расче
тах на одну зн ач ащ ую цифру больше, чем д ан о в таблице,
чтобы и зб е ж ать ошибок округления.
Все остальные численные методы связаны с заменой f{x)
интерполяционным многочленом Р{х), степень которого на еди
ницу меньше числа табличны х данных. Вообще ! { х ) ф Р { х ) ,
за исключением зад ан н ы х точек, но их разность л еж и т в пре
д ел ах, которые мож но установить. Многочлен Р { х ) п ред став л яет
собой наиболее гладкую функцию, которая совпадает с f {x)
в зад ан н ы х точках. Действительно, d"P {x)ldx”' ===О д л я всех л'.
Д л я любой другой функции это не имеет места.
9,013.
В качестве прим ера использования изложенного метода
возьмем неравномерно расположенны е значения sin x ° и при
помощи интерполяции получим таб л и цу с шагом в 5°. И сход
ные данны е и соответствующие им разделенн ы е разности пред
ставлены в следующей таблице
X
sin х°
О 0,0000
Ход интерполяции п оказан в следую щ ей таблице. Во втором
столбце таблицы стоит результат линейной интерполяции м е ж д у
д вум я бли ж айш им и табличными значениями. Третий столбец
3-
Р езу л ь таты интерполяции приведены в предпоследнем столбце.
В последнем столбце стоят значения, взяты е непосредственно
из таблиц. М ож но видеть, что разность м еж д у величинами
в двух последних столбцах только в одном случае составляет
единицу четвертого зн ака. Величину этой разности можно пол
ностью объяснить тем, что ка к в исходных данных, так н
в табличных значениях последнего столбца ош ибка при о тб р а
сывании пятой значащ ей цифры могла достигать половины еди
ницы четвертого зн ака . П ри 45° в к л ад от /з достигает десяти
единиц четвертого зн ака . Зд есь ошибка в половину единицы
в последней значащ ей цифре
д а е т ошибку в 0,7 единицы
четвертого зн ак а интерполированного значения. П ри интерпо
ляции с четырьмя зн акам и третьи разности играю т роль только
при таких сравнительно больших и нтервалах, ка к в настоящ ем
примере.
П ервы е разности везде вычислялись по двум соседним з н а
чениям. П оэтому коэффициент при /2 всегда отрицателен. Н ачи
ная с 15°, использованная вторая разность стоит в горизон
тальной строке, соответствующей н а ч ал у интервала. В торая
величина, уч аств ов ав ш ая в ее образовании, б р ал ась из строки,
предшествующей н ачалу интервала. Следовательно, х — х^, новый
сомножитель при / 3, полож ителен. Д л я первого и нтервала это
невозможно. И спользуем ая здесь вторая разность стоит в т а б
лице против конца и нтервала и зависит от значения, заданного
при 24°. Следовательно, в этом случае сомнож итель при /з
отрицателен.
И ногда уд ается повысить точность результатов, если в неко
торых точках известна п роизводная функции. Н апример, в нашем
случае известно, что при 90° производная от sin л: равна нулю.
Это мож но использовать, продолж ив таблицу на одну строку:
JC
Теперь м е ж д у 79 и 90° мож но пользоваться формулой
sin л: = 1,0000 - 0,000152 (х - 90)2 _ о,0000001 (,v - 90)^ {х - 79).
9.02.
Интерполяция при равноотстоящих узл ах. П олучать
разделенн ы е разности сравнительно трудно, но при неравных
и н т е р ва л ах м еж д у зад ан н ы м и значениями аргумента и функции
без них обойтись нельзя. П ри равных и нтервал ах м еж д у значе
ниями аргум ента вычисление разделенны х разностей можно
зам ен ить простым вычитанием. С уществую т интерполяционные
формулы двух видов. Это, с одной стороны, формул а Грегори
и так н азы ва ем а я ф ормул а Грегори д л я интерполирования наз ад
и, с другой стороны, различные ф ормул ы центральных ра зн о
стей. Ф орм ула Грегори соответствует способу, использованному
в предыдущ ем примере около н ач ал а таблицы , а в формулах
центральны х разностей используются, насколько это возможно,
разности, располож енны е вблизи от одной и той ж е горизон
тальн ой строки таблицы . К ак и д ля разделенны х разностей,
лучш е пользоваться, когда это возможно, формулами второго
типа, так к а к при этом разности высоких п орядков ум н ож аю тся
на меньшие числа.
При равноотстоящих у зл а х разности получаю тся следую щими
^Уг = Уг +1- Уп
^^Уг = ^Уг +1- ^Уг = Уг+2 - 2{/г + 1+ У,
и т. д. К а ж д а я разность получается вычитанием последующего
табличного значения из предыдущего. Такие обозначения наи
более удобны при пользовании формулой Грегори. П ри поль
зовании формулами центральны х разностей или формулами для
интерполяции н а за д удобнее применять другие обозначения.
Но при любом выборе обозначений ф актическая величина, стоя
щ ая в одном и том ж е месте следующей таблицы , та ж е самая:
Н исходящ ие разности
(forw ard differen ces)
Центральные
разности
(cen tral d ifferen ces)
В осходящ ие
разности
(backw ard
differen ces)
a^o-2A г/_2
6(/_.д
Дг/_1
^0
Уч
Xo + h
У1
Xo + 2h
VV,
^Уо
^У1
A!/i
^У2
6^1/2
1/2
^‘У2
V^3
И з способа построения таблицы ясно, что на соответствующих
местау в табли це разделенны х разностей стояли бы Ay/h — пер
вые разности, А^1//2/г^ — вторые разности и Л"г//«!/г" — разности
п-го п орядка. Значит, при использовании разностей, вычислен
ных по хо, Хо + h, Xo + 2h, . . . , форм ула Нью тона сра зу д ает
!/(лг„+е/1) - ! / . + е л - ^ + в / 1( в * - й ) - ^ - ^ + . . . - 1(, + е д » +
где Rn+i определяется по формуле 9.012 (18) и имеет вид
1 (9 -1 ) ... ( 9 -п )
^ п + 1 ( d'^ + ^ y '
(«+1)!
Получилась ф ормула Грегори, откры тая им в 1670 г. Б олее
об щ ая ф ормула Ньютона была опубликована в 1687 г. Видно,
что формула Грегори принимает вид формулы биномиального
ряд а, причем на уо действует оператор (1-1-А)®. Формуле
Грегорп м о ж но д а т ь операторное истолкование. Если о б озна
чить d i d x через D, то р яд Тейлора можно записать в виде
f(x +
a) =
( l +
а
- ^
+
- | - ^
+
. . . ) / ( л: ) =
е “0 / ( х ) .
(2 )
Если т а к ж е написать
/ (X + /I) = £ / (х) = (1 + А) / {х) =
(х),
(3)
то получится
f {х + 0 /г) =
(х) = (1 + Д)9/ (х).
(4)
О ператоры, возникаю щ ие в теории интерполяции, существенно
отличаю тся от операторов в операционном исчислении Хеви
сайд а. З д есь основным оператором служ и т Z), а в исчислении
Х евисайда — оператор
который не просто обратный по
отнощению к D, потому что они не коммутируют. Поэтому и
обоснование действий с операторами совершенно различно. Р а з
лож ение по степеням
можно обосновать д ля значительно
более широкого кл ас са функций, чем разл ож ени е по степеням D.
Бесконечный р яд Тейлора теряет смысл, если функция, на кото
рую он действует, не имеет производных выше некоторого
п орядка в каких-либо точках рассм атриваем ого интервала.
А ряд по р " ' требует только интегрируемости функций. В р ас
см атри ваем о м случае обоснование опирается на то, что при
интерполяции функция с точностью, определяемой низшей от
брошенной разностью , зам ен яется многочленом Р{х). Все члены
р я д а Тейлора функции Р (х), сод ер ж ащ и е D в степени п и
выше, равны нулю, поскольку используются разности только
пор яд ка /г — 1 и ниисе. Поэтому в за д а ч а х интерполяции опре
деленные действия со степенями D применимы, так ка к они
производятся не над самими функциями, а над интерполяцион
ными многочленами, которые пред ставл яю т собой лишь при
бли ж ени е с известной точностью.
Ф ормулу бинома можно вывести из формулы Грегори. Возь
мем интервалы, равные единице, д ля п о казател я степени
в (1 + х)" при зад ан н ом х. Т аб л и ца разностей имеет вид
п
fin)
0
1
1
I + -V
^f{n)
дс
а;2
х ( 1 + х)
2
(1+хУ
хЦ1+х)
х Ц + хУ
3
(1 + л :)'
ф о р м у л а Грегори д ля f(0) и соответствующ их разностей д а е т
,
/(/г)=1+кх+
п(п~1)
с, ,
2!— ^ - + •••
, я (га — 1) . . . ( « — / • + 1)
г
/1
,
\
,г\
-'х"(1+т]), (5)
Это формула бинома д л я действительной дробной степени *).
9.03.
В фо рмуле Грегори д л я интерполирования н аз а д исполь
зую тся разности, стоящие в табли це на во с хо дя щ ей д иагонали ,
начинаю щ ейся с Х(,. В этом случае
f { x , + 0/0 = f, + 0
+ ... .
(6)
Э ту формулу мож но легко получить и операторны м способом.
Если обозначить
f { X r ) - f { X r - , ) = Vf(Xr),
(7)
то получится
£V = A = £ - 1 ,
(8)
откуда
(9)
f (* + 0А) =
(I) = ( I -
f (*).
(10)
или
f { x + Qh) = f { x ) + QVf{x) + ^ ^ ^ W ^ f { x ) + . . . .
( 11)
По существу, получена формула д ля э к стр а и о л ящ 1И, т ак ка к
ее можно использовать д ля вычисления функщ 1И вне и нтервала
значений, зад ан н ы х в таблице. Конечно, как всегда при э к с т р а
поляции, точность п ониж ается. То ж е самое относится и к фор
муле Грегори д л я 0 < О .
*) П о-видим ом у, установлено, что Грегори знал, теор ем у Тейлора и
пользовался ею ещ е в 1670 г. Следовательно, в это время он знал иной
п о д ход к формуле бинома. Очевидно, он ош ибочно считал, что теорем а такж е
известна Ньютону, и только поэтому не сделал публикации. П убликация
Тейлора относится к 1712 г. Так называемая теорема М аклорена была оп у
бликована в 1742 г. Поразительно, что м е ж д у этими двум л датами нпкто не
д одум ал ся положить а = О в ф орм уле Тейлора. М аклорен известен по трем
бол ее существенным результатам: независимому открытию разлож ения
Эйлера — М аклорена, введению в гидродинамику „эллипсоида М аклорена" и
в механику систематического использования прямоугольных координат
(см. [ 3 - 5 ] ' ) .
2
Зак. 379
9.04.
Если пользоваться обозначениями центральны х р а зн о
стей и вы брать разности, располож енны е в таблице вдоль
ломаной, наиболее близкой к горизонтали, то из формулы
Ньютона получится
ч , л,
f{xo + Qh) = f{xo) + Qh—j ^ - i
, еиел-й)
( >%
2!--------------
, т ( в н - h) ф н + h) 6 % ^
Ч- . . .
-
f o+ в
-
+
, e ( 0 - i ) ( 0 + i ) . . . ( 0 - « + i )(0 + « - i ) , 2rt-i,
( 2 « - 1)!
,
,
3!----------------- +
,
°
0( е - 1) ( е + 1) . . . (0- « + 1)(0+ « - 1) ( е - « )
,
Это ф о рмул а Ньютона — Гаусса. М ожно, конечно, получить
эквивалентную формулу с разностями
6^/о>
• • • . но
она менее удобна д ля интерполяции м е ж д у 0 = О и 6 = 1. И споль
зование разностей, расположенны х вдоль ломаной, д ел ает фор
мулу несколько неудобной д ля употребления. От этого можно
и збави ться трем я различны ми способами. Введем новое об о зна
чение
д ля среднего значения двух соседних чисел в одном
и том ж е столбце таблицы. Пусть
IX 6/о = Т
'А + ^ к ) ’
+ 6=/.)-
1
(13)
и т. д. Тогда формулу Нью тона — Г аусса можно переписать
в следую щ ем виде:
/ (*о + ел) - f« + в («'/, - 4 - «’/о) +
+
31
^^
« , е. - |
.
„
f (хо + Qh) = fo + 6цб/о + y j...
б
.
- ( „ - ;f ,
Н
^
+ е ( е - - 1-)(0- - 2^ ) . , ) . ( е ^ М . - 1Н
^
_
4- • • •
^
....
(14)
Это фор мул а Ньютона — Стирлинга. Видно, что здесь требуется
переписать таб л и цу разностей так, чтобы все величины стояли
на тех ж е горизонтальны х линиях, что и зад ан н ы е значения
функции. Четные разности остаю тся прежними, а нечетные
зам ен яю тся средними значениями в соответствии с оп ределе
нием ц. М ожно воспользоваться другим способом. П ри интер
полировании м е ж д у 6 = 0 и 0 = 1 можно нечетные разности
оставить прежними, а четные заменить средними разностями
с центро1и при 0 = '/г- Имеем
6^"+'fv. = 62'Yi-627o.
(15)
откуда
п
= J п
+ Y п
- 6^"+'/./.) =
Следовательно, члены с
можно записать в виде
(16)
в формуле Нью тона — Г аусса
-
16-- 7 v . + ' f
V.} ■
В ы р аж ен и е в фигурных скобках равно
Отсю да
+
/ (Хо + e h ) = fo + Q 6 h +
. . .
• ■•
+ е(
9
^
-
(
9
-
-
)
6- " ^ 7 . ) +
. . .
.
(17)
Это ф о рмул а Ньютона — Б е с се ля * ).
С л ед ую щ ая модификация формулы Нью тона — Г аусса п олу
чается исключением нечетных разностей при помощи (15).
Получим
^ '“^0+
п
- 6^7o) =
п
=
*) На самом дел е все три формулы принадлеж ат Ньютону. Вторая ф а
милия служ ит только для того, чтобы различать формулы. Библиографию
см. в книге П ирсона [2]. П ирсон считает ф орм улу Ньютона — Г аусса непри
годной для вычислений, и действительно, эта ф ормула никогда не уп отр е
бляется. Н о непосредственная связь с формулой Ньютона д ел ает ее вывод
особенно простым. Остальные формулы получаю тся из нее б ез труда.
Это фо рм ул а Эверетта.
К а ж д а я из полученных трех формул имеет свои преим ущ е
ства. В формуле Нью тона — Стирлинга, сод ер ж ащ ей разности
с центром в Хо, четные разности у м н ож аю тся на четные функ
ции 0 , а нечетные — на нечетные функции 0 . С ледовательно,
при вычислении значений д ля 0 , равны х по абсолютной вели
чине, но противоположных по знаку, мож но отдельно сумми
ровать члены с четными и нечетными разностями, а затем з н а
чения f { x o ± Q h ) получить простым сложением и вычитанием,
т. е. трем я поворотами ручки ариф мом етра. Ф о рм ула Н ь ю
тона — Стирлинга удобн а т а к ж е и д ля получения в ы раж ений
производной функции д л я табличных значений аргумента.
П реим ущ ество формулы Н ью тона — Б есселя состоит в том, что
в ней все нечетные разности, кроме первой, ум н ож аю тся на
функции, которые о б р ащ а ю тся в нуль при 0 = ’/г- Д л я сра вн е
ния с формулой Н ью тона — Стирлинга отметим, что наибольщ ее
значение 1 0 (0^ — 1) | д ля O < 0 ^ V 2 составляет % , а н аи больш ее
значение 0 ( 0 — 1)(0 — V2) лишь 0,048. Значит, при отбрасы вании
третьих разностей, ф ормула Н ью тона — Бесселя в семь раз
точнее. Д ругим и словами, если ж елател ьно , чтобы ошибка не
п ревосходила половины единицы последнего зн ака , то мож но
отбрасы вать третьи разности, меньшг.е 60 единиц того ж е зн ака.
В практических расчетах часто требуется у д ер ж и в ат ь вторые
разности, а иногда нужны и третьи разности. Н о потребность
в третьих разн остях значительно уменьш ается, если их отчасти
включить во вторые разности, используя средние вторые р а з
ности и формулу Н ью тона — Бесселя. В этом случае удобно
составить т аб л и ц у разностей несколько по-другому. Зам ети м , что
= 4
- (>h + (>h - 6/-v.) =
( 19)
и, следовательно, р ав н а полуразности первых разностей, в з я
тых ср а зу после и непосредственно перед интервалом, в кото
ром производится интерполирование. П оэтом у мож но не вы
писывать столбец вторых разностей в явном виде. Запиш ем
формулу Бесселя с точностью до вторых разностей в виде
f
{хо + 0/1) = fo + 06/V. - 4 е (1
-
0) i ^ h - 6/-./Л.
(20)
Последний сомножитель, получаю щ ийся путем вычитания од
ной первой разности из другой, стоит вместо второй разности.
Функция от 0 с шагом 0,1 приводится в следую щ ей таблице:.
е
0.0,
0,1,
0,2,
0,3,
0.4,
0,5,
1,0
0.9
0,8
0,7
0,6
1
1
е ( - б)
0,0000
—0,0225
—0,0400
—0,0525
—0,0600
—0,0625
Б олее п одробн ая т аб л и ц а д а н а Милн-Томсоном и Комри [6].
Ф орм ула Эверетта при сохранении вторых разностей пол
ностью учиты вает т р е т ь и 'ф а з н о с т и и в этом отношении она
д а ж е лучш е формулы Н ью тона — Бесселя. Коэффициенты при
вторых и четвертых разн остях следую щие:
0
0,0
0.1
0,2
0,3
0.4
0,5
0,6
0.7
0,8
П р и н и м а я во внимание, что обычно соседние значения 6V почти
одинаковы, видим, что
мож ет достигать значения 20 единиц
некоторого десятичного зн а к а и д а в а т ь при этом в к л а д , мень
ший 0,5 единицы того ж е зн а к а в точке интерполяции. Вторые
разности нужно принимать во внимание, если они превосходят
четыре единицы рассм атриваем ого зн ак а . П ри п ользован и и
формулой
Бесселя следует у д ер ж и в ать третьи разности^
Превышающие 60 единиц этого десятичного зн ака . Но тогда
лучше у ж пользоваться формулой Эверетта.
Другой способ, известный к а к „метод отб расы ван ия" (th ro w
back method), полезно сочетать с формулой Эверетта. В этой
формуле коэффициенты при к а ж д о й разности сохраняю т зн ак
во всем интервале 0 < 9 < 1 . В частности, коэффициент при
четвертой разности отличается от коэффициента при второй
разности на множитель (4 —9^)/20, который при изменении 0
изменяется лиш ь в 3/4 р аза . Следовательно, четвертые р а зн о
сти можно в значительной степени учесть путем н ад л е ж а щ е й
модификации вторых разностей. Комри [7] п оказал, что если
в формулу Э веретта вместо 6^ п одставлять 6^ —0,1846“', то по
грешность интерполирования не превосходит половины единицы,
если только сам а разность 6“* не превыш ает 1000 единиц. П ри
составлении математических таб л и ц Британской Ассоциации
(B ritish A ssociation M ath em a tica l Tables) подобный прием ши
роко использовался д л я модификации 6“*, чтобы частично учесть 6®
и т. д.
К а к у к а з а л Комри, метод отбрасы ван ия можно применить
и к формуле Бесселя. В этой ф ормуле отношение коэффициента
при четвертой разности к коэффициенту при второй разности
равно ^ ( 9 + 1 ) ( 9 —2) и мож ет изменяться
от — '/g до — Ущ.
Здесь изменение д а ж е меньше, чем д ля соответствующ его отно
шения в форм уле Эверетта. Отношение коэффициентов при
пятой и третьей разн остях равно
^(9-Ы)(0-2).
С ледовательно, если нельзя пренебречь четвертой и пятой р а з
ностью, то выгодно принять
/ (хо + 9/0 = /о + 66/ V, -Ь
((x62/v, - 0 , 184[x6Yv.) +
0(е_
+
'] (9_1)
(6Y,, - 0,10865/v,).
Во многих математических таб л и ц а х напечатаны готовые
разности. Первы е разности д аю тся д ля линейной интерполя
ции. О днако обычный вид таб ли цы разностей с нечетными р а з
ностями в промеж уточных строках п ред став л яет трудности д ля
печатания, если нужно поместить вторые и третьи разности.
В этом отношении имеет большое преимущество ф ормула Э в е
р е т т а , поскольку в ней используются только четные разности.
так ЧТО только их и надо печатать и они распол агаю тся на
т е х ж е строках, что и табличные данные.
9.041,
Сравнение разных интерполяционных формул. Если
потребовать, чтобы в к л а д наинизшей отброшенной разности
не превосходил половины единицы последнего зн ака , то при
таблице с равноотстоящ им и данны ми в зависимости от об
стоятельств удобнее всего пользоваться следующими форму
лами;
1)
Около н ач ал а или конца таблицы , где у одного из кон
цов и нтервала нельзя найти центральную вторую разность, нет
никакой другой возможности, кроме к а к пользоваться форму
лой Грегори. 2) Если третьи разности не превосходят 60 единиц
последнего зн ака, а вторые разности превыш аю т 4 единицы,
то намного удобнее других ф орм ула Бесселя со средними вто
рыми разностями. 3) Если третьи разности превосходят 60 еди
ниц, а четвертые разности не превы ш аю т 1000 единиц, то вполне
подходит ф ормула Эверетта, модифицированная по методу
отбрасы вания. 4) При четвертых разн о стях большей величины
нужно непосредственно учиты вать S'* и, возмож но, т а к ж е р а з
ности более высоких порядков; полное обсуждение последнего
случая содерж ится в введении к первому тому математических
таб л и ц Британской Ассоциации.
Условия, рассмотренные в третьем случае и, тем более
в четвертом, осущ ествляю тся в таб л и ц а х функций с большим
числом знаков. В этом случае д а ж е при интерполировании
по формуле Бесселя со вторыми разностями требую тся мень
шие интервалы, чем зад ан н ы е в табли це. Тогда остается только
использовать имеющиеся большие интервалы, при которых
требую тся разности более высоких порядков. Б так и х случаях
интерполяция с четвертыми разностями д ает д есять верных
знаков, а линейная не д ает и трех.
Здесь следует упомянуть о применении формулы Тейлора.
В ней фигурируют значения функции и ее производны х в одном
и том ж е узле таблицы , и поэтому ее использование с трудом
можно н азв ать интерполяцией. Но если производные известны,
то д ля заданного и нтервала форм ула Тейлора позволяет полу
чить большую точность при том ж е числе членов. П ри использо
вании формулы с разделенны ми разностями зад ан и е производ
ных до п-го порядка в одном из узлов эквивалентно задан и ю
п + 1-го значения функции и их р азд ел е н 1у^х разностей в том ж е
узле. П ри этом соответствующие члены в интерполяционной
формуле совп ад аю т с членами формулы Тейлора. П одобную
информацию невозможно использовать при интерполяции с р а в
ными интервалам и м е ж д у узлами.
Обычно разность
близка к
н д ля м а
л ы х 0 коэффициент при ней в формуле Нью тона — Стирлинга
б лизок к 0 (2га^+ 1)!' ■ Поэтому весь член близок к
^^2п + \) \ ^
X
и
при | 0 | < 1, д а ж е при сравнительно неболь
ших п, он намного больше соответствующего члена р яд а ТейЛ2«+102«+1 ,(2„+ 1),
,
_
лора, равного ■ + i ) ; ' >
(^о)- Следовательно, если изве
стны производные, то нет смысла в использовании каких-либо
интерполяционных формул. Они нужны в тех случаях, когда
все сведения о функции получаются только из самих таб л и ч
ных данных.
9.041а. Интерполяция при заданны х значениях первой про
изводной. Если зад ан ы /(0), f { h ) , f ( 0 ) , f ' ( h ) , то, используя
такой ж е прием, ка к в конце 9.013, можно составить таб л и цу
разделенны х разностей и вывести следую щ ую формулу:
F{ x) = f (0) +
I
г
1
X + i r l f i h ) - f (0)} - т / ' (0) X (л- - h) +
i r { / ' (Л) + Г ( 0 )} - j r { f { h ) - f ( 0 )}' х Ц х - к ) =
= / (0) + {f ih) - f (0)}
+ f ' (0)
- Г (h)
.
Можно проверить, что эта форм ула д ает правильные ре
зультаты при f = 1, X, х^ и х^. П ри f = х"^ м а кси м ал ьн ая ош ибка
на и нтервале (0,1) р ав н а —0,0625. М ак си м ал ь н а я ош ибка при
использовании формулы Б ес сел я с третьими разностями (кото
р а я требует такого ж е числа данных) р ав н а —0,5625.
Если известны значения / ' при табличны х значениях х, то
использование этой формулы д ает следую щие преимущ ества:
1) Она имеет большую точность, чем л ю б а я из формул,
использую щ их только значения f.
2) Д л я нее не требую тся д ан ны е вне отрезка интерполиро
вания, и поэтому ее, в отличие от формул центральны х разн о
стей, мож но использовать для крайних интервалов.
3) Если / и
зад ан ы через равны е и нтервалы по л: и тр е
буется вычислять интегралы вида
x ’’f { x ) d x , а эти интервалы
слишком велики и обычные формулы интегрирования не даю т
нужной точности, то мож но добиться достаточной точности
с теми ж е формулам и интегрирования, переходя к половинному
и нтервалу по вышеприведенной формуле.
4)
Значения f я f' могут быть з а д а н ы через неравные интер
в алы по X . Тогда эту формулу мож но использовать д л я интер
полирования к равным интервалам с гораздо меньшими з а
труднениями и потерей точности, чем при употреблении цент
ральных разностей.
9.042.
Следующ ий пример и ллю стрирует пр именение фор
му лы Бесселя. П о зад ан н ы м значениям
в у з л а х л: = 2, 3,
4, 5, 6 найти значения этой функции м еж д у х = Ъ и л: = 4.
Т абли ца разностей имеет
вид:
л:
Ух
2.0
1,414
3.0
1,732
^f
Д2/
2ц62
+ 0 ,3 1 8
- 0 ,0 5 0
+ 0 ,2 6 8
4.0
2,000
5.0
2,236
6.0
2,440
- 0 ,0 8 2
- 0 ,0 3 2
+ 0 ,2 3 6
- 0 ,0 5 5
- 0 ,0 2 3
+ 0 ,2 1 3
П о вторым разностям видно, что третьи разности не превосхо
д я т 20 единиц последнего зн ака . С ледовательно, мож но поль
зоваться формулой Бесселя со вторыми разностями. С начала
сделаем линейную интерполяцию с интервалом 0,1. Затем
будем у м н о ж а ть удвоенную среднюю вторую р азн ость —0,082
( = 0,050 — 0,032 = 0,236 — 0,318) на коэффициенты — 'Дб (1 — 6) из
вышеприведенной таблицы и п р и б а в л я т ь к р е зу л ь тата м линей
ной интерполяции (заметьте, что во всех ф орм у л ах коэффициент
при второй разности отрицателен):
Точное значение
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
3.9
О ш ибка нигде не превосходит единицы третьего зн ак а посл е
запятой. Н а первый в згл яд удивительно, что такое хорошее
согласие мож ет быть при использовании постоянной второй
разности, ведь вторые разности в н ачале и конце и н т е р ва л а
относятся почти к а к 3 :2. О днако средняя вторая разность д о л ж н а
д а в а т ь согласие в начале, середине и конце ка ж д о го и н тер вал а,
причем ошибки не могут накапли ваться.
9.043.
Следующ ий, более
п р им е не ни е ф ормул ы Эверетта:
X
ctgJc"
А/
30
1,7321
35
1,4281
трудный
пример,
ДЗ/
иллю стрирует
6 7 (м одиф .)
- 0,3040
+ 0 ,0 6 7 7
- 0 ,2 3 6 3
40
- 0 ,0 2 3 2
+ 0 .0 4 4 5
1,1918
- 0 ,1 9 1 8
45
1,0000
+ 0 ,0 3 0 9
- 0 ,1 6 0 9
59
0,8391
+0,0220
0,7002
+ 0,0427
+ 0 ,0 0 4 7
+ 0,0300
+ 0 ,0 0 3 0
+ 0,0214
-0 ,0 0 8 9
-0 ,0 0 5 9
- 0 ,1 3 8 9
55
+ 0 ,0 0 9 6
- 0 ,0 1 3 6
+0,0161
- 0 ,1 2 2 8
60
0,5774
Величина третьих разностей не позволяет пользоваться фор
м улой Б есселя с разностями лиш ь до второго п орядка. Но при
пользовании формулой Э веретта четвертые разности мож но
вклю чить во вторые методом отбрасы ван ия. Д л я об разов ан ия
модифицированной второй разности к а ж д у ю четвертую р а з
ность нуж но умножить на 0,184 и вычесть из второй разности,
стоящей в той ж е строке. М одифицированные разности, ум н о
ж енны е на коэффициенты формулы Эверетта, вместе с линей
ным интерполированием даю т
X
Несмотря на сравнительно большую величину высших р а зн о
стей, разли чи е в единицу последнего зн а к а получилось только
д в а ж д ы . В к л ад
заметно больше единицы последнего зн ака ,
но он правильно учтен методом отбрасы вания. Отметим, что
поправки симметричны относительно 45°. П ри большой интер
поляции это вдвое уменьш ает расчеты по формуле Эверетта;
соответствующ ее упрощение есть д л я формулы Нью тона — Стир
л и н г а и д л я формулы Ньютона —Бесселя.
9.044.
Если в первоначальном виде функция з а д а н а в бес
порядочно разб ро санн ы х и д алеки х д ру г от друга у з л а х (так
часто бывает с экспериментальными данными), а требуется под
робная таблица, то обычный путь состоит в следующем: сн а
чал а при помощи интерполяции с разделенны ми разностями
переходят к равным и нтервалам , с тем чтобы м е ж д у последо
вательными зад ан н ы м и значениями в среднем попадал о по д ва
узл а; затем при помощи формулы Бесселя или формулы Эве
ретта интерполирую т до таких интервалов, чтобы б ы л а воз
мож на линейная интерполяция. С ледовать ли таким путем или
сразу производить всю интерполяцию при помощи р азд ел е н
ных разностей — дело удобства. П одробны е табли цы коэффи
циентов формул Бесселя и Эверетта с шагом 0,001 по 6 изданы
Томпсоном [8], Ч аппелом [9], Комри [10] и Бриггсом и Л овэном [11]. Обычно д л я интерполяции достаточно табличных зн а
чений коэффициентов, приведенных выше. Н о если требуется
только несколько значений коэффициентов, то подробные т а б
лицы д аю т их с одной ошибкой округления вместо двух. С д р у
гой стороны, эту трудность можно существенно ослабить, про
изводя предварительную интерполяцию с добавочным знаком.
Обычно математические табли цы д а ю т точность в половину
единицы последнего зн ак а , и при их использовании, если вы
числения ведутся в несколько ш агов, чтобы предотвратить н а
копление ошибок округления, часто имеет смысл у д е р ж и в а т ь
лишний знак. Д опущ ение ошибки до 3 единиц последнего зн ак а
в некоторых из изданны х т а б л и ц имеет серьезные основания.
П ятизначны е таблицы с такими ош ибкам и точнее, чем четырех
значные с ошибками до 0,5 последнего зн ака, и интерполиро
вание по ним не более тру д о ем к ая операция. Подобный прием
фактически использован в т а б л и ц а х М илн-Томсона и Комри,
которые напечатаны с четырьмя зн ака м и после запятой, но
при поправке м еж д у + 7е и + '/2 последнего зн а к а д о б а вл е н а
точка сверху, а при поправке от — Ve ДО — V2 —точка снизу.
Так, если 0,0008’ читать ка к 0,00083, а 0 ,0 0 0 8 .— к а к 0,00077,
то этими таблицами мож но пользоваться к а к пятизначными и
при интерполировании не нужно у д ер ж и в ать больш е зн аков,
чем это требуется д л я п редотвращ ен и я ошибок округления
в последнем зн аке при пользовании обычными четырехзнач
ными таблицами.
Общ епринято округлять не с недостатком, а до б л и ж а й
шего целого числа в последнем знаке. Это п р е д о т в р а щ а е т
накопление ошибок округления одного зн а к а при сум м и
ровании. Если п ер вая о тб расы в аем ая цифра — пять, то обыч
но в последнем сохраняемом зн аке берут бл 2 . Тогда
br= —
чтобы Р Д ! ) т а к ж е рав н ял о сь
Pf (x) dx.
0
З а т е м последовательное интегрирование по частям д ает
1
• р '2 ( X ) Г {х) d x - = [ P , {х) Г (^)i; о
>
I Р 2 {х) f "
о
(X)
dx =
[ P b { x ) - b 2] f { x ) d x ^
I
= ь А п ^ ) - г т - [ Р з М Г { х ) ] 1 + 1 p ,{x )f"'{x )d x^
о
= б Л Г ( 1) - Г ( 0) } - б з Г ( 1) - Г ( 0) } + . . .
1
...
+ { -Y b r { f-'\\)-f-\0 )} -(-Y
p'r^,{x)f^\x)dx,
(5)
т а к ка к все Рг{х) равны нулю на обоих пределах. Р ассмотрим
теперь ряды
оо
а
,
1
е“ - 1 ^ 2
г= 0
t
=
(7)
r=0
П о к а ж е м , что т а к определенные
и Pr{t) совп ад аю т с вве
денными выше в соотношениях (2). Продифференцируем (7)
по t. Тогда, в силу (6) и (7),
г= 0
оо
r= 0
= ^
r-l
(О а ' + S
br-io!'
r-1
С р а в н и в а я коэффициенты при a ^ имеем при г ^ 2
P' r { t ) = =P r - l{ t ) + b r - l .
(8)
П р и г = 0, 1, 2 р азл о ж е н и е по а д ает
а + - |- а 2
о ткуда
Po{t) = 0,
Pi {t ) = t.
P2{t) = j { t ^ - t )
(9>
и
P 2 {t) =
t - ^ .
(1 0 >
К ром е того, при / = О функция в левой части (7) о б р а щ а е т с я
в нуль, следовательно, все Рг(0) = 0. П р и t = l эта функция
о б р ащ а ется в а, следовательно, все Р г ( 1) = 0, кроме P i ( l ) ,
равного I. Это д о казы в ает, что при г ^ 2 функции, опреде
л яем ы е соотношениями (2) и (6), (7), тождественны .
З ам ен и м в (6) а на — а. И меем
а
е-“-1
1
2о “^
ае“
„а
е“
- 1I
1
,
о “^ “ ^
2
“
I' е“
« а - 1I
а
1
о2
а
й —
„ а ~ iI
~ е“
,
1
г "гГ
С ледовательно, (6) — четная функция а и все 6, с нечетными г
р авны нулю. Тогда (5) сводится к
1
- / (х - Y ) f ' M d x = - - h { n i ) - n o ) ) ~ ь л г ' { ^ ) - г т - . . . о
- ^ ' 2Л Л ~ ‘Ч 1) - Г " ' Ч 0)} + J P2r+l {x) f^^'\ x) dx.
( 11>
О
И н тегри руя остаточный член по частям, имеем
[P 2r^l{x)f^4x)t- i P 2 r M f '^ '\ ^ ) d X ,
где внеинтегральны й член об р ащ а ется в нуль.
Если теперь применить полученный результат к интервал ам
от О до 1, от 1 до 2, . . . , от rt — 1 до п и сложить, то из (1),
И ( 11) получим ф о р м у л у Эйлера — Ма к л о р ен а (при выводе кото
рой мы по сущ еству пользовались методом В иртингера [12]),
f ( x ) d x = y f ( 0) + f ( l ) + f ( 2) + . . .
+
" '-ь Л !'{ п )-Г { 0 )] -ь Л Г { п )-П 0 )} ~
...
ft—I m + l
I
Р,г+Лх-т)Г-^^^\х)с1х.
( 12)
m «0 m
'Обычно эта форм ула в ы р а ж ае тся через числа и полиномы
Б ер н у л л и * ), Вг, Фг(Л''). оп ределяем ы е как
Ьг = Вг1г\,
Р Л х ) = фДл:)/г!.
(13)
Простейший способ их вычисления состоит в последовательном
применении соотношений (2). Введение ф акториалов устраняет
накопление больших знам енател ей при п оследовательном инте
грировании, но несколько у сл ож н яе т доказател ьство приведен
ной теоремы.
Л о = 1.
=
^ 4= - ^ ,
Se= + ^ ,
В,о=+^,
( 14)
•tPzW = х ^ ~ х , q>3( x ) ^ x ^ - j X ^ + YX, ср^ (х) = х"'- 2х^ + х^,
■^
(0< ^ < т ) ’
т=0
И, следовательно, сум м ирование п осл едни х членов формулы (17)
по т д а ет
= -
if' (^0 + nh) - г (хо)} -
4 г {/'"('^0 + П/1) - Г
(;с о )} - . . .
.
( 22 )
Тем самы м мы снова получили разл о ж е н и е Э й лера — М а к л о рена, но без остаточного члена.
Это разл о ж ен и е н ельзя р ассм атри в ать к а к бесконечный р я д .
Теорема 9.012 уста н а вл и в ает верхнюю границу д л я остаточйого
члена интерполяционной формулы, и интеграл от / (х) п р едста
вляется суммой интегралов от интерполяционного многочлена
и этого остаточного члена. Если этот остаточный член м ал
всюду в интервале интегрирования, то интеграл от интерполя
ционного полинома явл яется приближением интеграла от д а н
ной функции, причем м ож но установить пределы ошибки. Но
производные полинома начиная с некоторого конечного по
ря д к а об р ащ а ю тся в нуль, и эти р азл о ж е н и я д ля полиномов
п равильн о рассм а тр и в ат ь ка к суммы конечного числа чле
нов. Следовательно, оп равдани е операторного метода в этой
з а д а ч е не имеет никакого
отношения к сходимости ряд а. Оно
покоится на том, что 1) операторы мож но р а зл о ж и ть в р яд ы
по целым полож ительны м степеням D и, следовательно, все
члены, начиная с некоторого порядка, исчезают, если оператор
действует на многочлен, 2) поскольку отрицательные степени D
не появляю тся, некоммутативность дифференцирования и опреде«1енного интегрирования не имеет значения, и 3) ошибка
равна и нтегралу от ошибки интерполяционного полинома и
фиксирована для любого конечного п орядка независимо от во
просов сходимости.
Фактически, обычно происходит следующее: члены этого
разл ож ени я сн ач ал а быстро убы ваю т, а затем начинаю т уве
л ич и ваться из-за возрастани я высших производных, если функ
ция не яв л яе тся полиномом. Тогда наиболее точное значение
ин тегр ал а получается путем вычисления суммы вплоть до н аи
меньшего члена. Мы вернемся к этому вопросу при рассмот
рении асимптотических р азл ож ени й , одним из примеров кото
рых яв л яе тся эта формула.
9.081. Рассмотрим интеграл
20
dx
1п 2 =
10
И м еем
F4x)=
...
и
2-
и
12
1
19
• • •
‘ 2-20
J
2
\ 102
102
L ^ _ А fJ
4
I
10<
20*
J
6
\
108
L l_
202 )
L
205
Р асп о л о ж и м вычисления следую щ им образом:
О.ОБОООООООО
0,0909090909
0,0833333333
0,0769230769
0.0714285714
0,0666666667
•0,0625060000
•0,0588235294
В сего = -0 ,0 0 0 6 2 4 2 2 2 7
О тсю да In 2 = + 0 ,6 9 3 1 4 7 1 8 0 4
Точный результат есть 0,6931471805.
9.082.
Р ассмотрим д ал ее постоянную Э йлера у, оп ред ел яе
мую соотношением
Y = lim ( l + - ^ + 4 - +
„->оо \
Имеем
^
о
...
п
j
П
In rt — In 10 =
10
12
Л '" .(т т + т 1 +
(J
\ 102
I
1 /1
120 \ 10«
1 \
«'
1
252
1
1Q6
+ i - l n « + l nl o)
20^^1200
12- 10^ ^
2 5 2 - 10«
~
0.049167496.
П рям ое суммирование д ает
1 + - ^ + . . . + - р з - I n 10 = 0,626383161.
Отсю да, ск лады в ая, получим
у = 0,577215665.
В этом результате все д евять десятичных знаков точные. О т
метим, что улучшение точности с трех до девяти десятичных з н а
ков требует вычисления только двух дополнительных членов *).
9.083.
Ф ормула интегрирования Грегори. Ф ормула Эйлера —
М ак ло р е н а яв л яется простейшей и наиболее точной формулой
численного интегрирования, но д ля ее применения долл
, 1375
■’" 24 ’
33953
90 '
О тсю да
Xo+ft
j-
J
f { x ) d x ^ t ( Xo) + ■ J ^ f ( Xo) -
A ^ / {Xo) +
A®/ ( x q ) -
*0
-
- d h
(^o) +
4
^
m
(Xo) -
^
m
( xo) -
^
33953 . o r ,
A 7 (Xo) -
4
-W 7 8 f^f(^o )-...
,„v
(3)
С ум м а первых д в у х членов р а в н а ^ {f (л:о) + f (л^о + Л)}. С ле
довательно, с к л а д ы в а я соответствующ ие в ы р а ж ен и я д л я р а в
ных интервалов до Хо + п/г имеем
Xo + n h
f { x ) d x = - ^ f ( x o ) + f ( x o + /г) +
h
• •.
+ / {rto + ( « ~
0^} +
Xo
+
1 Г / (^0 + nh) -
{А/ ( x o
1
4-3!
+ nh)
-
A f (x q )} +
{А2/ (xo + nh) - A2f (xo)} + . . . .
(4)
Ho с равным успехом можно получить такое ж е р азл о ж е н и е
по степеням V, отличаю щ ееся только тем, что все члены с чет
ными степенями будут иметь противоположный знак. О боснова
ние этих разл ож ени й снова состоит в том, что разл ож ени е
9.08(22) яв л яется точным в применении к интерполяционному
полиному. Соотношение (2) м е ж д у V и А т а к ж е яв л яется точ
ным д л я этого полинома. П оэтому мы мож ем заменить члены
с / s ' ( x q + n h ) эквивалентным и вы р аж ен и ям и через V { x o + n h ) .
П р и этих рассу ж д ен и ях предполагается, что з а точкой Xa + n h
определена не f (л:), а только интерполяционный полином, а это
верно. О тсю да
Xo+nh
f { x ) d x = \ f ( x Q ) + f(x^ + h ) +
h
+ \ f { x o + nh)
- i
- w
(.Vo
(^0 +
...
+/{лго + ( « - 1 ) Л } +
{V/ (xo + nh) - Af (xo)} -
nh) + A^f (xo)} - ^
(^o)} - ^
m
(xo + nh) -
(x,)} -
m
ixo + nh) - Д5/ ixo)} -
~ ^ { ' ^ ^ f i ^ o + nh) + A n { x o ) } - - ^ - ^ m i x o + nh)- A->f {xo)} ...
.
(5)
Это И есть ф ормула Грегори.
9.084.
Ф о р м у л а ц ен тральны х разностей. П одобны м ж е об
разом можно проинтегрировать формулу Н ью тона — Б есселя.
Здесь все члены с нечетными разн остям и д а д у т при интегри
ровании нуль. Остальны е ж е д аю т
Jto+ Л
j j
Хо
f { x ) d x = - ^f { xo ) + - j f { x o + h ) ~
6
~
^
+
30-4!
“
84-6!
+
90-8!
+
••• •
Но
= (6^7. + Ь^Ъ) =
/-'Л =
= 2 ц б 2 ^ - '/ .- 2 ц б 2 - 7 о .
(7)
Отсюда
Х|+пЛ
2
h
f { x ) d x = - j f { x o ) + f(xo + h ) + . . . Н - / { ж о - Ь ( / г - l)/г} +
Хо
+ Y Дл:о + n /г)
~
{\i6f {хо + nh) - iibf (хо)} +
{хо -Ь nh) - {хбз/ (хо)} -
{цб5/ (д^о + п1г) - цб^/ (лго)} +
+ З в о
(8)
Д л я применения этой формулы нужно вычислять меньше
членов, и к тому ж е коэффициенты при высших р азн о стя х меньше,
чем в формуле Грегори. С другой стороны, д л я о б разов ан ия
ц ен тральны х разностей нуж но зн ать функцию за п р еделам и
интер вал а интегрирования, тогда к а к ф ормула Грегори этого
не требует.
9.085.
В качестве иллю страции рассмотрим интеграл
■А
1
6
Г
j
dx
К вадратны е корим с точностью до 8 знаков
т а б л и ц Б ар л о у .
X
Имеем
y / ( 0 ) + f ( 0 , 0 5 ) + . . . + / (0,45) + у / ( 0, 50) = 10,47518052.
П о л ьзуясь формулой центральны х разностей, видим, что все
нечетные разности о б р ащ а ю тся в нуль при .v = 0 , а при к =
= 0,50 они д аю т
2|яб = 0,07758367,
2^6^ = 0,00374321,
2,и6> = 0,00065851,
2ц6^ = 0,00027741.
Тогда сум ма поправочных членов равна
- W
+ TW
- тШш
-t I S ss
=
- - 0,00323265 + 0,00002859 - 0,00000101 + 0,09000010 =
- -0 ,0 0 3 2 0 5 0 0 .
у я = 0,05 (10,47518052 - 0,00320500) •= 0,5235987760 ,
я = 3,1415926560.
П равильное значение равно
я = 3,141592654.
П ользуясь ф ормулой
поправочных членов:
Грегори,
найдем
сл едую щ и е
значения
Д - 0,00280526
36471
ДЗ 2654
Д< 679
Д5 111
Д« 43
Д ^9
- 0,00320493
и л = 3,141592677. Точность этого р езу л ь тата нин + рх’А)йх = л ( | / 2 г / , - | у 2 ) = Л(3,7712г/,-1,ЗЗЗЗг/2), (1>
О
3h
-Ь
{ах-'/‘ -I-
d x = 2А / 3 г/j Ч- Оуз = 3,4641Л получая б '/o,i5- З а тем резул ьтат ск лады в ается с
б” % , 1> что д а е т б ~ % 2- Тогда г/о,2 определяется из уравнения
1 0 0 y = 100,1166 + -j^/o,2-
Э кстраполируя, пробуем / 0.2 = 0,200; поправочный член равен
+ 0,0167, что д ает ЮОг/= 100,133. У м но ж ая это на 0,2, имеем
= 0-20027, что не меняет третьего десятичного зн ак а ЮОг/.
Если на какой-либо стадии появятся изменения, то необходимо
продолжить вычисления до тех пор, пока их не будет. Удобно
экстраполировать - j j f
[,
I
[
на к аж д ой стадии, и, чтобы и зб е ж ать
исправлений, не вписывать f в таблицу, пока не получено
второе приближение.
Четвертый десятичный зн ак в 6“ '/ и третий в b~~f мало
важ н ы , однако не пред ставл яет тр уд а их выписать, что позво
ляет собрать ошибки округления в таком месте, где они будут
разделены на 100 при вычислении у. Р е зу л ь тат при д; = 2,0
есть у = 2,73089, что отличается на единицу в пятом знаке
от точного значения, а объем дополнительных вычислений
меньше, чем в лю бом из других методов. Н ет необходимости
д а ж е выписывать разности / и у, т а к ка к они не влияю т
на вычисления. О д н ако приближение д ля у таково, что ошибка,
вероятно, будет повторена в следую щ ем приближении, и разности следует использовать д ля контроля. Ж е л а т е л ь н а так ж е
время от времени проверка вторых разностей f на тот случай,
что их в к л ад мож ет сделаться ощутимым; однако они долж ны
2
достичь 120 h
единиц последнего удер ж и ваем о го зн ака , чтобы
стать существенными, и если это так, то проще уменьшить
интервал. Особое внимание следует у д ел ять вычислению первых
д вух значений 6~^f, потому что ош ибка в их разности п орож д ает
ошибку в решении, которая мож ет непрерывно нарастать
в процессе вычислений. К а к только четыре или пять значе
ний у найдены, из них нужно о б разов ать разности, чтобы
проверить эту стадию вычислений.
В озможность применения этого метода с в я за н а с отсутствием
члена d y j d x в дифференциальном уравнении. Этот метод н а
столько удобен, что, когда такой член присутствует в линейном
уравнении, лучше путем п реоб разован ия уравн ен ия исключить
его. П оэтому астрономы при расчете возмущений часто пред
почитают использовать прямоугольные координаты, хотя при
этом нельзя применять эллиптическую орбиту в качестве пер
вого приближ ения. С остав л яю щ ая ускорения, с в я за н н а я с
Солнцем, вклю чается в числовые расчеты на каж д ой стадии и
р ассм атр ивается т а к же, к а к планетарны е члены. Это неудобство
более значительно, чем неудобство, которое компенсируется
тем, что имеют дело с дифференциальными у равнениям и вида
d'^Xr
f,
ч
вместо, например, уравнений в полярных коорди натах
^ (sin2 0A) = g-(A;i, Х2,
dt
Хп).
М етод Г аусса — Д ж ек со н а можно приспособить к решению
уравнений вида
-й -)>
если имеется возможность вычисления ~
при табличных зн а
чениях л:. Имеем
П о д ста вл яя у из (10), находим
Зд есь коэффициенты те ж е , что и в 9.084(8). Дополнительные
трудности, связан ны е с образованием
и усреднением, не являю тся обременительными.
Ф ормула Э йлера — М аклорена ср а зу приводит к формуле
интегрирования
!(, - 9. - i
л { W + f'!) - i
+ ж
} + о
Эта формула напоминает формулы центральны х разностей
д л я двойного интегрирования тем, что при третьем члене стоит
малый множитель. Следовательно, если у " легко вычисляется,
то эту формулу мож но использовать д ля решений уравнений
первого п о ряд ка столь ж е просто, ка к формулы центральны х
разностей д л я реш ения уравнений второго п орядка, не содер
ж а щ и х первой производной [30].
Если f { x , у) на и нтервале интегрирования значительно и з
меняется, то м ож ет о казаться удобным увеличить или умень-
ШИТЬ шаг. Чтобы перейти от ш ага 0,1 к ш агу 0,2 при л: = 2,0,
следует использовать у ж е полученные значения
и r/j.o для
нахож дения соответствующих значений
и начать заново.
Д л я перехода от 0,1 к 0,05 сн ач ал а п отребовалась бы интер
поляция д ля у |,95 и затем вычисление 6~^fi,g5, 6~^f2,o. Последнее
не будет тем ж е самым, что д ля исходного ш ага.
9.15.
Вычисление собственных значений. Метод Г а у с са—
Д ж ек со н а удобно сочетается с принципом Р ел ея и д а е т прибли
женные решения в виде быстро сходящ ихся рядов, например
д ля периода динамической системы. Рассмотрим, например, ко
лебания воды в узком, эллиптическом в плане бассейне. Если
^ — поднятие поверхности воды,
ы — скорость,
/г — глубина,
g —ускорение силы тяж ести и 6 — ширина, то у рав н ен и я малы х
колебаний периода 2я/у имеют вид
t;да
i i
dt
дх
■ ш -т -
(1)
П олож им
hbu^V.
(2)
Тогда после исключения и получим
" д х \ ь дх
+ XV
О,
(3)
где
^y'^lgh.
(4)
Граничные условия зак л ю ч аю тся в том, что F = 0 на концах.
Член с d V / d x можно у б рать подстановкой
V = b'‘W -
(5)
тогда
(6)
При
Ь ~ (1 — л:^)
(7)
это д ает
дх^
2 (1
-хУ
и.
(8)
М ожно п оказать (см. т а к ж е гл. 16), что решения уравнений
вблизи х = * 1 ведут себя ка к (1 —
или (1 —
Первое
д а в а л о бы V , отличное от нуля при х = ± 1 , и поэтому долж но
быть отброшено. З а д а ч а состоит в нахож дении таких зн ач е
ний у?, которые позволили бы исключить это решение на обоих
концах. В силу симметрии U д о л ж н а быть либо четной, либо
нечетной функцией ,v.
С редняя кинетическая энергия за период п р ед став л яется
в виде
4Г =
f bhit^ d x =
^
hb
dx,
(9)
а средняя потенциальная энергия
4Г=
Гg b ^ ^ x =
уЧ
\ дх
dx.
(10)
И спользуя тот факт, что средняя кинетическая и потенциальная
энергии за период равны, получим
dV
дх
dx
Принцип Р ел ея у тв ер ж д ае т , что л ю бая функция V, уд овл етво
ряю щ ая граничным условиям, но не дифференциальному у р а в
нению, будет при подстановке в (11) д а в а т ь ошибку второго
порядка для
Совершенно ясно, что наименьшее значение к долж но быть
таким, чтобы d V j d x в целом было ка к можно меньше при
зад ан н ом среднем
и поэтому V сохраняет зн ак д л я всех х.
С ледующ ее низшее значение будет менять зн ак V один раз
и т. д.
Д л я к а ж д о го пробного значения
мы сн ачала составляем
таб л и цу коэффициента при U в (8). П риним аем f/ = 1,00000,
d U l d x = 0 при л: = 0 и имеем д л я малы х х
(12)
ЧТО д ает U при х = 0,1 и, следовательно, б
где f есть прав а я часть (8).
З атем строится решение. Н еправильное значение
обнаружится, если решение стремится; к ± оо при X = 1. Возьмем,
например., следующие решения:
X
0 ,0
0 ,1
0 ,2
0,3
0.4
и
(к2 = 3)
и
(к2 = 4)
1 ,0 0 0 0
1 ,0 0 0 0
0,987В
0.9506
0,8908
0,8104
0,9826
0,9310
0,8478
0,7365
X
0,5
0 .6
0.7
0 ,8
0.9
и
(х2 = 3)
0,7129
0,6028
0,4862
0,3718
0,2781
и
(к2 = 4)
0,6024
0,4515
0,2912
0,1288
-0 ,0 2 9 2
to
З н а я , что реш ения вблизи х = \ д олж н ы иметь вид
можно найти примерные значения А vl В ш
строк к а ж д о й таблицы . Получим
д вух последних
к2 = з,
Л = + 15,5,
5 = + 10,7,
к^ = 4,
А = + 17,2,
В = -
7,1.
С ледовательно, первое решение д ля U стремится к + оо,
а второе к — оо при л;->1. И н терп оляц и я показы вает, что В
д олж но об ращ а тьс я в нуль при
^ 3,6. Д в е пробных попытки
д л я 3,4 и 3,6 п одсказы ваю т 3,56, и после этого п редставляется,
что шаг 0,05 вместо 0,1 будет более н ад еж н ы м д л я исследо
в ания поведения вблизи х = 1 . П р и этом ш аге получаем сле== 3,56
X
0
0,05
0 ,1
0,15
0 ,2 0
0,23
0,30
и
X
1 ,0 0 0 0
0,35
0,40
0,45
0,50
0,55
0,60
0,65
0,9962
0,9850
0,9662
0,9401
0,9069
0,8671
V
0,8210
0,7693
0,7127
0,6510
0,5857
0,5175
0,4471
X
и
0,70
0,75
0,80
0,85
0,90
0,95
0,3754
0,3036
0,2327
0,1643
0 ,1 0 0 0
0,0428
Если бы решение было точным, то отношение д вух последних
строк долж но быть близко к 2*'^' = 2,378. В действительности,
оно равно 2,338, так что мы весьма близки к цели. Д л я по
лучения лучшего приближ ения воспользуемся принципом Р ел ея.
У множ им и на (1 — х^)^\ чтобы получить V, продифференцируем
численно, подсчитаем {I — х^У'^ЦдУ/ d x f и проинтегрируем.
Т а к как поды нтегральное вы р аж ен и е ведет себя к а к {I —
вблизи х = 1 , то лучше всего использовать д ля и нтервала от
0,90 до 1,00 формулы 9.092 и формулу Грегори до 0,90. Это
д ает
1
2
И нтегрирование
выполняется просто, з а
значений выше 0,9. Д л я них мы примем, что
f/2 = 0,0100 f
6
Зак. 379
исключением
откуда
1,0
‘
= 0,0004
0,9
и
I
J и Ч х = ОАШ.
о
Тогда
2
=
1,6287
О 4596
„
^ 3,544;
, „„„
к = 1,882.
Полученные ранее совершенно другими методами [31, 32] ре
шения дал и н = 1,886.
Решения д ля к^ = 3 и и^ = 4 не являли сь на самом деле не
обходимыми д ля этого метода, но они приведены, чтобы по
казать, как мож но зам етить при неправильном значении
что решение не стремится к нулю долж ны м образом. Метод
Рел ея будет обычно д ав ать точность в п ределах нескольких
процентов, д а ж е при весьма грубом приближении, и его можно
было бы применить сн ач ал а при U =
Это сразу дает
к^ = 3,6. Т ак ка к ошибка на к а ж д о й стадии возводится
в к в ад р ат, было бы возм ож но получить точность с четырьмя
зн акам и самое большее за три попытки.
М ожно было бы идти другим путем, приняв решение в виде
{\ —
+ Ах^ + Вх^) и определяя Л и В из условия стацио
нарности найденного из (11) у? при м алы х в ар и ац и я х Л и В.
Подобный в принципе метод применен Ритцем д ля определения
частот собственных колебаний квадратной пластины.
Д л я рассмотрения второй формы колебаний нужно сначала
из пробного реш ения вычесть решение д л я низшей формы
с таким множителем, чтобы остаток был точно ортогонален
к последнему решению (см. 6.08) *).
9.16.
Численное решение систем линейных уравнений. Обычно
и злагаем ы е методы являю тся очень трудоемкими. Мы проил
лю стрируем решение на примере. Возьмем три уравнения
6 , 3 х - 3 , 2 у + l , O z = +7,8,
(1)
-3 ,2 л : + 8 , 4 г / - 2 , 6 г = - 2 , 3 ,
(2)
+ 1,0х — 2,6у + 5,72 = + 8,6.
(3)
*) Д альнейш ее обсуж д ен и е метода Ритца см. в книге [33].
Здесь коэффициенты о б р азую т симметричную матрицу. Это не
существенно д ля метода, но на практике такое условие выпол
няется столь часто, что мы так ж е мож ем взять его д л я при
мера. Р а зд е ли м первое уравнение на коэффициент при х и
затем ум нож им полученное уравнение на коэффициенты при х
в д ву х других уравнениях. Путем сложения или вычитания
исключим затем х и повторим процедуру д ля у. Полностью
решение проводится следующим путем:
6 , 3 л : - 3 , 2 г / + 1 ,0 2 = + 7,8
г/- 0,3092 = + 0,245
2 , 0 9 г / - 0 , 6 5 2 = + 0,51
2 = + 1,609
,2ху + 1,0х2 + 4,2г/2—2,6г/2 + 2,852^ —7,8л: + 2,3г/ —8,62
имеет минимум. М инимум существует, потому что квадратичны е
члены полож ительно определены. П усть он будет равен S,
а соответствующие значения х, у, z пусть будут Хо, Уо, Zq.
К огда мы подгоняем какое-либо одно неизвестное, мы находим
значение, которое д ел ает S минимальной при значениях других
неизвестных, равных принятым в предыдущ ем приближении,.
Следовательно, значения 5 , соответствующие последовательны м
приближениям, которые обозначим через S„, о б разу ю т невоз
растаю щ ую последовательность. Кроме того, пока все уравнения
не удовлетворены, подгонка хотя бы одного из х, у, z умень
шает S„, следовательно, если S „ > S ,
П ол ож и м
S„ — 5„ц_з = Г„; тогда если р ассм атр ивать все значения х, у, z,
д аю щ ие одно и то ж е значение
то Тп является непрерыв
ной и достигает своей нижней грани, которая поэтому не мо
ж ет быть рав н а нулю. Д ал ее, если полож ить х = х 0 + х',
У = У0 + У', z = Zq + z', S = 1, + S', то
будет положительно
определенной квадратичной формой относительно х'^, у'^, г '.
Пусть н иж няя грань Тп при изменяю щ ихся х', у', г ' и постоян
ном
будет a S '. Тогда 1 ^ а > 0 . Если л:',
z'^ ум н ож аю тся
все на одно и то ж е постоянное число k, то
и Т'п оба умно
ж аю тся на
Таким образом, д л я любой совокупности з н а
чений х ', г/', г ' приближения через три ш ага д ад у т
s ; + 3 = s ; - r ; < ( i - a ) s;.
П оскольку последовательность {S^} н ев озр астаю щ ая , отсюда
следует, что
Кроме того, последовательны е неравенства
определяю т совокупность областей .v, у, z, к а ж д а я из
которых содерж ится в предшествую щ ей, причем их диаметры
стремятся к нулю. С ледовательно, значения х, у, z, д аваем ы е
этим процессом, сходятся к значениям, соответствующим .S '= О,
т., е. к правильном у решению.
9.16а. На том ж е принципе, что и метод фон З а й д ел я,
основан метод С аутвел л а. Его отличительные черты: 1) на к а
ж д о м этапе записы ваю тся невязки всех уравнений; 2) следую
щий шаг состоит в уменьшении {лик ви дац ии , по выраж ению
С аутвелла) наибольш ей невязки; 3) не д елается никакой по
пытки получить в следую щем приближении больш е одной з н а
чащ ей цифры. Так, например, в той ж е системе уравнений
наибольшую правую часть имеет третье уравнение. Возьмем
в качестве первого приближ ения х = у = 0, г = + 2 . Л евы е
части оказы ваю тся равными + 2 ,0 ; —5,2; + 1 1 ,4 . В ычитая их
из правых частей, получим невязки + 5 ,8 ; + 2 ,9 ; —2,8. Н а и
б о льш ая из них п ервая. Возьмем л: = + 1 и продолж и м вычи
сление. Значения, выписанные д л я следующ их приближений,
являю тся, конечно, п оправками к уж е найденным п р и б л и ж е
ниям:
2= +2
+ 5 .8
+ 2 ,9
- 2 ,8
*= + 1
+ 0 ,5
г =■ - 9 , 3
» “ - Э, 2
JC = - 0 ,1
г = - 0 ,1
у = - 0 .9 3
х = - -0 ,0 4
6 ,3 л :-3 ,2 г / + 1 ,0 г = - 0 , 1 5
- 3 ,2 л ; + 8,4г/- 2 ,6 г - - 1,48
+ 1 ,0 л :-2 ,6 г / + 5 ,7 г = + 0 ,0 1
Н аходим решение
х = + 1 , 0 + 0 , 5 - 0 , 1 - 0 , 0 4 = + 1 ,3 6 ,
у = + 1 , 0 - 0 , 2 - 0 , 0 5 - 0 , 0 1 + 0 ,0 0 2 = + 0 ,7 4 2 ,
г = + 2 , 0 - 0 , 3 - 0 , 1 + 0 , 0 1 - 0 , 0 0 1 = + 1 ,60 9.
Вообще говоря, в этом методе (и в методе фон З а й д ел я)
на к а ж д о й стадии стоит несколько преувеличивать поправку.
Если, например, в одном из приближений мы увеличим х так,
что в первом уравнении невязка будет полностью устранена,
то н евязка во втором уравнении увеличится. П оследняя ком
пенсируется изменением у. Но это снова увеличивает н евязку
в первом уравнении, и требуется д альн ей ш ее изменение х.
П о этой причине, особенно если недиагональные коэффициенты
не малы, сходимость мож ет быть улучш ена путем преувеличе
ния поправки.
Если, например, на некотором ш аге д л я устранения невязки
в первом уравнении требуется поправка д л я х, р ав н ая
а мы фактически изменили х на величину м е ж д у 6^. и 26^., то
легко видеть, что мы всегда уменьшим S. В методе р е л а к с а
ции д ля дифференциальных уравнений часто стоит брать по
п р ав к у равной
или д а ж е
9.17. Краевые задачи: обыкновенные дифференциальные
уравнения. Д л я обыкновенного уравн ен ия второго п орядка
можно за д а т ь либо значения tj и d y l d x на одном конце интер
вала, либо значение одной из этих величин на к а ж д о м из
концов интервала. В первом случае мы строим численное реш е
ние, продвигаясь ш аг за шагом, поэтому такие зад ач и названы
Р ичардсон ом м ар ш ев ым и (m a rc h in g problem ) *). Второй тип
з а д а ч н азы вается краев ыми з адачами. Р еш ение первых зад ач ,
когд а уравнение линейно, можно построить по реш ениям двух
задач Коши с условиями на одном из концов путем их линей
ной комбинации, такой, чтобы удовлетворялось условие на
другом конце. Д л я нелинейных уравнений этот метод не про
ходит. М ожно получить первое приближение, удо вл етворяю
щ ее краевы м условиям, а затем дифференциальное уравнение
зам ен ить у равнением в конечных разн остях и использовать
его д л я получения лучшего п риближ ения д л я промеж уточ
ных значений. В качестве простого прим ера возьмем у р а в
нение
(IV
причем у = 0 при л: = 0 и г/= 1 при х = 1 .
ние есть
—
Ц'
Известно, что реш е
sin X
s i n ( l рад) ■
.
' '
Н о допустим, ЧТО мы этого не знаем . П опробуем интерполировать значение у при х = 0,5. П олучим с помощью вторых
разностей д л я ш а г а 0,5
d^y
dx^ = 4б^г/ = 4 (г/i 4- г/о - Зг/о.д) = - г/о,5.
(3)
откуда
7г/о,5 = 4//1 + 4уо = 4,
Уо,5 ~ 0,57.
(4)
(5)
И нтерполируем теперь вторыми разностями д л я ш а г а 0,2. Это
д а е т первое п рибли ж ен ие yi'.
*) Обычно такая задача называется задачей Коши ил№ задач ей с началь
ными условиями. В дальнейш ём бу д ет исподьзоватьсп общ епринятая терми
нология. Это ж е относится к термину jury problem , который мы переводилг
как краевая задача. — Прим, перев.
П о значениям у\ при л: = 0,6 и л: = 1,0 это д ает второе прибли
ж ение д ля у при л: = 0,8, а именно 0,851. По y^ при л: = 0,4
это д ает у^ при х = 0,6, равное 0,672. Таким образом, п олу
чаем столбец у 2 , а дальнейш ие аналогичные аппроксимации
д аю т г/з и у^. Точные значения приведены в последнем столбце.
Если требуется, можно учесть четвертые разности, но тогда
необходимо п родолж ить решение на один ш аг за конец т а б
лицы.
9.18,
М етоды рел ак сац и и. Этот метод можно распро стра
нить на дифференциальные уравн ен ия с частными п роизвод
ными при зад ан н ы х граничных условиях. В качестве примера
возьмем уравнение Л а п л а с а . П редп о л о ж и м , что решение в ы р а
ж а е т с я в виде
Ф = Со + air cos Q + b^r sin О +
cos 20 -f Ь2Г- sin 20 + . . .
... + V s in 4 0 .
(1)
Д опустим д алее, что нам зад ан ы значения ф в точках (1, 0),
(О, 1), ( —1, 0), (О, —1). О бозначим их через фь фг, Фз, Ф4. З а
тем возьмем коэффициенты вплоть до &2 в качестве неизвест
ных и попытаемся их вы брать так, чтобы наилучшим образом
согласова'^ь сумму с заданны м и значениями в смысле метода
наименьших квад р атов, т. е. мы минимизируем
(«о + а, 4- 02 - ф|)2 + (ао -f 6, - flg - фг)^ -f
+ (ао - ai + аг - Фз)^ + (ао -
- «г - Ф4)^•
(2)
Условие минимума по Uq д ает
Фо = «о = -5 - (ф1 + ф2 + Фз + Ф4 )-
(3)
Рассмотрим теперь систему точек, показанную на рис. 35,
и сохраним члены до 64. [Точка, отмеченная цифрой 5, есть
(2,0) и т. д.]
С оставл яя аналогичным об р азо м сум му к в а д р а
тов, находим, что условия минимума Uq имеют вид
4оо + 34а4 = Y (ф1 + • • • + Фа).
34ао + 514^4 = Y (ф1+ Ф2 + Фз + Ф4 ) + 8 (фз + Фе + ф? + Фе).
откуда
«о =
(ф1 + Ф2 + Фз + Ф4) - eo" (Ф5 + Фб + Ф? + Фа)-
(4)
6
г
--4
■La
Рис. 35.
Д л я системы точек на следую щ ем рисунке снова можно
оставить члены до Ь^, однако очевидно, что Uq зав и си т только
от сумм
S) = (ф1+ Ф2 + Фз + Ф4 ).
^2
== (ф5 + Фб + Ф? + Фа)
(5)
и мы получим то ж е самое значение д л я а^, взяв средние з н а
чения
Ф1 = Ф2 — Фз
Это д ает ах =
=
Ф4 = f
Ф5 = Фб = Ф?
Ь^ = 0
= йа + a^,
^ 5г = ао + 4а4,
о ткуда независимо от a^
^0 = "з" "Si +
^ 2.
Фа ~ f ^ 2 -
(6)
Если функция удовлетворяет в нгкоторой области уравнению
Л а п л а с а и мы хотим зн ать ее значение в некоторой точке по
значениям, зад ан н ы м в о кру ж аю щ и х ее точках п рям эуго л ьн ой
сётки, то (3) д аст приближенное значение, которое есть просто
среднее значение по четырем соседним точкам. При этом учи
ты вается только член с г^; формулы (4) и (7), которые учиты
ваю т член /■'*, будут существенно более точными.
Тогда процедура будет зак л ю ч ать ся в том, чтобы в у з л а х
прямоугольной сетки брать пробную совокупность значений,
удовлетворяю щ ую граничным условиям, и согласовы вать их
по очереди.
2
Рис.
36.
Особое внимание ж елател ьно уделять углам , где соответ
ствую щ ее разлож ени е ф не будет иметь вид (1). В зад ач е, ко
торую мы сейчас рассмотрим, мы имеем показанное на рис. 37
распределение точек. Возьмем ф, равным нулю вдоль границы
и принимаю щ им пробные значения в точках, помеченных циф
рами 2, 3, 4, 5, 6 , причем значения в тбчках 2, 6 и 3, 5 сов
падаю т. Тогда вблизи угла подходящ ее вы раж ен и е д л я ф будет
иметь вид
Ф =
^ r / » s i n 4 e
+
B r 2 s in 2 9
(8)
и точные значения будут следующие:
Точка
4
3, 5
2, 6
Л •2
si n ^ л - 2В = 1.260Л - 2 В ,
Л s i n -д я = 0 ,8 6 б Л ,
(9)
Л • 2''’ sin 4- 5t + 2В - 0,630Л + 2 В .
Вообще будет невозможно найти Л и S так, чтобы у д овл е
творить трем зад ан н ы м значениям Ф. но мы мЪжем подобрать
их методом наименьших кв ад р ато в так, чтобы было наилуч-
шее совпадение в целом, а затем использовать это решение
в качестве сгл аж и в аю щ ей функции. Если пробные значения
равн ы ф4, фз, ф2, мы получим минимальную сумму к в ад р ато в
невязок в пяти точках, принимая
А = 0,3247ф4 + 0,4463фз + 0,3247фг,
1
В =
(10)
1
1 -ф 2 --б
Ф 4-
С глаж ен н ы е значения равны ф^, Ф3, ф^, т. е.
ф' =
0,742ф^ + 0,562фз — 0,258ф2,
Ф '=
0,281ф4 + 0,386фз + 0,281ф2,
(И )
Фз = -0,12 9ф 4 + 0,281фз + 0,871ф2.
Это можно проверить, принимая ф2, Фз, Ф4 удовлетворяю щ и м и
(9) точно и у б еж д ая сь , что ф^, фд, Ф4 совпадаю т с ними. Такое
с гл аж и в ан и е не означает, что член r "^ >s \ n- ^Q Главен нулю, но
что он мал. Ошибки, возникаю щ ие от его присутствия, распре
дел яю тся среди ф', фд, ф', однако вблизи угла малость этого
члена д ает хорошее прД1ближение.
М ожно применить формулу (8) д л я половинного интервал а.
Если взять точки 7, 8 , 9, делящ ие пополам отрезки, соединяю
щие начало координат с точками 2, 3, 4, то получим
Ф7 = 0 , 3 9 6 8 Л + у S = 0,2955ф2 + 0,1771ф з + 0,0455ф 4,
Фз = 0 ,5 4 5 6 Л
Если д а ж е высшими членами в точках 2, 3, 4 нельзя прене
бречь, то их влияние в точках 7, 8 , 9 будет значительно
меньше.
Процесс быстро г л а ж и в а е т отклонения от истинного реш е
ния, пока они ск азы ваю тся на разн остях м еж д у значениями ф
в Соседних точках сетки. Д л я отклонений одинакового зн ака
у группы соседних точек сгл аж и в ан и е происходит значительно
медленнее, и мож ет создаться впечатление, что у ж е достигнута
х оро ш ая точность, когда на самом деле осталась значительная
ош ибка (что имело место в примере, приведенном в первом
Издании этой книги).
С аутвелл воспользовался
методом»
известным под н азванием метода блочного сгл аж и в ан и я (block
ad ju stm ent). Р ассм отри м сумму
(фо - Ф1 +
+ (Фо - Ф2 +
+ (Фо - Фз +
+ (Фо - Ф4 + 6)2. (13)
Она принимает минимум по б при
й = 4^Ф1+Ф 2 + Фз + Ф4-4фо).
(14)
С ледовательно, Фо + б есть значение а^, д аваем о е (3). Вообще
процесс сгл аж и в ан и я с помощью (3) эквивалентен минимиза
ции S (фг “ Фл)^. где индексами г и s помечены соседние точки
сетки. Допустим теперь, что имеются пробные значения в блоке
точек сетки и мы хотим найти одинаковую поправку б по всем
значениям в этом блоке, о ставл я я не п р и н ад л еж а щ и е ем у зн а
чения неизменными. Тогда б будут сод ер ж ать только те члены
суммы, у которых г соответствует крайн ей точке блока,
a s — соседней с ней внешней точке сетки. Их можно записать
в виде суммы
2 (фг - Ф* +
взятой по всем таким п а р а м точек числом, ск аж е м , N. Усло
вие минимума этой суммы есть
б = -^ ^ (ф .-ф г )‘
(15)
Это п оправк а д ля всего блока.
О бсудим теперь метод, с помощью которого часто можно
сделать сходимость более быстрой, чем та, которая получается
бесхитростным использованием (3). Если ф в некоторой точке
сетки отличается на —б от своего среднего значения в сосед
них точках и мы просто д ел аем поправку на б, то в сл ед ую
щем приближении ф в соседних точках в о зрастает на ^/^6 .
Таким образом , р азн и ца не устранится, а лишь раздели тся
на 4 и необходимы дальнейш ие поправки. Мы можем преду
смотреть это и сделать начальную поправку равной '‘/36
вместо б.
Д л я целиком внутреннего блока (т. е. полностью о кр у ж ен
ного п о дл еж ащ и м и уточнению значениями) этот эффект может
о к а зать ся более значительным. Если мы просто сделаем по
п р ав к у б, д ав аем ую (15), и д в а ж д ы проведем сглаж иван и е з н а
чений д л я точек, прилегаю щ их к блоку, то п оп равк а в этих
точках мож ет составить
Следовательно, д ля такого блока
обычно стоит умнож ить поправку на множитель, больший
чем
хороший результат обычно д ает ^/2-
С тан д а р тн а я процедура д о л ж н а зак л ю ч аться в таб у л и р о в а
нии п ред полагаем ы х значений 6 на к аж д ой стадии с исполь
зованием (3), (4) или (7). Н аиб ольш ие значения следует умно
ж и т ь на '‘/з и п рибавить. Этот процесс будет варьир оваться
д в о я к и м образом . Если замечено, что поправки, необходимые
д л я значений на контуре внутренних точек почти все одного
зн а к а , то д ля точек внутри и на самом контуре будет вычи
сл я тьс я блочная п оправка. Если в зад ач е имеется особенность,
т а к а я , что решение вблизи нее не имеет вида (1), то лучше
всего отдельно изучить, каков будет вид решения, и р а з р а б о
тать , как д ля (8), метод аппроксимации д л я окрестности осо
бенности, приспособленный д ля этого вида.
О
О
Р ис.
38.
О
с
В некотором блоке может сод ер ж ать ся внутренний блок и
уд обн о произвести совместное сгл аж иван и е. Если д л я полного
блока необходима п оправка б, а рассмотрение внутреннего
блока д ает поправку 6', то п оследн яя явл яется в действитель
ности поправкой по отношению к внешним частям главного
блока и су м м ар н ая поправка, н еобходи м ая д ля внутреннего
блока, р ав н а б-Ьб'.
9.181. В качестве прим ера рассмотрим конденсатор, пред
ставляю щ ий собой длинную призму, сечение которой ограни
чено д ву м я концентрическими, подобно располож енны м и к в а д
рата м и со сторонами 2 и 4. П о тен ц и ал внутреннего к в а д р а т а
равен 1, а наруж н о го 0. Н ай д ем распределение потенциала
м е ж д у ними. Очевидно, р а с с м а т р и в а е м а я область состоит из
восьми одинаковы х частей и достаточно рассмотреть лишь одну
из них. В качестве первого п риб л и ж ен ия возьмем значения
в точках с, d из непосредственной интерполяции в соответствии
С 9.18 (3), что д ает c = d = 0,50. Д л я
на прямой под углом 45° к осям)
Ф* = - ^ ( 1 + О + О + фй),
6
имеем (используя точки
фг, = 0,33,
и д л я а из (7)
_4
J
Фа = 45 •■т4( 2 ф й + 0) + | - 4 ( 1 + 0 ) = 0 , 1 3 + 0,05 = 0,18.
Второе приближение д ля ф* из (7) равно теперь
Фй = у (1 + Фй + Фе + 0 ) +
(О + Фй + 1 + 0 ) .
откуда ф* = 0,41. Тогда ф Я п ~
яеизвестны е функции и
— их производные по t, то в ари ац и я
и
5 = J f { q u .•
Яп, Яь
•••. qn,
t)dt
(1)
и
.для малы х приращ ений функций qr{t) имеет вид
6S =
+
L\
и
г
!
г
(2)
г д е если
ф О, то
(А исходные координаты и импульсы;
однако если начальны е и конечные координаты и / — /о з а
дан ы , то начальн ы е импульсы определены и, следовательно,
не являю тся произвольными. П оэтому естественно, что S,
в ы раж ен н ое ка к функция t и q^, вклю чает именно п + 1 произ
вольных постоянных.
Если L не зависит от времени явно, то Я = con st есть инте
гр а л энергии. О бозначив последнюю постоянную через h, имеем
dt = - * >
\Ь dt,г
Поэтому
S = = - h { t - t o ) + f ( qs, qso)-
(9)
(10)
К а к и раньш е, д8/дд^а равно просто — р^о, что не зав и си т
от t, и, таким образом, у нас есть п уравнений, в ы р а ж аю щ и х
тот факт, что dS/dq^o, явл яю щ иеся функциями q^, Qso и, может
быть, t, постоянны во время всего движ ения и равны — р^о.
Отсю да если мы зад ал и сь S, то у нас есть п уравнений
д л я определения q, через t и начальны е условия; п о это м у ,ес л и
можно определить S, то полное решение задачи сводится
к решению этих уравнений. Этот результат п р ин ад л еж и т Г а
мильтону. Сложность его применения в только что сформули
рованном виде зак л ю ч ается в том, что, хотя бывает довольно
легко получить полный интеграл у равнения (8), включающий
п + 1 постоянных, эти постоянные обычно зав и ся т и от q^o и
от psd и вы разить нх только через
часто нелегко. Эта тео
рем а была дополнена Якоби, который о б н а ру ж и л, что л ю бой
полный интеграл уравнения (8) можно использовать точно
таким ж е образом , ка к и полный интеграл, зави сящ ий только
от
О д н ако д ля д о к аза т ел ь ств а этого полож ения мы ну
ж д а е м с я в гамильтоновой форме уравнений движ ения.
10.09.
У равнения Г ам и л ьто на. Функция Л а г р а н ж а L з а в и
сит от qs, qs и, возможно, от t; функция Гамильтона Я зависит
от qs, Ps и, возможно, отt. Д л я произвольных вариаций
и qs при неизменном t имеем
бЯ = 6 {(/sps - L ) = c/s6ps + Ps^qs
( I I)
Ho no определению p^ = OLIdq, и, следовательно,
(>H = c / 6 p s - - ^ 6 q s ,
.
dPs '
dqs ~
dL
dqs
( 12)
Д ал ее, из уравнений Л а г р а н ж а
И
d
dL
dL
dt
d qs
dqs
дН
dq s '
поэтому
dH
.
dH
,,
Это у р а внен ия Гамильтона. И х надо р ассм атр и в ать ка к си
стему 2п дифференциальных уравнений первого по ряд ка, в то
время как п уравнений Л а г р а н ж а являю тся уравн ен иям и в то
рого порядка.
У равнения Гамильтона могут быть прямо связан ы с в а р и а
ционным принципом следующим образом . П ол ож и м (см. [2])
t,