Избранные
труць!
СИСТЕМЫ
УРАВНЕНИЙ
С ЧАСТНЫМИ
ПРОИЗВОДНЫМИ
АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ
ГЕОМЕТРИЯ
АКАДЕМИЯ НАУК СССР
Отделение математики
1
I
i
1:
'>
Ж
1
t,*■
Д
|Ж[ •>»*iai^₽
r
I
$
и. г. петровский
Избранные
труды
СИСТЕМЫ
УРАВНЕНИЙ
С ЧАСТНЫМИ
ПРОИЗВОДНЫМИ
АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ
ГЕОМЕТРИЯ
в
МОСКВА
«НАУКА»
1986
УДК 517.95+515.165.4
Петровский И. Г. Избранные труды. Системы уравнений с частны
ми производными. Алгебраическая геометрия.— М.: Наука, 1986.
Настоящее издание представляет собой первую книгу избранных
трудов академика И. Г. Петровского. Она содержит основные работы
И. Г. Петровского по системам уравнений с частными производными и
алгебраической геометрии. Публикуемые работы И. Г. Петровского по
системам уравнений с частными производными заложили основы со
временной теории систем уравнений с частными производными. Его рабо
ты по алгебраической геометрии являются важнейшими исследованиями
первой половины нашего века по топологии действительных алгебраиче
ских многообразий; они послужили источником интенсивного развития
этой области математики в последние десятилетия. В книге помещены
комментарии к публикуемы.м работам; они имеют целью ознакомить чи
тателей с современным состоянием тех разделов математической науки,
которые выросли на основе исследований И. Г. Петровского.
Редакционная коллегия;
В. И. АРНОЛЬД, Н. Н. БОГОЛЮБОВ (главный редактор),
А. И. КОЛМОГОРОВ, О. А. ОЛЕИНИК (зам. главного редактора),
С. Л. СОБОЛЕВ, А. Н. ТИХОНОВ
Составитель
О. А. ОЛЕИНИК
Рецензенты;
М. И. ВИШИК, Ю. В. ЕГОРОВ
Настоящая книга содержит основные работы Ивана Геор
гиевича Петровского по системам уравнений с частными про
изводными и алгебраическо?! геометрии. Эти работы сыграли
выдающуюся роль в развитии современной математики. Они
стали классическими и сохранили свое основополагающее зна
чение и в наши дни.
Цикл работ И. Г. Петровского по системам уравнений с част
ными производными, представленный в первой части этой кни
ги, заложил фундамент современной общей теории систем уравнений с частными производными. В этих работах были впервые
выделены и изучены классы эллиптических, гиперболических и
параболических систем, которые в настоящее время в математике принято называть соответственно эллиптическими, гнперболическими и параболическими по Петровскому системами.
Эти исследования породили обширные и важные разделы[В
теории уравнений с частными производными и ее приложениях.
Статьи И. Г. Петровского по алгебраической геометрии, пуб
ликуемые во второй части книги, явились важнейшими работа
ми по топологии действительных алгебраических многообразий,
появившимися после классических исследований Харнака и
Гильберта, выполненных в конце прошлого века. Эти работы
И. Г. Петровского послужили источником интенсивного разви
тия теории действительных алгебраических многообразий в по
следние десятилетия.
Некоторые из помещенных в книге работ И. Г. Петровского
были впервые опубликованы на иностранных языках. Здесь пе
чатаются их переводы на русский язык. При переводе учтены
сохранившиеся авторские черновики и рукописи некоторых из
этих работ на русском языке. Примечания переводчиков к текс
там помещены в конце работы или подстрочно.
В конце книги даны комментарии к публикуемым статьям.
Они содержат обзоры работ, выполненных под влиянием иссле
дований И. Г. Петровского в соответствующих областях.
Там же помещено два приложения. Одно из них содер
жит доказательство теоремы И. Г. Петровского о лакунах на
основе работы М. Атьи, Р. Ботта, Л. Гордннга, другое является
обзором по задаче Коши, одним из авторов которого был
И. Г. Петровский.
Во вторую книгу избранных трудов И. Г. Петровского вклю
чены его работы по обыкновенным дифференциальным уравне
ниям, уравнениям с частными производными, математической
физике, теории вероятностей и теории функций.
ИВАН ГЕОРГИЕВИЧ
*
ПЕТРОВСКИЙ
А. Н. Колмогоров
Двадцать два года работы в качестве ректора первого и
крупнейшего университета нашей великой страны и притом ра
боты настоящего руководителя, вникающего во все дела, являю
щегося инициатором самых различных начинаний во всех на
правлениях деятельности университета — подвиг достаточно
уникальный. Он явился завершением жизни Ивана Георгиевича
Петровского, которая и вся представляется нам теперь именно
подвигом.
Иван Георгиевич не принадлежал к числу ранних талантов.
Юношеские годы Ивана Георгиевича были нелегки. Двадцати
одного года Иван Георгиевич поступил в 1922 г. в Московский
университет, обладая уже немалыми знаниями в области мате
матики, приобретенными самостоятельным чтением. Он прово
дит нормальный пятилетний срок студентом и трехлетний—ас
пирантом. Кажется неслучайным, что он избирает своим на
учным руководителем Дмитрия Федоровича Егорова, глубокого
и тонкого ученого, но несколько сурового человека, неустанно
го труженика, чуждавшегося всякой внешней эффектности.
Еще в студенческие годы Ивана Георгиевича горячо волнуют
общественные дела — он избирается представителем студентов
в математической предметной комиссии и отдается этой работе
со всей серьезностью, свойственной ему во всем. Мне запом
нился образ Ивана Георгиевича, скромного молодого человека
Б синей косоворотке, стриженного под машинку, когда ему было
доверено в 1927 г. приветствовать от имени студентов Москов
ского университета Первый съезд советских математиков.
Студентом в 1926 г. Иван Георгиевич выполняет свою пер
вую самостоятельную научную работу по проблеме Дирихле.
Тема работы возникла в семинаре Д. Ф. Егорова и была связа
на с недавно сделанной работой Л. А. Люстерника. Но резульТЭТЫ Ивана Георгиевича отличаются своей законченностью.
Своеобразен самый характер возникновения дальнейших цик
лов работ Ивана Георгиевича Петровского. Неожиданно его
увлекает проблема из совершенно новой области. Он берется за
изучение этой области, начиная с первых ученических шагов.
А через год, или через несколько лет... появляется решение
увлекшей его с самого начала проблемы. Так было с его знаме
нитыми работами по топологии действительных алгебраических
кривых, начавшимися публикацией 1933 г. Так же внезапно воз* УМН, 1974, т. 29, вып. 2, с. 3—5.
Иван Георгиевич Петровский
5
никло и после концентрированных усилий привело к успеху ув
лечение И
1 вана Георгиевича близкими мне вопросами обосно
вания предельных теорем теории вероятностей при помощи диф
ференциальных уравнений предельных случайных процессов с
непрерывным временем. Заинтересовавшись поведением[ инте
гральных кривых системы обыкновенных дифференциальных
уравнений вблизи особой точки, Иван Георгиевич также при■ ходит к весьма завершенным результатам.
Подобным же образом развивались и наиболее знаменитые
работы Ивана Георгиевича, начатые в 1936 г., по условиям ана
литичности и по условиям разрешимости задачи Коши для сис
тем дифференциальных уравнений с частными производными.
Работы Ивана Георгиевича по дифференциальным уравнениям
с частными производными преобразовали всю эту важную об
ласть математики. Можно даже сказать, что до Ивана Георгие
вича речь шла в работах по преимуществу либо об «аналити
ческой теории», пользовавшейся рядами Тейлора и приводив
шей к формальным результатам, скрадывавшим реальное
своеобразие отдельных типов уравнений, либо о специальных
типах уравнений, возникших по поводу отдельных задач мате
матической физики. По существу именно с работ Ивана Геор
гиевича начинается период преимущественного интереса к сис
тематическому изучению систем уравнений с частными произ
водными самого общего вида с целью выделения из них
естественных классов, отличающихся теми или иными общими
свойствами (разрешимость задачи Коши, обязательная анали
тичность всех решений и т. п.). Влияние работ Ивана Георгие
вича в этом направлении и сейчас находится в стадии возраста
ния и в советской и в мировой науке.
Основной пафос этого главного направления исследований
Ивана Георгиевича заключается в освобождении от связанно
сти со случайными особенностями конкретных задач, уже воз
никших из частных запросов физики. Это та здравая абстра
гирующая тенденция, которая приводит к созданию больших
новых общих математических теорий. Но это не значит, что Ива
на Георгиевича не занимали точно поставленные отдельные за
дачи, непосредственно выдвинутые приложениями. Можно было
бы привести ряд примеров, где Иван Георгиевич внес сущест
венный вклад в их решение. Об иных же видах участия Ивана
Георгиевича в работах по актуальным приложениям математи
ки, не отразившихся в печатных публикациях, вероятно, еще
будет когда-либо рассказано. Отмечу еще, что как раз в послед
ние годы в семинарах Ивана Георгиевича получили особенно
большое место вопросы современной теоретической физики, что
лишний раз подчеркивает неиссякаемую духовную молодость
Ивана Георгиевича способность вновь и вновь воспринимать
новое.
6
A. H. Колмогоров
Но, возвращаясь к характеристике личности Ивана Георгие
вича, подчеркну еще раз, что исходным пунктом научных изы
сканий Ивана Георгиевича обычно было возникшее убеждение
в актуальности задачи, необходимости ее разрешить. Надо быть
необычайной силы математиком для того, чтобы такой подход
к делу был так почти безошибочно продуктивным в индивиду
альной деятельности одного ученого, как это получалось у Ива
на Георгиевича. Для подражателей есть опасность, увлекаясь
созерцанием задач, приглянувшихся в качестве особенно при
тягательных, так и ограничиться этим созерцанием. Организо
ванная научная работа коллектива состоит в выделении важ
нейших очередных задач и подбора к каждой задаче людей,
способных ее решить. Но у Ивана Георгиевича часто получа
лось, что привлекшие его задачи из совсем новых областей он
решал сам.
Для Ивана Георгиевича работа ученого была всегда нераз
рывно связана с деятельностью профессора — воспитателя на
учной молодежи. Его тщательно прочитанные лекционные кур
сы превращались в образцовые учебники. Его научные семина
ры всегда были центрами живой научной мысли. Своих личных
учеников Иван Георгиевич воспитывал в традициях интереса к
науке и ее актуальным задачам, а не к своим успехам.
В 1940 г. Иван Георгиевич был избран деканом механико
математического факультета Московского университета. Де
канство Ивана Георгиевича захватило трудные военные годы,
когда основной коллектив университета работал в Ашхабаде и
потом в Свердловске. Все работники факультета помнят неиз
менную заботливость Ивана Георгиевича в части материальных
нужд и неуклонное стремление сохранить высокий потенциал
учебной и научной работы. В 1949—1951 гг. Иван Георгиевич
был академиком-секретарем физико-математического отделе
ния Академии наук СССР, отдавая, как всегда, полную меру
сил этой новой работе. С нее он и перешел на пост ректора Мос
ковского университета, обязанности которого он исполнял с
полной энергией буквально до последних минут своей жизни.
У
близко знавших и даже только соприкасавшихся с
у всех олизко
Иваном Георгиевичем осталось неизгладимое впечатление от
образа этого вечного труженика и человека неиссякаемой юно
шеской увлеченности. Слово «подвиг» звучит в применении ко
всей.жизни Ивана Георгиевича без всякой натяжки’.
f
!
* В журнале «Вестник Московского университета. Математика и механика»,
1974, № 1, приведен список публикаций об И. Г. Петровском. Там же опуб
ликована статья О. А. Олейник «Математические работы И. Г. Петровско
Петровско-
го», где дано подробное изложение работ И. Г. Петровского.— Примеч. редакции журнала «Успехи математических наук».
U
I
И. г. ПЕТРОВСКИЙ
И СОВРЕМЕННАЯ МАТЕМАТИКА
О. А. Олейник,
У входа в главное здание Московского государственного уни
верситета на Ленинских горах находится мемориальная доска
со скульптурным портретом Ивана Георгиевича Петровского и
надписью: «В этом здании с 1953 по 1973 г. работал выдающий
ся ученый и общественный деятель. Герой Социалистического
Труда, ректор университета, академик Иван Георгиевич Пет
ровский». За этими лаконичными словами кроется огромный
труд одного из крупнейших математиков нашего века, талант
ливого организатора науки, видного государственного и общест
венного деятеля И. Г. Петровского. Его ректорство — одна из
самых замечательных страниц в истории Московского универ
ситета.
Исследования Ивана Георгиевича вошли в золотой фонд ма
тематической науки. Им получены фундаментальные результа
ты в самых различных областях математики: в алгебраической
геометрии, теории вероятностей, теории обыкновенных диффе
ренциальных уравнений, математической физике, теории урав
нений с частными производными.
Научные интересы Ивана Георгиевича всегда концентриро
вались вокруг крупных узловых проблем математики. Его ин
тересовали конкретные, точно поставленные, трудные задачи.
При этом всегда оказывалось, что выбранная им для исследо
вания проблема является центральной для той или иной облас
ти математики. Эту задачу он решал со всей полнотой и закон
ченностью, причем глубина полученных результатов, созданные
им новые методы и вскрытые им новые проблемы приводили к
тому, что исследование Ивана Георгиевича становилось от. нравным пунктом для нового направления в математике.
Многие из работ И. Г. Петровского на десятки лет опереди
ли свое время. Его работы, выполненные в 30-х и 40-х годах,
стоят сейчас в центре внимания ведущих математиков мира.
Мощное развитие математического анализа и алгебраической
топологии 1последних
- лет помогает осмыслить глубину результатов и идей, заложенных в работах Ивана Георгиевича* полу
чить новое освещение открытых им основополагающих фактов.
И. Г. Петровский является создателем теории систем уравнений
с частными производными, интенсивно развивающейся в по
следние десятилетия. Многие ее разделы являются непосредственным продолжением исследований Ивана Георгиевича.
И. Г. Петровский родился 18 января 1901 г. недалеко от
Брянска, в маленьком древнерусском городе Севске. В 1917 г.
8
о. А. Олейник
ен окончил там реальное училище, Иван Георгиевич любил
вспоминать о своем детстве, обстановке в доме деда, где он вы
рос, о его делах, о Севске, в котором прошло 17 лет его жизни.
В настоящее время Севск бережно хранит память о выдаю
щемся ученом, которого он дал миру. Имеются мемориальные
доски на здании бывшего реального училища, на доме, в кото
ром родился и вырос Иван Георгиевич. Его именем названы
средняя школа № 2 и одна из улиц города. Имя И. Г. Петров
ского присвоено также недавно созданному Брянскому педаго
гическому институту. .
В 1917 г. по окончании реального училища И. Г. Петровский
поступил па естественное отделение физико-математического
факультета Московского государственного университета, наде
ясь стать химиком или биологом. Он еще в юные годы решил,
что будет заниматься наукой, однако учиться в университете в
то время ему не пришлось. В 1918 г. Иван Георгиевич вместе
со всей семьей переехал в г. Елизаветград (ныне Кировоград).
Там он некоторое время служил конторщиком, а затем посту
пил учиться в механико-машиностроительный техникум. Слу
чайно ему попалась книга Н. Е. Жуковского по теоретической
механике. Для чтения этой книги ему не хватало математиче
ских знаний, и он старался получить эти знания из книг. Первой
его книгой по математике была «Теория чисел» Дирихле. Эта
книга, как вспоминал Иван Георгиевич, поразила его красотою
мыслей и фактов и навсегда повернула его интересы в сторону
математики.
В 1922 г. И. Г. Петровский приезжает в Москву с тем, чтобы
учиться в Московском университете. В том же году он перево
дится с естественного отделения физико-математического фа
культета на математическое. В студенческие годы он мало слу
шал лекции и учился в основном по книгам. Приехав в 1922 г.
в Москву, он не имел ни жилья, ни каких-либо средств к жизни.
Несколько первых ночей он провел на вокзале. Затем его выру
чило случайно увиденное объявление, что детскому дому № 4
Сокольнического района требуются дворник и истопник. Было
обещано жилье и питание. Приехав по адресу, Иван Георгиевич
узнал, что место истопника уже занял другой студент. Остава
лось согласиться на место дворника. Пришлось же работать
за двоих, так как его коллега-студент не проявлял должного
старания.
С осени 1923 г. И. Г. Петровский стал преподавать матема
тику на рабфаке ВХУТЕМАС (Высшие художественно-техниче
ские мастерские), где проработал до 1930 г. С некоторыми из
своих учеников, ставших впоследствии скульпторами, музыкан
тами, художниками, Иван Георгиевич сохранил дружеские от
ношения Iца многие годы. "Работа
'
'■
на рабфаке
дала ему возмож
ность больше времени уделять своим учебным занятиям в МГУ.
И. Г. Петровский и современная математика
9
Б 1923 1924 IT. И. Г. Петровский преподавал также матема
тику в средней школе № 16 Бауманского района Москвы.
Еще в студенческие годы проявился большой организатор
ский талант и общественный темперамент Ивана Георгиевича.
Он постоянно был вовлечен в большую общественную работу.
В частности, он был представителем студентов в предметной
комиссии по математике на физико-математическом факульте
те, что свидетельствовало о его большом авторитете среди сту
дентов.
В 1927 г. И. Г. Петровский от имени студентов физико-ма
тематического факультета Московского государственного уни
верситета приветствовал Первый Всероссийский съезд матема
тиков. Сохранилась фотография президиума съезда и высту
пающего рядом с трибуны съезда студента И. Г. Петровского,
а также текст его выступления. ~
Высказанная им тогда идея
единства теории и практики лежала в основе всей его дальней
шей научной и организаторской деятельности.
В МГУ наибольшее влияние, на Ивана Георгиевича оказал
профессор Дмитрий Федорович Егоров, которого он считал
своим учителем. Дома у него все годы висел портрет Д. Ф. Его
рова. В студенческие годы И. Г. Петровский сначала занимался
в семинаре по теории чисел, а в 1926 г. принял участие в работе
семинара Д. Ф. Егорова по проблеме Дирихле. Он реферировал
работы О. Перрона, где задача Дирихле для уравнения Лап
ласа решалась методом верхних и нижних функций. В это же
время появилась работа Л. А. Люстерника о решении задачи
Дирихле методом конечных разностей. Иван Георгиевич заин
тересовался сравнением этих методов и получил ряд интерес
ных результатов по задаче Дирихле для уравнения Лапласа.
Эта первая студенческая работа И. Г. Петровского [1] была до
ложена на заседании Московского математического общества
и опубликована в 1928 г. в журнале «Математический сборник».
Она явилась его дипломной работой.
В 1927—1930 гг. И. Г. Петровский был аспирантом
Д. Ф. Егорова. Иван Георгиевич рассказывал такой случай.
Как-то в аспирантские годы Д. Ф. Егоров поручил ему прореферировать на. семинаре две статьи, написанные на итальян
ском и английском языках. Иван Георгиевич сказал Егорову,
что он не знает этих языков. «Ну и что же,— удивился Д. Ф. Его
ров,— возьмите и выучите». И статьи эти были тщательно про
читаны и вовремя прореферированы Иваном Георгиевичем на
семинаре. Нужно сказать, что Иван Георгиевич всю жизнь лю
бил изучать иностранные языки. Он свободно читал на немец
ком, французском и английском языках. Чтобы улучшить свое
произношение, уроки французского и английского языков1 он
брал, будучи уже ректором МГУ. В его личной библиотеке име
ется очень много иностранных книг с его пометками. Встречав-
10
о. А. Олейник
шееся ему незнакомое слово он любил выписывать на полях
книги вместе с его транскрипцией.
Будучи в аспирантуре, Иван Георгиевич посещал также се
минары Александра Яковлевича Хинчина и Андрея Николаеви
ча Колмогорова по теории вероятностей. Он охотно рефериро
вал статьи на этих семинарах. Уже тогда А. Я. Хинчин пред
сказывал: «Будет выдающимся аналитиком». Иван Георгиевич
всегда говорил, что oih медленно и с трудом разбирает чужие
доказательства теорем. Он нередко называл себя «тугодумом».
Поэтому ему часто приходилось, реферируя работу, придумы
вать свои доказательства, что было для него легче. Часто при
этом оказывалось, что им предлагались более общие подходы
и более сильные методы, которые приводили к существенно но
вым результатам. Так возникла знаменитая работа И. Г. Пет
ровского по проблеме блужданий, толчком для написания кото
рой послужила необходимость прореферировать на семинаре
А. Н. Колмогорова работу на эту тему одного немецкого мате
матика. Поражает широта математических интересов Ивана
Георгиевича в студенческие и аспирантские годы, а также его
исключительное трудолюбие. Сохранились отчеты аспиранта
Научно-исследовательского института математики и механики
МГУ И. Г. Петровского за 1927/28 и 1928/29 учебные годы о
его работе. Отчеты Ивана Георгиевича говорят о его глубоком
интересе к математике, большой жажде знаний, творческом под
ходе к изучению математической науки.
С 1929 г. начинается преподавательская деятельность
И. Г. Петровского в Московском университете, которая продол
жалась до последнего дня его жизни. С 1933 г. И. Г. Петров
ский— профессор механико-математического факультета. Трид
цатые годы были периодом исключительно интенсивной творче
ской деятельности И. Г. Петровского,, удивительной по широте
проблематики и по силе полученных им результатов. В этот пе
риод им созданы работы, ставшие теперь классическими.
Несмотря на «чисто математический» характер его основ
ных работ, в них по существу проявляется его взгляд на мате
матику как на неотъемлемую часть естествознания, на которой
основываются вывод и понимание количественных и качествен
ных закономерностей, составляющих содержание наук о при
роде. Он был убежден, что все конкретные глубокие математи
ческие факты важны и рано или поздно найдут свое прило
жение.
Изложим коротко содержание основных работ Ивана Геор
гиевича и выявим то влияние, которое они оказали и оказывают
на развитие современной математической науки.
1. Уравнения с частными производными второго порядка и
задачи теории вероятностей. Выполненные И. Г. Петровским ис
следования краевых задач для эллиптических и параболических
I
И. г. Петровский и современная математика
1
11
уравнений второго порядка тесно связаны с его работами по
теории вероятностей. Идеи и методы, предложенные и разрабо
танные им для изучения уравнений с частными производными
второго порядка, он использовал в задачах теории вероятностей.
Его результаты о разрешимости первой краевой задачи для
уравнения теплопроводности нашли прямое применение в тео
рии случайных процессов. В упомянутой выше студенческой ра
боте И. Г. Петровского [1] наряду с другими результатами бы
ла доказана общая теорема единственности решения задачи
Дирихле для уравнения Лапласа: ограниченная гармоническая
функция однозначно определяется своими значениями в регулярных граничных точках этой области. В 1940 г. И. Г. Петров
ский возвращается к этой проблеме. В работе [2] им дано изящ
ное изложение метода Перрона решения задачи Дирихле, а в
работе [3]—новое доказательство существования решения за
дачи Дирихле для уравнения Лапласа методом конечных раз
ностей. Для доказательства сходимости решений разностных
уравнений Иван Георгиевич использовал разностный аналог
оценок С. Н. Бернштейна, а исследование поведения построен
ного решения на границе провел с помощью барьеров.
В 1934 г. И. Г. Петровский опубликовал работу [4], в кото
рой методом Перрона он решил первую краевую задачу дJ(я
уравнения теплопроводности. Он показал, что эта задача разрешима В области G, ограниченной двумя прямыми, параллель
ными оси X, и кривыми x = cpi(Z) и x= при
любой непрерывной граничной функции, если фД^) и ф2(^) удов
летворяют следующему условию: для каждого Z, где заданы
функции (pi(Z) и ф2(0, существует монотонная, определенная
при h/г() при
.
Ф1 (^ + /I) — Ф1 (О
2 i/Zi In р(/г), Фз (Z-ф/г)—ф2 (00,
и если для достаточно малых по абсолютной величине отрица
отрица-
тельных h выполнено по крайней мере одно из неравенств
Ф1 (t + h] — (Z) — 2 -\l'h lnp(/i),
Фг {t + /г) — 2 у/г In р (ft)
о. А. Олейник
12
при условии, что интеграл
f p{h) h~^
c
Inp (ft) I dft
сходится, когда е->—О, C = const2
превосходит по величине некоторое по-
р
ложтелъпое постоянное. Исходя-из решения (**), мы легко мо
жем получить такое преобразование (15), детерминант которого
равен 1. Для этого достаточно умножить коэффициенты ktj, по
лученные по формулам (*), на
где
—детерминант матрицы, построенной из
При усло
вии, что 2 “fe “ 1 и что рассматриваемая система гиперболиче
ская, абсолютное значение этого детерминанта будет всегда пре
восходить некоторое положительное постоянное.
Пусть а>0. Тогда функции и/{t, Xi, ..., х„, «i, ..., а„) будут
обладать следующим свойством:
X, «1, ..., а„) суть однозначные функции а/, имеющие
по этим аргументам непрерывные производные на всей сфере
а?
= 1•
(***)
Для доказательства этого, очевидно, достаточно показать, что
каждый из корней X детерминанта любой матрицы Ms есть одно
значная функция на сфере (***). Если бы это последнее утверж
дение было неверно в случае п = 2, то, обойдя один раз окруж
ность (***), мы пришли бы к значению X, отличному от исход
ного. С другой стороны, очевидно, что, обойдя несколько раз эту
окружность, мы обязательно должны прийти к исходному значе
нию X. Но тогда на окружности (***) должна существовать точНИЮ
точ
ка, где два корня X одного и того же детерминанта I| совпадают, что противоречит нашему предположению. Допустим теперь, что какой-то корень X не есть однозначная функция на сфе
ре (***) при п>2. Тогда на этой сфере существует такой замк
нутый контур К, при обходе которого мы получим для X значе
ние, не совпадающее с исходным. Так как Z есть однозначная го
1. о проблеме Коши
43
ломорфная функция в окрестности каждой точки сферы (***),
то она однозначно продолжается за контур К.. Поэтому, стяги
вая контур /С на сфере (***) в точку, мы найдем, что она долж
на быть точкой ветвления для Z, что невозможно.
Так как коэффициенты
х, а) нормированы, то для каж
дого /1 существует одно и только одно такое t'a, что
k'i^ {t, X, а) = —k'i2 {t, X, — а)
И
(Z, X, а) = Ui^ {t, X, — а)Ь (12),
где
6(ii) =8(12) = ± 1.
В случае 2^=1 а^= 0 МЫ считаем
x,i), ..., 0) =0 при
kn{t, X, О, . .., О) = 1
и
Xi — Xi {i=\, ... , fi).
to
Умножим теперь равенство (15) на
- (2ni/Z)S
g
......... =
И проинтегрируем по Q,. Тогда при й>1
.".k)
аи
■ii
_ _dXn
_dxn =
"ill
ду
Ч1
+
. . dx'k-idx'k+i . . . dx'n.
В последнем интеграле б= ±1 и интегрирование проводится по
поверхности куба Qi. Вследствие предположенной выше /-перио
дичности dq и Ui этот интеграл равен нулю. Таким образом при
k>l
dUj
J «3" —
,
.
е
Ч1
d^if^
di
dx’k
, -'2Я(7/)х, ^/2a^
■е
Uje
,
,
■
Pdxi . . . ахп.
44
Труды по теории систем уравнений с частными производными
в точности таким же способом показывается, что
J k'i
...dxn =
дх^
дх[
Ql
(J
du’i
k'i —- d
С dk'i
J
—Г
Ql дх[
1
+ 2iii
2iIL
J
I
+
,’
, .-№7Z,xXSa^^'_._
... dx^.
Qz
Введем обозначение
j_
J „■, (I. X.
Z"
Qz
=«Й.
...dx, =
Тогда результат, полученный от интегрирования правой части
запишется в следующем виде:
(15), умноженной на
Г
J
2я1
2ni
~r
'Z(a)
dt
k'iUie-^^^^’^^'^’^k=^^^dx^ ..
. dx„ +
Ql
N
+S 5
aaUie
. dxn +
i=i Qi
1 •
,, dxn (1=1,2,
N),
Ql
Здесь a'y суть линейные комбинации с постоянными коэффици
'(*)
ентами b'ij и первых производных от а^/*
’ и йг.
Умножим обе части этого уравнения на величину
Про
суммируем полученные уравнения по всей совокупности а* и
по i. Учитывая, что
± J-
2
2 dt /м
__
1 „'(а) 12 ___
d.
I
1------ Г ~7:
2 dt 1,^
1 VI
~у2|
Z,a
'Z(a)
dt
__
^Ца)(^1{а) —
1-jS
‘•'S,
ii{a}
dt
1. о проблеме Коши
' V,
_
"Ha,}
dt
1,0,
__ ' VI
t(«)
~ 7 2j
dt
i,a
45
da’i':^
• ’ У
71(-а)
dt
ti,a,
J1 У
•»г(а)
dt
ig.a
i,(y,
dt
МЫ получаем
2
dt
dt I,a,
= 2-^1^2аА J
t.a
k^d^ie-(^лСРч^.о,
. . . dxnx
Qi
I
u’le^
X
(it
i.i,a, ОI
4
dt
, (:2nl/l}'^a,kXk
+
dxi . . . dxn
-1-
... dXn ><
i,(X
X
\ Uie
4l
z/Xj ... dxn •
(17)
Используя равенство (16), мы можем записать (17) в следую- щей форме, в некоторых случаях белее удобной:
.'У
vf”4Sl»23l’ =
2
dt
2я1
-F
X
J
■г, 1/"^^ С л'л
-',2лЦ1}Ха.,^Х1^
dx^ • t • dXfi
1/ 2ай J kikirUre
Qi
t.r.s.a,
di
■istts^
dx 1
•
. . dXn+
Qi
J a"irUre-'"’^‘^‘'^VkdXi .. . dxn^i
i.r.s.a 0,1
Й
Труды по теории систем уравнений с частными производными
46
X
dXi. . . dXn +
kisO/'
0l
+ 7
S (
. dXn.
_,,dXn \
Qi
kirfre
Здесь a,-r~^’fliAr. Сходимость рядов, входящих в (17) и (173,
еще не доказана. Поэтому все эти предварительно проделанные
выкладки пока носят формальный характер. Однако мы скоро
докажем их правомочность.
Рассмотрим прежде всего первую сумму в правой части (17).
Введем следующие обозначения:
J k'i {t, X, а)
i
i
dxi ... dx,
'П,
Qi
,(₽) _ 1
рф)
ki (t, X, cc) Ui (t, X, a)
. dxn-
Qi
Тогда рассматриваемую нами сумму можно записать в следую
щем виде:
1
2яг
— 2л
i,a
__
i/vTT (а)
'(-а)
^C^kCuojOda} =
2л(
/'
~ I
(18')
0,1(0,}
I'
Ла,(5
при условии, что сумма сходится абсолютно. Приняв это пред
положение, можно представить далее эту сумму в следующем
виде:
2я(
Если среди- сумм (ai + ^i), ■■■, («п + Рп) имеется m не равных
нулю, то мы 5т раз проинтегрируем по частям аналогично тому,
как это было проделано выше. Производную (1)^”*) порядка 5т
по какой-либо из переменных Xj, ,.., х„ от выражения
ki [t, X, 01.
—
1/КS“t ■ • •.
S“*) —
X, — Piz/M •■ •’
мы оцениваем следующим образом, применяя формулу конечных
приращений. Мы идем от значений аз/|Л(s= Ь • • •, «)
к значениям—Ps/|/^2^^^
большого круга на сфере 2
■■■’
Двиг'аясь по дуге
1-При этом можно рассма
тривать все 7» как функции от р(а', 7) — расстояния вдоль геодезической от точки (у1, ,. ., 7„) ло точки
..., а,п} ■ Поэтому
