Печатается по постановлению
Редакционно-издательского совета
Казанского университета
Сборник содержит около 600 задач с методами решений,
а также задачи и упражнения для самостоятельного решения
и образцы вариантов письменных экзаменационных работ.
Даются решения многих задач, предлагавшихся в послед
ние годы на вступительных экзаменах по математике в Ленин
градском государственном университете и других вузах.
В качестве тренировочного материала к письменным рабо
там и устным экзаменам в Сборник включены специально по
добранные задачи по всем наиболее важным разделам, входя
щим в программу вступительных экзаменов.
Особое
внимание уделяется алгебре и элементарным
функциям и тригонометрии, так как эти разделы элементарной
математики являются наиболее важными для изучения курса
высшей математики.
В конце Сборника приведен большой список литературы.
рекомендуемой для лучшей подготовки к вступительным экза
менам и успешного изучения курса высшей математики.
1
Редактор Т. Н. Б ы к
Техн, редактор Л. И. Б д а ш к о в а
Корректоры В. С. Александров иДМ. Мустафина
Сдано в набор 7,'V-19u3 г. Подписано в печать 30,'VIIM968 г. ПФ 16004. Формат бумаги
eOXSO’.'if Печ. л. 17,25. Уч.-изд. л. 16.63. Тираж 35ОСО экз. Заказ Д-852. Цена без переплета
49. Переплет 10 коп.
Издательство КРУ. Казань, ул. Ленина, д. 4/5
Комбинат печати имени Камиля Якуба. Казань, ул. Баумана, д. 19
I
1
.1^
ОГЛАВЛЕНИЕ
I
4
Предисловие
Часть первая
Задачи и вопросы
Раздел 1. Алгебра н элементарные функции
7
Введение ...............................................
1. Рациональные уравнения .
2. Иррациональные уравнения..............................
3. Показательно-логарифмические уравнения .
4. Уравнения с несколькими неизвестными .
5. Системы уравнений...............................................
6. Рациональные неравенства ........
7. Иррациональные неравенства .......
8. Показательно-логарифмические неравенства
9. Доказательство неравенств..............................
§ 10. -Задачи на составление уравнений.................
§ И. Последовательности и пределы......................
§ 12. Функции и графики функций..........................
§ 13. Комплексные числа...............................................
§ 14. Разные задачи........................................................
§ 1. Задачи по планиметрии
§ 2. Задачи по стереометрии
Раздел IV. Образцы вариантов письменных работ
....
150
Часть вторая
Решения, указания и ответы
Раздел
Раздел
Раздел
Раздел
I. Алгебра и элементарные функции
. . . .
II. Тригонометрия ...
...
. . . .
III. Геометрия................................................................
IV. Образцы вариантов пись.менны.х работ . .
Реко.мендуемая литература
.
154
202
228
. 256
. . 273
. ПРЕДИСЛОВИЕ
Предлагаемая книга представляет собой пособие в помощь
поступающим в высшие учебные заведения.
В ней содержатся методы решения основных типов задач,
предлагавшихся на вступительных экзаменах по математике
за последние годы в вузах Ленинграда.
Чтобы дать материал для тренировки к письменным экза
менам, в книгу включены специально подобранные задачи
по наиболее важным разделам, включенным в программу
вступительных экзаменов, и образцы вариантов экзамена
ционных работ.
Задачи, предназначенные для самостоятельного решения,
имеют сквозную нумерацию по всей книге. Большая часть
их решений изложена в сжатой форме (пропущены проме
жуточные преобразования, имеющие чисто технический ха
рактер; не делается ссылок на общеизвестные формулы и
теоремы, если их применение очевидно из хода решения;
исследование условий и решений задач описывается подробно
лишь в сложных случаях, а в остальных дается окончательный
результат). Излагая решения задач таким образом, мы пре
следуем цель дать возможность читателю, разбирающему
решение той или иной задачи, в процессе самостоятельной
работы восполнить пропущенные выкладки.
Для лучшей подготовки к вступительным экзаменам и
более успешного изучения курса высшей математики приво
дится большой список литературы, где особо выделены те
книги, которые рекомендуются в качестве основных ру
ководств.
На вступительных экзаменах по математике наиболее вы
сокие требования предъявляются по алгебре и элементарным
функциям и по тригонометрии. Это объясняется тем, что
для изучения курса высшей математики данные разделы эле
ментарной математики являются наиболее важными. Поэтому
поступающие в высшие учебные заведения должны иметь
твердые знания и навыки по всему школьному курсу алгебры
и тригонометрии.
Письменные экзамены преследуют цель выяснить, в какой
мере абитуриент владеет техникой элементарных пре
образований, знает ли необходимые формулы и умеет ли
рационально выполнять все необходимые действия,
4
На устных экзаменах проверяется уровень знаний и навы
ков по программе вступительных экзаменов. При этом осо
бое внимание уделяется проверке наличия навыков логиче
ского мышления, ибо последнее имеет решающее значе
ние при изучении курса высшей математики.
Отметим наиболее часто встречающиеся ошибки, допускаемые абитуриентами на вступительных экзаменах.
На письменных экзаменах абитуриенты не всегда в состоянии правильно составить уравнение по условию задачи,
не умеют, а чаще всего забывают, делать требуемых иссле
дований области допустимых значений искомых величин и за
данных в условии параметров; в задачах по тригонометрии
многие теряют решения в процессе их нахождения или при
записи общего вида найденных углов; большое количество
ошибок и описок в вычислениях и нерациональность послед
них говорит об отсутствии требуемых навыков в выполнении
преобразований и навыков самоконтроля.
На устных экзаменах абитуриенты затрудняются дать
правильные и четкие определения основных понятий (напри
мер, понятие о вещественных числах и их классификации,
понятие об абсолютной величине вещественного числа, о ну
левой степени числа, об арифметическом корне, равносиль
ности уравнений и т. п.), порой не отличают определение от
теоремы; не владеют понятиями о необходимом и достаточном
условиях; не умеют использовать в доказательствах метод
полной математической индукции; нечетко формулируют
понятие о пределе, не имеют навыков в решении примеров
на нахождение пределов, требующих простейших элементар
ных преобразований, не владеют понятием о сумме беско
нечно убывающей геометрической прогрессии; нечетко фор
мулируют понятие о функции и ее графике (не знают, что
такое область определения функции, или смешивают ее
с областью значений, принимаемых функцией, не умеют по
казать на графике эти области).
Многие затрудняются (не имея выработанной схемы и на
выков) в исследовании свойств функции и построении графика
ее (изучение наличия свойств четности, нечетности и выте
кающих отсюда свойств симметрии графика относительно
оси ординат и начала координат; изучение наличия свойств
периодичности и ограниченности; нахождение точек пересе
чения графика функции с осями координат, установление
промежутков возрастания и убывания, нахождение наиболь
ших и наименьших значений функции, изучение поведения
функции в окрестности точек разрыва и на бесконечности).
Некоторая часть абитуриентов недостаточно владеет техни
кой разложения функции на множители; многие не имеют
навыков в использовании теоремы Безу, затрудняются в ре
шении неравенств первой и второй степени и, особенно,
5
показательных, логарифмических и тригонометрических нера
венств; часть абитуриентов затрудняется в исследовании
и решении уравнений (особенно иррациональных и трансцен
дентных) и систем уравнений (не умея иногда дать геометри
ческое истолкование уравнений, систем уравнений и их
решений и не используя разложение на множители для на
хождения решений); слабы навыки в действиях над комплекс
ными числами, в переходе от нормальной формы комплексного
числа к тригонометрической и обратно; многие не имеют
четкого представления об обратной функции и построении
ее графика по графику прямой функции в случае, когда не
зависимая переменная одна и та же, в частности не пони
мают геометрической связи между графиками показательной
и логарифмической функций и не имеют представления об
обратных тригонометрических функциях. В некоторых случаях
затруднения вызывали отдельные преобразования, которые
необходимо уметь делать быстро (например, выделение пол
ного квадрата из квадратного трехчлена).
Мы с глубокой благодарностью примем все критические
замечания и пожелания, которые просим направлять по ад
ресу: Казань, Центр, ул. Ленина, д. 4/5. Издательство КРУ.
Авторы.
1
I
Часть первая
ЗАДАЧИ И ВОПРОСЫ
РА ЗДЕЛ 1
АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ
Введение
Понятие 6 функции. Основные определения
Пусть даны два непустых множества Л" и У. Если каж
дому элементу х из X сопоставлен один и только один эле
мент у из У, то говорят, что на множестве X задана функ
ция / со множеством значений в У. При этом множества
Х и У называются соответственно областью определе
ния и областью изменения функции /. Символически
это записывают так:
I
где Л' —аргумент, /(х) или у — значение функции /.
Основными способами задания функции / являются: ана
литический, табличный и графический.
В данном пособии мы рассматриваем, за редким исключением, так называемые элементарные функции. Сюда
относятся прежде всего следующие классы функций:
1. у = с, где с = const.
2. _v = .’ci^ ([J. — вещественное число) — степенная функция.
3. v =
ц
— показательная функция.
4. у = log'^x
гг 1)логарифмическая функция.
5. у = sin л, у = cos л, у = tg .V, у = ctg л: — тригонометри
ческие функции.
6. у == arcsine, y = arccosjc, у —arctg.r, у == arcctgл — об
ратные тригонометрические функции.
Указанные классы функций будем называть простей
шими классами элементарных функций. Если
функция f принадлежит одному из этих классов или может
быть получена из таких функций при помощи четырех ариф
метических действий и операций взятия функции от функции,
?
последовательно примененных конечное число раз, то мы
Наприбудем называть ее элементарной функцией.
фу
■" «-"у
мер, функции
з^-1-з-I”'*
—, у = arcsln (sin х).
у = К — а-, у =
JV =
+-^ + 1),
= Igsln X, y = 2arcsln
УX
2
— суть элементарные функции; функция у = |х| — тоже эле
ментарная функция, ибо она может быть представлена в виде
у = Ух'^; функция /, заданная формулами
f О при X
I
при X
О,
О,
не будет элементарной, в то время как п„составляющие"
составляющие ее
функции у = О (х ^0) и у = х'‘‘ (х>0) являются элементар
ными.
Из определения элементарной функции / следует, что она
задается ан алитически и притом в виде одной фор
мулы. Эта формула задает закон, по которому каждому х
из X ставится в соответствие у из У.
Если при этом значение / (х) функции f получается из
значения аргумента х только при помощи алгебраиче
ских операций (т. е. четырех арифметических действий,
возведения в степень и извлечения корня), то такая функция
f называется алгебраической.
Все неалгебраические элементарные функции называются
трансцендентными. Среди простейших элементарных
функций, указанных выше, к трансцендентным относятся по
казательная, логарифмическая, тригонометрические и обрат
ные тригонометрические функции.
Алгебраические функции, заданные формулами, содержа
щими только четыре арифметических действия над аргумен
том, называются рациональными.
Рациональная функция, заданная формулой вида
+ ... -Р
+ Ад.
Р(х) = йох"-!- fliX"-' -Ь
ап-1 X + й!„,
а.
где «о, «1, ...,
— постоянные вещественные числа, называется целой рациональной функцией или м н о г 0членом степени п.
Функция
Р(х)
Q{x} ’
(1)
где Р(л) и Q(х) — многочлены, называется дро б н о й-р а циональной функцией или рациональной дробью. Ра
циональная дробь (1) называется правильной (непра-
I'
8
i
вильной), если степень многочлена Р{х) меньше (больше
или равна) степени многочлена Q(x).
Все алгебраические функции, не являющиеся рациональ
ными, называются иррациональными.
Уравнения. Основные понятия
и определения
Уравнением будем называть символическую запись
задачи об отыскании тех значений аргумента, при которых
две функции fag принимают равные значения:
/(x)=g(x).
I
(2)
Решить уравнение в данной числовой области G (найти
решение) означает найти такие значения
(решения) из О,
что
/(■«/)
По характеру функций, входящих в их состав, уравнения
классифицируются на алгебраические (рациональные, ирра
циональные) и трансцендентные (показательно-логарифми
ческие, тригонометрические).
Уравнение (2) может иметь решение, если существует
общая часть областей изменения функций fag. Решения
уравнения должны находиться в общей части областей опре
деления функций f и g.
Множество значений неизвестного, в котором могут на
ходиться решения, будем называть областью допусти
мых значений неизвестного (О. Д. 3.).
Уравнения называются равносильными, если они
имеют одно и то же множество решений.
При решении уравнения надо стараться заменять исход
ное уравнение ему равносильными. Если это оказывается не
возможным, то допустима замена исходного уравнения его
следствием, т. е. уравнением, в множестве решений ко
торого содержатся все решения исходного (но могут быть
и другие).
К основным равносильным преобразованиям относятся
следующие:
