Б. М. Будак, А. Виньоли, Ю. Л. Гапоненко, Об одном способе регуляризации для непрерывного выпуклого функционала, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1969, том 9,
номер 5, 1046–1056
Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подразумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением
http://www.mathnet.ru/rus/agreement
Параметры загрузки:
IP: 195.114.145.110
21 января 2023 г., 09:38:46
ЖУРНАЛ
ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ и МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
Том 9
Сентябрь 1969 Октябрь
№
5
УДК 518:519.3
ОБ ОДНОМ СПОСОБЕ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ
ДЛЯ НЕПРЕРЫВНОГО ВЫПУКЛОГО ФУНКЦИОНАЛА
Б.
М.
БУДАК,
А.
ВИШЬОЛИ,
10.
( Москва
Л.
ГАПОНЕНЕО
)
§ 1. Постановка задачи. Идея метода
Пусть J(u) — непрерывный выпуклый функционал, заданный на не
котором ограниченном, замкнутом выпуклом множестве U Н, Н —
гильбертово пространство; J(u)
достигает минимального значения
«Г = inf J(u) на множестве U* ^ U элементов u е U, причем U* замк
нуто, выпукло, ограничено и не пусто. В общем случае U* может состо
ять более чем из одного элемента. В связи с этим минимизирующая J(u)
на U последовательность {и } может, вообще говоря, не сходиться сильно
в норме Н.
Такие экстремальные задачи, в которых минимизирующие последова
тельности могут быть не сходящимися сильно, А. Н. Тихонов назвал не
корректными. Для выделения сильно сходящейся минимизирующей по
следовательности в таких задачах А. Н. Тихонов предложил метод
регуляризации с помощью последовательности регулярк зирующих функ
ционалов
Ниже предлагается регуляризация такого рода задач с
помощью последовательности множеств, в каждом из которых миними
зирующая последовательность сходится сильно, причем на каждом из этих
множеств функционал J(u) достигает наименьшего значения в единст
венной граничной точке и последовательность этих точек сильно сходит
ся к некоторой вполне определенной точке множества U*.
п
§ 2. Основные определения и леммы
Л е м м а 1. Если непрерывный
выпуклый
функционал
J(u) достигает
наименьшего
значения в замкнутом выпуклом
ограниченном
множестве
Uа в единственной точке и *, причем эта точка лежит на границе U и
1|и *|| = sup
= а, то произвольная
минимизирующая
J(u) на U по
а
a
а
a
U&JOL
следовательность
{и }
п
сходится сильно к и *.
а
Д о к а з а т е л ь с т в о . Последовательность {и }
п
II
Вп
п =
ограничена по норме
1, 2 , . . . .
Поэтому из нее можно выделить слабо сходящуюся подпоследовательность
Об одном способе
1047
регуляризации
{и .
{и }. Обозначим слабый предел {и } через й.В силу слабой
замкнутости замкнутого выпуклого ограниченного множества U в гиль
бертовом пространстве, й е £/ . Непрерывный выпуклый функционал
J (и) является слабо полунепрерывным снизу. Поэтому
щ
п
П]
a
а
J(u)^.
lim J(u )=
lim J(u )
nk
—
n
J(u *).
a
В силу единственности точки минимума J(u) в 27 получаем
й=.и *.
Итак, и -+и *
слабо при Л - ^ + о о . В силу слабой полунепрерывности
снизу нормы элемента в Я и условий ||и *|| = а, \\и \\ ^ а имеем
а
пк
а
а
а
а='||и *Ц <
а
п
lim | | u J | <
lim \\un \\ <
n
k
а,
откуда следует, что \\и \\
||и *11 при / с - ^ + о о . Но из слабой сходимо
сти и к и * и сходимости нормы | | » n j | к ||и *Н вытекает сильная схо
димость u
к в *. Тот факт, что вся последовательность {u } сходится
к и *, легко доказывается от противного. Лемма 1 доказана.
Обозначим через Я7[0, а] множество элементов и ё Я, удовлетворяю
щих условию || и || ^ а, т. е. шар с центром в нуле и радиусом а в гиль
бертовом пространстве Н.
Не нарушая общности рассмотрений, можно считать, что и = О со
держится в множестве U, на котором задан рассматриваемый функцио
нал J(u), u^U.
Этого всегда можно добиться «параллельным перено
сом». Пусть sup ||u|| < й < - f o o . Тогда U лежит строго внутри шара
Пк
пк
а
а
а
n ? f
а
n
а
ШЕЕ
£7
ZZ7[О, Щ. Обозначим через U выпуклое множество U = U Г) Ш[0
при любом а, 0 ^ а ^ R. Положим
a
/(а) =
a
inf /'(и),
Т
а]
0 < а < R.
Л е м м а 2. Функция / ( а ) есть непрерывная
монотонно
(не возрастающая) функция а на сегменте О ^ а ^ R.
убывающая
Д о к а з а т е л ь с т в о . Монотонное убывание (не возрастание) / ( а ) на
этом сегменте очевидно. Докажем, что / ( а ) непрерывна слева при 0 <
< а ^ й и справа при 0 ^ а < R.
1. Предположим, что / ( а ) имеет разрыв слева в точке а, 0 < & ^ R.
Это означает, что существуют такие 6о > 0, 8 о > 0, что для любого а
из интервала (а — бо, а ) справедливо
/ ( а ) - / ( а ) > ео.
(*)
Пусть J(u) достигает своего минимума на U в точке и. Возможны два
случая: 1) ||й|| = а — Да, Да > 0; 2) ||й|| = а. В первом случае в силу
невозрастания / ( а ) получаем противоречие с соотношением (*). Во вто
ром случае построим последовательность элементов:
a
а
и
п
=
п —
— и,
для
нее
а
п
J(и )
п
е (а — бо, а ) ,
^> f(a )
n
>
/ ( а )
а
+
а
п
е
0
=
при п->- + о о ;
/ ( и )
+
е.
0
(**)
1048
Б. М. Будак
и др.
С другой стороны, и -+ и. Неравенство (**) противоречит непрерывно
сти функционала J(u).
2. Предположим, что / ( а ) имеет разрыв справа в точке а, 0 ^ а 0, ео > 0, что для любого а
из интервала ( а , а + бо) справедливо
п
/ ( а ) — / ( а ) > во.
Рассмотрим последовательность { а } , а е (а, а + бо), а ^ а
при
т г - > + о о . Пусть / ( и ) достигает минимального значения на С а в точке и .
Выделим из последовательности {и } слабо сходящуюся подпоследова
тельность {и },
Un -+и слабо. Заметим, что щ е Z7 , так как, во-пер
вых,
в силу
слабой
полунепрерывности
снизу
нормы
имеем
||»о11 ^
lira | | u | | , во-вторых, UQ^U
В силу слабой замкнутости U и
п
п
п
п
п
п
k
Пк
0
c;
n f t
/с—>+оо
включения { u } a U. С другой стороны, в силу слабой полунепрерывно
сти снизу для J(u) получаем
nfe
J(u>o) ^
где ио е
а/(a) =
Ига J{u )
^/(a) —е ,
nk
0
inf / ( и ) .
Полученное противоречие завершает доказательстао непрерывности
функции /(a)- на отрезке [0, R]. Лемма 2 доказана.
Обозначим
через
и*^
элемент,
удовлетворяющий
условиям:
1) иШт^и\
2) ||z4inll =
inf ||u||.
Такой элемент существует и един
и ц е *
ствен в силу того, что множество U* замкнуто выпукло, ограничено и
непусто.
В силу непрерывности и монотонности / ( а ) на [0, R] существует та
кая точка а*, 0 ^ а* < R, что при всех а, 0 ^ а < а* (если таковые
существуют), / ( а ) > / ( а * ) = /* и при всех а, а* ^ а ^ Л, / ( а ) =
= /(а*) = / * , /* = inf / ( а ) . График / ( а ) представлен на фит. 1.
[0,Н]
Л е м м а 3. На множестве U при 0 ^ a ^ а* функционал
стигает минимума inf J (и) = / ( а ) в единственной точке и * ^U ,
a
а
и * принадлежит
шара Д7(0, а ) .
а
той части границы
U , которая
a
лежит на
a
J(u) до
причем
поверхности
Доказательство.
Очевидно, ||u* || = а*, где u ^ — наимень
ший по норме элемент из U* ^ U. На множестве U * функционал J(u)
достигает наименьшего значения
/* = inf J(u) = inf J(u)
min
i n
a
в единственной точке u ^ , причем лежащей на границе U * и границе
шара Д7[0, а*]. Пусть теперь 0 ^ а < а*. Предположим, что J(u) дости
гает минимума на U в точке u *, лежащей внутри Ш[0, а]. Соеди
i n
a
ним
ТОЧКУ Ua* E f /
a
9
a
a
U*
a
ПрЯМОЛИНОЙНЫМ ОТреЗКОМ
С U*
mln
,
%
kl
— а
0 >
k
l
—
а
-t
0
^
-
.
После этого первый шаг считается законченным.
В т о р о й ш а г . Рассмотрим серию множеств {U },
к = 1, 2, 3, . . ...
полученных в результате пересечения исходного множества U и сериш
концентрических шаров ZZZ[0, щ,
к = 1, 2, . . . , где
auk
ai,fe = aiH
R — ai
_
._
к=1,2,
——,
Последовательно для к = 1, 2, 3 , . . . решается экстремальная задача
одновременно на двух множествах U ^ и U со все возрастающей точ
ностью S(fe fe). Это продолжается до тех пор, пока при некотором к полу
чим, что найденное с точностью Ъ(к +к ) минимальное значение функциона
ла J(u) на множестве U
более чем на -щ^ы превышает найденное с
той же точностью Щк +к ) минимальное значение функционала J (и) на ис
ходном множестве U. Полученное соотношение позволяет заключить, что
все элементы, минимизирующие J(u) на U, лежат вне множества
В качестве второго приближения берем
a
1+
2
х
ai
1
2
к
2
л_
и
Щ = щ »
1+к2
«1, v
a
2 -
- u*
(сильно в метри
п
п
п
п
ке Н)
при
min
п-+
-f-oo.
Д о к а з а т е л ь с т в о . 1. По
следовательность { а } возрастает и
Фиг. 2. р(0, £/*) = а* > а , п = 4, 2, 3, ... ограничена а ^ -а*, следователь
но, а
ot ^ а*. Покажем, что
а = а*. Предположим противное:
а < а*. Возьмем произвольную точку ао G (а, а*). Положим ео =
— /(-схо) — / ( а * ) , о > 0. Определим fti из условия
sn, < у . Опреп
п
п
п
8
2 8 о
делим лг из условия «о — а > а — а . Положим тг = max(^i, тг )..
Заметим, что в силу монотонности последовательности {а } справед
ливо cto — а > а — а . Рассмотрим (п + 1)-й шаг. На этом шаге имеем
2
П2
3
2
п
Пз
ъ
^
= ctn - Ь —
3
,
<
е п,
V 8o,
2
ft
= 1 , 2,
i=i ^
а
Возможны два случая: а) (гсз + 1)-й шаг выполняется при а( +п ^ о ;
б) (п$ + 1)-й шаг выполняется при щ +\) < cto. В случае а) получаем
противоречие с условием а < а, п = 1, 2 , . . . . В случае б) заметим, что
(яз + 1)-й шаг выполняется при а + 1 ^ ( & , ао). Действительно, как только
точка а £ впервые попадает на интервал ( а , «о), она обязательно попа
дает также на интервал (а, ао) в силу того, что
Пз
Пъ
п
П з
Пз
Пз
, - -Я — а
an ,fc = а-п'з Н
тг —,
_ ^ _
а —а > а — а .
П8
3
ь
0
Пз
С другой стороны, минимальное значение функционала J(u) на множе
стве U „
вычисленное с точностью е
< 72во. более чем на V260
a
Пз
превысит минимальное значение функционала J(u) на множестве U, вы-
Об одном способе
численное с той же точностью е
1053
регуляризации
, в силу того, что
щ
3=1
/(a
n i > 1 F
)-/(a*)>/(ao)-/(a*)=eo.
Следовательно, (газ + 1)-й шаг выполняется при a +i ^ ( o t , cto), что про
тиворечит условию а a = a*.
2. Покажем, что для последовательности {и } и множества £7 * выпол
нены все условия леммы 1. Действительно, множество U * ограничено,
замкнуто и выпукло; {и }^ Ua* по построению. Функционал J(u) дости
гает наименьшего значения на множестве U * в единственной точке
°i
такой, что
границе U * и \\u*
1 1 = s u p | | » | | = а*. Наконец, послеn3
