В библиотеке Геттингенского университета хранится рукопись, являющаяся итогом 10-летней работы О. Гермеса, которая содержит метод построения 65537-угольника
Трисекция угла
Задача о делении угла на три равные части
П. Ванцель в 1837 г. доказал, что задача разрешима только для некоторых частных случаев (например, для углов в 900)
Гиппократовы луночки
Задача на построение равновеликого квадрата для плоской фигуры, ограниченной дугами двух окружностей (луночки). При отношении центральных углов дуг a : = 1:2, 1:3 и 2:3, решение было найдено Гиппократом в V ст. до н.; при отношении a : = 1:5 и 3:5 – М. Валлениусом в 1766 г. и, независимо от него, Эйлером – в 1771 г. Других типов квадратируемых луночек при рациональном a : не существует
Квадратура круга
Задача на построение квадрата, равного по площади данному кругу. Ф. Линдеман в 1882 г. доказал: такое построение невозможно, доказав трансцендентность числа
Параллельные
Начиная с I ст. до н. э. осуществлялись попытки, исходя из аксиом Евклида, доказать т.н. аксиому о параллельных: через точку А вне прямой а в плоскости, проходящей через А и а, можно провести лишь одну прямую, которая не пересекает а.
Создав в 1826 г. неевклидовую геометрию, Н. Лобачевский доказал, что аксиома о параллельных не выводится из остальных аксиом
Полная аксиоматизация элементарной геометрии
Проблема, возникшая в Древней Греции, связана с критикой попытки в IХ ст. до н. э. построить полную систему аксиом так, чтобы все утверждения элементарной геометрии вытекали из этих аксиом сугубо логическим выводом без наглядности чертежей.
Такую систему в 1889 г. создал Д. Гильберт
Уравнение 5-й и высших степеней
Главная проблема алгебры комплексных чисел. Задачи появились после того, как в 1530-х г.г. в Италии вывели формулы для решения уравнений 3-й и 4-й степеней.
а/ Для уравнения n-й степени (n > 5) найти формулу, выражающую его корни через коэффициенты с помощью четырех арифметических действий и извлечения корня. Н. Абелю в 1826 г. удалось доказать, что общей формулы для всех уравнений 5-й степени не существует. Э. Галуа в 1831 г. указал условия нахождения такой формулы для уравнения произвольно выбранной степени n.
б/ Показать, что уравнение n-й степени с комплекснозначимыми коэффициентами имеет хотя бы один комплексный корень. К. Гаусс в 1799 г. нашел убедительное свидетельство этого факта, доказав основную теорию алгебры комплексных чисел
Великая теорема Ферма
Опубликована автором в 1670 г. и звучит так: «Сумма двух одинаковых степеней, за исключением вторых, не может быть той же степенью». Ученые сию фразу изложили по научному: уравнение xn + yn = zn при n > 2 не имеет целых положительных решений.
До сих пор эта головоломка из теории чисел не решена. Полагают, что теорема истинна, но недоказуема
Четыре краски
Задача, предложенное Ф. Госри в 1952 г.: выяснить, возможно, ли любую, расположенную на сфере карту, раскрасить четырьмя красками так, чтобы бы любые две области, имеющие общий участок границы в виде дуги, были раскрашены в разные цвета.
К. Аппель и В. Хакен в 1976 г. доказали, что подобным образом можно раскрасить любую карту
Континуум-гипотеза
Задача сформулирована Г. Кантором в 1878 г.: выяснить, существует ли множество, в котором больше элементов, чем во множестве всех натуральных чисел, и меньше, чем во множестве всех вещественных чисел.
К. Гедель в 1938 г. и П. Коэн в 1963 г. доказали, что как существование, так и не существование такого множества не вытекает из аксиом теории множеств
Гипотеза Пуанкаре
Гипотеза, относящаяся к важнейшим проблемам топологии, сформулирована в 1904 г. и относится к важнейшим проблемам топологии. Звучит она так: «Все трехмерные поверхности в четырехмерном пространстве, гомотопически эквивалентные сфере, гомеоморфны ей».
В 2002 г. решить задачу тысячелетия удалось ученому из Санкт-Петербурга Г. Перельману, за что математический институт Клэя в США присудил ему обещанную ранее премию в размере миллиона долларов
Цифры десятичной системы
Название
Число
Один
1=100
Десять
10=101
Сто
100=102
Тысяча
1000=103
Десять тысяч
10000=104
Сто тысяч
100000=105
Миллион
