Химическая гидродинамика [Андрей Дмитриевич Полянин] (pdf) читать онлайн

€. Œ. Š“’

ǑŽ‚,

€. „. ǑŽ‹Ÿˆ,

€. ‚. ‚Ÿ‡œŒˆ,

‡. „. ‡€ǑŸŽ‚,

„. €. Š€‡

ˆ

•ˆŒˆ— ‘Š€Ÿ
ƒˆ„Ž„ˆ€ŒˆŠ€
‘Ǒ€‚Ž—Ž ǑŽ‘Žˆ

ŒŽ‘Š‚€
Š‚€’“Œ
1996

“„Š 532+536+66

ˆ§¤ ­¨¥ ®áãé¥á⢫¥­®
¯à¨ 䨭 ­á®¢®© ¯®¤¤¥àª¥
®áᨩ᪮£® ä®­¤
äã­¤ ¬¥­â «ì­ëå ¨áá«¥¤®¢ ­¨©
ᮣ« á­® ¯à®¥ªâã 95-0326747

Š ã â ¥ ¯ ® ¢ €. Œ., Ǒ ® « ï ­ ¨ ­ €. „., ‡ ¯ à ï ­ ® ¢ ‡. „., ‚ ï § ì ¬ ¨ ­ €. ‚.,
Š § ¥ ­ ¨ ­ „. €. •¨¬¨ç¥áª ï £¨¤à®¤¨­ ¬¨ª : ‘¯à ¢®ç­®¥ ¯®á®¡¨¥. | Œ.:
Š¢ ­âã¬, 1996. | 336 á.
Š­¨£ ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ªà ⪨© á¯à ¢®ç­¨ª ¯® 娬¨ç¥áª®© £¨¤à®¤¨­ ¬¨ª¥
¨ ᬥ­ë¬ à §¤¥« ¬ £¨¤à®¤¨­ ¬¨ª¨, ⥯«®¬ áá®®¡¬¥­ , ¬¥å ­¨ª¨ ¤¨á¯¥àá­ëå
á¨á⥬ ¨ 娬¨ç¥áª®© â¥å­®«®£¨¨. ˆáá«¥¤ã¥âáï ¤¢¨¥­¨¥ ¨ ¬ áᮯ¥à¥­®á ¢ âàã¡ å,
ª ­ « å, ¯«¥­ª å, áâàãïå ¨ ¯®£à ­¨ç­ëå á«®ïå.  áᬠâਢ ¥âáï ®¡â¥ª ­¨¥ ¨
¬ áá®-¨ ⥯«®®¡¬¥­ ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ à §«¨ç­®© ä®à¬ë á ¯®áâ㯠⥫ì­ë¬
¨ ᤢ¨£®¢ë¬ ¯®â®ª®¬ ¯à¨ à §«¨ç­ëå ç¨á« å ¥©­®«ì¤á ¨ Ǒ¥ª«¥.
€­ «¨§¨àãîâáï ¯à®æ¥ááë ¬ áᮯ¥à¥­®á , ®á«®­¥­­ë¥ ®¡ê¥¬­®© ¨«¨ ¯®¢¥àå­®áâ­®© 娬¨ç¥áª®© ॠªæ¨¥©. “ç¨âë¢ ¥âáï § ¢¨á¨¬®áâì ª®íää¨æ¨¥­â ¤¨ää㧨¨ ®â ª®­æ¥­âà 樨. Ǒਢ®¤ïâáï ­®¢ë¥ ã­¨¢¥àá «ì­ë¥ § ¢¨á¨¬®áâ¨, ¯®§¢®«ïî騥 ¯à¨ à áç¥â¥ ª®íää¨æ¨¥­â®¢ ¬ áá®- ¨ ⥯«®¯¥à¥­®á ãç¨âë¢ âì £¥®¬¥âà¨ç¥áª¨¥, ८«®£¨ç¥áª¨¥ ¨ 䨧¨ª®-娬¨ç¥áª¨¥ ä ªâ®àë. Žá­®¢­ë¥ १ã«ìâ âë ¯à¥¤áâ ¢«¥­ë ¢ ¢¨¤¥ â®ç­ëå ¨«¨ ¯à®áâëå ¯à¨¡«¨¥­­ëå ä®à¬ã«, 㤮¡­ëå ¤«ï ¯à ªâ¨ç¥áª¨å à áç¥â®¢.
Š­¨£ ¯à¥¤­ §­ 祭 ¤«ï è¨à®ª®£® ªà㣠­ ãç­ëå à ¡®â­¨ª®¢, ¯à¥¯®¤ ¢ ⥫¥©, ¨­¥­¥à®¢ ¨ áâ㤥­â®¢, á¯¥æ¨ «¨§¨àãîé¨åáï ¢ ®¡« á⨠£¨¤à®¤¨­ ¬¨ª¨,
⥯«®¬ áá®®¡¬¥­ , ¬¥å ­¨ª¨ ¤¨á¯¥àá­ëå á¨á⥬, 娬¨ç¥áª®© â¥å­®«®£¨¨ ¨ ¡¨®¬¥å ­¨ª¨.
’ ¡«. 24. ˆ«. 36. ¨¡«¨®£à. 319 ­ §¢.
Š“’ ǑŽ‚ €«¥ªá¥© Œ¨âà®ä ­®¢¨ç
ǑŽ‹Ÿˆ €­¤à¥© „¬¨âਥ¢¨ç
‡€ǑŸŽ‚ ‡ ¯àï­ „¨¬¨â஢
‚Ÿ‡œŒˆ €­¤à¥© ‚ «¥­â¨­®¢¨ç
Š€‡ ˆ „¬¨â਩ €«¥ªá ­¤à®¢¨ç
•ˆŒˆ— ‘Š€Ÿ ƒˆ„Ž„ˆ€ŒˆŠ€

Š®¬¯ìîâ¥à­ ï ¢¥àá⪠€. ˆ. †ã஢
Š

0000 | 0
{96

€. Œ. Šã⥯®¢, €. „. Ǒ®«ï­¨­ ¨ ¤à., 1996
Š¢ ­âã¬, ®ä®à¬«¥­¨¥, 1996

Ǒ®¤¯¨á ­® ª ¯¥ç ⨠27.12.95. ”®à¬ â 60 × 90/16. Ǒ¥ç âì ®äá¥â­ ï.
“á«. ¯¥ç. «. 21,0. “ç.-¨§¤. «. 21,5. ’¨à  1500 íª§. ‡ ª § ⨯. N0 . C | .

Žƒ‹€‚‹ ˆ
..............................................
®¡®§­ 祭¨ï . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Ǒ।¨á«®¢¨¥
Žá­®¢­ë¥

1. ’¥ç¥­¨ï ¨¤ª®á⨠¢ ¯«¥­ª å, âàã¡ å, áâàãïå ¨ ¯®£à ­¨ç­ëå

...................................................
“à ¢­¥­¨ï ¨ £à ­¨ç­ë¥ ãá«®¢¨ï £¨¤à®¤¨­ ¬¨ª¨ . . . . . . . . . . . . . . .
’¥ç¥­¨¥, ¢ë§¢ ­­®¥ ¢à 饭¨¥¬ ¤¨áª . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ƒ¨¤à®¤¨­ ¬¨ª â®­ª¨å á⥪ îé¨å ¯«¥­®ª . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
‘âàã©­ë¥ â¥ç¥­¨ï . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
‹ ¬¨­ à­®¥ â¥ç¥­¨¥ ¢ âàã¡ å à §«¨ç­®© ä®à¬ë . . . . . . . . . . . . . . .
Ǒத®«ì­®¥ ®¡â¥ª ­¨¥ ¯«®áª®© ¯« á⨭ë. Ǒ®£à ­¨ç­ë© á«®© . . . . .
„¢¨¥­¨¥ ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ ¢ ¨¤ª®á⨠. . . . . . . . . . . .
2.1. Ž¡é¥¥ à¥è¥­¨¥ ãà ¢­¥­¨© ‘â®ªá ¢ ®á¥á¨¬¬¥âà¨ç­®¬ á«ãç ¥ . . . . .
2.2. Ž¡â¥ª ­¨¥ áä¥à¨ç¥áª®© ç áâ¨æë, ª ¯«¨ ¨ ¯ã§ëàï ¯®áâ㯠⥫ì­ë¬
áâ®ªá®¢ë¬ ¯®â®ª®¬ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3. ‘ä¥à¨ç¥áª¨¥ ç áâ¨æë ¢ ¯®áâ㯠⥫쭮¬ ¯®â®ª¥ ¯à¨ 㬥७­ëå
¨ ¡®«ìè¨å ç¨á« å ¥©­®«ì¤á . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4. ‘ä¥à¨ç¥áª¨¥ ª ¯«¨ ¨ ¯ã§ëਠ¢ ¯®áâ㯠⥫쭮¬ ¯®â®ª¥ ¯à¨
㬥७­ëå ¨ ¡®«ìè¨å ç¨á« å ¥©­®«ì¤á . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5. Ž¡â¥ª ­¨¥ áä¥à¨ç¥áª®© ç áâ¨æë, ª ¯«¨ ¨ ¯ã§ëàï ᤢ¨£®¢ë¬
¯®â®ª®¬ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6. Ž¡â¥ª ­¨¥ ­¥áä¥à¨ç¥áª¨å ⢥à¤ëå ç áâ¨æ . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7. Ž¡â¥ª ­¨¥ 樫¨­¤à (¯«®áª ï § ¤ ç ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8. Ž¡â¥ª ­¨¥ ¤¥ä®à¬¨à®¢ ­­ëå ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ . . . . . . . . . . . . . . .
2.9. ‘â¥á­¥­­®¥ ¤¢¨¥­¨¥ ç áâ¨æ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
á«®ïå

1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
1.5.
1.6.

2.

3. Œ áá®- ¨ ⥯«®¯¥à¥­®á ¢ ¯«¥­ª å ¨¤ª®áâ¨, âàã¡ å ¨ ¯«®áª¨å

4.

3

ª ­ « å . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1. “à ¢­¥­¨ï ¨ £à ­¨ç­ë¥ ãá«®¢¨ï ⥮ਨ ª®­¢¥ªâ¨¢­®£® ⥯«®¨ ¬ áᮯ¥à¥­®á . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2. „¨ääã§¨ï ª ¢à é î饬ãáï ¤¨áªã . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3. ’¥¯«®¯¥à¥­®á ª ¯«®áª®© ¯« á⨭¥ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4. Œ áᮯ¥à¥­®á ¢ ¯«¥­ª å ¨¤ª®á⨠. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5. ’¥¯«®- ¨ ¬ áᮯ¥à¥­®á ¯à¨ « ¬¨­ à­®¬ â¥ç¥­¨¨ ¢ ªà㣫®© âàã¡¥ . .
3.6. ’¥¯«®- ¨ ¬ áᮯ¥à¥­®á ¯à¨ « ¬¨­ à­®¬ â¥ç¥­¨¨ ¢ ¯«®áª®© âàã¡¥ . .
3.7. Ǒ।¥«ì­ë¥ ç¨á« ãáᥫì⠯ਠ« ¬¨­ à­®¬ â¥ç¥­¨¨ ¨¤ª®á⥩
¯® âàã¡ ¬ à §«¨ç­®© ä®à¬ë . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Œ áá®- ¨ ⥯«®®¡¬¥­ ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ á ¯®â®ª®¬ . . . .
4.1. Œ¥â®¤ ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨å ­ «®£¨© ¢ ⥮ਨ ¬ áá®- ¨ ⥯«®¯¥à¥­®á
4.2. ‚­ãâ७­¨¥ § ¤ ç¨ ® ⥯«®®¡¬¥­¥ ⥫ à §«¨ç­®© ä®à¬ë . . . . . . . .
4.3. Œ áá®- ¨ ⥯«®®¡¬¥­ ç áâ¨æ à §«¨ç­®© ä®à¬ë á ­¥¯®¤¢¨­®©
á।®© . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4. Œ áᮯ¥à¥­®á ¢ ¯®áâ㯠⥫쭮¬ ¯®â®ª¥ ¯à¨ ¬ «ëå ç¨á« å Ǒ¥ª«¥ . .
4.5. Œ áᮯ¥à¥­®á ¢ «¨­¥©­®¬ ᤢ¨£®¢®¬ ¯®â®ª¥ ¯à¨ ¬ «ëå ç¨á« å
Ǒ¥ª«¥ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6. Œ áá®®¡¬¥­ ç áâ¨æ ¨ ª ¯¥«ì á ¯®â®ª®¬ ¯à¨ ¡®«ìè¨å ç¨á« å Ǒ¥ª«¥
(⥮à¨ï ¤¨ää㧨®­­®£® ¯®£à ­¨ç­®£® á«®ï) . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.7. „¨ääã§¨ï ª áä¥à¨ç¥áª®© ç áâ¨æ¥, ª ¯«¥ ¨ ¯ã§ëàî ¢
¯®áâ㯠⥫쭮¬ ¯®â®ª¥ ¯à¨ à §«¨ç­ëå ç¨á« å Ǒ¥ª«¥ ¨ ¥©­®«ì¤á
4.8. „¨ääã§¨ï ª áä¥à¨ç¥áª®© ç áâ¨æ¥, ª ¯«¥ ¨ ¯ã§ëàî ¢ «¨­¥©­®¬
ᤢ¨£®¢®¬ ¯®â®ª¥ ¯à¨ ¬ «ëå ç¨á« å ¥©­®«ì¤á ¨ «î¡ëå ç¨á« å
Ǒ¥ª«¥ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.9. „¨ääã§¨ï ª áä¥à¥ ¢ ¯®áâ㯠⥫쭮-ᤢ¨£®¢®¬ ¯®â®ª¥ ¨ ¯®â®ª¥
á ¯ à ¡®«¨ç¥áª¨¬ ¯à®ä¨«¥¬ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5
7
9
10
17
21
25
31
36
41
41
44
52
56
62
65
76
82
88
97
98
109
111
114
122
131
133
136
136
138
143
147
154
157
164
168
173

4

Ž£« ¢«¥­¨¥

4.10. Œ áá®®¡¬¥­ ­¥áä¥à¨ç¥áª¨å ç áâ¨æ ¨ ¯ã§ë३ á ¯®áâ㯠⥫ì­ë¬
¯®â®ª®¬ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.11. Œ áá®- ¨ ⥯«®®¡¬¥­ 樫¨­¤à®¢ á ¯®áâ㯠⥫ì­ë¬ ¨ ᤢ¨£®¢ë¬
¯®â®ª®¬ (¯«®áª ï § ¤ ç ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.12. ¥áâ 樮­ à­ë© ¬ áá®®¡¬¥­ ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३
á ãáâ ­®¢¨¢è¨¬áï ¯®áâ㯠⥫ì­ë¬ ¨ ᤢ¨£®¢ë¬ ¯®â®ª®¬ . . . . . . . .
4.13. Š ç¥á⢥­­ë¥ ®á®¡¥­­®á⨠¬ áᮯ¥à¥­®á ¢­ãâਠª ¯«¨ ¯à¨
¡®«ìè¨å ç¨á« å Ǒ¥ª«¥ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.14. Œ áá®®¡¬¥­ ç áâ¨æ ¨ ª ¯¥«ì á ¯®â®ª®¬ ¯à¨ ¯à®¨§¢®«ì­®©
§ ¢¨á¨¬®á⨠ª®íää¨æ¨¥­â ¤¨ää㧨¨ ®â ª®­æ¥­âà 樨 . . . . . . . . .
4.15. „¨ää㧨®­­ë© á«¥¤. Œ áá®®¡¬¥­ 楯®ç¥ª ª ¯¥«ì ¨ ç áâ¨æ
á ¨¤ª®áâìî . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.16. Œ áá®- ¨ ⥯«®®¡¬¥­ ¯à¨ áâ¥á­¥­­®¬ ®¡â¥ª ­¨¨ á¨á⥬ ç áâ¨æ,
ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. Œ áá®®¡¬¥­, ®á«®­¥­­ë© ¯®¢¥àå­®áâ­®© ¨«¨ ®¡ê¥¬­®©

.....................................
5.1. Œ áᮯ¥à¥­®á, ®á«®­¥­­ë© ¯®¢¥àå­®áâ­®© 娬¨ç¥áª®© ॠªæ¨¥© .
5.2. „¨ääã§¨ï ª ¢à é î饬ãáï ¤¨áªã ¨ ¯«®áª®© ¯« á⨭¥ ¯à¨
¯à®â¥ª ­¨¨ ®¡ê¥¬­®© ॠªæ¨¨ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3. ‚­¥è­¨¥ § ¤ ç¨ ¬ áá®®¡¬¥­ ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ á ¯®â®ª®¬
¯à¨ à §«¨ç­ëå ç¨á« å Ǒ¥ª«¥ ¨ ­ «¨ç¨¨ ®¡ê¥¬­®© 娬¨ç¥áª®©
ॠªæ¨¨ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4. ‚­ãâ७­¨¥ § ¤ ç¨ ¬ áᮯ¥à¥­®á ¯à¨ ­ «¨ç¨¨ ®¡ê¥¬­®©
娬¨ç¥áª®© ॠªæ¨¨ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5. ¥áâ 樮­ à­ë© ¬ áá®®¡¬¥­ á ®¡ê¥¬­®© ॠªæ¨¥© . . . . . . . . . . . . .
’¥à¬®£¨¤à®¤¨­ ¬¨ç¥áª¨¥ ¥­¨ï . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1. ’¥à¬®£à ¢¨â 樮­­ ï ¨ â¥à¬®ª ¯¨««ïà­ ï ª®­¢¥ªæ¨ï ¢ á«®¥
¨¤ª®á⨠. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2. ’¥à¬®ª ¯¨««ïà­ë© ¤à¥©ä ª ¯«¨ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3. •¥¬®ª ¯¨««ïà­ë© íä䥪⠯ਠ¤¢¨¥­¨¨ ª ¯«¨ . . . . . . . . . . . . . . .
娬¨ç¥áª®© ॠªæ¨¥©

6.

7. ƒ¨¤à®¤¨­ ¬¨ª , ¬ áá®- ¨ ⥯«®®¡¬¥­ ¢ ­¥­ìîâ®­®¢áª¨å

..............................................
¥®«®£¨ç¥áª¨¥ ¬®¤¥«¨ ­¥­ìîâ®­®¢áª¨å ­¥á¨¬ ¥¬ëå ¨¤ª®á⥩ . .
„¢¨¥­¨¥ ¯«¥­®ª ­¥­ìîâ®­®¢áª¨å ¨¤ª®á⥩ . . . . . . . . . . . . . . . . .
Œ áᮯ¥à¥­®á ¢ ¯«¥­ª å ८«®£¨ç¥áª¨ á«®­ëå ¨¤ª®á⥩ . . . . . .
„¢¨¥­¨¥ ­¥­ìîâ®­®¢áª¨å ¨¤ª®á⥩ ¯® âàã¡ ¬ ¨ ª ­ « ¬ . . . . . .
’¥¯«®¯¥à¥­®á ¢ ¯«®áª®¬ ª ­ «¥ ¨ ªà㣫®© âàã¡¥ (á ãç¥â®¬
¤¨áᨯ 樨) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.6. ƒ¨¤à®¤¨­ ¬¨ç¥áª¨© ⥯«®¢®© ¢§àë¢ ¢ ­¥­ìîâ®­®¢áª¨å ¨¤ª®áâïå .
7.7. Ž¡â¥ª ­¨¥ ¯«®áª®© ¯« á⨭ë á⥯¥­­®© ¨¤ª®áâìî . . . . . . . . . . . .
7.8. ‡ ⮯«¥­­ ï áâàãï á⥯¥­­®© ¨¤ª®á⨠. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.9. „¢¨¥­¨¥ ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ ¢ á⥯¥­­®© ¨¤ª®á⨠. . . . . .
Ǒਫ®¥­¨ï . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ǒ.1. ’®ç­ë¥ à¥è¥­¨ï «¨­¥©­ëå ãà ¢­¥­¨© ⥯«®- ¨ ¬ áᮯ¥à¥­®á . . . .
Ǒ.2. Ǒ८¡à §®¢ ­¨ï ãà ¢­¥­¨© ⥯«®- ¨ ¬ áᮯ¥à¥­®á . . . . . . . . . . . . .
Ǒ.3. Žà⮣®­ «ì­ë¥ ªà¨¢®«¨­¥©­ë¥ á¨áâ¥¬ë ª®®à¤¨­ â . . . . . . . . . . . .
Ǒ.4. “à ¢­¥­¨¥ ª®­¢¥ªâ¨¢­®© ¤¨ää㧨¨ ¢ à §«¨ç­ëå á¨á⥬ å
ª®®à¤¨­ â . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ǒ.5. “à ¢­¥­¨ï ¤¢¨¥­¨ï ¨¤ª®á⨠¢ à §«¨ç­ëå á¨á⥬ å ª®®à¤¨­ â .
Ǒ.6. “à ¢­¥­¨ï ¤¢¨¥­¨ï ¨ ⥯«®®¡¬¥­ ­¥­ìîâ®­®¢áª¨å ¨¤ª®á⥩ . .
‘¯¨á®ª «¨â¥à âãàë . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
¨¤ª®áâïå

7.1.
7.2.
7.3.
7.4.
7.5.

175
181
189
193
199
204
210
215
215
218
220
223
228
231
232
238
244
248
248
256
262
264
270
274
280
284
287
290
290
311
313
318
319
320
322

Ǒ „ˆ‘‹Ž‚ˆ

‚ ª­¨£¥ ¨§« £ îâáï ª« áá¨ç¥áª¨¥ § ¤ ç¨ ¨ ᮢ६¥­­ë¥ ¤®á⨥­¨ï ¯® ®á­®¢­ë¬ à §¤¥« ¬ 䨧¨ª®-娬¨ç¥áª®© £¨¤à®¤¨­ ¬¨ª¨ ¨
ᬥ­ë¬ ¯à®¡«¥¬ ¬ £¨¤à®¤¨­ ¬¨ª¨, ⥯«®¬ áá®®¡¬¥­ , ¬¥å ­¨ª¨
¤¨á¯¥àá­ëå á¨á⥬, 娬¨ç¥áª®© â¥å­®«®£¨¨ ¨ ¡¨®¬¥å ­¨ª¨.
A¢â®àë áâ६¨«¨áì ®¡®¡é¨âì ¨ á¨á⥬ ⨧¨à®¢ âì १ã«ìâ âë
¬­®£®ç¨á«¥­­ëå ­ ãç­ëå ¯ã¡«¨ª 権 ¢ ¤ ­­®© ®¡« á⨠§ ¯®á«¥¤­¨¥
15 | 20 «¥â. Ǒਠ®â¡®à¥ ¬ â¥à¨ « ¯à¥¤¯®ç⥭¨¥ ®â¤ ¢ «®áì ¯à®áâë¬
â®ç­ë¬ ¨ ¯à¨¡«¨¥­­ë¬ ä®à¬ã« ¬, ¨¬¥î騬 è¨à®ªãî ®¡« áâì
¯à ªâ¨ç¥áª¨å ¯à¨«®¥­¨©.
‚ ª ¤®¬ à §¤¥«¥ ª­¨£¨ á­ ç « ¤ ¥âáï ªà ⪠ï 䨧¨ç¥áª ï ¨
¬ ⥬ â¨ç¥áª ï ä®à¬ã«¨à®¢ª à áᬠâਢ ¥¬®© ¯à®¡«¥¬ë, § ⥬
áà §ã ¯à¨¢®¤ïâáï ®ª®­ç ⥫ì­ë¥ १ã«ìâ âë ¤«ï ¨áª®¬ëå ¢¥«¨ç¨­ ¢
¢¨¤¥ ã­¨¢¥àá «ì­ëå § ¢¨á¨¬®á⥩ ¨«¨ ¨â®£®¢ëå â ¡«¨æ (¯à¨ í⮬ ¬¥â®¤ à¥è¥­¨ï, ª ª ¯à ¢¨«®, ­¥ ¨§« £ ¥âáï, ¤ îâáï «¨èì ­¥ª®â®àë¥
¯®ïá­¥­¨ï ¨ ­¥®¡å®¤¨¬ë¥ áá뫪¨). ’ ª®© ¯®¤å®¤ ã¯à®é ¥â ¢®á¯à¨ï⨥ ⥪áâ ¨ ¯à¨¢®¤¨â ª à áè¨à¥­¨î ¢®§¬®­®£® ªà㣠ç¨â ⥫¥©.
‚ ¯¥à¢®© ¨ ¢â®à®© £« ¢ å ª­¨£¨ ¨§ãç îâáï â¥ç¥­¨ï ¨¤ª®á⥩,
á®áâ ¢«ïî騥 ®á­®¢ã ¬­®£¨å 娬¨ª®-â¥å­®«®£¨ç¥áª¨å ¯à®æ¥áᮢ. ˆ§« £ îâáï ¯®«ã祭­ë¥ ª ­ áâ®ï饬㠢६¥­¨ १ã«ìâ âë ®¡ ®¡â¥ª ­¨¨
ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ à §«¨ç­®© ä®à¬ë ¯®áâ㯠⥫ì­ë¬ ¨ ᤢ¨£®¢ë¬ ¯®â®ª®¬ ¢ è¨à®ª®¬ ¤¨ ¯ §®­¥ ç¨á¥« ¥©­®«ì¤á .  áᬠâਢ îâáï ª ª ®¤¨­®ç­ë¥ ç áâ¨æë, â ª ¨ á¨á⥬ë ç áâ¨æ. ˆáá«¥¤ãîâáï
¯«¥­®ç­ë¥ ¨ áâàã©­ë¥ â¥ç¥­¨ï; ¤¢¨¥­¨ï ¨¤ª®á⥩ ¯® âàã¡ ¬ ¨ ª ­ « ¬ à §«¨ç­®© ä®à¬ë; ®¡â¥ª ­¨¥ ¯« á⨭ë, 樫¨­¤à ¨ ¤¨áª .
‚ âà¥â쥩 ¨ ç¥â¢¥à⮩ £« ¢ å ­ «¨§¨àã¥âáï ¬ áá®â¥¯«®¯¥à¥­®á ¢
¯«®áª¨å ª ­ « å, âàã¡ å ¨ ¯«¥­ª å ¨¤ª®áâ¨.  áᬠâਢ ¥âáï ¬ áá®â¥¯«®®¡¬¥­ ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ á ¯®áâ㯠⥫ì­ë¬ ¨ ᤢ¨£®¢ë¬ ¯®â®ª®¬ ¯à¨ à §«¨ç­ëå ç¨á« å Ǒ¥ª«¥ ¨ ¥©­®«ì¤á . Ǒਢ¥¤¥­­ë¥ १ã«ìâ âë ¨¬¥îâ ¡®«ì讥 §­ 祭¨¥ ¤«ï ᮧ¤ ­¨ï ­ ãç­® ®¡®á­®¢ ­­ëå ¬¥â®¤¨ª à áç¥â 楫®£® àï¤ â¥å­®«®£¨ç¥áª¨å ¯à®æ¥áᮢ, â ª¨å ª ª à á⢮७¨¥, áãèª , ¤á®à¡æ¨ï, ®á ¤¥­¨¥ í஧®«¥© ¨ ª®««®¨¤®¢, £¥â¥à®£¥­­ë¥ ª â «¨â¨ç¥áª¨¥ ॠªæ¨¨, ¡á®à¡æ¨ï, íªáâà ªæ¨ï ¨
४â¨ä¨ª æ¨ï.
‚ ¯ï⮩ £« ¢¥ ¨§ãç ¥âáï ¤¨ää㧨®­­ë© ¯¥à¥­®á ¯à¨ ª®­¥ç­ëå
᪮à®áâïå ®¡ê¥¬­®© ¨«¨ ¯®¢¥àå­®áâ­®© 娬¨ç¥áª®© ॠªæ¨¨. Ǒਢ¥¤¥­ë १ã«ìâ âë à¥è¥­¨ï ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å § ¤ ç ¤«ï ॠªæ¨¨ «î¡®£® ¯®à浪 ¨ à §«¨ç­ëå â¥ç¥­¨©. Ǒ®«ã祭ë ã­¨¢¥àá «ì­ë¥ § ¢¨á¨¬®á⨠¨ ¨â®£®¢ë¥ â ¡«¨æë, ¯®§¢®«ïî騥 ¯à¨ à áç¥â å ®¤­®¢à¥¬¥­­® ãç¨âë¢ âì à §«¨ç­ë¥ £¥®¬¥âà¨ç¥áª¨¥ ¨ 䨧¨ª®-娬¨ç¥áª¨¥
ä ªâ®àë.
˜¥áâ ï £« ¢ ¯®á¢ï饭 ­ «¨§ã àï¤ â¥à¬®£¨¤à®¤¨­ ¬¨ç¥áª¨å
¥­¨©, ª®â®àë¥ ¢ ¯®á«¥¤­¥¥ ¤¥áï⨫¥â¨¥ ¯à¨¢«¥ª «¨ ¯®¢ë襭­®¥

5

6

Ǒ।¨á«®¢¨¥

¢­¨¬ ­¨¥ à®áá¨©áª¨å ¨ § àã¡¥­ëå ¨áá«¥¤®¢ ⥫¥©. “ª § ­­®¥ ®¡áâ®ï⥫ìá⢮ ®¡ãá«®¢«¥­® ¨­â¥­á¨ä¨ª 樥© ¯à®æ¥áᮢ ¯¥à¥­®á ¢ ¯«¥­ª å ¨ ª ¯«ïå ¨¤ª®á⨠¡« £®¤ àï íä䥪â㠌 à ­£®­¨ (¨ ¢®§¬®­®áâìî ¨á¯®«ì§®¢ ­¨ï í⮣® íä䥪⠢ ¯à®æ¥áá å ª®á¬¨ç¥áª®© â¥å­®«®£¨¨).
‚ ᥤ쬮© £« ¢¥ ¨§« £ îâáï ¢®¯à®áë £¨¤à®¤¨­ ¬¨ª¨ ¨ ¬ áá®â¥¯«®¯¥à¥­®á ¢ ­¥­ìîâ®­®¢áª¨å ¨¤ª®áâïå. Ž¯¨á ­ë ®á­®¢­ë¥ ¬®¤¥«¨
८«®£¨ç¥áª¨ á«®­ëå ¨¤ª®á⥩, ¨á¯®«ì§ã¥¬ëå ¢ 娬¨ç¥áª®© â¥å­®«®£¨¨. ˆáá«¥¤ã¥âáï ¤¢¨¥­¨¥ ¨ ¬ áá®®¡¬¥­ á⥯¥­­ëå ¨ ¢ï§ª®¯« áâ¨ç­ëå ¨¤ª®á⥩ ¢ âàã¡ å, ª ­ « å ¨ ¯«¥­ª å.  áᬠâਢ ¥âáï
®¡â¥ª ­¨¥ ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ ­¥­ìîâ®­®¢áª®© ¨¤ª®áâìî.
‚ ¯à¨«®¥­¨¨ ¤ ­ë â ¡«¨æë á â®ç­ë¬¨ à¥è¥­¨ï¬¨ ãà ¢­¥­¨©
⥯«®¯à®¢®¤­®áâ¨. Ǒਢ¥¤¥­ë ãà ¢­¥­¨ï ª®­¢¥ªâ¨¢­®© ¤¨ää㧨¨,
­¥à §à뢭®áâ¨, ¤¢¨¥­¨ï ¨¤ª®á⥩ ¢ ­¥ª®â®àëå ªà¨¢®«¨­¥©­ëå
®à⮣®­ «ì­ëå á¨á⥬ å ª®®à¤¨­ â ¨ ¤à㣨¥ á¯à ¢®ç­ë¥ ¬ â¥à¨ «ë.
 ᯮ«®¥­¨¥ à §¤¥«®¢ ª­¨£¨ ®â¢¥ç ¥â ¯à¨­æ¨¯ã ý®â ¯à®á⮣® ª
á«®­®¬ãþ. ’ ª®© ¯®¤å®¤ áãé¥á⢥­­ë¬ ®¡à §®¬ ®¡«¥£ç ¥â à ¡®âã
á ¬ â¥à¨ «®¬. Ǒ®¤à®¡­®¥ ®£« ¢«¥­¨¥ ¯®¬®¥â ç¨â â¥«î ­ 室¨âì
¨áª®¬ãî ¨­ä®à¬ æ¨î.
€¢â®àë ¯à¨§­ ⥫ì­ë €. . ¥¤­¨ª®¢ã ¨ ž. ‘. ï§ ­æ¥¢ã, ª®â®àë¥ ­ ¯¨á «¨ £«. 6, ¨ €. ƒ. Ǒ¥â஢ã, ãç á⢮¢ ¢è¥¬ã ¢ à ¡®â¥ ­ ¤
à §¤. 2.4, 2.8.
€¢â®àë ¡« £®¤ àï⠀. ˆ. †ã஢ § ¯®«¥§­ë¥ § ¬¥ç ­¨ï ¨
­¥®æ¥­¨¬ãî ¯®¬®éì ¯à¨ á®§¤ ­¨¨ ®à¨£¨­ «-¬ ª¥â í⮩ ª­¨£¨.
€¢â®àë ­ ¤¥îâáï, çâ® ª­¨£ ®ª ¥âáï ¯®«¥§­®© ¤«ï è¨à®ª®£® ªà㣠­ ãç­ëå à ¡®â­¨ª®¢, ¯à¥¯®¤ ¢ ⥫¥© ¢ã§®¢, ¨­¥­¥à®¢,
á¯¨à ­â®¢ ¨ áâ㤥­â®¢, á¯¥æ¨ «¨§¨àãîé¨åáï ¢ à §«¨ç­ëå ®¡« áâïå £¨¤à®¤¨­ ¬¨ª¨, ⥯«®¬ áá®®¡¬¥­ , ¬¥å ­¨ª¨ ¤¨á¯¥àá­ëå á¨á⥬, 䨧¨ª®-娬¨ç¥áª®© £¨¤à®¤¨­ ¬¨ª¨, 娬¨ç¥áª®© â¥å­®«®£¨¨,
í­¥à£¥â¨ª¨, ¬¥â¥®à®«®£¨¨ ¨ ¡¨®¬¥å ­¨ª¨.
€¢â®àë

Žá­®¢­ë¥ ®¡®§­ 祭¨ï
‹ ⨭᪨©

a

C
Ci
Cs

á

cf
D
Gkm
gij
Ks
Kv

Ma
Nu
n
P
Pi

Pe
R, θ, ϕ
R, Z, ϕ

Re
r

S
Sh
Sh0
Sh∞
T
T∗
Ti
Ts
T1
T2
t
U
Ui
Umax
VX , VY , VZ

7

«ä ¢¨â

| å à ªâ¥à­ë© ¬ áèâ ¡ ¤«¨­ë (¤«ï áä¥à¨ç¥áª¨å ç áâ¨æ ¨ ªà㣮¢®£® 樫¨­¤à , ¥á«¨ ­¥ ®£®¢®à¥­® á¯¥æ¨ «ì­®, ¢ ª ç¥á⢥ å à ªâ¥à­®£® ¬ áèâ ¡ ¤«¨­ë ¢ë¡¨à ¥âáï à ¤¨ãá);
| ¬ áᮢ ï ª®­æ¥­âà æ¨ï;
| ­¥¢®§¬ã饭­ ï ª®­æ¥­âà æ¨ï (¢ ­ ¡¥£ î饬 ¯®â®ª¥, ¢¤ «¨ ®â
ç áâ¨æë);
| ª®­æ¥­âà æ¨ï ã ¯®¢¥àå­®á⨠ç áâ¨æë;
| ¡¥§à §¬¥à­ ï ª®­æ¥­âà æ¨ï (¢ à §­ëå § ¤ ç å ¢¢®¤¨âáï ¯® à §­®¬ã, á¬. â ¡«. 3.1 ¢ à §¤. 3.1);
| ª®íää¨æ¨¥­â ᮯà®â¨¢«¥­¨ï;
| ª®íää¨æ¨¥­â ¤¨ää㧨¨;
| ª®íää¨æ¨¥­âë ¬ âà¨æë ᤢ¨£ ;
| ª®¬¯®­¥­âë ¬¥âà¨ç¥áª®£® ⥭§®à ;
| ª®­áâ ­â ᪮à®á⨠¯®¢¥àå­®áâ­®© 娬¨ç¥áª®© ॠªæ¨¨;
| ª®­áâ ­â ᪮à®á⨠®¡ê¥¬­®© 娬¨ç¥áª®© ॠªæ¨¨;
| ç¨á«® Œ à ­£®­¨;
| á।­¥¥ ç¨á«® ãáᥫìâ ;
| ¯®à冷ª ¯®¢¥àå­®áâ­®© ¨«¨ ®¡ê¥¬­®© 娬¨ç¥áª®© ॠªæ¨¨;
| ¤ ¢«¥­¨¥;
| ­¥¢®§¬ã饭­®¥ ¤ ¢«¥­¨¥ ¢¤ «¨ ®â ç áâ¨æë (ª ¯«¨, ¯ã§ëàï);
| ç¨á«® Ǒ¥ª«¥, Pe = aU/D;
√
| áä¥à¨ç¥áª¨¥ ª®®à¤¨­ âë, R = X 2√+ Y 2 + Z 2 ;
| 樫¨­¤à¨ç¥áª¨¥ ª®®à¤¨­ âë, R = X 2 + Y 2 ;
| ç¨á«® ¥©­®«ì¤á , Re = aU/ν ;
| ¡¥§à §¬¥à­ ï áä¥à¨ç¥áª ï ª®®à¤¨­ â , r = R/a;
| ç¨á«® ˜¬¨¤â , S = ν/D;
| á।­¥¥ ç¨á«® ˜¥à¢ã¤ ;
| ᨬ¯â®â¨ª á।­¥£® ç¨á« ˜¥à¢ã¤ ¯à¨ ¬ «ëå §­ 祭¨ïå å à ªâ¥à­®£® ¯ à ¬¥âà § ¤ ç¨;
| ᨬ¯â®â¨ª á।­¥£® ç¨á« ˜¥à¢ã¤ ¯à¨ ¡®«ìèëå §­ 祭¨ïå
å à ªâ¥à­®£® ¯ à ¬¥âà § ¤ ç¨;
| ¡¥§à §¬¥à­ ï ⥬¯¥à âãà ;
| ⥬¯¥à âãà ;
| ­¥¢®§¬ã饭­ ï ⥬¯¥à âãà (¢ ­ ¡¥£ î饬 ¯®â®ª¥, ¢¤ «¨ ®â
ç áâ¨æë);
| ⥬¯¥à âãà ­ ¯®¢¥àå­®á⨠ç áâ¨æë;
| ⥬¯¥à âãà ¯à¨ X < 0;
| ⥬¯¥à âãà ¯à¨ X > 0;
| ¢à¥¬ï;
| å à ªâ¥à­ ï ᪮à®áâì ¯®â®ª ;
| ­¥¢®§¬ã饭­ ï ᪮à®áâì ¨¤ª®á⨠(¢ ­ ¡¥£ î饬 ¯®â®ª¥, ¢¤ «¨
®â ç áâ¨æë);
| ¬ ªá¨¬ «ì­ ï ᪮à®áâì ¨¤ª®á⨠­ ¯®¢¥àå­®á⨠¯«¥­ª¨, ­ ®á¨
âàã¡ë;
| ª®¬¯®­¥­âë ᪮à®á⨠¨¤ª®á⨠¢ ¤¥ª à⮢®© á¨á⥬¥ ª®®à¤¨­ â;

8

Žá­®¢­ë¥ ®¡®§­ 祭¨ï

| ª®¬¯®­¥­âë ᪮à®á⨠¨¤ª®á⨠¢ áä¥à¨ç¥áª®© á¨á⥬¥
ª®®à¤¨­ â;
VR , VZ , Vϕ | ª®¬¯®­¥­âë ᪮à®á⨠¨¤ª®á⨠¢ 樫¨­¤à¨ç¥áª®© á¨á⥬¥
ª®®à¤¨­ â;
(1)
(1)
VR , Vθ
| ª®¬¯®­¥­âë ᪮à®á⨠¨¤ª®á⨠¢ ᯫ®è­®© ä §¥ (¢­¥ ª ¯«¨) ¢
®á¥á¨¬¬¥âà¨ç­®¬ á«ãç ¥;
(2)
(2)
VR , Vθ
| ª®¬¯®­¥­âë ᪮à®á⨠¨¤ª®á⨠¢ ¤¨á¯¥àá­®© ä §¥ (¢­ãâਠª ¯«¨) ¢ ®á¥á¨¬¬¥âà¨ç­®¬ á«ãç ¥;
We | ç¨á«® ‚¥¡¥à , We = aUi2 ρ1 /σ (σ | ¯®¢¥àå­®áâ­®¥ ­ â省¨¥);
X, Y, Z | ¤¥ª àâ®¢ë ª®®à¤¨­ âë;
X1 , X2 , X3 | ¤¥ª àâ®¢ë ª®®à¤¨­ âë; X1 = X , X2 = Y , X3 = Z ,
x, y, z | ¡¥§à §¬¥à­ë¥ ¤¥ª àâ®¢ë ª®®à¤¨­ âë.
VR , Vθ , Vϕ

ƒà¥ç¥áª¨©

β
µ
µ1
µ2
ν
ρ
ρ1
ρ2
̺
(1)
(2)

«ä ¢¨â

| ®â­®è¥­¨¥ ¤¨­ ¬¨ç¥áª¨å ¢ï§ª®á⥩ ¢­ãâਠ¨ ¢­¥ ª ¯«¨,
β = µ2 /µ1 ;
| ¤¨­ ¬¨ç¥áª ï ¢ï§ª®áâì ¨¤ª®áâ¨;
| ¤¨­ ¬¨ç¥áª ï ¢ï§ª®áâì ¨¤ª®á⨠ᯫ®è­®© ä §ë (¢­¥ ª ¯«¨);
| ¤¨­ ¬¨ç¥áª ï ¢ï§ª®áâì ¨¤ª®á⨠¤¨á¯¥àá­®© ä §ë (¢­ãâà¨
ª ¯«¨);
| ª¨­¥¬ â¨ç¥ª ï ¢ï§ª®áâì ¨¤ª®áâ¨, ν = µ/ρ;
| ¯«®â­®áâì ¨¤ª®áâ¨;
| ¯«®â­®áâì ¨¤ª®á⨠¢ ᯫ®è­®© ä §¥ (¢­¥ ª ¯«¨);
| ¯«®â­®áâì ¨¤ª®á⨠¢ ¤¨á¯¥àá­®© ä §¥ (¢­ãâਠª ¯«¨);
| ¡¥§à §¬¥à­ ï 樫¨­¤à¨ç¥áª ï ª®®à¤¨­ â , ̺ = R/a;
| äã­ªæ¨ï ⮪ ,
| äã­ªæ¨ï ⮪ ¢ ᯫ®è­®© ä §¥ (¢­¥ ª ¯«¨);
| äã­ªæ¨ï ⮪ ¢ ¤¨á¯¥àá­®© ä §¥ (¢­ãâਠª ¯«¨).

1. ’¥ç¥­¨ï ¨¤ª®á⨠¢ ¯«¥­ª å,
âàã¡ å, áâàãïå ¨ ¯®£à ­¨ç­ëå
á«®ïå

ˆ­ä®à¬ æ¨ï ® ¯®«ïå ᪮à®á⨠¨ ¤ ¢«¥­¨ï, ­¥®¡å®¤¨¬ ï ¤«ï à¥è¥­¨ï § ¤ ç ® à á¯à¥¤¥«¥­¨¨ ¨ ¯à¥¢à 饭¨¨ ¢¥é¥á⢠¢ ॠªæ¨®­­ëå
¯¯ à â å, ç áâ® ¬®¥â ¡ëâì ¯®«ã祭 ¨§ à áᬮâ७¨ï ç¨áâ® £¨¤à®¤¨­ ¬¨ç¥áª®© áâ®à®­ë ¯à®¡«¥¬ë. Ž£à®¬­®¥ à §­®®¡à §¨¥ ॠ«ì­ëå â¥ç¥­¨© ¨¤ª®áâ¨, ¯®¤ç¨­ïîé¨åáï ®¤­¨¬ ¨ ⥬ ¥ ãà ¢­¥­¨ï¬ £¨¤à®¤¨­ ¬¨ª¨, ®¡ãá«®¢«¥­® ¬­®¥á⢮¬ £¥®¬¥âà¨ç¥áª¨å, 䨧¨ç¥áª¨å ¨ २¬­ëå ä ªâ®à®¢, ®¯à¥¤¥«ïîé¨å ®¡« áâì, ⨯ ¨ áâàãªâãàã â¥ç¥­¨ï. Š« áá¨ä¨ª æ¨î â¥ç¥­¨© ¤«ï ®¯¨á ­¨ï ¨å ᯥæ¨ä¨ç¥áª¨å
᢮©á⢠¬®­® ¯à®¨§¢¥áâ¨ à §«¨ç­ë¬¨ ᯮᮡ ¬¨.  ¯à¨¬¥à, è¨à®ª® à á¯à®áâà ­¥­ ª« áá¨ä¨ª æ¨ï â¥ç¥­¨© ¯® ¢¥«¨ç¨­¥ ¢ ­¥©è¥£®
२¬­®-£¥®¬¥âà¨ç¥áª®£® ¯ à ¬¥âà | ç¨á« ¥©­®«ì¤á Re: â¥ç¥­¨ï ¯à¨ ¬ «ëå ç¨á« å ¥©­®«ì¤á [178℄, â¥ç¥­¨ï ¯à¨ ¡®«ìè¨å ç¨á« å
¥©­®«ì¤á (¯®£à ­¨ç­ë¥ á«®¨ [184℄), â¥ç¥­¨ï ¯à¨ § ªà¨â¨ç¥áª¨å ç¨á« å ¥©­®«ì¤á (âãà¡ã«¥­â­ë¥ â¥ç¥­¨ï [179℄). ‘«¥¤ã¥â § ¬¥â¨âì, çâ®
â ª ï ª« áá¨ä¨ª æ¨ï* ¨¬¥¥â ¢ ­ë© ¬¥â®¤¨ç¥áª¨© á¬ëá«, ¯®áª®«ìªã ®¯à¥¤¥«ï¥â ¬ «ë© ¯ à ¬¥âà, Re ¨«¨ Re−1 , ¨ 㪠§ë¢ ¥â ­ ¤¥­ë©
¬¥â®¤ à¥è¥­¨ï ­¥«¨­¥©­ëå £¨¤à®¤¨­ ¬¨ç¥áª¨å § ¤ ç | ¬¥â®¤ à §«®¥­¨ï ¯® ¬ «®¬ã ¯ à ¬¥âàã. ¥ ®âà¨æ ï ¯«®¤®â¢®à­®áâì â ª®© ª« áá¨ä¨ª 樨 â¥ç¥­¨©, ¢ ¤ ­­®© ª­¨£¥ ¡ã¤¥¬ ¨á室¨âì ­¥ ¨§ ¬ ⥬ â¨ç¥áª¨å ¨ ¢ëç¨á«¨â¥«ì­ëå 㤮¡á⢠¨áá«¥¤®¢ â¥«ï £¨¤à®¤¨­ ¬¨ç¥áª¨å
§ ¤ ç, ¨§ ¯à ªâ¨ç¥áª¨å ¯®âॡ­®á⥩ â¥å­®«®£ , à ááç¨âë¢ î饣® ª®­ªà¥â­ë© ¯¯ à â á ¯®ç⨠¯à¥¤®¯à¥¤¥«¥­­ë¬ ¥£® ª®­áâàãªæ¨¥©
⨯®¬ â¥ç¥­¨ï ॠ£¨àãî饩 á।ë. ‚ í⮩ á¢ï§¨ ¬ â¥à¨ « ¯® £¨¤à®¤¨­ ¬¨ª¥ à §¡¨â ­ ¤¢¥ £« ¢ë. ‚ ¯¥à¢®© ¨§ ­¨å à áᬠâਢ îâáï
â¥ç¥­¨ï, ®¯à¥¤¥«ï¥¬ë¥ ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨¥¬ ¯à®â省­ëå ⥪ãç¨å á।
á® á⥭ª ¬¨ ¯¯ à â ¨«¨ ¬¥¤ã ᮡ®©: â¥ç¥­¨ï ¢ ¯«¥­ª å, âàã¡ å,
ª ­ « å, áâàãïå ¨ ¯®£à ­¨ç­ëå á«®ïå ¢¡«¨§¨ ⢥म© ¯®¢¥àå­®áâ¨.
‚® ¢â®à®© £« ¢¥ à áᬠâਢ ¥âáï £¨¤à®¤¨­ ¬¨ç¥áª®¥ ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨¥
ç áâ¨æ à §«¨ç­®© ¯à¨à®¤ë (⢥à¤ëå, ¨¤ª¨å, £ §®®¡à §­ëå) á ®¡â¥ª î饩 í⨠ç áâ¨æë ¤¨á¯¥àᨮ­­®© á।®©.

* ‚áâà¥ç îâáï â ª¥ ¤à㣨¥ á¯®á®¡ë ª« áá¨ä¨ª 樨 â¥ç¥­¨©, ­ ¯à¨¬¥à, ¯®
ᯥæ¨ä¨ª¥ ¯®¢¥àå­®áâ¨, ®£à ­¨ç¨¢ î饩 ®¡« áâì â¥ç¥­¨ï: â¥ç¥­¨¥ ¨¤ª®á⨠á®
᢮¡®¤­ë¬¨ £à ­¨æ ¬¨ [152℄, â¥ç¥­¨¥ ¨¤ª®áâ¨ á ¯®¢¥àå­®áâìî à §¤¥« [46, 180℄,
â¥ç¥­¨¥ ¢¤®«ì ¯à®­¨æ ¥¬®© £à ­¨æë [77℄. ’ ª ï ª« áá¨ä¨ª æ¨ï â ª¥ ¯®§¢®«ï¥â
®¯¨á âì ᢮©áâ¢ à §«¨ç­ëå â¥ç¥­¨© ¨ 㪠§ âì ¬¥â®¤ë ¨å ¨áá«¥¤®¢ ­¨ï.

9

10

’¥ç¥­¨ï ¨¤ª®á⨠¢ ¯«¥­ª å, âàã¡ å ¨ áâàãïå

1.1. “à ¢­¥­¨ï ¨ £à ­¨ç­ë¥ ãá«®¢¨ï
£¨¤à®¤¨­ ¬¨ª¨

Ǒਢ¥¤¥¬ ãà ¢­¥­¨ï ¨ £à ­¨ç­ë¥ ãá«®¢¨ï, ª®â®àë¥ ¨á¯®«ì§ãîâáï
¯à¨ à¥è¥­¨¨ £¨¤à®¤¨­ ¬¨ç¥áª¨å § ¤ ç. „¥â «ì­ë© ¢ë¢®¤ ¨ ãáâ ­®¢«¥­¨¥ ®¡« á⨠¯à¨¬¥­¨¬®á⨠íâ¨å ãà ¢­¥­¨© ¨ £à ­¨ç­ëå ãá«®¢¨©,
à §«¨ç­ë¥ 䨧¨ç¥áª¨¥ ¯®áâ ­®¢ª¨ ¨ à¥è¥­¨ï ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å § ¤ ç, â ª¥ ¯à¨ª« ¤­ë¥ ¢®¯à®áë ¨á¯®«ì§®¢ ­¨ï १ã«ìâ ⮢ ᮤ¥à âáï, ­ ¯à¨¬¥à, ¢ ª­¨£ å [36, 91, 98, 103, 165, 184℄. ã¤¥¬ áç¨â âì,
çâ® ¯«®â­®áâì ρ ¨ ¤¨­ ¬¨ç¥áª ï ¢ï§ª®áâì ¨¤ª®á⨠µ ¯®áâ®ï­­ë.
“à ¢­¥­¨ï ¤¢¨¥­¨ï ¨¤ª®áâ¨. ‡ ¬ª­ãâ ï á¨á⥬ ãà ¢­¥­¨© ¤¢¨¥­¨ï ¢ï§ª®© ­¥á¨¬ ¥¬®© ­ìîâ®­®¢áª®© ¨¤ª®á⨠á®á⮨â
¨§ ãà ¢­¥­¨ï ­¥à §à뢭®áâ¨
∂VX
∂X

+

∂VY
∂Y

+

∂VZ
∂Z

=0

(1.1.1)

¨ âà¥å ãà ¢­¥­¨©  ¢ì¥ | ‘⮪á
∂VX
∂t

∂VX
∂V
+ VZ X =
∂Y 
∂Z

2
1 ∂P
∂ 2 VX
∂ 2 VX
∂ VX
+ν
+ gX ,
=−
+
+
ρ ∂X
∂X 2
∂Y 2
∂Z 2
∂VY
∂V
∂V
∂V
+ VX Y + VY Y + VZ Y =
∂t
∂X
∂Y 
∂Z

1 ∂P
∂ 2 VY
∂ 2 VY
∂ 2 VY
+ν
+ gY ,
=−
+
+
ρ ∂Y
∂X 2
∂Y 2
∂Z 2
∂VZ
∂V
∂V
∂V
+ VX Z + VY Z + VZ Z =
∂t
∂X
∂Y 
∂Z

1 ∂P
∂ 2 VZ
∂ 2 VZ
∂ 2 VZ
+ν
+ gZ ,
=−
+
+
ρ ∂Z
∂X 2
∂Y 2
∂Z 2

+ VX

∂VX
∂X

+ VY

(1.1.2)

“à ¢­¥­¨ï (1.1.1), (1.1.2) § ¯¨á ­ë ¢ ¯àאַ㣮«ì­®© ¤¥ª à⮢®© á¨á⥬¥ ª®®à¤¨­ â; X , Y , Z | ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 ª®®à¤¨­ âë à áᬠâਢ ¥¬®© â®çª¨ 䨧¨ç¥áª®£® ¯à®áâà ­á⢠; t | ¢à¥¬ï; gX , gY , gZ |
ª®¬¯®­¥­âë ¢¥ªâ®à ¯«®â­®á⨠¬ áᮢ®© ᨫë (­ ¯à¨¬¥à, ᨫë âï¥áâ¨); ν = µ/ρ | ª¨­¥¬ â¨ç¥áª ï ¢ï§ª®áâì ¨¤ª®áâ¨. ˆáª®¬ë¬¨ ¢¥«¨ç¨­ ¬¨ ïîâáï âਠª®¬¯®­¥­âë ᪮à®á⨠¨¤ª®á⨠VX , VY , VZ
¨ ¤ ¢«¥­¨¥ P .
‚¢®¤ï ¢¥ªâ®à ᪮à®á⨠¨¤ª®á⨠V~ = ~iX VX + ~iY VY + ~iZ VZ , £¤¥
~iX , ~iY , ~iZ | ¥¤¨­¨ç­ë¥ ­ ¯à ¢«ïî騥 ¢¥ªâ®àë ¤¥ª à⮢®© á¨á⥬ë
ª®®à¤¨­ â, ¨ ¨á¯®«ì§ãï ᨬ¢®«¨ç¥áª¨¥ ¤¨ää¥à¥­æ¨ «ì­ë¥ ®¯¥à â®àë
∂
∇ = ~iX
∂X

+ ~iY

∂
∂Y

+ ~iZ

∂
,
∂Z


=

∂2
∂X 2

+

∂2
∂Y 2

+

∂2
,
∂Z 2

1.1. “à ¢­¥­¨ï ¨ £à ­¨ç­ë¥ ãá«®¢¨ï £¨¤à®¤¨­ ¬¨ª¨

11

¬®­® § ¯¨á âì á¨á⥬ã ãà ¢­¥­¨© (1.1.1), (1.1.2) ¢ ª®¬¯ ªâ­®¬
¢¥ªâ®à­®¬ ¢¨¤¥:
~
∇·V
~
∂V
∂t

= 0,
+



V~ · ∇ V~

=−

1
ρ

(1.1.3)
∇P

+ ν
V~ + ~g .

(1.1.4)

“à ¢­¥­¨ï ­¥à §à뢭®á⨠¨  ¢ì¥ | ‘â®ªá ¢ 樫¨­¤à¨ç¥áª®© ¨
áä¥à¨ç¥áª®© á¨á⥬ å ª®®à¤¨­ ⠯ਢ¥¤¥­ë ¢ ¯à¨«®¥­¨¨ 5.
 ç «ì­ë¥ ¨ £à ­¨ç­ë¥ ãá«®¢¨ï. „«ï ⮣® ç⮡ë à¥è¥­¨¥
á¨á⥬ë (1.1.1), (1.1.2) ®¤­®§­ ç­® ®¯à¥¤¥«ï«® à á¯à¥¤¥«¥­¨ï ᪮à®á⥩ ¨ ¤ ¢«¥­¨ï, ­¥®¡å®¤¨¬® áä®à¬ã«¨à®¢ âì ­ ç «ì­ë¥ ¨ £à ­¨ç­ë¥
ãá«®¢¨ï.
‚ ­¥áâ 樮­ à­ëå § ¤ ç å, ª®£¤ ¢ ãà ¢­¥­¨ïå ¤¢¨¥­¨ï á®åà ­ïîâáï ç«¥­ë á ç áâ­ë¬¨ ¯à®¨§¢®¤­ë¬¨ ¯® ¢à¥¬¥­¨, ¢® ¢á¥© ®¡« áâ¨
â¥ç¥­¨ï ¤®«­ë ¡ëâì § ¤ ­ë ­ ç «ì­ë¥ à á¯à¥¤¥«¥­¨ï ª®¬¯®­¥­â
᪮à®á⨠¨¤ª®áâ¨, ¯à¨ç¥¬ ¯®á«¥¤­¨¥ ¢ ­ ç «ì­ë© ¬®¬¥­â ¢à¥¬¥­¨
¤®«­ë 㤮¢«¥â¢®àïâì ãà ¢­¥­¨î ­¥à §à뢭®á⨠(1.1.1).  ç «ì­®£® à á¯à¥¤¥«¥­¨ï ¤ ¢«¥­¨ï § ¤ ¢ âì ­¥ á«¥¤ã¥â, â ª ª ª ãà ¢­¥­¨ï ­¥
ᮤ¥à ⠯ந§¢®¤­®© ¤ ¢«¥­¨ï ¯® ¢à¥¬¥­¨*.
Ž¡« áâì, ¢ ª®â®à®© ­ 室¨âáï ¤¢¨ãé ïáï ॠ£¨àãîé ï ᬥáì,
ª ª ¯à ¢¨«®, § ­¨¬ ¥â ­¥ ¢á¥ ¯à®áâà ­á⢮, «¨èì ¥£® ç áâì, ®£à ­¨ç¥­­ãî ­¥ª®â®à묨 ¯®¢¥àå­®áâﬨ. ‚ § ¢¨á¨¬®á⨠®â ⮣®, ¯à¨­ ¤«¥¨â ¨«¨ ­¥ ¯à¨­ ¤«¥¨â ®¡« á⨠â¥ç¥­¨ï ¡¥áª®­¥ç­® 㤠«¥­­ ï â®çª , § ¤ ç ®¯à¥¤¥«¥­¨ï ¨áª®¬ëå ä㭪権 ­ §ë¢ ¥âáï ᮮ⢥âá⢥­­®
¢­¥è­¥© ¨«¨ ¢­ãâ७­¥© § ¤ 祩 £¨¤à®¤¨­ ¬¨ª¨.
 ¯®¢¥àå­®á⨠⢥म£® ⥫ S , ¤¢¨ã饣®áï ¢ ¯®â®ª¥ ¢ï§ª®©
¨¤ª®áâ¨, ¢ëáâ ¢«ï¥âáï ãá«®¢¨¥ ¯à¨«¨¯ ­¨ï. â® ãá«®¢¨¥ à ¢¥­áâ¢
¢¥ªâ®à ᪮à®á⨠¨¤ª®á⨠­ ¯®¢¥àå­®á⨠⥫ V~ |S ¢¥ªâ®àã ᪮à®áâ¨
⢥म£® ⥫ V~0 . ᫨ ⢥म¥ ⥫® ¯®ª®¨âáï, â® V~ |S = 0. ‚ ¯à®¥ªæ¨ïå
­ ­®à¬ «ì ~n ¨ ª á ⥫ì­ãî ~τ ª ¯®¢¥àå­®á⨠S íâ® ¤ ¥â:
Vn

S

= 0,

Vτ

S

= 0.

(1.1.5)

®«¥¥ á«®­ë¥ £à ­¨ç­ë¥ ãá«®¢¨ï ¢ëáâ ¢«ïîâáï ­ ¯®¢¥àå­®áâ¨
à §¤¥« ¤¢ãå ¨¤ª®á⥩ (á¬. ¤ «¥¥, ­ ¯à¨¬¥à, à §¤. 2.2 ¨ 6.1).
„«ï à¥è¥­¨ï ¢­¥è­¥© £¨¤à®¤¨­ ¬¨ç¥áª®© § ¤ ç¨ á«¥¤ã¥â â ª¥
§ ¤ âì ãá«®¢¨¥ ­ ¡¥áª®­¥ç­®á⨠(â.¥. ¢¤ «¨ ®â ®¡â¥ª ¥¬®£® ⥫ , ª ¯«¨ ¨«¨ ¯ã§ëàï). „«ï ®£à ­¨ç¥­­®£® ⥫ , ¯®¬¥é¥­­®£® ¢ ®¤­®à®¤­ë©
* ‚ ¯à®â¨¢­®¬ á«ãç ¥, ¥á«¨ § ¤ âì ¯à®¨§¢®«ì­®¥ ­ ç «ì­®¥ à á¯à¥¤¥«¥­¨¥ ¤ ¢«¥­¨ï, â® ¬®¥â ®ª § âìáï, çâ® ®¯à¥¤¥«ï¥¬ë¥ ãà ¢­¥­¨ï¬¨ ¤¢¨¥­¨ï à á¯à¥¤¥«¥­¨ï ª®¬¯®­¥­â ᪮à®á⨠¯à¨ t > 0 ­¥ 㤮¢«¥â¢®àïîâ ãà ¢­¥­¨î ­¥à §à뢭®áâ¨
[160℄. „«ï áâ 樮­ à­ëå § ¤ ç â ª¨å ¯à®¡«¥¬ ­¥ ¢®§­¨ª ¥â.

12

’¥ç¥­¨ï ¨¤ª®á⨠¢ ¯«¥­ª å, âàã¡ å ¨ áâàãïå

¯®áâ㯠⥫ì­ë© ¯®â®ª, ¤¢¨ã騩áï ᮠ᪮à®áâìî U~ i , £à ­¨ç­®¥ ãá«®¢¨¥ ¢¤ «¨ ®â ⥫ ¨¬¥¥â ¢¨¤
~ →U
~
V
(1.1.6)
¯à¨ R → ∞,
i
√
£¤¥ R = X 2 + Y 2 + Z 2 .
 áᬮâਬ ¡®«¥¥ á«®­ë¥ á¨âã 樨, å à ªâ¥à­ë¥ ¤«ï £à ¤¨¥­â­ëå â¥ç¥­¨© á ­¥®¤­®à®¤­®© áâàãªâãன â¥ç¥­¨ï.
‘¤¢¨£®¢ë¥ â¥ç¥­¨ï. Ǒந§¢®«ì­®¥ áâ 樮­ à­®¥ ¯®«¥ ᪮à®á⥩ V~ (R~ ) ¢ ­¥á¨¬ ¥¬®© á।¥ ¢ ®ªà¥áâ­®á⨠â®çª¨ R~ = ~0, ¯à¨­ï⮩
§ ­ ç «® ®âáç¥â , ¯à¨¡«¨¥­­® ¬®¥â ¡ëâì ¯à¥¤áâ ¢«¥­® ¢ ¢¨¤¥ ¤¢ãå
ç«¥­®¢ à §«®¥­¨ï ¢ àï¤ ’¥©«®à :
~ ) = V (~0) + G X ,
Vk (R
k
km m
(1.1.7)
Gkm ≡ (∂Vk /∂Xm )R~ =~0 , G11 + G22 + G33 = 0.
‡¤¥áì Vk ¨ Gkm | ª®¬¯®­¥­âë ᪮à®á⨠¨¤ª®á⨠¨ ⥭§®à ᤢ¨£
¢ ¤¥ª à⮢®© á¨á⥬¥ ª®®à¤¨­ â X1 , X2 , X3 . Ǒ® ¯®¢â®àïî饬ãáï ¨­¤¥ªáã m ¢¥¤¥âáï á㬬¨à®¢ ­¨¥; à ¢¥­á⢮ ­ã«î áã¬¬ë ¤¨ £®­ «ì­ëå
í«¥¬¥­â®¢ Gmm á«¥¤ã¥â ¨§ ãá«®¢¨ï ­¥á¨¬ ¥¬®á⨠¨¤ª®áâ¨.
„«ï ç áâ¨æ, à §¬¥àë ª®â®àëå ¬­®£® ¬¥­ìè¥ å à ªâ¥à­®£® ¯à®áâà ­á⢥­­®£® ¬ áèâ ¡ ­¥®¤­®à®¤­®á⨠¯®«ï â¥ç¥­¨ï, à á¯à¥¤¥«¥­¨¥ ᪮à®á⥩ (1.1.7) ¢ § ¤ ç å ® ¢ï§ª®¬ ®¡â¥ª ­¨¨ ç áâ¨æë ¬®¥â à áᬠâਢ âìáï ª ª à á¯à¥¤¥«¥­¨¥ ᪮à®á⥩ ¢¤ «¨ ®â ç áâ¨æë.
— áâ­ë© á«ãç © Gkm = 0 ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ®¤­®à®¤­®¬ã ¯®áâ㯠⥫쭮¬ã ¯®â®ªã. ǑਠVk (~0) = 0 ¢ëà ¥­¨¥ (1.1.7) ®¯¨áë¢ ¥â ¯®«¥ ᪮à®á⥩
¢ ¯à®¨§¢®«ì­®¬ «¨­¥©­®¬ ᤢ¨£®¢®¬ ¯®â®ª¥.
‹î¡®© ⥭§®à kGkm k ¬®¥â ¡ëâì ¯à¥¤áâ ¢«¥­ ¢ ¢¨¤¥ á㬬ë
ᨬ¬¥âà¨ç­®£® ¨ ­â¨á¨¬¬¥âà¨ç­®£® ⥭§®à®¢
kGkm k = kEkm k + k km k,
1
1
Ekm = Emk = 2 (Gkm + Gmk ),
km = − mk = 2 (Gkm − Gmk ).
(1.1.8)
‚ á¢®î ®ç¥à¥¤ì ᨬ¬¥âà¨ç­ë© ⥭§®à kEkm k ¯ã⥬ ¯®¢®à®â á¨áâ¥¬ë ª®®à¤¨­ â ¬®¥â ¡ëâì ¯à¨¢¥¤¥­ ª ¤¨ £®­ «ì­®¬ã ¢¨¤ã á í«¥¬¥­â ¬¨ E1 , E2 , E3 , ª®â®àë¥ ï¢«ïîâáï ª®à­ï¬¨ ªã¡¨ç¥áª®£® ãà ¢­¥­¨ï ¤«ï λ: det kEkm − λδkm k = 0, £¤¥ δkm | ᨬ¢®« Šà®­¥ª¥à . „¨ £®­ «ì­ë¥ í«¥¬¥­âë E1 , E2 , E3 ¯à¨¢¥¤¥­­®£® ª £« ¢­ë¬ ®áï¬ â¥­§®à kEkm k ®¯à¥¤¥«ïîâ ¨­â¥­á¨¢­®áâì à áâ¢ î饣® (ᨬ î饣®)
¤¢¨¥­¨ï ¢¤®«ì ®á¥© ª®®à¤¨­ â. ‚ ᮮ⢥âá⢨¨ á ãá«®¢¨¥¬ ­¥á¨¬ ¥¬®á⨠¨¤ª®á⨠⮫쪮 ¤¢ í«¥¬¥­â ¨§ âà¥å ¡ã¤ãâ ­¥§ ¢¨á¨¬ë:
E1 + E2 + E3 = 0.
 §¡¨¥­¨¥ ⥭§®à kGkm k ­ ᨬ¬¥âà¨ç­ãî ¨ ­â¨á¨¬¬¥âà¨ç­ãî
ç á⨠ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨î ¯®«ï ᪮à®á⥩ «¨­¥©­®£® ᤢ¨£®¢®£® â¥ç¥­¨ï ¨¤ª®á⨠¢ ¢¨¤¥ á㯥௮§¨æ¨¨ «¨­¥©­®£® ¤¥ä®à¬ 樮­­®£® â¥ç¥­¨ï á ª®íää¨æ¨¥­â ¬¨ à áâ省¨ï ¯® £« ¢­ë¬ ®áï¬ E1 ,

1.1. “à ¢­¥­¨ï ¨ £à ­¨ç­ë¥ ãá«®¢¨ï £¨¤à®¤¨­ ¬¨ª¨
E2 , E3 ¨ ¢à 饭¨ï
~ω = ( 32 , 13 , 21 ).

13

¨¤ª®á⨠ª ª ⢥म£® ⥫ á 㣫®¢®© ᪮à®áâìî

‚ á«ãç ¥ ®¤­®à®¤­®£® ¯®áâ㯠⥫쭮£® â¥ç¥­¨ï ᪮à®áâì ­¥¢®§¬ã饭­®£® ¯®â®ª ­¥ § ¢¨á¨â ®â ª®®à¤¨­ â, â ª çâ® ¢á¥ Gkm = 0. Ǒà¨
í⮬ ¨¬¥¥¬ ¯à®á⥩訩 á«ãç © ®¡â¥ª ­¨ï ⥫ á £à ­¨ç­ë¬ ãá«®¢¨¥¬
­ ¡¥áª®­¥ç­®á⨠(1.1.6).
 áᬮâਬ ⥯¥àì ­ ¨¡®«¥¥ ç áâ® ¢áâà¥ç î騥áï â¨¯ë «¨­¥©­ëå ᤢ¨£®¢ëå
â¥ç¥­¨©.
1◦ . Ǒà®á⮩ ᤢ¨£ (â¥ç¥­¨¥ Šãíââ ):
= GY,

VX

VY

= 0,

VZ

= 0,

1
0 G 0
0 21 G 0
0
G 0
2
1
1
kGkm k = 0 0 0 , kEkm k = 2 G 0 0 , k km k = − 2 G 0 0 .
0
0 0
0
0 0
0 0 0
‚¥«¨ç¨­ G ¢ ¤ ­­®¬ á«ãç ¥ ­ §ë¢ ¥âáï £à ¤¨¥­â®¬ ᪮à®á⨠â¥ç¥­¨ï ¨«¨
᪮à®áâìî ¤¥ä®à¬ 樨. ’¥ç¥­¨¥ Šãíââ ¬®¥â ¡ëâì ॠ«¨§®¢ ­® ¬¥¤ã ¤¢ã¬ï
¤¢¨ã騬¨áï ¯ à ««¥«ì­ë¬¨ ¯«®áª®áâﬨ ¨«¨ ¢ § §®à¥ ¬¥¤ã ª® ªá¨ «ì­ë¬¨
樫¨­¤à ¬¨, ¢à é î騬¨áï á à §­ë¬¨ ᪮à®áâﬨ.
2◦ . Ǒ«®áª®¥ ¡¥§¢¨åॢ®¥ ¤¢¨¥­¨¥:

=

VX

0

1
2

GY,

VY

=

1
2

GX,

VZ

= 0,

0
0 12 G 0
0 0 0
1
kGkm k = − G 0 0 , kEkm k = 2 G 0 0 , k km k = 0 0 0 .
0 0 0
0
0 0
0
0 0
â® â¥ç¥­¨¥ ¨¬¥¥â â ªãî ¥ ¤¥ä®à¬ 樮­­ãî á®áâ ¢«ïîéãî ¤¢¨¥­¨ï, ª ª ¨
¯à®á⮩ ᤢ¨£, ­® ­¥ ¨¬¥¥â ¢à é ⥫쭮© á®áâ ¢«ïî饩.
3◦ . Ǒ«®áª¨© ¤¥ä®à¬ 樮­­ë© ᤢ¨£:
1
2

G

VX

=

1
2

1
2

GX,

VY

= − 12 GY,

VZ

= 0,

G
0 0
0 12 G 0
0 0 0
0 − 12 G 0 , kEkm k = 12 G 0 0 , k km k = 0 0 0 .
0 0 0
0
0 0
0
0 0
â® â¥ç¥­¨¥ ¬®­® ॠ«¨§®¢ âì ¯à¨ ¯®¬®é¨ ¯à¨¡®à ’¥©«®à , á®áâ®ï饣® ¨§
ç¥âëà¥å ¢à é îé¨åáï 樫¨­¤à®¢ [308, 309℄. ‘«¥¤ã¥â ®â¬¥â¨âì, çâ® â¥ç¥­¨¥ 2◦
®â«¨ç ¥âáï ®â â¥ç¥­¨ï 3◦ ⮫쪮 ¨á¯®«ì§®¢ ­¨¥¬ ¤à㣮© á¨áâ¥¬ë ª®®à¤¨­ â
(¯®¢®à®â®¬ ¢®ªà㣠®á¨ Z ¯à®â¨¢ ç ᮢ®© áâ५ª¨ ­ 45◦ ).
4◦ . Ǒ«®áª®¥ ⢥म⥫쭮¥ ¢à 饭¨¥:
kGkm k =

1
2

VX

VY

= −GX,

VZ

= 0,

0
0 0 0
0 G 0
0 0 , kEkm k = 0 0 0 , k km k = −G 0 0 .
0 0 0
0 0 0
0 0 0
’¥ç¥­¨¥ å à ªâ¥à¨§ã¥â ¢à 饭¨¥ ¨¤ª®á⨠¢®ªà㣠®á¨ Z á 㣫®¢®© ᪮à®áâìî G.
5◦ . Žá¥á¨¬¬¥âà¨ç­ë© ᤢ¨£ (®á¥á¨¬¬¥âà¨ç­®¥ ¤¥ä®à¬ 樮­­®¥ â¥ç¥­¨¥):
kGkm k =

0

= GY,

G

−G

VX

= − 12 GX,

VY

= − 12 GY,

VZ

= GZ,

14

’¥ç¥­¨ï ¨¤ª®á⨠¢ ¯«¥­ª å, âàã¡ å ¨ áâàãïå

G
0 0
0 0 0
0 − G
0 − 12 G 0 , k km k = 0 0 0 .
, kEkm k =
0
0 G
0
0 G
0 0 0
â® â¥ç¥­¨¥ ¬®¥â ¡ëâì ॠ«¨§®¢ ­® ¯à¨ ¢ëâ瘟 樫¨­¤à¨ç¥áª®© ¤¥ä®à¬¨à㥬®© ­¨â¨ ¨«¨ ­ ¯à¨¡®à¥, ­ «®£¨ç­®¬ ¯à¨¡®à㠒¥©«®à [309℄ á ¤¢ã¬ï â®à®¨¤ «ì­ë¬¨ ¢ « ¬¨, ¢à é î騬¨áï ¢ ¯à®â¨¢®¯®«®­ëå ­ ¯à ¢«¥­¨ïå.
6◦ . ªá⥭§¨®¬¥âà¨ç¥áª®¥ â¥ç¥­¨¥:
kGkm k =

−

1
2

VX

G

0
1
2

= G1 X,

0
0

VY

−

= G2 Y,

VZ

1
2

= G3 Z,

G1

+ G2 + G3 = 0;

0 0
0
0 0 0
G1 0
0 G2 0 , kEkm k = 0 G2 0 , k km k = 0 0 0 .
0 0 0
0 0 G3
0 0 G3
â® â¥ç¥­¨¥ ï¥âáï ®¡®¡é¥­¨¥¬ â¥ç¥­¨ï 5◦ ­ ­¥®á¥á¨¬¬¥âà¨ç­ë© á«ãç ©.
7◦ . Žà⮣®­ «ì­®¥ ८¬¥âà¨ç¥áª®¥ â¥ç¥­¨¥:
kGkm k =

G1

VX

= GY

− HZ,

VY

= 0,

VZ

= HX,

0 G −H
0 12 G 0
0 21 G −H
1
0 .
kGkm k = 0 0 0
, kEkm k = 2 G 0 0 , k km k = − 12 G 0
0 0 0
H 0 0
H
0 0
’¥ç¥­¨¥ å à ªâ¥à¨§ã¥â ᤢ¨£ ¢¤®«ì ®á¨ X , ®á«®­¥­­ë© ¢à 饭¨¥¬ ¢®ªà㣠®á¥©
Y ¨ Z.

Ǒਠ¬®¤¥«¨à®¢ ­¨¨ ®¡â¥ª ­¨ï £à ¤¨¥­â­ë¬ ­¥¢®§¬ã饭­ë¬ ¯®â®ª®¬ ¢ ª ç¥á⢥ £à ­¨ç­ëå ãá«®¢¨© ­ ¡¥áª®­¥ç­®á⨠(¢¤ «¨ ®â ⥫ )
á«¥¤ã¥â ¡à âì ãá«®¢¨ï áâ६«¥­¨ï ª®¬¯®­¥­â ᪮à®á⨠¨¤ª®á⨠¯à¨
R → ∞ ª ᮮ⢥âáâ¢ãî騬 ª®¬¯®­¥­â ¬ à áᬮâ७­ëå £à ¤¨¥­â­ëå
â¥ç¥­¨©.
”ã­ªæ¨ï ⮪ . ®«ì設á⢮ § ¤ ç, à áᬠâਢ ¥¬ëå ¢ ¯¥à¢ëå
¤¢ãå £« ¢ å, ®¡« ¤ îâ ⥬¨ ¨«¨ ¨­ë¬¨ ᢮©á⢠¬¨ ᨬ¬¥âਨ. ‚ íâ¨å
á«ãç ïå ¢¬¥áâ® ª®¬¯®­¥­â ᪮à®á⥩ ¨¤ª®á⨠ç á⮠㤮¡­® ¢¢¥áâ¨
äã­ªæ¨î ⮪ . Ǒਠí⮬ ãà ¢­¥­¨¥ ­¥à §à뢭®á⨠(1.1.3), ­
®á­®¢¥ ª®â®à®£® ®­ ¢¢®¤¨âáï, ¡ã¤¥â 㤮¢«¥â¢®àïâìáï ¢â®¬ â¨ç¥áª¨.
”ã­ªæ¨ï ⮪ ®¡ëç­® ¢¢®¤¨âáï ¢ á«¥¤ãîé¨å âà¥å á«ãç ïå.
1. ‚ ¯«®áª¨å § ¤ ç å ¢á¥ ¢¥«¨ç¨­ë ­¥ § ¢¨áï⠮⠪®®à¤¨­ âë Z ,
¨ ãà ¢­¥­¨¥ ­¥à §à뢭®á⨠(1.1.3) ¯à¨­¨¬ ¥â ¢¨¤
∂VX
∂X

”ã­ªæ¨ï ⮪

+

∂VY
∂Y

= 0.

(1.1.9)

(X, Y ) ¢¢®¤¨âáï á ¯®¬®éìî ᮮ⭮襭¨©
VX

=

∂
,
∂Y

VY

=−

∂
.
∂X

(1.1.10)

Ǒਠí⮬ ãà ¢­¥­¨¥ ­¥à §à뢭®á⨠㤮¢«¥â¢®àï¥âáï ⮤¥á⢥­­®.

15

1.1. “à ¢­¥­¨ï ¨ £à ­¨ç­ë¥ ãá«®¢¨ï £¨¤à®¤¨­ ¬¨ª¨

2. ‚ ®á¥á¨¬¬¥âà¨ç­ëå § ¤ ç å ¢ 樫¨­¤à¨ç¥áª®© á¨á⥬¥ ª®®à¤¨­ â R, θ, Z ¢á¥ ¢¥«¨ç¨­ë ­¥ § ¢¨áï⠮⠮ᥢ®© ª®®à¤¨­ âë Z . ‚
í⮬ á«ãç ¥ ãà ¢­¥­¨¥ ­¥à §à뢭®á⨠(¯®á«¥ 㬭®¥­¨ï ®¡¥¨å ç á⥩ ­ R) § ¯¨áë¢ ¥âáï â ª:


∂
∂Vθ
RVR +
∂R
∂θ

= 0.

(1.1.11)

”ã­ªæ¨ï ⮪ ¢¢®¤¨âáï á ¯®¬®éìî ä®à¬ã«
VR

=

1

∂
,
R ∂θ

Vθ

=−

∂
.
∂R

(1.1.12)

3. ‚ ®á¥á¨¬¬¥âà¨ç­ëå § ¤ ç å ¢ áä¥à¨ç¥áª®© á¨á⥬¥ ª®®à¤¨­ â
¢á¥ ¢¥«¨ç¨­ë ­¥ § ¢¨áï⠮⠪®®à¤¨­ âë ϕ. ‚ í⮬ á«ãç ¥
ãà ¢­¥­¨¥ ­¥à §à뢭®á⨠(¯®á«¥ 㬭®¥­¨ï ®¡¥¨å ç á⥩ ­ R) ¨¬¥¥â
¢¨¤




1 ∂
1 ∂
(1.1.13)
R2 VR +
Vθ sin θ = 0.
R ∂R
sin θ ∂θ
”ã­ªæ¨ï ⮪ ¢ í⮬ á«ãç ¥ ¢¢®¤¨âáï ᮮ⭮襭¨ï¬¨
R, θ , ϕ

VR

=

1
∂
,
R2 sin θ ∂θ

Vθ

=−

1 ∂
.
R sin θ ∂R

(1.1.14)

‚® ¢á¥å ®¯¨á ­­ëå ¢ëè¥ âà¥å á«ãç ïå äã­ªæ¨ï ⮪ § ¢¨á¨â
⮫쪮 ®â ¤¢ãå ®à⮣®­ «ì­ëå ª®®à¤¨­ â. ‹¨­¨¨ ⮪ ®¯à¥¤¥«ïîâáï
à ¢¥­á⢮¬
= onst. Š ¤®© «¨­¨¨ ⮪ ®â¢¥ç ¥â ¯®áâ®ï­­®¥
§­ 祭¨¥ ä㭪樨 ⮪ . ‚¥ªâ®à ᪮à®á⨠¨¤ª®á⨠­ ¯à ¢«¥­ ¯®
ª á ⥫쭮© ª «¨­¨¨ ⮪ . (Žâ¬¥â¨¬, çâ® á âà ¥ªâ®à¨ï¬¨ ¨¤ª¨å
ç áâ¨æ «¨­¨¨ ⮪ ᮢ¯ ¤ îâ ⮫쪮 ¢ áâ 樮­ à­®¬ á«ãç ¥.)
‚ â ¡«. 1.1 ¯à¨¢¥¤¥­ë ãà ¢­¥­¨ï ¤«ï ä㭪樨 ⮪ ¢ à §«¨ç­ëå á¨á⥬ å ª®®à¤¨­ â, ¯®«ã祭­ë¥ ¨§ ãà ¢­¥­¨©  ¢ì¥ | ‘⮪á
(1.1.1), (1.1.2).
“à ¢­¥­¨ï £¨¤à®¤¨­ ¬¨ª¨ ¢ ¡¥§à §¬¥à­®¬ ¢¨¤¥. „«ï ­ «¨§ ãà ¢­¥­¨© £¨¤à®¤¨­ ¬¨ª¨ (1.1.3), (1.1.4) 㤮¡­® ¢¢¥á⨠¡¥§à §¬¥à­ë¥ ¯¥à¥¬¥­­ë¥ ¨ ¨áª®¬ë¥ ¢¥«¨ç¨­ë ¯® ä®à¬ã« ¬
τ

=

Ut
,
a

x=

X
,
a

y

=

Y
,
a

z

=

Z
,
a

~v

=

~
V
,
U

p=

P
,
ρU 2

£¤¥ a ¨ U | å à ªâ¥à­ë¥ ¬ áèâ ¡ë ¤«¨­ë ¨ ᪮à®áâ¨. ‚ १ã«ìâ â¥
¯®«ã稬
∂~v
∂t

+

∇ · ~v


~v · ∇ ~v

= 0,
= −∇p +

1
1

~v +
Re
Fr

(1.1.15)
~g
.
g

(1.1.16)

16

’¥ç¥­¨ï ¨¤ª®á⨠¢ ¯«¥­ª å, âàã¡ å ¨ áâàãïå

17

1.2. ’¥ç¥­¨¥, ¢ë§¢ ­­®¥ ¢à 饭¨¥¬ ¤¨áª

Ǒਠ§ ¯¨á¨ ãà ¢­¥­¨ï (1.1.16) ¨á¯®«ì§®¢ ­ë ®á­®¢­ë¥ ¡¥§à §¬¥à­ë¥
२¬­®-£¥®¬¥âà¨ç¥áª¨¥ ¯ à ¬¥âàë â¥ç¥­¨ï:
Re =

aU
ν

| ç¨á«® ¥©­®«ì¤á

,

Fr =

gU 2
a

| ç¨á«® ”àã¤

.

Œ¥¤«¥­­ë¬ (ý¯®«§ã騬þ) â¥ç¥­¨ï¬ ᮮ⢥âáâ¢ãîâ ¬ «ë¥ §­ 祭¨ï ç¨á¥« ¥©­®«ì¤á , ¡ëáâàë¬ â¥ç¥­¨ï¬ | ¡®«ì訥.  «¨ç¨¥ ¢
íâ¨å ¯à¥¤¥«ì­ëå á«ãç ïå ¬ «®£® ¨«¨ ¡®«ì讣® ¡¥§à §¬¥à­®£® ¯ à ¬¥âà ¯®§¢®«ï¥â íä䥪⨢­® ¨á¯®«ì§®¢ âì à §«¨ç­ë¥ ¬®¤¨ä¨ª 樨
¬¥â®¤ ¢®§¬ã饭¨© [38℄.
1.2. ’¥ç¥­¨¥, ¢ë§¢ ­­®¥ ¢à 饭¨¥¬ ¤¨áª

‚ í⮬ à §¤¥«¥ ¡ã¤¥â ®¯¨á ­ ®¤¨­ ¨§ ­¥¬­®£¨å á«ãç ¥¢, ª®£¤
­¥«¨­¥©­ ï ªà ¥¢ ï § ¤ ç ¤«ï ãà ¢­¥­¨©  ¢ì¥ | ‘â®ªá ¤®¯ã᪠¥â
â®ç­®¥ ­ «¨â¨ç¥áª®¥ à¥è¥­¨¥.
 áᬮâਬ â¥ç¥­¨¥, ¢ë§ë¢ ¥¬®¥ ¢à 饭¨¥¬ ¡¥áª®­¥ç­®£® ¯«®áª®£® ¤¨áª á ¯®áâ®ï­­®© 㣫®¢®© ᪮à®áâìî ω . “á«®¢¨¥ ¯à¨«¨¯ ­¨ï
­ ¯®¢¥àå­®á⨠¤¨áª ¯à¨¢®¤¨â ª ¢®§­¨ª­®¢¥­¨î ¤®áâ â®ç­® á«®­®£® âà¥å¬¥à­®£® ¤¢¨¥­¨ï ¨¤ª®áâ¨, ¯®¤á áë¢ ¥¬®© ¨§ ®¡ê¥¬ ¢¤®«ì
®á¨ ¢à 饭¨ï ª ¤¨áªã ¨ ®â¡à áë¢ ¥¬®© ¢¡«¨§¨ ¥£® ¯«®áª®á⨠­ ¯¥à¨ä¥à¨î. ’ ª®¥ â¥ç¥­¨¥ ¤®áâ â®ç­® å®à®è® ¬®¤¥«¨àã¥â £¨¤à®¤¨­ ¬¨ªã
è¨à®ª® ¨á¯®«ì§ã¥¬ëå ¢ 娬¨ç¥áª®© â¥å­®«®£¨¨ ¤¨áª®¢ëå ¬¥è «®ª,
â ª¥ ¤¨áª®¢ëå í«¥ªâத®¢, ¯à¨¬¥­ï¥¬ëå ¢ ª ç¥á⢥ ¤ â稪®¢ ¢
í«¥ªâà®å¨¬¨¨ [100℄.
ˆá¯®«ì§ã¥¬ 樫¨­¤à¨ç¥áªãî á¨á⥬㠪®®à¤¨­ â R, ϕ, Z , £¤¥ ª®®à¤¨­ â Z ®âáç¨âë¢ ¥âáï ®â ¯®¢¥àå­®á⨠¤¨áª ¢¤®«ì ®á¨ ¢à 饭¨ï.
“ç¨âë¢ ï ᨬ¬¥âà¨î § ¤ ç¨ (¨áª®¬ë¥ ¢¥«¨ç¨­ë ­¥ § ¢¨áïâ ®â 㣫®¢®© ª®®à¤¨­ âë ϕ), § ¯¨è¥¬ ãà ¢­¥­¨ï ­¥à §à뢭®á⨠¨  ¢ì¥ |
‘â®ªá ¢ ¢¨¤¥
∂VR
∂V
V
+ Z + R = 0,
∂R
∂Z
R

V2
∂VR
1 ∂P
∂V
V 
VR
+ VZ R − ϕ = −
+ ν
VR − R2 ,
∂R
∂Z
R
ρ ∂R
R

∂Vϕ
VR Vϕ
∂Vϕ
Vϕ 
VR
+ VZ
+
= ν
Vϕ − 2 ,
∂R
∂Z
R
R
∂VZ
1 ∂P
∂VZ
VR
+ VZ
=−
+ ν
VZ ,
∂R
∂Z
ρ ∂Z

(1.2.1)

£¤¥
| ®¯¥à â®à ‹ ¯« á ¢ 樫¨­¤à¨ç¥áª®© á¨á⥬¥ ª®®à¤¨­ â:

≡

∂ 
∂ 
∂2
+ 2.
R
R ∂R
∂R
∂Z

1

(1.2.2)

18

’¥ç¥­¨ï ¨¤ª®á⨠¢ ¯«¥­ª å, âàã¡ å ¨ áâàãïå

„«ï § ¢¥à襭¨ï ¬ ⥬ â¨ç¥áª®© ä®à¬ã«¨à®¢ª¨ § ¤ ç¨ ¤®¯®«­¨¬
ãà ¢­¥­¨ï £¨¤à®¤¨­ ¬¨ª¨ (1.2.1) £à ­¨ç­ë¬¨ ãá«®¢¨ï¬¨ ¯à¨«¨¯ ­¨ï
¨¤ª®á⨠­ ¯®¢¥àå­®á⨠¤¨áª ¨ ãá«®¢¨ï¬¨ ­¥¢®§¬ã饭­®áâ¨ à ¤¨«ì­®£® ¨ 㣫®¢®£® ¤¢¨¥­¨© ¨ ¤ ¢«¥­¨ï ¢¤ «¨ ®â ¤¨áª :
VR = 0,
VR → 0,

= Rω,
Vϕ → 0,
Vϕ

VZ = 0
P → Pi

Z = 0,
Z → ∞.

¯à¨
¯à¨

(1.2.3)

‘«¥¤ãï Š ଠ­ã, à¥è¥­¨¥ § ¤ ç¨ (1.2.1) | (1.2.3) ¨é¥¬ ¢ ¢¨¤¥
√
νω v (z ),

= ωRu1(z ), Vϕ = ωRu2 (z ), VZ =
p
= Pi + ρνωp(z ),
£¤¥ z = ω/ν Z.

VR
P

(1.2.4)

Ǒ®¤áâ ¢«ïï í⨠¢ëà ¥­¨ï ¢ (1.2.1) | (1.2.3), ¯®á«¥ ­¥ª®â®àëå ¯à¥®¡à §®¢ ­¨© ¯à¨å®¤¨¬ ª á«¥¤ãî饩 á¨á⥬¥ ®¡ëª­®¢¥­­ëå ¤¨ää¥à¥­æ¨ «ì­ëå ãà ¢­¥­¨© (èâà¨å¨ ᮮ⢥âáâ¢ãî⠯ந§¢®¤­ë¬ ¯® z ):
= vu′1 + u21 − u22 ,
u′′2 = vu′2 + 2u1 u2 ,
v ′′ = vv ′ + p′ ,
v ′ = −2u1
u′′1

(1.2.5)

á £à ­¨ç­ë¬¨ ãá«®¢¨ï¬¨
= 0,
u1 → 0,
u1

= 1,
u2 → 0,

u2

=0
p→0

v

¯à¨
¯à¨

z

= 0,

z → ∞.

(1.2.6)

Žâ¬¥â¨¬, çâ® ®á¥¢®¥ à á¯à¥¤¥«¥­¨¥ ¤ ¢«¥­¨ï ¬®­® ­ ©â¨ ¨§
âà¥â쥣® ãà ¢­¥­¨ï (1.2.5) ¯®á«¥ à¥è¥­¨ï ¯¥à¢ëå ¤¢ãå ãà ¢­¥­¨©.
„ ¢«¥­¨¥ ¢ëà  ¥âáï ç¥à¥§ ¯®¯¥à¥ç­ãî ª®¬¯®­¥­âã ᪮à®á⨠¯®
ä®à¬ã«¥
p = v ′ (z ) − 12 v 2 (z ) − v ′ (∞) + 12 v (∞).
(1.2.7)
‚ à ¡®â å [184, 220℄ ¯à¨¢®¤ïâáï १ã«ìâ âë ç¨á«¥­­®£® à¥è¥­¨ï
§ ¤ ç¨ (1.2.5), (1.2.6). ‘®®â¢¥âáâ¢ãî騥 § ¢¨á¨¬®á⨠u1 , u2, v ®â z
¯®ª § ­ë ­ à¨á. 1.1.
Ǒ®«ã祭ë á«¥¤ãî騥 à §«®¥­¨ï ¨áª®¬ëå ä㭪権 ¢¡«¨§¨ ¨
¢¤ «¨ ®â ¯®¢¥àå­®á⨠¤¨áª [103℄:
¯à¨ z → 0:
u1 (z ) ≃ 0,51 z − 0,5 z 2 , u2 (z ) ≃ 1 − 0,616 z,
v (z ) ≃ −0,51 z 2 + 0,333 z 3, p(z ) ≃ 0,393 − 1,02 z,

(1.2.8)

1.2. ’¥ç¥­¨¥, ¢ë§¢ ­­®¥ ¢à 饭¨¥¬ ¤¨áª

¨á. 1.1.

19

 á¯à¥¤¥«¥­¨¥ ª®¬¯®­¥­â ᪮à®á⨠¢¡«¨§¨ ¢à é î饣®áï ¤¨áª

¯à¨ z → ∞:
u1 (z ) ≃ 0,934 exp(−0,886 z ),

v (z ) ≃ −0,886,

u2 (z ) ≃ 1,208 exp(−0,886 z ),
p(z ) ≃ 0,393.

(1.2.9)

‘ ¯®¬®éìî ä®à¬ã« (1.2.9) ¬®­® ®æ¥­¨âì ¢®§¬ã饭¨ï, ª®â®àë¥
¤¨áª ¢­®á¨â ¢ ¨¤ª®áâì ¢¤ «¨ ®â ¢à é î饩áï ¯®¢¥àå­®áâ¨. ˆ§ £à ­¨ç­ëå ãá«®¢¨© (1.2.3) á«¥¤ã¥â, çâ® ¤ ¢«¥­¨¥, à ¤¨ «ì­ ï ¨ 㣫®¢ ï
ª®¬¯®­¥­âë ᪮à®á⨠­¥ ¢®§¬ãé îâáï ¯à¨ z → ∞. Ǒਠí⮬ ¡¥§à §¬¥à­ ï ®á¥¢ ï ª®¬¯®­¥­â ᪮à®á⨠¢¤ «¨ ®â ¤¨áª ®â«¨ç­ ®â ­ã«ï:
v (∞) = −0,886. â ¢¥«¨ç¨­ ¯®ª §ë¢ ¥â, á ª ª®© ᪮à®áâìî ¤¨áª ý§ å¢ âë¢ ¥âþ ®ªàã îéãî ¨¤ª®áâì. ˆ§ à¨á. 1.1 ¢¨¤­®, çâ® ¤ ¢«¥­¨¥,
à ¤¨ «ì­ ï ¨ 㣫®¢ ï ª®¬¯®­¥­âë ᪮à®á⨠¢®§¬ãé îâáï ¢à é î騬áï ¤¨áª®¬ «¨èì ¢¡«¨§¨ ®â ¥£® ¯®¢¥àå­®áâ¨, ¢ â ª ­ §ë¢ ¥¬®¬
¤¨­ ¬¨ç¥áª®¬ ¯®£à ­¨ç­®¬ á«®¥. ’®«é¨­ í⮣® á«®ï ­¥
p § ¢¨á¨â ®â
à ¤¨ «ì­®© ª®®à¤¨­ âë* ¨ ¯à¨¡«¨§¨â¥«ì­® à ¢­ δ = 3 ν/ω.
‚ᥠ㪠§ ­­ë¥ § ª®­®¬¥à­®á⨠á¯à ¢¥¤«¨¢ë ¤«ï ¤¨áª ¡¥áª®­¥ç­®£® à ¤¨ãá . Ž¤­ ª®, ¥á«¨ ¢§ïâì ªà㣮¢®© ¤¨áª ª®­¥ç­®£® à ¤¨ãá a,
«¨­¥©­ë¥ à §¬¥àë ª®â®à®£®
áãé¥á⢥­­® ¯à¥¢®á室ïâ ⮫騭㠯®£à p
­¨ç­®£® á«®ï (a ≫ 3 ν/ω ), â® í⨠§ ª®­®¬¥à­®á⨠¡ã¤ã⠢믮«­ïâìáï ¯à¨¡«¨¥­­®. ‘ª § ­­®¥ ¯®§¢®«ï¥â ¯®«ãç¨âì ­¥áª®«ìª® ¢ ­ëå
¯à ªâ¨ç¥áª¨å ®æ¥­®ª.
* ‚ à §¤. 3.2 ¡ã¤¥â ¯®ª § ­®, çâ® ¤¨ää㧨®­­ë© ¯®£à ­¨ç­ë© á«®© ­ ¢à é î饬áï ¤¨áª¥ â ª¥ ¨¬¥¥â ¯®áâ®ï­­ãî ⮫騭ã. â® ¯®§¢®«ï¥â áç¨â âì ¯®¢¥àå­®áâì ¢à é î饣®áï ¤¨áª , ¨á¯®«ì§ã¥¬®£® ¢ í«¥ªâà®å¨¬¨ç¥áª¨å íªá¯¥à¨¬¥­â å ¢
ª ç¥á⢥ í«¥ªâத , à ¢­®¤®áâ㯭®© ¯®¢¥àå­®áâìî.

20

’¥ç¥­¨ï ¨¤ª®á⨠¢ ¯«¥­ª å, âàã¡ å ¨ áâàãïå

√

ˆáå®¤ï ¨§ ᪮à®á⨠§ å¢ â ¨¤ª®á⨠¤¨áª®¬ VZ (∞)= −0,886 νω ,
¬®­® ­ ©â¨ à á室 㢫¥ª ¥¬®© ¨ ®â¡à áë¢ ¥¬®© ¤¨áª®¬ à ¤¨ãá a
¨¤ª®áâ¨:
√
q = 0,886 πa2 νω.
(1.2.10)
᫨ ãç¥áâì ¤¢ãáâ®à®­­¨© § å¢ â ¨¤ª®á⨠¢à é î騬áï ¤¨áª®¬, â®
®¡é¨© à á室 ®â¡à áë¢ ¥¬®© ¨¤ª®á⨠᫥¤ã¥â 㢥«¨ç¨âì ¢ ¤¢ à § :
Q = 2q . “¤®¡­® § ¯¨á âì ®¡é¨© à á室 ç¥à¥§ ç¨á«® ¥©­®«ì¤á :
Q = 1,77 πa3 ω Re−1/2 ,

Re = a2 ω/ν.

(1.2.11)

€­ «®£¨ç­ë¬ ®¡à §®¬ ¬®­® ®æ¥­¨âì ¬®¬¥­â ᮯà®â¨¢«¥­¨ï
¨¤ª®á⨠¢à 饭¨î ¤¨áª , ª®â®àë© ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¨­â¥£à «®¬
m = −2πµ

Z

0

a

R2



∂Vϕ
∂Z



Z =0

‚ëç¨á«¥­¨¥ ¤ ¥â ¤«ï ¤¢ãáâ®à®­­¥£® ¬®¬¥­â
®æ¥­ªã:
√
M = 0,616 πρa4 νω 3 .

dR.
M

= 2m á«¥¤ãîéãî
(1.2.12)

„«ï ¡¥§à §¬¥à­®£® ª®íää¨æ¨¥­â ¬®¬¥­â ᮯà®â¨¢«¥­¨ï ¨¬¥¥¬
M
cM ≡ 1 5 2
2 ρa ω

= 3,87 Re−1/2 .

(1.2.13)

’¥®à¥â¨ç¥áª ï ®æ¥­ª (1.2.13) å®à®è® ¯®¤â¢¥à¤ ¥âáï íªá¯¥à¨¬¥­â «ì­® ¢¯«®âì ¤® ªà¨â¨ç¥áª®£® ç¨á« ¥©­®«ì¤á Re∗ ≈ 3 · 105, ª®£¤ à áᬠâਢ ¥¬®¥ â¥ç¥­¨¥ áâ ­®¢¨âáï ­¥ãáâ®©ç¨¢ë¬ ¨ ­ 稭 ¥âáï
¯¥à¥å®¤ ª âãà¡ã«¥­â­®¬ã २¬ã.
„«ï âãà¡ã«¥­â­®£® २¬ â¥ç¥­¨ï (¯à¨ Re > 3 · 105) ¯à¨¡«¨¥­­ë¥ à áç¥âë, ®á­®¢ ­­ë¥ ­ ¨­â¥£à «ì­®¬ ¬¥â®¤¥ ¯®£à ­¨ç­®£® á«®ï,
¯à¨¢®¤ïâ ª á«¥¤ãî騬 ®æ¥­ª ¬ ¤«ï ªà㣮¢®£® ¤¨áª à ¤¨ãá a [103℄:
¤«ï ¤¢ãáâ®à®­­¥£® à á室 :
Q = 0,438 a3ω Re−1/5 ,

(1.2.14)

¤«ï ª®íää¨æ¨¥­â ¤¢ãáâ®à®­­¥£® ¬®¬¥­â ᮯà®â¨¢«¥­¨ï:
cM

= 0,146 Re−1/5 .

(1.2.15)

’®«é¨­ã âãà¡ã«¥­â­®£® ¤¨­ ¬¨ç¥áª®£® ¯®£à ­¨ç­®£® á«®ï ­ ¤¨áª¥ ¬®­® ®æ¥­¨âì ¯® ä®à¬ã«¥ δ = 0,5 a Re−1/5 .

1.3. ƒ¨¤à®¤¨­ ¬¨ª â®­ª¨å á⥪ îé¨å ¯«¥­®ª

1.3. ƒ¨¤à®¤¨­ ¬¨ª
¯«¥­®ª

21

â®­ª¨å á⥪ îé¨å

Ǒ।¢ à¨â¥«ì­ë¥ § ¬¥ç ­¨ï. Ǒ«¥­®ç­ë© ⨯ â¥ç¥­¨ï è¨à®ª® ¨á¯®«ì§ã¥âáï ¢ 娬¨ç¥áª®© â¥å­®«®£¨¨ (¢ ª®­â ªâ­ëå ãáâனá⢠å
¡á®à¡æ¨®­­ëå, 奬®á®à¡æ¨®­­ëå ¨ ४â¨ä¨ª 樮­­ëå ª®«®­­; ¢ ¢ë¯ à­ëå, áã訫ì­ëå ¨ ⥯«®®¡¬¥­­ëå ¯¯ à â å; ¯«¥­®ç­ëå 娬¨ç¥áª¨å ॠªâ®à å; íªáâà ªâ®à å ¨ ª®­¤¥­á â®à å [87, 153℄).
Ž¡ëç­® ¢ ¯¯ à â, ¢ ª®â®à®¬ ®áãé¥á⢫ï¥âáï 䨧¨ª®-娬¨ç¥áª ï
®¡à ¡®âª ⥪ãç¨å ¬ â¥à¨ «ì­ëå á।, ®¤­®¢à¥¬¥­­® ¯®¤ îâáï ª ª
¨¤ª ï, â ª ¨ £ §®¢ ï ä §ë. Ǒ®í⮬ã, ¢®®¡é¥ £®¢®àï, ¯à®¨á室¨â ¤¨­ ¬¨ç¥áª®¥ ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨¥ ä § ¢¯«®âì ¤® ­ áâ㯫¥­¨ï २¬ ý§ å«¥¡ë¢ ­¨ïþ ¯à¨ ¯à®â¨¢®â®ç­®¬ ¤¢¨¥­¨¨ £ § ¨ ¨¤ª®áâ¨. Ž¤­ ª®
¯à¨ áà ¢­¨â¥«ì­® ¬ «ëå à á室 å £ § ¤¨­ ¬¨ç¥áª¨¬ ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨¥¬ ¬®­® ¯à¥­¥¡à¥çì ¨ áç¨â âì, çâ® ¨¤ª¨¥ ¯«¥­ª¨ á⥪ îâ ⮫쪮
¯®¤ ¤¥©á⢨¥¬ ᨫë âï¥áâ¨.
‚ § ¢¨á¨¬®á⨠®â ¢¥«¨ç¨­ë ç¨á« ¥©­®«ì¤á Re = Q/ν , £¤¥ Q |
¯«®â­®áâì ®à®è¥­¨ï (â.¥. ®¡ê¥¬­ë© à á室 ¨¤ª®á⨠­ ¥¤¨­¨æã è¨à¨­ë ¯«¥­ª¨), â¥ç¥­¨¥ ¨¤ª®á⨠¢ £à ¢¨â 樮­­®© ¯«¥­ª¥ ¬®¥â ®áãé¥á⢫ïâìáï ¢ « ¬¨­ à­®¬, ¢®«­®¢®¬ ¨ âãà¡ã«¥­â­®¬ २¬ å. ˆ§¢¥áâ­® [5, 23, 180℄, çâ® « ¬¨­ à­ë© २¬ â¥àï¥â ãá⮩稢®áâì ¯à¨
§­ 祭¨ïå ªà¨â¨ç¥áª®£® ç¨á« ¥©­®«ì¤á Re∗ = 2 ÷ 6. Ž¤­ ª® ¨§¢¥áâ­® â ª¥ [23℄, ç⮠ॠ«ì­®¥ ¯®ï¢«¥­¨¥ ¢®«­ ­ ¡«î¤ ¥âáï «¨èì
­ 稭 ï á â®çª¨, áãé¥á⢥­­® ᬥ饭­®© ¢­¨§ ¯® ¯®â®ªã. ‚® ¢á类¬
á«ãç ¥, ¤ ¥ ¤«ï ç¨á¥« ¥©­®«ì¤á 6 6 Re 6 400, ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å
¢®«­®¢ë¬ २¬ ¬ [5℄, §­ ç¨â¥«ì­ ï ç áâì ¤«¨­ë ¯«¥­ª¨ ¡ã¤¥â ¡¥§¢®«­®¢®©. ᫨ ãç¥áâì, çâ® íâ ¤«¨­ áãé¥á⢥­­® ¯à¥¢®á室¨â ¤«¨­ã ­ ç «ì­®£® ãç á⪠, £¤¥ ¯à®¨á室¨â ä®à¬¨à®¢ ­¨¥ áâ 樮­ à­®£®
¯à®ä¨«ï ᪮à®á⨠¨ ãáâ ­®¢«¥­¨¥ â®«é¨­ë ¯«¥­ª¨, â® á«¥¤ã¥â ¯à¨§­ âì, çâ® £¨¤à®¤¨­ ¬¨ç¥áª¨¥ § ª®­®¬¥à­®á⨠ãáâ ­®¢¨¢è¥£®áï « ¬¨­ à­®£® â¥ç¥­¨ï ¯«¥­ª¨ ¯à¨ à ¢­®¢¥á¨¨ ¢ï§ª¨å ¨ £à ¢¨â 樮­­ëå
ᨫ ïîâáï ®¯à¥¤¥«ïî騬¨ ¯à¨ à áç¥â¥ ¨­â¥­á¨¢­®á⨠¬ áá®®¡¬¥­ ¢® ¬­®£¨å ¯¯ à â å. ’ ª®¢ë, ­ ¯à¨¬¥à, è¨à®ª® à á¯à®áâà ­¥­­ë¥ ¢ 娬¨ç¥áª®© ¨ ­¥äâ¥å¨¬¨ç¥áª®© ¯à®¬ëè«¥­­®á⨠­ á ¤®ç­ë¥
¡á®à¡æ¨®­­ë¥ ¨ ४â¨ä¨ª 樮­­ë¥ ª®«®­­ë, £¤¥ ¯«¥­ª¨ á⥪ îâ ¯®
¯®¢¥àå­®á⨠­ á ¤®ç­ëå ⥫, ¯à®â省­®áâì ª®â®àëå ­¥ ¯à¥¢ëè ¥â
­¥áª®«ìª¨å á ­â¨¬¥â஢ (ª®«ìæ  訣 , ª®«ìæ Ǒ ««ï, ᥤ« ¥à«ï
¨ ¤à. [180℄).
Ǒ à ¤®ªá «ì­®, ­® ¤«ï ¯à ªâ¨ç¥áª®£® ¨á¯®«ì§®¢ ­¨ï § ª®­®¬¥à­®á⥩ « ¬¨­ à­®£® â¥ç¥­¨ï ¯«¥­ª¨ áãé¥áâ¢ãîâ ®£à ­¨ç¥­¨ï ¯® à á室 ¬ (¨«¨ ç¨á« ¬ ¥©­®«ì¤á ) ­¥ ᢥàåã, á­¨§ã. „¥©á⢨⥫쭮,
áãé¥áâ¢ã¥â [45℄ ¯®à®£ ¯«®â­®á⨠®à®è¥­¨ï Qmin, ­¨¥ ª®â®à®£® í­¥à£¥â¨ç¥áª¨ ¡®«¥¥ ¢ë£®¤­ë¬ áâ ­®¢¨âáï à §à뢭®¥, ýàã祩ª®¢®¥þ, áâ¥-

22

’¥ç¥­¨ï ¨¤ª®á⨠¢ ¯«¥­ª å, âàã¡ å ¨ áâàãïå

ª ­¨¥ ¯«¥­ª¨. â®â ¯à¥¤¥« ¡ë« ⥮à¥â¨ç¥áª¨ ®¯à¥¤¥«¥­ ¢ à ¡®â¥ [240℄
Qmin

= 2,15



νσ 3
ρg 3

1/5

(1 − os θ)3/5 ,

£¤¥ σ | ª®íää¨æ¨¥­â ¯®¢¥àå­®áâ­®£® ­ â省¨ï ¨¤ª®áâ¨, θ |
ªà ¥¢®© 㣮« ᬠ稢 ­¨ï ¨¤ª®áâìî ¬ â¥à¨ « á⥭ª¨ (à¨á. 1.2).
“£®« θ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¨§ äã­¤ ¬¥­â «ì­®£® ᮮ⭮襭¨ï ž­£ [36℄
σgw

= σ os θ + σfw ,

£¤¥ σgw ¨ σfw | 㤥«ì­ë¥ ¨§¡ëâ®ç­ë¥ ¯®¢¥àå­®áâ­ë¥ í­¥à£¨¨ £à ­¨æ à §¤¥« £ §{á⥭ª ¨ ¨¤ª®áâì{
¨á. 1.2. Š ®¯à¥¤¥«¥­¨î ªà ¥¢®£®
á⥭ª .
㣫 ᬠ稢 ­¨ï
Ǒਬ¥­ï¥¬ë© ­ ¯à ªâ¨ª¥ â¥å­®«®£¨ç¥áª¨© ¯à¨¥¬ £¨¤à®ä¨«¨§ 樨 á⥭ª¨ [23℄, á®áâ®ï騩 ¢ ®¡à ¡®âª¥ ¯®¢¥àå­®á⨠ᯨà⮬, 㬥­ìè ¥â ªà ¥¢®© 㣮« ᬠ稢 ­¨ï ¨,
á«¥¤®¢ ⥫쭮, 㬥­ìè ¥â ¯à¥¤¥« ¬¨­¨¬ «ì­®© ¯«®â­®á⨠®à®è¥­¨ï.
Ǒ«¥­ª ­ ­ ª«®­­®© ¯«®áª®áâ¨.  áᬮâਬ â®­ª¨© á«®©
¨¤ª®áâ¨, á⥪ î騩 ¯® ⢥म© ¯«®áª®© ¯®¢¥àå­®á⨠¯®¤ ¤¥©á⢨¥¬ ᨫë âï¥á⨠(à¨á. 1.3). Ǒãáâì
α | 㣮« ­ ª«®­ ¯«®áª®á⨠ª £®à¨§®­âã. „¢¨¥­¨¥ áç¨â ¥¬ ¤®áâ â®ç­® ¬¥¤«¥­­ë¬, â ª ç⮠ᨫ ¬¨ ¨­¥à樨 (â.¥.
ª®­¢¥ªâ¨¢­ë¬¨ ç«¥­ ¬¨) ¬®­® ¯à¥­¥¡à¥çì ¯® áà ¢­¥­¨î á ¢ï§ª¨¬ â७¨¥¬ ¨ ᨫ®© âï¥áâ¨. Ǒãáâì ⮫騭 ¯«¥­ª¨ h, ª®â®à ï ¯à¥¤¯®« £ ¥âáï
¯®áâ®ï­­®©, ¬­®£® ¬¥­ìè¥ ¥¥ ¤«¨­ë.
‚ í⮬ á«ãç ¥ ¢ ¯¥à¢®¬ ¯à¨¡«¨¥­¨¨
¨á. 1.3. ‘â ¡¨«¨§¨à®¢ ­­ë© ãç ­®à¬ «ì­ ï ª®¬¯®­¥­â ᪮à®á⨠¨¤á⮪ « ¬¨­ à­®£® ¡¥§¢®«­®¢®£®
२¬ á⥪ ­¨ï ¯«¥­ª¨ ¯® ­ - ª®á⨠¡ã¤¥â ¬ « ¯® áà ¢­¥­¨î á ¯à®ª«®­­®© ¯«®áª®áâ¨
¤®«ì­®© á®áâ ¢«ïî饩, ¯à®¨§¢®¤­ë¬¨ ¢¤®«ì ¯®¢¥àå­®á⨠¯«¥­ª¨ ¬®­®
¯à¥­¥¡à¥çì ¯® áà ¢­¥­¨î á ¯à®¨§¢®¤­ë¬¨ ¯® ­®à¬ «¨.
“ª § ­­ë¥ ¤®¯ã饭¨ï ¯à¨¢®¤ïâ ª ®¤­®¬¥à­®¬ã ¯à®ä¨«î ᪮à®á⨠V = V (Y ) ¨ ¤ ¢«¥­¨î P = P (Y ), £¤¥ Y | ª®®à¤¨­ â , ®âáç¨âë¢ ¥¬ ï ¯® ­®à¬ «¨ ª ¯®¢¥àå­®á⨠¯«¥­ª¨. ‘®®â¢¥âáâ¢ãî騥 ãà ¢­¥­¨ï
£¨¤à®¤¨­ ¬¨ª¨ â®­ª¨å ¯«¥­®ª ¨¬¥îâ ¢¨¤ ãá«®¢¨© à ¢­®¢¥á¨ï ¢ï§ª®©
¨ £à ¢¨â 樮­­®© ᨫ:
µ

d2 V
+ ρg sin α = 0,
dY 2
dP
− ρg os α = 0.
dY

(1.3.1)

23

1.3. ƒ¨¤à®¤¨­ ¬¨ª â®­ª¨å á⥪ îé¨å ¯«¥­®ª

“à ¢­¥­¨ï á«¥¤ã¥â ¤®¯®«­¨âì £à ­¨ç­ë¬¨ ãá«®¢¨ï¬¨
dV
dY
V

= 0,

= P0

P

=0

¯à¨

Y

= 0,

¯à¨

Y

= h,

(1.3.2)

ª®â®àë¥ ¢ëà  îâ à ¢¥­á⢮ ­ã«î ª á ⥫쭮£® ­ ¯à省¨ï, à ¢¥­á⢮ ¤ ¢«¥­¨ï ⬮áä¥à­®¬ã ¤ ¢«¥­¨î P0 ­ ᢮¡®¤­®© ¯®¢¥àå­®áâ¨
¨ ãá«®¢¨¥ ¯à¨«¨¯ ­¨ï ­ ¯®¢¥àå­®á⨠¯«®áª®áâ¨.
¥è¥­¨¥ § ¤ ç¨ (1.3.1), (1.3.2) ¨¬¥¥â ¢¨¤
V
P

= Umax(1 − y 2 ),
= P0 + ρgh os α y,

(1.3.3)

£¤¥ y = Y /h | ¡¥§à §¬¥à­ ï ¯®¯¥à¥ç­ ï ª®®à¤¨­ â , Umax =
= 21 (g/ν )h2 sin α | ¬ ªá¨¬ «ì­ ï ᪮à®áâì â¥ç¥­¨ï (᪮à®áâì ­ ᢮¡®¤­®© £à ­¨æ¥).
Ǒ«®â­®áâì ®à®è¥­¨ï ¢ëç¨á«ï¥âáï ¯® ä®à¬ã«¥
Q=

Zh

V (Y ) dY

=

0

gh3 sin α
3ν

=

2
3 Umax h.

(1.3.4)

‘।­¥à á室­ ï ᪮à®áâì hV i á®áâ ¢«ï¥â 2/3 ®â ¬ ªá¨¬ «ì­®©:
hV i = 23 Umax .

Ž¯à¥¤¥«¨¬ ç¨á«® ¥©­®«ì¤á ¤«ï ¯«¥­®ç­®£® â¥ç¥­¨ï:
Re =

Q
ν

=

gh3 sin α
.
3ν 2

Žâáî¤ ¬®­® ¢ëà §¨âì ⮫騭㠯«¥­ª¨ ç¥à¥§ ç¨á«® ¥©­®«ì¤á ¨
¯«®â­®áâì ®à®è¥­¨ï:
h=



1/3

3ν 2
Re
g sin α

=



3ν
Q
g sin α

1/3

.

Ǒ«¥­ª ­ 樫¨­¤à¨ç¥áª®© ¯®¢¥àå­®áâ¨. Ǒãáâì â®­ª¨© á«®©
¨¤ª®á⨠⮫騭®© h á⥪ ¥â ¯®¯®¢¥àå­®á⨠¢¥à⨪ «ì­®£® ªà㣮¢®£® 樫¨­¤à à ¤¨ãá a. ‚ 樫¨­¤à¨ç¥áª®© á¨á⥬¥ ª®®à¤¨­ â R, ϕ, Z
¤«ï ¥¤¨­á⢥­­®© ­¥­ã«¥¢®© ª®¬¯®­¥­âë ᪮à®á⨠¨¤ª®á⨠¨¬¥¥¬
ãà ¢­¥­¨¥

 2
1 ∂VZ
d VZ
+
µ
+ ρg = 0.
(1.3.5)
2
dR

R ∂R

24

’¥ç¥­¨ï ¨¤ª®á⨠¢ ¯«¥­ª å, âàã¡ å ¨ áâàãïå

ƒà ­¨ç­ë¥ ãá«®¢¨ï ­ á⥭ª¥ ¨ ᢮¡®¤­®© ¯®¢¥àå­®á⨠§ ¯¨áë¢ îâáï
â ª:
VZ

= 0 ¯à¨

R = a,

dVZ
dR

= 0 ¯à¨

R = a + h.

(1.3.6)

¥è¥­¨¥ § ¤ ç¨ (1.3.5), (1.3.6) ¤ ¥âáï ä®à¬ã«®©



 ln(R/a)
ρg
2
2
2
2
a − R + (a + h) − a
.
VZ (R) =
(1.3.7)
4µ
ln(1 + h/a)
„¢®©­ë¥ £¨¤à®¤¨­ ¬¨ç¥áª¨¥ ¯«¥­ª¨. ¥ª®â®àë¥ ¯à®æ¥ááë
娬¨ç¥áª®© â¥å­®«®£¨¨ 㤮¡­® ¢¥á⨠¢ ¤¢®©­ëå £¨¤à®¤¨­ ¬¨ç¥áª¨å
á«®ïå (­ ¯à¨¬¥à, ¯à®æ¥ááë ¨¤ª®ä §­®© íªáâà ªæ¨¨, â ª¥ ॠªæ¨¨ ­¨âà¨à®¢ ­¨ï ¨ áã«ìä®­¨à®¢ ­¨ï ¨¤ª¨å 㣫¥¢®¤®à®¤®¢).
 à¨á. 1.4 ¯®ª § ­ á奬 ¤¢ãåá«®©­®£® ¯«¥­®ç­®£® â¥ç¥­¨ï
¨ ¢ë¡à ­­ ï á¨á⥬ ª®®à¤¨­ â. Šà ¥¢ ï § ¤ ç ¤«ï X -ª®¬¯®­¥­â
᪮à®á⥩ á«®¥¢ Va (Y ) ¨ Vb (Y ) ®¯¨áë¢ ¥âáï ãà ¢­¥­¨ï¬¨
d2 Va
− ρa g sin α = 0,
dY 2
d2 Vb
µb
− ρb g sin α = 0,
dY 2
µa

¨ £à ­¨ç­ë¬¨ ãá«®¢¨ï¬¨
Va = 0
¯à¨ Y = 0,
Va = Vb
¯à¨ Y = ha ,
¨á. 1.4.

â¥ç¥­¨ï

‘奬 ¤¢ã寫¥­®ç­®£®

µa

dVa
dY
dVb
dY

= µb
=0

dVb
dY

¯à¨

Y

= ha ,

¯à¨

Y

= ha + hb .

¥è¥­¨¥ § ¤ ç¨ ® « ¬¨­ à­®¬ â¥ç¥­¨¨ ¤¢ãå ­¥á¬¥è¨¢ îé¨åáï
¨¤ª¨å ¯«¥­®ª ¤ ¥âáï ä®à¬ã« ¬¨ [304℄
 


ρ g sin α
ρ
Va = a
2 ha + hb b Y − Y 2
¯à¨ 0 6 Y 6 ha ,
2µa
ρa





ρ g sin α
µb
ρa µb
− 1 h2a + 2ha hb
− 1 + 2(ha + hb )Y − Y 2
Vb = b
2µb
ρb µa
µa
¯à¨ ha 6 Y 6 ha + hb.
„«ï ¯«®â­®á⥩ ®à®è¥­¨ï ¢ ª ¤®© ¨§ ¯«¥­®ª ¨¬¥¥¬


ρ2 h3 g sin α
3 ρb h b
Qa = a a
1+
,
3µa
2 ρa h a


ρ2 h3 g sin α
h µ
h2 ρ µ
Qb = b b
1 + 3 a b + 3 a2 a b .
3µb
hb µa
hb ρb µa

25

1.4. ‘âàã©­ë¥ â¥ç¥­¨ï

Ǒਠ§ ¤ ­­®¬ ®â­®è¥­¨¨ ¯«®â­®á⥩ ®à®è¥­¨ï Qa /Qb ®â­®è¥­¨¥
⮫騭 ¯«¥­®ª λ = ha /hb 㤮¢«¥â¢®àï¥â á«¥¤ãî饬㠪㡨ç¥áª®¬ã
ãà ¢­¥­¨î:














2
3 µa Qa 2/3 ρb 7/3 ρb Qa 2
µ ρ2 Q
ρ
−
λ − 3 b λ− a 2b a = 0.
2 µb Qb
ρa
ρa Q b
ρa
µb ρa Qb
¥§ã«ìâ âë £à ä¨ç¥áª®£® à¥è¥­¨ï í⮣® ãà ¢­¥­¨ï ¯à¨¢¥¤¥­ë ¢
à ¡®â¥ [304℄.

λ3 +

1.4. ‘âàã©­ë¥ â¥ç¥­¨ï

‘âàã©­ë¥ â¥ç¥­¨ï ¯à¥¤áâ ¢«ïîâ ᮡ®© ®¡è¨à­ë© ¨ ¢¥áì¬ à á¯à®áâà ­¥­­ë© ª« áá ¤¢¨¥­¨© ¢ï§ª®© ¨¤ª®áâ¨. ‚ í⮬ à §¤¥«¥
®£à ­¨ç¨¬áï à áᬮâ७¨¥¬ áâ 樮­ à­ëå áâàã©­ëå â¥ç¥­¨© ­¥á¨¬ ¥¬®© ¨¤ª®á⨠¢ ¯à®áâà ­á⢥, § ¯®«­¥­­®¬ ¨¤ª®áâìî á ⥬¨ ¥
䨧¨ç¥áª¨¬¨ ᢮©á⢠¬¨ (â ª ­ §ë¢ ¥¬ë¥ ý§ ⮯«¥­­ë¥þ áâàã¨). ã¤¥â à áᬮâ७ § ¤ ç ® áâàã¥-¨áâ®ç­¨ª¥ ¢ ¡¥§£à ­¨ç­®¬ ¯à®áâà ­á⢥ [36, 98℄ ¨ ¯à¨¢¥¤¥­ ¢ ­ ï ¤«ï ¯à ªâ¨ª¨ ¨­ä®à¬ æ¨ï ® áâàãªâãॠ᫥¤ § ¤¢¨ã騬¨áï ⥫ ¬¨ [3, 46, 184℄.
‡ ⮯«¥­­ ï áâàãï-¨áâ®ç­¨ª.  áᬠâਢ ¥âáï â¥ç¥­¨¥ ¢ ¡¥§£à ­¨ç­®¬ ¯à®áâà ­á⢥, ¢ë§¢ ­­®¥ ¡ìî饩 ¨§ ª®­æ â®­ª®© âà㡪¨
áâà㥩 ¨¤ª®áâ¨. ˆáâ®ç­¨ª áâà㨠áç¨â ¥âáï â®ç¥ç­ë¬, ¯à ªâ¨ç¥áª¨
¥ à §¬¥à ¨ ä®à¬ á¥ç¥­¨ï ­ á ¤ª áâ ­®¢ïâáï ­¥áãé¥á⢥­­ë¬¨ ­
­¥ª®â®à®¬ 㤠«¥­¨¨ ®â ¥£® á१ . ‘âàãï ®¡« ¤ ¥â ®á¥¢®© ᨬ¬¥âਥ©
¢ ­ ¯à ¢«¥­¨¨ â¥ç¥­¨ï. Ǒਠ®âáãâá⢨¨ ý§ ªàã⪨þ ¨¤ª®á⨠¤¢¨¥­¨¥, à áᬠâਢ ¥¬®¥ ¢ áä¥à¨ç¥áª®© á¨á⥬¥ ª®®à¤¨­ â (R, θ, ϕ), ­¥
§ ¢¨á¨â ®â §¨¬ãâ «ì­®© 㣫®¢®© ª®®à¤¨­ âë ϕ ¨, ªà®¬¥ ⮣®, ¤®«­®
¢ë¯®«­ïâìáï ãá«®¢¨¥ Vϕ = 0.
‘®®â¢¥âáâ¢ãîé ï £¨¤à®¤¨­ ¬¨ç¥áª ï § ¤ ç ®¯¨áë¢ ¥âáï ãà ¢­¥­¨ï¬¨ ¤¢¨¥­¨ï
V2
Vθ ∂VR
1 ∂P
− θ =−
+
R ∂θ
R
ρ ∂R


2VR
2 ∂Vθ 2Vθ tg θ
−
,
+ ν
VR − 2 − 2
R
R ∂θ
R2
∂Vθ
V ∂V
V V
1 ∂P
+ θ θ + R θ =−
+
VR
∂R
R ∂θ
R
ρR ∂θ


2 ∂V
V
+ ν
Vθ + 2 R − 2 θ 2
,
R ∂θ
R sin θ

VR

£¤¥

∂VR
∂R


≡

+

1

∂
R2 ∂R





∂
∂
1
∂
R2
,
+ 2
sin θ
∂R
R sin θ ∂θ
∂θ

(1.4.1)

26

’¥ç¥­¨ï ¨¤ª®á⨠¢ ¯«¥­ª å, âàã¡ å ¨ áâàãïå

¨ ãà ¢­¥­¨¥¬ ­¥à §à뢭®áâ¨, ª®â®à®¥ ¯®á«¥ ¢¢¥¤¥­¨ï ä㭪樨 ⮪
¯® ä®à¬ã« ¬ (1.1.14) ¡ã¤¥â 㤮¢«¥â¢®àïâìáï ⮤¥á⢥­­®.
ã¤¥¬ ¨áª âì äã­ªæ¨î ⮪ ¨ ¤ ¢«¥­¨¥ ¢ ¢¨¤¥
(R, θ) = νRf (ξ ),

P

ρν 2
g (ξ ),
R2

= Pi +

ξ

= os θ.

(1.4.2)

‡ ¬¥­¨¬ á­ ç « ¢ ãà ¢­¥­¨ïå (1.4.1) ª®¬¯®­¥­âë ᪮à®á⨠¨¤ª®á⨠ç¥à¥§ äã­ªæ¨î ⮪ (1.1.14), § ⥬ ¯®¤áâ ¢¨¬ ¢ëà ¥­¨ï
(1.4.2). ‚ १ã«ìâ ⥠¯à¨å®¤¨¬ ª á¨á⥬¥ ®¡ëª­®¢¥­­ëå ¤¨ää¥à¥­æ¨ «ì­ëå ãà ¢­¥­¨© ¤«ï ®¯à¥¤¥«¥­¨ï ­¥¨§¢¥áâ­ëå ä㭪権 f ¨ g :

1 d  ′
f2
−
f f − (1 − ξ 2 )f ′′ ,
2
2(1 − ξ ) 2 dξ
1 d f2
g ′ = −f ′′ −
.
2 dξ 1 − ξ 2
g

=−

(1.4.3)

ˆ§ á¨á⥬ë (1.4.3) ¬®­® ¨áª«îç¨âì äã­ªæ¨î g ¨ ¯®á«¥ âà¥åªà â­®£® ¨­â¥£à¨à®¢ ­¨ï ¯®«ãç¨âì ¤«ï f ãà ¢­¥­¨¥
f 2 − 2(1 − ξ 2 )f ′ − 4ξf

= C1 ξ 2 + C2 ξ + C3 ,

(1.4.4)

£¤¥ C1 , C2 , C3 | ¯à®¨§¢®«ì­ë¥ ¯®áâ®ï­­ë¥ ¨­â¥£à¨à®¢ ­¨ï.
â¨ ¯®áâ®ï­­ë¥ ¤®«­ë ®¯à¥¤¥«ïâìáï á ãç¥â®¬ ®á®¡¥­­®á⥩
â¥ç¥­¨ï ­ ®á¨ ᨬ¬¥âਨ [36℄. ‘ ¬®¥ ¯à®á⮥ â¥ç¥­¨¥ á ¬¨­¨¬ «ì­ë¬
ç¨á«®¬ ®á®¡¥­­®á⥩ ®¯¨áë¢ ¥âáï ç áâ­ë¬ à¥è¥­¨¥¬ ¯à¨ C1 = C2 =
= C3 = 0. “à ¢­¥­¨¥ ¤«ï f ¢ í⮬ á«ãç ¥ ¯à¥¤¥«ì­® ã¯à®é ¥âáï, ¨
¯à¥®¡à §®¢ ­¨¥
f (ξ ) = (1 − ξ 2 )h(ξ )
¯®§¢®«ï¥â ¯¥à¥©â¨ ª ãà ¢­¥­¨î á à §¤¥«ïî騬¨áï ¯¥à¥¬¥­­ë¬¨:
2h′ − h2 = 0. £® à¥è¥­¨¥ ¤ ¥âáï ä®à¬ã«®© h(ξ ) = 2(A − ξ )−1 , £¤¥
A | ¥é¥ ®¤­ ¯®áâ®ï­­ ï ¨­â¥£à¨à®¢ ­¨ï.
‚ १ã«ìâ ⥠¤«ï ä㭪権 f ¨ g ¯®«ãç îâáï á«¥¤ãî騥 ®ª®­ç ⥫ì­ë¥ ¢ëà ¥­¨ï:
f (ξ ) =

2(1 − ξ 2 )
A−ξ

,

g (ξ ) = −

4(Aξ − 1)
A−ξ

.

(1.4.5)

‡­ 祭¨¥ ¯®áâ®ï­­®© A ¬®­® ­ ©â¨, §­ ï ¥¤¨­á⢥­­ãî ª®«¨ç¥á⢥­­ãî å à ªâ¥à¨á⨪ã áâàã¨-¨áâ®ç­¨ª | ¥¥ ¨¬¯ã«ìá J0 , ®¯à¥¤¥«ï¥¬ë© ª ª
Z
J0 = ρV 2 dS,
(1.4.6)
S

27

1.4. ‘âàã©­ë¥ â¥ç¥­¨ï

£¤¥ ¨­â¥£à¨à®¢ ­¨¥ ¢¥¤¥âáï ¯® ¯«®é ¤¨ á¥ç¥­¨ï S á१ ­ á ¤ª , ¨§
ª®â®à®£® ¯à®¨á室¨â ¨áâ¥ç¥­¨¥; V | «®ª «ì­ ï ᪮à®áâì ¢ ¯à®¨§¢®«ì­®© â®çª¥ í⮣® á¥ç¥­¨ï.
Œ®¥â ¯®ª § âìáï, çâ® ­¥ ¬¥­¥¥ áãé¥á⢥­­®© ª®«¨ç¥á⢥­­®©
å à ªâ¥à¨á⨪®© áâàã¨,
R ¢«¨ïî饩 ­ ª à⨭ã â¥ç¥­¨ï, ï¥âáï
¬ áá®¢ë© à á室 G0 = ρV dS , ®¤­ ª® íâ® ­¥ â ª. ‚ ¤¥©á⢨⥫쭮áâ¨
S
§­ 祭¨¥ ä㭪樨 ⮪ ­ ®á¨ â¥ç¥­¨ï ­¥ ¨¬¥¥â ®á®¡¥­­®á⥩. Ž­®
­¥ ¨á¯ëâë¢ ¥â áª çª ¯à¨ ¯¥à¥å®¤¥ ç¥à¥§ ­ ç «® ª®®à¤¨­ â ¨ à ¢­®
­ã«î ª ª ­ «ãç¥ θ = 0 (â.¥. ¯à¨ ξ = 1), â ª ¨ ­ «ãç¥ θ = π
(â.¥. ¯à¨ ξ = −1). â® ®§­ ç ¥â, çâ® áâàãï-¨áâ®ç­¨ª, ᮧ¤ îé ï
à áᬠâਢ ¥¬®¥ â¥ç¥­¨¥, ï¥âáï ⮫쪮 ¨áâ®ç­¨ª®¬ ¨¬¯ã«ìá , ­®
­¥ ¨áâ®ç­¨ª®¬ ¬ ááë [36℄, ¯®í⮬㠧­ 祭¨¥ G0 ­¥áãé¥á⢥­­® ¤«ï
à áᬠâਢ ¥¬®£® ¯®«ï â¥ç¥­¨ï.
„«ï ⮣® çâ®¡ë ­ ©â¨ á¢ï§ì ¯®áâ®ï­­®© A á ¨¬¯ã«ìᮬ áâà㨠J0 ,
­¥®¡å®¤¨¬® ¯à¨à ¢­ïâì ¨¬¯ã«ìáã áâà㨠®á¥¢ãî ¯à®¥ªæ¨î ¯®«­®£® ¯®â®ª ¨¬¯ã«ìá ç¥à¥§ ¯à®¨§¢®«ì­ãî áä¥àã á 業â஬ ¢ ­ ç «¥ ª®®à¤¨­ â. ‚ í⮬ á«ãç ¥ ­ ©¤¥­­®¥ à¥è¥­¨¥ (1.4.5) ¯®§¢®«ï¥â ãáâ ­®¢¨âì
®ª®­ç ⥫ì­ãî § ¢¨á¨¬®áâì [98℄
J0



= 16πν 2 ρA 1 +

4

3(A2 − 1)

−

A

2

ln


A+1
,
A−1

(1.4.7)

£à 䨪 ª®â®à®© ¯à¥¤áâ ¢«¥­ ¢ à ¡®â¥ [46℄.
Ǒਠ¨§¬¥­¥­¨¨ ¨¬¯ã«ìá áâà㨠J0 ®â 0 ¤® ∞ §­ 祭¨ï A ¨§¬¥­ïîâáï ®â ∞ ¤® 1. Ǒ®áª®«ìªã à¥è¥­¨¥ á¯à ¢¥¤«¨¢® «¨èì ¤«ï « ¬¨­ à­ëå â¥ç¥­¨©, ¯à ªâ¨ç¥áª®¥ ¯à¨¬¥­¥­¨¥ ¬®¥â ¨¬¥âì «¨èì á«ãç ©
¬ «ëå J0 (á« ¡ë¥ áâàã¨). ‚ í⮬ á«ãç ¥ ¤«ï ®¯à¥¤¥«¥­¨ï A ¯à¨£®¤­
§ ¢¨á¨¬®áâì
16πρν 2
A=
.
(1.4.8)
J0

ˆ­®£¤ 㤮¡­® ¢ëà §¨âì ¯®áâ®ï­­ãî A ç¥à¥§ ç¨á«® ¥©­®«ì¤á
Re = U d/ν , £¤¥ d | ¤¨ ¬¥âà ­ á ¤ª , U | å à ªâ¥à­ ï ᪮à®áâì.
Ǒ®« £ ï J0 = 41 πd2 ρU 2 , ¬®­® ¯®«ãç¨âì
64
.
(1.4.9)
Re2
Ǒ®áª®«ìªã ᮣ« á­® [3℄ « ¬¨­ à­ ï áâàãï â¥àï¥â ãá⮩稢®áâì ¯à¨
Re > 5, ¬¨­¨¬ «ì­®¥ §­ 祭¨¥ A, ¯à¨ ª®â®à®¬ ¥é¥ ¬®­® ¨á¯®«ì§®¢ âì 㪠§ ­­ë¥ ¢ëè¥ á®®â­®è¥­¨ï, ¯à¨£®¤­ë¥ ¤«ï « ¬¨­ à­®£® ¨áâ¥ç¥­¨ï, á®áâ ¢«ï¥â ¯à¨¬¥à­® 2,5.
¥á¬®âàï ­ â®, çâ® áâàãï-¨áâ®ç­¨ª ¢®¢«¥ª ¥â ¢ ¤¢¨¥­¨¥ ¨¤ª®áâì ¢® ¢á¥¬ ¯à®áâà ­á⢥, ª à⨭ «¨­¨© ⮪ , ®¯¨á ­­ ï, ­ ¯à¨¬¥à, ¢ ¬®­®£à ä¨ïå [36, 46, 98℄, ¯®§¢®«ï¥â áâ ¢¨âì ¢®¯à®á ® £à ­¨æ å
A=

28

’¥ç¥­¨ï ¨¤ª®á⨠¢ ¯«¥­ª å, âàã¡ å ¨ áâàãïå

áâà㨠¨ § ª®­¥ ¥¥ à áè¨à¥­¨ï. „¥«® ¢ ⮬, çâ® ­ ª ¤®© «¨­¨¨ ⮪
¨¬¥¥âáï å à ªâ¥à­ ï â®çª ¯®¢®à®â , ­ 室ïé ïáï ­ ¬¨­¨¬ «ì­®¬
à ááâ®ï­¨¨ ®â ®á¨ áâàã¨. Œ­®¥á⢮ â ª¨å â®ç¥ª 㬥áâ­® ­ §¢ âì
£à ­¨æ¥© áâàã¨. Ž­ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ª ª ãá«®¢­ë© ¬¨­¨¬ã¬ ä㭪樨
R sin2 θ
R sin θ ¯à¨
= onst ¨ ï¥âáï ª®­¨ç¥áª®© ¯®¢¥àå­®áâìî á
A − os θ
¢¥à設®© ¢ ­ ç «¥ ª®®à¤¨­ â (à¨á. 1.5) ¨ 㣫®¬ ¯®«ãà á⢮à
θ0

= ar os

1
A

(1.4.10)

.

ˆ§ ®æ¥­®ª (1.4.8), (1.4.9) ¢¨¤­®, ç⮠祬 ᨫ쭥¥ áâàãï, ⥬ ¡®«¥¥
㧪®© ®­ ï¥âáï. Ǒਠí⮬ á ¬®© 㧪®© « ¬¨­ à­®© áâà㥠ᮮ⢥âáâ¢ãîâ §­ 祭¨ï A ≈ 2,5 ¨ θ0 ≈ 65◦ .
Ǒà ªâ¨ç¥áª¨ ¨­â¥à¥á¥­ â ª¥ ¢®¯à®á ® ý¤ «ì­®¡®©­®áâ¨þ áâàã¨. Œ ªá¨¬ «ì­ ï ᪮à®áâì, ¤®á⨣ ¥¬ ï ­
®á¨ áâà㨠(θ = 0) ¨ ¢ëç¨á«ï¥¬ ï á
¯®¬®éìî ¯®«ã祭­ëå ¢ëè¥ á®®â­®è¥­¨©, á®áâ ¢«ï¥â
‹¨­¨¨ ⮪ ¢¡«¨§¨ « ¬¨­ à­®© áâàã¨-¨áâ®ç­¨ª ¨ ãá«®¢­ ï
è¨à¨­ áâàã¨

¨á. 1.5.

Vmax

=

ν
2
.
R A−1

(1.4.11)

’ ª¨¬ ®¡à §®¬, íâ ᪮à®áâì ¡®«ìè¥
¤«ï ᨫì­ëå áâàã© (¡®«¥¥ ­¨§ª¨¥ §­ 祭¨ï A) ¨ ã¡ë¢ ¥â á 㢥«¨ç¥­¨¥¬ à ááâ®ï­¨ï ¢¤®«ì ®á¨ ª ª R−1. Ǒ®¤ç¥àª­¥¬, çâ® ¢á¥ í⨠å à ªâ¥à¨á⨪¨ ­¥ § ¢¨áïâ ®â à á室 ¨¤ª®á⨠¢ áâàã¥, ®¯à¥¤¥«ïîâáï
«¨èì ¥¥ ¨¬¯ã«ìᮬ.
 á¯à¥¤¥«¥­¨¥ ¤ ¢«¥­¨ï ¢ áâà㥠®¯à¥¤¥«ï¥âáï ä®à¬ã« ¬¨ (1.4.2),
(1.4.6). ‚¤®«ì ®á¨ áâà㨠(¯à¨ ξ = 1) ®­® ¨§¬¥­ï¥âáï ª ª
P

= Pi − 4

ρν 2
,
R2

(1.4.12)

¨, á«¥¤®¢ ⥫쭮, 㥠­ ­¥¡®«ìè¨å à ááâ®ï­¨ïå ®â ¨áâ®ç­¨ª ¯à ªâ¨ç¥áª¨ ­¥ ®â«¨ç ¥âáï ®â ¤ ¢«¥­¨ï ¢ ®ªàã î饩 á।¥.
Ǒਡ«¨¥­¨¥ ¯®£à ­¨ç­®£® á«®ï. ˆ§«®¥­­ ï § ¤ ç ‹ ­¤ ã
¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ¯à¨¬¥à â®ç­®£® à¥è¥­¨ï ãà ¢­¥­¨©  ¢ì¥ |
‘⮪á . ˆ­®©, ¯à¨¡«¨¥­­ë© ¯®¤å®¤ ª à¥è¥­¨î § ¤ ç¨ ® áâà㥨áâ®ç­¨ª¥ ¡ë« ¯à¥¤«®¥­ ˜«¨å⨭£®¬ [184℄. â®â ¯®¤å®¤ ®á­®¢ ­ ­
¯à¨¡«¨¥­¨ïå ⥮ਨ ¯®£à ­¨ç­®£® á«®ï (á¬. à §¤. 1.6) ¨ á®á⮨⠢
⮬, çâ® £à ¤¨¥­âë ­®à¬ «ì­ëå ­ ¯à省¨© ¢ ãà ¢­¥­¨ïå ¤¢¨¥­¨ï
­¥ ãç¨âë¢ îâáï. ‚ 樫¨­¤à¨ç¥áª®© á¨á⥬¥ ª®®à¤¨­ â (R, ϕ, Z ) á

29

1.4. ‘âàã©­ë¥ â¥ç¥­¨ï

ãç¥â®¬ ®á¥¢®© ᨬ¬¥âਨ (Vϕ = 0) ¯à¨ ®âáãâá⢨¨ ý§ ªàã⪨þ ¯®â®ª
(∂/∂ϕ = 0) á¨á⥬ ãà ¢­¥­¨© ¯®£à ­¨ç­®£® á«®ï ¨¬¥¥â ¢¨¤
VZ

∂VZ
∂Z

∂VZ
∂Z

+

ν ∂
∂VZ
=
∂R
R ∂R
∂VR
V
+ R =0
∂R
R

+ VR



∂V
R Z ,
∂R

(1.4.13)

á® á«¥¤ãî騬¨ £à ­¨ç­ë¬¨ ãá«®¢¨ï¬¨:
VR

= 0,

VZ → 0

”ã­ªæ¨î ⮪

=0

¯à¨
¯à¨

R = 0,

(1.4.14)

R → ∞.

, ¢¢®¤¨¬ãî á ¯®¬®éìî ᮮ⭮襭¨©
VZ

¨é¥¬ ¢ ¢¨¤¥

∂VZ
∂R

1 ∂
,
R ∂R

VR

= νZF (η),

η

=

=−
=

1 ∂
,
R ∂Z

R
√
,
KZ

(1.4.15)
(1.4.16)

£¤¥ η | ¢â®¬®¤¥«ì­ ï ¯¥à¥¬¥­­ ï.
‚ १ã«ìâ ⥠¤«ï ®¯à¥¤¥«¥­¨ï F ¬®­® ¯®«ãç¨âì á«¥¤ãîéãî
ªà ¥¢ãî § ¤ çã:

′ 
′
F′
FF′
F ′′ −
+
= 0,
η
η
F
F′
= 1,
=0
¯à¨ η = 0,
η
η
F′ → 0
¯à¨ η → ∞.

(1.4.17)

Ǒ®áâ®ï­­ ï K ¢ ¢â®¬®¤¥«ì­®© ¯¥à¥¬¥­­®© ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¨¬¯ã«ìᮬ
áâà㨠J0
16π ρν 2
K=
.
(1.4.18)
3 J0
‡ ¤ ç (1.4.17) ¤®¯ã᪠¥â â®ç­®¥ à¥è¥­¨¥ ¢ § ¬ª­ã⮩ ä®à¬¥.
Žª®­ç ⥫쭮¥ ¢ëà ¥­¨¥ ¤«ï ¯®«ï ᪮à®á⨠¨¬¥¥â ¢¨¤ [184℄
−2
η2
3 J0 1
VZ =
1+
,
8π ρν Z
4
s


−2
1 3 J0 1
η3
η2
1+
.
η−
VR =
4 π ρ Z
4
4





(1.4.19)

30

’¥ç¥­¨ï ¨¤ª®á⨠¢ ¯«¥­ª å, âàã¡ å ¨ áâàãïå

¥è¥­¨¥ (1.4.19), ¥áâ¥á⢥­­®, ®â«¨ç ¥âáï ®â à¥è¥­¨ï ‹ ­¤ ã, ­®
¬­®£¨¥ ª ç¥á⢥­­ë¥ ®á®¡¥­­®á⨠â¥ç¥­¨ï ®áâ îâáï ¯à¥­¨¬¨.  ¯à¨¬¥à, § ¢¨á¨¬®áâì ¯®«ï ᪮à®á⨠«¨èì ®â ¨¬¯ã«ìá áâà㨠¨«¨ ã¡ë¢ ­¨¥ ᪮à®á⨠­ ®á¨ áâà㨠®¡à â­® ¯à®¯®à樮­ «ì­® à ááâ®ï­¨î ®â
¨áâ®ç­¨ª .
Š ª 㥠®â¬¥ç «®áì à ­¥¥, à¥è¥­¨¥ ¤«ï « ¬¨­ à­®© áâà㨠¨¬¥¥â
®£à ­¨ç¥­­®¥ ¯à ªâ¨ç¥áª®¥ ¯à¨¬¥­¥­¨¥ («¨èì ¤«ï Re < 5). Ž¤­ ª®,
ª ª ¯®ª § ­® ¢ à ¡®â¥ [184℄, ­ «®£¨ç­ë© ¯®¤å®¤ ¬®¥â ¡ëâì à á¯à®áâà ­¥­ ¨ ­ á«ãç © âãà¡ã«¥­â­ëå áâàã©. Žª §ë¢ ¥âáï, ¤«ï âãà¡ã«¥­â­ëå áâàã©­ëå â¥ç¥­¨© ª ãé ïáï ª¨­¥¬ â¨ç¥áª ï âãà¡ã«¥­â­ ï
¢ï§ª®áâì νt ï¥âáï ¯®áâ®ï­­®©. Ž¤­ ª® íâ ª®­áâ ­â ¬®¥â ¡ëâì
®¯à¥¤¥«¥­ «¨èì í¬¯¨à¨ç¥áª¨, ¯®áª®«ìªã § ¢¨á¨â ®â £¥®¬¥âà¨ç¥áª¨å
®á®¡¥­­®á⥩ ­ á ¤ª , ¨§ ª®â®à®£® ¯à®¨á室¨â ¨áâ¥ç¥­¨¥ áâàã¨. ’¥¬
­¥ ¬¥­¥¥, à á¯à¥¤¥«¥­¨¥ ᪮à®á⥩ ¢ áâà㥠¯®-¯à¥­¥¬ã ®¯à¥¤¥«ï¥âáï
ä®à¬ã« ¬¨ (1.4.19) á ⮩ ⮫쪮 à §­¨æ¥©, ç⮠䨧¨ç¥áªãî ¯®áâ®ï­­ãî á।ë ν á«¥¤ã¥â § ¬¥­¨âì í¬¯¨à¨ç¥áª®© ª®­á⠭⮩ νt . ªá¯¥à¨¬¥­â «ì­®¥ ®¯à¥¤¥«¥­¨¥ í⮩ ¢¥«¨ç¨­ë á®áâ ¢«ï¥â ®â¤¥«ì­ãî ¯à®¡«¥¬ã. ‡ ¬¥â¨¬ ⮫쪮, çâ® ¤«ï ®æ¥­®ç­ëå à áç¥â®¢ ¬®­® ¢®á¯®«ì§®¢ âìáï ᮮ⭮襭¨¥¬ ¤«ï ¯®áâ®ï­­®© K , ¯à¨¢¥¤¥­­ë¬ ¢ à ¡®â¥ [3℄:
K

=

16π
3

ρνt2
J0

(K ≈ 0,002 ÷ 0,005).

‘âàãªâãà á«¥¤ § ¤¢¨ã騬¨áï ⥫ ¬¨. ’¥ç¥­¨¥ ¢ á«¥¤¥
§ ⥫ ¬¨, ¤¢¨ã騬¨áï ¢ ¡¥§£à ­¨ç­®© ­¥¯®¤¢¨­®© ¨¤ª®áâ¨, ®¡« ¤ ¥â ¢á¥¬¨ âਡãâ ¬¨ ᢮¡®¤­ëå áâàã©­ëå â¥ç¥­¨© ¨ ¬®¥â ¡ëâì
à ááç¨â ­® ¬¥â®¤ ¬¨ ⥮ਨ ¯®£à ­¨ç­®£® á«®ï [184℄. ‡ ¬¥â¨¬, çâ®
á¯ãâ­ë¥ â¥ç¥­¨ï ¯®§ ¤¨ ¤¢¨ã饣®áï ⥫ ¯®ç⨠¢á¥£¤ ïîâáï
âãà¡ã«¥­â­ë¬¨, ¤ ¥ ¥á«¨ ¯®£à ­¨ç­ë© á«®© ­ ⥫¥ ®áâ ¥âáï « ¬¨­ à­ë¬. â® ï¥âáï á«¥¤á⢨¥¬ ­ «¨ç¨ï â®ç¥ª ¯¥à¥£¨¡ ­ ¢á¥å ¡¥§
¨áª«î祭¨ï ¯à®ä¨«ïå ᪮à®á⨠á¯ãâ­®£® ¯®â®ª . Š ª ¨§¢¥áâ­® [184℄,
â ª¨¥ à á¯à¥¤¥«¥­¨ï ᪮à®á⨠ïîâáï ®á®¡¥­­® ­¥ãá⮩稢묨.
„«ï ¯à ªâ¨ç¥áª¨å ®æ¥­®ª ¯à¨¢¥¤¥¬ à á¯à¥¤¥«¥­¨¥ ®á¥¢®© á®áâ ¢«ïî饩 ᪮à®á⨠¢ ­ ¯à ¢«¥­¨¨, ᮢ¯ ¤ î饬 á ­ ¯à ¢«¥­¨¥¬ ¤¢¨¥­¨ï ¯«®áª®£® ⥫ [184℄:
VX
Ui

=1−



cf d
βX

1/2

.

(1.4.20)

‡¤¥áì cf | ª®íää¨æ¨¥­â «®¡®¢®£® ᮯà®â¨¢«¥­¨ï ⥫ , β | í¬¯¨à¨ç¥áª ï ª®­áâ ­â . Š®®à¤¨­ â X ®âáç¨âë¢ ¥âáï ®â ª®à¬®¢®© â®çª¨
⥫ . ”®à¬ã« á¯à ¢¥¤«¨¢ ¯à¨ X ≫ d, â.¥. ®¯¨áë¢ ¥â «¨èì â ª ­ §ë¢ ¥¬ë© ý¤ «ì­¨©þ á«¥¤.

1.5. ‹ ¬¨­ à­®¥ â¥ç¥­¨¥ ¢ âàã¡ å à §«¨ç­®© ä®à¬ë

31

‡ ¢¨á¨¬®áâì ᪮à®á⨠á¯ãâ­®£® â¥ç¥­¨ï
®â ¯®¯¥à¥ç­®© ª®®à¤¨­ 
Ui Y 2
âë Y å à ªâ¥à¨§ã¥âáï ¬­®¨â¥«¥¬ exp
. Ǒ®í⮬㠫®ª «ì­ ï
νt X
¯®«ãè¨à¨­ á¯ãâ­®£® á«¥¤ b(X ) ï¥âáï ¢¥«¨ç¨­®© ãá«®¢­®©. ᫨
¯à¨­ïâì § ¢¥«¨ç¨­ã b §­ 祭¨¥ ª®®à¤¨­ âë Y , ¯à¨ ª®â®à®© «®ª «ì­ ï ᪮à®áâì á¯ãâ­®£® ¯®â®ª á®áâ ¢«ï¥â ¯®«®¢¨­ã ®á¥¢®©, â®
b(X ) = (βcf Xd)1/2 .

(1.4.21)

€­ «®£¨ç­ë¥ ᮮ⭮襭¨ï ¤«ï á¯ãâ­®£® â¥ç¥­¨ï § ⥫®¬ ¢à 饭¨ï ¨¬¥îâ ¢¨¤ [184℄
VX
Ui

=1−



cf F
β2X 2

1/3

b(X ) = (βcf F X )1/3 .

,

(1.4.22)

‡¤¥áì F | ¯«®é ¤ì ¬¨¤¥«¥¢ á¥ç¥­¨ï ¤¢¨ã饣®áï ⥫ . ‚ ä®à¬ã« å
(1.4.20) | (1.4.22) β ¥áâì í¬¯¨à¨ç¥áª ï ª®­áâ ­â , §­ 祭¨¥ ª®â®à®©
§ ¢¨á¨â ®â £¥®¬¥âਨ ⥫ ¨ २¬®¢ â¥ç¥­¨ï. ‘®£« á­® ¨§¬¥à¥­¨ï¬
˜«¨å⨭£ [184℄ ¯® ®¡â¥ª ­¨î 樫¨­¤à®¢ β ≈ 0,18.
1.5. ‹ ¬¨­ à­®¥ â¥ç¥­¨¥ ¢ âàã¡ å
à §«¨ç­®© ä®à¬ë

‹ ¬¨­ à­®¥ ãáâ ­®¢¨¢è¥¥áï â¥ç¥­¨¥ ¨¤ª®á⨠¢ âàã¡ å à §«¨ç­®© ä®à¬ë ¨§ãç «®áì ¬­®£¨¬¨ ¢â®à ¬¨ (á¬., ­ ¯à¨¬¥à, [103, 178,
184℄). ’ ª¨¥ â¥ç¥­¨ï ç áâ® ¢áâà¥ç îâáï ­ ¯à ªâ¨ª¥ (¢®¤®-, £ §®- ¨
­¥ä⥯஢®¤ë, ⥯«®®¡¬¥­­¨ª¨ ¨ ¤à.). ‚ ­® ®â¬¥â¨âì, ç⮠ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 ãà ¢­¥­¨ï £¨¤à®¤¨­ ¬¨ª¨ ¢ íâ¨å á«ãç ïå ¤®¯ã᪠îâ â®ç­®¥ ­ «¨â¨ç¥áª®¥ à¥è¥­¨¥. ¨¥ ¡ã¤ãâ ®¯¨á ­ë ­ ¨¡®«¥¥ ¢ ­ë¥
१ã«ìâ âë ¢ í⮩ ®¡« áâ¨.
Ǒ®áâ ­®¢ª § ¤ ç¨.  áᬮâਬ « ¬¨­ à­®¥ áâ ¡¨«¨§¨à®¢ ­­®¥ â¥ç¥­¨¥ ¨¤ª®á⨠¢ ¯àאַ«¨­¥©­®© âàã¡¥ ¯®áâ®ï­­®£® ¯®¯¥à¥ç­®£® á¥ç¥­¨ï. ‹¨­¨¨ ⮪ ¨¤ª®á⨠¢ â ª¨å á¨á⥬ å áâண® ¯ à ««¥«ì­ë (¢«¨ï­¨¥¬ ª®­æ¥¢ëå ãç á⪮¢ âàã¡ë ­ â¥ç¥­¨¥ ¯à¥­¥¡à¥£ ¥¬). ã¤¥¬ ¨á¯®«ì§®¢ âì ¤¥ª à⮢ã á¨á⥬㠪®®à¤¨­ â X , Y , Z , £¤¥
®áì Z ­ ¯à ¢«¥­ ¢¤®«ì ¯® ¯®â®ªã. “ç⥬, çâ® ¯®¯¥à¥ç­ë¥ á®áâ ¢«ïî騥 ᪮à®á⨠¨¤ª®áâ¨ à ¢­ë ­ã«î, ¯à®¤®«ì­ ï á®áâ ¢«ïîé ï
§ ¢¨á¨â ⮫쪮 ®â ¯®¯¥à¥ç­ëå ª®®à¤¨­ â. “à ¢­¥­¨¥ ­¥à §à뢭®áâ¨
(1.1.1) ¨ ¯¥à¢ë¥ ¤¢ ãà ¢­¥­¨ï  ¢ì¥ | ‘⮪á (1.1.2) ¢ í⮬ á«ãç ¥ 㤮¢«¥â¢®àïîâáï ¢â®¬ â¨ç¥áª¨, ¨§ âà¥â쥣® ãà ¢­¥­¨ï (1.1.2)
¯®«ã稬
1 dP
∂2V
∂2V
,
(1.5.1)
2 +
2 =
∂X

∂Y

µ dZ

32

’¥ç¥­¨ï ¨¤ª®á⨠¢ ¯«¥­ª å, âàã¡ å ¨ áâàãïå

£¤¥ ¤«ï ¯à®¤®«ì­®© ª®¬¯®­¥­âë ᪮à®á⨠¨á¯®«ì§®¢ ­® ªà ⪮¥ ®¡®§­ 祭¨¥ V ≡ VZ .
“à ¢­¥­¨¥ (1.5.1) á«¥¤ã¥â ¤®¯®«­¨âì ãá«®¢¨¥¬ ¯à¨«¨¯ ­¨ï
V

=0

(­ ¯®¢¥àå­®á⨠âàã¡ë).

(1.5.2)

ƒà ¤¨¥­â ¤ ¢«¥­¨ï dP/dZ ¢ áâ 樮­ à­ëå ãá«®¢¨ïå ï¥âáï
¯®áâ®ï­­ë¬ ¢¤®«ì ®¡à §ãî饩 âàã¡ë ¨ ¬®¥â ¡ëâì § ¯¨á ­ ¢ ¢¨¤¥
dP
dZ


P

=−

L

,

(1.5.3)

£¤¥
P > 0 | ¯®«­ë© ¯¥à¥¯ ¤ ¤ ¢«¥­¨ï ­ ãç á⪥ âàã¡ë ¤«¨­®© L.
Žá­®¢­ë¬¨ å à ªâ¥à¨á⨪ ¬¨ â¥ç¥­¨ï ¢ âàã¡¥ ïîâáï ®¡ê¥¬­ë© à á室 ¨¤ª®áâ¨
Z
Q = V dS
(1.5.4)
S

¨ á।­ïï ᪮à®áâì ¯®â®ª

hV i =

Q
,
S

(1.5.5)

£¤¥ S | ¯«®é ¤ì ¯®¯¥à¥ç­®£® á¥ç¥­¨ï âàã¡ë.
Ǒ«®áª¨© ª ­ «.  áᬮâਬ á­ ç « â¥ç¥­¨¥ ¬¥¤ã ¤¢ã¬ï
¡¥áª®­¥ç­ë¬¨ ¯ à ««¥«ì­ë¬¨ ¯«®áª®áâﬨ, ­ 室ï騬¨áï ¤à㣠®â
¤à㣠­ à ááâ®ï­¨¨ h. Š®®à¤¨­ âã X ¡ã¤¥¬ ®âáç¨âë¢ âì ®â ®¤­®© ¨§
¯«®áª®á⥩ ¯¥à¯¥­¤¨ªã«ïà­® ¥¥ ¯®¢¥àå­®áâ¨. “ç¨âë¢ ï, ç⮠᪮à®áâì
¨¤ª®á⨠­¥ § ¢¨á¨â ®â ª®®à¤¨­ âë Y , ¨§ ãà ¢­¥­¨ï (1.5.1) ¯®«ã稬
d2 V
dX 2

=−


P
µL

.

¥è¥­¨¥ í⮣® ãà ¢­¥­¨ï, 㤮¢«¥â¢®àïî饥 £à ­¨ç­ë¬ ãá«®¢¨ï¬
¯à¨«¨¯ ­¨ï ­ ¯®¢¥àå­®áâïå ¯«®áª®á⥩ (V = 0 ¯à¨ X = 0 ¨ X = h),
¨¬¥¥â ¢¨¤

P
X (h − X ).
V =
(1.5.6)
2µL
”®à¬ã« (1.5.6) ®¯¨áë¢ ¥â ¯ à ¡®«¨ç¥áª®¥ à á¯à¥¤¥«¥­¨¥ ᪮à®á⥩
¨¤ª®á⨠¢ ¯«®áª®¬ â¥ç¥­¨¨ Ǒã §¥©«ï, ª®â®à®¥ ᨬ¬¥âà¨ç­® ®â­®á¨â¥«ì­® á¥à¥¤¨­ë ª ­ « X = 12 h.
Ž¡ê¥¬­ë© à á室 ­ ¥¤¨­¨æã è¨à¨­ë ª ­ « ­ 室¨âáï ¨­â¥£à¨à®¢ ­¨¥¬ (1.5.6) ¯® á¥ç¥­¨î:
Q=

h3
P
.
12µL

(1.5.7)

33

1.5. ‹ ¬¨­ à­®¥ â¥ç¥­¨¥ ¢ âàã¡ å à §«¨ç­®© ä®à¬ë

‘।­ïï ᪮à®áâì ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¢ëà ¥­¨¥¬
hV i =

h2
P
.
12µL

(1.5.8)

Œ ªá¨¬ «ì­ ï ᪮à®áâì ¨¤ª®á⨠¤®á⨣ ¥âáï ¢ á¥à¥¤¨­¥ ª ­ « :
Umax

=

h2
P
8µL

¯à¨

X

=

1 h
.
2

Šà㣫 ï âàã¡ . ‚ á«ãç ¥ ªà㣫®© âàã¡ë ãà ¢­¥­¨¥ (1.5.1) á
ãç¥â®¬ (1.5.3) ¯à¨­¨¬ ¥â ¢¨¤
1

∂  ∂V 

P
,
R
=−
R ∂R
∂R
µL

R=

√
X 2 + Y 2.

(1.5.9)

¥è¥­¨¥ í⮣® ãà ¢­¥­¨ï, 㤮¢«¥â¢®àïî饥 ãá«®¢¨î ¯à¨«¨¯ ­¨ï ­
¯®¢¥àå­®á⨠âàã¡ë à ¤¨ãá a (V = 0 ¯à¨ R = a), ®¯¨áë¢ ¥â ®á¥á¨¬¬¥âà¨ç­®¥ â¥ç¥­¨¥ Ǒã §¥©«ï á ¯ à ¡®«¨ç¥áª¨¬ ¯à®ä¨«¥¬ ᪮à®áâ¨
¨¤ª®áâ¨:



P 2
V =
(1.5.10)
a − R2 .
4µL
Ž¡ê¥¬­ë© à á室 ¯®«ãç ¥âáï ¨­â¥£à¨à®¢ ­¨¥¬ ¯® ¯«®é ¤¨ ¯®¯¥à¥ç­®£® á¥ç¥­¨ï:
Z a
πa4
P
Q = 2π
RV dR =
(1.5.11)
.
8µL
0
ˆá¯®«ì§ãï ä®à¬ã«ã (1.5.5), ­ 室¨¬ á।­îî ᪮à®áâì
hV i =

a2
P
.
8µL

(1.5.12)

Œ ªá¨¬ «ì­ ï ᪮à®áâì ¨¤ª®á⨠¤®á⨣ ¥âáï ¢ 業âॠâàã¡ë:
Umax

=

a2
P
4µL

(¯à¨

R = 0).

(1.5.13)

 áᬮâਬ ⥯¥àì â¥ç¥­¨¥ ¢ ª®«ì楢®¬ ª ­ «¥ ¬¥¤ã ¤¢ã¬ï
á®®á­ë¬¨ ªà㣮¢ë¬¨ 樫¨­¤à ¬¨ á à ¤¨ãá ¬¨ a1 ¨ a2 (a1 < a2 ). ‚
í⮬ á«ãç ¥ ®áâ ¥âáï á¯à ¢¥¤«¨¢ë¬ ãà ¢­¥­¨¥ (1.5.9). ¥è¥­¨¥ í⮣®
ãà ¢­¥­¨ï, 㤮¢«¥â¢®àïî饥 ãá«®¢¨ï¬ ¯à¨«¨¯ ­¨ï ­ ¯®¢¥àå­®áâïå
樫¨­¤à®¢
V

= 0 ¯à¨

R = a1 ,

V

= 0 ¯à¨

R = a2 ,

34

’¥ç¥­¨ï ¨¤ª®á⨠¢ ¯«¥­ª å, âàã¡ å ¨ áâàãïå

¨¬¥¥â ¢¨¤



a2 − a21
R

P 2
a2 − R2 + 2
ln
4µL
ln(a2 /a1) a2
 á室 á«¥¤ã¥â ¢ëç¨á«ïâì ¯® ä®à¬ã«¥


π
P 4
(a2 − a21 )2
a2 − a41 − 2
.
Q=
8µL
ln(a2 /a1 )
V

=



.

(1.5.14)
(1.5.15)

’àã¡ í««¨¯â¨ç¥áª®£® ¯®¯¥à¥ç­®£® á¥ç¥­¨ï.  áᬮâਬ
⥯¥àì âàã¡ã í««¨¯â¨ç¥áª®£® á¥ç¥­¨ï á ¯®«ã®áﬨ a ¨ b, ¯®¢¥àå­®áâì
ª®â®à®© § ¤ ¥âáï ãà ¢­¥­¨¥¬
 X 2
a

+

 Y 2
b

= 1.

(1.5.16)

¥è¥­¨¥ ãà ¢­¥­¨ï (1.5.1), 㤮¢«¥â¢®àïî饥 ãá«®¢¨î ¯à¨«¨¯ ­¨ï ­
¯®¢¥àå­®áâ¨ í««¨¯á (1.5.16), ¨¬¥¥â ¢¨¤ [178℄


X2
Y2
a2 b2
P
V =
1− 2 − 2 .
(1.5.17)
2µL(a2 + b2 )
a
b
 á室 ¨¤ª®á⨠¤«ï í⮣® â¥ç¥­¨ï à ¢¥­
π
P a3 b3
Q=
.
(1.5.18)
4µL a2 + b2
ˆá¯®«ì§ãï ä®à¬ã«ã (1.5.5), ­ 室¨¬ á।­îî ᪮à®áâì

P a2 b2
hV i =
.
(1.5.19)
4µL a2 + b2
Œ ªá¨¬ «ì­ ï ᪮à®áâì ¤®á⨣ ¥âáï ­ ®á¨ âàã¡ë:
a2 b2
P
Umax =
(1.5.20)
(¯à¨ X = Y = 0).
2µL(a2 + b2 )
‚ ç áâ­®¬ á«ãç ¥ a = b ä®à¬ã«ë (1.5.17) | (1.5.20) ¯¥à¥å®¤ïâ ¢
ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 ä®à¬ã«ë ¤«ï ªà㣫®© âàã¡ë (1.5.10) | (1.5.13).
’àã¡ ¯àאַ㣮«ì­®£® á¥ç¥­¨ï.  áᬮâਬ ⥯¥àì âàã¡ã
¯àאַ㣮«ì­®£® á¥ç¥­¨ï á® áâ®à®­ ¬¨ a ¨ b. ã¤¥¬ áç¨â âì, çâ®
®¡« áâì â¥ç¥­¨ï ®¯¨áë¢ ¥âáï ­¥à ¢¥­á⢠¬¨ 0 6 X 6 a, 0 6 Y 6 b.
¥è¥­¨¥ ãà ¢­¥­¨ï (1.5.1), 㤮¢«¥â¢®àïî饥 ãá«®¢¨ï¬ ¯à¨«¨¯ ­¨ï
­ ¯®¢¥àå­®á⨠âàã¡ë, ¨¬¥¥â ¢¨¤ [178℄
∞
 πmX 
X

P
πmY
πmY 
Am h
,
X (X − a) +
sin
+ Bm sh
2µL
a
a
a
m=1
a2
P
h(πmk) − 1
b
Am = 3 3
[ os(πm) − 1℄, Bm = −Am
, k= .
π m µL
sh(πmk)
a
(1.5.21)

V

=−

1.5. ‹ ¬¨­ à­®¥ â¥ç¥­¨¥ ¢ âàã¡ å à §«¨ç­®© ä®à¬ë

35

ˆ­â¥£à¨àãï ¢ëà ¥­¨¥ ¤«ï V , ¯®«ã稬 à á室 ¨¤ª®áâ¨

P
ab(a2 + b2 ) −
Q=
24µL
∞
h
 2m − 1 
 2m − 1 i
1
8
P X
.
a4 th πb
+ b4 th πa
− 5
5
π µL m=1 (2m − 1)
2a
2b
(1.5.22)
„«ï âàã¡ë ª¢ ¤à â­®£® á¥ç¥­¨ï á® áâ®à®­®© a íâ ä®à¬ã« ¯à¨­¨¬ ¥â ¢¨¤

∞
 2m − 1 
a4
P
192 X
1
Q=
1− 5
(1.5.23)
,
th
π
12µL
π m=1 (2m − 1)5
2
¨ ¯®á«¥ á㬬¨à®¢ ­¨ï àï¤
a4
P
.
Q = 0,0351
µL

Ǒ®á«¥¤­¥¥ ¢ëà ¥­¨¥ ¯®«¥§­® ¯¥à¥¯¨á âì á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬:
Q
Q0

= 0,883,

Q
Q0

= 0,726.

£¤¥ Q0 | à á室 ¨¤ª®á⨠ç¥à¥§ ªà㣫ãî âàã¡ã á â ª®© ¥ ¯«®é ¤ìî ¯®¯¥à¥ç­®£® á¥ç¥­¨ï, ª ª ¨ ã âàã¡ë á ª¢ ¤à â­ë¬ ¯®¯¥à¥ç­ë¬
á¥ç¥­¨¥¬. “¬¥­ì襭¨¥ à á室 ®¡ãá«®¢«¥­® ­ «¨ç¨¥¬ ã á¥ç¥­¨ï âàã¡ë 㣫®¢ëå â®ç¥ª, ¢ ®ªà¥áâ­®á⨠ª®â®àëå ᪮à®áâì ¢ï§ª®© ¨¤ª®áâ¨
§ ¬¥â­® á­¨ ¥âáï.
’àã¡ âà¥ã£®«ì­®£® á¥ç¥­¨ï. Ǒãáâì á¥ç¥­¨¥¬ âàã¡ë ï¥âáï
à ¢­®áâ®à®­­¨© âà¥ã£®«ì­¨ª á® áâ®à®­®© b.  ç «® ª®®à¤¨­ ⠢롥६ ¢ 業âॠ¯®¯¥à¥ç­®£® á¥ç¥­¨ï, ¯à¨ç¥¬ ª®®à¤¨­ âã X ¡ã¤¥¬ ®âáç¨âë¢ âì ¢¤®«ì ®¤­®© ¨§ áâ®à®­ âà¥ã£®«ì­¨ª . ¥è¥­¨¥ ãà ¢­¥­¨ï
(1.5.1), 㤮¢«¥â¢®àïî饥 £à ­¨ç­®¬ã ãá«®¢¨î (1.5.2), ¢ í⮬ á«ãç ¥
¨¬¥¥â ¢¨¤
√




√
√
3
P
b
b
b
√
√
√
Y + 3X −
Y − 3X −
.
V =
Y −
6µbL
2 3
3
3
Ž¡ê¥¬­ë© à á室 í⮣® â¥ç¥­¨ï ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ä®à¬ã«®©
√
3 b4
P
Q=
.
320 µL
â®â à á室 ¯®«¥§­® áà ¢­¨âì á à á室®¬ ¤«ï ªà㣫®© âàã¡ë á à ¢­®©
¯«®é ¤ìî ¯®¯¥à¥ç­®£® á¥ç¥­¨ï:
ˆ§ í⮣® ¢ëà ¥­¨ï ¢¨¤­®, çâ® à á室 ¨¤ª®á⨠ç¥à¥§ âàã¡ã á
á¥ç¥­¨¥¬ ¢ ¢¨¤¥ à ¢­®áâ®à®­­¥£® âà¥ã£®«ì­¨ª áãé¥á⢥­­® ­¨¥
à á室 ç¥à¥§ ª ­ «ë ª¢ ¤à â­®£® ¨«¨ ªà㣫®£® á¥ç¥­¨ï â ª®© ¥
¯«®é ¤¨.

36

’¥ç¥­¨ï ¨¤ª®á⨠¢ ¯«¥­ª å, âàã¡ å ¨ áâàãïå

1.6. Ǒத®«ì­®¥ ®¡â¥ª ­¨¥ ¯«®áª®©
¯« á⨭ë. Ǒ®£à ­¨ç­ë© á«®©

„«ï ¯à ªâ¨ª¨ ¢¥áì¬ â¨¯¨ç­ë á«ãç ¨ ¢­¥è­¥£® ®¡â¥ª ­¨ï ¯à®â省­ëå ­¥¯®¤¢¨­ëå í«¥¬¥­â®¢ ¯¯ à âãàë | ¯« á⨭, ­ ¯à ¢«ïîé¨å í«¥¬¥­â®¢, âàã¡. Ǒà®ï¢«¥­¨¥ ¢­¥è­¨å ¬ áᮢëå ᨫ ¬®¥â ¡ëâì
¢ í⮬ á«ãç ¥ ­¥áãé¥á⢥­­®, £¨¤à®¤¨­ ¬¨ç¥áª¨¥ § ª®­®¬¥à­®áâ¨
¡ã¤ãâ ®¯à¥¤¥«ïâìáï ᮮ⭮襭¨¥¬ ¤ ¢«¥­¨ï, ¢ï§ª¨å ¨ ¨­¥à樮­­ëå
ᨫ. ‘¨á⥬ ¡¥§à §¬¥à­ëå áâ 樮­ à­ëå ãà ¢­¥­¨© £¨¤à®¤¨­ ¬¨ª¨
¯à¨¬¥â ¢ í⮬ á«ãç ¥ ¢¨¤
∇ · ~v = 0,
(1.6.1)
1
(~v · ∇)~v = −∇p +

~v.
Re
‘¨á⥬ ᮤ¥à¨â ¥¤¨­á⢥­­ë© ¯ à ¬¥âà | ç¨á«® ¥©­®«ì¤á ,
¨ ¢®§¬®­®áâì ã¯à®é¥­¨ï í⮩ ­¥«¨­¥©­®©, á«®­®© ¤«ï à¥è¥­¨ï
á¨á⥬ë á¢ï§ ­ á ¯à¥¤¥«ì­ë¬¨ ¯¥à¥å®¤ ¬¨ ¯® í⮬㠯 à ¬¥âàã ¯à¨
Re → 0 ¨ Re → ∞. ‚ í⮬ à §¤¥«¥ ¨é¥âáï à¥è¥­¨¥ § ¤ ç¨ ® ¯à®¤®«ì­®¬
®¡â¥ª ­¨¨ ¯«®áª®© ¯« áâ¨­ë ¢ á«ãç ¥ Re → ∞, ª®£¤ ¬®¤¥«¨àã¥âáï
ý¨¤ª®áâì á ¨á祧 î饩 ¢ï§ª®áâìîþ. Ǒ®á«¥¤­¨© â¥à¬¨­ ­¥ á«¥¤ã¥â ¯®­¨¬ âì ¡ãª¢ «ì­® | ª ª ®¡®á­®¢ ­¨¥ ¢®§¬®­®á⨠¯à¥­¥¡à¥¥­¨ï ç«¥­®¬ Re−1
~v ¨ ¯¥à¥å®¤ ª á¨á⥬¥ ãà ¢­¥­¨© ¤«ï ¨¤¥ «ì­®©
¨¤ª®áâ¨. Œ ⥬ â¨ç¥áª¨ ¯à®¡«¥¬ ®á«®­ï¥âáï ⥬, çâ® ¬ «ë© ¯ à ¬¥âà Re−1 á⮨⠧¤¥áì ¯¥à¥¤ ç«¥­®¬ á® áâ à訬¨ ¯à®¨§¢®¤­ë¬¨.
Žâ¡à áë¢ ­¨¥ í⮣® ç«¥­ ¬¥­ï¥â ¯®à冷ª ¨ ⨯ ãà ¢­¥­¨ï. Ǒਠí⮬
à¥è¥­¨¥ á¨áâ¥¬ë ¯à¨ Re−1 → 0 ᮢᥬ ­¥ ®¡ï§ ⥫쭮 ¡ã¤¥â áâ६¨âìáï ª à¥è¥­¨î á¨áâ¥¬ë ¯à¨ Re−1 = 0. ‡¤¥áì ¨¬¥¥â ¬¥á⮠ᨭ£ã«ïà­®¥
¢®§¬ã饭¨¥ [38℄. Šà®¬¥ ⮣®, ïá­® ¨§ 䨧¨ç¥áª¨å á®®¡à ¥­¨©, çâ®
¨¤¥ «ì­ ï ¨¤ª®áâì ­¥ ¬®¥â 㤮¢«¥â¢®à¨âì ãá«®¢¨î ¯à¨«¨¯ ­¨ï ­
¯®¢¥àå­®á⨠®¡â¥ª ¥¬®£® ⥫ . ‚ ¤¥©á⢨⥫쭮á⨠⠭£¥­æ¨ «ì­ ï
᪮à®áâì ¬¥­ï¥âáï ®â ­ã«ï ­ £à ­¨æ¥ ⥫ ¤® ᪮à®á⨠­¥¢®§¬ã饭­®£® ¯®â®ª ¯à¨ 㤠«¥­¨¨ ®â ­¥£®.
„«ï ¬ «®¢ï§ª¨å ¨¤ª®á⥩ â ª®¥ ¨§¬¥­¥­¨¥ ᪮à®á⨠¯à®¨á室¨â
­ ¯à®â省¨¨ â®­ª®£®, ¯à¨¬ëª î饣® ª ¯®¢¥àå­®á⨠⥫ á«®ï ¨¤ª®áâ¨. ‹. Ǒà ­¤â«ì ­ §¢ « íâ®â á«®© ¯®£à ­¨ç­ë¬ á«®¥¬. ‚¥«¨ç¨­

~v ¢ í⮬ á«®¥ ï¥âáï ®ç¥­ì §­ ç¨â¥«ì­®©. ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ­¥á¬®âàï ­ ¬ «®áâì ¯ à ¬¥âà Re−1 , ¢¥«¨ç¨­®© Re−1
~v ¢ ¯®£à ­¨ç­®¬
á«®¥ ¯à¥­¥¡à¥£ âì ­¥«ì§ï. ’¥¬ ­¥ ¬¥­¥¥, ­¥à ¢­®¯à ¢­®áâì ¯à®¤®«ì­®© ¨ ¯®¯¥à¥ç­®© ª®®à¤¨­ âë ¢ ¯®£à ­¨ç­®¬ á«®¥ ¯®§¢®«ï¥â ã¯à®áâ¨âì á¨á⥬ã ãà ¢­¥­¨©. ”®à¬ «ì­ ï ®æ¥­ª ç«¥­®¢ ¢® ¢â®à®¬ ãà ¢­¥­¨¨ (1.6.1) ¤«ï í⮩ 楫¨ ®¯¨á ­ ¢ ¬®­®£à ä¨ïå [100, 103, 184℄.
‡ ¯¨è¥¬ ®ª®­ç ⥫ì­ãî á¨á⥬ã ãà ¢­¥­¨© ¯®£à ­¨ç­®£® á«®ï
­¥á¨¬ ¥¬®© ¨¤ª®áâ¨. „«ï ¯à®áâ®âë ¡ã¤¥¬ à áᬠâਢ âì áâ 樮­ à­ãî § ¤ ç㠯த®«ì­®£® ®¡â¥ª ­¨ï ¡¥§£à ¤¨¥­â­ë¬ (∇P ≡ 0)

1.6. Ǒத®«ì­®¥ ®¡â¥ª ­¨¥ ¯«®áª®© ¯« á⨭ë. Ǒ®£à ­¨ç­ë© á«®©

37

¯®â®ª®¬ ¯«®áª®© ¯®«ã¡¥áª®­¥ç­®© (0 6 X < ∞) ¯« á⨭ë:
VX

∂VX
+ VY
∂X
∂VX
+
∂X

∂VX
∂Y
∂VY
∂Y

=ν

∂ 2 VX
,
∂Y 2

(1.6.2)

= 0.

“à ¢­¥­¨ï (1.6.2) § ¯¨á ­ë ¢ à §¬¥à­®© ä®à¬¥, çâ® á¢ï§ ­® á
­¥ª®â®à®© âà㤭®áâìî ¢¢¥¤¥­¨ï ¬ áèâ ¡ ¤«¨­ë l∗ , ¯®áª®«ìªã § ¤ ç
­¥ ¨¬¥¥â ­¨ª ª®£® ᮡá⢥­­®£® å à ªâ¥à­®£® «¨­¥©­®£® à §¬¥à .
‚ ª ç¥á⢥ £à ­¨ç­ëå ãá«®¢¨© ¥áâ¥á⢥­­® ¯®âॡ®¢ âì:
Y

= 0,

VX

Y → ∞,

= VY = 0,

(1.6.3)

VX → Ui .

‘«¥¤ãï « §¨ãáã [201℄, ¢ëà §¨¬ ª®¬¯®­¥­âë ᪮à®á⨠¨¤ª®áâ¨
ç¥à¥§ äã­ªæ¨î ⮪ ¯® ä®à¬ã« ¬ (1.1.10) ¨ ¯®¤áâ ¢¨¬ ¨å ¢ ¯¥à¢®¥
ãà ¢­¥­¨¥ (1.6.2). Ǒ®á«¥ í⮣® ¨é¥¬ äã­ªæ¨î ⮪ ¢ ¢¨¤¥
p
(X, Y ) = νXUi f (η),

η

=Y

r

Ui
,
νX

(1.6.4)

£¤¥ η | ¢â®¬®¤¥«ì­ ï ¯¥à¥¬¥­­ ï.
„«ï ®¯à¥¤¥«¥­¨ï ä㭪樨 f (η) ¯®«ã稬 ªà ¥¢ãî § ¤ çã:
2f ′′′ + f f ′′ = 0;
η = 0,
f = 0;
η → ∞,
f ′ → 1,

f′

(1.6.5)

= 0;

à¥è¥­¨¥ ª®â®à®© ¯®«ã祭® ç¨á«¥­­® ¨ ¯®¤à®¡­® § ⠡㫨஢ ­®,
­ ¯à¨¬¥à, ¢ [184℄.
Š®¬¯®­¥­âë ᪮à®á⨠¨¤ª®á⨠¢ëç¨á«ïîâáï á ¯®¬®éìî (1.1.10)
¯® ä®à¬ã« ¬
VX

= Ui f (η),
′

VY

1
=
2

r


νUi  ′
ηf (η ) − f (η ) .
X

(1.6.6)

Ǒ®«ã祭­®¥ à¥è¥­¨¥ ¯®§¢®«ï¥â â ª¥ ¢ëç¨á«¨âì àï¤ ¢¥«¨ç¨­,
¯à¥¤áâ ¢«ïîé¨å ¯à ªâ¨ç¥áª¨© ¨­â¥à¥á. ’ ª, ¤«ï «®ª «ì­®£® ­ ¯à省¨ï â७¨ï ­ á⥭ª¥ ¨¬¥¥¬
τw (X ) = µ



∂VX
∂Y



Y =0

= µUi

r

Ui ′′
f (0) = 0,332 µUi
νX

r

Ui
,
νX

(1.6.7)

38

’¥ç¥­¨ï ¨¤ª®á⨠¢ ¯«¥­ª å, âàã¡ å ¨ áâàãïå

¤«ï «®ª «ì­®£® ª®íää¨æ¨¥­â â७¨ï
r
τ (X )
cf (X ) = 1w 2 = 0,664
2 ρUi

ν
.
Ui X

(1.6.8)

ˆ­â¥£à «ì­ë© ª®íää¨æ¨¥­â â७¨ï ¯« áâ¨­ë ¤«¨­®© l ¢ëç¨á«ï¥âáï á ¯®¬®éìî á«¥¤ãî饩 ä®à¬ã«ë:
cf

1

=

l

Z

l

0

cf (X ) dX

= 1,328 Re−l 0,5 ,

(1.6.9)

£¤¥ Rel = Ui l/ν | ç¨á«® ¥©­®«ì¤á ¤«ï ®¡â¥ª ¥¬®© ¯« á⨭ë.
”®à¬ã« (1.6.8) ¨§¢¥áâ­ ª ª § ª®­ « §¨ãá ¤«ï ᮯà®â¨¢«¥­¨ï
¯à®¤®«ì­® ®¡â¥ª ¥¬®© ¯« á⨭ë. Ž­ ¯à¨¬¥­¨¬ ¢ ®¡« á⨠« ¬¨­ à­®£® â¥ç¥­¨ï, â.¥. ¯à¨ Rel < 3,5 · 105.
•®âï ¢ â ª®© ¯®áâ ­®¢ª¥ § ¤ ç¨ ¯®£à ­¨ç­ë© á«®© áç¨â ¥âáï
ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨¬, â.¥. ¯à®áâ¨à î騬áï ¯® ª®®à¤¨­ ⥠Y ¤® ¡¥áª®­¥ç­®áâ¨, ¬®­® ¯à¨¡«¨¥­­® ®æ¥­¨âì ¥£® ⮫騭ã, ãá«®¢­® ¯à¨­ï¢,
çâ® ­ ¥£® £à ­¨æ¥ ᪮à®áâì ®â«¨ç ¥âáï ®â ᪮à®á⨠­¥¢®§¬ã饭­®£®
¯®â®ª ­¥ ¡®«¥¥ 祬 ­ 1%*. ‚ í⮬ á«ãç ¥ § ãá«®¢­ãî ⮫騭ã á«®ï
¯à¨­¨¬ ¥âáï
p
δ (X ) ≈ 5 νX/Ui .
(1.6.10)
¥è¥­¨¥ « §¨ãá ᢨ¤¥â¥«ìáâ¢ã¥â, çâ® ¯à®ä¨«¨ ¯à®¤®«ì­®© ᪮à®á⨠¤«ï ¢á¥å á¥ç¥­¨© ¯®£à ­¨ç­®£® á«®ï ïîâáï ä䨭­® ¯®¤®¡­ë¬¨.
‘«¥¤ã¥â ®â¬¥â¨âì, çâ® âé â¥«ì­ ï íªá¯¥à¨¬¥­â «ì­ ï ¯à®¢¥àª
¢ë¢®¤®¢ ⥮ਨ « §¨ãá , ¯à®¢¥¤¥­­ ï ¨ªãà ¤§¥, ¯®¤â¢¥à¤¨« ¨å
á¯à ¢¥¤«¨¢®áâì ª ª ¢ ®â­®è¥­¨¨ ¯à®ä¨«¥© ᪮à®áâ¨, â ª ¨ ¢ ®â­®è¥­¨¨ ª®íää¨æ¨¥­â®¢ â७¨ï [184℄.
‚ ¯à¨«®¥­¨ïå [30℄ ¨­®£¤ ¢áâà¥ç ¥âáï ý®¡à 饭­ ïþ ¯®áâ ­®¢ª
§ ¤ ç¨ « §¨ãá , ª®£¤ ¯®«ã¡¥áª®­¥ç­ ï ¯« á⨭ ¤¢¨¥âáï ¢ ᢮¥©
¯«®áª®á⨠ᮠ᪮à®áâìî Ui . ‚ í⮬ á«ãç ¥ ¢¬¥áâ® ªà ¥¢®© § ¤ ç¨
(1.6.5) á«¥¤ã¥â à¥è âì á«¥¤ãîéãî § ¤ çã:
2f ′′′ + f f ′′ = 0;
η = 0,
f = 0;
η → ∞,
f ′ → 0,

f′

= 1;

(1.6.11)

* Ǒ®¬¨¬® ãá«®¢­®© â®«é¨­ë ¯®£à ­¨ç­®£® á«®ï,∞¨á¯®«ì§ãîâáï â ª¥ á«¥¤ã-

î騥 ®¯à¥¤¥«¥­¨ï: ¤«ï â®«é¨­ë ¢ëâ¥á­¥­¨ï
¯®â¥à¨ ¨¬¯ã«ìá
δ∗

= 1,7208

p

δ∗∗

=

νX/Ui , δ∗∗

R∞
0

δ∗

=

R
0

(1 − VX /Ui ) dY ¨ ⮫騭ë

(VX /Ui ) (1 − VX /Ui ) dY . ‘®£« á­® à¥è¥­¨î « §¨ãá

= 0,664

p

νX/Ui .

1.6. Ǒத®«ì­®¥ ®¡â¥ª ­¨¥ ¯«®áª®© ¯« á⨭ë. Ǒ®£à ­¨ç­ë© á«®©

39

â § ¤ ç â ª¥ à¥è¥­ ç¨á«¥­­®, ¨ äã­ªæ¨ï f (η) § ⠡㫨஢ ­ ¢
[296℄. ‘«¥¤ã¥â ®â¬¥â¨âì, çâ® ¢ í⮬ á«ãç ¥ à¥è¥­¨¥ ®â«¨ç ¥âáï ®â ᮮ⢥âáâ¢ãî饣® à¥è¥­¨ï § ¤ ç¨ « §¨ãá . ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ­¥á¬®âàï
­ ª ãéãîáï ¢®§¬®­®áâì 䨧¨ç¥áª®£® ý®¡à 饭¨ïþ â¥ç¥­¨ï, à¥è¥­¨¥ ¯®ª §ë¢ ¥â, çâ® ¬ ⥬ â¨ç¥áª¨ â ª®¥ ý®¡à 饭¨¥þ ­¥¢®§¬®­®, ç⮠ï¥âáï á«¥¤á⢨¥¬ ­¥«¨­¥©­®á⨠§ ¤ ç (1.6.5) ¨ (1.6.11).
‹®ª «ì­®¥ ­ ¯à省¨¥ â७¨ï ­ á⥭ª¥ ¢ í⮬ á«ãç ¥ § ¤ ¥âáï,
¢ ®â«¨ç¨¥ ®â (1.6.7), ¢ëà ¥­¨¥¬
τw (X ) = 0,444 µUi

r

Ui
.
νX

(1.6.12)

’ãà¡ã«¥­â­ë© ¯®£à ­¨ç­ë© á«®© ­ ¯« á⨭¥. ’¥ç¥­¨¥
¢ ¯®£à ­¨ç­®¬ á«®¥ ­ ¯« á⨭¥ ®áâ ¥âáï « ¬¨­ à­ë¬ ¢¯«®âì ¤®
ReX = Ui X/ν ≈ 106.  ¡®«¥¥ ¤«¨­­®© ¯« á⨭¥ ¯®£à ­¨ç­ë© á«®©
âãà¡ã«¨§ã¥âáï: ¯à®¨á室¨â १ª®¥ 㢥«¨ç¥­¨¥ ¥£® â®«é¨­ë ¨ ¯¥à¥áâனª ¯à®ä¨«ï ¯à®¤®«ì­®© ᪮à®áâ¨. Ǒ® ¤ ­­ë¬ [184℄, ⮫騭
âãà¡ã«¥­â­®£® ¯®£à ­¨ç­®£® á«®ï ¬¥­ï¥âáï ¯® § ª®­ã
δ (X ) = 0,37 X



Ui X
ν

−1/5

.

(1.6.13)

 á¯à¥¤¥«¥­¨¥ ᪮à®á⥩ ¢ ¯®£à ­¨ç­®¬ á«®¥ ¤®áâ â®ç­® å®à®è®
®¯¨áë¢ ¥âáï § ª®­®¬
VX
Ui

=



Y
δ (X )

1/7

(1.6.14)

.

„«ï ª®íää¨æ¨¥­â ᮯà®â¨¢«¥­¨ï ¯à¨ ®¤­®áâ®à®­­¥¬ âãà¡ã«¥­â­®¬ ®¡â¥ª ­¨¨ ¯« áâ¨­ë ¤«¨­®© l á¯à ¢¥¤«¨¢ ®æ¥­ª
cf

= 0,072



Ui l
ν

−1/5

.

(1.6.15)

¥áâ 樮­ à­ë¥ २¬ë ®¡â¥ª ­¨ï ¯« á⨭ë. ˆ§¢¥áâ­ë
¤¢ â®ç­ëå à¥è¥­¨ï ãà ¢­¥­¨© ­¥áâ 樮­ à­®£® ¯®£à ­¨ç­®£® á«®ï
­ ¯« á⨭¥ [184℄. Ž­¨ ®â­®áïâáï ª áà ¢­¨â¥«ì­® ¯à®áâë¬ â¥ç¥­¨ï¬,
®¯¨áë¢ ¥¬ë¬ «¨­¥©­ë¬¨ ãà ¢­¥­¨ï¬¨ ¤¢¨¥­¨ï. Ž¤­ ª® «¨­¥ ਧ æ¨ï ãà ¢­¥­¨©  ¢ì¥ | ‘⮪á á¢ï§ ­ ¢ íâ¨å á«ãç ïå ­¥ á ¯à¨¡«¨¥­­ë¬ ®â¡à áë¢ ­¨¥¬ ­¥«¨­¥©­ëå ª®­¢¥ªâ¨¢­ëå ç«¥­®¢, á ¨å
⮤¥á⢥­­ë¬ ®¡à 饭¨¥¬ ¢ ­ã«ì (VX ∂VX /∂X ≡ 0), â ª çâ® ãà ¢­¥­¨¥ ¤¢¨¥­¨ï ¯à¨­¨¬ ¥â ¢¨¤
∂ 2 VX
∂VX
−ν
∂t
∂Y 2

= 0.

(1.6.16)

40

’¥ç¥­¨ï ¨¤ª®á⨠¢ ¯«¥­ª å, âàã¡ å ¨ áâàãïå

Ž¤­ ¨§ § ¤ ç, ¨§¢¥áâ­ ï ª ª ¯¥à¢ ï § ¤ ç ‘â®ªá , ®¯¨áë¢ ¥â
â¥ç¥­¨¥ ¢¡«¨§¨ ¡¥§£à ­¨ç­®© ¯« á⨭ë, ¢­¥§ ¯­® ¯à¨¢¥¤¥­­®© ¢ ¤¢¨¥­¨¥ ¢ ᢮¥© ¯«®áª®á⨠ᮠ᪮à®áâìî U0 . ‚ í⮬ á«ãç ¥ ­ ç «ì­®¥ ¨
£à ­¨ç­ë¥ ãá«®¢¨ï ¤«ï ãà ¢­¥­¨ï (1.6.16) § ¯¨áë¢ îâáï â ª:
VX = 0

¯à¨ t = 0,

VX = U0

¯à¨

Y

= 0,

VX = 0

¯à¨

Y → ∞.

(1.6.17)

¥è¥­¨¥ § ¤ ç¨ (1.6.16), (1.6.17) ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ä®à¬ã«®©
VX (t, Y ) = U0 erf



Y
√
2 νt



(1.6.18)

,

Rz

£¤¥ erf z = 1 − π2 exp(−x2 ) dx | ¤®¯®«­¨â¥«ì­ë© ¨­â¥£à « ¢¥à®ïâ0
­®áâ¨.
„àã£ ï ¤®¯ã᪠îé ï â®ç­®¥ à¥è¥­¨¥ ­¥áâ 樮­ à­ ï § ¤ ç , ¨§¢¥áâ­ ï ª ª ¢â®à ï § ¤ ç ‘â®ªá , ®¯¨áë¢ ¥â â¥ç¥­¨¥ ¢¡«¨§¨ ¡¥§£à ­¨ç­®© ¯« á⨭ë, ª®«¥¡«î饩áï ¢ ᢮¥© ¯«®áª®áâ¨. â § ¤ ç ®â­®á¨âáï ª â ª ­ §ë¢ ¥¬ë¬ § ¤ ç ¬ ¡¥§ ­ ç «ì­ëå ¤ ­­ëå. ƒà ­¨ç­ë¥
ãá«®¢¨ï ¢ í⮬ á«ãç ¥ ä®à¬ã«¨àãîâáï â ª:
VX

= U0 os ωt ¯à¨

Y

= 0,

VX

= 0 ¯à¨

Y → ∞.

(1.6.19)

¥è¥­¨¥ § ¤ ç¨ (1.6.16), (1.6.19) ¨¬¥¥â ¢¨¤
r


ω
VX (t, Y ) = U0 exp −Y
2ν

r


ω
.
os ωt − Y
2ν

(1.6.20)

â® ¢ëà ¥­¨¥ ¯®ª §ë¢ ¥â, çâ® á 㤠«¥­¨¥¬ ®â ¯«®áª®á⨠ª®«¥¡ ­¨ï
¨¤ª®á⨠ã¡ë¢ îâ ¯® ¬¯«¨â㤥 ¨ ¢á¥ ¡®«¥¥ ®âáâ îâ ¯® ä §¥.

2. „¢¨¥­¨¥ ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨
¯ã§ë३ ¢ ¨¤ª®áâ¨

¥è¥­¨¥ § ¤ ç¨ ® ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨¨ ⢥म© ç áâ¨æë, ª ¯«¨ ¨«¨ ¯ã§ëàï á ®ªàã î饩 ¤¨á¯¥àá­®© á।®© «¥¨â ¢ ®á­®¢¥ à áç¥â ¬­®£¨å â¥å­®«®£¨ç¥áª¨å ¯à®æ¥áᮢ. ‘।¨ ¯à®¬ëè«¥­­ëå ¯à¨«®¥­¨©
â ª®£® ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢¨ï ®â¬¥â¨¬ ®á¢¥â«¥­¨¥ áãᯥ­§¨© ¢ £¨¤à®æ¨ª«®­ å, ®á ¤¥­¨¥ ª®««®¨¤®¢, ¯­¥¢¬®âà ­á¯®àâ, ¯á¥¢®®¨¥­¨¥, £¥â¥à®£¥­­ë© ª â «¨§ ­ ¢§¢¥è¥­­ëå ç áâ¨æ å, à á⢮७¨¥ ⢥à¤ëå ç áâ¨æ, íªáâà ªæ¨î ¨§ ª ¯¥«ì, ¡á®à¡æ¨î ¨ ¨á¯ ७¨¥ ¢ ¯ã§ëਠ[29, 39,
87, 153, 172℄.
Ž¯¨á ­¨¥ 楫®£® àï¤ ¬¥â¥®à®«®£¨ç¥áª¨å ¥­¨© â ª¥ ¡ §¨àã¥âáï ­ ­ «¨§¥ ¤¢¨¥­¨ï ᮢ®ªã¯­®á⨠ª ¯¥«ì ¢ ¢®§¤ãå¥. Ǒ஡«¥¬
¢á¥ 㢥«¨ç¨¢ î饩áï § £à吝¥­­®á⨠⬮áä¥àë âॡã¥â ¯®­¨¬ ­¨ï
¨ ®¯¨á ­¨ï ¯à®æ¥áᮢ ¯¥à¥­®á ⬮áä¥à®© ¬¥å ­¨ç¥áª¨å, 娬¨ç¥áª¨å ¨ à ¤¨® ªâ¨¢­ëå ç áâ¨æ.
‚ à §à¥¥­­ëå á¨á⥬ å ç áâ¨æ (ª ¯¥«ì ¨«¨ ¯ã§ë३) íä䥪⠬¨ ¢§ ¬®¤¥©áâ¢¨ï ¢ ¯¥à¢®¬ ¯à¨¡«¨¥­¨¨ ¬®­® ¯à¥­¥¡à¥çì ¨ ®£à ­¨ç¨âìáï ¨§ã祭¨¥¬ ¤¢¨¥­¨ï ®¤¨­®ç­®© ç áâ¨æë ¢ ¨¤ª®á⨠¨«¨ £ §¥.
Ǒਠí⮬ áâàãªâãà «¨­¨© ⮪ ¢ ®ªà¥áâ­®á⨠ç áâ¨æë ¡ã¤¥â § ¢¨á¥âì ®â ¥¥ ä®à¬ë, ⨯ â¥ç¥­¨ï (¯®áâ㯠⥫쭮£® ¨«¨ ᤢ¨£®¢®£®) ¨
àï¤ ¤àã£¨å £¥®¬¥âà¨ç¥áª¨å ä ªâ®à®¢.
Ž¤¨­ ¨§ ®á­®¢­ëå ¬¥â®¤®¢ ¯à¨¡«¨¥­­®£® ­ «¨â¨ç¥áª®£® à¥è¥­¨ï ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å £¨¤à®¤¨­ ¬¨ç¥áª¨å § ¤ ç § ª«îç ¥âáï ¢ «¨­¥à¨§ 樨 ãà ¢­¥­¨©  ¢ì¥ | ‘â®ªá ¯à¨ ¬ «ëå ç¨á« å ¥©­®«ì¤á .
â®â ¬¥â®¤ ç áâ® ¨á¯®«ì§ã¥âáï ¢ ¤ ­­®© £« ¢¥ ¤«ï ¨áá«¥¤®¢ ­¨ï ¤¢¨¥­¨ï ¬ «ëå ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ ¢ ¨¤ª®áâ¨.
2.1. Ž¡é¥¥ à¥è¥­¨¥ ãà ¢­¥­¨© ‘⮪á
®á¥á¨¬¬¥âà¨ç­®¬ á«ãç ¥

¢

Ž¤¨­ ¨§ ®á­®¢­ëå ¯®¤å®¤®¢ ¤«ï ­ «¨§ ¨ ã¯à®é¥­¨ï ãà ¢­¥­¨©
 ¢ì¥ | ‘â®ªá § ª«îç ¥âáï ¢ ¯®«­®¬ ¨«¨ ç
áâ¨ç­®¬ ¯à¥­¥¡à¥¥­¨¨
­¥«¨­¥©­ë¬¨ ¨­¥à樮­­ë¬¨ ç«¥­ ¬¨ V~ ·∇ V~ ¯® áà ¢­¥­¨î á «¨­¥©­ë¬¨ ¢ï§ª¨¬¨ ç«¥­ ¬¨ ν
V~ . â®â ¬¥â®¤ ®¯à ¢¤ ­ ¯à¨ Re = LU/ν ≪ 1
¨ è¨à®ª® ¨á¯®«ì§ã¥âáï ¤«ï ¨áá«¥¤®¢ ­¨ï ¤¢¨¥­¨ï ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨
¯ã§ë३ ¢ ¨¤ª®áâ¨. Œ «ë¥ ç¨á« ¥©­®«ì¤á å à ªâ¥à­ë ¤«ï á«¥¤ãîé¨å âà¥å á«ãç ¥¢: ¬¥¤«¥­­ëå (¯®«§ãé¨å) â¥ç¥­¨©, ᨫ쭮 ¢ï§ª¨å
¨¤ª®á⥩, ¬ «ëå à §¬¥à®¢ ç áâ¨æ.
„«ï ãáâ ­®¢¨¢è¨åáï â¥ç¥­¨© ¢ï§ª®© ­¥á¨¬ ¥¬®© ¨¤ª®á⨠¯à¥­¥¡à¥¥­¨¥ ¢ (1.1.4) ¨­¥à樮­­ë¬¨ ç«¥­ ¬¨ ¨ ãç¥â ¢á¥å ª®­á¥à¢ ⨢-

41

42

„¢¨¥­¨¥ ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ ¢ ¨¤ª®áâ¨

­ëå ¬ áᮢëå ᨫ ¢ ¤ ¢«¥­¨¨ P ¯à¨¢®¤¨â ª ãà ¢­¥­¨ï¬ ‘⮪á :
~
∇·V
~
µ
V

= 0,
= ∇P.

(2.1.1)

“à ¢­¥­¨ï ‘⮪á (2.1.1) ïîâáï «¨­¥©­ë¬¨ ¨ áãé¥á⢥­­®
¯à®é¥ ­¥«¨­¥©­ëå ãà ¢­¥­¨©  ¢ì¥ | ‘⮪á . ᫨ ¤¢ à¥è¥­¨ï
~ , P } ¨ {V
~ , P } ¯® ®â¤¥«ì­®á⨠㤮¢«¥â¢®àïîâ ãà ¢­¥­¨ï¬ (2.1.1),
{V
1 1
2 2
â® í⨬ ¥ ãà ¢­¥­¨ï¬ 㤮¢«¥â¢®àï¥â á㬬 {αV~1 + β V~2 , αP1 + βP2 }
¯à¨ «î¡ëå §­ 祭¨ïå ¯ à ¬¥â஢ α ¨ β .
‚ ®á¥á¨¬¬¥âà¨ç­ëå § ¤ ç å ¢ áä¥à¨ç¥áª®© á¨á⥬¥ ª®®à¤¨­ â
R, θ, ϕ ¢á¥ ¢¥«¨ç¨­ë ­¥ § ¢¨áï⠮⠪®®à¤¨­ âë ϕ ¨ âà¥âìï ª®¬¯®­¥­â
᪮à®á⨠¨¤ª®áâ¨ à ¢­ ­ã«î: Vϕ = 0. “à ¢­¥­¨ï ‘⮪á (2.1.1) ¢
áä¥à¨ç¥áª®© á¨á⥬¥ ª®®à¤¨­ â ¨¬¥îâ ¢¨¤




1 ∂
1 ∂
R2 VR +
Vθ sin θ = 0,
R ∂R
sin θ ∂θ

2VR
2 ∂Vθ 2Vθ tg θ
∂P
−
,
µ
VR −
=
(2.1.2)
2 − 2
2
µ

£¤¥

R




Vθ +

∂θ
R
∂R

2 ∂VR
1 ∂P
V
=
− 2 θ2
,
R2 ∂θ
R ∂θ
R sin θ

1

∂

≡ 2
R ∂R

R





∂
∂
1
∂
2
R
.
+ 2
sin θ
∂R
R sin θ ∂θ
∂θ

Š®¬¯®­¥­âë ᪮à®á⨠¨¤ª®á⨠¬®­® ¢ëà §¨âì ç¥à¥§ äã­ªæ¨î
:
1
∂
1 ∂
VR = 2
(2.1.3)
, Vθ = −
.
R sin θ ∂θ
R sin θ ∂R
‚ í⮬ á«ãç ¥ ¯¥à¢®¥ ãà ¢­¥­¨¥ (2.1.2) (ãà ¢­¥­¨¥ ­¥à §à뢭®áâ¨)
㤮¢«¥â¢®àï¥âáï ¢â®¬ â¨ç¥áª¨. Ǒ®¤áâ ¢¨¬ ¢ëà ¥­¨ï (2.1.3) ¢® ¢â®à®¥ ¨ âà¥âì¥ ãà ¢­¥­¨ï (2.1.2). ‚ १ã«ìâ ⥠¨áª«î祭¨ï ç«¥­®¢ á
¤ ¢«¥­¨¥¬, ¯à¨å®¤¨¬ ª á«¥¤ãî饬ã ãà ¢­¥­¨î ¤«ï ä㭪樨 ⮪ :

⮪

E2 E2




= 0,

E2 ≡

∂2
∂R2

+

sin θ

∂ 
∂  1
.
R2 ∂θ sin θ ∂θ

(2.1.4)

Ž¡é¥¥ à¥è¥­¨¥ ãà ¢­¥­¨ï (2.1.4) ¨¬¥¥â ¢¨¤ [178℄
(R, θ) =

∞
X



An Rn + Bn R1−n + Cn Rn+2 + Dn R3−n Jn (

n=0
∞
X

+

n=2

os θ) +



e Rn + B
e R1−n + C
e Rn+2 + D
e R3−n H (
A
n
n
n
n
n

os θ),
(2.1.5)

2.1. Ž¡é¥¥ à¥è¥­¨¥ ãà ¢­¥­¨© ‘â®ªá ¢ ®á¥á¨¬¬¥âà¨ç­®¬ á«ãç ¥

43

£¤¥ An , Bn , Cn , Dn , Aen , Ben , Cen , De n | ¯à®¨§¢®«ì­ë¥ ¯®áâ®ï­­ë¥; Jn (ζ )
¨ Hn (ζ ) | ä㭪樨 ƒ¥£¥­¡ ãíà ¯¥à¢®£® ¨ ¢â®à®£® த , ª®â®àë¥
«¨­¥©­® á¢ï§ ­ë á äã­ªæ¨ï¬¨ ‹¥ ­¤à Pn (ζ ) ¨ Qn (ζ ):
Jn (ζ )

=

Pn−2 (ζ ) − Pn (ζ )
,
2n − 1

Hn (ζ )

=

Qn−2 (ζ ) − Qn (ζ )
2n − 1

(n > 2).

”㭪樨 ƒ¥£¥­¡ ãíà ¯¥à¢®£® த ¢ëà  îâáï ¯à¨ ¯®¬®é¨ ª®­¥ç­®£® á⥯¥­­®£® àï¤ :
 d n−2  ζ 2 − 1 n−1
=
(n− 1)! dζ
2


1 · 3 . . . (2n− 3) n n(n− 1) n−2 n(n− 1)(n− 2)(n− 3) n−4
ζ
ζ
−. . . .
+
ζ −
1·2 . . . n
2(2n− 3)
2 · 4(2n− 3)(2n− 5)

Jn (ζ )

=

1

=−

‚ ç áâ­ëå á«ãç ïå ¨¬¥¥¬
J0 (ζ ) = 1, J1 (ζ ) = −ζ, J2 (ζ ) = 12 (1 − ζ 2 ), J3 (ζ ) = 12 ζ (1 − ζ 2 ),
J4 (ζ ) = 81 (1 − ζ 2 )(5ζ 2 − 1), J5 (ζ ) = 18 ζ (1 − ζ 2 )(7ζ 2 − 3).

”㭪樨 ƒ¥£¥­¡ ãíà ¢â®à®£® த ®¯à¥¤¥«ïîâáï ¯® ä®à¬ã« ¬
H0 (ζ ) = −ζ,

H1 (ζ ) = −1,
1
1+ζ
+ Kn (ζ ),
Hn (ζ ) = Jn (ζ ) ln
2
1−ζ

£¤¥ äã­ªæ¨ï
த :
Kn (ζ ) = −

Kn (ζ )

¢ëà  ¥âáï ç¥à¥§ ä㭪樨 ƒ¥£¥­¡ ãíà ¯¥à¢®£®

12 n6k6 12 n+ 21
X
k

n > 2,



(2n − 4k +1)
(2k − 1)(n − k)
1−
(2k − 1)(n − k)
n(n − 1)



Jn−2k+1 (ζ ),

¯à¨ç¥¬ àï¤ë ­ 稭 îâáï ¨«¨ á J0 ¨«¨ á J1 ¢ § ¢¨á¨¬®á⨠®â ⮣®,
­¥ç¥â­®¥ ¨«¨ ç¥â­®¥ n. ‚ ç áâ­ëå á«ãç ïå ¨¬¥¥¬
K4 (ζ ) =

K2 (ζ ) = 12 ζ, K3 (ζ ) = 61 (3 ζ 2 − 2),
2
4
2
1
1
24 ζ (15 ζ − 13), K5 (ζ ) = 120 (105 ζ − 115 ζ + 16).

Ǒਠn > 2 ä㭪樨 ƒ¥£¥­¡ ãíà ¢â®à®£® த ¡¥áª®­¥ç­ë ¢ â®çª å ζ = ±1, çâ® ®â¢¥ç ¥â θ = 0 ¨ θ = π. Ǒ®í⮬ã, ¥á«¨ ¢ 䨧¨ç¥áª®©
¯®áâ ­®¢ª¥ § ¤ ç¨ ®âáãâáâ¢ãîâ ᨭ£ã«ïà­ë¥ ®á®¡¥­­®áâ¨, â® ¯®¬¥ç¥­­ë¥ ý⨫줮©þ ¢ ä®à¬ã«¥ (2.1.5) ¯®áâ®ï­­ë¥ ¤®«­ë à ¢­ïâìáï
­ã«î. Šà®¬¥ ⮣®, ¯à¨ n = 0 ¨ n = 1 ®á⠢訥áï ¯®áâ®ï­­ë¥ ¯à¨¢®¤ïâ

44

„¢¨¥­¨¥ ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ ¢ ¨¤ª®áâ¨

ª ¡¥áª®­¥ç­ë¬ â ­£¥­æ¨ «ì­ë¬ ᪮à®áâï¬ Vθ ­ ®á¨ ¯®â®ª . Ǒ®í⮬ã
¢ ¯®¤ ¢«ïî饬 ¡®«ì設á⢥ § ¤ ç ®¡ ®¡â¥ª ­¨¨ ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ áâ®ªá®¢ë¬ ¯®â®ª®¬ äã­ªæ¨ï ⮪ ¢ áä¥à¨ç¥áª¨å ª®®à¤¨­ â å
¬®¥â ¡ëâì ¯à¥¤áâ ¢«¥­ ¢ ä®à¬¥
(R, θ) =

∞
X

n=2



An Rn + Bn R1−n + Cn Rn+2 + Dn R3−n Jn (

os θ). (2.1.6)

Š®¬¯®­¥­âë ᪮à®á⨠¨¤ª®á⨠¨ ¤ ¢«¥­¨¥, ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 â ª®¬ã
â¥ç¥­¨î, ®¯à¥¤¥«ïîâáï ¯® ä®à¬ã« ¬
VR

=−

Vθ

=

∞
X

n=2

∞
X


n=2

p = −2µ



An Rn−2 + Bn R−n−1 + Cn Rn + Dn R1−n Pn−1 (

os θ),

nAn Rn−2 − (n − 1)Bn R−n−1 +

∞ 
X
2n + 1

n=2

n−1

+ (n + 2)Cn Rn − Dn (n − 3)R1−n
Cn Rn−1 +

2n − 3
n


Dn R−n Pn−1 (

 Jn (

os θ)
,
sin θ

os θ) + onst .

(2.1.7)
‚ í⮬ á«ãç ¥ ¨¤ª®áâì ¤¥©áâ¢ã¥â ­ «î¡ãî áä¥à¨ç¥áªãî £à ­¨æã,
®¯¨áë¢ ¥¬ãî ãà ¢­¥­¨¥¬ R = onst, á ᨫ®©
FZ

= 4πµD2 .

(2.1.8)

ˆ­â¥à¥á­® ®â¬¥â¨âì, ç⮠ᨫ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ⮫쪮 ®¤­¨¬ ª®íää¨æ¨¥­â®¬ àï¤ (2.1.6).
”®à¬ã«ë (2.1.6) | (2.1.8) ïîâáï ®á­®¢®© ¤«ï à¥è¥­¨ï è¨à®ª®£® ª« áá § ¤ ç 娬¨ç¥áª®© £¨¤à®¤¨­ ¬¨ª¨.
2.2. Ž¡â¥ª ­¨¥ áä¥à¨ç¥áª®© ç áâ¨æë, ª ¯«¨
¨ ¯ã§ëàï ¯®áâ㯠⥫ì­ë¬ á⮪ᮢë¬
¯®â®ª®¬

Ž¡â¥ª ­¨¥ áä¥à¨ç¥áª®© ç áâ¨æë.  áᬮâਬ ⢥à¤ãî áä¥à¨ç¥áªãî ç áâ¨æã à ¤¨ãá a, ®¡â¥ª ¥¬ãî ®¤­®à®¤­ë¬ ¯®áâ㯠⥫ì­ë¬ áâ®ªá®¢ë¬ ¯®â®ª®¬ ᮠ᪮à®áâìî Ui (à¨á. 2.1). ‘ç¨â ¥¬, çâ®
¨¤ª®áâì ¨¬¥¥â ¤¨­ ¬¨ç¥áªãî ¢ï§ª®áâì µ. „«ï ­ «¨§ ¨á¯®«ì§ã¥¬
áä¥à¨ç¥áªãî á¨á⥬㠪®®à¤¨­ â R, θ, ϕ, á¢ï§ ­­ãî á 業â஬ ç áâ¨æë. “£®« θ ®âáç¨âë¢ ¥¬ ®â ­ ¯à ¢«¥­¨ï ­ ¡¥£ î饣® ¯®â®ª (â.¥. ®â

2.2. Ž¡â¥ª ­¨¥ ç áâ¨æë, ª ¯«¨ ¨ ¯ã§ëàï ¯®áâ㯠⥫ì­ë¬ ¯®â®ª®¬

¨á. 2.1.

¯®â®ª®¬

45

‘奬 ®¡â¥ª ­¨ï áä¥à¨ç¥áª®© ç áâ¨æë ¯®áâ㯠⥫ì­ë¬ á⮪ᮢë¬

§ ¤­¥© ªà¨â¨ç¥áª®© â®çª¨ ­ ¯®¢¥àå­®á⨠ç áâ¨æë). ‚ ᨫ㠮ᥢ®©
ᨬ¬¥âਨ § ¤ ç¨ â®«ìª® ¤¢¥ ª®¬¯®­¥­âë ᪮à®á⨠¨¤ª®á⨠VR , Vθ
®â«¨ç­ë ®â ­ã«ï ¨ ¢á¥ ¨áª®¬ë¥ ¢¥«¨ç¨­ë ­¥ § ¢¨áïâ ®â âà¥â쥩 ª®®à¤¨­ âë ϕ.
 á¯à¥¤¥«¥­¨¥ ᪮à®á⥩ ¨¤ª®á⨠®¯¨áë¢ ¥âáï ãà ¢­¥­¨ï¬¨
‘⮪á (2.1.1), £à ­¨ç­ë¬¨ ãá«®¢¨ï¬¨ ¯à¨«¨¯ ­¨ï ­ ¯®¢¥àå­®áâ¨
⢥म© áä¥àë
VR = Vθ = 0
¯à¨ R = a
(2.2.1)
¨ £à ­¨ç­ë¬¨ ãá«®¢¨ï¬¨ ­ ¡¥áª®­¥ç­®áâ¨
VR → Ui

os θ,

Vθ → −Ui sin θ

¯à¨

R → ∞,

(2.2.2)

ª®â®àë¥ á®®â¢¥âáâ¢ãîâ ®¤­®à®¤­®á⨠­¥¢®§¬ã饭­®£® ¯®â®ª ¢¤ «¨
®â ç áâ¨æë (1.1.6).
Ǒ¥à¥å®¤ï ®â ª®¬¯®­¥­â ᪮à®á⨠¨¤ª®á⨠VR , Vθ ª ä㭪樨
⮪ ¯® ä®à¬ã« ¬ (2.1.3), ¯®«ã稬 ãà ¢­¥­¨¥ (2.1.4). ˆ§ £à ­¨ç­ëå
ãá«®¢¨© ¢¤ «¨ ®â ç áâ¨æë (2.2.2) á«¥¤ã¥â, çâ® ¢ ®¡é¥¬ à¥è¥­¨¨
(2.1.5) ¤®áâ â®ç­® ®£à ­¨ç¨âìáï ¯¥à¢ë¬ ç«¥­®¬, ᮮ⢥âáâ¢ãî騬
§­ 祭¨î n = 2. “á«®¢¨ï ¯à¨«¨¯ ­¨ï (2.2.1) ¯®§¢®«ïîâ ®¯à¥¤¥«¨âì
­¥¨§¢¥áâ­ë¥ ¯®áâ®ï­­ë¥ A2 , B2 , C2 , D2 . ‚ ¨â®£¥ ¤«ï ä㭪樨 ⮪
¬®­® ¯®«ãç¨âì á«¥¤ãî饥 ¢ëà ¥­¨¥:


1 a3
1
3 a
2
+
sin2 θ.
(2.2.3)
= Ui R 1 −
2
2 R 2 R3
Žâáî¤ ­ 室¨¬ ª®¬¯®­¥­âë ᪮à®á⥩ ¨¤ª®á⨠¨ ¤ ¢«¥­¨¥


3 a
1 a3
VR = Ui 1 −
+
os θ,
2 R 2 R3


3 a
1 a3
(2.2.4)
−
Vθ = −Ui 1 −
sin θ,
4 R 4 R3
3µUia os θ
,
P = Pi −
2R2

46

„¢¨¥­¨¥ ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ ¢ ¨¤ª®áâ¨

¨á. 2.2.

ª®¬

‘奬 ®¡â¥ª ­¨ï áä¥à¨ç¥áª®© ª ¯«¨ ¯®áâ㯠⥫ì­ë¬ áâ®ªá®¢ë¬ ¯®â®-

£¤¥ Pi | ­¥¢®§¬ã饭­®¥ ¤ ¢«¥­¨¥ ¢¤ «¨ ®â ç áâ¨æë.
„¨­ ¬¨ç¥áª®¥ ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨¥ áà¥¤ë ¨ ¨¤ª®á⨠å à ªâ¥à¨§ã¥âáï
ᨫ®© ᮯà®â¨¢«¥­¨ï, ª®â®à ï ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ª ª ¯à®¥ªæ¨ï ¢á¥å £¨¤à®¤¨­ ¬¨ç¥áª¨å ᨫ ­ ­ ¯à ¢«¥­¨¥ ¯®â®ª :
F

=

Z

(τRR os θ − τRθ sin θ) ds,

S

£¤¥ S | ¯®¢¥àå­®áâì ç áâ¨æë.
 ¯à省¨ï ­ ¯®¢¥àå­®á⨠áä¥àë § ¤ îâáï ᮮ⭮襭¨ï¬¨

τRR = −P

+ 2µ

∂VR
∂R



R=a

τRθ = µ

,



V
∂Vθ
− θ
∂R
R

+

1

∂VR
R ∂θ



R=a

.

ˆá¯®«ì§ãï ¢ëà ¥­¨ï (2.2.4) ¨ ¯à®¢®¤ï ¨­â¥£à¨à®¢ ­¨¥, ¯®«ã稬
ᨫã ᮯà®â¨¢«¥­¨ï, ¤¥©áâ¢ãîéãî ­ áä¥à¨ç¥áªãî ç áâ¨æã á® áâ®à®­ë ¨¤ª®á⨠§ áç¥â ¢ï§ª®áâ¨:
F

= 6πµaUi ,

ª®â®à ï ­ §ë¢ ¥âáï ä®à¬ã«®© ‘⮪á .

(2.2.5)

Ž¡â¥ª ­¨¥ áä¥à¨ç¥áª®© ª ¯«¨ ¨ ¯ã§ëàï.  áᬮâਬ ⥯¥àì
áä¥à¨ç¥áªãî ª ¯«î à ¤¨ãá a, ®¡â¥ª ¥¬ãî ¯®áâ㯠⥫ì­ë¬ áâ®ªá®¢ë¬ ¯®â®ª®¬ ¤à㣮© ¨¤ª®á⨠ᮠ᪮à®áâìî Ui (à¨á. 2.2). ‘ç¨â ¥¬,
çâ® ¤¨­ ¬¨ç¥áª¨¥ ¢ï§ª®á⨠¨¤ª®á⥩ ¢­¥ ¨ ¢­ãâਠª ¯«¨ à ¢­ë µ1
¨ µ2 . ‚ᥠ¨áª®¬ë¥ ¢¥«¨ç¨­ë ¢­¥ ¨ ¢­ãâਠª ¯«¨ ¡ã¤¥¬ ¯®¬¥ç âì ᮮ⢥âá⢥­­® ¢¥àå­¨¬¨ ¨­¤¥ªá ¬¨ (1) ¨ (2).
„«ï ®¯à¥¤¥«¥­¨ï ᪮à®á⨠¨¤ª®á⨠¨ ¤ ¢«¥­¨ï ¢ ª ¤®© ä §¥
¡ã¤¥¬ ¨á¯®«ì§®¢ âì ãà ¢­¥­¨ï ‘⮪á (2.1.1). Š ª ¨ à ­¥¥, ãá«®¢¨¥
®¤­®à®¤­®á⨠¯®â®ª ¢¤ «¨ ®â ª ¯«¨ ¨¬¥¥â ¢¨¤ (2.2.2).
¨¥ ¯¥à¥ç¨á«¥­ë ç¥âëॠãá«®¢¨ï, ª®â®àë¥ ¤®«­ë ¢ë¯®«­ïâìáï
­ £à ­¨æ¥ áä¥à¨ç¥áª®© ª ¯«¨.

2.2. Ž¡â¥ª ­¨¥ ç áâ¨æë, ª ¯«¨ ¨ ¯ã§ëàï ¯®áâ㯠⥫ì­ë¬ ¯®â®ª®¬

47

“á«®¢¨¥ ­¥¯à®â¥ª ­¨ï:
(1)
VR

= VR(2) = 0

¯à¨

R = a.

(2.2.6)

“á«®¢¨¥ ­¥¯à¥à뢭®á⨠⠭£¥­æ¨ «ì­®© ª®¬¯®­¥­âë ᪮à®áâ¨:
(1)
Vθ

= Vθ(2)

¯à¨

R = a.

(2.2.7)

“á«®¢¨¥ à ¢¥­áâ¢ áª çª ­®à¬ «ì­ëå ­ ¯à省¨© ¨§¡ëâ®ç­®¬ã
¤ ¢«¥­¨î § áç¥â ¤¥©á⢨ï ᨫ ¯®¢¥àå­®áâ­®£® ­ â省¨ï:
P (1) − 2µ1

(1)
∂VR
∂R

+

2σ
a

= P (2) − 2µ2

(2)
∂VR
∂R

¯à¨

R = a,

(2.2.8)

£¤¥ σ | ¬¥ä §­®¥ ¯®¢¥àå­®áâ­®¥ ­ â省¨¥.
‘«¥¤á⢨¥ ãá«®¢¨ï ­¥¯à¥à뢭®á⨠ª á ⥫ì­ëå ­ ¯à省¨©:
µ1




(1)
(1) 
(2)
(2) 
V
V
∂Vθ
∂Vθ
= µ2
− θ
− θ
∂R
R
∂R
R

¯à¨

R = a.

(2.2.9)

Šà®¬¥ ⮣®, ¨á¯®«ì§ãîâáï â ª¥ ãá«®¢¨ï ®£à ­¨ç¥­­®á⨠à¥è¥­¨ï ¢ 業âॠª ¯«¨:
(2)
VR < ∞,

(2)
Vθ < ∞

¯à¨

R = 0.

(2.2.10)

Ǒ® ä®à¬ã« ¬ (2.1.3) ¢¢¥¤¥¬ äã­ªæ¨î ⮪ (m) ¢ ª ¤®© ä §¥
(m = 1, 2). “á«®¢¨ï (2.2.6) | (2.2.10) ¯®§¢®«ïîâ ®¯à¥¤¥«¨âì ¯®áâ®ï­­ë¥ ¢ ®¡é¨å à¥è¥­¨ïå (2.1.5) ¢­¥ ¨ ¢­ãâਠª ¯«¨. ‚ १ã«ìâ â¥
¯®«ã稬 à¥è¥­¨¥ €¤ ¬ à | ë¡ç¨­áª®£® [178, 219℄

a
a3
β
+
sin2 θ,
R
1 + β R3


Ui
R2
(2) = −
2
R 1 − 2 sin2 θ,
4(1 + β )
a

(1)

=



1
2 + 3β
U R2 2 −
4 i
1+β

(2.2.11)

£¤¥ β = µ2 /µ1.
ˆá¯®«ì§ãï ä®à¬ã«ë (2.1.3), ¢ëç¨á«¨¬ ª®¬¯®­¥­âë ᪮à®á⥩
¨¤ª®á⨠¨ ¤ ¢«¥­¨¥ ¢­¥ ª ¯«¨:




2 + 3β a
β
a3
+
os θ,
2(1 + β ) R 2(1 + β ) R3


β
2 + 3β a
a3
(1)
−
Vθ = −Ui 1 −
sin θ,
4(1 + β ) R 4(1 + β ) R3
µ U a(2 + 3β ) os θ
(1)
.
P (1) = P0 − 1 i
2(1 + β )
R2
(1)
VR

= Ui 1 −

(2.2.12)

48

„¢¨¥­¨¥ ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ ¢ ¨¤ª®áâ¨

Š®¬¯®­¥­âë ᪮à®á⥩ ¨¤ª®á⨠¨ ¤ ¢«¥­¨¥ ¢­ãâਠª ¯«¨ ®¯à¥¤¥«ïîâáï ¢ëà ¥­¨ï¬¨:

R2
os θ,
2(1 + β )
a2


Ui
R2
(2)
Vθ =
1 − 2 2 sin θ,
2(1 + β )
a
5
µ
U
R
os
θ
(2)
2 i
P (2) = P0 +
.
2
a (1 + β )
(2)
VR

Ui

=−



1−

(2.2.13)

Ǒ®áâ®ï­­ë¥ P0(1) , P0(2) ¢ ¢ëà ¥­¨ïå ¤«ï ¯®«¥© ¤ ¢«¥­¨ï (2.2.12)
¨ (2.2.13) á¢ï§ ­ë ᮮ⭮襭¨¥¬
2σ
(2)
(1)
P0 − P0 =
(2.2.14)
.
a

‘¨« ᮯà®â¨¢«¥­¨ï, ¤¥©áâ¢ãîé ï ­ áä¥à¨ç¥áªãî ª ¯«î á®
áâ®à®­ë ¨¤ª®áâ¨:
2µ + 3µ2
F = 2πaUi 1
.
(2.2.15)
µ1 + µ2
Ǒਠβ = µ2 /µ1 → ∞ ¨§ (2.2.15) ¯®«ã稬 ä®à¬ã«ã ‘â®ªá ¤«ï ⢥म©
ç áâ¨æë (2.2.5). ƒ §®¢®¬ã ¯ã§ëàî ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¯à¥¤¥«ì­ë© ¯¥à¥å®¤
¯à¨ β → 0.

“áâ ­®¢¨¢è¥¥áï ¤¢¨¥­¨¥ áä¥à¨ç¥áª¨å ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨
¯ã§ë३ ¢ ¨¤ª®áâ¨. ‚ 娬¨ç¥áª®© â¥å­®«®£¨¨ ç áâ® ¢áâà¥ç ¥â-

áï § ¤ ç ®¡ ãáâ ­®¢¨¢è¥¬áï ¤¢¨¥­¨¨ áä¥à¨ç¥áª®© ç áâ¨æë, ª ¯«¨ ¨ ¯ã§ëàï ᮠ᪮à®áâìî Ui ¢ ­¥¯®¤¢¨­®© ¨¤ª®áâ¨. ‚á«¥¤á⢨¥
«¨­¥©­®á⨠ãà ¢­¥­¨© ‘⮪á à¥è¥­¨¥ í⮩ § ¤ ç¨ ¬®­® ¯®«ãç¨âì
¨§ ä®à¬ã« (2.2.12), (2.2.13), ¯à¨¡ ¢«ïï ª ­¨¬ ç«¥­ë VR = −Ui os θ,
Vθ = Ui sin θ, ®¯¨áë¢ î騥 ®¤­®à®¤­®¥ â¥ç¥­¨¥ ᮠ᪮à®áâìî Ui ¢ ­ ¯à ¢«¥­¨¨, ®¡à â­®¬ ®¡â¥ª î饬㠯®â®ªã. •®âï ¤¨­ ¬¨ç¥áª¨¥ å à ªâ¥à¨á⨪¨ ®¡â¥ª ­¨ï ­¥ ¨§¬¥­ïîâáï, ª à⨭ «¨­¨© ⮪ ¢ á¨á⥬¥
®âáç¥â , á¢ï§ ­­®© á ­¥¯®¤¢¨­®© ¨¤ª®áâìî, ¡ã¤¥â ¢ë£«ï¤¥âì ¨­ ç¥. ‚ ç áâ­®áâ¨, «¨­¨¨ ⮪ ¢­ãâਠáä¥àë ­¥ ¡ã¤ãâ § ¬ª­ãâ묨.
Š®íää¨æ¨¥­â ᮯà®â¨¢«¥­¨ï ª ¯«¨ ¢ëç¨á«ï¥âáï ¯® ä®à¬ã«¥


4 2 + 3β
F
ρ Ua
=
cf = 1
£¤¥ Re = 1 i . (2.2.16)
,
2 πa2
Re
1
+
β
µ1
ρ
U
2 1 i

Ǒà¨à ¢­¨¢ ï ᨫã ᮯà®â¨¢«¥­¨ï áä¥àë F à §­®á⨠£à ¢¨â 樮­­®© ¨ à娬¥¤®¢®© ᨫ 34 πa3 g
ρ, ¬®­® ®æ¥­¨âì ãáâ ­®¢¨¢èãîáï
᪮à®áâì ®â­®á¨â¥«ì­®£® ¤¢¨¥­¨ï ä § (᪮à®áâì ®á ¤¥­¨ï ¨«¨ ᪮à®áâì ¢á¯«ëâ¨ï áä¥à¨ç¥áª®© ª ¯«¨)
U

=

2
3

ga2
ρ
µ1



1+β
2 + 3β



,

(2.2.17)

2.2. Ž¡â¥ª ­¨¥ ç áâ¨æë, ª ¯«¨ ¨ ¯ã§ëàï ¯®áâ㯠⥫ì­ë¬ ¯®â®ª®¬

49

£¤¥
ρ | à §­®áâì ¯«®â­®á⥩ ¢­¥è­¥© ¨ ¢­ãâ७­¥© ¨¤ª®á⥩, g |
ã᪮७¨¥ ᢮¡®¤­®£® ¯ ¤¥­¨ï.
‘®®â­®è¥­¨ï (2.2.16) ¨ (2.2.17) ®å¢ âë¢ îâ ¢¥áì ¤¨ ¯ §®­ ¨§¬¥­¥­¨ï ®â­®è¥­¨ï ¢ï§ª®á⥩ ä § 0 6 β < ∞. ‚ ¯à¥¤¥«ì­ëå á«ãç ïå
β = 0 (£ §®¢ë© ¯ã§ëàì ¢ ¢ë᮪®¢ï§ª®© ¨¤ª®áâ¨) ¨ β → ∞ (⢥ठï
ç áâ¨æ ¢ ¨¤ª®á⨠¨«¨ £ §¥) í⨠ä®à¬ã«ë ¯à¨­¨¬ îâ ¢¨¤
8
,
Re
12
cf =
,
Re
cf

=

U
U

1
3
2
=
9
=

ga2
ρ
µ1
ga2
ρ
µ1

(£ §®¢ë© ¯ã§ëàì),

(2.2.18)

(⢥ठï ç áâ¨æ ).

(2.2.19)

Ǒ®á«¥¤­¥¥ ¢ëà ¥­¨¥ ¤«ï cf ¨§¢¥áâ­® ª ª § ª®­ ‘â®ªá ¤«ï ª®íää¨æ¨¥­â ᮯà®â¨¢«¥­¨ï ⢥à¤ëå áä¥à¨ç¥áª¨å ç áâ¨æ. Ž­ ¯®¤â¢¥à¤¥­ íªá¯¥à¨¬¥­â «ì­® ¤«ï Re < 0,1.
‡ ª®­ ᮯà®â¨¢«¥­¨ï ¤«ï áä¥à¨ç¥áª¨å ¯ã§ëà쪮¢ (2.2.18) ¢ë¯®«­ï¥âáï
«¨èì ¤«ï ®ç¥­ì ç¨áâëå ¨¤ª®á⥩ ¡¥§
ª ª¨å-«¨¡® ¯à¨¬¥á¥© ¯®¢¥àå­®áâ­®ªâ¨¢­ëå ¢¥é¥áâ¢.
‘®£« á­® ¤ ­­ë¬ [100℄, ¤ ¥ ®ç¥­ì
¬ «ë¥ ª®«¨ç¥á⢠¯®¢¥àå­®áâ­®- ªâ¨¢­ëå ¢¥é¥áâ¢, ¤á®à¡¨àãïáì ­ ¯®¢¥àå­®á⨠¯ã§ëàï, ¯à¨¢®¤ïâ ª ¥¥ ý§ ⢥थ¢ ­¨îþ, ¯®¤ ¢«ïï ¢­ãâ७­îî
æ¨àªã«ïæ¨î ¨¤ª®áâ¨, â ª ç⮠ॠ«ì­®¥ ¢á¯«ë⨥ ¯ã§ëàìª ¨¤¥â ¯® § ª®­ã
‘â®ªá ¤«ï ⢥म© ç áâ¨æë (2.2.19).

Ž¡â¥ª ­¨¥ ª ¯¥«ì á ¬¥¬¡à ­­®© ä §®©. ‚ 娬¨ç¥áª®© â¥å­®«®-

£¨¨ ­¥à¥¤ª¨ á«ãç ¨ ¨á¯®«ì§®¢ ­¨ï á®áâ ¢­ëå ª ¯¥«ì, ª®£¤ ¤¨á¯¥àá­ ï á। (ä § 1) ¨ ¨¤ª®áâì, á®áâ ¢«ïîé ï ï¤à® ª ¯«¨ (ä § 3), à §¤¥«¥­ë
¨¤ª®© ®¡®«®çª®© ¨§ ¡ãä¥à­®© ¨«¨
¬¥¬¡à ­­®© ä §ë (ä § 2). ‘â 樮- ¨á. 2.3. Ž¡â¥ª ­¨¥ ª ¯«¨ á ¬¥¬­ à­®¥ â¥ç¥­¨¥ ¢ ­¥á¬¥è¨¢ îé¨åáï ¡à ­­®© ä §®©
ä § å 2 ¨ 3 ¤®«­® ¯à®¨á室¨âì ¯® § ¬ª­ãâë¬ «¨­¨ï¬ ⮪ (à¨á. 2.3). ᫨ á«®© ¬¥¬¡à ­­®© ä §ë â®­®ª,
â¥ç¥­¨¥ ¢ ­¥¬ ¡ã¤¥â ¢¥áì¬ áâ¥á­¥­­ë¬, ¡«¨§ª¨¬ ª § â®à¬®¥­­®¬ã.
Ǒãáâì a | ¢­¥è­¨© à ¤¨ãá á®áâ ¢­®© ª ¯«¨, aε | à ¤¨ãá ¥¥ ï¤à (0 6 ε 6 1). ’®ç­®¥ à¥è¥­¨¥ § ¤ ç¨ ®¡ ®¡â¥ª ­¨¨ á®áâ ¢­®© ª ¯«¨
¯®áâ㯠⥫ì­ë¬ áâ®ªá®¢ë¬ ¯®â®ª®¬ ᮠ᪮à®áâìî Ui ¤ ­® ¢ [293℄, £¤¥

50

„¢¨¥­¨¥ ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ ¢ ¨¤ª®áâ¨

¯à¨¢¥¤¥­ë ä㭪樨 ⮪ â¥ç¥­¨ï ¢ ä § å ¨ ¢ëç¨á«¥­ ᨫ ᮯà®â¨¢«¥­¨ï
F

= 6πµaUiλ,

λ=

2
3

β3 + 6β22 F (ε) + β2 (2 + 3β3 )G(ε)
,
β3 + 4β22 F (ε) + 2β2 (1 + β3 )G(ε)

(2.2.20)

£¤¥ β2 = µ2 /µ1 ¨ β3 = µ3 /µ1 | ®â­®è¥­¨ï ¢ï§ª®á⥩ ä §,
F (ε) =

1 − ε5
,
3
(1 − ε) (4ε2 + 7ε + 4)

G(ε) =

(1 + ε)(2ε2 + ε + 2)
.
(1 − ε)(4ε2 + 7ε + 4)

Žâ¬¥â¨¬ âਠ¢ ­ëå ¯à¥¤¥«ì­ëå á«ãç ï ä®à¬ã«ë (2.2.20).
1. „«ï ¬ «®£® ï¤à ª ¯«¨ ¯®«ã稬
λ→

2 + 3β 2
3(1 + β2 )

¯à¨

ε → 0,

(2.2.21)

¨ ä®à¬ã« (2.2.20) ¯¥à¥å®¤¨â ¢ ä®à¬ã«ã (2.2.15), á®â¢¥âáâ¢ãîéãî
à¥è¥­¨î €¤ ¬ à | ë¡ç¨­áª®£®, £¤¥ β = β2 .
2. Ǒਠ㬥­ì襭¨¨ â®«é¨­ë ¬¥¬¡à ­­®£® á«®ï ¨¬¥¥¬
λ→1

¯à¨

ε → 1.

(2.2.22)

â® ®§­ ç ¥â, çâ® ¤¢¨¥­¨¥ ¢ â®­ª®¬ ¬¥¬¡à ­­®¬ á«®¥ ᨫ쭮 § â®à¬®¥­® ¨ ª ¯«ï ®¡â¥ª ¥âáï, ª ª ⢥ठï ç áâ¨æ . Ǒ®«ã祭­ë©
१ã«ìâ â ¬®­® âà ªâ®¢ âì, ª ª ç¨áâ® £¨¤à®¤¨­ ¬¨ç¥áªãî «ìâ¥à­ ⨢㠤 ¢ ¥¬®£® ¢ [100℄ ®¡êïá­¥­¨ï íä䥪⠄®à­ (ý§ ⢥थ¢ ­¨¥þ ¯®¢¥àå­®á⨠¯ã§ëàìª , ¢á¯«ë¢ î饣® ¢ ¨¤ª®á⨠ᮠ᫥¤ ¬¨
¯®¢¥àå­®áâ­®- ªâ¨¢­®£® ¢¥é¥á⢠).
3. “¢¥«¨ç¨¢ ï ¢ï§ª®áâì ï¤à ¯à¨å®¤¨¬ ª ᨫ¥ ᮯà®â¨¢«¥­¨ï
⢥म© áä¥à¨ç¥áª®© ç áâ¨æë à ¤¨ãá aε, ¯®ªàë⮩ ¨¤ª®© ¯«¥­ª®©
⮫騭®© a(1 − ε):
F

= 6πµaUi λ,

λ=

2 1 + 3β2 G(ε)
.
3 1 + 2β2 G(ε)

(2.2.23)

â ä®à¬ã« ¯à¨ 㬥­ì襭¨¨ à ¤¨ãá ç áâ¨æë ε → 0 ¯¥à¥å®¤¨â ¢
ä®à¬ã«ã €¤ ¬ à | ë¡ç¨­áª®£® ¤«ï ª ¯«¨ (2.2.15), ¯à¨ 㬥­ì襭¨¨ â®«é¨­ë ¯«¥­ª¨ ε → 1 | ¢ ä®à¬ã«ã ‘â®ªá ¤«ï ⢥म© áä¥àë
(2.2.5).
Ž¡â¥ª ­¨¥ ¯®à¨á⮩ áä¥à¨ç¥áª®© ç áâ¨æë.  áᬮâਬ § ¤ çã ®¡ ®¡â¥ª ­¨¨ áä¥à¨ç¥áª®© ¯®à¨á⮩ ç áâ¨æë à ¤¨ãá a ¯®áâ㯠⥫ì­ë¬ ¯®â®ª®¬ ¨¤ª®á⨠ᮠ᪮à®áâìî Ui . ‘ç¨â ¥¬, çâ® â¥ç¥­¨¥
¢­¥ ç áâ¨æë ®¯¨áë¢ ¥âáï ãà ¢­¥­¨ï¬¨ ‘⮪á (2.1.1) ¢ï§ª®áâìî µ.

2.2. Ž¡â¥ª ­¨¥ ç áâ¨æë, ª ¯«¨ ¨ ¯ã§ëàï ¯®áâ㯠⥫ì­ë¬ ¯®â®ª®¬

51

Ǒ।¯®« £ ¥âáï â ª¥, çâ® ¤«ï 䨫ìâà 樮­­®£® â¥ç¥­¨ï ­¥á¨¬ ¥¬®© ¨¤ª®á⨠¢­ãâਠç áâ¨æë á¯à ¢¥¤«¨¢ § ª®­ „ àᨠ[88, 132℄:
~ (2)
V

=−

K
∇P (2) ,
µ

∇ · V~ (2)

= 0,

(2.2.24)

£¤¥ K | ª®íää¨æ¨¥­â ¯à®­¨æ ¥¬®áâ¨.
„«ï § ¢¥à襭¨ï ä®à¬ã«¨à®¢ª¨ § ¤ ç¨ ¯®¬¨¬® ãá«®¢¨ï ®¤­®à®¤­®á⨠¯®â®ª ­ ¡¥áª®­¥ç­®á⨠(2.2.2) ¨ ®£à ­¨ç¥­­®á⨠à¥è¥­¨ï
(2.2.10) á«¥¤ã¥â ¤®¡ ¢¨âì £à ­¨ç­ë¥ ãá«®¢¨ï ­ ¯®¢¥àå­®á⨠ç áâ¨æë. Ž¤­® ¨§ ãá«®¢¨© ¯®«ãç ¥âáï ¯®¤áâ ­®¢ª®© §­ 祭¨© µ2 = 0 ¨ σ = 0
¢ (2.2.8) ¨ ®§­ ç ¥â à ¢¥­á⢮ ­®à¬ «ì­®£® ­ ¯à省¨ï ¢­ãâ७­¥¬ã
¤ ¢«¥­¨î. Šà®¬¥ ⮣®, ¤®«­ë ¢ë¯®«­ïâìáï ãá«®¢¨¥ ­¥¯à¥à뢭®áâ¨
­®à¬ «ì­®© á®áâ ¢«ïî饩 ᪮à®áâ¨
(1)
VR

= VR(2)
¯à¨ R = a
(2.2.25)
¨ ãá«®¢¨¥ ¯à®¯®à樮­ «ì­®áâ¨ áª çª â ­£¥­æ¨ «ì­®© á®áâ ¢«ïî饩
᪮à®á⨠­ £à ­¨æ¥ ¨¤ª®áâì{¯®à¨áâ ï á। ¥¥ ­®à¬ «ì­®© ¯à®¨§¢®¤­®©
√ ∂Vθ(1)
λ K
∂R

=

(1)
(2)

Vθ − Vθ

¯à¨

R = a.

(2.2.26)

Ǒ®á«¥¤­¥¥ ãá«®¢¨¥ ¡ë«® ¯®«ã祭® íªá¯¥à¨¬¥­â «ì­® ¨ ⥮à¥â¨ç¥áª¨
®¡®á­®¢ ­® ¢ à ¡®â å [198, 199, 295℄, λ | ¡¥§à §¬¥à­ ï í¬¯¨à¨ç¥áª ï
¯®áâ®ï­­ ï, §­ 祭¨¥ ª®â®à®© «¥¨â ¢ ¤¨ ¯ §®­¥ 0,25 6 λ 6 10,
§ ¢¨áïé ï ®â ¬ â¥à¨ « ¨ ¢­ãâ७­¥© £¥®¬¥âਨ ¯®à¨á⮩ á।ë.
 ¯à¨¬¥à, ¤«ï «®ªá¨â λ = 10, K = 1,6 · 10−9 ¬2 ; ¤«ï ­¥ª®â®àëå
¯¥­®¬¥â ««®¢ λ = 0,25, K = 10−8 ÷ 10−7 ¬2 .
¥è¥­¨¥ áä®à¬ã«¨à®¢ ­­®© £¨¤à®¤¨­ ¬¨ç¥áª®© § ¤ ç¨ ¯à¨¢®¤¨â
ª á«¥¤ãî騬 ¢ëà ¥­¨ï¬ ¤«ï ª®¬¯®­¥­â ᪮à®á⨠¢­¥ ¨ ¢­ãâà¨
¯®à¨á⮩ ç áâ¨æë [151℄:


3
a
a3
1
(1)
VR = Ui 1 − B1
+ B
os θ,
2 R 2 2 R3


3
a
1
a3
(1)
(2.2.27)
− B2 3 sin θ;
Vθ = −Ui 1 − B1
4 R 4 R
3 K
3 K
(2)
(2)
VR = Ui 2 B3 os θ, Vθ = − Ui 2 B3 sin θ,
2 a
2 a
£¤¥ ¡¥§à §¬¥à­ë¥ ¯®áâ®ï­­ë¥ B1 , B2 , B3 ®¯à¥¤¥«ïîâáï á ¯®¬®éìî
ᮮ⭮襭¨©
1 + λk1/2
1 − λk1/2
1 + 5λk1/2
B1 =
, B2 =
, B3 =
,



(2.2.28)
15 3/2
3
K
1
/2
+ k + λk .
k = 2 ,  = 1 + 2λk
a
2
2

52

„¢¨¥­¨¥ ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ ¢ ¨¤ª®áâ¨

„«ï ᨫ ᮯà®â¨¢«¥­¨ï ¯®à¨á⮩ ç áâ¨æë ¨¬¥¥¬
F

= 6πµaUi B1 ,

(2.2.29)

£¤¥ ¢ëà ¥­¨¥ ¤«ï ¯ à ¬¥âà B1 ¤ ­® ¢ (2.2.28).
‚ ¯à¥¤¥«ì­ëå á«ãç ïå K → 0 ¨ λ → 0 ä®à¬ã« (2.2.29) ¯¥à¥å®¤¨â
¢ (2.2.5) ¨ ᮮ⢥âáâ¢ãîâ á⮪ᮢ㠮¡â¥ª ­¨î ⢥म© áä¥àë.
2.3. ‘ä¥à¨ç¥áª¨¥ ç áâ¨æë ¢ ¯®áâ㯠⥫쭮¬
¯®â®ª¥ ¯à¨ 㬥७­ëå ¨ ¡®«ìè¨å
ç¨á« å ¥©­®«ì¤á

Ǒਡ«¨¥­¨¥ Ž§¥¥­ ¨ ¢ëá訥 ¯à¨¡«¨¥­¨ï. Ǒ®«­®áâìî
¡¥§ë­¥à樮­­®¥ ®¡â¥ª ­¨¥ áä¥àë ï¥âáï ¤¥ª¢ â­ë¬ íªá¯¥à¨¬¥­âã
«¨èì ¢ ¯à¥¤¥«ì­®¬ á«ãç ¥ Re → 0. “¥ ¯à¨ Re = 0,05 ¯® ¤ ­­ë¬ [219℄
¯®£à¥è­®áâì ®æ¥­ª¨ ᮯà®â¨¢«¥­¨ï ¯® ä®à¬ã«¥ (2.2.19) á®áâ ¢«ï¥â
1,5 ÷ 2%, ¯à¨ Re = 0,5 ­ 室¨âáï ¢ ¯à¥¤¥« å 10,5 ÷ 11%. Ǒ® í⮩
¯à¨ç¨­¥ ®æ¥­ª®© ¤«ï ª®íää¨æ¨¥­â ᮯà®â¨¢«¥­¨ï cf = 12/Re ¬®­® ¯®«ì§®¢ âìáï ⮫쪮 ¯à¨ Re < 0,2 (¬ ªá¨¬ «ì­ ï ¯®£à¥è­®áâì
¢ í⮬ á«ãç ¥ ­¥ ¯à¥¢ëè ¥â 5%). Ǒ®¯ë⪠ã«ãçè¨âì ¯à¨¡«¨¥­¨¥
‘â®ªá ¯à®áâë¬ ¨â¥à 樮­­ë¬ ãç¥â®¬ ª®­¢¥ªâ¨¢­ëå ç«¥­®¢ ¯à¨¢®¤¨â ª ãà ¢­¥­¨î, ¤«ï ª®â®à®£® ­¥«ì§ï ¯®áâநâì à¥è¥­¨¥, 㤮¢«¥â¢®àïî饥 ãá«®¢¨î ­ ¡¥áª®­¥ç­®áâ¨. â®â ä ªâ ¨§¢¥á⥭ ª ª ¯ à ¤®ªá
“ ©â奤 , ¯à®¨á室¥­¨¥ ª®â®à®£® á¢ï§ ­® á ᨭ£ã«ïà­®áâìî à¥è¥­¨ï ­ ¡¥áª®­¥ç­®áâ¨.
‘¯®á®¡ ¯à¥®¤®«¥­¨ï í⮣® ¯ à ¤®ªá ¯à¥¤«®¨« Ž§¥¥­ [38℄, ¯®ª § ¢è¨©, çâ® ¯®áª®«ìªã ­ ¡®«ìè¨å à ááâ®ï­¨ïå ®â áä¥àë ᪮à®áâì V~
¬ «® ®â«¨ç ¥âáï ®â ᪮à®á⨠­ ¡¥£ î饣® ¯®â®ª U~ i, ¨­¥à樮­­ë©
ç«¥­ á«¥¤ã¥â ¯à¨¡«¨¥­­® ¯à¥¤áâ ¢«ïâì ª ª (U~ i · ∇)V~ . ‘¨á⥬ ãà ¢­¥­¨© Ž§¥¥­ ¨¬¥¥â ¢¨¤
1
(U~ i · ∇)V~ = − ∇P + ν
V~ ,
ρ
(2.3.1)
~
∇ · V = 0.

â á¨á⥬ ãà ¢­¥­¨© ¡®«¥¥ â®ç­ (¢¤ «¨ ®â ç áâ¨æë), 祬 á¨á⥬
ãà ¢­¥­¨© ‘⮪á , ¨ ⮥ «¨­¥©­ .
¥è¥­¨¥ ãà ¢­¥­¨© (2.3.1) £à ­¨ç­ë¬¨ ãá«®¢¨ï¬¨ ¯à¨«¨¯ ­¨ï
­ ¯®¢¥àå­®á⨠⢥म© áä¥àë (2.2.1) ¨ £à ­¨ç­ë¬¨ ãá«®¢¨ï¬¨ ¢¤ «¨
®â ­¥¥ (2.2.2) ¬®­® ¢ëà §¨âì ç¥à¥§ äã­ªæ¨î ⮪ (2.1.3) á ¯®¬®éìî
ä®à¬ã« [219℄
=


Ui2 R2 sin2 θ

2

1+

a3
2R 3



−

53

2.3. — áâ¨æë ¢ ¯®áâ㯠⥫쭮¬ ¯®â®ª¥ ¯à¨ Re > 1
−

­¨¥




− Re

3 2 2
U a (1 + os θ) 1 − exp
2 Re i

1 − os θ
2

R
a



.

(2.3.2)

‚ १ã«ìâ ⥠¤«ï ª®íää¨æ¨¥­â ᮯà®â¨¢«¥­¨ï ¯®«ã稬 ¢ëà ¥



12
3
cf =
1 + Re
Re
8

(2.3.3)

,

ª®â®à®¥ ãâ®ç­ï¥â § ª®­ ‘⮪á (2.2.19).
Ǒਡ«¨¥­¨¥ Ž§¥¥­ ¤ ¥â ®âª«®­¥­¨¥ ®â íªá¯¥à¨¬¥­â «ì­ëå ¤ ­­ëå ¯à¨ Re 6 0,05 ¢ ¯à¥¤¥« å 0 ÷ 1,0%, ¯à¨ Re = 0,5 íâ® ®âª«®­¥­¨¥
á®áâ ¢«ï¥â 4 ÷ 6%.
Ǒ®¯ëâªã à áè¨à¨âì ¤¨ ¯ §®­ ¯à¨¬¥­¨¬®á⨠­ «¨â¨ç¥áª¨å à¥è¥­¨© ¯® ç¨á«ã ¥©­®«ì¤á ¯à¥¤¯à¨­ï«¨ Ǒà 㤬¥­ ¨ Ǒ¨àá®­ [282℄.
Ž­¨ à¥è «¨ á¨á⥬ã ãà ¢­¥­¨©  ¢ì¥ | ‘â®ªá ¬¥â®¤®¬ áà 騢 ¥¬ëå ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨å à §«®¥­¨© [38℄ ¢ ®¡« áâïå ¢¡«¨§¨ áä¥àë ¨
­ 㤠«¥­¨¨ ®â ­¥¥. ‚ ¨â®£¥ ¤«ï ª®íää¨æ¨¥­â ᮯà®â¨¢«¥­¨ï ¡ë«®
­ ©¤¥­® âਠ£« ¢­ëå ç«¥­ ᨬ¯â®â¨ç¥áª®£® à §«®¥­¨ï ¯à¨ Re → 0:
cf

=



3
9
12
1 + Re + Re2 ln Re +O(Re2 )
Re
8
40



(2.3.4)

.

ǑਠRe < 0,5 ®âª«®­¥­¨¥ १ã«ìâ ⮢ à áç¥â®¢ ¯® ä®à¬ã«¥ (2.3.4) ®â
íªá¯¥à¨¬¥­â «ì­ëå ¤ ­­ëå ­¥ ¯à¥¢ëè ¥â 0,5%.
—¥áâ¥à ¨ à¨ç [219℄ ­ 諨 ¤¢ ¯®á«¥¤ãîé¨å ç«¥­ à §«®¥­¨ï
ª®íää¨æ¨¥­â ᮯà®â¨¢«¥­¨ï ¯® ç¨á«ã ¥©­®«ì¤á
cf







323
3
5
12
9
1 + Re + Re2 ln Re +γ + ln 2 −
+
=
Re
8
40
3
360

27 3
Re ln Re +O(Re3 ) ,
+
(2.3.5)
80

£¤¥ γ ≈ 0,5772 | ¯®áâ®ï­­ ï ©«¥à .

Ž¡â¥ª ­¨¥ ⢥म© áä¥à¨ç¥áª®© ç áâ¨æë ¯à¨ Re > 0,5.

ǑਠRe > 0,5 ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨¥ à¥è¥­¨ï ¯¥à¥áâ îâ ¤¥ª¢ â­® ®¯¨áë¢ âì ®¡â¥ª ­¨¥ áä¥à¨ç¥áª®© ç áâ¨æë ¯®áâ㯠⥫ì­ë¬ ¯®â®ª®¬ ¢ï§ª®©
¨¤ª®áâ¨.
Œ­®£®ç¨á«¥­­ë¥ १ã«ìâ âë ç¨á«¥­­ëå à¥è¥­¨© á¨á⥬ë ãà ¢­¥­¨©  ¢ì¥ | ‘â®ªá ¨ íªá¯¥à¨¬¥­â «ì­ë¥ ¤ ­­ë¥ (®¡§®à ª®â®àëå ¯à¨¢¥¤¥­ ¢ [219℄) ¯®§¢®«ïîâ ¤¥â «ì­® ¯à® ­ «¨§¨à®¢ âì à §¢¨â¨¥ ª à⨭ë â¥ç¥­¨ï ¯à¨ 㢥«¨ç¥­¨¨ ç¨á« ¥©­®«ì¤á . ‚ ¤¨ ¯ §®­¥
0,5 < Re < 10 ®¡â¥ª ­¨¥ áä¥àë ï¥âáï ¡¥§®âà뢭ë¬, å®âï ᨬ¬¥âà¨ï ®¡â¥ª ­¨ï «®¡®¢®© ¨ âë«ì­®© ç á⥩ áä¥àë, å à ªâ¥à­ ï ¤«ï

54

„¢¨¥­¨¥ ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ ¢ ¨¤ª®áâ¨

Š ç¥á⢥­­ ï ª à⨭ ®¡â¥ª ­¨ï áä¥àë á ãá⮩稢®© §®­®© ®âàë¢
(10 < Re < 65)

¨á. 2.4.

¡¥§ë­¥à樮­­®£® á⮪ᮢ ®¡â¥ª ­¨ï, ¢á¥ ¡®«¥¥ ¨ ¡®«¥¥ ­ àãè ¥âáï.
 ª®­¥æ, ¯à¨ Re ≈ 10 ¢ ª®à¬®¢®© ç á⨠¯à®¨á室¨â ®âàë¢ ¯®â®ª .
„¨ ¯ §®­ ç¨á¥« ¥©­®«ì¤á 10 < Re < 65 å à ªâ¥à¨§ã¥âáï ­ «¨ç¨¥¬ § ¬ª­ã⮩ ãá⮩稢®© ª®à¬®¢®© ®¡« áâ¨ á ¯ ன ᨬ¬¥âà¨ç­ëå
áâ 樮­ à­ëå ¢¨å३ (à¨á. 2.4). Ǒ® ¬¥à¥ à®áâ Re ¢¨åਠ㤫¨­ïîâáï,
â®çª ®âàë¢ (§­ 祭¨¥ θs ) á¬¥é ¥âáï ®â ª®à¬®¢®© â®çª¨ (θs = 0◦
¯à¨ Re = 10) ¤® â®çª¨ θs = 72◦ ¯à¨ Re = 200 ¯® § ª®­ã [219℄


Re
θs = 42,5 ln
10

0,483

¯à¨ 10 < Re < 200.

(2.3.6)

‚ í⮩ ¨ á«¥¤ãî饩 ä®à¬ã«¥ §­ 祭¨ï θs ¢ëà  îâáï ¢ £à ¤ãá å.
ǑਠRe > 65 á¯ãâ­®¥ ¢¨åॢ®¥ â¥ç¥­¨¥ ¢ ª®à¬®¢®© ®¡« á⨠â¥àï¥â
ãá⮩稢®áâì ¨ áâ ­®¢¨âáï ­¥áâ 樮­ à­ë¬. ‚ ¤¨ ¯ §®­¥ 65 < Re < 200
§ ç áâ¨æ¥© ®¡à §ã¥âáï ¯à®â省­ë© ¯ã«ìá¨àãî騩 á«¥¤, ª®â®àë©
¯®á⥯¥­­® âãà¡ã«¨§ã¥âáï ¯à¨ 200 < Re < 1,5 · 105. Ž¤­®¢à¥¬¥­­® â®çª
®âàë¢ ¯à®¤®« ¥â ᬥé âìáï ¢¢¥àå ¯® ¯®â®ªã ¯® § ª®­ã [219℄
θs

= 102 − 213 (Re)−0,37

¯à¨ 200 < Re < 1,5 · 105 .

(2.3.7)

ǑਠRe > 1500 ¤«ï à¥è¥­¨ï ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å £¨¤à®¤¨­ ¬¨ç¥áª¨å
§ ¤ ç ¯à¨¬¥­ïîâáï ¬¥â®¤ë ⥮ਨ ¯®£à ­¨ç­®£® á«®ï [184℄. Ž¤­ ª®

55

2.4. Š ¯«¨ ¨ ¯ã§ëਠ¢ ¯®áâ㯠⥫쭮¬ ¯®â®ª¥ ¯à¨ Re > 1

¢ १ã«ìâ ⥠¢«¨ï­¨ï ®âà뢭®£® â¥ç¥­¨ï ¢ ª®à¬®¢®© ®¡« á⨠¯®â¥­æ¨ «ì­®¥ ¤¢¨¥­¨¥ ¨¤ª®á⨠¨¬¥¥â ¬¥áâ® «¨èì ­ ç á⨠«®¡®¢®© ¯®¢¥àå­®á⨠áä¥àë (¤«ï θ > 150◦) [219℄. â® ­¥ ¯®§¢®«ï¥â ¯à ¢¨«ì­®
®æ¥­¨âì ¯à®¤®«ì­ë© £à ¤¨¥­â ¤ ¢«¥­¨ï ­ §­ ç¨â¥«ì­®© ç á⨠¯®£à ­¨ç­®£® á«®ï.
Ǒਢ¥¤¥¬ ¤¢¥ ¯à®áâë¥ ¯à¨¡«¨¥­­­ë¥ ä®à¬ã«ë ¤«ï ª®íää¨æ¨¥­â ᮯà®â¨¢«¥­¨ï áä¥à¨ç¥áª®© ç áâ¨æë [17, 219℄


12
1 + 0,241 Re0,687 ,
Re


12
cf =
1 + 0,0811 Re0,879 ,
Re

cf

=

0 6 Re 6 400,
200 6 Re 6 2500,

(2.3.8)

£¤¥ ç¨á«® ¥©­®«ì¤á ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¯® à ¤¨ãáã. Œ ªá¨¬ «ì­ ï ¯®£à¥è­®áâì ä®à¬ã« (2.3.8) ¢ 㪠§ ­­ëå ¤¨ ¯ §®­ å ­¥ ¯à¥¢®á室¨â 5%.
‚ è¨à®ª®¬ ¤¨ ¯ §®­¥ ç¨á¥« ¥©­®«ì¤á ¬®­® ¨á¯®«ì§®¢ âì ¡®«¥¥ á«®­ãî ¯¯à®ªá¨¬ æ¨î ¤«ï ª®íää¨æ¨¥­â ᮯà®â¨¢«¥­¨ï [219℄
cf

=





12
1 + 0,241 Re0,687 + 0,42 1 + 1,902 · 104 Re−1,16 −1 ,
Re

¬ ªá¨¬ «ì­ ï ¯®£à¥è­®áâì ª®â®à®© ¯à¨ Re < 1,5 · 105 ­¥ ¯à¥¢ëè ¥â 6%.
ǑਠRe ≈ 1,5 · 105 ­ ¡«î¤ ¥âáï ýªà¨§¨á ᮯà®â¨¢«¥­¨ïþ, ª®â®àë©
å à ªâ¥à¨§ã¥âáï १ª¨¬ 㬥­ì襭¨¥¬ ª®íää¨æ¨¥­â ᮯà®â¨¢«¥­¨ï
¨ á¢ï§ ­ á âãà¡ã«¨§ 樥© ¯®£à ­¨ç­®£® á«®ï ¨ ᪠窮®¡à §­ë¬ ᬥ饭¨¥¬ â®çª¨ ®âàë¢ ¢ ª®à¬®¢ãî ®¡« áâì.
ǑਠRe > 1,7 · 105 ¤«ï ¢ëç¨á«¥­¨ï ª®íää¨æ¨¥­â ᮯà®â¨¢«¥­¨ï
¬®­® ¨á¯®«ì§®¢ âì ä®à¬ã«ë

 28,18 − 5,3 lg Re
cf = 0,1 lg Re −0,46

0,19 − 4 · 104 Re−1

¯à¨ 1,7 · 105 6 Re 6 2 · 105 ,
¯à¨ 2 · 105 < Re 6 5 · 105,
¯à¨ 5 · 105 < Re,

¯à¨¢¥¤¥­­ë¥ ¢ [219℄.

2.4. ‘ä¥à¨ç¥áª¨¥ ª ¯«¨ ¨ ¯ã§ëਠ¢
¯®áâ㯠⥫쭮¬ ¯®â®ª¥ ¯à¨ 㬥७­ëå ¨
¡®«ìè¨å ç¨á« å ¥©­®«ì¤á

Ǒã§ëàì ¢ ¯®áâ㯠⥫쭮¬ ¯®â®ª¥. ‚ á«ãç ¥ áä¥à¨ç¥áª®£®
¯ã§ëàï, ®¡â¥ª ¥¬®£® ¯®áâ㯠⥫ì­ë¬ ¯®â®ª®¬ ¯à¨ ¬ «ëå ç¨á« å
¥©­®«ì¤á , १ã«ìâ âë à¥è¥­¨ï ãà ¢­¥­¨© Ž§¥¥­ (2.3.1) ¯à¨¢®¤ïâ

56

„¢¨¥­¨¥ ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ ¢ ¨¤ª®áâ¨

ª ¤¢ãç«¥­­®¬ã ᨬ¯â®â¨ç¥áª®¬ã à §«®¥­¨î ¤«ï ª®íää¨æ¨¥­â
ᮯà®â¨¢«¥­¨ï [310℄:
8
(2.4.1)
+1
(¯à¨ Re → 0),
Re
ª®â®à®¥ ãâ®ç­ï¥â ä®à¬ã«ã (2.2.18).
Š®íää¨æ¨¥­â ᮯà®â¨¢«¥­¨ï ¬®­®â®­­® 㬥­ìè ¥âáï ¯à¨ ã¢¥«¨ç¥­¨¨ ç¨á« ¥©­®«ì¤á . Ǒਠ¡®«ìè¨å ç¨á« å ¥©­®«ì¤á ¤«ï à¥è¥­¨ï § ¤ ç¨ ®¡ ®¡â¥ª ­¨¨ ¯ã§ëàï ¬®¥â ¡ëâì ¨á¯®«ì§®¢ ­® ¯à¨¡«¨¥­¨¥ ¨¤¥ «ì­®© ¨¤ª®áâ¨. Ǒਠí⮬ £« ¢­ë© ç«¥­ ᨬ¯â®â¨ç¥áª®£®
à §«®¥­¨ï ª®íää¨æ¨¥­â ᮯà®â¨¢«¥­¨ï ¨¬¥¥â ¢¨¤ [261℄:
cf

=

24
(¯à¨ Re → ∞).
Re
‚ [72℄ ¡ë« ¯à¥¤«®¥­ ¨­â¥à¯®«ï樮­­ ï ä®à¬ã«
cf

=

(2.4.2)

8
16
,
(2.4.3)
+
Re Re +16
¯®§¢®«ïîé ï ¢ëç¨á«ïâì ª®íää¨æ¨¥­â ᮯà®â¨¢«¥­¨ï áä¥à¨ç¥áª®£®
¯ã§ëàï ¢® ¢á¥¬ ¤¨ ¯ §®­¥ ¨§¬¥­¥­¨ï ç¨á¥« ¥©­®«ì¤á . ‚ ¯à¥¤¥«ì­ëå
á«ãç ïå Re → 0 ¨ Re → ∞ íâ ä®à¬ã« ¤ ¥â ¯à ¢¨«ì­ë¥ ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨¥ १ã«ìâ âë (2.4.1) ¨ (2.4.2); ¥¥ ¬ ªá¨¬ «ì­ ï ¯®£à¥è­®áâì ¯à¨
¯à®¬¥ãâ®ç­ëå ç¨á« å ¥©­®«ì¤á á®áâ ¢«ï¥â ¬¥­¥¥ 4,5%.
Š ¯«ï ¢ ¯®áâ㯠⥫쭮¬ ¯®â®ª¥ ¨¤ª®áâ¨. ‚ à ¡®â¥ [310℄
¤«ï ª®íää¨æ¨¥­â ᮯà®â¨¢«¥­¨ï áä¥à¨ç¥áª®© ª ¯«¨, ®¡â¥ª ¥¬®© ¯®áâ㯠⥫ì­ë¬ ¯®â®ª®¬ ¯à¨ ¬ « å ç¨á« å ¥©­®«ì¤á , ¡ë«® ¯®«ã祭®
á«¥¤ãî饥 ᨬ¯â®â¨ç¥áª®¥ à §«®¥­¨¥:
cf

cf

=

3β + 2
β+1



=

Re
1
4
+
+
Re2 ln Re
Re
2
40


,

Re =

aUi
,
ν

(2.4.4)

ª®â®à®¥ ãâ®ç­ï¥â ä®à¬ã«ã (2.2.16).
‘ä¥à¨ç­®áâì ä®à¬ë ª ¯«¨ ¨«¨ ¯ã§ëàï, ®¡â¥ª ¥¬ëå á⮪ᮢë¬
¯®â®ª®¬, ï¥âáï á«¥¤á⢨¥¬ ¡¥§ë­¥à樮­­®á⨠â¥ç¥­¨ï. Ž¤­ ª® ¤ ¥ ¢ á«ãç ¥ ¯à¥®¡« ¤ ­¨ï ¨­¥à樮­­ëå ᨫ ­ ¤ ¢ï§ª¨¬¨, ª®£¤ ç¨á«®
¥©­®«ì¤á ­¥«ì§ï áç¨â âì ¬ «ë¬, ¤¥ä®à¬ 樨 ª ¯«¨ ­¥ ¯à®¨á室¨â,
¥á«¨ ¨­¥à樮­­ë¥ á¨«ë ¬ «ë ¯® áà ¢­¥­¨î á ª ¯¨««ïà­ë¬¨. Œ¥à®©
®â­®è¥­¨ï ¨­¥à樮­­ëå ¨ ª ¯¨««ïà­ëå ᨫ á«ã¨â ç¨á«® ‚¥¡¥à
We = ρ1 Ui2 a/σ, £¤¥ σ | ¯®¢¥àå­®áâ­®¥ ­ â省¨¥ ­ £à ­¨æ¥ ª ¯«¨.
Ǒਠ¬ «ëå §­ 祭¨ïå We ᯮᮡ­ ï ª ¤¥ä®à¬ 樨 ª ¯«ï (¯ã§ëàì)
¡ã¤¥â á®åà ­ïâì áä¥à¨ç¥áªãî ä®à¬ã.
‚ à §¤. 2.2 㥠®â¬¥ç «®áì, çâ® ¯à¨áãâá⢨¥ ¤ ¥ ­¥¡®«ì讣® ª®«¨ç¥á⢠¯®¢¥àå­®áâ­®- ªâ¨¢­ëå ¢¥é¥á⢠¢ ª ª®©-«¨¡® ¨§ ª®­â ªâ¨àãîé¨å ä § ¬®¥â ¯à¨¢®¤¨âì ª ý§ ⢥थ¢ ­¨îþ £à ­¨æë à §¤¥« ,

2.4. Š ¯«¨ ¨ ¯ã§ëਠ¢ ¯®áâ㯠⥫쭮¬ ¯®â®ª¥ ¯à¨ Re > 1

57

¯à¨¡«¨ ï § ª®­®¬¥à­®á⨠®¡â¥ª ­¨ï ª ¯«¨ ª § ª®­®¬¥à­®áâï¬ ®¡â¥ª ­¨ï ⢥म© ç áâ¨æë. Ǒà ªâ¨ç¥áª¨ â ª ç áâ® ¨ ¯à®¨á室¨â. Ž¤­ ª®, ¥á«¨ ®¡¥ ª®­â ªâ¨àãî騥 ä §ë âé ⥫쭮 ®ç¨é¥­ë (­¥ ᮤ¥à â
¯à¨¬¥á¥©), â® ®¡â¥ª ­¨¥ ª ¯«¨ ¨¬¥¥â ᢮î ᯥæ¨ä¨ªã.
Žâàë¢ ¯®â®ª ¢ á«ãç ¥ ®¡â¥ª ­¨ï ª ¯«¨ ¢ ®â«¨ç¨¥ ®â ®¡â¥ª ­¨ï
⢥म© ç áâ¨æë ¢¥áì¬ § âï­ãâ, ¢¨åॢ ï §®­ ®ª §ë¢ ¥âáï §­ ç¨â¥«ì­® ¡®«¥¥ 㧪®©. ᫨ ¢ á«ãç ¥ ⢥म© áä¥àë ®âàë¢ ¯®â®ª ¨
®¡à §®¢ ­¨¥ ª®à¬®¢®© ¢¨åॢ®© §®­ë ­ 稭 ¥âáï á Re ≈ 10 (ç¨á«® Re
®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¯® à ¤¨ãáã áä¥àë), â® ¢ á«ãç ¥ ª ¯«¨ ¡¥§®âà뢭®¥ ®¡â¥ª ­¨¥ ¬®¥â ¨¬¥âì ¬¥áâ® ¢¯«®âì ¤® §­ 祭¨© Re ≈ 50. ‚ ¤¨ ¯ §®­¥
ç¨á¥« ¥©­®«ì¤á 1 6 Re 6 50 è¨à®ª® ¯à¨¬¥­ïîâáï ç¨á«¥­­ë¥ ¬¥â®¤ë. ¥§ã«ìâ âë, ¯®«ã祭­ë¥ á ¨å ¯®¬®éìî, ®¡á㤠îâáï ¢ [219℄.
‚­ãâ७­ïï æ¨àªã«ïæ¨ï ¨¤ª®á⨠¯à¨ â ª¨å ç¨á« å ¥©­®«ì¤á §­ ç¨â¥«ì­® ¨­â¥­á¨¢­¥¥, 祬 ®¯¨áë¢ ¥¬ ï à¥è¥­¨¥¬ €¤ ¬ à | ë¡ç¨­áª®£®. ‘ª®à®áâì ­ £à ­¨æ¥ ª ¯«¨ ¡ëáâ஠㢥«¨ç¨¢ ¥âáï á à®á⮬
ç¨á« ¥©­®«ì¤á ¤ ¥ ¤«ï ¤®áâ â®ç­® ¢ï§ª¨å ª ¯¥«ì. ‚ ¯à¥¤¥«ì­®¬
á«ãç ¥ ¬ «®© ¢ï§ª®á⨠¤¨á¯¥àá­®© ä §ë β → 0 (ç⮠ᮮ⢥âáâ¢ã¥â
á«ãç î £ §®¢®£® ¯ã§ëàï) ¤«ï ¢­¥è­¥£® â¥ç¥­¨ï ¯à¨ Re ≫ 1 ¬®¥â
¡ëâì ¨á¯®«ì§®¢ ­® ¯à¨¡«¨¥­¨¥ ¨¤¥ «ì­®© ¨¤ª®áâ¨.
‘®£« á­® ¤ ­­ë¬ [219℄ ¤«ï ®æ¥­ª¨ ᮯà®â¨¢«¥­¨ï áä¥à¨ç¥áª®©
ª ¯«¨ á å®à®è¥© â®ç­®áâìî ¯à¨¬¥­¨¬ á«¥¤ãîé ï ä®à¬ã« , ¯¯à®ªá¨¬¨àãîé ï १ã«ìâ âë ç¨á«¥­­ëå à áç¥â®¢ á ¨á¯®«ì§®¢ ­¨¥¬ ¬¥â®¤ ƒ «¥àª¨­ :
cf

=

1,83 (783 β 2 + 2142 β + 1080) −0,74
Re
¯à¨ 2 < Re < 50. (2.4.5)
(60 + 29 β )(4 + 3 β )

£¤¥ β | ®â­®è¥­¨¥ ¤¨­ ¬¨ç¥áª¨å ¢ï§ª®á⥩ ª ¯«¨ ¨ ®ªàã î饩
¨¤ª®áâ¨.
Š®íää¨æ¨¥­â ᮯà®â¨¢«¥­¨ï áä¥à¨ç¥áª®© ª ¯«¨ ¬®­® ®¯à¥¤¥«ïâì â ª¥ á ¯®¬®éìî ¢ëà ¥­¨ï [72℄:
cf (β, Re) =

β
1
c (0, Re) +
c (∞, Re).
β+1 f
β+1 f

(2.4.6)

‡¤¥áì cf (0, Re) | ª®íää¨æ¨¥­â ᮯà®â¨¢«¥­¨ï áä¥à¨ç¥áª®£® ¯ã§ëàï,
ª®â®àë© ¬®­® ¢ëç¨á«ïâì ¯® ä®à¬ã«¥ (2.4.3); cf (∞, Re) | ª®íää¨æ¨¥­â ᮯà®â¨¢«¥­¨ï ⢥म© áä¥à¨ç¥áª®© ç áâ¨æë, ª®â®àë© ¬®­®
¢ëç¨á«ïâì ¯® ä®à¬ã«¥ (2.3.8). Ǒਡ«¨¥­­®¥ ¢ëà ¥­¨¥ (2.4.6) ¤ ¥â âਠ¯à ¢¨«ì­ëå ç«¥­ à §«®¥­¨ï ¯à¨ ¬ «ëå ç¨á« å ¥©­®«ì¤á ;
¥£® ¬ ªá¨¬ «ì­ ï ¯®£à¥è­®áâì ¯à¨ 0 6 Re 6 50 á®áâ ¢«ï¥â ¬¥­¥¥ 5%.
‘ä¥à¨ç­®áâì ª ¯«¨ ¬®¥â á®åà ­ïâìáï ¢¯«®âì ¤® Re ≈ 300 [219℄.
Ǒ®áª®«ìªã ®¡ëç­® ¯®£à ­¨ç­ë© á«®© ­ ª ¯«¥ ¨«¨ ¯ã§ëॠ§­ ç¨â¥«ì­® â®­ìè¥, 祬 ­ ⢥म© áä¥à¥, 㥠¢ ¤¨ ¯ §®­¥ 50 < Re < 300

58

„¢¨¥­¨¥ ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ ¢ ¨¤ª®áâ¨

¯à¨¬¥­ïîâáï ¬¥â®¤ë, ®á­®¢ ­­ë¥ ­ ⥮ਨ ¯®£à ­¨ç­®£® á«®ï. ‘ ¨å
¯®¬®éìî ¢ [219℄ ¡ë« ¯®«ã祭 á«¥¤ãîé ï ä®à¬ã« ¤«ï ª®íää¨æ¨¥­â ᮯà®â¨¢«¥­¨ï ¯à¨ Re ≫ 1:
cf



3
(2 + 3β )2
24
1+ β+
(B1 + B2 ln Re)
=
Re
2
Re1/2



.

‡­ 祭¨ï ¯®áâ®ï­­ëå B1 ¨ B2 ¯à¨¢¥¤¥­ë ­¨¥ (β =
®â­®è¥­¨¥ ¢ï§ª®á⥩ ¢­ãâ७­¥© ¨ ¢­¥è­¥© ä §ë, γ =
ᮮ⢥âáâ¢ãî饥 ®â­®è¥­¨¥ ¯«®â­®á⥩ ä §).

(2.4.7)
µ2 /µ1
ρ2 /ρ1

βγ

25

4,0

1,0

0,25

0,04

0

B1

−0,429

−0,457

−0,460

−0,446

−0,434

−0,391

B2

0,00202

0,00620

0,0100

0,0113

0,00842

0

|
|

Š ¯«ï ¢ ¯®áâ㯠⥫쭮¬ ¯®â®ª¥ £ § . ‚ [127℄ ¯®«ã祭® ¯à¨¡«¨¥­­®¥ à¥è¥­¨¥ § ¤ ç¨ ®¡ ®¡â¥ª ­¨¨ ¢ï§ª®© áä¥à¨ç¥áª®© ª ¯«¨
¯®áâ㯠⥫ì­ë¬ ¯®â®ª®¬ £ § (¬ «®¢ï§ª®© ¨¤ª®áâ¨). ‚ ª ç¥á⢥ ¬ «®£® ¯ à ¬¥âà ¨á¯®«ì§®¢ « áì ¢¥«¨ç¨­
ε=

µ1 p
Re1 ≪ 1.
µ2

„¢¨¥­¨¥ ¨¤ª®á⨠¢­¥ ¨ ¢­ãâਠª ¯«¨ å à ªâ¥à¨§ã¥âáï à §«¨ç­ë¬¨
ç¨á« ¬¨ ¥©­®«ì¤á (¢­ãâਠª ¯«¨ ¢ ª ç¥á⢥ ¬ áèâ ¡ ᪮à®áâ¨
¨á¯®«ì§ã¥âáï ¢¥«¨ç¨­ εUi):
Re1 =

aUi ρ1
,
µ1

Re2 =

aεUi ρ2
,
µ2

¯à¨ç¥¬ ­¨ª ª¨å á¯¥æ¨ «ì­ëå ®£à ­¨ç¥­¨© ­ ­¨å ­¥ ­ ª« ¤ë¢ ¥âáï.
“ª § ­­ ï á¨âã æ¨ï ⨯¨ç­ ¤«ï ¤®¤¥¢ëå ª ¯¥«ì, ¤¢¨ãé¨åáï ¢
¢®§¤ãå¥, ª®£¤ µ1 /µ2 =1,8·10−2 ¨ ¯ à ¬¥âà ε ¬ « ¢ è¨à®ª®¬ ¤¨ ¯ §®­¥
ç¨á¥« ¥©­®«ì¤á 0 < Re1 < 103.
¥è¥­¨¥ § ¤ ç¨ ¨é¥âáï ¢ ¢¨¤¥ ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨å à §«®¥­¨© ¯®
¬ «®¬ã ¯ à ¬¥âàã ε. ƒ« ¢­ë© ç«¥­ à §«®¥­¨ï ¢­¥ ª ¯«¨ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï à¥è¥­¨¥¬ § ¤ ç¨ ®¡ ®¡â¥ª ­¨¨ ⢥म© áä¥àë. ƒ« ¢­ë© ç«¥­
à §«®¥­¨ï ¢­ãâਠª ¯«¨ ᮮ⢥âáâ¢ã¥â â¥ç¥­¨î ¢ï§ª®© ¨¤ª®áâ¨,
ª®â®à®¥ ¢ë§ë¢ ¥âáï ¤¥©á⢨¥¬ ª á ⥫쭮£® ­ ¯à省¨ï ­ ¬¥ä §­®© ¯®¢¥àå­®á⨠(ª á ⥫쭮¥ ­ ¯à省¨¥ § ¢¨á¨â ⮫쪮 ®â ¢­¥è­¥£® ç¨á« ¥©­®«ì¤á Re1 ¨ ¡¥à¥âáï ¨§ ¨§¢¥áâ­ëå ç¨á«¥­­ëå à¥è¥­¨©
[226, 288℄).

59

2.4. Š ¯«¨ ¨ ¯ã§ëਠ¢ ¯®áâ㯠⥫쭮¬ ¯®â®ª¥ ¯à¨ Re > 1

Ǒ®«¥ â¥ç¥­¨ï ¢­ãâਠª ¯«¨ § ¢¨á¨â ®â ¤¢ãå ¯ à ¬¥â஢ Re1 ¨ Re2 ,
¯à¨ç¥¬ § ¢¨á¨¬®áâì ®â Re2 ®ª §ë¢ ¥âáï ¬ «®áãé¥á⢥­­®©. „«ï ¬ ªá¨¬ «ì­®© ¡¥§à §¬¥à­®© ᪮à®á⨠¨¤ª®á⨠¢­ãâਠª ¯«¨, ¤®á⨣ ¥¬®© ­ ¥¥ £à ­¨æ¥ vmax = vmax (Re1 , Re2 ), ¨¬¥îâ ¬¥áâ® á«¥¤ãî騥
®æ¥­ª¨, á¯à ¢¥¤«¨¢ë¥ ¯à¨ Re1 > 2,5 [270℄:
vmax (Re1 , ∞) 6 vmax (Re1 , Re2 ) 6 vmax (Re1 , 0)

(2.4.8)

£¤¥
vmax (Re1 , ∞) = 0,15 + 0,42 Re1−0,32 ,



vmax (Re1 , 0) = 0,15 + 0,42 Re1−0,32 1 +

Re1
50 + 2 Re1


.

(2.4.9)

Ǒਢ¥¤¥­­ë¥ ®æ¥­ª¨ à §«¨ç îâáï ­¥ ᫨誮¬ ᨫ쭮, çâ® ¯®ª §ë¢ ¥â á« ¡ãî § ¢¨á¨¬®áâì ¢­ãâ७­¥£® â¥ç¥­¨ï ®â ¯ à ¬¥âà Re2 ,
¨ å®à®è® ᮣ« áãîâáï á ¨¬¥î騬¨áï ç¨á«¥­­ë¬¨ १ã«ìâ â ¬¨
[43, 252℄.
ˆáá«¥¤®¢ ­¨¥ ¢­ãâ७­¥£® â¥ç¥­¨ï ¯®ª §ë¢ ¥â, çâ® ¯à¨ à®á⥠Re1
â®à®¨¤ «ì­ë© ¢¨åàì ¤¥ä®à¬¨àã¥âáï ¨ ¯à¨ Re1 = 150 ®âàë¢ ¥âáï
®â £à ­¨æë ¢ à ©®­¥ ª®à¬®¢®© â®çª¨ (¯à¨ θ ≈ 30◦). Ǒਠí⮬ ¢
§®­¥ ¢­ãâ७­¥£® ®âàë¢ ®¡à §ã¥âáï ¢â®à®© ¢¨åàì, ᪮à®áâì ¢ §®­¥
ª®â®à®£® áãé¥á⢥­­® ¬¥­ìè¥ (¯à¨¬¥à­® ¢ 30 à §) ¬ ªá¨¬ «ì­®©
᪮à®á⨠¢ §®­¥ ¯¥à¢®£® ¢¨åàï.
¥§à §¬¥à­ë¥ ª®¬¯®­¥­âë ᪮à®á⨠¢ áä¥à¨ç¥áª®© á¨á⥬¥ ª®®à¤¨­ ⠯ਡ«¨¥­­® ®¯¨áë¢ îâáï ä®à¬ã« ¬¨ ¤«ï ¢¨åàï •¨«« [36℄
vr

= vmax (r2 − 1) os θ,

vθ

= vmax (1 − 2r2 ) sin θ,

r

= R/a,

£¤¥ ¬ ªá¨¬ «ì­ ï ᪮à®áâì vmax = vmax(Re1 , Re2 ) å à ªâ¥à¨§ã¥âáï
®æ¥­ª ¬¨ (2.4.8), (2.4.9).
ǑਠRe2 ≫ 1 ¢¨åàì •¨«« § ­¨¬ ¥â ¢áî ¢­ãâ७­îî ®¡« áâì ª ¯«¨ § ¨áª«î祭¨¥¬ ¯à¨¬ëª î饣® ª ¥¥ ¯®¢¥àå­®á⨠⮭ª®£® ¯®£à ­¨ç­®£® á«®ï, ¢ ª®â®à®¬ ¯à®¨á室¨â ª®­¢¥ªâ¨¢­®-¤¨ää㧨®­­ë© ¯¥à¥­®á § ¢¨å७­®á⨠[41℄.
Ǒਠ㬥­ì襭¨¨ ç¨á« Re2 «¨­¨¨ ⮪ á«¥£ª ¤¥ä®à¬¨àãîâáï ¨
®á®¡ ï «¨­¨ï ⮪ (¢ ª ¤®© â®çª¥ ª®â®à®© ᪮à®áâì ¨¤ª®áâ¨ à ¢­ ­ã«î), à ᯮ«®¥­­ ï ¢ ¬¥à¨¤¨ «ì­®© ¯«®áª®á⨠¢­ãâਠª ¯«¨,
­¥¬­®£® á¬¥é ¥âáï ¢ áâ®à®­ã «®¡®¢®© ¯®¢¥àå­®áâ¨.
ǑਠRe1 < 150 ¢­ãâ७­¥¥ â¥ç¥­¨¥ ¡¥§®âà뢭®¥. ǑਠRe > 150 ¢
à ©®­¥ ª®à¬®¢®© â®çª¨ ®¡à §ã¥âáï ¢â®à®© ¢¨åàì, ᪮à®áâì ª®â®à®£®
­ ¯®à冷ª ¬¥­ìè¥ vmax [127, 128℄.
ǑਠRe1 6 2,5 à §­¨æ ¬¥¤ã vmax (Re1 , ∞) ¨ vmax(Re1 , 0) ¯à ªâ¨ç¥áª¨ à ¢­ ­ã«î, â ª çâ® vmax ­¥ § ¢¨á¨â ®â Re2 [125℄ ¨ ¥¥ ¢¥«¨ç¨­ã
¬®­® ¯®«ãç¨âì ¨§ à¥è¥­¨ï ¤«ï ¬ «ëå ç¨á¥« ¥©­®«ì¤á [310℄.

60

„¢¨¥­¨¥ ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ ¢ ¨¤ª®áâ¨

„¨­ ¬¨ª à áè¨àïî饣®áï (ᨬ î饣®áï) áä¥à¨ç¥áª®£® ¯ã§ëàï. ‚ 娬¨ç¥áª®© â¥å­®«®£¨¨ ç áâ® ¢áâà¥ç ¥âáï § ¤ ç ®

áä¥à¨ç¥áª¨ ᨬ¬¥âà¨ç­®© ¤¥ä®à¬ 樨 à áè¨à¥­¨ï | á â¨ï £ §®¢®£® ¯ã§ëàï ¢ ¡¥§£à ­¨ç­®© ¢ï§ª®© ¨¤ª®áâ¨. ‚ ¯à¨¡«¨¥­¨¨ £®¬®¡ à¨ç­®á⨠(®¤­®à®¤­®á⨠¤ ¢«¥­¨ï ¢­ãâਠ¯ã§ëàï) [115, 117℄ ¨­â¥à¥á
¯à¥¤áâ ¢«ï¥â «¨èì ¤¢¨¥­¨¥ ¢­¥è­¥© ¨¤ª®áâ¨. “à ¢­¥­¨ï  ¢ì¥ |
‘⮪á , ®¯¨áë¢ î騥 â ª®¥ ¤¢¨¥­¨¥ ¢ áä¥à¨ç¥áª®© á¨á⥬¥ ª®®à¤¨­ â, ¨¬¥îâ ¢¨¤
ρ



∂VR
∂t

∂V
+ VR R
∂R

∂
(R2 VR ) = 0.
∂R



=−

∂P
∂R

+ 2µ

∂ 2 VR
,
∂R2

(2.4.10)
(2.4.11)

Ǒਠ®âáãâá⢨¨ ¯®â®ª ¬ ááë ç¥à¥§ ¯®¢¥àå­®áâì ¯ã§ëàï ᪮à®áâì
¨¤ª®á⨠­ £à ­¨æ¥ à ¢­ ᪮à®áâ¨ á ¬®© £à ­¨æë:
VR

= a_

¯à¨

R = a,

(2.4.12)

£¤¥ a_ = da/dt.
ˆ­â¥£à¨à®¢ ­¨¥ ãà ¢­¥­¨ï (2.4.11) á ãç¥â®¬ ãá«®¢¨ï (2.4.12) ¨
ãá«®¢¨ï ®¡à 饭¨ï ¢ ­ã«ì ᪮à®á⨠¨¤ª®á⨠­ ¡¥áª®­¥ç­®á⨠¤ ¥â
VR

=

a2 a_
.
R2

(2.4.13)

Ǒ®¤áâ ­®¢ª ¢ëà ¥­¨ï (2.4.13) ¢ ãà ¢­¥­¨¥ (2.4.10) á ¯®á«¥¤ãî騬 ¥£® ¨­â¥£à¨à®¢ ­¨¥¬ ¯® R ®â a ¤® ∞ ¯à¨¢®¤¨â ª ᮮ⭮襭¨î
ρ(aa
 + 23 a_ 2 ) = PR=a − P∞ (t),

(2.4.14)

£¤¥ P∞ (t) | ¤ ¢«¥­¨¥ ¢ ¨¤ª®á⨠­ ¡¥áª®­¥ç­®áâ¨, ¨§¬¥­¥­¨¥ ª®â®à®£® ¢® ¢à¥¬¥­¨ ¨ ï¥âáï ¯à¨ç¨­®© ¯ã«ìá 権 ¯ã§ëàï.
‡­ 祭¨¥ ¤ ¢«¥­¨ï ¢ ¨¤ª®á⨠­ £à ­¨æ¥ á ¯ã§ë६ P |R=a
¬®¥â ¡ëâì ®¯à¥¤¥«¥­® ¨§ ãá«®¢¨ï áª çª ­®à¬ «ì­ëå ­ ¯à省¨©
­ ¯®¢¥àå­®áâ¨ à §àë¢ , ª®â®à®© ï¥âáï £à ­¨æ ¯ã§ëàï [11, 165℄.
‚ ãá«®¢¨ïå £®¬®¡ à¨ç­®á⨠£ § ¢ ¯ã§ëॠ­¥¯®¤¢¨¥­, çâ® ¤ ¥â
∂V
2σ
P = Pb −
+ 2µ R
¯à¨ R = a,
(2.4.15)
a

∂R

£¤¥ σ | ª®íää¨æ¨¥­â ¯®¢¥àå­®áâ­®£® ­ â省¨ï ¨¤ª®á⨠­ £à ­¨æ¥ á ¯ã§ë६, Pb | ¤ ¢«¥­¨¥ ¢­ãâਠ¯ã§ëàï.
Ǒ®¤áâ ¢«ïï (2.4.15) á ãç¥â®¬ (2.4.13) ¢ (2.4.14), ¯®«ã稬 ãà ¢­¥­¨¥
¥«¥ï

3 
2σ
a_
ρ aa
 + a_ 2 + 4µ +
= −P∞ (t) + Pb ,
(2.4.16)
2
a
a

61

2.4. Š ¯«¨ ¨ ¯ã§ëਠ¢ ¯®áâ㯠⥫쭮¬ ¯®â®ª¥ ¯à¨ Re > 1

ª®â®à®¥ ®¯¨áë¢ ¥â ¤¨­ ¬¨ªã ¨§¬¥­¥­¨ï à ¤¨ãá ¯ã§ëàï ¯®¤ ¤¥©á⢨¥¬ ¬¥­ïî饣®áï ­ ¡¥áª®­¥ç­®á⨠¤ ¢«¥­¨ï.  ç «ì­ë¥ ãá«®¢¨ï ¤«ï
­¥£® ®¡ëç­® § ¤ îâáï ¢ ¢¨¤¥
a = a0 ,

a_ = 0

¯à¨

t = 0.

(2.4.17)

᫨ ¯à®æ¥áá à áè¨à¥­¨ï ¨ á â¨ï £ § ¢ ¯ã§ëॠï¥âáï ¤¨ ¡ â¨ç¥áª¨¬, â® ¤ ¢«¥­¨¥ £ § ¢ ¯ã§ëॠá¢ï§ ­® á ­ ç «ì­ë¬ ¤ ¢«¥­¨¥¬ P0 ãà ¢­¥­¨¥¬ ¤¨ ¡ âë
Pb

= P0

 a 3γ
0
,
a

(2.4.18)

£¤¥ γ | ¯®ª § â¥«ì ¤¨ ¡ âë.
Ǒਠγ = 1 à¥è¥­¨¥ § ¤ ç¨ (2.4.16) | (2.4.18) ¬®­® § ¯¨á âì ¢
¯ à ¬¥âà¨ç¥áª®¬ ¢¨¤¥ [78, 80℄
a= 

a0

H (τ )

2 ,

t=

Z

s

τ

dτ

5 ,
H (τ )

£¤¥ äã­ªæ¨ï H (τ ) ¨ ª®íää¨æ¨¥­â s ®¯à¥¤¥«ïîâáï ¯® ä®à¬ã« ¬
 Z
2
H (τ ) = exp(−τ ) 2s

s

τ

exp(τ 2 ) dτ


2
+ exp(s ) ,

s=

4µ

ρa20

,

¯ à ¬¥âà τ ¨§¬¥­ï¥âáï ¢ ®¡« á⨠s 6 τ < ∞.
‚ à ¡®â å [78, 80℄ ¯®ª § ­®, çâ® § ¤ ç (2.4.16) | (2.4.18) ¬®¥â
¡ëâì à¥è¥­ ¢ ª¢ ¤à âãà å â ª¥ ¯à¨ γ = 23 , 56 ¨ ¯à¨¢®¤¨âáï ª
7
ãà ¢­¥­¨î ¥áá¥«ï ¯à¨ γ = 11
12 , 6 .
‚ ª­¨£ å [117, 118℄ ¯®¤à®¡­® à áᬮâà¥­ë ¢®¯à®áë ¤¨­ ¬¨ª¨ ¨
⥯«®¬ áá®®¡¬¥­ ¯ã«ìá¨àãî饣® £ §®¢®£® ¯ã§ëàï (á ãç¥â®¬ à §«¨ç­ëå ®á«®­ïîé¨å ä ªâ®à®¢).

62

„¢¨¥­¨¥ ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ ¢ ¨¤ª®áâ¨

2.5. Ž¡â¥ª ­¨¥ áä¥à¨ç¥áª®© ç áâ¨æë, ª ¯«¨
¨ ¯ã§ëàï ᤢ¨£®¢ë¬ ¯®â®ª®¬

Ǒ®áâ ­®¢ª § ¤ ç¨.  áᬮâਬ ®¡â¥ª ­¨¥ ⢥म© áä¥à¨ç¥áª®© ç áâ¨æë à ¤¨ãá a «¨­¥©­ë¬ ᤢ¨£®¢ë¬ ¯®â®ª®¬ ¯à¨ ¬ «ëå
ç¨á« å ¥©­®«ì¤á . ‚ ®¡é¥¬ á«ãç ¥ ãà ¢­¥­¨ï ‘⮪á (2.1.1) ¤®«­ë ¡ëâì ¤®¯®«­¥­ë ãá«®¢¨ï¬¨ ¯à¨«¨¯ ­¨ï ­ ¯®¢¥àå­®á⨠ç áâ¨æë (2.2.1) ¨ á«¥¤ãî騬¨ £à ­¨ç­ë¬¨ ãá«®¢¨ï¬¨ ¢¤ «¨ ®â ­¥¥ (á¬.
à §¤. 1.1):
Vk → Gkj Xj
¯à¨ R → ∞,
(2.5.1)

£¤¥ X1 , X2 , X3 | ¤¥ª àâ®¢ë ª®®à¤¨­ âë; Vk | ª®¬¯®­¥­âë ᪮à®áâ¨
¨¤ª®áâ¨; Gkj | ª®¬¯®­¥­âë ⥭§®à ᤢ¨£ ; k, j = 1, 2, 3; ¯® ¨­¤¥ªáã j ¢¥¤¥âáï á㬬¨à®¢ ­¨¥.
‚ § ¤ ç¥ ®¡ ®¡â¥ª ­¨¨ áä¥à¨ç¥áª®© ª ¯«¨ (¯ã§ëàï) «¨­¥©­ë¬
ᤢ¨£®¢ë¬ ¯®â®ª®¬ ãà ¢­¥­¨ï ‘⮪á (2.1.1) ¨ £à ­¨ç­ë¥ ãá«®¢¨ï ­
¡¥áª®­¥ç­®á⨠(2.5.1) ¤®«­ë ¡ëâì ¤®¯®«­¥­ë £à ­¨ç­ë¬¨ ãá«®¢¨ï¬¨ ­ ¬¥ä §­®© ¯®¢¥àå­®á⨠¨ ãá«®¢¨¥¬ ®£à ­¨ç¥­­®á⨠à¥è¥­¨ï
¢­ãâਠª ¯«¨. ‚ ç áâ­®áâ¨, ¢ ®á¥á¨¬¬¥âà¨ç­®¬ á«ãç ¥ ¨á¯®«ì§ãîâáï
£à ­¨ç­ë¥ ãá«®¢¨ï (2.2.6) | (2.2.10).
¨¥ à áᬮâà¥­ë ­¥ª®â®àë¥ ç áâ­ë¥ á«ãç ¨ ᤢ¨£®¢ëå â¥ç¥­¨©,
®¯¨á ­­ëå ¢ à §¤. 1.1.

Žá¥á¨¬¬¥âà¨ç­®¥ ¤¥ä®à¬ 樮­­®¥ ᤢ¨£®¢®¥ â¥ç¥­¨¥.

‚ á«ãç ¥ ®á¥á¨¬¬¥âà¨ç­®£® ¤¥ä®à¬ 樮­­®£® ᤢ¨£®¢®£® â¥ç¥­¨ï £à ­¨ç­ë¥ ãá«®¢¨ï ¢¤ «¨ ®â ç áâ¨æë (2.5.1)
§ ¯¨áë¢ îâáï â ª:
’¢¥à¤ ï ç áâ¨æ .

VX → − 12 GX,

VY → − 12 GY,

¯à¨

VZ → GZ

R → ∞.

(2.5.2)

„«ï à¥è¥­¨ï ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 £¨¤à®¤¨­ ¬¨ç¥áª®© § ¤ ç¨ ã¤®¡­®
¨á¯®«ì§®¢ âì áä¥à¨ç¥áªãî á¨á⥬㠪®®à¤¨­ â ¨ ¢¢¥á⨠äã­ªæ¨î ⮪
¯® ä®à¬ã« ¬ (2.1.3). ‚ í⮬ á«ãç ¥ ãá«®¢¨¥ (2.5.2) ¯à¥®¡à §ã¥âáï ª
¢¨¤ã
1 G 3 2
R sin θ os θ
→
¯à¨ R → ∞.
(2.5.3)
2 a
Žâáî¤ á«¥¤ã¥â, çâ® ¢ ®¡é¥¬ à¥è¥­¨¨ ãà ¢­¥­¨© ‘⮪á , ¯à¥¤áâ ¢«¥­­®¬ à冷¬ (2.1.5), á«¥¤ã¥â 㤥à âì ⮫쪮 á« £ ¥¬ë¥ ¯à¨ n = 3.
ˆáª®¬ë¥ ¯®áâ®ï­­ë¥ A3 , ‚3 , ‘3 , D3 ®¯à¥¤¥«ïîâáï á ¯®¬®éìî £à ­¨ç­ëå ãá«®¢¨© ¯à¨«¨¯ ­¨ï (2.2.1). ‚ ¨â®£¥ ¯®«ã稬 äã­ªæ¨î ⮪
[308, 309℄:
=

1 2
Ga
2



R3
−
a3

5 3
+
2 2

a2
R2



sin2 θ os θ.

(2.5.4)

63

2.5. Ž¡â¥ª ­¨¥ ç áâ¨æë, ª ¯«¨ ¨ ¯ã§ëàï ᤢ¨£®¢ë¬ ¯®â®ª®¬

Š®¬¯®­¥­âë ᪮à®á⨠¨ ¤ ¢«¥­¨¥ ­ ©¤¥¬, ¯®¤áâ ¢«ïï ä®à¬ã«ã
(2.5.4) ¢ ¢ëà ¥­¨ï (2.1.3). ‚ १ã«ìâ ⥠¨¬¥¥¬




3 a4
5 a2
1
R
−
+
VR = Ga
(3 os2 θ − 1),
2
a
2 R2 2 R4


a4
3
R
− 4 sin θ os θ,
Vθ = − Ga
2
a
R
3
a
5
P = Pi − Gµ 3 (3 os2 θ − 1),
2
R

(2.5.5)

£¤¥ Pi | ¤ ¢«¥­¨¥ ¢¤ «¨ ®â ç áâ¨æë.
Š ¯«ï ¨ ¯ã§ëàì. Ž¡â¥ª ­¨¥ ª ¯«¨ ®á¥á¨¬¬¥âà¨ç­ë¬ ᤢ¨£®¢ë¬
â¥ç¥­¨¥¬ ¨áá«¥¤®¢ «®áì ¢ [308, 309℄. Ž¡®§­ 稬 ¤¨­ ¬¨ç¥áª¨¥ ¢ï§ª®á⨠¨¤ª®á⥩ ¢­¥ ¨ ¢­ãâਠª ¯«¨ ᮮ⢥âá⢥­­® µ1 ¨ µ2 . ”ã­ªæ¨ï
⮪ ¢¤ «¨ ®â ª ¯«¨, ª ª ¨ ¢ á«ãç ¥ ⢥म© ç áâ¨æë, 㤮¢«¥â¢®àï¥â
ãá«®¢¨î (2.5.3). Ǒ®í⮬㠢 ®¡é¥¬ à¥è¥­¨¨ (2.1.5) á«¥¤ã¥â ®áâ ¢¨âì
⮫쪮 á« £ ¥¬ë¥ ¯à¨ n = 3. Ž¯à¥¤¥«ïï ­¥¨§¢¥áâ­ë¥ ¯®áâ®ï­­ë¥ ¨§
£à ­¨ç­ëå ãá«®¢¨© (2.2.6) | (2.2.10), ­ 室¨¬


1 2 R3 1 5β + 2 3 β
Ga
−
+
2
a3
2 β+1
2 β+1
 2

2
3
R
(2) = 3 Ga R
− 1 sin2 θ os θ,
4 β + 1 a3 a2
(1)

£¤¥

=

a2
R2



sin2 θ os θ,

(2.5.6)

(1)

¨ (2) | äã­ªæ¨ï ⮪ ¢­¥ ¨ ¢­ãâਠª ¯«¨, β = µ2 /µ1 .
Š®¬¯®­¥­âë ᪮à®á⨠¨¤ª®á⨠¢­¥ ª ¯«¨:


1
R
3 β
1 5β + 2 a2
VR = Ga
−
+
2
2
a
2 β+1 R
2 β+1

4 
3
a
R
β
(1)
Vθ = − Ga
sin θ os θ,
−
2
a
β + 1 R4
(1)

a4
R4



(3 os2 θ − 1),
(2.5.7)

Š®¬¯®­¥­âë ᪮à®á⨠¨¤ª®á⨠¢­ãâਠª ¯«¨:


3 β
1 5β + 2 a2
1
R
−
+
Ga
2
2
a
2 β+1 R
2 β+1

4 
β
3
a
R
(2)
−
Vθ = − Ga
sin θ os θ,
2
a
β + 1 R4
(2)
VR

=

a4
R4



(3 os2 θ − 1),

(2.5.8)
Ǒ।¥«ì­ë© á«ãç © β → 0 ᮮ⢥âáâ¢ã¥â £ §®¢®¬ã ¯ã§ëàî.
ˆ§ ­ «¨§ ¢ëà ¥­¨© (2.5.7), (2.5.8) á«¥¤ã¥â, çâ® íâ® â¥ç¥­¨¥
¨¬¥¥â ®áì ᨬ¬¥âਨ (®áì Z ) ¨ ¯«®áª®áâì ᨬ¬¥âਨ (¯«®áª®áâì XY ).

64

„¢¨¥­¨¥ ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ ¢ ¨¤ª®áâ¨

 ¯®¢¥àå­®á⨠áä¥àë ¨¬¥îâáï ¤¢¥ ªà¨â¨ç¥áª¨¥ â®çª¨ (θ = 0 ¨ θ = π)
¨ ªà¨â¨ç¥áª ï «¨­¨ï (θ = π/2).

Ǒந§¢®«ì­®¥ âà¥å¬¥à­®¥ ¤¥ä®à¬ 樮­­®-ᤢ¨£®¢®¥ â¥ç¥­¨¥. ’ ª®¥ â¥ç¥­¨¥ å à ªâ¥à¨§ã¥âáï £à ­¨ç­ë¬ ãá«®¢¨¥¬ ¢¤ «¨

®â ª ¯«¨ (2.5.1) á ᨬ¬¥âà¨ç­®© ¬ âà¨æ¥© ª®íää¨æ¨¥­â®¢ ᤢ¨£
= Gjk . ¥è¥­¨¥ § ¤ ç¨ ®¡ ®¡â¥ª ­¨¨ ª ¯«¨ ¯à®¨§¢®«ì­ë¬ âà¥å¬¥à­ë¬ ¤¥ä®à¬ 樮­­®-ᤢ¨£®¢ë¬ ¯®â®ª®¬ ¯à¨¢®¤¨â ª á«¥¤ãî騬
¢ëà ¥­¨ï¬ ¤«ï ª®¬¯®­¥­â ᪮à®á⨠¢­¥ ¨ ¢­ãâਠª ¯«¨ [36, 309℄:

Gkj


a5
−
β + 1 R5


1
5β + 2 a 5
5β a7
−
,
G X X X
−
2a2 jl k j l β + 1 R5 β + 1 R7


R2
1 Gjl Xk Xj Xl
1 1
(2)
Vk =
5 2 − 3 Gkj Xj −
,
2 β+1
a
β+1
a2

(1)
Vk



= Gkj Xj 1 −

β

(2.5.9)

‚ íâ¨å ä®à¬ã« å k, j, l = 1, 2, 3 ¨ ¯® ¨­¤¥ªá ¬ j ¨ l ¢¥¤¥âáï á㬬¨à®¢ ­¨¥.
‘«ãç î £ §®¢®£® ¯ã§ëàï ᮮ⢥âáâ¢ã¥â §­ 祭¨¥ β = 0, á«ãç î
⢥म© ç áâ¨æë | ¯à¥¤¥«ì­ë© ¯¥à¥å®¤ ¯à¨ β → ∞.
Ž¡â¥ª ­¨¥ áä¥à¨ç¥áª®© ª ¯«¨ ¯«®áª¨¬ ¤¥ä®à¬ 樮­­®-ᤢ¨£®¢ë¬ ¯®â®ª®¬ (á¬. à §¤. 1.1) ®¯¨áë¢ ¥âáï ¢ëà ¥­¨ï¬¨ (2.5.9), ¢ ª®6 j.
â®àëå á«¥¤ã¥â ¯®«®¨âì G11 = −G22 , G33 = 0, Gij = 0 ¯à¨ i =
‡ ¬¥â¨¬, çâ®, ¢á«¥¤á⢨¥ «¨­¥©­®á⨠§ ¤ ç á⮪ᮢ ®¡â¥ª ­¨ï,
¯®«ï ᪮à®á⨠¨ ¤ ¢«¥­¨ï ¢ ¯®áâ㯠⥫쭮-ᤢ¨£®¢ëå ¯®â®ª å ­ 室ïâáï ª ª á㯥௮§¨æ¨ï à¥è¥­¨©, ®â­®áïé¨åáï ª ¯®áâ㯠⥫ì­ë¬ ¯®â®ª ¬, à áᬮâ७­ë¬ ¢ à §¤. 2.2, ¨ ª ᤢ¨£®¢ë¬ ¯®â®ª ¬, à áᬮâ७­ë¬ ¢ëè¥ ¢ ¤ ­­®¬ à §¤¥«¥.

¥ª®â®àë¥ ¤à㣨¥ १ã«ìâ âë ¯® ®¡â¥ª ­¨î áä¥à¨ç¥áª¨å
ç áâ¨æ ¨ ªà㣮¢ëå 樫¨­¤à®¢ ᤢ¨£®¢ë¬ ¯®â®ª®¬. ‚ à ¡®-

⥠[221℄ à áᬠâਢ «®áì ¤¢¨¥­¨¥ ᢮¡®¤­® ¢§¢¥è¥­­®© ⢥म© áä¥à¨ç¥áª®© ç áâ¨æë ¢ ¯à®á⮬ ᤢ¨£®¢®¬ ¯®â®ª¥. ‚ í⮬ á«ãç ¥ ¢ £à ­¨ç­ëå ãá«®¢¨ïå (2.5.1) ¢á¥ ª®íää¨æ¨¥­âë Gij § ¨áª«î祭¨¥¬ G12
à ¢­ë ­ã«î.  «¨ç¨¥ §¤¥áì ­â¨á¨¬¬¥âà¨ç­®© á®áâ ¢«ïî饩 ã ⥭§®à ᤢ¨£ (á¬. à §¤. 1.1) ¯à¨¢®¤¨â ª ¢à 饭¨î ç áâ¨æë ¨§-§ ãá«®¢¨ï
¯à¨«¨¯ ­¨ï ¨¤ª®á⨠­ ¥¥ ¯®¢¥àå­®áâ¨. ‚ á⮪ᮢ®¬ ¯à¨¡«¨¥­¨¨
¡ë«® ¯®«ã祭® ­ «¨â¨ç¥áª®¥ à¥è¥­¨¥ ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 âà¥å¬¥à­®©
£¨¤à®¤¨­ ¬¨ç¥áª®© § ¤ ç¨. Ž¡­ à㥭®, çâ® ª ç áâ¨æ¥ ¯à¨¬ëª ¥â
®¡« áâì á § ¬ª­ãâ묨 «¨­¨ï¬¨ ⮪ , ¢­¥ í⮩ ®¡« á⨠¢á¥ «¨­¨¨
⮪ à §®¬ª­ãâë.
‚ à ¡®â å [271, 272℄ ¨áá«¥¤®¢ «®áì ¤¢¨¥­¨¥ ᢮¡®¤­® ¢§¢¥è¥­­®©
áä¥à¨ç¥áª®© ç áâ¨æë ¢ ¯à®¨§¢®«ì­®¬ ¯«®áª®¬ ᤢ¨£®¢®¬ ¯®â®ª¥.
¥è¥­¨ï § ¤ ç ®¡ ®¡â¥ª ­¨¨ ᢮¡®¤­® ¢à é î饣®áï ¨ § ªà¥¯«¥­­®£® ªà㣮¢®£® 樫¨­¤ ¯à®¨§¢®«ì­ë¬ «¨­¥©­ë¬ ᤢ¨£®¢ë¬ ¯®â®ª®¬

2.6. Ž¡â¥ª ­¨¥ ­¥áä¥à¨ç¥áª¨å ⢥à¤ëå ç áâ¨æ

65

¯à¨¢¥¤¥­ë ¢ [60, 218℄.
’à¥å¬¥à­®¥ ®¡â¥ª ­¨¥ ¯®à¨á⮩ ç áâ¨æë ¯à®¨§¢®«ì­ë¬ ¤¥ä®à¬ 樮­­®-ᤢ¨£®¢ë¬ ¯®â®ª®¬ à áᬠâਢ « áì ¢ à ¡®â¥ [77℄. „«ï ®¯¨á ­¨ï â¥ç¥­¨ï ¢­¥ ç áâ¨æë ¨á¯®«ì§®¢ «¨áì ãà ¢­¥­¨ï ‘⮪á (2.1.1) ¨
áç¨â «®áì, çâ® ¢­ãâਠç áâ¨æë ¯à®¨á室¨â 䨫ìâà æ¨ï ¢­¥è­¥© ¨¤ª®á⨠§ ª®­ã „ àᨠ(2.2.24). ‚¤ «¨ ®â ç áâ¨æë âॡ®¢ «®áì 㤮¢«¥â¢®à¨âì ãá«®¢¨ï¬ (2.5.1), ­ £à ­¨æ¥ ç áâ¨æë ¢ëáâ ¢«ï«¨áì £à ­¨ç­ë¥ ãá«®¢¨ï, ª®â®àë¥ ¡ë«¨ ®¯¨á ­ë à ­¥¥ ¢ à §¤. 4.2. ë«® ¯®«ã祭®
â®ç­®¥ ­ «¨â¨ç¥áª®¥ à¥è¥­¨¥ ¤«ï ª®¬¯®­¥­â ᪮à®á⨠¨¤ª®á⨠¨
¤ ¢«¥­¨ï á­ à㨠¨ ¢­ãâਠ¯®à¨á⮩ ç áâ¨æë.
2.6. Ž¡â¥ª ­¨¥ ­¥áä¥à¨ç¥áª¨å ⢥à¤ëå
ç áâ¨æ

Ž¡â¥ª ­¨¥ í««¨¯á®¨¤ «ì­®© ç áâ¨æë ¯®áâ㯠⥫ì­ë¬
áâ®ªá®¢ë¬ ¯®â®ª®¬. Žá¥á¨¬¬¥âà¨ç­ ï § ¤ ç ®¡ ®¡â¥ª ­¨¨ í««¨¯-

ᮨ¤ «ì­®© ç áâ¨æë ¯®áâ㯠⥫ì­ë¬ áâ®ªá®¢ë¬ ¯®â®ª®¬ ¤®¯ã᪠¥â
â®ç­®¥ ­ «¨â¨ç¥áª®¥ à¥è¥­¨¥. Ž£à ­¨ç¨¬áï §¤¥áì ªà ⪮© ᢮¤ª®©
ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å १ã«ìâ ⮢, ¨§«®¥­­ëå ¢ [178℄.
‘¯«îá­ãâë© í««¨¯á®¨¤ ¢à 饭¨ï.  áᬮâਬ ®¡â¥ª ­¨¥
ᯫîá­ã⮣® í««¨¯á®¨¤ ¢à 饭¨ï (¨§®¡à ¥­ á«¥¢ ­ à¨á. 2.5) á
¯®«ã®áﬨ a, b (a > b) ¯®áâ㯠⥫ì­ë¬ áâ®ªá®¢ë¬ ¯®â®ª®¬ ᮠ᪮à®áâìî Ui . ‘ç¨â ¥¬, çâ® ¢ï§ª®áâì
¨¤ª®áâ¨ à ¢­ µ.
Žâ ¤¥ª à⮢ëå ª®®à¤¨­ â X , Y ,
Z ¯¥à¥©¤¥¬ ª ª®®à¤¨­ â ¬ ᯫîá­ã⮣® í««¨¯á®¨¤ ¢à 饭¨ï σ, τ ,
ϕ, ª®â®àë¥ á¢ï§ ­ë ¯à¥®¡à §®¢ ­¨ï¬¨
X 2 = c2 (1 + σ 2 )(1 − τ 2 ) os2 ϕ,
Y 2 = c2 (1 + σ 2 )(1 − τ 2 ) sin2 ϕ,
√
Z = cστ, £¤¥ c = a2 − b2
(σ > 0, −1 6 τ 6 1).
¨á. 2.5. Ž¡â¥ª ­¨¥ ᯫîá­ã⮣® ¨
¢ëâï­ã⮣®
饭¨ï
‚ १ã«ìâ ⥠¯®¢¥àå­®áâì í««¨¯á®¨¤
¡ã¤¥âí««¨¯á®¨¤®¢
§ ¤ ¢ âìáï¢à¯®áâ®ï­­ë¬ §­ 祭¨¥¬ ª®®à¤¨­ âë σ:


σ = σ0 ,
£¤¥ σ0 = (a/b)2 − 1 −1/2 .
(2.6.1)
“ç¨âë¢ ï ®á¥á¨¬¬¥âà¨ç­®áâì § ¤ ç¨, ¢¢¥¤¥¬ äã­ªæ¨î ⮪ ¯®
ä®à¬ã« ¬
∂
1
∂
1
, Vτ = − 2 p
.
Vσ = 2 p
2
2
2
2
2
2
c (1 + σ )(σ + τ ) ∂τ
c (1 − τ )(σ + τ ) ∂σ
(2.6.2)

66

„¢¨¥­¨¥ ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ ¢ ¨¤ª®áâ¨

Ǒ®á«¥ í⮣® ãà ¢­¥­¨ï ‘⮪á (2.1.1) ¯à¥®¡à §ãîâáï ª ®¤­®¬ã ãà ¢­¥­¨î ¤«ï , ª®â®à®¥ à¥è ¥âáï ¬¥â®¤®¬ à §¤¥«¥­¨ï ¯¥à¥¬¥­­ëå. “¤®¢«¥â¢®àïï £à ­¨ç­®¬ã ãá«®¢¨î ®¤­®à®¤­®á⨠¯®â®ª ¢¤ «¨ ®â ç áâ¨æë ¨ ãá«®¢¨ï¬ ¯à¨«¨¯ ­¨ï ­ ¥¥ ¯®¢¥àå­®áâ¨, ¢ ¨â®£¥ ¬®­® ¯®«ãç¨âì
1
= c2 Ui (1 − τ 2 )
2



(σ2 + 1)σ − (σ02 − 1)(σ2 + 1) ar
σ2 + 1 − 0
σ0 − (σ02 − 1) ar tg σ0

tg σ



.

(2.6.3)
‚ ­ «®£¨ç­®© § ¤ ç¥ ® ¤¢¨¥­¨¨ ᯫîá­ã⮣® í««¨¯á®¨¤ á®
᪮à®áâìî Ui ¢ ­¥¯®¤¢¨­®© ¨¤ª®á⨠¨¬¥¥¬
=−

1 2
(σ2 + 1)σ − (σ02 − 1)(σ2 + 1) ar tg σ
c Ui (1 − τ 2 ) 0
.
2
σ0 − (σ02 − 1) ar tg σ0

(2.6.4)

C¨« , ¤¥©áâ¢ãîé ï ­ í««¨¯á®¨¤ á® áâ®à®­ë ¨¤ª®áâ¨:
=

F

√

8πµUi a2 − b2
.
σ0 − (σ02 − 1) ar tg σ0

(2.6.5)

Ǒਠσ0 → 0 ᯫîá­ãâë© í««¨¯á®¨¤ ¢ëத ¥âáï ¢ ¯«®áª¨© ¡¥áª®­¥ç­® â®­ª¨© ¤¨áª à ¤¨ãá a. ‚ëà ¥­¨¥ ¤«ï ä㭪樨 ⮪ ¯®«ã稬
¨§ (2.6.4) á ¯®¬®éìî ᮮ⢥âáâ¢ãî饣® ¯à¥¤¥«ì­®£® ¯¥à¥å®¤ :
=−

1
π


a2 Ui (1 − τ 2 ) σ + (σ 2 + 1) ar

tg σ



.

 ¤¨áª, ¤¢¨ã騩áï ¯¥à¯¥­¤¨ªã«ïà­® ¥£® ¯«®áª®á⨠ᮠ᪮à®áâìî Ui ¢ ­¥¯®¤¢¨­®© ¨¤ª®áâ¨, ¤¥©áâ¢ã¥â ᨫ
F

= 16µaUi,

(2.6.6)

ª®â®à ï ¬¥­ìè¥ á¨«ë, ¤¥©áâ¢ãî饩 ­ áä¥àã â ª®£® ¥ à ¤¨ãá (¤«ï
áä¥àë F = 6πµaUi ). ”®à¬ã« (2.6.6) ¯®¤â¢¥à¤ ¥âáï íªá¯¥à¨¬¥­â «ì­ë¬¨ ¤ ­­ë¬¨.
‚ëâï­ãâë© í««¨¯á®¨¤ ¢à 饭¨ï. „«ï à¥è¥­¨ï ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 § ¤ ç¨ ®¡ ®¡â¥ª ­¨¨ í««¨¯á®¨¤ «ì­®© ç áâ¨æë (¨§®¡à ¥­
á¯à ¢ ­ à¨á. 2.5) ¯®áâ㯠⥫ì­ë¬ áâ®ªá®¢ë¬ ¯®â®ª®¬ ¨á¯®«ì§ãîâ
ª®®à¤¨­ âë ¢ëâï­ã⮣® í««¨¯á®¨¤ ¢à 饭¨ï σ, τ , ϕ, ª®â®àë¥ ¢¢®¤ïâáï ¯® ä®à¬ã« ¬
os2 ϕ, Y 2 = c2 (σ2 − 1)(1 − τ 2 ) sin2 ϕ,
√
£¤¥ c = a2 − b2
(σ > 1 > τ > −1).

X 2 = c2 (σ 2 − 1)(1 − τ 2 )

Z = cστ,

“à ¢­¥­¨¥ ¯®¢¥àå­®áâ¨ í««¨¯á®¨¤ ¢ í⮬ á«ãç ¥ ¨¬¥¥â ¢¨¤
σ

= σ0 ,

£¤¥

σ0



= 1 − (b/a)2

−1/2

.

(2.6.7)

67

2.6. Ž¡â¥ª ­¨¥ ­¥áä¥à¨ç¥áª¨å ⢥à¤ëå ç áâ¨æ

‡¤¥áì, ª ª ¨ à ­¥¥, ¡®«ìè ï ¯®«ã®áì ®¡®§­ 祭 a.
Š®¬¯®­¥­âë ᪮à®á⨠¨¤ª®á⨠®¯à¥¤¥«ïîâáï ¢ëà ¥­¨ï¬¨
Vσ

=

c2

∂
1
,
2
2
2
(σ − 1)(σ − τ ) ∂τ

p

Vτ

á ¯®¬®éìî ä㭪樨 ⮪
1
= c2 Ui(1 − τ 2 )
2



=−

c2

1

∂
2
2
2
(1 − τ )(σ − τ ) ∂σ
(2.6.8)

p


(σ02 + 1)(σ2 − 1)ar th σ − (σ02 − 1)σ
2
σ −1−
,
(σ02 + 1)ar th σ0 − σ0
(2.6.9)

1 σ+1
.
£¤¥ ar th σ = ln
2 σ−1
‚ § ¤ ç¥ ® ¤¢¨¥­¨¨ ¢ëâï­ã⮣® í««¨¯á®¨¤ ¢à 饭¨ï ᮠ᪮à®áâìî Ui ¢ ­¥¯®¤¢¨­®© ¨¤ª®á⨠ᮮ⢥âáâ¢ãîé ï äã­ªæ¨ï ⮪
¨¬¥¥â ¢¨¤
=−

(σ2 + 1)(σ2 − 1)ar th σ − (σ02 − 1)σ
1 2
c Ui (1 − τ 2 ) 0
.
2
(σ02 + 1)ar th σ0 − σ0

(2.6.10)

‘¨« ᮯà®â¨¢«¥­¨ï ¢ëç¨á«ï¥âáï ¯® ä®à¬ã«¥
F

√

8πµUi a2 − b2
= 2
.
(σ0 + 1)ar th σ0 − σ0

(2.6.11)

᫨ a ≫ b, â® ¢ëâï­ãâë© í««¨¯á®¨¤ ¢ëத ¥âáï ¢ ¨£«®®¡à §­ë©
áâ¥à¥­ì. ‚ í⮬ á«ãç ¥ ¢ëà ¥­¨¥ ¤«ï ᨫë, ¤¥©áâ¢ãî饩 ­ ¨£«ã
¤«¨­®© a ¨ à ¤¨ãᮬ b, ¤¢¨ãéãîáï ¢¤®«ì ᢮¥© ®á¨ ᮠ᪮à®áâìî Ui ,
¯à¨­¨¬ ¥â ¢¨¤
4πµaUi
F =
.
(2.6.12)
ln(a/b) + 0,193
‘à ¢­¨¢ ï ¢ëà ¥­¨ï ¤«ï ᨫ, ¤¥©áâ¢ãîé¨å ­ ᯫîá­ãâë© ¨
¢ëâï­ãâë© í««¨¯á®¨¤ë, á ­ «®£¨ç­ë¬ ¢ëà ¥­¨¥¬ ¤«ï áä¥àë á
íª¢¨¢ «¥­â­ë¬ íª¢ â®à¨ «ì­ë¬ à ¤¨ãᮬ, ¬®­® § ¯¨á âì
Fel

= 6πµlUiK

b
,
a

(2.6.13)

£¤¥ l = a | ¤«ï ᯫîá­ã⮣® í««¨¯á®¨¤ ¨ l = b | ¤«ï ¢ëâï­ã⮣® í««¨¯á®¨¤ . ‚ â ¡«. 2.1 ¯à¨¢¥¤¥­ë ç¨á«¥­­ë¥ §­ 祭¨ï ¯®¯à ¢®ç­®£® ¬­®¨â¥«ï K ¯à¨ à §«¨ç­ëå ®â­®è¥­¨ïå
¯®«ã®á¥© b/a.

Ž¡â¥ª ­¨¥ ⥫ ¢à 饭¨ï.
’¥«® ¢à 饭¨ï ¢ ¯®áâ㯠⥫쭮¬ ¯®â®ª¥ (á«ãç © ¯à®¨§¢®«ì­®© ®à¨¥­â 樨)

¨á. 2.6.

68

„¢¨¥­¨¥ ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ ¢ ¨¤ª®áâ¨

’€‹ˆ–€ 2.1 
b
‡­ 祭¨ï ¯®¯à ¢®ç­®£® ¬­®¨â¥«ï K
¢ ä®à¬ã«¥ (2.6.13)
a

b
a

K,
ᯫîá­ãâë© í««¨¯á®¨¤

K,
¢ëâï­ãâë© í««¨¯á®¨¤

0

0,849

0,1

0,852

∞

2,647

0,2

0,861

1,785

0,3

0,874

1,470

0,4

0,889

1,305

0,5

0,905

1,204

0,6

0,923

1,136

0,7

0,941

1,087

0,8

0,961

1,051

0,9

0,980

1,022

1,0

1,000

1,000

 áᬮâਬ ®¡â¥ª ­¨¥ ⥫ ¢à 饭¨ï «î¡®© ä®à¬ë, ¯à®¨§¢®«ì­® ®à¨¥­â¨à®¢ ­­ëå ¢ ¯®áâ㯠⥫쭮¬ ¯®â®ª¥ ¯à¨ ¬ «ëå ç¨á« å ¥©­®«ì¤á . ‘ç¨â ¥¬, çâ® ®áì ⥫ ¢à 饭¨ï
á®áâ ¢«ï¥â 㣮« ω á ­ ¯à ¢«¥­¨¥¬
᪮à®á⨠¨¤ª®á⨠­ ¡¥áª®­¥ç­®áâ¨
(à¨á. 2.6). ¤¨­¨ç­ë© ¢¥ªâ®à ~i, ­ ¯à ¢«¥­­ë© ¢¤®«ì ¯®â®ª , ¬®¥â
¡ëâì ¯à¥¤áâ ¢«¥­ ¢ ¢¨¤¥ á㬬ë ~i = ~τ os ω + ~n sin ω , £¤¥ ~τ | ¥¤¨­¨ç­ë© ¢¥ªâ®à, ­ ¯à ¢«¥­­ë© ¢¤®«ì ®á¨ ⥫ , ~n | ¥¤¨­¨ç­ë© ¢¥ªâ®à,
«¥ 騩 ¢ ¯«®áª®á⨠¢à 饭¨ï ⥫ . ‚ á⮪ᮢ®¬ ¯à¨¡«¨¥­¨¨ ¤«ï
ᨫë ᮯà®â¨¢«¥­¨ï ¢ ®¡é¥¬ á«ãç ¥ ¬®­® ¯®«ãç¨âì [72, 178℄
= ~τ Fk os ω + ~nF⊥ sin ω,
(2.6.14)
£¤¥ Fk ¨ F⊥ | §­ 祭¨ï ᨫë ᮯà®â¨¢«¥­¨ï ⥫ ¢à 饭¨ï ¢ á«ãç ¥
¯ à ««¥«ì­®£® (ω = 0) ¨ ¯¥à¯¥­¤¨ªã«ïà­®£® (ω = π/2) ¥£® à ᯮ«®¥­¨ï ¢ ¯®áâ㯠⥫쭮¬ ¯®â®ª¥.
‚¥«¨ç¨­ ¯à®¥ªæ¨¨ ᨫë ᮯà®â¨¢«¥­¨ï ­ ­ ¯à ¢«¥­¨¥ ­ ¡¥£ î饣® ¯®â®ª à ¢­ ᪠«ïà­®¬ã ¯à®¨§¢¥¤¥­¨î
F~

(F~ · ~i ) = Fk os2 ω + F⊥ sin2 ω.

(2.6.15)

2.6. Ž¡â¥ª ­¨¥ ­¥áä¥à¨ç¥áª¨å ⢥à¤ëå ç áâ¨æ

69

ˆ§ ä®à¬ã« (2.6.14) ¨ (2.6.15) á«¥¤ã¥â, çâ® ¤«ï ¢ëç¨á«¥­¨ï ᨫë
ᮯà®â¨¢«¥­¨ï ⥫ ¢à 饭¨ï «î¡®© ä®à¬ë, ¯à®¨§¢®«ì­® ®à¨¥­â¨à®¢ ­­®£® ¢ ¯®áâ㯠⥫쭮¬ á⮪ᮢ®¬ ¯®â®ª¥, ¤®áâ â®ç­® §­ âì ¢¥«¨ç¨­ã í⮩ ᨫë ⮫쪮 ¤«ï ¤¢ãå ç áâ­ëå ¯à®áâà ­á⢥­­ëå à ᯮ«®¥­¨© ⥫ . ýŽá¥¢®¥þ ¨ ý¡®ª®¢®¥þ ᮯà®â¨¢«¥­¨ï Fk ¨ F⊥ ¬®­®
®¯à¥¤¥«ïâì ª ª ⥮à¥â¨ç¥áª¨, â ª ¨ íªá¯¥à¨¬¥­â «ì­®. ¨¥ ¯à¨¢¥¤¥­ë ¢ëà ¥­¨ï ¤«ï Fk ¨ F⊥ , 㪠§ ­­ë¥ ¢ [178℄ ¤«ï ­¥ª®â®àëå ⥫
¢à 饭¨ï ­¥áä¥à¨ç¥áª®© ä®à¬ë.
„«ï â®­ª®£® ªà㣮¢®£® ¤¨áª à ¤¨ãá a:
Fk

= 16µaUi,

F⊥

=

32 µaU .
i
3

(2.6.16)

„«ï £ ­â¥«¥¢¨¤­®© ç áâ¨æë, á®áâ®ï饩 ¨§ ¤¢ãå ᮯਪ á îé¨åáï
áä¥à à ¢­®£® à ¤¨ãá a:
= 12πµaUiλk ,
F⊥ = 12πµaUi λ⊥ ,
Fk

λk ≈ 0,645,

λ⊥ ≈ 0,716.

(2.6.17)

‚ íâ¨å ä®à¬ã« å ¯à®¨§¢¥¤¥­¨¥ 12πµaUi à ¢­® á㬬¥ ᮯà®â¨¢«¥­¨©
¤¢ãå ¨§®«¨à®¢ ­­ëå áä¥à à ¤¨ãá a.
„«ï ᯫîá­ãâëå í««¨¯á®¨¤®¢ ¢à 饭¨ï á ¯®«ã®áﬨ a, b (a > b):
Fk

= 3,77 (4a + b),

F⊥

= 3,77 (3a + 2b),

(2.6.18)

£¤¥ a | íª¢ â®à¨ «ì­ë© à ¤¨ãá (a > b).
„«ï ¢ëâï­ãâëå í««¨¯á®¨¤®¢ ¢à 饭¨ï á ¯®«ã®áﬨ a, b:
Fk

= 3,77 (a + 4b),

F⊥

= 3,77 (2a + 3b),

(2.6.19)

£¤¥ b | íª¢ â®à¨ «ì­ë© à ¤¨ãá (b > a).
”®à¬ã«ë (2.6.18) ¨ (2.6.19) ïîâáï ¯à¨¡«¨¥­­ë¬¨. Ž­¨ å®à®è® ýà ¡®â îâþ ¤«ï á« ¡®¤¥ä®à¬¨à®¢ ­­ëå í««¨¯á®¨¤®¢ ¢à 饭¨ï.
Œ ªá¨¬ «ì­ ï ¯®£à¥è­®áâì (2.6.18) ¤«ï «î¡ëå ®â­®è¥­¨© ¬¥¤ã ¯®«ã®áﬨ ¬¥­ìè¥ 6%.

‘⮪ᮢ® ®¡â¥ª ­¨¥ ⢥म© ç áâ¨æë ¯à®¨§¢®«ì­®© ä®à¬ë.  ç áâ¨æ㠯ந§¢®«ì­®© ä®à¬ë, ¤¢¨ãéãîáï ¢ ¡¥§£à ­¨ç­®©,

¯®ª®ï饩áï ­ ¡¥áª®­¥ç­®á⨠¨¤ª®áâ¨, ¤¥©áâ¢ãîâ £¨¤à®¤¨­ ¬¨ç¥áª¨¥ ᨫ ¨ ¬®¬¥­â, á¢ï§ ­­ë¥ á ¥¥ ¯®áâ㯠⥫ì­ë¬ ¨ ¢à é ⥫ì­ë¬
¤¢¨¥­¨¥¬ [178℄:

K
S

~
F~ = µ( U
~ = µ( U
~
M

£¤¥ K, S,
ç áâ¨æë.

+ S ~ω),
+ ~ω),

(2.6.20)
(2.6.21)

| ⥭§®àë ¢â®à®£® à ­£ , § ¢¨áï騥 ®â £¥®¬¥âਨ

70

„¢¨¥­¨¥ ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ ¢ ¨¤ª®áâ¨

‘¨¬¬¥âà¨ç­ë© ⥭§®à K = kKij k ­ §ë¢ ¥âáï âà ­á«ï樮­­ë¬.
Ž­ å à ªâ¥à¨§ã¥â ᮯà®â¨¢«¥­¨¥ ⥫ ¯®áâ㯠⥫쭮¬ã ¤¢¨¥­¨î ¨
§ ¢¨á¨â ⮫쪮 ®â à §¬¥à®¢ ¨ ä®à¬ë ⥫ . ‚ £« ¢­ëå ®áïå âà ­á«ï樮­­ë© ⥭§®à ¯à¨¢®¤¨âáï ª ¤¨ £®­ «ì­®¬ã ¢¨¤ã
K1 0
0
(2.6.22)
K = 0 K2 0 ,
0 0 K3
£¤¥ K1 , K2 , K3 | £« ¢­ë¥ ᮯà®â¨¢«¥­¨ï, ¤¥©áâ¢ãî騥 ­ ⥫® ¯à¨
¥£® ¤¢¨¥­¨¨ ¢¤®«ì £« ¢­ëå ®á¥©. „«ï ®àâ®âய­ëå (¨¬¥îé¨å âà¨
¢§ ¨¬­® ¯¥à¯¥­¤¨ªã«ïà­ë¥ ¯«®áª®á⨠ᨬ¬¥âਨ) ⥫ £« ¢­ë¥ ®á¨
âà ­á«ï樮­­®£® ⥭§®à ­®à¬ «ì­ë ᮮ⢥âáâ¢ãî騬 ¯«®áª®áâï¬
ᨬ¬¥âਨ. „«ï ®á¥á¨¬¬¥âà¨ç­ëå ⥫ ®¤­ ¨§ ®á¥© ᨬ¬¥âਨ (᪠¥¬, ¯¥à¢ ï) ï¥âáï £« ¢­®© ®áìî ¨ K2 = K3 . „«ï áä¥àë à ¤¨ãá a «î¡ë¥ âਠ¢§ ¨¬­® ¯¥à¯¥­¤¨ªã«ïà­ë¥ ®á¨ ïîâáï £« ¢­ë¬¨
¨ K1 = K2 = K3 = 6πa.
‘¨¬¬¥âà¨ç­ë© ⥭§®à ­ §ë¢ ¥âáï à®â 樮­­ë¬ ⥭§®à®¬. Ž­
§ ¢¨á¨â ­¥ ⮫쪮 ®â ä®à¬ë ¨ à §¬¥à ç áâ¨æë, ­® â ª¥ ®â ¢ë¡®à
­ ç « ª®®à¤¨­ â. ®â 樮­­ë© ⥭§®à å à ªâ¥à¨§ã¥â ᮯà®â¨¢«¥­¨¥
¢à é ⥫쭮¬ã ¤¢¨¥­¨î ⥫ ¨ ¢ £« ¢­ëå ®áïå (£« ¢­ë¥ ®á¨ à®â 樮­­®£® ¨ âà ­á«ï樮­­®£® ⥭§®à®¢ ¨¬¥îâ à §«¨ç­®¥ ¯à®áâà ­á⢥­­®¥ à ᯮ«®¥­¨¥) ¯à¨­¨¬ ¥â ¤¨ £®­ «ì­ë© ¢¨¤ á í«¥¬¥­â ¬¨
1 , 2 , 3 . „«ï ®á¥á¨¬¬¥âà¨ç­ëå ⥫ ®¤­ ¨§ £« ¢­ëå ®á¥© (­ ¯à¨¬¥à, ¯¥à¢ ï) ¯ à ««¥«ì­ ®á¨ ᨬ¬¥âਨ, ¯à¨ í⮬ 2 = 3 . „«ï
áä¥à¨ç¥áª®© ç áâ¨æë ¨¬¥¥¬: 1 = 2 = 3 .
’¥­§®à S ᨬ¬¥âà¨ç¥­ «¨èì ¢ ¥¤¨­á⢥­­®© ¤«ï ª ¤®£® ⥫
â®çª¥ Ž, ­ §ë¢ ¥¬®© 業â஬ £¨¤à®¤¨­ ¬¨ç¥áª®© ॠªæ¨¨. â®â ⥭§®à ­ §ë¢ ¥âáï ᮯà省­ë¬ ⥭§®à®¬ ¨ å à ªâ¥à¨§ã¥â ¯¥à¥ªà¥áâ­ãî ॠªæ¨î ⥫ ­ ãç á⨥ ¢ ¯®áâ㯠⥫쭮¬ ¨ ¢à é ⥫쭮¬ ¤¢¨¥­¨¨ (¬®¬¥­â ᮯà®â¨¢«¥­¨ï ¯à¨ ¯®áâ㯠⥫쭮¬ ¤¢¨¥­¨¨ ¨ ᨫã
ᮯà®â¨¢«¥­¨ï | ¯à¨ ¢à é ⥫쭮¬). „«ï ⥫ á ®àâ®âய­®©, ®á¥¢®© ¨ áä¥à¨ç¥áª®© ᨬ¬¥âਥ© ᮯà省­ë© ⥭§®à ï¥âáï ⮤¥á⢥­­® à ¢­ë¬ ­ã«î. Ž¤­ ª® ¥£® ­¥®¡å®¤¨¬® ãç¨âë¢ âì, ­ ¯à¨¬¥à,
¤«ï ⥫ á £¥«¨ª®¨¤ «ì­®© ᨬ¬¥âਥ© (¯à®¯¥««¥à®®¡à §­ëå ⥫).
 ¨¡®«¥¥ áãé¥á⢥­­ë¬ ¯à¨ à áᬮâ७¨¨ § ¤ ç £à ¢¨â 樮­­®£®
®á ¤¥­¨ï ç áâ¨æ ï¥âáï ãç¥â âà ­á«ï樮­­®£® ⥭§®à .
ƒ« ¢­ë¥ ᮯà®â¨¢«¥­¨ï ­¥ª®â®àëå ⥫ ­¥áä¥à¨ç¥áª®© ä®à¬ë
¯à¨¢¥¤¥­ë ¢ [178℄ ¨ 㪠§ ­ë ­¨¥.
„«ï â®­ª®£® ªà㣮¢®£® ¤¨áª à ¤¨ãá a:
K1 = 16a,
K2 = 32
K3 = 32
(2.6.23)
3 a,
3 a.
„«ï ¨£«®¯®¤®¡­ëå í««¨¯á®¨¤®¢ ¤«¨­®© l ¨ à ¤¨ãᮬ a:
4πl
8πl
8πl
K1 =
, K2 =
, K3 =
.
2 ln(l/a) − 1
2 ln(l/a) + 1
2 ln(l/a) + 1
(2.6.24)

71

2.6. Ž¡â¥ª ­¨¥ ­¥áä¥à¨ç¥áª¨å ⢥à¤ëå ç áâ¨æ

Žâ­®á¨â¥«ì­ë© ª®íää¨æ¨¥­â ᮯà®â¨¢«¥­¨ï ®á¥á¨¬¬¥âà¨ç­ëå ç áâ¨æ ¯à¨ ¤¢¨¥­¨¨ ¢¤®«ì
®á¨. ‘¯«®è­ ï «¨­¨ï | ¯à¨¡«¨¥­­ ï ä®à¬ã« (2.6.28), èâà¨å®¢ ï «¨­¨ï | â®ç­®¥ à¥è¥­¨¥ ¤«ï
í««¨¯á®¨¤ ¢à 饭¨ï. ª¯¥à¨¬¥­â «ì­ë¥ ¤ ­­ë¥: 1, 2 | 樫¨­¤àë, 3 | ¯ à ««¥«¥¯¨¯¨¤ë, 4 |
¤¢®©­ë¥ ª®­ãáë. —¨á«¥­­ë© à áç¥â: 5 | 樫¨­¤àë, 6 | ª®­ãáë.
¨á. 2.7.

¨á. 2.8. Žâ­®á¨â¥«ì­ë© ª®íää¨æ¨¥­â ᮯà®â¨¢«¥­¨ï ®á¥á¨¬¬¥âà¨ç­ëå
ç áâ¨æ ¯à¨ ¤¢¨¥­¨¨ ¯¥à¯¥­¤¨ªã«ïà­® ®á¨. ‘¯«®è­ ï «¨­¨ï | ¯à¨¡«¨¥­­ ï ä®à¬ã« (2.6.29), èâà¨å®¢ ï «¨­¨ï | â®ç­®¥ à¥è¥­¨¥ ¤«ï
í««¨¯á®¨¤ ¢à 饭¨ï. ª¯¥à¨¬¥­â «ì­ë¥ ¤ ­­ë¥: 1, 2 | 樫¨­¤àë,
3 | ¯ à ««¥«¥¯¨¯¨¤ë, 4 | ¤¢®©­ë¥
ª®­ãáë.

„«ï â®­ª¨å ªà㣮¢ëå 樫¨­¤à®¢ ¤«¨­®© l ¨ à ¤¨ãᮬ a:
4πl
4πl
4πl
K1 =
, K2 =
, K3 =
.
ln(l/a) − 0,72
ln(l/a) + 0,5
ln(l/a) + 0,5
(2.6.25)
„«ï £ ­â¥«¥¢¨¤­®© ç áâ¨æë, á®áâ®ï饩 ¨§ ¤¢ãå ᮯਪ á îé¨åáï
áä¥à à ¢­®£® à ¤¨ãá a:
K1 = 24,3 a,
K2 = 27,0 a,
K3 = 27,0 a.
(2.6.26)
„«ï ¯à®¨§¢®«ì­®£® í««¨¯á®¨¤ á ¯®«ã®áﬨ a, b, c:
16π
16π
16π
K1 =
(2.6.27)
, K2 =
, K3 =
.
χ + a2 α
χ + b2 β
χ + c2 γ
‡¤¥áì ¯ à ¬¥âàë α, β , γ , χ ¢ëà  îâáï ç¥à¥§ ¨­â¥£à «ë
α=

Z∞
λ

dλ
,
(a2 + λ)

p

β

=

Z∞
λ

dλ
,
(b2 + λ)


γ

=

Z∞
λ

dλ
,
(c2 + λ)


(a2 + λ)(b2 + λ)(c2 + λ),

χ=

Z∞
dλ
λ




,

£¤¥
=
­¨­¨¬ ¯à¥¤¥«®¬ ¨­â¥£à¨à®¢ ­¨ï λ ï¥âáï ¯®«®¨â¥«ì­ë© ª®à¥­ì ªã¡¨ç¥áª®£® ãà ¢­¥­¨ï
x2
a2 + λ

+

y2

b2 + λ

+

z2

c2 + λ

= 1.

72

„¢¨¥­¨¥ ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ ¢ ¨¤ª®áâ¨

„«ï ®á¥á¨¬¬¥âà¨ç­®£® ⥫ ¯à®¨§¢®«ì­®© ä®à¬ë ¢¢¥¤¥¬ ¯®­ï⨥
íª¢¨¢ «¥­â­®© ¯® ¯¥à¨¬¥âàã áä¥àë. „«ï í⮣® á¯à®¥ªâ¨à㥬 â®çª¨
¯®¢¥àå­®á⨠⥫ ­ ¯«®áª®áâì, ¯¥à¯¥­¤¨ªã«ïà­ãî ¥£® ®á¨. ‚ ¯à®¥ªæ¨¨ ¯®«ã稬 ªàã£ à ¤¨ãá a⊥ . ª¢¨¢ «¥­â­ ï ¯® ¯¥à¨¬¥âàã áä¥à
¨¬¥¥â â ª®© ¥ à ¤¨ãá.
„«ï ­¥ª®â®àëå ®á¥á¨¬¬¥âà¨ç­ëå ¨ ®àâ®âய­ëå ⥫ (樫¨­¤àë,
¤¢®©­ë¥ ª®­ãáë, ¯ à ««¥«¥¯¨¯¥¤ë) ­ à¨á. 2.7, 2.8 ¯à¨¢¥¤¥­ë íªá¯¥à¨¬¥­â «ì­ë¥ ¤ ­­ë¥ [219℄ ¨ १ã«ìâ âë ç¨á«¥­­ëå à áç¥â®¢ ¤«ï
£« ¢­ëå §­ 祭¨© âà ­á«ï樮­­®£® ⥭§®à .  à¨á. 2.7 ¯® ®á¨ ®à¤¨­ ⠮⫮¥­ë §­ 祭¨ï ®á¥¢®£® ᮯà®â¨¢«¥­¨ï ®á¥á¨¬¬¥âà¨ç­®£®
⥫ , ®â­¥á¥­­ë¥ ª ᮯà®â¨¢«¥­¨î áä¥àë á íª¢¨¢ «¥­â­ë¬ ¯¥à¨¬¥â஬. Ǒ® ®á¨ ¡áæ¨áá ®â«®¥­ë §­ 祭¨ï ä ªâ®à ä®à¬ë , à ¢­®£®
®â­®è¥­¨î ¯«®é ¤¨ ¯®¢¥àå­®á⨠ç áâ¨æë ª ¯«®é ¤¨ ¯®¢¥àå­®áâ¨ íª¢¨¢ «¥­â­®© ¯® ¯¥à¨¬¥âàã áä¥àë. Ǒਢ¥¤¥­­ë¥ १ã«ìâ âë å®à®è®
¯¯à®ªá¨¬¨àãîâáï á«¥¤ãî饩 § ¢¨á¨¬®áâìî ¤«ï ®â­®á¨â¥«ì­®£® ª®íää¨æ¨¥­â ®á¥¢®£® ᮯà®â¨¢«¥­¨ï [219℄:
ck

= 0,244 + 1,035  − 0,712 2 + 0,441 3.

(2.6.28)

 à¨á. 2.8 ¯à¨¢¥¤¥­ë ®â­®á¨â¥«ì­ë¥ §­ 祭¨ï ¡®ª®¢®£® ᮯà®â¨¢«¥­¨ï ¢ § ¢¨á¨¬®á⨠®â ­ «®£¨ç­®£® ä ªâ®à ä®à¬ë. Ǒã­ªâ¨à­®©
«¨­¨¥© ­ ­¥á¥­ë â®ç­ë¥ १ã«ìâ âë ¤«ï áä¥à®¨¤®¢. Žâ­®á¨â¥«ì­ë©
ª®íää¨æ¨¥­â ¡®ª®¢®£® ᮯà®â¨¢«¥­¨ï ¬®­® ¢ëç¨á«ïâì ¯® ä®à¬ã«¥ [219℄
c⊥ = 0,392 + 0,621  − 0,04 2 ,
(2.6.29)
ª®â®à ï å®à®è® ᮣ« áã¥âáï á 㪠§ ­­ë¬¨ íªá¯¥à¨¬¥­â «ì­ë¬¨ ¤ ­­ë¬¨.
Žá ¤¥­¨¥ ¨§®âய­ëå ç áâ¨æ. ‚ ­®© £¨¤à®¤¨­ ¬¨ç¥áª®©
å à ªâ¥à¨á⨪®© â ª¨å 娬¨ª®-â¥å­®«®£¨ç¥áª¨å ¯à®æ¥áᮢ, ª ª ®âá⮩ ¨ ᥤ¨¬¥­â æ¨ï, ï¥âáï ãáâ ­®¢¨¢è ïáï ᪮à®áâì Ui ®á ¤¥­¨ï ç áâ¨æ ¢ ¯®«ïå ¬ áᮢëå ᨫ ¨, ¯à¥¤¥ ¢á¥£®, ¢ £à ¢¨â 樮­­®¬
¯®«¥. ‹î¡®¥ ⥫®, ®¡« ¤ î饥 áä¥à¨ç¥áª®© ¨§®âய¨¥© ¨ ®¤­®à®¤­®¥
¯® ¯«®â­®áâ¨, ¨¬¥¥â ®¤¨­ ª®¢®¥ ᮯà®â¨¢«¥­¨¥ ¯®áâ㯠⥫쭮¬ã ¤¢¨¥­¨î ¯à¨ «î¡®© ®à¨¥­â 樨. ’ ª®¥ ⥫® ¡ã¤¥â â ª¥ ¨§®âய­® ¯®
®â­®è¥­¨î ª ¯ ॠᨫ, ¢®§­¨ª îé¨å ¯à¨ ¥£® ¢à 饭¨¨ ®â­®á¨â¥«ì­®
¯à®¨§¢®«ì­®© ®á¨, ¯à®å®¤ï饩 ç¥à¥§ ¥£® 業âà. ᫨ â ª®¥ ⥫® ¢ ­ ç «ì­ë© ¬®¬¥­â ¨¬¥¥â ­¥ª®â®àãî ®à¨¥­â æ¨î ¢ ¨¤ª®á⨠¨ ¬®¥â
¯ ¤ âì ¡¥§ ­ ç «ì­®£® ¢à 饭¨ï, â® ®­® ¡ã¤¥â ¯ ¤ âì ¢¥à⨪ «ì­® ¡¥§
¢à 饭¨ï, á®åà ­ïï á¢®î ¯¥à¢®­ ç «ì­ãî ®à¨¥­â æ¨î.
‘¢®¡®¤­®¥ ¯ ¤¥­¨¥ ­¥áä¥à¨ç¥áª¨å ¨§®âய­ëå ç áâ¨æ 㤮¡­® ®¯¨áë¢ âì á ¯®¬®éìî ¯ à ¬¥âà áä¥à¨ç­®áâ¨
ψ

=

Se
,
S

(2.6.30)

2.6. Ž¡â¥ª ­¨¥ ­¥áä¥à¨ç¥áª¨å ⢥à¤ëå ç áâ¨æ

73

£¤¥ S | ¯«®é ¤ì ¯®¢¥àå­®á⨠ç áâ¨æë, Se | ¯«®é ¤ì ¯®¢¥àå­®áâ¨
íª¢¨¢ «¥­â­®© ¯® ®¡ê¥¬ã áä¥àë. Ǒਠ¬¥¤«¥­­®¬¤¢¨¥­¨¨ ᪮à®áâì
®á ¤¥­¨ï ç áâ¨æ ¬®­® ¢ëç¨á«ïâì á ¯®¬®éìî í¬¯¨à¨ç¥áª®© ä®à¬ã«ë [178℄
2
~ = 2 Q
ρae ~g ,
U
(2.6.31)
i
9 µ
£¤¥ ae | à ¤¨ãá íª¢¨¢ «¥­â­®© ¯® ®¡ê¥¬ã áä¥àë,
Q = 0,843 ln

ψ

0,065

(2.6.32)

.

Ǒਢ¥¤¥¬ §­ 祭¨ï ä ªâ®à áä¥à¨ç­®á⨠ψ ¤«ï ­¥ª®â®àëå ç áâ¨æ: áä¥à | 1,000; ®ªâ í¤à | 0,846; ªã¡ | 0,806; â¥âà í¤à | 0,670.
Žá ¤¥­¨¥ ­¥¨§®âய­ëå ç áâ¨æ. ᫨ ¤«ï á⮪ᮢ ®á¥¤ ­¨ï áä¥à¨ç¥áª®© ç áâ¨æë ­ ¯à ¢«¥­¨¥ ᪮à®á⨠¢á¥£¤ ᮢ¯ ¤ ¥â á
­ ¯à ¢«¥­¨¥¬ ᨫë âï¥áâ¨, â® ¤ ¥ ¤«ï ®¤­®à®¤­ëå ®á¥á¨¬¬¥âà¨ç­ëå ç áâ¨æ ­ ¯à ¢«¥­¨¥ ᪮à®á⨠¡ã¤¥â ¢¥à⨪ «ì­ë¬ ⮫쪮 ¢ ⮬
á«ãç ¥, ª®£¤ ¢¥à⨪ «ì ᮢ¯ ¤ ¥â á ®¤­®© ¨§ £« ¢­ëå ®á¥© âà ­á«ï樮­­®£® ⥭§®à K. ᫨ ¥ ®áì ᨬ¬¥âਨ ­ ª«®­¥­ ª ¢¥à⨪ «¨
¯®¤ 㣫®¬ ϕ, â® ­ ¯à ¢«¥­¨¥ ᪮à®á⨠§ ¤ ¥âáï 㣫®¬ [219℄
θ

= π + ar tg



K2
K1


,

tg ϕ

(2.6.33)

£¤¥ K1, K2 | ®á¥¢®¥ ¨ ¡®ª®¢®¥ £« ¢­ë¥ ᮯà®â¨¢«¥­¨ï âà ­á«ï樮­­®¬ã ¤¢¨¥­¨î. ‚¥«¨ç¨­ ᪮à®á⨠®¯à¥¤¥«ï¥âáï á ¯®¬®éìî ¢ëà ¥­¨ï [219℄
Ui

=

V
ρg
(K12
µ

os2 θ + K22 sin2 θ)−1/2 ,

(2.6.34)

£¤¥ V | ®¡ê¥¬ ç áâ¨æë.
Žâª«®­¥­¨¥ ­ ¯à ¢«¥­¨ï ®á¥¤ ­¨ï ®â ¢¥à⨪ «¨ ®§­ ç ¥â, çâ® ­
¯ ¤ îéãî ç áâ¨æã ¤¥©áâ¢ã¥â ¡®ª®¢ ï ᨫ , ¯à¨¢®¤ïé ï ª ¥¥ £®à¨§®­â «ì­®¬ã ᬥ饭¨î. „¥«® ¥é¥ ¡®«¥¥ ®á«®­ï¥âáï, ¥á«¨ 業âà £¨¤à®¤¨­ ¬¨ç¥áª®© ॠªæ¨¨ (¢ª«îç î饩 ¨ à娬¥¤®¢ã ᨫã) ­¥ ᮢ¯ ¤ ¥â á 業â஬ ¬ áá ç áâ¨æë. ‚ í⮬ á«ãç ¥ ¯®¬¨¬® âà ­á«ï樮­­®£®
¤¢¨¥­¨ï ç áâ¨æ ¯®«ãç ¥â ¥é¥ ¨ ¢à 饭¨¥ ¯®¤ ¤¥©á⢨¥¬ ¢®§­¨ª î饣® ¬®¬¥­â ᨫ (ýªã¢ëઠ­¨¥þ ¯ã«¨ ᮠᬥ饭­ë¬ 業â஬
¬ áá). „«ï ®á¥á¨¬¬¥âà¨ç­ëå ç áâ¨æ íâ® ¢à 饭¨¥ § ª ­ç¨¢ ¥âáï, ª®£¤ ª®­ä¨£ãà æ¨ï á¨á⥬ë 業âà ¬ áá | 業âà ॠªæ¨¨ ¯à¨®¡à¥â ¥â
ãá⮩稢®¥ ¯®«®¥­¨¥: 業âà ¬ áá ¢¯¥à¥¤¨ 業âà ॠªæ¨¨. Ǒਠí⮬
áâ ¡¨«¨§¨àã¥âáï ¨ áâ ­®¢¨âáï ¯àאַ«¨­¥©­®© ¨ âà ¥ªâ®à¨ï ®á ¤¥­¨ï ç áâ¨æë.

74

„¢¨¥­¨¥ ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ ¢ ¨¤ª®áâ¨

Ž¤­ ª® ¢ ¡®«¥¥ ®¡é¥¬ á«ãç ¥ ᨬ¬¥âਨ ç áâ¨æë ᮢ¬¥áâ­®¥
¤¥©á⢨¥ ¡®ª®¢®© á¨«ë ¨ ¢à 饭¨ï ¬®¥â ¯à¨¢¥á⨠ª ¤¢¨¥­¨î ¯®
¯à®áâà ­á⢥­­®©, ­ ¯à¨¬¥à, ¯® á¯¨à «¥¢¨¤­®© âà ¥ªâ®à¨¨. ‚ â® ¥
¢à¥¬ï ãáâ ­®¢¨¢è ïáï âà ¥ªâ®à¨ï ®á¥¤ ­¨ï ⥫ á £¥«¨ª®¨¤ «ì­®©
(¯à®¯¥««¥à®®¡à §­®©) ᨬ¬¥âਥ© ®áâ ¥âáï ¯àאַ«¨­¥©­®©, ­¥á¬®âàï
­ á®åà ­ïî饥áï ¢à 饭¨¥ ⥫ [178℄.
„«ï ®æ¥­®ª ãáâ ­®¢¨¢è¥©áï ᪮à®á⨠®á¥¤ ­¨ï á⮪ᮢëå ç áâ¨æ
­¥áä¥à¨ç¥áª®© ä®à¬ë ¯®«¥§­ë ¤¢¥ ⥮६ë. Ž¤­ ¨§ ­¨å ¤®ª § ­
•¨««®¬ ¨ Ǒ ãí஬ [238℄ ¨ £« á¨â, çâ® á⮪ᮢ® ᮯà®â¨¢«¥­¨¥ ¯à®¨§¢®«ì­®£® ⥫ , ¤¢¨ã饣®áï ¢ ¢ï§ª®© ¨¤ª®áâ¨, ¡®«ìè¥ á⮪ᮢ
ᮯà®â¨¢«¥­¨ï «î¡®£® ¢¯¨á ­­®£® ¢ ­¥£® ⥫ . ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¤«ï
®¯à¥¤¥«¥­¨ï ¢¥àå­¥© ¨ ­¨­¥© ®æ¥­®ª á⮪ᮢ ᮯà®â¨¢«¥­¨ï ⥫ ª ª®©-«¨¡® íª§®â¨ç¥áª®© ä®à¬ë ¬®­® ४®¬¥­¤®¢ âì à §ã¬­ë©
¢ë¡®à ¢¯¨á ­­ëå ¨ ®¯¨á ­­ëå ®ª®«® ­¥£® ⥫ á ¨§¢¥áâ­ë¬¨ ᮯà®â¨¢«¥­¨ï¬¨. „à㣠ï ⥮६ ¤®ª § ­ “í©­¡¥à£¥à®¬ [317℄ ¨ £®¢®à¨â
® ⮬, çâ® ¨§ ¢á¥å ç áâ¨æ á à §«¨ç­®© ä®à¬®©, ­® á ®¤­¨¬ ¨ ⥬ ¥
®¡ê¥¬®¬ ¨ ¬ áᮩ ­ ¨¡®«ìèãî á⮪ᮢã ᪮à®áâì ®á ¤¥­¨ï ¨¬¥¥â
áä¥à¨ç¥áª ï ç áâ¨æ .

‘।­ïï ᪮à®áâì ­¥¨§®âய­ëå ç áâ¨æ, ¯ ¤ îé¨å ¢
¨¤ª®áâ¨. ‘।­ïï ¢¥«¨ç¨­ ¢¥ªâ®à ᪮à®á⨠ç áâ¨æë hU~ i, ª®â®-

à ï ­ ¡«î¤ ¥âáï ¯à¨ ¯à®¢¥¤¥­¨¨ ¡®«ì让 á¥à¨¨ íªá¯¥à¨¬¥­â®¢, ª®£¤
ç áâ¨æ ¯ ¤ ¥â á® á«ãç ©­®© ®à¨¥­â 樥© ¢ ¨¤ª®áâ¨, ¤«ï á⮪ᮢ
२¬ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¯® ä®à¬ã«¥ [178℄
~ i = V
ρ ~g,
hU
(2.6.35)
µK

£¤¥ V | ®¡ê¥¬ ⥫ ,
ρ | à §­®áâì ¯«®â­®á⥩ ç áâ¨æë ¨ ®ªàã î饩 ¨¤ª®áâ¨, ~g | ã᪮७¨¥ ᨫë âï¥áâ¨, K | á।­¥¥ ᮯà®â¨¢«¥­¨¥, ª®â®à®¥ á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬ ¢ëà  ¥âáï ç¥à¥§ £« ¢­ë¥ ᮯà®â¨¢«¥­¨ï:


1
1
1
1 1
.
+
+
=
(2.6.36)
K
3 K1 K2 K3
‘।­ïï ᨫ ᮯà®â¨¢«¥­¨ï, ¤¥©áâ¢ãîé ï ­ ¯ ¤ îéãî ¢ ¨¤ª®á⨠á«ãç ©­® ®à¨¥­â¨à®¢ ­­ãî ç áâ¨æã, ®¯à¥¤¥«ï¥âáï â ª:
~ i.
hF~ i = −µKhU
(2.6.37)
”®à¬ã«ë (2.6.35) | (2.6.37) ¢ ­ë ¢ á¢ï§¨ á ­¥ª®â®à묨 ¢®¯à®á ¬¨ ¡à®ã­®¢áª®£® ¤¢¨¥­¨ï.
‚ ç áâ­®¬ á«ãç ¥ áä¥à¨ç¥áª®© ç áâ¨æë ¢ (2.6.35) á«¥¤ã¥â ¯®«®¨âì V = 43 πa3 , K = 6πa.
‚ëç¨á«¨¬ á।­¥¥ ᮯà®â¨¢«¥­¨¥ ¤«ï â®­ª®£® ªà㣮¢®£® ¤¨áª
à ¤¨ãá a. „«ï í⮣® ¯®¤áâ ¢¨¬ §­ 祭¨ï £« ¢­ëå ᮯà®â¨¢«¥­¨©
(2.6.23) ¢ ä®à¬ã«ã (2.6.36). ‚ १ã«ìâ ⥠¯®«ã稬
K = 12a.
(2.6.38)

2.6. Ž¡â¥ª ­¨¥ ­¥áä¥à¨ç¥áª¨å ⢥à¤ëå ç áâ¨æ

75

Ǒ®¤áâ ¢«ïï ª®íää¨æ¨¥­âë K1 , K2, K3 ¨§ (2.6.24) | (2.6.27) ¢
(2.6.36) ¬®­® ®¯à¥¤¥«¨âì á ¯®¬®éìî (2.6.35) á।­îî ᪮à®áâì
®á ¤¥­¨ï 㪠§ ­­ëå ¢ëè¥ â¥« ­¥áä¥à¨ç¥áª®© ä®à¬ë.

Ž¡â¥ª ­¨¥ ­¥áä¥à¨ç¥áª¨å ⢥à¤ëå ç áâ¨æ ¯à¨ ¢ë᮪¨å
ç¨á« å ¥©­®«ì¤á . Ǒਠá⮪ᮢ®¬ ®¡â¥ª ­¨¨ ç áâ¨æ «î¡®© ä®à-

¬ë â¥ç¥­¨¥ ï¥âáï ¡¥§®âà뢭ë¬, â.¥. «¨­¨¨ ⮪ ¯à¨å®¤ïâ ¨§ ¡¥áª®­¥ç­®áâ¨, ®£¨¡ îâ ⥫®, ¢áî¤ã ¯«®â­® ¯à¨«¥£ ï ª ¯®¢¥àå­®áâ¨, ¨
á­®¢ ã室ïâ ¢ ¡¥áª®­¥ç­®áâì. Ž¤­ ª®
¯à¨ ¡®«¥¥ ¢ë᮪¨å ç¨á« å ¥©­®«ì¤á ¯à®¨á室¨â ®âàë¢ ¯®â®ª ®â ®¡â¥ª ¥¬®£® ⥫ . â® ¯à¨¢®¤¨â ª ®¡à §®¢ ­¨î ¢¨åॢ®© ª®à¬®¢®© ®¡« áâ¨. Ǒ®
¬¥à¥ à®áâ ç¨á« ¥©­®«ì¤á à §¬¥à
í⮩ ¢¨åॢ®© ®¡« á⨠(¤«¨­ á«¥¤ )
à áâ¥â, ¯à¨ç¥¬ ¤«ï à §«¨ç­ëå ä®à¬
⥫ ¯®-à §­®¬ã.  à¨á. 2.9 ¯à¨¢¥¤¥­ë
íªá¯¥à¨¬¥­â «ì­ë¥ ¨ ç¨á«¥­­ë¥ ¤ ­­ë¥ ¯® ®â­®á¨â¥«ì­®© ¤«¨­¥ á«¥¤ LW , ¨á. 2.9. Žâ­®á¨â¥«ì­ ï ¤«¨­
¢ëà ¥­­®© ¢ ¤¨ ¬¥âà å íª¢ â®à¨ «ì- ª®à¬®¢®£® ¢¨åàï
­®£® á¥ç¥­¨ï d, ¢ § ¢¨á¨¬®á⨠®â ç¨á«
¥©­®«ì¤á ¤«ï à §«¨ç­ëå ®á¥á¨¬¬¥âà¨ç­ëå ⥫. ‚ ¨å ç¨á«® ¢å®¤ïâ:
áä¥à , ¤¨áª ¨ í««¨¯á®¨¤ë á à §«¨ç­ë¬ ®â­®è¥­¨¥¬ E ®á¥¢®£® à §¬¥à ª íª¢ â®à¨ «ì­®¬ã.
Ǒਠ¤ «ì­¥©è¥¬ à®á⥠ç¨á« ¥©­®«ì¤á ¢¨åॢ®© á«¥¤ áâ ­®¢¨âáï ­¥áâ 樮­ à­ë¬, ã室¨â ¢ ¡¥áª®­¥ç­®áâì ¨ ®ª®­ç ⥫쭮 âãà¡ã«¨§ã¥âáï. ‘¨«®¢®¥ ¢®§¤¥©á⢨¥ ¯®â®ª ­ ®¡â¥ª ¥¬®¥ ⥫® â¥á­® á¢ï§ ­®
á à §¬¥à®¬ ¨ á®áâ®ï­¨¥¬ ¢¨åॢ®£® á«¥¤ . Ǒ।¥«ì­ë¬¨ ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨¬¨ २¬ ¬¨ â ª®£® ¢®§¤¥©á⢨ï ïîâáï á⮪ᮢ २¬ (¯à¨
Re → 0) ¨ ­ìîâ®­®¢áª¨© २¬ (¯à¨ Re → ∞). • à ªâ¥à¨á⨪¨ á⮪ᮢ ®¡â¥ª ­¨ï à áᬮâ७ë à ­¥¥. ìîâ®­®¢áª¨© २¬ ®¡â¥ª ­¨ï
å à ªâ¥à¨§ã¥âáï ¯®áâ®ï­á⢮¬ ª®íää¨æ¨¥­â ᮯà®â¨¢«¥­¨ï ⥫ cf .
Š®íää¨æ¨¥­âë ᮯà®â¨¢«¥­¨ï ¯à¨ ®á¥¢®¬ ®¡â¥ª ­¨¨ ¤¨áª®¢, ïîé¨åáï ¯à¥¤¥«ì­ë¬¨ á«ãç ﬨ ®á¥á¨¬¬¥âà¨ç­ëå ⥫ ¬ «®£® 㤫¨­¥­¨ï, ¯à¨¢¥¤¥­ë ¢ à ¡®â¥ [219℄ ¢® ¢á¥¬ ¤¨ ¯ §®­¥ ç¨á¥« ¥©­®«ì¤á ,
à á ç¨â ­­ëå ¯® à ¤¨ãáã. â¨ ä®à¬ã«ë ïîâáï ¯¯à®ªá¨¬ æ¨ï¬¨
¤ ­­ëå ç¨á«¥­­ëå à áç¥â®¢ ¨ íªá¯¥à¨¬¥­â «ì­ëå १ã«ìâ ⮢:
cf
cf
cf
cf

= 10,2 Re−1 (1 + 0,318 Re)
= 10,2 Re−1 (1 + 10s )
= 10,2 Re−1 (1 + 0,239 Re0,792 )
= 1,17

£¤¥ s = −0,61 + 0,906 lg Re

¯à¨
¯à¨
¯à¨
¯à¨

Re 6 0,005,
0,005 < Re 6 0,75,
(2.6.39)
0,75 < Re 6 66,5
Re > 66,5,

− 0,025 (lg Re)2 .

76

„¢¨¥­¨¥ ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ ¢ ¨¤ª®áâ¨

“áâ ­®¢¨¢èãîáï ᪮à®áâì ®á¥¤ ­¨ï ç áâ¨æë ¯à®¨§¢®«ì­®© ä®à¬ë (¤«ï ­ìîâ®­®¢áª®£® २¬ ¤¢¨¥­¨ï ¯à¨ ¡®«ìè¨å ç¨á« å ¥©­®«ì¤á ) ¬®­® ­ ©â¨ ¯® ä®à¬ã«¥ [219℄
U

= 0,69 γ 1/36[gae (γ − 1)(1,08 − ψ)℄1/2 ¯à¨ 1,1 < γ < 8,6, (2.6.40)

£¤¥ γ | ®â­®è¥­¨¥ ¯«®â­®á⥩ ç áâ¨æë ¨ ¨¤ª®áâ¨, ae | à ¤¨ãá íª¢¨¢ «¥­â­®© ¯® ®¡ê¥¬ã áä¥àë, ψ | ®â­®è¥­¨¥ ¯«®é ¤¨ ¯®¢¥àå­®áâ¨
íª¢¨¢ «¥­â­®© ¯® ®¡ê¥¬ã áä¥àë ª ¯«®é ¤¨ ¯®¢¥àå­®á⨠ç áâ¨æë.
2.7. Ž¡â¥ª ­¨¥ 樫¨­¤à

(¯«®áª ï § ¤ ç )

‚ 娬¨ç¥áª®© â¥å­®«®£¨¨ ¨ í­¥à£¥â¨ª¥ è¨à®ª® ¨á¯®«ì§ãîâáï ¯¯ à âë, ª®â®àë¥ ®á­ 饭ë ⥯«®®¡¬¥­­ë¬¨ âàã¡ ¬¨ ¨ à §«¨ç­ë¬¨ 樫¨­¤à¨ç¥áª¨¬¨ ¢áâ ¢ª ¬¨, ¯®£à㥭­ë¬¨ ¢ ¤¢¨ãéãîáï ¨¤ª®áâì. ƒ¨¤à®¤¨­ ¬¨ç¥áª®¥ ¢®§¤¥©á⢨¥ ­ 㪠§ ­­ë¥ í«¥¬¥­âë ª®­áâàãªæ¨© ¬®­® ®æ¥­¨âì ­ ®á­®¢¥ à¥è¥­¨ï ¯«®áª®© § ¤ ç¨ ®¡ ®¡â¥ª ­¨¨ 樫¨­¤à .

Ž¡â¥ª ­¨¥ 樫¨­¤à ¯®áâ㯠⥫ì­ë¬ ¯®â®ª®¬.

Œ «ë¥ ç¨á« ¥©­®«ì¤á . ‚ [247, 282℄ ¬¥â®¤®¬ áà 騢 ¥¬ëå
ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨å à §«®¥­¨© ¯®«ã祭® à¥è¥­¨¥ § ¤ ç¨ ®¡ ®¡â¥ª ­¨¨ ªà㣮¢®£® 樫¨­¤à à ¤¨ãá a ¯®áâ㯠⥫ì­ë¬ ¯®â®ª®¬ ¢ï§ª®©
­¥á¨¬ ¥¬®© ¨¤ª®á⨠ᮠ᪮à®áâìî Ui ¯à¨ ¬ «ëå ç¨á« å ¥©­®«ì¤á . ˆáá«¥¤®¢ ­¨¥ ¯à®¢®¤¨«®áì ¢ ¯®«ïà­®© á¨á⥬¥ ª®®à¤¨­ â R, θ ­
®á­®¢¥ ¯®«­ëå ãà ¢­¥­¨©  ¢ì¥ | ‘⮪á * (1.1.4), çâ® ¯®§¢®«¨«® ¯®«ãç¨âì á«¥¤ãî饥 ¢ëà ¥­¨¥ ¤«ï ä㭪樨 ⮪ ¯à¨ R/a ∼ 1:

= aU



R
a

ln

R
−
a

1
2

R
a

1
+
2

a
R



sin θ,

(2.7.1)

£¤¥ ¨á¯®«ì§®¢ ­ë ®¡®§­ 祭¨ï:
U

= Ui
− 0,87
3



,




= ln

3,703
Re

−1

,

Re =

aUi ρ
.
µ

Š®¬¯®­¥­âë ᪮à®á⨠¨¤ª®á⨠¬®­® ­ ©â¨ ¯® ä®à¬ã« ¬ (1.1.12).
”ã­ªæ¨ï ⮪ (2.7.1) ¯®§¢®«ï¥â ¢ëç¨á«¨âì ª®íää¨æ¨¥­â ᮯà®â¨¢«¥­¨ï


4π
F
cf =
=

− 0,87
3 ,
(2.7.2)
2
aUi ρ
Re
* Ǒ®¯ë⪠à¥è¥­¨ï £¨¤à®¤¨­ ¬¨ç¥áª®© § ¤ ç¨ ®¡ ®¡â¥ª ­¨¨ 樫¨­¤à ­
®á­®¢¥ «¨­¥©­ëå ãà ¢­¥­¨© ‘⮪á (2.1.1) ¯à¨¢®¤¨â ª ¯ à ¤®ªá㠑⮪á [38, 178℄.

2.7. Ž¡â¥ª ­¨¥ 樫¨­¤à (¯«®áª ï § ¤ ç )

77

£¤¥ F | ᨫ , ¯à¨å®¤ïé ïáï ­ ¥¤¨­¨æã ¤«¨­ë 樫¨­¤à .
‘à ¢­¥­¨¥ á íªá¯¥à¨¬¥­â «ì­ë¬¨ ¤ ­­ë¬¨ ¯®ª §ë¢ ¥â, çâ® ä®à¬ã«ã (2.7.3) ¬®­® ¨á¯®«ì§®¢ âì ¯à¨ 0 < Re < 0,4 [38℄.

¥§®âà뢭®¥ ®¡â¥ª ­¨¥ 樫¨­¤à ¯à¨ 㬥७­ëå ç¨á« å
¥©­®«ì¤á . ‘®£« á­® íªá¯¥à¨¬¥­â «ì­ë¬ ¤ ­­ë¬ [37℄ ¡¥§®âà뢭®¥

®¡â¥ª ­¨¥ ªà㣮¢®£® 樫¨­¤à ॠ«¨§ã¥âáï ¯à¨ Re 6 2,5. ‚ í⮩ ®¡« á⨠¨§¬¥­¥­¨ï ç¨á¥« ¥©­®«ì¤á ¤«ï à áç¥â ª®íää¨æ¨¥­â ᮯà®â¨¢«¥­¨ï 樫¨­¤à ¬®­® ¨á¯®«ì§®¢ âì ¯à¨¡«¨¥­­ãî ä®à¬ã«ã [219℄
cf

= 5,65 Re−0,78 1 + 0,26 Re0,82




¯à¨ 0,05 6 Re 6 2,5, (2.7.3)

¯®«ã祭­ãî ¯ã⥬ ®¡à ¡®âª¨ ®¯ëâ­ëå ¤ ­­ëå ¨ १ã«ìâ ⮢ ç¨á«¥­­ëå à áç¥â®¢.

Žâà뢭®¥ ®¡â¥ª ­¨¥ 樫¨­¤à ¯à¨ 㬥७­ëå ç¨á« å
¥©­®«ì¤á . Ǒਠ¯à¥¢ë襭¨¨ ªà¨â¨ç¥áª®£® §­ 祭¨ï Re ≈ 2,5 ¢¡«¨-

§¨ ª®à¬®¢®© â®çª¨ ¢®§­¨ª ¥â ®¡« áâì ¢¨åॢ®£® ¢®§¢à â­®£® â¥ç¥­¨ï
á § ¬ª­ãâ묨 «¨­¨ï¬¨ ⮪ | ¯à®¨á室¨â ®âàë¢ ¯®â®ª [37℄. Ǒà¨
㢥«¨ç¥­¨¨ ç¨á« ¥©­®«ì¤á â®çª ®âàë¢ ¯®á⥯¥­­® ¯¥à¥¬¥é ¥âáï
®â ®á¨ ¯®â®ª ¢¢¥àå ¯® ¯®¢¥àå­®á⨠樫¨­¤à . Š®íää¨æ¨¥­â ᮯà®â¨¢«¥­¨ï ¤«ï ®âà뢭®£® ®¡â¥ª ­¨ï 樫¨­¤à ¯à¨ 㬥७­ëå ç¨á« å
¥©­®«ì¤á ¬®­® ¢ëç¨á«ïâì á ¯®¬®éìî í¬¯¨à¨ç¥áª¨å ä®à¬ã« [219℄
cf
cf




= 5,65 · 10−0,78 1 + 0,333 Re0,55


= 5,65 · 10−0,78 1 + 0,148 Re0,82

¯à¨ 2,5 < Re 6 20,
(2.7.4)
¯à¨ 20 < Re 6 200.

Žâà뢭®¥ ®¡â¥ª ­¨¥ 樫¨­¤à ¯à¨ ¡®«ìè¨å ç¨á« å ¥©­®«ì¤á . Ǒਠ¤ «ì­¥©è¥¬ 㢥«¨ç¥­¨¨ Re ª®à¬®¢ë¥ ¢¨åਠ㤫¨­ï-

îâáï, § ⥬ ­ 稭 ¥âáï ¨å ¯®®ç¥à¥¤­ë© ®âàë¢ (¢¨åॢ ï ¤®à®ª
Š ଠ­ ). Ž¤­®¢à¥¬¥­­® á í⨬ â®çª ®âàë¢ ¯¥à¥¬¥é ¥âáï ¡«¨¥
ª íª¢ â®à¨ «ì­®¬ã á¥ç¥­¨î. ‚ ­®© å à ªâ¥à¨á⨪®© ®¡â¥ª ­¨ï 樫¨­¤à ï¥âáï ç áâ®â ®âàë¢ ¢¨å३ νf ®â ª®à¬®¢®© ®¡« áâ¨. „«ï
¥¥ ®¯à¥¤¥«¥­¨ï ¬®­® ¨á¯®«ì§®¢ âì í¬¯¨à¨ç¥áªãî ä®à¬ã«ã [71℄
St =

0,13 
cf

1 − exp(−2,38 cf )



,

(2.7.5)

£¤¥ St = aνf µ/ρ | ç¨á«® ‘âàãå «ï.
Ǒਢ¥¤¥¬ â ª¥ ¤àã£ãî ¯®«¥§­ãî ä®à¬ã«ã ¤«ï ç áâ®âë ®âàë¢
¢¨å३: νf = 0,08 Ui/b, £¤¥ b | ¯®«ãè¨à¨­ ¢¨åॢ®£® á«¥¤ ¢ ¬¥áâ¥
¥£® à §àã襭¨ï.
 稭 ï á Re ≈ 0,5 · 103 ¬®­® £®¢®à¨âì ® à §¢¨â®¬ £¨¤à®¤¨­ ¬¨ç¥áª®¬ ¯®£à ­¨ç­®¬ á«®¥. ‚ §­ ç¨â¥«ì­®© ᢮¥© ç á⨠íâ®â á«®©
®áâ ¥âáï « ¬¨­ à­ë¬ [37℄. Ǒਠ¨§¬¥­¥­¨¨ ç¨á« ¥©­®«ì¤á ¢ ¤¨ ¯ §®­¥ 0,5 · 103 < Re < 0,5 · 105 ¯à®¨á室¨â ¯®á⥯¥­­®¥ ᬥ饭¨¥ â®çª¨

78

„¢¨¥­¨¥ ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ ¢ ¨¤ª®áâ¨

®âàë¢ « ¬¨­ à­®£® ¯®£à ­¨ç­®£® á«®ï θ0 ®â §­ 祭¨ï 71,2◦ ¤® 95◦
[37, 184℄.
ǑਠRe > 2000 á«¥¤ ¢¤ «¨ ®â ⥫ ®ª®­ç ⥫쭮 âãà¡ã«¨§ã¥âáï.
Ǒ® ¤ ­­ë¬ [94℄ ­ ªà¨¢®© cf (Re) ¥áâì ¤¢ ¯«®áª¨å ãç á⪠(®¡« á⨠¢â®¬®¤¥«ì­®áâ¨), £¤¥ ª®íää¨æ¨¥­â ᮯà®â¨¢«¥­¨ï ¯à ªâ¨ç¥áª¨
­¥ ¬¥­ï¥âáï:
cf
cf

= 1,0
= 1,1

¯à¨ 3 · 102 < Re < 3 · 103,
¯à¨ 4 · 103 < Re < 105.

(2.7.6)

‚ ¯à®¬¥ãâ®ç­®© ®¡« á⨠¬¥¤ã 㪠§ ­­ë¬¨ ¯«®áª¨¬¨ ãç á⪠¬¨
ª®íää¨æ¨¥­â ᮯà®â¨¢«¥­¨ï ¬®­®â®­­® 㢥«¨ç¨¢ ¥âáï à®á⮬ ç¨á« ¥©­®«ì¤á .

 §¢¨â ï âãà¡ã«¥­â­®áâì ¢ ¯®£à ­¨ç­®¬ á«®¥ 樫¨­¤à .  §¢¨â ï âãà¡ã«¥­â­®áâì ¢ ¯à¥¤¥« å ¯®£à ­¨ç­®£® á«®ï ­ áâã-

¯ ¥â ¯à¨ ¡®«¥¥ ¢ë᮪¨å ç¨á« å ¥©­®«ì¤á Re ≈ 105 ¨ ᮯ஢®¤ ¥âáï
ýªà¨§¨á®¬ ᮯà®â¨¢«¥­¨ïþ. Ǒਠí⮬ ¯® ¤ ­­ë¬ [75℄ á­ ç « ᮯà®â¨¢«¥­¨¥ 樫¨­¤à १ª® ¯ ¤ ¥â ¤® §­ 祭¨ï cf ≈ 0,3 ¯à¨ Re = 3,5 · 105 ,
§ ⥬ ­ 稭 ¥â à á⨠¨ ¢­®¢ì ¢ë室¨â ­ ¢â®¬®¤¥«ì­ë© २¬,
ª®â®à®© å à ªâ¥à¨§ã¥âáï ¯®áâ®ï­­ë¬ §­ 祭¨¥¬
cf

= 0,9

¯à¨ Re > 5 · 105.

(2.7.7)

‚ ª­¨£¥ [71℄ ¯à¨¢¥¤¥­ë ­¥ª®â®àë¥ ¤ ­­ë¥ ® £¨¤à®¤¨­ ¬¨ç¥áª¨å
å à ªâ¥à¨á⨪ å ⥫ ¤à㣮© ä®à¬ë, ª á î騥áï ¢ ®á­®¢­®¬ ®¡« áâ¨
¯à¥¤ªà¨§¨á­®© ¢â®¬®¤¥«ì­®áâ¨. ‚«¨ï­¨¥ è¥à®å®¢ â®á⨠¯®¢¥àå­®á⨠樫¨­¤à ¨ ã஢­ï âãà¡ã«¥­â­®á⨠­ ¡¥£ î饣® ¯®â®ª ­ ª®íää¨æ¨¥­â ᮯà®â¨¢«¥­¨ï ®¡á㤠¥âáï ¢ [75℄. ‚ [85℄ ¨áá«¥¤ã¥âáï § ¢¨á¨¬®áâì £¨¤à®¤¨­ ¬¨ç¥áª¨å å à ªâ¥à¨á⨪ â¥ç¥­¨ï ¢ âãà¡ã«¥­â­ëå
¯®£à ­¨ç­ëå á«®ïå ®â è¥à®å®¢ â®á⨠¨ ¯à®¤®«ì­®£® £à ¤¨¥­â ¤ ¢«¥­¨ï.
Žâ¬¥â¨¬, çâ® ¯à¨ ¨áá«¥¤®¢ ­¨¨ ­¥ª®â®àëå § ¤ ç ⥯«®- ¨ ¬ áᮯ¥à¥­®á ¨ 娬¨ç¥áª®© £¨¤à®¤¨­ ¬¨ª¨ ¯®«ï ᪮à®á⨠¢ ®ªà¥áâ­®áâ¨
®¡â¥ª ¥¬ëå ⥫ ¬®£ãâ ®¯à¥¤¥«ïâìáï § ª®­®¬¥à­®áâﬨ â¥ç¥­¨ï ¨¤¥«ì­®© ­¥¢ï§ª®© ¨¤ª®áâ¨. ’ ª ï á¨âã æ¨ï å à ªâ¥à­ ¤«ï â¥ç¥­¨©
¢ ¯®à¨á⮩ á।¥ [32, 56, 132℄ ¨ ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï ⥫ á ¨¤ª¨¬¨ ¬¥â «« ¬¨ (á¬. à §¤. 4.11, £¤¥ ¯à¨¢¥¤¥­® à¥è¥­¨¥ ⥯«®¢®© § ¤ ç¨ ¤«ï
¯®â¥­æ¨ «ì­®£® ®¡â¥ª ­¨ï í««¨¯â¨ç¥áª®£® 樫¨­¤à ¯®áâ㯠⥫ì­ë¬
¯®â®ª®¬ ¨¤¥ «ì­®© ¨¤ª®áâ¨).

Ž¡â¥ª ­¨¥ ªà㣮¢®£® 樫¨­¤à ᤢ¨£®¢ë¬ ¯®â®ª®¬.

‡ ªà¥¯«¥­­ë© 樫¨­¤à.  áᬮâਬ ®¡â¥ª ­¨¥ § ªà¥¯«¥­­®£®
ªà㣮¢®£® 樫¨­¤à ¯à®¨§¢®«ì­ë¬ áâ 樮­ à­ë¬ «¨­¥©­ë¬ ᤢ¨£®¢ë¬ ¯®â®ª®¬ ¢ï§ª®© ­¥á¨¬ ¥¬®© ¨¤ª®á⨠¢ ¯«®áª®áâ¨, ­®à¬ «ì­®© ª ®á¨ 樫¨­¤à .  á¯à¥¤¥«¥­¨¥ ᪮à®á⥩ â ª®£® â¥ç¥­¨ï ¢¤ «¨

79

2.7. Ž¡â¥ª ­¨¥ 樫¨­¤à (¯«®áª ï § ¤ ç )

®â 樫¨­¤à ¢ ¤¥ª à⮢®© á¨á⥬¥ ª®®à¤¨­ â X1 , X2 ¢ ®¡é¥¬ á«ãç ¥
§ ¯¨áë¢ ¥âáï â ª:
~ →
V

GR~

¯à¨

(2.7.8)

R → ∞.

’¥­§®à ᤢ¨£ ¢ (2.7.8) ¬®¥â ¡ëâì ¯à¥¤áâ ¢«¥­ ¢ ¢¨¤¥ á㬬ë ᨬ¬¥âà¨ç­®£® ¨ ­â¨á¨¬¬¥âà¨ç­®£® ⥭§®à®¢ G = E + , ª®â®àë¥ á®®â¢¥âáâ¢ãîâ ¤¥ä®à¬ 樮­­®© ¨ ¢à é ⥫쭮© á®áâ ¢«ïî騬 ¤¢¨¥­¨ï
¨¤ª®á⨠­ ¡¥áª®­¥ç­®áâ¨:

G=

G11 G12
1
= E
G21 G22
E2
E1 = G11 = −G22 , E2 =

E2
+ 0 −0
−E1
1
2 (G12 + G21 ),

,

~ = X1 ,
R
X2

= 12 (G21 − G12 ),

¨ ®¯à¥¤¥«ïîâáï § ¤ ­¨¥¬ âà¥å ­¥§ ¢¨á¨¬ëå ¢¥«¨ç¨­ E1 , E2 , .
‚ á⮪ᮢ®¬ ¯à¨¡«¨¥­¨¨ (¯à¨ Re → 0) à¥è¥­¨¥ ᮮ⢥âáâ¢ãî饩
£¨¤à®¤¨­ ¬¨ç¥áª®© § ¤ ç¨ á £à ­¨ç­ë¬¨ ãá«®¢¨ï¬¨ ­ ¡¥áª®­¥ç­®á⨠(2.7.8) ¨ ãá«®¢¨ï¬¨ ¯à¨«¨¯ ­¨ï ­ ¯®¢¥àå­®á⨠樫¨­¤à (V~ = 0
¯à¨ R = a) ¯à¨¢®¤¨â ª ä㭪樨 ⮪ [60, 218℄
£¤¥

1
= a2 E
2



R
a
−
a
R

2

1
sin 2θ − a2
2

E = (E12 + E22 )1/2 , θ = θ +
θ



E1
E




R2
R
− 1 − 2 ln
,
a2
a

= os(2
θ),

E2
E

(2.7.9)

= − sin(2
θ)



.

Ǒਠ§ ¯¨á¨ íâ¨å ¢ëà ¥­¨© ¨á¯®«ì§®¢ ­ á¨á⥬ ª®®à¤¨­ â R, θ,
ª®â®à ï ¯®«ã祭 ¨§ ¨á室­®© ¯ã⥬ ¯®¢®à®â ­ 㣮«
θ ¨ á¢ï§ ­ á
£« ¢­ë¬¨ ®áﬨ ᨬ¬¥âà¨ç­®£® ⥭§®à E (¢ £« ¢­ëå ®áïå ⥭§®à E
¯à¨¢®¤¨âáï ª ¤¨ £®­ «ì­®¬ã ¢¨¤ã á í«¥¬¥­â ¬¨ E ¨ −E ). —¨áâ®
¤¥ä®à¬ 樮­­ë© ᤢ¨£ ®â¢¥ç ¥â §­ 祭¨î = 0, ¯à®á⮩ ᤢ¨£
§ ¤ ¥âáï ¯ à ¬¥âà ¬¨ E1 = 0, = −E2 .
Ǒ®«¥ ᪮à®á⥩ ¨¤ª®á⨠®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¯ã⥬ ¯®¤áâ ­®¢ª¨ ¢ëà ¥­¨ï (2.7.9) ¢ ä®à¬ã«ë (1.1.11).
‘âàãªâãà «¨­¨© ⮪ = onst áãé¥á⢥­­ë¬ ®¡à §®¬ § ¢¨á¨â ®â
¯ à ¬¥â஢ E ¨ . „«ï ª ç¥á⢥­­®£® ­ «¨§ â¥ç¥­¨ï 㤮¡­® ¢¢¥áâ¨
¡¥§à §¬¥à­ãî 㣫®¢ãî ᪮à®áâì ¢à 饭¨ï ¯®â®ª ¢¤ «¨ ®â 樫¨­¤à
E

=

/E.

Ǒਠ0 6 | E | 6 1 ¢á¥ «¨­¨¨ ⮪ à §®¬ª­ãâë ¨ ­ ¯®¢¥àå­®áâ¨
樫¨­¤à ¨¬¥îâáï ç¥âëॠªà¨â¨ç¥áª¨¥ â®çª¨ á 㣫®¢ë¬¨ ª®®à¤¨­ â ¬¨
1
π
θk = (−1)k+1 ar sin E + (k − 1), £¤¥ k = 1, 2, 3, 4.
2
2
2

80

„¢¨¥­¨¥ ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ ¢ ¨¤ª®áâ¨

‘奬 ®¡â¥ª ­¨ï § ªà¥¯«¥­­®£® ªà㣮¢®£® 樫¨­¤à «¨­¥©­ë¬ ᤢ¨£®¢ë¬ ¯®â®ª®¬: ) ¤¥ä®à¬ 樮­­®¥ â¥ç¥­¨¥ ( E = 0), ¡) ¯à®á⮩ ᤢ¨£ (| E | = 1)

¨á. 2.10.

 à¨á. 2.10 ª ç¥á⢥­­® ¨§®¡à ¥­ë «¨­¨¨ ⮪ ¤«ï ç¨áâ® ¤¥ä®à¬ 樮­­®£® (¯à¨ E = 0) ¨ ¯à®á⮣® (¯à¨ E = 1) ᤢ¨£®¢®£® â¥ç¥­¨ï. “¢¥«¨ç¥­¨¥ ¡¥§à §¬¥à­®© 㣫®¢®© ᪮à®á⨠¢à 饭¨ï ¯®â®ª ­
¡¥áª®­¥ç­®á⨠E ®â ­ã«ï ¤® ¥¤¨­¨æë ᤢ¨£ ¥â ªà¨â¨ç¥áªãî â®çªã
á⥪ ­¨ï ­ ¯®¢¥àå­®á⨠樫¨­¤à θk ¯à®â¨¢ ç ᮢ®© áâ५ª¨ ­ 15◦ .
Ǒਠ| E | > 1 ¯®¢¥àå­®áâì 樫¨­¤à ®ªà㥭 § ¬ª­ãâ묨 «¨­¨ï¬¨ ⮪ , ¢¤ «¨ ®â 樫¨­¤à «¨­¨¨ ⮪ à §®¬ª­ãâë.
C¢®¡®¤­® ¢à é î騩áï 樫¨­¤à.  áᬮâਬ ⥯¥àì ®¡â¥ª ­¨¥ ªà㣮¢®£® 樫¨­¤à , ᢮¡®¤­® ¢§¢¥è¥­­®£® ¢ ¯à®¨§¢®«ì­®¬ «¨­¥©­®¬ ᤢ¨£®¢®¬ á⮪ᮢ®¬ (Re → 0) ¯®â®ª¥.  á¯à¥¤¥«¥­¨¥ ᪮à®á⥩ ¨¤ª®á⨠⠪®£® â¥ç¥­¨ï ¢¤ «¨ ®â 樫¨­¤à , ª ª ¨ à ­¥¥, § ¤ ¥âáï ᮮ⭮襭¨ï¬¨ (2.7.8).
‚ ᨫã ãá«®¢¨ï ¯à¨«¨¯ ­¨ï ¨¤ª®á⨠­ ¯®¢¥àå­®á⨠᢮¡®¤­®
¢§¢¥è¥­­®£® ¢ ᤢ¨£®¢®¬ ¯®â®ª¥ ªà㣮¢®£® 樫¨­¤à , ®­ ¡ã¤¥â ¢à é âìáï á ¯®áâ®ï­­®© 㣫®¢®© ᪮à®áâìî, à ¢­®© ᪮à®á⨠¢à 饭¨ï
¯®â®ª ­ ¡¥áª®­¥ç­®áâ¨. ‘ª § ­­®¥ ®§­ ç ¥â, çâ® ­ ¯®¢¥àå­®á⨠樫¨­¤à ¤®«­ë ¢ë¯®«­ïâìáï á«¥¤ãî騥 £à ­¨ç­ë¥ ãá«®¢¨ï ¤«ï ª®¬¯®­¥­â ᪮à®á⨠¨¤ª®áâ¨:
VR

= 0,

Vθ

=

¯à¨

R = a.

(2.7.10)

¥è¥­¨¥ £¨¤à®¤¨­ ¬¨ç¥áª®© § ¤ ç¨ ®¡ ®¡â¥ª ­¨¨ ᢮¡®¤­® ¢à é î饣®áï 樫¨­¤à ¯à®¨§¢®«ì­ë¬ ᤢ¨£®¢ë¬ áâ®ªá®¢ë¬ ¯®â®ª®¬ á
£à ­¨ç­ë¬¨ ãá«®¢¨ï¬¨ (2.7.8), (2.7.10) ¨¬¥¥â ¢¨¤ [60, 218℄
1
= a2 E
2
VR

=

a2 E
R





R
a
−
a
R

R
a
−
a
R

2

2

1
sin 2θ − a2
2

os 2θ,

Vθ =




R2
−1 ,
a2


a4

R − ER 1 − 4 sin 2θ,
R
(2.7.11)

81

2.7. Ž¡â¥ª ­¨¥ 樫¨­¤à (¯«®áª ï § ¤ ç )

‘奬 ®¡â¥ª ­¨ï ᢮¡®¤­® ¢à é î饣®áï ªà㣮¢®£® 樫¨­¤à «¨­¥©­ë¬ ᤢ¨£®¢ë¬ ¯®â®ª®¬ (¯à¥¤¥«ì­ë¥ «¨­¨¨ ⮪
=
¢ë¤¥«¥­ë): ) ¯à®á⮩
ᤢ¨£ (| E | = 1), ¡) ®¡é¨© á«ãç © ¯«®áª®£® ᤢ¨£®¢®£® â¥ç¥­¨ï (0 < | E | < 1)

¨á. 2.11.

£¤¥ ¯ à ¬¥âàë E1 , E2 , E , ¢¢¥¤¥­ë â ª ¥, ª ª ¢ § ¤ ç¥ ®¡ ®¡â¥ª ­¨¨
§ ªà¥¯«¥­­®£® 樫¨­¤à .
‚ ¤ ­­®¬ á«ãç ¥ ­ ¯®¢¥àå­®á⨠樫¨­¤à ¯à¨ E 6= 0 ®âáãâáâ¢ãîâ
ªà¨â¨ç¥áª¨¥ â®çª¨ ¨ áãé¥áâ¢ã¥â ¤¢ ª ç¥á⢥­­® à §«¨ç­ëå ⨯
â¥ç¥­¨ï, ª®â®àë¥ å à ªâ¥à¨§ãîâáï ¢¥«¨ç¨­®© 㣫®¢®© ᪮à®á⨠.
€ ¨¬¥­­®, ¯à¨ 0 < | E | 6 1 ¢ ¯®â®ª¥ ¨¬¥îâáï ª ª § ¬ª­ãâë¥,
â ª ¨ à §®¬ª­ãâë¥ «¨­¨¨ ⮪ ; ¯à¨ í⮬ ª ¯®¢¥àå­®á⨠樫¨­¤à
¯à¨¬ëª ¥â ®¡« áâì á ¯®«­®áâìî § ¬ª­ãâ묨 «¨­¨ï¬¨ ⮪ , ¢¤ «¨
®â 樫¨­¤à «¨­¨¨ ⮪ à §®¬ª­ãâë (à¨á. 2.11). Ǒਠ| E | > 1 ¢á¥
«¨­¨¨ ⮪ § ¬ª­ãâë.
ˆ§ ä®à¬ã« (2.7.11) á«¥¤ã¥â, çâ® ¯à¨ 0 < | E | 6 1 ¢ ¯®â®ª¥
áãé¥áâ¢ãîâ ¤¢¥ ªà¨â¨ç¥áª¨¥ â®çª¨ á ª®®à¤¨­ â ¬¨
θ1◦

=

π

4

θ2◦

,

=

5π
,
4

R◦1,2

=a



1

1−

E

1/4

(2.7.12)

,

¢ ª®â®àëå ᪮à®áâì ®¡à é ¥âáï ¢ ­ã«ì: VR◦ = Vθ◦ = 0. â¨ ®á®¡ë¥ â®çª¨
ïîâáï â®çª ¬¨ á ¬®¯¥à¥á¥ç¥­¨ï ¯à¥¤¥«ì­®© «¨­¨¨ ⮪ , ª®â®à ï
à §£à ­¨ç¨¢ ¥â ®¡« áâ¨ á § ¬ª­ãâ묨 ¨ à §®¬ª­ãâ묨 «¨­¨ï¬¨ ⮪
(à¨á. 2.11).
Ǒ।¥«ì­ ï «¨­¨ï ⮪ ®¯¨áë¢ ¥âáï ãà ¢­¥­¨¥¬
=

á,

= a2 E

1
2

E

− 1 + (1 −

E

)1/2


.

ǑਠE → 0 ¨§ ä®à¬ã«ë (2.7.12) ¨¬¥¥¬ R◦1,2 → a, â.¥. ¯à¨
㬥­ì襭¨¨ 㣫®¢®© ᪮à®á⨠¢à 饭¨ï ¯®â®ª ªà¨â¨ç¥áª¨¥ â®çª¨
áâ६ïâáï ª ¯®¢¥àå­®á⨠樫¨­¤à . ‚ ¤à㣮¬ ¯à¥¤¥«ì­®¬ á«ãç ¥

82

„¢¨¥­¨¥ ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ ¢ ¨¤ª®áâ¨

ç⮠ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¯à®á⮬ã ᤢ¨£ã, ¯®«ãç ¥¬ R1◦,2 → ∞ (â.¥.
ªà¨â¨ç¥áª¨¥ â®çª¨ ã室ïâ ­ ¡¥áª®­¥ç­®áâì).
Žâ¬¥â¨¬, çâ® ¢ à ¡®â¥ [76℄ à¥è¥­ ­ «®£¨ç­ ï ¯«®áª ï § ¤ ç
®¡ ®¡â¥ª ­¨¨ ¯®à¨á⮣® 樫¨­¤ ¯à®¨§¢®«ì­ë¬ «¨­¥©­ë¬ ᤢ¨£®¢ë¬
¯®â®ª®¬. „«ï ®¯¨á ­¨ï â¥ç¥­¨ï ¢­¥ ç áâ¨æë ¨á¯®«ì§®¢ «¨áì ãà ¢­¥­¨ï ‘â®ªá ¨ áç¨â «®áì, çâ® ¢­ãâਠç áâ¨æë ¯à®¨á室¨â 䨫ìâà æ¨ï ¢­¥è­¥© ¨¤ª®á⨠§ ª®­ã „ àᨠ(2.2.24). Ž¯à¥¤¥«¥­® ª®«¨ç¥á⢮
¨¤ª®áâ¨, ¯à®á 稢 î饩áï ¢­ãâàì 樫¨­¤à ¢ ¥¤¨­¨æ㠢६¥­¨.
E

→ 1,

2.8. Ž¡â¥ª ­¨¥ ¤¥ä®à¬¨à®¢ ­­ëå ª ¯¥«ì ¨
¯ã§ë३

„¨­ ¬¨ç¥áª®¥ ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨¥ á ¯®â®ª®¬ ¢§¢¥è¥­­ëå ¢ ­¥¬ ª ¯¥«ì
¨ ¯ã§ë३ ¬®¥â ¯à¨¢®¤¨âì ª ¨å ¤¥ä®à¬ 樨, ¨­®£¤ ¨ ª ¤à®¡«¥­¨î. â® ¥­¨¥ ®ª §ë¢ ¥âáï ¢ ­ë¬ ¢ 娬¨ª®-â¥å­®«®£¨ç¥áª¨å
¯à®æ¥áá å, ¯®áª®«ìªã ¯à¨¢®¤¨â ª ¨§¬¥­¥­¨î ¯«®é ¤¨ ¬¥ä §­®© ¯®¢¥àå­®áâ¨, ®â­®á¨â¥«ì­®© ᪮à®á⨠¤¢¨¥­¨ï ä § ¨ ­¥áâ 樮­ à­ë¬
íä䥪⠬. ‚®§¬ãé î騬¨ ¢®§¤¥©á⢨ﬨ ïîâáï ¯à¨ í⮬ ¢ï§ª¨¥
¨«¨ ¨­¥à樮­­ë¥ ᨫë, ¯à¥¯ïâáâ¢ãî騬¨ | ª ¯¨««ïà­ë¥ ᨫë.
a Uµ
”®à¬ ¯ã§ëàï § ¢¨á¨â ®â ¢¥«¨ç¨­ë ç¨á¥« ¥©­®«ì¤á Re = e i ¨

ρ
ae Ui2 ρ
‚¥¡¥à We =
, £¤¥ µ ¨ ρ | ¤¨­ ¬¨ç¥áª ï ¢ï§ª®áâì ¨ ¯«®â­®áâì
σ
ᯫ®è­®© ä §ë, σ | ª®íää¨æ¨¥­â ¯®¢¥àå­®áâ­®£® ­ â省¨ï, ae |

à ¤¨ãá áä¥àë, ®¡ê¥¬ ª®â®à®© à ¢¥­ ®¡ê¥¬ã ¯ã§ëàï.

‘« ¡ë¥ ¤¥ä®à¬ 樨 ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ ¢ ¯®áâ㯠⥫쭮¬
¨ ᤢ¨£®¢®¬ ¯®â®ª å ¯à¨ ¬ «ëå ç¨á« å ¥©­®«ì¤á .

Ǒ®áâ㯠⥫ì­ë© ¯®â®ª. Ǒਠ¬ «ëå ç¨á« å ¥©­®«ì¤á ¨ ‚¥¡¥à ®á¥á¨¬¬¥âà¨ç­ ï § ¤ ç ® ¬¥¤«¥­­®¬ ¯®áâ㯠⥫쭮¬ ¤¢¨¥­¨¨
ª ¯«¨ á ãáâ ­®¢¨¢è¥©áï ᪮à®áâìî Ui ¢ ¯®ª®ï饩áï ¨¤ª®á⨠¨áá«¥¤®¢ « áì ¢ [310℄. ‘ç¨â «®áì ¢ë¯®«­¥­­ë¬ ãá«®¢¨¥ We = O(Re2 ). „«ï
®¯à¥¤¥«¥­¨ï ¤¥ä®à¬ 樨 ¯®¢¥àå­®á⨠ª ¯«¨ ¨á¯®«ì§®¢ «®áì ãá«®¢¨¥
à ¢¥­áâ¢ áª çª ­®à¬ «ì­ëå ­ ¯à省¨© ¨§¡ëâ®ç­®¬ã ¤ ¢«¥­¨î,
®¡ãá«®¢«¥­­®¬ã ᨫ ¬¨ ¯®¢¥àå­®áâ­®£® ­ â省¨ï. ë«® ¯®ª § ­®,
çâ® ª ¯«ï ¨¬¥¥â ä®à¬ã ᯫîá­ã⮣® (¢ ­ ¯à ¢«¥­¨¨ ¤¢¨¥­¨ï) í««¨¯á®¨¤ ¢à 饭¨ï á ®â­®è¥­¨¥¬ ¡®«ì让 ¨ ¬ «®© ¯®«ã®á¨, à ¢­ë¬

χ = 1 + δ We .

(2.8.1)

‡¤¥áì ¡¥§à §¬¥à­ë© ¯ à ¬¥âà δ ¤ ¥âáï ¢ëà ¥­¨¥¬
δ

=

3
8(β + 1)3



81 3 57 2 103
3
β +
β +
β+
80
20
40
4



−

γ−1

12

(β + 1)


,

2.8. Ž¡â¥ª ­¨¥ ¤¥ä®à¬¨à®¢ ­­ëå ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३

83

£¤¥ β | ®â­®è¥­¨¥ ¤¨­ ¬¨ç¥áª¨å ¢ï§ª®á⥩ ª ¯«¨ ¨ ®ªàã î饩
¨¤ª®áâ¨, γ | ®â­®è¥­¨¥ ¯«®â­®á⥩ ª ¯«¨ ¨ ®ªàã î饩 ¨¤ª®áâ¨. ƒ §®¢®¬ã ¯ã§ëàî ®â¢¥ç îâ §­ 祭¨ï β ≈ 0, γ ≈ 0.
C¤¢¨£®¢ë© ¯®â®ª. Ž¡â¥ª ­¨¥ ª ¯«¨ ¯à®áâë¬ á¤¢¨£®¢ë¬ ¯®â®ª®¬ à áᬠâਢ «®áì ¢ [308, 309℄. ‚¤ «¨ ®â ª ¯«¨ ¨á¯®«ì§®¢ «¨áì £à ­¨ç­ë¥ ãá«®¢¨ï
VX → GY,

VY → 0,

VZ → 0

¯à¨

R → ∞,

£¤¥ R = (X 2 + Y 2 + Z 2)1/2 . ‡ ¤ ç à¥è « áì ¢ á⮪ᮢ®¬ ¯à¨¡«¨¥­¨¨
¯à¨ ¬ «ëå §­ 祭¨ïå ¡¥§à §¬¥à­®£® ¯ à ¬¥âà Gae µ/σ. ë«® ¯®ª § ­®, çâ® ä®à¬ ª ¯«¨ ®¯¨áë¢ ¥âáï ãà ¢­¥­¨¥¬
R = ae



1+

Gae µ
σ

19 β + 16
XY
16 β + 16



(2.8.2)

¨ ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ¢ëâï­ãâë© í««¨¯á®¨¤ ¢à 饭¨ï. ªá¯¥à¨¬¥­â «ì­ë¥ ¤ ­­ë¥ [308℄ ¯®¤â¢¥à¤ îâ á¯à ¢¥¤«¨¢®áâì ãà ¢­¥­¨ï
(2.8.2).

‚á¯«ë¢ ­¨¥ í««¨¯á®¨¤ «ì­®£® ¯ã§ëàï ¯à¨ ¡®«ìè¨å ç¨á« å ¥©­®«ì¤á .  áᬮâਬ ¤¢¨¥­¨¥ £ §®¢®£® ¯ã§ëàï ¯à¨ ¡®«ì-

è¨å ç¨á« å ¥©­®«ì¤á . Ǒਠ¬ «ëå We ä®à¬ ¯ã§ëàï ¡«¨§ª ª áä¥à¨ç¥áª®©. ‡­ 祭¨ï ç¨á¥« ‚¥¡¥à ¯®à浪 ¥¤¨­¨æë á®áâ ¢«ïîâ ¢ ­ãî ¤«ï ¯à ªâ¨ª¨ ¯à®¬¥ãâ®ç­ãî ®¡« áâì ¨§¬¥­¥­¨ï We, ª®£¤ ¯ã§ëàì, ¡ã¤ãç¨ áãé¥á⢥­­® ¤¥ä®à¬¨à®¢ ­­ë¬, á®åà ­ï¥â ᨬ¬¥âà¨î
®â­®á¨â¥«ì­® ᢮¥£® ¬¨¤¥«¥¢ á¥ç¥­¨ï. „«ï â ª¨å §­ 祭¨© We ä®à¬
¯ã§ëàï å®à®è® ¯¯à®ªá¨¬¨àã¥âáï ᯫîá­ãâë¬ ¢ ­ ¯à ¢«¥­¨¨ ¯®â®ª
í««¨¯á®¨¤®¬ ¢à 饭¨ï á ¯®«ã®áﬨ a ¨ b = χa, £¤¥ ¯®«ã®áì b ®à¨¥­â¨à®¢ ­ ¯®¯¥à¥ª ¯®â®ª ¨ χ > 1.
’ॡ®¢ ­¨¥ ¢ë¯®«­¥­¨ï £à ­¨ç­®£® ãá«®¢¨ï ¤«ï ­®à¬ «ì­ëå ­ ¯à省¨© ¢ ¯¥à¥¤­¥© ¨ § ¤­¥© ªà¨â¨ç¥áª¨å â®çª å, â ª¥ ¢¤®«ì
£à ­¨æë ¬¨¤¥«¥¢ á¥ç¥­¨ï ¯ã§ëàï ¯à¨¢®¤¨â ª á«¥¤ãî饩 § ¢¨á¨¬®á⨠¬¥¤ã ç¨á«®¬ ‚¥¡¥à We ¨ ®â­®è¥­¨¥¬ χ ¡®«ì让 ¨ ¬ «®© ¯®«ã®á¨ í««¨¯á®¨¤ [261℄:
We = 2χ−4/3 (χ3 + χ − 2)

 2
χ ar

se

χ − (χ2 − 1)1/2

2

(χ − 1)−3 . (2.8.3)

—¨á«¥­­ë¥ ®æ¥­ª¨ [261℄ ¯®ª §ë¢ îâ, çâ® ¬ ªá¨¬ «ì­®¥ ®âª«®­¥­¨¥ ¨á⨭­®© ªà¨¢¨§­ë ®â ᮮ⢥âáâ¢ãî饣® §­ 祭¨ï ¤«ï ¯¯à®ªá¨¬¨àãî饣® í««¨¯á®¨¤ ­¥ ¯à¥¢ëè ¥â 5% ¯à¨ We 6 1 (χ 6 1,5) ¨ 10%
¯à¨ We 6 1,4 (χ 6 2).
Žâ¬¥â¨¬, çâ® ¯à¨
Re > 0,55 M−1/5

(M = gρ3ν 4 σ−3 )

84

„¢¨¥­¨¥ ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ ¢ ¨¤ª®áâ¨

¯à®¨á室¨â ®âª«®­¥­¨¥ ä®à¬ë ¯ã§ëàï ®â áä¥à¨ç¥áª®© ¡®«¥¥ 祬
­ 5% (ν | ª¨­¥¬ â¨ç¥áª ï ¢ï§ª®áâì ¨¤ª®áâ¨, g | ã᪮७¨¥ ᨫë
âï¥áâ¨, M | ¡¥§à §¬¥à­®¥ ç¨á«® Œ®àâ®­ , § ¢¨áï饥 ⮫쪮 ®â
᢮©á⢠¨¤ª®áâ¨).
„«ï ®¡ëç­ëå ¨¤ª®á⥩ ⨯ ¢®¤ë ¨¬¥¥¬ M ∼ 10−10, ¨ ¤¥ä®à¬ æ¨î ¯ã§ëàï á«¥¤ã¥â ¯à¨­¨¬ âì ¢® ¢­¨¬ ­¨¥, ­ 稭 ï á Re ∼ 102 .
(„«ï ­¥ä⨠M ∼ 10−2 ¨ ¤¥ä®à¬ æ¨ï ¯ã§ëàï áâ ­®¢¨âáï áãé¥á⢥­­®©,
­ 稭 ï á ¬ «ëå ç¨á¥« ¥©­®«ì¤á .)
‚ à ¡®â å [40, 126℄ ¯®«ã祭 ᪮à®áâì ¢á¯«ëâ¨ï í««¨¯á®¨¤ «ì­®£®
¯ã§ëàï Ui ¨ ®â­®è¥­¨¥ ¥£® ®á¥© χ ¢ § ¢¨á¨¬®á⨠®â íª¢¨¢ «¥­â­®£®
à ¤¨ãá ae = (ab2 )1/3 . ‚ ®¡é¥¬ á«ãç ¥ ¢ëà ¥­¨¥ ¤«ï ᪮à®áâ¨
¢á¯«ëâ¨ï ¯ã§ëàï ¨¬¥¥â ¢¨¤
Ui

= U0 f (M, ae/a0 ),

(2.8.4)

£¤¥ ¡¥§à §¬¥à­®¥ ç¨á«® Œ®àâ®­ M ¨ à §¬¥à­ë¥ ¢¥«¨ç¨­ë
§ ¢¨áïâ ⮫쪮 ®â ᢮©á⢠¨¤ª®áâ¨
 2 1/5
σ g
U0 =
,
ρ2 ν

=

a0



σν 2
ρg 2

1/5

U 0 , a0

(2.8.5)

.

Ǒਠãá«®¢¨¨ M1/5 ≪ 1, ª®â®à®¥ ®¡ëç­® ¢ë¯®«­ï¥âáï, ®â­®è¥­¨¥
Ui /U0 ¨ ¤¥ä®à¬ æ¨ï χ § ¢¨áïâ ⮫쪮 ®â ae /a0 . â¨ ä㭪樨 ã­¨¢¥àá «ì­ë ¨ ¬®£ãâ ¡ëâì ¯à¥¤áâ ¢«¥­ë ¢ á«¥¤ãî饬 ¢¨¤¥ [40, 42℄:
ae /a0

= We1/5 E 2/5 ,

Ui /U0

= We2/5 E −1/5 .

(2.8.6)

‡¤¥áì We(χ) § ¤ ¥âáï ä®à¬ã«®© (2.8.3) ¨«¨ ¡®«¥¥ â®ç­®© [40, 42℄
We(χ) = 2ρae

dS
dχ



dm
dχ

−1

(2.8.7)

,

£¤¥ S ¨ m | ¯«®é ¤ì ¯®¢¥àå­®á⨠¨ ¯à¨á®¥¤¨­¥­­ ï ¬ áá í««¨¯á®¨¤
2 1/3
2 (1 + α )

ln
1 + α2
4π 3 (1 + α2 )(1 − α ar tg α)
a
,
m=
3 e 1 − (1 + α2 )(1 − α ar tg α)

S

= 2πae

α2/3

1+

α2

√

√

1 + 1 + α2
α
χ=

r

1+

!

,

1

.
α2

”ã­ªæ¨ï E (α) ᮣ« á­® [42℄ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ä®à¬ã«®©
E (α)

=

3(1 + α2 )2/3 [α + (1 − α2 )ar tg α℄
.
α7/3 [(1 + α2 )ar tg α − α℄2

(2.8.8)

2.8. Ž¡â¥ª ­¨¥ ¤¥ä®à¬¨à®¢ ­­ëå ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३

85

Ǒਠae 6 3a0 ¤«ï ¤¥ä®à¬ 樨 ¨ ᪮à®á⨠¢á¯«ëâ¨ï ¬®­®
¯®«ì§®¢ âìáï ᨬ¯â®â¨ª ¬¨ [126℄

1 (a /a )5 ,
χ = 1 + 288
e 0

Ui

=

2
1
9 U0 (ae /a0 ) .

(2.8.9)

¥§à §¬¥à­ ï ᪮à®áâì ¢á¯«ëâ¨ï Ui/U0 ᮣ« á­® (2.8.6) ¤®á⨣ ¥â
­ ¨¡®«ì襣® §­ 祭¨ï, à ¢­®£® 0,6, ¯à¨ ae = 3,7 a0, χ = 1,9, çâ®
­ 室¨âáï ¢ ᮣ« ᨨ á íªá¯¥à¨¬¥­â «ì­ë¬¨ ¤ ­­ë¬¨.

Ǒਠ¤ «ì­¥©è¥¬ à®áâ¥ à §¬¥à ¯ã§ëàï ae > 3,7 a0 ¢ï§ª®¥ ᮯà®â¨¢«¥­¨¥, ¢á«¥¤á⢨¥ 㢥«¨ç¥­¨ï χ, à áâ¥â ¡ëáâ॥ á¨«ë €à娬¥¤
¨ ᪮à®áâì ¯ã§ëàï ¯ ¤ ¥â. Ǒਠae/a0 > 8 ¬®¤¥«ì í««¨¯á®¨¤ «ì­®£®
¯ã§ëàï áâ ­®¢¨âáï ­¥¯à¨¬¥­¨¬®©.

Œ­®£® í¬¯¨à¨ç¥áª¨å ᮮ⭮襭¨© ¤«ï ãáâ ­®¢¨¢è¥©áï ᪮à®áâ¨
¤¢¨¥­¨ï ¤¥ä®à¬¨à®¢ ­­ëå ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३, ¢ ⮬ ç¨á«¥ ¨ ¤«ï
¡®«¥¥ á«®­ëå, 祬 í««¨¯á®¨¤ «ì­ ï, ä®à¬, ¯à¨¢¥¤¥­® ¢ [219℄.

86

„¢¨¥­¨¥ ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ ¢ ¨¤ª®áâ¨

‚á¯«ë¢ ­¨¥ ªà㯭®£® ¯ã§ëàï ¢ ¢¨¤¥ áä¥à¨ç¥áª®£® ᥣ¬¥­â . ‚á¯«ë¢ î騥 ¯ã§ëਠ¨ ª ¯«¨ ¯® ¬¥à¥ ãªà㯭¥­¨ï ¨å à §-

¬¥à®¢ ¯à¨­¨¬ îâ à ¢­®¢¥á­ãî ä®à¬ã, ¢á¥ ¡®«¥¥ ®â«¨ç îéãîáï ®â
áä¥à¨ç¥áª®©. ᫨ ¯à¨ ¬ «ëå ¨ 㬥७­ëå Re ¨ ¬ «ëå We ä®à¬
¯ã§ëàï ¡«¨§ª ª áä¥à¨ç¥áª®©, â® ¯à¨
㬥७­ëå Re = 102 ÷ 103 ¨ We ¯®à浪 ­¥áª®«ìª¨å ¥¤¨­¨æ ä®à¬ ¯ã§ëàï ¬®¥â ¯à¨¡«¨¥­­® ¬®¤¥«¨à®¢ âìáï ᯫîá­ãâë¬ í««¨¯á®¨¤®¬, âà ¥ªâ®à¨ï ¥£® ¤¢¨¥­¨ï ¬®¥â ¯à¥¤áâ ¢«ïâì ᮡ®© ¢¨­â®¢ãî «¨­¨î. Ǒà¨
¤ «ì­¥©è¥¬ 㢥«¨ç¥­¨¨ We ý¤­®þ ¯ã§ëàï áâ ­®¢¨âáï ¢á¥ ¡®«¥¥ ¯«®áª¨¬.
 ª®­¥æ, ¯à¨ We > 10 ¨ ¡®«ìè¨å Re
¯ã§ëàì ¯à¨­¨¬ ¥â ä®à¬ã ý®¯à®ª¨­ã⮩ ç è¥çª¨þ ¨«¨ áä¥à¨ç¥áª®£® ᥣ¬¥­â ¨ ¯®¤­¨¬ ¥âáï ¯® ¢¥à⨪ «¨.
Ǒ®¤à®¡­ë© ­ «¨§ ®¯¨á ­­ëå २¬®¢ ¤ ­ ¢ [219℄.
“áâ ­®¢¨¢è ïáï ᪮à®áâì ¢á¯«ë¢ ­¨ï ªà㯭®£® ¯ã§ëàï ¬®¥â ¡ëâì
®¯à¥¤¥«¥­ ¨áå®¤ï ¨§ á«¥¤ãî饩 ¬®¨á. 2.12. Š ç¥á⢥­­ ï ª à⨭
®¡â¥ª ­¨ï ¯ã§ëàï ¢ ¢¨¤¥ ᥣ¬¥­â ¤¥«¨, ¯®¤â¢¥à¤ ¥¬®© ¢¨§ã «ì­ë¬¨
­ ¡«î¤¥­¨ï¬¨. Ǒã§ëàì ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â
ᮡ®© áä¥à¨ç¥áª¨© ᥣ¬¥­â (à¨á. 2.12) á 㣫®¬ ¯®«ãà á⢮à 0 6 θ 6 θ∗ ,
£¤¥ 㣫®¢ ï ª®®à¤¨­ â θ ®âáç¨âë¢ ¥âáï ®â ¯¥à¥¤­¥© ªà¨â¨ç¥áª®©
â®çª¨. Žáâ ¢èãîáï ç áâì áä¥àë § ­¨¬ ¥â â®à®¨¤ «ì­ë© ª®à¬®¢®©
¢¨åàì, â ª çâ® ¢­¥è­¨© ¯®â®ª ®¡â¥ª ¥â ¯®«­ãî áä¥àã. ’¥ç¥­¨¥ ¢
®ªà¥áâ­®á⨠áä¥à¨ç¥áª®© £à ­¨æë £ §®¢®£® ¯ã§ëàï áç¨â ¥âáï ¯®â¥­æ¨ «ì­ë¬ [100℄.
‚ à ¡®â å [36, 219℄ ­ ®á­®¢¥ í⮩ ¬®¤¥«¨ ¡ë« ¯®«ã祭 ᪮à®áâì
¯®¤ê¥¬ â ª®£® ¯ã§ëàï
√
Ui = 32 ag,
(2.8.10)
£¤¥ a | à ¤¨ãá ªà¨¢¨§­ë áä¥à¨ç¥áª®£® ᥣ¬¥­â . ”®à¬ã« (2.8.10)
­¥¯«®å® ®¯¨áë¢ ¥â íªá¯¥à¨¬¥­â «ì­ë¥ ¤ ­­ë¥ [219℄.
Ǒਢ¥¤¥¬ â ª¥ í¬¯¨à¨ç¥áªãî ä®à¬ã«ã [40℄, ¢ëà  îéãî ᪮à®áâì ¯®¤ê¥¬ ¯ã§ëàï ¢ ¢¨¤¥ áä¥à¨ç¥áª®£® ᥣ¬¥­â ç¥à¥§ à ¤¨ãá
íª¢¨¢ «¥­â­®© ¯® ®¡ê¥¬ã áä¥àë ae:
√
Ui = 1,01 ae g.
„«ï ®æ¥­ª¨ 㣫 ¯®«ãà á⢮à θ∗ ᥣ¬¥­â á¯à ¢¥¤«¨¢ ¯®«ãí¬¯¨à¨ç¥áª ï ä®à¬ã«


θ∗ = 50 + 190 exp −0,62 Re0,4 ,

2.8. Ž¡â¥ª ­¨¥ ¤¥ä®à¬¨à®¢ ­­ëå ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३

87

£¤¥ θ∗ ¢ëà  ¥âáï ¢ £à ¤ãá å. ‡ ¬¥â¨¬, çâ® ¯à¨ Re > 102 ¬®­®
áç¨â âì θ∗ ≈ 50◦ .
‚á¯«ë¢ ­¨¥ (®á ¤¥­¨¥) ªà㯭ëå ¬ «®¢ï§ª¨å ª ¯¥«ì â ª¥ ¬®¥â ᮯ஢®¤ âìáï ᨫ쭮© ¤¥ä®à¬ 樥© ¨å ¯®¢¥àå­®áâ¨, ª®â®à ï
¯à¨­¨¬ ¥â ä®à¬ã áä¥à¨ç¥áª®£® ᥣ¬¥­â . ‘ª®à®áâì ¢á¯«ë¢ ­¨ï â ª¨å ª ¯¥«ì ¬®­® ®æ¥­¨âì ¯® ä®à¬ã«¥ [219℄
2
Ui =
3

s

ga

|
ρ|
,
ρ

(2.8.11)

£¤¥ a | à ¤¨ãá ªà¨¢¨§­ë áä¥à¨ç¥áª®£® ᥣ¬¥­â , g | ã᪮७¨¥ ᨫë
âï¥áâ¨, ρ | ¯«®â­®áâì ¨¤ª®áâ¨,
ρ | à §­®áâì ¯«®â­®á⥩ ¨¤ª®©
¨ £ §®¢®© ä §ë.

„¥ä®à¬ æ¨ï ª ¯¥«ì, ¤¢¨ãé¨åáï ¢ £ §¥ ¯à¨ ¡®«ìè¨å
ç¨á« å ¥©­®«ì¤á . ‚ [128℄ ¨áá«¥¤®¢ ­ § ¢¨á¨¬®áâì ¤¥ä®à¬ 樨
ª ¯«¨ ®â ç¨á« ‚¥¡¥à ¨ ¨­â¥­á¨¢­®á⨠¢¨åàï ¢­ãâਠª ¯«¨. ë«®
¯®ª § ­®, çâ® ä®à¬ ª ¯«¨ ¡«¨§ª ª ᯫîá­ã⮬ã í««¨¯á®¨¤ã ¢à 饭¨ï á ®â­®è¥­¨¥¬ ¯®«ã®á¥© χ > 1. Ǒਠ®âáãâá⢨¨ ¢¨åàï ¢­ãâà¨
ª ¯«¨ íâ § ¢¨á¨¬®áâì ᮣ« áã¥âáï á ä㭪樥© We(χ), ¯à¨¢¥¤¥­­®©
¢ (2.8.3). Ǒਠ㢥«¨ç¥­¨¨ ¨­â¥­á¨¢­®á⨠¢­ãâ७­¥£® ¢¨åàï χ 㬥­ìè ¥âáï. Ǒ®í⮬㠤¢¨ã騥áï ¢ £ §¥ ª ¯«¨ ¨¬¥îâ ¤¥ä®à¬ æ¨î §­ ç¨â¥«ì­® ¬¥­ìèãî ¯® áà ¢­¥­¨î á ¯ã§ëàﬨ ¯à¨ ®¤­®¬ ¨ ⮬ ¥ ç¨á«¥
‚¥¡¥à We. ‚¥«¨ç¨­ ¢¨åàï ¢­ãâà¨ í««¨¯á®¨¤ «ì­®© ª ¯«¨, ª ª ¨ ã
¢¨åàï •¨«« , ¯à®¯®à樮­ «ì­ à ááâ®ï­¨î R ®â ®á¨ ᨬ¬¥âਨ
ω

= | rot V~2 | = AR sin θ.

Ǒ à ¬¥âà ¨­â¥­á¨¢­®á⨠¢¨åàï ¢ëà  ¥âáï ç¥à¥§ χ á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬ [128℄:
U
v
(4 + χ2 )2
A = 3 2i 2 max
,
(2.8.12)
ae χ (16 − 2χ2 + χ4 )
£¤¥ § ¢¨á¨¬®áâì vmax ®â Re1 ¨ Re2 ®¯¨áë¢ ¥âáï ¢ëà ¥­¨ï¬¨ (2.4.8),
(2.4.9); ae | à ¤¨ãá íª¢¨¢ «¥­â­®© ¯® ®¡ê¥¬ã áä¥àë.
“áâ ­®¢¨¢èãîáï ᪮à®áâì ¯ ¤¥­¨ï ª ¯«¨ ¢ £ §¥ (­ ¯à¨¬¥à, ¤®¤¥¢®© ª ¯«¨ ¢ ¢®§¤ãå¥) ¬®­® ¢ëç¨á«ïâì ¯® ä®à¬ã«¥
Ui

=

s

8aegγ
,
3cf

(2.8.13)

£¤¥ γ | ®â­®è¥­¨¥ ¯«®â­®á⥩ ª ¯«¨ ¨ £ § , ª®íää¨æ¨¥­â ᮯà®â¨¢«¥­¨ï cf á¢ï§ ­ á ¯ à ¬¥â஬ χ í¬¯¨à¨ç¥áª®© § ¢¨á¨¬®áâìî:
cf

= 0,365 χ1,8 .

(2.8.14)

88

„¢¨¥­¨¥ ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ ¢ ¨¤ª®áâ¨

”®à¬ã«ë (2.8.12) | (2.8.14) ¢¬¥áâ¥ á § ¢¨á¨¬®áâìî χ(We, A) ¯®«­®áâìî ®¯à¥¤¥«ïîâ ¤¢¨¥­¨¥ ª ¯«¨ ¢ £ §¥. ‚ [128℄ ¯®«ã祭® ãá«®¢¨¥
à §àã襭¨ï ª ¯«¨, á¢ï§ ­­®¥ á íªá¯®­¥­æ¨ «ì­ë¬ à®á⮬ ¬¯«¨âã¤ë
ª®«¥¡ ­¨©. „«ï ¤®¤¥¢®© ª ¯«¨ íâ® ãá«®¢¨¥ ¯à¨¡«¨§¨â¥«ì­® ᮮ⢥âáâ¢ã¥â §­ 祭¨ï¬ χ = 53 , We = 5, ae = 3,8 ¬¬.
Ǒਠᨫì­ëå ¤¥ä®à¬ æ¨ïå ª ¯«¨ ¡ã¤ãâ à ᯠ¤ âìáï ­ ¡®«¥¥ ¬¥«ª¨¥ ª ¯«¨, â.¥. à §àãè âìáï. Ǒà®æ¥áá à ᯠ¤ ª ¯¥«ì ®ç¥­ì á«®¥­ ¨
®¯à¥¤¥«ï¥âáï ᮮ⭮襭¨¥¬ ᨫ ¯®¢¥àå­®áâ­®£® ­ â省¨ï, ¢ï§ª®áâ¨,
¨­¥à樨 ¨ ­¥ª®â®à묨 ¤à㣨¬¨ ä ªâ®à ¬¨. „«ï à §­ëå å à ªâ¥à­ëå
᪮à®á⥩ ®â­®á¨â¥«ì­®£® ¤¢¨¥­¨ï ä § å à ªâ¥à ¤à®¡«¥­¨ï ¬®¥â
¡ëâì áãé¥á⢥­­® à §«¨ç­ë¬. ‚ [57, 117℄ ¡ë« ¯à®¢¥¤¥­ áà ¢­¨â¥«ì­ë© ­ «¨§ ¡®«ì讣® ç¨á« íªá¯¥à¨¬¥­â «ì­ëå ¨ ⥮à¥â¨ç¥áª¨å à ¡®â ¯® à §àã襭¨î ª ¯¥«ì. Žâ¬¥ç ¥âáï, çâ® áãé¥áâ¢ã¥â è¥áâì ®á­®¢­ëå ¬¥å ­¨§¬®¢ ¤à®¡«¥­¨ï ª ¯¥«ì, ª®â®àë¬ á®®â¢¥âáâ¢ãîâ à §­ë¥
¤¨ ¯ §®­ë ¨§¬¥­¥­¨ï ç¨á« ‚¥¡¥à .
2.9. ‘â¥á­¥­­®¥ ¤¢¨¥­¨¥ ç áâ¨æ

„¢¨¥­¨¥ ç áâ¨æë ¢ ®ªàã î饩 ¥¥ ¡¥§£à ­¨ç­®© ¨¤ª®á⨠ᮧ¤ ¥â ®¯à¥¤¥«¥­­ë¥ ¯®«ï ᪮à®á⨠¨ ¤ ¢«¥­¨ï.  室ï騥áï ¯®¡«¨§®á⨠®â ­¥¥ ¤à㣨¥ ç áâ¨æë ¤¢¨ãâáï 㥠¢ ¢®§¬ã饭­ëå £¨¤à®¤¨­ ¬¨ç¥áª¨å ¯®«ïå. Ž¤­®¢à¥¬¥­­® á í⨬ ¯¥à¢ ï ç áâ¨æ á ¬ ¨á¯ëâë¢ ¥â £¨¤à®¤¨­ ¬¨ç¥áª®¥ ¢®§¤¥©á⢨¥ á® áâ®à®­ë á®á¥¤­¨å ç áâ¨æ
¨ ­ 室ïé¨åáï ¯®¡«¨§®á⨠¯®¤¢¨­ëå ¨«¨ ­¥¯®¤¢¨­ëå ¯®¢¥àå­®á⥩. Ǒ®áª®«ìªã ¢ ¯®¤ ¢«ïî饬 ¡®«ì設á⢥ ॠ«ì­ëå ¤¨á¯¥àá­ëå
á¨á⥬ ­ «¨ç¨¥ ­á ¬¡«ï ç áâ¨æ ¨ á⥭®ª ¯¯ à â ­¥¨§¡¥­®, ãç¥â
£¨¤à®¤¨­ ¬¨ç¥áª®£® ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢¨ï ®¡ê¥ªâ®¢ ¯à¥¤áâ ¢«ï¥âáï ¢¥áì¬
¢ ­ë¬. Ž¤¨­ ¨§ ¬¥â®¤®¢, ¤ îé¨å ­¥®¡å®¤¨¬ãî ¨­ä®à¬ æ¨î ® ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨¨, ®á­®¢ ­ ­ ¯®áâ஥­¨¨ â®ç­ëå ­ «¨â¨ç¥áª¨å à¥è¥­¨©.
Ž¤­ ª®, ¤ ¥ ¢ à ¬ª å á⮪ᮢ®© £¨¤à®¤¨­ ¬¨ª¨, ®¯¨á ­¨¥ ¤¢¨¥­¨ï ­á ¬¡«ï ç áâ¨æ ï¥âáï ®ç¥­ì á«®­®© § ¤ 祩, ¤®¯ã᪠î饩
â®ç­ë¥ à¥è¥­¨ï ¢ ¨áª«îç¨â¥«ì­ëå á«ãç ïå.

„¢¨¥­¨¥ ¤¢ãå áä¥à ¢¤®«ì «¨­¨¨, ¯à®å®¤ï饩 ç¥à¥§ ¨å
業âàë. ‚ á⮪ᮢ®¬ ¯à¨¡«¨¥­¨¨ â®ç­®¥ ­ «¨â¨ç¥áª®¥ à¥è¥­¨¥

®á¥á¨¬¬¥âà¨ç­®© § ¤ ç¨ ® ¤¢¨¥­¨¨ ¤¢ãå áä¥à á ®¤¨­ ª®¢®© ᪮à®áâìî ¢¤®«ì «¨­¨¨, ¯à®å®¤ï饩 ç¥à¥§ ¨å 業âàë, ¡ë«® ¯®«ã祭® ¢
[300℄. â® à¥è¥­¨¥ ¨¬¥¥â ¯à ªâ¨ç¥áª®¥ §­ 祭¨¥ ¨ ¬®¥â ¡ëâì ¨á¯®«ì§®¢ ­® ¤«ï ®æ¥­ª¨ â®ç­®á⨠¯à¨¡«¨¥­­ëå ¬¥â®¤®¢, ¯à¨¬¥­ï¥¬ëå ¤«ï à¥è¥­¨ï ¡®«¥¥ á«®­ëå § ¤ ç ® £¨¤à®¤¨­ ¬¨ç¥áª®¬ ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨¨ ç áâ¨æ.
‘¨« , ¤¥©áâ¢ãîé ï ­ ª ¤ãî ¨§ áä¥à, ®¯¨áë¢ ¥âáï ¢ëà ¥­¨¥¬ [178℄:
F = 6πµaU λ,
(2.9.1)

89

2.9. ‘â¥á­¥­­®¥ ¤¢¨¥­¨¥ ç áâ¨æ

£¤¥ a | à ¤¨ãá ¤ ­­®© áä¥àë, U | ᪮à®áâì ¤¢¨¥­¨ï áä¥à, λ |
¯®¯à ¢®ç­ë© ª®íää¨æ¨¥­â, § ¢¨áï騩 ®â ®¡®¨å à ¤¨ãᮢ ¨ à ááâ®ï­¨ï l ¬¥¤ã 業âà ¬¨ áä¥à. ‚ëà ¥­¨¥ ¤«ï λ ¢ á«ãç ¥ áä¥à à ¢­®£®
à ¤¨ãá ¨¬¥¥â ¢¨¤




∞
X
4sh2 [(n + 21 )α℄ − (2n + 1)2 sh2 α
4
n(n + 1)
λ = shα
1−
,
3
(2n − 1)(2n + 3)
2sh [(2n + 1)α℄ + (2n + 1)sh2α
n=1
(2.9.2)
q
1

1
2
£¤¥ α = ln 2 (l/a) + 4 (l/a) − 1 .
„«ï ç¨á«¥­­ëå à áç¥â®¢ 㤮¡­¥¥ ¨á¯®«ì§®¢ âì ¯à¨¡«¨¥­­ãî
ä®à¬ã«ã:
0,88 a + l
λ=
(2.9.3)
,
2,5 a + l
¬ ªá¨¬ «ì­ ï ¯®£à¥è­®áâì ª®â®à®© ¯à¨ «î¡ëå §­ 祭¨ïå a ¨ l
á®áâ ¢«ï¥â ¬¥­¥¥ 1,3%.
Ǒ®áª®«ìªã λ 6 1, ¨§ ä®à¬ã«ë (2.9.1) á«¥¤ã¥â, ç⮠᪮à®áâì ãáâ ­®¢¨¢è¥£®áï ¤¢¨¥­¨ï ª ¤®© ¨§ áä¥à ¢ ­á ¬¡«¥ ¢ëè¥, 祬 ᪮à®áâì
¤¢¨¥­¨ï ®¤¨­®ç­®© áä¥àë.
Ǒਠ¤¢¨¥­¨¨ ¢ £à ¢¨â 樮­­®¬ ¯®«¥ ãáâ ­®¢¨¢è¨¥áï ᪮à®áâ¨
ç áâ¨æ ¨ ª ¯¥«ì à §­ëå à §¬¥à®¢ (¨«¨ ¬ ááë) ¡ã¤ãâ à §«¨ç­ë¬¨ [178,
294℄. Ǒ®í⮬ã à ááâ®ï­¨¥ ¬¥¤ã 業âà ¬¨ ç áâ¨æ ­¥ ¡ã¤¥â ¯®áâ®ï­­ë¬, á«¥¤®¢ ⥫쭮, ¢áï § ¤ ç ® £¨¤à®¤¨­ ¬¨ç¥áª®¬ ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨¨ ï¥âáï, áâண® £®¢®àï, ­¥áâ 樮­ à­®©. ‚ [294℄ ¡ë«® ¯®ª § ­®,
çâ® ¯à¨ ãá«®¢¨¨ Re ≪ 12 l/a íâã § ¤ çã ¬®­® áç¨â âì ª¢ §¨áâ 樮­ à­®©.

‘⮪ᮢ® ¤¢¨¥­¨¥ ¤¢ãå áä¥à ¯à¨ ¯à®¨§¢®«ì­®¬ ®â­®á¨â¥«ì­®¬ à ᯮ«®¥­¨¨.  áᬮâਬ ¤¢¥ 㤠«¥­­ë¥ ¤à㣠®â ¤àã£

áä¥à¨ç¥áª¨¥ ç áâ¨æë à ¢­®£® à ¤¨ãá , ¤¢¨£ î騥áï á ®¤¨­ ª®¢ë¬¨
᪮à®áâﬨ U~ . ‘¨« , ¤¥©áâ¢ãîé ï ­ ª ¤ãî ¨§ ç áâ¨æ, ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¯® ä®à¬ã«¥ [178℄
F~
6πaµ

= −~iX

UX
1 + 34 (a/l)

+ ~iZ

UZ
,
1 + 23 (a/l)

(2.9.4)

£¤¥ Z | ®áì, ¯à®å®¤ïé ï ç¥à¥§ 業âàë áä¥à, X | ¯¥à¯¥­¤¨ªã«ïà­ ï
¥© ®áì.
ˆ§ ¢ëà ¥­¨ï (2.9.4) á«¥¤ã¥â, çâ® ª®£¤ áä¥àë ¯ ¤ îâ ¯®¤ ¤¥©á⢨¥¬ £à ¢¨â 樮­­®© ᨫë, ­ ¯à ¢«¥­¨¥ ª®â®à®© ­¥ ᮢ¯ ¤ ¥â ­¨ á
®áìî X , ­¨ á ®áìî Z , á®áâ ¢«ï¥â á ¯®á«¥¤­¥© 㣮« β , ¨¬¥¥â ¬¥áâ® ­¥
⮫쪮 ¢¥à⨪ «ì­®¥ ¯ ¤¥­¨¥ ç áâ¨æ ᮠ᪮à®áâìî
Uk

=−

F
6πµa



1+

3a
(1 + os2 β )
4l



,

(2.9.5)

90

„¢¨¥­¨¥ ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ ¢ ¨¤ª®áâ¨

­® ¨ £®à¨§®­â «ì­ë© ¤à¥©ä ᮠ᪮à®áâìî
U⊥

=−

F
6πµa

3a
sin β os β.
4l

(2.9.6)

‚ ª­¨£ å [178, 234℄ ¤ ­ ¯®¤à®¡­ë© ®¡§®à ¨áá«¥¤®¢ ­¨©, ¯®á¢ï饭­ëå £¨¤à®¤¨­ ¬¨ç¥áª®¬ã ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢¨î ¤¢ãå ç áâ¨æ à §­®© ä®à¬ë
¢ ¯®áâ㯠⥫쭮¬ ¨ ᤢ¨£®¢®¬ á⮪ᮢ®¬ ¯®â®ª¥. Ǒਢ¥¤¥­ë ¬­®£®ç¨á«¥­­ë¥ ä®à¬ã«ë, â ¡«¨æë ¨ £à 䨪¨, ¯®§¢®«ïî騥 ®¯à¥¤¥«ïâì
§ ¢¨á¨¬®áâì ᨫë ᮯà®â¨¢«¥­¨ï ç áâ¨æ ®â à ááâ®ï­¨ï ¬¥¤ã ­¨¬¨.
‚ [234℄ ¢ë¯¨á ­ë £« ¢­ë¥ ç«¥­ë ᨬ¯â®â¨ç¥áª®£® à §«®¥­¨ï ᨫë
ᮯà®â¨¢«¥­¨ï ç áâ¨æ ¯® ¬ «®¬ã ¡¥§à §¬¥à­®¬ã à ááâ®ï­¨î ¬¥¤ã
¨å ¯®¢¥àå­®áâﬨ.
‚ [57, 234℄ ­ «¨§¨à®¢ «¨áì १ã«ìâ âë ¬­®£®ç¨á«¥­­ëå à ¡®â
¯® £¨¤à®¤¨­ ¬¨ç¥áª®¬ã ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢¨î ¤¢ãå ª ¯¥«ì, ¤¢¨ãé¨åáï ¢
¨¤ª®áâ¨. Ǒਢ¥¤¥­ë १ã«ìâ âë à áç¥â®¢ ¤«ï ᨫë ᮯà®â¨¢«¥­¨ï
(¢ àì¨à®¢ «¨áì à ¤¨ãáë ¨ ¢ï§ª®á⨠ª ¯¥«ì ¨ à ááâ®ï­¨ï ¬¥¤ã
­¨¬¨).
Žá¥¢®¥ ¨ ¯®¯¥à¥ç­®¥ ¤¢¨¥­¨¥ ¤¢ãå ª ¯¥«ì ¢¡«¨§¨ ¤à㣠¤à㣠à áᬮâ७® ¢ [81, 82℄. Ǒ®«ã祭® ­¥áª®«ìª® £« ¢­ëå ç«¥­®¢ ᨬ¯â®â¨ç¥áª®£® à §«®¥­¨ï ᨫë ᮯà®â¨¢«¥­¨ï ¯® ¬ «®¬ã ¡¥§à §¬¥à­®¬ã
à ááâ®ï­¨î ¬¥¤ã ¯®¢¥àå­®áâﬨ ª ¯¥«ì. ˆáá«¥¤®¢ ­ â ª¥ á«ãç ©
¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï ⢥म© ç áâ¨æë ¨ ª ¯«¨.
‚ [213{215℄ ­ «¨§¨à®¢ «¨áì ¤¥ä®à¬ 樨 ¯®¢¥àå­®á⥩ ª ¯¥«ì
¨ ¯ã§ë३, ¤¢¨ãé¨åáï ¢¡«¨§¨ ¤à㣠¤à㣠¨«¨ ¢¡«¨§¨ ¯«®áª®©
᢮¡®¤­®© ¯®¢¥àå­®áâ¨.

ƒà ¢¨â 樮­­®¥ ®á ¤¥­¨¥ ­¥áª®«ìª¨å áä¥à à ¢­®£® à ¤¨ãá . ‚ [178℄ ¯®«ãç¥­ë ¬¥â®¤®¬ ®âà ¥­¨ï ¨ ®á।­¥­­ë¥ ¯® ¢á¥-

¢®§¬®­ë¬ ®à¨¥­â æ¨ï¬ ç áâ¨æ ¢ ¯à®áâà ­á⢥ ᮮ⭮襭¨ï ¬¥¤ã
ᨫ®© ᮯà®â¨¢«¥­¨ï F ¨ ᪮à®áâìî ®á ¤¥­¨ï U . ‘ç¨â «®áì, çâ®
à ááâ®ï­¨¥ l ¬¥¤ã 業âà ¬¨ ­ ¨¡®«¥¥ 㤠«¥­­ëå ¢ á¨á⥬¥ áä¥à
§­ ç¨â¥«ì­® ¡®«ìè¥ ¨å à ¤¨ãá a. ‚® ¢á¥å à áᬮâ७­ëå á«ãç ïå
¤«ï ᨫë ᮯà®â¨¢«¥­¨ï á¯à ¢¥¤«¨¢ ä®à¬ã« (2.9.1), £¤¥ λ | ¯®¯à ¢®ç­ë© ª®íää¨æ¨¥­â, § ¢¨áï騩 ®â ª®­ä¨£ãà 樨 á¨á⥬ë ç áâ¨æ.
¨¥ ¯à¨¢¥¤¥­ë §­ 祭¨ï ¯®¯à ¢®ç­®£® ª®íää¨æ¨¥­â ¤«ï ­¥ª®â®àëå å à ªâ¥à­ëå á«ãç ¥¢ à ᯮ«®¥­¨ï ç áâ¨æ.
„«ï á¨áâ¥¬ë ¨§ ¤¢ãå áä¥à:
λ=

2
.
1 + (a/l)

(2.9.7)

„«ï á¨áâ¥¬ë ¨§ âà¥å áä¥à, à ᯮ«®¥­­ëå ¢ «¨­¨î:
λ=

1+

3

10 (a/l) − 1 (a/l)2 .
3
4

(2.9.8)

2.9. ‘â¥á­¥­­®¥ ¤¢¨¥­¨¥ ç áâ¨æ

91

„«ï á¨áâ¥¬ë ¨§ ç¥âëà¥å áä¥à, à ᯮ«®¥­­ëå ¢ «¨­¨î:
λ=

1+

4

13 (a/l) − 9 (a/l)2 .
2
8

(2.9.9)

„«ï á¨áâ¥¬ë ¨§ ç¥âëà¥å áä¥à, à ᯮ«®¥­­ëå ¯® 㣫 ¬ ª¢ ¤à â :
λ=

4
.
1 + 2,7 (a/l) − 0,04 (a/l)2

(2.9.10)

„«ï á¨áâ¥¬ë ¨§ ¢®á쬨 áä¥à, à ᯮ«®¥­­ëå ¢ ¢¥à設 å ªã¡ :
λ=

8
.
1 + 5,7 (a/l) − 0,34 (a/l)2

(2.9.11)

Fa

(2.9.12)

‚«¨ï­¨¥ á⥭®ª ­ ®á ¤¥­¨¥ ®¤¨­®ç­®© ç áâ¨æë. ‚ ॠ«ì­ëå á¨á⥬ å ®á ¤¥­¨¥ ç áâ¨æ, ª ª ¯à ¢¨«®, ¯à®¨á室¨â ¢ ®¡ê¥¬ å,
®£à ­¨ç¥­­ëå á⥭ª ¬¨ ¯¯ à ⮢. Ǒਠ¤¢¨¥­¨¨ ç áâ¨æ ¢ ¡¥§£à ­¨ç­®¬ ®¡ê¥¬¥ «¨­¨¨ ⮪ ¨­¤ãæ¨à®¢ ­­®£® â¥ç¥­¨ï § ¬ëª îâáï ­
¡¥áª®­¥ç­®áâ¨. Ǒ®í⮬㠯ਠᮣ« ᮢ ­­®¬ ¤¢¨¥­¨¨ ­á ¬¡«ï ç áâ¨æ ª ¤ ï ç áâ¨æ ¤¢¨¥âáï ¢ á®­ ¯à ¢«¥­­®¬ á¯ãâ­®¬ ¯®â®ª¥,
¨­¤ãæ¨à®¢ ­­®¬ ¤¢¨¥­¨¥¬ á®á¥¤­¨å ç áâ¨æ. ‚ १ã«ìâ ⥠ᮯà®â¨¢«¥­¨¥ ¤¢¨¥­¨î ª ¤®© ç áâ¨æë ­á ¬¡«ï ®ª §ë¢ ¥âáï ¬¥­ìè¥, 祬
¢ á«ãç ¥ ¤¢¨¥­¨ï ®¤¨­®ç­®© ç áâ¨æë, ᪮à®áâì ®á¥¤ ­¨ï ᮮ⢥âá⢥­­® ¡®«ìè¥. ‚ ¯à®áâà ­á⢥, ®£à ­¨ç¥­­®¬ á⥭ª ¬¨ ¯¯ à â ,
¤¢¨¥­¨¥ ç áâ¨æë ¢á«¥¤á⢨¥ § ¬¥é¥­¨ï ®¡ê¥¬®¢ ¤®«­® ¨­¤ãæ¨à®¢ âì ¢áâà¥ç­ë© ¯®â®ª ¨¤ª®áâ¨. Ǒ®í⮬ã ᨫ ᮯà®â¨¢«¥­¨ï ¤®«­ ¡ëâì ¡®«ìè¥, ᪮à®áâì ®á ¤¥­¨ï ¬¥­ìè¥, 祬 ¤«ï ®¤¨­®ç­®©
ç áâ¨æë ¢ ¡¥§£à ­¨ç­®¬ ¯à®áâà ­á⢥.
à¥­­¥à®¬ [205℄ á ¯®¬®éìî ¬¥â®¤ ®âà ¥­¨© ¡ë«® ¢ë¢¥¤¥­® ᮮ⭮襭¨¥, ¯®§¢®«ïî饥 ª®à४â¨à®¢ âì § ª®­ ᮯà®â¨¢«¥­¨ï ‘⮪á , á ãç¥â®¬ ¢«¨ï­¨ï ¯®¯à ¢ª¨, ª®â®àãî ¢­®áïâ á⥭ª¨:
F

=

1 − k(Fa /Fl )

,

£¤¥

l | ¯ à ¬¥âà, å à ªâ¥à¨§ãî騩 ¡«¨§®áâì ç áâ¨æë ª á⥭ª¥,
Fa = 6πµUi a ¨ Fl = 6πµUi l | ᨫë ᮯà®â¨¢«¥­¨ï áä¥à à ¤¨ãᮬ a
¨ l, ¤¢¨ãé¨åáï ¢ ¯®ª®ï饩áï ¨¤ª®á⨠ᮠ᪮à®áâìî Ui .
‡­ 祭¨¥ ª®íää¨æ¨¥­â k, ¢ëç¨á«¥­­®¥ ¤«ï à §«¨ç­ëå á«ãç ¥¢,

¯à¨¢¥¤¥­® ¢ â ¡«. 2.2. Žâ¬¥â¨¬, çâ® ä®à¬ã« (2.9.12) ¯à¨¬¥­¨¬ ¯à¨
ãá«®¢¨¨ b/l ≪ 1, £¤¥ b | ¬ ªá¨¬ «ì­ë© à §¬¥à ç áâ¨æë.
‚ [269℄ à áᬮâ७ áä¥à¨ç¥áª ï ç áâ¨æ , ¤¢¨ãé ïáï ¯ à ««¥«ì­® á⥭ª¥. ‘ç¨â «®áì, çâ® ¢¥«¨ç¨­ § §®à ¬¥¤ã ¯®¢¥àå­®áâìî
ç áâ¨æë ¨ á⥭ª®© h ¬ « ¯® áà ¢­¥­¨î á à ¤¨ãá ¬ ç áâ¨æë a. „«ï

92

„¢¨¥­¨¥ ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ ¢ ¨¤ª®áâ¨

’€‹ˆ–€ 2.2
‡­ 祭¨ï ª®íää¨æ¨¥­â k ¢ ä®à¬ã«¥ (2.9.12)
”®à¬ ¢­¥è­¥©
£à ­¨æë

Ǒ®«®¥­¨¥ 業âà
ç áâ¨æë

 ¯à ¢«¥­¨¥
¤¢¨¥­¨ï

K

 à ááâ®ï­¨¨ l
®â á⥭ª¨

Ǒ à ««¥«ì­®
á⥭ª¥

9
16

Ž¤­ ¯«®áª ï
á⥭ª

Ž¤­ ¯«®áª ï
 à ááâ®ï­¨¨ l Ǒ¥à¯¥­¤¨ªã«ïà­®
á⥭ª
®â á⥭ª¨
á⥭ª¥
Ǒ à ««¥«ì­ë¥ á⥭ª¨  à ááâ®ï­¨¨ l
Ǒ à ««¥«ì­®
­ à ááâ®ï­¨¨ 2l
®â á⥭®ª
á⥭ª ¬

9
8

1,004

Šà㣮¢®© 樫¨­¤à
à ¤¨ãá l

 à ááâ®ï­¨¨ b
®â ®á¨

‚¤®«ì ®á¨

2,1044 − 6577 (b/l)2

‘ä¥à à ¤¨ãá

‚ 業âॠáä¥àë

 ¤¨ «ì­®¥

9
4

l

ᨫë ᮯà®â¨¢«¥­¨ï ¨ ¬®¬¥­â , ¤¥©áâ¢ãîé¨å ­ ç áâ¨æã, ¯®«ã祭®
­¥áª®«ìª® ç«¥­®¢ ᨬ¯â®â¨ç¥áª®£® à §«®¥­¨ï ¯® ¬ «®¬ã ¯ à ¬¥âàã ε = h/a:




= 6πµaUi −0,231 ln ε + 0,746 + O(ε ln ε) ,


M = −8πµa2 Ui 0,0434 ln ε + 0,232 + O(ε ln ε) .

F

(2.9.13)

‚ [82℄ ¯®«ã祭® ­ «®£¨ç­®¥ ᨬ¯â®â¨ç¥áª®¥ à §«®¥­¨¥ ¤«ï ᨫë, ¤¥©áâ¢ãî饩 ­ áä¥à¨ç¥áª¨© ¯ã§ëàì, ¤¢¨ã騩áï ¯ à ««¥«ì­®
⢥म© ¯«®áª®áâ¨:
F


.

(2.9.14)

= 8aUi(µ1 + µ2 ).

(2.9.15)

= 4πµaUi[−0,3 ln ε + 0,93 + O(ε ln ε)

‚ à ¡®â¥ [195℄ ¡ë« ¨áá«¥¤®¢ ­ ç¨á«¥­­ë¬ ¬¥â®¤®¬ ¢ ­ ï ¢
¯à¨«®¥­¨¨ ª 娬¨ç¥áª®© â¥å­®«®£¨¨ § ¤ ç ® ª®­¥ç­ëå ¤¥ä®à¬ æ¨ïå ¯à¨ ¤¢¨¥­¨¨ ⢥म© áä¥àë ª ᢮¡®¤­®© ¬¥ä §­®© £à ­¨æ¥
¨ ¤¥ä®à¬¨à㥬®© ª ¯«¨ ª ⢥म© ¯«®áª®© á⥭ª¥.
— áâ¨æ ­ ¯®¢¥àå­®áâ¨ à §¤¥« ä §. Ǒ¥à¥å®¤ ç áâ¨æë
ç¥à¥§ £à ­¨æã à §¤¥« ¤¢ãå ¨¤ª¨å á। ï¥âáï ¢ ­®© á®áâ ¢­®©
ç áâìî ¯à®æ¥áᮢ ᥯ à 樨 ¨ ®ç¨á⪨ ®¤­®© ¨§ ä § ®â ¢§¢¥á¨.
Ǒ®¬¨¬® ¯¥à¥à á¯à¥¤¥«¥­¨ï ¬¥ä §­ëå ¨§¡ëâ®ç­ëå í­¥à£¨©, §¤¥áì
¢ ­ë ç¨áâ® £¨¤à®¤¨­ ¬¨ç¥áª¨¥ íä䥪âë ᮯà®â¨¢«¥­¨ï ¯¥à¥å®¤ã.
‚ [284℄ ¨áá«¥¤®¢ «®áì ¤¢¨¥­¨¥ ¤¨áª , ¯«®áª®áâì ª®â®à®£® ᮢ¯ ¤ ¥â á ¯®¢¥àå­®áâìî à §¤¥« ¤¢ãå ¨¤ª®á⥩ á ¢ï§ª®áâﬨ µ1 ¨ µ2 .
‘¨«ë ᮯà®â¨¢«¥­¨ï ¯à¨ á⮪ᮢ®¬ ¤¢¨¥­¨¨ ¤¨áª ᮠ᪮à®áâìî Ui
¯® ª á ⥫쭮© ¨ ¯® ­®à¬ «¨ ª £à ­¨æ¥ à §¤¥« ¤ îâáï ¢ëà ¥­¨ï¬¨
Fk

=

16 aU (µ + µ ),
i 1
2
3

F⊥

2.9. ‘â¥á­¥­­®¥ ¤¢¨¥­¨¥ ç áâ¨æ

93

‚ ç áâ­®¬ á«ãç ¥ µ1 = µ2 ¨§ (2.9.15) ¯®«ãç îâáï ä®à¬ã«ë (2.5.18) (á
â®ç­®áâìî ¤® ¯¥à¥®¡®§­ 祭¨© ¨­¤¥ªá®¢) ¤«ï ¤¨áª , ¤¢¨ã饣®áï ¢
®¤­®à®¤­®© á।¥.
Ž¡¥ ä®à¬ã«ë (2.9.15) ¬®­® ®¡ê¥¤¨­¨âì ¨ ¯à¥¤áâ ¢¨âì ¢ á«¥¤ãî饬 ¢¨¤¥:
F = 12 (F1 + F2 ),
£¤¥ F1 ¨ F2 | ᨫë ᮯà®â¨¢«¥­¨ï, ¤¥©áâ¢ãî騥 ­ ¤¢¨ã饩áï ¤¨áª
¢ ®¤­®à®¤­®© ¨¤ª®á⨠ᮮ⢥âá⢥­­® á ¢ï§ª®áâìî µ1 ¨ µ2 (¤¢¨¥­¨¥
¤¨áª ¯à®¨áª®¤¨â ¢¤®«ì ¨ ¯®¯¥à¥ª ¥£® ¯«®áª®áâ¨). Ǒ®á«¥¤­îî ä®à¬ã«ã ¬®­® ¨á¯®«ì§®¢ âì ¤«ï ®¯à¥¤¥«¥­¨ï ᨫë ᮯà®â¨¢«¥­¨ï ¯«®áª®© 䨣ãàë ¯à®¨§¢®«ì­®© ä®à¬ë, à ᯮ«®¥­­®© ­ £à ­¨æ¥ à §¤¥«
¤¢ãå ¨¤ª®á⥩, ¯à¨ ¥¥ ¤¢¨¥­¨¨ ¢¤®«ì (¯®¯¥à¥ª) ¬¥ä §­®© £à ­¨æë.

Žæ¥­ª ᪮à®á⨠®á ¤¥­¨ï áãᯥ­§¨¨ á ¯®¬®éìî ï祥筮© ¬®¤¥«¨. ‚ á«ãç ¥ ¤¢¨¥­¨ï ­á ¬¡«¥© á ®ç¥­ì ¡®«ì訬 ª®«¨-

ç¥á⢮¬ ç áâ¨æ ॠ«¨§ æ¨ï ¬¥â®¤ ®âà ¥­¨©, ⥬ ¡®«¥¥ ¯®áâ஥­¨¥ â®ç¥ç­ëå à¥è¥­¨© ¢ ¬­®£®á¢ï§­®© ®¡« á⨠®ª §ë¢ îâáï ¯à ªâ¨ç¥áª¨ ­¥¢®§¬®­ë¬¨. Ž¤­®© ¨§ à á¯à®áâà ­¥­­ëå ¯à¨¡«¨¥­­ëå
¬®¤¥«¥© ¤¢ãåä §­ëå á। ¢ í⮬ á«ãç ¥ ï¥âáï ïç¥¥ç­ ï ¬®¤¥«ì.
Ž­ ®â­®á¨â ª ª ¤®© ç áâ¨æ¥ ¤¨á¯¥àá­®© ä §ë ¯à¨å®¤ï騩áï ­ ¥¥
¤®«î ®¡ê¥¬ ᢮¡®¤­®© ¨¤ª®áâ¨. ’ ª¨¬ ®¡à §®¬ ¢áï áãᯥ­§¨ï (¨«¨
í¬ã«ìá¨ï) à §¡¨¢ ¥âáï ­ ᮢ®ªã¯­®áâì áä¥à¨ç¥áª¨å ï祥ª à ¤¨ãá b,
¢ 業âॠª®â®àëå ­ 室ïâáï ç áâ¨æë à ¤¨ãá a. ƒ¥®¬¥âà¨ç¥áª¨¥ ¯ à ¬¥âàë ï祥ª á¢ï§ ­ë á ®¡ê¥¬­®© ª®­æ¥­âà 樥© ¤¨á¯¥àá­®© ä §ë φ
á«¥¤ãî騬 ᮮ⭮襭¨¥¬:
b = aφ−1/3 .

(2.9.16)

‡ ¤ ­¨¥ ᪮à®á⨠U~ ç áâ¨æë ®¯à¥¤¥«ï¥â ®á¥¢ãî ᨬ¬¥âà¨î § ¤ ç¨, ª®â®àãî 㤮¡­® à áᬠâਢ âì ¢ áä¥à¨ç¥áª¨å ª®®à¤¨­ â å. Ž¡é¥¥ à¥è¥­¨¥ ¤«ï â ª®© á¨áâ¥¬ë ¯à¨¢¥¤¥­® ¢ à §¤. 2.1, £¤¥ ¯à®¨§¢®«ì­ë¥ ¯®áâ®ï­­ë¥ ¤®«­ë ®¯à¥¤¥«ïâìáï ¨§ ãá«®¢¨© ®£à ­¨ç¥­­®á⨠à¥è¥­¨ï, ¨§¢¥áâ­®© ᪮à®á⨠­ ¯®¢¥àå­®á⨠ç áâ¨æë ¨ ­¥ª®â®àëå ãá«®¢¨© ­ £à ­¨æ¥ ï祩ª¨ (¯à¨ R = b). ¥áᯮà­ë¬ ãá«®¢¨¥¬ ­ í⮩
£à ­¨æ¥ ï¥âáï à ¢¥­á⢮ ­ã«î ­®à¬ «ì­®© á®áâ ¢«ïî饩 ᪮à®áâ¨, ᮮ⢥âáâ¢ãî饥 ­¥¯à®â®ç­®á⨠ï祩ª¨. Ǒ® ¯®¢®¤ã ¢â®à®£® ãá«®¢¨ï, ­¥®¡å®¤¨¬®£® ¤«ï ¯®«­®© ¨¤¥­â¨ä¨ª 樨 à¥è¥­¨ï, áãé¥áâ¢ãîâ
à §«¨ç­ë¥ ¬­¥­¨ï. ’ ª, Š ­­¨­£å¥¬ ¯®áâ㫨஢ « à ¢¥­á⢮ ­ã«î
â ­£¥­æ¨ «ì­®© ᪮à®áâ¨, à áᬠâਢ ï ä ªâ¨ç¥áª¨ ï祩ªã, ª ª ª®­â¥©­¥à á ¥á⪮© £à ­¨æ¥©. • ¯¯¥«ì ¯à¥¤« £ « ¨á¯®«ì§®¢ âì ãá«®¢¨¥
à ¢¥­á⢠­ã«î â ­£¥­æ¨ «ì­®£® ­ ¯à省¨ï, ¯®áâ㫨àãï ⥬ á ¬ë¬
ᨫ®¢ãî ¨§®«¨à®¢ ­­®áâì ï祩ª¨.  ª®­¥æ, Šã¢ ¡ à ¯à¥¤« £ « ¨á¯®«ì§®¢ âì ãá«®¢¨¥ à ¢¥­á⢠­ã«î ¯®â®ª ¢¨åॢ®© ­ ¯à省­®áâ¨
­ £à ­¨æ¥ ï祩ª¨.

94

„¢¨¥­¨¥ ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ ¢ ¨¤ª®áâ¨

‚ë¡®à £à ­¨ç­®£® ãá«®¢¨ï áãé¥á⢥­­ë¬ ®¡à §®¬ ®¯à¥¤¥«ï¥â ¬®¤¥«ì ᨫ®¢®£® ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï ç áâ¨æë, ­ 室ï饩áï ¢ 業âॠï祩ª¨, á ¤à㣨¬¨ ç áâ¨æ ¬¨. Ǒ®¤à®¡­ë© áà ¢­¨â¥«ì­ë© ­ «¨§ à §«¨ç­ëå ¢ ਠ­â®¢ £à ­¨ç­ëå ãá«®¢¨© ¢ë¯®«­¥­ ¢ [167℄, £¤¥ ¯®«ã祭ë
à¥è¥­¨ï ¤«ï 㪠§ ­­ëå ¢ëè¥ âà¥å ¢ ਠ­â®¢, ¯à¨ç¥¬ ç áâ¨æ , ­ 室ïé ïáï ¢ 業âॠï祩ª¨, áç¨â « áì ª ¯«¥© ¨¤ª®áâ¨ á ¤à㣮© ¢ï§ª®áâìî. ‚ à ¡®â¥ [167℄ ¯à®¢®¤¨«®áì ᮯ®áâ ¢«¥­¨¥ ¯®«ã祭­ëå ­ ®á­®¢ ­¨¨ ï祥ç­ëå ¬®¤¥«¥© ãáâ ­®¢¨¢è¨åáï ᪮à®á⥩ £à ¢¨â 樮­­®£® ®á ¤¥­¨ï áãᯥ­§¨© á ¬­®£®ç¨á«¥­­ë¬¨ íªá¯¥à¨¬¥­â «ì­ë¬¨
¤ ­­ë¬¨. ë«® ¯®ª § ­®, çâ® ­ ¨¡®«¥¥ â®ç­ë¥ १ã«ìâ âë ¤ ¥â ¬®¤¥«ì Šã¢ ¡ àë, ª®â®à ï ¤«ï ᨫë ᮯà®â¨¢«¥­¨ï ¯à¨¢®¤¨â ª ä®à¬ã«¥
(2.9.1), £¤¥ ¯®¯à ¢®ç­ë© ª®íää¨æ¨¥­â ¢ëç¨á«ï¥âáï ¯® ä®à¬ã«¥
β + 23
µ
λ=
, β= 2.
2
1
3
2
9
1
/
3
2
1
/
3
2
µ1
1 − 5 φ − 5 φ + β (1 − 10 φ + 2 φ + 5 φ )
(2.9.17)
Ǒਠφ → 0 ¨ β → ∞ ¨¬¥¥¬ λ → 1, ç⮠ᮮ⢥âáâ¢ã¥â § ª®­ã
ᮯà®â¨¢«¥­¨ï ‘⮪á .
ä䥪⨢­ ï ¢ï§ª®áâì áãᯥ­§¨©. ‘ãᯥ­§¨¨ ç áâ¨æ ¢ ¨¤ª®á⨠è¨à®ª® ¨á¯®«ì§ãîâáï ¢ à §«¨ç­ëå ¯à®æ¥áá å 娬¨ç¥áª®© â¥å­®«®£¨¨. ᫨ à §¬¥àë ¢§¢¥è¥­­ëå ç áâ¨æ §­ ç¨â¥«ì­® ¬¥­ìè¥ à §¬¥à®¢ ¯¯ à â , áãᯥ­§¨î ¬®­® à áᬠâਢ âì ª ª ­¥ªãî ᯫ®è­ãî á।ã ᮠ᢮©á⢠¬¨, ®â«¨ç­ë¬¨ ®â ᢮©á⢠¤¨á¯¥àá­®© ä §ë.
Žç¥­ì ç áâ® íâ á। ¯® ᢮¨¬ ८«®£¨ç¥áª¨¬ ᢮©á⢠¬ ®áâ ¥âáï ­ìîâ®­®¢áª®©, ­® á ­¥áª®«ìª® 㢥«¨ç¥­­®© ¯® áà ¢­¥­¨î á ¤¨á¯¥àᨮ­­®© á।®© ¢ï§ª®áâìî. â ¢ï§ª®áâì µef ­ §ë¢ ¥âáï íä䥪⨢­®©
¢ï§ª®áâìî.  ¯à ªâ¨ª¥ 㤮¡­® ®â­¥á⨠¥¥ ª ¢ï§ª®á⨠¤¨á¯¥àᨮ­­®© áà¥¤ë µ ¨ à áᬠâਢ âì ¡¥§à §¬¥à­ãî íä䥪⨢­ãî ¢ï§ª®áâì
µ
 = µef /µ.
‚¥«¨ç¨­ µ § ¢¨á¨â ¯à¥¤¥ ¢á¥£® ®â ®¡ê¥¬­®© ª®­æ¥­âà 樨
¤¨á¯¥àá­®© ä §ë φ. •®à®è® ¨§¢¥áâ­ ä®à¬ã« ©­è⥩­ [178℄
µ
(2.9.18)
 = 1 + 2,5 φ,
á¯à ¢¥¤«¨¢ ï ¤«ï á«ãç ï ᨫ쭮 à §à¥¥­­ëå áãᯥ­§¨© ⢥à¤ëå
áä¥à¨ç¥áª¨å ç áâ¨æ. ‚ á«ãç ¥ ¡®«¥¥ ª®­æ¥­âà¨à®¢ ­­ëå áãᯥ­§¨©
¤«ï ®æ¥­ª¨ µ ¨á¯®«ì§ãîâ ï祥ç­ãî ¬®¤¥«ì.
¥§à §¬¥à­ãî íä䥪⨢­ãî ¢ï§ª®áâì à §à¥¥­­®© í¬ã«ìᨨ áä¥à¨ç¥áª¨å ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३, ¤¢¨ãé¨åáï ¢ ¨¤ª®áâ¨, ¬®­® ®¯à¥¤¥«ïâì á ¯®¬®éìî ä®à¬ã«ë
5β + 2
 =1+
µ
φ,
(2.9.19)
2β + 2
£¤¥ β | ®â­®è¥­¨¥ ¢ï§ª®á⥩ ª ¯¥«ì ¨ ®ªàã î饩 ¨¤ª®áâ¨. Ǒ।¥«ì­ë© ¯¥à¥å®¤ ¯à¨ β → ∞ ¢ (2.6.19) ¯à¨¢®¤¨â ª ä®à¬ã«¥ ©­è⥩­
(2.9.18). ‡­ 祭¨¥ β = 0 ᮮ⢥âáâ¢ã¥â £ §®¢®¬ã ¯ã§ëàî.

2.9. ‘â¥á­¥­­®¥ ¤¢¨¥­¨¥ ç áâ¨æ

95

‚ [178℄ ¡ë«® ¯®ª § ­®, çâ® íä䥪⨢­ ï ¢ï§ª®áâì á¢ï§ ­ á ®â­®è¥­¨¥¬ ᪮à®á⥩ ᢮¡®¤­®£® ®á¥¤ ­¨ï ®¤¨­®ç­®© ç áâ¨æë ¯® § ª®­ã
‘â®ªá ¨ ç áâ¨æ ¢ áãᯥ­§¨¨, â.¥. á ¢¥«¨ç¨­®© ª®à४â¨àãî饣® ¬­®¨â¥«ï ¢ ᨫ¥ ᮯà®â¨¢«¥­¨ïλ. „«ï íä䥪⨢­®© ¢ï§ª®á⨠¯®«ã祭ë
¢ëà ¥­¨ï ¢¨¤
µ
(2.9.20)
 = (1 − φ)m λ.
Ž¡ëç­® ¨á¯®«ì§ãîâáï ¤¢ §­ 祭¨ï: m = 1 (ä®à¬ã« Š¨­ç ) ¨
m = 2 (ä®à¬ã« •®ªá«¨). ‚ à ¡®â¥ [34℄ ¡ë«® ¯®ª § ­®, çâ® §­ 祭¨¥
m = 1 ®â¢¥ç ¥â ®¤­®áª®à®áâ­®© ¬®¤¥«¨ áãᯥ­§¨¨, m = 2 | ¤¢ãå᪮à®áâ­®© ¬®¤¥«¨, ª®â®à ï à áᬠâਢ ¥âáï ª ª ¤¢¥ ¢§ ¨¬®¯à®­¨ª î騥 ᯫ®è­ë¥ ä §ë ᮠ᢮¨¬¨ ¯®«ï¬¨ ᪮à®áâ¨. Ǒ®áª®«ìªã ¢â®à ï
¬®¤¥«ì ï¥âáï ¡®«¥¥ ᮢ¥à襭­®©, ¯à¥¤¯®çâ¨â¥«ì­¥¥ ¤«ï ®æ¥­®ª ¨á¯®«ì§®¢ âì ä®à¬ã«ã (2.9.20) ¯à¨ m = 2.
‚ëà ¥­¨ï (2.9.18) | (2.9.20) ¯®§¢®«ïî⠮業¨âì íä䥪⨢­ãî
¢ï§ª®áâì áãᯥ­§¨© ¨ í¬ã«ìᨩ.
‚ à ¡®â¥ [211℄ à §¢¨â ¡®«¥¥ ᮢ¥à襭­ë©, 祬 ®á­®¢ ­­ë© ­
ï祥筮© ¬®¤¥«¨, ¯®¤å®¤ ª ¯®áâ஥­¨î ¬¥å ­¨ª¨ ª®­æ¥­âà¨à®¢ ­­ëå ¤¨á¯¥àá­ëå á¨á⥬. Ǒ®¤å®¤ ®á­®¢ ­ ­ ¬¥â®¤ å ®á।­¥­¨ï ¯®
­á ¬¡«î á«ãç ©­® à ᯮ«®¥­­ëå ç áâ¨æ. Ž­ ¯®§¢®«¨«, ¨á¯®«ì§ãï
¥¤¨­ë© ¬¥â®¤¨ç¥áª¨© ¯à¨¥¬, ¯®«ãç¨âì ­¥ 䥭®¬¥­®«®£¨ç¥áª¨¬, ⥮à¥â¨ç¥áª¨¬ ᯮᮡ®¬ ­¥ ⮫쪮 ãà ¢­¥­¨ï ª®­â¨­ã «ì­®© ¬¥å ­¨ª¨
¤¨á¯¥àá­ëå á¨á⥬, ­® ¨ § ¬ëª î騥 ८«®£¨ç¥áª¨¥ ᮮ⭮襭¨ï. ‚
ç áâ­®áâ¨, ¤«ï íä䥪⨢­®© ¢ï§ª®á⨠áãᯥ­§¨© ¡ë« ¯®«ã祭 ¯à®áâ ï ä®à¬ã« µ = (1 − 2,5 φ)−1 , ª®â®à ï ¯à¨ ¬ «ëå φ ¯¥à¥å®¤¨â ¢
ä®à¬ã«ã ©­è⥩­ (2.9.18) ¨ ¬®¥â ¯à¨¬¥­ïâìáï ¢¯«®âì ¤® ª®­æ¥­âà 権 φ = 0,25. ë«® ­ ©¤¥­® â ª¥ ¢â®à®¥ ¯à¨¡«¨¥­¨¥ ¤«ï
íä䥪⨢­®© ¢ï§ª®áâ¨.
¥§ã«ìâ âë íªá¯¥à¨¬¥­â «ì­ëå ¨ ç¨á«¥­­ëå à áç¥â®¢ [211℄ å®à®è® ¯¯à®ªá¨¬¨àãîâáï ä®à¬ã«®©
µ
 = 1 + 2,5 φ + 12,5 φ2 ,

(2.9.21)

ª®â®à ï ¯à¨ φ → 0 ¯¥à¥å®¤¨â ¢ ä®à¬ã«ã ©­è⥩­ (2.9.18) ¨ ¬®¥â
¯à¨¬¥­ïâìáï ¤«ï φ 6 0,4.
‚ [56℄ ¯à¥¤«®¥­ áâàã©­ ï ¬®¤¥«ì ®¡â¥ª ­¨ï è ஢ ¢ §¥à­¨á⮬
á«®¥. ’ ª®¥ â¥ç¥­¨¥ å à ªâ¥à¨§ã¥âáï á­¨¥­¨¥¬ ᮯà®â¨¢«¥­¨ï ¨§§ ¯®¤ ¢«¥­¨ï ®âà뢭ëå â¥ç¥­¨© ¨ ¯à¨ ¤®áâ â®ç­® ¯«®â­®© 㪫 ¤ª¥
(φ > 0,35) ᯮᮡáâ¢ã¥â áâ ¡¨«¨§ 樨 á«®ï. „«ï ª®íää¨æ¨¥­â ᮯà®â¨¢«¥­¨ï è à ¢ â ª®© á¨á⥬¥ ¡ë« ¯à¥¤«®¥­ í¬¯¨à¨ç¥áª ï
ä®à¬ã«

ψ 
aU
cf = 2ψ 1 + 211
Re =
(2.9.22)
,
,
Re
ν
£¤¥ U | à á室­ ï ᪮à®áâì 䨫ìâà 樨, ψ | ®â­®á¨â¥«ì­®¥ ¬¨­¨¬ «ì­®¥ ¯à®å®¤­®¥ á¥ç¥­¨¥ á«®ï, § ¢¨áï饥 á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬ ®â

96

„¢¨¥­¨¥ ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ ¢ ¨¤ª®áâ¨

®¡ê¥¬­®© ª®­æ¥­âà 樨 ç áâ¨æ:
ψ



2/3
= 1 − 1,16 φ
0,508 − 0,56 φ

¯à¨
¯à¨

φ 6 0,6 ,
φ > 0,6 .

”®à¬ã« (2.9.22) å®à®è® ᮣ« áã¥âáï á ¨¬¥î騬¨áï íªá¯¥à¨¬¥­â «ì­ë¬¨ ¤ ­­ë¬¨.
‚ [95℄ ¯à¨¢®¤ïâáï ®æ¥­ª¨ ᪮à®á⨠¢á¯«ëâ¨ï ­á ¬¡«ï ¯ã§ë३ ¢
¡ ࡮⠭ëå ¯¯ à â å.
„à㣨¥ ⥮à¥â¨ç¥áª¨¥ ¬¥â®¤ë ¨áá«¥¤®¢ ­¨ï à §à¥¥­­ëå ¨ ª®­æ¥­âà¨à®¢ ­­ëå ¤¨á¯¥àá­ëå á¨á⥬, ®á­®¢ ­­ë¥ ­ ãà ¢­¥­¨ïå ¬¥å ­¨ª¨ ¬­®£®ä §­ëå á¨á⥬, ®¯¨á ­ë ¢ ª­¨£ å [117, 118℄.

3. Œ áá®- ¨ ⥯«®¯¥à¥­®á ¢ ¯«¥­ª å
¨¤ª®áâ¨, âàã¡ å ¨ ¯«®áª¨å
ª ­ « å

„® á¨å ¯®à à áᬠâਢ «®áì ¤¢¨¥­¨¥ ®¤­®à®¤­ëå ¯® 䨧¨ª®å¨¬¨ç¥áª®¬ã á®á⠢㠨¤ª®á⥩.  ¯à ªâ¨ª¥ ç é¥ ¢áâà¥ç îâáï
¡®«¥¥ á«®­ë¥ á¨âã 樨, ª®£¤ ¨¤ª®áâì ᮤ¥à¨â à á⢮७­ë¥
¢¥é¥á⢠(¯à¨¬¥á¨, ॠ£¥­âë) ¨ ï¥âáï à á⢮஬ ¨«¨ ᬥáìî.
Ǒà®á⥩訬¨ ¯à¨¬¥à ¬¨ á¨á⥬ â ª®£® த ïîâáï à á⢮àë
¯®¢ ७­®© ᮫¨ ¨«¨ á å à ¢ ¢®¤¥ ¨ ᬥáì ᯨàâ á ¢®¤®©.
‚ ª ç¥á⢥ ®á­®¢­®© ª®«¨ç¥á⢥­­®© å à ªâ¥à¨á⨪¨ á®áâ ¢ à á⢮஢ ¨ ᬥᥩ ®¡ëç­® ¨á¯®«ì§ã¥âáï ¬ áᮢ ï ¯«®â­®áâì ¢¥é¥á⢠,
ç¨á«¥­­® à ¢­ ï ¬ áᥠà á⢮७­®£® ¢¥é¥á⢠¢ ¥¤¨­¨æ¥ ®¡ê¥¬ à á⢮à , ¨«¨ ¥¥ ¡¥§à §¬¥à­ë© ­ «®£ | ¬ áᮢ ï ª®­æ¥­âà æ¨ï C , ç¨á«¥­­® à ¢­ ï ®â­®è¥­¨î ¬ áᮢ®© ¯«®â­®á⨠¢¥é¥á⢠ª ®¡é¥© ¯«®â­®á⨠ᬥá¨*. ‚ ª­¨£¥ ®¡ëç­® ¡ã¤¥â ¨á¯®«ì§®¢ âìáï ¢¥«¨ç¨­ ‘, ª®â®àãî ¤«ï ªà ⪮á⨠¡ã¤¥¬ ­ §ë¢ âì ¯à®áâ® ª®­æ¥­âà 樥©. Ǒਠ­ «¨ç¨¨ ­¥áª®«ìª¨å à á⢮७­ëå ¢¥é¥á⢠m = 1, . . . , M ¤«ï ª ¤®£®
¨§ ­¨å ¢¢®¤ïâ á¢®î ¬ áᮢãî ¯«®â­®áâì ¨, ᮮ⢥âá⢥­­®, á¢®î ¬ áᮢãî ª®­æ¥­âà æ¨î Cm .
Š®­æ¥­âà æ¨ï ®â¤¥«ì­ëå ª®¬¯®­¥­â ¢ ª ¤®© â®çª¥ áà¥¤ë § ¢¨á¨â ®â ª®­¢¥ªâ¨¢­®£® ¯¥à¥­®á ¢¥é¥á⢠, ¬®«¥ªã«ïà­®© (¨«¨ âãà¡ã«¥­â­®©) ¤¨ää㧨¨ ¨ ¨­â¥­á¨¢­®á⨠£¥â¥à®£¥­­ëå ¨ £®¬®£¥­­ëå
䨧¨ª®-娬¨ç¥áª¨å ¯à¥¢à 饭¨©.
Ǒ®¤ £¥â¥à®£¥­­ë¬¨ ¯à¥¢à 饭¨ï¬¨ ¤ «¥¥ ¯®¤à §ã¬¥¢ îâáï 娬¨ç¥áª¨¥ ¨«¨ 䨧¨ª®-娬¨ç¥áª¨¥ ¯à¥¢à 饭¨ï, ¯à®¨á室ï騥 ­ ­¥ª®â®àëå ¯®¢¥àå­®áâïå, ­ ¯à¨¬¥à, ­ £à ­¨æ å à §¤¥« ä § ¨«¨ ­ ¯®¢¥àå­®áâïå, ®¡« ¤ îé¨å ª â «¨â¨ç¥áª¨¬¨ ᢮©á⢠¬¨. Ǒਠ⠪®¬
è¨à®ª®¬ ¯®­¨¬ ­¨¨ â¥à¬¨­ ý£¥â¥à®£¥­­ë¥ ¯à¥¢à 饭¨ïþ ª ­¨¬ á«¥¤ã¥â ®â­¥áâ¨: ¯®¢¥àå­®áâ­ë¥ ª â «¨â¨ç¥áª¨¥ ॠªæ¨¨; ¤á®à¡æ¨î ¨
¤¥á®à¡æ¨î ­ ⢥à¤ëå ¨ ¨¤ª¨å ¯®¢¥àå­®áâïå; à á⢮७¨¥ ªà¨áâ ««®¢ ¢ ¨¤ª®áâ¨; í«¥ªâà®å¨¬¨ç¥áª¨¥ ॠªæ¨¨, ¨¤ã騥 ­ ¯®¢¥àå­®áâ¨
í«¥ªâத , ¯®£à㥭­®£® ¢ à á⢮à í«¥ªâ஫¨â ; áã¡«¨¬ æ¨î ¨ ª®­¤¥­á æ¨î; ®á ¤¥­¨¥ í஧®«¥© ¨ ª®««®¨¤®¢ ¨ â.¯. ƒ®¬®£¥­­ë¬¨ ¯à¥* ˆ­®£¤ ¬ áᮢãî ¯«®â­®áâì ¢¥é¥á⢠­ §ë¢ îâ ¯ àæ¨ «ì­®© ¯«®â­®áâìî,
¬ áᮢãî ª®­æ¥­âà æ¨î | ¬ áᮢ®© ¤®«¥©. Šà®¬¥ ⮣®, ¢ á¯¥æ¨ «ì­®© 娬¨ç¥áª®© «¨â¥à âãॠ¨á¯®«ì§ãîâ ¬®«ì­ãî ¯«®â­®áâì, ª®â®à ï ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ç¨á«®¬
¬®«¥© à á⢮७­®£® ¢¥é¥á⢠¢ ¥¤¨­¨æ¥ ®¡ê¥¬ à á⢮à , â ª¥ ¥¥ ¡¥§à §¬¥à­ë© ­ «®£ | ¬®«ì­ãî ª®­æ¥­âà æ¨î ¨«¨ ¬®«ì­ãî ¤®«î, ç¨á«¥­­® à ¢­ãî ®â­®è¥­¨î ¬®«ì­®© ¯«®â­®á⨠ª ®¡é¥¬ã ç¨á«ã ¬®«¥© ¢á¥å ¨­£à¥¤¨¥­â®¢ ¢ ¥¤¨­¨æ¥
®¡ê¥¬ .

97

98

Œ áᮯ¥à¥­®á ¢ ¯«¥­ª å ¨¤ª®áâ¨, âàã¡ å ¨ ª ­ « å

¢à 饭¨ï¬¨ ¨«¨ ®¡ê¥¬­ë¬¨ 娬¨ç¥áª¨¬¨ ॠªæ¨ï¬¨ ¡ã¤¥¬ ­ §ë¢ âì
娬¨ç¥áª¨¥ ¯à¥¢à 饭¨ï, ¯à®¨á室ï騥 ¢ ®¡ê¥¬¥ ¨¤ª®á⨠¨«¨ £ § .
3.1. “à ¢­¥­¨ï ¨ £à ­¨ç­ë¥ ãá«®¢¨ï ⥮ਨ
ª®­¢¥ªâ¨¢­®£® ⥯«®- ¨ ¬ áᮯ¥à¥­®á

‘ä®à¬ã«¨à㥬 ®á­®¢­ë¥ ãà ¢­¥­¨ï ¨ £à ­¨ç­ë¥ ãá«®¢¨ï, ª®â®àë¥ ¨á¯®«ì§ãîâáï ¯à¨ ¬ ⥬ â¨ç¥áª®© ¯®áâ ­®¢ª¥ § ¤ ç 䨧¨ª®å¨¬¨ç¥áª®© £¨¤à®¤¨­ ¬¨ª¨. ®«¥¥ ¤¥â «ì­®¥ ¨§«®¥­¨¥ ¢®¯à®á®¢,
á¢ï§ ­­ëå á ¢ë¢®¤®¬ ¨ ãáâ ­®¢«¥­¨¥¬ ®¡« á⨠¯à¨¬¥­¨¬®á⨠íâ¨å
ãà ¢­¥­¨© ¨ £à ­¨ç­ëå ãá«®¢¨©, à §«¨ç­ë¥ 䨧¨ç¥áª¨¥ ¬®¤¥«¨ ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å ¬­®£®ç¨á«¥­­ëå § ¤ ç, ¬¥â®¤ë à¥è¥­¨ï, â ª¥ ¯à¨ª« ¤­ë¥ ᯥªâë ¨á¯®«ì§®¢ ­¨ï १ã«ìâ ⮢ ᮤ¥à âáï, ­ ¯à¨¬¥à,
¢ ¬®­®£à ä¨ïå [8, 15, 28, 44, 60, 70, 83, 93, 100, 117, 175, 181, 229℄.
ã¤¥¬ áç¨â âì, çâ® ¯«®â­®áâì ¨ ¢ï§ª®áâì áà¥¤ë ­¥ § ¢¨áï⠮⠪®­æ¥­âà 樨 ¨ ⥬¯¥à âãàë ¨, á«¥¤®¢ ⥫쭮, à á¯à¥¤¥«¥­¨ï ª®­æ¥­âà 樨 ¨ ⥬¯¥à âãàë ­¥ ®ª §ë¢ îâ ¢«¨ï­¨ï ­ ¯®«¥ â¥ç¥­¨ï. â®
¯à¨¢®¤¨â ª ¢®§¬®­®á⨠­¥§ ¢¨á¨¬®£® ­ «¨§ £¨¤à®¤¨­ ¬¨ç¥áª®©
§ ¤ ç¨ ® ¤¢¨¥­¨¨ ¨¤ª®á⨠¨ ¤¨ää㧨®­­®-⥯«®¢®© § ¤ ç¨ ® ¯®«ïå ª®­æ¥­âà 樨 ¨ ⥬¯¥à âãàë. (®«¥¥ á«®­ë¥ § ¤ ç¨, ¢ ª®â®àëå ¯®«¥ â¥ç¥­¨ï áãé¥á⢥­­ë¬ ®¡à §®¬ § ¢¨á¨â ®â ¤¨ää㧨®­­®â¥¯«®¢ëå ä ªâ®à®¢, ¡ã¤ãâ à áᬮâà¥­ë ¤ «¥¥ ¢ £« ¢¥ 6). ¥®¡å®¤¨¬ ï ¤«ï à¥è¥­¨ï ¤¨ää㧨®­­®-⥯«®¢®© § ¤ ç¨ ¨­ä®à¬ æ¨ï ® ¯®«¥
᪮à®á⥩ ¨¤ª®á⨠¯à¥¤¯®« £ ¥âáï ¨§¢¥áâ­®©. Ǒਬ¥¬, çâ® ª®íää¨æ¨¥­âë ¤¨ää㧨¨ ¨ ⥯«®¯à®¢®¤­®á⨠­¥ § ¢¨áï⠮⠪®­æ¥­âà 樨 ¨
⥬¯¥à âãàë. „«ï ¯à®áâ®âë ®£à ­¨ç¨¬áï á«ãç ¥¬ ¤¢ã媮¬¯®­¥­â­®£® à á⢮à .
‚ ¤¥ª à⮢®© á¨á⥬¥ ª®®à¤¨­ â X, Y, Z ¯¥à¥­®á à á⢮७­®£® ¢
¨¤ª®á⨠¢¥é¥á⢠¯à¨ ®âáãâá⢨¨ £®¬®£¥­­ëå ¯à¥¢à 饭¨© ®¯¨áë¢ ¥âáï ãà ¢­¥­¨¥¬
∂C
∂t

+VX

∂C
∂X

∂C
+VY
∂Y

∂C
+VZ
∂Z

 2
∂ C
=D
∂X 2

+

∂2C
∂Y 2

+

∂2C
∂Z 2



,

(3.1.1)

£¤¥ C | ª®­æ¥­âà æ¨ï; D | ª®íää¨æ¨¥­â ¤¨ää㧨¨; VX , VY , VZ |
ª®¬¯®­¥­âë ¢¥ªâ®à ᪮à®á⨠¨¤ª®áâ¨, ª®â®àë¥ áç¨â îâáï § ¤ ­­ë¬¨.
“à ¢­¥­¨¥ (3.1.1) ®âà  ¥â â®â ä ªâ, çâ® ¯¥à¥­®á ¢¥é¥á⢠¢ ¤¢¨ã饩áï á।¥ ®¡ãá«®¢«¥­ ¤¢ã¬ï à §«¨ç­ë¬¨ 䨧¨ç¥áª¨¬¨ ä ªâ®à ¬¨. ‚®-¯¥à¢ëå, ¯à¨ ­ «¨ç¨¨ à §­®á⨠ª®­æ¥­âà 権 ¢ ¨¤ª®á⨠¨«¨
£ §¥ ¨¤¥â ¯à®æ¥áá ¬®«¥ªã«ïà­®© ¤¨ää㧨¨, ᯮᮡáâ¢ãî騩 ¢ëà ¢­¨¢ ­¨î ª®­æ¥­âà 権; ¢®-¢â®àëå, à á⢮७­®¥ ¢¥é¥á⢮ 㢫¥ª ¥âáï

3.1. “à ¢­¥­¨ï ¨ £à ­¨ç­ë¥ ãá«®¢¨ï ⥮ਨ ⥯«®- ¨ ¬ áᮯ¥à¥­®á

99

¤¢¨ã饩áï á।®© ¨ ¯¥à¥­®á¨âáï ¢¬¥áâ¥ á ­¥©. ‘®¢®ªã¯­®áâì ®¡®¨å
¯à®æ¥áᮢ ®¡ëç­® ­ §ë¢ îâ ª®­¢¥ªâ¨¢­®© ¤¨ää㧨¥© [100, 175℄.
„«ï § ¢¥à襭¨ï ä®à¬ã«¨à®¢ª¨ § ¤ ç¨ ãà ¢­¥­¨¥ (3.1.1) ­¥®¡å®¤¨¬® ¤®¯®«­¨âì ­ ç «ì­ë¬ ¨ £à ­¨ç­ë¬¨ ãá«®¢¨ï¬¨. ‚ ª ç¥á⢥ ­ ç «ì­®£® ãá«®¢¨ï ¢ë¡¨à ¥âáï ¨á室­ë© ¯à®ä¨«ì ª®­æ¥­âà 樨, áãé¥á⢮¢ ¢è¨© ¢ ¯®â®ª¥ ¢ ¬®¬¥­â ¢à¥¬¥­¨ t = 0. ƒà ­¨ç­ë¥ ãá«®¢¨ï, ª ª
¯à ¢¨«®, § ¤ îâáï ­ ­¥ª®â®à®© ¯®¢¥àå­®á⨠¨ ¢¤ «¨ ®â ­¥¥, ¢ ⮫é¥
à á⢮à . Ǒ®á«¥¤­¥¥ ãá«®¢¨¥ ᮮ⢥âáâ¢ã¥â § ¤ ­¨î ­¥¢®§¬ã饭­®£®
§­ 祭¨ï ª®­æ¥­âà 樨 Ci ­ ¡¥áª®­¥ç­®áâ¨:
ξ∗ → ∞,

C → Ci ,

(3.1.2)

= 0,

(3.1.4)

£¤¥ ξ∗ | à ááâ®ï­¨¥, ®âáç¨âë¢ ¥¬®¥ ¯® ­®à¬ «¨ ®â ¯®¢¥àå­®áâ¨.
‚ § ¤ ç å ® à á⢮७¨¨ ⢥à¤ëå ¢¥é¥á⢠¯à¨ ä®à¬ã«¨à®¢ª¥ £à ­¨ç­®£® ãá«®¢¨ï ®¡ëç­® ¯à¥¤¯®« £ ¥âáï, çâ® ª®­æ¥­âà æ¨ï ¢ ¯®â®ª¥
à ¢­ ­ã«î, â.¥. Ci = 0, ª®­æ¥­âà æ¨ï ­ ¯®¢¥àå­®á⨠ªà¨áâ ««
¯®áâ®ï­­ [4℄
ξ∗ = 0,
C = Cs ,
(3.1.3)
£¤¥ §­ 祭¨¥ Cs | § ¤ ­®. ƒà ­¨ç­ë¥ ãá«®¢¨ï (3.1.2) (¯à¨ Ci = 0) ¨
(3.1.3) ¨á¯®«ì§ãîâáï â ª¥ ¢ § ¤ ç å ®¡ ¨á¯ ७¨¨ ª ¯¥«ì ¨¤ª®áâ¨.
ƒà ­¨ç­ë¥ ãá«®¢¨ï ­ ¯®¢¥àå­®á⨠á 娬¨ç¥áª®© ॠªæ¨¥© ¬®£ãâ
¡ëâì à §­ë¬¨ ¢ § ¢¨á¨¬®á⨠®â ª®­ªà¥â­®© 䨧¨ç¥áª®© ¯®áâ ­®¢ª¨
§ ¤ ç¨. ‚ ç áâ­®¬ á«ãç ¥ ý¡¥áª®­¥ç­® ¡ëáâனþ £¥â¥à®£¥­­®© 娬¨ç¥áª®© ॠªæ¨¨ ᮮ⢥âáâ¢ãî饥 £à ­¨ç­®¥ ãá«®¢¨¥ ¨¬¥¥â ¢¨¤
ξ∗

= 0,

C

¨ ®§­ ç ¥â, çâ® ­ ¬¥ä §­®© ¯®¢¥àå­®á⨠¯à®¨á室¨â ¯®«­®¥ ¯à¥¢à 饭¨¥ ॠ£¥­â . ’ ªãî á¨âã æ¨î ç áâ® ­ §ë¢ îâ â ª¥ ¤¨ää㧨®­­ë¬ २¬®¬ ॠªæ¨¨. ”¨§¨ç¥áª¨© á¬ëá« ãà ¢­¥­¨ï (3.1.4) § ª«îç ¥âáï ¢ á«¥¤ãî饬: 娬¨ç¥áª ï ॠªæ¨ï ­ ¯®¢¥àå­®á⨠¯à®â¥ª ¥â
­ á⮫쪮 ¨­â¥­á¨¢­®, çâ® ¢á¥ ¯®¤®è¥¤è¥¥ ª ¯®¢¥àå­®á⨠¢¥é¥á⢮
ãᯥ¢ ¥â ¯à®à¥ £¨à®¢ âì. Žâ¬¥â¨¬, çâ® ãá«®¢¨¥ (3.1.4) ï¥âáï ç áâ­ë¬ á«ãç ¥¬ (3.1.3) ¯à¨ Cs = 0.
“á«®¢¨¥ (3.1.4) ᮮ⢥âáâ¢ã¥â â ª¥ ¤¨ää㧨®­­®¬ã २¬ã ®á ¤¥­¨ï í஧®«ì­ëå ¨ ª®««®¨¤­ëå ç áâ¨æ, ¯à¨ç¥¬ ¯à¨ ãç¥â¥ íä䥪â ý§ 楯«¥­¨ïþ [44, 177℄ ¯®¢¥àå­®áâì ξ∗ = 0 à ᯮ«®¥­ ­ à ááâ®ï­¨¨ ®â ¯®¢¥àå­®á⨠®á ¤¥­¨ï, à ¢­®¬ á।­¥¬ã à ¤¨ãáã ®á ¤ îé¨åáï ç áâ¨æ.
᫨ ­ ¬¥ä §­®© ¯®¢¥àå­®á⨠¯à®â¥ª ¥â £¥â¥à®£¥­­ ï 娬¨ç¥áª ï ॠªæ¨ï, ᪮à®áâì ª®â®à®© ª®­¥ç­ , ¢¬¥áâ® (3.1.4) á«¥¤ã¥â § ¯¨á âì ¡®«¥¥ á«®­®¥ £à ­¨ç­®¥ ãá«®¢¨¥
ξ∗

= 0,

D

∂C
∂ξ∗

= Ks Fs (C ),

(3.1.5)

100

Œ áᮯ¥à¥­®á ¢ ¯«¥­ª å ¨¤ª®áâ¨, âàã¡ å ¨ ª ­ « å

£¤¥ Ks | ª®­áâ ­â ᪮à®á⨠¯®¢¥àå­®áâ­®© ॠªæ¨¨, Ks Fs (C ) |
᪮à®áâì 娬¨ç¥áª®© ॠªæ¨¨.
Š®­ªà¥â­ë© ¢¨¤ § ¢¨á¨¬®á⨠Fs = Fs (C ) ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ª¨­¥â¨ª®©
¯®¢¥àå­®áâ­®© 娬¨ç¥áª®© ॠªæ¨¨. ”ã­ªæ¨ï Fs ¤®«­ 㤮¢«¥â¢®àïâì ãá«®¢¨î Fs (0) = 0, ª®â®à®¥ ¨¬¥¥â ®ç¥¢¨¤­ë© 䨧¨ç¥áª¨© á¬ëá«:
¯à¨ ®âáãâá⢨¨ ॠ£¨àãî饣® ¢¥é¥á⢠ॠªæ¨ï ­¥ ¨¤¥â. „«ï ॠªæ¨¨
¯®à浪 n ¢ (3.1.5) á«¥¤ã¥â ¯®«®¨âì [100℄
Fs

(£¤¥

= Cn

n > 0).

(3.1.6)

‘«¥¤ã¥â ®â¬¥â¨âì: ¢¨¤ ä㭪樨 Fs (C ) ¢ ¡®«ì設á⢥ á«ãç ¥¢ ­¥
®âà  ¥â ॠ«ì­ãî ª¨­¥â¨ªã ª â «¨â¨ç¥áª¨å 娬¨ç¥áª¨å ¯à¥¢à 饭¨©, ®¯à¥¤¥«ï¥â «¨èì íä䥪⨢­ãî ᪮à®áâì 娬¨ç¥áª®© ॠªæ¨¨.
᫨ ¯®¢¥àå­®áâì ξ∗ = 0 ­¥¯à®­¨æ ¥¬ ¤«ï à á⢮७­®£® ¢¥é¥á⢠, â® á¯à ¢¥¤«¨¢® £à ­¨ç­®¥ ãá«®¢¨¥
ξ∗

∂C
∂ξ∗

= 0,

= 0,

ª®â®à®¥ ï¥âáï ç áâ­ë¬ á«ãç ¥¬ (3.1.5) ¯à¨ Ks = 0.
Ǒãáâì ¨áá«¥¤ã¥¬ ï § ¤ ç ¨¬¥¥â å à ªâ¥à­ë© ¬ áèâ ¡ ¤«¨­ë | a
(­ ¯à¨¬¥à, à ¤¨ãá ç áâ¨æë ¨«¨ âàã¡ë) ¨ å à ªâ¥à­ë© ¬ áèâ ¡ ᪮à®á⨠| U (­ ¯à¨¬¥à, ­¥¢®§¬ã饭­ ï ᪮à®áâì ¯®â®ª ¢¤ «¨ ®â ç áâ¨æë ¨«¨ ᪮à®áâì ¨¤ª®á⨠­ ®á¨ âàã¡ë).  áᬮâਬ á­ ç «
£à ­¨ç­ë¥ ãá«®¢¨ï (3.1.2) ¨ (3.1.3). ’®£¤ ãà ¢­¥­¨¥ ª®­¢¥ªâ¨¢­®£®
¬ áᮯ¥à¥­®á (3.1.1) 㤮¡­® ¯à¥¤áâ ¢¨âì ¢ ¡¥§à §¬¥à­®© ä®à¬¥ á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬. ‚¢¥¤¥¬ ¡¥§à §¬¥à­ë¥ ¯¥à¥¬¥­­ë¥ ¯® ä®à¬ã« ¬
Dt
X
, y
, x=
2
a
a
V
V
vx = X , vy = Y ,
U
U

τ

=

=

Y
,
a

vz

z

=

Z
,
a

VZ
,
U

=

c=

ξ∗
,
a
Ci − C
Ci − Cs
ξ

=

(3.1.7)

¨ ¯®¤áâ ¢¨¬ ¨å ¢ ãà ¢­¥­¨¥ (3.1.1). ‚ १ã«ìâ ⥠¯®«ã稬
∂c
∂τ


∂c
+ Pe vx
∂x

∂c
+ vy
∂y

∂c
+ vz
∂z



=

∂2c
∂x2

+

∂2c
∂y 2

+

∂2c
.
∂z 2

(3.1.8)

‡¤¥áì ç¨á«® Ǒ¥ª«¥ Pe = aU/D ï¥âáï ¡¥§à §¬¥à­ë¬ ¯ à ¬¥â஬,
ª®â®àë© å à ªâ¥à¨§ã¥â ¬¥à㠮⭮襭¨ï ª®­¢¥ªâ¨¢­®£® ¯¥à¥­®á à á⢮७­®£® ¢ ¨¤ª®á⨠¢¥é¥á⢠ª ¤¨ää㧨®­­®¬ã ¯¥à¥­®áã.
‚ ­®¢ëå ¯¥à¥¬¥­­ëå (3.1.7) £à ­¨ç­®¥ ãá«®¢¨¥ ¢¤ «¨ ®â ¯®¢¥àå­®á⨠(3.1.2) ¯à¨­¨¬ ¥â ¢¨¤
ξ → ∞,

c → 0.

(3.1.9)

3.1. “à ¢­¥­¨ï ¨ £à ­¨ç­ë¥ ãá«®¢¨ï ⥮ਨ ⥯«®- ¨ ¬ áᮯ¥à¥­®á

101

€­ «®£¨ç­ë¬ ®¡à §®¬ ­ ¯®¢¥àå­®á⨠á ãç¥â®¬ (3.1.3), (3.1.7)
¨¬¥¥¬ £à ­¨ç­®¥ ãá«®¢¨¥
ξ

= 0,

c = 1.

(3.1.10)

‚ á«ãç ¥ ª®­¥ç­®© ᪮à®á⨠£¥â¥à®£¥­­®© 娬¨ç¥áª®© ॠªæ¨¨ ¢
(3.1.5) 㤮¡­® ¯¥à¥©â¨ ª ­®¢ë¬ ¯¥à¥¬¥­­ë¬ (3.1.7), ¯®«®¨¢ Cs = 0.
‚ १ã«ìâ ⥠ãà ¢­¥­¨¥ (3.1.1) ¨ £à ­¨ç­®¥ ãá«®¢¨¥ ­ ¡¥áª®­¥ç­®áâ¨
(3.1.2) ¯¥à¥å®¤ïâ ¢ (3.1.8) ¨ (3.1.9), £à ­¨ç­®¥ ãá«®¢¨¥ ­ ॠ£¨àãî饩 ¯®¢¥àå­®á⨠(3.1.5) ¯à¥®¡à §ã¥âáï ª ¢¨¤ã
ξ

= 0,

−

∂c
∂ξ

= ks fs (c).

(3.1.11)

Ǒਠ§ ¯¨á¨ ãá«®¢¨ï (3.1.11) ¡ë«¨ ¨á¯®«ì§®¢ ­ë ®¡®§­ 祭¨ï
ks

=

aKs
F (C ),
DCi s i

fs (c) =

Fs (C )
,
Fs (Ci )

c=

Ci − C
.
Ci

(3.1.12)

‚ ç áâ­®¬ á«ãç ¥ ¯®¢¥àå­®áâ­®© 娬¨ç¥áª®© ॠªæ¨¨ ¯®à浪 n
(3.1.6) á ãç¥â®¬ ¢ëà ¥­¨© (3.1.12) ¡¥§à §¬¥à­®¥ £à ­¨ç­®¥ ãá«®¢¨¥
­ ¯®¢¥àå­®á⨠(3.1.11) ä®à¬ã«¨àã¥âáï â ª:
ξ

= 0,

−

∂c
∂ξ

= ks (1 − c)n ,

(3.1.13)

£¤¥ ks = aKs Ci n−1/D | ¡¥§à §¬¥à­ ï ª®­áâ ­â ᪮à®á⨠¯®¢¥àå­®áâ­®© ॠªæ¨¨.
Ǒ®¤¥«¨¬ ®¡¥ ç á⨠(3.1.13) ­ ks ¨ ãáâ६¨¬ ¯ à ¬¥âà ks ª ¡¥áª®­¥ç­®áâ¨. ‚ १ã«ìâ ⥠¯à¨å®¤¨¬ ª ¯à¥¤¥«ì­®¬ã £à ­¨ç­®¬ã ãá«®¢¨î
(3.1.10), ᮮ⢥âáâ¢ãî饬㠤¨ää㧨®­­®¬ã २¬ã ॠªæ¨¨. “ª § ­­ë© ¯à¥¤¥«ì­ë© ¯¥à¥å®¤ å®à®è® ¨««îáâà¨àã¥â á¬ëá« â¥à¬¨­
ý¡¥áª®­¥ç­® ¡ëáâà ï ॠªæ¨ïþ, ª®â®àë© ¨á¯®«ì§®¢ «áï à ­¥¥.
„«ï ª®¬¯ ªâ­®á⨠ãà ¢­¥­¨¥ ª®­¢¥ªâ¨¢­®© ¤¨ää㧨¨ (3.1.8), ª ª
íâ® ç áâ® ¯à¨­ïâ®, ¡ã¤¥¬ ®¡®§­ ç âì á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬:
∂c
∂τ

+ Pe (~v · ∇) c =
c,

(3.1.14)

£¤¥ ∇ | ®¯¥à â®à ƒ ¬¨«ìâ®­ ,
| ®¯¥à â®à ‹ ¯« á , ï¢­ë© ¢¨¤
ª®â®àëå ¢ ¤¥ª à⮢®© á¨á⥬¥ ª®®à¤¨­ â x, y , z ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¯ã⥬
ᮯ®áâ ¢«¥­¨ï (3.1.8) ¨ (3.1.14).
„«ï à¥è¥­¨ï ¬­®£¨å ª®­ªà¥â­ëå § ¤ ç ¢¬¥áâ® ¤¥ª à⮢ëå ª®®à¤¨­ â x, y , z ç á⮠㤮¡­¥¥ ¨á¯®«ì§®¢ âì áä¥à¨ç¥áª¨¥ r, ϕ, θ ¨«¨
樫¨­¤à¨ç¥áª¨¥ ̺, ϕ, z ª®®à¤¨­ âë. „¨ää¥à¥­æ¨ «ì­ë¥ ®¯¥à â®àë,
¢å®¤ï騥 ¢ ãà ¢­¥­¨¥ (3.1.14), ¢ íâ¨å á¨á⥬ å ª®®à¤¨­ â ¨¬¥îâ ¢¨¤:

102

Œ áᮯ¥à¥­®á ¢ ¯«¥­ª å ¨¤ª®áâ¨, âàã¡ å ¨ ª ­ « å

¢ 樫¨­¤à¨ç¥áª®© á¨á⥬¥ ª®®à¤¨­ â:

v ∂c
∂c
∂c
,
+ vz
+ ϕ
∂̺
∂z
̺ ∂ϕ


∂c
1 ∂2c
∂2c
1 ∂
̺

c =
+ 2 + 2
,
̺ ∂̺
∂̺
∂z
̺ ∂ϕ2
p
̺ = x2 + y 2 ,

(~v · ∇) c = v̺

(3.1.15)

¢ áä¥à¨ç¥áª®© á¨á⥬¥ ª®®à¤¨­ â:

v
∂c
v ∂c
∂c
,
+ θ
+ ϕ
∂r
r ∂θ
r sin θ ∂ϕ




∂
∂c
1 ∂
1
∂c
1
∂2c
2
r

c = 2
+ 2
sin θ
+ 2 2
,
r ∂r
∂r
r sin θ ∂θ
∂θ
r sin θ ∂ϕ2
p
r = x2 + y 2 + z 2 .
(3.1.16)

(~v · ∇) c = vr

Œ áᮯ¥à¥­®á, ®á«®­¥­­ë© ®¡ê¥¬­®© 娬¨ç¥áª®© ॠªæ¨¥©. Ǒਠ¯à®â¥ª ­¨¨ ¢ ®¡ê¥¬¥ ¤¢¨ã饩áï áà¥¤ë £®¬®£¥­­®© å¨-

¬¨ç¥áª®© ॠªæ¨¨ ãà ¢­¥­¨¥ ª®­¢¥ªâ¨¢­®© ¤¨ää㧨¨ ¬®¥â ¡ëâì § ¯¨á ­® ¢ ä®à¬¥
∂C
∂t

+VX

∂C
∂X

+VY

∂C
∂Y

+VZ

∂C
∂Z

=D

 2
∂ C
∂X 2

+

£¤¥

∂2C
∂Y 2

+


∂2C
−Kv Fv (C ),
∂Z 2
(3.1.17)

Kv | ª®­áâ ­â ᪮à®á⨠®¡ê¥¬­®© 娬¨ç¥áª®© ॠªæ¨¨,
Kv Fv (C ) | ᪮à®áâì 娬¨ç¥áª®© ॠªæ¨¨.
‚¨¤ ä㭪樨 Fv = Fv (C ) § ¢¨á¨â ®â ª¨­¥â¨ª¨ ॠªæ¨¨, ¯à¨ í⮬
Fv (0) = 0. ‚ ­ ãç­®© «¨â¥à âãॠ­ ¨¡®«¥¥ ç áâ® ¢áâà¥ç ¥âáï ॠªæ¨ï
n-£® ¯®à浪 , ª®â®à ï ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¢ëà ¥­¨¥¬ [8, 70℄
Fv

= Cn.

(3.1.18)

„«ï ãà ¢­¥­¨ï (3.1.17) ¢ëáâ ¢«ï¥âáï á«¥¤ãî饥 £à ­¨ç­®¥ ãá«®¢¨¥ ¢ ­ ¡¥£ î饬 ¯®â®ª¥:
ξ∗ → ∞,

C → 0.

(3.1.19)

”¨§¨ç¥áª¨© á¬ëá« í⮣® ãá«®¢¨ï ¢ ⮬, çâ® ¤¨ääã­¤¨àãî饥 ®â
¯®¢¥àå­®á⨠¢¥é¥á⢮ ¤®«­® ¯®«­®áâìî ¯à®à¥ £¨à®¢ âì ¯® ¬¥à¥ ¥£®
㤠«¥­¨ï ¢ ⮫éã 娬¨ç¥áª¨ ªâ¨¢­®© á।ë.
‚® ¬­®£¨å ¯à ªâ¨ç¥áª¨ ¢ ­ëå á«ãç ïå ­ § ¤ ­­®© ¯®¢¥àå­®áâ¨
¢ëáâ ¢«ï¥âáï ãá«®¢¨¥ ¯®áâ®ï­á⢠ª®­æ¥­âà 樨 (3.1.3).

3.1. “à ¢­¥­¨ï ¨ £à ­¨ç­ë¥ ãá«®¢¨ï ⥮ਨ ⥯«®- ¨ ¬ áᮯ¥à¥­®á

103

Š ª ¨ à ­¥¥, 楫¥á®®¡à §­® § ¯¨á âì ãà ¢­¥­¨¥ (3.1.17) ¨ £à ­¨ç­ë¥ ãá«®¢¨ï (3.1.3), (3.1.19) ¢ ¡¥§à §¬¥à­®¬ ¢¨¤¥. „«ï í⮣® ¢¢¥¤¥¬
­®¢ë¥ ¯¥à¥¬¥­­ë¥ ¯® ä®à¬ã« ¬
τ

Dt
X
Y
Z
ξ
, y=
, z=
, ξ= ∗,
, x=
2
a
a
a
a
a
VX
VY
VZ
C
vx =
,
, vy =
, vz =
, c=
U
U
U
Cs

=

(3.1.20)

ª®â®àë¥ ®â«¨ç îâáï ®â (3.1.7) «¨èì ᯮᮡ®¬ ®¯à¥¤¥«¥­¨ï ¡¥§à §¬¥à­®© ª®­æ¥­âà 樨.
Ǒ®¤áâ ¢«ïï (3.1.20) ¢ (3.1.17), ¯à¨å®¤¨¬ ª á«¥¤ãî饬ã ãà ¢­¥­¨î:
∂c
+ Pe (~v · ∇) c =
c − kv fv (c),
(3.1.21)
∂τ

¯à¨ § ¯¨á¨ ª®â®à®£® ¨á¯®«ì§®¢ ­ë ⥠¥ á ¬ë¥ ®¡®§­ 祭¨ï, çâ® ¨
¢ (3.1.14). ‚¥«¨ç¨­ë, áâ®ï騥 ¢ ¯à ¢ëå ç áâïå à §¬¥à­®£® (3.1.17) ¨
¡¥§à §¬¥à­®£® (3.1.21) ãà ¢­¥­¨©, á¢ï§ ­ë â ª:
kv

=

a2 Kv Fv (Cs )
,
DCs

fv (c) =

Fv (C )
.
Fv (Cs )

‚ ç áâ­®¬ á«ãç ¥ ®¡ê¥¬­®© 娬¨ç¥áª®© ॠªæ¨¨ ¯®à浪
¢ (3.1.21) á«¥¤ã¥â ¯®«®¨âì
kv

= a2 Kv Csn−1/D,

fv

= cn .

(3.1.22)
n (3.1.18)

(3.1.23)

ƒà ­¨ç­ë¥ ãá«®¢¨ï (3.1.3) ¨ (3.1.19) ¢ ¡¥§à §¬¥à­ëå ¯¥à¥¬¥­­ëå
(3.1.20) ¯à¨­¨¬ îâ ¢¨¤:
ξ

= 0,

c = 1;

ξ → ∞,

c → 0,

(3.1.24)

£¤¥ ξ = ξ∗ /a | ¡¥§à §¬¥à­®¥ à ááâ®ï­¨¥ ®â (¬¥ä §­®©) ¯®¢¥àå­®áâ¨.
„«ï 㤮¡á⢠¢ â ¡«. 3.1 㪠§ ­ë à §«¨ç­ë¥ á¯®á®¡ë ¢¢¥¤¥­¨ï
¡¥§à §¬¥à­®© ª®­æ¥­âà 樨, ª®â®àë¥ ¨á¯®«ì§ãîâáï ¢ í⮩ ª­¨£¥
¤«ï ¬ ⥬ â¨ç¥áª®© ä®à¬ã«¨à®¢ª¨ à §«¨ç­ëå § ¤ ç ª®­¢¥ªâ¨¢­®£®
¬ áᮯ¥à¥­®á .
‚ ­® ¯®¤ç¥àª­ãâì, çâ® ¤«ï ¡¥§à §¬¥à­®© ª®­æ¥­âà 樨 §¤¥áì
¯à¨­ïâ® ¥¤¨­®¥ ®¡®§­ 祭¨¥ c. â® á¢ï§ ­® á ⥬, çâ® ¢á¥ ¡¥§à §¬¥à­ë¥ ª®­æ¥­âà 樨, ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 ­®¬¥à ¬ 1, 2, 4, 6 ¢ â ¡«. 3.1, ïîâáï ç áâ­ë¬¨ á«ãç ﬨ ®¤­®© ¨ ⮩ ¥ ä®à¬ã«ë ¯®¤ ­®¬¥à®¬ 3 ¨
¯®«ãç îâáï ¨§ ­¥¥ ¯ã⥬ ¯®¤áâ ­®¢ª¨ ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å §­ 祭¨© Ci
¨ Cs . Žá⠢襥áï ¢ëà ¥­¨¥ ¤«ï c ¯®¤ ­®¬¥à®¬ 5 â ª¥ ¬®­® ¯®«ãç¨âì ¨§ ä®à¬ã«ë ¯®¤ ­®¬¥à®¬ 3, ä®à¬ «ì­® ¯®« £ ï ¢ ­¥© Cs = 0 (¯à¨

104

Œ áᮯ¥à¥­®á ¢ ¯«¥­ª å ¨¤ª®áâ¨, âàã¡ å ¨ ª ­ « å

’€‹ˆ–€ 3.1
‘¯®á®¡ë ¢¢¥¤¥­¨ï ¡¥§à §¬¥à­®© ª®­æ¥­âà 樨
¢ § ¤ ç å ª®­¢¥ªâ¨¢­®£® ¬ áᮯ¥à¥­®á
N ”¨§¨ª®-娬¨ç¥áª¨©
¯à®æ¥áá

c

Š®­æ¥­âà æ¨ï ¥¢®§¬ã饭­ ï
§¬¥à­ ï
­ ¯®¢¥àå­®á⨠ª®­æ¥­âà æ¨ï ¢ ¥§à
ª®­æ¥­âà
(£¤¥ ¯à®¨á室¨â ­ ¡¥£ î饬 ¯®â®ª¥ ¢ ¨¤ª®©æ¨ï
£¥â¥à®£¥­­®¥ (­ ¢å®¤¥ ¢ âàã¡ã
ä §¥, c
¯à¥¢à 饭¨¥)
¨«¨ ¯«¥­ªã)

 á⢮७¨¥ ⢥à¤ëå
1 ¢¥é¥á⢠¢ ç¨á⮩
¨¤ª®áâ¨
€¡á®à¡æ¨ï
¡®à á⢮ਬëå
2 á«
£ §®¢ ­ ᢮¡®¤­®©
¯®¢¥àå­®á⨠¨¤ª®áâ¨

Cs

0

C
Cs

Cs

0

C
Cs

„¨ääã§¨ï ¯à¨ ­ «¨ç¨¨
3 ¯à¨¬¥á¨
¢ ¨¤ª®© ä §¥

Cs

Ci

२¬
4 „¨ää㧨®­­ë©
¯®¢¥àå­®áâ­®© ॠªæ¨¨

Ci − C
Ci − Cs

0

Ci

Ci − C
Ci

Ž¯à¥¤¥«ï¥âáï
¨§ à¥è¥­¨ï
§ ¤ ç¨

Ci

Ci − C
Ci

Cs

0

C
Cs

Š®­¥ç­ ï ᪮à®áâì
5 ¯®¢¥àå­®áâ­®©
娬¨ç¥áª®© ॠªæ¨¨
ï 娬¨ç¥áª ï
6 Ž¡ê¥¬­
ॠªæ¨ï

Ǒਬ¥ç ­¨¥.  ¬¥ä §­ëå £à ­¨æ å, £¤¥ ­¥â £¥â¥à®£¥­­ëå ¯à¥¢à 饭¨©,
¯à®¨§¢®¤­ ï ¯® ­®à¬ «¨ ®â ª®­æ¥­âà 樨 à ¢­ ­ã«î.

í⮬, ®¤­ ª®, á«¥¤ã¥â ¯®¬­¨âì, çâ® ¢ ¤ ­­®¬ á«ãç ¥ ª®­æ¥­âà æ¨ï ­
¯®¢¥àå­®á⨠Cs § à ­¥¥ ­¥¨§¢¥áâ­ ).
„¨ää㧨®­­ë¥ ¯®â®ª¨ ¨ ç¨á«® ˜¥à¢ã¤ . ‹®ª «ì­ë© ¨«¨
(¤¨ää¥à¥­æ¨ «ì­ë©) ¤¨ää㧨®­­ë© ¯®â®ª à á⢮७­®£® ¢ ¨¤ª®á⨠¢¥é¥á⢠­ à áᬠâਢ ¥¬ãî ¯®¢¥àå­®áâì ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¯®
ä®à¬ã«¥


∂C
j∗ = Dρ
.
(3.1.25)
∂ξ∗

ξ∗ =0

â ¢¥«¨ç¨­ , ¢®®¡é¥ £®¢®àï, ¡ã¤¥â à §«¨ç­®© ¢ à §­ëå â®çª å
¯®¢¥àå­®áâ¨.
Ǒ®«­ë© (¨«¨ ¨­â¥£à «ì­ë©) ¤¨ää㧨®­­ë© ¯®â®ª ¢ëç¨á«ï¥âáï
¯ã⥬ ¨­â¥£à¨à®¢ ­¨ï ¢ëà ¥­¨ï (3.1.25) ¯® ¢á¥© ¯®¢¥àå­®á⨠S :
I∗

=

ZZ
S

j∗ ds.

(3.1.26)

3.1. “à ¢­¥­¨ï ¨ £à ­¨ç­ë¥ ãá«®¢¨ï ⥮ਨ ⥯«®- ¨ ¬ áᮯ¥à¥­®á

105

‚¥«¨ç¨­ I∗ ï¥âáï ¬¥à®© á㬬 à­®£® ª®«¨ç¥á⢠¢¥é¥á⢠,
ॠ£¨àãî饣® ¢ ¥¤¨­¨æ㠢६¥­¨ ­ ¢á¥© ¯®¢¥àå­®áâ¨.
‚ § ¤ ç å ¬ áᮯ¥à¥­®á á £à ­¨ç­ë¬¨ ãá«®¢¨ï¬¨ (3.1.2), (3.1.3)
¢¬¥áâ® (3.1.25), (3.1.26) ç áâ® ¨á¯®«ì§ãîâáï ¡¥§à §¬¥à­ë¥ ¤¨ää㧨®­­ë¥ ¯®â®ª¨, ª®â®àë¥ ®¯à¥¤¥«ïîâáï ª ª
j

=

aj∗
,
Dρ (Ci − Cs )

I

=

I∗
.
aDρ (Ci − Cs )

(3.1.27)

„«ï ¤¨ää㧨®­­®£® २¬ ॠªæ¨¨, ç⮠ᮮ⢥âáâ¢ã¥â £à ­¨ç­ë¬
ãá«®¢¨ï¬ (3.1.2), (3.1.4), â ª¥ ¤«ï ª®­¥ç­®© ᪮à®á⨠¯®¢¥àå­®áâ­®© 娬¨ç¥áª®© ॠªæ¨¨ ¢ á«ãç ¥ £à ­¨ç­ëå ãá«®¢¨© (3.1.2), (3.1.5),
¢ ᮮ⭮襭¨ïå (3.1.27) á«¥¤ã¥â ¯®«®¨âì Cs = 0.
Žá­®¢­ ï ¢¥«¨ç¨­ , ¯à¥¤áâ ¢«ïîé ï ¯à ªâ¨ç¥áª¨© ¨­â¥à¥á, |
á।­¥¥ ç¨á«® ˜¥à¢ã¤ | ¢ëç¨á«ï¥âáï ¯® ä®à¬ã«¥
Sh =

I
,
S

(3.1.28)

£¤¥ S = S∗/a2 | ¡¥§à §¬¥à­ ï ¯«®é ¤ì à áᬠâਢ ¥¬®© ¯®¢¥àå­®áâ¨,
S∗ | ᮮ⢥âáâ¢ãîé ï à §¬¥à­ ï ¯«®é ¤ì ¯®¢¥àå­®áâ¨.
 áç¥â ¤¨ää㧨®­­ëå ¯®â®ª®¢ ¨ á।­¥£® ç¨á« ˜¥à¢ã¤ ¯à®¢®¤¨âáï ¢ âਠíâ ¯ : á­ ç « à¥è ¥âáï § ¤ ç ª®­¢¥ªâ¨¢­®£® ¬ áᮯ¥à¥­®á ¨ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¯®«¥ ª®­æ¥­âà 権, § ⥬ ¢ëç¨á«ï¥âáï ¯à®¨§¢®¤­ ï ¯® ­®à¬ «¨ ª ¯®¢¥àå­®á⨠(∂C/∂ξ∗)ξ =0 , ­ ¯®á«¥¤­¥¬ íâ ¯¥
¨á¯®«ì§ãîâáï ä®à¬ã«ë (3.1.25) | (3.1.28).
„ «¥¥ ¯® ¢á¥© ª­¨£¥, £¤¥ íâ® ­¥ ¯à¨¢®¤¨â ª ¯ãâ ­¨æ¥, ¡¥§à §¬¥à­ãî ª®­æ¥­âà æ¨î ¨ ¡¥§à §¬¥à­ë© ¤¨ää㧨®­­ë© ¯®â®ª ç áâ® ¡ã¤¥¬
­ §ë¢ âì ¯à®áâ® ª®­æ¥­âà 樥© ¨ ¤¨ää㧨®­­ë¬ ¯®â®ª®¬, ®¯ã᪠ï
¤«ï ªà ⪮á⨠᫮¢® ¡¥§à §¬¥à­ë©.
∗

“à ¢­¥­¨¥ ¨ £à ­¨ç­ë¥ ãá«®¢¨ï ⥮ਨ ⥯«®¯¥à¥­®á .

“à ¢­¥­¨¥ ¯¥à¥­®á ⥯« ¢ ¤¢¨ã饩áï á।¥, ­ «®£¨ç­®¥ ãà ¢­¥­¨î ª®­¢¥ªâ¨¢­®© ¤¨ää㧨¨ (3.1.1), ¨¬¥¥â ¢¨¤
∂T∗
∂t

+ VX

∂T∗
∂X

∂T
+ VY ∗
∂Y

∂T
+ VZ ∗
∂Z

 2
∂ T∗
=χ
∂X 2

+

∂ 2 T∗
∂Y 2

+


∂ 2 T∗
,
∂Z 2
(3.1.29)

£¤¥ T∗ | ⥬¯¥à âãà , χ | ª®íää¨æ¨¥­â ⥬¯¥à âãய஢®¤­®áâ¨.
Ǒਠà¥è¥­¨¨ ­¥áâ 樮­ à­ëå § ¤ ç ¤®«­® ¡ëâì § ¤ ­® à á¯à¥¤¥«¥­¨¥ ⥬¯¥à âãàë ¢ ¯®â®ª¥ ¢ ­ ç «ì­ë© ¬®¬¥­â ¢à¥¬¥­¨.
‚¤ «¨ ®â à áᬠâਢ ¥¬®© ¯®¢¥àå­®á⨠®¡ëç­® ¢ëáâ ¢«ï¥âáï
ãá«®¢¨¥ ¯®áâ®ï­á⢠⥬¯¥à âãàë ¢ ®¡ê¥¬¥ ¤¢¨ã饩áï á।ë:
ξ∗ → ∞,

T∗ → Ti .

(3.1.30)

106

Œ áᮯ¥à¥­®á ¢ ¯«¥­ª å ¨¤ª®áâ¨, âàã¡ å ¨ ª ­ « å

Ǒਠ­ «¨§¥ ¯à®æ¥áᮢ ⥯«®®¡¬¥­ ⥫ á® á।®©, ª®£¤ ⥬¯¥à âãà ¯®¢¥àå­®á⨠⥫ ¯®¤¤¥à¨¢ ¥âáï ¯®áâ®ï­­®©, ¢â®à®¥ £à ­¨ç­®¥
ãá«®¢¨¥ § ¯¨áë¢ ¥âáï á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬:
ξ∗

= 0,

T∗

= Ts .

(3.1.31)

ˆá¯®«ì§®¢ ­¨¥ ­®¢ëå ¡¥§à §¬¥à­ëå ¢¥«¨ç¨­
χt
X
Y
Z
, y=
, z=
,
, x=
a2
a
a
a
V
V
V
vx = X , vy = Y , vz = Z , T
U
U
U

τ =

aU
,
χ
Ti − T∗
Ti − Ts

PeT =
=

(3.1.32)

¯®§¢®«ï¥â ¯à¥¤áâ ¢¨âì ãà ¢­¥­¨¥ (3.1.29) ¨ £à ­¨ç­ë¥ ãá«®¢¨ï
(3.1.30), (3.1.31) ¢ ¢¨¤¥
∂T
+ PeT (~v · ∇) T =
T ;
∂ τ
ξ → ∞, T → 0;
ξ = 0, T

= 1.

(3.1.33)
(3.1.34)

‚¨¤­®, çâ® § ¤ ç ® ⥯«®®¡¬¥­¥ ⥫ á® á।®© (3.1.33), (3.1.34) á
¬ ⥬ â¨ç¥áª®© â®çª¨ §à¥­¨ï ¯®«­®áâìî ­ «®£¨ç­ § ¤ ç¥ ® ¬ áá®®¡¬¥­¥ ç áâ¨æë á ¯®â®ª®¬ ¢ á«ãç ¥ ¤¨ää㧨®­­®£® २¬ ॠªæ¨¨
­ ¥¥ ¯®¢¥àå­®á⨠(3.1.8) | (3.1.10).
Žá­®¢­ë¥ ¡¥§à §¬¥à­ë¥ ¯ à ¬¥âàë. „¨ää㧨®­­®¥ ¨ ⥯«®¢®¥ ç¨á« Ǒ¥ª«¥, 䨣ãà¨àãî騥 ¢ ãà ¢­¥­¨ïå ª®­¢¥ªâ¨¢­®£® ¬ áᮨ ⥯«®¯¥à¥­®á (3.1.8) ¨ (3.1.33), á¢ï§ ­ë á ç¨á«®¬ ¥©­®«ì¤á
Re = aU/ν (ν | ª¨­¥¬ â¨ç¥áª ï ¢ï§ª®áâì ¨¤ª®áâ¨), áâ®ï騬 ¢ ¯à ¢®© ç á⨠ãà ¢­¥­¨©  ¢ì¥ | ‘⮪á (1.1.4), á«¥¤ãî騬¨ ᮮ⭮襭¨ï¬¨:
PeT = Re Pr .
(3.1.35)
Pe = Re S ,
‡¤¥áì S = ν/D | ç¨á«® ˜¬¨¤â , Pr = ν/χ | ç¨á«® Ǒà ­¤â«ï | ¡¥§à §¬¥à­ë¥ ¢¥«¨ç¨­ë, ª®â®àë¥ § ¢¨áïâ ⮫쪮 ®â 䨧¨ç¥áª¨å ᢮©áâ¢
à áᬠâਢ ¥¬®© ᯫ®è­®© á।ë.
„«ï ®¡ëç­ëå £ §®¢ ª®íää¨æ¨¥­âë ¤¨ää㧨¨ ¨ ª¨­¥¬ â¨ç¥áª®©
¢ï§ª®á⨠¨¬¥îâ ®¤¨­ ª®¢ë© ¯®à冷ª ¢¥«¨ç¨­ë, ç⮠ᮮ⢥âáâ¢ã¥â
§­ 祭¨ï¬ ç¨á¥« ˜¬¨¤â ¯®à浪 ¥¤¨­¨æë (S ∼ 1).
‚ ®¡ëç­ëå ¨¤ª®áâïå ⨯ ¢®¤ë ª®íää¨æ¨¥­â ª¨­¥¬ â¨ç¥áª®©
¢ï§ª®á⨠­ ­¥áª®«ìª® ¯®à浪®¢ ¢¥«¨ç¨­ë ¯à¥¢ëè ¥â ª®íää¨æ¨¥­â
¤¨ää㧨¨ (S ∼ 103). ‚ ®ç¥­ì ¢ï§ª¨å ¨¤ª®áâïå ⨯ £«¨æ¥à¨­ ç¨á«®
˜¬¨¤â ¤®á⨣ ¥â §­ 祭¨© ¯®à浪 106.
—¨á«® Ǒà ­¤â«ï ¨§¬¥­ï¥âáï ¢ ¡®«¥¥ 㧪¨å ¯à¥¤¥« å, 祬 ç¨á«®
˜¬¨¤â . ‚ £ § å ⨯ ¢®§¤ãå Pr ∼ 1, ¢ ¨¤ª®áâïå ⨯ ¢®¤ë |
Pr ∼ 10. ‚ ®ç¥­ì ¢ï§ª¨å ¨¤ª®áâïå ⨯ £«¨æ¥à¨­ ç¨á«® Ǒà ­¤â«ï

3.1. “à ¢­¥­¨ï ¨ £à ­¨ç­ë¥ ãá«®¢¨ï ⥮ਨ ⥯«®- ¨ ¬ áᮯ¥à¥­®á

107

¨¬¥¥â ¯®à冷ª 103. †¨¤ª¨¥ ¬¥â ««ë (­ â਩, «¨â¨©, àâãâì ¨ ¤à.)
å à ªâ¥à¨§ãîâáï ¬ «ë¬¨ ç¨á« ¬¨ Ǒà ­¤â«ï: 5 · 10−3 6 Pr 6 5 · 10−2 .
—¨á«® ¥©­®«ì¤á Re = aU/ν ­¥ ï¥âáï 䨧¨ç¥áª®© ¯®áâ®ï­­®©
áà¥¤ë ¨ § ¢¨á¨â ®â £¥®¬¥âà¨ç¥áª¨å ¨ ª¨­¥â¨ç¥áª¨å ä ªâ®à®¢. Ǒ®í⮬㠤¨ ¯ §®­ ¥£® ¨§¬¥­¥­¨ï ¬®¥â ¡ëâì «î¡ë¬.
ˆ§ à áᬮâ७­ëå ¯à¨¬¥à®¢ á ãç¥â®¬ ᮮ⭮襭¨© (3.1.35) á«¥¤ã¥â, çâ® ¢ § ¤ ç å 䨧¨ª®-娬¨ç¥áª®© £¨¤à®¤¨­ ¬¨ª¨ ç¨á« Ǒ¥ª«¥,
¢®®¡é¥ £®¢®àï, ¬®£ã⠯ਭ¨¬ âì á ¬ë¥ à §«¨ç­ë¥ §­ 祭¨ï.
“ç¨âë¢ ï, çâ® ¤¨ää㧨®­­ë¥ ¯à®æ¥ááë ¢ ¨¤ª®áâïå å à ªâ¥à¨§ãîâáï ®ç¥­ì ¡®«ì訬¨ §­ 祭¨ï¬¨ ç¨á¥« ˜¬¨¤â , ®á®¡® á«¥¤ã¥â
¯®¤ç¥àª­ãâì, çâ® ¢ § ¤ ç å ª®­¢¥ªâ¨¢­®£® ¬ áᮯ¥à¥­®á ¢ ¨¤ª¨å
á। å ç¨á«® Ǒ¥ª«¥ â ª¥ ¢¥«¨ª®, ­ 稭 ï ã¥ á ¬ «ëå ç¨á¥« ¥©­®«ì¤á , ¯à¨ ª®â®àëå ॠ«¨§ã¥âáï á⮪ᮢ § ª®­ â¥ç¥­¨ï (ý¯®«§ã饥þ
â¥ç¥­¨¥).

Œ¥â®¤ë à¥è¥­¨ï § ¤ ç 䨧¨ª®-娬¨ç¥áª®© £¨¤à®¤¨­ ¬¨ª¨. “à ¢­¥­¨¥ ª®­¢¥ªâ¨¢­®© ¤¨ää㧨¨ (3.1.1) ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®©

«¨­¥©­®¥ ãà ¢­¥­¨¥ ¢ ç áâ­ëå ¯à®¨§¢®¤­ëå ¢â®à®£® ¯®à浪 á ¯¥à¥¬¥­­ë¬¨ ª®íää¨æ¨¥­â ¬¨ (¢ ®¡é¥¬ á«ãç ¥ ª®¬¯®­¥­âë ᪮à®áâ¨
¨¤ª®á⨠§ ¢¨áï⠮⠪®®à¤¨­ â ¨ ¢à¥¬¥­¨). ’®ç­ë¥ ­ «¨â¨ç¥áª¨¥ à¥è¥­¨ï ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å § ¤ ç 㤠¥âáï ­ ©â¨ «¨èì ¢ ¨áª«îç¨â¥«ì­ëå
á«ãç ïå á ¯à®á⮩ £¥®¬¥âਥ©. ‘ª § ­­®¥ ¥é¥ ¢ ¡®«ì襩 á⥯¥­¨ ®â­®á¨âáï ¨ ª ­¥«¨­¥©­®¬ã ãà ¢­¥­¨î (3.1.17). ’®ç­ë¥ à¥è¥­¨ï ¨£à îâ
¡®«ìèãî à®«ì ¤«ï ä®à¬¨à®¢ ­¨ï ¯à ¢¨«ì­ëå ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨© ® 䨧¨ç¥áª®© áãé­®áâ¨ à §«¨ç­ëå ¥­¨© ¨ ¯à®æ¥áᮢ. Ž­¨ ¬®£ã⠨ᯮ«ì§®¢ âìáï ¢ ª ç¥á⢥ ýâ¥á⮢ëå à¥è¥­¨©þ ¤«ï ¯à®¢¥àª¨ ª®à४⭮áâ¨
¨ ®æ¥­ª¨ â®ç­®á⨠ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å ç¨á«¥­­ëå, ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨å ¨
¯à¨¡«¨¥­­ëå ¬¥â®¤®¢.
„«ï ¯®«ã祭¨ï ­¥®¡å®¤¨¬®© ¨­ä®à¬ 樨 ®¡ ¨áá«¥¤ã¥¬®¬ ¥­¨¨
¨«¨ ¯à®æ¥áᥠ®¡ëç­® ¯à¨å®¤¨âáï ¯à¨¡¥£ âì ª à §­®£® த ã¯à®é¥­¨ï¬ ¢ ¬ ⥬ â¨ç¥áª®© ä®à¬ã«¨à®¢ª¥ à áᬠâਢ ¥¬®© § ¤ ç¨, ª à §«¨ç­ë¬ ¯à¨¡«¨¥­¨ï¬ ¨ ¯¯à®ªá¨¬ æ¨ï¬, ç¨á«¥­­ë¬ ¬¥â®¤ ¬ ¨«¨
ª ⥬ ¨ ¤à㣨¬ ®¤­®¢à¥¬¥­­®.
Š ª ¨ ¢ ¬¥å ­¨ª¥ ¢ï§ª®© ¨¤ª®áâ¨, ¯à¨¡«¨¥­­®¥ à¥è¥­¨¥ § ¤ ç
ª®­¢¥ªâ¨¢­®£® ¬ áá®- ¨ ⥯«®¯¥à¥­®á ç áâ® ®á­®¢ ­® ­ ¯à¨¬¥­¥­¨¨
¬¥â®¤®¢ ⥮ਨ ¢®§¬ã饭¨© [38, 90, 114℄, ¢ ª®â®àëå 䨣ãà¨àãî騩 ¢
ãà ¢­¥­¨¨ (3.1.8) ¡¥§à §¬¥à­ë© ¯ à ¬¥âà | ç¨á«® Ǒ¥ª«¥ Pe áç¨â ¥âáï
¬ «ë¬ (¨«¨ ¡®«ì訬) ¨ ¨á¯®«ì§ã¥âáï ª ª ¯ à ¬¥âà à §«®¥­¨ï ¯à¨
®âë᪠­¨¨ à¥è¥­¨© ¢ ¢¨¤¥ ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨å à冷¢.
‚ ­® ¯®¤ç¥àª­ãâì, çâ® ­ «¨ç¨¥ ¬ «®£® ¨«¨ ¡®«ì讣® ¯ à ¬¥âà ¢® ¬­®£¨å § ¤ ç å 䨧¨ª®-娬¨ç¥áª®© £¨¤à®¤¨­ ¬¨ª¨ ®¡ãá«®¢«¥­® áãé¥á⢮¬ ¤¥« . „¥©á⢨⥫쭮, ª ª 㪠§ë¢ «®áì à ­ìè¥, ª®­¢¥ªâ¨¢­ ï ¤¨ääã§¨ï ¢ ¨¤ª®áâïå å à ªâ¥à¨§ã¥âáï ¡®«ì訬¨ ç¨á« ¬¨
˜¬¨¤â , çâ® á¢ï§ ­® á å à ªâ¥à­ë¬¨ §­ 祭¨ï¬¨ 䨧¨ç¥áª¨å ª®­áâ ­â. ‚ ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å ᨭ£ã«ïà­®-¢®§¬ã饭­ëå § ¤ ç å áãé¥-

108

Œ áᮯ¥à¥­®á ¢ ¯«¥­ª å ¨¤ª®áâ¨, âàã¡ å ¨ ª ­ « å

áâ¢ãîâ 㧪¨¥ ¯à®áâà ­á⢥­­®-¢à¥¬¥­­ë¥ ®¡« á⨠(­ ¯à¨¬¥à, ¤¨ää㧨®­­ë© ¯®£à ­¨ç­ë© á«®© ¨ ¤¨ää㧨®­­ë© á«¥¤), ¢ ª®â®àëå à¥è¥­¨¥ ¡ëáâà® ¬¥­ï¥âáï. ‘âàãªâãà , ¯à®â省­®áâì ¨ ç¨á«® íâ¨å ®¡« á⥩ ®¡ëç­® § à ­¥¥ ­¥¨§¢¥áâ­ë ¨ ®¯à¥¤¥«ïîâáï ¢ ¯à®æ¥áᥠà¥è¥­¨ï. ˆ¬¥î騩áï ®£à®¬­ë© ®¯ë⠯ਬ¥­¥­¨ï ¬¥â®¤®¢ ¢®§¬ã饭¨© ¤ ¥â ®á­®¢ ­¨¥ áç¨â âì ¨å ¢¥áì¬ ¯«®¤®â¢®à­ë¬¨ ¨ ­ ¨¡®«¥¥ ®¡é¨¬¨
¨§ ¢á¥å áãé¥áâ¢ãîé¨å ­ «¨â¨ç¥áª¨å ¬¥â®¤®¢. â¨ ¬¥â®¤ë á«ã â
¤«ï ¢ëïá­¥­¨ï ¯à¨­æ¨¯¨ «ì­® ¢ ­ëå § ª®­®¬¥à­®á⥩ ¨ ª ç¥á⢥­­ëå ®á®¡¥­­®á⥩ ¢¥áì¬ á«®­ëå «¨­¥©­ëå ¨ ­¥«¨­¥©­ëå § ¤ ç,
¤«ï ¯®«ã祭¨ï ᨬ¯â®â¨ª ¨ ¯®áâ஥­¨ï ýâ¥á⮢ëå à¥è¥­¨©þ, ¢ à拉 á«ãç ¥¢ ¬®£ãâ á«ã¨âì ®á­®¢®© ¤«ï à §à ¡®âª¨ ¢ëç¨á«¨â¥«ì­ëå
¬¥â®¤®¢.
‘«¥¤ã¥â ®â¬¥â¨âì, çâ® ¢ â¥å § ¤ ç å, £¤¥ ¬¥â®¤ë ¢®§¬ã饭¨©
¢¥áì¬ íä䥪⨢­ë, ç¨á«¥­­ë¥, ª ª ¯à ¢¨«®, áâ ­®¢ïâáï ¬ «®¯à¨£®¤­ë¬¨.
Ǒ®«ãç î騥áï ¯à¨ ¨á¯®«ì§®¢ ­¨¨ ¬¥â®¤®¢ ¢®§¬ã饭¨© ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨¥ àï¤ë ¨¬¥îâ ®£à ­¨ç¥­­ãî ®¡« áâì ¯à¨¬¥­¨¬®áâ¨. Šà®¬¥ ⮣®, ®¡ëç­® 㤠¥âáï ¢ëç¨á«¨âì ­¥ ¡®«¥¥ ¤¢ãå ¨«¨ âà¥å ¯¥à¢ëå
ç«¥­®¢ ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å à §«®¥­¨©. “ª § ­­ë¥ ®¡áâ®ï⥫ìá⢠­¥
¯®§¢®«ïî⠮業¨âì ¯®¢¥¤¥­¨¥ à¥è¥­¨ï ¯à¨ ¯à®¬¥ãâ®ç­ëå (ª®­¥ç­ëå) §­ 祭¨ïå ¯ à ¬¥âà ¨ ­ ª« ¤ë¢ îâ áãé¥á⢥­­ë¥ ®£à ­¨ç¥­¨ï ­ ¨á¯®«ì§®¢ ­¨¥ ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨å ä®à¬ã« ¤«ï à áç¥â®¢ ¢ ¨­¥­¥à­®© ¯à ªâ¨ª¥. â® | ­ ¨¡®«¥¥ áãé¥á⢥­­ë© ­¥¤®áâ ⮪ ¬¥â®¤®¢
¢®§¬ã饭¨©.
„® á¨å ¯®à ­¥ ãâà ⨫¨ ᢮¥£® §­ 祭¨ï à §­®®¡à §­ë¥ ¨ ¢® ¬­®£®¬ ®¯¨à î騥áï ­ ¨­âã¨â¨¢­ë¥ á®®¡à ¥­¨ï ¯à¨¡«¨¥­­ë¥ ¨­¥­¥à­ë¥ ¬¥â®¤ë, ª ª®â®àë¬ ®â­®áïâáï, ­ ¯à¨¬¥à, ¨­â¥£à «ì­ë¥ ¬¥â®¤ë [70, 103, 184℄; ¬¥â®¤ à ¢­®¤®áâ㯭®© ¯®¢¥àå­®á⨠[175℄; à §«¨ç­ë¥
¬®¤¨ä¨ª 樨 ¬¥â®¤ «¨­¥ ਧ 樨 ãà ¢­¥­¨© ¨ £à ­¨ç­ëå ãá«®¢¨©
[132℄. ˆá¯®«ì§®¢ ­¨¥ íâ¨å ¯à®áâëå ¬¥â®¤®¢ ¢® ¬­®£¨å á«ãç ïå ®ª §ë¢ ¥âáï ¯®«¥§­ë¬ ¤«ï ¯à ªâ¨ç¥áª¨å 楫¥©. Ǒਡ«¨¥­­ë¥ ¬¥â®¤ë
®ç¥­ì 㤮¡­ë ¤«ï ¯®«ã祭¨ï ¤®áâ â®ç­® £àã¡ëå ®æ¥­®ª ­ ¯à¥¤¢ à¨â¥«ì­®¬ íâ ¯¥ «î¡®£® ¨áá«¥¤®¢ ­¨ï, â ª¥ ⮣¤ , ª®£¤ १ã«ìâ â
¤®«¥­ ¡ëâì ¯®«ã祭 ¤®áâ â®ç­® ¡ëáâà®. „«ï ¯à¨¡«¨¥­­ëå ¬¥â®¤®¢ ¨­¥­¥à­®£® ⨯ å à ªâ¥à­ ­¥¢ë᮪ ï â®ç­®áâì. “ª § ­­ë©
­¥¤®áâ ⮪ ¢ §­ ç¨â¥«ì­®© ¬¥à¥ ¬®­® ãáâà ­¨âì ¯ã⥬ á®ç¥â ­¨ï
ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨å ¨ ¯à¨¡«¨¥­­ëå ¬¥â®¤®¢ [72, 277℄.
Œ­®£¨¥ § ¤ ç¨ ä¨§¨ª®-娬¨ç¥áª®© £¨¤à®¤¨­ ¬¨ª¨ ¨ ⥮ਨ
¬ áá®- ¨ ⥯«®¯¥à¥­®á ãᯥ譮 à¥è îâáï ¯ã⥬ ¯à¨¬¥­¥­¨ï ç¨á«¥­­ëå ¬¥â®¤®¢ á ¨á¯®«ì§®¢ ­¨¥¬ ‚Œ [122, 131℄. â¨ ¬¥â®¤ë ®¡« ¤ îâ
¡®«ì让 ã­¨¢¥àá «ì­®áâìî ¨ ¯®§¢®«ïîâ íä䥪⨢­® ¯®«ãç âì à¥è¥­¨ï ¤«ï ¯à®¬¥ãâ®ç­ëå §­ 祭¨© å à ªâ¥à­®£® ¯ à ¬¥âà § ¤ ç¨,
â.¥. ¢ ⮩ ®¡« áâ¨, £¤¥ ­¥ ¬®£ãâ ¡ëâì ¨á¯®«ì§®¢ ­ë ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨¥
¬¥â®¤ë. —¨á«¥­­ë¥ ¬¥â®¤ë ¢ ­ áâ®ï饥 ¢à¥¬ï ïîâáï ®á­®¢­ë¬

109

3.2. „¨ääã§¨ï ª ¢à é î饬ãáï ¤¨áªã

¯¯ à ⮬ ¨áá«¥¤®¢ ­¨ï ¯à¨ª« ¤­ëå § ¤ ç, á¢ï§ ­­ëå á à §à ¡®âª®©, ®¯â¨¬¨§ 樥© ¨ ã¯à ¢«¥­¨¥¬ à §«¨ç­ëå ãáâனá⢠¨ â¥å­®«®£¨ç¥áª¨å ¯à®æ¥áᮢ.
‚ ­® ®â¬¥â¨âì, çâ® ¢á¥ ⥮à¥â¨ç¥áª¨¥ ¬¥â®¤ë (â®ç­ë¥, ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨¥, ¯à¨¡«¨¥­­ë¥ ¨ ç¨á«¥­­ë¥) ¢§ ¨¬­® ¤®¯®«­ïîâ ¤à㣠¤àã£.
3.2. „¨ääã§¨ï ª ¢à é î饬ãáï ¤¨áªã

‘«¥¤ãï [100℄, à áᬮâਬ áâ 樮­ à­ë© ¬ áᮯ¥à¥­®á ª ¯®¢¥àå­®á⨠¤¨áª , ¢à é î饣®áï ¢ ¨¤ª®á⨠¢®ªà㣠᢮¥© ®á¨ á ¯®áâ®ï­­®©
㣫®¢®© ᪮à®áâìî ω . ‘ç¨â ¥¬, çâ® ¢¤ «¨ ®â ¤¨áª ª®­æ¥­âà æ¨ï ¯®áâ®ï­­ ¨ à ¢­ Ci , ­ ¯®¢¥àå­®á⨠¯à®¨á室¨â ¯®«­®¥ ¯®£«®é¥­¨¥
à á⢮७­®£® ¢¥é¥á⢠. Žáì z ­ ¯à ¢¨¬ ¯® ­®à¬ «¨ ª ¯®¢¥àå­®áâ¨
¤¨áª . ¥è¥­¨¥ § ¤ ç¨ ® ¤¢¨¥­¨¨ ¨¤ª®áâ¨, 㢫¥ª ¥¬®© ¤¨áª®¬,
¡ë«® ¯à¨¢¥¤¥­® à ­¥¥ ¢ à §¤. 1.2.
“ç¨âë¢ ï ᪠§ ­­®¥ ¨ ¨á¯®«ì§ãï १ã«ìâ âë à §¤. 3.1, § ¯¨è¥¬ ¢
樫¨­¤à¨ç¥áª®© á¨á⥬¥ ª®®à¤¨­ â ãà ¢­¥­¨¥ ¤¨ää㧨¨ ¨ £à ­¨ç­ë¥
ãá«®¢¨ï ¢ á«¥¤ãî饬 ¢¨¤¥:
∂c
v̺
∂̺

∂c
+ vz
∂z

+
z

vϕ ∂c
̺ ∂ϕ

1
=
S

= 0,

c = 1;



1

∂
̺ ∂̺



∂ 2c
∂c
+ 2
̺
∂̺
∂z

z → ∞,

+

c → 0.


∂2c
;
̺2 ∂ϕ2
(3.2.1)
(3.2.2)

1

‡¤¥áì ¡¥§à §¬¥à­ë¥ ¯¥à¥¬¥­­ë¥ ¨ ¯ à ¬¥âàë á¢ï§ ­ë á ¨á室­ë¬¨
à §¬¥à­ë¬¨ ¢¥«¨ç¨­ ¬¨ ᮮ⭮襭¨ï¬¨ (3.1.7) ¯à¨ Cs = 0, £¤¥
å à ªâ¥à­ë¥ ¬ áèâ ¡ë ¤«¨­ë ¨ ᪮à®á⨠¢ë¡à ­ë â ª:
a = (ν/ω )

1/2

,

U

= (νω )1/2 , Pe = aU/D = S

.

(3.2.3)

‘®£« á­® १ã«ìâ â ¬ à §¤. 1.2 ¤«ï ¡¥§à §¬¥à­ëå ª®¬¯®­¥­â ᪮à®á⨠¨¤ª®á⨠¨¬¥¥¬
vz

= v(z ),

v̺

= ̺u1(z ),

vϕ

= ̺u2 (z ),

(3.2.4)

£¤¥ v, u1 , u2 | ¨§¢¥áâ­ë¥ ä㭪樨 z .
Žâ¬¥â¨¬ ­¥ª®â®àë¥ á¢®©á⢠ä㭪樨 v.  §«®¥­¨¥ v ¢¡«¨§¨
¯®¢¥àå­®á⨠¤¨áª (¯à¨ z → 0) ­ 稭 ¥âáï á ª¢ ¤à â¨ç­®£® ç«¥­
v

= −αz 2 + · · · ,

£¤¥

α ≈ 0,51.

‚ ¤à㣮¬ ¯à¥¤¥«ì­®¬ á«ãç ¥ ¨¬¥¥¬ v → −0,89 ¯à¨ z → ∞.

(3.2.5)

110

Œ áᮯ¥à¥­®á ¢ ¯«¥­ª å ¨¤ª®áâ¨, âàã¡ å ¨ ª ­ « å

¥è¥­¨¥ § ¤ ç¨ (3.2.1), (3.2.2), (3.2.4) ¨é¥¬ ¢ ¢¨¤¥
c = c(z ).

(3.2.6)

‚ १ã«ìâ ⥠¯à¨å®¤¨¬ ª ®¡ëª­®¢¥­­®¬ã ¤¨ää¥à¥­æ¨ «ì­®¬ã ãà ¢­¥­¨î ¢â®à®£® ¯®à浪
S v(z )

dc
dz

=

d2 c
dz 2

(3.2.7)

á £à ­¨ç­ë¬¨ ãá«®¢¨ï¬¨ (3.2.2).
“à ¢­¥­¨¥ (3.2.7) «¥£ª® ¨­â¥£à¨àã¥âáï, â ª ª ª ¯®¤áâ ­®¢ª®©
W = dc/dz ¯à¨¢®¤¨âáï ª ãà ¢­¥­¨î ¯¥à¢®£® ¯®à浪 á à §¤¥«ïî騬¨áï ¯¥à¥¬¥­­ë¬¨.
¥è¥­¨¥ § ¤ ç¨ (3.2.7), (3.2.2) ¤ ¥âáï ä®à¬ã«®©
Z

∞

c = Zz ∞
0



exp S


exp S

Z z
Z0 z
0



v (z) dz dz
 .


v (z ) dz dz

(3.2.8)

„¨ää¥à¥­æ¨àãï íâ® ¢ëà ¥­¨¥ ¯® z ¨ ¯®« £ ï § ⥬ z = 0, ­ ©¤¥¬
¡¥§à §¬¥à­ë© ¤¨ää㧨®­­ë© ¯®â®ª ­ ¯®¢¥àå­®áâì ¤¨áª
j

=−





dc
dz

z =0

=

Z

∞

0



exp S

Z z
0

  −1
v (z) dz dz
.

(3.2.9)

“ç⥬ ⥯¥àì, çâ® ®¡ëç­ë¥ ¨¤ª®á⨠å à ªâ¥à¨§ãîâáï ¡®«ì訬¨
§­ 祭¨ï¬¨ ç¨á¥« ˜¬¨¤â S . ¥âà㤭® ¯®ª § âì, ç⮠ᨬ¯â®â¨ª¨
ä®à¬ã« (3.2.8) ¨ (3.2.9) ¯à¨ S → ∞ ¬®­® ¯®«ãç¨âì, ¯®¤áâ ¢«ïï ¢
­¨å £« ¢­ë© ç«¥­ à §«®¥­¨ï ä㭪樨 v ¯à¨ z → 0. ‘ ¯®¬®éìî
¢ëà ¥­¨© (3.2.5) ¨ (3.2.8) ¤«ï ¡¥§à §¬¥à­®© ª®­æ¥­âà 樨 ¯®á«¥
­¥ª®â®àëå ¯à¥®¡à §®¢ ­¨© ¨¬¥¥¬
c=

1
(1/3)



1 1
, αS
3 3


3
z .

(3.2.10)

‡¤¥áì ¨ ¤ «¥¥ ¨á¯®«ì§ãîâáï ®¡®§­ 祭¨ï:
(m, ζ ) =

Z

ζ

∞

e−x xm−1 dx

| ­¥¯®«­ ï £ ¬¬ -äã­ªæ¨ï,

(m) = (m, 0) | ¯®«­ ï £ ¬¬ -äã­ªæ¨ï, (1/3) ≈ 2,679.

111

3.3. ’¥¯«®¯¥à¥­®á ª ¯«®áª®© ¯« á⨭¥

€­ «®£¨ç­ë¬ ®¡à §®¬, ¯®¤áâ ¢«ïï ¯¥à¢ë© ç«¥­ à §«®¥­¨ï
(3.2.5) ¢ ä®à¬ã«ã (3.2.9), ¤«ï ¡¥§à §¬¥à­®£® ¤¨ää㧨®­­®£® ¯®â®ª
¯®«ã稬
(9α S )1/3
j=
≈ 0,62 S 1/3 .
(3.2.11)
(1/3)
„«ï 䨧¨ç¥áª®© ¨­â¥à¯à¥â 樨 १ã«ìâ ⮢ 㤮¡­® ¢¢¥á⨠¡¥§à §¬¥à­ãî ⮫騭㠤¨ää㧨®­­®£® ¯®£à ­¨ç­®£® á«®ï ¯® ä®à¬ã«¥
δ

= 1/j.

(3.2.12)

ˆá¯®«ì§ãï ¢ëà ¥­¨ï (3.2.11) ¨ (3.2.12), ­ 室¨¬ δ ≈ 1,6 S −1/3 .
ˆ¬¥¥â ¬¥áâ® á«¥¤ãîé ï ª à⨭ ¬ áᮯ¥à¥­®á ¢¡«¨§¨ ¯®¢¥àå­®á⨠¢à é î饣®áï ¤¨áª . ¥§à §¬¥à­ ï ª®­æ¥­âà æ¨ï íªá¯®­¥­æ¨«ì­® ¡ëáâà® ¯ ¤ ¥â á à®á⮬ à ááâ®ï­¨ï ¤® ¤¨áª .  à ááâ®ï­¨¨
z ≈ δ ®­ ¡«¨§ª ª ᢮¥¬ã ­¥¢®§¬ã饭­®¬ã §­ 祭¨î ¨ ¤ «¥¥ ¯à ªâ¨ç¥áª¨ ­¥ ¬¥­ï¥âáï. Ǒਠ¡®«ìè¨å ç¨á« å ˜¬¨¤â ®á­®¢­®¥ ¨§¬¥­¥­¨¥
ª®­æ¥­âà 樨 ¯à®¨á室¨â ¢ â®­ª®¬ á«®¥ (⮫騭®© ¯®à浪 S −1/3 ),
¯à¨«¥£ î饬 ª ¯®¢¥àå­®á⨠¤¨áª . âã ®¡« áâì ­ §ë¢ îâ ¤¨ää㧨®­­ë¬ ¯®£à ­¨ç­ë¬ á«®¥¬.
3.3. ’¥¯«®¯¥à¥­®á ª ¯«®áª®© ¯« á⨭¥

 áᬮâਬ ⥯«®¯¥à¥­®á ª ¯«®áª®© ¯« á⨭¥, ¯à®¤®«ì­® ®¡â¥ª ¥¬®© ¯®áâ㯠⥫ì­ë¬ ¯®â®ª®¬ ¢ï§ª®© ­¥á¨¬ ¥¬®© ¨¤ª®á⨠ᮠ᪮à®áâìî Ui ¯à¨ ¡®«ìè¨å ç¨á« å ¥©­®«ì¤á . ‘ç¨â ¥¬, ç⮠⥬¯¥à âãà
­ ¯®¢¥àå­®á⨠¯« áâ¨­ë ¨ ¢¤ «¨ ®â ­¥¥ ¯à¨­¨¬ ¥â ¯®áâ®ï­­ë¥ §­ 祭¨ï, à ¢­ë¥ ᮮ⢥âá⢥­­® Ts ¨ Ti .  ç «® ¯àאַ㣮«ì­®© á¨á⥬ë
ª®®à¤¨­ â X , Y ¯®¬¥á⨬ ¢ ¯¥à¥¤­îî ªà®¬ªã; ®áì X ­ ¯à ¢¨¬ ¢¤®«ì,
Y | ¯®¯¥à¥ª ¯« á⨭ë.
Œ­®£®ç¨á«¥­­ë¥ íªá¯¥à¨¬¥­âë ¨ ç¨á«¥­­ë¥ à áç¥âë ¯®ª §ë¢ îâ,
çâ® « ¬¨­ à­ë© £¨¤à®¤¨­ ¬¨ç¥áª¨© ¯®£à ­¨ç­ë© á«®© ॠ«¨§ã¥âáï
¯à¨ 5 · 102 6 Re 6 5 · 105 ÷ 106 [184℄. ‚ í⮬ ¤¨ ¯ §®­¥ ⥯«®¢®¥ ç¨á«®
Ǒ¥ª«¥ PeT = Re Pr ¢¥«¨ª® ¤«ï £ §®¢ ¨ ®¡ëç­ëå ¨¤ª®á⥩. „«ï ¨¤ª¨å ¬¥â ««®¢ áãé¥áâ¢ã¥â ®¡« áâì ç¨á¥« ¥©­®«ì¤á 104 6 Re 6 106 ,
£¤¥ ç¨á« Ǒ¥ª«¥ â ª¥ ¢¥«¨ª¨.
“ç¨âë¢ ï ᪠§ ­­®¥, ®£à ­¨ç¨¬áï ¨§ã祭¨¥¬ á«ãç ï ¡®«ìè¨å ç¨á¥« Ǒ¥ª«¥, ª®£¤ ¯à®¤®«ì­®© á®áâ ¢«ïî饩 ¬®«¥ªã«ïà­®© ⥯«®¯à®¢®¤­®á⨠¬®­® ¯à¥­¥¡à¥çì. ‘®®â¢¥âáâ¢ãî饥 ãà ¢­¥­¨¥ ⥯«®¢®£®
¯®£à ­¨ç­®£® á«®ï ¨ £à ­¨ç­ë¥ ãá«®¢¨ï ¨¬¥îâ ¢¨¤
vx
x = 0,

T

= 0;

∂T
∂T
+ vy
∂x
∂y
y = 0, T

1
Pr
= 1;

=

∂ 2T
;
∂y 2
y → ∞,

T → 0.

(3.3.1)

112

Œ áᮯ¥à¥­®á ¢ ¯«¥­ª å ¨¤ª®áâ¨, âàã¡ å ¨ ª ­ « å

‡¤¥áì ¡¥§à §¬¥à­ë¥ ¯¥à¥¬¥­­ë¥ ¢¢¥¤¥­ë ¯® ä®à¬ã« ¬ (3.1.32), £¤¥ ¢
ª ç¥á⢥ ¬ áèâ ¡ ¤«¨­ë ¢ë¡à ­ ¢¥«¨ç¨­ L = ν/Ui ; ν | ª¨­¥¬ â¨ç¥áª ï ¢ï§ª®áâì ¨¤ª®áâ¨.
Š®¬¯®­¥­âë ᪮à®á⨠¨¤ª®á⨠¢ ãà ¢­¥­¨¨ (3.3.1) ¤ îâáï à¥è¥­¨¥¬ « §¨ãá
vx

= f ′ (η),

vy

=

ηf ′ − f
√
,
2 x

£¤¥

η

=

y
√ .
x

(3.3.2)

”ã­ªæ¨ï f = f (η) ¡ë« ®¯¨á ­ à ­¥¥ ¢ à §¤. 1.6, èâà¨å ᮮ⢥âáâ¢ã¥â
¯à®¨§¢®¤­®© ¯® η.
¥è¥­¨¥ § ¤ ç¨ (3.3.1) á ãç¥â®¬ § ¢¨á¨¬®á⥩ (3.3.2) ¨é¥¬ ¢
¢â®¬®¤¥«ì­®¬ ¢¨¤¥ T = T (η). ‚ ¨â®£¥ ¯à¨å®¤¨¬ ª ®¡ëª­®¢¥­­®¬ã
¤¨ää¥à¥­æ¨ «ì­®¬ã ãà ¢­¥­¨î
d2 T
dη 2
η = 0, T

1
dT
Pr f (η)
= 0;
2
dη
= 1;
η → ∞, T → 0.

+

(3.3.3)

‘ ãç¥â®¬ à ¢¥­á⢠f = −f ′′′/f ′′, ª®â®à®¥ ï¥âáï á«¥¤á⢨¥¬
ãà ¢­¥­¨ï ¤«ï ä㭪樨 f , à¥è¥­¨¥ § ¤ ç¨ (3.3.3) ¬®¥â ¡ëâì § ¯¨á ­® ¢ ¢¨¤¥ (. Ǒ®«ì£ 㧥­, 1921):
T

=

Z

∞

Zη ∞
0

[f ′′ (η)℄Pr dη
[f ′′ (η)℄Pr dη

(3.3.4)

.

ǑਠPr = 1 ¨§ í⮩ ä®à¬ã«ë ¨¬¥¥¬ ¯à®áâãî á¢ï§ì ¬¥¤ã ⥬¯¥à âãன ¨ ¯à®¤®«ì­®© á®áâ ¢«ïî饩 ᪮à®áâ¨:
T (η ) = 1 − f ′ (η ) = 1 − vx .

„¨ää¥à¥­æ¨àãï ¢ëà ¥­¨¥ (3.3.4) ¨ ¨á¯®«ì§ãï ç¨á«¥­­®¥ §­ 祭¨¥ f ′′ (0) = 0,332, ¯®«ã稬 ¡¥§à §¬¥à­ë© ⥯«®¢®© ¯®â®ª ­ ¯®¢¥àå­®áâì ¯« á⨭ë


(0,332)Pr
∂T
B (Pr)
jT = −
. (3.3.5)
= √ , £¤¥ B (Pr) = Z ∞
x
∂y y=0
[f ′′ (η)℄Pr dη
0

€á¨¬¯â®â¨ª¨ ä㭪樨 B (Pr) ¯à¨ ¬ «ëå ¨ ¡®«ìè¨å ç¨á« å
Ǒà ­¤â«ï 㤮¡­¥¥ ¨áª âì ¨áå®¤ï ¨§ ãà ¢­¥­¨ï (3.3.3), ¢ ª®â®à®¬ ᤥ« ­® à áâ省¨¥ ¯¥à¥¬¥­­®© ¯® ä®à¬ã«¥ η = ζ/Pr. ‚ १ã«ìâ ⥠¯à¨′′
室¨¬ ª ãà ¢­¥­¨î Tζζ
+ f (ζ/Pr)Tζ′ = 0. ǑਠPr → 0 à£ã¬¥­â ä㭪樨 f (ζ/Pr) áâ६¨âáï ª ¡¥áª®­¥ç­®áâ¨, ç⮠ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¯®áâ®ï­­®©

113

3.3. ’¥¯«®¯¥à¥­®á ª ¯«®áª®© ¯« á⨭¥

 á¯à¥¤¥«¥­¨¥ ᪮à®á⥩ ¨ à á¯à¥¤¥«¥­¨¥ ⥬¯¥à âãàë ¢ ¯®£à ­¨ç­ëå
á«®ïå ¯à¨ ®ç¥­ì ¬ «®¬ ¨ ®ç¥­ì ¡®«ì讬 ç¨á« å Ǒà ­¤â«ï

¨á. 3.1.

᪮à®á⨠¢­ãâਠ⥯«®¢®£® ¯®£à ­¨ç­®£® á«®ï ¨ f (η) ≈ η. ‚ ¤à㣮¬
¯à¥¤¥«ì­®¬ á«ãç ¥ ¯à¨ Pr → ∞ à£ã¬¥­â ä㭪樨 f (ζ/Pr) áâ६¨âáï
ª ­ã«î, ç⮠ᮮ⢥âáâ¢ã¥â «¨­¥©­®© ¯¯à®ªá¨¬ 樨 ᪮à®á⨠¢­ãâਠ¯®£à ­¨ç­®£® á«®ï ¨ f (η) ≈ 0,166 η2. Ǒ®¤áâ ¢«ïï 㪠§ ­­ë¥ ¢ëè¥
£« ¢­ë¥ ç«¥­ë ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨å à §«®¥­¨© ä㭪樨 f ¢ ãà ¢­¥­¨¥
(3.3.3) ¨ à¥è ï ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 § ¤ ç¨, ¤«ï ⥯«®¢®£® ¯®â®ª (3.3.5)
¯®«ã稬
1/2
B (Pr) → (Pr/π )
(Pr → 0),
(3.3.6)
/3
1
(Pr → ∞).
B (Pr) → 0,339 Pr

Ž¡¥ à áᬮâ७­ë¥ ¯à¥¤¥«ì­ë¥ á¨âã 樨 ¢áâà¥ç îâáï ¢® ¬­®£¨å
§ ¤ ç å ª®­¢¥ªâ¨¢­®£® ⥯«®¯¥à¥­®á ¨ á奬 â¨ç¥áª¨ ¨§®¡à ¥­ë ­
à¨á. 3.1. ‚¨¤­®, çâ® ¢ á«ãç ¥ Pr → 0, ¯à¨¡«¨¥­­® ¨¬¥î饬 ¬¥áâ® ¤«ï
¨¤ª¨å ¬¥â ««®¢ (­ ¯à¨¬¥à, ¤«ï àâãâ¨), ¯à¨ à áç¥â¥ ⥬¯¥à âãà­®£® ¯®£à ­¨ç­®£® á«®ï ¬®­® ¯à¥­¥¡à¥çì ¤¨­ ¬¨ç¥áª¨¬ ¯®£à ­¨ç­ë¬
á«®¥¬ ¨ § ¬¥­¨âì ¯à®ä¨«ì ᪮à®á⨠v(x, y ) ᪮à®áâìî v∞ (x) ­¥¢ï§ª®£® ¢­¥è­¥£® â¥ç¥­¨ï. ǑਠPr → ∞, ç⮠ᮮ⢥âáâ¢ã¥â á«ãç î ᨫ쭮
¢ï§ª¨å ¨¤ª®á⥩ (­ ¯à¨¬¥à, £«¨æ¥à¨­), ⥬¯¥à âãà­ë© ¯®£à ­¨ç­ë© á«®© ®ç¥­ì â®­ª¨© ¨ à ᯮ«®¥­ ¢­ãâਠ¤¨­ ¬¨ç¥áª®£® ¯®£à ­¨ç­®£® á«®ï, £¤¥ ᪮à®áâì 㢥«¨ç¨¢ ¥âáï «¨­¥©­® á à ááâ®ï­¨¥¬ ®â
¯®¢¥àå­®á⨠¯« á⨭ë.
‚® ¢á¥¬ ¤¨ ¯ §®­¥ ¨§¬¥­¥­¨ï ç¨á¥« Ǒà ­¤â«ï äã­ªæ¨ï B (Pr) ¢
ä®à¬ã«¥ (3.3.5) å®à®è® ¯¯à®ªá¨¬¨àã¥âáï ¢ëà ¥­¨¥¬
B (Pr) = 0,0817



(1 + 72 Pr)2/3 − 1

1/2

,

(3.3.7)

¬ ªá¨¬ «ì­®¥ ®â«¨ç¨¥ ª®â®à®£® ®â ç¨á«¥­­ëå ¤ ­­ëå [184℄ á®áâ ¢«ï¥â ®ª®«® 0,5%.

114

Œ áᮯ¥à¥­®á ¢ ¯«¥­ª å ¨¤ª®áâ¨, âàã¡ å ¨ ª ­ « å

‡ ¯¨è¥¬ ¢ëà ¥­¨¥ ¤«ï «®ª «ì­®£® ç¨á« ãáᥫìâ
Nux = −

X
Ts − Ti



∂T∗
∂Y



Y =0

=

p

Rex B (Pr),

(3.3.8)

£¤¥ Rex = XUi/ν | «®ª «ì­®¥ ç¨á«® ¥©­®«ì¤á .
¥ ®áâ ­ ¢«¨¢ ïáì ­ ¯®ïá­¥­¨ïå, ¯à¨¢¥¤¥¬ ä®à¬ã«ã ¤«ï «®ª «ì­®£® ç¨á« ãáᥫìâ ¢ á«ãç ¥ ®¡â¥ª ­¨ï ¯«®áª®© ¯« á⨭ë âãà¡ã«¥­â­ë¬ â¥ç¥­¨¥¬ [184℄
Nux = 0,0296 Pr1/3 Re4x/5 ,

(3.3.9)

ª®â®à ï å®à®è® ᮣ« áã¥âáï á १ã«ìâ â ¬¨ íªá¯¥à¨¬¥­â «ì­ëå ¨áá«¥¤®¢ ­¨©.
3.4. Œ áᮯ¥à¥­®á ¢ ¯«¥­ª å ¨¤ª®áâ¨

Œ áá®®¡¬¥­ ¬¥¤ã £ § ¬¨ ¨ ¨¤ª¨¬¨ ¯«¥­ª ¬¨.  á⢮७¨¥ £ § ¢ á⥪ î饩 ¯«¥­ª¥ ¨¤ª®á⨠ï¥âáï ®¤­¨¬ ¨§ ¢ ­¥©è¨å
¬¥â®¤®¢ à á⢮७¨ï £ §®¢, ¯®«ã稢è¨å ¢¥áì¬ è¨à®ª®¥ à á¯à®áâà ­¥­¨¥ ¢ â¥å­¨ª¥ [87, 183℄. Ǒ«¥­®ç­ë¥ ¡á®à¡¥àë á ®à®è ¥¬ë¬¨ á⥭ª ¬¨ ¯à¨¬¥­ïîâáï ¤«ï ¯®«ã祭¨ï ¢®¤­ëå à á⢮஢ £ § (­ ¯à¨¬¥à,
¡á®à¡æ¨ï ¯ ஢ HCl ¢®¤®©), à §¤¥«¥­¨ï £ §®¢ëå ᬥᥩ (­ ¯à¨¬¥à,
¡á®à¡æ¨ï ¡¥­§®« ¢ ª®ªá®å¨¬¨ç¥áª®¬ ¯à®¨§¢®¤á⢥), ®ç¨á⪨ £ §®¢
®â ¢à¥¤­ëå ¢ë¡à®á®¢ (­ ¯à¨¬¥à, ª®ªá®¢®£® £ § ®â H2 S) ¨ ¤à.
 áᬮâਬ ¡á®à¡æ¨î á« ¡®à á⢮ਬëå £ §®¢ ­ ᢮¡®¤­®© ¯®¢¥àå­®á⨠¯«¥­ª¨ ¨¤ª®áâ¨, « ¬¨­ à­® á⥪ î饩 ¯® ­ ª«®­­®©
¯«®áª®áâ¨. ‘®£« á­® १ã«ìâ â ¬ à §¤. 1.3 ¢ á«ãç ¥ 㬥७­ëå ᪮à®á⥩ ¤¢¨¥­¨ï áâ 樮­ à­®¥ à á¯à¥¤¥«¥­¨¥ ᪮à®á⨠¢­ãâਠ¯«¥­ª¨
¨¬¥¥â ä®à¬ã ¯®«ã¯ à ¡®«ë á ¬ ªá¨¬ «ì­®© ᪮à®áâìî Umax ­ ᢮¡®¤­®© ¯®¢¥àå­®áâ¨, ¢ ¯®«â®à à § ¯à¥¢ëè î饩 á।­¥à á室­ãî
᪮à®áâì hV i:
3
gh2
Umax = hV i =
sin α.
2
2ν
‡¤¥áì g | ã᪮७¨¥ ᢮¡®¤­®£® ¯ ¤¥­¨ï; α | 㣮« ­ ª«®­ ¯®¢¥àå­®á⨠ª £®à¨§®­âã; h | ⮫騭 ¯«¥­ª¨, ª®â®à ï ¢ëç¨á«ï¥âáï á ¯®¬®éìî ¢ëà ¥­¨ï
 2
1/3
3ν
h=
Re
,
g

£¤¥ Re = Q/ν | ç¨á«® ¥©­®«ì¤á , Q | ¯«®â­®áâì ®à®è¥­¨ï
(â.¥. ®¡ê¥¬­ë© à á室 ¨¤ª®áâ¨, ¯à¨å®¤ï騩áï ­ ¥¤¨­¨æã è¨à¨­ë
¯«¥­ª¨).

115

3.4. Œ áᮯ¥à¥­®á ¢ ¯«¥­ª å ¨¤ª®áâ¨

‘ª®à®áâì ¨¤ª®á⨠¢­ãâਠ¯«¥­ª¨ ¨¬¥¥â ¯ à ¡®«¨ç¥áª¨© ¯à®ä¨«ì ¨ ®¯¨áë¢ ¥âáï ä®à¬ã«®©
V

= Umax(1 − y 2 ),

y

= Y /h,

£¤¥ Y | ®áì ª®®à¤¨­ â, ®à¨¥­â¨à®¢ ­­ ï ¯® ­®à¬ «¨ ª ¯®¢¥àå­®áâ¨
¯«¥­ª¨ (à¨á. 1.3).
Ǒ।¯®«®¨¬, çâ® ¢ á¥ç¥­¨¨ X = 0 ¯®â®ª ¨¤ª®á⨠¢áâ㯠¥â ¢
ª®­â ªâ á £ §®¬, â ª çâ® ­ ᢮¡®¤­®© ¯®¢¥àå­®á⨠(Y = 0) ãáâ ­ ¢«¨¢ ¥âáï ¯®áâ®ï­­ ï ª®­æ¥­âà æ¨ï ¯®£«®é ¥¬®£® ª®¬¯®­¥­â C = Cs ,
¯®áâ㯠îé ï ­ ®à®è¥­¨¥ ¨¤ª®áâì ­¥ ᮤ¥à¨â à á⢮àïî饣®áï ¢¥é¥á⢠. Šà®¬¥ ⮣®, ¡ã¤¥¬ áç¨â âì, çâ® á⥭ª ­¥¯à®­¨æ ¥¬ .
Ž£à ­¨ç¨¬áï ¨áá«¥¤®¢ ­¨¥¬ ­ ¨¡®«¥¥ ¢ ­®£® á«ãç ï ¡®«ìè¨å ç¨á¥«
Ǒ¥ª«¥, ª®£¤ ¬®«¥ªã«ïà­®© ¤¨ää㧨¥© ¢¤®«ì ¯«¥­ª¨ ¬®­® ¯à¥­¥¡à¥çì.
 á¯à¥¤¥«¥­¨¥ ª®­æ¥­âà 樨 ¢­ãâਠ¯«¥­ª¨ á ãç¥â®¬ ᤥ« ­­ëå
¤®¯ã饭¨© ®¯¨áë¢ ¥âáï á«¥¤ãî騬 ãà ¢­¥­¨¥¬ ¨ £à ­¨ç­ë¬¨ ãá«®¢¨ï¬¨ [23℄:
(1 − y 2 )

x = 0,
y = 0,
y

= 1,

∂c
=
∂x
c=0
c=1

1
Pe

∂2c
∂y 2

;

(3.4.1)

(0 6 y 6 1);
(x > 0);
∂c/∂y = 0 (x > 0),

(3.4.2)
(3.4.3)
(3.4.4)

¯à¨ § ¯¨á¨ ª®â®àëå ¡ë«¨ ¨á¯®«ì§®¢ ­ë ¡¥§à §¬¥à­ë¥ ¢¥«¨ç¨­ë
x=

X
,
h

y

=

Y
,
h

c=

C
,
Cs

Pe =

hUmax
.
D

(3.4.5)

Žâ¬¥â¨¬, çâ® ¢¡«¨§¨ ¢å®¤­®£® á¥ç¥­¨ï ¯à¨ ¬ «ëå §­ 祭¨ïå
á«¥¤ã¥â à áᬠâਢ âì ¯®«­®¥ ãà ¢­¥­¨¥ ¬ áᮯ¥à¥­®á , ¢ ª®â®à®¬ ¢¬¥áâ® ç«¥­ ∂ 2 c/∂y 2 á⮨â
c.
Ǒਡ«¨¥­¨¥ ¤¨ää㧨®­­®£® ¯®£à ­¨ç­®£® á«®ï. Žá­®¢­®¥ ¨§¬¥­¥­¨¥ ª®­æ¥­âà 樨 ­ ­ ç «ì­®¬ ãç á⪥ ¤«ï x = O(1) ¡ã¤¥â ¯à®¨á室¨âì ¢ â®­ª®¬ ¤¨ää㧨®­­®¬ ¯®£à ­¨ç­®¬ á«®¥ ¢¡«¨§¨ ᢮¡®¤­®©
¯®¢¥àå­®á⨠¯«¥­ª¨. ‚ í⮩ ®¡« á⨠ᤥ« ¥¬ à áâ省¨¥ ¯®¯¥à¥ç­®©
ª®®à¤¨­ âë ¯® ¯à ¢¨«ã
√
(3.4.6)
y = w/ Pe.
Ǒ®¤áâ ¢«ïï ¢ëà ¥­¨¥ (3.4.6) ¢ (3.4.1) ¨ ¯¥à¥å®¤ï ª ¯à¥¤¥«ã ¯à¨
Pe → ∞ (áç¨â ¥âáï, çâ® ¯¥à¥¬¥­­ë¥ x, w ¨ ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 ¨¬
¯à®¨§¢®¤­ë¥ ¨¬¥îâ ¯®à冷ª ¥¤¨­¨æë), ¯®«ã稬 ãà ¢­¥­¨¥
x 6 O(Pe−1/2 )

∂c
∂x

=

∂2c
.
∂w2

(3.4.7)

116

Œ áᮯ¥à¥­®á ¢ ¯«¥­ª å ¨¤ª®áâ¨, âàã¡ å ¨ ª ­ « å

 ááâ®ï­¨¥ ¤® á⥭ª¨, ª®â®à®¥
√ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ª®®à¤¨­ ⮩ y = 1, ¢
ᨫã (3.4.6) ᮮ⢥âáâ¢ã¥â w = Pe. Ǒ®í⮬㠯ਠPe → ∞ §­ 祭¨î
y = 1, 䨣ãà¨àãî饬㠢 £à ­¨ç­®¬ ãá«®¢¨¨ (3.4.4), ®â¢¥ç ¥â w → ∞.
“ç¨âë¢ ï ᪠§ ­­®¥, ¯à¥¤áâ ¢¨¬ £à ­¨ç­ë¥ ãá«®¢¨ï (3.4.2) | (3.4.4)
¢ á«¥¤ãî饬 ¢¨¤¥:
x = 0,

c = 0;

w

= 0,

c = 1;

∂c/∂w → 0.

w → ∞,

(3.4.8)

¥è¥­¨¥ § ¤ ç¨ (3.4.7), (3.4.8) ¤ ¥âáï ä®à¬ã«®©


c = erf
Z

w
√
2 x



(3.4.9)

,

∞
2
£¤¥ erf z = √
exp(−t2 ) dt | ¤®¯®«­¨â¥«ì­ë© ¨­â¥£à « ¢¥à®π z
ïâ­®á⥩.
„¨ää¥à¥­æ¨àãï ¢ëà ¥­¨¥ (3.4.9), ­ 室¨¬ ¤¨ää㧨®­­ë© ¯®â®ª ­ ¯®¢¥àå­®áâì ¯«¥­ª¨ [100℄

j

=−





=

j dx = 2



∂c
∂y

y =0



Pe
πx

1/2

.

(3.4.10)

¥§à §¬¥à­ë© ¨­â¥£à «ì­ë© ¤¨ää㧨®­­ë© ¯®â®ª ­ ç áâì ¯®¢¥àå­®á⨠¯«¥­ª¨, à ᯮ«®¥­­®© ­ ¨­â¥à¢ «¥ ®â 0 ¤® x, à ¢¥­
I

=

Z

x

0

Pe
π

1/2
.
x

(3.4.11)

”®à¬ã«ë (3.4.10), (3.4.11) áâ ­®¢ïâáï ­¥¯à¨£®¤­ë¬¨ ¯à¨ ¤®áâ â®ç­® ¡®«ìè¨å §­ 祭¨ïå x, ª®£¤ ¤¨ää㧨®­­ë© ¯®£à ­¨ç­ë© á«®©
ý¯à®à áâ ¥âþ ç¥à¥§ ¢áî ⮫騭㠯«¥­ª¨. „«ï ⮣® çâ®¡ë ®æ¥­¨âì
®¡« áâì ¯à¨¬¥­¨¬®á⨠íâ¨å ä®à¬ã«, à áᬮâਬ ¨á室­ãî § ¤ çã
(3.4.1) | (3.4.4).
’®ç­®¥ à¥è¥­¨¥. ¥è¥­¨¥ § ¤ ç¨ (3.4.1) | (3.4.4) ¢® ¢á¥© ®¡« áâ¨
0 6 x < ∞ ¨é¥¬ ¢ ¢¨¤¥ àï¤ [23, 223℄
c=1−

∞
X

m=0



λ2m
Am exp −
x Hm (y ),

Pe

(3.4.12)

£¤¥ ¨áª®¬ë¥ ä㭪樨 Hm ¨ ª®íää¨æ¨¥­âë Am ¨ λm ­¥ § ¢¨áïâ ®â
ç¨á« Ǒ¥ª«¥.
Ǒ®á«¥ ¯®¤áâ ­®¢ª¨ à §«®¥­¨ï (3.4.12) ¢ (3.4.1) ¨ ¯®á«¥¤ãî饣® à §¤¥«¥­¨ï ¯¥à¥¬¥­­ëå ¯à¨å®¤¨¬ ª á«¥¤ãî饬㠮¡ëª­®¢¥­­®¬ã
¤¨ää¥à¥­æ¨ «ì­®¬ã ãà ¢­¥­¨î ¤«ï ®¯à¥¤¥«¥­¨ï ä㭪権 Hm :
d2 Hm
dy 2

+ λ2m (1 − y 2 )Hm = 0.

(3.4.13)

117

3.4. Œ áᮯ¥à¥­®á ¢ ¯«¥­ª å ¨¤ª®áâ¨
’€‹ˆ–€ 3.2
‘®¡á⢥­­ë¥ §­ 祭¨ï λm ¨ ª®íää¨æ¨¥­âë à §«®¥­¨ï Am
¢ à¥è¥­¨¨ (3.4.12) ¤«ï à á¯à¥¤¥«¥­¨ï ª®­æ¥­âà 樨
¢­ãâਠ¯«¥­ª¨, ­ ¯®¢¥àå­®á⨠ª®â®à®© ¡á®à¡¨àã¥âáï £ §
m

λm

Am

m

λm

Am

1
2
3
4
5

2,2631
6,2977
10,3077
14,3128
18,3159

1,3382
−0,5455
0,3589
−0,2721
0,2211

6
7
8
9
10

22,3181
26,3197
30,3209
34,3219
38,3227

−0,1873
0,1631
−0,1449
0,1306
−0,1191

ƒà ­¨ç­ë¥ ãá«®¢¨ï ¤«ï Hm ¯®«ã稬 ¨§ (3.4.3) ¨ (3.4.4) á ãç¥â®¬
¯à¥¤áâ ¢«¥­¨ï (3.4.12):
y

= 0,

Hm

= 0;

y

= 1,

dHm
dy

= 0.

(3.4.14)

‡ ¤ ç (3.4.13) ¨ (3.4.14) á«ã¨â ¤«ï ®¯à¥¤¥«¥­¨ï ᮡá⢥­­ëå
ä㭪権 Hm ¨ ᮡá⢥­­ëå §­ 祭¨© λm .
Ž¡é¥¥ à¥è¥­¨¥ ãà ¢­¥­¨ï (3.4.13) ¨¬¥¥â ¢¨¤ [223℄
Hm (y ) = exp(− 12 λm y 2 )[B1 (am , 12 ; λm y 2 ) +
+ B2 y (am + 12 , 32 ; λm y 2 )℄, am = 41 (1 − λm ),

£¤¥ (a, b, ξ ) = 1 +

∞
X
a(a + 1) . . . (a + m − 1) ξ m
b(b + 1) . . . (b + m − 1) m!
m=1

(3.4.15)

| ¢ëத¥­­ ï

£¨¯¥à£¥®¬¥âà¨ç¥áª ï äã­ªæ¨ï.
“¤®¢«¥â¢®àïï ¯¥à¢®¬ã £à ­¨ç­®¬ã ãá«®¢¨î (3.4.14), ­ 室¨¬
B1 = 0. Ǒ®¤áâ ¢«ïï íâ® §­ 祭¨¥ ¢ ä®à¬ã«ã (3.4.15) ¨ ¯®« £ ï B2 = 1
(ä㭪樨 Hm ®¯à¥¤¥«ïîâáï á â®ç­®áâìî ¤® ¯®áâ®ï­­®£® ᮬ­®¨â¥«ï), ¯®«ã稬




Hm (y ) = y exp − 12 λm y 2  am + 12 , 32 ; λm y 2 .

(3.4.16)





λm  am + 12 , 32 ; λm −  am + 12 , 12 ; λm = 0,

(3.4.17)

Ǒ®¤áâ ¢«ïï äã­ªæ¨î (3.4.16) ¢® ¢â®à®¥ £à ­¨ç­®¥ ãá«®¢¨¥
(3.4.14), ¯à¨å®¤¨¬ ª á«¥¤ãî饬ã âà ­á業¤¥­â­®¬ã ãà ¢­¥­¨î ¤«ï
®¯à¥¤¥«¥­¨ï ᮡá⢥­­ëå §­ 祭¨© λm :
¯à¨ ¢ë¢®¤¥ ª®â®à®£® ¡ë«® ¨á¯®«ì§®¢ ­® à ¢¥­á⢮ [12℄

1−b 
d
(a, b; ξ ) =
(a, b; ξ ) − (a, b − 1; ξ ) .
dξ

ξ

‚ â ¡«. 3.2 ¯à¨¢¥¤¥­ë 10 ¯¥à¢ëå ᮡá⢥­­ëå §­ 祭¨©
¢ëç¨á«¥­­ëå ¢ à ¡®â¥ [290℄.

λm ,

118

Œ áᮯ¥à¥­®á ¢ ¯«¥­ª å ¨¤ª®áâ¨, âàã¡ å ¨ ª ­ « å

‡ ©¬¥¬áï ⥯¥à쮯।¥«¥­¨¥¬ ª®íää¨æ¨¥­â®¢ Am . Ǒ®¤áâ ­®¢ª
àï¤ (3.4.12) ¢ £à ­¨ç­®¥ ãá«®¢¨¥ (3.4.2) ¤ ¥â
∞
X

m=1

Am Hm (y ) = 1.

(3.4.18)

“¬­®¨¬ ãà ¢­¥­¨¥ (3.4.13) ­ ᮡá⢥­­ãî äã­ªæ¨î Hk (k =
6 m)
¨ ¯à®¨­â¥£à¨à㥬 ¯®«ã祭­®¥ ¢ëà ¥­¨¥ ¯® y ®â 0 ¤® 1. Ǒ®á«¥ ­¥ª®â®àëå ¯à¥®¡à §®¢ ­¨© á ãç¥â®¬ £à ­¨ç­ëå ãá«®¢¨© (3.4.14) ¯à¨å®¤¨¬
ª ãá«®¢¨ï¬ ®à⮣®­ «ì­®á⨠¤«ï Hk ¨ Hm á ¢¥á®¢®© ä㭪樥© (1 −y 2):
Z 1
0

(1 − y 2 )Hm Hk dy = 0

( k 6 = m ).

(3.4.19)

“¬­® ï ®¡¥ ç áâ¨ à ¢¥­á⢠(3.4.18) ­ äã­ªæ¨î (1 − y 2 )Hk ¨
¨­â¥£à¨àãï ¯®«ã祭­ë© àï¤ ¯® ¢á¥© ⮫騭¥ ¯«¥­ª¨ á ãç¥â®¬ (3.4.19),
­ ©¤¥¬ ª®íää¨æ¨¥­âë
Am

=

Z 1

Z 10
0

(1 − y 2 )Hm (y ) dy

(1 − y 2 )



H m (y )

2

,

£¤¥

m = 1,

2,

...

(3.4.20)

dy

‚ â ¡«. 3.2 㪠§ ­ë 10 ¯¥à¢ëå ª®íää¨æ¨¥­â®¢ Am , ¢ëç¨á«¥­­ëå
¢ à ¡®â¥ [290℄.
¥§à §¬¥à­ë© ¨­â¥£à «ì­ë© ¯®â®ª ­ ç áâì ¯®¢¥àå­®á⨠¯«¥­ª¨
®â 0 ¤® x á ãç¥â®¬ à ¢¥­á⢠(3.4.12) ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¯® ä®à¬ã«¥
I

=−

Z

x

∂c
∂y



dx =
0
y =0





∞
X
λ2m
Am
dHm
−
= Pe
1
−
exp
x
.
λ2m
dy
Pe
y =0
m=1

(3.4.21)

Ǒ®¤áâ ¢«ïï áî¤ äã­ªæ¨î (3.4.16), ¨¬¥¥¬




∞
X
Am
λ2m
I = Pe
1 − exp −
x .
λ2m
Pe
m=1

(3.4.22)

‘®¯®áâ ¢«¥­¨¥ í⮩ ä®à¬ã«ë á (3.4.11) ¯®ª §ë¢ ¥â, çâ® ¯à¨¡«¨¥­¨¥¬ ¤¨ää㧨®­­®£® ¯®£à ­¨ç­®£® á«®ï ¬®­® ¯®«ì§®¢ âìáï ¢ ®¡« á⨠x 6 0,1 Pe.

 á⢮७¨¥ ¯« áâ¨­ë « ¬¨­ à­®© ¯«¥­ª®© ¨¤ª®áâ¨.

 áᬮâਬ ⥯¥àì ¬ áᮯ¥à¥­®á ®â ⢥म© á⥭ª¨ ª ¨¤ª®© ¯«¥­ª¥

3.4. Œ áᮯ¥à¥­®á ¢ ¯«¥­ª å ¨¤ª®áâ¨

119

¯à¨ ¡®«ìè¨å ç¨á« å Ǒ¥ª«¥. ’ ª ï § ¤ ç ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â §­ ç¨â¥«ì­ë©
¨­â¥à¥á ¢ á¢ï§¨ á ¯à®æ¥áá ¬¨ à á⢮७¨ï, ªà¨áâ ««¨§ 樨, ª®à஧¨¨, ­®¤­®£® à á⢮७¨ï ¬¥â ««®¢ ¢ à拉 í«¥ªâà®å¨¬¨ç¥áª¨å ¯à®¨§¢®¤á⢠¨ ¤à. ‚® ¬­®£¨å á«ãç ïå, ¢áâà¥ç îé¨åáï ­ ¯à ªâ¨ª¥, ¯à®æ¥ááë à á⢮७¨ï ¯à®â¥ª îâ ¤®áâ â®ç­® ¡ëáâà® ¯® áà ¢­¥­¨î á ¤¨ää㧨¥©. Ǒ®í⮬㠡㤥¬ áç¨â âì, çâ® ­ ¯®¢¥àå­®á⨠¯« áâ¨­ë ª®­æ¥­âà æ¨ï ¯®áâ®ï­­ ¨ à ¢­ Cs , ­ ¢å®¤­®¥ á¥ç¥­¨¥ ¯®¤ ¥âáï ç¨áâ ï
¨¤ª®áâì. Š ª ¨ à ­¥¥, ¢¢¥¤¥¬ ¡¥§à §¬¥à­ë¥ ¯¥à¥¬¥­­ë¥ ¯® ä®à¬ã« ¬ (3.4.5). Š®­¢¥ªâ¨¢­ë© ¬ áᮯ¥à¥­®á ¢ ¯«¥­ª¥ ¨¤ª®á⨠¢ ¤ ­­®¬
á«ãç ¥ ®¯¨áë¢ ¥âáï ãà ¢­¥­¨¥¬ (3.4.1), £à ­¨ç­ë¬ ãá«®¢¨¥¬ ¯® ¯à®¤®«ì­®© ¯¥à¥¬¥­­®© x (3.4.2) ¨ á«¥¤ãî騬¨ £à ­¨ç­ë¬¨ ãá«®¢¨ï¬¨
¯® ¯®¯¥à¥ç­®© ª®®à¤¨­ â¥:
y

= 0,

y

= 1,

∂c
=0
∂y
c=1

(x > 0);

(3.4.23)

(x > 0).

(3.4.24)

•®âï íâ § ¤ ç ®â«¨ç ¥âáï ®â ¨§ã祭­®© à ­¥¥ § ¤ ç¨ (3.4.1) |
(3.4.4) «¨èì ¯¥à¥áâ ­®¢ª®© £à ­¨ç­ëå ãá«®¢¨© (3.4.3) ¨ (3.4.4), ¨å
à¥è¥­¨ï ¡ã¤ãâ áãé¥á⢥­­® à §«¨ç âìáï.
Ǒਡ«¨¥­¨¥ ¤¨ää㧨®­­®£® ¯®£à ­¨ç­®£® á«®ï.  ­ ç «ì­®¬
ãç á⪥ ¯à¨ x = O(1) ®á­®¢­®¥ ¨§¬¥­¥­¨¥ ª®­æ¥­âà 樨 ¯à®¨á室¨â
¢ ®¡« á⨠¤¨ää㧨®­­®£® ¯®£à ­¨ç­®£® á«®ï, ª®â®àë© à ᯮ«®¥­
¢¡«¨§¨ ¯®¢¥àå­®á⨠¯« á⨭ë. €á¨¬¯â®â¨ç¥áª®¥ à¥è¥­¨¥ ¢ í⮩ ®¡« á⨠¬®­® ­ ©â¨ ¯ã⥬ ¯®¤áâ ­®¢ª¨ ¢ ãà ¢­¥­¨¥ (3.4.1) à áâï­ã⮩
ª®®à¤¨­ âë
ξ = (1 − y ) Pe1/3
(3.4.25)
á ¯®á«¥¤ãî騬 ¢ë¤¥«¥­¨¥¬ áâ à襣® ç«¥­ à §«®¥­¨ï ª®­æ¥­âà 樨 ¯à¨ Pe → ∞. ‚ १ã«ìâ ⥠㪠§ ­­®© ¯à®æ¥¤ãàë ¯à¨å®¤¨¬ ª ãà ¢­¥­¨î ¤¨ää㧨®­­®£® ¯®£à ­¨ç­®£® á«®ï
2ξ

∂c
∂x

=

∂2c
.
∂ξ 2

(3.4.26)

 áá㤠ï â ª ¥, ª ª íâ® ¤¥« «®áì à ­¥¥ ¢ § ¤ ç¥ ®¡ ¡á®à¡æ¨¨
£ §®¢ ­ ¯®¢¥àå­®á⨠¯«¥­ª¨, á ¯®¬®éìî (3.4.2), (3.4.23), (3.4.24) ¯®«ã稬 £à ­¨ç­ë¥ ãá«®¢¨ï ¤«ï ãà ¢­¥­¨ï (3.4.26), ª®â®àë¥ á â®ç­®áâìî
¤® ¯¥à¥®¡®§­ 祭¨ï ξ → w ᮢ¯ ¤ îâ á (3.4.8). ¥è¥­¨¥ ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 § ¤ ç¨ ¤ ¥âáï ä®à¬ã«®©
c=

1
(1/3)



1 2ξ 3
,
3 9x

£¤¥ (1/3, z ) | ­¥¯®«­ ï £ ¬¬ -äã­ªæ¨ï.



,

(3.4.27)

120

Œ áᮯ¥à¥­®á ¢ ¯«¥­ª å ¨¤ª®áâ¨, âàã¡ å ¨ ª ­ « å

„¨ää¥à¥­æ¨àãï ¢ëà ¥­¨¥ (3.4.27), ¢ëç¨á«¨¬ «®ª «ì­ë© ¤¨ää㧨®­­ë© ¯®â®ª [100℄
j

61/3 Pe1/3
(1/3) x1/3

=

≈ 0,678

Pe1/3

.
x1/3

(3.4.28)

‘®®â¢¥âáâ¢ãî騩 ¨­â¥£à «ì­ë© ¤¨ää㧨®­­ë© ¯®â®ª ­ ¯®¢¥àå­®áâì ¯« á⨭ª¨ à ¢¥­
I

=

Z

x

0

j dx = 1,02 Pe1/3 x2/3 .

(3.4.29)

‘®¯®áâ ¢«¥­¨¥ ä®à¬ã« (3.4.9) | (3.4.11) ¨ (3.4.27) | (3.4.29) ¯®ª §ë¢ ¥â, çâ® ¯à¨ x ∼ 1 ⮫騭 ¤¨ää㧨®­­®£® ¯®£à ­¨ç­®£® á«®ï
¢¡«¨§¨ ᢮¡®¤­®© ¯®¢¥àå­®á⨠¯«¥­ª¨ δ0 ∼ Pe−1/2 §­ ç¨â¥«ì­® ¬¥­ìè¥ â®«é¨­ë ¯®£à ­á«®ï ¢¡«¨§¨ ⢥म© ¯®¢¥àå­®á⨠δâ ∼ Pe−1/3 . ‘®®â¢¥âá⢥­­® ¤¨ää㧨®­­ë© ¯®â®ª ­ ᢮¡®¤­ãî ¯®¢¥àå­®áâì ¡®«ìè¥, 祬 ­ ⢥à¤ãî ¯®¢¥àå­®áâì. Šà®¬¥ ⮣®, ¤¨ää㧨®­­ë© ¯®â®ª
­ ᢮¡®¤­®© ¯®¢¥àå­®á⨠ã¡ë¢ ¥â ¡ëáâ॥, 祬 ­ ⢥म© £à ­¨æ¥, ¯® ¬¥à¥ ¯à®¤¢¨¥­¨ï ®â ¢å®¤­®£® á¥ç¥­¨ï. “ª § ­­ë¥ íä䥪âë
®¡ãá«®¢«¥­ë ⥬, çâ® ¢¡«¨§¨ ᢮¡®¤­®© ¯®¢¥àå­®á⨠¨¤ª®áâì ¤¢¨¥âáï áãé¥á⢥­­® ¡ëáâ॥, 祬 ¢¡«¨§¨ ⢥म© £à ­¨æë, ­ ª®â®à®©
¢ë¯®«­ï¥âáï ãá«®¢¨¥ ¯à¨«¨¯ ­¨ï.
‘ª § ­­®¥ ¤«ï ¯«¥­ª¨ ¨¤ª®á⨠¡ã¤¥â á¯à ¢¥¤«¨¢® â ª¥ ¤«ï ¯®¤ ¢«ïî饣® ¡®«ì設á⢠§ ¤ ç ¤¨ää㧨®­­®£® ¯®£à ­¨ç­®£® á«®ï.
€ ¨¬¥­­®, ¢¡«¨§¨ £à ­¨æë à §¤¥« £ §{¨¤ª®áâì ¨«¨ ¨¤ª®áâì{
¨¤ª®áâì ¡¥§à §¬¥à­ ï ⮫騭 ¯®£à ­¨ç­®£® á«®ï ¯à®¯®à樮­ «ì­ Pe−1/2 (¤¨ää㧨®­­ë© ¯®â®ª j ∼ Pe1/2 ), ¢¡«¨§¨ £à ­¨æ ⨯
¨¤ª®áâì{⢥म¥ ⥫® ⮫騭 ¯®£à ­á«®ï ¯à®¯®à樮­ «ì­ Pe−1/3
(¤¨ää㧨®­­ë© ¯®â®ª j ∼ Pe1/3 ).
’®ç­®¥ à¥è¥­¨¥. ¥è¥­¨¥ § ¤ ç¨ (3.4.1), (3.4.2), (3.4.23), (3.4.24)
¢® ¢á¥© ®¡« á⨠0 6 x < ∞, ª ª ¨ à ­¥¥, ¨é¥¬ ¢ ¢¨¤¥ àï¤ (3.4.12), £¤¥
ᮡá⢥­­ë¥ ä㭪樨 Hm 㤮¢«¥â¢®àïîâ ãà ¢­¥­¨î (3.4.13). (¥¨§¢¥áâ­ë¥ ª®íää¨æ¨¥­âë λm , Am ¨ ä㭪樨 Hm ¯®¤«¥ â ®¯à¥¤¥«¥­¨î ¨ ¡ã¤ãâ ¨­ë¬¨, 祬 ¢ § ¤ ç¥ ®¡ ¡á®à¡æ¨¨ £ §®¢ ­ ᢮¡®¤­ãî
¯®¢¥àå­®áâì ¯«¥­ª¨). ƒà ­¨ç­ë¥ ãá«®¢¨ï ¤«ï Hm ­ ©¤¥¬, ¯®¤áâ ¢«ïï
à §«®¥­¨¥ (3.4.12) ¢ (3.4.23) ¨ (3.4.24). ‚ १ã«ìâ ⥠¯®«ã稬
y

= 0,

dHm
dy

= 0;

y

= 1,

Hm

= 0.

(3.4.30)

Ž¡é¥¥ à¥è¥­¨¥ ãà ¢­¥­¨ï (3.4.13) ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ä®à¬ã«®© (3.4.15).
“¤®¢«¥â¢®àïï ¯¥à¢®¬ã £à ­¨ç­®¬ã ãá«®¢¨î (3.4.30), ¨¬¥¥¬ B2 = 0.

3.4. Œ áᮯ¥à¥­®á ¢ ¯«¥­ª å ¨¤ª®áâ¨

121

Ǒ®¤áâ ¢«ïï íâ® §­ 祭¨¥ ¢ (3.4.15) ¨ ¯®« £ ï B1 = 1, ¯à¨å®¤¨¬ ª ¢ëà ¥­¨î




Hm (y ) = exp − 12 λm y 2  14 − 14 λm , 12 ; λm y 2 .

(3.4.31)

’à ­á業¤¥­â­®¥ ãà ¢­¥­¨¥ ¤«ï ᮡá⢥­­ëå §­ 祭¨© λm ¢ë¢®¤¨âáï á ¯®¬®éìî ¢â®à®£® £à ­¨ç­®£® ãá«®¢¨ï (3.4.30) ¨ ä®à¬ã«ë (3.4.31):




am , 12 ; λm = 0,

£¤¥

am

=

1
1
4 − 4 λm .

(3.4.32)

Š®à­¨ ãà ¢­¥­¨ï (3.4.32) ¯®«®¨â¥«ì­ë ¨ ¬®­®â®­­® ¢®§à áâ îâ,
¯à¨ç¥¬ λm → ∞ ¯à¨ m → ∞. “ç¨âë¢ ï ᪠§ ­­®¥, ­ ©¤¥¬ ᨬ¯â®â¨ªã ᮡá⢥­­ëå §­ 祭¨© λm ¯à¨ ¡®«ìè¨å ¯®à浪®¢ëå ­®¬¥à å m.
Ǒਠ®¤­®¢à¥¬¥­­®¬ ¢ë¯®«­¥­¨¨ ¤¢ãå ãá«®¢¨©
ᨬ¯â®â¨ª
¢¨¤ [170℄

x→∞

¨

x − 2b + 4 a =

onst

(3.4.33)

¢ëத¥­­®© £¨¯¥à£¥®¬¥âà¨ç¥áª®© ä㭪樨 ¨¬¥¥â

h 

i
2 (b)
2/3−b ex/2 sin aπ + π + O(x−2/3 ) .
b
−
2
a
)
(
32/3 (2/3)
6
(3.4.34)
‚ à áᬠâਢ ¥¬®¬ á«ãç ¥ x = λm ¨ x − 2b + 4a = 0, â.¥. ¨¬¥îâ ¬¥áâ® ãá«®¢¨ï (3.4.33). Ǒ®í⮬ã à á¯à¥¤¥«¥­¨¥ ᮡá⢥­­ëå §­ 祭¨© λm , 㤮¢«¥â¢®àïîé¨å ãà ¢­¥­¨î (3.4.32), ¯à¨ m → ∞ ᮣ« á­® ä®à¬ã«¥ (3.4.34) ®¯à¥¤¥«ï¥âáï âਣ®­®¬¥âà¨ç¥áª¨¬ ãà ¢­¥­¨¥¬
sin(am π + π/6) = 0. £® à¥è¥­¨ï ®¯¨áë¢ îâáï ä®à¬ã«®©

(a, b; x) =

am

= −m −

1,
6

£¤¥

m = 0, ±1, ±2, . . .

(3.4.35)

Ǒ®¤áâ ¢«ïï áî¤ am ¨§ (3.4.32), ¯®«ã稬 ᨬ¯â®â¨ªã ᮡá⢥­­ëå §­ 祭¨© λm ¯à¨ m → ∞ [298℄
λm

= 4m +

5
3.

(3.4.36)

Žâ¬¥â¨¬ § ¬¥ç ⥫ì­ë© ä ªâ: å®âï ä®à¬ã« (3.4.36) ¨ ¡ë« ¢ë¢¥¤¥­ ¤«ï ¡®«ìè¨å ¯®à浪®¢ëå ­®¬¥à®¢ m, ¥¥ á ãᯥ宬 ¬®­® ¨á¯®«ì§®¢ âì ¤«ï ¢á¥å m = 0, 1, 2, . . . ‘®¯®áâ ¢«¥­¨¥ á १ã«ìâ â ¬¨ ç¨á«¥­­ëå à áç¥â®¢ [209℄ (á¬. â ª¥ [129℄) ¯®ª §ë¢ ¥â, çâ® ¬ ªá¨¬ «ì­ ï
¯®£à¥è­®áâì ä®à¬ã«ë (3.4.36) ­ ¡«î¤ ¥âáï ¯à¨ m = 0 ¨ á®áâ ¢«ï¥â
¢á¥£® 0,9%.
‚¬¥áâ® (3.4.36) ¤«ï ᮡá⢥­­ëå §­ 祭¨© ¬®­® ¨á¯®«ì§®¢ âì
¡®«¥¥ â®ç­ãî § ¢¨á¨¬®áâì
λm

= 4m + 1,68

(m = 0, 1, 2,

. . . ),

(3.4.37)

122

Œ áᮯ¥à¥­®á ¢ ¯«¥­ª å ¨¤ª®áâ¨, âàã¡ å ¨ ª ­ « å

¯®£à¥è­®áâì ª®â®à®© ¬¥­ìè¥ 0,2%.
Š®íää¨æ¨¥­âë Am àï¤ (3.4.12), ª ª ¨ à ­¥¥, ®¯à¥¤¥«ïîâáï ¯®
ä®à¬ã«¥ (3.4.20), £¤¥ ᮡá⢥­­ë¥ ä㭪樨 Hm ¢ë¯¨á ­ë ¢ (3.4.31).
¥§ã«ìâ âë ç¨á«¥­­ëå [209℄ ¨ ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨å [298℄ ¬¥â®¤®¢
à áç¥â ª®íää¨æ¨¥­â®¢ Am ¬®­® ¯¯à®ªá¨¬¨à®¢ âì â ª:
A0 = 1,2;

7/6
Am = 2,27 (−1)mλ−
m

¯à¨

m = 1, 2, 3, . . . ,

(3.4.38)

£¤¥ λm ¯à¨¢¥¤¥­ë ¢ (3.4.37). Œ ªá¨¬ «ì­ ï ¯®£à¥è­®áâì ¢ëà ¥­¨©
(3.4.38) á®áâ ¢«ï¥â ¬¥­ìè¥ 0,1%.
ˆ­â¥£à «ì­ë© ¤¨ää㧨®­­ë© ¯®â®ª ­ ¯®¢¥àå­®á⨠¯« á⨭ª¨
¢ëç¨á«ï¥âáï ¯® ä®à¬ã«¥ (3.4.21), £¤¥ (dHm /dy )y=0 á«¥¤ã¥â § ¬¥­¨âì
­ (dHm /dy )y=1. „«ï ᮡá⢥­­ëå ä㭪権 Hm ¨ ª®íää¨æ¨¥­â®¢ λm
¨ Am ¬®­® ¨á¯®«ì§®¢ âì ¢ëà ¥­¨ï (3.4.31), (3.4.37), (3.4.38).
3.5. ’¥¯«®- ¨ ¬ áᮯ¥à¥­®á ¯à¨ « ¬¨­ à­®¬
â¥ç¥­¨¨ ¢ ªà㣫®© âàã¡¥

Œ­®£¨¥ ¯à®æ¥ááë ª®­¢¥ªâ¨¢­®£® ¬ áá®- ¨ ⥯«®¯¥à¥­®á ¢ 娬¨ç¥áª®©, ­¥äâ¥å¨¬¨ç¥áª®©, £ §®¢®©, ⮬­®© ¨ ¤àã£¨å ®âà á«ïå ¯à®¬ëè«¥­­®á⨠®áãé¥á⢫ïîâáï ¢ âàã¡ å (¢®¤®-, £ §®- ¨ ­¥ä⥯஢®¤ë,
⥯«®®¡¬¥­­¨ª¨ ¨ ¤à.).
 稭 ï á ª« áá¨ç¥áª¨å à ¡®â ƒà¥âæ ¨ ãáᥫìâ [232, 266℄, § ¤ ç¨ ® à á¯à¥¤¥«¥­¨¨ ⥬¯¥à âãàë ¨¤ª®áâ¨, ¤¢¨ã饩áï ¯® âàã¡¥,
¯à¨ à §«¨ç­ëå ¯à¥¤¯®«®¥­¨ïå ® ⨯¥ â¥ç¥­¨ï, ä®à¬¥ âàã¡ë, ¢¨¤¥
£à ­¨ç­ëå ãá«®¢¨©, ¢¥«¨ç¨­ å ç¨á¥« Ǒ¥ª«¥ ¨ à拉 ã¯à®é¥­¨© à áᬠâਢ «¨áì ¬­®£¨¬¨ ¢â®à ¬¨ (á¬., ­ ¯à¨¬¥à, [7, 93, 129, 150, 164,
197, 209, 223, 245, 255, 298℄). ‚ ¤ ­­®¬ à §¤¥«¥ ¡ã¤ãâ ®¯¨á ­ë ­ ¨¡®«¥¥
¢ ­ë¥ १ã«ìâ âë ¢ í⮩ ®¡« áâ¨.
’àã¡ á ¯®áâ®ï­­®© ⥬¯¥à âãன ­ á⥭ª¥.  áᬮâਬ
« ¬¨­ à­®¥ áâ ¡¨«¨§¨à®¢ ­­®¥ â¥ç¥­¨¥ ¨¤ª®á⨠¢ ªà㣫®© âàã¡¥
à ¤¨ãá a á ¯ã §¥©«¥¢áª¨¬ ¯à®ä¨«¥¬ ᪮à®á⨠(á¬. à §¤. 1.5). ‚¢¥¤¥¬
樫¨­¤à¨ç¥áªãî á¨á⥬㠪®®à¤¨­ â R, Z , £¤¥ ®áì Z ­ ¯à ¢«¥­ ¯® ®á¨
¯®â®ª . ‘ç¨â ¥¬, çâ® ­ ¯®¢¥àå­®á⨠âàã¡ë ¯à¨ Z > 0 ¯®¤¤¥à¨¢ ¥âáï
¯®áâ®ï­­ ï ⥬¯¥à âãà T2. ‚室­®© ãç á⮪ ¡ã¤¥¬ ¬®¤¥«¨à®¢ âì
®¡« áâìî Z < 0, £¤¥ ⥬¯¥à âãà ­ á⥭ª¥ âàã¡ë ⮥ ¯®áâ®ï­­ ,
­® ¯à¨­¨¬ ¥â ¤à㣮¥ §­ 祭¨¥, à ¢­®¥ T1 .
Ǒà®æ¥áá ª®­¢¥ªâ¨¢­®£® ⥯«®¯¥à¥­®á ¢ âàã¡¥ ®¯¨áë¢ ¥âáï ãà ¢­¥­¨¥¬ ¨ £à ­¨ç­ë¬¨ ãá«®¢¨ï¬¨
PeT (1 − ̺2 )

∂T
∂z

=

∂2T
∂̺2

+

1

∂T
̺ ∂̺

+

∂2T
∂z 2

;

(3.5.1)

3.5. ’¥¯«®- ¨ ¬ áᮯ¥à¥­®á ¯à¨ « ¬¨­ à­®¬ â¥ç¥­¨¨ ¢ ªà㣫®© âàã¡¥

∂T
0 ¯à¨ z < 0;
= 0;
̺ = 1, T =
1 ¯à¨ z > 0;
∂̺
z → −∞, T → 0;
z → ∞, T → 1,

̺ = 0,

123

(3.5.2)
(3.5.3)

¯à¨ § ¯¨á¨ ª®â®àëå ¡ë«¨ ¨á¯®«ì§®¢ ­ë ¡¥§à §¬¥à­ë¥ ¢¥«¨ç¨­ë
̺=

R
,
a

z

=

Z
,
a

T

=

T∗ − T1
,
T2 − T1

aUmax
,
χ

PeT =

£¤¥ T∗ | ⥬¯¥à âãà ¨¤ª®áâ¨, χ | ª®íää¨æ¨¥­â ⥬¯¥à âãய஢®¤­®áâ¨, Umax = a2
P/(4µL) | ¬ ªá¨¬ «ì­ ï ᪮à®áâì ¢ 業âॠâàã¡ë,
P | ¯¥à¥¯ ¤ ¤ ¢«¥­¨ï ­ ¤«¨­¥ L, µ | ¤¨­ ¬¨ç¥áª ï ¢ï§ª®áâì
¨¤ª®áâ¨.
®«ì訥 ç¨á« Ǒ¥ª«¥ (­ ç «ì­ë© ãç á⮪). ǑਠPeT → ∞ ¢
®¡« á⨠z < 0 ⥬¯¥à âãà ¨¤ª®á⨠¯®áâ®ï­­ ¨ à ¢­ ⥬¯¥à âãà¥
­ á⥭ª¥ T ≈ 0. ‚ ®¡« á⨠z > 0 ¯à¨ z = O(1) ¢¡«¨§¨ ¯®¢¥àå­®áâ¨
âàã¡ë ä®à¬¨àã¥âáï â®­ª¨© ⥯«®¢®© ¯®£à ­¨ç­ë© á«®©. ‚ í⮩
®¡« á⨠¢ «¥¢®© ç á⨠ãà ¢­¥­¨ï (3.5.1) ¬®­® ®£à ­¨ç¨âìáï £« ¢­ë¬
ç«¥­®¬ à §«®¥­¨ï ᪮à®á⨠¯à¨ ̺ → 1 ¨ § ¯¨á âì v = 1 − ̺2 ≈
≈ 2ξ , £¤¥ ξ = 1 − ̺. Šà®¬¥ ⮣®, ¤¢ã¬ï ¯®á«¥¤­¨¬¨ ç«¥­ ¬¨ ¢
¯à ¢®© ç á⨠(3.5.1) ¬®­® ¯à¥­¥¡à¥çì ¯® áà ¢­¥­¨î á ¯¥à¢ë¬, â.¥.

T ≈ ∂ 2T /∂ξ 2 . ‚ ¨â®£¥ ¯à¨å®¤¨¬ ª ãà ¢­¥­¨î, ª®â®à®¥ á â®ç­®áâìî ¤®
¯¥à¥®¡®§­ 祭¨© ᮢ¯ ¤ ¥â á (3.4.26). “ç¨âë¢ ï £à ­¨ç­ë¥ ãá«®¢¨ï
(3.5.2), ¤«ï à á¯à¥¤¥«¥­¨ï ⥬¯¥à âãàë ¢ ¯®£à ­¨ç­®¬ á«®¥ ¯®«ã稬
T

1
(1/3)

=



1 2 PeT (1 − ̺)3
,
3
9z



(3.5.4)

.

‘®®â¢¥âáâ¢ãî騥 ¡¥§à §¬¥à­ë¥ «®ª «ì­ë© jT ¨ ¨­â¥£à «ì­ë© IT
⥯«®¢ë¥ ¯®â®ª¨ ¨¬¥îâ ¢¨¤ [255℄
jT
IT







1
6PeT
=−
=
(1
/
3)
z
̺=1
Z z
3(6 PeT )1/3 2/3
=
jT dz =
z .
2 (1/3)
0
∂T
∂̺

1/3

,

(3.5.5)
(3.5.6)

Ž¡« áâì ¯à¨¬¥­¥­¨ï ä®à¬ã« (3.5.4) | (3.5.6) ®£à ­¨ç¥­ §­ 祭¨ï¬¨ z ≪ PeT . “ª § ­­®¥ ®£à ­¨ç¥­¨¥ ᮣ« á­® ®æ¥­ª¥ [100℄ ¯à ªâ¨ç¥áª¨ ¢á¥£¤ ¢ë¯®«­ï¥âáï ¢ ­ «®£¨ç­®© § ¤ ç¥ ¤¨ää㧨®­­®£® ¯®£à ­¨ç­®£® á«®ï.
Ǒந§¢®«ì­ë¥ ç¨á« Ǒ¥ª«¥. ‚ ®¡é¥¬ á«ãç ¥ 0 6 PeT < ∞ à á¯à¥¤¥«¥­¨¥ ⥬¯¥à âãàë ¨¤ª®á⨠¨é¥¬ ¯® ®â¤¥«ì­®á⨠¯® à §­ë¥

124

Œ áᮯ¥à¥­®á ¢ ¯«¥­ª å ¨¤ª®áâ¨, âàã¡ å ¨ ª ­ « å

áâ®à®­ë ®â ¢å®¤­®£® á¥ç¥­¨ï âàã¡ë ¢ ¢¨¤¥ à冷¢:
T
T

=

∞
X

k=0

=1−

Bk exp
∞
X

m=0



ηk2



z gk (̺)

PeT


Am exp −

λ2m

PeT



z f m (̺ )

¯à¨

z < 0,

(3.5.7)

¯à¨

z > 0.

(3.5.8)

Ǒ®¤áâ ¢«ïï à §«®¥­¨ï (3.5.7) ¨ (3.5.8) ¢ ãà ¢­¥­¨¥ (3.5.1) ¨
£à ­¨ç­ë¥ ãá«®¢¨ï (3.5.2), (3.5.3), ¯®á«¥ à §¤¥«¥­¨ï ¯¥à¥¬¥­­ëå ¤«ï
ᮡá⢥­­ëå ä㭪権 gk ¨ fm ¨ ᮡá⢥­­ëå §­ 祭¨© ηk ¨ λm
¯®«ã稬 ᯥªâà «ì­ë¥ § ¤ ç¨


dgk
ηk2
2
2
+
+ ηk ̺ − 1 + 2 gk = 0;
̺ d̺
PeT
dgk
̺ = 0,
= 0;
̺ = 1, gk = 0;
d̺

d2 gk
d̺2

1



dfm
λ2m
2
2
+ λm −̺ + 1 + 2 fm
+
̺ d̺
PeT
dfm
̺ = 0,
= 0;
̺ = 1, fm = 0.
d̺

d2 fm
d̺2

1

(3.5.9)

= 0;

(3.5.10)

‘®¡á⢥­­ë¥ ä㭪樨 ®¯à¥¤¥«ïîâáï «¨èì á â®ç­®áâìî ¤® ¯®áâ®ï­­®£® ¬­®¨â¥«ï. „«ï ⮣® çâ®¡ë ®¤­®§­ ç­® 䨪á¨à®¢ âì à¥è¥­¨ï
ᯥªâà «ì­ëå § ¤ ç (3.5.9), (3.5.10), ¢ëáâ ¢¨¬ ãá«®¢¨ï ­®à¬¨à®¢ª¨ ­
®á¨ ¯®â®ª
gk = 1, fm = 1
¯à¨ ̺ = 0.
(3.5.11)
’¥¬¯¥à âãà T = T (̺, z ) ¨ ¥¥ ¯à®¨§¢®¤­ ï ¤®«­ë ¡ëâì ­¥¯à¥àë¢­ë ¯à¨ ¯¥à¥å®¤¥ ç¥à¥§ á¥ç¥­¨¥ z = 0:
∂T
∂T
(̺, −0) =
(̺, +0).
∂z
∂z

T (̺, −0) = T (̺, +0);

(3.5.12)

“á«®¢¨ï ᮣ« ᮢ ­¨ï (3.5.12) ¯®§¢®«ïîâ ­ ©â¨ ª®íää¨æ¨¥­âë
¨ Am à冷¢ (3.5.7) ¨ (3.5.8). ‚ à ¡®â å [7, 246℄ ¡ë«¨ ¢ë¢¥¤¥­ë
ä®à¬ã«ë

Bk

Bk

=−

ηk



2

∂g
∂η



̺=1, η =ηk

,

Am

=−

λm



2

∂f
∂λ



.

(3.5.13)

̺=1, λ=λm

‡¤¥áì g = g (̺, η) ¨ f = f (̺, λ) | ¢á¯®¬®£ ⥫ì­ë¥ ä㭪樨, ª®â®àë¥
®¯à¥¤¥«ïîâáï ¯ã⥬ à¥è¥­¨ï § ¤ ç (3.5.9) | (3.5.11), £¤¥ ®¯ã饭ë

3.5. ’¥¯«®- ¨ ¬ áᮯ¥à¥­®á ¯à¨ « ¬¨­ à­®¬ â¥ç¥­¨¨ ¢ ªà㣫®© âàã¡¥

125

¨­¤¥ªáë k ¨ m ¨ ®â¡à®è¥­ë £à ­¨ç­ë¥ ãá«®¢¨ï ­ á⥭ª å âàã¡ë
¯à¨ ̺ = 1.
„ «¥¥ ®£à ­¨ç¨¬áï ¨áá«¥¤®¢ ­¨¥¬ ®¡« á⨠z > 0.
Ǒàאַ© ¯à®¢¥àª®© ¬®­® ã¡¥¤¨âìáï, çâ® § ¬¥­ u = λm ̺2 ,
F = exp(u/2)fm ¯à¨¢®¤¨â (3.5.9) ª ¢ëத¥­­®¬ã £¨¯¥à£¥®¬¥âà¨ç¥áª®¬ã ãà ¢­¥­¨î ¤«ï ä㭪樨 F = F (u) [12℄. Ǒ®í⮬ã à¥è¥­¨¥
ᯥªâà «ì­®© § ¤ ç¨ (3.5.10), 㤮¢«¥â¢®àïî饥 ãá«®¢¨î ­®à¬¨à®¢ª¨
(3.5.11), ¢ëà  ¥âáï ç¥à¥§ ¢ëத¥­­ãî £¨¯¥à£¥®¬¥âà¨ç¥áªãî äã­ªæ¨î (a, b; ξ ) ¢ ¢¨¤¥
fm

= exp
am

=

− 12 λm ̺2

1
2

−




(am , 1; λm ̺2 ),
λ3m

1
λ −
4 m 4 PeT

(3.5.14)

,

£¤¥ ᮡá⢥­­ë¥ §­ 祭¨ï λm ®¯à¥¤¥«ïîâáï ¯ã⥬ à¥è¥­¨ï âà ­á業¤¥­â­®£® ãà ¢­¥­¨ï
(3.5.15)
(am , 1; λm ) = 0.
‚ᯮ¬®£ â¥«ì­ ï äã­ªæ¨ï f = f (̺, λ), á ¯®¬®éìî ª®â®à®© ¢ëç¨á«ïîâáï ª®íää¨æ¨¥­âë Am (3.5.13), ¯®«ãç ¥âáï ¨§ ä®à¬ã«ë (3.5.14)
¯®á«¥ ®¯ã᪠­¨ï ¨­¤¥ªá®¢ m.
ˆ§ã稬 ᨬ¯â®â¨ç¥áª®¥ ¯®¢¥¤¥­¨¥ ᮡá⢥­­ëå §­ 祭¨© λm ¨
ª®íää¨æ¨¥­â®¢ Am ¢ ­¥ª®â®àëå ¯à¥¤¥«ì­ëå á«ãç ïå.
Ǒਠ¬ «ëå ç¨á« å Ǒ¥ª«¥ «¥¢®© ç áâìî ãà ¢­¥­¨ï (3.5.1) ¬®­®
¯à¥­¥¡à¥çì. ‘®®â¢¥âáâ¢ãî饥 ᨬ¯â®â¨ç¥áª®¥ à¥è¥­¨¥ ­¥ ¤®«­®
§ ¢¨á¥âì ®â ç¨á«
Ǒ¥ª«¥. Ǒ®í⮬㠨§ ¢ëà ¥­¨ï (3.5.8) á«¥¤ã¥â,
p
çâ® λm = Ž( PeT ). “ç¨âë¢ ï ᪠§√ ­­®¥ ¨ ¨á¯®«ì§ãï ¯à¥¤¥«ì­®¥
ᮮ⭮襭¨¥ lim (a, 1; −ξ/a) = J0 (2 ξ ) [12℄, ¨§ ä®à¬ã« (3.5.13) |
(3.5.15) ¯à¨ PeT → 0 ¯®«ã稬
λm

= (γm PeT )1/2 ,

Am

=−


 −1
γm J1 (γm ) ,

fm

= J0 (γm ̺), (3.5.16)

£¤¥ J0 = J0 (ξ ) ¨ J1 = J1 (ξ ) | ä㭪樨 ¥áᥫï, γm | ª®à­¨ ä㭪樨
¥áᥫï J0 (γm ) = 0.
Ǒਡ«¨¥­­ë¥ §­ 祭¨ï γm 㤮¡­® ¢ëç¨á«ïâì á ¯®¬®éìî ¯à¨¡«¨¥­­®£® ¢ëà ¥­¨ï
γm

= 2,4 + 3,13 m

(m = 0, 1, 2,

. . . ),

(3.5.17)

¬ ªá¨¬ «ì­ ï ¯®£à¥è­®áâì ª®â®à®£® á®áâ ¢«ï¥â ¬¥­ìè¥ 0,2% (áà ¢­¥­¨¥ ¯à®¢®¤¨«®áì á ¤ ­­ë¬¨ [170℄).
Ǒ®«®¨¬ ⥯¥àì Pe = ∞ ¢ ä®à¬ã« å (3.5.14) ¨ (3.5.15), ç⮠ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¯ à ¬¥âàã am = 41 (2 − λm ).  áᬮâਬ ¡®«ì訥 §­ 祭¨ï

126

Œ áᮯ¥à¥­®á ¢ ¯«¥­ª å ¨¤ª®áâ¨, âàã¡ å ¨ ª ­ « å

¯®à浪®¢®£® ­®¬¥à m. ‚ ¨áá«¥¤ã¥¬®¬ á«ãç ¥ ¢ë¯®«­ïîâáï ®¡ ᮮ⭮襭¨ï (3.4.33) ¯à¨ x = λm , b = 1, 4a = 2 − λm . Ǒ®í⮬㠤«ï ¢ëத¥­­®© £¨¯¥à£¥®¬¥âà¨ç¥áª®© ä㭪樨 á¯à ¢¥¤«¨¢ ᨬ¯â®â¨ª
(3.4.34), ¨ ª®à­¨ âà ­á業¤¥­â­®£® ãà ¢­¥­¨ï (3.5.15) ®¯à¥¤¥«ïîâáï
¯® ä®à¬ã«¥ (3.4.35). Ǒ®¤áâ ¢«ïï am = 14 (2 − λm ) ¢ (3.4.35), ¤«ï ᮡá⢥­­ëå §­ 祭¨© λm ¨¬¥¥¬ [298℄
λm

= 4m +

8
3.

(3.5.18)

€á¨¬¯â®â¨ç¥áª®¥ à¥è¥­¨¥ (3.5.18), ¯®«ã祭­®¥ ¢ ¯à¥¤¯®«®¥­¨¨
®ª §ë¢ ¥âáï ¯à¨£®¤­ë¬ ¤«ï ¢á¥å §­ 祭¨© m. ‘®¯®áâ ¢«¥­¨¥
á ç¨á«¥­­ë¬¨ ¤ ­­ë¬¨ [129℄ ¯®ª §ë¢ ¥â, çâ® ¬ ªá¨¬ «ì­ ï ¯®£à¥è­®áâì ¢ëà ¥­¨ï (3.5.18) ­ ¡«î¤ ¥âáï ¯à¨ m = 0 ¨ á®áâ ¢«ï¥â 1,4%.
‚¬¥áâ® (3.5.18) 㤮¡­® ¨á¯®«ì§®¢ âì ãâ®ç­¥­­ãî § ¢¨á¨¬®áâì

m ≫ 1,

λm

= 4m + 2,7

(m = 0, 1, 2,

. . . ),

(3.5.19)

¬ ªá¨¬ «ì­ ï ¯®£à¥è­®áâì ª®â®à®© 0,3%.
Š®íää¨æ¨¥­âë Am àï¤ (3.5.8) ¬®­® ¢ëç¨á«ïâì ¯® ä®à¬ã«¥
Am

= 2,85 (−1)mλ−m2/3 ,

(3.5.20)

ª®â®à ï á â®ç­®áâìî ¤® 0,5% ᮣ« áã¥âáï á ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨¬¨ [298℄ ¨
ç¨á«¥­­ë¬¨ [129℄ १ã«ìâ â ¬¨.
Ǒਠ¡®«ìè¨å, ­® ª®­¥ç­ëå ç¨á« å Ǒ¥ª«¥, ¢ëà ¥­¨ï (3.5.19),
(3.5.20) ¯à¨¬¥­¨¬ë «¨èì ¤«ï ®£à ­¨ç¥­­®£® ç¨á« ᮡá⢥­­ëå §­ 祭¨©, 㤮¢«¥â¢®àïîé¨å ãá«®¢¨î λm ≪ PeT .
—¨á«¥­­ë¥ §­ 祭¨ï λ0 , λ1 , λ2 ¯à¨ à §«¨ç­ëå PeT , ¯®«ã祭­ë¥ á
¯®¬®éìî ‚Œ, ¯à¨¢¥¤¥­ë ¢ [102℄. ‡ ¢¨á¨¬®áâì £« ¢­®£® ᮡá⢥­­®£®
§­ 祭¨ï λ0 ®â ç¨á« Ǒ¥ª«¥ å®à®è® ¯¯à®ªá¨¬¨àã¥âáï ä®à¬ã«®©
λ0

= 2,7

s

exp(0,27 PeT ) − 1
,
exp(0,27 PeT ) − 0,18

(3.5.21)

¬ ªá¨¬ «ì­ ï ¯®£à¥è­®áâì ª®â®à®© á®áâ ¢«ï¥â ®ª®«® 1%.
“ç¨âë¢ ï, çâ® ¡¥§à §¬¥à­®¥ à á¯à¥¤¥«¥­¨¥ ᪮à®á⥩ ¨¤ª®áâ¨
¢ âàã¡¥ ¤ ¥âáï ¢ëà ¥­¨¥¬ u(̺) = 1 − ̺2 , ¤«ï á।­¥© ¬ áᮢ®©
⥬¯¥à âãàë ¢ ¯à®¨§¢®«ì­®¬ á¥ç¥­¨¨ ¨¬¥¥¬
hT i =

Z 1

T u(̺)2π̺ d̺
Z0 1
u(̺)2π̺ d̺
0

=4

Z 1
0

T (1 − ̺2 )̺ d̺.

3.5. ’¥¯«®- ¨ ¬ áᮯ¥à¥­®á ¯à¨ « ¬¨­ à­®¬ â¥ç¥­¨¨ ¢ ªà㣫®© âàã¡¥

127

Ǒ®¤áâ ¢«ïï ¢ íâã ä®à¬ã«ã àï¤ (3.5.8), ¯®«ã稬
hT i = 1 −

∞
X

m=0



Em exp −

λ2m

PeT



z ,

£¤¥

Em

= 4Am

Z 1
0

fm (1 − ̺2 )̺ d̺.

(3.5.22)
„¨ää¥à¥­æ¨àãï (3.5.8), ­ ©¤¥¬ «®ª «ì­ë© ⥯«®¢®© ¯®â®ª ­
¯®¢¥àå­®áâì âàã¡ë
jT

=



∂T
∂̺



̺=1

=−

∞
X

m=0



λ2
′
Am fm
(1) exp − m z ,

PeT

(3.5.23)

£¤¥ ¯à®¨§¢®¤­ãî ¢ ¯à ¢®© ç á⨠¬®­® ¢ëç¨á«ïâì á ¯®¬®éìî ¢ëà ¥­¨ï: fm′ (1) = 2am λm exp(− 12 λm )(am + 1, 2; λm ).
 ¨¡®«¥¥ ¢ ­®© ¢¥«¨ç¨­®©, ¯à¥¤áâ ¢«ïî饩 ¯à ªâ¨ç¥áª¨© ¨­â¥à¥á, ï¥âáï ç¨á«® ãáᥫìâ
2jT

Nu =

1 − hT i

(3.5.24)

.

‡¤¥áì 1 − hT i | ⥬¯¥à âãà­ë© ­ ¯®à, à ¢­ë© à §­®á⨠¬¥¤ã
⥬¯¥à âãன á⥭ª¨ ¨ á।­¥© ⥬¯¥à âãன ¨¤ª®áâ¨.
ˆ§ ¢ëà ¥­¨© (3.5.22) | (3.5.24) á«¥¤ã¥â, çâ® ¢¤ «¨ ®â ¢å®¤
¢ âàã¡ã (¯à¨ z → +∞) ç¨á«® ãáᥫìâ áâ६¨âáï ª ¯®áâ®ï­­®¬ã
§­ 祭¨î, à ¢­®¬ã
Nu∞ =

2

Z 1
0

−f0′ (1)

f0 (̺)(1 − ̺2 )̺ d̺

.

(3.5.25)

 áᬮâਬ á«ãç © ¬ «ëå ç¨á¥« Ǒ¥ª«¥. „«ï í⮣® ¯®¤áâ ¢¨¬ ¢
(3.5.25) ¢ëà ¥­¨ï (3.5.16) ¯à¨ m = 0. —¨á«¨â¥«ì ¤à®¡¨ (3.5.25)
¢ëç¨á«ï¥¬ ¯® ä®à¬ã«¥ dJ0 /dx = −J1 (x) [13℄, §­ ¬¥­ ⥫ì | á
¯®¬®éìî ४ãà७⭮£® ᮮ⭮襭¨ï
Z

x Jm (x) dx = x Jm+1 (x) − (k − m − 1)
k

k

Z

xk−1 Jm+1 (x) dx,

ª®â®à®¥ ¢ë¢®¤¨âáï ­ ®á­®¢¥ ¨á¯®«ì§®¢ ­¨ï ᢮©á⢠ä㭪権 ¥áá¥
d  m+1
Jm+1 (x) . ‚ ¨â®£¥ ¤«ï ¯à¥¤¥«ì­®£® ç¨á«
x
«ï: xm+1 Jm (x) =
dx
ãáᥫì⠯ਠPeT = 0 ¯®«ã稬
Nu∞ =

γ03 J1 (γ0 )
≈ 4,16
4 J2 (γ0 )

(¯à¨ PeT

→ 0).

(3.5.26)

128

Œ áᮯ¥à¥­®á ¢ ¯«¥­ª å ¨¤ª®áâ¨, âàã¡ å ¨ ª ­ « å

Ǒਠ¡®«ìè¨å ç¨á« å Ǒ¥ª«¥ à áç¥âë ¯® ä®à¬ã«¥ (3.5.25) á ¯à¨¬¥­¥­¨¥¬ ‚Œ ¯à¨¢®¤ïâ ª §­ 祭¨î [129℄
Nu∞ =

1 2
2 λ0 ≈ 3,66

(¯à¨ PeT

→ ∞).

(3.5.27)

Ǒ।¥«ì­®¥ ç¨á«® ãáᥫìâ ¢® ¢á¥¬ ¤¨ ¯ §®­¥ ¨§¬¥­¥­¨ï ç¨á«
Ǒ¥ª«¥ å®à®è® ¯¯à®ªá¨¬¨àã¥âáï ¢ëà ¥­¨¥¬
Nu∞ =

4,16 + 1,15 PeT
1 + 0,315 PeT

,

(3.5.28)

¬ ªá¨¬ «ì­ ï ¯®£à¥è­®áâì ª®â®à®£® á®áâ ¢«ï¥â ®ª®«® 0,6% (¤«ï
®æ¥­ª¨ ¥£® â®ç­®á⨠¨á¯®«ì§®¢ «¨áì ç¨á«¥­­ë¥ ¤ ­­ë¥ [129℄).
 áç¥âë ¯® ä®à¬ã«¥ (3.5.24) ¯®ª §ë¢ îâ, çâ® ¯à¨ ¡®«ìè¨å ç¨á« å
Ǒ¥ª«¥ ¢áî ¤«¨­ã ®¡®£à¥¢ ¥¬®© (®å« ¤ ¥¬®©) âàã¡ë ãá«®¢­® ¬®­®
¯®¤à §¤¥«¨âì ­ ¤¢ ãç á⪠.  ¯¥à¢®¬ ãç á⪥ ¯à®¨á室¨â ä®à¬¨à®¢ ­¨¥ ¯à®ä¨«ï ⥬¯¥à âãàë, £¤¥ à á¯à¥¤¥«¥­¨¥ ⥬¯¥à âãàë ¯®
à ¤¨ãáã, ¨§¬¥­ï¥âáï ¯® ¤«¨­¥ ®â ¯¥à¢®­ ç «ì­®£® §­ 祭¨ï (¯à¨ z = 0)
¤® ­¥ª®â®à®£® ¯à¥¤¥«ì­®£® | f0 (̺). —¨á«® Nu ¢ í⮩ ®¡« á⨠¢¡«¨§¨
¢å®¤­®£® á¥ç¥­¨ï ã¡ë¢ ¥â á⥯¥­­ë¬ ®¡à §®¬: Nu ≈ 2jT , £¤¥ jT ®¯¨áë¢ ¥âáï ¢ëà ¥­¨¥¬ (3.5.5).  ¢â®à®¬ ãç á⪥ à á¯à¥¤¥«¥­¨¥ ¨§¡ëâ®ç­®© ⥬¯¥à âãàë δT = 1 −T ¯® à ¤¨ãáã ­¥ ¬¥­ï¥âáï ¯® ¤«¨­¥ (å®âï
¡á®«îâ­ë¥ §­ 祭¨ï ⥬¯¥à âãàë ¨§¬¥­ïîâáï), ç¨á«® Nu á®åà ­ï¥â ¯®áâ®ï­­®¥ §­ 祭¨¥, à ¢­®¥ 3,66. Ǒ¥à¢ë© ãç á⮪ ­ §ë¢ ¥âáï
â¥à¬¨ç¥áª¨¬ ­ ç «ì­ë¬ ãç á⪮¬, ¢â®à®© | ãç á⪮¬ áâ ¡¨«¨§¨à®¢ ­­®£® ⥯«®®¡¬¥­ .
„«¨­ã â¥à¬¨ç¥áª®£® ­ ç «ì­®£® ãç á⪠¯à¨­ïâ® ®¯à¥¤¥«ïâì ª ª
à ááâ®ï­¨¥ ®â ¢å®¤­®£® á¥ç¥­¨ï, ­ ª®â®à®¬ ç¨á«® ãáᥫìâ ­ 1%
®â«¨ç ¥âáï ®â ᢮¥£® ¯à¥¤¥«ì­®£® §­ 祭¨ï (3.5.27).  áç¥âë ¯®ª §ë¢ îâ, çâ® à §¬¥à­ ï ¤«¨­ â¥à¬¨ç¥áª®£® ­ ç «ì­®£® ãç áâª à ¢­
l = 0,11a PeT .
’àã¡ á ¯®áâ®ï­­ë¬ ⥯«®¢ë¬ ¯®â®ª®¬ ­ á⥭ª¥. ˆáá«¥¤ã¥¬ ⥯¥àì á«ãç ©, ª®£¤ ­ ¯®¢¥àå­®á⨠ªà㣫®© âàã¡ë ¯à¨ Z > 0 § ¤ ­
¯®áâ®ï­­ë© ⥯«®¢®© ¯®â®ª q = κ(∂T /∂R)R=a = onst, £¤¥ κ | ª®íää¨æ¨¥­â ⥯«®¯à®¢®¤­®á⨠¨¤ª®áâ¨. ‚室­®© ãç á⮪ ¡ã¤¥¬ ¬®¤¥«¨à®¢ âì ®¡« áâìî Z < 0, £¤¥ ¯®¢¥àå­®áâì âàã¡ë ⥯«®¨§®«¨à®¢ ­ ,
⥬¯¥à âãà ¯à¨ Z → −∞ áâ६¨âáï ª ¯®áâ®ï­­®¬ã §­ 祭¨î, à ¢­®¬ã T1 .
‚ ¤ ­­®¬ á«ãç ¥ ¡¥§à §¬¥à­ãî ⥬¯¥à âãàã 㤮¡­® ¢¢¥á⨠¯®
ä®à¬ã«¥
κ (T − T1 )
T =
(3.5.29)
,
aq

®áâ «ì­ë¥ ¡¥§à §¬¥à­ë¥ ¢¥«¨ç¨­ë ®¯à¥¤¥«ïîâáï â ª ¥, ª ª ¢
§ ¤ ç¥ (3.5.1) | (3.5.3).

3.5. ’¥¯«®- ¨ ¬ áᮯ¥à¥­®á ¯à¨ « ¬¨­ à­®¬ â¥ç¥­¨¨ ¢ ªà㣫®© âàã¡¥

129

 áᬠâਢ ¥¬ë© ¯à®æ¥áá ⥯«®¯¥à¥­®á ®¯¨áë¢ ¥âáï ãà ¢­¥­¨¥¬
(3.5.1), £¤¥ T á«¥¤ã¥â § ¬¥­¨âì ­ T ¨ £à ­¨ç­ë¬¨ ãá«®¢¨ï¬¨
̺ = 0,

∂T
∂̺

= 0;

̺ = 1,
z → −∞,

∂T
=
∂̺
T → 0.



0 ¯à¨ z < 0;
1 ¯à¨ z > 0;

(3.5.30)
(3.5.31)

Žâ¬¥â¨¬, çâ® ¢ ¤ ­­®© § ¤ ç¥ à á¯à¥¤¥«¥­¨¥ ⥬¯¥à âãàë ¯à¨
§ à ­¥¥ ­¥¨§¢¥áâ­®.
‘®áâ ¢¨¬ ãà ¢­¥­¨¥ ⥯«®¢®£® ¡ « ­á , ª®â®à®¥ ¯®­ ¤®¡¨âáï ¤ «¥¥. „«ï í⮣® 㬭®¨¬ ãà ¢­¥­¨¥ (3.5.1) (¯à¨ T → T ) ­ ̺ ¨ ¯à®¨­â¥£à¨à㥬 ¯®«ã祭­®¥ ¢ëà ¥­¨¥ á­ ç « ¯® à ¤¨ «ì­®© ª®®à¤¨­ â¥
®â 0 ¤® 1, § ⥬ ¯® ¯à®¤®«ì­®© | ®â −∞ ¤® z , £¤¥ z > 0. “ç¨âë¢ ï £à ­¨ç­ë¥ ãá«®¢¨ï (3.5.30), (3.5.31) ¨ ¬¥­ïï, £¤¥ ­ã­®, ¯®à冷ª
¨­â¥£à¨à®¢ ­¨ï, ¢ ¨â®£¥ ¯®«ã稬
z → +∞

PeT

Z 1
0

̺(1 − ̺2 )T d̺ = z +

Z 1
0

̺

∂T
d̺.
∂z

(3.5.32)

ˆáá«¥¤ã¥¬ ¯®«¥ ⥬¯¥à âãàë ¢¤ «¨ ®â ¢å®¤­®£® á¥ç¥­¨ï ¯à¨ z ≫ 1.
¥è¥­¨¥ ¢ í⮩ ®¡« á⨠¨é¥¬ ¢ ¢¨¤¥ á㬬ë
T

= αz + (̺),

(3.5.33)

£¤¥ ¯®áâ®ï­­ ï α ¨ äã­ªæ¨ï ¯®¤«¥ â ®¯à¥¤¥«¥­¨î.
Ǒ®¤áâ ¢«ïï ¢ëà ¥­¨¥ (3.5.33) ¢ ãà ¢­¥­¨¥ (3.5.1) (¯à¨ T
£à ­¨ç­ë¥ ãá«®¢¨ï (3.5.30), ¯à¨å®¤¨¬ ª á«¥¤ãî饩 § ¤ ç¥:

̺ = 0,

d
d̺



d
̺
;
d̺
d
̺ = 1,
d̺

1

d
̺ d̺

α PeT (1 − ̺2 ) =

= 0;

→ T)

¨

(3.5.34)
= 1.

(3.5.35)

Ž¤­®ªà â­®¥ ¨­â¥£à¨à®¢ ­¨¥ ãà ¢­¥­¨ï (3.5.34) ¤ ¥â
α PeT



̺

2

−

̺3

4

+

C1
̺



=

d
,
d̺

(3.5.36)

£¤¥ C1 | ¯à®¨§¢®«ì­ ï ¯®áâ®ï­­ ï.
ƒà ­¨ç­ë¥ ãá«®¢¨ï (3.5.35) ¯®§¢®«ïîâ ­ ©â¨ ª®­áâ ­âã C1 = 0 ¨
¯ à ¬¥âà α = 4/PeT . “ç¨âë¢ ï ᪠§ ­­®¥ ¨ ¨­â¥£à¨àãï (3.5.36), ¤«ï
ä㭪樨 ¯®«ã稬
= ̺2 −

̺4

4

+ C2 ,

α=

4
PeT

.

(3.5.37)

130

Œ áᮯ¥à¥­®á ¢ ¯«¥­ª å ¨¤ª®áâ¨, âàã¡ å ¨ ª ­ « å

„«ï ®¯à¥¤¥«¥­¨ï ­¥¨§¢¥áâ­®© ¯®áâ®ï­­®© C2 ¯®¤áâ ¢¨¬ ¢ëà ¥­¨¥ (3.5.33) ¢ ãà ¢­¥­¨¥ ¬ â¥à¨ «ì­®£® ¡ « ­á (3.5.32) ¨ ¨á¯®«ì§ã¥¬
8
7
§ ¢¨á¨¬®áâì (3.5.37). ‚ëç¨á«¥­¨ï ¯®ª §ë¢ îâ, çâ® C2 = 2 − .
24
PeT
’ ª¨¬ ®¡à §®¬, à á¯à¥¤¥«¥­¨¥ ⥬¯¥à âãàë ¢¤ «¨ ®â ¢å®¤­®£® á¥ç¥­¨ï ¨¬¥¥â ¢¨¤
z
7
̺4
8
T =4
+ ̺2 −
(3.5.38)
+ 2 − .
PeT
4
24
PeT
‘।­ïï ¬ áᮢ ï ⥬¯¥à âãà ¨¤ª®á⨠¨ ⥬¯¥à âãà­ë© ­ ¯®à
¢ ®¡« á⨠⥯«®¢®© áâ ¡¨«¨§ 樨 à ¢­ë ᮮ⢥âá⢥­­®
4
8
11
z+
hT i =
,
T s − hT i =
,
PeT
24
Pe2T
£¤¥ T s | ¡¥§à §¬¥à­ ï ⥬¯¥à âãà ­ ¯®¢¥àå­®á⨠âàã¡ë.
‚ëç¨á«¨¬ ¯à¥¤¥«ì­®¥ ç¨á«® ãáᥫìâ
2(dT /d̺)̺=1

48
≈ 4,36.
(3.5.39)
T s − hT i
11
‚¨¤­®, çâ® Nu∞ ­¥ § ¢¨á¨â ®â ç¨á« Ǒ¥ª«¥.
¥è¥­¨¥ ¯®«­®© § ¤ ç¨ (3.5.1), (3.5.30), (3.5.31) ¯à¨ z < 0 ¨é¥¬ ¢
¢¨¤¥ àï¤ (3.5.7) (£¤¥ T á«¥¤ã¥â § ¬¥­¨âì ­ T ). Ǒ®«¥ ⥬¯¥à âãàë
¢ ®¡« á⨠z > 0 áâநâáï ­ ®á­®¢¥ ᨬ¯â®â¨ç¥áª®£® à á¯à¥¤¥«¥­¨ï
(3.5.38) á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬:
Nu∞ =

T

=4

z

PeT

+ ̺2 −

̺4

4

+

8
PeT2

−

7
24

−

=

∞
X

m=0



z
fm (̺).
Am exp −λ2m

PeT

Ǒ®¤áâ ¢«ïï í⨠àï¤ë ¢ (3.5.1), (3.5.30), (3.5.31) ¨ à §¤¥«ïï ¯¥à¥¬¥­­ë¥, ¤«ï ®¯à¥¤¥«¥­¨ï ᮡá⢥­­ëå §­ 祭¨© ηk , λm ¨ ᮡá⢥­­ëå
ä㭪権 gk , fm , ¯®«ã稬 ⥠¥ á ¬ë¥ ãà ¢­¥­¨ï (3.5.9), (3.5.10) á
¤à㣨¬¨ £à ­¨ç­ë¬¨ ãá«®¢¨ï¬¨
dgk
d̺

«

=

dfm
d̺

=0

¯à¨

̺=0

¨

̺ = 1.

¥è¥­¨¥ § ¤ ç¨ ¤«ï fm ¢ëà  ¥âáï ä®à¬ã«®© (3.5.14), £¤¥ ç¨á­ 室ïâáï ¯ã⥬ à¥è¥­¨ï âà ­á業¤¥­â­®£® ãà ¢­¥­¨ï

λm

(am , 1; λm ) = 2am(am + 1, 2; λm ).
Š®íää¨æ¨¥­âë à §«®¥­¨© Am ¨ Bm ®¯à¥¤¥«ïîâáï ¨§ ãá«®¢¨©
­¥à §à뢭®á⨠⥬¯¥à âãàë ¨ ¥¥ ¯à®¨§¢®¤­®© ¢ á¥ç¥­¨¨ z = 0 (3.5.12).
‚ëç¨á«¨¬ ¤«¨­ã â¥à¬¨ç¥áª®£® ­ ç «ì­®£® ãç á⪠l, ¨áå®¤ï ¨§
à ¢¥­á⢠Nu = 1,01 Nu∞ . ‚ १ã«ìâ ⥠¯®«ã稬 l = 0,14 Pe a.

3.6. ’¥¯«®- ¨ ¬ áᮯ¥à¥­®á ¯à¨ « ¬¨­ à­®¬ â¥ç¥­¨¨ ¢ ¯«®áª®© âàã¡¥

131

3.6. ’¥¯«®- ¨ ¬ áᮯ¥à¥­®á ¯à¨ « ¬¨­ à­®¬
â¥ç¥­¨¨ ¢ ¯«®áª®© âàã¡¥

’àã¡ á ¯®áâ®ï­­®© ⥬¯¥à âãன ­ á⥭ª¥. ˆáá«¥¤ã¥¬ ⥯«®®¡¬¥­ ¯à¨ « ¬¨­ à­®¬ â¥ç¥­¨¨ ¨¤ª®áâ¨ á ¯ à ¡®«¨ç¥áª¨¬ ¯à®ä¨«¥¬ ᪮à®á⨠¢ ¯«®áª®© âàã¡¥ è¨à¨­®© 2h. ‚¢¥¤¥¬ ¯àאַ㣮«ì­ãî á¨á⥬㠪®®à¤¨­ â X , Y , £¤¥ ®áì X à ᯮ«®¥­ ­ à ¢­®¬ à ááâ®ï­¨¨
®â á⥭®ª âàã¡ë ¨ ­ ¯à ¢«¥­ ¯® ¯®â®ªã. ‘ç¨â ¥¬, çâ® ­ á⥭ª å âàã¡ë (¯à¨ Y = ±h) ¯®¤¤¥à¨¢ ¥âáï ¯®áâ®ï­­ ï ⥬¯¥à âãà , à ¢­ ï T1
¯à¨ X < 0 ¨ T2 ¯à¨ X > 0. ‚¢¨¤ã ᨬ¬¥âਨ § ¤ ç¨ ®â­®á¨â¥«ì­® ®á¨
X ¤®áâ â®ç­® à áᬮâà¥âì ¯®«®¢¨­ã ®¡« áâ¨: 0 6 Y 6 h.
 á¯à¥¤¥«¥­¨¥ ⥬¯¥à âãàë T∗ ®¯¨áë¢ ¥âáï ãà ¢­¥­¨¥¬ ¨ £à ­¨ç­ë¬¨ ãá«®¢¨ï¬¨
PeT (1 − y 2 )
y

∂T
∂x

∂T
= 0;
y
∂y
x → −∞, T → 0;

= 0,

=

∂2T
∂x2

∂2T
∂y 2


+

(3.6.1)

;

¯à¨ x < 0;
= 10 ¯à¨
x > 0;
x → +∞, T → 1,

= 1,

T

(3.6.2)
(3.6.3)

¯à¨ § ¯¨á¨ ª®â®àëå ¡ë«¨ ¨á¯®«ì§®¢ ­ë ¡¥§à §¬¥à­ë¥ ¯¥à¥¬¥­­ë¥
x=

X
,
h

y

=

Y
,
h

T

=

T∗ − T1
,
T2 − T1

PeT =

hUmax
,
χ

Umax

=

3
hV i,
2

£¤¥ Umax | ¬ ªá¨¬ «ì­®¥ §­ 祭¨¥ ᪮à®á⨠¨¤ª®á⨠­ ®á¨ ¯®â®ª ,
hV i | á।­ïï ¯® á¥ç¥­¨î ᪮à®áâì ¨¤ª®áâ¨.
Š ª ¨ ¢ á«ãç ¥ ªà㣫®© âàã¡ë, à¥è¥­¨¥ § ¤ ç¨ (3.6.1) | (3.6.3)
¨é¥¬ ¬¥â®¤®¬ à §¤¥«¥­¨ï ¯à¥¤¥«ì­ëå ¯¥à¥¬¥­­ëå ¢ ¢¨¤¥ à冷¢:
T
T

=

∞
X

k=0

=1−

Bk exp
∞
X

m=0



ηk2

PeT


x g k (y )



λ2m
x fm (y )
Am exp −

PeT

¯à¨

x < 0,

(3.6.4)

¯à¨

x > 0.

(3.6.5)

‘®¡á⢥­­ë¥ §­ 祭¨ï ηk , λm ¨ ᮡá⢥­­ë¥ ä㭪樨 gk , fm ®¯à¥¤¥«ïîâáï ¯ã⥬ à¥è¥­¨ï ãà ¢­¥­¨© (3.5.9), (3.5.10), ¢ ª®â®àëå á«¥¤ã¥â ®â¡à®á¨âì ¢â®àë¥ á« £ ¥¬ë¥ (¯à®¯®à樮­ «ì­ë¥ ¯¥à¢ë¬ ¯à®¨§¢®¤­ë¬) ¨ § ¬¥­¨âì ̺ ­ y ; £à ­¨ç­ë¥ ãá«®¢¨ï ®áâ îâáï ¯à¥­¨¬¨.
Š®íää¨æ¨¥­âë Am , Bk ­ 室ïâáï ¨§ ãá«®¢¨ï ­¥¯à¥à뢭®á⨠⥬¯¥à âãàë ¨ ¥¥ ¯à®¨§¢®¤­®© ¯à¨ x = 0 [225℄.
„ «¥¥ ®£à ­¨ç¨¬áï ¨§«®¥­¨¥¬ ®á­®¢­ëå १ã«ìâ ⮢ à¥è¥­¨ï
§ ¤ ç¨ ¢ ®¡« á⨠x > 0.

132

Œ áᮯ¥à¥­®á ¢ ¯«¥­ª å ¨¤ª®áâ¨, âàã¡ å ¨ ª ­ « å

‘®¡á⢥­­ë¥ ä㭪樨 fm ¬®­® ¯à¥¤áâ ¢¨âì ¢ ¢¨¤¥


 
1
1
fm (y ) = exp − λm y 2 
−



1
1
λ3m
λm −
,
; λ y 2 . (3.6.6)
2
4 4
4 Pe2T 2 m
‡¤¥áì (a, b; ξ ) | ¢ëத¥­­ ï £¨¯¥à£¥®¬¥âà¨ç¥áª ï äã­ªæ¨ï, λm
ïîâáï ª®à­ï¬¨ âà ­á業¤¥­â­®£® ãà ¢­¥­¨ï


1
1 λ
λ3
(3.6.7)
 am , ; λm = 0, £¤¥ am = − m − m2 .
2
4
4
4 PeT
Š®íää¨æ¨¥­âë Am ¢ëç¨á«ïîâáï ¯® ä®à¬ã«¥ (3.5.13) (¢ ª®â®à®©
̺ á«¥¤ã¥â § ¬¥­¨âì ­ y ), £¤¥ ¢á¯®¬®£ â¥«ì­ ï äã­ªæ¨ï f ¯®«ãç ¥âáï
¨§ (3.6.6) ¯®á«¥ ®¯ã᪠­¨ï ¨­¤¥ªá®¢ m.
‚ ¯à¥¤¥«ì­®¬ á«ãç ¥ PeT → 0 á¯à ¢¥¤«¨¢ë ᮮ⭮襭¨ï
λm =

r

PeT

π

2

+ πm



, Am =

4(−1)m
,
(π + 2πm)2

fm =

os

h π

 i

+ πm y ,
2
(3.6.8)

£¤¥ m = 0, 1, 2, . . .
ǑਠPeT → ∞ ¤«ï à áç¥â ᮡá⢥­­ëå §­ 祭¨© λm ¨ ª®íää¨æ¨¥­â®¢ Am ¬®­® ¨á¯®«ì§®¢ âì ä®à¬ã«ë (3.4.37) ¨ (3.4.38).
‚ à ¡®â¥ [102℄ ¯à¨¢¥¤¥­ë १ã«ìâ âë ç¨á«¥­­ëå à áç¥â®¢ ¯¥à¢ëå
âà¥å ᮡá⢥­­ëå §­ 祭¨© λ0 , λ1 , λ2 ¯à¨ à §«¨ç­ëå ç¨á« å Ǒ¥ª«¥.
‘।­ïï ¬ áᮢ ï ⥬¯¥à âãà ¤«ï ¯«®áª®© âàã¡ë ®¯à¥¤¥«ï¥âáï
¯® ä®à¬ã«¥
Z
3 1
hT i =
T (1 − y 2 ) dy.
(3.6.9)
2 0
‹®ª «ì­ë© ⥯«®¢®© ¯®â®ª ­ 室¨âáï á ¯®¬®éìî ¢ëà ¥­¨ï (3.5.23)
(£¤¥ z á«¥¤ã¥â § ¬¥­¨âì ­ x), ¢ ª®â®à®¬ ¯à®¨§¢®¤­ ï fm′ (1) ¢ëç¨á«ï¥âáï ¨áå®¤ï ¨§ à ¢¥­á⢠(3.6.6).
Ǒ®¤áâ ¢¨¬ ä®à¬ã«ë (3.6.5), (3.6.9), (3.5.23) ¢ (3.5.24) ¨ ãáâ६¨¬ x
ª ¡¥áª®­¥ç­®áâ¨. ‚ १ã«ìâ ⥠¤«ï ¯à¥¤¥«ì­®£® ç¨á« ãáᥫìâ
¯®«ã稬
−4f0′ (1)
(3.6.10)
.
Nu∞ = R 1
3 0 f0 (y )(1 − y 2 ) dy
Ǒਠ¬ «ëå ç¨á« å Ǒ¥ª«¥ ᮣ« á­® (3.6.8) ¨¬¥¥¬ ᮡá⢥­­ãî
äã­ªæ¨î f0 (y ) = os(πy/2). Ǒந§¢¥¤ï à áç¥âë ¯® ä®à¬ã«¥ (3.6.10),
­ 室¨¬
π4
Nu∞ =
≈ 4,06
(¯à¨ PeT → 0).
(3.6.11)
24
Ǒਠ¡®«ìè¨å ç¨á« å Ǒ¥ª«¥ ¯à¥¤¥«ì­®¥ ç¨á«® ãáᥫìâ à ¢­®
[129℄
4
(¯à¨ PeT → ∞).
(3.6.12)
Nu∞ = λ20 ≈ 3,77
3

3.7. ‹ ¬¨­ à­®¥ â¥ç¥­¨¥ ¨¤ª®á⥩ ¢ âàã¡ å à §«¨ç­®© ä®à¬ë

133

‚® ¢á¥¬ ¤¨ ¯ §®­¥ ¨§¬¥­¥­¨ï ç¨á¥« Ǒ¥ª«¥ ¢¥«¨ç¨­ Nu∞ å®à®è®
¯¯à®ªá¨¬¨àã¥âáï ä®à¬ã«®©
Nu∞ =

4,06 + 3,66 PeT
1 + 0,97 PeT

(3.6.13)

,

¬ ªá¨¬ «ì­ ï ¯®£à¥è­®áâì ª®â®à®© á®áâ ¢«ï¥â ®ª®«® 0,5% (¤«ï ᮯ®áâ ¢«¥­¨ï ¨á¯®«ì§®¢ «¨áì ¤ ­­ë¥ [129℄).
’àã¡ á ¯®áâ®ï­­ë¬ ⥯«®¢ë¬ ¯®â®ª®¬ ­ á⥭ª¥.  áᬮâਬ ⥯¥àì á¨âã æ¨î, ª®£¤ ­ ¯®¢¥àå­®á⨠¯«®áª®© âàã¡ë ¯à¨ X > 0
§ ¤ ­ ¯®áâ®ï­­ë© ⥯«®¢®© ¯®â®ª q. ‘ç¨â ¥¬, çâ® ¯à¨ X < 0 á⥭ª¨ ⥯«®¨§®«¨à®¢ ­ë ¨ ⥬¯¥à âãà áâ६¨âáï ª ¯®áâ®ï­­®¬ã §­ 祭¨î T1 ¯à¨ X → −∞.
‚¢¥¤¥¬ ¡¥§à §¬¥à­ãî ⥬¯¥à âãàã T ¯® ä®à¬ã«¥ (3.5.29) ¯à¨
a ≡ h. Ǒà®æ¥áá ⥯«®®¡¬¥­ ¢ ¯«®áª®© âàã¡¥ ®¯¨áë¢ ¥âáï ãà ¢­¥­¨¥¬
(3.5.1) (¯à¨ T → T ) ¨ £à ­¨ç­ë¬¨ ãá«®¢¨ï¬¨ (3.5.30), (3.5.31), £¤¥
z ¨ ̺ á«¥¤ã¥â § ¬¥­¨âì ᮮ⢥âá⢥­­® ­ x ¨ y .
€á¨¬¯â®â¨ç¥áª®¥ à¥è¥­¨¥ ¢ ®¡« á⨠⥯«®¢®© áâ ¡¨«¨§ 樨 (¯à¨
x ≫ 1) ¨é¥âáï ¢ ¢¨¤¥ á㬬ë T = αx + (y ). ¥¨§¢¥áâ­ ï ¯®áâ®ï­­ ï α
¨ äã­ªæ¨ï ®¯à¥¤¥«ïîâáï ⥬ ¥ ¯ã⥬, çâ® ¨ ¢ á«ãç ¥ ªà㣫®©
âàã¡ë. ‚ ¨â®£¥ ¨¬¥¥¬
T

=

1
3 x
3
9
+ y2 − y4 +
2 PeT
4
8
4 PeT2

−

39
.
280

(3.6.14)

Ǒ®«ã祭­®¥ à á¯à¥¤¥«¥­¨¥ ⥬¯¥à âãàë ¢¤ «¨ ®â ¢å®¤­®£® á¥ç¥­¨ï (3.6.14) ¯®§¢®«ï¥â ­ ©â¨ ¯à¥¤¥«ì­®¥ ç¨á«® ãáᥫìâ
Nu∞ =

70
17

≈ 4,12.

(3.6.15)

‚ [129℄ ¯à¨¢¥¤¥­ë ä®à¬ã«ë ¤«ï à áç¥â ç¨á« ãáᥫìâ ¯® ¤«¨­¥
âàã¡ë ¢ á«ãç ¥ ¡®«ìè¨å ç¨á¥« Ǒ¥ª«¥.
3.7. Ǒ।¥«ì­ë¥ ç¨á« ãáᥫìâ ¯à¨
« ¬¨­ à­®¬ â¥ç¥­¨¨ ¨¤ª®á⥩ ¯®
âàã¡ ¬ à §«¨ç­®© ä®à¬ë

’¥¯«®®¡¬¥­ ¯à¨ ¯®«­®áâìî à §¢¨â®¬ « ¬¨­ à­®¬ â¥ç¥­¨¨ ¨¤ª®á⥩ ¢ âàã¡ å à §«¨ç­®© ä®à¬ë à áᬠâਢ «áï ¢® ¬­®£¨å à ¡®â å
(á¬., ­ ¯à¨¬¥à, [93, 129, 164℄). ¨¥ ¨§«®¥­ë ­¥ª®â®àë¥ ¨â®£®¢ë¥
१ã«ìâ âë ¤«ï ¯à¥¤¥«ì­ëå ç¨á¥« ãáᥫìâ , ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å ®¡« á⨠⥯«®¢®© áâ ¡¨«¨§ 樨 ¯®â®ª , ¢ á«ãç ¥ ¡®«ìè¨å ç¨á¥« Ǒ¥ª«¥

134

Œ áᮯ¥à¥­®á ¢ ¯«¥­ª å ¨¤ª®áâ¨, âàã¡ å ¨ ª ­ « å

(ª®£¤ ¬®«¥ªã«ïà­®© ⥯«®¯à®¢®¤­®áâìî ¢¤®«ì ¯®â®ª ¬®­® ¯à¥­¥¡à¥çì).
‚¢¥¤¥¬ íª¢¨¢ «¥­â­ë© (¨«¨ ý£¨¤à ¢«¨ç¥áª¨©þ) ¤¨ ¬¥âà de ¯®
ä®à¬ã«¥ de = 4S∗/P , £¤¥ S∗ | ¯«®é ¤ì ¯®¯¥à¥ç­®£® á¥ç¥­¨ï âàã¡ë,
P | ¥£® ¯¥à¨¬¥âà. „«ï âàã¡ë ªà㣫®£® á¥ç¥­¨ï de ᮢ¯ ¤ ¥â á ¥¥
¤¨ ¬¥â஬, ¤«ï ¯«®áª®£® ª ­ « ¢¥«¨ç¨­ de à ¢­ 㤢®¥­­®© ¢ëá®â¥
ª­ « .
 áᬮâਬ âàã¡ã ¯à®¨§¢®«ì­®© ä®à¬ë á ª®­âã஬ ¯®¯¥à¥ç­®£®
á¥ç¥­¨ï . —¨á«® ãáᥫìâ , ¢®®¡é¥ £®¢®àï, ¬¥­ï¥âáï ¢¤®«ì ª®­âãà . ‘।­¥¥ ¯® ¯¥à¨¬¥âàã ç¨á«® ãáᥫìâ Nu ®¯à¥¤¥«¨¬ á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬:
de
qs
Nu=
(3.7.1)
.
Ts − hT∗ i κ

‡¤¥áì Ts | ⥬¯¥à âãà ­ ¯®¢¥àå­®á⨠âàã¡ë, hT∗ i | á।­ïï ¬ áᮢ ï ⥬¯¥à âãà ¨¤ª®áâ¨, κ | ª®íää¨æ¨¥­â ⥯«®¯à®¢®¤­®áâ¨,
qs | á।­¨© ¯® ¯¥à¨¬¥âàã ⥯«®¢®© ¯®â®ª, ª®â®àë© ¢ëç¨á«ï¥âáï ¯®
ä®à¬ã«¥

Z 
∂T∗
1
qs = − κ
d ,
(3.7.2)
P

∂ξ

£¤¥ ∂T∗/∂ξ | ¯à®¨§¢®¤­ ï ®â ⥬¯¥à âãàë T∗ ¯® ­®à¬ «¨ ª ª®­âãàã
¯®¯¥à¥ç­®£® á¥ç¥­¨ï âàã¡ë.
„«ï âàã¡ë í««¨¯â¨ç¥áª®£® á¥ç¥­¨ï, ­ ¯®¢¥àå­®á⨠ª®â®à®© ¯®¤¤¥à¨¢ ¥âáï ¯®áâ®ï­­ ï ⥬¯¥à âãà , á।­¥¥ ¯® ¯¥à¨¬¥âàã ç¨á«®
ãáᥫìâ ¢ ®¡« á⨠⥯«®¢®© áâ ¡¨«¨§ 樨 ¯®â®ª (¢¤ «¨ ®â ¢å®¤­®£® á¥ç¥­¨ï) ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¢ëà ¥­¨¥¬ [129℄
Nu∞ =



3π
E (ϑ)

2

(1 + ω 2 )(1 + 6ω 2 + ω 4 )
,
17 + 98ω 2 + 17ω 4

(3.7.3)

¨­â¥£à « ¢â®à®£® த (äã­ªæ¨ï
£¤¥ E (ϑ) | ¯®«­ë© í««¨¯â¨ç¥áª¨©
√
E § ⠡㫨஢ ­ ¢ [188℄); ϑ = 1 − ω 2 ; ω = a/b | ®â­®è¥­¨¥ ¯®«ã®á¥©
í««¨¯á . ‚ ç áâ­®¬ á«ãç ¥ ªà㣫®© âàã¡ë ¨¬¥¥¬ ω = 1, E (0) = π/2 ¨
Nu∞ = 48/11.
‚ â ¡«. 3.3 ¯à¨¢¥¤¥­ë §­ 祭¨ï á।­¨å ¯® ¯¥à¨¬¥âàã ç¨á¥«
ãáᥫìâ ¤«ï âàã¡ á à §«¨ç­®© ä®à¬®© á¥ç¥­¨ï (¯® ¤ ­­ë¬ [164℄).
Ǒਠ¯®áâ®ï­­®© ⥬¯¥à âãॠ¯®¢¥àå­®á⨠âàã¡ë ¯àאַ㣮«ì­®£®
á¥ç¥­¨ï á® áâ®à®­ ¬¨ a ¨ b ¢¥«¨ç¨­ Nu∞ ¯à¨ a > b å®à®è® ¯¯à®ªá¨¬¨àã¥âáï ä®à¬ã«®©
Nu∞ = 7,5 − 17,5 ǫ + 23 ǫ2 − 10 ǫ3,

ǫ = b/a,

¬ ªá¨¬ «ì­ ï ¯®£à¥è­®áâì ª®â®à®© á®áâ ¢«ï¥â 3%.

(3.7.4)

3.7. ‹ ¬¨­ à­®¥ â¥ç¥­¨¥ ¨¤ª®á⥩ ¢ âàã¡ å à §«¨ç­®© ä®à¬ë

135

’€‹ˆ–€ 3.3
‡­ 祭¨ï ¯à¥¤¥«ì­ëå ç¨á¥« Nu∞ ¤«ï ¯®«­®áâìî à §¢¨â®£® â¥ç¥­¨ï ¢ âàã¡ å
à §«¨ç­®© ä®à¬ë ¯à¨ ¡®«ìè¨å ç¨á« å Ǒ¥ª«¥ (¨­¤¥ªá T ᮮ⢥âáâ¢ã¥â á«ãç î
¯®áâ®ï­­®© ⥬¯¥à âãàë á⥭ª¨, ¨­¤¥ªá q | ¯®áâ®ï­­®¬ã ⥯«®¢®¬ã ¯®â®ªã)
Ǒà®ä¨«ì âàã¡ë

Nu∞T

Nu∞q

ª¢¨¢ «¥­â­ë©
¤¨ ¬¥âà de

Šà㣫 ï âàã¡ ¤¨ ¬¥â஬ d

3,658

4,364

d

Ǒ«®áª ï âàã¡ è¨à¨­®© 2h

7,541

8,235

4h

««¨¯â¨ç¥áª ï
âàã¡
á ¯®«ã®áﬨ
a¨b

=
1,00
0,80
0,50
0,25
0,125
0,0625
0

3,658
3,669
3,742
3,792
3,725
3,647
3,488

4,364
4,387
4,558
4,880
5,085
5,176
5,225


,
1 − b2/a2
£¤¥ E (ϑ) | ¯®«­ë©
í««¨¯â¨ç¥áª¨©
¨­â¥£à «
¢â®à®£® த

’àã¡
¯àאַ㣮«ì­®£®
á¥ç¥­¨ï
á® áâ®à®­ ¬¨
a¨b

b/a =
1,00
0,714
0,50
0,25
0,125
0,05
0

2,976
3,077
3,391
4,439
5,597
|
7,541

3,608
3,734
4,123
5,331
6,490
7,451
8,235

2ab
a+b

 ¢­®áâ®à®­­¨© âà¥ã£®«ì­¨ª
á® áâ®à®­®© a

2,47

3,111

√
a 3

3,34

4,002

√
a 3

|

4,089

πd
π+2

b/a

Ǒà ¢¨«ì­ë© è¥áâ¨ã£®«ì­¨ª
á® áâ®à®­®© a
Ǒ®«ãªàã£ á ¤¨ ¬¥â஬ d

E

p

πb

3

„«ï âàã¡ë, á¥ç¥­¨¥¬ ª®â®à®© ï¥âáï ¯à ¢¨«ì­ë© N -㣮«ì­¨ª,
¯à¥¤¥«ì­®¥ ç¨á«® ãáᥫìâ ¢ á«ãç ¥ ¯®áâ®ï­­®© ⥬¯¥à âãàë ­ ¯®¢¥àå­®á⨠âàã¡ë ¬®­® ¢ëç¨á«ïâì á ¯®¬®éìî ¯à¨¡«¨¥­­®© § ¢¨á¨¬®áâ¨
Nu∞ = 3,65 − 0,18 N −1 − 10 N −2.
(3.7.5)

‘®¯®áâ ¢«¥­¨¥ á ¤ ­­ë¬¨ â ¡«. 3.3 ¯®ª §ë¢ ¥â, çâ® ¬ ªá¨¬ «ì­ ï
¯®£à¥è­®áâì (3.7.5) ¯à¨ N = 3, 4, 6, ∞ á®áâ ¢«ï¥â ¬¥­¥¥ 0,5%.
Žâ¬¥â¨¬, çâ® § ¤ ç¨ ª®­¢¥ªâ¨¢­®£® ⥯«®¯¥à¥­®á ¢ âàã¡ å á
¡®«¥¥ á«®­ë¬¨ ¯à®ä¨«ï¬¨ à áᬠâਢ «¨áì ¢ [154℄.

4. Œ áá®- ¨ ⥯«®®¡¬¥­ ç áâ¨æ,
ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ á ¯®â®ª®¬

‡ ¤ ç ® ¬ áá®®¡¬¥­¥ ¤¢¨ã饩áï ⢥म© ç áâ¨æë, ª ¯«¨ ¨«¨
¯ã§ëàï á ®ªàã î饩 á।®© «¥¨â ¢ ®á­®¢¥ à áç¥â ¬­®£¨å â¥å­®«®£¨ç¥áª¨å ¯à®æ¥áᮢ, á¢ï§ ­­ëå á à á⢮७¨¥¬, íªáâà ªæ¨¥©, ¨á¯ ७¨¥¬, £®à¥­¨¥¬, 娬¨ç¥áª¨¬¨ ¯à¥¢à 饭¨ï¬¨ ¢ ¤¨á¯¥àá­®© á¨á⥬¥, ®á ¤¥­¨¥¬ ª®««®¨¤®¢ ¨ â.¯. ’ ª, ¢ ¯à®¬ëè«¥­­®á⨠¯à®æ¥áá
íªáâà ªæ¨¨ ¯à®¢®¤¨âáï ¨§ ª ¯¥«ì ¨«¨ ¯ã§ë३, è¨à®ª® ¯à¨¬¥­ïîâáï £¥â¥à®£¥­­ë¥ ¯à¥¢à 饭¨ï á ¨á¯®«ì§®¢ ­¨¥¬ ç áâ¨æ ª â «¨§ â®à ,
¢§¢¥è¥­­ëå ¢ ¨¤ª®á⨠¨«¨ £ §¥. Ǒਠí⮬ ᪮à®áâì íªáâà ªæ¨¨ ¨
¨­â¥­á¨¢­®áâì ª â «¨â¨ç¥áª®£® ¯à®æ¥áá ¢ §­ ç¨â¥«ì­®© ¬¥à¥ ®¯à¥¤¥«ïîâáï ¢¥«¨ç¨­®© ¯®«­®£® ¤¨ää㧨®­­®£® ¯à¨â®ª ॠ£¥­â ª ¯®¢¥àå­®á⨠ç áâ¨æ ¤¨á¯¥àá­®© ä §ë, ª®â®àë© ¢ á¢®î ®ç¥à¥¤ì § ¢¨á¨â
®â å à ªâ¥à ®¡â¥ª ­¨ï ¨ ä®à¬ë ç áâ¨æë, ¢«¨ï­¨ï á®á¥¤­¨å ç áâ¨æ,
ª¨­¥â¨ª¨ ¯®¢¥àå­®áâ­®© 娬¨ç¥áª®© ॠªæ¨¨ ¨ ¤à㣨å ä ªâ®à®¢.
Ž¯¨á ­¨¥ 楫®£® àï¤ ¬¥â¥®à®«®£¨ç¥áª¨å ¥­¨© â ª¥ ¡ §¨àã¥âáï ­ ¨§ã祭¨¨ ¡à®ã­®¢áª®© ¤¨ää㧨¨ í஧®«¥© ª ®â¤¥«ì­ë¬ ⢥à¤ë¬ ¨ ¨¤ª¨¬ ç áâ¨æ ¬. Ǒ஡«¥¬ ¢á¥ 㢥«¨ç¨¢ î饩áï § £à吝¥­­®á⨠⬮áä¥àë âॡã¥â ¯®­¨¬ ­¨ï ¨ ®¯¨á ­¨ï ¯à®æ¥áᮢ á ¬®®ç¨é¥­¨ï ⬮áä¥àë ®â 娬¨ç¥áª¨å, ¬¥å ­¨ç¥áª¨å ¨ à ¤¨® ªâ¨¢­ëå § £à吝¥­¨©. ‡ ¤ ç ®á ¤¥­¨ï í஧®«ì­ëå ç áâ¨æ ­ à §«¨ç­ëå ¯®£«®â¨â¥«ïå ¢®§­¨ª ¥â â ª¥ ¯à¨ à áç¥â¥ íä䥪⨢­®á⨠䨫ìâ஢.
¥§ã«ìâ âë ¨áá«¥¤®¢ ­¨ï ­ «®£¨ç­ëå ¯à®æ¥áᮢ ª®­¢¥ªâ¨¢­®£®
⥯«®®¡¬¥­ ¬®£ãâ ¡ëâì ¨á¯®«ì§®¢ ­ë ¤«ï à áç¥â ¨ ­ «¨§ à ¡®âë
⥯«®®¡¬¥­­¨ª®¢.
4.1. Œ¥â®¤ ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨å ­ «®£¨© ¢
⥮ਨ ¬ áá®- ¨ ⥯«®¯¥à¥­®á

Ǒਠ¨áá«¥¤®¢ ­¨¨ ª®­ªà¥â­ëå § ¤ ç ⥮ਨ ¬ áá®- ¨ ⥯«®¯¥à¥­®á ­ ¨¡®«¥¥ ¢ ­ë¬ ï¥âáï ¢ë¤¥«¥­¨¥ ª®«¨ç¥á⢥­­ëå § ª®­®¬¥à­®á⥩, ¯à¨áãé¨å 楫®¬ã ª« ááã ª ç¥á⢥­­® ­ «®£¨ç­ëå § ¤ ç.
‚® ¬­®£¨å á«ãç ïå ®¡é¨¥ १ã«ìâ âë â ª®£® த 㤠¥âáï ¯®«ãç¨âì á
¯®¬®éìî ¬¥â®¤ ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨å ­ «®£¨© [72, 277, 279℄. Œ¥â®¤ ®á­®¢ ­ ­ ¯¥à¥å®¤¥ ®â ®¡ëç­ëå ¡¥§à §¬¥à­ëå ¯¥à¥¬¥­­ëå ª á¯¥æ¨ «ì­ë¬ ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨¬ ª®®à¤¨­ â ¬ ¨ á«ã¨â ¤«ï ¯®áâ஥­¨ï ¯à¨¡«¨¥­­ëå § ¢¨á¨¬®á⥩, ®¡« ¤ îé¨å è¨à®ª¨¬ ¤¨ ¯ §®­®¬ ¯à¨¬¥­¨¬®á⨠(®¤­ã ¨ âã ¥ ä®à¬ã«ã ¬®­® ¨á¯®«ì§®¢ âì ¤«ï ®¯¨á ­¨ï 楫®£®
àï¤ ª ç¥á⢥­­® áå®¨å § ¤ ç, ®â«¨ç îé¨åáï ä®à¬®© ¯®¢¥àå­®áâ¨
¨ áâàãªâãன â¥ç¥­¨ï).

136

4.1. Œ¥â®¤ ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨å ­ «®£¨©

137

Ǒãáâì ¨¬¥¥âáï ­¥ª®â®àë© ª« áá § ¤ ç, ®â«¨ç îé¨åáï ¤à㣠®â ¤à㣠£¥®¬¥âà¨ç¥áª¨¬¨ å à ªâ¥à¨á⨪ ¬¨ ¨ § ¢¨áïé¨å ®â ¡¥§à §¬¥à­®£® ¯ à ¬¥âà τ (0 6 τ < ∞). Ǒ।¯®« £ ¥âáï â ª¥, çâ® ¤«ï ª ª®©«¨¡® ®¤­®© ª®­ªà¥â­®© (­ ¨¡®«¥¥ ¯à®á⮩) £¥®¬¥âਨ ¨§¢¥áâ­ § ¢¨á¨¬®áâì ®á­®¢­®© ¨áª®¬®© ¢¥«¨ç¨­ë w ®â ¯ à ¬¥âà τ :
w = F (τ ),

(4.1.1)

£¤¥ F | ¬®­®â®­­ ï äã­ªæ¨ï.
‚ § ¤ ç å ¬ áá®- ¨ ⥯«®¯¥à¥­®á ¢ ª ç¥á⢥ ¨áª®¬®© ¢¥«¨ç¨­ë w
®¡ëç­® ¢ëáâ㯠îâ: ç¨á«® ˜¥à¢ã¤ (ãáᥫìâ ), á।­ïï ¯® ®¡ê¥¬ã
ª®­æ¥­âà æ¨ï; ¢ ª ç¥á⢥ ¯ à ¬¥âà τ | ¡¥§à §¬¥à­®¥ ¢à¥¬ï, ç¨á«®
Ǒ¥ª«¥, ¡¥§à §¬¥à­ ï ª®­áâ ­â ᪮à®á⨠ॠªæ¨¨.
Ǒ८¡à §ã¥¬ ä®à¬ã«ã (4.1.1) á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬. Ǒãáâì £« ¢­ë¥
ç«¥­ë ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨å à §«®¥­¨© ¢¥«¨ç¨­ë w ¯à¨ ¬ «ëå ¨ ¡®«ìè¨å §­ 祭¨ïå ¯ à ¬¥âà τ ¨¬¥îâ ¢¨¤
w0

= Aτ k

w∞

= Bτ m





,

=1 ,

lim w/w0 = 1
τ →0

(4.1.2)

lim

(4.1.3)

w/w∞

τ →∞

£¤¥ A, B , k, m | ­¥ª®â®àë¥ ¯®áâ®ï­­ë¥; k 6= m.
Žâ¬¥â¨¬, çâ® ¨á室­ãî § ¢¨á¨¬®áâì (4.1.1) ¨ ᨬ¯â®â¨ª¨ (4.1.2),
(4.1.3) ¬®­® ®¯à¥¤¥«ïâì ª ª ⥮à¥â¨ç¥áª¨¬, â ª ¨ íªá¯¥à¨¬¥­â «ì­ë¬ ¯ã⥬.
„ «¥¥ áç¨â ¥âáï, çâ® ¤«ï ¢á¥£® à áᬠâਢ ¥¬®£® ª« áá § ¤ ç
ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 ᨬ¯â®â¨ª¨ ®¯à¥¤¥«ïîâáï ä®à¬ã« ¬¨ ⨯ (4.1.2)
¨ (4.1.3), £¤¥ ¯®áâ®ï­­ë¥ k ¨ m ®¤¨­ ª®¢ë, ¯ à ¬¥âàë A ¨ B
¬¥­ïîâáï.
ˆá¯®«ì§ãï ä®à¬ã«ë (4.1.1) | (4.1.3), § ¯¨è¥¬ ¤¢ ᮮ⭮襭¨ï
w∞
w
F (τ )
Bτ m
=
=
(4.1.4)
,
.
k
k
w0

Aτ

w0

Aτ

‚¥«¨ç¨­ë ⨯ w/w0 ¨ w∞ /w0 ¡ã¤¥¬ ­ §ë¢ âì ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨¬¨
ª®®à¤¨­ â ¬¨.
‚ëà  ï ¨§ ¢â®à®£® ãà ¢­¥­¨ï (4.1.4) ¯ à ¬¥âà τ ¨ ¯®¤áâ ¢«ïï
¥£® ¢ ¯¥à¢®¥ à ¢¥­á⢮, ­ 室¨¬ ¨áª®¬ãî § ¢¨á¨¬®áâì
w
w0

=

1
A



A w∞
B w0



k
k−m

F

"

A w∞
B w0

 1 #
m−k
.

(4.1.5)

”®à¬ã«ã (4.1.5) ¬®­® ¯à¥¤áâ ¢¨âì ¢ íª¢¨¢ «¥­â­®¬ ¢¨¤¥
w
w∞

=

1
B



A w∞
B w0



m
k−m

F

"

A w∞
B w0

 1 #
m−k
.

(4.1.6)

138

Œ áá®®¡¬¥­ ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ á ¯®â®ª®¬

Œ¥â®¤ ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨å ­ «®£¨© § ª«îç ¥âáï ¢ ⮬, çâ® ¯®«ã祭­®¥ ¢ëà ¥­¨¥ (4.1.5) (¨«¨ (4.1.6)) ¨á¯®«ì§ã¥âáï ¤ «¥¥ ¤«ï ¯à¨¡«¨¥­­®£® à áç¥â ­ «®£¨ç­ëå å à ªâ¥à¨á⨪ 㥠¤«ï ¤®áâ â®ç­®
è¨à®ª®£® ª« áá § ¤ ç, ®¯¨áë¢ îé¨å ª ç¥á⢥­­® á室­ë¥ ¥­¨ï
¨«¨ ¯à®æ¥ááë. „«ï í⮣® ¯®á«¥ ¯®áâ஥­¨ï á ¯®¬®éìî (4.1.1) § ¢¨á¨¬®á⨠(4.1.5) ¤«ï ª ª®£®-«¨¡® ®¤­®£® ª®­ªà¥â­®£® (­ ¯à¨¬¥à, ­ ¨¡®«¥¥ ¯à®á⮣®) á«ãç ï ¯à®æ¥¤ãà ¢ëç¨á«¥­¨ï ¢¥«¨ç¨­ë w ¤«ï ¤à㣮©
§ ¤ ç¨ í⮣® ¥ ª« áá ᢮¤¨âáï ª ®¯à¥¤¥«¥­¨î ¥¥ ᨬ¯â®â¨ª w0
(¯à¨ τ → 0) ¨ w∞ (¯à¨ τ → ∞) á ¯®á«¥¤ãî饩 ¯®¤áâ ­®¢ª®© ¨å ¢
ä®à¬ã«ã (4.1.5). ‚뢥¤¥­­ë¥ 㪠§ ­­ë¬ ᯮᮡ®¬ ¯à¨¡«¨¥­­ë¥ § ¢¨á¨¬®á⨠¡ã¤ãâ ¤ ¢ âì â®ç­ë© ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨© १ã«ìâ â ¢ ®¡®¨å
¯à¥¤¥«ì­ëå á«ãç ïå ¯à¨ τ → 0 ¨ τ → ∞.
Ǒ஢¥¤¥­­®¥ ¢ à ¡®â å [72, 142, 143, 277, 279℄ ᮯ®áâ ¢«¥­¨¥ ¯®«ã祭­ëå á ¯®¬®éìî ¬¥â®¤ ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨å ­ «®£¨© ä®à¬ã« á æ¥«ë¬ à冷¬ ª®­ªà¥â­ëå á«ãç ¥¢, ¤«ï ª®â®àëå 㥠¨¬¥îâáï ­¥®¡å®¤¨¬ë¥ ¤«ï ¯à®¢¥àª¨ â®ç­ë¥, ç¨á«¥­­ë¥ ¨ ¯à¨¡«¨¥­­ë¥ १ã«ìâ âë,
¯®ª §ë¢ ¥â å®à®èãî â®ç­®áâì ¨ è¨à®ª¨¥ ¢®§¬®­®á⨠¯à¥¤«®¥­­®£® ᯮᮡ à áç¥â . â® ®¡áâ®ï⥫ìá⢮ £®¢®à¨â ® ⮬, çâ® ª®­¥ç­ ï ä㭪樮­ «ì­ ï á¢ï§ì (4.1.5) ¨­â¥à¥áãî饩 ­ á ¢¥«¨ç¨­ë w á ¥¥
ᨬ¯â®â¨ª ¬¨ ¤«ï ¤®áâ â®ç­® è¨à®ª®£® ª« áá ®¤­®â¨¯­ëå § ¤ ç
®áâ ¥âáï ®¤­®© ¨ ⮩ ¥ (â®ç­¥¥, á« ¡® ¬¥­ï¥âáï), ¨ ª®­ªà¥â­ë¥ ¬®¤¨ä¨ª 樨 ¨ £¥®¬¥âà¨ç¥áª¨¥ à §«¨ç¨ï (ä®à¬ ¯®¢¥àå­®á⨠¨ áâàãªâãà
â¥ç¥­¨ï) íâ¨å § ¤ ç ¢ ¤®áâ â®ç­® ¯®«­®© ¬¥à¥ ãç¨âë¢ îâáï ᮮ⢥âáâ¢ãî騬¨ ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨¬¨ ¯ à ¬¥âà ¬¨ ⨯ w0 ¨ w∞ . „à㣨¬¨
á«®¢ ¬¨, ®¡« áâì ¯à¨¬¥­¨¬®á⨠ª®­¥ç­®© ä®à¬ã«ë (4.1.5) ®ª §ë¢ ¥âáï áãé¥á⢥­­® è¨à¥ ®¡« á⨠¯à¨¬¥­¨¬®á⨠¨á室­®© § ¢¨á¨¬®áâ¨
(4.1.1). ‚ í⮬ á¬ëá«¥ ¬®­® £®¢®à¨âì, çâ® ä®à¬ã«ë ⨯ (4.1.6) (¢
®â«¨ç¨¥ ®â ¨á室­®© ä®à¬ã«ë (4.1.1)) ®¡« ¤ îâ ¯®¢ë襭­®© ¨­ä®à¬ ⨢­®áâìî.
4.2. ‚­ãâ७­¨¥ § ¤ ç¨ ® ⥯«®®¡¬¥­¥ ⥫
à §«¨ç­®© ä®à¬ë

 áᬮâਬ ª« áá § ¤ ç ® ­¥áâ 樮­ à­®¬ ⥯«®®¡¬¥­¥ ¢ë¯ãª«ëå
⥫ à §«¨ç­®© ä®à¬ë á ®ªàã î饩 á।®©. ‘ç¨â ¥¬, çâ® ¢ ­ ç «ì­ë© ¬®¬¥­â ¢à¥¬¥­¨ t = 0 ⥬¯¥à âãà ⥫ ¡ë« ®¤¨­ ª®¢ ¨ à ¢­ Ti , ¯à¨ t > 0 ­ ¯®¢¥àå­®á⨠⥫ ⥬¯¥à âãà ¯®¤¤¥à¨¢ ¥âáï
¯®áâ®ï­­®© ¨ à ¢­ Ts .  á¯à¥¤¥«¥­¨¥ ⥬¯¥à âãàë ¢­ãâਠ⥫ ®¯¨áë¢ ¥âáï á«¥¤ãî騬 ãà ¢­¥­¨¥¬, ­ ç «ì­ë¬ ¨ £à ­¨ç­ë¬ ãá«®¢¨ï¬¨:
∂T
∂ τ

=
T ;

(4.2.1)

4.2. ‚­ãâ७­¨¥ § ¤ ç¨ ® ⥯«®®¡¬¥­¥ ⥫ à §«¨ç­®© ä®à¬ë
T
T

= 0 ¢ ­ ç «ì­ë© ¬®¬¥­â ¢à¥¬¥­¨ τ = 0,
= 1 ­ ¯®¢¥àå­®á⨠⥫ ,

139
(4.2.2)
(4.2.3)

£¤¥ ¡¥§à §¬¥à­ë¥ ¢¥«¨ç¨­ë ¢¢¥¤¥­ë ¯® ä®à¬ã« ¬ (3.1.32).
€­ «®£¨ç­ë¬ ®¡à §®¬ ä®à¬ã«¨àã¥âáï § ¤ ç ® ­¥áâ 樮­ à­®©
¤¨ää㧨¨ ¢­ãâਠ¯®«®áâ¨, § ¯®«­¥­­®© ­¥¯®¤¢¨­®© á।®©.
Žá­®¢­®¥ ¢­¨¬ ­¨¥ ¢ í⮬ à §¤¥«¥ ¡ã¤¥â 㤥«¥­® ¨§ã祭¨î á।­¥© ⥬¯¥à âãàë ⥫ hT i, ª®â®à ï ®¯à¥¤¥«ï¥âáï â ª:
hT i =

Z

1
V

(4.2.4)

T dv,

v

R

£¤¥ V = dv | ¡¥§à §¬¥à­ë© ®¡ê¥¬ ⥫ .
v
„«ï ¯®áâ஥­¨ï ¯à¨¡«¨¥­­®© § ¢¨á¨¬®á⨠á।­¥© ⥬¯¥à âãàë
⥫ ®â ¢à¥¬¥­¨ ¢®á¯®«ì§ã¥¬áï ¬¥â®¤®¬ ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨å ­ «®£¨©.
‚ ª ç¥á⢥ ¨á室­®© ¯à®á⥩襩 § ¤ ç¨ ã¤®¡­® ¢§ïâì ®¤­®¬¥à­ãî
(¯® ¯à®áâà ­á⢥­­ë¬ ª®®à¤¨­ â ¬) § ¤ çã ® ⥯«®®¡¬¥­¥ áä¥àë
à ¤¨ãá a. ¥è¥­¨¥ í⮩ § ¤ ç¨ å®à®è® ¨§¢¥áâ­® [104℄ ¨ ¯à¨¢®¤¨â
ª á«¥¤ãî饬㠢ëà ¥­¨î ¤«ï á।­¥© ⥬¯¥à âãàë:
hT i = 1 −

6

π2

∞
X

k=1

1

k2

exp(−π2 k2 τ).

(4.2.5)

€á¨¬¯â®â¨ª¨ ä®à¬ã«ë (4.2.5) ¯à¨ ¬ «ëå ¨ ¡®«ìè¨å ¢à¥¬¥­ å
¨¬¥îâ ¢¨¤
hT i0

√

= 6π−1/2 τ (τ → 0);

hT i∞

= 1 (τ → ∞)

(4.2.6)

¨ ïîâáï ç áâ­ë¬ á«ãç ¥¬ (4.1.2), (4.1.3) ¯à¨ w0 = hT i0 ¨
w∞ = hT i∞ , £¤¥ A = 6π −1/2 , B = 1, k = 12 , m = 0. Ǒ®¤áâ ¢«ïï í⨠§­ 祭¨ï ¢ (4.1.6), £¤¥ F = hT i, ¯¥à¥¯¨è¥¬ § ¢¨á¨¬®áâì (4.2.5) á«¥¤ãî騬
®¡à §®¬:
hT i
hT i∞

=1−

6

π2

∞
X

k=1

1

k2

exp

"

π3 2
−
k

36



hT i0
hT i∞

2 #

.

(4.2.7)

”®à¬ã«ã (4.2.7) ¢ ᮮ⢥âá⢨¨ á ¬¥â®¤®¬ ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨å ­ «®£¨©
¡ã¤¥¬ ¨á¯®«ì§®¢ âì ¤«ï à áç¥â á।­¥© ⥬¯¥à âãàë ⥫ ­¥áä¥à¨ç¥áª®© ä®à¬ë. „«ï í⮣® ¤«ï ⥫ § ¤ ­­®© ä®à¬ë á­ ç « á«¥¤ã¥â
¢ëç¨á«¨âì ᨬ¯â®â¨ª¨ á।­¥© ⥬¯¥à âãàë ¯à¨ ¬ «ëå ¨ ¡®«ìè¨å
¢à¥¬¥­ å, § ⥬ ¯®¤áâ ¢¨âì ¨å ¢ ¢ëà ¥­¨¥ (4.2.7).

140

Œ áá®®¡¬¥­ ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ á ¯®â®ª®¬

„«ï ®£à ­¨ç¥­­®£® ⥫ ¯à®¨§¢®«ì­®© ä®à¬ë à¥è¥­¨¥ § ¤ ç¨
(4.2.1) | (4.2.3) ¯à¨ τ → ∞ áâ६¨âáï ª ¯à¥¤¥«ì­®¬ã §­ 祭¨î (à ¢­®¬ã ¥¤¨­¨æ¥), ª®â®à®¥ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï £à ­¨ç­ë¬ ãá«®¢¨¥¬ ­ ¯®¢¥àå­®á⨠⥫ . Ǒ®« £ ï T = 1 ¢ ä®à¬ã«¥ (4.2.4), ­ 室¨¬ ᨬ¯â®â¨ªã
¤«ï á।­¥© ⥬¯¥à âãàë ¯à¨ ¡®«ìè¨å τ:
hT i∞

= 1.

(4.2.8)

 áᬮâਬ ⥯¥àì ­ ç «ì­ãî áâ ¤¨î ¯à®æ¥áá , ᮮ⢥âáâ¢ãîéãî ¬ «ë¬ §­ 祭¨ï¬ ¡¥§à §¬¥à­®£® ¢à¥¬¥­¨. Ǒந­â¥£à¨à㥬
ãà ¢­¥­¨¥ (4.2.1) ¯® ®¡ê¥¬ã, § ­ï⮬ã ⥫®¬ v. “ç¨âë¢ ï ⮤¥á⢮

T = div (grad T ), á ¯®¬®éìî ä®à¬ã«ë Žáâà®£à ¤áª®£® | ƒ ãáá ¯¥à¥©¤¥¬ ¢ ¯à ¢®© ç á⨠¯®«ã祭­®£® ¢ëà ¥­¨ï ®â ®¡ê¥¬­®£® ¨­â¥£à « ª ¯®¢¥àå­®áâ­®¬ã. ‚ १ã«ìâ ⥠¨¬¥¥¬
∂
∂ τ

Z

T dv

v

=−

Z

∂T
d ,
∂ξ

(4.2.9)

£¤¥ ª®®à¤¨­ â ξ ­ ¯à ¢«¥­ ¢­ãâàì ¯® ­®à¬ «¨ ª ¯®¢¥àå­®á⨠⥫ .
Ǒਠ¬ «ëå ¢à¥¬¥­ å ®á­®¢­®¥ ¨§¬¥­¥­¨¥ ⥬¯¥à âãàë ¯à®¨á室¨â
¢ â®­ª®© §®­¥, ¯à¨«¥£ î饩 ª ¯®¢¥àå­®á⨠⥫ . ‚ í⮩ ®¡« á⨠¯à®¨§¢®¤­ë¬¨ ¢¤®«ì ¯®¢¥àå­®á⨠⥫ ¬®­® ¯à¥­¥¡à¥çì ¯® áà ¢­¥­¨î á
¯à®¨§¢®¤­ë¬¨ ¯® ­®à¬ «¨. Ǒ®í⮬ã à á¯à¥¤¥«¥­¨¥ ⥬¯¥à âãàë ¯à¨
τ → 0 ®¯¨áë¢ ¥âáï á«¥¤ãî騬 ãà ¢­¥­¨¥¬ á ­ ç «ì­ë¬ ¨ £à ­¨ç­ë¬
ãá«®¢¨ï¬¨:
∂T
∂2T
= 2;
∂ τ
∂ξ
(4.2.10)
τ = 0, T = 0;
ξ = 0, T = 1,
£¤¥ §­ 祭¨¥ ξ = 0 ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¯®¢¥àå­®á⨠⥫ .
¥è¥­¨¥ § ¤ ç¨ (4.2.10) ¢ëà  ¥âáï ç¥à¥§ ¤®¯®«­¨â¥«ì­ë© ¨­â¥£à « ¢¥à®ïâ­®áâ¨


ξ
√
T = erf
(4.2.11)
.
2 τ
„¨ää¥à¥­æ¨àãï íâã ä®à¬ã«ã ¯® ξ ¨ ¯®« £ ï ξ = 0, ­ 室¨¬
«®ª «ì­ë© ⥯«®¢®© ¯®â®ª ­ ¯®¢¥àå­®áâì ⥫ ¯à¨ τ → 0:


∂T
∂ξ



1
=−√

π τ

.

(4.2.12)

Ǒ®¤áâ ¢¨¬ (4.2.12) ¢ à ¢¥­á⢮ (4.2.9). Ǒ®á«¥ ¨­â¥£à¨à®¢ ­¨ï
¨¬¥¥¬
Z
∂
1
T dv = √ S,
(4.2.13)
∂ τ
π τ
v

141

4.2. ‚­ãâ७­¨¥ § ¤ ç¨ ® ⥯«®®¡¬¥­¥ ⥫ à §«¨ç­®© ä®à¬ë

£¤¥ S | ¡¥§à §¬¥à­ ï ¯«®é ¤ì ¯®¢¥àå­®á⨠⥫ .
Ǒந­â¥£à¨à㥬 ®¡¥ ç á⨠ä®à¬ã«ë (4.2.13) ¯® τ ®â 0 ¤® τ. “ç¨âë¢ ï ­ ç «ì­®¥ ãá«®¢¨¥ (4.2.2), ¯à¨å®¤¨¬ ª ¨áª®¬®¬ã ᨬ¯â®â¨ç¥áª®¬ã ¢ëà ¥­¨î ¤«ï á।­¥© ⥬¯¥à âãàë ¯à¨ τ → 0:
S
hT i0 = 2
V

r

τ
.
π

(4.2.14)

Ǒ®¤áâ ¢«ïï (4.2.8) ¨ (4.2.14) ¢ ä®à¬ã«ã (4.2.7), ¯®«ã稬 ¯à¨¡«¨¥­­ãî § ¢¨á¨¬®áâì á।­¥© ⥬¯¥à âãàë ¤«ï ⥫ ¯à®¨§¢®«ì­®©
ä®à¬ë ®â ¢à¥¬¥­¨
hT i = 1 −

6

π2

∞
X

k=1

1

k2

exp



π2 k2 S 2
τ
.
−

9V 2

â® ¢ëà ¥­¨¥ ¬®­® ¯¥à¥¯¨á âì á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬ [144℄:
hT i = 1 −

6

π2

∞
X

k=1

1

k2

exp



π 2 2 S∗2 χt
k
−
,
9
V∗2

(4.2.15)

£¤¥ S∗ ¨ V∗ | à §¬¥à­ë¥ ¯«®é ¤ì ¯®¢¥àå­®á⨠¨ ®¡ê¥¬ ⥫ .
„«ï ¯à ªâ¨ç¥áª¨å à áç¥â®¢ ¢¬¥áâ® ¡¥áª®­¥ç­®£® àï¤ æ¥«¥á®®¡à §­® ¨á¯®«ì§®¢ âì ¡®«¥¥ ¯à®áâãî ä®à¬ã«ã
hT i =

√

1 − e−1,27 ω + 0,6



e−1,5 ω − e−1,1 ω,

ω

=

S∗2 χt
,
V∗2

(4.2.16)

¬ ªá¨¬ «ì­®¥ ®â«¨ç¨¥ ª®â®à®© ®â (4.2.15) á®áâ ¢«ï¥â ®ª®«® 1,7% (á¬.
â ¡«. 4.1).
Ǒ஢¥¤¥¬ ᮯ®áâ ¢«¥­¨¥ ¯à¨¡«¨¥­­®© § ¢¨á¨¬®á⨠(4.2.15) á ¨§¢¥áâ­ë¬¨ â®ç­ë¬¨ १ã«ìâ â ¬¨ ¯® ⥯«®®¡¬¥­ã ⥫ ­¥áä¥à¨ç¥áª®©
ä®à¬ë.
 áᬮâਬ á­ ç « ¯ à ««¥«¥¯¨¯¥¤, áâ®à®­ë ª®â®à®£® à ¢­ë L1 ,
L2 , L3 . ¥è¥­¨¥ ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 âà¥å¬¥à­®© § ¤ ç¨ (4.2.1) | (4.2.3)
áâநâáï ¬¥â®¤®¬ à §¤¥«¥­¨ï ¯¥à¥¬¥­­ëå ¨ ¯à¨¢®¤¨â ª á«¥¤ãî饩
ä®à¬ã«¥ ¤«ï á।­¥© ⥬¯¥à âãàë [104℄:
hT i = 1 −



8

3 X
∞ X
∞ X
∞

1

×
π2
(2k − 1)2 (2m − 1)2 (2l − 1)2
k=1 m=1 l=1


 
(2k − 1)2 (2m − 1)2 (2l − 1)2
χt .
+
+
× exp −π 2
L21
L22
L23

(4.2.17)

142

Œ áá®®¡¬¥­ ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ á ¯®â®ª®¬

“ç¨âë¢ ï, çâ® ¯«®é ¤ì ¯®¢¥àå­®á⨠¨ ®¡ê¥¬ ¯ à ««¥«¥¯¨¯¥¤
®¯à¥¤¥«ïîâáï ä®à¬ã« ¬¨ S∗ = 2(L1L2 + L1 L3 + L2 L3 ) ¨ V∗ = L1 L2 L3 ,
¯à¥¤áâ ¢¨¬ ¢ëà ¥­¨¥ (4.2.17) ¢ ¢¨¤¥
hT i = 1 −




 π2

× exp−
 4

8

π2


3 X
∞ X
∞ X
∞
k=1 m=1 l=1

2k − 1
L1

2


+
1
L1



1
(2k − 1)2 (2m − 1)2 (2l − 1)2

2m − 1

+

L2

1

L2

2

+

+

1

L3



2

2l − 1
L3

2

×


S∗2 χt 

.
V∗2 

(4.2.18)

‚ â ¡«. 4.1 ¯à¨¢¥¤¥­ë १ã«ìâ âë ᮯ®áâ ¢«¥­¨ï ¯à¨¡«¨¥­­®©
(4.2.15) ¨ â®ç­®© (4.2.18) § ¢¨á¨¬®á⥩ á।­¥© ⥬¯¥à âãàë ¯ à ««¥«¥¯¨¯¥¤ ¯à¨ è¥áâ¨ à §«¨ç­ëå §­ 祭¨ïå L1 , L2 , L3. ‚¨¤­®, çâ® ¬ ªá¨¬ «ì­ ï ¯®£à¥è­®áâì ä®à¬ã« (4.2.15) ¨ (4.2.16) ¯à¨
0,25 6 L3 /L1 6 4,0, L2 /L1 = 1 á®áâ ¢«ï¥â ®ª®«® 5%.
 áᬮâਬ ⥯¥àì ⥯«®®¡¬¥­ 樫¨­¤à ª®­¥ç­®© ¤«¨­ë. Ǒãáâì
à ¤¨ãá 樫¨­¤à ¡ã¤¥â a, ¤«¨­ | L. ¥è¥­¨¥ § ¤ ç¨ (4.2.1) |
(4.2.3) ¢ í⮬ á«ãç ¥ ¯à¨¢®¤¨â ª á«¥¤ãî饬㠢ëà ¥­¨î ¤«ï á।­¥©
⥬¯¥à âãàë [104℄:
hT i = 1 −

32

π2

∞ X
∞
X

1

×
ϑ2 (2m − 1)2
k=1 m=1 k
  2
ϑk
× exp −
a2

+

π 2 (2m − 1)2
L2




χt ,

(4.2.19)

£¤¥ ϑk | ª®à­¨ ä㭪樨 ¥áá¥«ï ­ã«¥¢®£® த : J0 (ϑk ) = 0 (§­ 祭¨ï
¯¥à¢ëå è¥á⨤¥áï⨠ª®à­¥© ϑk ¯à¨¢¥¤¥­ë ¢ ª­¨£¥ [188℄).
”®à¬ã«ã (4.2.19) ¬®­® ¯¥à¥¯¨á âì â ª:
hT i = 1 −

32

π2

∞ X
∞
X

1

×
ϑ2 (2m − 1)2
k=1 m=1 k


L2 ϑ2k + π 2 a2 (2m − 1)2 S∗2 χt
,
× exp −
4(a + L)2
V∗2

(4.2.20)

£¤¥ S∗ = 2πa(a + L) | ¯«®é ¤ì ¯®¢¥àå­®áâ¨, V∗ = πa2 L | ®¡ê¥¬
樫¨­¤à .
¥§ã«ìâ âë à áç¥â á ¯®¬®éìî â®ç­®© (4.2.20) ¨ ¯à¨¡«¨¥­­®©
(4.2.15) § ¢¨á¨¬®á⥩ ¯à¨ à §«¨ç­ëå §­ 祭¨ïå å à ªâ¥à­ëå à §¬¥à®¢ 樫¨­¤à®¢ ¯à¨¢¥¤¥­ë ¢ â ¡«. 4.1. ‚¨¤­®, çâ® ¬ ªá¨¬ «ì­ ï
¯®£à¥è­®áâì ä®à¬ã«ë (4.2.15) ¯à¨ 0,25 6 2a/L 6 4,0 á®áâ ¢«ï¥â
®ª®«® 3,5%.

143

4.3. Œ áá®®¡¬¥­ ç áâ¨æ à §«¨ç­®© ä®à¬ë á ­¥¯®¤¢¨­®© á।®©
’€‹ˆ–€ 4.1
‘®¯®áâ ¢«¥­¨¥ â®ç­ëå ¨ ¯à¨¡«¨¥­­ëå §­ 祭¨©
á।­¥© ⥬¯¥à âãàë hT i ⥫ à §«¨ç­®© ä®à¬ë
¥§à §¬¥à­®¥ ¢à¥¬ï

S∗2 χt
V∗2

‘ä¥à , ä®à¬ã« (4.2.15)

0,05 0,1

0,2

0,3

0,5

1,0

1,5

2,0

0,236 0,323 0,438 0,518 0,631 0,795 0,882 0,932

Ǒਡ«¨¥­­ ï ä®à¬ã« (4.2.16) 0,237 0,324 0,437 0,514 0,623 0,782 0,870 0,923
Ǒ à ««¥«¥¯¨¯¥¤,
ä®à¬ã«
(4.2.18);
Ei = Li /L1
–¨«¨­¤à,
ä®à¬ã«
(4.2.20);
E = 2a/L

E2
E2
E2
E2
E2
E2

= 1, E3 = 0,25
= 1, E3 = 0,5
= 1, E3 = 1
= 1, E3 = 2
= 1, E3 = 4
= 2, E3 = 4
E
E
E
E
E

= 0,25
= 0,5
=1
=2
=4

0,237
0,233
0,232
0,232
0,234
0,234
0,236
0,234
0,233
0,234
0,237

0,326
0,318
0,316
0,318
0,320
0,321
0,325
0,321
0,319
0,320
0,326

0,443
0,429
0,425
0,427
0,432
0,435
0,440
0,434
0,429
0,431
0,444

0,527
0,506
0,499
0,503
0,510
0,514
0,522
0,513
0,506
0,509
0,528

0,647
0,615
0,604
0,610
0,620
0,628
0,638
0,624
0,613
0,619
0,649

0,821
0,774
0,757
0,767
0,782
0,794
0,807
0,787
0,770
0,780
0,823

0,907
0,862
0,843
0,854
0,871
0,882
0,894
0,875
0,857
0,868
0,909

0,951
0,915
0,897
0,920
0,952
0,932
0,942
0,926
0,910
0,920
0,952

4.3. Œ áá®- ¨ ⥯«®®¡¬¥­ ç áâ¨æ à §«¨ç­®©
ä®à¬ë á ­¥¯®¤¢¨­®© á।®©

‘â 樮­ à­ë© ¬ áá®®¡¬¥­ ç áâ¨æë á ­¥¯®¤¢¨­®© á।®©.  áᬮâਬ, á«¥¤ãï [142, 143℄, áâ 樮­ à­ãî ¤¨ääã§¨î ª ç -

áâ¨æ¥ ª®­¥ç­ëå à §¬¥à®¢ ¢ ¯®ª®ï饩áï á।¥, ç⮠ᮮ⢥âáâ¢ã¥â á«ãç î Pe = 0. ‘ç¨â ¥¬, çâ® ­ ¯®¢¥àå­®á⨠ç áâ¨æë ¨ ¢¤ «¨ ®â ­¥¥
ª®­æ¥­âà æ¨ï ¯à¨­¨¬ ¥â ¯®áâ®ï­­ë¥ §­ 祭¨ï, à ¢­ë¥ ᮮ⢥âá⢥­­® Cs ¨ Ci . Ǒ®«¥ ª®­æ¥­âà 樨 ¢­¥ ç áâ¨æë ®¯¨áë¢ ¥âáï ãà ¢­¥­¨¥¬
‹ ¯« á ¨ £à ­¨ç­ë¬¨ ãá«®¢¨ï¬¨

c = 0,
c = 1 ­ ¯®¢¥àå­®á⨠ç áâ¨æë
c = 0 ¢¤ «¨ ®â ç áâ¨æë,

,

(4.3.1)
(4.3.2)
(4.3.3)

£¤¥ ¡¥§à §¬¥à­ ï ª®­æ¥­âà æ¨ï c ¢¢¥¤¥­ ¢ (3.1.7).
ˆáª®¬ ï ¢¥«¨ç¨­ , ¯à¥¤áâ ¢«ïîé ï ­ ¨¡®«ì訩 ¯à ªâ¨ç¥áª¨©
¨­â¥à¥á ¢ íâ¨å § ¤ ç å, | á।­¥¥ ç¨á«® ˜¥à¢ã¤ | ®¯à¥¤¥«ï¥âáï
¯® ä®à¬ã«¥ (3.1.28) ¨ á¢ï§ ­ á ª®íää¨æ¨¥­â®¬ ¬ áá®®â¤ ç¨ αc
á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬:
aα
Sh = c ,
(4.3.4)
D

£¤¥ a | å à ªâ¥à­ë© à §¬¥à, ¢ë¡à ­­ë© § ¬ áèâ ¡ ¤«¨­ë.

144

Œ áá®®¡¬¥­ ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ á ¯®â®ª®¬

„¨ää㧨®­­ ï § ¤ ç (4.3.1) | (4.3.3) ¬ ⥬ â¨ç¥áª¨ íª¢¨¢ «¥­â­ § ¤ ç¥ ® í«¥ªâà®áâ â¨ç¥áª®¬ ¯®«¥ § à省­®£® ¯à®¢®¤ï饣®
⥫ , à ᯮ«®¥­­®£® ¢ ®¤­®à®¤­®© ᢮¡®¤­®© ®â § à冷¢ ¤¨í«¥ªâà¨ç¥áª®© á।¥. Ǒ®í⮬ã á।­¥¥ ç¨á«® ˜¥à¢ã¤ ¢ ­¥¯®¤¢¨­®© ¨¤ª®á⨠ᮢ¯ ¤ ¥â á ¡¥§à §¬¥à­®© í«¥ªâà¨ç¥áª®© ¥¬ª®áâìî ⥫ ¨ ¬®¥â
¡ëâì ¢ëç¨á«¥­® ¨«¨ ¨§¬¥à¥­® ¬¥â®¤ ¬¨ í«¥ªâà®áâ ⨪¨.
„«ï ¤ «ì­¥©è¥£® 㤮¡­® ¢¢¥áâ¨ ä ªâ®à ä®à¬ë , ¨¬¥î騩
à §¬¥à­®áâì ¤«¨­ë, ¯® ä®à¬ã«¥
=

αc S∗
D

= Sh

S∗
,
a

(4.3.5)

£¤¥ S∗ | à §¬¥à­ ï ¯«®é ¤ì ¯®¢¥àå­®á⨠ç áâ¨æë. Žâ¬¥â¨¬, çâ®
¢¥«¨ç¨­ã  â ª¥ ¨­®£¤ ­ §ë¢ îâ ý¯à®¢®¤¨¬®áâìîþ.
‚ â ¡«. 4.2 ¯à¨¢¥¤¥­ë §­ 祭¨ï ä ªâ®à  ¤«ï ç áâ¨æ à §«¨ç­®©
ä®à¬ë. ‘।­¥¥ ç¨á«® ˜¥à¢ã¤ ᮣ« á­® ¢ëà ¥­¨î (4.3.5) ®¯à¥¤¥«ï¥âáï á ¯®¬®éìî í⮩ â ¡«¨æë ¯ã⥬ ¤¥«¥­¨ï ä ªâ®à ä®à¬ë ­
¯«®é ¤ì ¯®¢¥àå­®á⨠ç áâ¨æë ¨ 㬭®¥­¨ï ­ å à ªâ¥à­ë© à §¬¥à.
„«ï ¨­â¥à¯à¥â 樨 â ¡«¨ç­ëå ¤ ­­ëå ¯®áâ㯨¬ á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬. ‘¯à®¥ªâ¨à㥬 â®çª¨ ¯®¢¥àå­®á⨠⥫ ¢à 饭¨ï ­ ¯«®áª®áâì,
¯¥à¯¥­¤¨ªã«ïà­ãî ®á¨. ‚ ¯à®¥ªæ¨¨ ¯®«ã稬 ªàã£ à ¤¨ãá ap . ‘ä¥àã
á à ¤¨ãᮬ ap ­ §®¢¥¬ áä¥à®©, íª¢¨¢ «¥­â­®© ¯® ¯¥à¨¬¥âàã. ‚¢¥¤¥¬
ä ªâ®à íª¢¨¢ «¥­â­®£® ¯¥à¨¬¥âà [219℄
¯®¢¥àå­®áâì ç áâ¨æë
¯®¢¥àå­®áâì áä¥àë, íª¢¨¢ «¥­â­®© ¯® ¯¥à¨¬¥âàã
(4.3.6)
¨ à áᬮâਬ ᮮ⢥âáâ¢ãîéãî ®â­®á¨â¥«ì­ãî ¢¥«¨ç¨­ã ä ªâ®à
ä®à¬ë
=

S∗

4πa2p

e=


=


ä ªâ®à ä®à¬ë ç áâ¨æë
.
=
4πap
ä ªâ®à ä®à¬ë íª¢¨¢ «¥­â­®© áä¥àë

(4.3.7)

¥§à §¬¥à­ë¥ ¢¥«¨ç¨­ë (4.3.6) ¨ (4.3.7) ¨­¢ ਠ­â­ë ®â­®á¨â¥«ìeª ª
­® ¢ë¡®à å à ªâ¥à­®£® ¬ áèâ ¡ ¤«¨­ë. ƒà 䨪 § ¢¨á¨¬®á⨠
äã­ªæ¨ï  ¨§®¡à ¥­ ­ à¨á. 4.1. ‚¨¤­®, çâ® ç áâ¨æë á à §«¨ç­®©
£¥®¬¥âà¨ç¥áª®© ä®à¬®© å®à®è® ý㪫 ¤ë¢ îâáïþ ­ ®¤­ã ã­¨¢¥àá «ì­ãî ªà¨¢ãî, ª®â®àãî ¬®­® ¯¯à®ªá¨¬¨à®¢ âì ¢ëà ¥­¨¥¬
e = 0,637 + 0,327 (2 − 1)0,76


(0,5 6  6 8,5).

(4.3.8)

â㠯ਡ«¨¥­­ãî ä®à¬ã«ã 楫¥á®®¡à §­® ¨á¯®«ì§®¢ âì ¤«ï à áç¥â ¨­â¥­á¨¢­®á⨠¬ áá®®¡¬¥­ ç áâ¨æ á«®­®© ä®à¬ë ¢ ­¥¯®¤¢¨­®© á।¥, ª®£¤ ­¥¨§¢¥áâ­® à¥è¥­¨¥ § ¤ ç¨ (4.3.1) | (4.3.3).

145

4.3. Œ áá®®¡¬¥­ ç áâ¨æ à §«¨ç­®© ä®à¬ë á ­¥¯®¤¢¨­®© á।®©
’€‹ˆ–€ 4.2
” ªâ®à ä®à¬ë ç áâ¨æ ¢ ­¥¯®¤¢¨­®© á।¥ (¯® ¤ ­­ë¬ [60, 219℄)
N0

”®à¬ ç áâ¨æë

” ªâ®à ä®à¬ë  = Sh

1 ‘ä¥à à ¤¨ãá a
‘¯«îá­ãâë© í««¨¯á®¨¤
2 ¢à 饭¨ï á ¯®«ã®áﬨ
a ¨ b, χ = b/a < 1

4πa
p

4πa 1 − χ2
ar os χ
p

‚ëâï­ãâë© í««¨¯á®¨¤
3 ¢à 饭¨ï á ¯®«ã®áﬨ
a ¨ b, χ = b/a > 1

4πa χ2 − 1
p


ln χ + χ2 − 1

Šà㣮¢®© 樫¨­¤à
4 à ¤¨ãá a ¤«¨­ë L
(0 6 L/a 6 16)
’®­ª ï ¯àאַ㣮«ì­ ï
5 ¯« á⨭ á® áâ®à®­ ¬¨
L1 ¨ L2 , (L1 > L2 )
6 Šã¡ á ॡ஬ a
á î騥áï áä¥àë
7 ‘®¯à¨ª
à ¢­®£® à ¤¨ãá a
‘®¯à¨ª á î騥áï áä¥àë
8 á à ¤¨ãá ¬¨ a ¨ a
1
2
Ǒ¥à¥á¥ª î騥áï
9 ®à⮣®­ «ì­® áä¥àë
á à ¤¨ãá ¬¨ a1 ¨ a2

S∗
a



8 + 4,1 (L/a)0,76
2πL1
ln(4L1 /L2 )



a

0,654 (4πa)
2 ln 2 (4πa)

i

4πa1 a2 h  a1 
a2
+ψ
+ 2 ln γ ,
ψ
a1 + a2
a1 + a2
a1 + a2
d
£¤¥ ψ(x) = dx
(x) | «®£ à¨ä¬¨ç¥áª ï
¯à®¨§¢®¤­ ï £ ¬¬ -ä㭪樨,
ln γ = −ψ(1) = 0,5772 . . . | ¯®áâ®ï­­ ï ©«¥à

−

4π



a1

+ a2 − p

a1 a2

a21

+ a22



Ǒਢ¥¤¥¬ â ª¥ ­¥ª®â®àë¥ ®æ¥­ª¨ ¤«ï ­¨­¥© ¨ ¢¥àå­¥© £à ­¨æë
¢¥«¨ç¨­ë ä ªâ®à ä®à¬ë [219℄. ¨­ïï £à ­¨æ ¤«ï ¯à®¨§¢®«ì­®©
ç áâ¨æë ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ä ªâ®à®¬ ä®à¬ë áä¥àë à ¢­®£® ®¡ê¥¬ V∗ :
 > (48π2 V∗ )1/3 .

(4.3.9)

„àã£ ï ®æ¥­ª á­¨§ã ¨¬¥¥â ¢¨¤
 > 8(Smax/π)1/2 ,

(4.3.10)

£¤¥ Smax | ¬ ªá¨¬ã¬ ¯«®é ¤¨ ®à⮣®­ «ì­®© ¯à®¥ªæ¨¨ ⥫ ­ ¯«®áª®áâì.  ¢¥­á⢮ ¢ ä®à¬ã«¥ (4.3.10) ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¤¨áªã. ‚¥àå­ïï £à ­¨æ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ä ªâ®à®¬ ä®à¬ë «î¡®© ¯®¢¥àå­®á⨠(­ ¯à¨¬¥à,
áä¥àë ¨«¨ í««¨¯á®¨¤ ¢à 饭¨ï), ®ªàã î饩 ç áâ¨æã.

146

Œ áá®®¡¬¥­ ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ á ¯®â®ª®¬

‡ ¢¨á¨¬®áâì ®â­®á¨â¥«ì­®© ¢¥«¨ç¨­ë ä ªâ®à ä®à¬ë ®â ä ªâ®à
íª¢¨¢ «¥­â­®£® ¯¥à¨¬¥âà ¢ ­¥¯®¤¢¨­®© á।¥ ¤«ï ç áâ¨æ à §«¨ç­®© ä®à¬ë:
1 | ªà㣮¢®© 樫¨­¤à, 2 | ᯫîá­ãâë© í««¨¯á®¨¤ ¢à 饭¨ï, 3 | ¢ëâï­ãâë©
í««¨¯á®¨¤ ¢à 饭¨ï, 4 | ªã¡, 5 | ¯®«ãáä¥à , 6 | ¯¥à¥á¥ª î騥áï áä¥àë.

¨á. 4.1.

¥áâ 樮­ à­ë© ¬ áá®®¡¬¥­ ç áâ¨æë á ­¥¯®¤¢¨­®© á।®©. Ǒãáâì ¢ ­ ç «ì­ë© ¬®¬¥­â ¢à¥¬¥­¨ t = 0 ª®­æ¥­âà æ¨ï ¢ ᯫ®è-

­®© ä §¥ ¯®áâ®ï­­ ¨ à ¢­ Ci , ­ ¯®¢¥àå­®á⨠ç áâ¨æë ¯®¤¤¥à¨¢ ¥âáï ¯®áâ®ï­­ ï ª®­æ¥­âà æ¨ï Cs . ¥áâ 樮­ à­ë© ¬ áá®®¡¬¥­
ç áâ¨æë á ­¥¯®¤¢¨­®© á।®© ®¯¨áë¢ ¥âáï ãà ¢­¥­¨¥¬
∂c
∂τ

=
c

(4.3.11)

á £à ­¨ç­ë¬¨ ãá«®¢¨ï¬¨ (4.3.2), (4.3.3) ¨ ­ ç «ì­ë¬ ãá«®¢¨¥¬
τ = 0, c = 0,
(4.3.12)
2
£¤¥ τ = tD/a | ¡¥§à §¬¥à­®¥ ¢à¥¬ï.
„«ï ç áâ¨æë áä¥à¨ç¥áª®© ä®à¬ë à¥è¥­¨¥ § ¤ ç¨ (4.3.11),
(4.3.12), (4.3.2), (4.3.3) ¢ëà  ¥âáï ç¥à¥§ ¤®¯®«­¨â¥«ì­ë© ¨­â¥£à «
¢¥à®ïâ­®á⥩ ¨ ¨¬¥¥â ¢¨¤


1
r−1
√
c=
erf
(4.3.13)
,
r
2 τ
£¤¥ r | ®â­¥á¥­­ ï ª à ¤¨ãáã ç áâ¨æë ¡¥§à §¬¥à­ ï à ¤¨ «ì­ ï
ª®®à¤¨­ â .
‘।­¥¥ ç¨á«® ˜¥à¢ã¤ ¤«ï áä¥àë à ¢­®
1
(4.3.14)
Sh = 1 + √ .
πτ

„«ï ç áâ¨æ ­¥áä¥à¨ç¥áª®© ä®à¬ë á।­¥¥ ç¨á«® ˜¥à¢ã¤ ¯à¨¡«¨¥­­® ¬®­® ¢ëç¨á«¨âì ¯® ä®à¬ã«¥
1
(4.3.15)
Sh = Shst + √ ,
πτ

4.4. Œ áᮯ¥à¥­®á ¢ ¯®áâ㯠⥫쭮¬ ¯®â®ª¥ ¯à¨ ¬ «ëå Pe

147

£¤¥ Shst | ç¨á«® ˜¥à¢ã¤ , ᮮ⢥âáâ¢ãî饥 à¥è¥­¨î áâ 樮­ à­®©
§ ¤ ç¨ (4.3.1) | (4.3.3). ‚ᥠ¢¥«¨ç¨­ë Sh, Shst , τ ¢ (4.3.15) ®¡¥§à §¬¥à¥­ë á ¯®¬®éìî ®¤­®£® ¨ ⮣® ¥ ¬ áèâ ¡ ¤«¨­ë.
‚ á«ãç ¥ ç áâ¨æ ­¥áä¥à¨ç¥áª®© ä®à¬ë ¤«ï ®¯à¥¤¥«¥­¨ï Shst
¬®­® ¨á¯®«ì§®¢ âì ¤ ­­ë¥ â ¡«. 4.2 ¨ ¢ëà ¥­¨¥ (4.3.8).
4.4. Œ áᮯ¥à¥­®á ¢ ¯®áâ㯠⥫쭮¬ ¯®â®ª¥
¯à¨ ¬ «ëå ç¨á« å Ǒ¥ª«¥

 áᬮâਬ, á«¥¤ãï [142, 143℄ áâ 樮­ à­ãî ¤¨ääã§¨î ª ç áâ¨æ¥, ®¡â¥ª ¥¬®© « ¬¨­ à­ë¬ ¯®â®ª®¬. Ǒ।¯®« £ ¥¬, çâ® ­ ¯®¢¥àå­®á⨠ç áâ¨æë ¨ ¢¤ «¨ ®â ­¥¥ ª®­æ¥­âà æ¨ï ¯à¨­¨¬ ¥â ¯®áâ®ï­­ë¥
§­ 祭¨ï, à ¢­ë¥ Cs ¨ Ci . ‚ ¡¥§à §¬¥à­ëå ¯¥à¥¬¥­­ëå (3.1.7) ¯à®æ¥áá
¬ áᮯ¥à¥­®á ¢ ᯫ®è­®© ä §¥ ®¯¨áë¢ ¥âáï ãà ¢­¥­¨¥¬
Pe(~v · ∇)c =
c

(4.4.1)

á £à ­¨ç­ë¬¨ ãá«®¢¨ï¬¨ (4.3.2), (4.3.3).  á¯à¥¤¥«¥­¨¥ ᪮à®á⥩
¨¤ª®á⨠~v § ¢¨á¨â ®â ä®à¬ë ç áâ¨æë ¨ áâàãªâãàë ­¥¢®§¬ã饭­®£®
â¥ç¥­¨ï ­ ¡¥áª®­¥ç­®á⨠¨ ¡ã¤¥â ª®­ªà¥â¨§¨à®¢ âìáï ¤ «¥¥ ¯® ¬¥à¥
­¥®¡å®¤¨¬®áâ¨.
‚ ¤ ­­®¬ à §¤¥«¥ ¡ã¤¥â ¨áá«¥¤®¢ âìáï ®¤­®à®¤­ë© ¯®áâ㯠⥫ì­ë© ¯®â®ª ᮠ᪮à®áâìî Ui ¢¤ «¨ ®â ç áâ¨æë.
‘ä¥à¨ç¥áª ï ç áâ¨æ .  áᬮâਬ ¬ áá®®¡¬¥­ áä¥à¨ç¥áª®©
ç áâ¨æë à ¤¨ãá a á ¯®áâ㯠⥫ì­ë¬ ¯®â®ª®¬. Ǒਠá⮪ᮢ®¬ २¬¥
â¥ç¥­¨ï (Re → 0) ¡¥§à §¬¥à­ë¥ (®â­¥á¥­­ë¥ ª Ui ) ª®¬¯®­¥­âë ᪮à®á⨠¨¤ª®á⨠¬®­® ¯à¥¤áâ ¢¨âì ¢ ¢¨¤¥
vr

=

1 ∂ψ
,
v
r2 sin θ ∂θ  θ
1
ψ = (r − 1)2 2 +
4

1
=−
r
sin
θ

1
sin2 θ.

∂ψ
,
∂r

(4.4.2)

r

‡¤¥áì r | ¡¥§à §¬¥à­ ï (®â­¥á¥­­ ï ª a) à ¤¨ «ì­ ï ª®®à¤¨­ â ,
θ | 㣫®¢ ï ª®®à¤¨­ â (®âáç¨âë¢ ¥âáï ®â ­ ¯à ¢«¥­¨ï ­ ¡¥£ î饣®
¯®â®ª ), ψ | ¡¥§à §¬¥à­ ï (®â­¥á¥­­ ï ª a2 Ui ) äã­ªæ¨ï ⮪ .
ˆá¯®«ì§®¢ ­¨¥ ä㭪樨 ⮪ (4.4.2) ¯®§¢®«ï¥â § ¯¨á âì ãà ¢­¥­¨¥ ª®­¢¥ªâ¨¢­®© ¤¨ää㧨¨ (4.4.1) á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬:

c =
£¤¥ Pe = aUi /D.

Pe
r2 sin θ



∂ψ ∂c
∂ψ ∂c
−
∂θ ∂r
∂r ∂θ



,

(4.4.3)

148

Œ áá®®¡¬¥­ ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ á ¯®â®ª®¬

ƒà ­¨ç­ë¥ ãá«®¢¨ï ¨¬¥îâ ¢¨¤
r

= 1,

r → ∞,

c=1

(­ ¯®¢¥àå­®á⨠áä¥àë)
(­ ¡¥áª®­¥ç­®áâ¨).

c→0

(4.4.4)
(4.4.5)

Ǒਡ«¨¥­­®¥ ­ «¨â¨ç¥áª®¥ à¥è¥­¨¥ § ¤ ç¨ (4.4.3) | (4.4.5) ¯à¨
¬ «ëå ç¨á« å Ǒ¥ª«¥ ¨é¥¬ ¬¥â®¤®¬ áà 騢 ¥¬ëå ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨å
à §«®¥­¨© [38, 90, 114℄.
 „«ï í⮣® à §®¡ì¥¬ ¯®«¥ â¥ç¥­¨ï
 ­ ¤¢¥ ®¡« áâ¨: ¢­ãâ७­îî = 1 6 r 6 O(Pe−1 ) ¨ ¢­¥è­îî = O(Pe−1 ) 6 r .
‚® ¢­ãâ७­¥© ®¡« á⨠á®åà ­¨¬ ¯à¥­¨¥ ¯¥à¥¬¥­­ë¥ r, θ, ¢® ¢­¥è­¥© ¢¢¥¤¥¬ ¢¬¥áâ® r á âãî à ¤¨ «ì­ãî ª®®à¤¨­ âã r = Pe r.
¥è¥­¨¥ ¢ ª ¤®© ¨§ ®¡« á⥩ ¨é¥¬ ¯® ®â¤¥«ì­®á⨠¢ ¢¨¤¥
¢­ãâ७­¥£® ¨ ¢­¥è­¥£® à §«®¥­¨©:
c=
c =

∞
X

k=0
∞
X
k=0

εk (Pe)ck (r, θ)

¢

,

(4.4.6)

εk (Pe)
ck (
r, θ)

¢

.

(4.4.7)

‡ ¢¨á¨¬®á⨠ª®íää¨æ¨¥­â®¢ àï¤ εk , εk ®â ç¨á« Ǒ¥ª«¥ § à ­¥¥
­¥ ¨§¢¥áâ­ë ¨ ­ 室ïâáï ¢ ¯à®æ¥áᥠà¥è¥­¨ï § ¤ ç¨. Ǒ।¯®« £ ¥âáï
«¨èì, çâ® ¢ë¯®«­ïîâáï ãá«®¢¨ï
εk+1
→ 0,
εk

εk+1
→0
εk

¯à¨ Pe → 0.

—«¥­ë ¢­ãâ७­¥£® à §«®¥­¨ï (4.4.6) ®¯à¥¤¥«ïîâáï ¯ã⥬ à¥è¥­¨ï ãà ¢­¥­¨ï (4.4.3) á £à ­¨ç­ë¬ ãá«®¢¨¥¬ ­ ¯®¢¥àå­®á⨠ç áâ¨æë (4.4.4). —«¥­ë ¢­¥è­¥£® à §«®¥­¨ï (4.4.7) áâ६ïâáï ª ­ã«î ¯à¨
r → ∞ ¨ ®¯¨áë¢ îâáï ãà ¢­¥­¨¥¬ (4.4.3), £¤¥ ᤥ« ­ § ¬¥­ r = r/Pe
¨ ãç⥭ § ¢¨á¨¬®áâì (4.4.2). ‚®§­¨ª î騥 ¯à¨ à¥è¥­¨¨ íâ¨å § ¤ ç
¯à®¨§¢®«ì­ë¥ ª®­áâ ­âë ­ 室ïâáï ¨§ ãá«®¢¨ï áà 騢 ­¨ï, ª®â®à®¥
§ ¯¨áë¢ ¥âáï â ª:
c(r → ∞) = c(
r → 0).
(4.4.8)
ƒ« ¢­ë© ç«¥­ ¢­ãâ७­¥£® à §«®¥­¨ï (4.4.6) ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¬ áá®®¡¬¥­ã áä¥àë á ­¥¯®¤¢¨­®© á।®© ¨ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï à¥è¥­¨¥¬ § ¤ ç¨ (4.4.3) | (4.4.5) ¯à¨ Pe = 0. Ǒ®í⮬㠨¬¥¥¬
c0

=

1
r

,

ε0 (Pe) = 1.

(4.4.9)

 ©¤¥¬ ï¢­ë© ¢¨¤ ª®íää¨æ¨¥­â ε0 (Pe) ¢® ¢­¥è­¥¬ à §«®¥­¨¨. „«ï í⮣® ¢ ä®à¬ã«¥ (4.4.9) ¯¥à¥©¤¥¬ ª ¢­¥è­¥© ¯¥à¥¬¥­­®©:

149

4.4. Œ áᮯ¥à¥­®á ¢ ¯®áâ㯠⥫쭮¬ ¯®â®ª¥ ¯à¨ ¬ «ëå Pe

= Pe/r. ˆ§ ãá«®¢¨ï áà 騢 ­¨ï (4.4.8) á«¥¤ã¥â, çâ® ε0 = Pe. Ǒ®¤áâ ¢¨¬ r = r/Pe ¨ c = Pe c0 + · · · ¢ (4.4.2), (4.4.3), (4.4.5) ¨ ®â¡à®á¨¬
á« £ ¥¬ë¥ ¯®à浪 o(Pe). ‚ १ã«ìâ ⥠¯®«ã稬 § ¤ çã ¤«ï £« ¢­®£®
ç«¥­ ¢­¥è­¥£® à §«®¥­¨ï
c0

 c0 = os θ ∂ c0 + sin θ ∂ c0 ;


r → ∞, c → 0.
(4.4.10)
∂ r
r ∂θ
 | ®á¥á¨¬¬¥âà¨ç­ë© ®¯¥à â®à ‹ ¯« á , £¤¥ ¢ ª ç¥á⢥ à ¤¨‡¤¥áì

«ì­®© ª®®à¤¨­ âë ¢ëáâ㯠¥â r.
Ž¡é¥¥ à¥è¥­¨¥ § ¤ ç¨ (4.4.10) ¨¬¥¥â ¢¨¤
c0

=

 π 1/2
r

Km+1/2

exp

 r 

2



=

r

X
∞

os θ
2

 π 1/2
r

Pm (x) =

m=0

exp

1



Am Km+1/2
r  X
∞

−

2

 r 

2

Pm (

os θ),

(k + m)!
,
(m − k)! k! rk

k=0
dm
2
(x − 1)m ,
dxm

2mm!
£¤¥ Km+1/2 (x) | ä㭪樨 Œ ª¤®­ «ì¤ , Pm (x) | ¯®«¨­®¬ë ‹¥ ­¤à . Š®­áâ ­âë Am ¤®«­ë ¡ëâì ®¯à¥¤¥«¥­ë ¢ १ã«ìâ â¥
áà 騢 ­¨ï, ª®â®à®¥ § ª«îç ¥âáï ¢ áà ¢­¥­¨¨ ¯®¢¥¤¥­¨ï ä㭪樨
c = Pe c0 + · · · ¯à¨ r → 0 ¨ ä㭪樨 (4.4.9) ¯à¨ r → ∞. ¥âà㤭®
ãáâ ­®¢¨âì, çâ® A0 = 1/π, Am = 0 (m = 1, 2, . . . ). Ǒ®í⮬ã
c0

=



1
1
exp r( os θ − 1)
r
2



,

ε0

= Pe .

(4.4.11)

 ©¤¥¬ ¯¥à¢®¥ ¯à¨¡«¨¥­¨¥ ¤«ï ¢­ãâ७­¥£® à §«®¥­¨ï. „«ï
í⮣® ¯®¤áâ ¢¨¬ ä®à¬ã«ë (4.4.11) ¢ (4.4.7) ¨ ¯¥à¥©¤¥¬ ª ¢­ãâ७­¥©
¯¥à¥¬¥­­®© r.  §« £ ï ¯®«ã祭­®¥ ¢ëà ¥­¨¥ ¢ àï¤ ¯® Pe, ¨§ ãá«®¢¨ï
áà 騢 ­¨ï (4.4.8) ­ ©¤¥¬, çâ® ε1 (Pe) = Pe. ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¯¥à¢®¥
¯à¨¡«¨¥­¨¥ ¤«ï ¢­ãâ७­¥£® à §«®¥­¨ï á ãç¥â®¬ à ¢¥­á⢠(4.4.9)
á«¥¤ã¥â ¨áª âì ¢ ¢¨¤¥
c=

1
r

+ Pe c1 (r, θ) + o(Pe).

(4.4.12)

Ǒ®¤áâ ¢¨¬ (4.4.12) ¢ (4.4.3), (4.4.4) ¨ ¨á¯®«ì§ã¥¬ § ¢¨á¨¬®áâì
(4.4.2) ¤«ï ä㭪樨 ⮪ . ‚뤥«ïï ç«¥­ë ¯®à浪 Pe, ¯®«ã稬
ãà ¢­¥­¨¥ ¨ £à ­¨ç­®¥ ãá«®¢¨¥ ¤«ï c1 :

c 1 = −

1



1−

r2
r = 1,

1
3
+
2r 2r3
c1 = 0.



os θ;

(4.4.13)
(4.4.14)

150

Œ áá®®¡¬¥­ ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ á ¯®â®ª®¬

‡ ¯¨è¥¬ ®¡é¥¥ à¥è¥­¨¥ ãà ¢­¥­¨ï (4.4.13)
c1

=



1
2

−

3
4r

−



1
8r 3

os θ +

∞
X

m=0

(am rm + bm r−m−1 )Pm ( os θ).

(4.4.15)
ƒà ­¨ç­®¥ ãá«®¢¨¥ (4.4.14) ¯®§¢®«ï¥â ãáâ ­®¢¨âì «¨­¥©­ë¥ ᮮ⭮襭¨ï ¬¥¤ã ¯®áâ®ï­­ë¬¨ am ¨ bm :
a1

=

3
8 − b1 ;

am

= −bm ¯à¨

m = 0, 2, 3, 4, . . .

(4.4.16)

„«ï ®¯à¥¤¥«¥­¨ï ª®íää¨æ¨¥­â®¢ ¢ (4.4.15) ¯à®¨§¢¥¤¥¬ áà 騢 ­¨¥ ¢ëà ¥­¨© (4.4.12), (4.4.15) ¯à¨ r → ∞ ¨ (4.4.6), (4.4.11) ¯à¨ r → 0.
‚ १ã«ìâ ⥠¯®«ã稬
a0 = − 12 ,
am = b m

= 21 ,
= 0 ¯à¨
b0

a1 = 0, b1 = 83 ;
m = 2, 3, 4, . . .

‘«¥¤®¢ ⥫쭮,


1
1
1
c1 = − +
+
2 2r
2

−

3
3
+ 2
4r 8r

−

1
8r3



os θ.

(4.4.17)

„«ï ⢥à¤ëå ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ áä¥à¨ç¥áª®© ä®à¬ë á।­¥¥ ç¨á«® ˜¥à¢ã¤ ¢ëç¨á«ï¥âáï ¯® ä®à¬ã«¥
1
Sh =
2

Z

0

π

sin θ



∂c
∂r



r =1

dθ.

(4.4.18)

Ǒ®¤áâ ¢«ïï áî¤ ¤¢ãç«¥­­®¥ à §«®¥­¨¥ (4.4.12) á ãç¥â®¬ (4.4.17),
¨¬¥¥¬
Sh = 1 + 21 Pe + o(Pe).
(4.4.19)
‚ à ¡®â¥ [191℄ ¡ë«¨ ¯®«ãç¥­ë ¯®á«¥¤ãî騥 âਠ童­ à §«®¥­¨ï
ç¨á« ˜¥à¢ã¤ , ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 ᨬ¯â®â¨ç¥áª®¬ã à¥è¥­¨î § ¤ ç¨
(4.4.2) | (4.4.5) ¯à¨ Pe → 0. â¨ १ã«ìâ âë ¡ë«¨ ®¡®¡é¥­ë ¢ [287℄,
£¤¥ ¤«ï ¯®«ï ᪮à®á⥩ ¨¤ª®á⨠¢®ªà㣠áä¥àë ¨á¯®«ì§®¢ «®áì à¥è¥­¨¥ [282℄. Ǒਢ¥¤¥¬ §¤¥áì ¨â®£®¢®¥ ¢ëà ¥­¨¥ ¤«ï ç¨á« ˜¥à¢ã¤ [287℄:
1
1
1
1
Sh = 1 + Pe + Pe2 ln Pe + Q(S )Pe2 + Pe3 ln Pe + O(Pe3 ),
2
2
2
4
 

S2 S
1
173
S
−
− (S + 1)2
− 1 ln 1 +
+ ln γ +
,
Q(S ) = −
160
2
4
2
S
(4.4.20)
£¤¥ ln γ = 0,5772 . . . | ¯®áâ®ï­­ ï ©«¥à .

4.4. Œ áᮯ¥à¥­®á ¢ ¯®áâ㯠⥫쭮¬ ¯®â®ª¥ ¯à¨ ¬ «ëå Pe

151

”®à¬ã«ã (4.4.20) ¬®­® ¨á¯®«ì§®¢ âì ¯à¨ 0,4 6 S 6 ∞. Ǒ।¥«ì­ë© ¯¥à¥å®¤ ¢ (4.4.20) ¯à¨ S → ∞ ¯à¨¢®¤¨â ª १ã«ìâ âã [191℄.
— áâ¨æ ¯à®¨§¢®«ì­®© ä®à¬ë ª®­¥ç­ëå à §¬¥à®¢. Ǒà¨
¬ «ëå ç¨á« å Ǒ¥ª«¥ § ¤ ç ® ¬ áá®®¡¬¥­¥ ç áâ¨æë ¯à®¨§¢®«ì­®©
ä®à¬ë á ®¤­®à®¤­ë¬ ¯®áâ㯠⥫ì­ë¬ ¯®â®ª®¬ ¨áá«¥¤®¢ « áì ¬¥â®¤®¬ áà 騢 ¥¬ëå ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨å à §«®¥­¨© ¢ [206℄. „«ï á।­¥£®
ç¨á« ˜¥à¢ã¤ á â®ç­®áâìî ¤® ç«¥­®¢ ¯¥à¢®£® ¯®à浪 ¬ «®á⨠¯® Pe
¡ë«® ¯®«ã祭® ¢ëà ¥­¨¥
1
Sh
= 1+
Pe ,
Sh0
8π M

PeM =

U i
D

,

(4.4.21)

£¤¥ Sh0 | ç¨á«® ˜¥à¢ã¤ , ᮮ⢥âáâ¢ãî饥 á«ãç î ­¥¯®¤¢¨­®© á।ë. ‚«¨ï­¨¥ ¤¢¨¥­¨ï ¨¤ª®á⨠å à ªâ¥à¨§ã¥âáï ¢¥«¨ç¨­®© ¬®¤¨ä¨æ¨à®¢ ­­®£® ç¨á« Ǒ¥ª«¥, ¢ ª®â®à®¬ ¢ ª ç¥á⢥ ¬ áèâ ¡ ¤«¨­ë
¢ëáâ㯠¥â ä ªâ®à ä®à¬ë ç áâ¨æë .
”®à¬ã« (4.4.21) ®¡« ¤ ¥â ¡®«ì让 ®¡é­®áâìî ¨ á¯à ¢¥¤«¨¢ ¤«ï
⢥à¤ëå ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ ¯à®¨§¢®«ì­®© ä®à¬ë, ­ 室ïé¨åáï ¢ ®¤­®à®¤­®¬ ¯®áâ㯠⥫쭮¬ ¯®â®ª¥ ¯à¨ «î¡ëå Re ¨ Pe → 0. Ž­
¤ ¥â å®à®èãî ¯¯à®ªá¨¬ æ¨î ¤«ï ®â­®è¥­¨ï ç¨á¥« ˜¥à¢ã¤ ¯à¨
PeM < 5. ‚ ç áâ­®¬ á«ãç ¥ áä¥à¨ç¥áª®© ç áâ¨æë ä®à¬ã« (4.4.21)
¯¥à¥å®¤¨â ¢ (4.4.19). „«ï ç áâ¨æ ­¥áä¥à¨ç¥áª®© ä®à¬ë ¢ (4.4.21) á«¥¤ã¥â ¯®¤áâ ¢«ïâì §­ 祭¨ï ä ªâ®à  ¨§ â ¡«. 4.2.
Ǒ¥à¢ë¥ âਠ童­ ᨬ¯â®â¨ç¥áª®£® à §«®¥­¨ï ¡¥§à §¬¥à­®£®
¨­â¥£à «ì­®£® ¤¨ää㧨®­­®£® ¯®â®ª ¯® ¬ «®¬ã ç¨á«ã Ǒ¥ª«¥ ¤«ï
ç áâ¨æë «î¡®© ä®à¬ë ¢ ¯®áâ㯠⥫쭮¬ ¯®â®ª¥ ¨¬¥îâ ¢¨¤ [206℄
I

= I0 +

1 2
1
Pe I02 +
Pe ln Pe I02 (f~ · ~e ) + O(Pe2 ).
8π
8π

(4.4.22)

‡¤¥áì I0 = /a | ¨­â¥£à «ì­ë© ¯®â®ª ­ ç áâ¨æã ¢ ­¥¯®¤¢¨­®©
¨¤ª®áâ¨; f~ | ¡¥§à §¬¥à­ë© ¢¥ªâ®à, à ¢­ë© ®â­®è¥­¨î ᨫë ᮯà®â¨¢«¥­¨ï ç áâ¨æë ª á⮪ᮢ®© ᨫ¥ ᮯà®â¨¢«¥­¨ï ⢥म© áä¥àë
à ¤¨ãá a (a | ¥¤¨­ë© ¬ áèâ ¡ ¤«¨­ë, á ¯®¬®éìî ª®â®à®£® ¢¢¥¤¥­ë
¡¥§à §¬¥à­ë¥ ¢¥«¨ç¨­ë Pe, I , I0 ); ~e | ¥¤¨­¨ç­ë© ­ ¯à ¢«ïî騩 ¢¥ªâ®à ᪮à®á⨠¨¤ª®á⨠­ ¡¥áª®­¥ç­®áâ¨. Ǒ¥à¥å®¤ ª ç¨á«ã ˜¥à¢ã¤
®áãé¥á⢫ï¥âáï ¯® ä®à¬ã«¥ Sh = I/S , £¤¥ S | ¡¥§à §¬¥à­ ï ¯«®é ¤ì
¯®¢¥àå­®á⨠ç áâ¨æë.
„«ï ¢ëç¨á«¥­¨ï ¢¥«¨ç¨­ë I0 = /a ¬®­® ¨á¯®«ì§®¢ âì १ã«ìâ âë à §¤. 4.3.
‚ á«ãç ¥ áä¥à¨ç¥áª®© ª ¯«¨ à ¤¨ãá a ¢ ¢ëà ¥­¨¨ (4.4.22)
á«¥¤ã¥â ¯®«®¨âì
(f~ · ~e ) =

2 + 3β
,
3 + 3β

I0

= 4π,

(4.4.23)

152

Œ áá®®¡¬¥­ ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ á ¯®â®ª®¬

£¤¥ β | ®â­®è¥­¨¥ ¤¨­ ¬¨ç¥áª¨å ¢ï§ª®á⥩ ª ¯«¨ ¨ ®ªàã î饩
¨¤ª®á⨠(§­ 祭¨¥ β = 0 ᮮ⢥âáâ¢ã¥â £ §®¢®¬ã ¯ã§ëàî, β = ∞ |
⢥म© áä¥à¥).
„«ï áä¥à¨ç¥áª®© ç áâ¨æë, ¯®ªàë⮩ ¨¤ª®© ¯«¥­ª®©, ¨¬¥¥¬ [60℄
(f~ · ~e ) =





2 1
1 1−δ
5
δ
1+
1+
+
3 3
β 1+δ
2 2 + δ + 2δ 2

−1

,

I0

= 4π,

£¤¥ δ | ®â­®è¥­¨¥ à ¤¨ãᮢ ç áâ¨æë ¨ ¯«¥­ª¨; §­ 祭¨¥ δ = 1
ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ⢥म© ç áâ¨æ¥, δ = 0 | ª ¯«¥.
„«ï í««¨¯á®¨¤ ¢à 饭¨ï á ¯®«ã®áﬨ a ¨ b (a | íª¢ â®à¨ «ì­ë©
à ¤¨ãá), ®áì ª®â®à®£® ­ ¯à ¢«¥­ ¢¤®«ì ¯®â®ª , ᨫ ᮯà®â¨¢«¥­¨ï
®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¯® ä®à¬ã«¥ [178℄



 4 (χ2 + 1)−1/2 χ − (χ2 − 1) ar tg χ −1 , a > b,
3
~
(f · ~e ) = 8 2


 (χ − 1)−1/2 (χ2 + 1) ln χ+1 − 2χ −1 , a 6 b,
3
χ−1

£¤¥ χ = (a/b)2 − 1 −1/2 .
„«ï ⥫ ¢à 饭¨ï, ®áì ª®â®à®£® á®áâ ¢«ï¥â 㣮« ω á ­ ¯à ¢«¥­¨¥¬ ­ ¡¥£ î饣® ¯®â®ª , ¢ á⮪ᮢ®¬ ¯à¨¡«¨¥­¨¨ (Re → 0) á¯à ¢¥¤«¨¢ § ¢¨á¨¬®áâì [60℄
(f~ · ~e ) = fk os2 ω + f⊥ sin2 ω,

(4.4.24)

£¤¥ fk ¨ f⊥ | §­ 祭¨ï ¡¥§à §¬¥à­®© ᨫë ᮯà®â¨¢«¥­¨ï ⥫
¢à 饭¨ï ¢ á«ãç ¥ ¯ à ««¥«ì­®£® (ω = 0) ¨ ¯¥à¯¥­¤¨ªã«ïà­®£®
(ω = π/2) à ᯮ«®¥­¨ï ¥£® ®á¨ ¢ ¯®áâ㯠⥫쭮¬ ¯®â®ª¥.
‚ ç áâ­®áâ¨, ¤«ï â®­ª®£® ªà㣮¢®£® ¤¨áª ¢ ä®à¬ã«¥ (4.4.24)
á«¥¤ã¥â ¯®«®¨âì fk = 8/(3π), f⊥ = 16/(9π); ¤«ï £ ­â¥«¥¢¨¤­®©
ç áâ¨æë, á®áâ®ï饩 ¨§ ᮯਪ á îé¨åáï áä¥à à ¢­®£® à ¤¨ãá , |
fk ≈ 0,645, f⊥ ≈ 0,716 [178℄.
 «¨ç¨¥ «®£ à¨ä¬¨ç¥áª®£® ç«¥­ १ª® ®£à ­¨ç¨¢ ¥â ¯à ªâ¨ç¥áªãî 業­®áâì à §«®¥­¨ï (4.4.22); ¤¢ãåç«¥­­®¥ ¢ëà ¥­¨¥ (4.4.21)
®¡« ¤ ¥â ¡®«¥¥ è¨à®ª¨¬ ¤¨ ¯ §®­®¬ ¯à¨¬¥­¨¬®á⨠¯® ç¨á«ã Ǒ¥ª«¥
(å®âï ®­® ¨ ¬¥­¥¥ â®ç­® ¯à¨ ®ç¥­ì ¬ «ëå Pe).
–¨«¨­¤à¨ç¥áª¨¥ ⥫ . Œ áá®®¡¬¥­ ªà㣮¢®£® 樫¨­¤à à ¤¨ãá a á ®¤­®à®¤­ë¬ ¯®áâ㯠⥫ì­ë¬ ¯®â®ª®¬, ­ ¯à ¢«¥­­ë¬ ¯¥à¯¥­¤¨ªã«ïà­® ®¡à §ãî饩 樫¨­¤à , ¯à¨ ¬ «ëå ç¨á« å Ǒ¥ª«¥ Pe = S Re ¨
¥©­®«ì¤á Re = aUi /ν à áᬠâਢ «áï ¢ à ¡®â å [237, 248℄. „«ï á।­¥£® ç¨á« ˜¥à¢ã¤ (¯à¨å®¤ï饣®áï ­ ¥¤¨­¨æã ¤«¨­ë 樫¨­¤à ¨
®¯à¥¤¥«¥­­®£® ¯® ¥£® à ¤¨ãáã) ¡ë«¨ ¯®«ãç¥­ë ¤¢ãåç«¥­­ë¥ à §«®¥­¨ï:

4.4. Œ áᮯ¥à¥­®á ¢ ¯®áâ㯠⥫쭮¬ ¯®â®ª¥ ¯à¨ ¬ «ëå Pe

153

¯à¨ Re → 0, S | 䨪á¨à®¢ ­®:

1
,
2 ln 2 − ln(γ S Re)
q (1) = 1,63, q (6,82) = 3,42;

Sh = ǫ − ǫ3 q(S ),
q (0,72) = 1,38,

ǫ=

(4.4.25 )

¯à¨ Re → 0, S = Re−α (0 < α < 1):
Sh = δ − δ 3 p(α);

1
,
(4.4.25¡)
2 ln 2 − ln γ (1 − α) S Re
3−α
γ
p(α) =
+ ln(1 − α) + α ln ,
2
4
£¤¥ ln γ | ¯®áâ®ï­­ ï ©«¥à . Ǒ®£à¥è­®áâì ®¡®¨å ¢ëà ¥­¨© (4.4.25)
¯à¨ Re → 0 ¨¬¥¥â ¯®à冷ª (ln Re)−4 .
Žâ«¨ç¨¥ íªá¯¥à¨¬¥­â «ì­ëå ¤ ­­ëå ¯® ⥯«®®¡¬¥­ã 樫¨­¤à
á ¢®§¤ãè­ë¬ ¯®â®ª®¬ (S = 0,72) ¨ १ã«ìâ ⮢ à áç¥â ¯® ¯¥à¢®©
ä®à¬ã«¥ (4.4.25 ) á®áâ ¢«ï¥â ¬¥­¥¥ 3% ¯à¨ Re < 0,2 [237℄.
ˆáá«¥¤ã¥¬ ¬ áá®®¡¬¥­ 樫¨­¤à¨ç¥áª¨å ⥫ ¯à®¨§¢®«ì­®© ä®à¬ë,
¯®¯¥à¥ç­® ®¡â¥ª ¥¬ëå ®¤­®à®¤­ë¬ ¯®áâ㯠⥫ì­ë¬ ¯®â®ª®¬ ¢ï§ª®©
¨¤ª®á⨠¯à¨ ¬ «ëå ç¨á« å Ǒ¥ª«¥. „«ï ¯®«ã祭¨ï £« ¢­®£® ç«¥­
à §«®¥­¨ï ¯à¨ Pe → 0 ¯®áâ㯨¬ á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬.  áᬮâਬ
¢á¯®¬®£ ⥫쭮¥ ãà ¢­¥­¨¥
δ

=



Pe(w~ · ∇)c =
c

(4.4.26)

á £à ­¨ç­ë¬¨ ãá«®¢¨ï¬¨ (4.3.2), (4.3.3). ‚¥ªâ®à­®¥ ¯®«¥ w~ ¢ (4.4.26)
­¥ § ¢¨á¨â ®â ç¨á« Ǒ¥ª«¥ ¨ á¢ï§ ­® á ¨á⨭­ë¬ à á¯à¥¤¥«¥­¨¥¬
᪮à®á⥩ ¨¤ª®á⨠~v ⮫쪮 ®¤­¨¬ ¯à¥¤¥«ì­ë¬ ᮮ⭮襭¨¥¬
~e =

lim

̺→∞

~v

= ̺→∞
lim w.
~

(4.4.27)

‡ ¯¨è¥¬ ãà ¢­¥­¨¥ (4.4.26) ¢ ¯à¨¡«¨¥­¨¨ Ž§¥¥­ :
Pe(~e · ∇)c =
c.

(4.4.28)

„«ï «î¡®£® w~ , 㤮¢«¥â¢®àïî饣® ãá«®¢¨î (4.4.27), £« ¢­ë¥ ç«¥­ë ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨å à §«®¥­¨© ¢® ¢­ãâ७­¥© ¨ ¢­¥è­¥© ®¡« áâ¨
¤«ï ãà ¢­¥­¨© (4.4.26) ¨ (4.4.28) á ®¤¨­ ª®¢ë¬¨ £à ­¨ç­ë¬¨ ãá«®¢¨ï¬¨ ᮢ¯ ¤ îâ. Ǒ®í⮬㠢 ãà ¢­¥­¨¨ ¤¨ää㧨¨ ¯à¨ Pe → 0 ¨á⨭­®¥ ¯®«¥ ᪮à®á⥩ ¨¤ª®á⨠~v ¬®­® § ¬¥­¨âì ­ w~ . “ª § ­­®¥
®¡áâ®ï⥫ìá⢮ ¯®§¢®«ï¥â ¢®á¯®«ì§®¢ âìáï १ã«ìâ â ¬¨, ¨§«®¥­­ë¬¨ ¤ «¥¥ ¢ à §¤. 4.11. € ¨¬¥­­®, ¢ ª ç¥á⢥ w~ ¢®§ì¬¥¬ ¯®«¥ ᪮à®á⥩ ¤«ï ¯®â¥­æ¨ «ì­®£® ®¡â¥ª ­¨ï 樫¨­¤à ¨¤¥ «ì­®© ¨¤ª®áâìî.

154

Œ áá®®¡¬¥­ ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ á ¯®â®ª®¬

’ ª ï ¯¯à®ªá¨¬ æ¨ï ¯à¨¢®¤¨â ª ¯®£à¥è­®á⨠¢® ¢­ãâ७­¥¬ à §«®¥­¨¨ ¯®à浪 Pe. Žáâ ¢«ïï £« ¢­ë¥ ç«¥­ë ¢ ä®à¬ã«¥ (4.11.15),
¤«ï ¡¥§à §¬¥à­®£® ¨­â¥£à «ì­®£® ¤¨ää㧨®­­®£® ¯®â®ª ¯à¨ ¬ «ëå
ç¨á« å Ǒ¥ª«¥ ¯®«ã稬
I



= −4π ln



γ Pe

8

−1

,

Pe =

ϕmax − ϕmin
,
2D

(4.4.29)

£¤¥ ϕmax ¨ ϕmin | ¬ ªá¨¬ «ì­®¥ ¨ ¬¨­¨¬ «ì­®¥ §­ 祭¨ï ¯®â¥­æ¨ «
­ ¯®¢¥àå­®á⨠樫¨­¤à (í⨠§­ 祭¨ï ¤«ï ­¥ª®â®àëå 樫¨­¤à¨ç¥áª¨å ⥫ à §«¨ç­®© ä®à¬ë ¬®­® ­ ©â¨, ­ ¯à¨¬¥à, ¢ [36, 97, 166℄;
ln γ | ¯®áâ®ï­­ ï ©«¥à .
„«ï í««¨¯â¨ç¥áª®£® 樫¨­¤à á ¯®«ã®áﬨ a ¨ b (a > b) ­¥§ ¢¨á¨¬®
®â ¥£® ®à¨¥­â 樨 ¢ ¯®â®ª¥ ¨¬¥¥¬ (á¬. à §¤. 4.11)

I ≈ 4π − ln Pe + ln

8a
γ (a + b)

−1

,

Pe =

aUi
.
D

(4.4.30)

„«ï ªà㣮¢®£® 樫¨­¤à ¢ ä®à¬ã«¥ (4.4.30) á«¥¤ã¥â ¯®«®¨âì

a = b.

4.5. Œ áᮯ¥à¥­®á ¢ «¨­¥©­®¬ ᤢ¨£®¢®¬
¯®â®ª¥ ¯à¨ ¬ «ëå ç¨á« å Ǒ¥ª«¥

Œ áᮯ¥à¥­®á ª ç áâ¨æ¥ ¢ ¯®áâ㯠⥫쭮¬ ¯®â®ª¥, à áᬮâ७­ë©
¢ à §¤. 4.4, å®à®è® ¬®¤¥«¨àã¥â ¬­®£¨¥ ॠ«ì­ë¥ ¯à®æ¥ááë ¢ ¤¨á¯¥àá­ëå á¨á⥬ å, ª®£¤ ®á­®¢­ãî à®«ì ¢ ª®­¢¥ªâ¨¢­®¬ ¯¥à¥­®á¥ ¨£à ¥â
᪮à®áâì ¯®áâ㯠⥫쭮£® ¤¢¨¥­¨ï ç áâ¨æ ®â­®á¨â¥«ì­® ¨¤ª®áâ¨,
£à ¤¨¥­âë ­¥¢®§¬ã饭­®£® ¯®«ï ᪮à®á⥩ ­¥áãé¥á⢥­­ë.
‚ à §¤. 1.1 ¤ ­® ªà ⪮¥ ®¯¨á ­¨¥ ¯®«¥© ᪮à®á⥩ ¤«ï ­¥ª®â®àëå á«ãç ¥¢ £à ¤¨¥­â­ëå â¥ç¥­¨© á ­¥®¤­®à®¤­®© áâàãªâãன. „«ï
ç áâ¨æ, à §¬¥àë ª®â®àëå ¬­®£® ¬¥­ìè¥ ¯à®áâà ­á⢥­­®£® ¬ áèâ ¡ ­¥®¤­®à®¤­®á⨠¯®«ï â¥ç¥­¨ï, à á¯à¥¤¥«¥­¨¥ ᪮à®á⥩ (1.1.7) ¯à¨
à¥è¥­¨¨ § ¤ ç ® ¬ áᮯ¥à¥­®á¥ ª ç áâ¨æ¥ ¢ «¨­¥©­®¬ ᤢ¨£®¢®¬ ¯®â®ª¥ ¬®¥â à áᬠâਢ âìáï ª ª à á¯à¥¤¥«¥­¨¥ ᪮à®á⥩ ¢¤ «¨ ®â
ç áâ¨æë.

Œ áá®®¡¬¥­ áä¥à¨ç¥áª®© ç áâ¨æë á «¨­¥©­ë¬ ᤢ¨£®¢ë¬
¯®â®ª®¬.  ¯à ªâ¨ª¥ ¢áâà¥ç îâáï á¨âã 樨, ª®£¤ ç áâ¨æë ¯®«­®-

áâìî 㢫¥ª îâáï ¯®â®ª®¬ ¨ ®¯à¥¤¥«ïî騬 áâ ­®¢¨âáï ª®­¢¥ªâ¨¢­ë©
¯¥à¥­®á, ®¡ãá«®¢«¥­­ë© ᤢ¨£®¢ë¬ â¥ç¥­¨¥¬ ¨¤ª®áâ¨. Ǒਠ¨áá«¥¤®¢ ­¨¨ ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å ¤¨ää㧨®­­ëå ¯à®æ¥áᮢ 㤮¡­® á¢ï§ âì
á¨á⥬㠪®®à¤¨­ â á 業â஬ âï¥á⨠ç áâ¨æë â ª¨¬ ®¡à §®¬, ç⮡ë
íâ á¨á⥬ ¤¢¨£ « áì ᮠ᪮à®áâìî ç áâ¨æë ¯®áâ㯠⥫쭮, á ¬

4.5. Œ áᮯ¥à¥­®á ¢ «¨­¥©­®¬ ᤢ¨£®¢®¬ ¯®â®ª¥ ¯à¨ ¬ «ëå Pe

155

’€‹ˆ–€ 4.3
—¨á«¥­­ë¥ §­ 祭¨ï ª®íää¨æ¨¥­â α ¨ ¢¥«¨ç¨­ë G ¤«ï
­¥ª®â®àëå ᤢ¨£®¢ëå â¥ç¥­¨© (¯® ¤ ­­ë¬ [196, 230℄)
N0

 §¢ ­¨¥ â¥ç¥­¨ï

1

Ǒà®á⮩ ᤢ¨£

2

Žá¥á¨¬¬¥âà¨ç­ë©
ᤢ¨£

3

Ǒ«®áª¨© ᤢ¨£

4

Ǒந§¢®«ì­®¥
«¨­¥©­®¥
¤¥ä®à¬ 樮­­®¥
â¥ç¥­¨¥

Š®íää¨æ¨¥­âë Gkm

α

G12 6= 0,
®áâ «ì­ë¥ Gkm = 0

0,257

G11 = G22
Gkm = 0

|G12 |

= − 12 G33 , 0,399
¯à¨ i =
6 j

G11 = −G22 ,
®áâ «ì­ë¥ Gkm = 0
Gkm

G

= Gmk

|G33 |

0,428
0,36

|G11 |

(Gkm Gkm )1/2 ,
¯® ®¡®¨¬ ¨­¤¥ªá ¬
¢¥¤¥âáï á㬬¨à®¢ ­¨¥

ç áâ¨æ ¬®£« ᢮¡®¤­® ¢à é âìáï ¢®ªà㣠­ ç « ª®®à¤¨­ â. „«ï «¨­¥©­®£® ᤢ¨£®¢®£® ¯®â®ª ª®¬¯®­¥­âë ᪮à®á⨠¨¤ª®á⨠¢¤ «¨ ®â
áä¥àë ¨¬¥îâ ¢¨¤:
R → ∞,

(4.5.1)

Vk → Gkm Xm ,

£¤¥ Gkm | ª®¬¯®­¥­âë ¬ âà¨æë ᤢ¨£ .
„«ï áä¥à¨ç¥áª®© ç áâ¨æë, ®¡â¥ª ¥¬®© ¯à®¨§¢®«ì­ë¬ «¨­¥©­ë¬
ᤢ¨£®¢ë¬ ¯®â®ª®¬ (4.5.1), ¯¥à¢ë¥ ç¥âëॠ童­ ᨬ¯â®â¨ç¥áª®£®
à §«®¥­¨ï á।­¥£® ç¨á« ˜¥à¢ã¤ ¯® ¬ «®¬ã ç¨á«ã Ǒ¥ª«¥ ¨¬¥îâ
¢¨¤ [189℄
Sh = 1 + α Pe1/2 + α2 Pe + α3 Pe3/2 + O(Pe2 ), Pe =

a2 G
.
D

(4.5.2)

‡¤¥áì ¯ à ¬¥âà α = α(Gkm ) § ¢¨á¨â ®â ⨯ ᤢ¨£®¢®£® â¥ç¥­¨ï ¨
¢ëç¨á«ï¥âáï á ¯®¬®éìî ­¥á®¡á⢥­­®£® ¨­â¥£à « [60, 196℄.
Žâ¬¥â¨¬, çâ® ¯¥à¢ë¥ ¤¢ ç«¥­ à §«®¥­¨ï (4.5.2) ¯¥à¢®­ ç «ì­®
¡ë«¨ ¯®«ãç¥­ë ¢ [196℄.
‚¥«¨ç¨­ ¯ à ¬¥âà α ­¥ ¬¥­ï¥âáï ¯à¨ ®¤­®¢à¥¬¥­­®¬ ¨§¬¥­¥­¨¨ §­ ª®¢ ¢á¥å í«¥¬¥­â®¢ ¬ âà¨æë ᤢ¨£ ­ ®¡à â­ë¥, â.¥.
α(Gkm ) = α(−Gkm ).
„«ï ­¥ª®â®àëå ⨯®¢ ᤢ¨£®¢ëå â¥ç¥­¨©, ¯à¥¤áâ ¢«ïîé¨å ¯à ªâ¨ç¥áª¨© ¨­â¥à¥á, ç¨á«¥­­ë¥ §­ 祭¨ï ª®íää¨æ¨¥­â α ¨ ¢¥«¨ç¨­ë G ¢ ä®à¬ã«¥ (4.5.2) 㪠§ ­ë ¢ â ¡«. 4.3. ‘㬬㠢 âà¥â쥬
á⮫¡æ¥ ¯®á«¥¤­¥© áâப¨ â ¡«¨æë ¬®­® ¢ëç¨á«¨âì ¯® ä®à¬ã«¥
Gkm Gkm = E12 + E22 + E32 , £¤¥ E1 , E2 , E3 | ¤¨ £®­ «ì­ë¥ í«¥¬¥­âë
¯à¨¢¥¤¥­­®£® ª £« ¢­ë¬ ®áï¬ á¨¬¬¥âà¨ç­®£® ⥭§®à kGkm k.

156

Œ áá®®¡¬¥­ ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ á ¯®â®ª®¬

‚ [60, 210℄ ¯à¨¢¥¤¥­ë १ã«ìâ âë à áç¥â ª®íää¨æ¨¥­â
¯«®áª®£® ᤢ¨£®¢®£® â¥ç¥­¨ï ¢¨¤
G12

= G,

G21

= ωG;

®áâ «ì­ë¥

Gkm

=0

α

¤«ï

(4.5.3)

¤«ï −1 6 ω 6 1. Š®íää¨æ¨¥­â α = α(ω ) ¬®­®â®­­® ¢®§à á⠥⠮â
α = 0 ¯à¨ ω = −1 (ç¨áâ® ¢à é ⥫쭮¥ ¤¢¨¥­¨¥) ¤® ¬ ªá¨¬ «ì­®£®
§­ 祭¨ï α = 0,428 ¯à¨ ω = 1 (ç¨áâ® ¤¥ä®à¬ 樮­­®¥ â¥ç¥­¨¥).
Ǒਠ᫠¡ëå ¤¥ä®à¬ æ¨ïå ¯®â®ª , ç⮠ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ω → −1, ¨¬¥¥¬
1 (1 + ω )2 .
α ≈ 15

Œ áá®®¡¬¥­ ç áâ¨æë ¯à®¨§¢®«ì­®© ä®à¬ë á «¨­¥©­ë¬
ᤢ¨£®¢ë¬ ¯®â®ª®¬. ‚ à ¡®â¥ [189℄ ¨áá«¥¤®¢ «áï ¬ áá®®¡¬¥­ ç áâ¨-

æë ¯à®¨§¢®«ì­®© ä®à¬ë, ᢮¡®¤­® ¢§¢¥è¥­­®© ¢ «¨­¥©­®¬ ᤢ¨£®¢®¬
¯®â®ª¥ (4.5.1). „«ï ¡¥§à §¬¥à­®£® ¨­â¥£à «ì­®£® ¤¨ää㧨®­­®£® ¯®â®ª ­ ¯®¢¥àå­®áâì ç áâ¨æë ¡ë«® ¯®«ã祭® âà¥åç«¥­­®¥ à §«®¥­¨¥
¯® ¬ «®¬ã ç¨á«ã Ǒ¥ª«¥:
I

= I0 +

α 2 1/2
I Pe +
4π 0

α2 3
I Pe + O(Pe3/2 ).
(4π)2 0

(4.5.4)

‡¤¥áì I0 | ¨­â¥£à «ì­ë© ¯®â®ª ­ ç áâ¨æã ¢ ­¥¯®¤¢¨­®© ¨¤ª®áâ¨;
Pe = a2 G/D, a | ¢¥«¨ç¨­ , ¢ë¡à ­­ ï § ¥¤¨­ë© ¬ áèâ ¡ ¤«¨­ë
(á ¯®¬®éìî a ®¡¥§à §¬¥à¥­ë â ª¥ I ¨ I0 ); §­ 祭¨ï ¯ à ¬¥â஢
G ¨ α = α(Gij ) ¤«ï ­¥ª®â®àëå ⨯®¢ ᤢ¨£®¢ëå â¥ç¥­¨© 㪠§ ­ë ¢
â ¡«. 4.3.
„«ï áä¥à¨ç¥áª®© ç áâ¨æë à ¤¨ãá a á¯à ¢¥¤«¨¢® à ¢¥­á⢮
I = 4π Sh, ¨ à §«®¥­¨¥ (4.5.4) á â®ç­®áâìî ¤® ç«¥­®¢ ¯®à浪 Pe
¢ª«îç¨â¥«ì­® ¯¥à¥å®¤¨â ¢ (4.5.2). ‚ á«ãç ¥ ç áâ¨æ ­¥áä¥à¨ç¥áª®©
ä®à¬ë ¤«ï ¢ëç¨á«¥­¨ï I0 = /a ¬®­® ¢®á¯®«ì§®¢ âìáï १ã«ìâ â ¬¨ à §¤. 4.3 (á¬., ­ ¯à¨¬¥à, â ¡«. 4.2).
„¨ääã§¨ï ª 樫¨­¤àã ¢ ¯à®á⮬ ᤢ¨£®¢®¬ ¯®â®ª¥. Œ áá®®¡¬¥­ ªà㣮¢®£® 樫¨­¤à à ¤¨ãá a ¢ ¯à®á⮬ ᤢ¨£®¢®¬ ¯®â®ª¥
(G12 = ±1, ®áâ «ì­ë¥ Gkm = 0) ¨áá«¥¤®¢ «áï ¢ à ¡®â¥ [230℄. „«ï ¡¥§à §¬¥à­®£® ¨­â¥£à «ì­®£® ¤¨ää㧨®­­®£® ¯®â®ª , ¯à¨å®¤ï饣®áï ­
¥¤¨­¨æã ¤«¨­ë 樫¨­¤à , ¯à¨ Pe → 0 ¡ë«® ¯®«ã祭® ¢ëà ¥­¨¥:
I≈

4π
,
2,744 − ln Pe

Pe =

a2 |G12 |
.
D

(4.5.5)

Ǒ¥à¥å®¤ ª ç¨á«ã ˜¥à¢ã¤ (®¯à¥¤¥«¥­­®¬ã ¯® à ¤¨ãáã) ®áãé¥á⢫ï¥âáï ¯® ä®à¬ã«¥ I = 2π Sh.

4.6. Œ áá®®¡¬¥­ ç áâ¨æ ¨ ª ¯¥«ì á ¯®â®ª®¬ ¯à¨ ¡®«ìè¨å Pe

157

4.6. Œ áá®®¡¬¥­ ç áâ¨æ ¨ ª ¯¥«ì á ¯®â®ª®¬
¯à¨ ¡®«ìè¨å ç¨á« å Ǒ¥ª«¥ (⥮à¨ï
¤¨ää㧨®­­®£® ¯®£à ­¨ç­®£® á«®ï)

‘ä¥à¨ç¥áª ï ç áâ¨æ ¢ ¯®áâ㯠⥫쭮¬ ¯®â®ª¥. ‘«¥¤ãï [100℄, à áᬮâਬ á­ ç « áâ 樮­ à­ãî ¤¨ääã§¨î ª ¯®¢¥àå­®á⨠⢥म© áä¥à¨ç¥áª®© ç áâ¨æë, ®¡â¥ª ¥¬®© ¯®áâ㯠⥫ì­ë¬ áâ®ªá®¢ë¬ ¯®â®ª®¬ (Re → 0) ¯à¨ ¡®«ìè¨å ç¨á« å Ǒ¥ª«¥. ‚ ¡¥§à §¬¥à­ëå
¯¥à¥¬¥­­ëå ¬ ⥬ â¨ç¥áª ï ä®à¬ã«¨à®¢ª ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 § ¤ ç¨
¤«ï à á¯à¥¤¥«¥­¨ï ª®­æ¥­âà 樨 ®¯¨áë¢ ¥âáï ãà ¢­¥­¨¥¬ (4.4.3) á
£à ­¨ç­ë¬¨ ãá«®¢¨ï¬¨ (4.4.4), (4.4.5), £¤¥ äã­ªæ¨ï ⮪ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ä®à¬ã«®© (4.4.2).
Ǒ® ¬¥à¥ 㢥«¨ç¥­¨ï ç¨á« Pe ¢¡«¨§¨ ¯®¢¥àå­®á⨠áä¥àë ä®à¬¨àã¥âáï ¤¨ää㧨®­­ë© ¯®£à ­¨ç­ë© á«®©, ®â­®á¨â¥«ì­ ï (®â­¥á¥­­ ï
ª à ¤¨ãáã ç áâ¨æë) ⮫騭 ª®â®à®£® ¨¬¥¥â ¯®à冷ª Pe−1/3 . ‚ í⮩
®¡« á⨠áãé¥á⢥­­ãî à®«ì ¨£à ¥â à ¤¨ «ì­ ï á®áâ ¢«ïîé ï ¬®«¥ªã«ïà­®© ¤¨ää㧨¨ ¢¥é¥á⢠ª ¯®¢¥àå­®á⨠ç áâ¨æë, ¢ â® ¢à¥¬ï ª ª
â ­£¥­æ¨ «ì­®© ¤¨ää㧨¥© ¬®­® ¯à¥­¥¡à¥çì. ¥®¡å®¤¨¬® ãç¨âë¢ âì â ª¥ ª®­¢¥ªâ¨¢­ë© ¬ áᮯ¥à¥­®á, ®¡ãá«®¢«¥­­ë© ¤¢¨¥­¨¥¬
¨¤ª®áâ¨.
‘ç¨â ï ε = Pe−1/3 ¬ «ë¬ ¯ à ¬¥â஬, ¢¢¥¤¥¬ ¢ ®¡« á⨠¤¨ää㧨®­­®£® ¯®£à ­¨ç­®£® á«®ï à áâï­ãâãî ª®®à¤¨­ âã y ¯® ä®à¬ã«¥
r = 1 + εy . Ǒ®¤áâ ¢«ïï ¥¥ ¢ (4.2.2) ¨ (4.4.3), ¯®á«¥ ¢ë¤¥«¥­¨ï £« ¢­ëå
ç«¥­®¢ à §«®¥­¨ï ¯® ε ¯®«ã稬
∂2c
∂y 2

£¤¥

=

1
sin2 θ



∂ ∂c
∂ ∂c
−
∂θ ∂y
∂y ∂θ

= 34 y 2 sin2 θ.
Ǒ¥à¥å®¤ï ¤ «¥¥ ®â θ, y ª ¯¥à¥¬¥­­ë¬ Œ¨§¥á
−

∂c
∂θ

√

= 3 sin2 θ

∂ √
∂



(4.6.1)

,

θ,

∂c
.
∂

, ¨¬¥¥¬
(4.6.2)

Ǒ८¡à §®¢ ­¨¥
ζ
τ

√

3 1/3
Pe (r − 1) sin θ,
√ Z π2
√
3
3
1
2
(π − θ + sin 2θ)
=
sin θ dθ =
4 θ
8
2
=

√

=

(4.6.3)

¯à¨¢®¤¨â ãà ¢­¥­¨¥ (4.6.2) ª á«¥¤ãî饬㠢¨¤ã:
∂c
∂τ

= ζ −1

∂ 2c
.
∂ζ 2

(4.6.4)

158

Œ áá®®¡¬¥­ ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ á ¯®â®ª®¬

ƒà ­¨ç­ë¥ ãá«®¢¨ï (4.4.3), (4.4.4) ¢ ¯¥à¥¬¥­­ëå (4.6.3) § ¯¨áë¢ îâáï â ª:
τ

= 0,

c = 0;

ζ

= 0,

c = 1;

ζ → ∞,

c → 0.

(4.6.5)

¥è¥­¨¥ § ¤ ç¨ (4.6.4), (4.6.5) ¢ëà  ¥âáï ç¥à¥§ ­¥¯®«­ãî £ ¬¬ äã­ªæ¨î:
1
c=
(1/3)
1
=
(1/3)





1 ζ3
,
=
3 9τ


1 Pe (r − 1)3 sin3 θ
.
,
3 3 π − θ + 12 sin 2θ

(4.6.6)

„¨ää¥à¥­æ¨àãï íâ® ¢ëà ¥­¨¥, ¯®«ã稬 «®ª «ì­ë© ¤¨ää㧨®­­ë© ¯®â®ª ­ ¯®¢¥àå­®áâì áä¥àë:
j

=−



∂c
∂r



r =1

= 0,766 sin θ


π−θ+

1
sin 2θ
2

−1/3

Pe1/3 . (4.6.7)

‚¨¤­®, çâ® «®ª «ì­ë© ¤¨ää㧨®­­ë© ¯®â®ª ¯à¨­¨¬ ¥â ¬ ªá¨¬ «ì­®¥ §­ 祭¨¥ ¢ ¯¥à¥¤­¥© ªà¨â¨ç¥áª®© â®çª¥ ¯®¢¥àå­®á⨠áä¥àë
(¯à¨ θ = π) ¨ ¬®­®â®­­® 㬥­ìè ¥âáï ¯à¨ ã¬¥­ì襭¨¨ 㣫®¢®© ª®®à¤¨­ âë, ¯à¨­¨¬ ï ¬¨­¨¬ «ì­®¥ §­ 祭¨¥, à ¢­®¥ ­ã«î, ¯à¨ θ = 0.
‘®®â¢¥âáâ¢ãî饥 á।­¥¥ ç¨á«® ˜¥à¢ã¤ à ¢­® [100℄
Sh = 0,625 Pe1/3 .

(4.6.8)

â § ¢¨á¨¬®áâì ¡ë« ãâ®ç­¥­ ¢ à ¡®â¥ [190℄, £¤¥ ¤«ï ç¨á«
˜¥à¢ã¤ ¡ë«® ­ ©¤¥­® ¤¢ãåç«¥­­®¥ à §«®¥­¨¥
Sh = 0,625 Pe1/3 + 0,461.

(4.6.9)

”®à¬ã«ã (4.6.9) ¬®­® ¨á¯®«ì§®¢ âì ¤«ï ¯à ªâ¨ç¥áª¨å à áç¥â®¢
¯à¨ Pe > 10.
Š ¯«ï (¯ã§ëàì).  áᬮâਬ ⥯¥àì ¢­¥è­îî § ¤ çã ® ¬ áá®®¡¬¥­¥ áä¥à¨ç¥áª®© ª ¯«¨ (¯ã§ëàï) à ¤¨ãá a ¢ ¯®áâ㯠⥫쭮¬ á⮪ᮢ®¬ ¯®â®ª¥ ¯à¨ «¨¬¨â¨àãî饬 ᮯà®â¨¢«¥­¨¨ ᯫ®è­®© ä §ë.
Ǒà®æ¥áá ª®­¢¥ªâ¨¢­®© ¤¨ää㧨¨ ª £à ­¨æ¥ à §¤¥« ¨¤ª®áâì{
¨¤ª®áâì (¨¤ª®áâì{£ §) áãé¥á⢥­­® ®â«¨ç ¥âáï ®â ¤¨ää㧨¨ ª
£à ­¨æ¥ à §¤¥« ¨¤ª®áâì{⢥म¥ ⥫®. â® á¢ï§ ­® á à §«¨ç¨¥¬
£¨¤à®¤¨­ ¬¨ç¥áª¨å ãá«®¢¨© ­ ¯®¢¥àå­®áâïå à §¤¥« ä §. ¥¯®á।á⢥­­® ­ ¯®¢¥àå­®á⨠⢥म£® ⥫ ¢ ᨫã ãá«®¢¨ï ¯à¨«¨¯ ­¨ï ᪮à®áâì ¤¢¨¥­¨ï ¨¤ª®á⨠¢á¥£¤ à ¢­ ­ã«î.  ¯à®â¨¢, £à ­¨æ à §¤¥« ¤¢ãå ¨¤ª¨å á। á®åà ­ï¥â á¢®î ¯®¤¢¨­®áâì, ¨ ª á â¥«ì­ ï

159

4.6. Œ áá®®¡¬¥­ ç áâ¨æ ¨ ª ¯¥«ì á ¯®â®ª®¬ ¯à¨ ¡®«ìè¨å Pe

á®áâ ¢«ïîé ï ᪮à®á⨠¨¤ª®á⨠­ ¬¥ä §­®© ¯®¢¥àå­®á⨠®â«¨ç ¥âáï ®â ­ã«ï.
Š®­¢¥ªâ¨¢­ë© ¯¥à¥­®á ¢¥é¥á⢠¤¢¨ã饩áï ¨¤ª®áâìî ª £à ­¨æ¥ à §¤¥« ¨¤ª®áâì{⢥म¥ ⥫® ¯à®¨á室¨â ¢ ãá«®¢¨ïå ­¥ª®â®à®© § â®à¬®¥­­®á⨠¯®â®ª , â ª ç⮠᪮à®áâì ¯¥à¥­®á ¢¥é¥á⢠ã
¯®¢¥àå­®á⨠§­ ç¨â¥«ì­® ­¨¥, 祬 ¢ ®¡ê¥¬¥ à á⢮à .  ¯à®â¨¢,
¤¨ääã§¨ï ª £à ­¨æ¥ ¨¤ª®áâì-¨¤ª®áâì (¨¤ª®áâì{£ §) ¯à®¨á室¨â ¢ ¡®«¥¥ ¡« £®¯à¨ïâ­ëå ãá«®¢¨ïå ­¥§ â®à¬®¥­­®£® ¯®â®ª . Ǒ®
í⮩ ¯à¨ç¨­¥ ª®­¢¥ªâ¨¢­ ï ¤¨ääã§¨ï ¢¥é¥á⢠ª £à ­¨æ¥ à §¤¥«
¤¢ãå ¨¤ª®á⥩ ¯à®¨á室¨â §­ ç¨â¥«ì­® ¨­â¥­á¨¢­¥¥, 祬 ª £à ­¨æ¥
¨¤ª®áâì{⢥म¥ ⥫®.
Œ ⥬ â¨ç¥áª ï ä®à¬ã«¨à®¢ª § ¤ ç¨ ® à á¯à¥¤¥«¥­¨¨ ª®­æ¥­âà 樨 ¢­¥ ª ¯«¨ ®¯¨áë¢ ¥âáï ãà ¢­¥­¨¥¬ (4.4.3) ¨ £à ­¨ç­ë¬¨ ãá«®¢¨ï¬¨ (4.4.4), (4.4.5), £¤¥ ¡¥§à §¬¥à­ ï äã­ªæ¨ï ⮪ § ¤ ¥âáï à¥è¥­¨¥¬ €¤ ¬ à | ë¡ç¨­áª®£® (á¬. à §¤. 2.2)
ψ

=

1
(r − 1)
2



r−

1
2

β

β+1



1+

1
r



sin2 θ,

(4.6.10)

£¤¥ β | ®â­®è¥­¨¥ ¤¨­ ¬¨ç¥áª¨å ¢ï§ª®á⥩ ª ¯«¨ ¨ ®ªàã î饩
¨¤ª®áâ¨. ‘®®â¢¥âáâ¢ãîé ï à §¬¥à­ ï äã­ªæ¨ï ⮪ ¯®«ãç ¥âáï á
¯®¬®éìî 㬭®¥­¨ï (4.6.10) ­ ¢¥«¨ç¨­ã a2 Ui. ‚ § ¤ ç¥ ® ¤¨ää㧨¨
ª ª ¯«¥, ¯ ¤ î饩 ¢ ­¥¯®¤¢¨­®© ¨¤ª®áâ¨, ¢ ª ç¥á⢥ å à ªâ¥à­®©
᪮à®á⨠¢ë¡¨à ¥âáï
2(ρ − ρi )ga2 β + 1
,
3µi
3β + 1
£¤¥ ρi ¨ ρ | ¯«®â­®áâì ¨¤ª®á⨠¢­¥ ¨ ¢­ãâਠª ¯«¨, g | ã᪮७¨¥
ᨫë âï¥áâ¨, µi | ¤¨­ ¬¨ç¥áª ï ¢ï§ª®áâì ¨¤ª®á⨠¢­¥ ª ¯«¨.
‘ç¨â ï ε = Pe−1/2 ¬ «ë¬ ¯ à ¬¥â஬, ¯¥à¥©¤¥¬ ¢ ãà ¢­¥­¨¨
(4.4.3) ¨ ä®à¬ã«¥ (4.6.10) ®â à ¤¨ «ì­®© ª®®à¤¨­ âë r ª à áâï­ã⮩
¯¥à¥¬¥­­®© ξ = ε−1 (r − 1). Ǒ®á«¥ ¢ë¤¥«¥­¨ï £« ¢­ëå ç«¥­®¢ à §«®¥­¨ï ¯® ¯ à ¬¥âàã ε ¯®«ã稬 ãà ¢­¥­¨¥ (4.6.1), £¤¥
1
ξ sin2 θ.
(4.6.11)
=
2(β + 1)
Ui

=

‚ëà  ï ¢ (4.6.1) ξ ç¥à¥§
−

∂c
∂θ

=

á ¯®¬®éìî (4.6.11), ¨¬¥¥¬
sin3 θ
2(β + 1)

∂2c
.
∂ 2

(4.6.12)

„¥« ï § ¬¥­ã
τ

=

1
2(β + 1)

Z

θ

π

sin3 θ dθ =

1
2(β + 1)



2
os3 θ
+ os θ −
3
3



,

(4.6.13)

160

Œ áá®®¡¬¥­ ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ á ¯®â®ª®¬

᢮¤¨¬ (4.6.12) ª áâ ­¤ àâ­®¬ã ãà ¢­¥­¨î ⥯«®¯à®¢®¤­®áâ¨
∂c
∂τ

=

∂2c
.
∂ 2

(4.6.14)

ƒà ­¨ç­ë¥ ãá«®¢¨ï (4.4.4), (4.4.5) ¢ ¯¥à¥¬¥­­ëå (4.6.11), (4.6.13)
§ ¯¨áë¢ îâáï ¢ ¢¨¤¥ (4.6.5), £¤¥ ζ á«¥¤ã¥â § ¬¥­¨âì ­ . ‘®®â¢¥âáâ¢ãî饥 à¥è¥­¨¥ ãà ¢­¥­¨ï (4.6.14) ¢ëà  ¥âáï ç¥à¥§ ¤®¯®«­¨â¥«ì­ë© ¨­â¥£à « ¢¥à®ïâ­®á⥩
c = erf



√
τ

2



1
4

= erf

s

1 − os θ
6 Pe
(r − 1) √
β+1
2 − os θ

!

.

(4.6.15)

‚ëç¨á«¨¬ «®ª «ì­ë© ¤¨ää㧨®­­ë© ¯®â®ª ­ ¯®¢¥àå­®áâì ª ¯«¨
j

=−



∂c
∂r



r =1

=

s

3 Pe √1 − os θ
.
π (β + 1)
2 − os θ

(4.6.16)

‘।­¥¥ ç¨á«® ˜¥à¢ã¤ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ä®à¬ã«®© [100℄
Sh =

s

2 Pe
= 0,461
3π(β + 1)



Pe
β+1

1/2

.

(4.6.17)

‚ [60℄ ¡ë«® ¯®«ã祭® ¤¢ãåç«¥­­®¥ à §«®¥­¨¥ ç¨á« ˜¥à¢ã¤ ¯®
¯ à ¬¥âàã ε = Pe−1/2 :


Pe
Sh = 0,461
β+1

1/2



3
+ 0,41
β+1
4



,

(4.6.18)

ª®â®à®¥ ãâ®ç­ï¥â § ¢¨á¨¬®áâì (4.6.17).
”®à¬ã«ã (4.6.18) ¬®­® ¨á¯®«ì§®¢ âì ¤«ï ¯à ªâ¨ç¥áª¨å à áç¥â®¢
¯à¨ Pe > 100 ¤«ï 0 6 β 6 0,82 Pe1/3 − 1 (íâ® á«¥¤ã¥â ¨§ ᮯ®áâ ¢«¥­¨ï
á १ã«ìâ â ¬¨ ç¨á«¥­­®£® à¥è¥­¨ï [72℄). ‡­ 祭¨¥ β = 0 ¢ (4.6.17),
(4.6.18) ᮮ⢥âáâ¢ã¥â £ §®¢®¬ã ¯ã§ëàî.

Ž¡é¨¥ ä®à¬ã«ë ¤«ï à áç¥â ¨­â¥£à «ì­ëå ¤¨ää㧨®­­ëå ¯®â®ª®¢ ¢ ⥮ਨ ¤¨ää㧨®­­®£® ¯®£à ­¨ç­®£® á«®ï.

€­ «®£¨ç­® á«ãç î áä¥à¨ç¥áª¨å ª ¯¥«ì ¨ ⢥à¤ëå ç áâ¨æ ¢ ¯®áâ㯠⥫쭮¬ ¯®â®ª¥ ¬®­® à áᬮâà¥âì ¡®«¥¥ ®¡éãî § ¤ çã ® áâ 樮­ à­®¬ ¬ áá®®¡¬¥­¥ ª ¯¥«ì (¯ã§ë३) ¨ ç áâ¨æ ­¥áä¥à¨ç¥áª®© ä®à¬ë,
®¡â¥ª ¥¬ëå ¯à®¨§¢®«ì­ë¬ § ¤ ­­ë¬ « ¬¨­ à­ë¬ â¥ç¥­¨¥¬ ­¥á¨¬ ¥¬®© ¨¤ª®áâ¨. ¥ ¢¤ ¢ ïáì ¢ ¤¥â «¨, ¯à¨¢¥¤¥¬ §¤¥áì ­¥ª®â®àë¥
¨â®£®¢ë¥ ä®à¬ã«ë ¤«ï à áç¥â ¡¥§à §¬¥à­ëå ¨­â¥£à «ì­ëå ¤¨ää㧨®­­ëå ¯®â®ª®¢, ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨¬ à¥è¥­¨ï¬ ¯«®áª¨å ¨ ®á¥á¨¬¬¥âà¨ç­ëå § ¤ ç ª®­¢¥ªâ¨¢­®£® ¬ áᮯ¥à¥­®á (4.4.1),
(4.3.2) ¯à¨ ¡®«ìè¨å ç¨á« å Ǒ¥ª«¥.

4.6. Œ áá®®¡¬¥­ ç áâ¨æ ¨ ª ¯¥«ì á ¯®â®ª®¬ ¯à¨ ¡®«ìè¨å Pe

161

ˆá¯®«ì§ã¥¬ «®ª «ì­ãî ®à⮣®­ «ì­ãî ªà¨¢®«¨­¥©­ãî á¨á⥬ã
¡¥§à §¬¥à­ëå ª®®à¤¨­ â ξ , η, ϕ, £¤¥ η ­ ¯à ¢«¥­ ¢¤®«ì, ξ | ¯®
­®à¬ «¨ ª ¯®¢¥àå­®á⨠ç áâ¨æë. ‚ ®á¥á¨¬¬¥âà¨ç­®¬ á«ãç ¥ §¨¬ãâ «ì­ ï ª®®à¤¨­ â ϕ ¬¥­ï¥âáï ¢ ¯à¥¤¥« å ®â 0 ¤® 2π; ¢ ¯«®áª®¬
á«ãç ¥ ¯à¨­¨¬ ¥âáï, çâ® 0 6 ϕ 6 1. ‘ç¨â ¥¬, çâ® ¢ ¯®â®ª¥ ®âáãâáâ¢ãîâ § ¬ª­ãâë¥ «¨­¨¨ ⮪ , ¯®¢¥àå­®áâì ç áâ¨æë § ¤ ¥âáï ¯®áâ®ï­­ë¬ §­ 祭¨¥¬ ξ = ξs . ¥§à §¬¥à­ë¥ ª®¬¯®­¥­âë ᪮à®á⨠¨¤ª®áâ¨
¬®­® ¢ëà §¨âì á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬ ç¥à¥§ ¡¥§à §¬¥à­ãî äã­ªæ¨î
⮪ ψ:
vy

=−



gξξ
g

1/2

∂ψ
,
∂η

vη

=



gηη
g

1/2

∂ψ
,
∂y

(4.6.19)

£¤¥ gξξ , gηη , gϕϕ | ª®¬¯®­¥­âë ¬¥âà¨ç¥áª®£® ⥭§®à , g = gξξ gηη gϕϕ ;
¢ ¯«®áª®¬ á«ãç ¥ gϕϕ = 1.
Ǒਠ¢ï§ª®¬ ®¡â¥ª ­¨¨ ­ ¯®¢¥àå­®á⨠⢥म© (¨¤ª®©) ç áâ¨æë
¤®«­® ¢ë¯®«­ïâìáï ãá«®¢¨¥ ¯à¨«¨¯ ­¨ï (­¥¯à®â¥ª ­¨ï), ¯®í⮬ã
äã­ªæ¨î ⮪ ¢¡«¨§¨ ¬¥ä §­®© ¯®¢¥àå­®á⨠¬®­® ¯à¥¤áâ ¢¨âì
¢ ¢¨¤¥
ψ → (ξ − ξs )m f (η )
¯à¨ ξ → ξs .
(4.6.20)
Ǒਠ®¡â¥ª ­¨¨ ª ¯¥«ì (¯ã§ë३) ¢ï§ª®© ¨¤ª®áâìî ¨ ç áâ¨æ ¨¤¥«ì­®© ¨¤ª®áâìî m = 1. Ǒਠ« ¬¨­ à­®¬ ¢ï§ª®¬ ®¡â¥ª ­¨¨ £« ¤ª¨å
⢥à¤ëå ç áâ¨æ ¯ à ¬¥âà m ®¡ëç­® à ¢¥­ ¤¢ã¬; áãé¥áâ¢ã¥â â ª¥
­¥áª®«ìª® ¯à¨¬¥à®¢ ®¡â¥ª ­¨ï, ª®£¤ m = 3 [60℄. ‘ª § ­­®¥ ®§­ ç ¥â,
çâ® â ­£¥­æ¨ «ì­ ï ª®¬¯®­¥­â ᪮à®á⨠vη (4.6.19) ¢ ¤¨ää㧨®­­®¬ ¯®£à ­¨ç­®¬ á«®¥ ã ¯®¢¥àå­®á⨠ª ¯«¨ ¢ £« ¢­®¬ ¯à¨¡«¨¥­¨¨
¨¬¥¥â ¯®áâ®ï­­®¥ §­ 祭¨¥, à ¢­®¥ ᪮à®á⨠¨¤ª®á⨠­ ¬¥ä §­®© ¯®¢¥àå­®áâ¨, ¢ â® ¢à¥¬ï ª ª ¢ ¤¨ää㧨®­­®¬ ¯®£à ­¨ç­®¬ á«®¥
ã ¯®¢¥àå­®á⨠⢥म© ç áâ¨æë â ­£¥­æ¨ «ì­ ï ᪮à®áâì ¢ £« ¢­®¬
¯à¨¡«¨¥­¨¨ § ¢¨á¨â «¨­¥©­® ( ¨­®£¤ ª¢ ¤à â¨ç­®) ®â à ááâ®ï­¨ï
¤® ¯®¢¥àå­®áâ¨, ®¡à é ïáì ¢ ­ã«ì ­ ¯®¢¥àå­®á⨠ç áâ¨æë.
 áᬮâਬ ¯®¤à®¡­¥¥ £¥®¬¥âà¨î â¥ç¥­¨ï ¢¡«¨§¨ ª ¯«¨ ¨«¨ ⢥म© ç áâ¨æë. Š®®à¤¨­ âë ªà¨â¨ç¥áª¨å â®ç¥ª ¨ «¨­¨© ­ ¬¥ä §­®©
¯®¢¥àå­®á⨠ηk ®¯à¥¤¥«ïîâáï ¯ã⥬ à¥è¥­¨ï ãà ¢­¥­¨ï
f (ηk ) = 0.

(4.6.21)

‚ á«ãç ¥ ªà¨â¨ç¥áª¨å «¨­¨© ª®®à¤¨­ â­ë¥ ¯®¢¥àå­®á⨠η = ηk à §¤¥«ïîâ ®¡« áâ¨, ¢ ª®â®àëå £« ¢­ë© ç«¥­ à §«®¥­¨ï ä㭪樨 ⮪
(4.6.20) á®åà ­ï¥â §­ ª. Šà¨â¨ç¥áª¨¥ â®çª¨ ¨ «¨­¨¨ ¨£à îâ ¢ ­ãî
à®«ì ¢ ⥮ਨ ¤¨ää㧨®­­®£® ¯®£à ­¨ç­®£® á«®ï. Ž­¨ ¬®£ãâ ¡ëâì
¤¢ãå ⨯®¢: ¢ ¨å ¬ «®© ®ªà¥áâ­®á⨠­®à¬ «ì­ ï ª®¬¯®­¥­â ᪮à®á⨠¨¤ª®á⨠­ ¯à ¢«¥­ «¨¡® ª ¬¥ä §­®© ¯®¢¥àå­®á⨠(íâ® â®çª¨
¨ «¨­¨¨ ý­ ⥪ ­¨ïþ), «¨¡® ®â ­¥¥ (íâ® â®çª¨ ¨ «¨­¨¨ ýá⥪ ­¨ïþ). 

162

Œ áá®®¡¬¥­ ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ á ¯®â®ª®¬

) ‘奬 â¥ç¥­¨ï ¢¡«¨§¨ ¯®¢¥àå­®á⨠ç áâ¨æë ¢ ®ªà¥áâ­®á⨠ªà¨â¨ç¥áª¨å â®ç¥ª ¨«¨ «¨­¨© ­ ⥪ ­¨ï (á ª®®à¤¨­ ⮩ ηk ) ¨ á⥪ ­¨ï (á ª®®à¤¨­ ⮩ ηk+1 ); áâ५ª¨ ¯®ª §ë¢ îâ ­ ¯à ¢«¥­¨¥ ¢¥ªâ®à ᪮à®á⨠¨¤ª®áâ¨. ¡)  á¯à¥¤¥«¥­¨¥ â ­£¥­æ¨ «ì­®© ª®¬¯®­¥­âë ᪮à®á⨠¨¤ª®á⨠¢¡«¨§¨ ªà¨â¨ç¥áª¨å
â®ç¥ª ¨«¨ «¨­¨© ­ ¯®¢¥àå­®á⨠⥫
¨á. 4.2.

à¨á. 4.2 «¨­¨¨ ­ ⥪ ­¨ï ®¯à¥¤¥«ïîâáï §­ 祭¨¥¬ ηk , «¨­¨¨ á⥪ ­¨ï | §­ 祭¨¥¬ ηk+1 . ‚ ᨫ㠧 ª®­ á®åà ­¥­¨ï ¬ ááë â ­£¥­æ¨ «ì­ ï ª®¬¯®­¥­â ᪮à®á⨠¨¤ª®á⨠¢¡«¨§¨ ¬¥ä §­®© ¯®¢¥àå­®áâ¨
¢ ®ªà¥áâ­®á⨠â®çª¨ ¨«¨ «¨­¨¨ ­ ⥪ ­¨ï (á⥪ ­¨ï) ­ ¯à ¢«¥­ ®â
í⮩ â®çª¨ ¨«¨ «¨­¨¨ (ᮮ⢥âá⢥­­® ª ­¥©), á ¬¨ â®çª¨ ¨«¨ «¨­¨¨ ­ ⥪ ­¨ï ¨ á⥪ ­¨ï ¤®«­ë ç¥à¥¤®¢ âìáï. ‚ ®ªà¥áâ­®á⨠â®çª¨
(«¨­¨¨) ­ ⥪ ­¨ï ¯à®¨á室¨â § த¥­¨¥ ¤¨ää㧨®­­®£® ¯®£à ­¨ç­®£® á«®ï, ⮫騭 ª®â®à®£® §¤¥áì ¬¨­¨¬ «ì­ . ‚ ®ªà¥áâ­®á⨠â®çª¨
(«¨­¨¨) á⥪ ­¨ï ⮫騭 ¤¨ää㧨®­­®£® ¯®£à ­¨ç­®£® á«®ï १ª®
¢®§à áâ ¥â.
Žâ¬¥â¨¬, çâ® ¢ ®á¥á¨¬¬¥âà¨ç­ëå § ¤ ç å ­ ¬¥ä §­®© ¯®¢¥àå­®á⨠¢á¥£¤ ¨¬¥îâáï ¤¢¥ ¨§®«¨à®¢ ­­ë¥ ªà¨â¨ç¥áª¨¥ â®çª¨ (­ ®á¨
ᨬ¬¥âਨ).
¥§à §¬¥à­ë© ¨­â¥£à «ì­ë© ¤¨ää㧨®­­ë© ¯®â®ª ­ ç áâì ¯®¢¥àå­®á⨠ç áâ¨æë (ª ¯«¨, ¯ã§ëàï) ¬¥¤ã á®á¥¤­¨¬¨ ªà¨â¨ç¥áª¨¬¨
«¨­¨ï¬¨ (â®çª ¬¨) ηk ¨ ηk+1 ¢ëç¨á«ï¥âáï ¯® 䮬㫥 [145℄
2m

(m + 1) m+1
I (k, k + 1) =
 1 
m+1



F (k, k + 1)



m
m+1

1

Pe m+1 ,

(4.6.22)

4.6. Œ áá®®¡¬¥­ ç áâ¨æ ¨ ª ¯¥«ì á ¯®â®ª®¬ ¯à¨ ¡®«ìè¨å Pe

£¤¥
F (k, k + 1) =


1
m

Z

ηk+1

ηk

√ s
1
g
|f (η )| m dη ,
s
g

163
(4.6.23)

ξξ

2π ¢ ®á¥á¨¬¬¥âà¨ç­®¬ á«ãç ¥,
 = 1 ¢ ¯«®áª®¬ á«ãç ¥.

‚ ¢ëà ¥­¨¨ (4.6.23) ¢¥àå­¨© ¨­¤¥ªá ýsþ ®â¢¥ç ¥â ¢¥«¨ç¨­ ¬, ¢§ïâë¬ ­ ¬¥ä §­®© ¯®¢¥àå­®á⨠¯à¨ ξ = ξs . Ǒਠ§ ¯¨á¨ ¯®áâ®ï­­®© 
¡ë«® ãç⥭®, çâ® ¢ ¯«®áª®¬ á«ãç ¥ ¨­â¥£à «ì­ë© ¤¨ää㧨®­­ë© ¯®â®ª ¯à¨­ïâ® ®¯à¥¤¥«ïâì ­ ¥¤¨­¨æã ¤«¨­ë 樫¨­¤à (0 6 ϕ 6 1).
‡­ 祭¨¥ m = 1 ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ª ¯«ï¬ ¨ ¯ã§ëàï¬, m = 2 | ⢥à¤ë¬
ç áâ¨æ ¬ ¢ ¢ï§ª®© ¨¤ª®áâ¨.
Ǒਠ¨áá«¥¤®¢ ­¨¨ ª®­ªà¥â­ëå ®á¥á¨¬¬¥âà¨ç­ëå ¨ ¯«®áª¨å § ¤ ç
¯®«¥§­® ¨¬¥âì ¢ëà ¥­¨ï ¤«ï ä㭪樨 F (k, k + 1) ¢ áä¥à¨ç¥áª®© ¨
樫¨­¤à¨ç¥áª®© á¨á⥬ å ª®®à¤¨­ â.
Ǒãáâì ¢ áä¥à¨ç¥áª®© (¨«¨ 樫¨­¤à¨ç¥áª®©) á¨á⥬¥ ª®®à¤¨­ â
ä®à¬ ¯®¢¥àå­®á⨠ç áâ¨æë (ª ¯«¨, ¯ã§ëàï) ®¯¨áë¢ ¥âáï ãà ¢­¥­¨¥¬
r = R(θ), £¤¥ r | ¡¥§à §¬¥à­ ï (®â­¥á¥­­ ï ª å à ªâ¥à­®¬ã ¬ áèâ ¡ã
¤«¨­ë) à ¤¨ «ì­ ï ª®®à¤¨­ â , θ | 㣫®¢ ï ª®®à¤¨­ â . ’®£¤ ¯®«¥
᪮à®á⥩ ¢¡«¨§¨ ¬¥ä §­®© ¯®¢¥àå­®á⨠®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¡¥§à §¬¥à­®©
ä㭪樥© ⮪ ψ = [r − R(θ)℄m f (θ), ¯¥à¥¬¥­­ ï F (k, k + 1) ¢ (4.6.22)
¢ëç¨á«ï¥âáï ¯® ä®à¬ã« ¬ [60℄:
¢ ®á¥á¨¬¬¥âà¨ç­®¬ á«ãç ¥ 0 6 θ 6 π ¨
F (k, k + 1) =

1
m

Z

θk+1

θk

"

sin θ R2 +



dR
dθ

2 #

1
|f (θ)| m dθ



dR
dθ

2 #

1
|f (θ)| m dθ .

; (4.6.24)

¢ ¯«®áª®¬ á«ãç ¥ 0 6 θ 6 2π ¨
F (k, k + 1) =

1
m

Z

θk+1

θk

R

"

1+

1

R2

(4.6.25)

‡¤¥áì θk ¨ θk+1 | 㣫®¢ë¥ ª®®à¤¨­ âë ªà¨â¨ç¥áª¨å «¨­¨© (â®ç¥ª)
­ ¬¥ä §­®© ¯®¢¥àå­®áâ¨; áç¨â ¥âáï, çâ® ¢ ¯à®¬¥ãâ®ç­®© ®¡« áâ¨
θk < θ < θk+1 ®âáãâáâ¢ãîâ ªà¨â¨ç¥áª¨¥ «¨­¨¨ ¨ â®çª¨.
Žâ¬¥â¨¬, çâ® ¤«ï ®á¥á¨¬¬¥âà¨ç­®£® «¨­¥©­®£® ᤢ¨£®¢®£® ¯®â®ª
­ ¯®¢¥àå­®á⨠áä¥à¨ç¥áª®© ç áâ¨æë (ª ¯«¨, ¯ã§ëàï) ¨¬¥îâáï ¤¢¥
¨§®«¨à®¢ ­­ë¥ ªà¨â¨ç¥áª¨¥ â®çª¨ θ = 0 ¨ θ = π, â ª¥ ªà¨â¨ç¥áª ï
«¨­¨ï θ = π/2.
„«ï ®¯à¥¤¥«¥­¨ï ¯®«­®£® ¡¥§à §¬¥à­®£® ¤¨ää㧨®­­®£® ¯®â®ª I á­ ç « á«¥¤ã¥â ­ ©â¨ ª®®à¤¨­ âë ¢á¥å ªà¨â¨ç¥áª¨å «¨­¨© ¨
â®ç¥ª ­ ¯®¢¥àå­®á⨠ç áâ¨æë (ª ¯«¨, ¯ã§ëàï) η1 < η2 < · · · < ηk <
< ηk+1 < · · · < ηM ; § ⥬ ¯® «î¡®© ¨§ ä®à¬ã« (4.6.23) | (4.6.25) à á-

164

Œ áá®®¡¬¥­ ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ á ¯®â®ª®¬

áç¨â âì ¯®â®ª¨ (4.6.22) ­ ç á⨠¯®¢¥àå­®á⨠¬¥¤ã á®á¥¤­¨¬¨ ªà¨â¨ç¥áª¨¬¨ «¨­¨ï¬¨ (â®çª ¬¨), § ⥬ ¢ëç¨á«¨âì á㬬ã
I

=

M−
X1
k=1

I (k, k + 1).

(4.6.26)

‘।­¥¥ ç¨á«® ˜¥à¢ã¤ ¯®«ãç ¥âáï ¯ã⥬ ¤¥«¥­¨ï ¢ëà ¥­¨ï
(4.6.26) ­ ¡¥§à §¬¥à­ãî ¯«®é ¤ì ¯®¢¥àå­®á⨠ç áâ¨æë (ª ¯«¨,
¯ã§ëàï).
‚ à ¡®â å [137, 138℄ ¡ë« ¯à¥¤«®¥­ ¬¥â®¤ à¥è¥­¨ï âà¥å¬¥à­ëå
§ ¤ ç ¤¨ää㧨®­­®£® ¯®£à ­¨ç­®£® á«®ï, ®á­®¢ ­­ë© ­ ¨á¯®«ì§®¢ ­¨¨ âà¥å¬¥à­®£® ­ «®£ ä㭪樨 ⮪ . â®â ¬¥â®¤ ¯à¨¬¥­ï«áï
¢ [60, 141, 196℄ ¤«ï ¨áá«¥¤®¢ ­¨ï ¬ áá®®¡¬¥­ áä¥à¨ç¥áª¨å ç áâ¨æ,
ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ á âà¥å¬¥à­ë¬ ᤢ¨£®¢ë¬ ¯®â®ª®¬.
4.7. „¨ääã§¨ï ª áä¥à¨ç¥áª®© ç áâ¨æ¥,
ª ¯«¥ ¨ ¯ã§ëàî ¢ ¯®áâ㯠⥫쭮¬
¯®â®ª¥ ¯à¨ à §«¨ç­ëå ç¨á« å Ǒ¥ª«¥ ¨
¥©­®«ì¤á

‚ í⮬ à §¤¥«¥ ¯à¨¢®¤ïâáï ¨­â¥à¯®«ï樮­­ë¥ ä®à¬ã«ë (á¬. [142,
143℄) ¤«ï à áç¥â á।­¨å ç¨á¥« ˜¥à¢ã¤ ¢ á«ãç ¥ áä¥à¨ç¥áª¨å ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ à ¤¨ãá a, ®¡â¥ª ¥¬ëå ®¤­®à®¤­ë¬ ¯®áâ㯠⥫ì­ë¬ ¯®â®ª®¬ ᮠ᪮à®áâìî Ui ¯à¨ à §«¨ç­ëå ç¨á« å Pe = aUi/D
¨ ¥©­®«ì¤á Re = aUi/ν . „«ï á।­¥£® ç¨á« ˜¥à¢ã¤ ¢ á«ãç ¥ £ §®¢®£® ¯ã§ëàï ¡ã¤¥¬ ¨á¯®«ì§®¢ âì ®¡®§­ 祭¨¥ Shb , ¢ á«ãç ¥ ⢥म©
áä¥àë Shp .
‘ä¥à¨ç¥áª ï ç áâ¨æ ¯à¨ Re → 0, 0 6 Pe 6 ∞. ‡ ¤ ç ® ¬ áá®®¡¬¥­¥ ⢥म© áä¥à¨ç¥áª®© ç áâ¨æë á ¯®áâ㯠⥫ì­ë¬ á⮪ᮢë¬
¯®â®ª®¬ (Re → 0) ¢® ¢á¥¬ ¤¨ ¯ §®­¥ ç¨á¥« Ǒ¥ª«¥ ¨áá«¥¤®¢ « áì á ¯®¬®éìî ª®­¥ç­®-à §­®áâ­ëå ç¨á«¥­­ëå ¬¥â®¤®¢ ¢ à ¡®â å [1, 204, 257℄.
„«ï ®¯à¥¤¥«¥­¨ï á।­¥£® ç¨á« ˜¥à¢ã¤ ­ áä¥à¨ç¥áªãî ç áâ¨æã
㤮¡­® ¨á¯®«ì§®¢ âì ¯à¨¡«¨¥­­ãî § ¢¨á¨¬®áâì [219℄
Shp = 0,5 + (0,125 + 0,243 Pe)1/3 .

(4.7.1)

ˆ­â¥à¯®«ï樮­­ ï ä®à¬ã« (4.7.1) ¯à¨¢®¤¨â ª â®ç­ë¬ ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨¬ १ã«ìâ â ¬ ¢ ®¡®¨å ¯à¥¤¥«ì­ëå á«ãç ïå ¯à¨ Pe → 0 ¨
Pe → ∞. Œ ªá¨¬ «ì­®¥ ®â«¨ç¨¥ (4.7.1) ®â ¤ ­­ëå [1, 204, 257℄ ¢®
¢á¥¬ ¤¨ ¯ §®­¥ ¨§¬¥­¥­¨ï ç¨á« Ǒ¥ª«¥ á®áâ ¢«ï¥â ®ª®«® 2%.
‘ä¥à¨ç¥áª¨© ¯ã§ëàì ¯à¨ Re → 0, 0 6 Pe 6 ∞. ‡ ¤ ç
® ¬ áá®®¡¬¥­¥ áä¥à¨ç¥áª®£® ¯ã§ëàï á ¯®áâ㯠⥫ì­ë¬ ¯®â®ª®¬ ¯à¨

165

4.7. „¨ääã§¨ï ª ç áâ¨æ¥ ¢ ¯®áâ㯠⥫쭮¬ ¯®â®ª¥ ¯à¨ à §­ëå Re

Re → 0 ¨áá«¥¤®¢ « áì ç¨á«¥­­® ¢ [267℄. Ǒ®«ã祭­ë¥ १ã«ìâ âë ¤«ï
á।­¥£® ç¨á« ˜¥à¢ã¤ å®à®è® ¯¯à®ªá¨¬¨àãîâáï ¢ëà ¥­¨¥¬
Shb = 0,6 + (0,16 + 0,213 Pe)1/2 ,

(4.7.2)

¬ ªá¨¬ «ì­ ï ¯®£à¥è­®áâì ª®â®à®£® á®áâ ¢«ï¥â 3%.

‘ä¥à¨ç¥áª ï ª ¯«ï ¯à¨ Re → 0, 0 6 Pe 6 ∞.  ¨­â¥à¢ «¥
0 6 Pe 6 200 १ã«ìâ âë ç¨á«¥­­ëå à áç¥â®¢ á।­¥£® ç¨á«˜¥à¢ã¤
¤«ï áä¥à¨ç¥áª®© ª ¯«¨ ¢ ¯®áâ㯠⥫쭮¬ ¯®â®ª¥ ¯à¨ «¨¬¨â¨àãî饬
ᮯà®â¨¢«¥­¨¨ ¤¨á¯¥àá­®© ä §ë å®à®è® ®¯¨áë¢ îâáï ¯à¨¡«¨¥­­®©
§ ¢¨á¨¬®áâìî [28℄
Sh =

1

β+1

Shb +

β
β+1

Shp ,

(4.7.3)

£¤¥ β | ®â­®è¥­¨¥ ¤¨­ ¬¨ç¥áª¨å ¢ï§ª®á⥩ ª ¯«¨ ¨ ®ªàã î饩
¨¤ª®á⨠(§­ 祭¨¥ β = 0 ᮮ⢥âáâ¢ã¥â £ §®¢®¬ã ¯ã§ëàî, β = ∞ |
⢥म© áä¥à¥); Shb ¨ Shp | ç¨á« ˜¥à¢ã¤ ¤«ï ¯ã§ëàï ¨ ⢥म©
ç áâ¨æë, ª®â®àë¥ ¬®­® ¢ëç¨á«ïâì ¯® ä®à¬ã« ¬ (4.7.2) ¨ (4.7.1)
ᮮ⢥âá⢥­­®.
‚ ­® ®â¬¥â¨âì, çâ® ¢ëà ¥­¨¥ (4.7.3) ¤«ï «î¡ëå β ¤ ¥â ¯à ¢¨«ì­ë¥ âਠ童­ ᨬ¯â®â¨ç¥áª®£® à §«®¥­¨ï Sh ¯à¨ Pe → 0 [72℄.
 ¨­â¥à¢ «¥ 200 6 Pe < ∞ á।­¥¥ ç¨á«® ˜¥à¢ã¤ ¤«ï ª ¯«¨ ¯à¨
«î¡ëå §­ 祭¨ïå ¢ï§ª®á⥩ ä § ¬®­® ¢ëç¨á«ïâì ¯ã⥬ à¥è¥­¨ï
ªã¡¨ç¥áª®£® ãà ¢­¥­¨ï
Sh3 − 0,212

Pe

β+1

Sh − (0,624)3 Pe = 0.

(4.7.4)

‘ä¥à¨ç¥áª ï ç áâ¨æ ¯à¨ à §«¨ç­ëå ç¨á« å ¥©­®«ì¤á .

ˆ¬¥î騥áï ç¨á«¥­­ë¥ १ã«ìâ âë (á¬., ­ ¯à¨¬¥à, [227, 257℄) ¯® á।­¥¬ã ç¨á«ã ˜¥à¢ã¤ ¢ á«ãç ¥ áä¥à¨ç¥áª®© ç áâ¨æë ¢ ¯®áâ㯠⥫쭮¬
¯®â®ª¥ ¯à¨ 0,5 6 Re 6 200, 0,125 6 S 6 50 ᮣ« á­® [219℄ ¬®£ãâ ¡ëâì
®¯¨á ­ë ¯à¨¡«¨¥­­®© § ¢¨á¨¬®áâìî
Shp = 0,5 + 0,527 Re0,077 (1 + 2 Re S )1/3 ,

(4.7.5)

¯®£à¥è­®áâì ª®â®à®© á®áâ ¢«ï¥â ®ª®«® 3%.
Ž¡à ¡®âª ¨¬¥îé¨åáï íªá¯¥à¨¬¥­â «ì­ëå ¤ ­­ëå ¯® ⥯«®- ¨
¬ áá®®¡¬¥­ã ⢥à¤ëå áä¥à á ¯®áâ㯠⥫ì­ë¬ ¯®â®ª®¬ ¯à¨¢®¤¨â ª
á«¥¤ãî騬 ª®à५ïæ¨ï¬ [219℄:
⥯«®®¡¬¥­ á ¢®§¤ã宬 ¯à¨ Pr = 0,7:
Nup = 0,5 + 0,47 Re0,47
Nup = 0,5 + 0,2 Re0,58

¯à¨ 50 6 Re 6 2 · 103,
¯à¨ 2 · 103 6 Re 6 5 · 104;

166

Œ áá®®¡¬¥­ ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ á ¯®â®ª®¬

¬ áá®®¡¬¥­ á ¨¤ª®áâﬨ ¯à¨ ¡®«ìè¨å ç¨á« å ˜¬¨¤â (S
Shp = 0,5 + 0,5 Re0,48 S 1/3
Shp = 0,5 + 0,31 Re0,55 S 1/3

> 100):

¯à¨ 50 6 Re 6 103,
¯à¨ 103 6 Re 6 5 · 104 .

ªá¯¥à¨¬¥­â «ì­ë¥ ¤ ­­ë¥ ¯à¨ 0,5 < Re < 50 å®à®è® ®¯¨áë¢ îâáï
¢ëà ¥­¨¥¬ (4.7.5).

‘ä¥à¨ç¥áª¨© ¯ã§ëàì ¯à¨ «î¡ëå ç¨á« å Ǒ¥ª«¥ ¨ Re > 35.

„«ï áä¥à¨ç¥áª®£® ¯ã§ëàï ¢ ¯®áâ㯠⥫쭮¬ ¯®â®ª¥ ¯à¨ 㬥७­ëå ¨
¡®«ìè¨å ç¨á« å ¥©­®«ì¤á ¨ ¡®«ìè¨å ç¨á« å Ǒ¥ª«¥ á।­¥¥ ç¨á«®
˜¥à¢ã¤ ¬®­® ¢ëç¨á«ïâì ¯® ä®à¬ã«¥ [219℄
Shb =



2
π

1/2 

Pe

1−

2
√
Re

1/2

(4.7.6)

,

¯®£à¥è­®áâì ª®â®à®© á®áâ ¢«ï¥â ¬¥­¥¥ 7% ¯à¨ Re > 35.
Ǒਠ0 6 Pe < ∞, Re > 35 ¤«ï à áç¥â á।­¥£® ç¨á« ˜¥à¢ã¤
­ áä¥à¨ç¥áª¨© ¯ã§ëàì ¬®­® ¨á¯®«ì§®¢ âì ¯à¨¡«¨¥­­ãî § ¢¨á¨¬®áâì




Shb = 0,6 + 0,16 + 0,637 1 −



1/2

2
√
Pe
Re

(4.7.7)

,

ª®â®à ï ®¡¥á¯¥ç¨¢ ¥â â®ç­ë© १ã«ìâ ⠯ਠPe = 0 ¨ ¯¥à¥å®¤¨â ¢
(4.7.6) ¯à¨ Pe → ∞. ǑਠRe = ∞ ¯®£à¥è­®áâì ä®à¬ã«ë (4.7.7)
á®áâ ¢«ï¥â ®ª®«® 3% [280℄.

‘ä¥à¨ç¥áª ï ª ¯«ï ¯à¨ ¡®«ìè¨å ç¨á« å Ǒ¥ª«¥ ¨ Re > 35.

Ǒਠ¡®«ìè¨å ç¨á« å Re à á¯à¥¤¥«¥­¨¥ ᪮à®á⥩ ¨¤ª®á⨠¢ ¯®£à ­¨ç­®¬ á«®¥ ¢¡«¨§¨ ¯®¢¥àå­®á⨠ª ¯«¨ ¡ë«® ¯®«ã祭® ¢ à ¡®â¥ [235℄.
â¨ १ã«ìâ âë ¡ë«¨ ¨á¯®«ì§®¢ ­ë ¢ [316℄, £¤¥ ¨áá«¥¤®¢ «áï ¬ áá®®¡¬¥­ áä¥à¨ç¥áª®© ª ¯«¨ ¢ ¯®áâ㯠⥫쭮¬ ¯®â®ª¥ ¯à¨ ¡®«ìè¨å ç¨á« å
Ǒ¥ª«¥. Ǒ®«ã祭­ë¥ ¤ ­­ë¥ ¤«ï á।­¥£® ç¨á« ˜¥à¢ã¤ å®à®è® ¯¯à®ªá¨¬¨àãîâáï § ¢¨á¨¬®áâìî [219℄
Sh =



2
π

1/2 

Pe

1−

2 + 1,49 β 0,64
√
Re

1/2

,

(4.7.8)

ª®â®à ï ¯¥à¥å®¤¨â ¢ (4.7.6) ¯à¨ β = 0. ”®à¬ã«ã (4.7.8) ¬®­®
¯à¨¬¥­ïâì ¯à¨ 0 6 β 6 2 ¨ Re > 35.

Ž¡é¨¥ ª®à५ï樨 ¤«ï ç¨á« ˜¥à¢ã¤ ¯à¨ « ¬¨­ à­®¬
®¡â¥ª ­¨¨ áä¥à¨ç¥áª¨å ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ â¥ç¥­¨ï¬¨ à §«¨ç­®£® ⨯ . ˆá¯®«ì§ãï ¬¥â®¤ ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨å ­ «®£¨©,

¢ë¢¥¤¥¬ ä®à¬ã«ã ¤«ï à áç¥â ç¨á« ˜¥à¢ã¤ ¢ á«ãç ¥ « ¬¨­ à­®£®

4.7. „¨ääã§¨ï ª ç áâ¨æ¥ ¢ ¯®áâ㯠⥫쭮¬ ¯®â®ª¥ ¯à¨ à §­ëå Re

167

®¡â¥ª ­¨ï áä¥à¨ç¥áª®© ç áâ¨æë ¯à¨ ¯à®¨§¢®«ì­®© áâàãªâãॠ­¥¢®§¬ã饭­®£® â¥ç¥­¨ï ­ ¡¥áª®­¥ç­®áâ¨. ‘ç¨â ¥¬, çâ® ¢ ¯®â®ª¥ ®âáãâáâ¢ãîâ § ¬ª­ãâë¥ «¨­¨¨ ⮪ .
‚ ª ç¥á⢥ ¨á室­®© ä®à¬ã«ë ¡ã¤¥¬ ¨á¯®«ì§®¢ âì ¯à¨¡«¨¥­­ãî
§ ¢¨á¨¬®áâì (4.7.1). Ǒ८¡à §ã¥¬ (4.7.1) á«¥¤ãï ¯à®æ¥¤ãà¥, ®¯¨á ­­®©
¢ à §¤. 4.1. „«ï í⮣® ãç⥬, ç⮠ᨬ¯â®â¨ª¨ Shp ¯à¨ ¬ «ëå ¨
¡®«ìè¨å Pe ¨¬¥îâ ¢¨¤
Shp0 = 1 (Pe → 0);

Shp∞ = 0,624 Pe1/3 (Pe → ∞).

â¨ ä®à¬ã«ë á â®ç­®áâìî ¤® ®ç¥¢¨¤­ëå ¯¥à¥®¡®§­ 祭¨© (w =⇒ Shp ,
τ =⇒ Pe) ᮢ¯ ¤ îâ á (4.1.2), (4.1.3) ¯à¨ A = 1, B = 0,624, k = 0,
m = 31 . Ǒ®¤áâ ¢¨¬ í⨠§­ 祭¨ï ¢ ¢ëà ¥­¨¥ (4.1.5), £¤¥ äã­ªæ¨ï F
®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¨§ (4.7.1). “ç¨âë¢ ï, çâ® ¤«ï ç áâ¨æ áä¥à¨ç¥áª®© ä®à¬ë ¢ë¯®«­ï¥âáï à ¢¥­á⢮ Shp0 = 1, ¢ ¨â®£¥ ¯®«ã稬 [72℄:
Shp = 0,5 + (0,125 + Sh3p∞ )1/3

(⢥ठï ç áâ¨æ ).

(4.7.9)

”®à¬ã«ã (4.7.9) ¬®­® ¨á¯®«ì§®¢ âì ¤«ï à áç¥â á।­¥£® ç¨á«
˜¥à¢ã¤ ¢ á«ãç ¥ « ¬¨­ à­®£® ®¡â¥ª ­¨ï ⢥म© áä¥à¨ç¥áª®© ç áâ¨æë â¥ç¥­¨ï¬¨ à §«¨ç­®£® ⨯ , ¢ ª®â®àëå ­¥â § ¬ª­ãâëå «¨­¨©
⮪ . Ǒਠí⮬ ¢ ª ç¥á⢥ ¢á¯®¬®£ ⥫쭮© ¢¥«¨ç¨­ë Shp∞ á«¥¤ã¥â
¢ë¡¨à âì £« ¢­ë© ç«¥­ ᨬ¯â®â¨ç¥áª®£® à §«®¥­¨ï ç¨á« ˜¥à¢ã¤ ¯à¨ ¡®«ìè¨å ç¨á« å Ǒ¥ª«¥.
€­ «®£¨ç­ë¬ ®¡à §®¬ ¤«ï ¯à®¨§¢®«ì­®£® ®¡â¥ª ­¨ï áä¥à¨ç¥áª®£® ¯ã§ëàï ¬®­® ¢ë¢¥á⨠¯à¨¡«¨¥­­ãî § ¢¨á¨¬®áâì
Shb = 0,6 + (0,16 + Sh2b∞ )1/2

(¯ã§ëàì),

(4.7.10)

£¤¥ Shb∞ | ᨬ¯â®â¨ª á।­¥£® ç¨á« ˜¥à¢ã¤ ¯à¨ Pe → ∞, ª®â®à ï ¢ëç¨á«ï¥âáï ¯ã⥬ à¥è¥­¨ï ãà ¢­¥­¨ï ¤¨ää㧨®­­®£® ¯®£à ­¨ç­®£® á«®ï ¯à¨ § ¤ ­­®¬ ¯®«¥ â¥ç¥­¨ï.
”®à¬ã«ë (4.7.9) ¨ (4.7.10) ¯®á«¥ ¯®¤áâ ­®¢ª¨ ¢ ­¨å ¢¥«¨ç¨­ Shp∞
¨ Shb∞ ¬®­® ¨á¯®«ì§®¢ âì ¤«ï à áç¥â ç¨á¥« ˜¥à¢ã¤ ¢® ¢á¥¬
¤¨ ¯ §®­¥ ¨§¬¥­¥­¨ï ç¨á« Ǒ¥ª«¥. Žâ¬¥â¨¬, çâ® § ¢¨á¨¬®áâì (4.7.7)
¡ë« ¢ë¢¥¤¥­ á ¯®¬®éìî (4.7.10), ªã¤ ¢ ª ç¥á⢥ ᨬ¯â®â¨ª¨
Shb∞ ¡ë« ¯®¤áâ ¢«¥­ ¯à ¢ ï ç áâì ¢ëà ¥­¨ï (4.7.6). „à㣨¥
ª®­ªà¥â­ë¥ ¯à¨¬¥àë ¯à¨¬¥­¥­¨ï ä®à¬ã« (4.7.9) ¨ (4.7.10) ¡ã¤ãâ
¯à¨¢¥¤¥­ë ¢ à §¤. 4.8.
Ǒਠ¬ «ëå ¨ 㬥७­ëå ç¨á« å Ǒ¥ª«¥ ¢ á«ãç ¥ ¯à®¨§¢®«ì­®£®
« ¬¨­ à­®£® ®¡â¥ª ­¨ï áä¥à¨ç¥áª®© ª ¯«¨ ¯à¨ «¨¬¨â¨àãî饬 ᮯà®â¨¢«¥­¨¨ ᯫ®è­®© ä §ë ¤«ï à áç¥â á।­¥£® ç¨á« ˜¥à¢ã¤
楫¥á®®¡à §­® ¨á¯®«ì§®¢ âì § ¢¨á¨¬®áâì (4.7.3), £¤¥ Shp ¨ Shb | ç¨á« ˜¥à¢ã¤ ¤«ï ¯à¥¤¥«ì­ëå á«ãç ¥¢ ⢥म© ç áâ¨æë ¨ ¯ã§ëàï, ª®â®àë¥ ¬®­® ¢ëç¨á«ïâì ¯® ä®à¬ã« ¬ (4.7.9) ¨ (4.7.10).

168

Œ áá®®¡¬¥­ ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ á ¯®â®ª®¬

Ǒਠ¡®«ìè¨å ç¨á« å Ǒ¥ª«¥ á।­¥¥ ç¨á«® ˜¥à¢ã¤ ¤«ï áä¥à¨ç¥áª®© ª ¯«¨ ¢® ¢á¥¬ ¤¨ ¯ §®­¥ ¨§¬¥­¥­¨ï ¢ï§ª®á⥩ ä § ¬®­® ¢ëç¨á«ïâì ¯ã⥬ à¥è¥­¨ï ªã¡¨ç¥áª®£® ãà ¢­¥­¨ï [72℄
Sh3 − Sh2β Sh − Sh3p∞ = 0

(ª ¯«ï),

(4.7.11)

£¤¥ Shβ | ᨬ¯â®â¨ç¥áª®¥ §­ 祭¨¥ á।­¥£® ç¨á« ˜¥à¢ã¤ , ¯®«ã祭­®¥ ¢ ¯à¨¡«¨¥­¨¨ ¤¨ää㧨®­­®£® ¯®£à ­¨ç­®£® á«®ï ¤«ï ª ¯«¨
㬥७­®© ¢ï§ª®á⨠β = Ž(1) ¯à¨ Pe → ∞, Shp∞ | ᮮ⢥âáâ¢ãîé ï
ᨬ¯â®â¨ª ¤«ï ⢥म© ç áâ¨æë (β = ∞) ¯à¨ Pe → ∞.
‚ á⮪ᮢ®¬ ¯®â®ª¥ (Re → 0) ¤«ï à áç¥â Shβ ¬®­® ¨á¯®«ì§®¢ âì
¯à¨¡«¨¥­­ãî ä®à¬ã«ã
Shβ =

Sh
√ b∞ ,
β+1

(4.7.12)

£¤¥ Shb∞ | ᨬ¯â®â¨ª ç¨á« ˜¥à¢ã¤ ¤«ï £ §®¢®£® ¯ã§ëàï (β = 0)
¯à¨ Pe → ∞. „«ï ¯®áâ㯠⥫쭮£® ¨ ¯à®¨§¢®«ì­®£® ¤¥ä®à¬ 樮­­®£® ®¡â¥ª ­¨ï áä¥à¨ç¥áª®© ª ¯«¨ áâ®ªá®¢ë¬ ¯®â®ª®¬ § ¢¨á¨¬®áâì
(4.7.12) ï¥âáï â®ç­®©.
‚ ç áâ­®¬ á«ãç ¥ áä¥à¨ç¥áª®© ª ¯«¨, ®¡â¥ª ¥¬®© ¯®áâ㯠⥫ì­ë¬
áâ®ªá®¢ë¬ ¯®â®ª®¬, ãà ­¥­¨¥ (4.7.11) ¯¥à¥å®¤¨â ¢ (4.7.4).
4.8. „¨ääã§¨ï ª áä¥à¨ç¥áª®© ç áâ¨æ¥,
ª ¯«¥ ¨ ¯ã§ëàî ¢ «¨­¥©­®¬ ᤢ¨£®¢®¬
¯®â®ª¥ ¯à¨ ¬ «ëå ç¨á« å ¥©­®«ì¤á ¨
«î¡ëå ç¨á« å Ǒ¥ª«¥

‘ç¨â ¥¬, çâ® à á¯à¥¤¥«¥­¨¥ ᪮à®á⥩ ¨¤ª®á⨠¢¤ «¨ ®â ¬¥ä §­®© ¯®¢¥àå­®á⨠®¯à¥¤¥«ï¥âáï ä®à¬ã«®© (4.5.1). ‘।­¥¥ ç¨á«®
˜¥à¢ã¤ ¤«ï ç áâ¨æë, ª ¯«¨ ¨ ¯ã§ëàï áä¥à¨ç¥áª®© ä®à¬ë ­¥ ¬¥­ï¥âáï, ¥á«¨ ®¤­®¢à¥¬¥­­® ¨§¬¥­¨âì §­ ª¨ ¢á¥å ª®íää¨æ¨¥­â®¢ ᤢ¨£
Sh(Gkm ) = Sh(−Gkm ).

‹¨­¥©­ë© ¤¥ä®à¬ 樮­­ë© ᤢ¨£®¢ë© ¯®â®ª. Ǒਡ«¨¥­¨¥ ¤¨ää㧨®­­®£® ¯®£à ­¨ç­®£® á«®ï. ¥è¥­¨¥ £¨¤à®¤¨-

­ ¬¨ç¥áª¨å § ¤ ç ®¡ ®¡â¥ª ­¨¨ ⢥म© ç áâ¨æë, ª ¯«¨ ¨ ¯ã§ëàï ¯à®¨§¢®«ì­ë¬ ¤¥ä®à¬ 樮­­ë¬ «¨­¥©­ë¬ ᤢ¨£®¢ë¬ ¯®â®ª®¬
(Gkm = Gmk ) ¢ á⮪ᮢ®¬ ¯à¨¡«¨¥­¨¨ (¯à¨ Re → 0) ¯à¨¢¥¤¥­ë ¢
à §¤. 2.4. ‘®®â¢¥âáâ¢ãî騥 § ¤ ç¨ ª®­¢¥ªâ¨¢­®£® ¬ áᮯ¥à¥­®á ¯à¨
¡®«ìè¨å ç¨á« å Ǒ¥ª«¥ ¢ ¯à¨¡«¨¥­¨¨ ¤¨ää㧨®­­®£® ¯®£à ­¨ç­®£®

169

4.8. „¨ääã§¨ï ª ç áâ¨æ¥ ¢ ᤢ¨£®¢®¬ ¯®â®ª¥ ¯à¨ ¬ «ëå Re
’€‹ˆ–€ 4.4
‘।­¥¥ ç¨á«® ˜¥à¢ã¤ ¤«ï áä¥à¨ç¥áª¨å ⢥à¤ëå ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨
¯ã§ë३ ¢ «¨­¥©­®¬ ¤¥ä®à¬ 樮­­®¬ ᤢ¨£®¢®¬ ¯®â®ª¥ (Gkm = 0 ¯à¨
k=
6 m) ¯à¨ ¬ «ëå ç¨á« å ¥©­®«ì¤á ¨ ¡®«ìè¨å ç¨á« å Ǒ¥ª«¥
’¨¯
ç áâ¨æë

 §¢ ­¨¥
â¥ç¥­¨ï

’¢¥à¤ ï Žá¥á¨¬¬¥âà¨ç­ë©
ç áâ¨æ
ᤢ¨£
Š ¯«ï, Žá¥á¨¬¬¥¯ã§ëàì âà¨ç­ë©
ᤢ¨£

—¨á«®
˜¥à¢ã¤
Sh

—¨á«®
Ǒ¥ª«¥
Pe

‹¨â¥à âãà

0,968 Pe1/3

a2 |G33 |
D

[58℄

a2 |G33 |
D

[58℄

a2 |G11 |
D

[196℄

a2 |G11 |
D

[141℄

Š®íää¨æ¨¥­âë
Gkk

G11 = G22 ,
G33 = −2G11



G11 = G22 ,
G33 = −2G11

’¢¥à¤ ï
ç áâ¨æ

Ǒ«®áª¨©
ᤢ¨£

G11 = −G22 ,
G33 = 0

Š ¯«ï,
¯ã§ëàì

Ǒ«®áª¨©
ᤢ¨£

G11 = −G22 ,
G33 = 0

3
2π

Pe 1/2
β+1

1,01 Pe1/3
0,731

 Pe 1/2
β+1

á«®ï à áᬠâਢ «¨áì ¢ [58, 141, 196℄. ‚ â ¡«. 4.4 㪠§ ­ë ¯®«ã祭­ë¥
¢ íâ¨å à ¡®â å १ã«ìâ âë à áç¥â á।­¨å ç¨á¥« ˜¥à¢ã¤ .
‚ á«ãç ¥ ⢥म© áä¥à¨ç¥áª®© ç áâ¨æë, ®¡â¥ª ¥¬®© ¯à®¨§¢®«ì­ë¬ «¨­¥©­ë¬ ¤¥ä®à¬ 樮­­ë¬ ᤢ¨£®¢ë¬ ¯®â®ª®¬, ¡ë« ¯à¥¤«®¥­ ¨­â¥à¯®«ï樮­­ ï ä®à¬ã« ¤«ï á।­¥£® ç¨á« ˜¥à¢ã¤ [196℄
Sh = 0,9 Pe1M/3 ,

(4.8.1)

£¤¥ ¬®¤¨ä¨æ¨à®¢ ­­®¥ ç¨á«® Ǒ¥ª«¥ PeM ®¯à¥¤¥«¥­® á ¯®¬®éìî
¢â®à®£® ¨­¢ ਠ­â ⥭§®à ᤢ¨£ J2 á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬:
PeM =

a2 J2
,
D

£¤¥

J2

= (Gkm Gkm )1/2 .

(4.8.2)

‡¤¥áì ¯® ®¡®¨¬ ¨­¤¥ªá
p ¬ k , m ¢¥¤¥âáï á㬬¨à®¢ ­¨¥. ᫨ Gkm = 0
¯à¨ k =
6 m, â® J2 = (G11 )2 + (G22 )2 + (G33 )2 .
„«ï ®á¥á¨¬¬¥âà¨ç­®£® ¨ ¯«®áª®£® ᤢ¨£®¢®£® â¥ç¥­¨ï (á¬.
â ¡«. 4.4) ¯®£à¥è­®áâì ä®à¬ã«ë (4.8.1) á®áâ ¢«ï¥â ¬¥­¥¥ 1%.
‚ á«ãç ¥ áä¥à¨ç¥áª®© ª ¯«¨ ¢ ¯à®¨§¢®«ì­®¬ ¤¥ä®à¬ 樮­­®¬ «¨­¥©­®¬ ᤢ¨£®¢®¬ ¯®â®ª¥ ¯à¨ «¨¬¨â¨àãî饬 ᮯà®â¨¢«¥­¨¨ ᯫ®è­®© ä §ë ¤«ï à áç¥â á।­¥£® ç¨á« ˜¥à¢ã¤ ¬®­® ¨á¯®«ì§®¢ âì
¨­â¥à¯®«ï樮­­ãî § ¢¨á¨¬®áâì [141℄
Sh = 0,62



PeM
β+1

1/2

,

(4.8.3)

170

Œ áá®®¡¬¥­ ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ á ¯®â®ª®¬

£¤¥ PeM ®¯à¥¤¥«¥­® ¢ (4.8.2); §­ 祭¨¥ β = 0 ᮮ⢥âáâ¢ã¥â £ §®¢®¬ã
¯ã§ëàî.
„«ï ®á¥á¨¬¬¥âà¨ç­®£® ¨ ¯«®áª®£® ᤢ¨£®¢®£® â¥ç¥­¨ï (á¬.
â ¡«. 4.4) ¯®£à¥è­®áâì ¢ëà ¥­¨ï (4.8.3) á®áâ ¢«ï¥â ¬¥­¥¥ 1%.

‘ä¥à¨ç¥áª ï ç áâ¨æ ¢ ¤¥ä®à¬ 樮­­®¬ ᤢ¨£®¢®¬ ¯®â®ª¥ ¯à¨ 0 6 Pe < ∞.  áᬮâਬ á­ ç « ®á¥á¨¬¬¥âà¨ç­ë© ᤢ¨£®-

¢ë© ¯®â®ª, ª®£¤ à §¬¥à­ë¥ ª®¬¯®­¥­âë ¢¥ªâ®à ᪮à®á⨠¨¤ª®áâ¨
¢¤ «¨ ®â ç áâ¨æë ¢ ¤¥ª à⮢®© á¨á⥬¥ ª®®à¤¨­ â X1 , X2 , X3 ¨¬¥îâ
¢¨¤


~ = (V , V , V ) = − 1 GX , − 1 GX , GX ,
V
1 2 3
1
2
3
2
2
£¤¥ ®¡®§­ 祭® G = G33 .
¥§ã«ìâ âë ç¨á«¥­­ëå à áç¥â®¢ á।­¥£® ç¨á« ˜¥à¢ã¤ ¤«ï áä¥à¨ç¥áª®© ç áâ¨æë, ®¡â¥ª ¥¬®© ®á¥á¨¬¬¥âà¨ç­ë¬ ᤢ¨£®¢ë¬ áâ®ªá®¢ë¬ (¯à¨ Re → 0) ¯®â®ª®¬, ¢® ¢á¥¬ ¤¨ ¯ §®­¥ ¨§¬¥­¥­¨ï ç¨á«
Ǒ¥ª«¥ å®à®è® ¯¯à®ªá¨¬¨àãîâáï ¢ëà ¥­¨¥¬ (4.7.9), ¢ ª®â®à®¥ á«¥¤ã¥â ¯®¤áâ ¢¨âì ᨬ¯â®â¨ç¥áª®¥ §­ 祭¨¥ Shp∞ ¨§ ¢¥àå­¥© áâப¨
â ¡«. 4.4. ‚ ¨â®£¥ ¯®«ã稬 § ¢¨á¨¬®áâì
Shp = 0,5 + (0,125 + 0,745 Pe)1/3 ,

(4.8.4)

¬ ªá¨¬ «ì­ ï ¯®£à¥è­®áâì ª®â®à®© á®áâ ¢«ï¥â 3%.
„«ï ¯à®¨§¢®«ì­®£® ¤¥ä®à¬ 樮­­®£® ᤢ¨£®¢®£® â¥ç¥­¨ï
(Gkm = Gmk ) á।­¥¥ ç¨á«® ˜¥à¢ã¤ ¤«ï ⢥म© áä¥àë ¬®­® ¢ëç¨á«ïâì ¯® ­ «®£¨ç­®© ä®à¬ã«¥:
Shp = 0,5 + (0,125 + 0,729 PeM )1/3 ,

(4.8.5)

£¤¥ ¬®¤¨ä¨æ¨à®¢ ­­®¥ ç¨á«® Ǒ¥ª«¥ PeM ¢¢®¤¨âáï ᮣ« á­® (4.8.2).
„«ï ®á¥á¨¬¬¥âà¨ç­®£® ᤢ¨£ ¢ëà ¥­¨¥ (4.8.5) ¯¥à¥å®¤¨â ¢ (4.8.4).

‘ä¥à¨ç¥áª¨© ¯ã§ëàì ¢ ¤¥ä®à¬ 樮­­®¬ ᤢ¨£®¢®¬ ¯®â®ª¥ ¯à¨ 0 6 Pe < ∞. ‡ ¤ ç ® ¬ áá®®¡¬¥­¥ áä¥à¨ç¥áª®£® ¯ã§ëàï

¢ ®á¥á¨¬¬¥âà¨ç­®¬ ᤢ¨£®¢®¬ ¯®â®ª¥ ¯à¨ ¬ «ëå ç¨á« å ¥©­®«ì¤á ¢® ¢á¥¬ ¤¨ ¯ §®­¥ ¨§¬¥­¥­¨ï ç¨á¥« Ǒ¥ª«¥ à¥è « áì ç¨á«¥­­® ¢
à ¡®â¥ [92℄. ¥§ã«ìâ âë ¤«ï á।­¥£® ç¨á« ˜¥à¢ã¤ ¬®­® ¯¯à®ªá¨¬¨à®¢ âì § ¢¨á¨¬®áâìî (4.7.10), ¢ ¯à ¢ãî ç áâì ª®â®à®© á«¥¤ã¥â
¯®¤áâ ¢¨âì ᮮ⢥âáâ¢ãî饥 §­ 祭¨¥ ¨§ ¢â®à®© áâப¨ â ¡«. 4.4 ¯à¨
β = 0. ‚ ¨â®£¥ ¯®«ã稬 ä®à¬ã«ã
Shb = 0,6 + (0,16 + 0,48 Pe)1/2 ,

(4.8.6)

¬ ªá¨¬ «ì­ ï ¯®£à¥è­®áâì ª®â®à®© à ¢­ 3%.
Ž¡®¡é ï íâ® ¢ëà ¥­¨¥ ­ á«ãç © ¯à®¨§¢®«ì­®£® ¤¥ä®à¬ 樮­­®£® â¥ç¥­¨ï (Gkm = Gmk ), ¤«ï áä¥à¨ç¥áª®£® ¯ã§ëàï ¨¬¥¥¬
Shb = 0,6 + (0,16 + 0,384 PeM )1/2 ,

(4.8.7)

4.8. „¨ääã§¨ï ª ç áâ¨æ¥ ¢ ᤢ¨£®¢®¬ ¯®â®ª¥ ¯à¨ ¬ «ëå Re

171

£¤¥ ¯ à ¬¥âà PeM ®¯à¥¤¥«¥­ ¢ (4.8.2).

‘ä¥à¨ç¥áª ï ª ¯«ï ¢ ¤¥ä®à¬ 樮­­®¬ ᤢ¨£®¢®¬ ¯®â®ª¥ ¯à¨ 0 6 Pe < ∞. Ǒਠ㬥७­ëå ç¨á« å Ǒ¥ª«¥ á।­¥¥ ç¨á«®

˜¥à¢ã¤ ¤«ï ª ¯«¨ ¢ ®á¥á¨¬¬¥âà¨ç­®¬ ᤢ¨£®¢®¬ ¯®â®ª¥ ¯à¨ Re → 0
¢® ¢á¥¬ ¤¨ ¯ §®­¥ ¨§¬¥­¥­¨ï ¢ï§ª®á⥩ ä § ᮣ« á­® [92℄ ¬®­® ®¯à¥¤¥«ïâì ¯® ä®à¬ã«¥ (4.7.3), £¤¥ Shb ¨ Shp | ç¨á« ˜¥à¢ã¤ ¤«ï ¯ã§ëàï ¨ ⢥म© ç áâ¨æë, ª®â®àë¥ ¢ëç¨á«ïîâáï á ¯®¬®éìî ¢ëà ¥­¨©
(4.8.6) ¨ (4.8.4) ᮮ⢥âá⢥­­®. Ǒਠ0 6 Pe 6 100 (0 6 β 6 ∞) ¬ ªá¨¬ «ì­ ï ¯®£à¥è­®áâì 㪠§ ­­®© ä®à¬ã«ë ­ ¡«î¤ ¥âáï ¯à¨ Pe = 100
¨ á®áâ ¢«ï¥â ®ª®«® 1%. ‚ ¡®«¥¥ è¨à®ª®¬ ¤¨ ¯ §®­¥ 0 6 Pe 6 500 â ª®©
¬¥â®¤ à áç¥â á।­¥£® ç¨á« ˜¥à¢ã¤ ¤ ¥â ¬ ªá¨¬ «ì­ãî ¯®£à¥è­®áâì ®ª®«® 5%.
‚ á«ãç ¥ ®¡â¥ª ­¨ï áä¥à¨ç¥áª®© ª ¯«¨ ¯à®¨§¢®«ì­ë¬ ¤¥ä®à¬ 樮­­ë¬ ᤢ¨£®¢ë¬ ¯®â®ª®¬ ¯à¨ 0 6 PeM 6 200 ¢ ä®à¬ã«ã (4.7.3) ¤«ï
ç¨á« ˜¥à¢ã¤ á«¥¤ã¥â ¯®¤áâ ¢¨âì ¢ëà ¥­¨ï (4.8.5) ¨ (4.8.7).
Ǒਠ¡®«ìè¨å ç¨á« å Ǒ¥ª«¥ (Pe > 100) §­ 祭¨ï á।­¨å ç¨á¥«
˜¥à¢ã¤ ¤«ï ª ¯«¨ ¢ ®á¥á¨¬¬¥âà¨ç­®¬ ᤢ¨£®¢®¬ ¯®â®ª¥ å®à®è®
¯¯à®ªá¨¬¨àãîâáï ¯®«®¨â¥«ì­ë¬ ª®à­¥¬ ªã¡¨ç¥áª®£® ãà ¢­¥­¨ï
Pe
Sh3 − 0,478
(4.8.8)
Sh − 0,745 Pe = 0,
β+1
¬ ªá¨¬ «ì­ ï ¯®£à¥è­®áâì ª®â®à®£® ¯à¨ Pe > 100 ¨ ¢® ¢á¥¬ ¤¨ ¯ §®­¥
¨§¬¥­¥­¨ï ¢ï§ª®á⥩ ä § (0 6 β 6 ∞) á®áâ ¢«ï¥â 7% [92℄.
Ž¡®¡é¥­¨¥ í⮣® ãà ¢­¥­¨ï ­ á«ãç © ¯à®¨§¢®«ì­®£® ¤¥ä®à¬ 樮­­®£® ᤢ¨£®¢®£® ¯®â®ª ¨¬¥¥â ¢¨¤
Pe
Sh3 − 0,384 M Sh − 0,729 PeM = 0.
(4.8.9)
β+1
Ž¡ ãà ¢­¥­¨ï (4.8.8) ¨ (4.8.9) ¡ë«¨ ¢ë¢¥¤¥­ë á ¯®¬®éìî (4.7.10),
£¤¥ ¡ë« ãç⥭ á¢ï§ì (4.7.12).

’¥ç¥­¨ï á § ¬ª­ãâ묨 «¨­¨ï¬¨ ⮪ . „¨ääã§¨ï ª áä¥à¥, ᢮¡®¤­® ¢§¢¥è¥­­®© ¢ ¯à®á⮬ ¨ ¯à®¨§¢®«ì­®¬ ¯«®áª®¬
ᤢ¨£®¢ëå ¯®â®ª å. ˆáá«¥¤ã¥¬ ª®­¢¥ªâ¨¢­ë© ¬ áᮯ¥à¥­®á ª ¯®-

¢¥àå­®á⨠⢥म© áä¥àë, ᢮¡®¤­® ¢§¢¥è¥­­®© ¢ ¯à®¨§¢®«ì­®¬ ¯«®áª®¬ ᤢ¨£®¢®¬ á⮪ᮢ®¬ ¯®â®ª¥. ‚ í⮬ á«ãç ¥ à á¯à¥¤¥«¥­¨¥ ᪮à®á⥩ ¨¤ª®á⨠¢¤ «¨ ®â ç áâ¨æë § ¤ ¥âáï ä®à¬ã« ¬¨ (4.5.1) ¯à¨
Gk3 = G3k = 0 (k = 1, 2, 3). “ç¨âë¢ ï ­¥á¨¬ ¥¬®áâì ¨¤ª®áâ¨,
¯à¥¤áâ ¢¨¬ ⥭§®à ᤢ¨£ ¢ ¢¨¤¥ á㬬ë ᨬ¬¥âà¨ç­®£® ¨ ­â¨á¨¬¬¥âà¨ç­®£® ⥭§®à®¢, ª®â®àë¥ á®®â¢¥âáâ¢ãîâ ç¨áâ® ¤¥ä®à¬ 樮­­®©
¨ ç¨áâ® ¢à é ⥫쭮© á®áâ ¢«ïî騬 ¤¢¨¥­¨ï ¨¤ª®á⨠­ ¡¥áª®­¥ç­®áâ¨:
G11 G12 0
E1 E2 0
0 − 0
G21 G22 0 = E2 −E1 0 +
0 0 ,
(4.8.10)
0
0 0
0
0 0
0 0 0

172

Œ áá®®¡¬¥­ ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ á ¯®â®ª®¬

£¤¥
E1

= G11 = −G22 ,

E2

= 21 (G12 + G21 ),

= (G21 − G12 ).

‚ ®¡é¥¬ á«ãç ¥ ¯«®áª®£® ᤢ¨£ ⥭§®à kGij k ®¯à¥¤¥«ï¥âáï § ¤ ­¨¥¬
âà¥å ­¥§ ¢¨á¨¬ëå ¢¥«¨ç¨­ E1 , E2 , . Ǒà®á⮩ ᤢ¨£®¢ë© ¯®â®ª (â¥ç¥­¨¥ Šãíââ ) å à ªâ¥à¨§ã¥âáï §­ 祭¨ï¬¨ E1 = 0, E2 = − = 21 G12 .
‘ä¥à , ᢮¡®¤­® ¢§¢¥è¥­­ ï ¢ ¯«®áª®¬ ᤢ¨£®¢®¬ ¯®â®ª¥, § áç¥â
ãá«®¢¨ï ¯à¨«¨¯ ­¨ï ¨¤ª®á⨠­ ¯®¢¥àå­®á⨠¡ã¤¥â ¢à é âìáï á ¯®áâ®ï­­®© 㣫®¢®© ᪮à®áâìî , à ¢­®© ᪮à®á⨠¢à 饭¨ï ¯®â®ª ­
¡¥áª®­¥ç­®áâ¨. ¥è¥­¨¥ ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 âà¥å¬¥à­®© £¨¤à®¤¨­ ¬¨ç¥áª®© § ¤ ç¨ ®¡ ®¡â¥ª ­¨¨ ç áâ¨æë ¢ á⮪ᮢ®¬ ¯à¨¡«¨¥­¨¨ ¯à¨¢¥¤¥­® ¢ à ¡®â¥ [272℄.
„«ï ®¯¨á ­¨ï १ã«ìâ ⮢ à¥è¥­¨ï § ¤ ç¨ ® ¬ áá®®¡¬¥­¥ áä¥àë ¢
¯à®¨§¢®«ì­®¬ ¯«®áª®¬ ᤢ¨£®¢®¬ ¯®â®ª¥ ¯à¨ ¡®«ìè¨å ç¨á« å Ǒ¥ª«¥
¢¢¥¤¥¬ ¡¥§à §¬¥à­ë¥ ¢¥«¨ç¨­ë ¯® ä®à¬ã« ¬
E

=

E

,

Pe =

a2 E
,
D

E

= (E12 + E22 )1/2 .

(4.8.11)

Ǒਠ0 < | E | 6 1 ¢ ¯®â®ª¥ ¨¬¥îâáï ª ª § ¬ª­ãâë¥, â ª ¨ à §®¬ª­ãâë¥ «¨­¨¨ ⮪ ; ¯à¨ í⮬ áãé¥áâ¢ã¥â ¯à¨¬ëª îé ï ª ¯®¢¥àå­®á⨠ç áâ¨æë ®¡« áâì á § ¬ª­ãâ묨 «¨­¨ï¬¨ ⮪ , ¢¤ «¨ ®â áä¥àë
«¨­¨¨ ⮪ à §®¬ª­ãâë. ¥®¡å®¤¨¬® ®â¬¥â¨âì á«¥¤ãî饥 ¢ ­®¥ ®¡áâ®ï⥫ìá⢮: ¢­ãâਠ¯à¨¬ëª î饩 ª áä¥à¥ ®¡« áâ¨ á § ¬ª­ãâ묨
«¨­¨ï¬¨ ⮪ ­¥ ¯à®¨á室¨â ä®à¬¨à®¢ ­¨ï ¤¨ää㧨®­­®£® ¯®£à ­¨ç­®£® á«®ï ¯à¨ ¡®«ìè¨å ç¨á« å Ǒ¥ª«¥ (¤¨ää㧨®­­ë© ¯®£à ­¨ç­ë© á«®© ¢á¥£¤ ý¯®à®¤ ¥âáïþ ªà¨â¨ç¥áª¨¬¨ «¨­¨ï¬¨ ⮪ , ª®â®àë¥
¯à¨å®¤ïâ ¨§ ¡¥áª®­¥ç­®á⨠­ ¯®¢¥àå­®áâì ⥫ ).
‚ á«ãç ¥ 0 < | E | 6 1 ¯à¨ Pe → ∞ ¢ ®¡« á⨠á à §®¬ª­ãâ묨
«¨­¨ï¬¨ ⮪ ª®­æ¥­âà æ¨ï ¯®áâ®ï­­ ¨ à ¢­ ᢮¥¬ã §­ 祭¨î ­
¡¥áª®­¥ç­®áâ¨, à á¯à¥¤¥«¥­¨¥ ª®­æ¥­âà 樨 ¢ ®¡« áâ¨ á § ¬ª­ãâ묨 «¨­¨ï¬¨ ⮪ ¯à¥¤áâ ¢«ï¥âáï ¢ ¢¨¤¥ ॣã«ïà­®£® à §«®¥­¨ï ¯®
®¡à â­ë¬ á⥯¥­ï¬ ç¨á« Ǒ¥ª«¥:
c = c0 + Pe−1 c1 + · · ·

(Pe → ∞).

(4.8.12)

Ǒ®¤áâ ­®¢ª í⮣® àï¤ ¢ ãà ¢­¥­¨¥ ª®­¢¥ªâ¨¢­®© ¤¨ää㧨¨ (4.4.1)
á ¯®á«¥¤ãî騬 ¢ë¤¥«¥­¨¥¬ ç«¥­®¢ ¯à¨ ®¤¨­ ª®¢ëå á⥯¥­ïå ¬ «®£®
¯ à ¬¥âà Pe−1 ¯®ª §ë¢ ¥â, çâ® £« ¢­ë© ç«¥­ à §«®¥­¨ï 㤮¢«¥â¢®àï¥â ãà ¢­¥­¨î (~v · ∇)c0 = 0. Ǒ®í⮬㠪®­æ¥­âà æ¨ï c0 ¯à¨­¨¬ ¥â
¯®áâ®ï­­ë¥ §­ 祭¨ï ­ «¨­¨ïå ⮪ . Ž¤­ ª® í⮩ ¨­ä®à¬ 樨 ®ª §ë¢ ¥âáï ­¥¤®áâ â®ç­® ¤«ï ®¯à¥¤¥«¥­¨ï c0 . ‚믨áë¢ ï ãà ¢­¥­¨¥ ¤«ï
á«¥¤ãî饣® ç«¥­ à §«®¥­¨ï c1 ¨ ¨­â¥£à¨àãï ¥£® ¤ «¥¥ ¯® § ¬ª­ãâë¬ «¨­¨ï¬ ⮪ [272℄, ¬®­® ¢ë¢¥á⨠ãà ¢­¥­¨¥ í««¨¯â¨ç¥áª®£® ⨯ ¤«ï ä㭪樨 c0 . ‘ ãç¥â®¬ áâàãªâãàë à §«®¥­¨ï ª®­æ¥­âà 樨 c

173

4.9. „¨ääã§¨ï ª ç áâ¨æ¥ ¢ ¯®áâ㯠⥫쭮-ᤢ¨£®¢®¬ ¯®â®ª¥

¨ ®â¬¥ç¥­­ëå ᢮©á⢠ä㭪樨 c0 ¬®­® ᤥ« âì ®ç¥­ì ¢ ­ë© ®¡é¨© ª ç¥á⢥­­ë© ¢ë¢®¤: ¢ â¥å á«ãç ïå, ª®£¤ ç áâ¨æ (ª ¯«ï) ®ªà㥭 ®¡« áâìî â¥ç¥­¨ï á § ¬ª­ãâ묨 «¨­¨ï¬¨ ⮪ , á।­¥¥ ç¨á«®
˜¥à¢ã¤ ¯à¨ Pe → ∞ áâ६¨âáï ª ­¥ª®â®à®¬ã ª®­¥ç­®¬ã ¯®áâ®ï­­®¬ã §­ 祭¨î, â.¥. ¢ë¯®«­ï¥âáï à ¢¥­á⢮
lim Sh = onst 6= ∞.

(4.8.13)

Pe→∞

â® ¯à¥¤¥«ì­®¥ ᢮©á⢮ á।­¥£® ç¨á« ˜¥à¢ã¤ ª®à¥­­ë¬ ®¡à §®¬ ®â«¨ç ¥âáï ®â ᮮ⢥âáâ¢ãî饣® ¯®¢¥¤¥­¨ï ¢¥«¨ç¨­ë Sh ¯à¨ ­ «¨ç¨¨ ®á®¡ëå £¨¤à®¤¨­ ¬¨ç¥áª¨å â®ç¥ª, ª®£¤ á।­¥¥ ç¨á«® ˜¥à¢ã¤ ­¥®£à ­¨ç¥­­® ¢®§à á⠥⠯ਠPe → ∞ (á¬., ­ ¯à¨¬¥à, ä®à¬ã«ë
(4.8.4) ¨ (4.8.6)).
¥§ã«ìâ âë ­ «¨§ § ¤ ç¨ ® ¬ áá®®¡¬¥­¥ áä¥àë, ᢮¡®¤­® ¢§¢¥è¥­­®© ¢ ¯à®¨§¢®«ì­®¬ ¯«®áª®¬ ᤢ¨£®¢®¬ ¯®â®ª¥ ¯à¨ ¡®«ìè¨å ç¨á« å Ǒ¥ª«¥, ¯à¨¢®¤¨â ª á«¥¤ãî饩 ¤¢ãåç«¥­­®© ᨬ¯â®â¨ª¥ ¤«ï
á।­¥£® ç¨á« ˜¥à¢ã¤ ¯à¨ ¬ «ëå §­ 祭¨ïå 㣫®¢®© ᪮à®á⨠¢à 饭¨ï [272℄
Sh = 10,35 |

−1
E|

− 3,5 + O(

E

)

¯à¨

|

E|

→ 0.

—¨á«¥­­ë¥ à áç¥âë [272℄, ¯à®¢¥¤¥­­ë¥ ¢ ¤¨ ¯ §®­¥ 0 < |
¯à¨ Pe → ∞, å®à®è® ¯¯à®ªá¨¬¨àãîâáï § ¢¨á¨¬®áâìî
Sh = 10,35 |

−1
E|

− 3,5 + |

E|

− 3,4 2E ,

(4.8.14)
E|

6

1

(4.8.15)

¬ ªá¨¬ «ì­ ï ¯®£à¥è­®áâì ª®â®à®© á®áâ ¢«ï¥â ¬¥­¥¥ 3%.
„«ï ¯à®á⮣® ᤢ¨£ | E | = 1 ¢ëç¨á«¥­¨¥ ¯® ä®à¬ã«¥ (4.8.15)
¯à¨¢®¤¨â ª §­ 祭¨î Sh = 4,45, ç⮠ᮢ¯ ¤ ¥â á ¤ ­­ë¬¨ [272℄.
4.9. „¨ääã§¨ï ª áä¥à¥ ¢ ¯®áâ㯠⥫쭮ᤢ¨£®¢®¬ ¯®â®ª¥ ¨ ¯®â®ª¥ á
¯ à ¡®«¨ç¥áª¨¬ ¯à®ä¨«¥¬

Ǒ®áâ㯠⥫쭮-ᤢ¨£®¢®¥ â¥ç¥­¨¥.  áᬮâਬ ¬ áá®®¡¬¥­
⢥म© áä¥à¨ç¥áª®© ç áâ¨æë, ®¡â¥ª ¥¬®© ¯®áâ㯠⥫쭮-ᤢ¨£®¢ë¬
¯®â®ª®¬, ª®£¤ ¯®«¥ â¥ç¥­¨ï ­ ¡®«ìè¨å à ááâ®ï­¨ïå ®â ç áâ¨æë
¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© á㯥௮§¨æ¨î ¯®áâ㯠⥫쭮£® ¯®â®ª ᮠ᪮à®áâìî Ui ¨ ®á¥á¨¬¬¥âà¨ç­®£® ¤¥ä®à¬ 樮­­®£® ᤢ¨£®¢®£® â¥ç¥­¨ï,
¯à¨ç¥¬ ¯®áâ㯠⥫ì­ë© ¯®â®ª ­ ¯à ¢«¥­ ¢¤®«ì ®á¨ ¤¥ä®à¬ 樮­­®£® â¥ç¥­¨ï. ‚ í⮬ á«ãç ¥ ¢ ¯àאַ㣮«ì­®© ¤¥ª à⮢®© á¨á⥬¥ ª®®à¤¨­ â, á¢ï§ ­­®© á 業â஬ ç áâ¨æë, à §¬¥à­ë¥ ª®¬¯®­¥­âë ¢¥ªâ®à
᪮à®á⨠¨¤ª®á⨠¢¤ «¨ ®â ç áâ¨æë ¨¬¥îâ ¢¨¤
~
V

= (V1 , V2 , V3 ) =



− 12 GX1 , − 12 GX2 , Ui + GX3 .

(4.9.1)

174

Œ áá®®¡¬¥­ ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ á ¯®â®ª®¬

‚ á⮪ᮢ®¬ ¯à¨¡«¨¥­¨¨ äã­ªæ¨ï ⮪ ¤«ï â¥ç¥­¨ï (4.9.1)
à ¢­ á㬬¥ ä㭪権 ⮪ , ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å ®¡â¥ª ­¨î ª ¤ë¬ ¨§
á®áâ ¢«ïîé¨å â¥ç¥­¨© ¢ ®â¤¥«ì­®áâ¨.
Œ áá®®¡¬¥­ ⢥म© áä¥à¨ç¥áª®© ç áâ¨æë á ¯®áâ㯠⥫쭮-ᤢ¨£®¢ë¬ ¯®â®ª®¬ (4.9.1) ¯à¨ ¡®«ìè¨å ç¨á« å Ǒ¥ª«¥ ¨áá«¥¤®¢ «áï ¢ à ¡®â¥ [67℄. „«ï á।­¥£® ç¨á« ˜¥à¢ã¤ , ª®â®à®¥ § ¢¨á¨â ®â ¯ à ¬¥â஢
Pe = aUi /D,

ω

= 5a|G|/Ui,

(4.9.2)

¡ë«¨ ¯®«ã祭ë á«¥¤ãî騥 ¢ëà ¥­¨ï:
¯à¨ 0 6 ω 6 1:
!

r

Sh = 0,206 (ω + 1)1/3 f

2ω
Pe1/3 ,
ω+1

(4.9.3)

¯à¨ 1 6 ω :
Sh=

0,103
ω

"

r

(ω − 1)4/3 f

ω−1
2ω

!

+ (ω + 1)4/3 f

r

ω+1
2ω

!#

‡¤¥áì
f (k ) =



8 (1 − k2 )(2 − k2 )
16
K (k ) −
15
k4
15

k4 − k2 + 1
E (k )
k4

Pe1/3 .
(4.9.4)

2/3

,

£¤¥ K (k) ¨ E (k) | ¯®«­ë¥ í««¨¯â¨ç¥áª¨¥ ¨­â¥£à «ë ¯¥à¢®£® ¨ ¢â®à®£® த ᮮ⢥âá⢥­­®.
‘।­¥¥ ç¨á«® ˜¥à¢ã¤ ¤«ï áä¥à¨ç¥áª®© ª ¯«¨, ®¡â¥ª ¥¬®© ¯®áâ㯠⥫쭮-ᤢ¨£®¢ë¬ â¥ç¥­¨¥¬ (4.9.1) ¯à¨ «¨¬¨â¨àãî饬 ᮯà®â¨¢«¥­¨¨ ᯫ®è­®© ä §ë ¨ ¡®«ìè¨å ç¨á« å Ǒ¥ª«¥, ¢ëç¨á«ï¥âáï ¯®
ä®à¬ã« ¬ [58℄:
¯à¨ 0 6 ω 6 5/3:


2 Pe
Sh =
3π(β + 1)

1/2

(4.9.5)

,

¯à¨ 5/3 6 ω :


Pe
Sh =
8π(β + 1)

1/2 "

1+

5
3ω


3/2 

+ 1−

5
3ω

3ω
5

−

3/2 

1
3

1/2

+

3ω 1
+
5
3

1/2 #
,

(4.9.6)

4.10. Œ áá®®¡¬¥­ ­¥áä¥à¨ç¥áª¨å ç áâ¨æ ¨ ¯ã§ë३ á ¯®â®ª®¬

175

£¤¥ ¯ à ¬¥âàë Pe ¨ ω ¢ë¯¨á ­ë ¢ (4.9.2).
‚¨¤­®, çâ® ¯à¨ ¨§¬¥­¥­¨¨ ¢¥«¨ç¨­ë ω ç¨á«® ˜¥à¢ã¤ ¯à¨
0 6 ω 6 5/3 ®áâ ¥âáï ¯®áâ®ï­­ë¬, á®åà ­ïï §­ 祭¨¥, à ¢­®¥ ç¨á«ã ˜¥à¢ã¤ ¢ á«ãç ¥ ®¤­®à®¤­®£® ¯®áâ㯠⥫쭮£® ¯®â®ª , ¨ à áâ¥â
á à®á⮬ ω ¯à¨ ω > 5/3.
Ǒਠ¯®áâ஥­¨¨ ¯à¨¡«¨¥­­ëå § ¢¨á¨¬®á⥩ ¤«ï ç¨á« ˜¥à¢ã¤ ¢ á«ãç ¥ ¯®áâ㯠⥫쭮-ᤢ¨£®¢®£® ®¡â¥ª ­¨ï ç áâ¨æ ¨ ¯ã§ë३
¢® ¢á¥¬ ¤¨ ¯ §®­¥ ç¨á¥« Ǒ¥ª«¥ ¬®­® ¢®á¯®«ì§®¢ âìáï ä®à¬ã« ¬¨
(4.7.9) ¨ (4.7.10), £¤¥ ¢ ª ç¥á⢥ Shp∞ ¨ Shb∞ á«¥¤ã¥â ¢§ïâì ¯à ¢ë¥
ç áâ¨ à ¢¥­á⢠(4.9.3), (4.9.4) ¨ (4.9.5), (4.9.6) ¯à¨ β = 0.

‘ä¥à ¢ ¯®â®ª¥ á ¯ à ¡®«¨ç¥áª¨¬ ¯à®ä¨«¥¬ ᪮à®áâ¨.

 áᬮâਬ ¤¨ääã§¨î ª ¯®¢¥àå­®á⨠⢥म© áä¥à¨ç¥áª®© ç áâ¨æë
à ¤¨ãá a, 㢫¥ª ¥¬®© â¥ç¥­¨¥¬ Ǒã §¥©«ï ¢¤®«ì ®á¨ ªà㣫®© âàã¡ë
à ¤¨ãá L. ‘ç¨â ¥¬, ç⮠᪮à®áâì ç áâ¨æë ᮢ¯ ¤ ¥â ᮠ᪮à®áâìî
¨¤ª®á⨠­ ®á¨ ¯®â®ª ¨ ¢ë¯®«­¥­® ­¥à ¢¥­á⢮ a ≪ L. ‚ í⮬
á«ãç ¥ à á¯à¥¤¥«¥­¨¥ ᪮à®á⥩ ¨¤ª®á⨠¢¤ «¨ ®â áä¥àë ¨¬¥¥â
¯ à ¡®«¨ç¥áª¨© ¯à®ä¨«ì
~ → ~e H (X 2 + X 2 ),
V
1
2
3

(4.9.7)

£¤¥ X1 , X2 , X3 | ¤¥ª à⮢ á¨á⥬ ª®®à¤¨­ â, á¢ï§ ­­ ï á 業â஬
ç áâ¨æë; ®áì X3 ­ ¯à ¢«¥­ ¯® ®á¨ âàã¡ë; e~3 | ®à⠮ᨠX3 ; ¯ à ¬¥âà H å à ªâ¥à¨§ã¥â ªà¨¢¨§­ã ¯à®ä¨«ï ᪮à®á⨠­ ®á¨ ᨬ¬¥âਨ
¨ § ¢¨á¨â ®â à á室 ¨¤ª®áâ¨.
‘।­¥¥ ç¨á«® ˜¥à¢ã¤ , ᮮ⢥âáâ¢ãî饥 á⮪ᮢã (¯à¨ Re → 0)
®¡â¥ª ­¨î áä¥àë ¯ à ¡®«¨ç¥áª¨¬ â¥ç¥­¨¥¬ (4.9.7), ¯à¨ ¡®«ìè¨å
ç¨á« å Ǒ¥ª«¥ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ä®à¬ã«®© [60℄
Sh = 0,957 Pe1/3 ,

(4.9.8)

£¤¥ Pe = a3 H/D.
4.10. Œ áá®®¡¬¥­ ­¥áä¥à¨ç¥áª¨å ç áâ¨æ ¨
¯ã§ë३ á ¯®áâ㯠⥫ì­ë¬ ¯®â®ª®¬

««¨¯á®¨¤ «ì­ ï ç áâ¨æ .  áᬮâਬ ¤¨ääã§¨î ª ¯®¢¥àå­®á⨠⢥म© í««¨¯á®¨¤ «ì­®© ç áâ¨æë ¢ ®¤­®à®¤­®¬ ¯®áâ㯠⥫쭮¬ á⮪ᮢ®¬ ¯®â®ª¥ (Re → 0). — áâ¨æ ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© í««¨¯á®¨¤ ¢à 饭¨ï á ¯®«ã®áﬨ a ¨ b, ®à¨¥­â¨à®¢ ­­ë¬¨ ¢¤®«ì ¨ ¯®¯¥à¥ª
¯®â®ª ᮮ⢥âá⢥­­® (b | íª¢ â®à¨ «ì­ë© à ¤¨ãá). ‚¢¥¤¥¬ á«¥¤ãî騥 ®¡®§­ 祭¨ï:
χ = b/a,

ae

= aχ2/3 , Pee = ae Ui/D,

(4.10.1)

176

Œ áá®®¡¬¥­ ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ á ¯®â®ª®¬

£¤¥ ae | à ¤¨ãá íª¢¨¢ «¥­â­®© ¯® ®¡ê¥¬ã áä¥àë, ª®â®à ï ¢ë¡¨à « áì
§¤¥áì ¢ ª ç¥á⢥ å à ªâ¥à­®£® ¬ áèâ ¡ ¤«¨­ë.
¥§à §¬¥à­ë© ¨­â¥£à «ì­ë© ¤¨ää㧨®­­ë© ¯®â®ª ­ ¯®¢¥àå­®áâì í««¨¯á®¨¤ «ì­®© ç áâ¨æë ¯à¨ ¡®«ìè¨å ç¨á« å Ǒ¥ª«¥ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¯® ä®à¬ã«¥ [297℄
I

= 7,85 K (χ) Pee1/3 ,

(4.10.2)

£¤¥ ª®íää¨æ¨¥­â ä®à¬ë K ¢ëç¨á«ï¥âáï â ª:

 4 1/3
χ2 − 2
−2/9
1
2
/3
K (χ) =
χ
1+ p 2
(χ − 1)
3
χ −1


 4 1/3
2 − χ2
−2/9
2
1
/3
p
K (χ) =
χ
(1 − χ )
3
2 1 − χ2

ln

ar

−1/3
p
2
tg χ − 1

¯à¨ χ > 1,
p
−1/3
1 + p1 − χ2
−1
1 − 1 − χ2
¯à¨

χ 6 1.
(4.10.3)
Ǒਠχ = 1 ¨¬¥¥¬ K = 1, ¨ ä®à¬ã« (4.10.2) ¯®á«¥ ¤¥«¥­¨ï ­ 4π
¯¥à¥å®¤¨â ¢ १ã«ìâ â ¤«ï ç¨á« ˜¥à¢ã¤ ¢ á«ãç ¥ ⢥म© áä¥àë
(4.6.8).
‚ ¨­â¥à¢ «¥ 0,5 6 χ 6 3,0 ª®íää¨æ¨¥­â ä®à¬ë å®à®è® ¯¯à®ªá¨¬¨àã¥âáï ¢ëà ¥­¨¥¬ [60℄
2 (χ − 1),
K (χ) = 1 + 45

(4.10.4)

¬ ªá¨¬ «ì­ ï ¯®£à¥è­®áâì ª®â®à®£® á®áâ ¢«ï¥â 0,8%.
‘।­¥¥ ç¨á«® ˜¥à¢ã¤ ¢ëç¨á«ï¥âáï ¯® ä®à¬ã«¥ Sh = I/S , £¤¥
S | ¡¥§à §¬¥à­ ï ¯«®é ¤ì ¯®¢¥àå­®áâ¨ í««¨¯á®¨¤ ¢à 饭¨ï:
S
S

=
=

2π

χ1/3

2π

χ1/3

χ+
χ+

!
p
χ + χ2 − 1
p
p
ln
2 χ2 − 1 χ − χ2 − 1
!
p
1
p
ar sin 1 − χ2
1 − χ2

1

¯à¨

χ > 1,

(4.10.5)
¯à¨

χ 6 1.

¥§à §¬¥à­ ï ¢¥«¨ç¨­ S ¢ëà  ¥âáï ç¥à¥§ à §¬¥à­ãî ¯«®é ¤ì
¯®¢¥àå­®áâ¨ í««¨¯á®¨¤ S∗ á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬: S = S∗ /a2e .
Ǒਠ®¡â¥ª ­¨¨ í««¨¯á®¨¤ «ì­®© ç áâ¨æë ¯®áâ㯠⥫ì­ë¬ áâ®ªá®¢ë¬ ¯®â®ª®¬ ¯à¨ «î¡ëå ç¨á« å Ǒ¥ª«¥ á।­¥¥ ç¨á«® ˜¥à¢ã¤ (®¯à¥¤¥«¥­­®¥ ¯® ae ) ¬®­® ¢ëç¨á«ïâì á ¯®¬®éìî ¯à¨¡«¨¥­­®© § ¢¨á¨¬®á⨠[219℄
Sh = 0,5

1
S




ae



+

1
S



0,125




ae

3





+ 7,85 K (χ) 3 Pee

1/3

,

(4.10.6)

4.10. Œ áá®®¡¬¥­ ­¥áä¥à¨ç¥áª¨å ç áâ¨æ ¨ ¯ã§ë३ á ¯®â®ª®¬

177

£¤¥ ä ªâ®à ä®à¬ë  ¯à¨¢¥¤¥­ ¢® ¢â®à®© ¨ âà¥â쥩 áâப å â ¡«. 4.2,
¢¥«¨ç¨­ë Pee , K , S ¢ë¯¨á ­ë ᮮ⢥âá⢥­­® ¢ (4.10.1), (4.10.3)
¨ (4.10.4).
‚ à ¡®â¥ [257℄ á ¯®¬®éìî ª®­¥ç­®-à §­®áâ­ëå ç¨á«¥­­ëå ¬¥â®¤®¢
¨áá«¥¤®¢ « áì ®á¥á¨¬¬¥âà¨ç­ ï § ¤ ç ® ¬ áá®®¡¬¥­¥ í««¨¯á®¨¤ «ì­®© ç áâ¨æë á ¯®áâ㯠⥫ì­ë¬ áâ®ªá®¢ë¬ ¯®â®ª®¬.  áᬠâਢ «¨áì
¤¢ á«ãç ï, ª®£¤ ¤«¨­ ®à¨¥­â¨à®¢ ­­®© ¢¤®«ì ¯®â®ª ¯®«ã®á¨ ç áâ¨æë ¡ë« ¢ ¯ïâì à § ¡®«ìè¥ ¨ ¢ ¯ïâì à § ¬¥­ìè¥ ¤«¨­ë ¯®«ã®á¨,
­ ¯à ¢«¥­­®© ¯®¯¥à¥ª â¥ç¥­¨ï. ˆ§ १ã«ìâ ⮢ ç¨á«¥­­®£® à¥è¥­¨ï
[257℄ ᮣ« á­® ¤ ­­ë¬ [219℄ á«¥¤ã¥â, çâ® ¬ ªá¨¬ «ì­ ï ¯®£à¥è­®áâì
ä®à¬ã«ë (4.10.6) ¤«ï í««¨¯á®¨¤ «ì­®© ç áâ¨æë ¢ 㪠§ ­­ëå á«ãç ïå
­¥ ¯à¥¢®á室¨â 10%.
”®à¬ã«ë (4.10.2) ¨ (4.10.4) áâ ­®¢ïâáï ­¥¯à¨£®¤­ë¬¨ ¤«ï ᨫ쭮
ᯫîá­ã⮣® (χ ≫ 1) ¨ ᨫ쭮 ¢ëâï­ã⮣® (χ ≪ 1) í««¨¯á®¨¤
¢à 饭¨ï.
Šà㣮¢®© â®­ª¨© ¤¨áª ¯à¨ ¡®«ìè¨å ç¨á« å Ǒ¥ª«¥. ‘«ãç © χ → ∞ (â.¥. a → 0, b = onst) ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¤¨ää㧨¨ ª ¯®¢¥àå­®á⨠⮭ª®£® ªà㣮¢®£® ¤¨áª à ¤¨ãá b, à ᯮ«®¥­­®£® ¯®¯¥à¥ª
®¤­®à®¤­®-¯®áâ㯠⥫쭮£® á⮪ᮢ ¯®â®ª .
Žâ¬¥â¨¬ ¤¢ áãé¥á⢥­­ëå ®â«¨ç¨ï à á¯à¥¤¥«¥­¨ï ¤¨ää㧨®­­®£® ¯®â®ª ¯® ¯®¢¥àå­®á⨠¤¨áª ¯® áà ¢­¥­¨î á à á¯à¥¤¥«¥­¨¥¬
¤¨ää㧨®­­®£® ¯®â®ª ¤«ï áä¥àë ¯à¨ ¡®«ìè¨å ç¨á« å Ǒ¥ª«¥. ‚®¯¥à¢ëå, ¯à¨ 㤠«¥­¨¨ ®â ¯¥à¥¤­¥© ªà¨â¨ç¥áª®© â®çª¨ (â®çª¨ ­ ⥪ ­¨ï) ¢¤®«ì ¯®¢¥àå­®á⨠¤¨áª «®ª «ì­ë© ¤¨ää㧨®­­ë© ¯®â®ª ¬®­®â®­­® ¢®§à áâ ¥â, ­¥ 㬥­ìè ¥âáï, ª ª íâ® ¨¬¥«® ¬¥áâ® ¢ á«ãç ¥
áä¥àë. ‚®-¢â®àëå, ¤¨ää㧨®­­ë© ¯®â®ª ­ ¤¨áª ®ª §ë¢ ¥âáï ¯à®¯®à樮­ «ì­ë¬ ç¨á«ã Ǒ¥ª«¥ ¢ á⥯¥­¨ 1/4, ­¥ 1/3, ª ª ¡ë«® ¯®«ã祭® à ­¥¥ ¤«ï ⢥म© áä¥àë. ’ ª®¥ á­¨¥­¨¥ ¤¨ää㧨®­­®£® ¯®â®ª ®¡ãá«®¢«¥­® áãé¥á⢥­­® ¡®«¥¥ ¨­â¥­á¨¢­ë¬ â®à¬®¥­¨¥¬ ¯®â®ª
¨¤ª®á⨠¢¡«¨§¨ ¤¨áª .
¥§à §¬¥à­ë© ¨­â¥£à «ì­ë© ¤¨ää㧨®­­ë© ¯®â®ª ­ ¯¥à¥¤­îî
ç áâì ¤¨áª ¯à¨ Pe → ∞ à ¢¥­ [60, 145℄
I

= 3,66 Peb1/4 ,

Peb = bUi /D.

(4.10.7)

‚ [257℄ ¯à¨¢¥¤¥­ë १ã«ìâ âë ç¨á«¥­­ëå à áç¥â®¢ á।­¥£® ç¨á«
˜¥à¢ã¤ ¤«ï ¤¨áª ¯à¨ à §«¨ç­ëå ç¨á« å Ǒ¥ª«¥ ¨ ¥©­®«ì¤á .

„¥ä®à¬¨à®¢ ­­ë© £ §®¢ë© ¯ã§ëàì ¯à¨ ¡®«ìè¨å ç¨á« å
¥©­®«ì¤á .  áᬮâਬ ¤¨ääã§¨î ª ¯ã§ëàî, ¢á¯«ë¢ î饬㠢

¨¤ª®á⨠¯à¨ ¡®«ìè¨å ç¨á« å ¥©­®«ì¤á . ”®à¬ ¯ã§ëàï áãé¥á⢥­­® § ¢¨á¨â ®â ¢¥«¨ç¨­ë ç¨á« ‚¥¡¥à We, ª®â®à®¥ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬:
We = aeρUi2/σ,
(4.10.8)

178

Œ áá®®¡¬¥­ ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ á ¯®â®ª®¬

£¤¥ ae | à ¤¨ãá áä¥àë, ®¡ê¥¬ ª®â®à®© à ¢¥­ ®¡ê¥¬ã ¯ã§ëàï, Ui |
ãáâ ­®¢¨¢è ïáï ᪮à®áâì ¯ã§ëàï, ρ | ¯«®â­®áâì ¨¤ª®áâ¨, σ |
ª®íää¨æ¨¥­â ¯®¢¥àå­®áâ­®£® ­ â省¨ï.
Ǒਠ¬ «ëå We ä®à¬ ¯ã§ëàï ¡«¨§ª ª áä¥à¨ç¥áª®©; ¯à¨ ¡®«ìè¨å We ¯ã§ëàì ¯à¨­¨¬ ¥â ¢¨¤ áä¥à¨ç¥áª®£® ᥣ¬¥­â , çâ® á¢ï§ ­®
â ª¥ á ¥­¨ï¬¨ ®âàë¢ ¢ ª®à¬®¢®© ç áâ¨.
‡­ 祭¨ï ç¨á¥« ‚¥¡¥à ¯®à浪 ¥¤¨­¨æë á®áâ ¢«ïîâ ¢ ­ãî ¤«ï
¯à ªâ¨ª¨ ¯à®¬¥ãâ®ç­ãî ®¡« áâì ¨§¬¥­¥­¨ï We, ª®£¤ ¯ã§ëàì, ¡ã¤ãç¨ áãé¥á⢥­­® ¤¥ä®à¬¨à®¢ ­­ë¬, á®åà ­ï¥â ᨬ¬¥âà¨î ®â­®á¨â¥«ì­® ᢮¥£® ¬¨¤¥«¥¢ á¥ç¥­¨ï. „«ï â ª¨å §­ 祭¨© We ä®à¬ ¯ã§ëàï å®à®è® ¯¯à®ªá¨¬¨àã¥âáï ᯫîá­ãâë¬ ¢ ­ ¯à ¢«¥­¨¨ ¯®â®ª
í««¨¯á®¨¤®¬ ¢à 饭¨ï á ¯®«ã®áﬨ a ¨ b = χa, £¤¥ ¯®«ã®áì b ®à¨¥­â¨à®¢ ­ ¯®¯¥à¥ª ¯®â®ª ¨ χ > 1.
’ॡ®¢ ­¨¥ ¢ë¯®«­¥­¨ï £à ­¨ç­®£® ãá«®¢¨ï ¤«ï ­®à¬ «ì­ëå ­ ¯à省¨© ¢ ¯¥à¥¤­¥© ¨ § ¤­¥© ªà¨â¨ç¥áª¨å â®çª å, â ª¥ ¢¤®«ì
£à ­¨æë ¬¨¤¥«¥¢ á¥ç¥­¨ï ¯ã§ëàï ¯à¨¢®¤¨â ª á«¥¤ãî饩 § ¢¨á¨¬®á⨠¬¥¤ã ç¨á«®¬ ‚¥¡¥à We ¨ ®â­®è¥­¨¥¬ χ ¡®«ì让 ¨ ¬ «®© ¯®«ã®á¨ í««¨¯á®¨¤ [261℄:
We = 2χ−4/3 (χ3 + χ − 2)

 2
χ ar

se

χ − (χ2 − 1)1/2

2

(χ − 1)−3 .

—¨á«¥­­ë¥ ®æ¥­ª¨ [261℄ ¯®ª §ë¢ îâ, çâ® ¬ ªá¨¬ «ì­®¥ ®âª«®­¥­¨¥ ¨á⨭­®© ªà¨¢¨§­ë ®â ᮮ⢥âáâ¢ãî饣® §­ 祭¨ï ¤«ï ¯¯à®ªá¨¬¨àãî饣® í««¨¯á®¨¤ ­¥ ¯à¥¢ëè ¥â 5% ¯à¨ We 6 1 (χ 6 1,5) ¨ 10%
¯à¨ We 6 1,4 (χ 6 2).
„«ï ®¡ëç­ëå ¨¤ª®á⥩ ⨯ ¢®¤ë ¤¥ä®à¬ æ¨î ¯ã§ëàï á«¥¤ã¥â
¯à¨­¨¬ âì ¢® ¢­¨¬ ­¨¥, ­ 稭 ï á Re ∼ 102 , £¤¥ Re = ae Ui/ν | ç¨á«®
¥©­®«ì¤á , ν | ª¨­¥¬ â¨ç¥áª ï ¢ï§ª®áâì.
¥§à §¬¥à­ë© ¨­â¥£à «ì­ë© ¤¨ää㧨®­­ë© ¯®â®ª, ᮮ⢥âáâ¢ãî騩 ¯®â¥­æ¨ «ì­®¬ã ®¡â¥ª ­¨î í««¨¯á®¨¤ «ì­®£® ¯ã§ëàï
(Re = ∞), ¯à¨ ¡®«ìè¨å ç¨á« å Ǒ¥ª«¥ ¢ëç¨á«ï¥âáï ¯® ä®à¬ã«¥ [66℄
I

= 4(2π)1/2 (χ)χ−1/3 Pe1/2 ,

Pe = ae Ui /D,

(4.10.9)

£¤¥
(χ) =



2
3

1/2

(χ2 − 1)3/4
χ2/3



ar

(χ2 − 1)1/2
tg(χ2 − 1)1/2 −
χ2

−1/2

.

„«ï áä¥à¨ç¥áª®£® ¯ã§ëàï ¢ (4.10.9) á«¥¤ã¥â ¯®«®¨âì χ = 1 ¨
(1) = 1. Ǒਠ1 6 χ 6 2 äã­ªæ¨î (χ) ¬®­® ¯¯à®ªá¨¬¨à®¢ âì
¯à®áâë¬ ¢ëà ¥­¨¥¬
= 0,5 (χ + 1), ¯®£à¥è­®áâì ª®â®à®£® ­¥
¯à¥¢ëè ¥â 3%.

4.10. Œ áá®®¡¬¥­ ­¥áä¥à¨ç¥áª¨å ç áâ¨æ ¨ ¯ã§ë३ á ¯®â®ª®¬

179

„¢ãåç«¥­­®¥ à §«®¥­¨¥ ¡¥§à §¬¥à­®£® ¨­â¥£à «ì­®£® ¯®â®ª I ,
¯®«ã祭­®¥ ¢ ¯à¨¡«¨¥­¨¨ ¤¨ää㧨®­­®£® ¯®£à ­¨ç­®£® á«®ï á ãç¥â®¬ ¯®¯à ¢®ª (¯® ç¨á«ã ¥©­®«ì¤á ) ª ¯®â¥­æ¨ «ì­®¬ã ¯®«î ®¡â¥ª ­¨ï ¯ã§ëàï, ¨¬¥¥â ¢¨¤
I



= 4(2π)1/2 (χ)χ−1/3 1 − Re−1/2

1 (χ)χ

1/3 1/2 Pe1/2 .

(4.10.10)

‡¤¥áì 1 | äã­ªæ¨ï ®â­®è¥­¨ï ¯®«ã®á¥© ¯ã§ëàï, ª®â®à ï à ááç¨âë¢ « áì ç¨á«¥­­® ¢ [66℄. ǑਠRe → ∞ ä®à¬ã« (4.10.10) ¯¥à¥å®¤¨â ¢
(4.10.9). „«ï áä¥à¨ç¥áª®£® ¯ã§ëàï χ = 1 ¢ ¢ëà ¥­¨¨ (4.10.10) á«¥¤ã¥â ¯®«®¨âì 1 (1) = 2,05 [318℄. ‚ ®¡« á⨠1 6 χ 6 2 (We 6 1,4) ¤«ï 1
¬®­® ¨á¯®«ì§®¢ âì ¯à¨¡«¨¥­­®¥ ¢ëà ¥­¨¥
1 (χ) = 0,2 (χ

2 + 3χ + 6),

(4.10.11)

¬ ªá¨¬ «ì­®¥ ®âª«®­¥­¨¥ ®â â®ç­ëå §­ 祭¨© ¯à¨ í⮬ ­¥ ¯à¥¢ëè ¥â 3%.
‘।­¥¥ ç¨á«® ˜¥à¢ã¤ ¤«ï í««¨¯á®¨¤ «ì­®£® ¯ã§ëàï ¢ëç¨á«ï¥âáï á ¯®¬®éìî (4.10.10) ¯® ä®à¬ã«¥ Sh = I/S , £¤¥ ¡¥§à §¬¥à­ ï ¯«®é ¤ì ¯®¢¥àå­®á⨠S à ááç¨âë¢ ¥âáï ¯ã⥬ ¨á¯®«ì§®¢ ­¨ï ¢¥àå­¥£®
¢ëà ¥­¨ï (4.10.5).

Ž¡é¨¥ ä®à¬ã«ë ¤«ï à áç¥â á।­¥£® ç¨á« ˜¥à¢ã¤ ¢
á«ãç ¥ £« ¤ª¨å ç áâ¨æ ¯à®¨§¢®«ì­®© ä®à¬ë. ‚ à ¡®â¥ [207℄

¡ë«® ¤®ª § ­® á«¥¤ãî饥 ®¡é¥¥ ã⢥थ­¨¥ ¤«ï á«ãç ï ®¡â¥ª ­¨ï
ç áâ¨æë ¯à®¨§¢®«ì­®© ä®à¬ë ®¤­®à®¤­ë¬ ¯®áâ㯠⥫ì­ë¬ áâ®ªá®¢ë¬ (Re → 0) ¯®â®ª®¬ ¨«¨ ¯®â¥­æ¨ «ì­ë¬ â¥ç¥­¨¥¬: á।­¥¥ ç¨á«®
˜¥à¢ã¤ ­¥ ¬¥­ï¥âáï, ¥á«¨ ¨§¬¥­¨âì ­ ¯à ¢«¥­¨¥ ¤¢¨¥­¨ï ¨¤ª®á⨠­ ®¡à â­®¥.
Ǒãáâì ®áì ⥫ ¢à 饭¨ï á®áâ ¢«ï¥â 㣮« ω á ­ ¯à ¢«¥­¨¥¬ ᪮à®á⨠¯®áâ㯠⥫쭮£® ¯®â®ª ­ ¡¥áª®­¥ç­®áâ¨. ‚ [278℄ ¤«ï á।­¥£®
ç¨á« ˜¥à¢ã¤ ¡ë« ¢ë¢¥¤¥­ ¯à¨¡«¨¥­­ ï ä®à¬ã«
Sh = Shk os2 ω + Sh⊥ sin2 ω,

(4.10.12)

£¤¥ Shk ¨ Sh⊥ | á।­¨¥ ç¨á« ˜¥à¢ã¤ , ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 ¯ à ««¥«ì­®¬ã (ω = 0) ¨ ¯¥à¯¥­¤¨ªã«ïà­®¬ã (ω = π/2) à ᯮ«®¥­¨î ⥫
¢à 饭¨ï ¢ ¯®â®ª¥.
Ǒਠ¬ «ëå ç¨á« å Ǒ¥ª«¥ ¤«ï ¯®áâ㯠⥫쭮£® á⮪ᮢ ®¡â¥ª ­¨ï
⥫ ¢à 饭¨ï ¯à®¨§¢®«ì­®© ä®à¬ë ¢ëà ¥­¨¥ (4.10.12) ᮢ¯ ¤ ¥â á
â®ç­ë¬ ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨¬ १ã«ìâ ⮬ ¤® âà¥å ¯¥à¢ëå ç«¥­®¢ à §«®¥­¨ï ¢ª«îç¨â¥«ì­® [278℄. ’ ª ª ª ¤«ï ç áâ¨æë áä¥à¨ç¥áª®© ä®à¬ë
à ¢¥­á⢮ (4.10.12) ¢ë¯®«­ï¥âáï ⮤¥á⢥­­® ¤«ï «î¡ëå ç¨á¥« Ǒ¥ª«¥, â® á«¥¤ã¥â ®¨¤ âì, çâ® ¤«ï ç áâ¨æ, ä®à¬ ª®â®àëå ¡«¨§ª ª
áä¥à¨ç¥áª®©, ¯à¨¡«¨¥­­ ï ä®à¬ã« (4.10.12) ¡ã¤¥â ¤ ¢ âì å®à®è¨¥

180

Œ áá®®¡¬¥­ ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ á ¯®â®ª®¬

१ã«ìâ âë ­¥ ⮫쪮 ¤«ï ¬ «ëå, ­® ¨ ¤«ï ¯à®¬¥ãâ®ç­ëå ¨ ¡®«ìè¨å
ç¨á¥« Ǒ¥ª«¥.
Ǒਠ®¡â¥ª ­¨¨ £« ¤ª¨å ç áâ¨æ «î¡®© ä®à¬ë ¯à®¨§¢®«ì­ë¬ áâ 樮­ à­ë¬ ¢ï§ª¨¬ â¥ç¥­¨¥¬ (¯à¨ ®âáãâá⢨¨ § ¬ª­ãâëå «¨­¨© ⮪ )
á।­¥¥ ç¨á«® ˜¥à¢ã¤ ¢® ¢á¥¬ ¤¨ ¯ §®­¥ ç¨á¥« Ǒ¥ª«¥ ¬®­® ¢ëç¨á«¨âì ¯® ¯à¨¡«¨¥­­®© ä®à¬ã«¥ [72℄
Sh = 0,5 Sh0 + (0,125 Sh30 + Sh3∞ )1/3 ,

(4.10.13)

ª®â®à ï ¢ë¢®¤¨âáï ¬¥â®¤®¬ ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨å ­ «®£¨© ¨§ (4.7.1). ‚
ª ç¥á⢥ ¢á¯®¬®£ ⥫ì­ëå ¢¥«¨ç¨­ Sh0 ¨ Sh∞ ¢ (4.10.13) á«¥¤ã¥â
¯®¤áâ ¢«ïâì £« ¢­ë¥ ç«¥­ë ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨å à §«®¥­¨© á।­¥£®
ç¨á« ˜¥à¢ã¤ ¯à¨ ¬ «ëå ¨ ¡®«ìè¨å ç¨á« å Ǒ¥ª«¥, ᮮ⢥âá⢥­­®.
(‚ᥠ¢¥«¨ç¨­ë Sh, Sh0 ¨ Sh∞ ¢ (4.10.13) ®¯à¥¤¥«¥­ë á ¯®¬®éìî ®¤­®£®
¨ ⮣® ¥ å à ªâ¥à­®£® ¬ áèâ ¡ ¤«¨­ë.)
„«ï ç áâ¨æ áä¥à¨ç¥áª®© ä®à¬ë ¨¬¥¥¬ Sh0 = 1 (§ ¬ áèâ ¡
¤«¨­ë ¢ë¡à ­ à ¤¨ãá), ¨ ¢ëà ¥­¨¥ (4.10.13) ¯¥à¥å®¤¨â ¢ (4.7.9).
Ǒ®¤áâ ­®¢ª ¢ (4.10.13) ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å §­ 祭¨© Sh0 ¨ Sh∞ ¤«ï
ç áâ¨æ í««¨¯á®¨¤ «ì­®© ä®à¬ë ¢ ¯®áâ㯠⥫쭮¬ á⮪ᮢ®¬ ¯®â®ª¥
¯à¨¢®¤¨â ª ä®à¬ã«¥ (4.10.6).
Ǒਠ¯à®¤®«ì­®¬ ®¡â¥ª ­¨¨ ¢ë¯ãª«ëå ⥫ ¢à 饭¨ï ¤®áâ â®ç­®
£« ¤ª®© ä®à¬ë ¯®áâ㯠⥫ì­ë¬ áâ®ªá®¢ë¬ ¯®â®ª®¬ ¯®£à¥è­®áâì E
(¢ ¯à®æ¥­â å, %) § ¢¨á¨¬®á⨠¤«ï á।­¥£® ç¨á« ˜¥à¢ã¤ (4.10.13)
¯à¨¡«¨¥­­® ¬®­® ®æ¥­¨âì â ª:
E 0,5 á।­¥¥ ç¨á«® ˜¥à¢ã¤ ¯à¨ ¯®¯¥à¥ç­®¬ ®¡â¥ª ­¨¨
樫¨­¤à®¢ à §«¨ç­®© ä®à¬ë ¢ è¨à®ª®¬ ¤¨ ¯ §®­¥ ¨§¬¥­¥­¨ï ç¨á¥«

182

Œ áá®®¡¬¥­ ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ á ¯®â®ª®¬

’€‹ˆ–€ 4.5
‡­ 祭¨ï ª®íää¨æ¨¥­â®¢ A ¨ m ¢ ä®à¬ã«¥ (4.11.2)
¤«ï ¯®¯¥à¥ç­® ®¡â¥ª ¥¬ëå áâ¥à­¥© à §«¨ç­®© ä®à¬ë
”®à¬ á¥ç¥­¨ï áâ¥à­ï
(®¡â¥ª ­¨¥ á«¥¢ ­ ¯à ¢®)

Re

A

m

0,05 ÷ 2
2÷4
4 ÷ 500
500 ÷ 2,5 · 103
2,5 · 103 ÷ 2,5 · 104
2,5 · 104 ÷ 105

0,640
0,556
0,381
0,430
0,142
0,0168

0,305
0,41
0,47
0,47
0,60
0,80

2,5 · 103 ÷ 5 · 104

0,162

0,588

1,25 · 103 ÷ 2,5 · 103
2,5 · 103 ÷ 5 · 104

0,116
0,0672

0,699
0,675

2,5 · 103 ÷ 5 · 104

0,101

0,638

2,5 · 103 ÷ 9,8 · 103
9,8 · 103 ÷ 5 · 104

0,105
0,0255

0,638
0,782

¥©­®«ì¤á ¬®­® ®¯à¥¤¥«ïâì á ¯®¬®éìî ä®à¬ã«ë, ¯®«ã祭­®© ­
®á­®¢¥ ®¡à ¡®âª¨ íªá¯¥à¨¬¥­â «ì­ëå ¤ ­­ëå [93℄
Sh = A S

0,37 Rem ,

(4.11.2)

£¤¥ §­ 祭¨ï ª®íää¨æ¨¥­â®¢ A, m 㪠§ ­ë ¢ â ¡«. 4.5.

„¨ääã§¨ï ª ªà㣮¢®¬ã 樫¨­¤àã ¢ ᤢ¨£®¢®¬ ¯®â®ª¥.

‡ ªà¥¯«¥­­ë© 樫¨­¤à.  áᬮâਬ ¤¨ääã§¨î ª ¯®¢¥àå­®áâ¨
§ ªà¥¯«¥­­®£® ªà㣮¢®£® 樫¨­¤à , ®¡â¥ª ¥¬®£® áâ 樮­ à­ë¬ «¨­¥©­ë¬ ᤢ¨£®¢ë¬ áâ®ªá®¢ë¬ (Re → 0) ¯®â®ª®¬ ¢ ¯«®áª®áâ¨, ­®à¬ «ì­®© ª ®á¨ 樫¨­¤à .  á¯à¥¤¥«¥­¨¥ ᪮à®á⥩ â ª®£® â¥ç¥­¨ï
¢¤ «¨ ®â 樫¨­¤à ¢ ®¡é¥¬ á«ãç ¥ ¬®¥â ¡ëâì ¯à¥¤áâ ¢«¥­® ä®à¬ã«®© (2.7.8)
¨ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï § ¤ ­¨¥¬ âà¥å ¢¥«¨ç¨­ E1 , E2 , . Ǒ à ¬¥âà
p
2
E = E1 + E22 å à ªâ¥à¨§ãîâ ¨­â¥­á¨¢­®áâì ç¨áâ® ¤¥ä®à¬ 樮­­®©
á®áâ ¢«ïî饩 ¤¢¨¥­¨ï,
®â¢¥ç ¥â § ¢à 饭¨¥ ¨¤ª®áâ¨. Š ç¥á⢥­­ ï ª à⨭ ®¡â¥ª ­¨ï 樫¨­¤à ᤢ¨£®¢ë¬ ¯®â®ª®¬ § ¢¨á¨â ®â
¢¥«¨ç¨­ë ®â­®è¥­¨ï ¯ à ¬¥âà E = E/ .
Ž¡â¥ª ­¨¥ § ªà¥¯«¥­­®£® 樫¨­¤à ¯à®¨§¢®«ì­ë¬ ᤢ¨£®¢ë¬
áâ®ªá®¢ë¬ ¯®â®ª®¬ ®¯¨áë¢ ¥âáï ä㭪権 ⮪ (2.7.9). Ž£à ­¨ç¨¬áï

4.11. Œ áá®®¡¬¥­ 樫¨­¤à á ¯®áâ㯠⥫ì­ë¬ ¨ ᤢ¨£®¢ë¬ ¯®â®ª®¬

183

­ «¨§®¬ á«ãç ï 0 6 | E | 6 1, ª®£¤ ­ ¯®¢¥àå­®á⨠樫¨­¤à ¨¬¥îâáï ç¥âëॠªà¨â¨ç¥áª¨¥ â®çª¨.  à¨á. 2.10 ª ç¥á⢥­­® ¨§®¡à ¥­ë
«¨­¨¨ ⮪ ¤«ï ç¨áâ® ¤¥ä®à¬ 樮­­®£® (¯à¨ E = 0) ¨ ¯à®á⮣® ᤢ¨£®¢®£® (¯à¨ E = 1) â¥ç¥­¨©.
‚ à ¡®â¥ [141℄ ¢ ¯à¨¡«¨¥­¨¨ ¤¨ää㧨®­­®£® ¯®£à ­¨ç­®£® á«®ï
(Pe ≫ 1) ¡ë«® ¯®«ã祭® à¥è¥­¨¥ ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 § ¤ ç¨ ® ¬ áá®®¡¬¥­¥ ªà㣮¢®£® 樫¨­¤à á ¯à®¨§¢®«ì­ë¬ ᤢ¨£®¢ë¬ ¯®â®ª®¬. ë«®
¯®ª § ­®, çâ® à®á⠡᮫îâ­®© ¢¥«¨ç¨­ë 㣫®¢®© ᪮à®á⨠¢à 饭¨ï ᤢ¨£®¢®£® ¯®â®ª
¯à¨¢®¤¨â ª ­¥¡®«ì讬ã á­¨¥­¨î ¨­â¥­á¨¢­®á⨠¬ áá®- ¨ ⥯«®®¡¬¥­ 樫¨­¤à á ®ªàã î饩 ¨¤ª®áâìî.
¥§ã«ìâ âë à¥è¥­¨ï ¤«ï á।­¥£® ç¨á« ˜¥à¢ã¤ å®à®è® ¯¯à®ªá¨¬¨àãîâáï á«¥¤ãî饩 § ¢¨á¨¬®áâìî:
Sh = (0,92 − 0,012 |

) Pe1/3 ,

E|

Pe = a2 E/D,

(4.11.3)

¬ ªá¨¬ «ì­ ï ¯®£à¥è­®áâì ª®â®à®© ¯à¨ 0 6 | E | 6 1 á®áâ ¢«ï¥â
®ª®«® 0,5%.
ˆ§ ¢ëà ¥­¨ï (4.11.3) á«¥¤ã¥â, çâ® á।­¥¥ ç¨á«® ˜¥à¢ã¤ ®ç¥­ì
á« ¡® ¬¥­ï¥âáï ¢ à áᬠâਢ ¥¬®¬ ¤¨ ¯ §®­¥ −1 6 E 6 +1 (®â­®á¨â¥«ì­®¥ ¯à¨à 饭¨¥ á।­¥£® ç¨á« ˜¥à¢ã¤ ¯à¨ 㢥«¨ç¥­¨¨ | E |
®â ­ã«ï ¤® ¥¤¨­¨æë á®áâ ¢«ï¥â ¢á¥£® 1,3%). ‚ ç áâ­ëå á«ãç ïå ç¨áâ®
¤¥ä®à¬ 樮­­®£® ( E = 0) ¨ ¯à®á⮣® (| E | = 1) «¨­¥©­®£® ᤢ¨£®¢®£®
®¡â¥ª ­¨ï ªà㣮¢®£® 樫¨­¤à ä®à¬ã« (4.11.3) ¯¥à¥å®¤¨â ¢ १ã«ìâ âë à ¡®â [271, 272℄.
C¢®¡®¤­® ¢à é î騩áï 樫¨­¤à.  áᬮâਬ ⥯¥àì ª®­¢¥ªâ¨¢­ë© ¬ áᮯ¥à¥­®á ª ¯®¢¥àå­®á⨠ªà㣮¢®£® 樫¨­¤à , ᢮¡®¤­®
¢§¢¥è¥­­®£® ¢ ¯à®¨§¢®«ì­®¬ «¨­¥©­®¬ ᤢ¨£®¢®¬ á⮪ᮢ®¬ (Re → 0)
¯®â®ª¥. ‚ ᨫã ãá«®¢¨ï ¯à¨«¨¯ ­¨ï 樫¨­¤à ¡ã¤¥â ¢à é âìáï á ¯®áâ®ï­­®© 㣫®¢®© ᪮à®áâìî, à ¢­®© ᪮à®á⨠¢à 饭¨ï ¯®â®ª ­
¡¥áª®­¥ç­®áâ¨.  á¯à¥¤¥«¥­¨¥ ᪮à®á⥩ ¨¤ª®á⨠®¯¨áë¢ ¥âáï ¢ëà ¥­¨ï¬¨ (2.6.12). ‘âàãªâãà «¨­¨© ⮪ â ª®£® â¥ç¥­¨ï ª ç¥á⢥­­®
®â«¨ç ¥âáï áâàãªâãàë «¨­¨© ⮪ ¤«ï á«ãç ï § ªà¥¯«¥­­®£® 樫¨­¤à .  ¯®¢¥àå­®á⨠樫¨­¤à ¯à¨ 6= 0 ®âáãâáâ¢ãîâ ªà¨â¨ç¥áª¨¥
â®çª¨ ¨ áãé¥áâ¢ã¥â ¤¢ ª ç¥á⢥­­® à §«¨ç­ëå ⨯ â¥ç¥­¨ï. Ǒà¨
0 < | E | < 1 ¢ ¯®â®ª¥ ¨¬¥îâáï ª ª § ¬ª­ãâë¥, â ª ¨ à §®¬ª­ãâë¥
«¨­¨¨ ⮪ ; ¯à¨ í⮬ ª ¯®¢¥àå­®á⨠樫¨­¤à ¯à¨¬ëª ¥â ®¡« áâì á
¯®«­®áâìî § ¬ª­ãâ묨 «¨­¨ï¬¨ ⮪ , ¢¤ «¨ ®â 樫¨­¤à «¨­¨¨
⮪ à §®¬ª­ãâë (à¨á. 2.11). Ǒਠ| E | > 1 ¢á¥ «¨­¨¨ ⮪ § ¬ª­ãâë.
‚ § ¤ ç¥ ® ¬ áá®®¡¬¥­¥ ªà㣮¢®£® 樫¨­¤à , ᢮¡®¤­® ¢§¢¥è¥­­®£® ¢ «¨­¥©­®¬ ᤢ¨£®¢®¬ ¯®â®ª¥, ­¥ ¯à®¨á室¨â ä®à¬¨à®¢ ­¨ï ¤¨ää㧨®­­®£® ¯®£à ­¨ç­®£® á«®ï ¢¡«¨§¨ ¥£® ¯®¢¥àå­®á⨠¯à¨ Pe → ∞.
 á¯à¥¤¥«¥­¨¥ ª®­æ¥­âà 樨 ¨é¥âáï ¢ ¢¨¤¥ ॣã«ïà­®£® ᨬ¯â®â¨ç¥áª®£® à §«®¥­¨ï ¯® ®¡à â­ë¬ á⥯¥­ï¬ ç¨á« Ǒ¥ª«¥ (4.8.12).
‘।­¥¥ ç¨á«® ˜¥à¢ã¤ ®áâ ¥âáï ª®­¥ç­ë¬ ¯à¨ Pe → ∞. â® ®¡ã-

184

Œ áá®®¡¬¥­ ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ á ¯®â®ª®¬

á«®¢«¥­® ⥬, çâ® ®¡« áâì § ¬ª­ã⮩ æ¨àªã«ï樨 ¡«®ª¨àã¥â ª®­¢¥ªâ¨¢­ë© ¬ áá®- ¨ ⥯«®¯¥à¥­®á ª 樫¨­¤àã, ¢ १ã«ìâ ⥠¯¥à¥­®á ¢¥é¥á⢠¨ ⥯« ª ¢à é î饩áï ¯®¢¥àå­®á⨠®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¢ ®á­®¢­®¬ ¬®«¥ªã«ïà­®© ¤¨ää㧨¥©, ­ ¯à ¢«¥­­®© ®à⮣®­ «ì­® ª «¨­¨ï¬
⮪ . Ǒਠí⮬ ª®­æ¥­âà æ¨ï ¯®áâ®ï­­ ­ ª ¤®© «¨­¨¨ ⮪ (­
à §­ëå «¨­¨ïå ⮪ ¡ã¤¥â à §«¨ç­ ï ª®­æ¥­âà æ¨ï).
„«ï ¯à®á⮣® ᤢ¨£ ᨬ¯â®â¨ç¥áª®¥ §­ 祭¨¥ á।­¥£® ç¨á«
˜¥à¢ã¤ ¯à¨ ¡®«ìè¨å ç¨á« å Ǒ¥ª«¥ ¡ë«® ¢ëç¨á«¥­® ¢ à ¡®â¥ [230℄:
Sh = 2,87

(|

E|

= 1).

(4.11.4)

Ǒਠ¬ «ëå 㣫®¢ëå ᪮à®áâïå ¢à 饭¨ï ¯®â®ª á â®ç­®áâìî ¤®
ç«¥­®¢ ¯®à浪 E ¡ë«® ¯®«ã祭® á«¥¤ãî饥 ¤¢ãåç«¥­­®¥ à §«®¥­¨¥ [272℄:
Sh = 7,79 | E |−1 − 2,97
(| E | → 0).
(4.11.5)
€á¨¬¯â®â¨ç¥áª¨¥ ¢ëà ¥­¨ï (4.11.4), (4.11.5) ᮮ⢥âáâ¢ãîâ á«ãç î ¡¥áª®­¥ç­® ¡®«ìè¨å ç¨á¥« Ǒ¥ª«¥, ¯à¨ç¥¬ à §«®¥­¨¥ (4.11.5)
¨¬¥¥â ®á®¡¥­­®áâì ¯à¨ E = 0. ‚¬¥á⥠á ⥬ á«ãç © E = 0 ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ç¨áâ® ¤¥ä®à¬ 樮­­®¬ã â¥ç¥­¨î, ª®£¤ 樫¨­¤à ®áâ ¥âáï
­¥¯®¤¢¨­ë¬, ­¥§ ¢¨á¨¬® ®â ⮣®, § ªà¥¯«¥­ ®­ ¨«¨ ­¥â. Ǒ®í⮬㠯à¨
E = 0 ¬®­® ¨á¯®«ì§®¢ âì ä®à¬ã«ã (4.11.3), ª®â®à ï ¨ ¤ ¥â ¢ í⮬
á«ãç ¥ ᨬ¯â®â¨ç¥áª®¥ ¢ëà ¥­¨¥ ¤«ï á।­¥£® ç¨á« ˜¥à¢ã¤ ¯à¨
Pe ≫ 1. ‘®¯®áâ ¢«¥­¨¥ í⮩ ä®à¬ã«ë á ¢ëà ¥­¨¥¬ (4.11.5) ¯®ª §ë¢ ¥â, ç⮠१ã«ìâ â (4.11.5) ¯à¨¬¥­¨¬ ¯à¨ §­ 祭¨ïå 㣫®¢®© ᪮à®áâ¨
¢à 饭¨ï ¯®â®ª , 㤮¢«¥â¢®àïîé¨å ãá«®¢¨î O(Pe−1/3 ) < | E | 6 1.
“ª § ­­ë¬ ¢ëè¥ á¨¬¯â®â¨ç¥áª¨¬ à¥è¥­¨ï¬ (4.11.3) (¯à¨
E = 0), (4.11.4), (4.11.5) 㤮¢«¥â¢®àï¥â á«¥¤ãîé ï § ¢¨á¨¬®áâì á।­¥£® ç¨á« ˜¥à¢ã¤ ®â ç¨á« Ǒ¥ª«¥ ¨ ¯ à ¬¥âà E :
Sh =

7,78

−1/3

8,46 Pe

+|

E|

− 2,97 − 1,94 |

3.

E|

(4.11.6)

âã § ¢¨á¨¬®áâì ¬®­® à áᬠâਢ âì ª ª ¯à¨¡«¨¥­­ãî ä®à¬ã«ã
¤«ï ®¯à¥¤¥«¥­¨ï Sh ¯à¨ ¡®«ìè¨å ç¨á« å Ǒ¥ª«¥ ¨ ¢á¥å §­ 祭¨ïå
| E | 6 1.
Š ª ¯®ª §ë¢ ¥â áà ¢­¥­¨¥ á ç¨á«¥­­ë¬¨ १ã«ìâ â ¬¨ [272℄, ¬ ªá¨¬ «ì­ ï ¯®£à¥è­®áâì § ¢¨á¨¬®á⨠(4.11.6) ¯à¨ Pe = ∞ ­¥ ¯à¥¢ëè ¥â 5%.
Žâ¬¥â¨¬, ç⮠㢥«¨ç¥­¨¥ 㣫®¢®© ᪮à®á⨠¯®â®ª , ª ª ¨ ¢ á«ãç ¥
§ ªà¥¯«¥­­®£® 樫¨­¤à , ¯à¨¢®¤¨â ª á­¨¥­¨î ¨­â¥­á¨¢­®á⨠¬ áá®®¡¬¥­ .
ªá¯¥à¨¬¥­â «ì­ ï ¯à®¢¥àª [289℄ ­¥§ ¢¨á¨¬®á⨠®â ç¨á« Ǒ¥ª«¥
£« ¢­®£® ç«¥­ ᨬ¯â®â¨ç¥áª®£® à §«®¥­¨ï á।­¥£® ç¨á« ˜¥à¢ã¤ ¯à¨ Pe ≫ 1 ¤«ï ᢮¡®¤­® ¢à é î饣®áï ªà㣮¢®£® 樫¨­¤à ¢

4.11. Œ áá®®¡¬¥­ 樫¨­¤à á ¯®áâ㯠⥫ì­ë¬ ¨ ᤢ¨£®¢ë¬ ¯®â®ª®¬

185

’¥¯«®®¡¬¥­ 樫¨­¤à ¯à®¨§¢®«ì­®© ä®à¬ë á ¯®áâ㯠⥫ì­ë¬ ¯®â®ª®¬:
) ¨á室­ ï ¯àאַ㣮«ì­ ï á¨á⥬ ª®®à¤¨­ â, ¡) ¯«®áª®áâì ­®¢ëå ¯¥à¥¬¥­­ëå
ϕ, ψ
¨á. 4.3.

¯®«¥ ¯à®á⮣® ᤢ¨£ (| E | = 1) ¤ « å®à®è¥¥ ª ç¥á⢥­­®¥ ¨ ª®«¨ç¥á⢥­­®¥ ¯®¤â¢¥à¤¥­¨¥ ⥮à¥â¨ç¥áª¨å १ã«ìâ ⮢ [230℄. ˆ§¬¥à¥­­®¥
§­ 祭¨¥ á।­¥£® ç¨á« ˜¥à¢ã¤ á®áâ ¢¨«® 2,65, çâ® ¡«¨§ª® ª ᮮ⢥âáâ¢ãî饬ã ᨬ¯â®â¨ç¥áª®¬ã §­ 祭¨î (4.11.4).
ˆ§ ¢ëà ¥­¨© ¤«ï ä㭪樨 ⮪ á«¥¤ã¥â, çâ® ¯à¨ | E | > 1 ¢á¥ «¨­¨¨ ⮪ § ¬ª­ãâë ¨ ®ªàã îâ 樫¨­¤à. “ª § ­­ë© á«ãç © à áᬠâਢ «áï ¢ [272℄ ¨ å à ªâ¥à¨§ã¥âáï ¬ «ë¬¨ §­ 祭¨ï¬¨ ç¨á« ˜¥à¢ã¤ . â®â १ã«ìâ â ®§­ ç ¥â, çâ® ­ «¨ç¨¥ ¢ ¯®â®ª¥ ⮫쪮 § ¬ª­ãâëå
«¨­¨© ⮪ ¯à ªâ¨ç¥áª¨ ¯®«­®áâìî â®à¬®§¨â ¬ áᮯ¥à¥­®á ª ¯®¢¥àå­®á⨠樫¨­¤à .

Š®­¢¥ªâ¨¢­ë© ⥯«®®¡¬¥­ 樫¨­¤à¨ç¥áª¨å ⥫ ¯à®¨§¢®«ì­®© ä®à¬ë á ¨¤ª¨¬¨ ¬¥â «« ¬¨ (¬®¤¥«ì ¨¤¥ «ì­®©
¨¤ª®áâ¨). ‚ ⥮ਨ ⥯«®®¡¬¥­ ¨¤ª¨å ¬¥â ««®¢ (Pr ≪ 1) ¯®«¥

â¥ç¥­¨ï ®¡ëç­® à áᬠâਢ ¥âáï ­ ®á­®¢¥ ¬®¤¥«¨ ¨¤¥ «ì­®© ¨¤ª®á⨠[19℄, ¯®áª®«ìªã ¤¨­ ¬¨ç¥áª¨© ¯®£à ­¨ç­ë© á«®© £«ã¡®ª® ýã⮯«¥­þ ¢ ⥯«®¢®¬. —¨á« Ǒ¥ª«¥ ¢ í⮬ á«ãç ¥, ¢®®¡é¥ £®¢®àï, ¬®£ãâ
¡ëâì ­¥¤®áâ â®ç­® ¢¥«¨ª¨ ¤«ï ¨á¯®«ì§®¢ ­¨ï ¯à¨¡«¨¥­¨ï ⥯«®¢®£® ¯®£à ­¨ç­®£® á«®ï.
 áᬮâਬ ¯«®áªãî § ¤ çã ® ⥯«®®¡¬¥­¥ 樫¨­¤à á ª®­âã஬
¯®¯¥à¥ç­®£® á¥ç¥­¨ï , ®¡â¥ª ¥¬®£® ¢ ¯®¯¥à¥ç­®¬ ­ ¯à ¢«¥­¨¨ ¯«®áª®¯ à ««¥«ì­ë¬ ¯®â®ª®¬ ¨¤¥ «ì­®© ­¥á¨¬ ¥¬®© ¨¤ª®á⨠ᮠ᪮à®áâìî Ui . ’¥¬¯¥à âãà 樫¨­¤à áç¨â ¥âáï ¯®áâ®ï­­®© ¨ à ¢­®© Ts ,
⥬¯¥à âãà ¨¤ª®á⨠­ ¡¥áª®­¥ç­®á⨠| à ¢­®© Ti . ˆá¯®«ì§ã¥¬
¯àאַ㣮«ì­ãî á¨á⥬㠪®®à¤¨­ â X , Y , £¤¥ ®áì X ­ ¯à ¢«¥­ ¢¤®«ì
¯®â®ª (à¨á. 4.3).
Ǒਠ­ «¨§¥ í⮩ § ¤ ç¨ ¡ã¤¥¬ á«¥¤®¢ âì à ¡®â¥ [18℄.
Ǒãáâì  ¨ | ¯®â¥­æ¨ « ¨ äã­ªæ¨ï ⮪ ¯®â¥­æ¨ «ì­®£® â¥ç¥­¨ï ¨¤ª®áâ¨. ’ ª ª ª  ¨ ®¯à¥¤¥«ïîâáï á â®ç­®áâìî ¤® ¤¤¨â¨¢­ëå ¯®áâ®ï­­ëå, ¬®­® áç¨â âì, çâ® ­ ª®­âãॠ¡ã¤¥â = 0
¨ −ϕ0 <  < ϕ0 . Ž¡®§­ 稬 ϕ = /ϕ0 , ψ = /ϕ0 , ®áâ «ì­ë¥ ¡¥§à §¬¥à­ë¥ ¢¥«¨ç¨­ë ¢¢¥¤¥¬ ¯® ä®à¬ã« ¬ (3.1.32), £¤¥ a = ϕ0 /Ui |
å à ªâ¥à­ë© ¬ áèâ ¡ ¤«¨­ë.
¥§à §¬¥à­ë¥ ª®¬¯®­¥­âë ᪮à®á⨠¨¤ª®á⨠¢ëà  îâáï ç¥à¥§

186
ϕ

Œ áá®®¡¬¥­ ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ á ¯®â®ª®¬

¨ ψ á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬:
vx

=

∂ϕ
∂x

=−

∂ψ
,
∂y

vy

=

∂ϕ
∂y

=

∂ψ
.
∂x

(4.11.7)

”ã­ªæ¨ï ϕ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¯ã⥬ à¥è¥­¨ï ãà ¢­¥­¨ï ‹ ¯« á
ϕ = 0
á £à ­¨ç­ë¬¨ ãá«®¢¨ï¬¨
∂ϕ
∂n

= 0 ­ ª®­âãà¥

∂ϕ
→1
∂x

;

x2 + y 2 → ∞,

¯à¨

(4.11.8)

£¤¥ ∂/∂n | ¯à®¨§¢®¤­ ï ¯® ­®à¬ «¨ ª ¯®¢¥àå­®á⨠樫¨­¤à .
„«ï § ¤ ­­®£® ª®­âãà ¢¥«¨ç¨­ë ϕ ¨ ψ ª ª ­¥ª®â®àë¥ ä㭪樨
x ¨ y ¬®­® ­ ©â¨ á ¯®¬®éìî ¬¥â®¤®¢ ⥮ਨ ä㭪権 ª®¬¯«¥ªá­®£®
¯¥à¥¬¥­­®£® [36, 96, 166℄; ¤ «¥¥ ¡ã¤¥¬ áç¨â âì í⨠ä㭪樨 ¨§¢¥áâ­ë¬¨.
‚ ¡¥§à §¬¥à­ëå ¯¥à¥¬¥­­ëå ãà ¢­¥­¨¥ ¨ £à ­¨ç­ë¥ ãá«®¢¨ï ¤«ï
⥬¯¥à âãàë á ãç¥â®¬ à ¢¥­á⢠(4.11.7) ¨¬¥îâ ¢¨¤
∂ϕ ∂T
∂x ∂x
T

∂ϕ ∂T
∂y ∂y

+

= 1 ­ ª®­âãà¥

=

;

ϕ
1

T,
PeT = 0 ,
PeT
χ
2
2
T → 0 ¯à¨ x + y → ∞.

(4.11.9)

‚ § ¤ ç¥ (4.11.9) ¯¥à¥©¤¥¬ ®â ª®®à¤¨­ â x, y ª ­®¢ë¬ ¯¥à¥¬¥­­ë¬
ϕ, ψ . ˆá¯®«ì§ãï ¤¨ää¥à¥­æ¨ «ì­ë¥ ᮮ⭮襭¨ï ¬¥¤ã äã­ªæ¨ï¬¨
ϕ ¨ ψ (4.11.7), ¯®á«¥ ­¥ª®â®àëå ¯à¥®¡à §®¢ ­¨© ¯®«ã稬 [203℄
∂T
∂2T
∂2T
= 2 + 2;
∂ϕ
∂ϕ
∂ψ
2
(|ϕ| < 1);
ϕ + ψ 2 → ∞,

PeT
ψ

= 0,

T

=1

T → 0.

(4.11.10)

’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¢ ¯«®áª®á⨠¯¥à¥¬¥­­ëå ϕ, ψ ¯à¨å®¤¨¬ ª § ¤ ç¥
® ª®­¢¥ªâ¨¢­®¬ ¯¥à¥­®á¥ ⥯« ®â ­ £à¥â®© ¯« áâ¨­ë ¤«¨­ë 2, ®¡â¥ª ¥¬®© ¯à®¤®«ì­ë¬ ¯®â®ª®¬ ⥯«®¯à®¢®¤­®© ¨¤¥ «ì­®© ¨¤ª®á⨠á®
᪮à®áâìî ¯®â®ª vi = 1 (à¨á. 4.3).
‘¤¥« ¥¬ ¯®¤áâ ­®¢ªã
u=T

exp

− 12




PeT ϕ

.

(4.11.11)

‚ १ã«ìâ ⥠§ ¤ ç (4.11.10) ¯à¥®¡à §ã¥âáï ª á«¥¤ãî饬㠢¨¤ã:
1
∂2u
∂2u
+ 2 = Pe2T u;
2
∂ϕ
∂ψ
4


1
ψ = 0, u = exp − 2 PeT ϕ (|ϕ| < 1);
ϕ2 + ψ 2 → ∞, u → 0.

(4.11.12)

4.11. Œ áá®®¡¬¥­ 樫¨­¤à á ¯®áâ㯠⥫ì­ë¬ ¨ ᤢ¨£®¢ë¬ ¯®â®ª®¬

187

‚ í««¨¯â¨ç¥áª¨å ª®®à¤¨­ â å ς , η, ª®â®àë¥ ¢¢®¤ïâáï ¯® ä®à¬ã« ¬
ϕ=

h ς os η,

ψ

= sh ς sin η,

(4.11.13)

®¡é¥¥ à¥è¥­¨¥ ãà ¢­¥­¨ï (4.11.12), 㤮¢«¥â¢®àïî饥 ãá«®¢¨î § âãå ­¨ï ­ ¡¥áª®­¥ç­®áâ¨, § ¯¨áë¢ ¥âáï ¢ ¢¨¤¥ á㬬ë
u=

∞
X

m=0

αm

em (η, −q) Fekm (ς, −q).

(4.11.14)

‡¤¥áì em (η, −q) | ä㭪樨 Œ âì¥ [14, 105℄, ª®â®àë¬ á®®â¢¥âáâ¢ãîâ ᮡá⢥­­ë¥ §­ 祭¨ï h = hm (q), Fekm (ς, −q) | ¬®¤¨ä¨æ¨à®¢ ­­ë¥ ä㭪樨 Œ âì¥. ‘¯à ¢¥¤«¨¢ë á«¥¤ãî騥 à ¢¥­á⢠:
em (η, 0) = os(2mη). —¨á«¥­­ë¥ §­ 祭¨ï ä㭪権 Œ âì¥ ¬®­® ­ ©â¨ á ¯®¬®éìî â ¡«¨æ [105, 306℄. Œ®¤¨ä¨æ¨à®¢ ­­ë¥ ä㭪樨 Œ âì¥
¯®¤à®¡­® ®¯¨á ­ë ¢ [14, 105℄.
Ǒ¥à¥¯¨áë¢ ï £à ­¨ç­®¥ ãá«®¢¨¥ ¯à¨ ψ = 0 ¢ (4.11.12) ¢ ¯¥à¥¬¥­­ëå
ς , η (4.11.13) ¨ à §« £ ï ¥£® ¢ àï¤ ¯® äã­ªæ¨ï¬ em (η, −q ) á ãç¥â®¬
¯à¥¤áâ ¢«¥­¨ï (4.11.14), ¬®­® ­ ©â¨ ª®íää¨æ¨¥­âë αm .
‘®®â¢¥âáâ¢ãî騥 ¢ëà ¥­¨ï ¤«ï ⥬¯¥à âãàë ¨ ¡¥§à §¬¥à­®£®
¨­â¥£à «ì­®£® ⥯«®¢®£® ¯®â®ª ­ ¯®¢¥àå­®áâì 樫¨­¤à ¡ë«¨ ¯®«ãç¥­ë ¢ [18℄ ¨ §¤¥áì ­¥ ¢ë¯¨áë¢ îâáï ¢¢¨¤ã ¨å £à®¬®§¤ª®áâ¨. Ǒਢ¥¤¥¬ ­ ¨¡®«¥¥ ¢ ­ë¥ ¨â®£®¢ë¥ १ã«ìâ âë [18℄, ª®â®àë¥ ¬®­® ¨á¯®«ì§®¢ âì ­ ¯à ªâ¨ª¥.
¥§à §¬¥à­ë© ¨­â¥£à «ì­ë© ⥯«®¢®© ¯®â®ª ¯à¨ ¬ «ëå ç¨á« å
Ǒ¥ª«¥ á â®ç­®áâìî ¤® ç«¥­®¢ ¯®à浪 PeT2 ¢ª«îç¨â¥«ì­® à ¢¥­
IT

= −4π



9 2
1+
Pe
64 T



ln



γ PeT

8

−1

−

π

2

PeT2 ,

(4.11.15)

£¤¥ ln γ = 0,5772 . . . | ¯®áâ®ï­­ ï ©«¥à , PeT = ϕ0 /χ.
Ǒਠ¡®«ìè¨å ç¨á« å Ǒ¥ª«¥ ¨¬¥¥¬ ᨬ¯â®â¨ªã
IT

= 4(2 PeT /π)1/2 ,

(4.11.16)

ª®â®à ï ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¯à¨¡«¨¥­¨î ⥯«®¢®£® ¯®£à ­¨ç­®£® á«®ï.
¥§ã«ìâ âë à áç¥â ⥯«®¢®£® ¯®â®ª ¢® ¢á¥¬ ¤¨ ¯ §®­¥ ç¨á¥«
Ǒ¥ª«¥ ¬®­® ¯¯à®ªá¨¬¨à®¢ âì ¢ëà ¥­¨¥¬
IT

=−

I

∂T
d
∂n

= 4π

|F |−1,3 + 20 G1,02
,
|F |−2,3 + 20 G0,02

(4.11.17)

£¤¥ ¢á¯®¬®£ ⥫ì­ë¥ ä㭪樨 F ¨ G ®¯à¥¤¥«ïîâáï ä®à¬ã« ¬¨
F

= 1+

9
64




Pe2T ln

1 γ Pe
−1 + 1
T
8
8

Pe2T ,

G = (2 PeT /π 3 )1/2 .

188

Œ áá®®¡¬¥­ ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ á ¯®â®ª®¬

‘奬 ®¡â¥ª ­¨ï í««¨¯â¨ç¥áª®£® 樫¨­¤à ¡¥§¢¨åà¥¢ë¬ ¯®â®ª®¬ ¨¤¥«ì­®© ¨¤ª®áâ¨

¨á. 4.4.

”ã­ªæ¨ï (4.11.17) ¯à¨ PeT ≪ 1 ¨ PeT ≫ 1 ¢¥¤¥â ᥡï, ª ª
â®ç­ë¥ ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨¥ à¥è¥­¨ï (4.11.15) ¨ (4.11.16) ᮮ⢥âá⢥­­®.
Œ ªá¨¬ «ì­ ï ¯®£à¥è­®áâì ä®à¬ã«ë (4.11.17) ¢® ¢á¥¬ ¤¨ ¯ §®­¥
¨§¬¥­¥­¨ï ç¨á« Ǒ¥ª«¥ ­¥ ¯à¥¢ëè ¥â 2%.
‚ ª ç¥á⢥ ª®­ªà¥â­®£® ¯à¨¬¥à à áᬮâਬ ⥯«®®¡¬¥­ í««¨¯â¨ç¥áª®£® 樫¨­¤à á ¯®«ã®áﬨ a ¨ b, ¯®¢¥àå­®áâì ª®â®à®£® § ¤ ¥âáï
ãà ¢­¥­¨¥¬ (X/a)2 + (Y /b)2 = 1 ¯à¨ a > b. ‘ç¨â ¥¬, çâ® ­ ¯à ¢«¥­¨¥
᪮à®á⨠­ ¡¥áª®­¥ç­®á⨠á®áâ ¢«ï¥â 㣮« ω á ­ ¯à ¢«¥­¨¥¬ ¡®«ì襩
¯®«ã®á¨ (à¨á. 4.4). ‚¢¥¤¥¬ á¨á⥬㠪®®à¤¨­ â σ, ν ¯® ä®à¬ã« ¬:
X



=σ 1+

a2 − b 2
4σ2



os ν,

Y



=σ 1−

a2 − b2
4σ2



sin ν. (4.11.18)

Ǒ®â¥­æ¨ « ᪮à®á⨠¨ äã­ªæ¨ï ⮪ ¤«ï ¡¥§¢¨åॢ®£® ®¡â¥ª ­¨ï
í««¨¯â¨ç¥áª®£® 樫¨­¤à ¨¤¥ «ì­®© ¨¤ª®áâìî ¨¬¥îâ ¢¨¤ [36℄




(a + b)2
 = −Ui σ +
os(ν + ω ),
4σ


(a + b)2
= −Ui σ −
sin(ν + ω ).
4σ

(4.11.19)

Ǒ®â¥­æ¨ « ­ ¯®¢¥àå­®á⨠樫¨­¤à , ᮮ⢥âáâ¢ãî騩 §­ 祭¨î σ = (a + b)/2, à ¢¥­  = −Ui(a + b) os ν .  ª®­âãॠ¢ ¯«®áª®áâ¨
, ¢ë¯®«­ïîâáï ᮮ⭮襭¨ï = 0, −ϕ0 <  < ϕ0, £¤¥ ϕ0 = Ui(a + b).
Ǒ®í⮬㠤«ï à áç¥â ¡¥§à §¬¥à­®£® ¨­â¥£à «ì­®£® ⥯«®¢®£® ¯®â®ª
­ ¯®¢¥àå­®áâì í««¨¯â¨ç¥áª®£® 樫¨­¤à ¬®­® ¨á¯®«ì§®¢ âì ä®à¬ã«ë (4.11.16) | (4.11.18), £¤¥ PeT = Ui (a + b)/χ. ‚¨¤­®, ç⮠१ã«ìâ â
¤«ï IT ­¥ § ¢¨á¨â ®â ®à¨¥­â 樨 樫¨­¤à ¢ ¯®â®ª¥.
‚ â ¡«. 4.6 ¯à¨¢¥¤¥­ë ¢ëà ¥­¨ï ¤«ï ⥯«®¢®£® ç¨á« Ǒ¥ª«¥,
ª®â®à®¥ ¢å®¤¨â ¢ ä®à¬ã«ë (4.11.16) | (4.11.18), ¢ á«ãç ¥ ¡¥§¢¨åॢ®£®
®¡â¥ª ­¨ï ⥫ à §«¨ç­®© ä®à¬ë ¨¤¥ «ì­®© ¨¤ª®áâìî.

4.12. ¥áâ 樮­ à­ë© ¬ áá®®¡¬¥­ ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३

189

’€‹ˆ–€ 4.6
’¥¯«®¢®¥ ç¨á«® Ǒ¥ª«¥ ¤«ï ¡¥§¢¨åॢ®£® ®¡â¥ª ­¨ï ⥫ à §«¨ç­®© ä®à¬ë
N0

”®à¬ ⥫

—¨á«® Ǒ¥ª«¥

1

Ǒ«®áª ï ¯« á⨭ ¤«¨­ë 2a

PeT = aUi /χ

2

Šà㣮¢®© 樫¨­¤à à ¤¨ãá

PeT = 2aUi /χ

3

««¨¯â¨ç¥áª¨© 樫¨­¤à
á ¯®«ã®áﬨ a ¨ b

a

PeT = (a + b)Ui /χ

4.12. ¥áâ 樮­ à­ë© ¬ áá®®¡¬¥­ ç áâ¨æ,
ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ á ãáâ ­®¢¨¢è¨¬áï
¯®áâ㯠⥫ì­ë¬ ¨ ᤢ¨£®¢ë¬ ¯®â®ª®¬

®«ì訥 ç¨á« Ǒ¥ª«¥. ˆáá«¥¤ã¥¬ ­¥áâ 樮­ à­ë© ¬ áᮯ¥à¥­®á ª ¯®¢¥àå­®á⨠⢥म© áä¥à¨ç¥áª®© ç áâ¨æë (ª ¯«¨, ¯ã§ëàï) à ¤¨ãá a, ®¡â¥ª ¥¬®© « ¬¨­ à­ë¬ ãáâ ­®¢¨¢è¨¬áï ¯®â®ª®¬. Ǒ®« £ ¥¬ ¯à¨ í⮬, çâ® ¢ ­ ç «ì­ë© ¬®¬¥­â ¢à¥¬¥­¨ t = 0 ª®­æ¥­âà æ¨ï
¢ ᯫ®è­®© ä §¥ ®¤¨­ ª®¢ ¨ à ¢­ Ci , ¯à¨ t > 0 ­ ¯®¢¥àå­®áâ¨
ç áâ¨æë ¯®¤¤¥à¨¢ ¥âáï ¯®áâ®ï­­ ï ª®­æ¥­âà æ¨ï, à ¢­ ï Cs .
‚ áä¥à¨ç¥áª®© á¨á⥬¥ ª®®à¤¨­ â R, θ, ϕ, á¢ï§ ­­®© á 業â஬
ç áâ¨æë, ᮮ⢥âáâ¢ãîé ï ­¥áâ 樮­ à­ ï § ¤ ç ® à á¯à¥¤¥«¥­¨¨
ª®­æ¥­âà 樨 C ®¯¨áë¢ ¥âáï ãà ¢­¥­¨¥¬ ª®­¢¥ªâ¨¢­®© ¤¨ää㧨¨
á ­ ç «ì­ë¬¨ ¨ £à ­¨ç­ë¬¨ ãá«®¢¨ï¬¨, ª®â®àë¥ ¢ ¡¥§à §¬¥à­ëå
¯¥à¥¬¥­­ëå ¨¬¥îâ ¢¨¤
τ

= 0,

c = 0;

∂c
∂τ

+ Pe(~v · ∇)c =
c;
r = 1, c = 1;
r → ∞,

(4.12.1)
c → 0, (4.12.2)

£¤¥ c = (Ci − C )/(Ci − Cs ), τ = Dt/a2, r = R/a, Pe = aU/D,
U | å à ªâ¥à­ ï ᪮à®áâì ¯®â®ª . ‘ç¨â ¥âáï, çâ® ¯®«¥ ᪮à®á⥩
¨¤ª®á⨠~v § ¤ ­® ¨ áâ 樮­ à­®.
¨¥ ®£à ­¨ç¨¬áï à áᬮâ७¨¥¬ á«ãç ï ¡®«ìè¨å ç¨á¥« Ǒ¥ª«¥,
ª®£¤ ¢ ¯®â®ª¥ ­¥â § ¬ª­ãâëå «¨­¨© ⮪ .
‚ § ¤ ç å (4.12.1), (4.12.2) á­ ç « ¤¨ää㧨®­­ë© ¯®£à ­¨ç­ë©
á«®© ¯à¨¬ëª ¥â ª ¯®¢¥àå­®á⨠ç áâ¨æë, ¯®â®¬ ­ 稭 ¥âáï ¡ëáâ஥
¥£® à á¯à®áâà ­¥­¨¥ ¢ ®¡« áâì â¥ç¥­¨ï á ¯®á«¥¤ãî騬 íªá¯®­¥­æ¨«ì­ë¬ ¢ë室®¬ ­ áâ 樮­ à­ë© २¬. ‘®£« á­® ®æ¥­ª ¬ [60℄ å à ªâ¥à­®¥ ¢à¥¬ï ãáâ ­®¢«¥­¨ï ¤¨ää㧨®­­®£® ¯®£à ­¨ç­®£® á«®ï τp
¤«ï ⢥à¤ëå ç áâ¨æ ¨¬¥¥â ¯®à冷ª Pe−2/3 , ¤«ï ¯ã§ë३ ¨ ª ¯¥«ì
㬥७­®© ¢ï§ª®á⨠| ¯®à冷ª Pe−1 .

190

Œ áá®®¡¬¥­ ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ á ¯®â®ª®¬

‚ à ¡®â¥ [277℄ ¬¥â®¤®¬ ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨å ­ «®£¨© ¡ë« ¢ë¢¥¤¥­
á«¥¤ãîé ï ¯à¨¡«¨¥­­ ï ä®à¬ã« ¤«ï à áç¥â § ¢¨á¨¬®á⨠á।­¥£® ç¨á« ˜¥à¢ã¤ ®â ¢à¥¬¥­¨ ¤«ï áä¥à¨ç¥áª¨å ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨
¯ã§ë३, ®¡â¥ª ¥¬ëå ¯à®¨§¢®«ì­ë¬ ãáâ ­®¢¨¢è¨¬áï ¯®â®ª®¬:
q
Sh
= th(π Sh2st τ ),
Shst

(4.12.3)

Sh | ç¨á«® ˜¥à¢ã¤ ¤«ï ãáâ ­®¢¨¢è¥£®áï २¬
£¤¥ Shst = τlim
→∞
¤¨ää㧨¨; ¢¥«¨ç¨­ Shst § ¢¨á¨â ®â ç¨á« Ǒ¥ª«¥ ¨ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï
¯ã⥬ à¥è¥­¨ï ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 áâ 樮­ à­®© § ¤ ç¨ (4.4.1), (4.3.2),
(4.3.3); τ = Dt/a2 .
”®à¬ã« (4.12.3) ¤«ï «î¡®£® ¯®«ï â¥ç¥­¨ï ¤ ¥â ¯à ¢¨«ì­ë©
ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨© १ã«ìâ â ¢ ®¡®¨å ¯à¥¤¥«ì­ëå á«ãç ïå τ → 0 ¨
τ → ∞.
„«ï ¯ã§ëàï, ®¡â¥ª q
¥¬®£® «¨­¥©­ë¬ ᤢ¨£®¢ë¬ ¯®â®ª®¬, ¨§
â ¡«. 4.4 ¨¬¥¥¬ Shst = 32Pe
π . Ǒ®¤áâ ¢«ïï íâ® §­ 祭¨¥ ¢ (4.12.3),
¯à¨å®¤¨¬ ª â®ç­®¬ã ¢ëà ¥­¨î
Sh =

s



3 Pe
3
Pe τ
th
2π
2



(4.12.4)

,

¯®«ã祭­®¬ã ¢ ¯à¨¡«¨¥­¨¨ ¤¨ää㧨®­­®£® ¯®£à ­¨ç­®£® á«®ï ¢
à ¡®â¥ [68℄. Žâ¬¥â¨¬, çâ® ä®à¬ã« (4.12.4) ¯®á«ã¨« ®á­®¢®© ¤«ï
¢ë¢®¤ ®¡é¥© § ¢¨á¨¬®á⨠(4.12.3) ¢ [275, 277℄.
‚ â ¡«. 4.7 ¯à¨¢¥¤¥­ë §­ 祭¨ï Shst ¤«ï à §«¨ç­ëå á«ãç ¥¢ ®¡â¥ª ­¨ï áä¥à¨ç¥áª¨å ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ à ¤¨ãá a; ¯ à ¬¥âà β
à ¢¥­ ®â­®è¥­¨î ¤¨­ ¬¨ç¥áª¨å ¢ï§ª®á⥩ ª ¯«¨ ¨ ®ªàã î饩 ¨¤ª®á⨠¨ ¨§¬¥­ï¥âáï ¢ ¤¨ ¯ §®­¥ 0 6 β 6 2 (§­ 祭¨¥ β = 0 ᮮ⢥âáâ¢ã¥â
£ §®¢®¬ã ¯ã§ëàî).
‚ á«ãç ¥ ­¥áâ 樮­ à­®£® ¬ áá®®¡¬¥­ áä¥à¨ç¥áª®© ª ¯«¨ á ãáâ ­®¢¨¢è¨¬áï ¯®áâ㯠⥫ì­ë¬ áâ®ªá®¢ë¬ ¯®â®ª®¬ ¯à¨ «¨¬¨â¨àãî饬
ᮯà®â¨¢«¥­¨¨ ᯫ®è­®© ä §ë áâ 樮­ à­®¥ §­ 祭¨¥ Shst ¯à¨¢¥¤¥­® ¢ ¢¥àå­¥© áâப¥ â ¡«. 4.7. Ǒ®¤áâ ¢«ïï íâã ¢¥«¨ç¨­ã ¢ (4.12.3),
¯®«ã稬 § ¢¨á¨¬®áâì




2 Pe
2 Pe τ
Sh =
th
3π(β + 1)
3 β+1

1/2

.

(4.12.5)

Ǒ஢¥¤¥­­®¥ ¢ [72℄ ᮯ®áâ ¢«¥­¨¥ á १ã«ìâ â ¬¨ à ¡®â [101, 212,
292℄ ¯®ª §ë¢ ¥â, çâ® ¬ ªá¨¬ «ì­ ï ¯®£à¥è­®áâì ä®à¬ã«ë (4.12.5)
á®áâ ¢«ï¥â ¬¥­¥¥ 0,7%. ‚ ­® ®â¬¥â¨âì, ç⮠१ã«ìâ âë [101, 212, 292℄
¯à¥¤áâ ¢«ïîâáï ¢ ¢¨¤¥ á«®­®£® ¨­â¥£à « , ª®â®àë© ­¥ ¬®¥â ¡ëâì
§ ¯¨á ­ ¢ ¯à®á⮩ ­ «¨â¨ç¥áª®© ä®à¬¥ ⨯ (4.12.5).

191

4.12. ¥áâ 樮­ à­ë© ¬ áá®®¡¬¥­ ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३
’€‹ˆ–€ 4.7
‡­ 祭¨ï Shst ¢ ä®à¬ã«¥ (4.12.3) ¤«ï à §«¨ç­ëå á«ãç ¥¢
®¡â¥ª ­¨ï áä¥à¨ç¥áª¨å ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३
N0

„¨á¯¥àá­ ï
ä§

‚¨¤ â¥ç¥­¨ï

1

Š ¯«ï,
¯ã§ëàì

Ǒ®áâ㯠⥫ì­ë©
á⮪ᮢ ¯®â®ª

h

2 Pe i1/2
3π(β + 1)

Š ¯«ï,
¯ã§ëàì

Ǒந§¢®«ì­ë©

¤¥ä®à¬ 樮­­ë©
Pe 1/2
«¨­¥©­ë© ᤢ¨£®¢ë© 0,62 β + 1
¯®â®ª (Gkm = Gmk )

3

Ǒã§ëàì

‹ ¬¨­ à­ë©
¯®áâ㯠⥫ì­ë©
¯®â®ª ¯à¨ ¡®«ìè¨å
ç¨á« å ¥©­®«ì¤á

4

’¢¥à¤ ï
ç áâ¨æ

Ǒ®áâ㯠⥫ì­ë©
á⮪ᮢ ¯®â®ª

’¢¥à¤ ï
ç áâ¨æ

Ǒந§¢®«ì­ë©
¤¥ä®à¬ 樮­­ë©
«¨­¥©­ë© ᤢ¨£®¢ë©
¯®â®ª (Gkm = Gmk )

2

5

Ž¡®§­ 祭¨ï,
Pe = aU/D

‚¥«¨ç¨­ Shst



2 Pe 1/2

= Ui | ᪮à®áâì
¨¤ª®á⨠­
¡¥áª®­¥ç­®áâ¨

U

 P
3

U =a

k,m=1

¬ âà¨æë ᤢ¨£

= Ui | ᪮à®áâì
¨¤ª®á⨠­
¡¥áª®­¥ç­®áâ¨

U

= Ui | ᪮à®áâì
¨¤ª®á⨠­
¡¥áª®­¥ç­®áâ¨

U

 P
3

U =a

0,9 Pe1/3

,

Gkm | ª®íää¨æ¨¥­âë

π

0,624 Pe1/3

1/2

Gkm Gkm

1/2

Gkm Gkm

k,m=1

,

Gkm | ª®íää¨æ¨¥­âë

¬ âà¨æë ᤢ¨£

€­ «®£¨ç­ë¬ ®¡à §®¬ ¬®­® ¯®«ãç¨âì ¯à¨¡«¨¥­­ë¥ ä®à¬ã«ë
¤«ï ¤àã£¨å ­¥áâ 樮­ à­ëå § ¤ ç.
‚ â ¡«. 4.8 ¯à¨¢¥¤¥­ë ¨â®£¨ ᮯ®áâ ¢«¥­¨ï १ã«ìâ ⮢ à áç¥â®¢
á।­¥£® ç¨á« ˜¥à¢ã¤ ¯® ä®à¬ã«¥ (4.12.3) á ¨¬¥î騬¨áï ¤ ­­ë¬¨ ¤«ï à §«¨ç­ëå á«ãç ¥¢ ®¡â¥ª ­¨ï áä¥à¨ç¥áª¨å ª ¯¥«ì, ¯ã§ë३ ¨
⢥à¤ëå ç áâ¨æ ¯à¨ ¡®«ìè¨å ç¨á« å Ǒ¥ª«¥ (¤«ï ᮪à 饭¨ï § ¯¨á¨
¢ â ¡«¨æ¥ ý¯à¨¡«¨¥­¨¥ ¤¨ää㧨®­­®£® ¯®£à ­¨ç­®£® á«®ïþ ®¡®§­ 祭® Ǒ„Ǒ‘).
‡ ¢¨á¨¬®áâì (4.12.3) ¬®­® ¨á¯®«ì§®¢ âì â ª¥ ¤«ï ®æ¥­ª¨ ¨­â¥­á¨¢­®á⨠­¥áâ 樮­ à­®£® ¬ áá®®¡¬¥­ ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३
­¥áä¥à¨ç¥áª®© ä®à¬ë ¯à¨ Pe ≫ 1. ‚ í⮬ á«ãç ¥ ¢á¥ ¡¥§à §¬¥à­ë¥
¢¥«¨ç¨­ë τ , Sh, Shst , Pe ¤®«­ë ®¯à¥¤¥«ïâìáï á ¯®¬®éìî ®¤­®£® ¨ ⮣® ¥ å à ªâ¥à­®£® ¬ áèâ ¡ ¤«¨­ë a. Ǒਠ¢ë¯®«­¥­¨¨ ¯®á«¥¤­¥£®
ãá«®¢¨ï ¢ëà ¥­¨¥ (4.12.3) ¡ã¤¥â ¤ ¢ âì ¯à ¢¨«ì­ë© ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨© १ã«ìâ ⠯ਠ¬ «ëå ¨ ¡®«ìè¨å ¢à¥¬¥­ å.
”®à¬ã«ã (4.12.3) ¬®­® § ¯¨á âì ¢ á«¥¤ãî饬 ¢¨¤¥:
Sh
=
Shst

s



Sh2st
th
Sh2in


,

(4.12.6)

192

Œ áá®®¡¬¥­ ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ á ¯®â®ª®¬

’€‹ˆ–€ 4.8
Œ ªá¨¬ «ì­ ï ¯®£à¥è­®áâì ä®à¬ã«ë (4.12.3) ¤«ï à §«¨ç­ëå
á«ãç ¥¢ ®¡â¥ª ­¨ï áä¥à¨ç¥áª¨å ª ¯¥«ì, ¯ã§ë३ ¨ ⢥à¤ëå ç áâ¨æ
N0

„¨á¯¥àá­ ï
ä§

‚¨¤ â¥ç¥­¨ï

1

Š ¯«ï,
¯ã§ëàì

2

Š ¯«ï,
¯ã§ëàì

3

Š ¯«ï,
¯ã§ëàì

4

Ǒã§ëàì

5

Ǒã§ëàì

6

Š ¯«ï,
¯ã§ëàì

7

— áâ¨æ

Žá¥á¨¬¬¥âà¨ç­ë©
ᤢ¨£®¢ë©
á⮪ᮢ ¯®â®ª
Ǒ®áâ㯠⥫ì­ë©
á⮪ᮢ ¯®â®ª
Ǒ«®áª¨©
ᤢ¨£®¢ë©
á⮪ᮢ ¯®â®ª
‹ ¬¨­ à­ë©
¯®áâ㯠⥫ì­ë©
¯®â®ª ¯à¨ ¡®«ìè¨å
ç¨á« å ¥©­®«ì¤á
Žá¥á¨¬¬¥âà¨ç­ë©
ᤢ¨£®¢ë© ¯®â®ª
¯à¨ ¡®«ìè¨å
ç¨á« å ¥©­®«ì¤á
’¥ç¥­¨¥
®¡ãá«®¢«¥­®
í«¥ªâà¨ç¥áª¨¬
¯®«¥¬
Ǒ®áâ㯠⥫ì­ë©
¯®â®ª ¨¤¥ «ì­®©
(­¥¢ï§ª®©) ¨¤ª®áâ¨

8

’¢¥à¤ ï
ç áâ¨æ

Ǒ®áâ㯠⥫ì­ë©
á⮪ᮢ ¯®â®ª

9

’¢¥à¤ ï
ç áâ¨æ

Ǒ®áâ㯠⥫ì­ë©
á⮪ᮢ ¯®â®ª

Ǒ®£à¥è- ‹¨â¥à âãà
Œ¥â®¤ à¥è¥­¨ï ­®áâì,
%
€­ «¨â¨ç¥áª¨©,
Ǒ„Ǒ‘

0

[68℄

€­ «¨â¨ç¥áª¨©,
Ǒ„Ǒ‘

0,7

[101, 212, 292℄

€­ «¨â¨ç¥áª¨©,
Ǒ„Ǒ‘

1,8

[147℄

€­ «¨â¨ç¥áª¨©,
Ǒ„Ǒ‘

0,7

[212, 292℄

€­ «¨â¨ç¥áª¨©,
Ǒ„Ǒ‘

0

[142, 143℄

€­ «¨â¨ç¥áª¨©,
Ǒ„Ǒ‘

0

[262℄

€­ «¨â¨ç¥áª¨©,
Ǒ„Ǒ‘

0,7

[212, 292℄

1,4

[219℄

4

[28℄

ˆ­â¥à¯®«ïæ¨ï
ç¨á«¥­­ëå ¨
­ «¨â¨ç¥áª¨å
१ã«ìâ ⮢
Š®­¥ç­®à §­®áâ­ë©
ç¨á«¥­­ë© ¬¥â®¤
(¯à¨ Pe = 500)

£¤¥ Shin ¨ Shst | £« ¢­ë¥ ç«¥­ë ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨å à §«®¥­¨© á।­¥£® ç¨á« ˜¥à¢ã¤ ¯à¨ τ → 0 ¨ τ → ∞, â.e.
lim (Sh /Shin) = 1,

τ →0

lim (Sh /Shst ) = 1.

τ →∞

„ «¥¥ ¢ à §¤. 4.14 ¡ã¤¥â ¯®ª § ­®, çâ® ¢ëà ¥­¨¥ (4.12.6) ¯à¨£®¤­® â ª¥ ¤«ï ®¯¨á ­¨ï è¨à®ª®£® ª« áá ¡®«¥¥ á«®­ëå ­¥«¨­¥©­ëå
§ ¤ ç ­¥áâ 樮­ à­®£® ¤¨ää㧨®­­®£® ¯®£à ­¨ç­®£® á«®ï.

4.13. Š ç¥á⢥­­ë¥ ®á®¡¥­­®á⨠¬ áᮯ¥à¥­®á ¢­ãâਠª ¯«¨

193

Ǒந§¢®«ì­ë¥ ç¨á« Ǒ¥ª«¥. „«ï à áç¥â á।­¥£® ç¨á«
˜¥à¢ã¤ ¯à¨ ¯à®¨§¢®«ì­®¬ « ¬¨­ à­®¬ ®¡â¥ª ­¨¨ áä¥à¨ç¥áª¨å ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ ¢® ¢á¥¬ ¤¨ ¯ §®­¥ ¨§¬¥­¥­¨ï ç¨á¥« Ǒ¥ª«¥
¬®­® ¨á¯®«ì§®¢ âì ¨­â¥à¯®«ï樮­­ãî ä®à¬ã«ã
Sh = (Shst −1)

q





th π(Shst −1)2 τ + 1.

(4.12.7)

 áᬮâਬ ¯®¢¥¤¥­¨¥ í⮩ ä㭪樨 ¢ à §«¨ç­ëå ¯à¥¤¥«ì­ëå
á«ãç ïå. “ç¨âë¢ ï, çâ® Shst → 1 ¯à¨ Pe → 0, ¨§ ä®à¬ã«ë (4.12.7)
¯®«ãç ¥¬ â®ç­ë© १ã«ìâ â ¤«ï ­¥¯®¤¢¨­®© á।ë (4.3.14). Ǒà¨
Pe → ∞ ¨¬¥¥¬ Shst → ∞, ¨ ¢ëà ¥­¨¥ (4.12.7) ¯¥à¥å®¤¨â ¢ (4.12.3).
Ǒਠ¬ «ëå τ ä®à¬ã« (4.12.7) ¤ ¥â â®ç­ë© ®â¢¥â Sh ≈ (πτ )−1/2 . Ǒà¨
τ → ∞ ¨§ (4.12.7) ¨¬¥¥¬ Sh → Shst .
4.13. Š ç¥á⢥­­ë¥ ®á®¡¥­­®áâ¨
¬ áᮯ¥à¥­®á ¢­ãâਠª ¯«¨
¯à¨ ¡®«ìè¨å ç¨á« å Ǒ¥ª«¥

Œ áᮯ¥à¥­®á ¯à¨ «¨¬¨â¨àãî饬 ᮯà®â¨¢«¥­¨¨ ¤¨á¯¥àá­®© ä §ë.  áᬮâਬ ­¥áâ 樮­ à­ë© ª®­¢¥ªâ¨¢­ë© ¬ áá®-

¨ ⥯«®®¡¬¥­ ¬¥¤ã áä¥à¨ç¥áª®© ª ¯«¥© à ¤¨ãá a ¨ ¯®áâ㯠⥫ì­ë¬ áâ®ªá®¢ë¬ ¯®â®ª®¬, ª®£¤ ᮯà®â¨¢«¥­¨¥ ¯¥à¥­®áã á®á।®â®ç¥­® ¢ ¤¨á¯¥àá­®© ä §¥. ‘ç¨â ¥¬, çâ® ¢ ­ ç «ì­ë© ¬®¬¥­â ¢à¥¬¥­¨ t = 0
ª®­æ¥­âà æ¨ï ¢­ãâਠª ¯«¨ ®¤¨­ ª®¢ ¨ à ¢­ C0 , ¯à¨ t > 0 ­ ¬¥ä §­®© ¯®¢¥àå­®á⨠¯®¤¤¥à¨¢ ¥âáï ¯®áâ®ï­­ ï ª®­æ¥­âà æ¨ï Cs .
Ǒà®æ¥áá ¬ áᮯ¥à¥­®á ¢­ãâਠª ¯«¨ ®¯¨áë¢ ¥âáï ãà ¢­¥­¨¥¬
(4.12.1) ¨ ¯¥à¢ë¬¨ ¤¢ã¬ï ãá«®¢¨ï¬¨ (4.12.2).  á¯à¥¤¥«¥­¨¥ ᪮à®á⥩
¨¤ª®á⨠~v = (vr , vθ ) ¯à¨ ¬ «ëå ç¨á« å ¥©­®«ì¤á ®¯à¥¤¥«ï¥âáï
ä㭪樥© ⮪ €¤ ¬ à | ë¡ç¨­áª®£®, ª®â®à ï ¢ ¡¥§à §¬¥à­ëå
¯¥à¥¬¥­­ëå ¨¬¥¥â ¢¨¤
1
ψ=−
r2 (1 − r2 ) sin2 θ;
4(β + 1)
1 ∂ψ
1 ∂ψ
vr = 2
, vθ = −
.
r sin θ ∂θ
r sin θ ∂r
„«ï ­ «¨§ १ã«ìâ ⮢ ᨬ¯â®â¨ç¥áª®£® à¥è¥­¨ï à áᬠâਢ ¥¬®© § ¤ ç¨ ã¤®¡­® ¢¢¥á⨠¢á¯®¬®£ ⥫쭮¥ ç¨á«® Ǒ¥ª«¥ ¯® ä®à¬ã«¥
aUi
Pe
Peβ =
, £¤¥ Pe =
, Ui | ᪮à®áâì ¯®â®ª .
β+1
D
„ «¥¥ ¡ã¤¥¬ áç¨â âì, çâ® ¢ë¯®«­¥­® ãá«®¢¨¥ Peβ ≫ 1. ‚ 楫ïå
¡®«ì襩 ­ £«ï¤­®á⨠¤«ï 䨧¨ç¥áª®© ¨­â¥à¯à¥â 樨 ¯à®æ¥áá ¡ã¤¥¬

194

Œ áá®®¡¬¥­ ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ á ¯®â®ª®¬

¨á¯®«ì§®¢ âì â¥à¬¨­®«®£¨î, ᮮ⢥âáâ¢ãîéãî á«ãç î ¯®«­®£® ¯®£«®é¥­¨ï ¢¥é¥á⢠­ ¯®¢¥àå­®á⨠ª ¯«¨ ¯à¨ Cs = 0.
‚­ãâ७­ïï § ¤ ç ª®­¢¥ªâ¨¢­®£® ¬ áá®- ¨ ⥯«®®¡¬¥­ áãé¥á⢥­­® ®â«¨ç ¥âáï ®â ­ «®£¨ç­®© ¢­¥è­¥© § ¤ ç¨ ¯à¥¤¥ ¢á¥£®
áâàãªâãன «¨­¨© ⮪ , çâ® ¢ ª®­¥ç­®¬ ¨â®£¥ ®¯à¥¤¥«ï¥â ᮮ⢥âá⢥­­ë¥ ª ç¥á⢥­­ë¥ ®â«¨ç¨ï ¤¨­ ¬¨ª¨ ¯à®æ¥áᮢ ­¥áâ 樮­ à­®£® ¬ áᮯ¥à¥­®á ¢­¥ ¨ ¢­ãâਠª ¯«¨. ‚® ¢­¥è­¥© § ¤ ç¥, ª®â®à ï
à áᬠâਢ « áì ¢ à §¤. 4.12, ¢á¥ «¨­¨¨ ⮪ à §®¬ª­ãâë. Ǒਠí⮬
«¨­¨¨ ⮪ , à ᯮ«®¥­­ë¥ ¢¡«¨§¨ ®á¨ ¯®â®ª , ¯à¨­®áïâ ­¥®¡¥¤­¥­­ãî ª®­æ¥­âà æ¨î ¨§ ¡¥áª®­¥ç­®áâ¨, ¯à®å®¤ïâ ¤ «¥¥ ¢¡«¨§¨ ¯®¢¥àå­®á⨠ª ¯«¨ (§¤¥áì ¯à®¨á室¨â áãé¥á⢥­­®¥ ®¡¥¤­¥­¨¥ à áâ¢®à §
áç¥â ¯®«­®£® ¯®£«®é¥­¨ï ॠ£¥­â ­ ¯®¢¥àå­®á⨠ª ¯«¨) ¨ á­®¢ ã室ïâ ­ ¡¥áª®­¥ç­®áâì. ‡ áç¥â ⮣®, çâ® ª®­æ¥­âà 樨 ­ ¡¥áª®­¥ç­®á⨠¨ ­ ¯®¢¥àå­®á⨠ª ¯«¨ ¯®¤¤¥à¨¢ îâáï ¯®áâ®ï­­ë¬¨, à¥è¥­¨¥
¢­¥è­¥© § ¤ ç¨ íªá¯®­¥­æ¨ «ì­® ¡ëáâà® ¢ë室¨â ­ áâ 樮­ à­ë©
¯à®ä¨«ì (4.6.16), ᮮ⢥âáâ¢ãî騩 áâ 樮­ à­®¬ã ¤¨ää㧨®­­®¬ã
¯®£à ­¨ç­®¬ã á«®î.
‚® ¢­ãâ७­¥© § ¤ ç¥ (á¬. à¨á. 4.5) ¢á¥ «¨­¨¨ ⮪ § ¬ª­ãâë,
¯®í⮬ã à á⢮७­®¥ ¢ ¨¤ª®á⨠¢¥é¥á⢮, ¯à®å®¤ï ¢¡«¨§¨ ¯®¢¥àå­®á⨠ª ¯«¨, ç áâ¨ç­® ¯®£«®é ¥âáï, ®áâ ¢è ïáï ç áâì ¨¤¥â ¤ «¥¥
¢­ãâàì ª ¯«¨ ¯® «¨­¨ï¬ ⮪ , à ᯮ«®¥­­ë¬ ¢¡«¨§¨ ®á¨ ¯®â®ª .
(‡¤¥áì ¯à®¨á室¨â ­¥ª®â®à®¥ ®¡®£ 饭¨¥ à áâ¢®à § áç¥â ¥£® ý¯¥à¥¬¥è¨¢ ­¨ïþ á ¨¤ª®áâìî ¢­ãâਠª ¯«¨; ®¤­ ª® ¯®«­®£® ®¡­®¢«¥­¨ï
à áâ¢®à §¤¥áì ­¥ ¯à®¨á室¨â, â ª ª ª ª®­æ¥­âà æ¨ï ¢ ®¡ê¥¬¥ ª ¯«¨
㬥­ìè ¥âáï ¢¢¨¤ã ®âáãâáâ¢¨ï ¯à¨â®ª ॠ£¥­â ¨§¢­¥.) ‹¨­¨¨ ⮪ , ¢ëå®¤ï ¨§ ¯à¨®á¥¢®© ®¡« áâ¨, ­ 稭 îâ á­®¢ ¯à®å®¤¨âì ¢¡«¨§¨
¯®¢¥àå­®á⨠ª ¯«¨, £¤¥ à áâ¢®à ¥é¥ ¡®«¥¥ ®¡¥¤­ï¥âáï, 祬 à ­ìè¥
(â ª ª ª ®­ ­¥ ¡ë« ¯®«­®áâìî ¢®ááâ ­®¢«¥­ ¨ â.¤.). ‚ ª®­¥ç­®¬ áç¥â¥
¢á¥ à á⢮७­®¥ ¢ ­ ç «ì­ë© ¬®¬¥­â ¢à¥¬¥­¨ ¢ ª ¯«¥ ¢¥é¥á⢮ ¯à¨
τ → ∞ ¯®«­®áâìî ¯à®à¥ £¨àã¥â ­ ¥¥ ¯®¢¥àå­®áâ¨.
®«¥¥ ¤¥â «ì­ë© ­ «¨§ [134℄ ¯®ª §ë¢ ¥â, çâ® ¬ áᮯ¥à¥­®á ¢­ãâਠª ¯«¨ ¯à¨ ¡®«ìè¨å ç¨á« å Ǒ¥ª«¥ å à ªâ¥à¨§ã¥âáï âà¥¬ï ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮 ¯à®â¥ª î騬¨ áâ ¤¨ï¬¨. Š ¤ ï ¨§ áâ ¤¨© ¨¬¥¥â ᢮¨
ª ç¥á⢥­­ë¥ ®á®¡¥­­®á⨠¨ à §«¨ç­ãî ¯à®¤®«¨â¥«ì­®áâì.


­ ç «ì­®© (¡ëáâத¥©áâ¢ãî饩) áâ ¤¨¨ ¯à®æ¥áá

¯à®¨á室¨â ä®à¬¨à®¢ ­¨¥ ­¥áâ 樮­ à­®£® ¤¨ää㧨®­­®£® ¯®£à ­¨ç­®£® á«®ï ¢¡«¨§¨ ¯®¢¥àå­®á⨠ª ¯«¨, ⮫騭 ª®â®à®£® ¯à®¯®à樮­ «ì­ Pe−1/2 .  í⮩ áâ ¤¨¨ ¢­ãâ७­¨© ¯®£à ­¨ç­ë© á«®© ª ç¥á⢥­­® ­ «®£¨ç¥­ ¢â®¬®¤¥«ì­®¬ã ­¥áâ 樮­ à­®¬ã ¯®£à ­¨ç­®¬ã á«®î ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 ¢­¥è­¥© § ¤ ç¨. ‘।­¥¥ ç¨á«® ˜¥à¢ã¤
§¤¥áì ¬®­® ¢ëç¨á«ïâì ¯® ä®à¬ã«¥ (4.12.5), ¤«ï ¯®«ï ª®­æ¥­âà 樨
á¯à ¢¥¤«¨¢ë १ã«ìâ âë [101, 212, 292℄. ¥áâ 樮­ à­ë© ¯®£à ­¨ç­ë© á«®© ¡ëáâà® ¢ë室¨â ­ ¯à®¬¥ãâ®ç­ë© áâ 樮­ à­ë© २¬,
ª®â®à®¬ã ᮮ⢥âáâ¢ã¥â å à ªâ¥à­ë© ¯«®áª¨© ãç á⮪ ¤«ï á।­¥£®

4.13. Š ç¥á⢥­­ë¥ ®á®¡¥­­®á⨠¬ áᮯ¥à¥­®á ¢­ãâਠª ¯«¨

195

¨á. 4.5. ‘奬 â¥ç¥­¨ï ¢­ãâਠª ¯«¨ ¨ áâàãªâãà ¯®«ï ª®­æ¥­âà 樨; d1 ¨ d2 |
®¡« á⨠¤¨ää㧨®­­®£® ¯®£à ­¨ç­®£® á«®ï, W1 ¨ W2 | ®¡« á⨠¤¨ää㧨®­­®£®
á«¥¤ , e1 ¨ e2 | ï¤à ¯®â®ª (¯à¨ «¨¬¨â¨àãî饬 ᮯà®â¨¢«¥­¨¨ ¤¨á¯¥àá­®© ä §ë
à áᬠâਢ îâáï «¨èì ®¡« á⨠¢­ãâਠª ¯«¨)

ç¨á« ˜¥à¢ã¤ , ­ 稭 ï á τ ≈ 2/Peβ .  ç «ì­ ï áâ ¤¨ï ¯à®æ¥áá
®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¨­â¥à¢ «®¬ ¢à¥¬¥­¨, ª®£¤ á¯à ¢¥¤«¨¢® ¯à¨¡«¨¥­¨¥
¤¨ää㧨®­­®£® ¯®£à ­¨ç­®£® á«®ï (á­ ç « ­¥áâ 樮­ à­®£®, § ⥬
áâ 樮­ à­®£®) á ­¥®¡¥¤­¥­­®© ª®­æ¥­âà 樥© ­ ý¢å®¤¥þ.  í⮩
áâ ¤¨¨ ª®­æ¥­âà æ¨ï ¢ ï¤à¥ ª ¯«¨ à ¢­ ­¥¢®§¬ã饭­®© ª®­æ¥­âà 樨 ¢ ­ ç «ì­ë© ¬®¬¥­â ¢à¥¬¥­¨.
‚­ãâ७­¨© ¤¨ää㧨®­­ë© ¯®£à ­¨ç­ë© á«®© ¯®à®¤ ¥â ¢­ãâ७­¨© ¤¨ää㧨®­­ë© á«¥¤, à ᯮ«®¥­­ë© ¢¡«¨§¨ ®á¨ ¯®â®ª , ⮫騭 ª®â®à®£® ¯à®¯®à樮­ «ì­ Pe−1/4 . ‚ ¤¨ää㧨®­­®¬ á«¥¤¥ ¯®áâ㯠î饥 ¨§ ýª®­æ þ ¯®£à ­¨ç­®£® á«®ï à á⢮७­®¥ ¢¥é¥á⢮ ¯¥à¥­®á¨âáï ¨¤ª®áâìî ¡¥§ ¨§¬¥­¥­¨ï ¢¤®«ì «¨­¨¨ ⮪ . ’ ª ª ª ᪮à®áâì â¥ç¥­¨ï ¨¤ª®á⨠ª®­¥ç­ , â® á­ ç « ¯à¨ ­¥¡®«ìè¨å ¢à¥¬¥­ å
τ < τ∗ ¢ ®¡« áâì ¯¥à¥¤­¥© ªà¨â¨ç¥áª®© â®çª¨ ¯®£à ­¨ç­®£® á«®ï ¯®áâ㯠¥â ­¥®¡¥¤­¥­­ ï ª®­æ¥­âà æ¨ï, ¯à¨å®¤ïé ï ¨§ â®«é¨ ¨¤ª®áâ¨.
â® ¯à®¨á室¨â ¤® â¥å ¯®à, ¯®ª ¯®¯ ¢è¨© ¨§ ýª®­æ þ ¯®£à ­¨ç­®£® á«®ï ¢ ¤¨ää㧨®­­ë© á«¥¤ ®¡¥¤­¥­­ë© à á⢮à, ¯à®©¤ï ¢¥áì ¯ãâì
¢¡«¨§¨ ®á¨ ¯®â®ª , ­¥ ¤®©¤¥â ¤® ý­ ç « þ ¤¨ää㧨®­­®£® ¯®£à ­¨ç­®£® á«®ï. ‘®£« á­® १ã«ìâ â ¬ [208℄ å à ªâ¥à­®¥ ¢à¥¬ï ¯¥à¥­®á ॣ¥­â ¢ ¤¨ää㧨®­­®¬ á«¥¤¥ ª ¯«¨ τ∗ ¨¬¥¥â ¯®à冷ª (ln Peβ )/Peβ ¨
®¯à¥¤¥«ï¥â ®¡« áâì ¯à¨¬¥­¨¬®á⨠¢â®¬®¤¥«ì­®£® à¥è¥­¨ï [101, 212,
292℄, ª®â®à®¥ ¯à¨ τ > τ∗ ¯¥à¥áâ ¥â ¯à ¢¨«ì­® ®¯¨áë¢ âì à á¯à¥¤¥«¥­¨¥
ª®­æ¥­âà 樨 ¢ ¤¨ää㧨®­­®¬ ¯®£à ­¨ç­®¬ á«®¥ (¢¢¨¤ã ¨§¬¥­¥­¨ï
ãá«®¢¨ï ý­ ⥪ ­¨ïþ).
®«¥¥ â®ç­ë¥ ç¨á«¥­­ë¥ ®æ¥­ª¨ [55℄ ¯®ª §ë¢ îâ, çâ® ­ ç «ì­ ï
áâ ¤¨ï ¯à®æ¥áá ¯à®¨á室¨â ­ ¢à¥¬¥­ å 0 6 τ 6 0,5 (ln Peβ )/Peβ .
Ǒ஬¥ãâ®ç­ ï áâ ¤¨ï ¯à®æ¥áá .  í⮩ áâ ¤¨¨ ¯®¯à¥­¥¬ã áãé¥áâ¢ã¥â ¤¨ää㧨®­­ë© ¯®£à ­¨ç­ë© á«®© ¢¡«¨§¨ ¬¥ä §­®© ¯®¢¥àå­®áâ¨, ª®­æ¥­âà æ¨ï ¢ ï¤à¥ ª ¯«¨ ¯®áâ®ï­­ ¨ à ¢­ ᢮¥¬ã ¯¥à¢®­ ç «ì­®¬ã §­ 祭¨î. Ž¤­ ª®, ᮣ« á­® ᪠§ ­­®¬ã

196

Œ áá®®¡¬¥­ ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ á ¯®â®ª®¬

4.6. ‘।­¥¥ ç¨á«® ˜¥à¢ã¤
¤«ï ¢­ãâ७­¥© § ¤ ç¨ ¢ § ¢¨á¨¬®á⨠®â
¡¥§à §¬¥à­®£® ¢à¥¬¥­¨

¨á.

¢ëè¥, ª®­æ¥­âà æ¨ï ­ ¢å®¤¥ ¢ ¯®£à ­¨ç­ë© á«®© 㥠¡ã¤¥â ­¥®¤­®à®¤­®© ¨ ­ 室¨âáï ¨§ ãá«®¢¨ï áà 騢 ­¨ï á ¯®«¥¬ ª®­æ¥­âà 樨 ¢®
¢­ãâ७­¥¬ ¤¨ää㧨®­­®¬ á«¥¤¥. ‡ ¤ ç ®á«®­ï¥âáï ⥬, çâ® ª®­æ¥­âà æ¨ï ¢ ¯®á«¥¤­¥¬, ¢ á¢®î ®ç¥à¥¤ì, § ¢¨á¨â ®â à á¯à¥¤¥«¥­¨ï
ª®­æ¥­âà 樨 ¢ ¤¨ää㧨®­­®¬ ¯®£à ­¨ç­®¬ á«®¥. “ç¨âë¢ ï 㪠§ ­­ë¥ ®¡áâ®ï⥫ìá⢠, ¢ à ¡®â å [55, 135℄ ¤«ï Peβ > 104 ¡ë«® ¢ë¢¥¤¥­® ¨­â¥£à «ì­®¥ ãà ¢­¥­¨¥ ¤«ï ®¯à¥¤¥«¥­¨ï ãá«®¢¨ï ý­ ⥪ ­¨ïþ ­
¢å®¤¥ ¢ ¯®£à ­¨ç­ë© á«®©, ª®â®à®¥ ¯à¨¢®¤¨â ª ­¥ ¢â®¬®¤¥«ì­®¬ã à¥è¥­¨î.
 à¨á. 4.6 ¯à¨¢¥¤¥­ë १ã«ìâ âë à áç¥â á।­¥£® ç¨á« ˜¥à¢ã¤ , ¯®«ã祭­ë¥ ¢ [55℄ ¯ã⥬ ç¨á«¥­­®£® à¥è¥­¨ï ᮮ⢥âáâ¢ãî饣®
¨­â¥£à «ì­®£® ãà ¢­¥­¨ï, ¯à¨ à §«¨ç­ëå §­ 祭¨ïå ¡¥§à §¬¥à­®£®
¢à¥¬¥­¨ ¨ ç¨á« Ǒ¥ª«¥. ‚¨¤­®, çâ® ¯®á«¥ § ¢¥à襭¨ï ä®à¬¨à®¢ ­¨ï
¢­ãâ७­¥£® ¤¨ää㧨®­­®£® á«¥¤ ¯®«­ë© ¯®â®ª ¢¥é¥á⢠­ ¢­ãâ७­îî ¯®¢¥àå­®áâì ª ¯«¨ ­ 稭 ¥â ¡ëáâ஠㬥­ìè âìáï.
 ¯à®¬¥ãâ®ç­®© áâ ¤¨¨ ¯à®æ¥áá à §¢¨âë© ¤¨ää㧨®­­ë©
á«¥¤ ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢ã¥â á ¯®£à ­¨ç­ë¬ á«®¥¬ ¨ ᨫ쭮 ýà §¬ë¢ ¥âþ ¥£®,
¢ १ã«ìâ ⥠祣® ⮫騭 ¯®£à ­¨ç­®£® á«®ï ¡ã¤¥â 㢥«¨ç¨¢ âìáï
(§¤¥áì ¯®£à ­¨ç­ë¥ á«®¨, ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 ¢­ãâ७­¥© ¨ ¢­¥è­¥©
§ ¤ ç ¬, §­ ç¨â¥«ì­® ®â«¨ç îâáï ¤à㣠®â ¤à㣠). Ǒ®á⥯¥­­®, §
áç¥â ¯®£«®é¥­¨ï à á⢮७­®£® ¢ ¨¤ª®á⨠¢¥é¥á⢠­ ¬¥ä §­®©
¯®¢¥àå­®áâ¨, ¤¨ää㧨®­­ë© ¯®£à ­¨ç­ë© á«®©, à á¯à®áâà ­ïïáì ­
¢¥áì ®¡ê¥¬ ª ¯«¨, ­ ç­¥â à §àãè âìáï.
Žâ¬¥â¨¬, çâ® ¯à¨ Peβ = 102 ÷ 103 ¯à®¬¥ãâ®ç­ ï áâ ¤¨ï ¯à®æ¥áá

4.13. Š ç¥á⢥­­ë¥ ®á®¡¥­­®á⨠¬ áᮯ¥à¥­®á ¢­ãâਠª ¯«¨

197

¯à®ï¢«ï¥âáï ­¥¤®áâ â®ç­® ç¥âª®.

‡ ª«îç¨â¥«ì­ ï (¬¥¤«¥­­®¯à®â¥ª îé ï) áâ ¤¨ï ¯à®æ¥áá .  í⮩ áâ ¤¨¨ ¯à®æ¥áá § áç¥â ¬­®£®ªà â­®© æ¨àªã«ï樨

¨¤ª®á⨠¢¤®«ì § ¬ª­ãâëå âà ¥ªâ®à¨© ª®­æ¥­âà æ¨ï 㥠¢ëà ¢­ï« áì ¨ áâ « ®¤¨­ ª®¢®© ­ «¨­¨ïå ⮪ (­ ª ¤®© «¨­¨¨ ⮪ ᢮ï
ª®­æ¥­âà æ¨ï, ª®â®à ï § ¢¨á¨â ®â τ ). Š í⮬㠢६¥­¨ ¤¨ää㧨®­­ë© ¯®£à ­¨ç­ë© á«®© ¨ ¤¨ää㧨®­­ë© á«¥¤ ä ªâ¨ç¥áª¨ ¯®«­®áâìî
à §¬ë«¨áì ¨ ¯à¥ªà ⨫¨ ᢮¥ áãé¥á⢮¢ ­¨¥.
¥è¥­¨¥ §¤¥áì ¨é¥âáï ¢ ¢¨¤¥ ॣã«ïà­®£® ᨬ¯â®â¨ç¥áª®£® à §«®¥­¨ï (4.8.12) ¯® ®¡à â­ë¬ á⥯¥­ï¬ ¬ «®£® ¯ à ¬¥âà Pe−1 . „«ï
£« ¢­®£® ç«¥­ í⮣® àï¤ á¯à ¢¥¤«¨¢® ãà ¢­¥­¨¥, ¢ë¢¥¤¥­­®¥ ¢ à ¡®â¥ [251℄. —¨á«¥­­®¥ à¥è¥­¨¥ ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 § ¤ ç¨ ¯à¨¢®¤¨â ª
á«¥¤ãî饩 § ¢¨á¨¬®á⨠¤«ï á।­¥© (¯® ®¡ê¥¬ã) ¡¥§à §¬¥à­®© ª®­æ¥­âà 樨 ¢­ãâਠª ¯«¨:
∞
3X
hci = 1 −
A exp(−λk τ );
(4.13.1)
2 k=1 k

= 0,4554; A2 = 0,0654; A3 = 0,0542; A4 = 0,0412; A5 = 0,0038;
= 26,844; λ2 = 137,91; λ3 = 315,66; λ4 = 724,98; λ5 = 1205,2.
‡¤¥áì ª®íää¨æ¨¥­âë Ak ¨ λk ¯à¨¢¥¤¥­ë ¯® ¤ ­­ë¬ [28℄; ¯à¨ k = 1, 2
¡«¨§ª¨¥ ª ¢ë¯¨á ­­ë¬ §­ 祭¨ï íâ¨å ª®íää¨æ¨¥­â®¢ ¡ë«¨ ¢ëç¨á«¥­ë à ­¥¥ ¢ [251℄.
‚ëà ¥­¨¥ ¤«ï á।­¥© ª®­æ¥­âà 樨 (4.13.1) ¬®­® ¨á¯®«ì§®¢ âì ¯à¨ Peβ > 102 , ­ 稭 ï á τ > 5 · 10−4.
‚ ­® ®â¬¥â¨âì, çâ® å®âï ä®à¬ã« (4.13.1) ¡ë« ¢ë¢¥¤¥­ ¤«ï
á⮪ᮢ २¬ â¥ç¥­¨ï (Re → 0), ¥¥ á ãᯥ宬 ¬®­® ¯à¨¬¥­ïâì
¨ ¤«ï ¡®«ìè¨å ç¨á¥« ¥©­®«ì¤á (Re 6 102), ª®£¤ ä®à¬ ª ¯¥«ì
¡«¨§ª ª áä¥à¨ç¥áª®©. Ž¡§®à íªá¯¥à¨¬¥­â «ì­ëå ¤ ­­ëå ¯® ¬ áá®®¡¬¥­ã ¯à¨ «¨¬¨â¨àãî饬 ᮯà®â¨¢«¥­¨¨ ¤¨á¯¥àá­®© ä §ë ¢ á¨á⥬ å ¨¤ª®áâì{¨¤ª®áâì ¯à¨ 102 6 Re 6 4 · 102 ¯à¨¢¥¤¥­ ¢ [28℄.
‘®¯®áâ ¢«¥­¨¥ ¯®ª §ë¢ ¥â, çâ® íªá¯¥à¨¬¥­â «ì­ë¥ ¤ ­­ë¥ ¢ ¤¨ ¯ §®­¥ 4 · 10−4 6 τ 6 10−1 (ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 á⥯¥­¨ ¨§¢«¥ç¥­¨ï ®â 10%
¤® 70%) ­ 室ïâáï ¢ å®à®è¥¬ ᮣ« ᨨ á १ã«ìâ â ¬¨ à áç¥â ¯®
ä®à¬ã«¥ (4.13.1).
¥§ã«ìâ âë ç¨á«¥­­®£® à¥è¥­¨ï à áᬠâਢ ¥¬®© § ¤ ç¨ [27℄ ­ 室ïâáï ¢ å®à®è¥¬ ᮮ⢥âá⢨¨ á ä®à¬ã«®© (4.13.1).
A1
λ1

Œ áᮯ¥à¥­®á ¯à¨ ᮨ§¬¥à¨¬ëå ä §®¢ëå ᮯà®â¨¢«¥­¨ïå.  áᬮâਬ ­¥ãáâ ­®¢¨¢è¥¥áï ¯®«¥ ª®­æ¥­âà 樨 à á⢮७­®£®

¢ ¨¤ª®á⨠¢¥é¥á⢠¢­¥ ¨ ¢­ãâਠáä¥à¨ç¥áª®© ª ¯«¨ à ¤¨ãá a, ¤¢¨ã饩áï á ¯®áâ®ï­­®© ᪮à®áâìî Ui ¢ ­¥®£à ­¨ç¥­­®© ¨¤ª®© á।¥.
‘ç¨â ¥¬, çâ® ¯®«¥ ᪮à®á⥩ ¨¤ª®á⨠¢ ᯫ®è­®© ¨ ¤¨á¯¥àá­®© ä § å ®¯à¥¤¥«ï¥âáï à¥è¥­¨¥¬ €¤ ¬ à | ë¡ç¨­áª®£® [233, 291℄, ¯®«ã祭­ë¬ ¤«ï ¬ «ëå ç¨á¥« ¥©­®«ì¤á . ‚¤ «¨ ®â ª ¯«¨ ª®­æ¥­âà æ¨ï

198

Œ áá®®¡¬¥­ ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ á ¯®â®ª®¬

¯®¤¤¥à¨¢ ¥âáï ¯®áâ®ï­­®© ¨ à ¢­®© Ci . ‚ ­ ç «ì­ë© ¬®¬¥­â ¢à¥¬¥­¨ t = 0 ª®­æ¥­âà æ¨ï ¢­¥ ª ¯«¨ ¢áî¤ã ®¤­®à®¤­ ¨ à ¢­ Ci , ¢­ãâà¨
ª ¯«¨ ª®­æ¥­âà æ¨ï â ª¥ ®¤­®à®¤­ ¨ à ¢­ C0 .
 ¯®¢¥àå­®á⨠ª ¯«¨ ¢ë¯®«­ïîâáï £à ­¨ç­ë¥ ãá«®¢¨ï:
C2

= F (C1 ),

D1

∂C1
∂R

= D2

∂C2
∂R

¯à¨

R = a,

(4.13.2)

£¤¥ ¨­¤¥ªá 1 ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ­¥¯à¥à뢭®© ä §¥, 2 | ¤¨á¯¥àá­®© ä §¥.
Ǒ¥à¢®¥ ãá«®¢¨¥ (4.13.2) ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ãá«®¢¨¥ ä §®¢®£® à ¢­®¢¥á¨ï ­ ¯®¢¥àå­®á⨠ª ¯«¨. Ž¡ëç­® áç¨â ¥âáï [101, 212, 292℄, çâ®
äã­ªæ¨ï F «¨­¥©­ë¬ ®¡à §®¬ § ¢¨á¨â ®â ª®­æ¥­âà 樨 (§ ª®­ ƒ¥­à¨): F (C1 ) = αC1 , £¤¥ ª®íää¨æ¨¥­â à á¯à¥¤¥«¥­¨ï α § ¢¨á¨â ®â 䨧¨ç¥áª¨å ᢮©á⢠¨¤ª®á⥩ ¢­¥ ¨ ¢­ãâਠª ¯«¨. Ǒ।¥«ì­ë¥ á«ãç ¨
«¨¬¨â¨àãî饣® ᮯà®â¨¢«¥­¨ï ¤¨á¯¥àá­®© ¨ ᯫ®è­®© ä §ë ᮮ⢥âáâ¢ãîâ §­ 祭¨ï¬ α → 0 ¨ α → ∞. Ǒਠᮨ§¬¥à¨¬ëå ä §®¢ëå
ᮯà®â¨¢«¥­¨ïå ¨¬¥¥¬ α ∼ 1. ‚ [28℄ ¡ë«® ¯®ª § ­®, çâ® ¢ à拉 á«ãç ¥¢ á«¥¤ã¥â ¨á¯®«ì§®¢ âì á⥯¥­­ãî § ¢¨á¨¬®áâì F (C1 ) = αC1m , £¤¥
m «¥¨â ¢ ¯à¥¤¥« å ®â 0,5 ¤® 2,0. ‚â®à®¥ ãá«®¢¨¥ (4.13.2) ®âà  ¥â
­¥¯à¥à뢭®áâì ¤¨ää㧨®­­ëå ¯®â®ª®¢ ­ ¯®¢¥àå­®á⨠ª ¯«¨.
 á¯à¥¤¥«¥­¨¥ ª®­æ¥­âà 樨 ®¯¨áë¢ ¥âáï ãà ¢­¥­¨¥¬ (3.1.1), £¤¥
¢¥«¨ç¨­ë C , V~ , D ¢ ᯫ®è­®© ä §¥ (¯à¨ R > a) ¯®¬¥ç îâáï ¨­¤¥ªá®¬ 1, ¢ ¤¨á¯¥àá­®© ä §¥ (¯à¨ R < a) | ¨­¤¥ªá®¬ 2.
‚ à ¡®â å [135, 208℄ ¡ë«® ¯®ª § ­®, çâ® ¢ á«ãç ¥ ¡®«ìè¨å ç¨á¥«
Ǒ¥ª«¥ ¤¨ää㧨®­­ë© ¯à®æ¥áá ¯à¨ á®¨§¬¥à¨¬ëå ä §®¢ëå ᮯà®â¨¢«¥­¨ïå å à ªâ¥à¨§ã¥âáï â६ï áâ ¤¨ï¬¨ á à §«¨ç­ë¬ ¬¥å ­¨§¬®¬
¬ áᮯ¥à¥­®á . „«¨â¥«ì­®áâì íâ¨å áâ ¤¨© â ª ï ¥, ª ª ¨ ¤«ï á«ãç ï «¨¬¨â¨àãî饣® ᮯà®â¨¢«¥­¨ï ¤¨á¯¥àá­®© ä §ë.  ­ ç «ì­®©
áâ ¤¨¨ ¯à®æ¥áá ¯à®¨á室¨â ä®à¬¨à®¢ ­¨¥ ­¥áâ 樮­ à­ëå ¤¨ää㧨®­­ëå ¯®£à ­¨ç­ëå á«®¥¢ ¯® ®¡¥ áâ®à®­ë ®â ¯®¢¥àå­®á⨠ª ¯«¨
(ª®â®àë¥ ª ç¥á⢥­­® ­ «®£¨ç­ë ¤à㣠¤àã£ã), ¯à¨ í⮬ ¢­ãâ७­¨©
¯®£à ­¨ç­ë© á«®© ¯®à®¤ ¥â ¤¨ää㧨®­­ë© á«¥¤, à ᯮ«®¥­­ë©
¢¡«¨§¨ ®á¨ ¯®â®ª (á¬. à¨á. 4.5).  ¯à®¬¥ãâ®ç­®© áâ ¤¨¨ ¯à®æ¥áá
à §¢¨âë© ¢­ãâ७­¨© ¤¨ää㧨®­­ë© á«¥¤ ­ 稭 ¥â ¢§ ¨¬®¤¥©á⢮¢ âì á ¯®£à ­¨ç­ë¬ á«®¥¬ ¨ ᨫ쭮 ýà §¬ë¢ ¥âþ ¥£® (§¤¥áì 㥠¯®£à ­á«®¨, à ᯮ«®¥­­ë¥ ¢­¥ ¨ ¢­ãâਠª ¯«¨, áãé¥á⢥­­® à §«¨ç îâáï, ¢ १ã«ìâ ⥠祣® ⮫騭 ¢­ãâ७­¥£® ¯®£à ­á«®ï ¯®á⥯¥­­® §­ ç¨â¥«ì­® 㢥«¨ç¨¢ ¥âáï).  § ª«îç¨â¥«ì­®© áâ ¤¨¨ ¯à®æ¥áá ¯à®¨á室¨â ¤ «ì­¥©è ï ¯¥à¥áâனª ¯®«ï ª®­æ¥­âà 樨, â ª çâ®
¯®£à ­á«®¨ ¯à ªâ¨ç¥áª¨ 㥠¯à¥ªà é îâ ᢮¥ áãé¥á⢮¢ ­¨¥; ¯à¨
í⮬ ¢­¥ ª ¯«¨ ª®­æ¥­âà æ¨ï áâ ­®¢¨âáï ¯®áâ®ï­­®© ¨ à ¢­®© ­¥¢®§¬ã饭­®© ª®­æ¥­âà 樨 ­ ¡¥áª®­¥ç­®á⨠Ci , ¢­ãâਠª ¯«¨ ¯à®â¥ª ¥â áãé¥á⢥­­® ­¥áâ 樮­ à­ë© ¯à®æ¥áá, ª®£¤ ­ ª ¤®© 䨪á¨à®¢ ­­®© «¨­¨¨ ⮪ ª®­æ¥­âà æ¨ï ¯à ªâ¨ç¥áª¨ ¢ëà ¢­ï« áì (§

4.14. “ç¥â § ¢¨á¨¬®á⨠ª®íää¨æ¨¥­â ¤¨ää㧨¨ ®â ª®­æ¥­âà 樨

199

áç¥â ¬­®£®ªà â­®© æ¨àªã«ï樨 ¨¤ª®á⨠¯® § ¬ª­ãâë¬ «¨­¨ï¬ ⮪ ), ¬ áᮯ¥à¥¤ ç ®áãé¥á⢫ï¥âáï ¯ã⥬ ¬®«¥ªã«ïà­®© ¤¨ää㧨¨
¢ ­ ¯à ¢«¥­¨¨, ¯¥à¯¥­¤¨ªã«ïà­®¬ «¨­¨ï¬ ⮪ .
“ç¨âë¢ ï ᪠§ ­­®¥, ¯®«ã稬, çâ® ­ § ª«îç¨â¥«ì­®© áâ ¤¨¨
¯à®æ¥áá ª®­æ¥­âà æ¨ï ­ ¬¥ä §­®© ¯®¢¥àå­®á⨠¢ ᨫ㠯¥à¢®£®
£à ­¨ç­®£® ãá«®¢¨ï (4.13.2) ¯®áâ®ï­­ ¨ à ¢­
C

= Cs , £¤¥

Cs

= F (Ci ).

(4.13.3)

Ǒਠí⮬ á।­îî ª®­æ¥­âà æ¨î ¢­ãâਠª ¯«¨ ¬®­® ¢ëç¨á«ïâì ¯®
ä®à¬ã«¥ (4.13.2), £¤¥ ¡¥§à §¬¥à­ ï ª®­æ¥­âà æ¨ï ®¯à¥¤¥«ï¥âáï â ª:
c = (C0 − C )/(C0 − Cs ), §­ 祭¨¥ Cs 㪠§ ­® ¢ (4.13.3).
4.14. Œ áá®®¡¬¥­ ç áâ¨æ ¨ ª ¯¥«ì
á ¯®â®ª®¬ ¯à¨ ¯à®¨§¢®«ì­®©
§ ¢¨á¨¬®á⨠ª®íää¨æ¨¥­â
¤¨ää㧨¨ ®â ª®­æ¥­âà 樨

¥ª®â®àë¥ § ¬¥ç ­¨ï. ”®à¬ã«¨à®¢ª § ¤ ç¨. Ž¡ëç­® áç¨â ¥âáï, çâ® ª®íää¨æ¨¥­â ¤¨ää㧨¨ ­¥ § ¢¨á¨â ®â ª®­æ¥­âà 樨. Ž¤­ ª® íªá¯¥à¨¬¥­â «ì­ë¥ ¤ ­­ë¥ [26, 99, 159, 182, 228, 285, 311℄ ¯®ª §ë¢ îâ, çâ® ª®íää¨æ¨¥­âë ¤¨ää㧨¨ ¢ ¨¤ª®áâïå ç áâ® áãé¥á⢥­­ë¬ ®¡à §®¬ ¨§¬¥­ïîâáï á ¨§¬¥­¥­¨¥¬ ª®­æ¥­âà 樨. Ǒਠí⮬ ¤«ï
à §¡ ¢«¥­­ëå à á⢮஢ 㢥«¨ç¥­¨¥ ª®­æ¥­âà 樨 ¢á¥£¤ ¯à¨¢®¤¨â ª
㬥­ì襭¨î ª®íää¨æ¨¥­â ¤¨ää㧨¨.  ¯à¨¬¥à, à á⢮७¨¥ ¢ ®¤­®¬ «¨âॠ¢®¤ë ¤¢ãå £à ¬¬®¢ ¯®¢ ७­®© ᮫¨ 㬥­ìè ¥â ª®íää¨æ¨¥­â ¤¨ää㧨¨ ­ 10%. ‚® ¬­®£¨å á«ãç ïå ª®íää¨æ¨¥­â ¤¨ää㧨¨
«¨­¥©­ë¬ ®¡à §®¬ 㬥­ìè ¥âáï ¯à¨ ã¢¥«¨ç¥­¨¨ ª®­æ¥­âà 樨 ¤¨ääã­¤¨àãî饣® ¢¥é¥á⢠(á å ஧ , à 䨭®§ ¨ ¤à.) ¢ ¢®¤­®¬ à á⢮ॠ[26℄. Ǒਠà á⢮७¨¨ ¢ ¢®¤¥ àï¤ ®¤­®¢ «¥­â­ëå ᮫¥© (NaCl, KCl,
KI, LiCl ¨ ¤à.) § ¢¨á¨¬®áâì ª®íää¨æ¨¥­â ¤¨ää㧨¨ ®â ª®­æ¥­âà 樨 (¯à¨ C 6 0,1 ¬®«ì/«) å®à®è® ®¯¨áë¢ ¥âáï ¢ëà ¥­¨¥¬ [124, 159℄
D/D0

=1−γ

√
C,

£¤¥ D0 | ª®íää¨æ¨¥­â ¤¨ää㧨¨ ¯à¨ ¡¥áª®­¥ç­®¬ à §¡ ¢«¥­¨¨, C |
¬®«ì­ ï ª®­æ¥­âà æ¨ï, γ ≃ 0,5 ÷ 0,6 | ç¨á«¥­­ë© ª®íää¨æ¨¥­â.
„«ï £¥¬®£«®¡¨­ ¨ á¥à®£® «ì¡ã¬¨­ , ¤¨ääã­¤¨àãîé¨å ¢ à á⢮à å ᮫¥©, ¨¬¥¥¬ [159, 194℄
D/D0

= (1 − c)6,5 ,

£¤¥ c | ¬®«ì­ ï ¤®«ï à á⢮७­®£® ¢¥é¥á⢠.

200

Œ áá®®¡¬¥­ ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ á ¯®â®ª®¬

 á⢮७¨¥ ¢ ¢®¤¥ KMnO4 ¢ ª®«¨ç¥á⢥ ®â 0 ¤® 2 · 10−4 ¬®«ì/«
á­¨ ¥â ª®íää¨æ¨¥­â ¤¨ää㧨¨ ­ 25%. Žç¥­ì ᨫ쭮¥ ¨§¬¥­¥­¨¥
ª®íää¨æ¨¥­â ¤¨ää㧨¨ ­ ¡«î¤ ¥âáï ¢ ¢®¤­ëå à á⢮à å ¬¥â¨«¥­®¢®£® £®«ã¡®£® (¬®«¥ªã«ïà­ ï ¬ áá m = 317), ¢¢¥¤¥­¨¥ ª®â®à®£®
¢ ª®«¨ç¥á⢥ 6 · 10−4 ¬®«ì/« ¯à¨ ª®¬­ â­®© ⥬¯¥à âãॠ¢ ¤¢ à §
á­¨ ¥â ª®íää¨æ¨¥­â ¤¨ää㧨¨.
Žâ¬¥â¨¬ â ª¥, çâ® ¢ ­¥ª®â®àëå á¨á⥬ å (­ ¯à¨¬¥à, ¯à¨ à á⢮७¨¨ ¢ ¢®¤¥ æ¥â®­ , íâ ­®« ¨«¨ ¬¥â ­®« ) á 㢥«¨ç¥­¨¥¬ ª®­æ¥­âà 樨 ª®íää¨æ¨¥­â ¤¨ää㧨¨ á­ ç « 㬥­ìè ¥âáï, § ⥬ ¢®§à áâ ¥â [26, 182, 285℄.  ¯à¨¬¥à, ª®à५ï樥© D/D0 = exp(κc) ¯à¨
κ = 3,83, D0 = 0,109 · 10−5 á¬2/ᥪ ¬®­® ®¯¨á âì ª®íää¨æ¨¥­â ¢§ ¨¬­®© ¤¨ää㧨¨ ¤«ï á¨á⥬ë æ¥â®­ | ¢®¤ ¯à¨ 25◦ ‘ ¢ ¤¨ ¯ §®­¥
ª®­æ¥­âà 権 0,45 ÷ 1,0 ¬®«ì­®© ¤®«¨ æ¥â®­ [182℄.
 áᬮâ७­ë¥ ¯à¨¬¥àë ­ £«ï¤­® ¯®ª §ë¢ îâ, çâ® ¯à¨ à á⢮७¨¨ àï¤ ¢¥é¥á⢠¤ ¥ ¢ ®ç¥­ì ¬ «ëå ª®«¨ç¥á⢠å (¤¥áïâë¥ ¤®«¨
¯à®æ¥­â ) ­¥®¡å®¤¨¬® ãç¨âë¢ âì ¨§¬¥­¥­¨¥ ª®íää¨æ¨¥­â ¤¨ää㧨¨. Ǒਠí⮬ ¨§¬¥­¥­¨¥¬ ¢ï§ª®á⨠¨ ¯«®â­®á⨠ᬥᨠ®â ª®­æ¥­âà 樨 ¤¨ääã­¤¨àãî饣® ¢¥é¥á⢠, ª ª ¯à ¢¨«®, ¬®­® ¯à¥­¥¡à¥çì.
 ¯à¨¬¥à, ¨§ ¤ ­­ëå [26℄ á«¥¤ã¥â, çâ® ¤«ï à §¡ ¢«¥­­ëå à á⢮஢
®¤­®¢ «¥­â­ëå ᮫¥© ®â­®á¨â¥«ì­®¥ ¨§¬¥­¥­¨¥ ª®íää¨æ¨¥­â ¤¨ää㧨¨ ­ ¤¢ ¯®à浪 ¯à¥¢ëè ¥â ®â­®á¨â¥«ì­®¥ ¨§¬¥­¥­¨¥ ¢ï§ª®áâ¨
à á⢮à .
“ç¨âë¢ ï ᪠§ ­­®¥, à áᬮâਬ áâ 樮­ à­ë© ª®­¢¥ªâ¨¢­ë©
¬ áá®®¡¬¥­ ⢥म© ç áâ¨æë ¨«¨ ª ¯«¨ á ¨¤ª®áâìî ¯à¨ ¯à®¨§¢®«ì­®© § ¢¨á¨¬®á⨠ª®íää¨æ¨¥­â ¤¨ää㧨¨ ®â ª®­æ¥­âà 樨
D = D(C ). ‘ç¨â ¥¬, çâ® ª®­æ¥­âà æ¨ï ã ¯®¢¥àå­®á⨠ç áâ¨æë ¨ ¢¤ «¨
®â ­¥¥ ¯à¨­¨¬ ¥â ¯®áâ®ï­­ë¥ §­ 祭¨ï, à ¢­ë¥ Cs ¨ Ci ᮮ⢥âá⢥­­® (Cs 6= Ci ). Ǒ।¯®« £ ¥¬ â ª¥, çâ® ­¥®¤­®à®¤­®áâì ª®­æ¥­âà 樨 ­¥ ¢«¨ï¥â ­ ¯ à ¬¥âàë ¯®â®ª . ‚ ¡¥§à §¬¥à­ëå ¯¥à¥¬¥­­ëå ¨áá«¥¤ã¥¬ ï ­¥«¨­¥©­ ï § ¤ ç ®¯¨áë¢ ¥âáï ãà ¢­¥­¨¥¬ ¨ £à ­¨ç­ë¬¨
ãá«®¢¨ï¬¨
Pe(~v · ∇)c = div(D∇c);
(­ ¯®¢¥àå­®á⨠ç áâ¨æë ),
(¢¤ «¨ ®â ç áâ¨æë),

c=1
c→0

(4.14.1)

C −C
D(C )
aU
£¤¥ c = i
, D(c) =
, Pe =
; a ¨ U | å à ªâ¥à­ë¥
Ci − Cs
D(Ci )
D(Ci )
¬ áèâ ¡ë ¤«¨­ë ¨ ᪮à®áâ¨.
Ž¯à¥¤¥«¨¬ á।­¥¥ ç¨á«® ˜¥à¢ã¤ , ᮮ⢥âáâ¢ãî饥 à¥è¥­¨î
§ ¤ ç¨ (4.14.1), á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬:

Sh = Sh(D, Pe) = −

1
S

Z

D(c)

∂c
d ,
∂ξ

(4.14.2)

4.14. “ç¥â § ¢¨á¨¬®á⨠ª®íää¨æ¨¥­â ¤¨ää㧨¨ ®â ª®­æ¥­âà 樨

201

£¤¥ S | ¡¥§à §¬¥à­ ï ¯«®é ¤ì ¯®¢¥àå­®á⨠ç áâ¨æë, ∂/∂ξ | ¯à®¨§¢®¤­ ï ¯® ­®à¬ «¨ ª ¯®¢¥àå­®á⨠ç áâ¨æë .
Œ «ë¥ ç¨á« Ǒ¥ª«¥. ‚ à ¡®â å [133, 273℄ ¡ë«® ¤®ª § ­®, çâ®
¤«ï ¯à®¨§¢®«ì­®© § ¢¨á¨¬®á⨠ª®íää¨æ¨¥­â ¤¨ää㧨¨ ®â ª®­æ¥­âà 樨 ¯à¨ «î¡®© ä®à¬¥ ç áâ¨æ ¨ ª ¯¥«ì ¤«ï á।­¥£® ç¨á« ˜¥à¢ã¤ ¨ ¬ «ëå ç¨á¥« Ǒ¥ª«¥ á¯à ¢¥¤«¨¢ á«¥¤ãîé ï ᨬ¯â®â¨ç¥áª ï
ä®à¬ã« :
Sh(D, Pe) = hDi Sh(1, Pe),

£¤¥

hDi =

Z 1
0

D(c) dc.

(4.14.3)

‡¤¥áì Sh(1, Pe) | ¢á¯®¬®£ ⥫쭮¥ ç¨á«® ˜¥à¢ã¤ , ᮮ⢥âáâ¢ãî饥
à¥è¥­¨î «¨­¥©­®© § ¤ ç¨ (4.14.1) ¯à¨ D = 1.
„«ï ¯®áâ㯠⥫쭮£® á⮪ᮢ â¥ç¥­¨ï ¢ëà ¥­¨¥ (4.14.3) ¤ ¥â
âਠ£« ¢­ëå ç«¥­ à §«®¥­¨ï (¤® ç«¥­®¢ ¯®à浪 Pe2 ln Pe ¢ª«îç¨â¥«ì­®). ‚ í⮬ á«ãç ¥ ¢¥«¨ç¨­ Sh(1, Pe) ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ®â­®è¥­¨¥¬
¯à ¢®© ç á⨠ä®à¬ã«ë (4.4.22) ª ¡¥§à §¬¥à­®© ¯«®é ¤¨ ¯®¢¥àå­®áâ¨
ç áâ¨æë.
„«ï ¯à®¨§¢®«ì­®£® «¨­¥©­®£® ᤢ¨£®¢®£® ¯®â®ª ¢ëà ¥­¨¥
√
(4.14.3) ¤ ¥â ¤¢ £« ¢­ëå ç«¥­ à §«®¥­¨ï (¤® ç«¥­ ¯®à浪 Pe
¢ª«îç¨â¥«ì­®). ‚ ¤ ­­®¬ á«ãç ¥ ¢¥«¨ç¨­ Sh(1, Pe) ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ®â­®è¥­¨¥¬ ¯à ¢®© ç á⨠ä®à¬ã«ë (4.5.8) ª ¡¥§à §¬¥à­®© ¯«®é ¤¨ ¯®¢¥àå­®á⨠ç áâ¨æë, ¯à¨ í⮬ á« £ ¥¬ë¥ ¯®à浪 Pe ­¥ ãç¨âë¢ îâáï.
”®à¬ã«ã (4.14.3) ¬®­® ¨á¯®«ì§®¢ âì ¨ ¤«ï ¤àã£¨å ¡®«¥¥ á«®­ëå
â¥ç¥­¨© ¯à¨ Pe → 0 [273℄.

Œ áá®®¡¬¥­ ç áâ¨æë, ᢮¡®¤­® ¢§¢¥è¥­­®© ¢ ¯à®á⮬
ᤢ¨£®¢®¬ ¯®â®ª¥ ¯à¨ ¡®«ìè¨å ç¨á« å Ǒ¥ª«¥. Ǒãáâì ç áâ¨æ

®ªà㥭 ®¡« áâìî á § ¬ª­ãâ묨 «¨­¨ï¬¨ ⮪ . ‚ í⮬ á«ãç ¥ ¤«ï
£« ¢­®£® ç«¥­ ᨬ¯â®â¨ç¥áª®£® à §«®¥­¨ï á।­¥£® ç¨á« ˜¥à¢ã¤ ¯à¨ ¡®«ìè¨å ç¨á« å Ǒ¥ª«¥ á¯à ¢¥¤«¨¢ § ¢¨á¨¬®áâì (4.14.3), ª®â®à ï ¡ë« ¢ë¢¥¤¥­ ¢ [72℄.
‚ ç áâ­®¬ á«ãç ¥ áä¥à¨ç¥áª®© ç áâ¨æë, ᢮¡®¤­® ¢§¢¥è¥­­®©
¢ ¯à®á⮬ ᤢ¨£®¢®¬ ¯®â®ª¥, ¢ ä®à¬ã«¥ (4.14.3) á«¥¤ã¥â ¯®«®¨âì
Sh(1, Pe) = 4,45. Ǒਠ¢ëç¨á«¥­¨¨ Sh(1, Pe) ¤«ï áä¥à¨ç¥áª¨å ç áâ¨æ
¢ ¯«®áª®¬ ᤢ¨£®¢®¬ ¯®â®ª¥ ¬®­® ¢®á¯®«ì§®¢ âìáï ¢ëà ¥­¨¥¬
(4.8.15).
Ǒ®-¢¨¤¨¬®¬ã, ä®à¬ã«ã (4.14.3) á ãᯥ宬 ¬®­® ¨á¯®«ì§®¢ âì
¤«ï ¯à¨¡«¨¥­­®£® ®¯à¥¤¥«¥­¨ï á।­¥£® ç¨á« ˜¥à¢ã¤ ¢ á«ãç ¥
áä¥à¨ç¥áª®© ç áâ¨æë, ᢮¡®¤­® ¢§¢¥è¥­­®© ¢ ¯à®á⮬ ᤢ¨£®¢®¬
¯®â®ª¥, ¢® ¢á¥¬ ¤¨ ¯ §®­¥ ç¨á¥« Ǒ¥ª«¥ 0 6 Pe 6 ∞ (­ ¯®¬­¨¬, çâ®
§¤¥áì ä®à¬ã« (4.14.3) ¤ ¥â ¯à ¢¨«ì­ë© ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨© १ã«ìâ â
¢ ®¡®¨å ¯à¥¤¥«ì­ëå á«ãç ïå ¯à¨ Pe → 0 ¨ Pe → ∞).

®«ì訥 ç¨á« Ǒ¥ª«¥. Ǒਡ«¨¥­¨¥ ¤¨ää㧨®­­®£® ¯®£à ­¨ç­®£® á«®ï. ‡ ¤ ç (4.14.1) ¯à¨ ¡®«ìè¨å ç¨á« å Ǒ¥ª«¥ ¨áá«¥-

202

Œ áá®®¡¬¥­ ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ á ¯®â®ª®¬

¤®¢ « áì ¢ à ¡®â¥ [149℄. ¥è¥­¨¥ ¡ë«® ¯®«ã祭® ¬¥â®¤®¬ ¤¨ää㧨®­­®£® ¯®£à ­¨ç­®£® á«®ï. „«ï á।­¥£® ç¨á« ˜¥à¢ã¤ ¡ë« ¢ë¢¥¤¥­
á«¥¤ãîé ï § ¢¨á¨¬®áâì:
Sh(D, Pe) = αm (D) Sh(1, Pe).

(4.14.4)

‡¤¥áì αm | ª®íää¨æ¨¥­â ­¥«¨­¥©­®áâ¨, ª®â®àë© ¢ëç¨á«ï¥âáï ¯®
ä®à¬ã«¥
αm

= (m + 1)

m−1
m+1



1
m+1



dc
−D(c)
dz



z =0

,

(4.14.5)

£¤¥ äã­ªæ¨ï c = c(z ) ï¥âáï à¥è¥­¨¥¬ ¢á¯®¬®£ ⥫쭮© § ¤ ç¨ ¤«ï
®¡ëª­®¢¥­­®£® ¤¨ää¥à¥­æ¨ «ì­®£® ãà ¢­¥­¨ï
d
dz
z



dc
z m dc
D(c)
+
dz
m + 1 dz

= 0,

c = 1;

z → ∞,

= 0;

(4.14.6)

c → 0.

‡­ 祭¨¥ m = 2 ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ⢥à¤ë¬ ç áâ¨æ ¬, m = 1 | ¯ã§ëàï¬
¨ ª ¯«ï¬ 㬥७­®© ¢ï§ª®á⨠(0 6 β 6 2). „«ï ¯®áâ®ï­­®£® ª®íää¨æ¨¥­â ¤¨ää㧨¨ ¨¬¥¥¬ αm (1) = 1.
”®à¬ã« (4.14.4) á¯à ¢¥¤«¨¢ ¤«ï ¯à®¨§¢®«ì­®£® « ¬¨­ à­®£®
â¥ç¥­¨ï ¡¥§ § ¬ª­ãâëå «¨­¨© ⮪ ¤«ï ç áâ¨æ ¨ ª ¯¥«ì «î¡®©
ä®à¬ë. ‚¥«¨ç¨­ Sh(1, Pe) ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ᨬ¯â®â¨ç¥áª®¬ã à¥è¥­¨î
«¨­¥©­®© § ¤ ç¨ (4.14.1) ¯à¨ Pe ≫ 1. „«ï áä¥à¨ç¥áª¨å ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì
¨ ¯ã§ë३ ¢ ¯®áâ㯠⥫쭮¬ ¨ «¨­¥©­®¬ ¤¥ä®à¬ 樮­­®¬ ᤢ¨£®¢®¬
¯®â®ª¥ §­ 祭¨ï Sh(1, Pe) ¯à¨¢¥¤¥­ë ¢ ç¥â¢¥à⮩ ª®«®­ª¥ â ¡«. 4.7.
‚ [250℄ ¤«ï «î¡®£® §­ 祭¨ï m ¡ë«® ¯®«ã祭® â®ç­®¥ ­ «¨â¨ç¥áª®¥ à¥è¥­¨¥ § ¤ ç¨ (4.14.6) ¢ á«ãç ¥ £¨¯¥à¡®«¨ç¥áª®© § ¢¨á¨¬®á⨠ª®íää¨æ¨¥­â ¤¨ää㧨¨ ®â ª®­æ¥­âà 樨 D(c) = (αc + β )−1 ,
£¤¥ α ¨ β | ¯®áâ®ï­­ë¥. ‚ [104℄ 㪠§ ­® à¥è¥­¨¥ ¯à¨ m = 1 ¤«ï
D(c) = (αc2 + βc + γ )−1 .
„«ï à áç¥â ª®íää¨æ¨¥­â αm ¢ (4.14.4) ¯à¨ ¯à®¨§¢®«ì­®© § ¢¨á¨¬®á⨠ª®íää¨æ¨¥­â ¤¨ää㧨¨ ®â ª®­æ¥­âà 樨 楫¥á®®¡à §­®
¨á¯®«ì§®¢ âì ¯à¨¡«¨¥­­ãî ä®à¬ã«ã [149, 281℄
αm

=



m+1
m

Z 1
0

1

c m D(c) dc

 mm
+1

.

(4.14.7)

‚ â ¡«. 4.9 ¯à¨¢¥¤¥­ë १ã«ìâ âë ᮯ®áâ ¢«¥­¨ï ª®íää¨æ¨¥­â
­¥«¨­¥©­®áâ¨, ¯®«ã祭­®£® ¯ã⥬ ç¨á«¥­­®£® à¥è¥­¨ï § ¤ ç¨ (4.14.6)
¯® ä®à¬ã«¥ (4.14.5) ¨ á ¯®¬®éìî ¯à¨¡«¨¥­­®£® ¢ëà ¥­¨ï (4.14.7),
¤«ï ᥬ¨ å à ªâ¥à­ëå § ¢¨á¨¬®á⥩ D = D(c) (¯®£à¥è­®á⨠㪠§ ­ë

4.14. “ç¥â § ¢¨á¨¬®á⨠ª®íää¨æ¨¥­â ¤¨ää㧨¨ ®â ª®­æ¥­âà 樨

203

’€‹ˆ–€ 4.9
Œ ªá¨¬ «ì­ ï ¯®£à¥è­®áâì (¢ ¯à®æ¥­â å) ä®à¬ã«ë (4.14.7) ¤«ï
à §­ëå § ¢¨á¨¬®á⥩ ª®íää¨æ¨¥­â ¤¨ää㧨¨ ®â ª®­æ¥­âà 樨
‡ ¢¨á¨¬®áâì
D = D (c)

„¨ ¯ §®­
¨§¬¥­¥­¨ï
¯ à ¬¥âà

b

Š ¯«¨,
¯ã§ëà¨
m=1

’¢¥à¤ë¥
ç áâ¨æë
m=2

m=3

= 1 − bc

−3 6 b 6 0,8

1,9

0,8

1,6

−3 6 b 6 0,8

2,0

0,7

1,2

D

= (1 + bc)

−0,8 6 b 6 3

2,4

0,7

2,0

D

= (1 + bc)−2

−0,8 6 b 6 3

4,8

1,3

3,2

−0,8 6 b 6 3

1,9

0,3

1, 8

−2 6 b 6 3

3,4

1,4

2,3

−0,8 6 b 6 3

1,2

0,3

1,1

D
D

=

√
1−b c
−1

√
D = (1 + b c )−1
D
D

= exp(−bc)

= (1 + bc)−1/2

¢ âà¥å ¯®á«¥¤­¨å á⮫¡æ å â ¡«¨æë). ‚¨¤­®, çâ® ä®à¬ã« (4.14.7)
®¡« ¤ ¥â ¢ë᮪®© â®ç­®áâìî.
‚ á«ãç ¥ ⢥à¤ëå ç áâ¨æ (m = 2) ¤«ï ¯à¨¡«¨¥­­®£® ®¯à¥¤¥«¥­¨ï
ª®íää¨æ¨¥­â ­¥«¨­¥©­®á⨠αm ¬®­® ¨á¯®«ì§®¢ âì ¡®«¥¥ ¯à®áâãî,
祬 (4.14.7), ­® ¬¥­¥¥ â®ç­ãî § ¢¨á¨¬®áâì [149℄
α2

 Z 1

= 2

0

cD(c) dc

2/3

.

(4.14.8)

Ž¡®§­ 稬 Dmax = max D(c), D min = min D(c). „«ï à §«¨ç­ëå
06c61
06c61
ä㭪権 D = D(c), 㪠§ ­­ëå ¢ ¯¥à¢®¬ á⮫¡æ¥ â ¡«. 4.9, ¬ ªá¨¬ «ì­ ï ¯®£à¥è­®áâì ä®à¬ã«ë (4.14.8) ¯à¨ ãá«®¢¨¨ 1 6 Dmax /Dmin 6 2 (íâ¨
­¥à ¢¥­á⢠䨪á¨àãîâ ¤¨ ¯ §®­ ¨§¬¥­¥­¨ï ¯ à ¬¥âà b) á®áâ ¢«ï¥â
¬¥­¥¥ 3,5%.

¥áâ 樮­ à­ë¥ § ¤ ç¨ ¤¨ää㧨®­­®£® ¯®£à ­¨ç­®£®
á«®ï.  áᬮâਬ ⥯¥àì ¢­¥è­îî § ¤ çã ® ­¥áâ 樮­ à­®¬ ¬ áá®-

®¡¬¥­¥ ª ¯«¨ (¯ã§ëàï) á « ¬¨­ à­ë¬ ãáâ ­®¢¨¢è¨¬áï ¯®â®ª®¬. ‘ç¨â ¥¬, çâ® ª®­æ¥­âà æ¨ï ¢ ¨¤ª®á⨠¢ ­ ç «ì­ë© ¬®¬¥­â ¢à¥¬¥­¨ ®¤¨­ ª®¢ ¨ à ¢­ Ci , ­ ¯®¢¥àå­®á⨠ª ¯«¨ ª®­æ¥­âà æ¨ï ¯®áâ®ï­­ ¨
à ¢­ Cs . “à ¢­¥­¨¥ ­¥áâ 樮­ à­®£® ¬ áᮯ¥à¥­®á ¢ ᯫ®è­®© ä §¥ á ãç¥â®¬ § ¢¨á¨¬®á⨠ª®íää¨æ¨¥­â ¤¨ää㧨¨ ®â ª®­æ¥­âà 樨
¬®­® § ¯¨á âì ¢ ¢¨¤¥
∂c
∂τ

+ Pe(~v · ∇)c = div[D(c)∇c℄,

(4.14.9)

204

Œ áá®®¡¬¥­ ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ á ¯®â®ª®¬

£¤¥ τ = tD(Ci )/a2 , ®áâ «ì­ë¥ ¡¥§à §¬¥à­ë¥ ¢¥«¨ç¨­ë ¢¢¥¤¥­ë, ª ª
¢ ãà ¢­¥­¨¨ (4.14.1). ¥è¥­¨¥ ¨é¥âáï ¯à¨ ­ ç «ì­®¬ ãá«®¢¨¨ τ = 0,
c = 0 ¨ â¥å ¥ £à ­¨ç­ëå ãá«®¢¨ïå, çâ® ¨ ¢ (4.14.1).
‚ à ¡®â å [136, 274℄ ¡ë«® ¯®ª § ­®, çâ® ¯à¨ ¡®«ìè¨å ç¨á« å
Ǒ¥ª«¥ (¢ ¯à¨¡«¨¥­¨¨ ¤¨ää㧨®­­®£® ¯®£à ­¨ç­®£® á«®ï) à¥è¥­¨¥
ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 ­¥«¨­¥©­®© § ¤ ç¨ ® ­¥áâ 樮­ à­®¬ ¬ áá®®¡¬¥­¥
ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ á ¯®â®ª®¬ ¯à¨¢®¤¨â ª á«¥¤ãî饩 § ¢¨á¨¬®á⨠¤«ï
á।­¥£® ç¨á« ˜¥à¢ã¤ :
Sh(D, Pe, τ ) = α1 (D) Sh(1, Pe, τ ),

(4.14.10)

£¤¥ ª®íää¨æ¨¥­â ­¥«¨­¥©­®á⨠α1 , ª ª ¨ à ­¥¥, ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¯®
ä®à¬ã«¥ (4.14.5) ¯ã⥬ à¥è¥­¨ï ãà ¢­¥­¨ï (4.14.6) ¯à¨ m = 1.
‚¥«¨ç¨­ Sh(1, Pe, τ ) ­ 室¨âáï ¨§ ãà ¢­¥­¨ï (4.14.9) ¯à¨ D = 1.
‡ ¬¥­ïï ®¡ ᮬ­®¨â¥«ï ¢ ¯à ¢®© ç á⨠¢ëà ¥­¨ï (4.14.10)
¯à¨¡«¨¥­­ë¬¨ ä®à¬ã« ¬¨ (4.12.3) ¨ (4.14.7), ¤«ï á।­¥£® ç¨á«
˜¥à¢ã¤ ¨¬¥¥¬
Sh(D, Pe, τ ) = Shst [ th(π Sh2st τ )℄1/2

 Z 1

2

0

cD(c) dc

1/2

,

(4.14.11)

£¤¥ Shst = Sh(1, Pe, ∞) | ç¨á«® ˜¥à¢ã¤ , ᮮ⢥âáâ¢ãî饥 à¥è¥­¨î
«¨­¥©­®© áâ 樮­ à­®© § ¤ ç¨ ¯à¨ ¯®áâ®ï­­®¬ ª®íää¨æ¨¥­â¥ ¤¨ää㧨¨. „«ï áä¥à¨ç¥áª¨å ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ ¢ ¯®áâ㯠⥫쭮¬ ¨ ¤¥ä®à¬ 樮­­®¬ ᤢ¨£®¢ëå ¯®â®ª å §­ 祭¨ï Shst ¯à¨¢¥¤¥­ë ¢ â ¡«. 4.7,
£¤¥ ¢ ª ç¥á⢥ ª®íää¨æ¨¥­â ¤¨ää㧨¨ ¨á¯®«ì§ã¥âáï ¢¥«¨ç¨­ D(Ci ).
4.15. „¨ää㧨®­­ë© á«¥¤. Œ áá®®¡¬¥­
楯®ç¥ª ª ¯¥«ì ¨ ç áâ¨æ á ¨¤ª®áâìî

„¨ää㧨®­­ë© á«¥¤ (¡®«ì訥 ç¨á« Ǒ¥ª«¥). ‚ à ¡®â å
[64, 140, 299℄ ¬¥â®¤®¬ áà 騢 ¥¬ëå ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨å à §«®¥­¨© (¯®
¡®«ì讬ã ç¨á«ã Ǒ¥ª«¥) ¨áá«¥¤®¢ «¨áì § ¤ ç¨ ® áâ 樮­ à­®© ª®­¢¥ªâ¨¢­®© ¤¨ää㧨¨ ª ⢥म© áä¥à¥ [299℄ ¨ ª ¯«¥ [64℄ ¢ ¯®áâ㯠⥫쭮¬
á⮪ᮢ®¬ ¯®â®ª¥ ¯à¨ ¤¨ää㧨®­­®¬ २¬¥ ॠªæ¨¨ ­ ¬¥ä §­®©
¯®¢¥àå­®áâ¨. ‚ ¯®â®ª¥ ¡ë«® ¢ë¤¥«¥­® è¥áâì ®¡« á⥩ á à §«¨ç­®©
áâàãªâãன ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨å à¥è¥­¨©, ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å à §«¨ç­ë¬
¬¥å ­¨§¬ ¬ ¬ áᮯ¥à¥­®á (à¨á. 4.7). „ ¤¨¬ ªà ⪮¥ ª ç¥á⢥­­®¥
®¯¨á ­¨¥ íâ¨å ®¡« á⥩, ¨á¯®«ì§ãï ¡¥§à §¬¥à­ãî áä¥à¨ç¥áªãî á¨á⥬㠪®®à¤¨­ â r, θ, á¢ï§ ­­ãî á 業â஬ ç áâ¨æë (ª ¯«¨).
‚® ¢­¥è­¥© ®¡« á⨠e ª®­æ¥­âà æ¨ï ¯®áâ®ï­­ ¨ à ¢­ ᢮¥¬ã
­¥¢®§¬ã饭­®¬ã §­ 祭¨î ­ ¡¥áª®­¥ç­®áâ¨.

4.15. Œ áá®®¡¬¥­ 楯®ç¥ª ª ¯¥«ì ¨ ç áâ¨æ á ¨¤ª®áâìî

205

‘奬 à §¡¨¥­¨ï ¯®«ï ª®­æ¥­âà 樨 ¢­¥ ª ¯«¨ ­ ®¡« á⨠á à §«¨ç­®©
áâàãªâãன ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨å à¥è¥­¨©

¨á. 4.7.

‚ ¤¨ää㧨®­­®¬ ¯®£à ­¨ç­®¬ á«®¥ d ¢ ãà ¢­¥­¨¨ ¬ áᮯ¥à¥­®á
¯à¨ á®åà ­¥­¨¨ ª®­¢¥ªâ¨¢­ëå ç«¥­®¢ (ª®â®àë¥ ­¥áª®«ìª® ã¯à®é îâáï ¢ १ã«ìâ ⥠«¨­¥ ਧ 樨 ¢¡«¨§¨ ¬¥ä §­®© ¯®¢¥àå­®áâ¨) ¬®­®
¯à¥­¥¡à¥çì ¬®«¥ªã«ïà­ë¬ â ­£¥­æ¨ «ì­ë¬ ¤¨ää㧨®­­ë¬ ¯¥à¥­®á®¬ ¯® áà ¢­¥­¨î á ¤¨ää㧨¥© ¢ à ¤¨ «ì­®¬ ­ ¯à ¢«¥­¨¨.  á¯à¥¤¥«¥­¨¥ ª®­æ¥­âà 樨 ¢ í⮩ ®¡« á⨠¡ë«® ¯®«ã祭® à ­¥¥ ¢ à §¤. 4.6.
—¥âëॠ¯®¤®¡« á⨠W (i) (i = 1, 2, 3, 4), à ᯮ«®¥­­ë¥ § ª ¯«¥©
¨ ç áâ¨æ¥© ¢¡«¨§¨ ®á¨ ¯®â®ª , á®áâ ¢«ïîâ ®¡« áâì ¤¨ää㧨®­­®£®
á«¥¤ (à¨á. 4.7).
‚ ª®­¢¥ªâ¨¢­®-¯®£à ­á«®©­®© ®¡« á⨠¤¨ää㧨®­­®£® á«¥¤

W (1)

¬®«¥ªã«ïà­®© ¤¨ää㧨¥© ¬®­® ¯à¥­¥¡à¥çì. Š®­æ¥­âà æ¨ï §¤¥áì
§ ¢¨á¨â ⮫쪮 ®â ä㭪樨 ⮪ ¨ ¢¤®«ì «¨­¨© ⮪ á®åà ­ï¥â
¯®áâ®ï­­ë¥ §­ 祭¨ï, à ¢­ë¥ §­ 祭¨ï¬ ­ ¢ë室¥ ¨§ ¤¨ää㧨®­­®£®
¯®£à ­¨ç­®£® á«®ï.
‚® ¢­ãâ७­¥© ®¡« á⨠¤¨ää㧨®­­®£® á«¥¤ W (2) ¬®­® ¯à¥­¥¡à¥çì ¬®«¥ªã«ïà­ë¬ ¬ áᮯ¥à¥­®á®¬ ¢ à ¤¨ «ì­®¬ ­ ¯à ¢«¥­¨¨.
‚ ®¡« á⨠§ ¤­¥© ªà¨â¨ç¥áª®© â®çª¨ W (3) ãà ¢­¥­¨¥ ¬ áᮯ¥à¥­®á ¬®­® ­¥áª®«ìª® ã¯à®áâ¨âì. Ǒਠí⮬ ­¥®¡å®¤¨¬® ãç¨âë¢ âì
ª ª ª®­¢¥ªâ¨¢­ë¥ ç«¥­ë, â ª ¨ à ¤¨ «ì­ãî ¨ â ­£¥­æ¨ «ì­ãî á®áâ ¢«ïî騥 ¬®«¥ªã«ïà­®© ¤¨ää㧨¨.
‚ ®¡« á⨠ᬥ襭¨ï W (4) ®¯à¥¤¥«ïîéãî à®«ì ¢ ¬ áᮯ¥à¥­®á¥
¨£à îâ ª®­¢¥ªâ¨¢­ë¥ ç«¥­ë ¨ â ­£¥­æ¨ «ì­ë© ¯¥à¥­®á ¢¥é¥áâ¢
¯ã⥬ ¬®«¥ªã«ïà­®© ¤¨ää㧨¨ (¬®«¥ªã«ïà­®© ¤¨ää㧨¥© ¢¤®«ì
à ¤¨ «ì­®© ª®®à¤¨­ âë ¬®­® ¯à¥­¥¡à¥çì).
‚ ­® ®â¬¥â¨âì, çâ® ¢® ¢á¥å ®¡« áâïå ¤¨ää㧨®­­®£® á«¥¤ W (i)
(i = 1, 2, 3, 4) ­¥®¡å®¤¨¬® ãç¨âë¢ âì ª®­¢¥ªâ¨¢­ë© ¯¥à¥­®á ¢¥é¥á⢠,
®¡ãá«®¢«¥­­ë© ¤¢¨¥­¨¥¬ ¨¤ª®áâ¨. ‚ ®¡« áâïå W (i) (i = 2, 3, 4)
¢ ­ãî à®«ì ¨£à ¥â á®áâ ¢«ïîé ï ¬®«¥ªã«ïà­®© ¤¨ää㧨¨, ­ ¯à ¢«¥­­ ï ¯¥à¯¥­¤¨ªã«ïà­® «¨­¨ï¬ ⮪ .
‚ á«ãç ¥ ª ¯«¨ (¯ã§ëàï) ¢ ®¬ ­ «¨â¨ç¥áª®¬ ¢¨¤¥ ¯®«ã祭®
à á¯à¥¤¥«¥­¨¥ ª®­æ¥­âà 樨 ¢® ¢á¥å ®¡« áâïå ¤¨ää㧨®­­®£® á«¥¤ W (i) [60, 64℄, ¢ á«ãç ¥ ⢥म© áä¥àë | ¢® ¢á¥å ®¡« áâïå, §
¨áª«î祭¨¥¬ ®¡« á⨠§ ¤­¥© ªà¨â¨ç¥áª®© â®çª¨ [60, 140, 299℄. Ǒ®«¥
ª®­æ¥­âà 樨 ¢ W (3) ¢ á«ãç ¥ ⢥म© áä¥àë ¨ ªà㣮¢®£® 樫¨­¤à
­ «¨§¨à®¢ «®áì ¢ [265℄ ç¨á«¥­­ë¬¨ ¬¥â®¤ ¬¨.

206

Œ áá®®¡¬¥­ ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ á ¯®â®ª®¬

’€‹ˆ–€ 4.10
Ǒ®à冷ª ¢¥«¨ç¨­ ¡¥§à §¬¥à­ëå (®â­¥á¥­­ëå ª à ¤¨ãáã ª ¯«¨
¨«¨ ç áâ¨æë) å à ªâ¥à­ëå à §¬¥à®¢ ®¡« á⥩ ¤¨ää㧨®­­®£® á«¥¤ ¢
¯®áâ㯠⥫쭮¬ á⮪ᮢ®¬ ¯®â®ª¥ ¯à¨ ¡®«ìè¨å ç¨á« å Ǒ¥ª«¥
Ž¡« áâ¨
¤¨ää㧨®­­®£®
á«¥¤

¥§à §¬¥à­®¥ à ááâ®ï­¨¥
®â ¬¥ä §­®©
¯®¢¥àå­®áâ¨, y = r − 1

¥§à §¬¥à­®¥ à ááâ®ï­¨¥
®â ®á¨ ¯®â®ª , h

Ǒã§ëà¨, ª ¯«¨ 㬥७­®© ¢ï§ª®áâ¨

Š®­¢¥ªâ¨¢­®¯®£à ­á«®©­ ï
®¡« áâì W (1)
‚­ãâ७­ïï
®¡« áâì W (2)
Ž¡« áâì § ¤­¥©
ªà¨â¨ç¥áª®©
â®çª¨ W (3)
Ž¡« áâì
ᬥ襭¨ï W (4)

06β 61

O (Pe−1/2 ) 6 y 6 O (Pe1/2 )

O (Pe−1/2 ) 6 h 6 O (Pe−1/4 )

O (Pe−1/2 ) 6 y 6 O (Pe1/2 )

0 6 h 6 O(Pe−1/2 )

0 6 y 6 O(Pe−1/2 )

0 6 h 6 O(Pe−1/2 )

y > O (Pe1/2 )

0 6 h 6 O(Pe−1/4 )

’¢¥à¤ë¥ ç áâ¨æë

Š®­¢¥ªâ¨¢­®¯®£à ­á«®©­ ï
®¡« áâì W (1)
‚­ãâ७­ïï
®¡« áâì W (2)
Ž¡« áâì § ¤­¥©
ªà¨â¨ç¥áª®©
â®çª¨ W (3)
Ž¡« áâì
ᬥ襭¨ï W (4)

O (Pe−1/3 ) 6 y 6 O (Pe1/3 )

O (Pe−1/2 ) 6 h 6 O (Pe−1/3 )

O (Pe−1/3 ) 6 y 6 O (Pe1/3 )

0 6 h 6 O(Pe−1/2 )

0 6 y 6 O(Pe−1/3 )

0 6 h 6 O(Pe−1/3 )

y > O (Pe1/3 )

0 6 h 6 O(Pe−1/3 )

Ǒ®à冷ª ¢¥«¨ç¨­ å à ªâ¥à­ëå à §¬¥à®¢ ®¡« á⥩ ¤¨ää㧨®­­®£®
á«¥¤ § áä¥à¨ç¥áª®© ª ¯«¥© ¨ ⢥म© ç áâ¨æ¥© ¢ ¯®áâ㯠⥫쭮¬ ¯®â®ª¥ 㪠§ ­ ¢ â ¡«. 4.10. â¨ ®æ¥­ª¨ á®åà ­ïîâ ᨫ㠨 ¯à¨ 㬥७­ëå
ç¨á« å ¥©­®«ì¤á , ª®£¤ § ª ¯«¥© ¨ ç áâ¨æ¥© ­¥â § á⮩­ëå §®­.
„«ï ®¤¨­®ç­®© ª ¯«¨ ¨ ⢥म© ç áâ¨æë ®¡« áâì ¤¨ää㧨®­­®£®
á«¥¤ ¢­®á¨â ¢ª« ¤ ¢ á।­¥¥ ç¨á«® ˜¥à¢ã¤ , ­ 稭 ï «¨èì á âà¥â쥣® ç«¥­ ᨬ¯â®â¨ç¥áª®£® à §«®¥­¨ï ¯® ¡®«ì讬ã ç¨á«ã Ǒ¥ª«¥.
‚ à ¡®â¥ [139℄ ¡ë«® ¯®ª § ­®, çâ® ¢ ¯«®áª®© § ¤ ç¥ ® ¬ áá®®¡¬¥­¥
樫¨­¤à¨ç¥áª¨å ⥫ á ¢ï§ª¨¬ â¥ç¥­¨¥¬ ¤¨ää㧨®­­ë© á«®© á®á⮨â ⮫쪮 ¨§ ¤¢ãå ¯®¤®¡« á⥩ W (3) ¨ W (4) ®¡é¥© ¯à®â省­®áâìî
L ∼ a Pe−1/9 (¯à¨ Pe → ∞); ¯à¨ í⮬ ®¡« á⨠W (1) ¨ W (2) ®âáãâáâ¢ãîâ. €­ «®£¨ç­ãî áâàãªâãàã ¨¬¥¥â ¤¨ää㧨®­­ë© á«¥¤ ¢¡«¨§¨
ªà¨â¨ç¥áª¨å «¨­¨© ­ ¯®¢¥àå­®á⨠ç áâ¨æë.

„¨ääã§¨ï ª ¤¢ã¬ ⢥à¤ë¬ ç áâ¨æ ¬ ¨«¨ ª ¯«ï¬, à á-

4.15. Œ áá®®¡¬¥­ 楯®ç¥ª ª ¯¥«ì ¨ ç áâ¨æ á ¨¤ª®áâìî

¨á. 4.8.

¯®â®ª®¬

207

‘奬 ®¡â¥ª ­¨ï ¤¢ãå ®¤¨­ ª®¢ëå ç áâ¨æ ¯®áâ㯠⥫ì­ë¬ á⮪ᮢë¬

¯®«®¥­­ë¬ ­ ®á¨ ¯®áâ㯠⥫쭮£® á⮪ᮢ ¯®â®ª .  á-

ᬮâਬ áâ 樮­ à­ãî ¤¨ääã§¨î ª ¤¢ã¬ ®á¥á¨¬¬¥âà¨ç­ë¬ ç áâ¨æ ¬, à ᯮ«®¥­­ë¬ ®¤­ § ¤à㣮© ­ ®á¨ ¯®áâ㯠⥫쭮£® á⮪ᮢ
¯®â®ª . ‘ç¨â ¥¬, çâ® ç áâ¨æë ᨬ¬¥âà¨ç­ë ®â­®á¨â¥«ì­® ­¥ª®â®à®©
¯«®áª®á⨠(à¨á. 4.8) ¨ ¨¬¥îâ ­ ¯®¢¥àå­®á⨠«¨èì ¯® ¤¢¥ ªà¨â¨ç¥áª¨¥
â®çª¨, ª®â®àë¥ ­ 室ïâáï ­ ®á¨ â¥ç¥­¨ï (§ ¬ª­ãâë¥ «¨­¨¨ ⮪ ®âáãâáâ¢ãîâ). Ǒ®¢¥àå­®á⨠ç áâ¨æ ¯®«­®áâìî ¯®£«®é îâ à á⢮७­®¥
¢ ¨¤ª®á⨠¢¥é¥á⢮.
Ǒਠ¡®«ìè¨å ç¨á« å Ǒ¥ª«¥ ¤¨ää㧨®­­ë© ¯®â®ª ­ ¯®¢¥àå­®áâì
¯¥à¢®© ç áâ¨æë ­ 室¨âáï ¯ã⥬ à¥è¥­¨ï ®¡ëç­®£® ãà ¢­¥­¨ï ¤¨ää㧨®­­®£® ¯®£à ­¨ç­®£® á«®ï, ¯à¨ í⮬ ­ «¨ç¨¥ ¢â®à®© ç áâ¨æë
®ª §ë¢ ¥â ¢«¨ï­¨¥ ⮫쪮 § áç¥â ¨§¬¥­¥­¨ï ¯®«ï ᪮à®á⥩ ¨¤ª®á⨠¢¡«¨§¨ ¯®¢¥àå­®á⨠¯¥à¢®© (¬ áá®®¡¬¥­ ¢â®à®© ç áâ¨æë ­¥ ᪠§ë¢ ¥âáï ­ ¬ áá®®¡¬¥­¥ ¯¥à¢®©).
®«¥¥ á«®­® ¯à®¨á室¨â ¬ áá®®¡¬¥­ ¢â®à®© ç áâ¨æë, £¤¥ £« ¢­ãî à®«ì ¨£à ¥â ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨¥ ¤¨ää㧨®­­®£® ¯®£à ­¨ç­®£® á«®ï
á ¤¨ää㧨®­­ë¬ á«¥¤®¬ ¯¥à¢®© ç áâ¨æë.
‚ à ¡®â¥ [61℄ ¡ë«® ¢ë¢¥¤¥­® á«¥¤ãî饥 ¯à¥¤¥«ì­®¥ ᮮ⭮襭¨¥
¤«ï ¨­â¥£à «ì­ëå ¤¨ää㧨®­­ëå ¯®â®ª®¢ ­ ¯®¢¥àå­®á⨠¤¢ãå ®¤¨­ ª®¢ëå ç áâ¨æ, à ᯮ«®¥­­ëå ­ ®á¨ ¯®áâ㯠⥫쭮£® á⮪ᮢ ¯®â®ª (à¨á. 4.8):
lim

Pe→∞

I2
I1

= lim

Pe→∞

Sh2
= 41/3 − 1 ≈ 0,587.
Sh1

(4.15.1)

Ǒ।¥«ì­ë© ¯¥à¥å®¤ ¢ í⮩ ä®à¬ã«¥ ®áãé¥á⢫ï¥âáï ¯à¨ ¯®áâ®ï­­®¬ à ááâ®ï­¨¨ ¬¥¤ã ç áâ¨æ ¬¨, ç¨á«® Ǒ¥ª«¥ ®¯à¥¤¥«¥­® ¯®
å à ªâ¥à­®¬ã à §¬¥àã ç áâ¨æ.
‘®®â­®è¥­¨¥ (4.15.1), ¢ ç áâ­®áâ¨, ¢ë¯®«­ï¥âáï ¤«ï áä¥à à ¢­®£® à ¤¨ãá , à ᯮ«®¥­­ëå ­ ®á¨ ¯®áâ㯠⥫쭮£® á⮪ᮢ ¯®â®ª
(à á¯à¥¤¥«¥­¨¥ ᪮à®á⥩ ¤«ï í⮣® á«ãç ï 㪠§ ­® ¢ [178, 300℄). Ž­®
á¯à ¢¥¤«¨¢® â ª¥ ¤«ï âà¥å¬¥à­®£® á⮪ᮢ ®¡â¥ª ­¨ï ¤¢ãå ®¤¨­ ª®¢ëå í««¨¯á®¨¤®¢ ¢à 饭¨ï, ®á¨ ª®â®àëå à ᯮ«®¥­ë ¯ à ««¥«ì­®

208

Œ áá®®¡¬¥­ ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ á ¯®â®ª®¬

¤à㣠¤àã£ã ¨ ¯¥à¯¥­¤¨ªã«ïà­® ­¥¢®§¬ã饭­®¬ã â¥ç¥­¨î, ­ ¯à ¢«¥­¨¥ «¨­¨¨, ¯à®å®¤ï饩 ç¥à¥§ ¨å 業âàë, ᮢ¯ ¤ ¥â á ­ ¯à ¢«¥­¨¥¬
¯®áâ㯠⥫쭮£® ¯®â®ª .
ˆ§ ä®à¬ã«ë (4.15.1) ¢¨¤­®, çâ® ¨¬¥¥â ¬¥áâ® áãé¥á⢥­­®¥ â®à¬®¥­¨¥ ¯à®æ¥áá ¬ áá®®¡¬¥­ ¢â®à®© ç áâ¨æë ¯® áà ¢­¥­¨î á ¯¥à¢®©.
„«ï ¤¢ãå áä¥à¨ç¥áª¨å ª ¯¥«ì (¯ã§ë३) à ¢­®£® à ¤¨ãá , à ᯮ«®¥­­ëå ®¤­ § ¤à㣮© ­ ®á¨ ¯®áâ㯠⥫쭮£® á⮪ᮢ ¯®â®ª ,
¢ë¯®«­ï¥âáï ¯à¥¤¥«ì­®¥ à ¢¥­á⢮ [61℄
I
Sh2
lim 2 = lim
= 21/2 − 1 ≈ 0,414.
(4.15.2)
Pe→∞ I1
Pe→∞ Sh1
‚¨¤­®, çâ® ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨¥ ¤¨ää㧨®­­®£® á«¥¤ ¯¥à¢®© ª ¯«¨ á
¯®£à ­¨ç­ë¬ á«®¥¬ ¢â®à®© ª ¯«¨ ¯à®¨á室¨â ¡®«¥¥ ¨­â¥­á¨¢­®, 祬
¢ á«ãç ¥ ⢥à¤ëå ç áâ¨æ. Ǒਠí⮬ ¨­â¥£à «ì­ë© ¬ áá®®¡¬¥­ ¢â®à®©
ª ¯«¨ á ¨¤ª®áâìî ¡®«¥¥ 祬 ¢ ¤¢ à § á­¨¥­ ¯® áà ¢­¥­¨î á
¬ áá®®¡¬¥­®¬ ¯¥à¢®©.
”®à¬ã« (4.15.2) ¡ã¤¥â á¯à ¢¥¤«¨¢ ¢ á«ãç ¥ ¡¥§¢¨åॢ®£® ®¡â¥ª ­¨ï ¤¢ãå ®¤¨­ ª®¢ëå ç áâ¨æ, à ᯮ«®¥­­ëå ­ ®á¨ ¯®áâ㯠⥫쭮£®
¯®â®ª ¨¤¥ «ì­®© ¨¤ª®á⨠(á¬. à¨á. 4.8).

Œ áá®®¡¬¥­ 楯®ç¥ª ª ¯¥«ì ¨ ç áâ¨æ á ¨¤ª®áâìî ¯à¨
¡®«ìè¨å ç¨á« å Ǒ¥ª«¥.  áᬮâਬ ¤¨ääã§¨î ª ¯®¢¥àå­®áâï¬

ª ¯¥«ì (¯ã§ë३), à ᯮ«®¥­­ëå ¤à㣠§ ¤à㣮¬ ­ ®á¨ ¯®áâ㯠⥫쭮£® á⮪ᮢ ¯®â®ª ¢ï§ª®© ­¥á¨¬ ¥¬®© ¨¤ª®áâ¨. ‚ â ª¨å á¨á⥬ å, ­ §ë¢ ¥¬ëå ¤ «¥¥ 楯®çª ¬¨, ¯®«¥ â¥ç¥­¨ï ãáâ஥­® â ª, çâ®
®á®¡ ï «¨­¨ï ⮪ , ¢ë室ïé ï ¨§ ¨§®«¨à®¢ ­­®© ªà¨â¨ç¥áª®© â®çª¨
­ ¯®¢¥àå­®á⨠¯¥à¢®© ª ¯«¨, ¯®¯ ¤ ¥â ¤ «¥¥ ­ ¯®¢¥àå­®áâì ¢â®à®©
ª ¯«¨; ®á®¡ ï «¨­¨ï ⮪ , ¢ë室ïé ï á ¯®¢¥àå­®á⨠¢â®à®© ª ¯«¨,
¯®¯ ¤ ¥â ­ ¯®¢¥àå­®áâì âà¥â쥩 ¨ â.¤. (â.¥. ª ¯«¨ ý­ ­¨§ ­ëþ ­
®á®¡ãî «¨­¨î ⮪ ). ’ ª ï á¨âã æ¨ï ¢áâà¥ç ¥âáï ­ ¯à ªâ¨ª¥ ¯à¨
®áãé¥á⢫¥­¨¨, ­ ¯à¨¬¥à, ¯à®æ¥áᮢ íªáâà ªæ¨¨ ¢¥é¥á⢠¨§ ª ¯¥«ì
¨ à á⢮७¨ï £ §®¢ ¨§ ¯ã§ëà쪮¢. ‚ ç áâ­®áâ¨, ®­ ¨¬¥¥â ¬¥áâ® ¯à¨
íªáâà ªæ¨¨, ª®£¤ ¢ íªáâà ªæ¨®­­®© ª®«®­­¥ ¢¢®¤ ª ¯¥«ì ®áãé¥á⢫ï¥âáï ¢ ®¤­¨å ¨ â¥å ¥ â®çª å ç¥à¥§ à ¢­ë¥ ¯à®¬¥ã⪨ ¢à¥¬¥­¨,
¯à¨ ¡ ࡮⠥ | ¢ á«ãç ¥ ¯®áâ®ï­­®£® à á室 ¡ à¡®â¨àãî饣® £ § .
„ «¥¥ áç¨â ¥¬, çâ® ®á­®¢­®¥ ᮯà®â¨¢«¥­¨¥ ¬ áᮯ¥à¥­®áã á®á।®â®ç¥­® ¢ ᯫ®è­®© ä §¥.
‚ 楯®çª å ¤¨ää㧨®­­ë© ¯®£à ­¨ç­ë© á«®© «î¡®© 䨪á¨à®¢ ­­®© ª ¯«¨ ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢ã¥â á ¤¨ää㧨®­­ë¬ á«¥¤®¬ à ᯮ«®¥­­®©
¢ëè¥ ¯® ¯®â®ªã ¯à¥¤ë¤ã饩 ª ¯«¨, ¯®«¥ ª®­æ¥­âà 樨 ¢ ª®â®à®¬ áãé¥á⢥­­® ­¥®¤­®à®¤­® ¨ ®¡¥¤­¥­® § áç¥â ¯®£«®é¥­¨ï à á⢮७­®£®
¢ ¨¤ª®á⨠¢¥é¥á⢠­ ¯®¢¥àå­®á⨠¢á¥å ¢¯¥à¥¤¨ ¨¤ãé¨å ª ¯¥«ì. ‚
ᨫã â ª®£® ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï, ¢­ãâ७­¨© ¬ áá®®¡¬¥­ ¢ 楯®çª å ¡ã¤¥â
áãé¥á⢥­­® § â®à¬®¥­ (¥­¨¥ ýíªà ­¨à®¢ ­¨ïþ) ¯® áà ¢­¥­¨î á
¨§®«¨à®¢ ­­ë¬¨ ª ¯«ï¬¨.

4.15. Œ áá®®¡¬¥­ 楯®ç¥ª ª ¯¥«ì ¨ ç áâ¨æ á ¨¤ª®áâìî

209

‚ à ¡®â å [62, 137℄ ¯®«ã祭® à á¯à¥¤¥«¥­¨¥ ª®­æ¥­âà 樨 ¢ ¤¨ää㧨®­­®¬ ¯®£à ­¨ç­®¬ á«®¥ ª ¤®© ª ¯«¨ 楯®çª¨. ‡¤¥áì ¢ § ¢¨á¨¬®á⨠®â à ááâ®ï­¨ï ¬¥¤ã ª ¯«ï¬¨ ¯à¨å®¤¨âáï à §«¨ç âì ¤¢¥
á¨âã 樨: 1) ª®£¤ ¤¨ää㧨®­­ë© ¯®£à ­¨ç­ë© á«®© 䨪á¨à®¢ ­­®© ª ¯«¨ ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢ã¥â á ª®­¢¥ªâ¨¢­®-¯®£à ­á«®©­®© ®¡« áâìî
¤¨ää㧨®­­®£® á«¥¤ ¯à¥¤ë¤ã饩 ª ¯«¨ (¡«¨§ª®¥ ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨¥),
2) ª®£¤ ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨¥ ¯à®¨á室¨â á ®¡« áâìî ᬥ襭¨ï. ‚ ç áâ­®áâ¨, ¢ á«ãç ¥ ¡«¨§ª®£® ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï áä¥à¨ç¥áª¨å ª ¯¥«ì (¯ã§ë३)
√
, à ᯮ«®¥­­ëå ­ ¡¥§à §¬¥à­®¬ à ááâ®ï­¨¨
 à ¢­®£® à ¤¨ãá
l: O(1)< l < O Pe ; § å à ªâ¥à­ë© ¬ áèâ ¡ ¤«¨­ë ¯à¨­¨¬ ¥âáï à ¤¨ãá ª ¯«¨) ¤à㣠§ ¤à㣮¬ ­ ®á¨ ®¤­®à®¤­®£® á⮪ᮢ ¯®â®ª ,
¯®«­ë© ¤¨ää㧨®­­ë© ¯®â®ª ­ ¯®¢¥àå­®áâì k-© ª ¯«¨ 楯®çª¨ (­ã¬¥à æ¨ï ¢¥¤¥âáï ®â ¢¯¥à¥¤¨ ¨¤ã饩 ª ¯«¨) ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ä®à¬ã«®©
[62, 137℄
√
√


Ik = I1 k − k − 1 .
(4.15.3)
ˆ§ í⮣® ¢ëà ¥­¨ï á«¥¤ã¥â, çâ® ¯®«­ë© ¤¨ää㧨®­­ë© ¯®â®ª ­
¢â®àãî ª ¯«î ¡®«¥¥ 祬 ¢ ¤¢ à § ¬¥­ìè¥ ¯®â®ª ­ ¯¥à¢ãî, ¯à¨
k → ∞, Ik /I1 → 0. ‘㬬 à­ë© ¨­â¥£à «ì­ë© ¤¨ää㧨®­­ë© ¯®â®ª
­ ¢á¥ ª ¯«¨ 楯®çª¨ à ¢¥­
I

=

k
X
i=1

Ii

= I1

√
k

(4.15.4)

¨ áãé¥á⢥­­® ¬¥­ìè¥ ­ «®£¨ç­®£® á㬬 à­®£® ¤¨ää㧨®­­®£® ¯®â®ª ¤«ï á¨á⥬ë å ®â¨ç¥áª¨ à ᯮ«®¥­­ëå ª ¯¥«ì à ¢­®£® à ¤¨ãá ,
¬¥¤ã ª®â®à묨 ­¥â ¤¨ää㧨®­­®£® ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï (¢ í⮬ á«ãç ¥
¯®â®ª¨ ¯à®á⮠᪫ ¤ë¢ îâáï, çâ® ¤ ¥â I = I1 k).
‚ [63, 138℄ à áᬠâਢ « áì § ¤ ç ® ª®­¢¥ªâ¨¢­®© ¤¨ää㧨¨ ª
楯®çª¥ ⢥à¤ëå ॠ£¨àãîé¨å ç áâ¨æ. Œ¥å ­¨§¬ â®à¬®¥­¨ï (íªà ­¨à®¢ ­¨ï) ¬ áá®®¡¬¥­ ¢ 楯®çª å ⢥à¤ëå ç áâ¨æ, â ª¥ ª ç¥á⢥­­®¥ ¯®¢¥¤¥­¨¥ â ª®© á¨á⥬ë ïîâáï ⥬¨ ¥, çâ® ¨ ¢ 楯®çª¥
ª ¯¥«ì.
‡¤¥áì â ª¥ ¯®«ã祭ë ä®à¬ã«ë ¤«ï ¤¨ää㧨®­­ëå ¯®â®ª®¢ ¨
á।­¥£® ç¨á« ˜¥à¢ã¤ ­ ¯®¢¥àå­®á⨠ॠ£¨àãîé¨å ç áâ¨æ 楯®çª¨. ‚ á«ãç ¥ ¡«¨§ª®£® ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï ॠ£¨àãîé¨å ⢥à¤ëå áä¥à¨ç¥áª¨å ç áâ¨æ
 à ¢­®£® à ¤¨ãá , à ᯮ«®¥­­ëå ­ ¡¥§à §¬¥à­®¬
à ááâ®ï­¨¨ l: O(1) < l < O(Pe1/3 ) ¤à㣠§ ¤à㣮¬ ­ ®á¨ ®¤­®à®¤­®£® á⮪ᮢ ¯®â®ª , ¯®«­ë© ¤¨ää㧨®­­ë© ¯®â®ª ­ ¯®¢¥àå­®áâì
k -© áä¥àë 楯®çª¨ § ¤ ¥âáï ä®à¬ã«®© [63, 138℄
Ik

= I1

 2/3

k
− (k − 1)2/3 .

(4.15.5)

 ᯮ«®¥­­ë¥ ¢¯¥à¥¤¨ ¯® ¯®â®ªã ç áâ¨æë ª ª ¡ë íªà ­¨àãîâ

210

Œ áá®®¡¬¥­ ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ á ¯®â®ª®¬

¯®á«¥¤ãî騥, ¢ १ã«ìâ ⥠祣® ¨­â¥£à «ì­ë© ¯®â®ª ­ ¨å ¯®¢¥àå­®á⨠¬®­®â®­­® ã¡ë¢ ¥â:
I1 > I2 > · · · > Ik > Ik+1 > · · · ,

®â­®è¥­¨¥ Ik /I1 áâ६¨âáï ª ­ã«î á à®á⮬ ¯®à浪®¢®£® ­®¬¥à k.
ˆ§ ä®à¬ã«ë (4.15.5) á«¥¤ã¥â, çâ® ¯®«­ë© ¤¨ää㧨®­­ë© ¯®â®ª ­
¢â®àãî áä¥àã ¯®ç⨠¢ ¤¢ à § ¬¥­ìè¥ ¯®«­®£® ¤¨ää㧨®­­®£®
¯®â®ª ­ ¯¥à¢ãî, ­ ᥤì¬ãî | 㥠¡®«¥¥ 祬 ¢ âà¨ à § ¬¥­ìè¥,
祬 ­ ¯¥à¢ãî.
‘㬬 à­ë© ¤¨ää㧨®­­ë© ¯®â®ª ­ ¢á¥ ç áâ¨æë 楯®çª¨ ¢ëç¨á«ï¥âáï á ¯®¬®éìî (4.15.5):
I

=

k
X
i=1

Ii

= I1 k2/3 ,

(4.15.6)

çâ® §­ ç¨â¥«ì­® ¬¥­ìè¥ á㬬 à­®£® ¯®â®ª , ¢ëç¨á«ï¥¬®£® ¡¥§ ãç¥â
¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢¨ï ¤¨ää㧨®­­ëå á«¥¤®¢ ¨ ¯®£à ­á«®¥¢ ç áâ¨æ.
4.16. Œ áá®- ¨ ⥯«®®¡¬¥­ ¯à¨ áâ¥á­¥­­®¬
®¡â¥ª ­¨¨ á¨á⥬ ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨
¯ã§ë३

 ­¥¥ ¢ à §¤. 2.8 ¡ë«¨ à áᬮâ७ë à §«¨ç­ë¥ ᯥªâë £¨¤à®¤¨­ ¬¨ª¨ áâ¥á­¥­­®£® ®¡â¥ª ­¨ï á¨á⥬ë ç áâ¨æ, ®á­®¢ ­­ë¥ ­ ¬®¤¥«¨
â®ç¥ç­ëå ᨫ ¨ ï祥筮© ¬®¤¥«¨. ¨¥ ¡ã¤¥â ªà ⪮ ®¯¨á ­ ¬ áá®- ¨
⥯«®®¡¬¥­ ¢ â ª¨å á¨á⥬ å ¯à¨ ¡®«ìè¨å ç¨á« å Ǒ¥ª«¥. ã¤¥¬ ¨áá«¥¤®¢ âì «¨¡® ¤®áâ â®ç­® à §à¥¥­­ë¥ á¨á⥬ë ç áâ¨æ, «¨¡® á¨á⥬ë
á ­¥à¥£ã«ïà­®© áâàãªâãன, ª®£¤ ¤¨ää㧨®­­ë¬ ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨¥¬
®â¤¥«ì­ëå ç áâ¨æ ¬®­® ¯à¥­¥¡à¥çì. (¥£ã«ïà­ë¥ ¤¨á¯¥àá­ë¥ á¨á⥬ë, ¢ ª®â®àëå ­¥®¡å®¤¨¬® ãç¨âë¢ âì ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨¥ ¤¨ää㧨®­­ëå
á«¥¤®¢ ¨ ¯®£à ­á«®¥¢ ®â¤¥«ì­ëå ç áâ¨æ, ¨áá«¥¤®¢ «¨áì ¢ à ¡®â¥ [69℄
­ ®á­®¢¥ १ã«ìâ ⮢, ¨§«®¥­­ëå ¢ à §¤. 4.15.)
Ǒਠᥤ¨¬¥­â 樨 à §à¥¥­­ëå ¬®­®¤¨á¯¥àá­ëå á¨á⥬ áä¥à¨ç¥áª¨å ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ á।­¥¥ ç¨á«® ˜¥à¢ã¤ ¬®­® ¢ëç¨á«ïâì á ¯®¬®éìî ä®à¬ã« (4.6.8), (4.6.17), £¤¥ ç¨á«® Ǒ¥ª«¥ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¯® ᪮à®á⨠áâ¥á­¥­­®£® ®¡â¥ª ­¨ï.
Œ®­®¤¨á¯¥àá­ ï á¨á⥬ áä¥à¨ç¥áª¨å ç áâ¨æ. „«ï ®¯à¥¤¥«¥­¨ï ª®íää¨æ¨¥­â®¢ ¬ áá®- ¨ ⥯«®¯¥à¥­®á ¯à¨ ¡®«ìè¨å ç¨á« å
Ǒ¥ª«¥, ª ª ¨ ¢ á«ãç ¥ ®¤¨­®ç­®© ç áâ¨æë, ¤®áâ â®ç­® §­ âì à á¯à¥¤¥«¥­¨¥ ¢¨åàï ¯® ¯®¢¥àå­®á⨠⢥à¤ëå áä¥à. Ǒ®í⮬㠯ਠà áç¥â å
¬®­® ¢®á¯®«ì§®¢ âìáï १ã«ìâ â ¬¨ à §¤. 4.6.

4.16. Œ áá®- ¨ ⥯«®®¡¬¥­ ¯à¨ áâ¥á­¥­­®¬ ®¡â¥ª ­¨¨ ç áâ¨æ

211

 áᬮâਬ ¬ áá®- ¨ ⥯«®®¡¬¥­ ¬®­®¤¨á¯¥àá­®© á¨á⥬ë áä¥à¨ç¥áª¨å ç áâ¨æ à ¤¨ãá a á ®¡ê¥¬­®© ¯«®â­®áâìî ⢥म© ä §ë φ. ˆá¯®«ì§ãï ¯®«¥ ᪮à®á⨠¨¤ª®áâ¨, ¯®«ã祭­®¥ ¯à¨ ¬ «ëå ç¨á« å ¥©­®«ì¤á á ¯®¬®éìî ï祥筮© ¬®¤¥«¨ • ¯¯¥«ï (á¬. à §¤. 2.8), ¬®­®
­ ©â¨ á।­¥¥ ç¨á«® ˜¥à¢ã¤ [31, 33℄


2(1 − φ5/3 )
Sh = 0,625
2 − 3φ1/3 + 3φ5/3 − 2φ2

1/3

Pe1φ/3 .

(4.16.1)

‡¤¥áì Peφ = aUφ/D | ç¨á«® Ǒ¥ª«¥, ®¯à¥¤¥«¥­­®¥ ¯® ᪮à®á⨠áâ¥á­¥­­®£® ¯®â®ª , ª®â®à®¥ ¢ ¤ ­­®¬ á«ãç ¥ ¢ëç¨á«ï¥âáï ¯® ä®à¬ã«¥
Uφ

=

3
2



2 − 3φ1/3 + 3φ5/3 − 2φ2
3 + 2φ5/3



Ui ,

(4.16.2)

£¤¥ Ui | ᪮à®áâì ®¤¨­®ç­®© áä¥àë, ¯ ¤ î饩 ¢ ¡¥§£à ­¨ç­®© ¨¤ª®áâ¨.
 áç¥â ª®íää¨æ¨¥­â®¢ ¬ áá®- ¨ ⥯«®®¡¬¥­ ¯à¨ 㬥७­ëå ¨
¡®«ìè¨å ç¨á« å ¥©­®«ì¤á á¢ï§ ­ á âà㤭®áâﬨ, ¢®§­¨ª î騬¨
¯à¨ ®¯¨á ­¨¨ áâ¥á­¥­­ëå â¥ç¥­¨© á ãç¥â®¬ ᨫ ¨­¥à樨 ¯à¨ Pe ≫ 1.
‚ ­® ®â¬¥â¨âì, ®¤­ ª®, çâ® ¯®«¥ â¥ç¥­¨ï ¢ ª®­æ¥­âà¨à®¢ ­­ëå ¤¨á¯¥àá­ëå á¨á⥬ å ¡®«¥¥ á« ¡® § ¢¨á¨â ®â ç¨á« ¥©­®«ì¤á , 祬 ¢ á«ãç ¥ ®¤¨­®ç­ëå ç áâ¨æ.  ¯à¨¬¥à, ¯à®æ¥áá ¢®§­¨ª­®¢¥­¨ï § ç áâ¨æ ¬¨ ®¡« á⥩ á § ¬ª­ã⮩ æ¨àªã«ï樥© ¨¤ª®áâ¨, ª®â®àë¥ ¢«¨ïîâ ­
¬ áá®- ¨ ⥯«®¯¥à¥­®á, ¢¥áì¬ § â¢ ¥âáï ¨ § ¢¥àè ¥âáï ¯à¨ §­ 祭¨ïå Re ¢ ­¥áª®«ìª® ¤¥áï⪮¢ ¨«¨ ¤ ¥ á®â¥­. “ª § ­­®¥ ᣫ ¨¢ ­¨¥ ¢®§¬ã饭¨© ¢ ¯®â®ª¥ ¯à¨ ¤®áâ â®ç­® ¡®«ìè¨å ª®­æ¥­âà æ¨ïå
¤¨á¯¥àá­®© ä §ë ¯®§¢®«ï¥â ¯® ᮮ⢥âáâ¢ãî騬 ¤ ­­ë¬ ¢ á⮪ᮢ®¬ २¬¥ ¯à¨¡«¨¥­­® ®æ¥­¨¢ âì ¯à®æ¥áá ¬ áá®- ¨ ⥯«®¯¥à¥­®á
¢ ®¡« á⨠¡®«¥¥ ¢ë᮪¨å §­ 祭¨© Re.
ªá¯¥à¨¬¥­â «ì­ë¥ ¤ ­­ë¥ ¯® ¬ áá®- ¨ ⥯«®®¡¬¥­ã ¢ áâ¥á­¥­­®¬
¯®â®ª¥ ç áâ® ®¡à ¡ âë¢ îâ ¢ ¢¨¤¥ § ¢¨á¨¬®áâ¨ ä ªâ®à Š®«ì¡®à­
Ko = Sh/(S Reφ ) ®â ç¨á« ¥©­®«ì¤á . Ǒ஢¥¤¥­­®¥ ¢ à ¡®â¥ [33℄
áà ¢­¥­¨¥ ®¯ëâ­ëå ¤ ­­ëå ¯® ä ªâ®à㠊®«ì¡®à­ ¤«ï ⢥à¤ëå áä¥à
¯à¨ 0,5 6 φ 6 0,7 á ⥮à¥â¨ç¥áª¨¬¨ §­ 祭¨ï¬¨ ¯à¨ Re < 1 ¯®ª § «®,
ç⮠१ã«ìâ âë à áç¥â®¢ ¤«ï ¬ «ëå Re ®ª §ë¢ îâáï ¯à¨£®¤­ë¬¨
¢¯«®âì ¤® Re 6 50.
„«ï à áç¥â á।­¥£® ç¨á« ˜¥à¢ã¤ (ãáᥫìâ ) ¢ á«ãç ¥ ᢮¡®¤­® ­ á믭®£® á«®ï ç áâ¨æ à §«¨ç­®© ä®à¬ë ¢ è¨à®ª®¬ ¤¨ ¯ §®­¥
ç¨á¥« ¥©­®«ì¤á ¬®­® ¨á¯®«ì§®¢ âì í¬¯¨à¨ç¥áª¨¥ ä®à¬ã«ë [94℄
Sh = 0,46 S
Sh = 0,50 S
Sh = 0,30 S

0,33 Re0,85
ef
0,33 Re0,47
ef
0,33 Re0,64
ef

¯à¨ 0,1 6 Reef 6 1,
¯à¨ 1 6 Reef 6 15,
¯à¨ 15 6 Reef 6 4 · 104,

(4.16.3)

212

Œ áá®®¡¬¥­ ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ á ¯®â®ª®¬

£¤¥ íä䥪⨢­®¥ ç¨á«® ¥©­®«ì¤á ®¯à¥¤¥«ï¥âáï á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬:
2(1 − φ)
a hU i
Ui
Reef = e
, ae =
, hU i =
.
(4.16.4)
ν
sφ
1−φ

‡¤¥áì ae | íª¢¨¢ «¥­â­ë© à ¤¨ãá ç áâ¨æ, hU i | á।­ïï ᪮à®áâì
¯®â®ª , s = S∗ /V∗ | 㤥«ì­ ï ¯«®é ¤ì ¯®¢¥àå­®á⨠ç áâ¨æ, Ui |
᪮à®áâì ­ ¡¥£ î饣® ¯®â®ª (¯à¨ φ = 0).
„«ï ¬®­®¤¨á¯¥àá­®£® á«®ï áä¥à¨ç¥áª¨å ç áâ¨æ à ¤¨ãá a ¢ ä®à¬ã« å (4.16.3), (4.16.4) á«¥¤ã¥â ¯®«®¨âì s = 3/a.
Ǒ®«¨¤¨á¯¥àá­ ï á¨á⥬ áä¥à¨ç¥áª¨å ç áâ¨æ. Ǒਠ­ «¨§¥
¯à®æ¥áᮢ ¬ áá®- ¨ ⥯«®®¡¬¥­ ¢ ¯®«¨¤¨á¯¥àá­ëå á¨á⥬ å ¢¢®¤ïâ
äã­ªæ¨î à á¯à¥¤¥«¥­¨ï ç áâ¨æ ¯® à §¬¥à ¬ f (a), 㤮¢«¥â¢®àïîéãî
ãá«®¢¨î ­®à¬¨à®¢ª¨
Z ∞
f (a) da = 1.
(4.16.5)

Ž¡é¥¥ ç¨á«® ç áâ¨æ
¯®¬®éìî ä®à¬ã«
N

0

N

¢ à áᬠâਢ ¥¬®© á¨á⥬¥ ¢ëç¨á«ï¥âáï á

3φV∗
=
,
32πa3

a
=

Z

∞

0

a3 f (a) da

1/3

(4.16.6)

,

£¤¥ V∗ | ¯®«­ë© ®¡ê¥¬ á¨á⥬ë, a | á।­¨© à ¤¨ãá ç áâ¨æ.
 §¬¥à­ ï ¢¥«¨ç¨­ ¯®«­®£® ¯®â®ª ¬ ááë ®¯à¥¤¥«ï¥âáï â ª:
I∗

=−

Z

π

0

Z

0

∞

ND



∂C
∂R



R=a

2πa2 sin θ f (a) da dθ.

(4.16.7)

ˆá¯®«ì§ãï १ã«ìâ âë [307℄, ¯®«ã祭­ë¥ ¤«ï ¯®«ï â¥ç¥­¨ï á ¯®¬®éìî ¬®¤¥«¨ â®ç¥ç­ëå ᨫ, ¬®­® ­ ©â¨ á।­¥¥ ç¨á«® ˜¥à¢ã¤
¤«ï ¯®«¨¤¨á¯¥àá­®© á¨á⥬ë ç áâ¨æ [31℄
Sh = 0,625 (A Peφ )1/3 ,

Peφ = aUφ /D,

(4.16.8)

£¤¥

a
b
A =1+
9φ(2 − 3φ) 1 +
2 − 3φ
b3
Z ∞
bm =
am f (a) da
(m = 1, 2,
0

81 2
φ
4



b2
b3

2 1/2

+

9 b2
φ
2 b3


,

3).

᫨ äã­ªæ¨ï à á¯à¥¤¥«¥­¨ï ¨§¢¥áâ­ , â® ¢ëç¨á«¥­¨¥ ¬®¬¥­â®¢ bm ­¥ á®áâ ¢«ï¥â âà㤠. Ž¡ëç­® f (a) § ¤ îâ ä®à¬ã« ¬¨ íªá¯®­¥­æ¨ «ì­®£® ¨«¨ ¬ ªá¢¥««®¢áª®£® ¢¨¤ . Œ¥â®¤ë íªá¯¥à¨¬¥­â «ì­®£®
®¯à¥¤¥«¥­¨ï f (a) ®¯¨á ­ë ¢ [169℄.

213
Œ®­®¤¨á¯¥àá­ ï á¨á⥬ áä¥à¨ç¥áª¨å ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३.
4.16. Œ áá®- ¨ ⥯«®®¡¬¥­ ¯à¨ áâ¥á­¥­­®¬ ®¡â¥ª ­¨¨ ç áâ¨æ

„«ï á⮪ᮢ २¬ ¤¢¨¥­¨ï á¨á⥬ë áä¥à¨ç¥áª¨å ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ ¨á¯®«ì§®¢ ­¨¥ ï祥筮© ¬®¤¥«¨ • ¯¯¥«ï (á¬. à §¤. 2.8) ¯à¨¢®¤¨â
ª á«¥¤ãî饬㠢ëà ¥­¨î ¤«ï á।­¥£® ç¨á« ˜¥à¢ã¤ [314℄:
Sh = 0,461

(

2(1 − φ5/3 ) Peφ
(1 − φ1/3 )[3β + 2 + 2(β − 1)φ5/3 ℄ − β (1 − φ5/3 )

)1/2

,

(4.16.9)
£¤¥ Peφ = aUφ /D | ç¨á«® Ǒ¥ª«¥, ®¯à¥¤¥«ï¥¬®¥ ¯® ᪮à®á⨠áâ¥á­¥­­®£® ¯®â®ª Uφ, β | ®â­®è¥­¨¥ ¤¨­ ¬¨ç¥áª¨å ¢ï§ª®á⥩ ¤¨á¯¥àá­®©
¨ ᯫ®è­®© ä §ë (§­ 祭¨¥ β = 0 ᮮ⢥âáâ¢ã¥â £ §®¢®¬ã ¯ã§ëàî).
Ǒਠ¡®«ìè¨å ç¨á« å ¥©­®«ì¤á Reφ = aUφ /ν > 500 ᪮à®áâì ¬ áᮯ¥à¥­®á ¢ áâ¥á­¥­­®¬ ¯®â®ª¥ £ §®¢ëå ¯ã§ëà쪮¢ ¬®­® ¢ëç¨á«ïâì
á ¯®¬®éìî ä®à¬ã«ë [253℄
p
Pe
Sh = 0,8 √ φ .
1−φ

(4.16.10)

Žâ¬¥â¨¬, çâ® ¢ à ¡®â¥ [161℄ ­ ®á­®¢¥ ï祥筮© ¬®¤¥«¨ â¥ç¥­¨ï ¨áá«¥¤®¢ «áï ¬ áá®- ¨ ⥯«®®¡¬¥­ ¬®­®¤¨á¯¥àá­ëå á¨á⥬ áä¥à¨ç¥áª¨å
ª ¯¥«ì, ¯ã§ë३ ¨ ⢥à¤ëå ç áâ¨æ ¯à¨ Reφ < 250 ¨ 0 < φ < 0,5.

Œ áá®- ¨ ⥯«®¯¥à¥­®á ¯à¨ ¯®¯¥à¥ç­®¬ ®¡â¥ª ­¨¨ ¯ ª¥â®¢
樫¨­¤à®¢.  áᬮâਬ ¬ áá®- ¨ ⥯«®®¡¬¥­ ¯ ª¥â®¢ ªà㣮¢ëå æ¨-

«¨­¤à®¢ á ª®à¨¤®à­ë¬ ¨ è å¬ â­ë¬ à ᯮ«®¥­¨¥¬. ‚ ¯¥à¢®¬ àï¤ã
¯ ª¥â âàã¡ë ¯à¨ ¤®áâ â®ç­® ¡®«ìè¨å ç¨á« å ¥©­®«ì¤á ­ 室ïâáï ¢
ãá«®¢¨ïå, ¡«¨§ª¨å ª ãá«®¢¨ï¬ ¬ áá®®¡¬¥­ ®¤¨­®ç­®£® 樫¨­¤à (¥á«¨ ¬¥âàã¡­ë© § §®à ¯®à浪 à ¤¨ãá 樫¨­¤à ), ¢ ¯®á«¥¤ãîé¨å
àï¤ å ¬ áá®®â¤ ç ¢®§à áâ ¥â. “ª § ­­®¥ ®¡áâ®ï⥫ìá⢮ ®¡ãá«®¢«¥­®
⥬, çâ® ¯¥à¢ë¥ àï¤ë ¤¥©áâ¢ãîâ, ª ª âãà¡ã«¨§ â®àë ¯®â®ª . ‘â ¡¨«¨§ æ¨ï ¬ áá®- ¨ ⥯«®®¡¬¥­ ¯à®¨á室¨â ¢ ¯à¥¤¥« å 10% ¯®á«¥ 4-£®
àï¤ ¨ ¯à ªâ¨ç¥áª¨ ¯®«­®áâìî ¯®á«¥ 14-£® àï¤ . „ «¥¥ ¯à¨ à áç¥â å § å à ªâ¥à­ë© ¬ áèâ ¡ ¤«¨­ë ¯à¨­¨¬ ¥âáï à ¤¨ãá âàã¡ a, §
å à ªâ¥à­ãî ᪮à®áâì â¥ç¥­¨ï U = Ui/ψ, £¤¥ Ui | ᪮à®áâì â¥ç¥­¨ï
¢¤ «¨ ®â ¯ ª¥â 樫¨­¤à®¢, ψ | ª®íää¨æ¨¥­â ­ ¨¡®«ì襣® á㥭¨ï
¯à®å®¤­®£® á¥ç¥­¨ï ¯ ª¥â ¯® 室㠯®â®ª .
‘।­¥¥ ç¨á«® ˜¥à¢ã¤ ¢ £«ã¡¨­­®¬ àï¤ã (¯à¨ k > 14, £¤¥ k |
­®¬¥à àï¤ ) ¤«ï ª®à¨¤®à­ëå ¯ ª¥â®¢ ¢ëç¨á«ï¥âáï ¯® ä®à¬ã« ¬ [94℄
Shmax = 0,59 S
Shmax = 0,37 S
Shmax = 0,21 S

0,36 Re0,4
0,36 Re0,5

0,36 Re0,63

¯à¨ 1 < Re < 50,
¯à¨ 50 < Re < 200,
¯à¨ 200 < Re < 105.

(4.16.11)

214

Œ áá®®¡¬¥­ ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ á ¯®â®ª®¬

„«ï è å¬ â­®£® à ᯮ«®¥­¨ï âàã¡ ¢ ¯ ª¥â¥ á।­¥¥ ç¨á«® ˜¥à¢ã¤
®¯à¥¤¥«ï¥âáï á ¯®¬®éìî ¢ëà ¥­¨© [94℄
Shmax = 0,69 S
Shmax = 0,50 S
Shmax = 0,28 S

0,36 Re0,4
0,36 Re0,5
0,36 Re0,6

¯à¨ 1 < Re < 20,
¯à¨ 20 < Re < 150,
¯à¨ 150 < Re < 105.

(4.16.12)

Œ áá®- ¨ ⥯«®¯¥à¥¤ ç ¢ ¯¥à¥¤­¨å àï¤ å ¯ ª¥â ®¯à¥¤¥«ï¥âáï á
¯®¬®éìî ¯à¨¡«¨¥­­®© ä®à¬ã«ë
Shk =

k
k+α

Shmax

(k > 2),

(4.16.13)

¢ ª®â®à®© ¤«ï ª®à¨¤®à­®£® à ᯮ«®¥­¨ï âàã¡ á«¥¤ã¥â ¯®«®¨âì
α = 0,3, ¤«ï è å¬ â­®£® à ᯮ«®¥­¨ï | α = 0,5.

5. Œ áá®®¡¬¥­, ®á«®­¥­­ë©
¯®¢¥àå­®áâ­®© ¨«¨ ®¡ê¥¬­®©
娬¨ç¥áª®© ॠªæ¨¥©

‚ ¯à¥¤ë¤ãé¨å £« ¢ å à áᬠâਢ «¨áì ¯à®æ¥ááë ¯¥à¥­®á ¢¥é¥á⢠ª ¯®¢¥àå­®áâï¬ ç áâ¨æ ¨ ª ¯¥«ì ¢ á«ãç ¥ ¡¥áª®­¥ç­®© ᪮à®áâ¨
娬¨ç¥áª®© ॠªæ¨¨ ( ¤á®à¡æ¨ï, à á⢮७¨¥). Šà®¬¥ ⮣®, ­¥ à áᬠâਢ «¨áì 娬¨ç¥áª¨¥ ॠªæ¨¨, ¯à®â¥ª î騥 ¢ ®¡ê¥¬¥ ᯫ®è­®©
ä §ë.  àï¤ã á í⨬¨ á«ãç ﬨ ¢ ¯à¨«®¥­¨ïå ¢ ­ãî à®«ì ¨£à îâ
¬ áá®®¡¬¥­­ë¥ ¯à®æ¥ááë, ¢ ª®â®àëå ᪮à®á⨠¨§¬¥­¥­¨ï ª®­æ¥­âà 樨 ॠ£¥­â ¯à¨ 娬¨ç¥áª®¬ ¯à¥¢à 饭¨¨ ¨ ¤¨ää㧨®­­®£® ¯®¤¢®¤ ॠ£¥­â ª ¯®¢¥àå­®á⨠®ª §ë¢ îâáï áà ¢­¨¬ë¬¨ ¯® ¢¥«¨ç¨­¥.
®«ì讥 §­ 祭¨¥ ¨¬¥îâ â ª¥ ¯à®æ¥ááë á ®¡ê¥¬­ë¬¨ 娬¨ç¥áª¨¬¨
ॠªæ¨ï¬¨, ¯à®â¥ª î騬¨ á ª®­¥ç­®© ᪮à®áâìî.
‚ ¤ ­­®© £« ¢¥ à áᬠâਢ îâáï § ¤ ç¨ ® ª®­¢¥ªâ¨¢­®¬ ¬ áá®®¡¬¥­¥ ç áâ¨æë á ¯®áâ㯠⥫ì­ë¬ ¨ ᤢ¨£®¢ë¬ ¯®â®ª®¬ ¯à¨ ¯à®â¥ª ­¨¨
­ ¬¥ä §­®© ¯®¢¥àå­®á⨠娬¨ç¥áª®© ॠªæ¨¨, ᪮à®áâì ª®â®à®©
¯à®¨§¢®«ì­ë¬ ®¡à §®¬ § ¢¨á¨â ®â ª®­æ¥­âà 樨 ¤¨ääã­¤¨àãî饣®
¢¥é¥á⢠. Ǒ®«ãç¥­ë ¯à®áâë¥ ¯à¨¡«¨¥­­ë¥ ä®à¬ã«ë ¤«ï ®¯à¥¤¥«¥­¨ï á।­¥£® ç¨á« ˜¥à¢ã¤ ¯à¨ «î¡®© ª¨­¥â¨ª¥ ¯®¢¥àå­®áâ­®©
娬¨ç¥áª®© ॠªæ¨¨ ¢® ¢á¥¬ ¤¨ ¯ §®­¥ §­ 祭¨© ª®­áâ ­âë ᪮à®áâ¨
ॠªæ¨¨ ¨ ç¨á¥« Ǒ¥ª«¥.
ˆáá«¥¤®¢ ­® ¢«¨ï­¨¥ £®¬®£¥­­ëå 娬¨ç¥áª¨å ॠªæ¨© ­ ¨­â¥­á¨¢­®áâì ª®­¢¥ªâ¨¢­®£® ¬ áá®®¡¬¥­ ª ¯¥«ì ¨ ç áâ¨æ á ¯®â®ª®¬. Ǒਢ¥¤¥­ë ¯à®áâë¥ ¯à¨¡«¨¥­­ë¥ ä®à¬ã«ë ¤«ï à áç¥â ç¨á« ˜¥à¢ã¤
¯à¨ ¯à®¨§¢®«ì­®© § ¢¨á¨¬®á⨠᪮à®á⨠®¡ê¥¬­®© 娬¨ç¥áª®© ॠªæ¨¨ ®â ª®­æ¥­âà 樨 ¤«ï ¯®áâ㯠⥫쭮£® ¨ ᤢ¨£®¢®£® â¥ç¥­¨©.
5.1. Œ áᮯ¥à¥­®á, ®á«®­¥­­ë©
¯®¢¥àå­®áâ­®© 娬¨ç¥áª®© ॠªæ¨¥©

 àï¤ã á à áᬮâ७­ë¬¨ ¢ ¯à¥¤è¥áâ¢ãîé¨å £« ¢ å á«ãç ﬨ
¢ ¯à¨«®¥­¨ïå ¢ ­ãî à®«ì ¨£à îâ ¯®¢¥àå­®áâ­ë¥ 娬¨ç¥áª¨¥ ४樨, ᪮à®áâì ª®â®àëå ª®­¥ç­ (á¬. à §¤. 3.1), ª®­æ¥­âà æ¨ï ­
£à ­¨æ å à §¤¥« §¤¥áì § à ­¥¥ ­¥¨§¢¥áâ­ ¨ ãáâ ­ ¢«¨¢ ¥âáï ¢ 室¥
à¥è¥­¨ï § ¤ ç¨. „®¯ãá⨬, çâ® áä¥à¨ç¥áª ï ç áâ¨æ (ª ¯«ï, ¯ã§ëàì)
à ¤¨ãá a ®¡â¥ª ¥âáï « ¬¨­ à­ë¬ ¯®â®ª®¬ ¨¤ª®á⨠á å à ªâ¥à­®©
᪮à®áâìî U , R | à ¤¨ «ì­ ï ª®®à¤¨­ â , á¢ï§ ­­ ï á 業â஬ ç áâ¨æë. ‘ç¨â ¥¬, çâ® ª®­æ¥­âà æ¨ï ¢¤ «¨ ®â ç áâ¨æë ¯®áâ®ï­­ ¨ à ¢­ Ci , ­ ¬¥ä §­®© ¯®¢¥àå­®á⨠¯à®â¥ª ¥â 娬¨ç¥áª ï ॠªæ¨ï á®
᪮à®áâìî Ws = Ks Fs (C ), £¤¥ Ks | ª®­áâ ­â ᪮à®á⨠¯®¢¥àå­®áâ­®©

215

216

Œ áá®®¡¬¥­, ®á«®­¥­­ë© 娬¨ç¥áª®© ॠªæ¨¥©

ॠªæ¨¨; äã­ªæ¨ï Fs ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ª¨­¥â¨ª®© ॠªæ¨¨ ¨ 㤮¢«¥â¢®àï¥â ãá«®¢¨î Fs (0) = 0.
‘®®â¢¥âáâ¢ãîé ï § ¤ ç ® à á¯à¥¤¥«¥­¨¨ ª®­æ¥­âà 樨 ¢ ᯫ®è­®© ä §¥ ä®à¬ã«¨àã¥âáï â ª:
Pe(~v · ∇)c =
c;

(5.1.1)

∂c
r = 1,
= −ks fs (c);
∂r
r → ∞, c → 0.

(5.1.2)
(5.1.3)

‡¤¥áì ¡¥§à §¬¥à­ë¥ ä㭪樨 ¨ ¯ à ¬¥âàë á¢ï§ ­ë á ¨á室­ë¬¨
à §¬¥à­ë¬¨ ¢¥«¨ç¨­ ¬¨ ᮮ⭮襭¨ï¬¨
c=

Ci − C
,
Ci

r=

R
,
a

Pe =

aU
,
D

ks =

aKs Fs (Ci )
,
DCi

fs (c) =

Fs (C )
.
Fs (Ci )

‚ ç áâ­®áâ¨, ¤«ï ॠªæ¨¨ ¯®à浪 n ¨¬¥¥¬ Fs = C n ¨ fs = (1 − c)n .
‚ ®¡é¥¬ á«ãç ¥ äã­ªæ¨ï fs ®¡« ¤ ¥â ᢮©á⢠¬¨
fs (1) = 0,

fs (0) = 1.

(5.1.4)

‚ à ¡®â å [60, 279℄ ¤«ï á।­¥£® ç¨á« ˜¥à¢ã¤ ¡ë«® ¯à¥¤«®¥­®
á«¥¤ãî饥 ¯à¨¡«¨¥­­®¥ ãà ¢­¥­¨¥:
Sh = ks fs



Sh
Sh∞



,

(5.1.5)

ª®â®à®¥ á ãᯥ宬 ¬®­® ¨á¯®«ì§®¢ âì ¤«ï ®¯à¥¤¥«¥­¨ï Sh ¯à¨
¯à®¨§¢®«ì­®¬ ®¡â¥ª ­¨¨ áä¥à¨ç¥áª¨å ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ ¤«ï
«î¡®© § ¢¨á¨¬®á⨠᪮à®á⨠¯®¢¥àå­®áâ­®© ॠªæ¨¨ ®â ª®­æ¥­à 樨
¢® ¢á¥¬ ¤¨ ¯ §®­¥ ¨§¬¥­¥­¨ï ç¨á« Ǒ¥ª«¥: 0 6 Pe < ∞.
‚ ä®à¬ã«¥ (5.1.5) ¢¥«¨ç¨­ Sh∞ = Sh∞ (Pe) ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¤¨ää㧨®­­®¬ã २¬ã ॠªæ¨¨ (â.¥. ¯à¥¤¥«ì­®¬ã á«ãç î ks → ∞) ¨
¤®«­ ®¯à¥¤¥«ïâìáï á ¯®¬®éìî à¥è¥­¨ï ¢á¯®¬®£ ⥫쭮© § ¤ ç¨
(5.1.1), (5.1.3) á ¯à®á⥩訬 £à ­¨ç­ë¬ ãá«®¢¨¥¬ ­ ¬¥ä §­®© ¯®¢¥àå­®áâ¨: r = 1, c = 1. ‘®®â¢¥âáâ¢ãî騥 ä®à¬ã«ë ¤«ï Sh∞ (Pe) ¢
á«ãç ¥ à §«¨ç­ëå â¥ç¥­¨© ¡ë«¨ ¯à¨¢¥¤¥­ë à ­¥¥ ¢ à §¤. 4.7 ¨ 4.8.
„«ï ¯®¢¥àå­®áâ­®© ॠªæ¨¨ ¯®à浪 n ãà ¢­¥­¨¥ (5.1.5) ¯à¨­¨¬ ¥â ¢¨¤


Sh n
aKs Cin−1
.
,
ks =
Sh = ks 1 −
Sh∞
D

5.1. Œ áᮯ¥à¥­®á, ®á«®­¥­­ë© ¯®¢¥àå­®áâ­®© 娬¨ç¥áª®© ॠªæ¨¥©

217

 §à¥è ï ¥£® ®â­®á¨â¥«ì­® Sh, ¢ ç áâ­ëå á«ãç ïå n = 1/2, 1, 2 ¬®­®
¯®«ãç¨âì ᮮ⢥âá⢥­­®


1/2
ks
1
ks2
+1
−
¯à¨ n = ,
Sh = ks
2
2 Sh∞
2
4 Sh∞
−1

1
1
Sh =
+
¯à¨ n = 1,
ks
Sh∞

1/2
2
4ks
Sh2
Sh = ∞
+1
−1
¯à¨ n = 2.
4ks
Sh∞
‚ [60℄ ¯®ª § ­®, çâ® ãà ¢­¥­¨¥ (5.1.5) ¯®§¢®«ï¥â ¯à ¢¨«ì­® ­ ©â¨ ¢
á«ãç ¥ ¯®áâ㯠⥫쭮£® á⮪ᮢ ¯®â®ª âà¨, ¢ á«ãç ¥ ¯à®¨§¢®«ì­®£® ᤢ¨£®¢®£® | ç¥âëॠ¯¥à¢ëå ç«¥­ ᨬ¯â®â¨ç¥áª®£® à §«®¥­¨ï
ç¨á« ˜¥à¢ã¤ ¯® ¬ «ë¬ ç¨á« ¬ Ǒ¥ª«¥ ¤«ï «î¡®© ª¨­¥â¨ª¨ ¯®¢¥àå­®áâ­®© 娬¨ç¥áª®© ॠªæ¨¨.
Ǒਣ®¤­®áâì ¯à¨¡«¨¥­­®£® ¢ëà ¥­¨ï (5.1.5) ¯à¨ ¯à®¬¥ãâ®ç­ëå ç¨á« å Ǒ¥ª«¥ Pe = 10, 20, 50 (í⨬ §­ 祭¨ï¬ ᮮ⢥âá⢮¢ «¨
ç¨á« ¥©­®«ì¤á Re = 10, 20, 0,5) ¢ á«ãç ¥ ¯®áâ㯠⥫쭮£® ®¡â¥ª ­¨ï ⢥म© áä¥àë ¯à®¢¥àï« áì ¯ã⥬ áà ¢­¥­¨ï á १ã«ìâ â ¬¨
ç¨á«¥­­®£® à¥è¥­¨ï ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 § ¤ ç¨ ¤«ï ¯®¢¥àå­®áâ­®© 娬¨ç¥áª®© ॠªæ¨¨ ¯¥à¢®£® ¯®à浪 . Ǒ® ¤ ­­ë¬ [2, 28℄ á«¥¤ã¥â, çâ®
¯®£à¥è­®áâì ãà ¢­¥­¨ï (5.1.5) ¢ íâ¨å á«ãç ïå ­¥ ¯à¥¢®á室¨â 1,5%.
Ǒਠ¡®«ìè¨å ç¨á« å Ǒ¥ª«¥ ¤«ï ¯®¢¥àå­®áâ­®© ॠªæ¨¨ ¯®à浪
n = 1/2, 1, 2 ¯à®¢¥àª ¯à¨£®¤­®á⨠ãà ¢­¥­¨ï (5.1.5) ¯à®¢®¤¨« áì ¢®
¢á¥¬ ¤¨ ¯ §®­¥ ¨§¬¥­¥­¨ï ¯ à ¬¥âà ks ¯ã⥬ áà ¢­¥­¨ï ¥£® ª®à­ï
á १ã«ìâ â ¬¨ ç¨á«¥­­®£® à¥è¥­¨ï ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å ¨­â¥£à «ì­ëå
ãà ¢­¥­¨© ¤«ï ¯®¢¥àå­®áâ­®© ª®­æ¥­âà 樨 (¢ë¢¥¤¥­­ëå ¢ ¯à¨¡«¨¥­¨¨ ¤¨ää㧨®­­®£® ¯®£à ­¨ç­®£® á«®ï) ¢ á«ãç ¥ ¯®áâ㯠⥫쭮£®
á⮪ᮢ ®¡â¥ª ­¨ï áä¥àë, ªà㣮¢®£® 樫¨­¤à , ª ¯«¨ ¨ ¯ã§ëàï [60℄.
¥§ã«ìâ âë ᮯ®áâ ¢«¥­¨ï ¤«ï ॠªæ¨¨ ¢â®à®£® ¯®à浪 (n = 2) ¯à¥¤áâ ¢«¥­ë ­ à¨á. 5.1 (¤«ï n = 1/2 ¨ n = 1 â®ç­®áâì ãà ¢­¥­¨ï (5.1.5)
¢ëè¥, 祬 ¤«ï n = 2). Šà¨¢ ï 1, ¨§®¡à ¥­­ ï ᯫ®è­®© «¨­¨¥©,
ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ॠªæ¨¨ ¢â®à®£® ¯®à浪 n = 2. ‚¨¤­®, çâ® ¬ ªá¨¬ «ì­ ï ¯®£à¥è­®áâì ­ ¡«î¤ ¥âáï ¯à¨ 0,5 6 ks /Sh∞ 6 5,0 ¨ ­¥ ¯à¥¢ëè ¥â
6% | ¤«ï ⢥म© áä¥àë (ªà¨¢ ï 2 ), 8% | ¤«ï ªà㣮¢®£® 樫¨­¤à
(ªà¨¢ ï 3 ) ¨ 12% | ¤«ï áä¥à¨ç¥áª®© ª ¯«¨ (ªà¨¢ ï 4 ).
‚ à ¡®â¥ [249℄ ¯à®¢®¤¨« áì ¯à®¢¥àª ¯à¨£®¤­®á⨠ãà ¢­¥­¨ï
(5.1.5) ¯à¨ n = 1/2, 1, 2 ¢® ¢á¥¬ ¤¨ ¯ §®­¥ ¨§¬¥­¥­¨ï ¯ à ¬¥â஢
ks ¨ Pe ¤«ï ᤢ¨£®¢®£® á⮪ᮢ ®¡â¥ª ­¨ï áä¥àë. ‚® ¢á¥å à áᬮâ७­ëå á«ãç ïå ¬ ªá¨¬ «ì­ ï ¯®£à¥è­®áâì ­¥ ¯à¥¢ëè « 5%.
Žâ¬¥â¨¬, çâ® ¢ á«ãç ¥ ç áâ¨æ ­¥¯à ¢¨«ì­®© ä®à¬ë ¤«ï à áç¥â
á।­¥£® ç¨á« ˜¥à¢ã¤ á«¥¤ã¥â ¨á¯®«ì§®¢ âì ¡®«¥¥ ®¡é¥¥ ãà ¢­¥­¨¥


Sh
Sh
= fs
,
(5.1.6)
Sh0
Sh∞

218

Œ áá®®¡¬¥­, ®á«®­¥­­ë© 娬¨ç¥áª®© ॠªæ¨¥©

‡ ¢¨á¨¬®áâì ç¨á« ˜¥à¢ã¤ ®â ª®­áâ ­âë ᪮à®á⨠¤«ï ¯®¢¥àå­®áâ­®©
娬¨ç¥áª®© ॠªæ¨¨ ¢â®à®£® ¯®à浪 : 1 | ¯® ä®à¬ã«¥ (5.1.5), 2 | ¤«ï ⢥म©
áä¥àë, 3 | ¤«ï ªà㣮¢®£® 樫¨­¤à , 4 | ¤«ï áä¥à¨ç¥áª®© ª ¯«¨ ¨ ¯ã§ëàï

¨á. 5.1.

£¤¥ Sh0 | ᨬ¯â®â¨ª ¢¥«¨ç¨­ë Sh ¯à¨ ks → 0.
5.2. „¨ääã§¨ï ª ¢à é î饬ãáï ¤¨áªã
¨ ¯«®áª®© ¯« á⨭¥ ¯à¨ ¯à®â¥ª ­¨¨
®¡ê¥¬­®© ॠªæ¨¨

Œ áᮯ¥à¥­®á ª ¯®¢¥àå­®á⨠¤¨áª , ¢à é î饣®áï ¢ ¨¤ª®áâ¨.  áᬮâਬ ¤¨ääã§¨î ª ¯®¢¥àå­®á⨠¤¨áª , ¢à é î饣®áï

¢ ¨¤ª®áâ¨ á ¯®áâ®ï­­®© 㣫®¢®© ᪮à®áâìî ω . ‘ç¨â ¥¬, çâ® ¯à®æ¥áá
®á«®­¥­ ­¥®¡à ⨬®© ®¡ê¥¬­®© 娬¨ç¥áª®© ॠªæ¨¥©, ᪮à®áâì ª®â®à®© à ¢­ Wv = Kv Fv (C ).
Ǒਠ¡®«ìè¨å ç¨á« å Ǒ¥ª«¥ à á¯à¥¤¥«¥­¨¥ ª®­æ¥­âà 樨 ¢ ¨¤ª®á⨠®¯¨áë¢ ¥âáï á«¥¤ãî騬 ãà ¢­¥­¨¥¬ ¨ £à ­¨ç­ë¬¨ ãá«®¢¨ï¬¨:
d2 c
dc
+ Pe y 2
= kv fv (c);
2
dy
dy
y = 0, c = 1;
y → ∞, c → 0.

(5.2.1)
(5.2.2)

‡¤¥áì ¡¥§à §¬¥à­ë¥ ¢¥«¨ç¨­ë ¨ ¯ à ¬¥âàë ¢¢¥¤¥­ë ¯® ä®à¬ã« ¬
c=

C
,
Cs
kv

y

=

 ν 1/2
Y
ν
,
, Pe = 0,51 , a =
a
D
ω
a2 Kv Fv (Cs )
F (C )
, fv (c) = v
,
DCs
Fv (Cs )

=

5.2. „¨ääã§¨ï ª ¤¨áªã ¨ ¯« á⨭¥ ¯à¨ ¯à®â¥ª ­¨¨ ®¡ê¥¬­®© ॠªæ¨¨

219

£¤¥ Y | à ááâ®ï­¨¥ ®â ¯®¢¥àå­®á⨠¤¨áª , a | å à ªâ¥à­ë© ¬ áèâ ¡
¤«¨­ë, Cs | ª®­æ¥­âà æ¨ï ã ¯®¢¥àå­®á⨠¤¨áª , ν | ª¨­¥¬ â¨ç¥áª ï
¢ï§ª®áâì ¨¤ª®áâ¨.
‘ç¨â ¥¬, çâ® Wv > 0 ¨ Fv (0) = 0. Ǒ®í⮬ã äã­ªæ¨ï fv (c) ®¡« ¤ ¥â
᢮©á⢠¬¨ fv (0) = 0 ¨ fv (1) = 1.
„«ï ¯à¨¡«¨¥­­®£® ®¯à¥¤¥«¥­¨ï ¡¥§à §¬¥à­®£® ¤¨ää㧨®­­®£®
¯®â®ª ­ ¯®¢¥àå­®áâì ¤¨áª j = −(dc/dy )y=0 㤮¡­® ¨á¯®«ì§®¢ âì
ªã¡¨ç¥áª®¥ ãà ¢­¥­¨¥

−3
j 3 − 2kv hfv ij − 6 (1/3)
Pe = 0,
(5.2.3)
£¤¥ 㣫®¢ë¥ ᪮¡ª¨ ®§­ ç îâ á।­îî ¨­â¥£à «ì­ãî ¢¥«¨ç¨­ã ª¨­¥â¨ç¥áª®© ä㭪樨 fv :
hfv i =

Z 1
0

fv (c) dc.

(5.2.4)

Ǒਠ®âáãâá⢨¨ ®¡ê¥¬­®© ॠªæ¨¨ kv = 0 ãà ¢­¥­¨¥ (5.2.3) ¤ ¥â â®ç­ë© ®â¢¥â (3.2.11). Ǒਠ¡®«ìè¨å §­ 祭¨ïå kv → ∞ ¨ 䨪á¨à®¢ ­­®¬ Pe ¯à¨¡«¨¥­­®¥ ãà ¢­¥­¨¥ (5.2.3) ®¡¥á¯¥ç¨¢ ¥â ¯à ¢¨«ì­ë© ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨© १ã«ìâ â ¤«ï «î¡®© ª¨­¥â¨ç¥áª®© § ¢¨á¨¬®áâ¨
fv = fv (c).
„«ï á⥯¥­­ëå ॠªæ¨© ¨¬¥¥¬ fv (c) = cn . ‚ í⮬ á«ãç ¥ ¢ ãà ¢­¥­¨¨ (5.2.3) á«¥¤ã¥â ¯®«®¨âì
1
hfv i =
.
(5.2.5)
n+1
ˆ§ ä®à¬ã«ë (5.2.5) ¢¨¤­®, çâ® ¤¨ää㧨®­­ë© ¯®â®ª 㬥­ìè ¥âáï á
à®á⮬ ¯®ª § ⥫ï n ¨ 㢥«¨ç¨¢ ¥âáï ¯à¨ ã¬¥­ì襭¨¨ ¡¥§à §¬¥à­®©
ª®­áâ ­âë ᪮à®á⨠ॠªæ¨¨ kv .
„«ï ॠªæ¨© ¯®à浪 n = 1/2, 1, 2 ç¨á«¥­­®¥ à¥è¥­¨¥ § ¤ ç¨
(5.2.1), (5.2.2) ¯®«ã祭® ¢ [277℄. Œ ªá¨¬ «ì­ ï ¯®£à¥è­®áâì ªã¡¨ç¥áª®£® ãà ¢­¥­¨ï ¤«ï ¤¨ää㧨®­­®£® ¯®â®ª (5.2.3) ¢ 㪠§ ­­ëå á«ãç ïå ¢® ¢á¥¬ ¤¨ ¯ §®­¥ ¨§¬¥­¥­¨ï ¡¥§à §¬¥à­®© ª®­áâ ­âë ᪮à®áâ¨
ॠªæ¨¨ kv á®áâ ¢«ï¥â ¬¥­¥¥ 3%.

Œ áᮯ¥à¥­®á ª ¯«®áª®© ¯« á⨭ª¥, ®¡â¥ª ¥¬®© ¯®áâ㯠⥫ì­ë¬ ¯®â®ª®¬. ˆáá«¥¤ã¥¬ áâ 樮­ à­ãî ª®­¢¥ªâ¨¢­ãî ¤¨ä-

äã§¨î ª ¯®¢¥àå­®á⨠¯«®áª®© ¯« á⨭ª¨, ¯à®¤®«ì­® ®¡â¥ª ¥¬®© ¯®áâ㯠⥫ì­ë¬ ¯®â®ª®¬ ¢ï§ª®© ­¥á¨¬ ¥¬®© ¨¤ª®á⨠¯à¨ ¡®«ìè¨å
ç¨á« å ¥©­®«ì¤á (â¥ç¥­¨¥ « §¨ãá ). Ǒ।¯®« £ ¥âáï, çâ® ¬ áᮯ¥à¥­®á ®á«®­¥­ ®¡ê¥¬­®© ॠªæ¨¥©. ‚ ¯à¨¡«¨¥­¨¨ ¤¨ää㧨®­­®£®
¯®£à ­¨ç­®£® á«®ï ᮮ⢥âáâ¢ãîé ï § ¤ ç ® à á¯à¥¤¥«¥­¨¨ ª®­æ¥­âà 樨 ®¯¨áë¢ ¥âáï ãà ¢­¥­¨¥¬ ¨ £à ­¨ç­ë¬¨ ãá«®¢¨ï¬¨
1,33 y ∂c 1,33 y 2 ∂c
∂2c
+
=
− kv fv (c);
(5.2.6)
4 x1/2 ∂x
16 x3/2 ∂y
∂y 2
x = 0, c = 0;
y = 0, c = 1;
y → ∞, c → 0. (5.2.7)

220

Œ áá®®¡¬¥­, ®á«®­¥­­ë© 娬¨ç¥áª®© ॠªæ¨¥©

‡¤¥áì ¡¥§à §¬¥à­ë¥ ¢¥«¨ç¨­ë ¢¢¥¤¥­ë ¯® ä®à¬ã« ¬
c=

C
,
Cs
kv

=

X
, y=
a
a2 Kv Fv (Cs )
,
DCs
x=

Y
,
a

ν 1/3 D2/3
,
Ui
Fv (C )
,
Fv (Cs )

a=

fv (c) =

£¤¥ Ui | ­¥¢®§¬ã饭­ ï ᪮à®áâì ¨¤ª®á⨠¢¤ «¨ ®â ¯« á⨭ë; X |
à ááâ®ï­¨¥, ®âáç¨âë¢ ¥¬®¥ ®â ¯¥à¥¤­¥© ªà®¬ª¨ ¢¤®«ì ¯® ¯« á⨭¥;
Y | à ááâ®ï­¨¥ ®â ¯®¢¥àå­®á⨠¯« á⨭ë.
 á¯à¥¤¥«¥­¨¥ ¡¥§à §¬¥à­®£® «®ª «ì­®£® ¤¨ää㧨®­­®£® ¯®â®ª
j = −(∂c/∂y )y=0 ¢¤®«ì ¯®¢¥àå­®á⨠¯« á⨭ª¨ ¯à¨¡«¨¥­­® ¬®­®
®¯à¥¤¥«¨âì ¯ã⥬ à¥è¥­¨ï ªã¡¨ç¥áª®£® ãà ¢­¥­¨ï
j 3 − 2kv hfv ij − (0,399)3 x−3/2

= 0,

(5.2.8)

ª®â®à®¥ ¤ ¥â ¯à ¢¨«ì­ë© ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨© १ã«ìâ â ¢ ®¡®¨å ¯à¥¤¥«ì­ëå á«ãç ïå ¯à¨ kv → 0 ¨ kv → ∞ ¤«ï «î¡®© ª¨­¥â¨ª¨ ®¡ê¥¬­®©
娬¨ç¥áª®© ॠªæ¨¨. „«ï á⥯¥­­ëå ॠªæ¨© ¢ ãà ¢­¥­¨¥ (5.2.8) á«¥¤ã¥â ¯®¤áâ ¢¨âì ¢¥«¨ç¨­ã (5.2.5).
5.3. ‚­¥è­¨¥ § ¤ ç¨ ¬ áá®®¡¬¥­ ç áâ¨æ,
ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ á ¯®â®ª®¬ ¯à¨
à §«¨ç­ëå ç¨á« å Ǒ¥ª«¥ ¨ ­ «¨ç¨¨
®¡ê¥¬­®© 娬¨ç¥áª®© ॠªæ¨¨

 áᬮâਬ áâ 樮­ à­ë© ¬ áá®®¡¬¥­ ¬¥¤ã áä¥à¨ç¥áª®© ç áâ¨æ¥© (ª ¯«¥©, ¯ã§ë६) à ¤¨ãá a ¨ « ¬¨­ à­ë¬ ¯®â®ª®¬ ¨¤ª®áâ¨.
‘ç¨â ¥¬, çâ® ¢ ᯫ®è­®© ä §¥ ¯à®¨á室¨â ®¡ê¥¬­ ï 娬¨ç¥áª ï ४æ¨ï Wv = Kv Fv (C ). ‚ ¡¥§à §¬¥à­ëå ¯¥à¥¬¥­­ëå ¯à®æ¥áá ¯¥à¥­®á
ॠ£¥­â ¢ ᯫ®è­®© ä §¥ ®¯¨áë¢ ¥âáï á«¥¤ãî騬 ãà ¢­¥­¨¥¬ ¨ £à ­¨ç­ë¬¨ ãá«®¢¨ï¬¨:
Pe(~v · ∇)c =
c − kv fv (c);
r = 1, c = 1;
r → ∞, c → 0,

(5.3.1)
(5.3.2)

£¤¥ r = R/a, Pe = aU/D, kv = a2 Kv Fv (Cs )/(DCs ), R | à ¤¨ «ì­ ï
ª®®à¤¨­ â , á¢ï§ ­­ ï á 業â஬ ç áâ¨æë, U | å à ªâ¥à­ ï ᪮à®áâì
¯®â®ª ; ¡¥§à §¬¥à­ ï ª®­æ¥­âà æ¨ï c ¨ ª¨­¥â¨ç¥áª ï äã­ªæ¨ï fv
¢¢¥¤¥­ë â ª ¥, ª ª ¨ ¢ ãà ¢­¥­¨¨ (5.2.1).

Œ áá®®¡¬¥­ ç áâ¨æë á ­¥¯®¤¢¨­®© á।®© (Pe = 0).

ǑਠPe = 0 § ¤ ç (5.3.1), (5.3.2) ¤®¯ã᪠¥â â®ç­®¥ ­ «¨â¨ç¥áª®¥

5.3. ‚­¥è­¨¥ § ¤ ç¨ ¬ áᮯ¥à¥­®á ¯à¨ ­ «¨ç¨¨ ®¡ê¥¬­®© ॠªæ¨¨

221

à¥è¥­¨¥ ¤«ï ®¡ê¥¬­®© 娬¨ç¥áª®© ॠªæ¨¨ ¯¥à¢®£® ¯®à浪 , çâ®
ᮮ⢥âáâ¢ã¥â «¨­¥©­®© § ¢¨á¨¬®á⨠fv = c. ‚ í⮬ á«ãç ¥ ¨¬¥¥¬
c=

1
r

 1/2

kv (1 − r) .

exp

(5.3.3)

‘।­¥¥ ç¨á«® ˜¥à¢ã¤ , ᮮ⢥âáâ¢ãî饥 à¥è¥­¨î (5.3.3), ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ä®à¬ã«®©
p
(5.3.4)
Sh = 1 + kv .
„«ï ¯à®¨§¢®«ì­®© § ¢¨á¨¬®á⨠ª¨­¥â¨ç¥áª®© ä㭪樨 ®â ª®­æ¥­âà 樨 á।­¥¥ ç¨á«® ˜¥à¢ã¤ ¤«ï áä¥à¨ç¥áª®© ç áâ¨æë ¢ ­¥¯®¤¢¨­®© ¨¤ª®á⨠¬®­® ¢ëç¨á«ïâì á ¯®¬®éìî ¢ëà ¥­¨ï [280℄


Sh = 1 + 2kv

Z 1
0

fv (c) dc

1/2

.

(5.3.5)

”®à¬ã« (5.3.5) ®¡¥á¯¥ç¨¢ ¥â â®ç­ë© ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨© १ã«ìâ â
¢ ®¡®¨å ¯à¥¤¥«ì­ëå á«ãç ïå ¯à¨ kv → 0 ¨ kv → ∞ ¤«ï «î¡®© ä㭪樨 fv (c). „«ï ॠªæ¨¨ ¯¥à¢®£® ¯®à浪 fv = c ¯à¨¡«¨¥­­ ï § ¢¨á¨¬®áâì (5.3.5) ¤ ¥â â®ç­ë© ®â¢¥â (5.3.4). Œ ªá¨¬ «ì­ ï ¯®£à¥è­®áâì
√
ä®à¬ã«ë (5.3.5) ¤«ï 娬¨ç¥áª®© ॠªæ¨¨ ¯®à浪 n = 1/2 (fv = c)
¢® ¢á¥¬ ¤¨ ¯ §®­¥ ¨§¬¥­¥­¨ï ¡¥§à §¬¥à­®© ª®­áâ ­âë ᪮à®á⨠४樨 kv á®áâ ¢«ï¥â 5%; ¤«ï ॠªæ¨¨ ¢â®à®£® ¯®à浪 (fv = c2 ) ¯®£à¥è­®áâì ä®à¬ã«ë (5.3.5) à ¢­ 7% [280℄. ‘।­¥¥ ç¨á«® ˜¥à¢ã¤
㬥­ìè ¥âáï ¯à¨ ã¢¥«¨ç¥­¨¨ ¯®à浪 ॠªæ¨¨ n ¨ 㢥«¨ç¨¢ ¥âáï á
à®á⮬ ¯ à ¬¥âà kv .
„«ï ç áâ¨æ ­¥áä¥à¨ç¥áª®© ä®à¬ë, ®ªà㥭­ëå ­¥¯®¤¢¨­®© á।®©, ¢ ®¡ê¥¬¥ ª®â®à®© ¯à®¨á室¨â 娬¨ç¥áª ï ॠªæ¨ï ¯¥à¢®£® ¯®à浪 , á।­¥¥ ç¨á«® ˜¥à¢ã¤ ¬®­® ¢ëç¨á«ïâì á ¯®¬®éìî ¯à¨¡«¨¥­­®£® ¢ëà ¥­¨ï
p
(5.3.6)
Sh = Sh0 + kv .
‡¤¥áì Sh0 | ç¨á«® ˜¥à¢ã¤ , ᮮ⢥âáâ¢ãî饥 ¬ áá®®¡¬¥­ã ç áâ¨æë á ­¥¯®¤¢¨­®© á।®© ¡¥§ ॠªæ¨¨. Š ¤®¥ á« £ ¥¬®¥ ¢ (5.3.6)
¤®«­® ¡ëâì ®¡¥§à §¬¥à¥­® á ¯®¬®éìî ®¤­®£® ¨ ⮣® ¥ å à ªâ¥à­®£® ¬ áèâ ¡ ¤«¨­ë. ‡­ 祭¨¥ Sh0 ¬®­® ®¯à¥¤¥«ïâì ¯® ä®à¬ã«¥ Sh0 = a/S∗ , £¤¥ a | ¢¥«¨ç¨­ , ¢ë¡à ­­ ï § ¬ áèâ ¡ ¤«¨­ë,
S∗ | ¯«®é ¤ì ¯®¢¥àå­®á⨠ç áâ¨æë; ä ªâ®à  ¤«ï ­¥ª®â®àëå ç áâ¨æ
­¥áä¥à¨ç¥áª®© ä®à¬ë 㪠§ ­ ¢ â ¡«. 4.2.
„«ï ç áâ¨æ ­¥áä¥à¨ç¥áª®© ä®à¬ë ¢ á«ãç ¥ ¡®«¥¥ á«®­®© ª¨­¥â¨ç¥áª®© ä㭪樨 fv (c) ¤«ï à áç¥â ç¨á« ˜¥à¢ã¤ ¬®­® ¨á¯®«ì§®¢ âì ¯à¨¡«¨¥­­ãî ä®à¬ã«ã (5.3.5), ¢ ¯à ¢®© ç á⨠ª®â®à®© ¯¥à¢®¥
á« £ ¥¬®¥ (à ¢­®¥ ¥¤¨­¨æ¥) á«¥¤ã¥â § ¬¥­¨âì ­ Sh0 .

“¬¥à¥­­ë¥ ¨ ¡®«ì訥 ç¨á« Ǒ¥ª«¥. Ž¡ê¥¬­ ï ॠªæ¨ï
¯¥à¢®£® ¯®à浪 . „«ï áä¥à¨ç¥áª¨å ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ (¯à¨

222

Œ áá®®¡¬¥­, ®á«®­¥­­ë© 娬¨ç¥áª®© ॠªæ¨¥©

«¨¬¨â¨àãî饬 ᮯà®â¨¢«¥­¨¨ ᯫ®è­®© ä §ë) ¢ á«ãç ¥ ®¡ê¥¬­®©
ॠªæ¨¨ ¯¥à¢®£® ¯®à浪 á।­¥¥ ç¨á«® ˜¥à¢ã¤ ¬®­® ¢ëç¨á«ïâì
¯® ä®à¬ã«¥ [278℄


Sh = 1 + (Sh0 −1)2 + kv

1/2

.

(5.3.7)

‡¤¥áì Sh0 = Sh0 (Pe) | ç¨á«® ˜¥à¢ã¤ ¯à¨ ®âáãâá⢨¨ 娬¨ç¥áª®©
ॠªæ¨¨, ª®£¤ kv = 0.
‚ëà ¥­¨¥ (5.3.7) ¤ ¥â â®ç­ë¥ ᨬ¯â®â¨ª¨ ¢® ¢á¥å ç¥âëà¥å
¯à¥¤¥«ì­ëå á«ãç ïå: kv → 0 ¨ kv → ∞; Pe → 0 ¨ Pe → ∞ (áç¨â ¥âáï,
çâ® ­ ¬¥ä §­®© ¯®¢¥àå­®á⨠¥áâì ªà¨â¨ç¥áª¨¥ â®çª¨).
Ǒਠ®¡â¥ª ­¨¨ áä¥à¨ç¥áª®© ª ¯«¨ ¯®áâ㯠⥫ì­ë¬ áâ®ªá®¢ë¬ ¯®â®ª®¬ ¬ ªá¨¬ «ì­ ï ¯®£à¥è­®áâì ä®à¬ã«ë (5.3.7) á®áâ ¢«ï¥â ®ª®«® 7%. „«ï á⮪ᮢ ®¡â¥ª ­¨ï ⢥म© áä¥àë ¯®áâ㯠⥫ì­ë¬ ¨
«¨­¥©­ë¬ ¤¥ä®à¬ 樮­­ë¬ ᤢ¨£®¢ë¬ ¯®â®ª®¬ ¢ (5.3.7) á«¥¤ã¥â ¯®«®¨âì Sh0 = Shp , £¤¥ ¢¥«¨ç¨­ Shp ¢ëç¨á«ï¥âáï ᮮ⢥âá⢥­­® á
¯®¬®éìî ¢ëà ¥­¨© (4.7.9) ¨ (4.8.5).
Ǒਠ¡®«ìè¨å ç¨á« å Ǒ¥ª«¥ ¤«ï ¯à¨¡«¨¥­­ëå à áç¥â®¢ á।­¥£®
ç¨á« ˜¥à¢ã¤ ¬®­® ¨á¯®«ì§®¢ âì ä®à¬ã«ã [146℄
Sh =

p
kv

p 
kv
,
Sh0

th

(5.3.8)

£¤¥ Sh0 = lim Sh.
kv →0
‡ ¢¨á¨¬®á⨠¢á¯®¬®£ ⥫쭮£® ç¨á« ˜¥à¢ã¤ Sh0 ®â ç¨á« Ǒ¥ª«¥ Pe ¤«ï ¯®áâ㯠⥫쭮£® á⮪ᮢ ®¡â¥ª ­¨ï áä¥à¨ç¥áª®© ç áâ¨æë
¨ ª ¯«¨ ®¯à¥¤¥«ïîâáï ¯à ¢®© ç áâìî ä®à¬ã« (4.6.8) ¨ (4.6.17). ‚ á«ãç ¥ «¨­¥©­®£® ᤢ¨£®¢®£® á⮪ᮢ â¥ç¥­¨ï §­ 祭¨ï Sh0 ¯à¨¢¥¤¥­ë
¢ ç¥â¢¥à⮩ ª®«®­ª¥ â ¡«. 4.4.
‚¬¥áâ® ä®à¬ã«ë (5.3.8) ¤«ï à áç¥â á।­¥£® ç¨á« ˜¥à¢ã¤
¬®­® ¨á¯®«ì§®¢ âì ªã¡¨ç¥áª®¥ ãà ¢­¥­¨¥ [72℄
Sh3 − kv Sh − Sh30 = 0,

(5.3.9)

ª®â®à®¥ ¯à¨¢®¤¨â ª ¡®«¥¥ â®ç­ë¬ १ã«ìâ â ¬.
‚ â ¡«. 5.1 㪠§ ­ ¬ ªá¨¬ «ì­ ï ¯®£à¥è­®áâì ä®à¬ã«ë (5.3.8) ¨
ãà ¢­¥­¨ï (5.3.9) ¢® ¢á¥¬ ¤¨ ¯ §®­¥ ¨§¬¥­¥­¨ï ¯ à ¬¥âà kv ¤«ï è¥áâ¨ à §«¨ç­ëå á«ãç ¥¢ áä¥à¨ç¥áª¨å ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३. ‚á¥
®æ¥­ª¨ ­ ©¤¥­ë ¯ã⥬ áà ¢­¥­¨ï á १ã«ìâ â ¬¨ ­ «¨â¨ç¥áª®£® à¥è¥­¨ï § ¤ ç¨ (5.3.1), (5.3.2), ¯®«ã祭­ë¬¨ ¢ ¯à¨¡«¨¥­¨¨ ¤¨ää㧨®­­®£® ¯®£à ­¨ç­®£® á«®ï [146℄.
”®à¬ã«ã (5.3.8) ¨ ãà ¢­¥­¨¥ (5.3.9) ¬®­® ¨á¯®«ì§®¢ âì ¤«ï
à áç¥â á।­¥£® ç¨á« ˜¥à¢ã¤ ¢ á«ãç ¥ ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३
­¥áä¥à¨ç¥áª®© ä®à¬ë, ¯à¨ ¡®«ìè¨å ç¨á« å Ǒ¥ª«¥.

5.4. ‚­ãâ७­¨¥ § ¤ ç¨ ¬ áᮯ¥à¥­®á ¯à¨ ­ «¨ç¨¨ ®¡ê¥¬­®© ॠªæ¨¨

223

’€‹ˆ–€ 5.1
Œ ªá¨¬ «ì­ ï ¯®£à¥è­®áâì ä®à¬ã«ë (5.3.8) ¨ ªã¡¨ç¥áª®£®
ãà ¢­¥­¨ï (5.3.9) ¤«ï à §«¨ç­ëå á«ãç ¥¢ ®¡â¥ª ­¨ï áä¥à¨ç¥áª¨å
ª ¯¥«ì, ¯ã§ë३ ¨ ⢥à¤ëå ç áâ¨æ ¯à¨ ¡®«ìè¨å ç¨á« å Ǒ¥ª«¥ ¢
á«ãç ¥ ®¡ê¥¬­®© 娬¨ç¥áª®© ॠªæ¨¨ ¯¥à¢®£® ¯®à浪
N0

„¨á¯¥àá­ ï ä §

1 Š ¯«ï, ¯ã§ëàì
2 Š ¯«ï, ¯ã§ëàì
3 Š ¯«ï, ¯ã§ëàì
4 Ǒã§ëàì
5 Ǒã§ëàì
6 ’¢¥à¤ ï ç áâ¨æ

Ǒ®£à¥è­®áâì Ǒ®£à¥è­®áâì
ä®à¬ã«ë
ãà ¢­¥­¨ï
(5.3.8), ¢ % (5.3.9), ¢ %

‚¨¤ â¥ç¥­¨ï
Žá¥á¨¬¬¥âà¨ç­ë© ᤢ¨£®¢ë©
á⮪ᮢ ¯®â®ª
Ǒ®áâ㯠⥫ì­ë© á⮪ᮢ
¯®â®ª
Ǒ«®áª¨© ᤢ¨£®¢ë©
á⮪ᮢ ¯®â®ª
‹ ¬¨­ à­ë© ¯®áâ㯠⥫ì­ë©
¯®â®ª ¯à¨ ¡®«ìè¨å
ç¨á« å ¥©­®«ì¤á
Žá¥á¨¬¬¥âà¨ç­ë© ᤢ¨£®¢ë©
¯®â®ª ¯à¨ ¡®«ìè¨å
ç¨á« å ¥©­®«ì¤á
Ǒ®áâ㯠⥫ì­ë© á⮪ᮢ
¯®â®ª

2

1

2,6

1,6

3,8

2,8

2,6

1,6

2

1

3,4

2,4

®«ì訥 ç¨á« Ǒ¥ª«¥. Ǒந§¢®«ì­ ï ᪮à®áâì ®¡ê¥¬­®©
ॠªæ¨¨. „«ï ¯à®¨§¢®«ì­®© ᪮à®á⨠®¡ê¥¬­®© 娬¨ç¥áª®© ॠªæ¨¨

á।­¥¥ ç¨á«® ˜¥à¢ã¤ ¯à¨ ¡®«ìè¨å ç¨á« å Ǒ¥ª«¥ ¬®­® ®¯à¥¤¥«ïâì
á ¯®¬®éìî ¯à¨¡«¨¥­­®© § ¢¨á¨¬®áâ¨
Sh = (2kv hfv i)1/2



(2kv hfv i)1/2
th
Sh0

¨«¨ ¯ã⥬ à¥è¥­¨ï ªã¡¨ç¥áª®£® ãà ¢­¥­¨ï [276℄
Sh3 − 2kv hfv i Sh − Sh30 = 0.



(5.3.10)

(5.3.11)

‚ ®¡é¥¬ á«ãç ¥ ¢¥«¨ç¨­ hfv i ¢ëç¨á«ï¥âáï ¯® ä®à¬ã«¥ (5.2.4).
„«ï ॠªæ¨¨ ¯®à浪 n á«¥¤ã¥â ¨á¯®«ì§®¢ âì ¢ëà ¥­¨¥ (5.2.5).
5.4. ‚­ãâ७­¨¥ § ¤ ç¨ ¬ áᮯ¥à¥­®á ¯à¨
­ «¨ç¨¨ ®¡ê¥¬­®© 娬¨ç¥áª®© ॠªæ¨¨

ˆáá«¥¤ã¥¬ ⥯¥àì ¢­ãâ७­¨¥ § ¤ ç¨ ¬ áᮯ¥à¥­®á , ®á«®­¥­­ë¥
®¡ê¥¬­®© 娬¨ç¥áª®© ॠªæ¨¥©. ‘ç¨â ¥¬, çâ® à áᬠâਢ ¥¬ë© ¤¨ää㧨®­­ë© ¯à®æ¥áá ª¢ §¨áâ 樮­ ७ ¨ ¯à®¨á室¨â ¢­ãâਠ⢥म©

224

Œ áá®®¡¬¥­, ®á«®­¥­­ë© 娬¨ç¥áª®© ॠªæ¨¥©

áä¥à¨ç¥áª®© ¯®«®á⨠¨«¨ ª ¯«¨ à ¤¨ãá a, ª®â®à ï § ¯®«­¥­ ­¥¯®¤¢¨­®© ¨«¨ ¤¢¨ã饩áï á।®©.
‚ ¡¥§à §¬¥à­ëå ¯¥à¥¬¥­­ëå à á¯à¥¤¥«¥­¨¥ ª®­æ¥­âà 樨 ¢ ®¡« á⨠0 6 r 6 1 ®¯¨áë¢ ¥âáï ãà ¢­¥­¨¥¬ (5.3.1) ¨ ¯¥à¢ë¬ £à ­¨ç­ë¬
ãá«®¢¨¥¬ (5.3.2).

„¨ääã§¨ï ¢ áä¥à¨ç¥áª®© ¯®«®áâ¨, § ¯®«­¥­­®© ­¥¯®¤¢¨­®© á।®© (Pe = 0). „«ï ®¡ê¥¬­®© ॠªæ¨¨ ¯¥à¢®£® ¯®à浪

¯à¨ Pe = 0 â®ç­®¥ ­ «¨â¨ç¥áª®¥ à¥è¥­¨¥ áä®à¬ã«¨à®¢ ­­®© § ¤ ç¨
¨¬¥¥â ¢¨¤
p

1 sh r kv
c=
(5.4.1)
p
,
r sh kv
ᮮ⢥âáâ¢ãî饥 á।­¥¥ ç¨á«® ˜¥à¢ã¤ ­ ¢­ãâ७­îî ¯®¢¥àå­®áâì ¯®«®á⨠®¯à¥¤¥«ï¥âáï ä®à¬ã«®©
Sh = −1 + kv1/2 th kv1/2 .
(5.4.2)
„«ï á⥯¥­­®© ॠªæ¨¨ n-£® ¯®à浪 á।­¥¥ ç¨á«® ˜¥à¢ã¤
¬®­® ¢ëç¨á«ïâì á ¯®¬®éìî ¯à¨¡«¨¥­­®© § ¢¨á¨¬®á⨠[280℄








1/2
2kv 1/2
2
n+1
th
kv
,
(5.4.3)
+
Sh = −
n+1
n+1
2
ª®â®à ï ®¡¥á¯¥ç¨¢ ¥â ¯à ¢¨«ì­ë© ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨© १ã«ìâ â ¯à¨
¬ «ëå ¨ ¡®«ìè¨å §­ 祭¨ïå ¯ à ¬¥âà kv .
Ǒਠn = 1 ä®à¬ã« (5.4.3) ¤ ¥â â®ç­ë© ®â¢¥â (5.4.2). ‘®¯®áâ ¢«¥­¨¥ ¯à¨¡«¨¥­­®£® ¢ëà ¥­¨ï (5.4.3) á १ã«ìâ â ¬¨ ç¨á«¥­­®£®
à¥è¥­¨ï ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 ¢­ãâ७­¥© § ¤ ç¨ (5.3.1), (5.3.2) ¤«ï ॠªæ¨© ¯®à浪 n = 1/2 ¨ n = 2 ¢® ¢á¥¬ ¤¨ ¯ §®­¥ ¨§¬¥­¥­¨ï ¯ à ¬¥âà kv
á®áâ ¢«ï¥â 5%.
„«ï ¯à®¨§¢®«ì­®© § ¢¨á¨¬®á⨠᪮à®á⨠®¡ê¥¬­®© 娬¨ç¥áª®©
ॠªæ¨¨ ®â ª®­æ¥­âà 樨 楫¥á®®¡à §­® ¨á¯®«ì§®¢ âì ¯à¨¡«¨¥­­ãî
ä®à¬ã«ã



Sh = −2hfv i + (2kv hfv i)1/2 th

kv
2hfv i

1/2

,

(5.4.4)

£¤¥ á।­¥¥ §­ 祭¨¥ hfv i ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¨­â¥£à «®¬ (5.2.4).
„«ï á⥯¥­­®© ॠªæ¨¨ «î¡®£® ¯®à浪 § ¢¨á¨¬®áâì (5.4.4) ¯¥à¥å®¤¨â ¢ (5.4.3).

„¨ääã§¨ï ¢ ¯®«®á⨠¯à®¨§¢®«ì­®© ä®à¬ë, § ¯®«­¥­­®©
­¥¯®¤¢¨­®© á।®© (Pe = 0). Œ¥â®¤ ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨å ­ «®£¨©
(á¬. à §¤. 4.1) ¯®§¢®«ï¥â ®¡®¡é¨âì ä®à¬ã«ë (5.4.2) | (5.4.4) ­
á«ãç © ¯®«®á⨠¯à®¨§¢®«ì­®© ä®à¬ë. ‚ ç áâ­®áâ¨, ¤«ï ®¡ê¥¬­®©
ॠªæ¨¨ ¯¥à¢®£® ¯®à浪 ¯®«ãç ¥¬ § ¢¨á¨¬®áâì


p
3V p
S
Sh = −
+ kv th
kv ,
(5.4.5)
3V
S

5.4. ‚­ãâ७­¨¥ § ¤ ç¨ ¬ áᮯ¥à¥­®á ¯à¨ ­ «¨ç¨¨ ®¡ê¥¬­®© ॠªæ¨¨

225

£¤¥ S ¨ V | ¡¥§à §¬¥à­ë¥ ¯«®é ¤ì ¯®¢¥àå­®á⨠¨ ®¡ê¥¬ ¯®«®á⨠(¢á¥
¡¥§à §¬¥à­ë¥ ¢¥«¨ç¨­ë ¢ í⮩ ä®à¬ã«¥ ¢¢®¤ïâáï á ¯®¬®éìî ®¤­®£®
¨ ⮣® ¥ å à ªâ¥à­®£® ¬ áèâ ¡ ¤«¨­ë).
„«ï áä¥à¨ç¥áª®© ¯®«®áâ¨, ¯®¤áâ ¢«ïï ¢ (5.4.5) §­ 祭¨ï S = 4π,
V = 4π/3, ¯à¨å®¤¨¬ ª â®ç­®¬ã ¢ëà ¥­¨î (5.4.2).
Ǒਠ¯à®¨§¢®«ì­®© ᪮à®á⨠®¡ê¥¬­®© 娬¨ç¥áª®© ॠªæ¨¨ ¤«ï
á।­¥£® ç¨á« ˜¥à¢ã¤ ¬®­® ¨á¯®«ì§®¢ âì ä®à¬ã«ã
Sh = −

2S
3V

hfv i + (2kv hfv i)1/2

th



9V 2 kv
2S 2 hfv i

1/2

,

ª®â®à ï ®¡®¡é ¥â ¯à¨¡«¨¥­­ãî § ¢¨á¨¬®áâì (5.4.4) ­ á«ãç © ¯®«®á⨠­¥áä¥à¨ç¥áª®© ä®à¬ë.
„«ï ॠªæ¨¨ ¯¥à¢®£® ¯®à浪 á।­ïï ¯® ®¡ê¥¬ã ª®­æ¥­âà æ¨ï
¢­ãâਠ¯®«®á⨠¢ëç¨á«ï¥âáï â ª:
c =

Sh

S
,
kv V

£¤¥ c =

1
V

Z

c dv.

(5.4.6)

v

Žâ¬¥â¨¬, çâ® á¢ï§ì (5.4.6) ¬¥¤ã ¢¥«¨ç¨­ ¬¨ c ¨ Sh ï¥âáï â®ç­®©.
Ǒ®¤áâ ¢«ïï ¢ (5.4.6) ¢ëà ¥­¨¥ (5.4.5), ¬®­® ¯®«ãç¨âì ä®à¬ã«ã ¤«ï
à áç¥â á।­¥© ª®­æ¥­âà 樨.

Œ áᮯ¥à¥­®á ¢­ãâਠª ¯«¨ (¯®«®áâ¨) ¯à¨ à §«¨ç­ëå
ç¨á« å Ǒ¥ª«¥.  áᬮâਬ ¬ áᮯ¥à¥­®á ¢­ãâਠ¯®«®á⨠(¨«¨ ª ¯-

«¨) ¯à®¨§¢®«ì­®© ä®à¬ë, ¢ ª®â®à®© ¯à®¨á室¨â æ¨àªã«ïæ¨ï ¨¤ª®áâ¨.
ˆ­â¥£à¨àãï ãà ¢­¥­¨¥ (5.3.1) ¯® ®¡ê¥¬ã ¯®«®á⨠v, ¯®á«¥ ­¥ª®â®àëå ¯à¥®¡à §®¢ ­¨© ¯®«ã稬 [60℄
Sh =

kv
S

Z

fv (c) dv.

(5.4.7)

v

„«ï ¬®­®â®­­ëå ª¨­¥â¨ç¥áª¨å § ¢¨á¨¬®á⥩ fv = fv (c) á ãç¥â®¬
­¥à ¢¥­á⢠fv (c) 6 fv (1) = 1 ¯à¨ 0 6 c 6 1 ¨§ ä®à¬ã«ë (5.4.7) ¯®«ãç ¥¬
£àã¡ãî ®æ¥­ªã ¤«ï á।­¥£® ç¨á« ˜¥à¢ã¤ :
Sh 6 kv V /S.

(5.4.8)

‚ á«ãç ¥ ॠªæ¨¨ ­ã«¥¢®£® ¯®à浪 §­ ª à ¢¥­á⢠¢ ¢ëà ¥­¨¨
(5.4.8) ᮮ⢥âáâ¢ã¥â â®ç­®¬ã १ã«ìâ âã. ‚ ­® ®â¬¥â¨âì, çâ® ®æ¥­ª
(5.4.8) ­¥ § ¢¨á¨â ®â ç¨á« Ǒ¥ª«¥.
‚ ¯à¥¤¥«ì­®¬ á«ãç ¥ Pe → ∞ ¯à¨ kv = O(1) ¢® ¢­ãâ७­¨å § ¤ ç å ª®­¢¥ªâ¨¢­®£® ¬ áᮯ¥à¥­®á ª®­æ¥­âà æ¨ï ¢ëà ¢­¨¢ ¥âáï ¢¤®«ì

226

Œ áá®®¡¬¥­, ®á«®­¥­­ë© 娬¨ç¥áª®© ॠªæ¨¥©

ª ¤®© «¨­¨¨ ⮪ . Ǒਠí⮬ ¢ ᨫ㠮業ª¨ (5.4.8) á।­¥¥ ç¨á«®
˜¥à¢ã¤ à ¢­®¬¥à­® ¯® ç¨á«ã Ǒ¥ª«¥ ®£à ­¨ç¥­® ᢥàåã: Sh 6 onst kv .
Ǒ®á«¥¤­¥¥ ®§­ ç ¥â, çâ® ®¤­¨¬ 㢥«¨ç¥­¨¥¬ ¨­â¥­á¨¢­®á⨠æ¨àªã«ï樨 (â.¥. 㢥«¨ç¥­¨¥¬ ᪮à®á⨠¨¤ª®áâ¨, ç⮠ᮮ⢥âáâ¢ã¥â Pe → ∞)
¯à¨ 㬥७­ëå §­ 祭¨ïå kv ­¥ ¬®¥â ¡ëâì áä®à¬¨à®¢ ­ ¢­ãâ७­¨© ¤¨ää㧨®­­ë© ¯®£à ­¨ç­ë© á«®©. “ª § ­­®¥ ᢮©á⢮ á।­¥£®
ç¨á« ˜¥à¢ã¤ ⨯¨ç­® ¤«ï ¢á¥å ¢­ãâ७­¨å § ¤ ç, çâ® ª®à¥­­ë¬ ®¡à §®¬ ®â«¨ç ¥âáï ®â ¯®¢¥¤¥­¨ï í⮩ ¢¥«¨ç¨­ë ¤«ï ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å
¢­¥è­¨å § ¤ ç ¬ áᮯ¥à¥­®á , £¤¥ ¯à¨ Pe → ∞ ¢¡«¨§¨ ¬¥ä §­®©
¯®¢¥àå­®áâ¨, ª ª ¯à ¢¨«®, ¢®§­¨ª ¥â â®­ª¨© ¯®£à ­¨ç­ë© á«®© ¨ ¢ë¯®«­ï¥âáï ᢮©á⢮ lim Sh = ∞.
Pe→∞

„«ï ॠªæ¨¨ ¯¥à¢®£® ¯®à浪 ¢ á«ãç ¥ á⮪ᮢ ®¡â¥ª ­¨ï áä¥à¨ç¥áª®© ª ¯«¨ ¯®áâ㯠⥫ì­ë¬ ¯®â®ª®¬ ᨬ¯â®â¨ç¥áª®¥ à¥è¥­¨¥
¢­ãâ७­¥© § ¤ ç¨ (5.3.1), (5.3.2) ¯à¨ Pe → ∞ ¯à¨¢®¤¨â ª á«¥¤ãî饬㠢ëà ¥­¨î ¤«ï á।­¥£® ç¨á« ˜¥à¢ã¤ [222℄:

∞
1
3 X
Sh = kv 1 − kv
3
2 m=1

Am
kv + λm

£¤¥ ¯¥à¢ë¥ ¯ïâì §­ 祭¨© ª®íää¨æ¨¥­â®¢ Am ¨
‹Ǵ (4.13.1).

!

,

(5.4.9)

λm

㪠§ ­ë ¢ ä®à-

 à¨á. 5.2 ¯à¨¢¥¤¥­ § ¢¨á¨¬®áâì á।­¥£® ç¨á« ˜¥à¢ã¤ ®â ¡¥§à §¬¥à­®£® ¯ à ¬¥âà kv ¤«ï ®¡ê¥¬­®© 娬¨ç¥áª®© ॠªæ¨¨ ¯¥à¢®£®
¯®à浪 ¢ § ¤ ç¥ ® ª¢ §¨áâ 樮­ à­®¬ ¬ áᮯ¥à¥­®á¥ ¢­ãâਠª ¯«¨
¢ á«ãç ¥ ¯à¥¤¥«ì­ëå §­ 祭¨© ç¨á¥« Ǒ¥ª«¥: Pe = 0 (ä®à¬ã« (5.4.2))
¨ Pe = ∞ (ä®à¬ã« (5.4.9)). ˜âà¨å®¢ ï «¨­¨ï ᮮ⢥âáâ¢ã¥â £àã¡®©
®æ¥­ª¥ ᢥàåã, ª®â®à ï § ¤ ¥âáï à ¢¥­á⢮¬ (5.4.8). Ǒਠ¯à®¬¥ãâ®ç­ëå ç¨á« å Ǒ¥ª«¥ 0 < Pe < ∞ á।­¥¥ ç¨á«® ˜¥à¢ã¤ ¯®¯ ¤ ¥â ¢
§ èâà¨å®¢ ­­ãî ®¡« áâì, ®£à ­¨ç¥­­ãî ¯à¥¤¥«ì­ë¬¨ ªà¨¢ë¬¨ ¯à¨
Pe = 0 ¨ Pe = ∞. ‚¨¤­®, çâ® ¨§¬¥­¥­¨¥ ¯ à ¬¥âà Pe (¯à¨ kv = O(1))
á« ¡® ¢«¨ï¥â ­ á।­¨© ¯à¨â®ª ॠ£¥­â ª ¯®¢¥àå­®á⨠ª ¯«¨, â.¥. ­¨ª ª¨¬ 㢥«¨ç¥­¨¥¬ ç¨á« Ǒ¥ª«¥ ­¥«ì§ï ¤®¡¨âìáï ¥¤¨­á⢥­­®£® 㢥«¨ç¥­¨ï ç¨á« ˜¥à¢ã¤ . ‚ ç áâ­®áâ¨, ¯à¨ kv = 10 ¬ ªá¨¬ «ì­®¥ ®â­®á¨â¥«ì­®¥ ¯à¨à 饭¨¥ á।­¥£® ç¨á« ˜¥à¢ã¤ § áç¥â 㢥«¨ç¥­¨ï
ç¨á« Ǒ¥ª«¥ ®â ­ã«ï ¤® ¡¥áª®­¥ç­®á⨠á®áâ ¢«ï¥â ¢á¥£® ®ª®«® 25%.
Ǒ®á«¥¤­¥¥ ®§­ ç ¥â, çâ® £« ¢­ë¬ ¬¥å ­¨§¬®¬, ¢«¨ïî騬 ­ ¯®¢¥¤¥­¨¥ ®á­®¢­ëå å à ªâ¥à¨á⨪ ¨­â¥­á¨¢­®á⨠¬ áᮯ¥à¥­®á ¢­ãâà¨
ª ¯«¨, ï¥âáï 娬¨ç¥áª ï ॠªæ¨ï, ¢ â® ¢à¥¬ï ª ª ᪮à®áâì æ¨àªã-

5.4. ‚­ãâ७­¨¥ § ¤ ç¨ ¬ áᮯ¥à¥­®á ¯à¨ ­ «¨ç¨¨ ®¡ê¥¬­®© ॠªæ¨¨

227

«ï樨 ¨¤ª®á⨠¨ £¥®¬¥âà¨ï ¯®â®ª á« ¡® ¢«¨ïîâ ­ ¯®¢¥¤¥­¨¥ íâ¨å
å à ªâ¥à¨á⨪.
˜âà¨å®¢ ï «¨­¨ï ­ à¨á. 5.2 ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ॠªæ¨¨ ­ã«¥¢®£® ¯®à浪 . ‘।­¥¥ ç¨á«® ˜¥à¢ã¤ ¬®­®â®­­® 㬥­ìè ¥âáï á à®á⮬ ¯®à浪 ॠªæ¨¨ n. Ǒ®í⮬㠯ਠ0 < n < 1 ªà¨¢ë¥, ®â¢¥ç î騥 ¯à¥¤¥«ì­®¬ã ç¨á«ã ˜¥à¢ã¤ ¯à¨ Pe = ∞, à ᯮ«®¥­ë ¬¥¤ã èâà¨å®¢®© «¨­¨¥© ¨ ¢¥àå­¥© ᯫ®è­®© ªà¨¢®©. Ǒà¨
㬥­ì襭¨¨ ¯®à浪 ४樨 n ªà¨¢ë¥, ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 á।­¥¬ã ç¨á«ã ˜¥à¢ã¤ ¯à¨ Pe = 0
¨ Pe = ∞, ¯®á⥯¥­­®
á¡«¨ îâáï ¨ ¯®¤­¨¬ îâáï ¢¢¥àå ª èâà¨å®¢®©
«¨­¨¨. ‚ ¯à¥¤¥«ì­®¬ á«ãç ¥ n = 0 ¢á¥ âਠªà¨¢ë¥
᫨¢ îâáï ¢ ®¤­ã, â.¥. ¤«ï
ॠªæ¨¨ ­ã«¥¢®£® ¯®à浪 á।­¥¥ ç¨á«® ˜¥à¢ã¤ ¢®®¡é¥ ­¥ § ¢¨á¨â ®â
ç¨á« Ǒ¥ª«¥.
¨á. 5.2. ‡ ¢¨á¨¬®áâì á।­¥£® ç¨á« ˜¥à¢ã¤
®â ¡¥§à §¬¥à­®© ª®­áâ ­âë ᪮à®á⨠®¡ê¥¬­®©
Ǒਠ¡®«ìè¨å §­ ç¥- 娬¨ç¥áª®© ॠªæ¨¨ ¯¥à¢®£® ¯®à浪 (ᯫ®è­ë¥
­¨ïå ª®­áâ ­âë ᪮à®á⨠«¨­¨¨: ­¨­ïï ᮮ⢥âáâ¢ã¥â Pe = 0, ¢¥àå­ïï |
= ∞) ¤«ï ¢­ãâ७­¥© § ¤ ç¨; èâà¨å®¢ ï «¨­¨ï
®¡ê¥¬­®© 娬¨ç¥áª®© à¥- Pe
ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ॠªæ¨¨ ­ã«¥¢®£® ¯®à浪
ªæ¨¨ kv ¢¡«¨§¨ ¯®¢¥àå­®á⨠ª ¯«¨ ¢®§­¨ª ¥â â®­ª¨© ¯®£à ­¨ç­ë© á«®©, ⮫騭 ª®â®à®£®
¯à¨ ¬ «ëå ¨ 㬥७­ëå ç¨á« å Ǒ¥ª«¥ ¨¬¥¥â ¯®à冷ª kv−1/2 ¨ ¢­ãâਠª®â®à®£® à á⢮७­®¥ ¢ ¨¤ª®á⨠¢¥é¥á⢮ ãᯥ¢ ¥â ¯®«­®áâìî
¯à®à¥ £¨à®¢ âì. Ǒਠ¤ «ì­¥©è¥¬ 㢥«¨ç¥­¨¨ ç¨á« Ǒ¥ª«¥ § áç¥â
¨­â¥­á¨¢­®á⨠æ¨àªã«ï樨 ¨¤ª®á⨠¢­ãâਠª ¯«¨ ¢¥é¥á⢮ 㥠­¥
ãᯥ¢ ¥â ¯®«­®áâìî ¯à®à¥ £¨à®¢ âì ¢ ¯®£à ­¨ç­®¬ á«®¥ ¨ ­ 稭 ¥â,
¢ëå®¤ï ¨§ ¯®£à ­á«®ï, ¯à®­¨ª âì ¢ £«ã¡ì ª ¯«¨, ¯¥à¥­®áïáì ¢¤®«ì
«¨­¨© ⮪ , à ᯮ«®¥­­ëå ¢¡«¨§¨ ®á¨ ¯®â®ª . Ǒਠ¤®áâ â®ç­® à §¢¨â®© æ¨àªã«ï樨 ¢­ãâਠª ¯«¨ ¢®§­¨ª ¥â ¯®«­®áâìî áä®à¬¨à®¢ ¢è¨©áï ¤¨ää㧨®­­ë© á«¥¤ á áãé¥á⢥­­® ­¥®¤­®à®¤­ë¬ à á¯à¥¤¥«¥­¨¥¬ ª®­æ¥­âà 樨, ª®â®àë© ý¯à®­¨§ë¢ ¥âþ ¢áî ª ¯«î ¨ ᮥ¤¨­ï¥â
ª®­¥æ ¨ ­ ç «® ¤¨ää㧨®­­®£® ¯®£à ­¨ç­®£® á«®ï. ‚ á«ãç ¥ ®¡ê¥¬­®© 娬¨ç¥áª®© ॠªæ¨¨ ¯¥à¢®£® ¯®à浪 ᮮ⢥âáâ¢ãî騩 ­ «¨§
ª®­¢¥ªâ¨¢­®£® ¬ áᮯ¥à¥­®á ¢­ãâਠª ¯«¨ ¯à¨ Pe ≫ 1 ¨ kv ≫ 1 ¡ë«
¯à®¢¥¤¥­ ¢ à ¡®â å [54, 55℄. ‘«¥¤ã¥â ®â¬¥â¨âì, çâ® ¢ í⮬ á«ãç ¥, ¢¢¨¤ã à ¢­®¬¥à­®© ¯® ç¨á«ã Ǒ¥ª«¥ ®æ¥­ª¨ (5.4.8), ¨­â¥­á¨¢­®áâì ¬ áᮯ¥à¥­®á ¢­ãâਠª ¯«¨ «¨¬¨â¨àã¥âáï ᪮à®áâìî ®¡ê¥¬­®© 娬¨ç¥áª®© ॠªæ¨¨.

228

Œ áá®®¡¬¥­, ®á«®­¥­­ë© 娬¨ç¥áª®© ॠªæ¨¥©

5.5. ¥áâ 樮­ à­ë© ¬ áá®®¡¬¥­ á
®¡ê¥¬­®© ॠªæ¨¥©

¥®¡à â¨¬ë¥ à¥ ªæ¨¨.  áᬮâਬ ­¥áâ 樮­ à­ë© ¬ áá®®¡¬¥­ £ § á ­¥¯®¤¢¨­®© á।®©, ¢ ®¡ê¥¬¥ ª®â®à®© ¯à®¨á室¨â ­¥®¡à ⨬ ï 娬¨ç¥áª ï ॠªæ¨ï ᮠ᪮à®áâìî Wv = Kv Fv (C ). ‘ç¨â ¥¬,
çâ® ¢ ­ ç «ì­ë© ¬®¬¥­â ¢à¥¬¥­¨ t = 0 ª®­æ¥­âà æ¨ï à á⢮७­®£® ¢ ¨¤ª®á⨠¢¥é¥áâ¢ à ¢­ ­ã«î, ¯à¨ t > 0 ª®­æ¥­âà æ¨ï ­
¬¥ä §­®© ¯®¢¥àå­®á⨠®¤¨­ ª®¢ ¨ à ¢­ Cs .
‚ ¡¥§à §¬¥à­ëå ¯¥à¥¬¥­­ëå ¨áá«¥¤ã¥¬ë© ¯à®æ¥áá ®¯¨áë¢ ¥âáï
á«¥¤ãî騬¨ ãà ¢­¥­¨¥¬, ­ ç «ì­ë¬ ¨ £à ­¨ç­ë¬¨ ãá«®¢¨ï¬¨:
τ

= 0,

c = 0;

∂c
∂2c
= 2 − kv fv (c);
∂τ
∂x
x = 0, c = 1;
x → ∞,

(5.5.1)
c → 0, (5.5.2)

¯à¨ § ¯¨á¨ ª®â®àëå ¡ë«¨ ¨á¯®«ì§®¢ ­ë ®¡®§­ 祭¨ï x = X/a,
τ = Dt/a2 , £¤¥ X | ª®®à¤¨­ â , ®âáç¨âë¢ ¥¬ ï ®â ¬¥ä §­®© ¯®¢¥àå­®á⨠¢ £«ã¡ì ¨¤ª®áâ¨; a | à §¬¥à­ ï ¢¥«¨ç¨­ , ¢ë¡à ­­ ï § ¬ áèâ ¡ ¤«¨­ë; ®áâ «ì­ë¥ ¡¥§à §¬¥à­ë¥ ä㭪樨 ¨ ¯ à ¬¥âàë ¢ (5.5.1),
¢¢¥¤¥­ë ª ª ¢ ãà ¢­¥­¨¨ (5.2.1).
„«ï ॠªæ¨¨ ¯¥à¢®£® ¯®à浪 , ç⮠ᮮ⢥âáâ¢ã¥â fv = c, â®ç­®¥
­ «¨â¨ç¥áª®¥ à¥è¥­¨¥ § ¤ ç¨ (5.5.1), (5.5.2) ¨¬¥¥â ¢¨¤
"

1
c=
exp
2
£¤¥ erf

√

x τ erf

p !
√

x +2τ kv
√
+exp −x τ erf
2 τ

z | ¤®¯®«­¨â¥«ì­ë©

erf

z

p !#
x − 2τ kv
√
,
2 τ

¨­â¥£à « ¢¥à®ïâ­®á⥩:

= 1 − erf z, erf z =

2

√
π

Z

0

z

(5.5.3)

exp(−z 2 ) dz.

„¨ää¥à¥­æ¨àãï (5.5.3) ¯® x ¨ ¯®« £ ï x = 0, ­ ©¤¥¬ ¢ëà ¥­¨¥
¤«ï ¡¥§à §¬¥à­®£® ¤¨ää㧨®­­®£® ¯®â®ª ¢¥é¥á⢠ç¥à¥§ ¬¥ä §­ãî ¯®¢¥àå­®áâì
j

= (πτ )−1/2 exp(−kv τ ) + kv1/2 erf(kv τ )1/2 .

(5.5.4)

„«ï ¯à®¨§¢®«ì­®© ª¨­¥â¨ª¨ ®¡ê¥¬­®© 娬¨ç¥áª®© ॠªæ¨¨ ¤¨ää㧨®­­ë© ¯®â®ª ¬®­® ¢ëç¨á«ïâì á ¯®¬®éìî ¯à¨¡«¨¥­­®© ä®à¬ã«ë [148℄
j

= (πτ )−1/2 exp(−2kv hfv iτ ) + (2kv hfv i)1/2 erf(2kv hfv iτ ),

(5.5.5)

229

5.5. ¥áâ 樮­ à­ë© ¬ áá®®¡¬¥­ á ®¡ê¥¬­®© ॠªæ¨¥©

£¤¥ á।­¥¥ §­ 祭¨¥ hfv i ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ᮣ« á­® (5.2.4).
‡ ¢¨á¨¬®áâì (5.5.5) ¤«ï «î¡®© ä㭪樨 fv = fv (c) ®¡¥á¯¥ç¨¢ ¥â
¯à ¢¨«ì­ë© ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨© १ã«ìâ â ¢ ç¥âëà¥å ¯à¥¤¥«ì­ëå á«ãç ïå: kv → 0, kv → ∞, τ → 0, τ → ∞ ¨ ¯à¨¢®¤¨â ª â®ç­®¬ã à¥è¥­¨î
(5.5.4) ¤«ï ॠªæ¨¨ ¯¥à¢®£® ¯®à浪 .
Š®­ªà¥â­ë¥ §­ 祭¨ï hfv i ¤«ï ­¥ª®â®àëå ⨯¨ç­ëå ॠªæ¨© [123℄
¯à¨¢¥¤¥­ë ­¨¥.
 §¢ ­¨¥ ॠªæ¨¨ n-£® ¯®à浪
Š¨­¥â¨ç¥áª ï
äã­ªæ¨ï fv (c)

cn

hfv i

1
n +1

”¥à¬¥­â ⨢­ ï

€¢â®ª â «¨â¨ç¥áª ï
c

c

(1+ M c)2

1+ M c
2 h

M2

M − ln(1+ M )

i

2 h

M2

ln(1+ M ) −

M
1+ M

i

Œ ªá¨¬ «ì­ ï ¯®£à¥è­®áâì ä®à¬ã«ë (5.5.5) ¢ 㪠§ ­­ëå á«ãç ïå
¯à¨ n = 0,5, n = 2; M = 0,5, M = 2 ¢® ¢á¥¬ ¤¨ ¯ §®­¥ ¨§¬¥­¥­¨ï ¡¥§à §¬¥à­®© ª®­áâ ­âë ᪮à®á⨠®¡ê¥¬­®© 娬¨ç¥áª®© ॠªæ¨¨ á®áâ ¢«ï¥â
®ª®«® âà¥å ¯à®æ¥­â®¢.
Ž¡à ⨬ ï ॠªæ¨ï ¯¥à¢®£® ¯®à浪 .  áᬮâਬ ⥯¥àì
ॠªæ¨î, ª®â®à ï ®¯¨áë¢ ¥âáï ãà ¢­¥­¨¥¬ A ⇄ B . Ǒãáâì K1 ¨ K−1 |
ª®­áâ ­âë ᪮à®á⥩ ¯àאַ© ¨ ®¡à â­®© ॠªæ¨¨. ‚ ¤ ­­®¬ á«ãç ¥
1 ¬®«ì à á⢮à塞®£® £ § A, ॠ£¨àãï, ¤ ¥â 1 ¬®«ì ¯à®¤ãªâ B .
Š®­æ¥­âà æ¨î £ § ¡ã¤¥¬ ®¡®§­ ç âì ¡ãª¢®© CA , ª®­æ¥­âà æ¨î
¯à®¤ãªâ | ¡ãª¢®© CB .
Ǒà®æ¥áá ¬ áᮯ¥à¥­®á ¢ ¨¤ª®á⨠®¯¨áë¢ ¥âáï á«¥¤ãî饩 á¨á⥬®© ãà ¢­¥­¨©:
∂ 2 CA
∂X 2
∂ 2 CB
DB
∂X 2
DA

=
=



∂CA
1
+ K1 CA − CB ,
∂t
q


∂CB
1
− K1 CA − CB
∂t
q

(5.5.6)
(5.5.7)

á ­ ç «ì­ë¬¨ ¨ £à ­¨ç­ë¬¨ ãá«®¢¨ï¬¨
= CA(i) ,
(s)
CA = CA ,
(i)
CA = CA ,
CA

= qCA(i)
∂CB /∂X = 0
(i)
CB = qCA
CB

¯à¨
¯à¨
¯à¨

t = 0,
X

= 0,

X → ∞.

(5.5.8)
(5.5.9)
(5.5.10)

Ǒਠä®à¬ã«¨à®¢ª¥ § ¤ ç¨ (5.5.6) | (5.5.10) ¡ë«® ¯à¨­ïâ®, çâ®
¯¥à¢®­ ç «ì­ ï ª®­æ¥­âà æ¨ï à á⢮७­®£® £ § ¢ «î¡®© â®çª¥ ¨¤ª®áâ¨ à ¢­ CA(i) , ᮮ⢥âáâ¢ãîé ï ¥© à ¢­®¢¥á­ ï ª®­æ¥­âà æ¨ï

230

Œ áá®®¡¬¥­, ®á«®­¥­­ë© 娬¨ç¥áª®© ॠªæ¨¥©

¯à®¤ãªâ B á®áâ ¢«ï¥â CB(i) = qCA(i) , £¤¥ q = K1/K−1 | ª®­áâ ­â à ¢­®¢¥á¨ï. ‚â®à®¥ £à ­¨ç­®¥ ãá«®¢¨¥ (5.5.9) ®§­ ç ¥â, çâ® ¯à®¤ãªâ ­¥
¯¥à¥á¥ª ¥â ¯®¢¥àå­®áâì ¨¤ª®áâ¨.
‚¢¥¤¥¬ ª®íää¨æ¨¥­â ã᪮७¨ï ¯® ä®à¬ã«¥ E = jA (K1 )/jA (0), £¤¥
jA | ¤¨ää㧨®­­ë© ¯®â®ª £ § ç¥à¥§ ¬¥ä §­ãî ¯®¢¥àå­®áâì X = 0.
¥§ã«ìâ âë à¥è¥­¨ï § ¤ ç¨ (5.5.6) | (5.5.10) ¯à¨¢®¤ïâ ª á«¥¤ãî饩
§ ¢¨á¨¬®á⨠[70℄:
¯à¨ q > 1:
E

√


q2
π
exp(α2 ) erf(αq) − erf(α) −
2
q − 1 2α

1/2

1/2
p


π
K1 t
q
2
erf α q − 1 , £¤¥ α =
;
−
2α q2 − 1
q (q − 1)
(5.5.11)
¯à¨ q < 1:

=1 +

Z qγ

q2
2
2
exp(−γ )
E =1 −
exp(z ) dz +
γ (1 − q 2 )
γ

1/2
p


q
π
erf
1 − q2 , £¤¥ γ
+
γ
2γ 1 − q2

=



K1 t
q (1 − q )

1/2

.

(5.5.12)
 ¯à ªâ¨ª¥ ®¡à â¨¬ë¥ à¥ ªæ¨¨, ¨¬¥î騥 ¨á⨭­® ¯¥à¢ë© ¯®à冷ª ¢ ®¡®¨å ­ ¯à ¢«¥­¨ïå, ®¡ëç­® ­¥ ¢áâà¥ç îâáï. Ž¤­ ª® ç áâ®
¯à¨å®¤¨âáï ¨¬¥âì ¤¥«® á ॠªæ¨ï¬¨ ¯¥à¢®£® ¯®à浪 ¯® ®â­®è¥­¨î
ª ª®­æ¥­âà 樨 à á⢮७­®£® £ § , ¢ ª®â®àëå ª®­æ¥­âà æ¨ï ॠ£¥­â ä ªâ¨ç¥áª¨ ­¥¨§¬¥­­ ¢ ®¡ê¥¬¥, ¯®í⮬㠯àï¬ ï ॠªæ¨ï ¨¬¥¥â
¯á¥¢¤®¯¥à¢ë© ¯®à冷ª. ‚ â® ¥ ¢à¥¬ï ª®­æ¥­âà æ¨ï ¯à®¤ãªâ®¢ ¬®¥â ¡ëâì â ª¥ ä ªâ¨ç¥áª¨ ­¥¨§¬¥­­®© ¢® ¢á¥¬ ®¡ê¥¬¥ ¨¤ª®áâ¨,
¨, á«¥¤®¢ ⥫쭮, ᪮à®áâì ®¡à â­®© ॠªæ¨¨ ®¤­ ¨ â ¥ ¢® ¢á¥å
â®çª å. ’®£¤ ¢ ãà ¢­¥­¨¥ (5.5.6) ¢¬¥á⮠ᮮ⭮襭¨ï CB /q ¬®­®
¯®¤áâ ¢¨âì ¯®áâ®ï­­ãî ¢¥«¨ç¨­ã CA(e), å à ªâ¥à¨§ãîéãî à ¢­®¢¥á­ãî ª®­æ¥­âà æ¨î à á⢮७­®£® £ § A ¢ ¬ áᥠ¨¤ª®áâ¨. ‚ ¨â®£¥
¯®«ã稬 § ¤ çã ¤«ï ®â­®á¨â¥«ì­®© ª®­æ¥­âà 樨

c

=

(e)
CA − CA
(s)
(e)
CA − CA

,

ª®â®à ï ¯®á«¥ ¯¥à¥å®¤ ª ¡¥§à §¬¥à­ë¬ ¢¥«¨ç¨­ ¬ ᮢ¯ ¤ ¥â á «¨­¥©­®© § ¤ 祩 (5.5.1), (5.5.2) ¯à¨ fv = c.

6. ’¥à¬®£¨¤à®¤¨­ ¬¨ç¥áª¨¥ ¥­¨ï

‚ ¯à¥¤ë¤ãé¨å £« ¢ å áç¨â «®áì, çâ® ¯®«¥ â¥ç¥­¨ï ¨¤ª®á⨠­¥
§ ¢¨á¨â ®â à á¯à¥¤¥«¥­¨ï ⥬¯¥à âãàë ¨«¨ ª®­æ¥­âà 樨. Ž¤­ ª®
áãé¥áâ¢ã¥â æ¥«ë© àï¤ ï¢«¥­¨©, ¢ ª®â®àëå ¢«¨ï­¨¥ íâ¨å ä ªâ®à®¢ ­
£¨¤à®¤¨­ ¬¨ªã ï¥âáï ®¯à¥¤¥«ïî騬. ‚ ®á­®¢¥ â ª®£® ¢«¨ï­¨ï «¥¨â § ¢¨á¨¬®áâì à §«¨ç­ëå 䨧¨ç¥áª¨å ¯ à ¬¥â஢ ¨¤ª®á⥩, ­ ¯à¨¬¥à, ¯«®â­®áâ¨, ¯®¢¥àå­®áâ­®£® ­ â省¨ï, ¢ï§ª®á⨠®â ⥬¯¥à âãàë ¨«¨ ª®­æ¥­âà 樨.
’ ª ª ¯à¨¬¥àã, ¢®§­¨ª­®¢¥­¨¥ ª®­¢¥ªâ¨¢­®£® ¤¢¨¥­¨ï ¨¤ª®áâ¨
¢ á®á㤥, ¯à®â¨¢®¯®«®­ë¥ ¡®ª®¢ë¥ á⥭ª¨ ª®â®à®£® ¯®¤¤¥à¨¢ îâáï
¯à¨ à §«¨ç­ëå ⥬¯¥à âãà å, ®¡êïá­ï¥âáï ⥬, çâ® ¯à¨ ­®à¬ «ì­ëå
ãá«®¢¨ïå ¯«®â­®áâì ¨¤ª®á⨠®¡ëç­® 㬥­ìè ¥âáï á à®á⮬ ⥬¯¥à âãàë. ®«¥¥ «¥£ª ï ¨¤ª®áâì ã ­ £à¥â®© á⥭ª¨ áâ६¨âáï ¯®¤­ïâìáï
¢¢¥àå, ¡®«¥¥ â參 ï ¨¤ª®áâì ã ¯à®â¨¢®¯®«®­®© á⥭ª¨ | ®¯ãáâ¨âìáï. â® ®¤¨­ ¨§ ¯à¨¬¥à®¢ ¯à®ï¢«¥­¨ï â ª ­ §ë¢ ¥¬®© £à ¢¨â 樮­­®© (¢ ¤ ­­®¬ á«ãç ¥ â¥à¬®£à ¢¨â 樮­­®©) ª®­¢¥ªæ¨¨.
¥¯®áâ®ï­á⢮ ª®íää¨æ¨¥­â ¯®¢¥àå­®áâ­®£® ­ â省¨ï ¢¤®«ì
£à ­¨æë à §¤¥« ¤¢ãå ­¥á¬¥è¨¢ îé¨åáï ¨¤ª®á⥩ ¯à®ï¢«ï¥âáï ¢
⮬, çâ® ­ ¯®¢¥àå­®á⨠¢®§­¨ª îâ ¤®¯®«­¨â¥«ì­ë¥ ª á ⥫ì­ë¥ ­ ¯à省¨ï, ­ §ë¢ ¥¬ë¥ ª ¯¨««ïà­ë¬¨, ª®â®àë¥ ¬®£ãâ áãé¥á⢥­­®
¢«¨ïâì ­ ¤¢¨¥­¨¥ ¨¤ª®á⥩, ¢ á«ãç ¥ ®âáãâáâ¢¨ï £à ¢¨â 樨 ¨
¤à㣨å ᨫ ¯®«­®áâìî ®¯à¥¤¥«ïîâ ¥¥ ¤¢¨¥­¨¥. Ÿ¢«¥­¨ï, ®¡ãá«®¢«¥­­ë¥ ¢®§­¨ª­®¢¥­¨¥¬ ᨫ, á¢ï§ ­­ëå á £à ¤¨¥­â ¬¨ ¯®¢¥àå­®áâ­®£®
­ â省¨ï, ­®áïâ ®¡é¥¥ ­ §¢ ­¨¥ íä䥪⠌ à ­£®­¨. ‚ ç áâ­®áâ¨,
¥á«¨ áãé¥á⢥­­ ⥬¯¥à âãà­ ï § ¢¨á¨¬®áâì ¯®¢¥àå­®áâ­®£® ­ â省¨ï, â® £®¢®àïâ ® â¥à¬®ª ¯¨««ïà­®¬ íä䥪â¥, ¥á«¨ ª®­æ¥­âà 樮­­ ï | ® ª®­æ¥­âà 樮­­®-ª ¯¨««ïà­®¬ íä䥪â¥.
¥¯®áâ®ï­á⢮ ¢ï§ª®á⨠¨¤ª®á⨠¯à¨ ­ «¨ç¨¨ ­¥®¤­®à®¤­®£®
¯®«ï ⥬¯¥à âãàë ¬®¥â ¯à¨¢®¤¨âì ­¥ ⮫쪮 ª ª®«¨ç¥á⢥­­®¬ã
¨§¬¥­¥­¨î ¯®«ï â¥ç¥­¨ï, ­® ¨ ª ç¥á⢥­­® ­®¢ë¬ íä䥪⠬.
ˆ­â¥­á¨¢­®¥ ¨§ã祭¨¥ ¬­®£®ç¨á«¥­­ëå § ¤ ç, á¢ï§ ­­ëå á ¢«¨ï­¨¥¬ ⥬¯¥à âãàë ¨«¨ ¢ï§ª®á⨠­ ¤¢¨¥­¨¥ ¨¤ª®áâ¨, ¯®¬¨¬® ç¨áâ® ­ ãç­®£® ¨­â¥à¥á ¢ë§¢ ­® ¢®§¬®­®áâìî ¨å è¨à®ª®£® ¯à¨«®¥­¨ï ¢® ¬­®£¨å ᮢ६¥­­ëå â¥å­®«®£¨ïå, ¨ ¯à¥¤¥ ¢á¥£® ¢ 娬¨ç¥áª®©
¨ ª®á¬¨ç¥áª®©.
‚ ¤ «ì­¥©è¥¬ 㯮¬ï­ãâë¥ ¢ëè¥ â¥à¬®£¨¤à®¤¨­ ¬¨ç¥áª¨¥ ¥­¨ï à áᬠâਢ îâáï ­ ¯à¨¬¥à¥ íä䥪⠌ à ­£®­¨ ¢ ¯«®áª¨å ¨¤ª¨å á«®ïå ¨ ª ¯«ïå.

231

232

’¥à¬®£¨¤à®¤¨­ ¬¨ç¥áª¨¥ ¥­¨ï

6.1. ’¥à¬®£à ¢¨â 樮­­ ï ¨
â¥à¬®ª ¯¨««ïà­ ï ª®­¢¥ªæ¨ï ¢ á«®¥
¨¤ª®áâ¨

’¥à¬®£à ¢¨â 樮­­ ï ª®­¢¥ªæ¨ï.  áᬮâਬ ¤¢¨¥­¨¥ ¢ï§ª®© ¨¤ª®á⨠¢ ¡¥áª®­¥ç­® ¯à®â省­®¬ á«®¥ ¯®áâ®ï­­®© ⮫騭ë 2h. ‘¨« âï¥á⨠­ ¯à ¢«¥­ ¯¥à¯¥­¤¨ªã«ïà­® á«®î.  ­¨­¥©
¯«®áª®© ⢥म© ¯®¢¥àå­®á⨠¯®¤¤¥à¨¢ ¥âáï ¯®áâ®ï­­ë© £à ¤¨¥­â
⥬¯¥à âãàë. ¥®¤­®à®¤­®áâì ¯®«ï ⥬¯¥à âãàë ¯à¨¢®¤¨â ª ¤¢ã¬
íä䥪⠬, ᯮᮡ­ë¬ ¢ë§¢ âì ¤¢¨¥­¨¥ ¨¤ª®áâ¨: â¥à¬®£à ¢¨â 樮­­®¬ã, á¢ï§ ­­®¬ã á ⥯«®¢ë¬ à áè¨à¥­¨¥¬ ¨¤ª®á⨠¨ ¯®ï¢«¥­¨¥¬ à娬¥¤®¢ëå ᨫ, ¨ â¥à¬®ª ¯¨««ïà­®¬ã (¥á«¨ ¢â®à ï ¯®¢¥àå­®áâì
ï¥âáï ᢮¡®¤­®©), á¢ï§ ­­®¬ã á ¯®ï¢«¥­¨¥¬ ª á ⥫ì­ëå ­ ¯à省¨© ­ ¬¥ä §­®© £à ­¨æ¥ ¢á«¥¤á⢨¥ § ¢¨á¨¬®á⨠ª®íää¨æ¨¥­â
¯®¢¥àå­®áâ­®£® ­ â省¨ï ®â ⥬¯¥à âãàë.
Ǒਠä®à¬ã«¨à®¢ª¥ ¤¢ã¬¥à­®© § ¤ ç¨ ¨á¯®«ì§ã¥¬ ¯àאַ㣮«ì­ãî
á¨á⥬㠪®®à¤¨­ â X , Y , £¤¥ ®áì X ­ ¯à¢«¥­ ¯à®â¨¢®¯®«®­®
¯®¤¤¥à¨¢ ¥¬®¬ã ­ ­¨­¥© ¯®¢¥àå­®á⨠£à ¤¨¥­âã ⥬¯¥à âãàë,
®áì Y | ¢¥à⨪ «ì­® ¢¢¥àå.  ç «® ª®®à¤¨­ â ¢ë¡¨à ¥âáï ¯®á¥à¥¤¨­¥
á«®ï, ¯®í⮬ã −h 6 Y 6 h. Ǒ®«ï ᪮à®á⨠¨ ⥬¯¥à âãàë ®¯¨áë¢ îâáï
á«¥¤ãî騬¨ ãà ¢­¥­¨ï¬¨ [48, 49℄:
 2
∂VX
∂ VX
1 ∂P
=−
+ν
∂Y
ρ ∂X
∂X 2
 2
1 ∂P
∂V
∂ VY
VX
+ VY Y = −
+ν
∂Y
ρ ∂Y
∂X 2
∂VX
∂V
+ Y = 0,
∂X
∂Y
 2

∂ 2 T∗
∂T∗
∂T∗
∂ T∗
VX
+ VY
=χ
.
+
∂X
∂Y
∂X 2
∂Y 2
VX

∂VX
∂X
∂VY
∂X

+ VY

+
+


∂ 2 VX
,
∂Y 2

∂ 2 VY
+ γgT∗,
∂Y 2

(6.1.1)
(6.1.2)
(6.1.3)
(6.1.4)

‡¤¥áì P | ¤ ¢«¥­¨¥ (¢ ª®â®à®¬ 㥠ãç⥭ ¯®â¥­æ¨ « ¯®«ï âï¥áâ¨),
χ | ⥬¯¥à âãய஢®¤­®áâì, g | ã᪮७¨¥ ᨫë âï¥áâ¨, γ |
ª®íää¨æ¨¥­â ⥯«®¢®£® à áè¨à¥­¨ï.
’¥à¬®£à ¢¨â 樮­­®¥ ¤¢¨¥­¨¥ ®¯¨áë¢ ¥âáï ¢ ¯à¨¡«¨¥­¨¨ ãáᨭ¥áª , ᮣ« á­® ª®â®à®¬ã ¢ ãà ¢­¥­¨ïå ¤¢¨¥­¨ï (6.1.1) | (6.1.3) ¨
⥯«®¯à®¢®¤­®á⨠(6.1.4) ­¥¯®áâ®ï­á⢮ ¯«®â­®á⨠ãç¨âë¢ ¥âáï «¨èì
¢ ç«¥­¥, ®â¢¥ç î饬 § à娬¥¤®¢ã ᨫã (¯®á«¥¤­¥¥ á« £ ¥¬®¥ ¢ ãà ¢­¥­¨¨ (6.1.2)) ¨ ¯à®¯®à樮­ «ì­®¬ ®âª«®­¥­¨î T∗ ⥬¯¥à âãàë ®â
á।­¥£® §­ 祭¨ï. ’¥à¬®ª ¯¨««ïà­®¥ ¤¢¨¥­¨¥ ᮧ¤ ¥âáï ¯®¢¥àå­®áâ­ë¬¨ ᨫ ¬¨, ª®â®àë¥ ãç¨âë¢ îâáï ¢ £à ­¨ç­®¬ ãá«®¢¨¨ ­ ᢮¡®¤­®© ¯®¢¥àå­®á⨠(á¬. ­¨¥).

233

6.1. ’¥à¬®£à ¢¨â 樮­­ ï ¨ â¥à¬®ª ¯¨««ïà­ ï ª®­¢¥ªæ¨ï

„«ï ®¤­®¬¥à­®£® â¥ç¥­¨ï ¨¤ª®á⨠¢¤®«ì ®á¨ X ¨á室­ë¥ ãà ¢­¥­¨ï (6.1.1) | (6.1.4) ¯à¨­¨¬ îâ ¢¨¤ [16℄
∂ 2 VX
∂P
=ν
,
ρ ∂X
∂Y 2
 2
∂T∗
∂ T∗
VX
=χ
∂X
∂X 2

1

1 ∂P
= γgT∗,
ρ ∂Y

∂ 2 T∗
.
∂Y 2

+

(6.1.5)

 áᬮâਬ ¯¥à¢®­ ç «ì­® á«ãç © ⮫쪮 â¥à¬®£à ¢¨â 樮­­®©
ª®­¢¥ªæ¨¨. Ž­ ᮮ⢥âáâ¢ã¥â á¨âã 樨, ª®£¤ ®¡¥ £à ­¨æë á«®ï Y = h
¨ Y = −h ïîâáï ⥯«®¯®¤¢®¤ï騬¨ á⥭ª ¬¨, ­ ª®â®àëå ¯®¤¤¥à¨¢ ¥âáï ¯®áâ®ï­­ë© £à ¤¨¥­â ⥬¯¥à âãàë. ƒà ­¨ç­ë¥ ãá«®¢¨ï ¢
í⮬ á«ãç ¥ § ¯¨áë¢ îâáï ¢ ¢¨¤¥
T∗

= −AX,

VX

=0

¯à¨

Y

= ±h.

(6.1.6)

‡¤¥áì A | ¢¥«¨ç¨­ £à ¤¨¥­â ⥬¯¥à âãàë (¯à¨ A < 0 £à ¤¨¥­â
­ ¯à ¢«¥­ ¢ âã ¥ áâ®à®­ã, çâ® ¨ ®áì X ). ‚ (6.1.6) ¯à¨­ïâ®, çâ®
⥬¯¥à âãà ®âáç¨âë¢ ¥âáï ®â ᢮¥£® §­ 祭¨ï ¯à¨ X = 0.
‚¢¥¤¥¬ ¡¥§à §¬¥à­ë¥ ¯¥à¥¬¥­­ë¥ ¨ ¯ à ¬¥âàë:
x=

X
,
h

y

Y
,
h

=

v

Pr =

=
ν
,
χ

h
V ,
ν X

P
,
Ah2 ργg
Ah4 γg
,
ν2

p=

Gr =

T

=

T∗
,
Ah

£¤¥ Pr | ç¨á«® Ǒà ­¤â«ï, Gr | ç¨á«® ƒà á £®ä . Ǒ®¤áâ ¢«ïï ¨å ¢
ãà ¢­¥­¨ï (6.1.5) ¨ £à ­¨ç­ë¥ ãá«®¢¨ï (6.1.6), ¨¬¥¥¬
∂p
∂2v
= 2,
∂x
∂y
∂2T
∂T
Pr v
= 2
∂x
∂x

Gr

v
v

= 0,
= 0,

T
T

= −x
= −x

+

∂p
∂y
∂2T
∂y 2

= T,

¯à¨
¯à¨

y
y

;
= −1,
= 1.

(6.1.7)
(6.1.8)

¥è¥­¨¥ § ¤ ç¨ (6.1.7), (6.1.8) ¨é¥¬ ¢ ¢¨¤¥
v

= v(y ),

p = −(b + y )x + p1 (y ),

T

= −x + T1(y ).

(6.1.9)

‚ १ã«ìâ ⥠¤«ï à á¯à¥¤¥«¥­¨ï ᪮à®á⨠v(y ) ¯®«ã稬
v (y ) = 16

Gr (y − y 3 ) +

2
1
2 b Gr (1 − y ).

(6.1.10)

234

’¥à¬®£¨¤à®¤¨­ ¬¨ç¥áª¨¥ ¥­¨ï

‚ à¥è¥­¨¥ (6.1.10) ¢å®¤¨â ­¥¨§¢¥áâ­ ï ¯®áâ®ï­­ ï b. ‚ëç¨á«ïï
à á室 ¨¤ª®á⨠¢ á«®¥
q≡

Z 1

−1

v (y ) dy

=

2 b Gr
3

(6.1.11)

¨ § ¤ ¢ ¥£® à ¢­ë¬ ­ã«î, ¨¬¥¥¬ b = 0. Žâ¬¥â¨¬, çâ® ¤ «¥¥ ¢ í⮬
à §¤¥«¥, ª ª ¨ ¢ [16℄, à áᬠâਢ ¥âáï á«ãç © q = 0. Ž¤­ ª® ­¥ «¨è¥­
䨧¨ç¥áª®£® á¬ëá« § ¤ ç ® ¯®â®ª¥ á ­¥­ã«¥¢ë¬ à á室®¬, ⮣¤
¯®áâ®ï­­ ï b 6= 0 ¨ á¢ï§ ­ á ¢¥«¨ç¨­®© à á室 ä®à¬ã«®© (6.1.11).
ˆá¯®«ì§ãï ãà ¢­¥­¨ï (6.1.7), ä®à¬ã«ë (6.1.9) ¨ £à ­¨ç­ë¥ ãá«®¢¨ï (6.1.8), ¤«ï ä㭪権 T1 (y ) ¨ p1 (y ) ¯®«ã祭®
1
T1 (y ) = 360
1
p1 (y ) = 720

Pr Gr (3y 5 − 10y 3 + 7y ),
Pr Gr (y 6 − 5y 4 + 7y 2 ) + onst .

(6.1.12)

‚¨¤­®, çâ® ¤ ¢«¥­¨¥ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï á â®ç­®áâìî ¤® ¯®áâ®ï­­®£®
á« £ ¥¬®£®.
Žâ¬¥â¨¬, çâ® ¨á¯®«ì§®¢ ­­®¥ ãá«®¢¨¥ ­ã«¥¢®£® à á室 ®á­®¢ ­®
­ ¯à¥¤¯®«®¥­¨¨ ® ý¯®¢®à®â¥þ ¯®â®ª , ª®â®àë© ®áãé¥á⢫ï¥âáï ¯à¨
x → ±∞.  áᬠâਢ ¥¬ ï ¬®¤¥«ì ¬®¥â á«ã¨âì ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨¬
®¯¨á ­¨¥¬ ¤¢¨¥­¨ï ¢¤ «¨ ®â ª®­æ®¢ § ªàë⮣® á ®¡¥¨å áâ®à®­
¯«®áª®£® § §®à .

‘®¢¬¥áâ­®¥ ¯à®ï¢«¥­¨¥ â¥à¬®ª ¯¨««ïà­®© ¨ â¥à¬®£à ¢¨â 樮­­®© ª®­¢¥ªæ¨¨.  áᬮâਬ ⥯¥àì ­ «®£¨ç­ãî § ¤ çã, ª®-

£¤ ®¤­ ¨§ £à ­¨æ ª ­ « (¢¥àå­ïï) ᢮¡®¤­ ¨ ¯®¢¥àå­®áâ­®¥ ­ â省¨¥ σ ­ ­¥© § ¢¨á¨â ®â ⥬¯¥à âãàë ¯® «¨­¥©­®¬ã § ª®­ã. ‚
¡ « ­á¥ ª á ⥫ì­ëå ­ ¯à省¨© ­ ᢮¡®¤­®© ¯®¢¥àå­®á⨠¯®¬¨¬®
¢ï§ª¨å ¡ã¤ãâ ãç á⢮¢ âì ¨ â¥à¬®ª ¯¨««ïà­ë¥ ­ ¯à省¨ï. ‘®®â¢¥âáâ¢ãî饥 £à ­¨ç­®¥ ãá«®¢¨¥ § ¯¨è¥âáï ¢ ¢¨¤¥:
ρν

∂VX
∂Y

= σ′

∂T∗
∂X

¯à¨

Y

= h,

(6.1.13)

dσ

£¤¥ σ′ =
= onst. ‡¤¥áì ¢ «¥¢®© ç á⨠á⮨⠢離®¥ ­ ¯à省¨¥,
dT∗
¢ ¯à ¢®© | â¥à¬®ª ¯¨««ïà­®¥.
¥§à §¬¥à­ë¥ ãà ¢­¥­¨ï ¨ £à ­¨ç­ë¥ ãá«®¢¨ï ¤«ï í⮩ § ¤ ç¨ ¯®¯à¥­¥¬ã ¡ã¤ãâ ¨¬¥âì ¢¨¤ (6.1.7), (6.1.8), ªà®¬¥ ¢â®à®£® £à ­¨ç­®£®
ãá«®¢¨ï (6.1.8), ¢¬¥áâ® ª®â®à®£® ¡ã¤¥¬ ¨á¯®«ì§®¢ âì
∂v
∂y

= Ma

∂T
,
∂x

T

= −x

¯à¨

y

= 1,

(6.1.14)

6.1. ’¥à¬®£à ¢¨â 樮­­ ï ¨ â¥à¬®ª ¯¨««ïà­ ï ª®­¢¥ªæ¨ï

235

Ah2 σ ′

£¤¥ Ma =
| ç¨á«® Œ à ­£®­¨, ª®â®à®¥ ¯à¨ â ª®¬ ®¯à¥¤¥«¥­¨¨
ρν 2
¬®¥â ¨¬¥âì à §­ë© §­ ª* ¢ § ¢¨á¨¬®á⨠®â §­ ª®¢ ᮬ­®¨â¥«¥©
A ¨ σ ′ . Ž¡é¥¥ à¥è¥­¨¥ § ¤ ç¨ (6.1.7), (6.1.14) ¬®­® ¯®-¯à¥­¥¬ã
¨áª âì ¢ ¢¨¤¥ (6.1.9). Ǒਠí⮬ à¥è¥­¨¥ ¬®¥â ¡ëâì ¯à¥¤áâ ¢«¥­®
¢ ¢¨¤¥ á㬬ë âà¥å á« £ ¥¬ëå, ª ¤®¥ ¨§ ª®â®àëå ¨¬¥¥â ¤®áâ â®ç­®
¯à®áâãî 䨧¨ç¥áªãî ¨­â¥à¯à¥â æ¨î: ¤¢¨¥­¨¥ ⨯ Ǒã §¥©«ï, ¢®§­¨ªè¥¥ ¯®¤ ¤¥©á⢨¥¬ ¯®áâ®ï­­®£® ¡¥§à §¬¥à­®£® £à ¤¨¥­â ¤ ¢«¥­¨ï b ¢¤®«ì á«®ï, â¥à¬®£à ¢¨â 樮­­®¥ ¨ â¥à¬®ª ¯¨««ïà­®¥ ¤¢¨¥­¨ï.  á¯à¥¤¥«¥­¨¥ ᪮à®á⨠¯à¨ â ª®¬ ¤¢¨¥­¨¨ ¨¬¥¥â ¢¨¤
v (y ) = 12 b Gr (−y 2 + 2y + 3) + 16

Gr (−y 3 + 3y + 2) − Ma(y + 1). (6.1.15)

Ǒ®áâ®ï­­ ï b ¬®¥â ¡ëâì ®¯à¥¤¥«¥­ , ª ª ¨ ¯à¥¤¥, ¨§ ãá«®¢¨ï
­ã«¥¢®£® à á室 . „«ï ­¥¥ ¯®«ã祭® §­ 祭¨¥
b = − 14

+

3
4

Ma Gr−1 .

(6.1.16)

ˆ§ ä®à¬ã«ë (6.1.15) ¢¨¤­®, çâ® ¢ ®âáãâá⢨¥ â¥à¬®£à ¢¨â 樮­­ëå ᨫ ¨ ¯à®¤®«ì­®£® £à ¤¨¥­â ¤ ¢«¥­¨ï, â.¥. ª®£¤ b = Gr = 0,
¯à®ä¨«ì ᪮à®á⨠¢ á«®¥ «¨­¥©­ë©. Ǒਠí⮬ à á室 ¯®â®ª ®ª §ë¢ ¥âáï ­¥­ã«¥¢ë¬. ‚ â® ¥ ¢à¥¬ï ¢ëà ¥­¨ï (6.1.15) ¨ (6.1.16) ¯®ª §ë¢ îâ, çâ® ¡¥§à á室­ë© ¯®â®ª ¯®¤ ¤¥©á⢨¥¬ ᨫ Œ à ­£®­¨ ¬®¥â
¢®§­¨ª­ãâì ⮫쪮 ¯à¨ ­ «¨ç¨¨ ¯à®¤®«ì­®£® £à ¤¨¥­â ¤ ¢«¥­¨ï.
 á¯à¥¤¥«¥­¨¥ ᪮à®á⨠¯à¨ ­ã«¥¢®¬ à á室¥ ¯à¨­¨¬ ¥â ¢¨¤
1 Gr(−4y 3 + 3y 2 + 6y − 1) − 1
v (y ) = 24
8

Ma(3y 2 + 2y − 1).

(6.1.17)

‘ ãç¥â®¬ (6.1.17) ¤«ï T1 ¬®­® ­ ©â¨
T1

=

Pr Gr(4y 5 − 5y 4 − 20y 3 + 10y 2 + 16y − 5) +
(6.1.18)
+ 961 Pr Ma(3y 4 + 4y 3 − 6y 2 − 4y + 3).

1
480

Žâ¬¥â¨¬, çâ® ¯®«¥ ᪮à®á⨠(6.1.17) ­¥ ¨§¬¥­¨âáï, ¥á«¨ áç¨â âì,
çâ® «¨­¥©­®¥ à á¯à¥¤¥«¥­¨¥ ⥬¯¥à âãàë ¯®¤¤¥à¨¢ ¥âáï «¨èì ­
­¨­¥© ⢥म© ¯®¢¥àå­®áâ¨, ¢ â® ¢à¥¬ï ª ª ᢮¡®¤­ ï ¯®¢¥àå­®áâì
⥯«®¨§®«¨à®¢ ­ . ‚ í⮬ á«ãç ¥ ¢¬¥áâ® ¢â®à®£® £à ­¨ç­®£® ãá«®¢¨ï
(6.1.14) § ¯¨áë¢ ¥âáï ãá«®¢¨¥: ∂T /∂y = 0 ¯à¨ y = 1, à¥è¥­¨¥ ¯®¯à¥­¥¬ã ¯à¥¤áâ ¢«ï¥âáï ¢ ¢¨¤¥ (6.1.9).
* ‚ ­® ®â¬¥â¨âì, çâ® ¤«ï ¯®¤ ¢«ïî饣® ¡®«ì設á⢠¨¤ª®á⥩ ¯®¢¥àå­®áâ­®¥ ­ â省¨¥ 㬥­ìè ¥âáï ¯à¨ ã¢¥«¨ç¥­¨¨ ⥬¯¥à âãàë ¨, á«¥¤®¢ ⥫쭮,
á¯à ¢¥¤«¨¢® ­¥à ¢¥­á⢮ σ′ < 0 (¤ «¥¥ ¢ í⮬ à §¤¥«¥ ¡ã¤ãâ ®¯¨á ­ë ¨¤ª®áâ¨, ã
ª®â®àëå ¢ ®¯à¥¤¥«¥­­®¬ ¨­â¥à¢ «¥ ¨§¬¥­¥­¨ï ⥬¯¥à âãàë ­ ¡«î¤ ¥âáï σ′ > 0).

236

’¥à¬®£¨¤à®¤¨­ ¬¨ç¥áª¨¥ ¥­¨ï

‚ § ª«î祭¨¥ § ¬¥â¨¬, çâ® ¤«ï ®¡®á­®¢ ­¨ï à áᬮâ७­®© ¯®áâ ­®¢ª¨ § ¤ ç¨ á«¥¤ã¥â ¤®¯®«­¨âì ¨á室­ë¥ ¯à¥¤¯®«®¥­¨ï ¤®¯ã饭¨¥¬ ® ¯«®áª®© ä®à¬¥ ᢮¡®¤­®© ¯®¢¥àå­®áâ¨. „¥©á⢨⥫쭮, ¢
à áᬠâਢ ¥¬ëå á«ãç ïå ­®à¬ «ì­ë¥ ­ ¯à省¨ï ­ ¯®¢¥àå­®áâ¨
¨¤ª®á⨠­¥ á®åà ­ïîâ ¯®áâ®ï­­®£® §­ 祭¨ï, ¨ íâ® ¤®«­® ¯à¨¢®¤¨âì ª ¥¥ ¨áªà¨¢«¥­¨î. Ž¤­ ª® í⮣® ­¥ ¯à®¨á室¨â ¯à¨ ¡®«ì让
¢¥«¨ç¨­¥ g , ª®£¤ «î¡®¥ ¢­ãâ७­¥¥ ¤ ¢«¥­¨¥ ãà ¢­®¢¥è¨¢ ¥âáï §
áç¥â ¡¥áª®­¥ç­® ¬ «®£® ¨§¬¥­¥­¨ï ä®à¬ë ¯®¢¥àå­®áâ¨.

’¥à¬®ª ¯¨««ïà­®¥ ¤¢¨¥­¨¥ ¢ á«®¥ ¨¤ª®á⨠¯à¨ ­¥«¨­¥©­®© § ¢¨á¨¬®á⨠¯®¢¥àå­®áâ­®£® ­ â省¨ï ®â ⥬¯¥à âãàë.  ­¥¥ § ¢¨á¨¬®áâì ª®íä-

ä¨æ¨¥­â ¯®¢¥àå­®áâ­®£® ­ â省¨ï
®â ⥬¯¥à âãàë áç¨â « áì «¨­¥©­®©.
Ž¤­ ª® ¤«ï àï¤ ¨¤ª®á⥩, â ª¨å
ª ª ¢®¤­ë¥ à á⢮àë ¢ë᮪®¬®«¥ªã«ïà­ëå ᯨà⮢ ¨ ­¥ª®â®àë¥ ¡¨­ à­ë¥ ¬¥â ««¨ç¥áª¨¥ ᯫ ¢ë, íªá¯¥à¨¬¥­â «ì­® ãáâ ­®¢«¥­®, çâ® § ¢¨á¨¬®áâì σ = σ(T ) ®â«¨ç ¥âáï ®â «¨­¥©­®© ¨ ¨¬¥¥â ­¥¬®­®â®­­ë© å à ªâ¥à
[254, 312, 313℄.  à¨á. 6.1 ¯à¥¤áâ ¢«¥­ë íªá¯¥à¨¬¥­â «ì­ë¥ ¤ ­­ë¥ [254℄
ᮣ« á­® ª®â®àë¬ σ = σ(T ) ¬®¥â
¨¬¥âì ç¥âª® ¢ëà ¥­­ë© ¬¨­¨¬ã¬
(æ¨äàë ᮮ⢥âáâ¢ãîâ ç¨á«ã ⮬®¢
㣫¥à®¤ ¢ ¬®«¥ªã«¥ ᯨàâ ; ®¯ëâë
¯à®¢®¤¨«¨áì ¯à¨ ­¨§ª¨å ª®­æ¥­âà ¨á. 6.1. ¥§ã«ìâ âë íªá¯¥à¨¬¥­â «ì­®£® ¨áá«¥¤®¢ ­¨ï ­¥«¨­¥©­®© æ¨ïå à á⢮à , ¯®áª®«ìªã ¢ë᮪®¬®§ ¢¨á¨¬®á⨠¯®¢¥àå­®áâ­®£® ­ âï- «¥ªã«ïà­ë¥ ᯨàâë ¯«®å® à á⢮ਥ­¨ï ®â ⥬¯¥à âãàë
¬ë ¢ ¢®¤¥). âã § ¢¨á¨¬®áâì ¬®­®
¯à¨¡«¨¥­­® ¯¯à®ªá¨¬¨à®¢ âì á«¥¤ãî騬 ᮮ⭮襭¨¥¬:
σ

= σ0 +

1 α(T − T )2 ,
∗
0
2

(6.1.19)

£¤¥ T0 | §­ 祭¨¥ ⥬¯¥à âãàë, ᮮ⢥âáâ¢ãî饥 íªáâ६ «ì­®© ¢¥«¨ç¨­¥ ª®íää¨æ¨¥­â ¯®¢¥àå­®áâ­®£® ­ â省¨ï.
 áᬮâਬ § ¤ çã ®¡ ãáâ ­®¢¨¢è¥¬áï â¥à¬®ª ¯¨««ïà­®¬ ¤¢¨¥­¨¨ ¢ á«®¥ ¨¤ª®á⨠⮫騭®© h. „¢¨¥­¨¥ áç¨â ¥âáï ¤¢ã¬¥à­ë¬.
‡ ¢¨á¨¬®áâì ¯®¢¥àå­®áâ­®£® ­ â省¨ï ®â ⥬¯¥à âãàë ¯à¨­¨¬ ¥âáï ª¢ ¤à â¨ç­®© ¢ ᮮ⢥âá⢨¨ á ¢ëà ¥­¨¥¬ (6.1.19). ’¥à¬®£à ¢¨â 樮­­ë© íä䥪⠭¥ ãç¨âë¢ ¥âáï. Ǒ।¯®« £ ¥âáï, çâ® ­ ⢥म©
­¨­¥© ¯®¢¥àå­®á⨠¯®¤¤¥à¨¢ ¥âáï «¨­¥©­®¥ à á¯à¥¤¥«¥­¨¥ ⥬¯¥à âãàë, ¯«®áª ï ¯®¢¥àå­®áâì á«®ï ⥯«®¨§®«¨à®¢ ­ .  ç «® ¤¥ª à⮢®© á¨áâ¥¬ë ª®®à¤¨­ â X , Y ¯®¬¥é ¥âáï ­ ⢥म© ¯®¢¥àå­®áâ¨,

6.1. ’¥à¬®£à ¢¨â 樮­­ ï ¨ â¥à¬®ª ¯¨««ïà­ ï ª®­¢¥ªæ¨ï

237

£¤¥ ¤®á⨣ ¥âáï §­ 祭¨¥ ⥬¯¥à âãàë T0. Ǒ®«ï ᪮à®á⨠¨ ⥬¯¥à âãàë ¡ã¤ãâ ®¯¨áë¢ âìáï ãà ¢­¥­¨ï¬¨ (6.1.1) | (6.1.4) ¯à¨ γg ≡ 0.
ƒà ­¨ç­ë¥ ãá«®¢¨ï, á ãç¥â®¬ ª¢ ¤à â¨ç­®© § ¢¨á¨¬®á⨠¯®¢¥àå­®áâ­®£® ­ â省¨ï ®â ⥬¯¥à âãàë (6.1.19), § ¯¨èãâáï ¢ ¢¨¤¥
VX

= 0,

VY

= 0,

VY = 0,
T∗ = T0 − AX
∂σ
∂T∗
∂V
= 0, ρν X =
∂Y
∂Y
∂X

¯à¨

Y

= 0,

(6.1.20)

¯à¨

Y

= h. (6.1.21)

‘®£« á­® (6.1.20), ­ ⢥म© ¯®¢¥àå­®á⨠¢ë¯®«­¥­ë ãá«®¢¨ï
¯à¨«¨¯ ­¨ï ¨ ­¥¯à®â¥ª ­¨ï ¨ ¯®¤¤¥à¨¢ ¥âáï «¨­¥©­®¥ à á¯à¥¤¥«¥­¨¥ ⥬¯¥à âãàë. ‚ ᮮ⢥âá⢨¨ á (6.1.21) ­ ᢮¡®¤­®© ¯®¢¥àå­®áâ¨
¢ë¯®«­¥­ë ãá«®¢¨ï ­¥¯à®â¥ª ­¨ï, ®âáãâáâ¢¨ï ¯®â®ª ⥯« ç¥à¥§ ᢮¡®¤­ãî ¯®¢¥àå­®áâì ¨ ¡ « ­á ª á ⥫ì­ëå â¥à¬®ª ¯¨««ïà­ëå ¨ ¢ï§ª¨å ­ ¯à省¨©. Ǒà ¢ãî ç áâì ¢ ¯®á«¥¤­¥¬ ãá«®¢¨¨ (6.1.21), á ãç¥â®¬
ª¢ ¤à â¨ç­®© § ¢¨á¨¬®á⨠¯®¢¥àå­®áâ­®£® ­ â省¨ï ®â ⥬¯¥à âãàë (6.1.19), á«¥¤ã¥â ¯¥à¥¯¨á âì á ¯®¬®éìî à ¢¥­á⢠:
∂σ
∂X

= α(T∗ − T0 )

∂T∗
.
∂X

¥è¥­¨¥ ¨é¥âáï ¢ ¢¨¤¥ [59℄
= U xψ′ (y ), VY = −U ψ(y ),
T∗ = T0 − Ahx(y ), P = P0 − 12 ρU 2 [λx2 + f (y )℄,
VX

(6.1.22)

£¤¥ x = X/h, y = Y /h | ¡¥§à §¬¥à­ë¥ ª®®à¤¨­ âë, U = ν/h |
å à ªâ¥à­ ï ᪮à®áâì, P0 = onst | ¤ ¢«¥­¨¥ ¢ ªà¨â¨ç¥áª®© â®çª¥
­ ⢥म© ¯®¢¥àå­®á⨠(â ¬, £¤¥ T∗ = T0 ), ψ′ = dψ/dy .
„«ï ®¯à¥¤¥«¥­¨ï ­¥¨§¢¥áâ­ëå ä㭪権 ψ(y ), (y ), f (y ) ¨ ¯®áâ®ï­­®© λ, ª®â®à ï ï¥âáï ᮡá⢥­­ë¬ §­ 祭¨¥¬, ¯®«ãç ¥¬ á«¥¤ãîéãî § ¤ çã:
ψ ′′′ + ψψ ′′ − (ψ ′ )2 + λ = 0,
′′ − Pr(ψ′  − ψ′ ) = 0;

= 0,
ψ = 0,
ψ

αA2 h3

f

= 0,
=1
′′
2
ψ = Ma  , ′ = 0
ψ′

= ψ2 + 2ψ′ ,
¯à¨
¯à¨

= 0;
y = 1,
y

(6.1.23)

£¤¥ Ma =
| ¬®¤¨ä¨æ¨à®¢ ­­®¥ ¤«ï à áᬠâਢ ¥¬®£® á«ãç ï
ρν 2
ç¨á«® Œ à ­£®­¨.
„«ï ¢ëïá­¥­¨ï ®á®¡¥­­®á⥩ â¥à¬®ª ¯¨««ïà­®£® â¥ç¥­¨ï à áᬮâਬ ¯à¨¡«¨¥­­®¥ ­ «¨â¨ç¥áª®¥ à¥è¥­¨¥ § ¤ ç¨ ¯à¨ ¬ «ëå

238

’¥à¬®£¨¤à®¤¨­ ¬¨ç¥áª¨¥ ¥­¨ï

¨á. 6.2. ‹¨­¨¨ ⮪ ¨ ¯à®ä¨«ì ¯à®¤®«ì­®© á®áâ ¢«ïî饩 ᪮à®á⨠¤«ï â¥à¬®ª ¯¨««ïà­®£® â¥ç¥­¨ï ¢ á«®¥ ¨¤ª®áâ¨

§­ 祭¨ïå ç¨á« Œ à ­£®­¨, ¯®« £ ï ¢ ¤ «ì­¥©è¥¬, çâ® ç¨á«®
Ǒà ­¤â«ï ¯®à浪 ¥¤¨­¨æë.
ǑਠMa = 0 § ¤ ç ¨¬¥¥â à¥è¥­¨¥ ψ = 0, f = 0, λ = 0,  = 1, ª®â®à®¥
ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¯®ª®ï饩áï ¨¤ª®á⨠¯à¨ ®¤­®à®¤­®¬ à á¯à¥¤¥«¥­¨¨
⥬¯¥à âãàë ¯®¯¥à¥ª á«®ï.
Ǒਠ|Ma| ≪ 1 à¥è¥­¨¥ ¯®«ã祭® ¬¥â®¤®¬ ¬ «ëå ¢®§¬ã饭¨©.
„«ï ¯®«ï ᪮à®áâ¨, ¤ ¢«¥­¨ï ¨ ⥬¯¥à âãàë á â®ç­®áâìî ¤® ç«¥­®¢
¯®à浪 O(Ma2 ) ¨¬¥îâ ¬¥áâ® á«¥¤ãî騥 ¢ëà ¥­¨ï:
VX = 14 U Ma xy (3y − 2),
VY = 41 U Ma (1 − y )y 2 ,

1 Ma Pr(4 − 3y )y 3 , U = ν/h,
(6.1.24)
T∗ = T0 − Ahx 1 − 48

 2
2
2
1
P = P0 − 4 ρU Ma 3(y − x ) − 2y .
 à¨á. 6.2 ¯®ª § ­ë «¨­¨¨ ⮪ â¥à¬®ª ¯¨««ïà­®£® â¥ç¥­¨ï
(6.1.24), â ª¥ ¯à®ä¨«ì ¯à®¤®«ì­®© ¡¥§à §¬¥à­®© á®áâ ¢«ïî饩
᪮à®á⨠¯®â®ª u = VX /U .  ¯à ¢«¥­¨ï, ¯®ª § ­­ë¥ áâ५ª ¬¨,
ᮮ⢥âáâ¢ãîâ á«ãç î Ma > 0.
Ǒ®«ã祭­ë¥ १ã«ìâ âë ¯®ª §ë¢ îâ, çâ® â¥à¬®ª ¯¨««ïà­ë¥ ᨫë
¯®à®¤ îâ á«®­®¥ æ¨àªã«ï樮­­®¥ ¤¢¨¥­¨¥ ¨¤ª®á⨠¢ á«®¥,
¯à¨ç¥¬ ¯®â®ª ¬¥­ï¥â ­ ¯à ¢«¥­¨¥ ­ £«ã¡¨­¥, à ¢­®© 1/3 ⮫騭ë
á«®ï. Š ª ¨ á«¥¤®¢ «® ®¨¤ âì, ¯®â®ª ᨬ¬¥âà¨ç¥­ ®â­®á¨â¥«ì­®
¯«®áª®á⨠X = 0 á ⥬¯¥à âãன T0 ; ¢¤®«ì í⮩ ¯«®áª®á⨠¯à®¨á室¨â
¨áâ¥ç¥­¨¥ ¨¤ª®á⨠¨§ ¯à¨¤®­­®£® á«®ï.
6.2. ’¥à¬®ª ¯¨««ïà­ë© ¤à¥©ä ª ¯«¨

’¥à¬®ª ¯¨««ïà­®¥ ¤¢¨¥­¨¥ ª ¯«¨ ¢® ¢­¥è­¥¬ £à ¤¨¥­â¥ ⥬¯¥à âãàë.  áᬮâਬ § ¤ çã ® â¥à¬®ª ¯¨««ïà­®¬

íä䥪⥠¤«ï ª ¯«¨, ¯®¬¥é¥­­®© ¢ ­¥®¤­®à®¤­ãî ¯® ⥬¯¥à âãॠ¨¤ªãî á।ã [319℄. Ǒਠ­ «¨ç¨¨ ¢­¥è­¥£® £à ¤¨¥­â ⥬¯¥à âãà ­¥ ¡ã¤¥â ¯®áâ®ï­­®© ¢¤®«ì ¯®¢¥àå­®á⨠ª ¯«¨, ¯®í⮬ã
á«¥¤ã¥â ®¨¤ âì ¯®ï¢«¥­¨ï â¥à¬®ª ¯¨««ïà­ëå ­ ¯à省¨©, ª®â®àë¥ ­ ¯à ¢«¥­ë ®â £®àï祣® ¯®«îá ª ¯«¨ ª 宫®¤­®¬ã, ¥á«¨ ª®-

6.2. ’¥à¬®ª ¯¨««ïà­ë© ¤à¥©ä ª ¯«¨

239

íää¨æ¨¥­â ¯®¢¥àå­®áâ­®£® ­ â省¨ï ã¡ë¢ ¥â á à®á⮬ ⥬¯¥à âãàë (à¨á. 6.3). Š®£¤ £à ¢¨â æ¨ï ¨ ¤à㣨¥ á¨«ë ®âáãâáâ¢ãîâ,
â® ¨­¤ãæ¨à㥬®¥ â¥ç¥­¨¥ ¢ë­ã¤ ¥â ª ¯«î ¤à¥©ä®¢ âì ¢ ­ ¯à ¢«¥­¨¨ ¢®§à áâ ­¨ï ⥬¯¥à âãàë. â®
â ª ­ §ë¢ ¥¬ë© â¥à¬®ª ¯¨««ïà­ë©
¤à¥©ä ª ¯«¨. ‡¤¥áì íä䥪⠌ à ­£®­¨ ¯à®ï¢«ï¥âáï ¢ ç¨á⮬ ¢¨¤¥. Ǒਠ­ «¨ç¨¨ ¤à㣨å ᨫ, ­ ¯à¨¬¥à, ᨫë âï¥áâ¨, íä䥪⠌ à ­£®­¨ ¤«ï â ª®© ª ¯«¨ ¡ã¤¥â á®áâ®- ¨á. 6.3. Ǒਢ¥¤¥­¨¥ ª ¯«¨ ¢ ¤¢¨ïâì ¢ ¨§¬¥­¥­¨¨ ᪮à®á⨠¥¥ ¤¢¨- ¥­¨¥ ¯ã⥬ ¯à¨«®¥­¨ï £à ¤¨¥­â ⥬¯¥à âãàë. ’®­ª¨¥ áâ५¥­¨ï.
㪠§ë¢ îâ ­ ¯à ¢«¥­¨¥ â¥à¬®Žæ¥­¨¬ ¤¥©áâ¢ãîéãî ­ ª ¯«î ª¨
ª ¯¨««ïà­ëå ­ ¯à省¨© ­ ¯®â¥à¬®ª ¯¨««ïà­ãî ᨫ㠨 ᪮à®áâì ¢¥àå­®á⨠ª ¯«¨ ¨ ¨­¤ãæ¨à㥬®£®
â¥à¬®ª ¯¨««ïà­®£® ¤à¥©ä ª ¯«¨ ¢ ¨¬¨ â¥ç¥­¨ï, ⮫áâ ï áâ५ª |
¯à ¢«¥­¨¥ ¤¢¨¥­¨ï ª ¯«¨ (á種âáãâá⢨¥ £à ¢¨â 樨. ‘ç¨â ¥¬ â­ ¥âáï,
çâ® ¯®¢¥àå­®áâ­®¥ ­ â異­¥è­îî ¨¤ª®áâì ¡¥áª®­¥ç­® ¯à®- ­¨¥ ã¡ë¢ ¥â á à®á⮬ ⥬¯¥à âãàë)
â省­®©, ­¥®¤­®à®¤­®¥ ¯®«¥ ⥬¯¥à âãàë ¢¤ «¨ ®â ª ¯«¨ | «¨­¥©­ë¬ ¯® X :
T∗(1) → AX

+ T0

¯à¨

R → ∞.

(6.2.1)

“ª § ­­ë¥ ¯à¥¤¯®«®¥­¨ï ®¯à ¢¤ ­ë, ª®£¤ à §¬¥à ª ¯«¨ ¬­®£®
¬¥­ìè¥ ª ª å à ªâ¥à­®£® à §¬¥à ¢­¥è­¥© ¨¤ª®áâ¨, â ª ¨ ¯à®áâà ­á⢥­­®£® ¬ áèâ ¡ ¨§¬¥­¥­¨ï £à ¤¨¥­â ⥬¯¥à âãàë.
 áᬮâਬ ãáâ ­®¢¨¢è¥¥áï ¤¢¨¥­¨¥ ª ¯«¨ ᮠ᪮à®áâìî Ui . Š ª
¨ à ­¥¥, ¯à¥¤¯®« £ ¥¬, çâ® ¯®¢¥àå­®áâ­®¥ ­ â省¨¥ «¨­¥©­® § ¢¨á¨â ®â ⥬¯¥à âãàë, ®áâ «ì­ë¥ 䨧¨ç¥áª¨¥ ¯ à ¬¥âàë ¨¤ª®á⥩
¯®áâ®ï­­ë. ‘ç¨â ¥¬ â ª¥, çâ® ª ¯«ï á®åà ­ï¥â áä¥à¨ç¥áªãî ä®à¬ã ¢á«¥¤á⢨¥ ¡®«ì讣® ª ¯¨««ïà­®£® ¤ ¢«¥­¨ï, ¯à¥¯ïâáâ¢ãî饣® ¥¥
¨§¬¥­¥­¨î.
‚®á¯®«ì§ã¥¬áï áä¥à¨ç¥áª®© á¨á⥬®© ª®®à¤¨­ â, á¢ï§ ­­®© á 業â஬ ¤¢¨ã饩áï ª ¯«¨, ¢ ª®â®à®© à ¤¨ «ì­ ï ª®®à¤¨­ â R ®âáç¨âë¢ ¥âáï ®â 業âà ª ¯«¨, 㣮« θ | ®â ¯®«®¨â¥«ì­®£® ­ ¯à ¢«¥­¨ï
®á¨ X . ‚ᥠ¯ à ¬¥âàë ¨ ¨áª®¬ë¥ ¢¥«¨ç¨­ë ¢­¥ ¨ ¢­ãâਠª ¯«¨ ¡ã¤¥¬
¯®¬¥ç âì ᮮ⢥âá⢥­­® ¨­¤¥ªá ¬¨ ý1þ ¨ ý2þ.
Ž£à ­¨ç¨¬áï ¨§ã祭¨¥¬ á«ãç ï ¬¥¤«¥­­ëå ¤¢¨¥­¨© (¬ «ë¥ ç¨á« ¥©­®«ì¤á ), ª®â®àë¥ ®¯¨áë¢ îâáï ãà ¢­¥­¨ï¬¨ ‘⮪á (2.1.2),
¢ ãà ¢­¥­¨¨ ⥯«®¯à®¢®¤­®á⨠¯à¥­¥¡à¥£ ¥¬ ª®­¢¥ªâ¨¢­ë¬ ç«¥­®¬
(¯à¥¤¯®«®¥­¨¥ ® ¬ «®á⨠ç¨á« Ǒ¥ª«¥).
‘­ ç « ¯®«ã稬 à¥è¥­¨¥ ¡®«¥¥ ¯à®á⮩ ⥯«®¢®© ç á⨠§ ¤ ç¨,
ª®â®à ï ¯à¨ Pe = 0 ¬®¥â à áᬠâਢ âìáï ­¥§ ¢¨á¨¬®. ’¥¬¯¥à âãà

240

’¥à¬®£¨¤à®¤¨­ ¬¨ç¥áª¨¥ ¥­¨ï

¢­¥ ¨ ¢­ãâਠª ¯«¨ 㤮¢«¥â¢®àï¥â áâ 樮­ à­®¬ã ãà ¢­¥­¨î ⥯«®¯à®¢®¤­®áâ¨

T∗(1) = 0,

T∗(2) = 0.
(6.2.2)
‚¤ «¨ ®â ª ¯«¨ ¨á¯®«ì§ã¥âáï £à ­¨ç­®¥ ãá«®¢¨¥ (6.2.1), ­ ¥¥ ¯®¢¥àå­®á⨠¤®«­ë ¢ë¯®«­ïâìáï ãá«®¢¨ï ­¥¯à¥à뢭®á⨠⥬¯¥à âãàë
¨ ⥯«®¢®£® ¯®â®ª :
T∗(1)

∂T (1)

∂T (2)

= T∗(2), κ1 ∗ = κ2 ∗
¯à¨ R = a,
(6.2.3)
∂R
∂R
£¤¥ κ1 ¨ κ2 | ª®íää¨æ¨¥­âë ⥯«®¯à®¢®¤­®á⨠ª ¯«¨ ¨ ®ªàã î饩
¨¤ª®áâ¨.
¥è¥­¨¥ § ¤ ç¨ (6.2.1) | (6.2.3) ­ 室¨âáï ¬¥â®¤®¬ à §¤¥«¥­¨ï
¯¥à¥¬¥­­ëå ¨ ¨¬¥¥â ¢¨¤:


1 − δ a2
3A
R
(1)
R os θ + T0 ,
T∗ = Aa
+
os θ + T0, T∗(2) =
2
a
2+δ R
2+δ
(6.2.4)
£¤¥ δ = κ2 /κ1 .
 áᬮâਬ ⥯¥àì £¨¤à®¤¨­ ¬¨ç¥áªãî ç áâì § ¤ ç¨, ª®â®à ï
®¯¨áë¢ ¥âáï ãà ¢­¥­¨ï¬¨ ‘⮪á (2.1.2). Š®¬¯®­¥­âë ᪮à®á⨠¨¤ª®á⨠¢¤ «¨ ®â ª ¯«¨ 㤮¢«¥â¢®àïîâ ãá«®¢¨î (2.2.2), ¢­ãâਠª ¯«¨
à¥è¥­¨¥ ®£à ­¨ç¥­®.  ¬¥ä §­®© ¯®¢¥àå­®á⨠¢ë¯®«­ï¥âáï ãá«®¢¨¥ ­¥¯à®â¥ª ­¨ï (2.2.6) ¨ ãá«®¢¨¥ ­¥¯à¥à뢭®á⨠ª á ⥫쭮© ª®¬¯®­¥­âë ᪮à®á⨠(2.2.7). Šà®¬¥ ⮣®, ¨á¯®«ì§ã¥âáï £à ­¨ç­®¥ ãá«®¢¨¥
¡ « ­á â ­£¥­æ¨ «ì­ëå ­ ¯à省¨©:


(1)
(1) 
(2)
(2) 
V
V
∂Vθ
∂Vθ
1 ∂T∗(1)
−µ2
− θ
− θ
µ1
= −σ′
¯à¨ R = a,
∂R
R
∂R
R
R ∂θ
(6.2.5)
£¤¥ ¢ «¥¢®© ç á⨠áâ®ï⠢離¨¥ ­ ¯à省¨ï, ¢ ¯à ¢®© | â¥à¬®ª ¯¨««ïà­ë¥. ‡¤¥áì σ′ = dσ/dT∗(1) < 0.
Ǒ® ä®à¬ã« ¬ (2.1.3) ¢¢¥¤¥¬ ä㭪樨 ⮪ (m) ¢ ª ¤®© ä §¥
(m = 1, 2). ‚®á¯®«ì§ã¥¬áï ¤ «¥¥ ®¡é¨¬ à¥è¥­¨¥¬ (2.1.6), ¢ ª®â®à®¬
á®åà ­¨¬ ⮫쪮 ç«¥­ë ¯à¨ n = 2. Ž¯à¥¤¥«ïï ­¥¨§¢¥áâ­ë¥ ¯®áâ®ï­­ë¥
¨§ £à ­¨ç­ëå ãá«®¢¨© (2.2.2), (2.2.6), (2.2.7), ¯®«ã稬
 2

(1) = 1 a2 U R + B R − (B + 1) a sin2 θ,
i a2
2
a
R
(6.2.6)
 4

2
2 θ.
(2) = 1 a2 U (2B + 3) R − R
sin
i
4
a4
a2
Ǒ®áâ®ï­­ ï B ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¨§ ãá«®¢¨ï (6.2.5) ¯®á«¥ ¯®¤áâ ­®¢ª¨ âã¤
(6.2.4) ¨ (6.2.6):


1
Ma
Aaσ ′
3
B=−
1+ β−
Ma =
,
(6.2.7)
,
1+β
2
2+δ
µ1 Ui
£¤¥ Ma | ç¨á«® Œ à ­£®­¨.

6.2. ’¥à¬®ª ¯¨««ïà­ë© ¤à¥©ä ª ¯«¨

241

”®à¬ã«ë (6.2.6), (6.2.7) ¯®§¢®«ïîâ ¢ëç¨á«¨âì ᨫã, ¤¥©áâ¢ãîéãî
­ ª ¯«î: F = 4πµ1 aBUi . ‘¨«ã 㤮¡­® ¯à¥¤áâ ¢¨âì ¢ ¢¨¤¥ á㬬ë:
= FV + FT ,
4πa2 Aσ′
2 + 3β
= −2πµ1aUi
.
, FT = −
1+β
(2 + δ )(1 + β )
F

FV

(6.2.8)

Ǒ¥à¢®¥ á« £ ¥¬®¥ FV ¢ (6.2.8) ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© १ã«ìâ ⠀¤ ¬ à | ë¡ç¨­áª®£® ¤«ï ᨫë ᮯà®â¨¢«¥­¨ï ª ¯«¨ ¢ ¯®áâ㯠⥫쭮¬
¯®â®ª¥ (2.2.15). ‚â®à®¥ á« £ ¥¬®¥ FT ¥áâì â¥à¬®ª ¯¨««ïà­ ï ᨫ ,
¤¥©áâ¢ãîé ï ­ ª ¯«î ¢® ¢­¥è­¥¬ £à ¤¨¥­â¥ ⥬¯¥à âãàë § áç¥â
íä䥪⠌ à ­£®­¨.
‘ª®à®áâì ¤¢¨¥­¨ï ª ¯«¨ ¯à¨ ­ «¨ç¨¨ â¥à¬®ª ¯¨««ïà­®© á¨«ë ¨
¢ ®âáãâá⢨¥ £à ¢¨â 樨 ¬®­® ­ ©â¨, ¥á«¨ ¯®«®¨âì ᨫã F ¢ (6.2.8)
à ¢­®© ­ã«î. ‚ १ã«ìâ ⥠¯®«ã稬
UT

=−

2aAσ′
.
µ1 (2 + δ )(2 + 3β )

(6.2.9)

ˆ§ í⮩ ä®à¬ã«ë ¯à¨ σ′ = dσ/dT∗(1) < 0 á«¥¤ã¥â, çâ® §­ ª¨ UT ¨ A
ᮢ¯ ¤ îâ, ¯®í⮬㠪 ¯«ï ¡ã¤¥â ¤à¥©ä®¢ âì ¢ áâ®à®­ã ¢®§à áâ ­¨ï
⥬¯¥à âãàë.
‡ ¬¥â¨¬, ç⮠१ã«ìâ â (6.2.9) ¤«ï ᪮à®á⨠â¥à¬®ª ¯¨««ïà­®£®
¤à¥©ä ª ¯«¨ ¢ ®âáãâá⢨¥ £à ¢¨â 樨 á¯à ¢¥¤«¨¢ ¤«ï ¯à®¨§¢®«ì­ëå, ­¥ ⮫쪮 ¤«ï ¬ «ëå ç¨á¥« ¥©­®«ì¤á . ǑਠB = 0 â¥ç¥­¨¥
(6.2.6) 㤮¢«¥â¢®àï¥â ¯®«­ë¬ ãà ¢­¥­¨ï¬ ¤¢¨¥­¨ï ¡¥§ ®â¡à áë¢ ­¨ï ¨­¥à樮­­®£® ç«¥­ (ãà ¢­¥­¨ï¬  ¢ì¥ | ‘⮪á ). Ž¤­ ª® ¯à¨
í⮬ âॡ®¢ ­¨¥ ¬ «®á⨠ç¨á« Ǒ¥ª«¥ á®åà ­ï¥âáï.
¥§ã«ìâ âë ¤«ï £ §®¢®£® ¯ã§ëàï ¯®«ãç îâáï ¨§ ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å
१ã«ìâ ⮢ ¤«ï ª ¯«¨, ¥á«¨ ¢ ­¨å ¯®«®¨âì δ = β = 0.
‚ à ¡®â å [24, 25, 301, 303℄ ¯à¨¢¥¤¥­ë १ã«ìâ âë, ãâ®ç­¥­­ë¥
á ãç¥â®¬ ¯à¨¡«¨¥­¨© ¡®«¥¥ ¢ë᮪®£® ¯®à浪 ¯® ¬ «ë¬ ç¨á« ¬
¥©­®«ì¤á ¨ Ǒ¥ª«¥. ’ ª ¤«ï ᪮à®á⨠â¥à¬®ª ¯¨««ïà­®£® ¤à¥©ä
¯ã§ëàï ¯®«ã祭® [301℄:
UT
Aaσ ′

= U0 1 −

a2 |Aσ ′ |

301
7200

Pe2




,

£¤¥ U0 = −
, Pe =
. ‡¤¥áì U0 | ᪮à®áâì ¤à¥©ä ¯ã§ëàï
2µ1
µ1 χ
¢ ­ã«¥¢®¬ ¯à¨¡«¨¥­¨¨ ¯® ç¨á«ã Ǒ¥ª«¥. —¨á«® Ǒ¥ª«¥ Pe ®¯à¥¤¥«¥­®
¯® ᪮à®á⨠U0 . —¨á«® ¥©­®«ì¤á ¯®-¯à¥­¥¬ã áç¨â ¥âáï ­ã«¥¢ë¬
(á⮪ᮢ® ¯à¨¡«¨¥­¨¥). ‚¨¤­®, çâ® ãç¥â ª®­¢¥ªâ¨¢­®£® ¬ áᮯ¥à¥­®á ¯à¨¢®¤¨â ª 㬥­ì襭¨î ᪮à®á⨠¤à¥©ä ¯ã§ëàï.

242

’¥à¬®£¨¤à®¤¨­ ¬¨ç¥áª¨¥ ¥­¨ï

‚ [130℄ à áᬮâ७ â¥à¬®ª ¯¨««ïà­ë© ¤à¥©ä ¯ã§ëàï ¢® ¢­¥è­¥¬
£à ¤¨¥­â¥ ⥬¯¥à âãàë ¯à¨ ¡®«ìè¨å ç¨á« å Ǒ¥ª«¥. „«ï ᪮à®áâ¨
¤à¥©ä ¯®«ã祭®:
Aaσ ′
UT = −
.
3µ1
€­ «¨§ § ¤ ç¨ ¯à¨ ¯à®¨§¢®«ì­ëå ç¨á« å ¥©­®«ì¤á ¨ Ǒ¥ª«¥
¢®§¬®¥­ «¨èì ç¨á«¥­­ë¬¨ ¬¥â®¤ ¬¨ (á¬., ­ ¯à¨¬¥à, [158, 305℄).
¥áâ 樮­ à­ ï § ¤ ç ® à §£®­¥ ª ¯«¨ ¢­¥è­¨¬ £à ¤¨¥­â®¬
⥬¯¥à âãàë à áᬮâ७ ¢ [6, 130℄.
¥§ã«ìâ âë (6.2.8) ¤«ï â¥à¬®ª ¯¨««ïà­®© ᨫë FT ¨ (6.2.9) ¤«ï
᪮à®á⨠â¥à¬®ª ¯¨««ïà­®£® ¤à¥©ä , ¯®«ã祭­ë¥ ¢ ¯à¥¤¯®«®¥­¨¨
¯®áâ®ï­á⢠£à ¤¨¥­â ⥬¯¥à âãàë ¢¤ «¨ ®â ª ¯«¨, ®ª §ë¢ îâáï
á¯à ¢¥¤«¨¢ë¬¨ ¨ ¢ á«ãç ¥, ª®£¤ íâ®â £à ¤¨¥­â ­¥ ï¥âáï ¯®áâ®ï­­ë¬. Ǒਠí⮬ ¨å 㤮¡­® ¯¥à¥¯¨á âì ¢ ¢¥ªâ®à­®¬ ¢¨¤¥ [302℄:
F~T

=−

4πa2 σ′ A~
,
(2 + δ )(1 + β )

~
U
T

=−

2aσ′ A~
.
µ1 (2 + δ )(2 + 3β )

Ž¤­ ª® §¤¥áì ¯®¤ ¢¥«¨ç¨­®© A~ ⥯¥àì ­ ¤® ¯®­¨¬ âì £à ¤¨¥­â ¯®«ï
⥬¯¥à âãàë ¢® ¢­¥è­¥© ¨¤ª®á⨠¢ á«ãç ¥ ®âáãâáâ¢¨ï ª ¯«¨, ­® ¢ëç¨á«¥­­ë© ¢ ⮬ ¬¥áâ¥, £¤¥ ¢ ¤ ­­ë© ¬®¬¥­â ­ 室¨âáï 業âà ª ¯«¨.
Ǒਠ¨áá«¥¤®¢ ­¨¨ â¥à¬®ª ¯¨««ïà­®£® ¤¢¨¥­¨ï ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ ¢® ¢­¥è­¥¬ £à ¤¨¥­â¥ ⥬¯¥à âãàë à áᬠâਢ «¨áì ­¥ª®â®àë¥
®á«®­ïî騥 ®¡áâ®ï⥫ìá⢠: ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨¥ ª ¯«¨ á ¯«®áª®© á⥭ª®© [258℄ ¨«¨ ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨¥ ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ ¤àã£ á ¤à㣮¬ [193℄.
’ ª, ¢ ç áâ­®áâ¨, ¢ [193℄ ¯®ª § ­®, çâ® ¥á«¨ ¯à¨ ¤¢¨¥­¨¨ ¢ ¯®«¥
âï¥á⨠¢§ ¨¬®¤¥©á⢨¥ ª ¯¥«ì à ¤¨ãá a ã¡ë¢ ¥â á à ááâ®ï­¨¥¬ l
¬¥¤ã ­¨¬¨ ª ª a/l, â® ¯à¨ â¥à¬®ª ¯¨««ïà­®¬ ¤à¥©ä¥ | ª ª (a/l)3.

’¥à¬®ª ¯¨««ïà­®¥ ¤¢¨¥­¨¥ ª ¯«¨ ¯à¨ ­¥«¨­¥©­®© § ¢¨á¨¬®á⨠¯®¢¥àå­®áâ­®£® ­ â省¨ï ®â ⥬¯¥à âãàë. ‚ à ¡®â¥

[65℄ à áᬮâ७ ª ¯«ï, ­ 室ïé ïáï ¢ ¯®áâ®ï­­®¬ ¢­¥è­¥¬ £à ¤¨¥­â¥ ⥬¯¥à âãàë, á ­¥«¨­¥©­®© § ¢¨á¨¬®áâìî ¯®¢¥àå­®áâ­®£® ­ â省¨ï ®â ⥬¯¥à âãàë. ‚ â¥å á«ãç ïå, ª®£¤ íâ § ¢¨á¨¬®áâì ­¥¬®­®â®­­ , ¢ ®âáãâá⢨¥ £à ¢¨â 樨 ¢®§¬®­® ¯®ï¢«¥­¨¥ ¯«®áª®á⥩ à ¢­®¢¥á¨ï ª ¯¥«ì | ãá⮩稢ëå ¨ ­¥ãá⮩稢ëå.  «¨ç¨¥ â ª¨å ¯«®áª®á⥩
¬®¥â ¯®¬¥è âì, ­ ¯à¨¬¥à, â¥å­®«®£¨ç¥áª®¬ã ¯à®æ¥ááã 㤠«¥­¨ï ¯ã§ëà쪮¢ ¨§ à ᯫ ¢ ¢ ãá«®¢¨ïå ¬¨ªà®£à ¢¨â 樨 ¯à¨ ¯®¬®é¨ ¯à¨«®¥­¨ï ⥬¯¥à âãà­®£® £à ¤¨¥­â .
€­ «¨§ ¯®ª §ë¢ ¥â, çâ® ¢ á«ãç ¥, ª®£¤ § ¢¨á¨¬®áâì (6.1.19) ¨¬¥¥â ¬¨­¨¬ã¬, â.¥. ¯à¨ α > 0, ¯«®áª®áâì à ¢­®¢¥á¨ï ¡ã¤¥â ¯«®áª®áâìî
¯à¨â省¨ï, à ¢­®¢¥á¨¥ | ãáâ®©ç¨¢ë¬ (᪮à®áâì ¤à¥©ä ¢­¥ ¯«®áª®áâ¨ à ¢­®¢¥á¨ï ¢á¥£¤ ­ ¯à ¢«¥­ ª ¯«®áª®áâ¨). Ǒਠα < 0 ¯«®áª®áâì
à ¢­®¢¥á¨ï ¡ã¤¥â ¯«®áª®áâìî ®ââ «ª¨¢ ­¨ï, à ¢­®¢¥á¨¥ | ­¥ãáâ®©ç¨¢ë¬ (᪮à®áâì ¤à¥©ä ­ ¯à ¢«¥­ ®â ¯«®áª®áâ¨). „¢¨¥­¨¥ ¤¢ãå

6.2. ’¥à¬®ª ¯¨««ïà­ë© ¤à¥©ä ª ¯«¨

243

ª ¯¥«ì, ­ 室ïé¨åáï ¢ ¯«®áª®áâ¨ à ¢­®¢¥á¨ï, ¯à®¨á室¨â ­ ¢áâà¥çã
¤à㣠¤àã£ã, ¥á«¨ α > 0; ¯à¨ α < 0 ª ¯«¨ à á室ïâáï.

’¥à¬®ª ¯¨««ïà­®¥ ¤¢¨¥­¨¥ ª ¯«¨ ¯®¤ ¤¥©á⢨¥¬ ¨§«ã祭¨ï. ‘®§¤ ­¨¥ £à ¤¨¥­â ⥬¯¥à âãàë ¢® ¢­¥è­¥© ¨¤ª®á⨠ï-

¥âáï ®¤­¨¬ ¨§ ¯à®á⥩è¨å, ­® ­¥ ¥¤¨­á⢥­­ë¬ ᯮᮡ®¬ ¯à¨¢¥¤¥­¨ï
ª ¯«¨ ¢ á®áâ®ï­¨¥ â¥à¬®ª ¯¨««ïà­®£® ¤à¥©ä . ’ ª, ¢ á«ãç ¥ ­¥¯à®§à ç­®© ª ¯«¨ ¨ ¯à®§à ç­®© ¢­¥è­¥© ¨¤ª®á⨠­ ª ¯«î, ­ 室ïéãîáï ¢ à ¢­®¬¥à­® ­ £à¥â®© ¨¤ª®áâ¨, ¬®­® ­ ¯à ¢¨âì ᢥ⮢®© «ãç.
Ǒਠí⮬ ¨§«ã祭¨¥, ¯®£«®é ïáì ¢ ª ¯«¥, ¡ã¤¥â ­¥à ¢­®¬¥à­® ­ £à¥¢ âì ¥¥, ¯à¨¢®¤ï ª ¯®ï¢«¥­¨î â¥à¬®ª ¯¨««ïà­ëå ­ ¯à省¨©. Ǒà¨
dσ/dT∗ < 0 ª ¯«ï ¡ã¤¥â ¤à¥©ä®¢ âì ¢ áâ®à®­ã ᢮¥© ¡®«¥¥ ­ £à¥â®©
ç áâ¨, â.¥. ­ ¢áâà¥çã «ãçã.
‘®®â¢¥âáâ¢ãîé ï § ¤ ç à áᬮâ७ ¢ à ¡®â å [155, 268℄. ˆ§«ã祭¨¥ ¢ [155℄ áç¨â «®áì ¨¬¥î騬 ä®à¬ã ¯«®áª®¯ à ««¥«ì­®£® «ãç ,
¯®£«®é î饣®áï ­ ¯®¢¥àå­®á⨠ª ¯«¨, ª ª ­ ç¥à­®¬ ⥫¥, ­® ᢮¡®¤­® ¯à®å®¤ï饣® ç¥à¥§ ¢­¥è­îî ¨¤ª®áâì, ¯à¨ç¥¬ ⥬¯¥à âãà
¢¤ «¨ ®â ª ¯«¨ ¯à¨­¨¬ « áì ¯®áâ®ï­­®©. „«ï â¥à¬®ª ¯¨««ïà­®© á¨«ë ¨ ᪮à®á⨠â¥à¬®ª ¯¨««ïà­®£® ¤à¥©ä ª ¯«¨ ¯®¤ ¤¥©á⢨¥¬ ¨§«ã祭¨ï ¢ ®âáãâá⢨¥ £à ¢¨â 樨 ¡ë«¨ ¯®«ãç¥­ë ¢ëà ¥­¨ï (J |
¬®é­®áâì ¯®â®ª ¨§«ã祭¨ï):
FT

=

2πa2 Jσ′
,
3κ1 (2 + δ )(1 + β )

UT

=

aJσ ′
.
3µ1 κ1 (2 + δ )(2 + 3β )

(6.2.10)

‡¤¥áì ¢¥«¨ç¨­ë FT ¨ UT | ¯®«®¨â¥«ì­ë, ¥á«¨ ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 ¢¥ªâ®àë ­ ¯à ¢«¥­ë ¢ áâ®à®­ã à á¯à®áâà ­¥­¨ï ¨§«ã祭¨ï, ¨ ®âà¨æ ⥫ì­ë ¢ ¯à®â¨¢®¯®«®­®¬ á«ãç ¥. Š ª á«¥¤ã¥â ¨§ ¢â®à®© ä®à¬ã«ë
(6.2.10), ¯à¨ σ′ < 0 ª ¯«ï ¤à¥©äã¥â ­ ¢áâà¥çã «ãçã.

Ž¡é¥¥ ¢ëà ¥­¨¥ ¤«ï ª ¯¨««ïà­®© á¨«ë ¢ á⮪ᮢ®¬
¯à¨¡«¨¥­¨¨. ‚® ¢á¥å à áᬮâ७­ëå à ­¥¥ á«ãç ïå ¤¥«® ®¡áâ®ï«®

â ª, çâ® à á¯à¥¤¥«¥­¨¥ ¯®¢¥àå­®áâ­®£® ­ â省¨ï ¢¤®«ì ¯®¢¥àå­®áâ¨, ª ª á«¥¤á⢨¥ ¯à¥­¥¡à¥¥­¨ï ª®­¢¥ªâ¨¢­®© ⥯«®¯à®¢®¤­®áâìî,
¯®«ãç «®áì ­¥§ ¢¨á¨¬® ®â ¤¢¨¥­¨ï ¨¤ª®áâ¨. ”®à¬ «¨§ãï ¤ ­­®¥
®¡áâ®ï⥫ìá⢮, ¬®­® à áᬮâà¥âì íä䥪⠌ à ­£®­¨ ¤«ï ª ¯«¨,
ª®£¤ ª®íää¨æ¨¥­â ¯®¢¥àå­®áâ­®£® ­ â省¨ï áç¨â ¥âáï § ¤ ­­®©
ä㭪樥© ª®®à¤¨­ â ­ ¯®¢¥àå­®á⨠ª ¯«¨ ¡¥§ ª®­ªà¥â¨§ 樨 ¯à¨ç¨­ë, ¢ë§¢ ¢è¥© íâã ­¥®¤­®à®¤­®áâì. ‚ í⮬ á«ãç ¥ ¢ëà ¥­¨¥ ¤«ï
¤¥©áâ¢ãî饩 ­ ª ¯«î ª ¯¨««ïà­®© á¨«ë ¨¬¥¥â ¢¨¤ [302℄
F~T

=−

1
2(1 + β )

Z

∇s σ dS,

(6.2.11)

S

£¤¥ ∇s | £à ¤¨¥­â ¢¤®«ì ¯®¢¥àå­®áâ¨, ¨­â¥£à¨à®¢ ­¨¥ ¯à®¨§¢®¤¨âáï
¯® ¢á¥© ¯«®é ¤¨ ¯®¢¥àå­®á⨠ª ¯«¨.

244

’¥à¬®£¨¤à®¤¨­ ¬¨ç¥áª¨¥ ¥­¨ï

Ǒà¨à ¢­¨¢ ï á㬬ã ᨫë ᮯà®â¨¢«¥­¨ï FV ¢ (6.2.8) ¨ ª ¯¨««ïà­®© ᨫë (6.2.11) ­ã«î, ¬®­® ­ ©â¨ ᪮à®áâì ª ¯¨««ïà­®£® ¤à¥©ä ª ¯«¨:
Z
1
~ =−
∇s σ dS.
U
(6.2.12)
T
4πµ1 a(2 + 3β )
S

Ǒ®«ã祭­ë¥ â ª¨¬ ®¡à §®¬ १ã«ìâ âë ®¡« ¤ îâ ¤®áâ â®ç­®©
®¡é­®áâìî. Ž­¨ ®å¢ âë¢ î⠢ᥠá«ãç ¨, ª®£¤ ª ¯¨««ïà­ë¥ ­ ¯à省¨ï ­ ¯®¢¥àå­®á⨠ª ¯«¨ áâ 樮­ à­ë ¨ ­¥ § ¢¨áï⠮⠤¢¨¥­¨ï
¨¤ª®áâ¨. Ǒਠᮮ⢥âáâ¢ãî饩 ª®­ªà¥â¨§ 樨 ä㭪樨 σ ä®à¬ã«ë
(6.2.8) ¨ (6.2.9), ¢ë¢¥¤¥­­ë¥ ¤«ï á«ãç ï Pe = 0, ¬®£ãâ ¡ëâì ¯®«ã祭ë
¨§ (6.2.11), (6.2.12).
®«¥¥ ¯®¤à®¡­® á ¯®á«¥¤­¨¬¨ ¤®á⨥­¨ï¬¨ ¢ í⮩ ®¡« á⨠¬®­®
¯®§­ ª®¬¨âìáï ¢ à ¡®â å [162, 286℄.
6.3. •¥¬®ª ¯¨««ïà­ë© íä䥪â
¯à¨ ¤¢¨¥­¨¨ ª ¯«¨

‚ᥠà áᬮâ७­ë¥ ¢ëè¥ á«ãç ¨ ¯à®ï¢«¥­¨ï íä䥪⠌ à ­£®­¨
¤«ï ª ¯«¨ ¨¬¥îâ ®¤­ã ®¡éãî ç¥àâã, ¨¬¥­­® ­ «¨ç¨¥ ­¥ª®â®à®©
¢­¥è­¥© ­¥á¨¬¬¥âਨ, ª®â®à ï ­¥ á¢ï§ ­ á ¤¢¨¥­¨¥¬. ‘ãé¥á⢥­­®
¨­ë¥ á¨âã 樨, ª®£¤ £à ¤¨¥­â ¯®¢¥àå­®áâ­®£® ­ â省¨ï ¢®§­¨ª ¥â
«¨èì ¢ ¯à®æ¥áᥠ¤¢¨¥­¨ï ¨¤ª®á⥩ ¢­¥ ¨ ¢­ãâਠª ¯«¨, ¢ ᢮î
®ç¥à¥¤ì ®¡à â­® ¢«¨ïï ­ ¤¢¨¥­¨¥, ¨áá«¥¤®¢ ­ë ¢ [100, 163℄.
’ ª, ¢ [100℄ ­ «¨§¨àã¥âáï ¢«¨ï­¨¥ ¯®¢¥àå­®áâ­®- ªâ¨¢­ëå ¢¥é¥á⢠(Ǒ€‚) ­ ¤¢¨¥­¨¥ ª ¯«¨. ‚ á®áâ®ï­¨¨ ¯®ª®ï ¯®¢¥àå­®áâ­ ï
¯«¥­ª ®¤­®à®¤­ , ¨ £à ¤¨¥­â ¯®¢¥àå­®áâ­®£® ­ â省¨ï ­¥ ¢®§­¨ª ¥â. Ž¤­ ª®, ¥á«¨ ª ¯«ï ¯¥à¥¬¥é ¥âáï, â® ¯®¢¥àå­®áâ­®- ªâ¨¢­ë¥ ¢¥é¥á⢠¯¥à¥à á¯à¥¤¥«ïîâáï ¢¤®«ì ¯®¢¥àå­®áâ¨, ᮧ¤ ¢ ï â ª®© £à ¤¨¥­â. Ǒ®áª®«ìªã ¯®¢¥àå­®áâ­®¥ ­ â省¨¥ ®¡ëç­® ã¡ë¢ ¥â á à®á⮬
ª®­æ¥­âà 樨, ª ¯¨««ïà­ë© íä䥪⠢ í⮬ á«ãç ¥ ¡ã¤¥â á®áâ®ïâì ¢
â®à¬®¥­¨¨ ¯®¢¥àå­®á⨠¨ 㢥«¨ç¥­¨¨ ᮯà®â¨¢«¥­¨ï ª ¯«¨. ᫨
ª ¯¨««ïà­ë© íä䥪⠢¥«¨ª, â® ®­ ¯à¨¢®¤¨â ª ¯®«­®¬ã ¯à¥ªà 饭¨î
¤¢¨¥­¨ï ­ ¯®¢¥àå­®á⨠ª ¯«¨ ¨«¨ ¯ã§ëàï, ¯®í⮬㠧 ª®­ ᮯà®â¨¢«¥­¨ï ¤«ï ­¨å áâ ­®¢¨âáï â ª¨¬ ¥, ª ª ¨ ¤«ï ⢥म© áä¥à¨ç¥áª®©
ç áâ¨æë. â®â ¢ë¢®¤ ¨¬¥¥â ¬­®£®ç¨á«¥­­ë¥ íªá¯¥à¨¬¥­â «ì­ë¥ ¯®¤â¢¥à¤¥­¨ï [100℄.
„ «¥¥, á«¥¤ãï [163℄, ¡®«¥¥ ¯®¤à®¡­® ®áâ ­®¢¨¬áï ­ ¤à㣮¬ ¬¥å ­¨§¬¥ ¢®§­¨ª­®¢¥­¨ï ­¥¯®áâ®ï­á⢠¯®¢¥àå­®áâ­®£® ­ â省¨ï ¢
¯à®æ¥áᥠ¤¢¨¥­¨ï.  áᬮâਬ ª ¯«î, ¤¢¨ãéãîáï á ¯®áâ®ï­­®©
᪮à®áâìî, ­ ¯®¢¥àå­®á⨠ª®â®à®© ¯à®â¥ª ¥â íª§®- ¨«¨ í­¤®â¥à¬¨ç¥áª ï 娬¨ç¥áª ï ॠªæ¨ï. ‘ç¨â ¥âáï, çâ® ¢ ॠªæ¨¨ ãç áâ¢ã¥â

6.3. •¥¬®ª ¯¨««ïà­ë© íä䥪⠯ਠ¤¢¨¥­¨¨ ª ¯«¨

245

¯®¢¥àå­®áâ­®- ªâ¨¢­®¥ ¢¥é¥á⢮, à á⢮७­®¥ ¢ ®ªàã î饩 ª ¯«î ¨¤ª®áâ¨. Ǒ।¯®« £ ¥¬, ç⮠⥬¯¥à âãà ¨¤ª®á⨠¨ ª®­æ¥­âà æ¨ï Ǒ€‚ ¢¤ «¨ ®â ª ¯«¨ ¯®áâ®ï­­ë, ¢ â® ¢à¥¬ï ª ª ª®­æ¥­âà æ¨ï
¯®¢¥àå­®áâ­®- ªâ¨¢­®£® ¢¥é¥á⢠(ॠ£¥­â ) ­ ¬¥ä §­®© ¯®¢¥àå­®á⨠®¡à é ¥âáï ¢ ­ã«ì (¤¨ää㧨®­­ë© २¬ ॠªæ¨¨). ‚ â ª®© ᨬ¬¥âà¨ç­®© á¨âã 樨 ­¥¯®áâ®ï­á⢮ ⥬¯¥à âãàë, á«¥¤®¢ ⥫쭮, ¨
â¥à¬®ª ¯¨««ïà­ë¥ ­ ¯à省¨ï ¬®£ãâ ¢®§­¨ª­ãâì «¨èì ¯à¨ ¤¢¨¥­¨¨ ¨¤ª®á⥩.
„«ï ⮣® çâ®¡ë ¯®¤ç¥àª­ãâì ஫ì 娬¨ç¥áª®© ॠªæ¨¨, ®¯¨áë¢ ¥¬ë¥ ¤ «¥¥ â¥à¬®ª ¯¨««ïà­ë¥ íä䥪âë ¯à¨­ïâ® ­ §ë¢ âì 奬®â¥à¬®ª ¯¨««ïà­ë¬¨.
‡ ¤ çã ® áâ 樮­ à­®¬ ®¡â¥ª ­¨¨ ª ¯«¨ á ¯®¢¥àå­®áâ­®© 娬¨ç¥áª®© ॠªæ¨¥© ®¤­®à®¤­ë¬ ¯®áâ㯠⥫ì­ë¬ áâ®ªá®¢ë¬ ¯®â®ª®¬
ãá«®¢­® ¬®­® à §¤¥«¨âì ­ âਠç áâ¨.
„«ï £¨¤à®¤¨­ ¬¨ç¥áª®© ç á⨠§ ¤ ç¨ á®åà ­ïîâáï ¢á¥ ®á­®¢­ë¥
¯à¥¤¯®«®¥­¨ï, ãà ¢­¥­¨ï ¨ £à ­¨ç­ë¥ ãá«®¢¨ï, ¨á¯®«ì§ã¥¬ë¥ à ­¥¥
¢ à §¤. 6.2.
Š®­æ¥­âà 樮­­ ï ç áâì § ¤ ç¨ ®¯¨á뢥âáï ãà ¢­¥­¨¥¬ ª®­¢¥ªâ¨¢­®© ¤¨ää㧨¨ (4.4.3), £¤¥ ã ä㭪樨 ⮪ ­¥®¡å®¤¨¬® ¯®áâ ¢¨âì
¨­¤¥ªá ¥¤¨­¨æ , ¨ £à ­¨ç­ë¬¨ ãá«®¢¨ï¬¨ ¯®áâ®ï­á⢠ª®­æ¥­âà 樨
­ ¬¥ä §­®© ¯®¢¥àå­®á⨠¨ ¢¤ «¨ ®â ª ¯«¨ (4.4.4), (4.4.5). „¨ää㧨®­­®¥ ç¨á«® Ǒ¥ª«¥ Pe áç¨â ¥âáï ¬ «ë¬.
—â® ª á ¥âáï ⥯«®¢®© ç á⨠§ ¤ ç¨, â® ¢ à áᬠâਢ ¥¬®¬ á«ãç ¥
¤«ï ®¯¨á ­¨ï â¥à¬®ª ¯¨««ïà­®£® íä䥪⠭¥¤®áâ â®ç­® ®£à ­¨ç¨âìáï ­ã«¥¢ë¬ ¯à¨¡«¨¥­¨¥¬ ¯®«ï ⥬¯¥à âãàë ¯® ¬ «®¬ã ç¨á«ã Ǒ¥ª«¥,
¯®áª®«ìªã ¢ í⮬ á«ãç ¥ ⥬¯¥à âãà ®áâ ¢ « áì ¡ë ¯®áâ®ï­­®© ¢¤®«ì
¯®¢¥àå­®á⨠ª ¯«¨. Ǒ®í⮬㠢¬¥áâ® ãà ¢­¥­¨© (6.2.2) §¤¥áì ¨á¯®«ì§ãîâáï ¡®«¥¥ ®¡é¨¥ ãà ¢­¥­¨ï ª®­¢¥ªâ¨¢­®© ⥯«®¯à®¢®¤­®áâ¨:

T∗(1) = χ1



V~ (1) · ∇ T∗(1) ,


T∗(2) = χ2



~ (2) · ∇ T (2) ,
V
∗

(6.3.1)

‚¤ «¨ ®â ª ¯«¨ ¨á¯®«ì§ã¥âáï £à ­¨ç­®¥ ãá«®¢¨¥ (6.2.1) ¯à¨ A = 0,
­ ¬¥ä §­®© ¯®¢¥àå­®á⨠¤®«­ë ¢ë¯®«­ïâìáï ãá«®¢¨¥ ­¥¯à¥à뢭®á⨠⥬¯¥à âãàë (á¬. ¯¥à¢®¥ £à ­¨ç­®© ãá«®¢¨¥ ¢ (6.2.3)) ¨ ãá«®¢¨¥
¡ « ­á ⥯«®¢®£® ¯®â®ª ãç¥â®¬ ⥯«®¢ë¤¥«¥­¨ï § áç¥â ¯®¢¥àå­®áâ­®© ४樨:
∂T∗(1)
∂T∗(2)
− κ2
κ1
∂R
∂R

= QD

∂C
∂R

¯à¨

R = a,

(6.3.2)

£¤¥ Q | ⥯«®¢®© íä䥪â 娬¨ç¥áª®© ॠªæ¨¨ (Q > 0 | íª§®â¥à¬¨ç¥áª ï, Q < 0 | í­¤®â¥à¬¨ç¥áª ï ॠªæ¨ï).
Žâ¬¥â¨¬, çâ® á¢ï§ì ¬¥¤ã £¨¤à®¤¨­ ¬¨ç¥áª®©, ¤¨ää㧨®­­®© ¨
⥯«®¢®© § ¤ 祩 ®áãé¥á⢫ï¥âáï á ¯®¬®éìî ª®­¢¥ªâ¨¢­ëå ç«¥­®¢ ¢

246

’¥à¬®£¨¤à®¤¨­ ¬¨ç¥áª¨¥ ¥­¨ï

ãà ¢­¥­¨ïå ¤¨ää㧨¨ ¨ ⥯«®¯à®¢®¤­®á⨠¨ ¤¢ãå £à ­¨ç­ëå ãá«®¢¨©
(6.2.5) ¨ (6.3.2). „«ï ¯®«ã祭¨ï £« ¢­ëå ç«¥­®¢ à §«®¥­¨ï ¯® ¬ «ë¬
¤¨ää㧨®­­ë¬ ¨ ⥯«®¢ë¬ ç¨á« ¬ Ǒ¥ª«¥ ª®­¢¥ªâ¨¢­ë¬¨ ç«¥­ ¬¨
¬®­® ¯à¥­¥¡à¥çì ¨ á¢ï§ì ¬¥¤ã 㪠§ ­­ë¬¨ ¢ëè¥ § ¤ ç ¬¨ ॠ«¨§ã¥âáï ⮫쪮 § áç¥â £à ­¨ç­ëå ãá«®¢¨©.
¥è¥­¨¥ £¨¤à®¤¨­ ¬¨ç¥áª®© ç á⨠§ ¤ ç¨, ª ª ¨ à ­¥¥ ¬®­®
§ ¯¨á âì ¢ ¢¨¤¥ ä®à¬ã« ¤«ï ä㭪権 ⮪ (6.2.6), £¤¥ ¯®áâ®ï­­ ï
B ®áâ ¥âáï ¯®ª ­¥®¯à¥¤¥«¥­­®©.
 å®¤ï ¯à¨¡«¨¥­­®¥ à¥è¥­¨¥ ⥯«®¢®© ¨ ¤¨ää㧨®­­®© § ¤ ç
¬¥â®¤®¬ áà 騢 ¥¬ëå ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨å à §«®¥­¨© (á¬. à §¤. 4.4) á
ä㭪樥© ⮪ (6.2.6) ¨ ®£à ­¨ç¨¢ ïáì ­ã«¥¢ë¬¨ ¨ ¯¥à¢ë¬¨ ç«¥­ ¬¨
à §«®¥­¨© ¯® ¬ «ë¬ ç¨á« ¬ Ǒ¥ª«¥ á ¯®¬®éìî £à ­¨ç­ëå ãá«®¢¨©
(6.2.5) ¨ (6.3.2) ¬®­® ¢ëç¨á«¨âì §­ 祭¨¥ ¯®áâ®ï­­®© B ¨ ᨫã
¤¥©áâ¢ãîéãî ­ ª ¯«î:
1 + 23 β + 3m
,
1+β+m

Ma PeT (1 − L )
.
12(2 + δ )
(6.3.3)
QCi Dσ ′
χ1
| ç¨á«® Œ à ­£®­¨, L =
| ç¨á«® ‹ì¤¥áì Ma =
κ1 µ1 Ui
D
á . Ǒਠ¢ë¢®¤¥ ä®à¬ã«ë (6.3.3) áç¨â «¨áì ¢ë¯®«­¥­­ë¬¨ ãá«®¢¨ï:
Pe ≈ PeT ¨ Ma Pe ≈ 1.
‘ª®à®áâì ¤¢¨¥­¨ï ª ¯«¨ ¢ ¯®«¥ âï¥á⨠­ 室¨âáï ¨§ ãá«®¢¨ï
®¡à 饭¨ï á㬬ë ᨫë (6.3.3), ᨫë âï¥á⨠¨ ¢ëâ «ª¨¢ î饩
á¨«ë ¢ ­ã«ì
(ρ − ρ2 )a2
g.
Ui = 1
(6.3.4)
3µ1 B
F

= 4πµ1 aUi B,

B

=−

m=−

ǑਠB < 0 ᨫ (6.3.3), ª ª ®¡ëç­®, ï¥âáï ᨫ®© ᮯà®â¨¢«¥­¨ï.
ǑਠB > 0 ᨫ (6.3.3) ¯à¥¢à é ¥âáï ¢ ᨫã â ¡ã¤ãç¨ á®­ ¯à ¢«¥­­®© ᪮à®á⨠¤¢¨¥­¨ï ª ¯«¨.
ǑਠB > − 32 ª à⨭ ®¡â¥ª ­¨ï ª ¯«¨ ­ «®£¨ç­ ®¡â¥ª ­¨î ¯®
€¤ ¬ àã | ë¡ç¨­áª®¬ã (à¨á. 2.2). ‘ 㬥­ì襭¨¥¬ ¢¥«¨ç¨­ë B ¨­â¥­á¨¢­®áâì æ¨àªã«ï樨 ¨¤ª®á⨠¢­ãâਠª ¯«¨ 㬥­ìè ¥âáï ¨ ¯à¨
B = − 32 ®¡à é ¥âáï ¢ ­ã«ì. Ǒਠ¤ «ì­¥©è¥¬ 㬥­ì襭¨¨ (B < − 32 )
¢®§­¨ª ¥â æ¨àªã«ï樮­­ ï §®­ ¢®ªà㣠ª ¯«¨.  ¯à ¢«¥­¨¥ ¢­ãâ७­¥© æ¨àªã«ï樨 áâ ­®¢¨âáï ¯à®â¨¢®¯®«®­ë¬ ¯® ®â­®è¥­¨î ª ᮮ⢥âáâ¢ãî饬㠭 ¯à ¢«¥­¨î ¢ á«ãç ¥ €¤ ¬ à | ë¡ç¨­áª®£®. Ǒà¨
í⮬, ª ª á«¥¤ã¥â ¨§ (6.3.3), ¤¥©áâ¢ãîé ï ­ ª ¯«î ᨫ ᮯà®â¨¢«¥­¨ï ¯à¥¢ëè ¥â ᨫ㠑⮪á , ¤¥©áâ¢ãîéãî ­ ⢥à¤ãî áä¥àã.
‚ ¯à¥¤¥«ì­®¬ á«ãç ¥ β → ∞ (¡®«ìè ï ¢ï§ª®áâì ¢¥é¥á⢠ª ¯«¨)
â¥à¬®ª ¯¨««ïà­ë© íä䥪⠭¥ ¢«¨ï¥â ­ ¤¢¨¥­¨¥, B → − 32 , ª ¯«ï ¡ã¤¥â ®¡â¥ª âìáï ª ª ⢥ठï áä¥à ¨ ¨§ (6.3.3) ¯®«ãç ¥âáï § ª®­
‘⮪á (2.2.5). Ǒਠm = 0 (®âáãâá⢨¥ ⥯«®¢ë¤¥«¥­¨ï ¨«¨ ­¥§ ¢¨-

6.3. •¥¬®ª ¯¨««ïà­ë© íä䥪⠯ਠ¤¢¨¥­¨¨ ª ¯«¨

247

ᨬ®áâì ¯®¢¥àå­®áâ­®£® ­ â省¨ï ®â ⥬¯¥à âãàë) â¥à¬®ª ¯¨««ïà­ë© íä䥪⠮âáãâáâ¢ã¥â, ¨§ (6.3.3) ¯®«ãç ¥âáï ®¡ëç­ ï ᨫ ᮯà®â¨¢«¥­¨ï ¯à¨ ®¡â¥ª ­¨¨ ª ¯«¨ ¯®áâ㯠⥫ì­ë¬ ¯®â®ª®¬ (2.2.15).
Žâ¬¥â¨¬, çâ® ¬®¥â ®áãé¥á⢫ïâìáï २¬ â ª ­ §ë¢ ¥¬®£® ¢â®­®¬­®£® ¤¢¨¥­¨ï, ª®£¤ ª ¯«ï á ¬®¯à®¨§¢®«ì­®, ¢ ®âáãâá⢨¥
ª ª¨å-«¨¡® ¢­¥è­¨å ¢ë­ã¤ îé¨å ®¡áâ®ï⥫ìáâ¢, ¤à¥©äã¥â á ¯®áâ®ï­­®© ­¥­ã«¥¢®© ᪮à®áâìî [51, 52℄. Ǒਠí⮬ ¤à㣮© ¢®§¬®­ë© २¬ ¤¢¨¥­¨ï | ¯®ª®© | ®ª §ë¢ ¥âï ­¥ãá⮩稢ë¬. ä䥪âë, ­ «®£¨ç­ë¥ à áᬮâ७­ë¬ ¢ ¤ ­­®¬ à §¤¥«¥, ¬®£ãâ ¢ë§ë¢ âìáï
奬®ª®­æ¥­âà 樮­­®-ª ¯¨««ïà­ë¬ ¬¥å ­¨§¬®¬ [53℄, â ª¥ ¤à㣨¬¨, ®â«¨ç­ë¬¨ ®â ¯®¢¥àå­®áâ­®© 娬¨ç¥áª®© ॠªæ¨¨ ä ªâ®à ¬¨, ­ ¯à¨¬¥à, ⥯«®¢ë¤¥«¥­¨¥¬ ¢­ãâਠª ¯«¨ [156℄.
‡ ¬¥ç ­¨¥. ‡ ¤ ç ® ¬ áᮯ¥à¥­®á¥ ª ª ¯«¥ ¤«ï ¤¨ää㧨®­­®£®
२¬ ॠªæ¨¨ ­ ¥¥ ¯®¢¥àå­®á⨠¢ ãá«®¢¨ïå â¥à¬®ª ¯¨««ïà­®£®
¤¢¨¥­¨ï ä®à¬ã«¨àã¥âáï â ª ¥, ª ª ¢ ¥£® ®âáãâá⢨¥ (á¬. à §¤. 4.4),
á ãç¥â®¬ ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å ¨§¬¥­¥­¨© ¢ ¯®«¥ ᪮à®á⥩ ¨¤ª®áâ¨.
‚ [50℄ à áᬮâ७ ¡®«¥¥ á«®­ ï § ¤ ç ¤«ï 奬®ª ¯¨««ïà­®£®
íä䥪â á ⥯«®¢ë¤¥«¥­¨¥¬, ®¯¨á ­­®£® ¢ [51{53, 163℄. ‘ç¨â «®áì,
çâ® ­ ¯®¢¥àå­®á⨠ª ¯«¨ ¯à®â¥ª ¥â 娬¨ç¥áª ï ॠªæ¨ï á ª®­¥ç­®©
᪮à®áâìî.

7. ƒ¨¤à®¤¨­ ¬¨ª , ¬ áá®- ¨
⥯«®®¡¬¥­ ¢ ­¥­ìîâ®­®¢áª¨å
¨¤ª®áâïå

„® á¨å ¯®à à áᬠâਢ «¨áì ¢®¯à®áë ¤¢¨¥­¨ï ¨ ⥯«®¬ áá®®¡¬¥­ ­ìîâ®­®¢áª¨å á।, ª®â®àë¥ å à ªâ¥à¨§ãîâáï «¨­¥©­®© á¢ï§ìî
¬¥¤ã ª á ⥫ì­ë¬¨ ­ ¯à省¨ï¬¨ ¨ ᮮ⢥âáâ¢ãî騬¨ ᪮à®áâﬨ ¤¥ä®à¬ 樨 ᤢ¨£ (¯à¨ç¥¬ ¯à¨ ­ã«¥¢®© ᪮à®á⨠¤¥ä®à¬ 樨 ª á ⥫ì­ë¥ ­ ¯à省¨ï ®âáãâáâ¢ãîâ). “ª § ­­®¬ã § ª®­ã å®à®è® ¯®¢¨­ãîâáï £ §ë ¨ ®¤­®ä §­ë¥ ­¨§ª®¬®«¥ªã«ïà­ë¥, â.¥. ¯à®áâë¥, ¨¤ª®áâ¨.  ¯à ªâ¨ª¥, ®¤­ ª®, ­¥à¥¤ª® ¢áâà¥ç îâáï ¡®«¥¥ á«®­ë¥ ¯®
áâàãªâãॠ¨¤ª®áâ¨, ­ ¯à¨¬¥à, à á⢮àë ¨ à ᯫ ¢ë ¯®«¨¬¥à®¢, ¤¨á¯¥àá­ë¥ ⥪ã稥 á¨á⥬ë (áãᯥ­§¨¨, í¬ã«ìᨨ, ¯ áâë) , ª®â®àë¥ ¨¬¥îâ ­¥«¨­¥©­ãî § ¢¨á¨¬®áâì ¬¥¤ã ª á ⥫ì­ë¬¨ ­ ¯à省¨ï¬¨ ¨
᪮à®áâﬨ ᤢ¨£®¢®© ¤¥ä®à¬ 樨. ’ ª¨¥ ¨¤ª®á⨠­ §ë¢ îâ ­¥­ìîâ®­®¢áª¨¬¨.
‚ í⮩ £« ¢¥ ®¯¨á ­ë ­ ¨¡®«¥¥ à á¯à®áâà ­¥­­ë¥ (¯®«ãí¬¯¨à¨ç¥áª¨¥ ¨ í¬¯¨à¨ç¥áª¨¥) ८«®£¨ç¥áª¨¥ ¬®¤¥«¨ ­¥­ìîâ®­®¢áª¨å ¨¤ª®á⥩. „ ­ë ¯®áâ ­®¢ª¨ ¨ ¯à¨¢¥¤¥­ë ¨â®£®¢ë¥ १ã«ìâ âë à¥è¥­¨ï
⨯¨ç­ëå § ¤ ç £¨¤à®¤¨­ ¬¨ª¨ ¨ ⥯«®¬ áá®®¡¬¥­ á⥯¥­­ëå ¨¤ª®á⥩.
7.1. ¥®«®£¨ç¥áª¨¥ ¬®¤¥«¨ ­¥­ìîâ®­®¢áª¨å
­¥á¨¬ ¥¬ëå ¨¤ª®á⥩

ìîâ®­®¢áª ï ¨¤ª®áâì. ‚ ®á­®¢ã ª« áá¨ç¥áª®© £¨¤à®¬¥å ­¨ª¨ ¢ï§ª®© ­¥á¨¬ ¥¬®© ¨§®âய­®© ¨¤ª®á⨠¯®«®¥­ ®¡®¡é¥­­ë©
§ ª®­ ìîâ®­
τij

= −P δij + 2µeij
(i, j = 1, 2, 3),

1 ¯à¨ i = j ,
δij =
6 j,
0 ¯à¨ i =

(7.1.1)

£¤¥ τij | ª®¬¯®­¥­âë ⥭§®à ­ ¯à省¨©; P | ¤ ¢«¥­¨¥; δij | ᨬ¢®« Šà®­¥ª¥à ; µ | ª®íää¨æ¨¥­â ¤¨­ ¬¨ç¥áª®© ¢ï§ª®á⨠¨¤ª®áâ¨;
eij | ª®¬¯®­¥­âë ⥭§®à ᪮à®á⥩ ¤¥ä®à¬ 樨, ª®â®àë¥ ¢ ¤¥ª à⮢®© á¨á⥬¥ ª®®à¤¨­ â X1 , X2 , X3 ¢ëà  îâáï ç¥à¥§ ª®¬¯®­¥­âë
᪮à®á⨠¨¤ª®á⨠V1 , V2 , V3 ¯® ä®à¬ã«¥
1
eij =
2

248



∂Vi
∂Xj

+

∂Vj
∂Xi


.

(7.1.2)

7.1. ¥®«®£¨ç¥áª¨¥ ¬®¤¥«¨ ­¥­ìîâ®­®¢áª¨å ¨¤ª®á⥩

249

‚ ãà ¢­¥­¨¥ (7.1.1) ¢å®¤¨â «¨èì ®¤¨­ ८«®£¨ç¥áª¨© ¯ à ¬¥âà µ,
ª®â®àë© ­¥ § ¢¨á¨â ®â ª¨­¥¬ â¨ç¥áª¨å (᪮à®áâ¨, ã᪮७¨ï, ᬥ饭¨ï) ¨ ¤¨­ ¬¨ç¥áª¨å (ᨫë, ­ ¯à省¨ï) å à ªâ¥à¨á⨪ ¤¢¨¥­¨ï.
‚¥«¨ç¨­ µ § ¢¨á¨â ®â ⥬¯¥à âãàë.
‚ á«ãç ¥ ®¤­®¬¥à­®£® ¯à®á⮣® ᤢ¨£®¢®£® â¥ç¥­¨ï ìîâ®­
(7.1.1) ¯à¨­¨¬ ¥â ¢¨¤
τ = µγ,
_
(7.1.3)
£¤¥ τ = τ12 , γ_ = ∂V1 /∂X2; X2 | ª®®à¤¨­ â , ¯¥à¯¥­¤¨ªã«ïà­ ï
­ ¯à ¢«¥­¨î ᪮à®á⨠¨¤ª®á⨠V1 .
ƒà 䨪 § ¢¨á¨¬®á⨠τ ®â γ_ , ª®â®àë© ­ §ë¢ ¥âáï ªà¨¢®© â¥ç¥­¨ï,
¤«ï ­ìîâ®­®¢áª®© ¨¤ª®á⨠(7.1.3) ¨¬¥¥â ¢¨¤ ¯àאַ© «¨­¨¨, ¯à®å®¤ï饩 ç¥à¥§ ­ ç «® ª®®à¤¨­ â (à¨á. 7.1).
Šà ⪮ ®¯¨è¥¬ ⥯¥àì ¬®¤¥«¨ ¡®«¥¥ á«®­ëå | ­¥­ìîâ®­®¢áª¨å | ¨¤ª®á⥩ (¯®¤à®¡­®¥ ¨§«®¥­¨¥ ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å ¢®¯à®á®¢
¬®­® ­ ©â¨, ­ ¯à¨¬¥à, ¢ ª­¨£ å [9, 120, 157, 168, 174, 185, 202, 236℄).
¥«¨­¥©­®-¢ï§ª¨¥ ¨¤ª®áâ¨. Œ­®£¨¥ á«®­ë¥ ¯® áâàãªâãà¥
८áâ ¡¨«ì­ë¥ (८«®£¨ç¥áª¨¥ å à ªâ¥à¨á⨪¨ ª®â®àëå ­¥ § ¢¨áïâ ®â
¢à¥¬¥­¨) ¨¤ª®á⨠¢ ãá«®¢¨ïå ®¤­®¬¥à­®£® ᤢ¨£ ¨¬¥î⠪ਢãî â¥ç¥­¨ï, ®â«¨ç­ãî ®â ­ìîâ®­®¢áª®©. ᫨ ªà¨¢ ï â¥ç¥­¨ï ªà¨¢®«¨­¥©­ , ­® ¯à®å®¤¨â ç¥à¥§ ­ ç «® ª®®à¤¨­ â ¢ ¯«®áª®á⨠γ_ , τ , ⮠ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 ¨¤ª®á⨠­ §ë¢ îâáï ­¥«¨­¥©­®-¢ï§ª¨¬¨ (­¥à¥¤ª® ç¨áâ®
¢ï§ª¨¬¨, ­®¬ «ì­®-¢ï§ª¨¬¨, ¨­®£¤ ­¥­ìîâ®­®¢áª¨¬¨).
¥«¨­¥©­®-¢ï§ª¨¥ ¨¤ª®á⨠¯®¤à §¤¥«ïîâáï ­ ¯á¥¢¤®¯« áâ¨ç­ë¥ | á ªà¨¢®© â¥ç¥­¨ï, ®¡à 饭­®© ¢ë¯ãª«®áâìî ¢ áâ®à®­ã ®á¨ ­ ¯à省¨©, ¨ ¤¨« â ­â­ë¥ | á ªà¨¢®© â¥ç¥­¨ï, ®¡à 饭­®© ¢ë¯ãª«®áâìî ¢ áâ®à®­ã ®á¨ ᪮à®á⥩ ᤢ¨£ (èâà¨å®¢ë¥ «¨­¨¨ ­
à¨á. 7.1).
Ǒਬ¥à ¬¨ ¯á¥¢¤®¯« áâ¨ç¥áª¨å
¨¤ª®á⥩ ¬®£ãâ á«ã¨âì à á⢮àë
¨ à ᯫ ¢ë ¯®«¨¬¥à®¢, ¬ §ãâë, à á⢮àë ª ãç㪠, ¬­®£¨¥ ­¥ä⥯தãªâë, ¡ã¬ ­ë¥ ¯ã«ì¯ë, ¡¨®«®£¨ç¥áª¨¥ ¨¤ª®á⨠(ªà®¢ì, ¯« §¬ ), ä à7.1. • à ªâ¥à­ë¥ ªà¨¢ë¥ ⥬ 楢â¨ç¥áª¨¥ á।á⢠(í¬ã«ìᨨ, ¨á.
祭¨© ­¥«¨­¥©­®-¢ï§ª¨å ¨¤ª®á⥩
ªà¥¬ë, ¯ áâë), à §«¨ç­ë¥ ¯¨é¥¢ë¥
¯à®¤ãªâë (¨àë, ᬥ⠭ ) ¨ ¤à. „¨« â ­â­ë¥ ᢮©á⢠¢áâà¥ç îâáï ¢ ®á­®¢­®¬ ã ¢ë᮪®ª®­æ¥­âà¨à®¢ ­­ëå ¨«¨ £àã¡®¤¨á¯¥àá­ëå á¨á⥬ (­ ¯à¨¬¥à, ¢ë᮪®ª®­æ¥­âà¨à®¢ ­­ë¥ ¢®¤­ë¥ áãᯥ­§¨¨ ¯®à®èª®¢ ¤¢ã®ª¨á¨ â¨â ­ , ¥«¥§ , á«î¤ë, ª¢ àæ , ªà å¬ « , ¬®ªàë© à¥ç­®© ¯¥á®ª ¨ ¤à.).

250

¥­ìîâ®­®¢áª¨¥ ¨¤ª®áâ¨

Ǒ® ­ «®£¨¨ á ­ìîâ®­®¢áª®© ¨¤ª®áâìî 㤮¡­® ¢¢¥á⨠ª ãéãîáï (íä䥪⨢­ãî) ¢ï§ª®áâì µe ¯® ä®à¬ã«¥
µe

_
= τ /γ.

Ǒà®ï¢«¥­¨¥ ¯á¥¢¤®¯« áâ¨ç­®á⨠á®á⮨⠢ 㬥­ì襭¨¨ ª ã饩áï ¢ï§ª®á⨠á à®á⮬ ­ ¯à省¨ï (᪮à®áâ¨) ᤢ¨£ ; á। ¢ í⮬ á«ãç ¥ ª ª ¡ë ýà §¨ ¥âáïþ ¨ áâ ­®¢¨âáï ¡®«¥¥ ¯®¤¢¨­®©. “ ¤¨« â ­â­ëå ¨¤ª®á⥩ ¢¥«¨ç¨­ ª ã饩áï ¢ï§ª®á⨠㢥«¨ç¨¢ ¥âáï á
à®á⮬ ­ ¯à省¨ï ᤢ¨£ .
‚ ­ áâ®ï饥 ¢à¥¬ï ¨§¢¥áâ­® ­¥áª®«ìª® ¤¥áï⪮¢, ¢ ®á­®¢­®¬ í¬¯¨à¨ç¥áª¨å, ८«®£¨ç¥áª¨å ¬®¤¥«¥© ­¥«¨­¥©­®-¢ï§ª¨å ¨¤ª®á⥩. ’ ª®¥ ¯®«®¥­¨¥ ®¡ãá«®¢«¥­® à §«¨ç­®© 䨧¨ç¥áª®© ¯à¨à®¤®© áãé¥áâ¢ãîé¨å ⥪ãé¨å á¨á⥬ ¨ ®âáãâá⢨¥¬ ­ ᥣ®¤­ï ®¡é¥© ⥮ਨ, ª®â®à ï ¯®§¢®«ï« ¡ë ¤®áâ â®ç­® áâண®, ª ª íâ® ¤¥« ¥âáï ¢
¬®«¥ªã«ïà­®-ª¨­¥â¨ç¥áª®© ⥮ਨ £ §®¢, ¢ëç¨á«ïâì å à ªâ¥à¨á⨪¨
¬®«¥ªã«ïà­®£® ¯¥à¥­®á ¨ ¬¥å ­¨ç¥áª®£® ¯®¢¥¤¥­¨ï á।ë, ¨áå®¤ï ¨§
¥¥ ¢­ãâ७­¥©, ¬¨ªà®áª®¯¨ç¥áª®© áâàãªâãàë.
‚ â ¡«. 7.1 ¯à¨¢¥¤¥­ë ­ ¨¡®«¥¥ à á¯à®áâà ­¥­­ë¥ ८«®£¨ç¥áª¨¥
¬®¤¥«¨ ­¥«¨­¥©­®-¢ï§ª¨å ¨¤ª®á⥩. ®«ì設á⢮ 㪠§ ­­ëå ¬®¤¥«¥© ­¥ å à ªâ¥à¨§ã¥â ¢á¥ áâ®à®­ë ॠ«ì­®£® ¯®¢¥¤¥­¨ï ­¥«¨­¥©­®¢ï§ª¨å ¨¤ª®á⥩ ¢® ¢á¥¬ ¤¨ ¯ §®­¥ ¨§¬¥­¥­¨ï ᪮à®á⥩ ᤢ¨£ ,
¯¥à¥¤ ¥â «¨èì ®â¤¥«ì­ë¥ å à ªâ¥à­ë¥ ®á®¡¥­­®á⨠â¥ç¥­¨ï. ‚
â ¡«. 7.1 ¨á¯®«ì§ãîâáï ª¢ §¨­ìîâ®­®¢áª¨¥ § ¯¨á¨ ¤¢ãå ¢¨¤®¢
τ

= µe (γ_ )γ,
_

τ

= µe (τ )γ.
_

Š®íää¨æ¨¥­âë ¯à¨ γ_ ¢ ¯à ¢ëå ç áâïå íâ¨å ¢ëà ¥­¨© ¬®­®
à áᬠâਢ âì ª ª ª ã騥áï ­¥­ìîâ®­®¢áª¨¥ ¢ï§ª®áâ¨. Ǒ® í⨬
¢¥«¨ç¨­ ¬ á«¥¤ã¥â á㤨âì ® 䨧¨ç¥áª®¬ ᮣ« ᮢ ­¨¨ ¬®¤¥«¥© á
¯®¢¥¤¥­¨¥¬ ª®­ªà¥â­ëå ⥪ãé¨å á¨á⥬.
ˆ§¢¥áâ­®, çâ® «î¡ ï ­¥«¨­¥©­®-¢ï§ª ï ¨¤ª®áâì ¨¬¥¥â «¨­¥©­ë¥
ãç á⪨ ªà¨¢®© â¥ç¥­¨ï ¯à¨ ®ç¥­ì ¬ «ëå ¨ ¤®áâ â®ç­® ¡®«ìè¨å ᪮à®áâïå ᤢ¨£ (à¨á. 7.1). Ž¡®§­ 稬 ç¥à¥§ µ0 | ­ ¨¬¥­ìèãî ý­ìîâ®­®¢áªãî ¢ï§ª®áâìþ, ª®â®à ï ­ ¡«î¤ ¥âáï 㠯ᥢ¤®¯« áâ¨ç¥áª¨å ¨¤ª®á⥩ ¯à¨ ý­ã«¥¢®©þ ᪮à®á⨠ᤢ¨£ , ç¥à¥§ µ∞ | ­ ¨¡®«ìèãî
ý­ìîâ®­®¢áªãî ¢ï§ª®áâìþ, ᮮ⢥âáâ¢ãîéãî ý¡¥áª®­¥ç­® ¡®«ì讬ãþ
ᤢ¨£ã. ‚¨¤­®, çâ® ¬®¤¥«ì á⥯¥­­®© ¨¤ª®á⨠(á¬. ¯¥à¢ãî áâà®çªã
¢ â ¡«. 7.1) å®à®è® ®¯¨áë¢ ¥â ॠ«ì­®¥ ¯®¢¥¤¥­¨¥ ­¥«¨­¥©­®-¢ï§ª¨å
á। ¢ ¯à®¬¥ãâ®ç­®© ®¡« á⨠¬¥¤ã µ0 ¨ µ∞ ; ®¤­ ª® ¢ ¯à¥¤¥«ì­ëå
á«ãç ïå ¯à¨ γ_ → 0 ¨ γ_ → ∞ ®­ ¯à¨¢®¤¨â ª ­¥¢¥à­ë¬ १ã«ìâ â ¬. Œ®¤¥«¨ ««¨á ¨  ¡¨­®¢¨ç ¯à ¢¨«ì­® ®âà  îâ ॠ«ì­®áâì ¢ ®¡« áâ¨
¬ «ëå ¨ 㬥७­ëå ­ ¯à省¨©, ®¤­ ª® ¯à¨ τ → ∞ ¤ î⠢離®áâì,
à ¢­ãî ­ã«î; ¬®¤¥«ì ‘¨áª® ¯à¨¢®¤¨â ª ¡¥áª®­¥ç­® ¡®«ì让 ¢ï§ª®áâ¨

251

7.1. ¥®«®£¨ç¥áª¨¥ ¬®¤¥«¨ ­¥­ìîâ®­®¢áª¨å ¨¤ª®á⥩
’€‹ˆ–€ 7.1
¥®«®£¨ç¥áª¨¥ ¬®¤¥«¨ ­¥«¨­¥©­®-¢ï§ª¨å ¨¤ª®á⥩ (¯® ¤ ­­ë¬
[168, 185, 187℄); τ | ᤢ¨£®¢®¥ ­ ¯à省¨¥, γ_ = ∂V1 /∂X2
N0

Œ®¤¥«ì ¨¤ª®áâ¨,
ä ¬¨«¨¨ ¢â®à®¢

1

‘⥯¥­­ ï ¨¤ª®áâì,
Žá¢ «ì¤ | ¤¥ ‚¨«ì

2

‘¨áª®

3

Ǒà ­¤â«ì

τ

= A|γ|
_ ar sin γ/B
_

4

“¨«ìï¬á®­

τ

=

5

Ǒà ­¤â«ì | ©à¨­£

6

 ¡¨­®¢¨ç

7

««¨á

8

©à¨­£

9

¥©­¥à | ”¨«¨¯¯®¢

¥®«®£¨ç¥áª®¥ ãà ¢­¥­¨¥
= k|γ|
_ n−1 γ_ ,

τ
τ

=




A + Bµ0 |γ|
_ n−1 γ_ , n > 0

τ



A

B + γ_






+ µ0 γ_

= arsh γ/B
_




= µ0 (1 + Aτ 2 )−1 γ_

τ
τ

=

γ_
A + B|τ |m−1

= Aγ_ + B sin(C|τ |)

τ
τ

n>0

=



µ∞

+

µ0 − µ∞
A + Bτ 2



γ_

¯à¨ γ_ → 0. Žáâ «ì­ë¥ ¬®¤¥«¨, 㪠§ ­­ë¥ ¢ â ¡«. 7.1, å®à®è® ®¯¨áë¢ îâ ª ç¥á⢥­­ãî áâàãªâãàã ¯®«­®© ªà¨¢®© â¥ç¥­¨ï. ‚ ª­¨£¥ [185℄
¯à¨¢¥¤¥­ë ç¨á«¥­­ë¥ §­ 祭¨ï ®¯à¥¤¥«ïîé¨å ¯ à ¬¥â஢ ८«®£¨ç¥áª¨å ¬®¤¥«¥© Žá¢ «ì¤ | ¤¥ ‚¨«ï, ««¨á ¨ ¥©­¥à | ”¨«¨¯¯®¢
¤«ï ­¥ª®â®àëå ¢¥é¥áâ¢.
‘⥯¥­­ ï ¨¤ª®áâì. ‚ ­ áâ®ï饥 ¢à¥¬ï ­ ¨¡®«ì襥 à á¯à®áâà ­¥­¨¥ ¯®«ã稫 ¬®¤¥«ì á⥯¥­­®© ¨¤ª®áâ¨, ª®â®à ï ¤«ï ®¤­®¬¥à­®£® â¥ç¥­¨ï ®¯¨á ­ ¢ ­ ç «¥ â ¡«. 7.1. Ž¡®¡é¥­¨¥ í⮩ ¬®¤¥«¨
­ âà¥å¬¥à­ë© á«ãç © ¯à¨¢®¤¨â ª ãà ¢­¥­¨î á®áâ®ï­¨ï (7.1.1), £¤¥
n−1
µ = k (2I2 ) 2 .

(7.1.4)

(‡¤¥áì ¨ ¤ «¥¥ ª ãéãîáï ¢ï§ª®áâì ¨¤ª®á⨠µe ¤«ï ªà ⪮áâ¨
¡ã¤¥¬ ®¡®§­ ç âì ¯à®áâ® µ). ‚ ¯à ¢ãî ç áâì ä®à¬ã«ë (7.1.4) ¢å®¤ïâ
¤¢¥ ª®­áâ ­âë k ¨ n ¨ ª¢ ¤à â¨ç­ë© ¨­¢ ਠ­â ⥭§®à ᪮à®á⥩
¤¥ä®à¬ 樨
I2

=

3
X

i,j =1

eij eij

=

1
4

3 
X
∂Vi
∂Xj
i,j =1

+

∂Vj
∂Xi

2

.

(7.1.5)

252

¥­ìîâ®­®¢áª¨¥ ¨¤ª®áâ¨

’€‹ˆ–€ 7.2
Ǒ à ¬¥âàë á⥯¥­­®£® ८«®£¨ç¥áª®£®
ãà ¢­¥­¨ï ¤«ï ¯á¥¢¤®¯« áâ¨ç­ëå ¬ â¥à¨ «®¢
‚¥é¥á⢮

¯ §®­ ᪮à®á⥩
Š®­æ¥­âà æ¨ï, % „¨ ᤢ¨£
, ᥪ−1

k,
­ · ᥪn
¬2

0,003
0,004
0035
0,044
0,081
0,302
0,259
0,429

1,54
2,01
2,89
0,09
0,22
0,22
0,35
0,35

ã¬ ­ ï ¯ã«ì¯
(¢®¤­ ï)

103 ÷ 3 · 104
10 ÷ 103
103 ÷ 104
102 ÷ 103
103 ÷ 104

0,952
0,926
0,794
0,72
0,79
0,63
0,66
0,58

4,0

|

0,575

20,02

 ¯ «¬ ¢ ª¥à®á¨­¥

10,0

|

0,520

4,28

ˆ§¢¥á⪮¢®¥ â¥áâ®

23,0

|

0,178

7,43

ƒ«¨­¨áâë© à á⢮à

33,0

|

0,171

7,2

 á⢮à 楬¥­â­®£®
ª ¬­ï ¢ ¢®¤¥

54,3

|

0,153

2,51

Šà å¬ «ì­ë©
ª«¥©áâ¥à
‚®¤­ë© à á⢮à
ª à¡®ªá¨¬¥â¨«æ¥««î«®§ë

|
|
|

n

Ǒ®áâ®ï­­ ï k ­ §ë¢ ¥âáï ¯®ª § ⥫¥¬ (¨­¤¥ªá®¬) ª®­á¨á⥭樨 ¨¤ª®áâ¨; 祬 ¬¥­ìè¥ ¥¥ ⥪ãç¥áâì, ⥬ ¡®«ìè¥ k. Ǒ à ¬¥âà n å à ªâ¥à¨§ã¥â á⥯¥­ì ­¥­ìîâ®­®¢áª®£® ¯®¢¥¤¥­¨ï ¬ â¥à¨ « ; 祬 ᨫ쭥¥ n ®â«¨ç ¥âáï ®â ¥¤¨­¨æë (¢ ¡®«ìèãî ¨«¨ ¬¥­ìèãî áâ®à®­ã), ⥬
®âç¥â«¨¢¥¥ ¯à®ï¢«ï¥âáï ­®¬ «¨ï ¢ï§ª®á⨠¨ ­¥«¨­¥©­®áâì ªà¨¢®©
â¥ç¥­¨ï.
‡­ 祭¨ï¬ 0 < n < 1 ®â¢¥ç î⠯ᥢ¤®¯« áâ¨ç­ë¥ ¨¤ª®áâ¨, ª ãé ïáï ¢ï§ª®áâì ª®â®àëå ã¡ë¢ ¥â á à®á⮬ ᪮à®á⥩ ᤢ¨£ . ìîâ®­®¢áª ï ¨¤ª®áâì å à ªâ¥à¨§ã¥âáï ¯ à ¬¥â஬ n = 1. ‡­ 祭¨ï¬
n > 1 ®â¢¥ç îâ ¤¨« â ­â­ë¥ ¨¤ª®áâ¨, ã ª®â®àëå ª ãé ïáï ¢ï§ª®áâì à áâ¥â á 㢥«¨ç¥­¨¥¬ ᪮à®á⥩ ᤢ¨£ .
Ǒ à ¬¥âàë k ¨ n ¯à¨­¨¬ îâáï ¯®áâ®ï­­ë¬¨ ¤«ï ¤ ­­®© ¨¤ª®á⨠¢ ­¥ª®â®à®¬ ®£à ­¨ç¥­­®¬ ¤¨ ¯ §®­¥ ¨§¬¥­¥­¨ï ᪮à®á⥩ ᤢ¨£ .
Ž­¨ ®¯à¥¤¥«ïîâáï ¨§ ¢¨áª®§¨¬¥âà¨ç¥áª¨å ®¯ë⮢ ¨ ­ «¨§ â ª ­ §ë¢ ¥¬ëå ªà¨¢ëå ª®­á¨á⥭⭮áâ¨. ‚ â ¡«. 7.2 ¯à¨¢¥¤¥­ë §­ 祭¨ï k
¨ n ¤«ï ­¥ª®â®àëå ¢¥é¥á⢠[187℄ (¯à®ç¥àª ¢ âà¥â쥩 ª®«®­ª¥ ®§­ ç ¥â,
ç⮠ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å ¤ ­­ëå ­¥â).
‘«¥¤ã¥â ®â¬¥â¨âì, çâ® ¤«ï ¤®áâ â®ç­® ¡®«ì讣® ¤¨ ¯ §®­ ­ ¯à省¨© (᪮à®á⥩) ᤢ¨£ ॠ«ì­ëå ¨¤ª®á⥩ ¢¥«¨ç¨­ë k ¨ n
¡ã¤ãâ ­¥¯®áâ®ï­­ë. â® ­¥ ¯à¥¯ïâáâ¢ã¥â è¨à®ª®¬ã ¨á¯®«ì§®¢ ­¨î

7.1. ¥®«®£¨ç¥áª¨¥ ¬®¤¥«¨ ­¥­ìîâ®­®¢áª¨å ¨¤ª®á⥩

253

á⥯¥­­®£® ८«®£¨ç¥áª®£® ãà ¢­¥­¨ï, â ª ª ª ­ ¯à ªâ¨ª¥ ®¡ëç­®
¯à¨å®¤¨âáï ¨¬¥âì ¤¥«® á ¤®¢®«ì­® ®£à ­¨ç¥­­ë¬ ¤¨ ¯ §®­®¬ ᪮à®á⥩ ᤢ¨£ .
„ «¥¥ ç áâ® ¡ã¤¥¬ à áᬠâਢ âì ¡®«¥¥ ®¡éãî, 祬 (7.1.4), ८«®£¨ç¥áªãî ¬®¤¥«ì, ª®â®à ï ¢ âà¥å¬¥à­®¬ á«ãç ¥ ®¯¨áë¢ ¥âáï ãà ¢­¥­¨¥¬ (7.1.1), £¤¥ ª ãé ïáï ¢ï§ª®áâì µ ¯à®¨§¢®«ì­ë¬ ®¡à §®¬ § ¢¨á¨â ®â ª¢ ¤à â¨ç­®£® ¨­¢ ਠ­â ⥭§®à ᪮à®á⥩ ¤¥ä®à¬ 樨:
µ = µ(I2 ).

(7.1.6)

“à ¢­¥­¨ï ¤¢¨¥­¨ï ­¥­ìîâ®­®¢áª¨å ­¥á¨¬ ¥¬ëå ¨¤ª®á⥩, ¯®¤ç¨­ïîé¨åáï í⮬㠧 ª®­ã, ¢ à §«¨ç­ëå á¨á⥬ å ª®®à¤¨­ ⠯ਢ¥¤¥­ë ¢ ¯à¨«®¥­¨¨ 6.
Ǒ¥à¢ë¥ ¯ïâì ¬®¤¥«¥©, 㪠§ ­­ë¥ ¢ â ¡«. 7.1, ïîâáï ç áâ­ë¬¨
á«ãç ﬨ (7.1.6).
Œ®¤¥«ì ¥©­¥à | ¨¢«¨­ . ‘।¨ ­¥­ìîâ®­®¢áª¨å ¨¤ª®á⥩ ®á®¡®¥ ¬¥áâ® § ­¨¬ îâ ¨§®âய­ë¥ ८áâ ¡¨«ì­ë¥ á।ë, ã ª®â®àëå ⥭§®à ­ ¯à省¨ï kτij k ï¥âáï ­¥¯à¥à뢭®© ä㭪樥© ⥭§®à ᪮à®á⥩ ¤¥ä®à¬ 樨 keij k ¨ ­¥ § ¢¨á¨â ®â ¤àã£¨å ª¨­¥¬ â¨ç¥áª¨å ¨ ¤¨­ ¬¨ç¥áª¨å ¯¥à¥¬¥­­ëå. ‘ãé¥áâ¢ã¥â áâண®¥ ¤®ª § ⥫ìá⢮, çâ® ­ ¨¡®«¥¥ ®¡é¥© ८«®£¨ç¥áª®© ¬®¤¥«ìî, 㤮¢«¥â¢®àïî饩
í⨬ ãá«®¢¨ï¬, ï¥âáï ­¥«¨­¥©­ ï ¬®¤¥«ì ç¨áâ® ¢ï§ª®© ­¥­ìîâ®­®¢áª®© áà¥¤ë ‘â®ªá [9℄:
τij

= −P δij + 2µeij + 4ε

3
X

k=1

eik ekj ,

(7.1.7)

£¤¥ µ ¨ ε | ᪠«ïà­ë¥ ä㭪樨 ¨­¢ ਠ­â®¢ ⥭§®à ᪮à®á⥩
¤¥ä®à¬ 樨
I1

= e11 + e22 + e33 ,

I2

=

3
X

i,j =1

eij eji ,

I3

= det keij k.

(7.1.8)

‚ á«ãç ¥ ­¥á¨¬ ¥¬®© ¨¤ª®á⨠¯¥à¢ë© ¨­¢ ਠ­â à ¢¥­ ­ã«î:
= div ~v = 0. „«ï ¯à®áâëå ®¤­®- ¨ ¤¢ã¬¥à­ëå ¯®â®ª®¢ | â¥ç¥­¨ï
â®­ª¨å ¯«¥­®ª, ¯à®¤®«ì­®¥ â¥ç¥­¨¥ ¢ âàã¡¥, â ­£¥­æ¨ «ì­®¥ â¥ç¥­¨¥
¬¥¤ã ª®­æ¥­âà¨ç¥áª¨¬¨ 樫¨­¤à ¬¨ | âà¥â¨© ¨­¢ ਠ­â I3 ⮤¥á⢥­­® à ¢¥­ ­ã«î.
‚ § ¢¨á¨¬®á⨠®â ¢¨¤ ᪠«ïà­ëå ä㭪権 µ ¨ ε ¯®«ãç îâáï
à §«¨ç­ë¥ ८«®£¨ç¥áª¨¥ ¬®¤¥«¨ ­¥­ìîâ®­®¢áª¨å á।.  ¯à¨¬¥à,
á«ãç © µ = onst, ε = 0 ᮮ⢥âáâ¢ã¥â «¨­¥©­®© ¬®¤¥«¨ ­ìîâ®­®¢áª®©
n−1
¨¤ª®á⨠(7.1.1). Ǒ®« £ ï µ = k(2I2 ) 2 , ε = 0, ¯®«ã稬 ¬®¤¥«ì
á⥯¥­­®© ­¥«¨­¥©­®-¢ï§ª®© ¨¤ª®á⨠(7.1.1), (7.1.4).
I1

254

¥­ìîâ®­®¢áª¨¥ ¨¤ª®áâ¨

‚ë¡®à ¢ ä®à¬ã«¥ (7.1.7) ª®íää¨æ¨¥­â®¢ µ ¨ ε ­¥ à ¢­ë¬¨ ­ã«î
ª®­áâ ­â ¬¨ ¯à¨¢®¤¨â ª ¬®¤¥«¨¥©­¥à | ¨¢«¨­ , ¤¤¨â¨¢­® á®ç¥â î饩 «¨­¥©­ãî ¬®¤¥«ì ìîâ®­ á ⥭§®à­®-ª¢ ¤à â¨ç­®© ¤®¡ ¢ª®©. ‚ í⮬ á«ãç ¥ ¯®áâ®ï­­ë¥ µ ¨ ε ­ §ë¢ îâáï ᤢ¨£®¢®© ¨ ®¡ê¥¬­®© (¯®¯¥à¥ç­®©) ¢ï§ª®áâﬨ ᮮ⢥âá⢥­­®. “à ¢­¥­¨¥ (7.1.7) ¯®§¢®«ï¥â ®¯¨á âì ª ç¥á⢥­­ë¥ ®á®¡¥­­®á⨠¬¥å ­¨ç¥áª®£® ¯®¢¥¤¥­¨ï
ã¯à㣮¢ï§ª¨å ¨¤ª®á⥩, ¢ ç áâ­®á⨠íä䥪⠂¥©á¥­¡¥à£ (¯®¤ê¥¬
¨¤ª®á⨠¯® ¢à é î饬ãáï ¢ «ã ¢¬¥áâ® ®ââ¥á­¥­¨ï ®â ¢ « § áç¥â
業â஡¥­®© ᨫë).
‚離®¯« áâ¨ç­ë¥ á।ë. Šà®¬¥ à áᬮâ७­ëå, ¨¬¥îâáï â ª¥ á।ë, â¥ç¥­¨¥ ª®â®àëå ­ 稭 ¥âáï «¨èì ¯®á«¥ ¯à¥¢ë襭¨ï ­¥ª®â®à®£® ªà¨â¨ç¥áª®£® ­ ¯à省¨ï τ0 , ­ §ë¢ ¥¬®£® ¯à¥¤¥«®¬ ⥪ãç¥áâ¨. Šà¨¢ ï â¥ç¥­¨ï â ª¨å á। ¯à¨ γ_ = 0 ®âᥪ ¥â ­ ®á¨ ­ ¯à省¨©
®â१®ª ª®­¥ç­®© ¤«¨­ë, à ¢­ë© τ0 (à¨á. 7.1). ‚¥«¨ç¨­ τ0 å à ªâ¥à¨§ã¥â ¯« áâ¨ç¥áª¨¥ ᢮©á⢠¬ â¥à¨ « , ­ ª«®­ ªà¨¢®© â¥ç¥­¨ï ª ®á¨
γ_ | ¥¥ ¯®¤¢¨­®áâì. ‘।ë â ª®£® த ­ §ë¢ î⠢離®¯« áâ¨ç­ë¬¨.
‘®ç¥â ­¨¥ ¯« áâ¨ç­®á⨠¨ ¢ï§ª®áâ¨, å à ªâ¥à­®¥ ¤«ï íâ¨å á।,
¢¯¥à¢ë¥ ¡ë«® ®¡­ à㥭® ˜¢¥¤®¢ë¬ ã à á⢮஢ ¥« ⨭ë, § ⥬ ¨­£ ¬®¬ ã ¬ á«ï­ëå ªà ᮪ (¢ï§ª¨¥ ¨¤ª®áâ¨, ­ ­¥á¥­­ë¥ ­
£« ¤ªãî ¢¥à⨪ «ì­ãî ¯®¢¥àå­®áâì, ç¥à¥§ ª ª®¥-â® ¢à¥¬ï ®¡ï§ ⥫쭮 ¤®«­ë áâ¥çì á ­¥¥ ¢­¨§; ¯®í⮬㠮á⠢訩áï ­ ¯®¢¥àå­®á⨠᫮©
ªà ᪨ ᢨ¤¥â¥«ìáâ¢ã¥â ® ­ «¨ç¨¨ ã ­¥¥ ¯« áâ¨ç¥áª¨å ᢮©áâ¢).
‚ â ¡«. 7.3 ¯à¨¢¥¤¥­ë ­¥ª®â®àë¥ ¬®¤¥«¨ ¢ï§ª®¯« áâ¨ç­ëå á।.
 ¨¡®«¥¥ ¯à®á⮩ ¨ à á¯à®áâà ­¥­­®© ¨§ ­¨å ï¥âáï ¬®¤¥«ì ˜¢¥¤®¢ | ¨­£ ¬ , ª®â®à®© ®â¢¥ç ¥â ¢¥àå­ïï ¯àï¬ ï ­ à¨á. 7.1. ‚ ®á­®¢ã í⮩ ¬®¤¥«¨ ¯®«®¥­® ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨¥ ® ­ «¨ç¨¨ ã ¯®ª®ï饩áï
¨¤ª®á⨠¤®áâ â®ç­® ¥á⪮© ¯à®áâà ­á⢥­­®© áâàãªâãàë, ª®â®à ï
ᯮᮡ­ ᮯà®â¨¢«ïâìáï «î¡®¬ã ­ ¯à省¨î, ¬¥­ì襬ã τ0 . ‡ í⨬
¯à¥¤¥«®¬ ­ áâ㯠¥â ¬£­®¢¥­­®¥ ¯®«­®¥ à §àã襭¨¥ áâàãªâãàë, á। â¥ç¥â ª ª ®¡ëç­ ï ­ìîâ®­®¢áª ï ¨¤ª®áâì ¯à¨ ­ ¯à省¨¨ ᤢ¨£
τ − τ0 (ª®£¤ ¤¥©áâ¢ãî騥 ¢ ¨¤ª®á⨠ª á ⥫ì­ë¥ ­ ¯à省¨ï áâ ­®¢ïâáï ¬¥­ìè¥ τ0 , áâàãªâãà á­®¢ ¢®ááâ ­ ¢«¨¢ ¥âáï). ‚ â¥å ¬¥áâ å
¯®â®ª , £¤¥ ­ ¯à省¨ï ᤢ¨£ ­¨¥ ¯à¥¤¥« ⥪ãç¥áâ¨, ®¡à §ãîâáï
ýª¢ §¨â¢¥à¤ë¥þ ãç á⪨.
’à¥å¬¥à­ë© ­ «®£ § ª®­ ˜¢¥¤®¢ | ¨­£ ¬ ¨¬¥¥â ¢¨¤
eij

=0

τij

=2



τ
p0
2I2


+ µp eij

¯à¨

|τ | 6 τ0 ,

¯à¨

|τ | > τ0 .

(7.1.9)

‚ ª­¨£¥ [120℄ ¯à¨¢¥¤¥­ë ç¨á«¥­­ë¥ §­ 祭¨ï ¯ à ¬¥â஢ τ0
¨ µp ¤«ï à §«¨ç­ëå ¤¨á¯¥àá­ëå á¨á⥬, ᮤ¥à é¨å ¯¥á®ª, 楬¥­â
¨ ­¥äâì.

255

7.1. ¥®«®£¨ç¥áª¨¥ ¬®¤¥«¨ ­¥­ìîâ®­®¢áª¨å ¨¤ª®á⥩

’€‹ˆ–€ 7.3
¥®«®£¨ç¥áª¨¥ ¬®¤¥«¨ ¢ï§ª®¯« áâ¨ç­ëå ¨¤ª®á⥩ (¯® ¤ ­­ë¬ [185, 202℄)
N0

Œ®¤¥«ì ¨¤ª®áâ¨

1

˜¢¥¤®¢ | ¨­£ ¬

2

 «ª«¨ | ƒ¥à襫ï

3

Šíáá®­

4

Šíáá®­ | ˜ã«ì¬ ­

τ 1/n

= τ01/n + (µγ_ )1/n

5

˜ã«ì¬ ­

τ 1/n

= τ01/n + (µγ_ )1/m

¥®«®£¨ç¥áª®¥ ãà ¢­¥­¨¥
τ
τ

= sign τ0 + µp γ_

= sign τ0 + k|γ|
_ n−1 γ_
√
τ

√

= k0 + k1 γ_

Žâ¬¥â¨¬, çâ® ¬®¤¥«ì Šíáá®­ (âà¥âìï ¬®¤¥«ì ¢ â ¡«. 7.3) å®à®è®
®¯¨áë¢ ¥â à §«¨ç­ë¥ « ª¨, ªà ᪨, ªà®¢ì, ¯¨é¥¢ë¥ ª®¬¯®§¨æ¨¨ ⨯
讪®« ¤­ëå ¬ áá ¨ ¤à㣨¥ ¨¤ª¨¥ ¤¨á¯¥àá­ë¥ á¨á⥬ë [185℄.
“¯à㣮¢ï§ª¨¥ ¨¤ª®áâ¨. ‚ ᢮¥ ¢à¥¬ï Œ ªá¢¥«« § ¬¥â¨«, çâ®
¢¥é¥á⢠⨯ ᬮ«ë ­¥«ì§ï ®â­®á¨âì ­¨ ª ⢥à¤ë¬ ⥫ ¬, ­¨ ª ¨¤ª®áâï¬. ᫨ ­ ¯à省¨¥ ­ ª« ¤ë¢ ¥âáï ¬¥¤«¥­­® «¨¡® ¤¥©áâ¢ã¥â ¤®áâ â®ç­® ¯à®¤®«¨â¥«ì­®¥ ¢à¥¬ï, ⮠ᬮ« ¡ã¤¥â ¢¥áâ¨ á¥¡ï ª ª ®¡ëª­®¢¥­­ ï ¢ï§ª ï ¨¤ª®áâì. ‚ í⮬ á«ãç ¥ ¤¥ä®à¬ æ¨ï ¡ã¤¥â ­¥¯à¥à뢭® ¨ ­¥®¡à ⨬® ­ à áâ âì ¢® ¢à¥¬¥­¨, ᪮à®áâì ¤¥ä®à¬ 樨
¡ã¤¥â ¯à®¯®à樮­ «ì­ ¯à¨«®¥­­®¬ã ­ ¯à省¨î, ¯®¢¨­ãïáì ­ìîâ®­®¢áª®¬ã § ª®­ã. Š®£¤ ¯à¨«®¥­­®¥ ­ ¯à省¨¥ ¤¥©áâ¢ã¥â ¢¥áì¬
¡ëáâà®, ᬮ« ¨á¯ëâë¢ ¥â ¤¥ä®à¬ æ¨î, ¯à®¯®à樮­ «ì­ãî ­ ¯à省¨î ¨ ¯®«­®áâìî ¨á祧 îéãî ¯à¨ ¡ëáâ஬ à §£à㥭¨¨ ®¡à §æ .
‚ १ã«ìâ ⥠⠪¨å ­ ¡«î¤¥­¨© Œ ªá¢¥«« ¯à¥¤«®¨« ¤¤¨â¨¢­®
®¡ê¥¤¨­¨âì § ª®­ ƒãª (¤«ï ã¯à㣮£® ⥫ ) ¨ § ª®­ ìîâ®­ (¤«ï
¢ï§ª®© ¨¤ª®áâ¨) ¢ ®¤­® ८«®£¨ç¥áª®¥ ãà ¢­¥­¨¥ á®áâ®ï­¨ï, ª®â®à®¥
¢ ®¤­®¬¥à­®¬ á«ãç ¥ § ¯¨áë¢ ¥âáï â ª:
τ

+ t0

dτ
dt

= µγ.
_

(7.1.10)

‡¤¥áì t0 = µ/G | ­¥ª®â®à®¥ å à ªâ¥à­®¥ ¢à¥¬ï (¯¥à¨®¤ ५ ªá 樨),
G | ¬®¤ã«ì ᤢ¨£ , t | ¢à¥¬ï.
Ǒãáâì ¢ ¬ ªá¢¥««®¢áª®© ¨¤ª®á⨠ᮧ¤ ­ ­¥ª®â®à ï ¯®áâ®ï­­ ï
¤¥ä®à¬ æ¨ï ¨ ¯à¨­ïâë ¬¥àë ¤«ï ¥¥ á®åà ­¥­¨ï ¢ ¤ «ì­¥©è¥¬. ’®£¤ à §¢¨¢ î饥áï â¥ç¥­¨¥ ¯®á⥯¥­­® ¡ã¤¥â ®á« ¡«ïâì ¯à¨«®¥­­®¥
­ ¯à省¨¥ ¨ ¯®âॡã¥âáï ¢á¥ ¬¥­ìè¥ ãᨫ¨©, ç⮡ë á®åà ­¨âì ®¡à §¥æ ¤¥ä®à¬¨à®¢ ­­ë¬. Ǒਠíâ¨å ãá«®¢¨ïå (τ = τ0 , γ_ = 0 ¯à¨ t = 0;
γ = onst ¯à¨ t > 0) à¥è¥­¨¥ ãà ¢­¥­¨ï (7.1.10) ¨¬¥¥â ¢¨¤
τ

= τ0 exp(−t/t0 )

256

¥­ìîâ®­®¢áª¨¥ ¨¤ª®áâ¨

¨ ãáâ ­ ¢«¨¢ ¥â íªá¯®­¥­æ¨ «ì­ë© å à ªâ¥à ®á« ¡«¥­¨ï (५ ªá 樨) ­ ¯à省¨ï á® ¢à¥¬¥­¥¬. —¥à¥§ ¯à®¬¥ã⮪ ¢à¥¬¥­¨ t0 = µ/G
­ ¯à省¨¥ 㬥­ìè¨âáï ¯à¨¬¥à­® ¢ 2,7 à § ¯® áà ¢­¥­¨î á ¯¥à¢®­ ç «ì­®© ¢¥«¨ç¨­®© τ0 .
Ǒਠ®ç¥­ì ¡ëáâàëå ¬¥å ­¨ç¥áª¨å ¢®§¤¥©á⢨ïå ¨«¨ ­ ¡«î¤¥­¨ïå
á å à ªâ¥à­ë¬¨ ¢à¥¬¥­ ¬¨ t, ¬¥­ì訬¨ t0 , ¢¥é¥á⢮ ¢¥¤¥â á¥¡ï ª ª
¨¤¥ «ì­®-ã¯à㣮¥ ⥫®. ‚ ¯®á«¥¤ãî饬, ¯à¨ t ≫ t0 à §¢¨¢ î饥áï â¥ç¥­¨¥ ¯¥à¥ªàë¢ ¥â ã¯àã£ãî ¤¥ä®à¬ æ¨î, ¨ ¬ â¥à¨ « ¬®­® à áᬠâਢ âì ª ª ¯à®áâãî ­ìîâ®­®¢áªãî ¨¤ª®áâì. ‹¨èì ª®£¤ §­ 祭¨¥ t
¡ã¤¥â ⮣® ¥ ¯®à浪 , çâ® ¨ ¢¥«¨ç¨­ t0 , ­ « £ î騥áï íä䥪âë
ã¯à㣮á⨠¨ ¢ï§ª®á⨠¤¥©áâ¢ãîâ ®¤­®¢à¥¬¥­­®. ‚ í⮬ á«ãç ¥ ¨ ¯à®ï¢«ï¥âáï á«®­ ï ¯à¨à®¤ ¤¥ä®à¬ 樨.
’à¥å¬¥à­ë© ­ «®£ ãà ¢­¥­¨ï Œ ªá¢¥«« (7.1.10) § ¯¨áë¢ ¥âáï
á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬:
D τij
= −δij P + 2µeij ,
Dt
£¤¥ ¨á¯®«ì§®¢ ­® ®¡®§­ 祭¨¥
τij

+ t0

D
=
Dt

∂
∂t

+

3
X
i=1

Vi

∂
.
∂Xi

‚ ­® ®â¬¥â¨âì, çâ® ¢á¥ ¯à®áâë¥ ­ìîâ®­®¢áª¨¥ ¢¥é¥á⢠, ¤ ¥
â ª¨¥ ª ª ¢®§¤ãå, ¢®¤ ¨ ¡¥­§®«, ®¡« ¤ îâ § ¬¥â­®© ᤢ¨£®¢®© ã¯à㣮áâìî ¯à¨ ®ç¥­ì ¡®«ìè¨å ­ £à㥭¨ïå ᮠ᪮à®áâﬨ, ¡«¨§ª¨¬¨ ª
ªãáâ¨ç¥áª¨¬. ’¥¬¯ ¤¥ä®à¬¨à®¢ ­¨ï ¢ í⮬ á«ãç ¥ ¤®«¥­ ¨¬¥âì ¯®à冷ª 10−8 ÷10−10 ᥪ (¯à¨¬¥à­ ï ¢¥«¨ç¨­ ५ ªá 樨 ¯à®áâëå ¨¤ª®á⥩). Ǒ®í⮬㠯ਠ⠪¨å ¡ëáâத¥©á⢨ïå ¢á¥ ¯à®áâë¥ ¨¤ª®áâ¨
¨ £ §ë ¬®­® à áᬠâਢ âì ª ª ã¯à㣮¢ï§ª¨¥ á¨á⥬ë.
7.2. „¢¨¥­¨¥ ¯«¥­®ª ­¥­ìîâ®­®¢áª¨å
¨¤ª®á⥩

 áᬮâਬ áâ 樮­ à­®¥ « ¬¨­ à­®¥ â¥ç¥­¨¥ ८«®£¨ç¥áª¨ á«®­®© ¨¤ª®á⨠¢¤®«ì ­ ª«®­­®© ¯«®áª®á⨠(à¨á. 1.3). „¢¨¥­¨¥ áç¨â ¥¬ ¤®áâ â®ç­® ¬¥¤«¥­­ë¬, â ª ç⮠ᨫ ¬¨ ¨­¥à樨 (â.¥. ª®­¢¥ªâ¨¢­ë¬¨ ç«¥­ ¬¨) ¬®­® ¯à¥­¥¡à¥çì ¯® áà ¢­¥­¨î á ¢ï§ª¨¬ â७¨¥¬ ¨
ᨫ ¬¨ âï¥áâ¨. Ǒãáâì ⮫騭 ¯«¥­ª¨ h, ª®â®à ï ¯à¥¤¯®« £ ¥âáï
¯®áâ®ï­­®©, ¬­®£® ¬¥­ìè¥ ¥¥ ¤«¨­ë. ‚ í⮬ á«ãç ¥ ¢ ¯¥à¢®¬ ¯à¨¡«¨¥­¨¨ ­®à¬ «ì­ ï ª®¬¯®­¥­â ᪮à®á⨠V2 ¡ã¤¥â ¬ « ¯® áà ¢­¥­¨î á
¯à®¤®«ì­®© á®áâ ¢«ïî饩 V = V1 , ¯à®¨§¢®¤­ë¬¨ ¢¤®«ì ¯®¢¥àå­®áâ¨
¯«¥­ª¨ ¬®­® ¯à¥­¥¡à¥çì ¯® áà ¢­¥­¨î á ¯à®¨§¢®¤­ë¬¨ ¯® ­®à¬ «¨.

257

7.2. „¢¨¥­¨¥ ¯«¥­®ª ­¥­ìîâ®­®¢áª¨å ¨¤ª®á⥩

“ª § ­­ë¥ ¤®¯ã饭¨ï ¯à¨¢®¤ïâ ª ®¤­®¬¥à­®¬ã ¯à®ä¨«î ᪮à®á⨠V = V (ξ ) ¨ ¤ ¢«¥­¨î P = P (ξ ), £¤¥ ξ = h − Y | ª®®à¤¨­ â ,
®âáç¨âë¢ ¥¬ ï ¯® ­®à¬ «¨ ª ¯®¢¥àå­®á⨠á⥭ª¨. ‘®®â¢¥âáâ¢ãî騥
ãà ¢­¥­¨ï ¯«¥­®ç­®£® â¥ç¥­¨ï ¨¬¥îâ ¢¨¤
∂τ
∂ξ
∂P
∂ξ

+ ρg sin α = 0,

(7.2.1)

+ ρg os α = 0.

(7.2.2)

“à ¢­¥­¨ï á«¥¤ã¥â ¤®¯®«­¨âì £à ­¨ç­ë¬¨ ãá«®¢¨ï¬¨.  ᢮¡®¤­®© ¯®¢¥àå­®á⨠¯«¥­ª¨, ª®­â ªâ¨àãî饩 á £ §®¬, ª á ⥫쭮¥ ­ ¯à省¨¥ à ¢­® ­ã«î, ­®à¬ «ì­®¥ ­ ¯à省¨¥ à ¢­® ⬮áä¥à­®¬ã
¤ ¢«¥­¨î P0 , â.¥.
τ

= 0,

P

= P0

¯à¨

ξ

= h.

(7.2.3)

 ­¥¯à®­¨æ ¥¬®© á⥭ª¥ ¢ëáâ ¢«ï¥âáï ãá«®¢¨¥ ¯à¨«¨¯ ­¨ï:
V

=0

¯à¨

ξ

= 0.

(7.2.4)

“à ¢­¥­¨ï (7.2.1) ¨ (7.2.2) ¨­â¥£à¨àãîâáï ­¥§ ¢¨á¨¬®. ˆå à¥è¥­¨ï, 㤮¢«¥â¢®àïî騥 ãá«®¢¨ï¬ (7.2.3), ®¯à¥¤¥«ïîâáï ä®à¬ã« ¬¨
τ
P

= ρg (h − ξ ) sin α,
= P0 + ρg (h − ξ ) os α.

(7.2.5)
(7.2.6)

‚¨¤­®, çâ® ­ ¯à省¨¥ â७¨ï τ «¨­¥©­® ¢®§à á⠥⠮⠭ã«ï ­ ᢮¡®¤­®© ¯®¢¥àå­®á⨠¤® ᢮¥£® ¬ ªá¨¬ «ì­®£® §­ 祭¨ï
τs = ρgh sin α ­ á⥭ª¥ ­¥§ ¢¨á¨¬® ®â ८«®£¨ç¥áª®© ᯥæ¨ä¨ª¨
á।ë.
¥«¨­¥©­®-¢ï§ª¨¥ ¨¤ª®áâ¨. ‘⥯¥­­ ï ¨¤ª®áâì. ‡ ¢¨á¨¬®áâì ᪮à®á⨠¤¥ä®à¬ 樨 ®â ­ ¯à省¨ï ¢ ®¡é¥¬ á«ãç ¥ ­¥«¨­¥©­®-¢ï§ª¨å ¨¤ª®á⥩ 㤮¡­® ¯à¥¤áâ ¢¨âì á«¥¤ãî騬
®¡à §®¬:
dV
= f (τ ),
(7.2.7)
dξ

£¤¥ ª®­ªà¥â­ë© ¢¨¤ ä㭪樨 f ®¯à¥¤¥«ï¥âáï à áᬠâਢ ¥¬®© ८«®£¨ç¥áª®© ¬®¤¥«ìî ¨¤ª®áâ¨.
„«ï ¯®«ã祭¨ï § ¢¨á¨¬®á⨠(7.2.7) ¢ ८«®£¨ç¥áª¨å ãà ¢­¥­¨ïå,
¯à¥¤áâ ¢«¥­­ëå ¢ â ¡«. 7.1, ᪮à®áâì ᤢ¨£ γ_ = dV /dξ á«¥¤ã¥â
¢ëà §¨âì ç¥à¥§ τ .

258

¥­ìîâ®­®¢áª¨¥ ¨¤ª®áâ¨

Ǒ®¤áâ ¢¨¬ ¢ ãà ¢­¥­¨¥ (7.2.7) τ ¨§ (7.2.5), § ⥬ ¯à®¨­â¥£à¨à㥬
¯® ξ á ãç¥â®¬ £à ­¨ç­®£® ãá«®¢¨ï ­ ¯®¢¥àå­®á⨠á⥭ª¨ (7.2.4). ‚
१ã«ìâ ⥠¤«ï ¯à®ä¨«ï ᪮à®á⨠¯®«ã稬:
V

=

Z

ξ

0



f m(h−ζ ) dζ =

Z

1
m

mh

f (τ ) dτ,

m(h−ξ )

£¤¥

m = ρg sin α.

(7.2.8)

Œ ªá¨¬ «ì­ ï ᪮à®áâì ¤®á⨣ ¥âáï ­ ᢮¡®¤­®© ¯®¢¥àå­®áâ¨
¯«¥­ª¨ ¯à¨ ξ = h; ®­ ¢ëç¨á«ï¥âáï ¯® ä®à¬ã«¥
Umax

1

=

m

Z

mh

0

f (τ ) dτ.

(7.2.9)

 ©¤¥¬ ⥯¥àì á।­îî ᪮à®áâì ¯«¥­®ç­®£® â¥ç¥­¨ï ¨¤ª®áâ¨
hV i =

1
h

Z

h

0

V dξ

1

=

mh

Z h Z
0

mh

m(h−ξ )


f (τ ) dτ dξ.

Œ¥­ïï ¬¥áâ ¬¨ ¯¥à¥¬¥­­ë¥ ¨­â¥£à¨à®¢ ­¨ï ᮣ« á­® ä®à¬ã«¥
Z h Z
0

mh

m(h−ξ )


f (τ ) dτ dξ

=

Z

0

mh Z h

h−τ /m


f (τ ) dξ dτ,

§ ⥬ ¨­â¥£à¨àãï ¯® ξ , ¨¬¥¥¬ ¨áª®¬®¥ ¢ëà ¥­¨¥ ¤«ï á।­¥©
᪮à®á⨠¨¤ª®áâ¨:
hV i =

1

m2 h

Z

0

mh

τ f (τ ) dτ,

£¤¥

m = ρg sin α.

(7.2.10)

‘¥ªã­¤­®¥ ª®«¨ç¥á⢮ ¨¤ª®á⨠Q, ¯à®â¥ª î饥 ç¥à¥§ ¯®¯¥à¥ç­®¥ á¥ç¥­¨¥ ¯«¥­ª¨, ­ §ë¢ ¥âáï à á室®¬ ¨¤ª®á⨠¨ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï á
¯®¬®éìî ¨­â¥£à « :
Q=

Z

0

h

V dξ

= hhV i.

(7.2.11)

„«ï á⥯¥­­®© ¨¤ª®á⨠(¯¥à¢ ï ¬®¤¥«ì ¢ â ¡«. 7.1) § ¢¨á¨¬®áâì
᪮à®á⨠¤¥ä®à¬ 樨 ®â ­ ¯à省¨ï § ¤ ¥âáï ¢ëà ¥­¨¥¬ (7.2.7),
£¤¥ äã­ªæ¨ï f ¨¬¥¥â ¢¨¤
f (τ ) =

 τ 1/n
k

.

(7.2.12)

259

7.2. „¢¨¥­¨¥ ¯«¥­®ª ­¥­ìîâ®­®¢áª¨å ¨¤ª®á⥩

Ǒ®¤áâ ¢«ïï íâã § ¢¨á¨¬®áâì ¢ ä®à¬ã«ë (7.2.8) | (7.2.11), ¬®­®
­ ©â¨ ®á­®¢­ë¥ å à ªâ¥à¨á⨪¨ ¯«¥­®ç­®£® â¥ç¥­¨ï á⥯¥­­®© ¨¤ª®á⨠¯® ­ ª«®­­®© ¯«®áª®áâ¨. ‘®®â¢¥âáâ¢ãî騥 १ã«ìâ âë ¢ëç¨á«¥­¨© ¯à¨¢¥¤¥­ë ¢ â ¡«. 7.4.
‚¨¤­®, çâ® ¯®ª § ⥫ì á⥯¥­­®© ¨¤ª®á⨠n áãé¥á⢥­­® ¢«¨ï¥â ­ ¯à®ä¨«ì ᪮à®áâ¨. ‘ 㢥«¨ç¥­¨¥¬ ¯á¥¢¤®¯« áâ¨ç­®á⨠à á¯à¥¤¥«¥­¨¥ ᪮à®á⥩ áâ ­®¢¨âáï ¢á¥ ¡®«¥¥ ®¤­®à®¤­ë¬, ¯à¨¡«¨ ïáì ¢
¯à¥¤¥«¥ ¯à¨ n → 0 ª ª¢ §¨â¢¥à¤®¬ã á ¯à®ä¨«¥¬ V = hV i = onst. „¨« â ­á¨ï, ­ ®¡®à®â, ¤¥« ¥â ¯®«¥ ᪮à®á⥩ ¢á¥ ¡®«¥¥ ­¥®¤­®à®¤­ë¬,
¯à¨ç¥¬ ¯à¨ n → ∞ ¯à®ä¨«ì ¯à¨®¡à¥â ¥â âà¥ã£®«ì­ãî ä®à¬ã
V
hV i

=2

ξ
.
h

Œ ªá¨¬ «ì­ ï ᪮à®áâì ¯®-¯à¥­¥¬ã ¤®á⨣ ¥âáï ­ ᢮¡®¤­®© ¯®¢¥àå­®á⨠¯«¥­ª¨ ¨ á®áâ ¢«ï¥â
Umax

= 2hV i.

‚¥áì ¢®§¬®­ë© ¤¨ ¯ §®­ ¨§¬¥­¥­¨ï ¬ ªá¨¬ «ì­®© ᪮à®á⨠¯à¨
0 < n < ∞ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ­¥à ¢¥­á⢠¬¨
hV i < Umax < 2 hV i.

‚ ç áâ­®áâ¨, ¤«ï ­ìîâ®­®¢áª®© ¨¤ª®á⨠¨¬¥¥¬ Umax =

3
2 hV i.

‚離®¯« áâ¨ç­ë¥ á।ë. †¨¤ª®áâì ˜¢¥¤®¢ | ¨­£ ¬ .

„«ï ¢ï§ª®¯« áâ¨ç­ëå á। § ¢¨á¨¬®áâì ᪮à®á⨠¤¥ä®à¬ 樨 ®â
­ ¯à省¨ï ¢ ®¡é¥¬ á«ãç ¥ ¬®­® ¯à¥¤áâ ¢¨âì á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬:
dV
dξ

=



0

f (τ )

¯à¨ 0 6 τ 6 τ0 ,
¯à¨ τ0 6 τ 6 ρgh sin α.

(7.2.13)

„«ï ¯®«ã祭¨ï ®£® ¢¨¤ ä㭪樨 f (τ ) ᪮à®áâì ᤢ¨£
= dV /dξ ¢ à áᬠâਢ ¥¬ëå ८«®£¨ç¥áª¨å ¬®¤¥«ïå (á¬. â ¡«. 7.3)
á«¥¤ã¥â ¢ëà §¨âì ç¥à¥§ τ .
„¢¨¥­¨¥ ¯« áâ¨ç­ëå ¨¤ª®á⥩, ¨¬¥îé¨å ª®­¥ç­ë© ¯à¥¤¥« ⥪ãç¥á⨠τ0 , ¨¬¥¥â ­¥ª®â®àë¥ ª ç¥á⢥­­ë¥ ®á®¡¥­­®áâ¨, ®â«¨ç î騥 ¨å ®â ­¥«¨­¥©­®-¢ï§ª¨å ¨¤ª®á⥩.  áᬮâਬ á«®© ¢ï§ª®¯« áâ¨ç­®© ¨¤ª®á⨠­ ­¥ª®â®à®© ¯«®áª®áâ¨, 㣮« ­ ª«®­ ª®â®à®© ¡ã¤¥¬ ¯®á⥯¥­­® ¬¥­ïâì. Š ª á«¥¤ã¥â ¨§ ä®à¬ã«ë (7.2.5), ª á ⥫쭮¥ ­ ¯à省¨¥, ­¥§ ¢¨á¨¬® ®â ८«®£¨ç¥áª®© ᯥæ¨ä¨ª¨ á।ë, 㬥­ìè ¥âáï ¯®¯¥à¥ª ¯«¥­ª¨ ®â ᢮¥£® ¬ ªá¨¬ «ì­®£® §­ 祭¨ï
τmax = ρgh sin α ­ ⢥म© á⥭ª¥ ¤® ­ã«ï ­ ᢮¡®¤­®© ¯®¢¥àå­®áâ¨.
Ǒ®í⮬ã â¥ç¥­¨¥ ¢ï§ª®¯« áâ¨ç­®© ¯«¥­ª¨ ¨¤ª®á⨠¬®¥â ­ ç âìáï
γ_

260

¥­ìîâ®­®¢áª¨¥ ¨¤ª®áâ¨

7.2. „¢¨¥­¨¥ ¯«¥­®ª ­¥­ìîâ®­®¢áª¨å ¨¤ª®á⥩

261

«¨èì ¯®á«¥ ⮣®, ª ª ª á ⥫쭮¥ ­ ¯à省¨¥ ­ á⥭ª¥ áâ ­¥â à ¢­ë¬ ¨«¨ ¯à¥¢ëá¨â ¯à¥¤¥« ⥪ãç¥á⨠τ0 :
τ0

(7.2.14)

= ρgh0 sin α0 .

Ǒ।¥«ì­ë© 㣮« ­ ª«®­ ¯«®áª®áâ¨, ¤® ª®â®à®£® ­ ­¥© 㤥ਢ ¥âáï § ¢¨á îé ï ­¥¯®¤¢¨­ ï ¯«¥­ª , à ¢¥­
α0



= ar sin

τ0
ρgh0



¨ ¡ã¤¥â ⥬ ¢ëè¥, 祬 ¡®«ìè¥ ¢¥«¨ç¨­ τ0 ¨ 祬 â®­ìè¥ á«®©
¨¤ª®áâ¨. „«ï ­¥«¨­¥©­®-¢ï§ª¨å á। §­ 祭¨¥ ª®­áâ ­âë α0 ¢á¥£¤
à ¢­® ­ã«î.
„«ï ý§ ¢¨á ­¨ïþ ¯«¥­ª¨ ­ ¢¥à⨪ «ì­®© ¯«®áª®áâ¨, ç⮠ᮮ⢥âáâ¢ã¥â §­ 祭¨î α0 = π/2, ­¥®¡å®¤¨¬®, çâ®¡ë ¬¥¤ã à ¢­®¢¥á­®©
⮫騭®© ¯«¥­ª¨ ¨ ¯à¥¤¥«®¬ ⥪ãç¥á⨠áãé¥á⢮¢ «® ᮮ⭮襭¨¥
h0 = τ0 /(ρg ), ª®â®à®¥ á«¥¤ã¥â ¨§ (7.2.13). “ª § ­­®¥ ãá«®¢¨¥ ®¯à¥¤¥«ï¥â ⮫騭㠯®ªàëâ¨ï, ®áâ î饣®áï ­ ¢¥à⨪ «ì­ëå ¯®¢¥àå­®áâïå.
‡ 䨪á¨à㥬 ⥯¥àì 㣮« ­ ª«®­ ¯®¢¥àå­®á⨠α. Ǒãáâì ⮫騭
¯«¥­ª¨ h â ª ï, çâ® ¢ë¯®«­ï¥âáï ­¥à ¢¥­á⢮
h>

τ0
.
ρg sin α

(7.2.15)

’®£¤ ¢áï ®¡« áâì â¥ç¥­¨ï à §¡¨¢ ¥âáï ­ ¤¢¥ ç á⨠á à §«¨ç­®©
áâàãªâãன ¯à®ä¨«ï ᪮à®áâ¨:
1) ᤢ¨£®¢ ï ¯à¨á⥭®ç­ ï §®­ | ¯à¨ 0 6 ξ 6 h − h0 ,
2) §®­ ª¢ §¨â¢¥à¤®£® ¤¢¨¥­¨ï | ¯à¨ h − h0 6 ξ 6 h.
‡¤¥áì ¢¢¥¤¥­® ®¡®§­ 祭¨¥
h0

=

τ0
.
ρg sin α

(7.2.16)

‚ §®­¥ ª¢ §¨â¢¥à¤®£® ¤¢¨¥­¨ï, ¯à¨¬ëª î饩 ª ᢮¡®¤­®© ¯®¢¥àå­®á⨠¯«¥­ª¨, ᪮à®áâì ¨¤ª®á⨠¯®áâ®ï­­ ¨ à ¢­ §­ 祭¨î
᪮à®á⨠­ £à ­¨æ¥ ᤢ¨£®¢®© ¯à¨á⥭®ç­®© §®­ë ¯à¨ ξ = h − h0 . ‚
§®­¥ ª¢ §¨â¢¥à¤®£® ¤¢¨¥­¨ï ᪮à®áâì ¬ ªá¨¬ «ì­ V = Umax.
Ǒ®¤áâ ¢¨¬ ¢ ãà ¢­¥­¨¥ (7.2.13) ¢ëà ¥­¨¥ ¤«ï τ ¨§ (7.2.5), § ⥬
¯à®¨­â¥£à¨à㥬 ¯® ξ á ãç¥â®¬ ãá«®¢¨ï ¯à¨«¨¯ ­¨ï ­ á⥭ª¥ (7.2.4).
‚ १ã«ìâ ⥠­¥á«®­ëå ¯à¥®¡à §®¢ ­¨© ¤«ï ¯à®ä¨«ï ᪮à®á⨠¯®«ã稬
V

=











1
m

1
m

Z

mh

m(h−ξ )

Z

mh

τ0

f (τ ) dτ

f (τ ) dτ

¯à¨ 0 6 ξ 6 h − h0 ,
¯à¨

h − h0 6 ξ 6 h,

(7.2.17)

262

¥­ìîâ®­®¢áª¨¥ ¨¤ª®áâ¨

£¤¥, ª ª ¨ à ­¥¥, m = ρg sin α, h0 = τ0 /m.
Œ ªá¨¬ «ì­ ï ᪮à®áâì ¨¤ª®áâ¨, à ¢­ ï
Umax

=

1
m

Z

mh

τ0

f (τ ) dτ,

(7.2.18)

¤®á⨣ ¥âáï ¢® ¢á¥© §®­¥ ª¢ §¨â¢¥à¤®£® â¥ç¥­¨ï.
‘।­ïï ᪮à®áâì ¯«¥­®ç­®£® â¥ç¥­¨ï ¢ï§ª®¯« áâ¨ç­®© ¨¤ª®áâ¨
¢ëç¨á«ï¥âáï ¯® ä®à¬ã«¥
hV i =

1

m2 h

Z

mh

τ0

τ f (τ ) dτ.

(7.2.19)

 á室 ¨¤ª®á⨠­ 室¨âáï á ¯®¬®éìî ¢ëà ¥­¨ï (7.2.11), £¤¥
®¯à¥¤¥«ï¥âáï ᮣ« á­® (7.2.19).
„«ï ¨¤ª®á⨠˜¢¥¤®¢ | ¨­£ ¬ (¯¥à¢ ï ¬®¤¥«ì ¢ â ¡«. 7.3)
§ ¢¨á¨¬®áâì ᪮à®á⨠¤¥ä®à¬ 樨 ®â ­ ¯à省¨ï § ¤ ¥âáï ä®à¬ã«®©
(7.2.13), £¤¥
τ − τ0
f (τ ) =
.
(7.2.20)

hV i

µp

Ǒ à ¬¥âà µp ­ §ë¢ ¥âáï ¯« áâ¨ç¥áª®© (áâàãªâãà­®©) ¢ï§ª®áâìî.
Ǒ®¤áâ ¢«ïï § ¢¨á¨¬®áâì (7.2.20) ¢ (7.2.17) | (7.2.19), ­ ©¤¥¬ ®á­®¢­ë¥ å à ªâ¥à¨á⨪¨ ¯«¥­®ç­®£® â¥ç¥­¨ï ¢ï§ª®¯« áâ¨ç­®© ¨¤ª®á⨠˜¢¥¤®¢ | ¨­£ ¬ ¯® ­ ª«®­­®© ¯«®áª®á⨠(१ã«ìâ âë ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å ¢ëç¨á«¥­¨© ¯à¨¢¥¤¥­ë ¢ â ¡«. 7.4).
7.3. Œ áᮯ¥à¥­®á ¢ ¯«¥­ª å ८«®£¨ç¥áª¨
á«®­ëå ¨¤ª®á⥩

Œ áá®®¡¬¥­ ¬¥¤ã ¯«¥­ª®© ¨ £ §®¬. ‘«¥¤ãï à ¡®â ¬ [185,
186, 202℄, à áᬮâਬ ¡á®à¡æ¨î á« ¡®à á⢮ਬëå £ §®¢ ­ ¯®¢¥àå­®á⨠¯«¥­ª¨, á⥪ î饩 ¯® ­ ª«®­­®© ¯«®áª®áâ¨. ‘â 樮­ à­®¥ à á¯à¥¤¥«¥­¨¥ ᪮à®á⥩ ¢­ãâਠ¯«¥­ª¨ ¤«ï ­¥«¨­¥©­®-¢ï§ª¨å ¨¤ª®á⥩ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ä®à¬ã«®© (7.2.8), ¤«ï ¢ï§ª®¯« áâ¨ç­ëå | ä®à¬ã«®© (7.2.17).
Ǒãáâì ­ ¯®¢¥àå­®á⨠¯«¥­ª¨ ãáâ ­ ¢«¨¢ ¥âáï ¯®áâ®ï­­ ï ª®­æ¥­âà æ¨ï ¯®£«®é ¥¬®£® ª®¬¯®­¥­â C = Cs , ¢ á¥ç¥­¨¥ á ª®®à¤¨­ ⮩
X = 0 ¯®áâ㯠¥â ýç¨áâ ïþ ¨¤ª®áâì á ­ã«¥¢®© ª®­æ¥­âà 樥©. Ž£à ­¨ç¨¬áï á«ãç ¥¬ ¡®«ìè¨å ç¨á¥« Ǒ¥ª«¥, ª®£¤ ¤¨ää㧨¥© ¢¤®«ì ¯«¥­ª¨ ¬®­® ¯à¥­¥¡à¥çì. ‚ ¯à¨¡«¨¥­¨¨ ¤¨ää㧨®­­®£® ¯®£à ­¨ç­®£®

7.3. Œ áᮯ¥à¥­®á ¢ ¯«¥­ª å ८«®£¨ç¥áª¨ á«®­ëå ¨¤ª®á⥩

263

á«®ï (â.¥. ®£à ­¨ç¨¢ ïáì £« ¢­ë¬ ç«¥­®¬ à §«®¥­¨ï ᪮à®á⨠¨¤ª®á⨠¢¡«¨§¨ ᢮¡®¤­®© ¯®¢¥àå­®á⨠V ≈ Umax) à á¯à¥¤¥«¥­¨¥ ª®­æ¥­âà 樨 ¢­ãâਠ¯«¥­ª¨ á ãç¥â®¬ ᤥ« ­­ëå ¤®¯ã饭¨© ®¯¨áë¢ ¥âáï
á«¥¤ãî騬¨ ãà ¢­¥­¨¥¬ ¨ £à ­¨ç­ë¬¨ ãá«®¢¨ï¬¨:
Umax

∂C
∂X

∂2C
;
∂Y 2
Y = 0, C

=D

(7.3.1)
= 0, C = 0;
= Cs ,
£¤¥ ª®®à¤¨­ â Y = 1 − ξ ®âáç¨âë¢ ¥âáï ¢­ãâàì ¯® ­®à¬ «¨ ª
¯®¢¥àå­®á⨠¯«¥­ª¨.
¥è¥­¨¥ § ¤ ç¨ (7.3.1) ¢ëà  ¥âáï ç¥à¥§ ¤®¯®«­¨â¥«ì­ë© ¨­â¥£à « ¢¥à®ïâ­®á⥩:
X



= Cs erf

r

Y

Umax
DX


.

(7.3.2)
2
„¨ää¥à¥­æ¨àãï íâã ä®à¬ã«ã, ­ 室¨¬ ¤¨ää㧨®­­ë© ¯®â®ª ­
¯®¢¥àå­®áâì ¯«¥­ª¨:
C

∂C
j∗ = −ρD
∂Y

Y =0

= ρCs

r

Umax D
.
πX

(7.3.3)

„«ï ­¥«¨­¥©­®-¢ï§ª¨å ¨ ¢ï§ª®¯« áâ¨ç­ëå ¨¤ª®á⥩ ¬ ªá¨¬ «ì­ ï ᪮à®áâì Umax , ¢å®¤ïé ï ¢ ä®à¬ã«ã (7.3.3), ¢ ®¡é¥¬ á«ãç ¥ ¢ëç¨á«ï¥âáï á ¯®¬®éìî ¢ëà ¥­¨© (7.2.9) ¨ (7.2.18) ᮮ⢥âá⢥­­®. ‚
ç áâ­®áâ¨, ¤«ï á⥯¥­­®© ¨¤ª®á⨠Umax ¬®­® ¢§ïâì ¨§ â ¡«. 7.4,
çâ® ¤ ¥â

1
1
n
n  ρg sin α  n n+1
D 2
h
j∗ = ρCs
.
n+1
k
πX
 á⢮७¨¥ ¯« áâ¨­ë ¯«¥­ª®© ¨¤ª®áâ¨.  áᬮâਬ ⥯¥àì ¬ áᮯ¥à¥­®á ®â ⢥म© á⥭ª¨ ª ¯«¥­ª¥ ¨¤ª®áâ¨. ‘ç¨â ¥¬,
çâ® ­ ¯®¢¥àå­®á⨠¯« áâ¨­ë ª®­æ¥­âà æ¨ï ¯®áâ®ï­­ ¨ à ¢­ Cs ,
­ ¢å®¤­®¥ á¥ç¥­¨¥ ¯®¤ ¥âáï ç¨áâ ï ¨¤ª®áâì. ‚ ¯à¨¡«¨¥­¨¨ ¤¨ää㧨®­­®£® ¯®£à ­¨ç­®£® á«®ï ¯à®ä¨«ì ᪮à®á⨠¢¡«¨§¨ ¯®¢¥àå­®áâ¨
¯« áâ¨­ë ¯à¨¡«¨¥­­® ¬®­® § ¬¥­¨âì ¢ëà ¥­¨¥¬
V ≈



dV
dξ



ξ =0

ξ

= f (mh)ξ,

£¤¥

m = ρg sin α.

“ç¨âë¢ ï ᪠§ ­­®¥, § ¯¨è¥¬ § ¤ çã ¤«ï ®¯à¥¤¥«¥­¨ï ¯®«ï ª®­æ¥­âà 樨 ¢ ¤¨ää㧨®­­®¬ ¯®£à ­¨ç­®¬ á«®¥, ¯à¨¬ëª î饬 ª ¯®¢¥àå­®á⨠á⥭ª¨:
f (mh)ξ
X

= 0,

C

∂C
∂X

= 0;

∂2C
;
∂ξ 2
ξ = 0, C

=D

= Cs .

(7.3.4)

264

¥­ìîâ®­®¢áª¨¥ ¨¤ª®áâ¨

¥è¥­¨¥ ¢ëà  ¥âáï ç¥à¥§ ­¥¯®«­ãî £ ¬¬ -äã­ªæ¨î:
C

1
(1/3)

= Cs

1

3

,

f (mh)ξ 3 
.
9DX

(7.3.5)

„¨ää¥à¥­æ¨àãï (7.3.5), ¯®«ã稬 ¤¨ää㧨®­­ë© ¯®â®ª ­ ¯®¢¥àå­®áâì ¯«¥­ª¨
∂C
j∗ = −ρD
∂ξ



D2 f (mh)
= 0,538 ρCs
X
ξ =0

1/3

.

(7.3.6)

Žâáî¤ ¤«ï á⥯¥­­®© ¨¤ª®áâ¨ á ¯®¬®éìî ä®à¬ã«ë (7.2.12)
¨¬¥¥¬

1/3
ρg sin α 1/n D2
j∗ = 0,538 ρCs
.
(7.3.7)
k

X

„«ï ¢ï§ª®¯« áâ¨ç­®© ¨¤ª®á⨠˜¢¥¤®¢ | ¨­£ ¬ ¢ ¢ëà ¥­¨¥
(7.3.6) á«¥¤ã¥â ¯®¤áâ ¢¨âì f (mh) = (ρgh sin α − τ0 )/µp .
7.4. „¢¨¥­¨¥ ­¥­ìîâ®­®¢áª¨å ¨¤ª®á⥩
¯® âàã¡ ¬ ¨ ª ­ « ¬

Šà㣫 ï âàã¡ .  áᬮâਬ ãáâ ­®¢¨¢è¥¥áï ®á¥á¨¬¬¥âà¨ç­®¥
â¥ç¥­¨¥ ­¥­ìîâ®­®¢áª¨å ¨¤ª®á⥩ ¢ ¯àאַ© £®à¨§®­â «ì­®© âàã¡¥
ªà㣫®£® á¥ç¥­¨ï à ¤¨ãá a. Š®®à¤¨­ âã Z , ®âáç¨âë¢ ¥¬ãî ¢¤®«ì ®á¨
âàã¡ë, ­ ¯à ¢¨¬ ¯® ¯®â®ªã. Ž£à ­¨ç¨¬áï ¨áá«¥¤®¢ ­¨¥¬ £¨¤à®¤¨­ ¬¨ç¥áª¨ áâ ¡¨«¨§¨à®¢ ­­®£® â¥ç¥­¨ï ¢¤ «¨ ®â ¢å®¤­®£® á¥ç¥­¨ï, ª®£¤ ¨¤ª®áâì ¤¢¨¥âáï ¯ à ««¥«ì­® ®á¨ âàã¡ë. ‚ í⮬ á«ãç ¥ ¯¥à¥¯ ¤ ¤ ¢«¥­¨ï ¡ã¤¥â 㬥­ìè âìáï ¢ ­ ¯à ¢«¥­¨¨ ¢®§à áâ ­¨ï Z , £à ¤¨¥­â ¤ ¢«¥­¨ï ®âà¨æ ⥫¥­ ¨ ¯®áâ®ï­¥­
∂P
∂Z

=−


P
L

= onst,

£¤¥
P | ¯¥à¥¯ ¤ ¤ ¢«¥­¨ï ­ ¤«¨­¥ âàã¡ë L.
‚ í⮩ § ¤ ç¥ ¢á¥ ¯à®¨§¢®¤­ë¥ ᪮à®á⨠¯® ¯¥à¥¬¥­­ë¬ t, Z , ϕ,
â ª¥ á®áâ ¢«ïî騥 ᪮à®á⨠Vϕ ¨ VR à ¢­ë ­ã«î. “ç¨âë¢ ï
᪠§ ­­®¥, ¨§ (7.2.5) ¯®«ã稬 ãà ¢­¥­¨¥ ¤¢¨¥­¨ï
d

P
(Rτ ) +
R dR
L

1

£¤¥ ¢¢¥¤¥­® ®¡®§­ 祭¨¥ τ = τRZ .

= 0,

(7.4.1)

265

7.4. „¢¨¥­¨¥ ­¥­ìîâ®­®¢áª¨å ¨¤ª®á⥩ ¯® âàã¡ ¬ ¨ ª ­ « ¬

¥è¥­¨¥ ãà ¢­¥­¨ï (7.4.1), 㤮¢«¥â¢®àïî饥 ãá«®¢¨î ®£à ­¨ç¥­­®á⨠(|τ | < ∞), ¨¬¥¥â ¢¨¤


P
R.
(7.4.2)
2L
‚¨¤­®, çâ® ¡á®«îâ­ ï ¢¥«¨ç¨­ ­ ¯à省¨ï â७¨ï «¨­¥©­®
¢®§à á⠥⠮⠭ã«ï ­ ®á¨ âàã¡ë ¤® ᢮¥£® ¬ ªá¨¬ «ì­®£® §­ 祭¨ï
τs = a
P/L ­ á⥭ª¥ âàã¡ë ­¥§ ¢¨á¨¬® ®â ⨯ ­¥­ìîâ®­®¢áª®©
¨¤ª®áâ¨.
¥«¨­¥©­®-¢ï§ª¨¥ ¨¤ª®áâ¨. ‘⥯¥­­ ï ¨¤ª®áâì. ‚
âàã¡¥ ᪮à®áâì ¤¥ä®à¬ 樨 ®âà¨æ â¥«ì­ γ_ = dV /dR < 0, £¤¥ ®¡®§­ 祭® V = VZ . ‚ ®¡é¥¬ á«ãç ¥ ­¥«¨­¥©­®-¢ï§ª¨å ¨¤ª®á⥩ ¯à¥¤áâ ¢¨¬ § ¢¨á¨¬®áâì ᪮à®á⨠¤¥ä®à¬ 樨 ®â ­ ¯à省¨ï á«¥¤ãî騬
®¡à §®¬:
dV
= −f (|τ |),
(7.4.3)
=−

τ

dR
ä㭪樨 f (τ ) > 0

£¤¥ ª®­ªà¥â­ë© ¢¨¤
®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¢ ᮮ⢥âá⢨¨ á
¢ë¡à ­­®© ८«®£¨ç¥áª®© ¬®¤¥«ìî.
Ǒ®¤áâ ¢«ïï ¢ëà ¥­¨¥ (7.4.2) ¢ (7.4.3), ¯®«ã稬 ãà ¢­¥­¨¥ ¤«ï
᪮à®á⨠¨¤ª®á⨠V = VZ . £® à¥è¥­¨¥, 㤮¢«¥â¢®àïî饥 ãá«®¢¨î
¯à¨«¨¯ ­¨ï ­ á⥭ª å âàã¡ë (V = 0 ¯à¨ R = a), ¨¬¥¥â ¢¨¤
V

=

Z

a

f

R


P

2L


R dR.

(7.4.4)

Œ ªá¨¬ «ì­ ï ᪮à®áâì ¨¤ª®á⨠¤®á⨣ ¥âáï ­ ®á¨ ¯®â®ª
Umax

=

Z

0

a

f


P

2L


R dR.

(7.4.5)

 á室 ¨¤ª®á⨠ç¥à¥§ ¯®¯¥à¥ç­®¥ á¥ç¥­¨¥ âàã¡ë ¢ëç¨á«ï¥âáï ¯®
ä®à¬ã«¥
Z a
Z a

P 
Q=
2πRV dR = π R2 f
(7.4.6)
R dR,
2L
0
0
á।­ïï ᪮à®áâì ®¯à¥¤¥«ï¥âáï â ª:
hV i =

Q
.
πa2

„«ï ª®íää¨æ¨¥­â ᮯà®â¨¢«¥­¨ï â७¨ï ¯®«ã稬
cf

=

|τs |
1 ρhV i2
2

=

£¤¥ τs | ­ ¯à省¨¥ ᤢ¨£ ­ á⥭ª¥.

a
P
,
ρLhV i2

(7.4.7)

266

¥­ìîâ®­®¢áª¨¥ ¨¤ª®áâ¨

‚ ç áâ­®¬ á«ãç ¥ á⥯¥­­®© ¨¤ª®áâ¨, ª®â®à ï ®¯¨áë¢ ¥âáï ¢ëà ¥­¨ï¬¨ (7.1.1), (7.1.4), äã­ªæ¨ï f ¢ (7.4.3) ¨¬¥¥â ¢¨¤
f

= (τ /k)1/n .

(7.4.8)

Ǒ®¤áâ ¢«ïï § ¢¨á¨¬®áâì (7.4.8) ¢ ä®à¬ã«ë (7.4.4) | (7.4.7), ¬®­® ­ ©â¨ ®á­®¢­ë¥ å à ªâ¥à¨á⨪¨ ¤¢¨¥­¨ï á⥯¥­­®© ¨¤ª®áâ¨
¯® ªà㣫®© âàã¡¥. ¥§ã«ìâ âë ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å ¢ëç¨á«¥­¨© [168, 174℄ ¯à¨¢¥¤¥­ë
¢ â ¡«. 7.5 ¨ ¯®ª § ­ë ­
à¨á. 7.2. ‚¨¤­®, çâ® á 㬥­ì襭¨¥¬ ¢¥«¨ç¨­ë ८«®£¨ç¥áª®£® ¯ à ¬¥âà n ¯®«ãç îâáï ¢á¥ ¡®«¥¥ § ¯®«­¥­­ë¥
¯à®ä¨«¨ ᪮à®á⥩. Ǒ।¥«ì­ë© á«ãç © n → 0 å à ªâ¥à¨§ã¥âáï ª¢ §¨â¢¥à¤ë¬ ¤¢¨¥­¨¥¬ ¨¤ª®áâ¨ á ®¤¨­ ª®¢®©
᪮à®áâìî ¯® á¥ç¥­¨î âàã¡ë
(«¨èì ¢ ­¥¯®á।á⢥­­®©
¨á. 7.2. • à ªâ¥à­ë¥ ¯à®ä¨«¨ ᪮à®á⥩
¡«¨§®áâ¨
ã á⥭ª¨ ¯à®¨á室¨â
­¥­ìîâ®­®¢áª¨å ¨¤ª®á⥩ ¯à¨ â¥ç¥­¨¨ ¢
ªà㣫®© âàã¡¥
¡ëáâ஥ ¯ ¤¥­¨¥ ᪮à®á⨠¤®
­ã«ï). ìîâ®­®¢áª®© ¨¤ª®á⨠n = 1 ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¯ à ¡®«¨ç¥áª¨©
¯à®ä¨«ì Ǒã §¥©«ï. Ǒ।¥«ì­® ¤¨« â ­â­®¥ â¥ç¥­¨¥ (n → ∞) ¨¬¥¥â
âà¥ã£®«ì­ë© ¯à®ä¨«ì, ª®â®àë© å à ªâ¥à¨§ã¥âáï «¨­¥©­ë¬ § ª®­®¬
¨§¬¥­¥­¨ï ᪮à®á⨠¯® à ¤¨ãáã âàã¡ë.
‚離®¯« áâ¨ç­ë¥ á।ë. †¨¤ª®áâì ˜¢¥¤®¢ | ¨­£ ¬ . ‡ ¢¨á¨¬®áâì ᪮à®á⨠¤¥ä®à¬ 樨 ®â ­ ¯à省¨ï ¯à¨ â¥ç¥­¨¨

¢ï§ª®¯« áâ¨ç­ëå ¨¤ª®á⥩ ¯® ªà㣫®© âàã¡¥ ¬®­® § ¯¨á âì ¢ á«¥¤ãî饬 ¢¨¤¥:
−

dV
dR



¯à¨ 0 6 |τ | 6 τ0 ,
= 0f (|τ |) ¯à¨
|τ | > τ0 .

(7.4.9)

Ǒ®¤áâ ¢«ïï íâ® ¢ëà ¥­¨¥ ¢ (7.4.2), ¯®«ã稬 ãà ¢­¥­¨¥ ¤«ï
¯à®ä¨«ï ᪮à®áâ¨. ‚¨¤­®, çâ® ¯à¨ ¬ «ëå £à ¤¨¥­â å ¤ ¢«¥­¨ï,
㤮¢«¥â¢®àïîé¨å ãá«®¢¨î
a
P
6 τ0 ,
2L

¤¢¨¥­¨¥ ¨¤ª®á⨠¢ âàã¡¥ ­¥ ¯à®¨á室¨â.
„ «¥¥ ¡ã¤¥¬ áç¨â âì, çâ® ¢ë¯®«­¥­® ­¥à ¢¥­á⢮ 12 a
P/L > τ0 .
„«ï ¢ï§ª®¯« áâ¨ç­ëå ¨¤ª®á⥩ (7.4.9) à¥è¥­¨¥ ãà ¢­¥­¨ï (7.4.2),

7.4. „¢¨¥­¨¥ ­¥­ìîâ®­®¢áª¨å ¨¤ª®á⥩ ¯® âàã¡ ¬ ¨ ª ­ « ¬

267

268

¥­ìîâ®­®¢áª¨¥ ¨¤ª®áâ¨

㤮¢«¥â¢®àïî饥 ãá«®¢¨î ¯à¨«¨¯ ­¨ï ­ á⥭ª å âàã¡ë, ¨¬¥¥â ¢¨¤
Z a 

P 


R dR
f

2L
R
V = Z a 

P 



f
R dR
2L
r0

¯à¨

r0 6 R 6 a,

¯à¨ 0 6 R 6 r0 ,

(7.4.10)

£¤¥ r0 | à ¤¨ãá §®­ë ª¢ §¨â¢¥à¤®£® ¤¢¨¥­¨ï
2Lτ0
.

P
Œ ªá¨¬ «ì­ ï ᪮à®áâì ¨¤ª®áâ¨, à ¢­ ï
r0

Umax

=

Z

=

a

r0

f


P

2L


R dR,

(7.4.11)

(7.4.12)

¤®á⨣ ¥âáï ¢® ¢á¥© ®¡« á⨠ª¢ §¨â¢¥à¤®£® ¤¢¨¥­¨ï ¨¤ª®á⨠ª ª
楫®£® ¢ ®ªà¥áâ­®á⨠®á¨ ¯®â®ª 0 6 R 6 r0 .
 á室 ¨¤ª®á⨠ç¥à¥§ ¯®¯¥à¥ç­®¥ á¥ç¥­¨¥ âàã¡ë ¢ëç¨á«ï¥âáï ¯®
ä®à¬ã«¥
Z a

P 
R dR.
Q=π
R2 f
(7.4.13)
2L
r0
‘।­ïï ᪮à®áâì ¨¤ª®á⨠®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¯ã⥬ ¯®¤áâ ­®¢ª¨ (7.4.13)
¢ ¢ëà ¥­¨¥ (7.4.7).
‚ ç áâ­®¬ á«ãç ¥ ¢ï§ª®¯« áâ¨ç­®© ¨¤ª®á⨠˜¢¥¤®¢ | ¨­£ ¬
(¯¥à¢ ï ¬®¤¥«ì ¢ â ¡«. 7.3) ¤«ï ä㭪樨 f ¢ (7.4.9) ¨¬¥¥¬
f (|τ |) =

|τ | − τ0
.
µp

(7.4.14)

Ǒ®¤áâ ¢«ïï íâã § ¢¨á¨¬®áâì ¢ ¢ëà ¥­¨ï (7.4.10) | (7.4.13), ¯®«ã稬
¢á¥ ®á­®¢­ë¥ å à ªâ¥à¨á⨪¨ í⮣® â¥ç¥­¨ï. ¥§ã«ìâ âë ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å à áç¥â®¢ [174, 185℄ 㪠§ ­ë ¢
â ¡«. 7.5.
Ǒà®ä¨«ì ᪮à®á⨠¨§®¡à ¥­ ­
à¨á. 7.3, § èâà¨å®¢ ­­ ï ®¡« áâì ᮮ⢥âáâ¢ã¥â §®­¥ ª¢ §¨â¢¥à¤®£® ¤¢¨¥­¨ï ¨¤ª®áâ¨.
Ǒ«®áª¨© ª ­ «.  áᬮâਬ
⥯¥àì áâ 樮­ à­®¥ £¨¤à®¤¨­ ¬¨¨á. 7.3. Ǒà®ä¨«ì ᪮à®á⥩ â¥ç¥ç¥áª¨ áâ ¡¨«¨§¨à®¢ ­­®¥ â¥ç¥­¨¥ ­¥­¨ï ¡¨­£ ¬®¢áª®£® ¯« áâ¨ç¥áª®£® â¥- ­ìîâ®­®¢áª®© ¨¤ª®á⨠¢ ¯«®áª®¬
«
ª ­ «¥ è¨à¨­®© 2h. ‚¢¥¤¥¬ ¯àאַ㣮«ì­ãî á¨á⥬㠪®®à¤¨­ â X , ξ , £¤¥ ®áì X ­ ¯à ¢¨¬ ¢¤®«ì â¥ç¥­¨ï

7.4. „¢¨¥­¨¥ ­¥­ìîâ®­®¢áª¨å ¨¤ª®á⥩ ¯® âàã¡ ¬ ¨ ª ­ « ¬

269

¯® ­¨­¥© á⥭ª¥ ª ­ « , ª®®à¤¨­ âã ξ ¡ã¤¥¬ ®âáç¨âë¢ âì ¯® ­®à¬ «¨ ª í⮩ á⥭ª¥ ¢ £«ã¡ì â¥ç¥­¨ï (0 6 ξ 6 2h). ‡ ¤ ç ᨬ¬¥âà¨ç­
®â­®á¨â¥«ì­® á।­¥© «¨­¨¨ ξ = h, ¯®í⮬㠤®áâ â®ç­® à áᬮâà¥âì
¯®«®¢¨­ã ®¡« á⨠0 6 ξ 6 h.
“áâ ­®¢¨¢è¥¬ãáï â¥ç¥­¨î ¢¤ «¨ ®â ¢å®¤ ¢ ª ­ « ᮮ⢥âáâ¢ã¥â
¯®áâ®ï­­ë© ®âà¨æ ⥫ì­ë© £à ¤¨¥­â ¤ ¢«¥­¨ï ∂P/∂X = −
P/L =
= onst (
P | ¯¥à¥¯ ¤ ¤ ¢«¥­¨ï ­ ¤«¨­¥ ª ­ « L), ¯à¨ í⮬
¯®¯¥à¥ç­ ï ª®¬¯®­¥­â ᪮à®á⨠¨¤ª®áâ¨ à ¢­ ­ã«î. Ǒத®«ì­ ï
á®áâ ¢«ïîé ï ᪮à®á⨠V = VX § ¢¨á¨â ⮫쪮 ®â ª®®à¤¨­ âë ξ ¨
®¯¨áë¢ ¥âáï ãà ¢­¥­¨¥¬ τξ′ = −
P/L. ˆ­â¥£à¨àãï íâ® ãà ¢­¥­¨¥ á
ãç¥â®¬ ãá«®¢¨ï ᨬ¬¥âਨ (τ = 0 ¯à¨ ξ = h), ¨¬¥¥¬

P
τ=
(h − ξ ).
(7.4.15)
L

”®à¬ã« (7.4.15) á â®ç­®áâìî ¤® ¯¥à¥®¡®§­ 祭¨ï (
P/L →
ᮢ¯ ¤ ¥â á ¢ëà ¥­¨¥¬ ¤«ï ᤢ¨£®¢®£® ­ ¯à省¨ï
(7.2.5), ¯®«ã祭­®£® à ­¥¥ ¤«ï ¯«¥­®ç­®£® â¥ç¥­¨ï. Ǒ®í⮬㠯à®ä¨«ì
᪮à®á⨠V ¢ ¯«®áª®¬ ª ­ «¥ (¢ ®¡« á⨠0 6 ξ 6 h), ¬ ªá¨¬ «ì­ãî
᪮à®áâì Umax , á।­îî ᪮à®áâì hV i ¤«ï ­¥«¨­¥©­®-¢ï§ª¨å ¨¤ª®á⥩ ¬®­® ¢ëç¨á«ïâì ¯® ä®à¬ã« ¬ (7.2.8) | (7.2.10), ¤«ï ¢ï§ª®¯« áâ¨ç­ëå ¨¤ª®á⥩ | ¯® ä®à¬ã« ¬ (7.2.17) | (7.2.19), ä®à¬ «ì­®
¯®« £ ï ¢ ­¨å ρg sin α =
P/L.
„«ï á⥯¥­­®© ¨¤ª®á⨠¨ ¨¤ª®á⨠˜¢¥¤®¢ | ¨­£ ¬ ®á­®¢­ë¥ å à ªâ¥à¨á⨪¨ â¥ç¥­¨ï ¢ ¯«®áª®¬ ª ­ «¥ ¬®­® ­ ©â¨ á ¯®¬®éìî â ¡«. 7.4, £¤¥ á«¥¤ã¥â ¯®«®¨âì m =
P/L.
„¢¨¥­¨¥ £ §®¨¤ª®áâ­ëå ¯¥­ ¯® âàã¡ ¬. ‚®§¤ãè­ë¥ ¯¥­ë ­ ®á­®¢¥ ¢®¤­ëå à á⢮஢ ¨®­®£¥­­ëå ¯®¢¥àå­®áâ­®- ªâ¨¢­ëå
¢¥é¥á⢠¯à¥¤áâ ¢«ïîâ ᮡ®© áâàãªâãà­®-¬¥â áâ ¡¨«ì­ë¥ ¤¨á¯¥àá­ë¥
á¨á⥬ë. ᫨ ¢­¥è­¨¥ ¢®§¤¥©á⢨ï (¬ áᮢë¥, í«¥ªâà®ä¨§¨ç¥áª¨¥,
â¥à¬¨ç¥áª¨¥, ¤¥ä®à¬ 樮­­ë¥) ­¥ ¯à¥¢ëè îâ ­¥ª®â®à®£® ¯®à®£®¢®£®
§­ 祭¨ï, â ª¨¥ ¯¥­ë ¬®£ãâ áãé¥á⢮¢ âì, ¬¥¤«¥­­® í¢®«î樮­¨àãï,
¤®áâ â®ç­® ¤®«£® (103 ÷ 104 ᥪ), ¨ ¢ í⮬ á¬ëá«¥ ¬®­® £®¢®à¨âì ®¡
¨å £¨¤à ¢«¨ç¥áª¨å ¨ ८«®£¨ç¥áª¨å ᢮©á⢠å.
‚ à ¡®â å [108, 176℄ íªá¯¥à¨¬¥­â «ì­® ¨áá«¥¤®¢ «®áì ­ ¯®à­®¥
¤¢¨¥­¨¥ ¯¥­ë ¯® âàã¡ ¬ á ­¥à §àãè î騬¨ ᪮à®áâﬨ (á।­ïï ᪮à®áâì ­¥ ¯à¥¢ëè « 1 ¬/ᥪ). ë«® ãáâ ­®¢«¥­®, çâ® ¢®¤­®áã«ìä®­®«ì­ ï ¢®§¤ãè­ ï ¯¥­ ®¡« ¤ ¥â ᢮©á⢠¬¨ ¢ï§ª®¯« áâ¨ç­®© ¨¤ª®á⨠˜¢¥¤®¢ | ¨­£ ¬ . Ǒਠâ¥ç¥­¨¨ ¢ ªà㣫®© âàã¡¥
à ¤¨ãá a ¯®¤ ¤¥©á⢨¥¬ £à ¤¨¥­â ¤ ¢«¥­¨ï
P/L ®­ ¨¬¥¥â ç¥âª® ¢ëà ¥­­®¥ ª¢ §¨â¢¥à¤®¥ ï¤à® à ¤¨ãá r0 = τ0 L/
P ¨ ᪮à®áâì
᪮«ì¥­¨ï ®â­®á¨â¥«ì­® á⥭®ª âàã¡ë Vsl = 2πa
P δ/µ ¯® ¨¤ª®¬ã
á«®î ⮫騭®© δ á «¨­¥©­ë¬ à á¯à¥¤¥«¥­¨¥¬ ᪮à®áâ¨. „«ï ८«®£¨ç¥áª¨å ¯ à ¬¥â஢ ¯¥­ë | ¯à¥¤¥«ì­®£® ­ ¯à省¨ï ᤢ¨£ τ0 , ª®íää¨æ¨¥­â ¡¨­£ ¬®¢áª®© ¢ï§ª®á⨠µp ¨ ⮫騭ë ᬠ§®ç­®£® á«®ï δ |
→ ρg sin α)

270

¥­ìîâ®­®¢áª¨¥ ¨¤ª®áâ¨

­ ©¤¥­ë á«¥¤ãî騥 í¬¯¨à¨ç¥áª¨¥ ª®à५ï樨, ¢ëà  î騥 ¨å ç¥à¥§ ¨á室­ë¥ ¯ à ¬¥âàë:
τ0 ρd2
µ2
µp
µ
δ
d

0,49  3 2 0,35
σρd
gd ρ
,
2
µ
µ2

2  3 2 −0,98
σρd
gd ρ
−5 0,99
= 8,8 · 10 κ
,
µ2
µ2

−0,46  3 2 0,1
σρd
gd ρ
= 0,2κ0,099
,
2
µ
µ2

= 0,61κ0,18



(7.4.16)

£¤¥ ρ | ¯«®â­®áâì à á⢮à , µ | ¤¨­ ¬¨ç¥áª ï ¢ï§ª®áâì à á⢮à ,
σ | ª®íää¨æ¨¥­â ¯®¢¥àå­®áâ­®£® ­ â省¨ï, κ | ªà â­®áâì ¯¥­ë
(¢¥«¨ç¨­ , ®¡à â­ ï ®¡ê¥¬­®¬ã ¢« £®á®¤¥à ­¨î ¯¥­ë), d | ¤¨á¯¥àá­®áâì ¯¥­ë (á।­¨© ¤¨ ¬¥âà ¯ã§ëàìª ). Ǒ®£à¥è­®á⨠¯¥à¢®©,
¢â®à®© ¨ âà¥â쥩 ä®à¬ã« (7.4.16) ᮮ⢥âá⢥­­® á®áâ ¢«ïîâ ±10%,
±17% ¨ ±32%.
Š®à५ï樨 ¯®«ãç¥­ë ­ £« ¤ª¨å âàã¡ å à ¤¨ãᮬ 5 ÷ 40 ¬¬. ‚
ª ç¥á⢥ à á⢮à Ǒ€‚ ¢® ¢á¥å ®¯ëâ å ¨á¯®«ì§®¢ «áï 0,4%-­ë© à á⢮à áã«ìä®­®« ¢ ¤¨á⨫«¨à®¢ ­­®© ¢®¤¥ á ᮤ¥à ­¨¥¬ £«¨æ¥à¨­
5,2 ¨ 30 ¬ áᮢëå ¯à®æ¥­â®¢ (¤«ï ¢ ਠ樨 ¢ï§ª®áâ¨). ‚¥«¨ç¨­ë ρ ¨ σ
¯à¨ í⮬ ¢ àì¨à®¢ «¨áì ¢¥áì¬ á« ¡®. Šà â­®áâì ¯¥­ë κ ¬¥­ï« áì ¢
¯à¥¤¥« å 36 ÷ 322, ¤¨á¯¥àá­®áâì ¯¥­ë d | ¢ ¯à¥¤¥« å 0,35 ÷ 1,0 ¬¬,
¢ï§ª®áâì à áâ¢®à µ | ¢ ¯à¥¤¥« å 1,5 ÷ 10,5 Ǒ · ᥪ.
Žâ¬¥â¨¬, çâ® τ0 ¨ µp à áâãâ á 㢥«¨ç¥­¨¥¬ ªà â­®áâ¨ κ ¨ ã¡ë¢ îâ
á à®á⮬ ¤¨á¯¥àá­®á⨠d. ‚ â® ¥ ¢à¥¬ï § ¢¨á¨¬®áâì τ0 ¨ µp ®â
¢ï§ª®á⨠à áâ¢®à µ ­®á¨â ª ç¥á⢥­­® à §­ë© å à ªâ¥à. ᫨ τ0
à áâ¥â á 㢥«¨ç¥­¨¥¬ µ, â® µp á à®á⮬ µ ã¡ë¢ ¥â. â® ®§­ ç ¥â,
çâ® ¯¥­ á ¡®«ì襩 ªà â­®áâìî ¨¤ª®© ä §ë ¡«¨¥ ª ¨¤¥ «ì­®
¯« áâ¨ç¥áª®© ¨¤ª®áâ¨ á ¡®«¥¥ ¢ë᮪¨¬ ¯à¥¤¥«®¬ ⥪ãç¥áâ¨.
7.5. ’¥¯«®¯¥à¥­®á ¢ ¯«®áª®¬ ª ­ «¥ ¨
ªà㣫®© âàã¡¥ (á ãç¥â®¬ ¤¨áᨯ 樨)

Ǒ«®áª¨© ª ­ «.  áᬮâਬ § ¤ çã ® ¤¨áᨯ ⨢­®¬ ­ £à¥¢¥ ­¥­ìîâ®­®¢áª®© ¨¤ª®á⨠¢ ¯«®áª®¬ ª ­ «¥ á ¨§®â¥à¬¨ç¥áª¨¬¨
á⥭ª ¬¨, ­ ª®â®àëå ¯®¤¤¥à¨¢ ¥âáï ®¤¨­ ª®¢ ï ¯®áâ®ï­­ ï ⥬¯¥à âãà
ξ = 0, T = T s ;
ξ = 2h, T = Ts .
(7.5.1)
(‡¤¥áì ¨á¯®«ì§ã¥âáï á¨á⥬ ª®®à¤¨­ â, ¢¢¥¤¥­­ ï ¢ à §¤. 7.4). ᫨
⥬¯¥à âãà ¨¤ª®á⨠­ ¢å®¤¥ à ¢­ ⥬¯¥à âãॠá⥭®ª Ts , â® ­
¯à®â省¨¨ ­¥ª®â®à®£® ãç á⪠âàã¡ë ¢á«¥¤á⢨¥ ¢­ãâ७­¥£® â७¨ï ¨¤ª®áâì ¯®á⥯¥­­® ­ £à¥¢ ¥âáï ¤® â¥å ¯®à, ¯®ª ª®«¨ç¥á⢮

271

7.5. ’¥¯«®¯¥à¥­®á ¢ ¯«®áª®¬ ª ­ «¥ ¨ ªà㣫®© âàã¡¥

⥯« , ®â¢®¤¨¬®¥ ç¥à¥§ á⥭ªã, ­¥ áâ ­¥â à ¢­ë¬ ¤¨áᨯ ⨢­ë¬ ⥯«®¢ë¤¥«¥­¨ï¬. ‚ ®¡« áâ¨, ¢ ª®â®à®© ãáâ ­®¢¨âáï â ª®¥ à ¢­®¢¥á¨¥,
⥬¯¥à âãà ¨¤ª®á⨠¯¥à¥áâ ­¥â ¨§¬¥­ïâìáï ¯® ¤«¨­¥, â.¥. ­ áâ㯨â
áâ ¡¨«¨§ æ¨ï ⥬¯¥à âãà­®£® ¯®«ï (¥á«¨, ª®­¥ç­®, ¯à®ä¨«ì ᪮à®áâ¨
â ª¥ áâ ¡¨«¨§¨à®¢ «áï). „ «¥¥ ­ «¨§¨àã¥âáï ¨¬¥­­® â ª®¥ â¥à¬¨ç¥áª¨ ¨ £¨¤à®¤¨­ ¬¨ç¥áª¨ áâ ¡¨«¨§¨à®¢ ­­®¥ â¥ç¥­¨¥.
‘«¥¤ãï [84, 103℄ ¡ã¤¥¬ ¯à¥¤¯®« £ âì, ç⮠⥯«®¢ë¤¥«¥­¨¥ ­¥
¢«¨ï¥â ­ 䨧¨ç¥áª¨¥ ᢮©á⢠¨¤ª®á⨠(â.¥. ª ãé ïáï ¢ï§ª®áâì,
¯«®â­®áâì, ⥯«®¯à®¢®¤­®áâì ­¥ § ¢¨áïâ ®â ⥬¯¥à âãàë). ‚ í⮬
á«ãç ¥ ¯à®ä¨«ì ᪮à®á⨠­ 室¨âáï ­¥§ ¢¨á¨¬® ®â ⥯«®¢®© § ¤ ç¨
(á¬. à §¤. 7.4).
‚ ®¡é¥¬ á«ãç ¥ ãà ¢­¥­¨¥ ¤«ï à á¯à¥¤¥«¥­¨ï ⥬¯¥à âãàë ¢
®¡« á⨠⥯«®¢®© áâ ¡¨«¨§ 樨 ¯®«ãç ¥âáï ¨§ ¢â®à®£® ãà ¢­¥­¨ï,
¯à¨¢¥¤¥­­®£® ¢ ¯à¨«®¥­¨¨ 6 (£¤¥ ª®­¢¥ªâ¨¢­ë¥ ç«¥­ë à ¢­ë ­ã«î,
⥬¯¥à âãà § ¢¨á¨â ⮫쪮 ®â ¯®¯¥à¥ç­®© ª®®à¤¨­ âë), ¨ ¨¬¥¥â ¢¨¤
′′
λTξξ
+ τ Vξ′

= 0,

(7.5.2)

£¤¥ λ | ª®íää¨æ¨¥­â ⥯«®¯à®¢®¤­®áâ¨, τ = µVξ′ | ᤢ¨£®¢®¥ ­ ¯à省¨¥, µ | ª ãé ïáï ¢ï§ª®áâì ¨¤ª®áâ¨, èâà¨å ®¡®§­ ç ¥â ¯à®¨§¢®¤­ãî ¯® ξ .
‚¢¨¤ã ᨬ¬¥âਨ § ¤ ç¨ ®â­®á¨â¥«ì­® á¥à¥¤¨­ë ª ­ « ξ = h
¤®áâ â®ç­® à áᬮâà¥âì ¯®«®¢¨­ã ®¡« á⨠0 6 ξ 6 h, ­ £à ­¨æ¥
ª®â®à®© á«¥¤ã¥â ¢ëáâ ¢¨âì ãá«®¢¨¥ ᨬ¬¥âਨ
ξ

= h,

Tξ′

= 0.

(7.5.3)

 áᬮâਬ á«ãç © ¯à®¨§¢®«ì­®© ¢ï§ª®¯« áâ¨ç­®© ¨¤ª®á⨠á
¯à¥¤¥«®¬ ⥪ãç¥á⨠τ0 ( ­ «®£¨ç­ë¥ १ã«ìâ âë ¤«ï ­¥«¨­¥©­®¢ï§ª¨å ¨¤ª®á⥩ ¡ã¤ãâ ᮮ⢥âá⢮¢ âì §­ 祭¨î τ0 = 0). „«ï ®¯à¥¤¥«¥­¨ï ¯à®ä¨«ï ⥬¯¥à âãàë ¯®áâ㯨¬ á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬. ‘­ ç « ¢ ᤢ¨£®¢®© ¯à¨á⥭®ç­®© §®­¥ 0 6 ξ 6 h − h0 , £¤¥ h0 = τ0 L/
P ,
à¥è ¥¬ ãà ¢­¥­¨¥ (7.5.2) á £à ­¨ç­ë¬ ãá«®¢¨¥¬ (7.5.1). ‡ ⥬ ¢ ª¢ §¨â¢¥à¤®© §®­¥ h − h0 6 ξ 6 h à¥è ¥¬ ãà ¢­¥­¨¥ (7.5.2) ¯à¨ Vξ′ = 0 á
£à ­¨ç­ë¬ ãá«®¢¨¥¬ (7.5.3). ‡ ⥬ ®¡ ¯®«ã祭­ëå à¥è¥­¨ï ᮯàï£ îâáï ­ ®¡é¥© £à ­¨æ¥ ¯à¨ ξ = h0 . “ª § ­­ ï ¯à®æ¥¤ãà ¯à¨¢®¤¨â ª
á«¥¤ãî饬ã à á¯à¥¤¥«¥­¨î ⥬¯¥à âãàë ¢ ª ­ «¥:
T − Ts

=







1
λ

Z ξ Z
0

h−h0

ξ

τ Vξ′



¯à¨ 0 6 ξ 6 h − h0 ,

dξ dξ

(7.5.4)

¯à¨ h − h0 6 ξ 6 h,
£¤¥ ¬ ªá¨¬ «ì­ ï ⥬¯¥à âãà Tmax ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¢ëà ¥­¨¥¬
Tmax − Ts

Tmax − Ts

=

1
λ

Z

0

h−h0 Z h−h0
ξ

τ Vξ′



dξ dξ,

h0

=L

τ0
.

P

(7.5.5)

272

¥­ìîâ®­®¢áª¨¥ ¨¤ª®áâ¨

’¥¯«®¢®© ¯®â®ª ­ á⥭ªã ¢ëç¨á«ï¥âáï ¯® ä®à¬ã«¥


dT
qT = λ
dξ ξ=0

=

Z

h−h0

0

(7.5.6)

τ Vξ′ dξ.

‚ á«ãç ¥ á⥯¥­­®© ¨¤ª®á⨠¢ ᮮ⭮襭¨ïå (7.5.4) | (7.5.6)
á«¥¤ã¥â ¯®«®¨âì h0 = 0 ¨ ¯®¤áâ ¢¨âì § ¢¨á¨¬®áâì τ = k(Vξ′ )n .
¥§ã«ìâ âë ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å ¢ëç¨á«¥­¨© ¯®¬¥é¥­ë ¢ â ¡«. 7.6. ’ ¬
¥ ¯à¨¢¥¤¥­ë ®á­®¢­ë¥ ¯ à ¬¥âàë ⥯«®®¡¬¥­ ¢ï§ª®¯« áâ¨ç­®©
¨¤ª®á⨠˜¢¥¤®¢ | ¨­£ ¬ (­ìîâ®­®¢áª®© ¨¤ª®á⨠®â¢¥ç îâ
§­ 祭¨ï τ0 = 0, µp = µ).
Šà㣫 ï âàã¡ . Ǒਠâ¥å ¥ ¯à¥¤¯®«®¥­¨ïå (⥬¯¥à âãà âàã¡ë ¯®áâ®ï­­ ¨ à ¢­ Ts , 䨧¨ç¥áª¨¥ ᢮©á⢠áà¥¤ë ­¥ § ¢¨áïâ ®â
⥬¯¥à âãàë) à á¯à¥¤¥«¥­¨¥ ⥬¯¥à âãàë ¢ ®¡« á⨠⥯«®¢®© áâ ¡¨«¨§ 樨 ¤«ï ªà㣫®© âàã¡ë à ¤¨ãá a á ãç¥â®¬ ¤¨áᨯ ⨢­®£® à §®£à¥¢ ®¯¨áë¢ ¥âáï á«¥¤ãî騬¨ ãà ¢­¥­¨¥¬ ¨ £à ­¨ç­ë¬¨ ãá«®¢¨ï¬¨:


dT
λ d
= −τ VR′ ;
R
R dR
dR
dT
R = 0, R
= 0;
R = a, T
dR

(7.5.7)
= Ts ,

£¤¥ τ | ᤢ¨£®¢®¥ ­ ¯à省¨¥, V | ᪮à®áâì ¨¤ª®áâ¨.
„«ï ¢ï§ª®¯« áâ¨ç­ëå á। á ¯à¥¤¥«®¬ ⥪ãç¥áâ¨
§ ¤ ç¨ (7.5.7), (7.5.8) ¨¬¥¥â ¢¨¤
T − Ts

=







1
λ


dR
τ VR′ R dR
R
r0

Z a Z
R

R

Tmax − Ts

¯à¨

=

1
λ

Z a Z

τ0

à¥è¥­¨¥

r0 6 R 6 a,

(7.5.9)

¯à¨ 0 6 R 6 r0 ,

£¤¥ r0 = 2Lτ0 /
P , ¬ ªá¨¬ «ì­ ï ⥬¯¥à âãà
Tmax − Ts

Tmax ¢ëç¨á«ï¥âáï â


dR
τ VR′ R dR
.
R
r0

r0

(7.5.8)

R

ª:

(7.5.10)

’¥¯«®¢®© ¯®â®ª ­ á⥭ªã âàã¡ë ­ 室¨âáï á ¯®¬®éìî ¢ëà ¥­¨ï
qT

=

1
λ

Z

a

r0

τ VR′ R dR.

(7.5.11)

„«ï ­¥«¨­¥©­®-¢ï§ª¨å ¨¤ª®á⥩ ®á­®¢­ë¥ ¯ à ¬¥âàë ⥯«®®¡¬¥­ ®¯à¥¤¥«ïîâáï ¯® ä®à¬ã« ¬ (7.5.9) | (7.5.11), £¤¥ r0 = 0.

7.5. ’¥¯«®¯¥à¥­®á ¢ ¯«®áª®¬ ª ­ «¥ ¨ ªà㣫®© âàã¡¥

273

274

¥­ìîâ®­®¢áª¨¥ ¨¤ª®áâ¨

„«ï á⥯¥­­®© ¨¤ª®á⨠¨ ¨¤ª®á⨠˜¢¥¤®¢ | ¨­£ ¬ १ã«ìâ âë ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å ¢ëç¨á«¥­¨© ¯à¨¢¥¤¥­ë ¢ â ¡«. 7.6 (­ìîâ®­®¢áª®© ¨¤ª®á⨠®â¢¥ç ¥â §­ 祭¨¥ τ0 = 0).
Œ ªá¨¬ «ì­ë© ¯¥à¥¯ ¤ ⥬¯¥à âãàë ¤«ï á⥯¥­­®© ¨¤ª®á⨠¢
ªà㣫®© âàã¡¥ ᮣ« á­® ¤ ­­ë¬ â ¡«. 7.5 ¨ â ¡«. 7.6 ¬®­® ¢ëà §¨âì
ç¥à¥§ á।­îî ᪮à®áâì ¯®â®ª hV i á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬:
Tmax − Ts

=

k  3n + 1 n−1
(hV i)n+1 .
λ
na

Ǒਠí⮬ ᮮ⢥âáâ¢ãî騩 १ã«ìâ â ¤«ï ­ìîâ®­®¢áª®© ¨¤ª®áâ¨
(n = 1, k = µ) ­¥ § ¢¨á¨â ®â à ¤¨ãá âàã¡ë
Tmax − Ts

=

µ
(hV i)2 .
λ

(7.5.12)

”®à¬ã«ë, ¯®«ã祭­ë¥ ¢ ¤ ­­®¬ à §¤¥«¥, ¯à¨¬¥­¨¬ë ¤«ï ¯®¤ ¢«ïî饣® ¡®«ì設á⢠®¡ëç­ëå ¨¤ª®á⥩. ’¥ç¥­¨ï ®ç¥­ì ¢ï§ª¨å ¨¤ª®á⥩ ¨¬¥îâ å à ªâ¥à­ë¥ ª ç¥á⢥­­ë¥ ®á®¡¥­­®áâ¨, ª®â®àë¥ ®¯¨á ­ë ¢ á«¥¤ãî饬 à §¤¥«¥.
7.6. ƒ¨¤à®¤¨­ ¬¨ç¥áª¨© ⥯«®¢®© ¢§àë¢ ¢
­¥­ìîâ®­®¢áª¨å ¨¤ª®áâïå

Š ç¥á⢥­­ë¥ ®á®¡¥­­®á⨠⥯«®¯¥à¥­®á ¢ ®ç¥­ì ¢ï§ª¨å
¨¤ª®áâïå. ’¥¯«®, ¢®§­¨ª î饥 ¢ ®ç¥­ì ¢ï§ª¨å ¨¤ª®áâïå ¢á«¥¤-

á⢨¥ â७¨ï, ¢ë§ë¢ ¥â §­ ç¨â¥«ì­®¥ ­ £à¥¢ ­¨¥ ¤ ¥ ¯à¨ 㬥७­ëå ᪮à®áâïå ¤¢¨¥­¨ï, ª ª ¯®ª §ë¢ ¥â á«¥¤ãî騩 ¯à¨¬¥à. ‚離®áâì ¨ ª®íää¨æ¨¥­â ⥯«®¯à®¢®¤­®á⨠¬®â®à­®£® ¬ á« ¯à¨ ª®¬­ â­®© ⥬¯¥à âãॠ(Ts = 20◦C), ᮣ« á­® ¤ ­­ë¬ â ¡«. 7.7 à ¢­ë:
µ = 0,8 ª£/¬·á¥ª, λ = 0,15 ­/ᥪ·£à ¤. Ǒ®¤áâ ¢¨¢ í⨠§­ 祭¨ï ¢ ä®à¬ã«ã (7.5.12), ­ 室¨¬
Tmax − Ts

=

 ◦
 5,5 C

22◦C

49,5◦ C

¯à¨
¯à¨
¯à¨

hV i = 1
hV i = 2
hV i = 3

¬/ᥪ,
¬/ᥪ,
¬/ᥪ.

Ǒ®¢ë襭¨¥ ⥬¯¥à âãàë ¬ á« ¯®«ãç ¥âáï áâ®«ì §­ ç¨â¥«ì­ë¬,
ç⮠㥠­¥«ì§ï ­¥ ãç¨âë¢ âì § ¢¨á¨¬®áâì ª®íää¨æ¨¥­â ¢ï§ª®á⨠®â
⥬¯¥à âãàë (¨§ â ¡«. 7.7 á«¥¤ã¥â, çâ® ¯à¨ ¨§¬¥­¥­¨¨ ⥬¯¥à âãàë
®â 20 ¤® 60◦C ¢ï§ª®áâì ¬¥­ï¥âáï ¡®«¥¥ 祬 ¢ 10 à §); ¯à¨ í⮬ ¨§¬¥­¥­¨¥ 㤥«ì­®© ⥯«®¥¬ª®á⨠¨ ⥯«®¯à®¢®¤­®á⨠¬ á« ­¥§­ ç¨â¥«ì­®
¨ í⨠¢¥«¨ç¨­ë ¢ ¯¥à¢®¬ ¯à¨¡«¨¥­¨¨ ¬®­® áç¨â âì ¯®áâ®ï­­ë¬¨.

7.6. ƒ¨¤à®¤¨­ ¬¨ç¥áª¨© ⥯«®¢®© ¢§àë¢

275

276

¥­ìîâ®­®¢áª¨¥ ¨¤ª®áâ¨

ˆáá«¥¤®¢ ­¨¥ ­¥«¨­¥©­ëå íä䥪⮢, á¢ï§ ­­ëå á ¨§¬¥­¥­¨¥¬ ¢ï§ª®á⨠®â ⥬¯¥à âãàë, ¡ã¤¥â ¯à®¢¥¤¥­® ­¨¥.

¥®«®£¨ç¥áª®¥ ãà ¢­¥­¨¥ ¢ ­¥¨§®â¥à¬¨ç¥áª®¬ á«ãç ¥.

 ¨¡®«¥¥ ®¡é¥¥ ®¤­®¬¥à­®¥ ­¥¨§®â¥à¬¨ç¥áª®¥ ãà ¢­¥­¨¥ á®áâ®ï­¨ï
­¥­ìîâ®­®¢áª®© ¨¤ª®á⨠¬®­® § ¯¨á âì ¢ ¢¨¤¥ F (τ, γ,
_ T ) = 0, £¤¥
τ | ª á ⥫쭮¥ ­ ¯à省¨¥, γ_ | ᪮à®áâì ᤢ¨£ , T | ⥬¯¥à âãà .
¥ª®â®àë¥ ª®­ªà¥â­ë¥ ⨯ë ãà ¢­¥­¨ï á®áâ®ï­¨ï ®¯¨á ­ë ¢ â ¡«. 7.1
¨ â ¡«. 7.3, £¤¥ ८«®£¨ç¥áª¨¥ ¯ à ¬¥âàë n, A, B , C , µ0 , µ∞ , τ0 á«¥¤ã¥â
áç¨â âì § ¢¨áï騬¨ ®â ⥬¯¥à âãàë T .
 áᬮâਬ ¯®¤à®¡­¥¥ á⥯¥­­ãî ¨¤ª®áâì. ªá¯¥à¨¬¥­âë [47℄
¯®ª §ë¢ îâ, çâ® ¨­¤¥ªá ­¥­ìîâ®­®¢áª®£® ¯®¢¥¤¥­¨ï ¬ â¥à¨ « n
¬®­® áç¨â âì ¯®áâ®ï­­ë¬, ¥á«¨ ⥬¯¥à âãà­ë¥ ¯¥à¥¯ ¤ë ¢ ®¡« áâ¨
â¥ç¥­¨ï ­¥ ¯à¥¢ëè îâ 30 ÷ 50◦ C. Š®­á¨á⥭æ¨ï á।ë k = k(T )
£®à §¤® ¡®«¥¥ çã¢áâ¢¨â¥«ì­ ª ⥬¯¥à âãà­ë¬ ­¥®¤­®à®¤­®áâï¬ ¨
㬥­ìè ¥âáï ¯à¨ ã¢¥«¨ç¥­¨¨ T . Ǒ®í⮬ã ãà ¢­¥­¨¥ ८«®£¨ç¥áª®£®
á®áâ®ï­¨ï á⥯¥­­®© ¨¤ª®á⨠¢ ­¥¨§®â¥à¬¨ç¥áª®¬ á«ãç ¥ ¬®­®
§ ¯¨á âì á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬:
τ

_
= k(T )|γ|
_ n−1 γ.

(7.6.1)

Ǒ®ª ¥¬ ⥯¥àì, çâ® ¯à¨ ­¥¨§®â¥à¬¨ç¥áª®¬ ¤¢¨¥­¨¨ ¨¤ª®áâ¨
¢ âàã¡ å ¨ ª ­ « å ¬®£ãâ ¢®§­¨ª âì ªà¨â¨ç¥áª¨¥ ¥­¨ï, á¢ï§ ­­ë¥
á áãé¥á⢮¢ ­¨¥¬ ¯à¥¤¥«ì­® ¤®¯ãá⨬®£® £à ¤¨¥­â ¤ ¢«¥­¨ï, ¯à¥¢ë襭¨¥ ª®â®à®£® ­ àãè ¥â áâ 樮­ à­ë© २¬ â¥ç¥­¨ï. Ž¯¨á ­­®¥
¥­¨¥ ᮯ஢®¤ ¥âáï ¯à®£à¥áá¨àãî騬 㬥­ì襭¨¥¬ ª ã饩áï
¢ï§ª®á⨠¨ 㢥«¨ç¥­¨¥¬ ᪮à®á⨠¨¤ª®á⨠¨ ¯®«ã稫® ­ §¢ ­¨¥ £¨¤à®¤¨­ ¬¨ç¥áª®£® ⥯«®¢®£® ¢§àë¢ [22℄. “ª § ­­ë© íä䥪⠮¡ãá«®¢«¥­ ­¥«¨­¥©­®© § ¢¨á¨¬®áâìî ª ã饩áï ¢ï§ª®á⨠®â ⥬¯¥à âãàë ¨
¯à®ï¢«ï¥âáï ¢ ⮬, çâ® ¯à¨ ­¥ª®â®àëå ¢­¥è­¨å ãá«®¢¨ïå £¥­¥à æ¨ï
⥯« ¢ ¨¤ª®á⨠§ áç¥â â७¨ï ¯à¥¢ëè ¥â ⥯«®®â¢®¤ ª á⥭ª ¬
âàã¡ë.
„ «¥¥ ¯à¨­¨¬ ¥âáï, ç⮠⥯«®¯à®¢®¤­®áâì áà¥¤ë ­¥ § ¢¨á¨â ®â
⥬¯¥à âãàë.
“à ¢­¥­¨¥ ¤«ï à á¯à¥¤¥«¥­¨ï ⥬¯¥à âãàë. ¥¨§®â¥à¬¨ç¥áª®¥ ¯àאַ«¨­¥©­®¥ áâ 樮­ à­®¥ â¥ç¥­¨¥ á⥯¥­­®© ¨¤ª®á⨠¢
ªà㣫®© âàã¡¥ à ¤¨ãá a ¯à¨ ¯®áâ®ï­­®© ⥬¯¥à âãॠ­ ¥¥ ¯®¢¥àå­®á⨠­ ãç á⪥ £¨¤à®¤¨­ ¬¨ç¥áª®© ¨ ⥯«®¢®© áâ ¡¨«¨§ 樨 ®¯¨áë¢ ¥âáï ãà ¢­¥­¨ï¬¨ (7.4.1), (7.5.7), (7.6.1).  á⥭ª¥ âàã¡ë ¢ëáâ ¢«ï¥âáï ãá«®¢¨¥ ¯à¨«¨¯ ­¨ï, £à ­¨ç­ë¥ ãá«®¢¨ï ¤«ï ⥬¯¥à âãàë
¯à¨¢¥¤¥­ë ¢ (7.5.8).
¥è¥­¨¥ ãà ¢­¥­¨ï (7.4.1), ®£à ­¨ç¥­­®¥ ¯à¨ R → 0, ¤ ¥âáï
ä®à¬ã«®© (7.4.2). ˆáª«îç ï τ ¨§ (7.5.7) á ¯®¬®éìî (7.4.2), ¨¬¥¥¬
VR′

=

2λ

(RTR′ )′R ,
AR2

τ

=−

AR

2

,

(7.6.2)

277

7.6. ƒ¨¤à®¤¨­ ¬¨ç¥áª¨© ⥯«®¢®© ¢§àë¢

£¤¥ A =
P/L | £à ¤¨¥­â ¤ ¢«¥­¨ï.
Ǒ®¤áâ ¢«ïï í⨠¢ëà ¥­¨ï ¢ (7.6.1), ¯®á«¥ í«¥¬¥­â à­ëå ¯à¥®¡à §®¢ ­¨© ¯à¨å®¤¨¬ ª ãà ¢­¥­¨î ¤«ï ⥬¯¥à âãàë
n+1 
− 1
1 
P  n+1
n
(7.6.3)
R n k (T ) n = 0,
R
λ 2L
ª®â®à®¥ á«¥¤ã¥â ¤®¯®«­¨âì £à ­¨ç­ë¬¨ ãá«®¢¨ï¬¨ (7.5.8).
ˆ§ ä®à¬ã«ë (7.6.1) ¯®«ã稬 ¢ëà ¥­¨¥ ¤«ï ᪮à®á⨠¨¤ª®áâ¨
′′
TRR
+

1

′
+
TR

V

=


P 1/n Z a  R 1/n
dR,
2L
k (T )
R

(7.6.4)

ª®â®à®¥ ¬®­® ¨á¯®«ì§®¢ âì ¯®á«¥ ®¯à¥¤¥«¥­¨ï § ¢¨á¨¬®á⨠T = T (R)
¯ã⥬ à¥è¥­¨ï § ¤ ç¨ (7.6.3), (7.5.8).

ªá¯®­¥­æ¨ «ì­ ï § ¢¨á¨¬®áâì ª®­á¨á⥭樨 ®â ⥬¯¥à âãàë. „«ï ®ç¥­ì ¢ï§ª¨å ­ìîâ®­®¢áª¨å ¨¤ª®á⥩ (⨯ £«¨æ¥à¨­ )

®¡ëç­® ¨á¯®«ì§ã¥âáï íªá¯®­¥­æ¨ «ì­ ï § ¢¨á¨¬®áâì ¢ï§ª®á⨠®â ⥬¯¥à âãàë [175℄.  á¯à®áâà ­ïï íâ®â § ª®­ ­ ª®­á¨á⥭æ¨î á⥯¥­­®©
¨¤ª®áâ¨, § ¯¨è¥¬ [22, 93, 111, 185℄
k

= k0 exp



−α(T − T0 ) ,

(7.6.5)

£¤¥ k0 , α, T0 | í¬¯¨à¨ç¥áª¨¥ ¯®áâ®ï­­ë¥.
Ǒ®¤áâ ¢¨¬ ¢ëà ¥­¨¥ (7.6.5) ¢ ãà ¢­¥­¨¥ (7.6.3) ¨ ¢¢¥¤¥¬ ­®¢ë¥
¯¥à¥¬¥­­ë¥
y

=

 R  3n+1
2n
,
a

w

α
(T − Ts ).
n

=

‚ १ã«ìâ ⥠¯®«ã稬 § ¤ çã

′′
ywyy
+ wy′

y

= 0,

+ εn yew = 0;
(ywy′ ) = 0;
y = 1,

(7.6.6)

(7.6.7)

w = 0,

£¤¥ ¯ à ¬¥âà εn ®¯à¥¤¥«ï¥âáï á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬:
εn

=

4nαa2 k0  a
P 
λ(3n + 1)2 2k0 L

n+1
n



exp


α
(Ts − T ) .
n

(7.6.8)

‡ ¤ ç (7.6.7) á â®ç­®áâìî ¤® ¯¥à¥®¡®§­ 祭¨© ᮢ¯ ¤ ¥â á ª« áá¨ç¥áª®© § ¤ 祩 ® ⥯«®¢®¬ ¢§à뢥 [175℄. “ª § ­­®¥ ®¡áâ®ï⥫ìá⢮ á ãç¥â®¬ ä®à¬ã«ë (7.6.6) ¯®§¢®«ï¥â ­ ©â¨ à á¯à¥¤¥«¥­¨¥ ⥬¯¥à âãàë ¢­ãâਠâàã¡ë ¤«ï ­¥¨§®â¥à¬¨ç¥áª®£® â¥ç¥­¨ï á⥯¥­­®©
¨¤ª®á⨠[21℄
T

= Ts +

n
α

ln

8
εn

−

2n
α

   3n+1
R
n
b
a

ln

+

1
b



.

(7.6.9)

278

¥­ìîâ®­®¢áª¨¥ ¨¤ª®áâ¨

‡¤¥áì ¯®áâ®ï­­ ï ¨­â¥£à¨à®¢ ­¨ï b 㤮¢«¥â¢®àï¥â ª¢ ¤à â­®¬ã ãà ¢­¥­¨î á ª®à­ï¬¨
b1 =



2
εn

1/2

−



2
εn

−1

1/2

b2 =

,



2
εn

1/2

+



2
εn

−1

1/2

(7.6.10)

,

£¤¥ ¯ à ¬¥âà εn ¢ë¯¨á ­ ¢ (7.6.8). â¨¬ ¤¢ã¬ ª®à­ï¬ ᮮ⢥âáâ¢ãîâ
¤¢ à §«¨ç­ëå ¯à®ä¨«ï ⥬¯¥à âãà; ãá⮩稢®¥ à¥è¥­¨¥ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ª®à­¥¬ b1 , ­¥ãá⮩稢®¥ | ª®à­¥¬ b2 . Šà¨â¨ç¥áª®¥ ãá«®¢¨¥ ¢®§­¨ª­®¢¥­¨ï ⥯«®¢®£® ¢§àë¢ å à ªâ¥à¨§ã¥âáï à ¢¥­á⢮¬ ª®­áâ ­â
b1 = b2 ¢ (7.6.10) ¨ ᮮ⢥âáâ¢ã¥â §­ 祭¨î εn = 2. Ǒਠεn > 2 § ¤ ç (7.6.7) ­¥ ¨¬¥¥â à¥è¥­¨ï, ¯®í⮬㠭¥ áãé¥áâ¢ã¥â áâ 樮­ à­ëå
¯àאַ«¨­¥©­ëå â¥ç¥­¨© ¢ âàã¡¥. ‚ í⮬ á«ãç ¥ ⥯«®, ¢ë¤¥«ïî饥áï
§ áç¥â ¢ï§ª®£® â७¨ï, ­¥ ãᯥ¢ ¥â ®â¢®¤¨âìáï ç¥à¥§ á⥭ª¨ âàã¡ë ¨
¯à¨¢®¤¨â ª ¯à®£à¥áᨢ­®¬ã ­ à áâ ­¨î ⥬¯¥à âãàë (â.¥. ⥯«®¢®¬ã
¢§àë¢ã).
Ž¡®§­ 稬 ⥯¥àì b = b1 ¨ à áᬮâਬ á«ãç © εn < 2.
Ǒ®¤áâ ¢¨¬ ¢ëà ¥­¨¥ (7.6.9) ¢ ä®à¬ã«ã (7.6.4) á ãç¥â®¬ à ¢¥­áâ¢
(7.6.5), (7.6.8). ‚ १ã«ìâ ⥠­ 室¨¬ ᪮à®áâì á⥯¥­­®© ¨¤ª®áâ¨
V

=

Z 1

4(3n + 1)2 λL
nαa2 b2
P

ζ

R/a

1  3n+1
ζ n

n

+ b −2

 −2

(7.6.11)

dζ.

„«ï ­ìîâ®­®¢áª®© ¨¤ª®áâ¨, ç⮠ᮮ⢥âáâ¢ã¥â §­ 祭¨î
¨§ (7.6.11) ¯®«ã稬 á«¥¤ãî騩 ¯à®ä¨«ì [22℄:
V

=

16λbL h b
by
+ ar tg b −
αa2
P 1 + b2
1 + b2 y 2

− ar

tg(by )

i
,

y

=


16λbL  b
+ ar tg b .
2
2
αa
P 1 + b
„«ï á⥯¥­­®© ¨¤ª®á⨠ᥪ㭤­ë© à á室 ¨¤ª®áâ¨
á¥ç¥­¨¥ âàã¡ë à ¢¥­

= 1,

 R 2

Ǒ®« £ ï ¢ (7.6.12) y = 0, ¢ëç¨á«¨¬ ᪮à®áâì ­ ®á¨ âàã¡ë
Umax

n

.
a
(7.6.12)

=

Q = 2π

Z

a

0

V R dR =

4π(3n + 1)λb2 L
.
α(1 + b2 )
P

Q

ç¥à¥§

(7.6.13)

ˆ§®â¥à¬¨ç¥áª®¬ã â¥ç¥­¨î ¨¤ª®á⨠ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¯à¥¤¥«ì­ë©
¯¥à¥å®¤ ¯à¨ α → 0. ˆ§ ä®à¬ã«ë (7.6.10) á«¥¤ã¥â, çâ® b → (εn /8)1/2
¯à¨ εn → 0. “ç¨âë¢ ï ᪠§ ­­®¥, ¯¥à¥¯¨è¥¬ ãà ¢­¥­¨¥ (7.6.13)
á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬:
Q=

8b 2
Q ,
εn (1 + b2 ) is

Qis

=

εn L
1
2 π (3n + 1)λ α
P ,

(7.6.14)

279

7.6. ƒ¨¤à®¤¨­ ¬¨ç¥áª¨© ⥯«®¢®© ¢§àë¢

£¤¥ Qis | à á室 ¨¤ª®á⨠¢ ¨§®â¥à¬¨ç¥áª®¬ á«ãç ¥ ¯à¨ T ≡ Ts .
‚ᯮ¬¨­ ï, çâ® ªà¨â¨ç¥áª¨¥ ãá«®¢¨ï £¨¤à®¤¨­ ¬¨ç¥áª®£® ⥯«®¢®£® ¢§àë¢ å à ªâ¥à¨§ãîâáï ¯à¥¤¥«ì­ë¬¨ §­ 祭¨ï¬¨ εn = 2, b = 1,
¨§ ä®à¬ã«ë (7.6.14) ¨¬¥¥¬
Q∗

= 2Qis .

(7.6.15)

‚¨¤­®, çâ® ¤«ï ­¥¨§®â¥à¬¨ç¥áª®£® â¥ç¥­¨ï á⥯¥­­®© ¨¤ª®áâ¨
¯® ªà㣫®© âàã¡¥ ¯à¨ íªá¯®­¥­æ¨ «ì­®© § ¢¨á¨¬®á⨠ª®­á¨á⥭樨
®â ⥬¯¥à âãàë ¯à¨ «î¡®¬ ¨­¤¥ªá¥ n ªà¨â¨ç¥áª®¥ §­ 祭¨¥ à á室
¢ ¤¢ à § ¡®«ìè¥, 祬 ¢ ¨§®â¥à¬¨ç¥áª®¬ á«ãç ¥.
Žâ¬¥â¨¬, çâ® ¢ à ¡®â¥ [20℄ ¨áá«¥¤®¢ «®áì ­¥¨§®â¥à¬¨ç¥áª®¥ â¥ç¥­¨¥ á⥯¥­­®© ¨¤ª®á⨠¬¥¤ã ¤¢ã¬ï ¯ à ««¥«ì­ë¬¨ ¯«®áª®áâﬨ,
®¤­ ¨§ ª®â®àëå ¤¢¨£ « áì á ¯®áâ®ï­­®© ᪮à®áâìî (â¥ç¥­¨¥ Šãíââ );
â ¬ ¥ à áᬠâਢ «®áì ¡¥§­ ¯®à­®¥ ¤¢¨¥­¨¥ ¢ ª®«ì楢®¬ § §®à¥ ¨
â¥ç¥­¨¥ ¬¥¤ã ¤¢ã¬ï ¢à é î騬¨áï 樫¨­¤à ¬¨ ¢ á«ãç ¥ íªá¯®­¥­æ¨ «ì­®© § ¢¨á¨¬®á⨠ª®­á¨á⥭樨 (7.6.5) ¯à¨ ¯®áâ®ï­­®© ⥬¯¥à âãॠ­ £à ­¨æ å.
‘⥯¥­­ ï § ¢¨á¨¬®áâì ª®­á¨á⥭樨 ®â ⥬¯¥à âãàë. ‚
®¯ëâ å [106℄ ¨áá«¥¤®¢ «¨áì ¢®¤­ë¥ à á⢮àë ª à¡®ªá¨¬¥â¨«æ¥««î«®§ë, ªà¨¢ ï â¥ç¥­¨ï ª®â®àëå å®à®è® ®¯¨áë¢ ¥âáï á⥯¥­­ë¬ ãà ¢­¥­¨¥¬ Žá¢ «ì¤ | ¤¥ ‚¨«ï. ë«® ¯®ª § ­®, çâ® ¯®ª § ⥫ì n ¢ ¤¨ ¯ §®­¥ ⥬¯¥à âãà 15 ÷ 60◦C ¯à ªâ¨ç¥áª¨ ­¥ ¬¥­ï¥âáï, ª®­á¨á⥭æ¨î
áà¥¤ë ¬®­® ¯¯à®ªá¨¬¨à®¢ âì § ¢¨á¨¬®áâìî
k



= k0 1 + Bn

T − T0 −n
,
T0

(7.6.16)

£¤¥ Bn | å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª ï ¯®áâ®ï­­ ï ¬ â¥à¨ « . „¨ ¯ §®­ §­ 祭¨© n ¨á¯®«ì§ã¥¬ëå à á⢮஢ á®áâ ¢«ï« 0,33 ÷ 1,0.
¥è¥­¨¥ § ¤ ç¨ (7.6.3), (7.5.8) ¢ á«ãç ¥ á⥯¥­­®© § ¢¨á¨¬®áâ¨
ª®­á¨á⥭樨 ®â ⥬¯¥à âãàë (7.6.16) ¬®­® ¢ëà §¨âì ç¥à¥§ äã­ªæ¨î ¥áᥫï J0 (x) ¢ ¢¨¤¥ [80℄
Bn T + (1 − Bn )T0
Bn Ts + (1 − Bn )T0

=


3n+1 
J0 σR 2n
 3n+1  ,
J0 σa 2n

(7.6.17)

£¤¥ ª®íää¨æ¨¥­â σ ¢ëç¨á«ï¥âáï ¯® ä®à¬ã«¥
2n
σ=
3n + 1



Bn
λT0

 n+1
1
2
P
2n − 1
k0 2n .
2L

„«ï ­ìîâ®­®¢áª®© ¨¤ª®áâ¨, ç⮠ᮮ⢥âáâ¢ã¥â §­ 祭¨î
ä®à¬ã« (7.6.17) ¡ë« ¢ë¢¥¤¥­ ¢ à ¡®â¥ [84℄.

n

= 1,

280

¥­ìîâ®­®¢áª¨¥ ¨¤ª®áâ¨

Ǒãáâì x1 ≈ 2,405 | ¯¥à¢ë© ª®à¥­ì ä㭪樨 ¥áᥫï J0 (x1 ) = 0. ˆ§
¢ëà ¥­¨ï (7.6.17) ¢¨¤­®, ç⮠㢥«¨ç¨¢ ï £à ¤¨¥­â ¤ ¢«¥­¨ï
P/L
¯® § ª®­ã σa(3n+1)/(2n) → x1 , ¬®­® ¯®«ãç¨âì ᪮«ì 㣮¤­® ¡®«ì訥
§­ 祭¨ï ⥬¯¥à âãàë ­ ®á¨ ¯®â®ª . Ǒਠσa(3n+1)/(2n) > x1 ®£à ­¨ç¥­­®£® à¥è¥­¨ï § ¤ ç¨ (7.6.3), (7.5.8), (7.6.16) ¢®®¡é¥ ­¥ áãé¥áâ¢ã¥â.
‚ í⮬ á«ãç ¥ ⥯«®, ¢ë¤¥«ïî饥áï § áç¥â ¢ï§ª®£® â७¨ï, ­¥ ãᯥ¢ ¥â ®â¢®¤¨âìáï, çâ® ¯à¨¢®¤¨â ª ¡ëáâ஬㠭¥áâ 樮­ à­®¬ã à §®£à¥¢ã
á।ë.
 á¯à¥¤¥«¥­¨¥ ⥬¯¥à âãàë ¢ ¯«®áª®¬ ª ­ «¥ ¯à¨ á⥯¥­­®© § ¢¨á¨¬®á⨠ª®­á¨á⥭樨 áà¥¤ë ®â ⥬¯¥à âãàë (7.6.16) ¯®«ã祭® ¢
[110, 113℄, â ¬ ¥ ®¯¨á ­ë ­¥ª®â®àë¥ ¤à㣨¥ à¥è¥­¨ï.
‚ à ¡®â¥ [109℄ ¨áá«¥¤®¢ « áì ­ «®£¨ç­ ï § ¤ ç ® ­¥¨§®â¥à¬¨ç¥áª®¬ ¯àאַ«¨­¥©­®¬ â¥ç¥­¨¨ ¢ï§ª®¯« áâ¨ç¥áª®© ¨¤ª®á⨠˜¢¥¤®¢ | ¨­£ ¬ ¢ ªà㣫®© âàã¡¥, ª®£¤ ¯à¥¤¥« ⥪ãç¥á⨠¨ ¯« áâ¨ç¥áª ï
¢ï§ª®áâì ®¡à â­® ¯à®¯®à樮­ «ì­ë ⥬¯¥à âãà¥.
„® á¨å ¯®à à áᬠâਢ «¨áì ­¥¨§®â¥à¬¨ç¥áª¨¥ â¥ç¥­¨ï ­¥­ìîâ®­®¢áª¨å ¨¤ª®á⥩ á ãç¥â®¬ ¤¨áᨯ ⨢­®£® à §®£à¥¢ ¨ § ¢¨á¨¬®áâ¨
ª ã饩áï ¢ï§ª®á⨠®â ⥬¯¥à âãàë. Ǒਠí⮬ ⥬¯¥à âãà ­ á⥭ª å ¡ë« ¯®áâ®ï­­ ¨ ®âáãâá⢮¢ « ª®­¢¥ªâ¨¢­ë© ¯¥à¥­®á ⥯« .
‚ à ¡®â å [111{113℄ ¨§ãç «¨áì â¥à¬®£¨¤à®¤¨­ ¬¨ç¥áª¨¥ § ¤ ç¨
­¥­ìîâ®­®¢áª¨å ¨¤ª®á⥩ ¯à¨ ¯¥à¥¬¥­­®© ⥬¯¥à âãॠ¢¤®«ì á⥭®ª âàã¡ë (ª ­ « ), ª®£¤ ¢ ­ãî à®«ì ¨£à ¥â ª®­¢¥ªâ¨¢­ë© ¯¥à¥­®á
⥯« . ‘ç¨â «®áì, çâ® ª ãé ïáï ¢ï§ª®áâì á।ë íªá¯®­¥­æ¨ «ì­ë¬
¨«¨ á⥯¥­­ë¬ ®¡à §®¬ § ¢¨á¨â ®â ⥬¯¥à âãàë, ¨ ¯à¥­¥¡à¥£ «®áì
¤¨áᨯ ⨢­ë¬ ⥯«®¢ë¤¥«¥­¨¥¬. ‚ ®¤­®¬¥à­ëå áâ 樮­ à­ëå â¥ç¥­¨ïå â ª®£® ⨯ £à ¤¨¥­â ¤ ¢«¥­¨ï ¬¥­ï¥âáï ¢¤®«ì âàã¡ë. Ǒ®ª § ­®,
çâ® ¢ ­¥ª®â®àëå á«ãç ïå ¬®¥â ¢®§­¨ª âì á¨âã æ¨ï, å à ªâ¥à­ ï ¤«ï
⥯«®¢®£® ¢§àë¢ , ª®£¤ ¯®¤¢®¤ ⥯« § áç¥â ª®­¢¥ªæ¨¨ ¨¤ª®á⨠­ 稭 ¥â ¯à¥¢ëè âì ⥯«®®â¢®¤ ª á⥭ª ¬ âàã¡ë. Ž¡­ à㥭® â ª¥,
çâ® áãé¥áâ¢ã¥â ¨ ¤à㣮© ¬¥å ­¨§¬ ªà¨§¨á­ëå ¥­¨©: ¯à¨ ¯®áâ®ï­­®¬ ⥯«®®â¢®¤¥ ®â á⥭®ª âàã¡ë ¯à¨ ¤®áâ â®ç­® ¬ «®© ᪮à®áâ¨
¯®â®ª § áç¥â ¨­â¥­á¨¢­®£® ®å« ¤¥­¨ï ¨¤ª®á⨠¬®¥â ­ ç âìáï
¯à®£à¥áá¨àãî饥 㢥«¨ç¥­¨¥ ¥¥ ¢ï§ª®áâ¨, çâ® ¯à¨¢¥¤¥â ª ý§ ¯¨à ­¨îþ ¯®â®ª .
7.7. Ž¡â¥ª ­¨¥ ¯«®áª®© ¯« á⨭ë á⥯¥­­®©
¨¤ª®áâìî

‚ á¢ï§¨ á ¬­®£¨¬¨ ¯àªâ¨ç¥áª¨¬¨ ¯à¨«®¥­¨ï¬¨ ¨¬¥¥âáï ¡®«ì讥 ç¨á«® à ¡®â, ¯®á¢ï饭­ëå ⥮ਨ ¯®£à ­¨ç­®£® á«®ï ­¥«¨­¥©­®¢ï§ª¨å ¨¤ª®á⥩ á® á⥯¥­­ë¬ ८«®£¨ç¥áª¨¬ § ª®­®¬ (á¬., ­ ¯à¨¬¥à, [73, 119, 121, 185, 187, 192℄). Žá®¡®¥ ¢­¨¬ ­¨¥ 㤥«ï¥âáï ¨áá«¥¤®¢ ­¨î ¢â®¬®¤¥«ì­ëå § ¤ ç, â ª ª ª ¨å à¥è¥­¨ï ¯®§¢®«ïîâ ¢ë-

281

7.7. Ž¡â¥ª ­¨¥ ¯«®áª®© ¯« á⨭ë á⥯¥­­®© ¨¤ª®áâìî

âì å à ªâ¥à­ë¥ ᢮©á⢠¯®£à ­¨ç­®£® á«®ï ¨ ¬®£ãâ ¡ëâì ¨á¯®«ì§®¢ ­ë ¤«ï à §à ¡®âª¨ ¨ ®¡®á­®¢ ­¨ï ¯à¨¡«¨¥­­ëå ¬¥â®¤®¢ à áç¥â . „¥â «ì­ë© ­ «¨§ â¥ç¥­¨© ¤¨« â ­â­ëå ¨¤ª®á⥩ ¯®ª §ë¢ ¥â áãé¥á⢮¢ ­¨¥ áâண®© ¯à®áâà ­á⢥­­®© «®ª «¨§ 樨 ®¡« áâ¨, ¢
ª®â®à®© ¯à®¨á室¨â ¨§¬¥­¥­¨¥ ¯à®¤®«ì­®© á®áâ ¢«ïî饩 ᪮à®áâ¨
[73, 74, 121℄.
 áᬮâਬ áâ 樮­ à­®¥ ¨§®â¥à¬¨ç¥áª®¥ ®¡â¥ª ­¨¥ â®­ª®© ¯« á⨭ë á⥯¥­­®© ¨¤ª®áâìî. ‘ª®à®áâì ­ ¡¥£ î饣® ¯®â®ª à ¢­ Ui .
‘ç¨â ¥¬, çâ® ª®®à¤¨­ âë X ¨ Y ®âáç¨âë¢ îâáï ¢¤®«ì ¨ ¯®¯¥à¥ª ¯« á⨭ë, ­ ç «® ª®®à¤¨­ â ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¯¥à¥¤­¥© ªà®¬ª¥. Ǒத®«ì­ãî ¨ ¯®¯¥à¥ç­ãî á®áâ ¢«ïî騥 ᪮à®á⨠¨¤ª®á⨠®¡®§­ 稬 VX
¨ VY .
„«ï á⥯¥­­®© ¨¤ª®á⨠®á­®¢­ë¬ ¡¥§à §¬¥à­ë¬ ¯ à ¬¥â஬
ï¥âáï ®¡®¡é¥­­®¥ ç¨á«® ¥©­®«ì¤á , ª®â®à®¥ ¢¢®¤¨âáï ¯® ä®à¬ã«¥
Re =

ρLn Ui2−n
∼
k

ᨫ ¨­¥à樨
,
ᨫ â७¨ï

(7.7.1)

£¤¥ L | à §¬¥à­ ï ¢¥«¨ç¨­ , ¢ë¡à ­­ ï § ¬ áèâ ¡ ¤«¨­ë.
Ǒਠ¡®«ìè¨å ç¨á« å ¥©­®«ì¤á ®æ¥­ª ç«¥­®¢ ãà ¢­¥­¨© ¤¢¨¥­¨ï (á¬. ¯à¨«®¥­¨¥ 6) ¨ ­¥à §à뢭®á⨠á ãç¥â®¬ ¢ëà ¥­¨© (7.1.1),
(7.1.4) ¯à®¢®¤¨âáï ¯® ⮩ ¥ á奬¥, çâ® ¨ ¤«ï ­ìîâ®­®¢áª®© ¨¤ª®áâ¨. ‚ १ã«ìâ ⥠¯®á«¥ ¢ë¤¥«¥­¨ï £« ¢­ëå ç«¥­®¢ ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å
ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨å à §«®¥­¨© ¨¬¥¥¬
VX

∂VX
+ VY
∂X
∂VX
+
∂X

∂VX
∂Y
∂VY
∂Y

=

k ∂
ρ ∂Y

= 0.



∂VX
∂Y

n−1

∂VX
∂Y


,

(7.7.2)
(7.7.3)

â¨ ãà ¢­¥­¨ï, ª®â®àë¥ à áᬠâਢ îâáï ¢ ®¡« á⨠X > 0, Y
á«¥¤ã¥â ¤®¯®«­¨âì £à ­¨ç­ë¬¨ ãá«®¢¨ï¬¨
VX (X, 0) = VY (X, 0) = 0,

VX (0, Y ) = Ui ,

VX (X, ∞) = Ui .

> 0,

(7.7.4)

¥è¥­¨¥ § ¤ ç¨ (7.7.2) | (7.7.4) ᢮¤¨âáï ª ¨­â¥£à¨à®¢ ­¨î ®¡ëª­®¢¥­­®£® ¤¨ää¥à¥­æ¨ «ì­®£® ãà ¢­¥­¨ï âà¥â쥣® ¯®à浪
′′ n−1 ′′′
|fζζ
|
fζζζ

′′
+ f fζζ
=0

(7.7.5)

á £à ­¨ç­ë¬¨ ãá«®¢¨ï¬¨
f (0) = 0,

fζ′ (0) = 0,

fζ′ (∞) = 1.

(7.7.6)

282

¥­ìîâ®­®¢áª¨¥ ¨¤ª®áâ¨

Š®¬¯®­¥­âë ᪮à®á⨠¨¤ª®á⨠VX , VY ¨ ¢â®¬®¤¥«ì­ ï ¯¥à¥¬¥­­ ï ζ ¢ëà  îâáï ç¥à¥§ ª®®à¤¨­ âë X , Y ¨ äã­ªæ¨î f (ζ ) á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬:
VX

=

Ui fζ′ ,

 1
n(n + 1)kUi2n−1 n+1
VY
(ζfζ′ − f ),
ρX n
 1

n+1
ρUi2−n
ζ=
Y.
n(n + 1)kX

1
=
n+1



(7.7.7)

‚ à ¡®â å [79, 80℄ ¡ë«¨ ¯®«ã祭ë â®ç­ë¥ ­ «¨â¨ç¥áª¨¥ à¥è¥­¨ï § ¤ ç¨ (7.7.5), (7.7.6) ¤«ï ¯á¥¢¤®¯« áâ¨ç­ëå ¨¤ª®á⥩ ¯à¨
n = 15 , 14 , 12 , 35 , 57 . ¨¥ ¯à¨¢¥¤¥­ë ¤¢ ¨§ íâ¨å à¥è¥­¨©, § ¯¨á ­­ë¥ ¢ ¯ à ¬¥âà¨ç¥áª®© ä®à¬¥.
Ǒਠn = 15 :
f = at2 ,

ζ

=b

Z

t

0

(1 + t3 )1/3 dt,

(7.7.8)

£¤¥ a = 2−1/6 · 55/6, b = 105/6, t ∈ [0, +∞).
Ǒਠn = 35 :
f

= at2 (1 − t3 )−1/2 ,

ζ

=b

Z

0

t

(1 − t3 )−3/2 dt,

(7.7.9)

£¤¥ a = 2−3/4 · 31/2 · 55/8 , b = 2−7/4 · 33/2 · 55/8 , t ∈ [0, +1).
‚ à ¡®â¥ [121℄ ¡ë«® ¤®ª § ­®, çâ® ¤«ï ¤¨« â ­â­ëå ¨¤ª®á⥩
(â.¥. ¯à¨ n > 1) ¢á¥ ¨§¬¥­¥­¨¥ ᪮à®á⨠¯à®¨á室¨â ¢ ®£à ­¨ç¥­­®©
®¡« á⨠¢¡«¨§¨ ¯« áâ¨­ë ¯à¨ 0 6 ζ 6 ζ∗ (¢­¥ í⮩ ®¡« á⨠¯à¨
ζ > ζ∗ ᪮à®áâì ¨¤ª®á⨠¯®áâ®ï­­ ¨ à ¢­ Ui ). ”ã­ªæ¨ï f ¨ £à ­¨æ
®¡« á⨠«®ª «¨§ 樨 ζ = ζ∗ ¨éãâáï ¯ã⥬ à¥è¥­¨ï ãà ¢­¥­¨ï (7.7.5)
á ¤¢ã¬ï £à ­¨ç­ë¬¨ ãá«®¢¨ï¬¨ ­ ¯®¢¥àå­®á⨠¯« á⨭ë (7.7.6) ¨
′′
(ζ∗ ) = 0. ‚­¥
¤¢ã¬ï ¤®¯®«­¨â¥«ì­ë¬¨ ãá«®¢¨ï¬¨: fζ′ (ζ∗ ) = 1, fζζ
®¡« á⨠«®ª «¨§ 樨 ¯à¨ ζ > ζ∗ äã­ªæ¨ï f «¨­¥©­ : f = ζ − ζ∗ + f (ζ∗).
‚ ç áâ­®¬ á«ãç ¥ n = 2 ¢¥«¨ç¨­
√

ζ∗ ≈ 1,849 ­
室¨âáï ¨§ âà ­á業¤¥­â­®£® ãà ¢­¥­¨ï 2 os 12 3 ζ∗ = − exp 32 ζ∗ , à¥è¥­¨¥ à áᬠâਢ ¥¬®© § ¤ ç¨ ¢ ®¡« á⨠«®ª «¨§ 樨 0 6 ζ 6 ζ∗ ¨¬¥¥â ¢¨¤ [121℄
√

exp(−ζ ) + 2 exp( 12 ζ ) sin( 21 3 ζ − 16 π)
√
f (ζ ) =
.
− exp(−ζ∗ ) + 2 exp( 21 ζ∗ ) sin( 21 3 ζ∗ + 61 π )
¥§ã«ìâ âë ç¨á«¥­­®£® à¥è¥­¨ï § ¤ ç¨ (7.7.5), (7.7.6) ¤«ï à §«¨ç­ëå §­ 祭¨© ¯®ª § ⥫ï n (0,1 6 n 6 2,0) ¯à¨¢¥¤¥­ë ¢ ª­¨£¥ [187℄.

7.7. Ž¡â¥ª ­¨¥ ¯«®áª®© ¯« á⨭ë á⥯¥­­®© ¨¤ª®áâìî

‚â®à ï ¯à®¨§¢®¤­ ï ­ ¯®¢¥àå­®á⨠¯« á⨭ë
¯à®ªá¨¬¨àã¥âáï ä®à¬ã«®©

′′
fζζ
(0)

283

å®à®è® ¯-

′′
fζζ
(0) = 0,062 + 0,43 n − 0,0245 n3,

(7.7.10)

¯®£à¥è­®áâì ª®â®à®© ¯à¨ 0,2 6 n 6 2,0 á®áâ ¢«ï¥â ¬¥­¥¥ 1%.
‚¢¥¤¥¬ ¡¥§à §¬¥à­ë¥ ª®íää¨æ¨¥­âë ᮯà®â¨¢«¥­¨ï â७¨ï |
«®ª «ì­ë©
cf

=

τs
1 ρU 2
2 i

n

¨ ¯®«­ë© (á।­¨©)
hcf i =

1

2

ρUi2 L

Z

0

1 
− n+1

= 2(n2 + n)− n+1 Rex

L

′′
(0)
fζζ

n

τs dX

n

(7.7.11)

1 

= 2(n + 1)(n2 + n)− n+1 Re− n+1


′′
fζζ
(0) n ,

(7.7.12)
£¤¥ Rex = ρX n Ui2−n/k | «®ª «ì­®¥ ç¨á«® ¥©­®«ì¤á , Re ¢ëç¨á«ï¥âáï ¯® ä®à¬ã«¥ (7.7.1), £¤¥ L | ¤«¨­ ¯« á⨭ë.
¥§ã«ìâ âë ç¨á«¥­­®£® à¥è¥­¨ï § ¤ ç¨ (7.7.5), (7.7.6) ¯®ª §ë¢ îâ, çâ® ª®íää¨æ¨¥­âë ᮯà®â¨¢«¥­¨ï å®à®è® ¯¯à®ªá¨¬¨àãîâáï ¢ëà ¥­¨ï¬¨
1
2,266 − 1,22 n + 0,28 n2 − n+1
,
Rex
n+1
− 1
hcf i = (2,266 − 1,22 n + 0,28 n2 ) Re n+1 ,

cf

=

(7.7.13)

¬ ªá¨¬ «ì­ ï ¯®£à¥è­®áâì ª®â®àëå ¯à¨ 0,1 6 n 6 2,0 ­¥ ¯à¥¢®á室¨â 0,5%.
„«ï á« ¡® ­¥«¨­¥©­®-¢ï§ª¨å ¨¤ª®á⥩ á ¯à®¨§¢®«ì­ë¬ § ª®­®¬
¢ï§ª®£® â७¨ï τ = τ (γ_ ) «®ª «ì­ë© ª®íää¨æ¨¥­â ᮯà®â¨¢«¥­¨ï
¬®­® ­ ©â¨ á ¯®¬®éìî ¯à¨¡«¨¥­­ëå ä®à¬ã«
cf

=

2τ (w)

,
ρUi2

X = 0,22 ρUi3

Z

∞

w

dw
,
2
w τ (w)

(7.7.14)

£¤¥ w = (γ_ )Y =0 | ᪮à®áâì ᤢ¨£ ­ ¯®¢¥àå­®á⨠¯« á⨭ë. „«ï
⮣® çâ®¡ë ®¯à¥¤¥«¨âì § ¢¨á¨¬®áâì cf ®â X , ­ ¤® ¯®á«¥ ¢ëç¨á«¥­¨ï
¨­â¥£à « ¨áª«îç¨âì ¨§ ¢ëà ¥­¨© (7.7.14) ¢¥«¨ç¨­ã w.
”®à¬ã«ë (7.7.14) ¢ë¢®¤ïâáï á ¯®¬®éìî ¨­â¥£à «ì­®£® ¬¥â®¤ , £¤¥
¢ ª ç¥á⢥ ¯à®ä¨«ï ¯à®¤®«ì­®© á®áâ ¢«ïî饩 ᪮à®á⨠¢ë¡¨à ¥âáï
¯à®ä¨«ì ­ìîâ®­®¢áª®© ¨¤ª®áâ¨.
„«ï á⥯¥­­ëå ¨¤ª®á⥩ â¥áâ®¢ë¥ à áç¥âë ¯®ª §ë¢ îâ, çâ®
¬ ªá¨¬ «ì­ ï ¯®£à¥è­®áâì § ¢¨á¨¬®á⨠(7.7.14) ¯à¨ 0,8 6 n 6 1, 3
á®áâ ¢«ï¥â 5%, ¢ ¡®«¥¥ è¨à®ª®¬ ¤¨ ¯ §®­¥ 0,5 6 n 6 1,8 | 9%.

284
„¨ääã§¨ï ª ¯«®áª®© ¯« á⨭¥, ®¡â¥ª ¥¬®© á⥯¥­­®©
¨¤ª®áâìî. Š®­¢¥ªâ¨¢­ë© ¬ áá®- ¨ ⥯«®®¡¬¥­ ¯« á⨭ë, ¯à®¤®«ì¥­ìîâ®­®¢áª¨¥ ¨¤ª®áâ¨

­® ®¡â¥ª ¥¬®© ­¥­ìîâ®­®¢áª®© ¨¤ª®áâìî, à áᬠâਢ «áï ¢ à ¡®â å [185℄. ‚ ¯à¨¡«¨¥­¨¨ ¤¨ää㧨®­­®£® ¯®£à ­¨ç­®£® á«®ï (¯à¨
¡®«ìè¨å ç¨á« å Ǒ¥ª«¥ Pe) १ã«ìâ âë à¥è¥­¨ï ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 § ¤ ç¨ ¯à¨¢®¤ïâ ª á«¥¤ãî饬㠢ëà ¥­¨î ¤«ï ¡¥§à §¬¥à­®£® ¤¨ää㧨®­­®£® ¯®â®ª :
1
2



3 (2n + 1) ′′
1
j=
f (0)
1
( 3 ) 2 n + 1 ζζ

Re
n(n + 1)



1
3(n+1)

1  X − 3(nn+2
+1)
,
L

Pe 3

£¤¥ Re = ρLnUi2−n/k; Pe = LUi/D; L | à §¬¥à­ ï ¢¥«¨ç¨­ , ¢ë¡à ­­ ï § ¬ áèâ ¡ ¤«¨­ë; f | à¥è¥­¨¥ § ¤ ç¨ (7.7.5), (7.7.6). „«ï à á′′
ç¥â ¢â®à®© ¯à®¨§¢®¤­®© fζζ
(0) ¬®­® ¨á¯®«ì§®¢ âì ¯à¨¡«¨¥­­ãî
ä®à¬ã«ã (7.7.10).
7.8. ‡ ⮯«¥­­ ï áâàãï á⥯¥­­®© ¨¤ª®áâ¨

ˆáá«¥¤ã¥¬ ¯«®áªãî § ¤ çã ®¡ ¨áâ¥ç¥­¨¨ ­¥á¨¬ ¥¬®© á⥯¥­­®©
¨¤ª®á⨠¨§ 㧪®© £®à¨§®­â «ì­®© 饫¨ ¢ ¡¥§£à ­¨ç­®¥ ¯à®áâà ­á⢮, § ¯®«­¥­­®¥ ⮩ ¥ á।®©. ‚¢¥¤¥¬ ¯àאַ㣮«ì­ãî á¨á⥬㠪®®à¤¨­ â X , Y , £¤¥ ®áì X ®âáç¨âë¢ ¥âáï ®â 饫¨ ¨ ­ ¯à ¢«¥­ ¢¤®«ì
®á¨ áâàã¨.
‘ç¨â ¥¬, çâ® é¥«ì ¡¥áª®­¥ç­® â®­ª , ᪮à®áâì ¨áâ¥ç¥­¨ï ¨¤ª®á⨠¨§ ­¥¥ ­ á⮫쪮 ¢¥«¨ª , çâ® ¯à®¤®«ì­ ï á®áâ ¢«ïîé ï ¨¬¯ã«ìá
áâà㨠®áâ ¥âáï ª®­¥ç­®© ¢¥«¨ç¨­®©
J0

=

Z +∞
−∞

ρVX 2 dY

= onst .

(7.8.1)

‚á«¥¤á⢨¥ ¢ï§ª®£® â७¨ï ¡ìîé ï ¨§ 饫¨ á ¡®«ì让 ᪮à®áâìî
áâàãï 㢫¥ª ¥â § ᮡ®© ­¥ª®â®àãî ç áâì ®ªàã î饩 ¨¤ª®á⨠¨
®¤­®¢à¥¬¥­­® á ¬ ¯®¤â®à¬ ¨¢ ¥âáï. Ǒਠí⮬ ¢®§­¨ª ¥â â®­ª¨©
¯®£à ­¨ç­ë© á«®©, ᨬ¬¥âà¨ç­ë© ®â­®á¨â¥«ì­® ®á¨ X , ª®â®àë© ãâ®«é ¥âáï ¢­¨§ ¯® â¥ç¥­¨î. „ ¢«¥­¨¥ ¯®¯¥à¥ª áâà㨠­¥¨§¬¥­­®. Ǒ®áª®«ìªã ¢¤ «¨ ®â 饫¨ ¨¤ª®áâì ­¥¯®¤¢¨­ , â® ¤«ï ¢á¥© ®¡« á⨠â¥ç¥­¨ï
£à ¤¨¥­â ¤ ¢«¥­¨ï à ¢¥­ ­ã«î.
 á¯à¥¤¥«¥­¨¥ ᪮à®á⥩ ¨¤ª®á⨠¢ áâà㥠®¯¨áë¢ ¥âáï ãà ¢­¥­¨ï¬¨ ¯®£à ­¨ç­®£® á«®ï (7.7.2), (7.7.3), ª®â®àë¥ á«¥¤ã¥â ¤®¯®«­¨âì
£à ­¨ç­ë¬¨ ãá«®¢¨ï¬¨ ᨬ¬¥âਨ ¯à®ä¨«ï ᪮à®á⨠­ ®á¨ â¥ç¥­¨ï
VY

= 0,

∂VX
∂Y

=0

¯à¨

Y

= 0,

(7.8.2)

285

7.8. ‡ ⮯«¥­­ ï áâàãï á⥯¥­­®© ¨¤ª®áâ¨

ãá«®¢¨¥¬ § âãå ­¨ï ᪮à®á⨠¢¤ «¨ ®â 饫¨
VX → 0
¯à¨ Y → ±∞
(7.8.3)
¨ ¨­â¥£à «ì­ë¬ ãá«®¢¨¥¬ (7.8.1).
Š®¬¯®­¥­âë ᪮à®á⨠¬®­® ¢ëà §¨âì á ¯®¬®éìî ¢â®¬®¤¥«ì­®©
¯¥à¥¬¥­­®© η ¨ ¢á¯®¬®£ ⥫쭮© ä㭪樨 F = F (η) á«¥¤ãî騬
®¡à §®¬ [185, 187℄:
η

1

2

= A(k/ρ)− n+1 X − 3n Y,

n+1

1

1

(7.8.4)
= [3n(n + 1)℄ 2−n A 2−n X − 3n Fη′ ,
2
n−
1
1
1
1−3n
1
VY =
[3n(n + 1)℄ 2−n A 2−n (k/ρ) n+1 X 3n (ηFη′ − F ),
3n
£¤¥ ¯®áâ®ï­­ ï A ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¢ 室¥ à¥è¥­¨ï § ¤ ç¨ ¨§ ãá«®¢¨ï
á®åà ­¥­¨ï ¨¬¯ã«ìá (7.8.1), èâà¨å ®¡®§­ ç ¥â ¯à®¨§¢®¤­ãî ¯® η.
Ǒ®¤áâ ¢«ïï ¢ëà ¥­¨ï (7.8.4) ¢ (7.7.2), (7.7.3), (7.8.2), (7.8.3),
¯à¨å®¤¨¬ ª ®¡ëª­®¢¥­­®¬ã ¤¨ää¥à¥­æ¨ «ì­®¬ã ãà ¢­¥­¨î âà¥â쥣®
¯®à浪


′′
′′ n−1 ′′′
n Fηη
Fηηη + (n + 1) F Fηη
+ (Fη′ )2 = 0
(7.8.5)
á £à ­¨ç­ë¬¨ ãá«®¢¨ï¬¨
′′
F = Fηη
= 0 ¯à¨ η = 0;
Fη′ → 0 ¯à¨ η → ±∞.
(7.8.6)
¥è¥­¨¥ § ¤ ç¨ (7.8.5), (7.8.6), 㤮¢«¥â¢®àïî饥 ¤®¯®«­¨â¥«ì­®¬ã ãá«®¢¨î ⨯ ­®à¬¨à®¢ª¨ Fη′ (0) = 1, ¬®­® § ¯¨á âì ¢ ­¥ï¢­®¬ ¢¨¤¥
VX

Z F
1−n n+1  n




1 − (2n − 1)(n + 1) n F n 1−2n dF

η = Z0 F





exp 34 F 3 dF

0

¯à¨

n=
6 12 ,

¯à¨

n = 12 .
(7.8.7)

ˆ§ ¢ëà ¥­¨© (7.8.4), (7.8.2) ®¯à¥¤¥«¨¬ ¯®áâ®ï­­ãî A:

A=



3n(n + 1)

 Z
− 2
3n

2

0

∞

Fη′


2

 n−2 
1  23−n
3n J0  ρ  n+1
n
.
dη
ρ k

(7.8.8)

¥á®¡á⢥­­ë© ¨­â¥£à « ¬®­® ¢ëç¨á«¨âì ¯ã⥬ ¯¥à¥å®¤ ®â
¯¥à¥¬¥­­®© η ª ä㭪樨 F ᮣ« á­® à¥è¥­¨î (7.8.7). ‚ ç áâ­®áâ¨,
¯à¨ 12 < n < 2 ¯®«ã稬:
 n   3n − 1 
Z ∞
2
n+1
2n − 1
−
− n
Fη′ )2 dη = n(n + 1) n+1 (2n − 1) n+1
,
 n
n−1 
3
0
+
n+1
2n − 1
(7.8.9)

286

¥­ìîâ®­®¢áª¨¥ ¨¤ª®áâ¨

£¤¥ (x) | £ ¬¬ -äã­ªæ¨ï. Ǒਠn =
Z

∞

0

Fη′ )2 dη

1
2

¨¬¥¥¬

= 41/3 · 3−4/3 (1/3) ≈ 0,983.

 áᬮâਬ á­ ç « á«ãç © ­¥­ìîâ®­®¢áª®© ¨¤ª®áâ¨. ‚ëç¨á«¨¬
¨­â¥£à « (7.8.7) ¯à¨ n = 1, § ⥬ ¢ëà §¨¬ F ç¥à¥§ η. ‚ १ã«ìâ â¥
­ 室¨¬
F = th η
(n = 1).
(7.8.10)
Ǒ® ä®à¬ã« ¬ (7.8.8), (7.8.9) ®¯à¥¤¥«¨¬ ª®­áâ ­âã A:
A=



J0
√
48 ρ ν

1/3

≈ 0,275



1/3

J0
√
ρ ν

,

(7.8.11)

£¤¥ ν | ª¨­¥¬ â¨ç¥áª ï ¢ï§ª®áâì ¨¤ª®áâ¨.
Ǒ®¤áâ ¢«ïï à ¢¥­á⢠(7.8.10), (7.8.11) ¢ ¢ëà ¥­¨ï (7.8.4), ¯®«ã稬 à á¯à¥¤¥«¥­¨¥ ᪮à®á⥩ ¢ ¯«®áª®© áâà㥠­ìîâ®­®¢áª®© ¨¤ª®á⨠[184℄
1/3
J02
(1 − th2 η),
ρ2 νX

J ν 
VY = 0,550 0 2 2η (1 − th2 η ) − th η ,
ρX
VX

£¤¥

= 0,454

η



= 0,275



J0
ρν 2

1/3

(7.8.12)

Y X −2/3 .

Žáâ ­®¢¨¬áï ⥯¥àì ­ ª ç¥á⢥­­ëå ®á®¡¥­­®áâïå áâàã©­®£® â¥ç¥­¨ï á⥯¥­­®© ¨¤ª®á⨠¢ § ¢¨á¨¬®á⨠®â ८«®£¨ç¥áª®£® ¯ à ¬¥âà n.
ˆ§ ä®à¬ã«ë (7.8.7) á«¥¤ã¥â, çâ® ¤«ï 0 < n 6 12 äã­ªæ¨ï F
­¥®£à ­¨ç¥­­® ¢®§à á⠥⠯ਠη → ∞, ¤«ï n > 12 äã­ªæ¨ï F ¯à¨
η → ∞ áâ६¨âáï ª ¯®áâ®ï­­®¬ã ¯à¥¤¥«ã, à ¢­®¬ã
n−1
F (∞) = (n + 1) n+1

n

(2n − 1)− n+1 .

(7.8.13)

 ®á¨ ¯®â®ª ᪮à®áâì ¨¤ª®á⨠¬ ªá¨¬ «ì­ ¨ ã¡ë¢ ¥â ¯® § ª®­ã Umax ∼ X −1/(3n) . Ǒ®í⮬ã 祬 ¬¥­ìè¥ n, ⥬ ¡ëáâ॥ 㬥­ìè ¥âáï
᪮à®áâì.
Ž¯à¥¤¥«¨¬ 1%-­ãî è¨à¨­ã áâà㨠δ (X ), ª ª 㤢®¥­­®¥ à ááâ®ï­¨¥
®â ®á¨ áâà㨠¤® â®çª¨ á ª®®à¤¨­ ⮩ y 0 , £¤¥ ¯à®¤®«ì­ ï á®áâ ¢«ïîé ï
᪮à®á⨠®â«¨ç ¥âáï ®â ᢮¥£® ¯à¥¤¥«ì­®£® §­ 祭¨ï ­ 1% :
δ (X ) = 2y 0

=2

1
2
η 0  k  n+1
X 3n ,
A ρ

(7.8.14)

7.9. „¢¨¥­¨¥ ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ ¢ á⥯¥­­®© ¨¤ª®áâ¨

287

£¤¥ η0 | §­ 祭¨¥ ¢â®¬®¤¥«ì­®© ¯¥à¥¬¥­­®©, ¯à¨ ª®â®à®© VX /Umax =
= Fη′ = 0,01. ˆ§ ä®à¬ã«ë (7.8.14) á«¥¤ã¥â, çâ® ¯à¨ n > 23 áâàãï ¨¬¥¥â
¢ë¯ãª«ãî ­ àãã ä®à¬ã, ¯à¨ n = 23 £à ­¨æë áâà㨠¯àאַ«¨­¥©­ë,
¯à¨ n < 23 £à ­¨æë áâà㨠¨¬¥îâ ¢¨¤ à á室ïé¨åáï ¯ à ¡®« á
®áâப®­¥ç­®© ᨭ£ã«ïà­®© â®çª®© ­ ®á¨ ¯®â®ª .
‚ëç¨á«¨¬ ⥯¥àì ®¡ê¥¬­ë© à á室 ¨¤ª®á⨠­ ¥¤¨­¨æã ¤«¨­ë 饫¨:
Q=

Z +∞
−∞

VX dY



= 2F (∞) 3n(n + 1)A2n−1

1
1
 1  k  n+1
2−n
X 3n .
ρ
(7.8.15)

Ǒਠ21 < n < 2 ¢ íâ® ¢ëà ¥­¨¥ á«¥¤ã¥â ¯®¤áâ ¢¨âì §­ 祭¨¥
F (∞) ¨§ (7.8.13). ‚¨¤­®, çâ® ¯® ¬¥à¥ 㤠«¥­¨ï ®â 饫¨ à á室
㢥«¨ç¨¢ ¥âáï, â ª ª ª áâàãï 㢫¥ª ¥â § ᮡ®© á ¡®ª®¢ ¯®ª®ïéãîáï
¨¤ª®áâì.  á室 â ª¥ 㢥«¨ç¨¢ ¥âáï á 㢥«¨ç¥­¨¥¬ ¨¬¯ã«ìá .
Ǒਠ㬥­ì襭¨¨ ¯®ª § ⥫ï n ®â 1 ¤® 12 à á室 ­¥®£à ­¨ç¥­­®
㢥«¨ç¨¢ ¥âáï: lim Q = ∞. Ǒਠ0 < n < 12 ®¡ê¥¬­ë© à á室 ¡ã¤¥â
n→1/2
¡¥áª®­¥ç­ë¬.
7.9. „¢¨¥­¨¥ ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ ¢
á⥯¥­­®© ¨¤ª®áâ¨

„¢¨¥­¨¥ áä¥à¨ç¥áª¨å ¯ã§ë३, ª ¯¥«ì ¨ ⢥à¤ëå ç áâ¨æ á ¯®áâ®ï­­®© ᪮à®áâìî Ui ¢ á⥯¥­­®© ­¥­ìîâ®­®¢áª®© ¨¤ª®á⨠à áᬠâਢ «®áì ¬­®£¨¬¨ ¢â®à ¬¨ (á¬., ­ ¯à¨¬¥à, [200, 217, 224, 236, 239,
241{244, 256, 259, 260, 263, 264, 283, 315℄). ¨¥ ªà ⪮ ¯¥à¥ç¨á«¥­ë
­¥ª®â®àë¥ à¥§ã«ìâ âë íâ¨å à ¡®â.
‚ á«ãç ¥ ¡¥§ë­¥à樮­­®£® ®¡â¥ª ­¨ï (¯à¨ ¬ «ëå ç¨á« å ¥©­®«ì¤á ) £ §®¢®£® ¯ã§ëàï ª¢ §¨­ìîâ®­®¢áª®© á⥯¥­­®© ¨¤ª®áâìî,
ã ª®â®à®© ८«®£¨ç¥áª¨© ¯ à ¬¥âà n ¡«¨§®ª ¥¤¨­¨æ¥, ¤«ï à áç¥â ª®íää¨æ¨¥­â ᮯà®â¨¢«¥­¨ï ¬®­® ¨á¯®«ì§®¢ âì ä®à¬ã«ã:
cf

=

2 F~x

πa2 ρU

i

=3

n−1

2

13 + 4n − 8n2 8
,
f
(n + 2)(2n + 1) Re

(7.9.1)

f = ρan U 2−n/k | ç¨á«® ¥©­®«ì¤á , a | à ¤¨ãá ¯ã§ëàï.
£¤¥ Re
i
‚¨¤­®, çâ® ¤«ï ¯á¥¢¤®¯« áâ¨ç¥áª¨å ¨¤ª®á⥩ ª®íää¨æ¨¥­â ᮯà®â¨¢«¥­¨ï ¢ëè¥, ¤«ï ¤¨« â ­â­ëå ­¨¥ ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å §­ 祭¨© ª®íää¨æ¨¥­â ᮯà®â¨¢«¥­¨ï ¯à¨ ®¡â¥ª ­¨¨ ¯ã§ëàï ­ìîâ®­®¢áª®© ¨¤ª®áâìî.

288

¥­ìîâ®­®¢áª¨¥ ¨¤ª®áâ¨

‚ á«ãç ¥ ®¡â¥ª ­¨ï ª ¯«¨ ­ìîâ®­®¢áª®© ¨¤ª®á⨠¯®áâ㯠⥫ì­ë¬ áâ®ªá®¢ë¬ ¯®â®ª®¬ á⥯¥­­®© ¨¤ª®á⨠¢ëà ¥­¨¥ ¤«ï ª®íää¨æ¨¥­â ᮯà®â¨¢«¥­¨ï ¬®­® ¯à¥¤áâ ¢¨âì ¢ ¢¨¤¥
cf

=

24 n(β )
,
f
2n Re

(7.9.2)

£¤¥ äã­ªæ¨ï n ®âà  ¥â ८«®£¨ç¥áª¨¥ ᢮©á⢠â¥ç¥­¨ï ¨ ï¥âáï
ä㭪樥© ¡¥§à §¬¥à­ëå ¯ à ¬¥â஢ n ¨ β = µan−1/(kUin−1 ); µ |
¤¨­ ¬¨ç¥áª ï ¢ï§ª®áâì ª ¯«¨.
„«ï £ §®¢®£® ¯ã§ëàï ¨ ⢥म© ç áâ¨æë, ª®â®àë¥ á®®â¢¥âáâ¢ãîâ
¯à¥¤¥«ì­ë¬ §­ 祭¨ï¬ β = 0 ¨ β = ∞, äã­ªæ¨ï n å®à®è® ¯¯à®ªá¨¬¨àã¥âáï § ¢¨á¨¬®áâﬨ
n (0) = 0,81 + 0,46 n − 0,6 n2
n (∞) = 1,65 + 0,1 n − 0,75 n2

(¯ã§ëàì),
(ç áâ¨æ ),

(7.9.3)
(7.9.4)

¯®£à¥è­®áâì ª®â®àëå ¢ ¤¨ ¯ §®­¥ 0,6 6 n 6 1,0 ­¥ ¯à¥¢ëè ¥â 1,5%
(ᮯ®áâ ¢«¥­¨¥ ¯à®¢®¤¨«®áì á १ã«ìâ â ¬¨ ç¨á«¥­­ëå à¥è¥­¨©).
‚ á«ãç ¥ ª ¯«¨, ª®â®à®© ᮮ⢥âáâ¢ãîâ ª®­¥ç­ë¥ §­ 祭¨ï
0 < β < ∞, äã­ªæ¨î n (β ) ¬®­® ¢ëç¨á«ïâì á ¯®¬®éìî ¯à¨¡«¨¥­­®© ä®à¬ã«ë
n (β ) =

1
 (0) +
β+1 n

β

β+1

n (∞),

(7.9.5)

¬ ªá¨¬ «ì­ ï ¯®£à¥è­®áâì ª®â®à®© á®áâ ¢«ï¥â ®ª®«® 3%.
‚ëà ¥­¨ï (7.9.2) | (7.9.5) ¯®§¢®«ïîâ ¢ëç¨á«ïâì ª®íää¨æ¨¥­âë
ᮯà®â¨¢«¥­¨ï ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ ¢ á⮪ᮢ®¬ ¯®â®ª¥ á⥯¥­­®© ¨¤ª®áâ¨.
‘ª®à®áâì ª ¯«¨, ¯ ¤ î饩 ¯®¤ ¤¥©á⢨¥¬ ᨫë âï¥á⨠¢ á⥯¥­­®© ¨¤ª®á⨠¯à¨ ¬ «ëå ç¨á« å ¥©­®«ì¤á , ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¯®
ä®à¬ã«¥


Ui

= 2a

ag|ρ1 − ρ2 |
9kn(β )

1/n

,

(7.9.6)

£¤¥ ρ1 ¨ ρ2 | ¯«®â­®á⨠ª ¯«¨ ¨ ᯫ®è­®© ä §ë.
Ǒਠá⮪ᮢ®¬ ®¡â¥ª ­¨¨ áä¥à¨ç¥áª®£® ¯ã§ëàï ¯®áâ㯠⥫ì­ë¬
¯®â®ª®¬ ¢ï§ª®¯« áâ¨ç­®© ¨¤ª®á⨠˜¢¥¤®¢ | ¨­£ ¬ á ¬ «ë¬
¯à¥¤¥«®¬ ⥪ãç¥á⨠¤«ï ª®íää¨æ¨¥­â ᮯà®â¨¢«¥­¨ï ¯®«ã祭® ¤¢ãç«¥­­®¥ ᨬ¯â®â¨ç¥áª®¥ à §«®¥­¨¥:
cf

= 8 (1 + 3,22 ε) Re−1 ,

£¤¥ ε = aτ0 /(µp Ui) ≪ 1.

Re = aρUi/µp ,

(7.9.7)

7.9. „¢¨¥­¨¥ ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ ¢ á⥯¥­­®© ¨¤ª®áâ¨

289

‚ à ¡®â¥ [107℄ ¢ à ¬ª å ï祥筮© ¬®¤¥«¨ ¨áá«¥¤®¢ «®áì ८«®£¨ç¥áª®¥ ¯®¢¥¤¥­¨¥ ª®­æ¥­âà¨à®¢ ­­ëå áãᯥ­§¨© á ­¥­ìîâ®­®¢áª®©
¤¨á¯¥àᨮ­­®© á।®©, ®¯¨áë¢ ¥¬®© á⥯¥­­®© ¬®¤¥«ìî ¨ ¬®¤¥«ìî
Š¥àà¨.
‚ á«ãç ¥ ¬ áá®®¡¬¥­ £ §®¢®£® ¯ã§ëàï á ¯®áâ㯠⥫ì­ë¬ áâ®ªá®¢ë¬ ¯®â®ª®¬ ª¢ §¨­ìîâ®­®¢áª®© á⥯¥­­®© ¨¤ª®á⨠(n ¡«¨§ª®
ª ¥¤¨­¨æ¥) ¯à¨ ¡®«ìè¨å ç¨á« å Ǒ¥ª«¥ ¤«ï à áç¥â á।­¥£® ç¨á«
˜¥à¢ã¤ ¬®­® ¨á¯®«ì§®¢ âì ¯à¨¡«¨¥­­ãî ä®à¬ã«ã:


1/2

Sh = (0,497 − 0,284 n) Pe

,

¬ ªá¨¬ «ì­ ï ¯®£à¥è­®áâì ª®â®à®© ¢ ¤¨ ¯ §®­¥ 0,6 6 n 6 1,0 á®áâ ¢«ï¥â ®ª®«® 4%.
‚ ª­¨£ å [99, 216℄ ¤ ­ ¯®¤à®¡­ë© ®¡§®à ¨áá«¥¤®¢ ­¨©, ¯®á¢ï饭­ëå ¤¢¨¥­¨î ¨ ¬ á®®®¡¬¥­ã ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ ¢ ­¥­ìîâ®­®¢áª®© ¨¤ª®áâ¨, ¯à¨¢¥¤¥­ë ¬­®£®ç¨á«¥­­ë¥ ä®à¬ã«ë ¨ £à 䨪¨
¤«ï ®¯à¥¤¥«¥­¨ï ᨫë ᮯà®â¨¢«¥­¨ï.

Ǒˆ‹Ž†

ˆŸ

Ǒ.1. ’®ç­ë¥ à¥è¥­¨ï «¨­¥©­ëå ãà ¢­¥­¨©
⥯«®- ¨ ¬ áᮯ¥à¥­®á

Ǒਠá®áâ ¢«¥­¨¨ í⮣® à §¤¥« ¨á¯®«ì§®¢ ­ë à¥è¥­¨ï, ¯à¨¢¥¤¥­­ë¥ ¢ ª­¨£ å [10, 35, 86, 89, 173℄.
∂T
∂2T
2
= a ∂x2 .
1.1. “à ¢­¥­¨¥ ⥯«®¯à®¢®¤­®áâ¨
∂t

1. ¥ª®â®àë¥ ç áâ­ë¥ à¥è¥­¨ï

¯®áâ®ï­­ë¥):

1.
2.
3.
4.

T

5.

T

T
T
T

(A,

B, λ

| ¯à®¨§¢®«ì­ë¥

= Ax + B,
= A exp(a2 λ2 t ± λx) + B,
= A exp(−a2 λ2 t) os(λx) + B,
= A exp(−a2 λ2 t) sin(λx) + B,


x2
1
= A √ exp − 2 + B,
4a t
t



x
x2
6. T = A 3/2 exp − 2 + B,
t
4a t


x
√
7. T = A erf
+ B,
2a t

£¤¥ erf z ≡
®è¨¡®ª).

2

√
π

Z

z

0

exp(−ξ 2 ) dξ | ¨­â¥£à « ¢¥à®ïâ­®á⥩ (äã­ªæ¨ï

2. Ž¡« áâì: −∞ < x < +∞.
T

= f (x)

¥è¥­¨¥:
T

=

2a

¯à¨
1

√
πt

— áâ­ë© á«ãç ©: f (x) =
¥è¥­¨¥:
T

290

=

t=0

Z +∞
−∞

n

A
B

(­ ç «ì­®¥ ãá«®¢¨¥)


(x − ξ )2
exp −
4a2t

¯à¨
¯à¨



f (ξ ) dξ.

|x| < x0 ,
|x| > x0 .


i
h 

1
x −x
x +x
(A − B ) erf 0 √
+ erf 0 √
+ B.
2
2a t
2a t

Ǒ.1. ’®ç­ë¥ à¥è¥­¨ï ãà ¢­¥­¨© ⥯«®- ¨ ¬ áᮯ¥à¥­®á

291

3. Ž¡« áâì: 0 < x < +∞. Ǒ¥à¢ ï ªà ¥¢ ï § ¤ ç .
3.1.

= f (x)
=0

T
T

¯à¨
¯à¨

t=0

(­ ç «ì­®¥ ãá«®¢¨¥)
(£à ­¨ç­®¥ ãá«®¢¨¥)

x=0

¥è¥­¨¥:
T

1

=

√
2a πt

Z +∞ 

exp

0



−

— áâ­ë© á«ãç ©: f (x) = A.
¥è¥­¨¥:
T

3.2.

T
T

(x − ξ )2
4a2 t

= A erf

¯à¨
¯à¨

=0
= g (t )







(x + ξ )2
− exp −
f (ξ ) dξ.
4a2 t

x
√
2a t



.

(­ ç «ì­®¥ ãá«®¢¨¥)
(£à ­¨ç­®¥ ãá«®¢¨¥)

t=0
x=0

¥è¥­¨¥:
T

=

x
√
2a π

Z

— áâ­ë© á«ãç ©: g(x) =
¥è¥­¨¥:

T

0

n

exp
A
B




x2
g (τ ) dτ
− 2
.
4a (t − τ ) (t − τ )3/2

¯à¨ 0 < t < t0 ,
¯à¨ t0 < t.




x
√
A
erf


2a t

=


x

 A erf
√
+ (B − A) erf

2a

£¤¥ erf

t

t

√

2a

x
t − t0



¯à¨ 0 < t < t0 ,
¯à¨

t0 < t,

x ≡ 1 − erf x.

3.3.

T
T

= f (x)
= g (t)

¯à¨
¯à¨

t=0

x=0

(­ ç «ì­®¥ ãá«®¢¨¥)
(£à ­¨ç­®¥ ãá«®¢¨¥)

¥è¥­¨¥:
T

=





Z +∞ 
(x − ξ )2
(x + ξ ) 2
1
√
−
f (ξ ) dξ +
−
exp −
exp
4a 2 t
4a2t
2a πt 0


Z t
x2
g (τ ) dτ
x
+ √
.
exp − 2
2a π 0
4a (t − τ ) (t − τ )3/2

292
4. Ž¡« áâì: 0 < x < +∞. ‚â®à ï ªà ¥¢ ï § ¤ ç *.
Ǒਫ®¥­¨ï

4.1.

= f (x)
=0

T

¯à¨
¯à¨

∂x T

t=0

(­ ç «ì­®¥ ãá«®¢¨¥)
(£à ­¨ç­®¥ ãá«®¢¨¥)

x=0

¥è¥­¨¥:
T

=

2a

4.2.

Z +∞ 

1
√



(x − ξ )2
exp −
+ exp
4a2 t

0

πt



¯à¨
¯à¨

T =0
∂x T = g (t)



(x + ξ )2
−
f (ξ ) dξ.
4a2 t

(­ ç «ì­®¥ ãá«®¢¨¥)
(£à ­¨ç­®¥ ãá«®¢¨¥)

t=0
x=0

¥è¥­¨¥:
T

a
π

=−√

Z

0

t



exp

−


x2
g (τ )
√
dτ.
2
4a (t − τ )
t−τ

— áâ­ë© á«ãç ©: g(t) = −A.
¥è¥­¨¥:
T

4.3.

q

= 2Aa

t
π

T = f (x)
∂x T = g (t)

exp



−

x2
4a2 t

¯à¨
¯à¨



− Ax erf



x
√
2a t



.

(­ ç «ì­®¥ ãá«®¢¨¥)
(£à ­¨ç­®¥ ãá«®¢¨¥)

t=0
x=0

¥è¥­¨¥:
T

=





Z +∞ 
1
(x − ξ )2
(x + ξ ) 2
√
exp −
+
exp
f (ξ ) dξ −
−
4a 2 t
4a2t
2a πt 0


Z t
a
x2
g (τ )
√
− √
exp − 2
dτ.
π 0
4a (t − τ )
t−τ

5. Ž¡« áâì: 0 < x < +∞. ’à¥âìï ªà ¥¢ ï § ¤ ç .
5.1.

T = f (x)
∂x T − kT

=0

¯à¨
¯à¨

(­ ç «ì­®¥ ãá«®¢¨¥)
(£à ­¨ç­®¥ ãá«®¢¨¥)

t=0
x=0

* „ «¥¥ ¯®¬¨¬® ®¡é¥¯à¨­ïâëå ®¡®§­ 祭¨© ¨á¯®«ì§ãîâáï â ª¥ ªà ⪨¥
®¡®§­ 祭¨ï ¤«ï ç áâ­ëå ¯à®¨§¢®¤­ëå:

∂t T ≡

∂T
∂t

, ∂x T

≡

∂T
∂x

,

∂xx T ≡

∂2 T
∂x2

.

293

Ǒ.1. ’®ç­ë¥ à¥è¥­¨ï ãà ¢­¥­¨© ⥯«®- ¨ ¬ áᮯ¥à¥­®á

¥è¥­¨¥:
=

T

£¤¥

1

√
2a πt

Z +∞
0

G(x, ξ, t)f (ξ ) dξ,





(x − ξ )2
(x + ξ )2
G(x, ξ, t) = exp −
+ exp −
−
4a2 t
4a2t


Z +∞
(x + ξ + η)2
exp −
− 2k
− kη dη.
4a2t
0

5.2.

T

=0

∂x T − kT

¥è¥­¨¥:

= kg (t)

ak
T =−√
π

£¤¥

¯à¨
¯à¨

Z

t=0

(­ ç «ì­®¥ ãá«®¢¨¥)
(£à ­¨ç­®¥ ãá«®¢¨¥)

x=0

g (τ )
H (x, t − τ ) dτ,
√
t−τ
0
t





Z +∞
(x + η)2
x2
H (x, t) = exp − 2
exp −
−k
−
kη
dη.
4a t
4a2 t
0
n

£¤¥

¯à¨ 0 < t < t − 0,
— áâ­ë© á«ãç ©: g(t) = −A
−B ¯à¨ T − 0 < t.
¥è¥­¨¥:
n
¯à¨ 0 < t < T ,
AW (x, t)
T =
AW (x, t) + (B − A)W (x, t − t0 ) ¯à¨ t0 < t,
W (x, t)

5.3.

T

=



= f (x)

∂x T − kT

¥è¥­¨¥:
T

= erf

1

√
2a πt

Z +∞
0

x
√
2a t



− exp(kx + a2 k 2 t) erf

= kg (t)

¯à¨
¯à¨

t=0

x
√
2a t

+ ak

√
t .

(­ ç «ì­®¥ ãá«®¢¨¥)
(£à ­¨ç­®¥ ãá«®¢¨¥)

x=0

ak
G(x, ξ, t)f (ξ ) dξ − √
π



Z

g (τ )
√
H (x, t − τ ) dτ,
t−τ
0
t

£¤¥ ä㭪樨 G(x, ξ, t) ¨ H (x, t) á¬. ¢ 5.1 ¨ 5.2.

6. Ž¡« áâì: 0 < x < l. Ǒ¥à¢ ï ªà ¥¢ ï § ¤ ç .
6.1. Ž¤­®à®¤­ë¥ £à ­¨ç­ë¥ ãá«®¢¨ï:
T
T
T

= f (x)
=0
=0

¯à¨
¯à¨
¯à¨

t=0

x=0
x=l

(­ ç «ì­®¥ ãá«®¢¨¥)
(£à ­¨ç­®¥ ãá«®¢¨¥)
(£à ­¨ç­®¥ ãá«®¢¨¥)

294

Ǒਫ®¥­¨ï

¥è¥­¨¥:



 nπx 
a2 n 2 π 2 t
bn exp −
sin
,
2
l
l
n=1
Z
 nπx 
2 l
dx.
bn =
f (x) sin
l 0
l
T

=

∞
X

— áâ­ë© á«ãç ©: f (x) = A.
¥è¥­¨¥:
T

=

∞
4A X

π

n=0

1
exp
(2n + 1)



a2 (2n + 1)2 π 2 t
−
l2



sin

h

(2n + 1)πx i
l

.

— áâ­ë© á«ãç ©: f (x) = Ax.
¥è¥­¨¥:
T

=

∞
2Al X (−1)n−1

π

n=1

n

exp



a2 n2 π 2 t
−
l2



sin



nπx
l



.

6.2. ¥®¤­®à®¤­ë¥ £à ­¨ç­ë¥ ãá«®¢¨ï:
T
T
T

¯à¨
¯à¨
¯à¨

= f (x)
= g (t )
= h(t)

t=0

x=0
x=l

(­ ç «ì­®¥ ãá«®¢¨¥)
(£à ­¨ç­®¥ ãá«®¢¨¥)
(£à ­¨ç­®¥ ãá«®¢¨¥)

¥è¥­¨¥:
T

£¤¥

=



 nπx 
a2 n 2 π 2 t
,
Mn (t) exp −
sin
2
l n=1
l
l

2

∞
X

 2 2 2 
Z
a n π t
a2 nπ t
dx +
g (t) dt −
Mn (t) =
f (x) sin
exp
l
l
l2
0
0


Z
a2 n 2 π 2 t
a2 nπ t
h(t) dt.
− (−1)n
exp
l
l2
0
Z

l

 nπx 

7. Ž¡« áâì: 0 < x < l. ‚â®à ï ªà ¥¢ ï § ¤ ç .

7.1. Ž¤­®à®¤­ë¥ £à ­¨ç­ë¥ ãá«®¢¨ï:
= f (x)
∂x T = 0
∂x T = 0
T

¯à¨
¯à¨
¯à¨

t=0

x=0
x=l

(­ ç «ì­®¥ ãá«®¢¨¥)
(£à ­¨ç­®¥ ãá«®¢¨¥)
(£à ­¨ç­®¥ ãá«®¢¨¥)

295

Ǒ.1. ’®ç­ë¥ à¥è¥­¨ï ãà ¢­¥­¨© ⥯«®- ¨ ¬ áᮯ¥à¥­®á

¥è¥­¨¥:
T

=

£¤¥
b0

=

Z

1
l

0

l



a2 n 2 π 2 t
bn exp −
l2
n=0
∞
X

f (x) dx,

bn

=

2
l

Z

0

l

f (x)

os

os

 nπx 
l

 nπx 
l

dx;

,

n = 1, 2, . . .

7.2. ¥®¤­®à®¤­ë¥ £à ­¨ç­ë¥ ãá«®¢¨ï:
¯à¨
¯à¨
¯à¨

= f (x)
∂x T = g (t)
∂x T = h(t)
T

t=0

(­ ç «ì­®¥ ãá«®¢¨¥)
(£à ­¨ç­®¥ ãá«®¢¨¥)
(£à ­¨ç­®¥ ãá«®¢¨¥)

x=0
x=l

Ž à¥è¥­¨¨ í⮩ § ¤ ç¨ á¬. ¤ «¥¥ ¯. 6 à §¤¥« 1.2 ¯à¨  ≡ 0.

8. Ž¡« áâì: 0 < x < l. ’à¥âìï ªà ¥¢ ï § ¤ ç .
8.1. Ž¤­®à®¤­ë¥ £à ­¨ç­ë¥ ãá«®¢¨ï (b > 0):
T = f (x)
∂x T − bT
∂x T

+ bT

=0
=0

¥è¥­¨¥:
T

£¤¥
yn (x) =

¯à¨
¯à¨
¯à¨

=

∞ Z
X

l

n=1 0

os(λn x) +

b
λn

t=0
x=0

(­ ç «ì­®¥ ãá«®¢¨¥)
(£à ­¨ç­®¥ ãá«®¢¨¥)
(£à ­¨ç­®¥ ãá«®¢¨¥)

x=l

yn (x)yn (ξ )
ky k2
n

sin(λn x),

exp(−a2 λ2n t)f (ξ ) dξ,

kyn k2

=

b
λ2n

+

l

2



1+

b2
λ2n



‡¤¥áì λn | ¯®«®¨â¥«ì­ë¥ ª®à­¨ âà ­á業¤¥­â­®£® ãà ¢­¥­¨ï:
tg(λl)
λ

=

2b
.
2
λ − b2

8.2. ¥®¤­®à®¤­ë¥ £à ­¨ç­ë¥ ãá«®¢¨ï:
T

= f (x)

∂x T − bT
∂x T + cT

= g (t)
= h(t)

¯à¨
¯à¨
¯à¨

t=0

x=0
x=l

(­ ç «ì­®¥ ãá«®¢¨¥)
(£à ­¨ç­®¥ ãá«®¢¨¥)
(£à ­¨ç­®¥ ãá«®¢¨¥)

.

296

Ǒਫ®¥­¨ï

£¤¥ b > 0, c > 0. Ž à¥è¥­¨¨ í⮩ § ¤ ç¨ á¬. ¤ «¥¥ ¯. 7 à §¤¥« 1.2 ¯à¨
 ≡ 0.

9. Ž¡« áâì: 0 < x < l. ‘¬¥è ­­ë¥ ªà ¥¢ë¥ § ¤ ç¨.
9.1a. Ž¤­®à®¤­ë¥ £à ­¨ç­ë¥ ãá«®¢¨ï:
¯à¨
¯à¨
¯à¨

= f (x)
T =0
∂x T = 0
T

¥è¥­¨¥:
T

=

£¤¥

t=0

x=0
x=l
Z

l

0

(­ ç «ì­®¥ ãá«®¢¨¥)
(£à ­¨ç­®¥ ãá«®¢¨¥)
(£à ­¨ç­®¥ ãá«®¢¨¥)

G(x, ξ, t)f (ξ ) dξ,






x − ξ a2 t
x + ξ a2 t
G(x, ξ, t) = ϑ
+
−ϑ
,
,
4l
l
4l
l




x + ξ − 2l a2 t
x − ξ − 2l a2 t
+ϑ
−ϑ
.
,
,
4l
l
4l
l

‡¤¥áì ϑ(x, t) | äã­ªæ¨ï Ÿª®¡¨
ϑ(x, t) = 1 + 2

+∞
X

n=1

exp(−π2 n2 t) os(2πnx) =

+∞
X

n=−∞

exp



−

(x − n)2
4t



.

Ǒ¥à¢ë© àï¤ ¡ëáâà® á室¨âáï ¯à¨ ¡®«ìè¨å t, ¢â®à®© | ¯à¨ ¬ «ëå t.
9.1¡. ¥®¤­®à®¤­ë¥ £à ­¨ç­ë¥ ãá«®¢¨ï:
¯à¨
¯à¨
¯à¨

= f (x)
T = g (t)
∂x T = h(t)
T

t=0

x=0
x=l

(­ ç «ì­®¥ ãá«®¢¨¥)
(£à ­¨ç­®¥ ãá«®¢¨¥)
(£à ­¨ç­®¥ ãá«®¢¨¥)

Ž à¥è¥­¨¨ í⮩ § ¤ ç¨ á¬. ¤ «¥¥ ¯. 8 à §¤¥« 1.2 ¯à¨  ≡ 0.
9.2 . Ž¤­®à®¤­ë¥ £à ­¨ç­ë¥ ãá«®¢¨ï:
T = f (x)
∂x T = 0
T

=0

¯à¨
¯à¨
¯à¨

¥è¥­¨¥:
T

=

t=0
x=0
x=l
Z

0

l

(­ ç «ì­®¥ ãá«®¢¨¥)
(£à ­¨ç­®¥ ãá«®¢¨¥)
(£à ­¨ç­®¥ ãá«®¢¨¥)

G(x, ξ, t)f (ξ ) dξ,

Ǒ.1. ’®ç­ë¥ à¥è¥­¨ï ãà ¢­¥­¨© ⥯«®- ¨ ¬ áᮯ¥à¥­®á

297

£¤¥





x − ξ a2 t
x + ξ a2 t
G(x, ξ, t) = ϑ
+ϑ
−
,
,
4l
l
4l
l




x + ξ − 2l a2 t
x − ξ − 2l a2 t
−ϑ
−ϑ
.
,
,
4l
l
4l
l

‡¤¥áì ϑ(x, t) | äã­ªæ¨ï Ÿª®¡¨ (á¬. ¢ëè¥ ¯. 9.1).
9.2¡. ¥®¤­®à®¤­ë¥ £à ­¨ç­ë¥ ãá«®¢¨ï:
T

= f (x)

∂x T = g (x)
T = h(x)

¯à¨
¯à¨
¯à¨

t=0

(­ ç «ì­®¥ ãá«®¢¨¥)
(£à ­¨ç­®¥ ãá«®¢¨¥)
(£à ­¨ç­®¥ ãá«®¢¨¥)

x=0
x=l

Ž à¥è¥­¨¨ í⮩ § ¤ ç¨ á¬. ¤ «¥¥ ¯. 8 à §¤¥« 1.2 ¯à¨  ≡ 0.
1.2. “à ¢­¥­¨¥ ⥯«®¯à®¢®¤­®áâ¨ á ¨áâ®ç­¨ª®¢ë¬
ç«¥­®¬

∂T
∂t

2

= a2 ∂∂xT2 + (x, t)

1. Ž¡« áâì: −∞ < x < +∞.
T

= f (x)

¯à¨

t=0

¥è¥­¨¥:
T

=

Z +∞
−∞

G(x, ξ, t)f (ξ ) dξ +

(­ ç «ì­®¥ ãá«®¢¨¥)

Z t Z +∞
0

−∞

G(x, ξ, t − τ )(ξ, τ ) dξ dτ,

£¤¥ äã­ªæ¨ï G(x, ξ, t) ®¯¨áë¢ ¥âáï ä®à¬ã«®©
G(x, ξ, t) =

1

√
2a πt

exp



−

(x − ξ )2
4a2t



.

2. Ž¡« áâì: 0 < x < +∞. Ǒ¥à¢ ï ªà ¥¢ ï § ¤ ç .
¯à¨
¯à¨

t=0

G(x, ξ, t)f (ξ ) dξ +

x
√
2a π

T
T

= f (x)
= g (t )

x=0

¥è¥­¨¥:
T

=

Z +∞

0
Z t Z +∞

+

0

0

(­ ç «ì­®¥ ãá«®¢¨¥)
(£à ­¨ç­®¥ ãá«®¢¨¥)
Z

0

t

exp

G(x, ξ, t − τ )(ξ, τ ) dξ dτ,



−


x2
g (τ ) dτ
2
4a (t − τ ) (t − τ )3/2

+

298

Ǒਫ®¥­¨ï

£¤¥
G(x, ξ, t) =

1

√
2a πt



exp



−

(x − ξ )2
4a2 t





(x + ξ )2
− exp −
.
4a2 t

3. Ž¡« áâì: 0 < x < +∞. ‚â®à ï ªà ¥¢ ï § ¤ ç .
¯à¨
¯à¨

T = f (x)
∂x T = g (t)

(­ ç «ì­®¥ ãá«®¢¨¥)
(£à ­¨ç­®¥ ãá«®¢¨¥)

t=0
x=0

¥è¥­¨¥:


Z t
x2
g (τ )
a
√
dτ
T =
G(x, ξ, t)f (ξ ) dξ − √
exp − 2
π 0
4a (t − τ )
t−τ
0
Z t Z +∞
+
G(x, ξ, t − τ )(ξ, τ ) dξ dτ,
0 0
Z +∞

+

£¤¥

G(x, ξ, t) =

1

√
2a πt



exp



−



(x − ξ )2
+ exp
4a2 t



−

(x + ξ )2
4a2 t



.

4. Ž¡« áâì: 0 < x < +∞. ’à¥âìï ªà ¥¢ ï § ¤ ç .
T

= f (x)

∂x T − kT

= kg (t)

¯à¨
¯à¨

t=0

(­ ç «ì­®¥ ãá«®¢¨¥)
(£à ­¨ç­®¥ ãá«®¢¨¥)

x=0

¥è¥­¨¥:
T

=

√
2a πt 0
Z t Z +∞

+
£¤¥

Z +∞

1

0

0

ak
G(x, ξ, t)f (ξ ) dξ − √
π

G(x, ξ, t − τ )(ξ, τ ) dξ dτ,






Z

g (τ )
H (x, t − τ ) dτ
√
t−τ
0
t



(x − ξ )2
(x + ξ ) 2
−
G(x, ξ, t) = exp −
+
exp
−
4a2t
4a2t


Z +∞
(x + ξ + η)2
−
kη
dη.
− 2k
exp −
4a2t
0




Z +∞
x2
(x + η ) 2
−k
H (x, t) = exp − 2
−
kη
dη.
exp −
4a t
4a2t
0

+

299

Ǒ.1. ’®ç­ë¥ à¥è¥­¨ï ãà ¢­¥­¨© ⥯«®- ¨ ¬ áᮯ¥à¥­®á

5. Ž¡« áâì: 0 < x < l. Ǒ¥à¢ ï ªà ¥¢ ï § ¤ ç .
5.1. Ž¤­®à®¤­ë¥ £à ­¨ç­ë¥ ãá«®¢¨ï:
T
T
T

¥è¥­¨¥:
T

= f (x)
=0
=0
Z tZ

=

0

£¤¥

l

0

G(x, ξ, t)

t=0
x=0

(­ ç «ì­®¥ ãá«®¢¨¥)
(£à ­¨ç­®¥ ãá«®¢¨¥)
(£à ­¨ç­®¥ ãá«®¢¨¥)

x=l

+

Z

nπξ
l



G(x, ξ, t − τ )(ξ, τ ) dξ dτ

2

=

¯à¨
¯à¨
¯à¨

l

∞
X

n=1

sin

 nπx 
l

sin



l

0

G(x, ξ, t)f (ξ ) dξ,

exp



a2 n 2 π 2 t
−
l2



.

5.2. ¥®¤­®à®¤­ë¥ £à ­¨ç­ë¥ ãá«®¢¨ï:
T
T
T

¯à¨
¯à¨
¯à¨

= f (x)
= g (t )
= h(t)

t=0

(­ ç «ì­®¥ ãá«®¢¨¥)
(£à ­¨ç­®¥ ãá«®¢¨¥)
(£à ­¨ç­®¥ ãá«®¢¨¥)

x=0
x=l

Ǒ¥à¥å®¤ï ª ­®¢®© § ¢¨á¨¬®© ¯¥à¥¬¥­­®© u = u(x, t) ¯® ä®à¬ã«¥
T

= g (t) +

x
[h(t) − g (t)℄ + u,
l

¯®«ã稬 ¤«ï u ­ «®£¨ç­®¥ ãà ¢­¥­¨¥ á ®¤­®à®¤­ë¬¨ £à ­¨ç­ë¬¨
ãá«®¢¨ï¬¨, ª®â®à®¥ à áᬠâਢ «®áì ¢ëè¥ ¢ ¯. 5.1 (¯à¨ í⮬ ᮮ⢥âá⢥­­® ¨§¬¥­ïâáï ä㭪樨 f ¨ ).
¥è¥­¨¥:
T

=

Z tZ
0

+
£¤¥

l

G(x, ξ, t − τ )(ξ, τ ) dξ dτ +
0


∞
 nπx 
2X
a2 n 2 π 2 t
Mn (t) exp −
sin
,
l n=1
l2
l



a2 n 2 π 2 t
,
G(x, ξ, t) =
sin
exp −
sin
l n=1
l
l2
 2 2 2 
Z l
Z
 nπx 
a n π t
a2 nπ t
Mn (t) =
dx +
g (t) dt −
f (x) sin
exp
l
l
l2
0
0
 2 2 2 
Z
a n π t
a2 nπ t
h(t) dt.
− (−1)n
exp
l
l2
0

2

∞
X

 nπx 



nπξ
l



300
6. Ž¡« áâì: 0 < x < l. ‚â®à ï ªà ¥¢ ï § ¤ ç .
Ǒਫ®¥­¨ï

6.1. Ž¤­®à®¤­ë¥ £à ­¨ç­ë¥ ãá«®¢¨ï:
¯à¨
¯à¨
¯à¨

= f (x)
∂x T = 0
∂x T = 0
T

t=0

(­ ç «ì­®¥ ãá«®¢¨¥)
(£à ­¨ç­®¥ ãá«®¢¨¥)
(£à ­¨ç­®¥ ãá«®¢¨¥)

x=0
x=l

¥è¥­¨¥:
T

=

£¤¥

Z tZ
0

l

0

2

G(x, ξ, t) =

+

Z

nπξ
l



G(x, ξ, t − τ )(ξ, τ ) dξ dτ

l

∞
X

n=1

os

 nπx 
l

os



l

0

G(x, ξ, t)f (ξ ) dξ,



a2 n 2 π 2 t
exp −
.
l2

6.2. ¥®¤­®à®¤­ë¥ £à ­¨ç­ë¥ ãá«®¢¨ï:
T = f (x)
∂x T = g (t)
∂x T

= h(t)

¯à¨
¯à¨
¯à¨

t=0
x=0
x=l

(­ ç «ì­®¥ ãá«®¢¨¥)
(£à ­¨ç­®¥ ãá«®¢¨¥)
(£à ­¨ç­®¥ ãá«®¢¨¥)

Ǒ¥à¥å®¤ï ª ­®¢®© § ¢¨á¨¬®© ¯¥à¥¬¥­­®© u = u(x, t) ¯® ä®à¬ã«¥
T

= xg (t) +

x2
[h(t) − g (t)℄ + u,
2l

¯®«ã稬 ¤«ï u ­ «®£¨ç­®¥ ãà ¢­¥­¨¥ á ®¤­®à®¤­ë¬¨ £à ­¨ç­ë¬¨
ãá«®¢¨ï¬¨, ª®â®à®¥ à áᬠâਢ «®áì ¢ëè¥ ¢ ¯. 6.1 (¯à¨ í⮬ ᮮ⢥âá⢥­­® ¨§¬¥­ïâáï ä㭪樨 f ¨ ).

7. Ž¡« áâì: 0 < x < l. ’à¥âìï ªà ¥¢ ï § ¤ ç .
7.1. Ž¤­®à®¤­ë¥ £à ­¨ç­ë¥ ãá«®¢¨ï (b > 0, c > 0):
T = f (x)
∂x T − bT
∂x T

=0
=0

+ cT

¯à¨
¯à¨
¯à¨

t=0
x=0
x=l

(­ ç «ì­®¥ ãá«®¢¨¥)
(£à ­¨ç­®¥ ãá«®¢¨¥)
(£à ­¨ç­®¥ ãá«®¢¨¥)

¥è¥­¨¥:
T

=

Z tZ
0

0

l

G(x, ξ, t − τ )(ξ, τ ) dξ dτ

+

Z

0

l

G(x, ξ, t)f (ξ ) dξ,

Ǒ.1. ’®ç­ë¥ à¥è¥­¨ï ãà ¢­¥­¨© ⥯«®- ¨ ¬ áᮯ¥à¥­®á

£¤¥
G(x, ξ, t) =
yn (x) =
kyn )k2

1

∞
X

kyn k2
n=1

=

301

yn (x)yn (ξ ) exp(−a2 λ2n t),

b
sin(λn x),
λn


c λ2n + b2
b
l
b2
+
1
+
.
+
2λ2n λ2n + c2 2λ2n 2
λ2n

os(λn x) +

‡¤¥áì λn | ¯®«®¨â¥«ì­ë¥ ª®à­¨ âà ­á業¤¥­â­®£® ãà ¢­¥­¨ï:
tg(λl)
λ

=

b+c
.
λ2 − bc

7.2. ¥®¤­®à®¤­ë¥ £à ­¨ç­ë¥ ãá«®¢¨ï:
T

= f (x)

∂x T − bT
∂x T

+ cT

= g (t)
= h(t)

¯à¨
¯à¨
¯à¨

t=0

(­ ç «ì­®¥ ãá«®¢¨¥)
(£à ­¨ç­®¥ ãá«®¢¨¥)
(£à ­¨ç­®¥ ãá«®¢¨¥)

x=0
x=l

Ǒ¥à¥å®¤ï ª ­®¢®© § ¢¨á¨¬®© ¯¥à¥¬¥­­®© u = u(x, t) ¯® ä®à¬ã«¥
T

=

h(t) − (1 + cl)g (t)
b + c + bcl

+x

cg (t) + bh(t)
b + c + bcl

+ u,

¯®«ã稬 ¤«ï u ­ «®£¨ç­®¥ ãà ¢­¥­¨¥ á ®¤­®à®¤­ë¬¨ £à ­¨ç­ë¬¨
ãá«®¢¨ï¬¨, ª®â®à®¥ à áᬠâਢ «®áì ¢ëè¥ ¢ ¯. 7.1 (¯à¨ í⮬ ᮮ⢥âá⢥­­® ¨§¬¥­ïâáï ä㭪樨 f ¨ ).

8. Ž¡« áâì: 0 < x < l. ‘¬¥è ­­ë¥ ªà ¥¢ë¥ § ¤ ç¨.
8.1 . Ž¤­®à®¤­ë¥ £à ­¨ç­ë¥ ãá«®¢¨ï:
= f (x)
=0
∂x T = 0

¯à¨
¯à¨
¯à¨

T
T

t=0
x=0

(­ ç «ì­®¥ ãá«®¢¨¥)
(£à ­¨ç­®¥ ãá«®¢¨¥)
(£à ­¨ç­®¥ ãá«®¢¨¥)

x=l

¥è¥­¨¥:
T

£¤¥

=

Z

0

l

G(x, ξ, t)f (ξ ) dξ +


Z tZ
0

0

l

G(x, ξ, t − τ )(ξ, τ ) dξ dτ,




x − ξ a2 t
x + ξ a2 t
+
−ϑ
,
,
4l
l
4l
l




x − ξ − 2l a2 t
x + ξ − 2l a2 t
−ϑ
.
,
,
+ϑ
4l
l
4l
l

G(x, ξ, t) = ϑ

302

Ǒਫ®¥­¨ï

‡¤¥áì ϑ(x, t) | äã­ªæ¨ï Ÿª®¡¨ (á¬. ¯. 9 ¢ à §¤¥«¥ 1.1).
8.2a. ¥®¤­®à®¤­ë¥ £à ­¨ç­ë¥ ãá«®¢¨ï:
¯à¨
¯à¨
¯à¨

= f (x)
= g (t)
∂x T = h(t)
T
T

t=0
x=0

(­ ç «ì­®¥ ãá«®¢¨¥)
(£à ­¨ç­®¥ ãá«®¢¨¥)
(£à ­¨ç­®¥ ãá«®¢¨¥)

x=l

Ǒ¥à¥å®¤ï ª ­®¢®© § ¢¨á¨¬®© ¯¥à¥¬¥­­®© u = u(x, t) ¯® ä®à¬ã«¥
T

= g (t) + xh(t) + u,

¯®«ã稬 ¤«ï u ­ «®£¨ç­®¥ ãà ¢­¥­¨¥ á ®¤­®à®¤­ë¬¨ £à ­¨ç­ë¬¨
ãá«®¢¨ï¬¨, ª®â®à®¥ à áᬠâਢ «®áì ¢ëè¥ ¢ ¯. 8.1 (¯à¨ í⮬ ᮮ⢥âá⢥­­® ¨§¬¥­ïâáï ä㭪樨 f ¨ ).
8.1¡. Ž¤­®à®¤­ë¥ £à ­¨ç­ë¥ ãá«®¢¨ï:
¯à¨
¯à¨
¯à¨

= f (x)
∂x T = 0
T =0
T

¥è¥­¨¥:
T

=

£¤¥

Z

0

l

t=0

(­ ç «ì­®¥ ãá«®¢¨¥)
(£à ­¨ç­®¥ ãá«®¢¨¥)
(£à ­¨ç­®¥ ãá«®¢¨¥)

x=0
x=l

G(x, ξ, t)f (ξ ) dξ +

Z tZ
0

0

l

G(x, ξ, t − τ )(ξ, τ ) dξ dτ,




x − ξ a2 t
x + ξ a2 t
+ϑ
−
,
,
4l
l
4l
l




x − ξ − 2l a2 t
x + ξ − 2l a2 t
−ϑ
.
,
,
−ϑ
4l
l
4l
l

G(x, ξ, t) = ϑ



‡¤¥áì ϑ(x, t) | äã­ªæ¨ï Ÿª®¡¨ (á¬. ¯. 9 ¢ à §¤¥«¥ 1.1).
8.2¡. ¥®¤­®à®¤­ë¥ £à ­¨ç­ë¥ ãá«®¢¨ï:
¯à¨
¯à¨
¯à¨

= f (x)
∂x T = g (t)
T = h(t)
T

t=0

x=0
x=l

(­ ç «ì­®¥ ãá«®¢¨¥)
(£à ­¨ç­®¥ ãá«®¢¨¥)
(£à ­¨ç­®¥ ãá«®¢¨¥)

Ǒ¥à¥å®¤ï ª ­®¢®© § ¢¨á¨¬®© ¯¥à¥¬¥­­®© u = u(x, t) ¯® ä®à¬ã«¥
T

= (x − l)g (t) + h(t) + u,

¯®«ã稬 ¤«ï u ­ «®£¨ç­®¥ ãà ¢­¥­¨¥ á ®¤­®à®¤­ë¬¨ £à ­¨ç­ë¬¨
ãá«®¢¨ï¬¨, ª®â®à®¥ à áᬠâਢ «®áì ¢ëè¥ ¢ ¯. 8.1¡ (¯à¨ í⮬ ᮮ⢥âá⢥­­® ¨§¬¥­ïâáï ä㭪樨 f ¨ ).

Ǒ.1. ’®ç­ë¥ à¥è¥­¨ï ãà ¢­¥­¨© ⥯«®- ¨ ¬ áᮯ¥à¥­®á

303

1.3. “à ¢­¥­¨ï á ®¡ê¥¬­®© ॠªæ¨¥©

1.

∂T
∂t

2

= a2 ∂∂xT2 + bT.

Ǒਠb < 0 íâ® ãà ¢­¥­¨¥ ¢áâà¥ç ¥âáï ¢ § ¤ ç å ¬ áᮯ¥à¥­®á á
®¡ê¥¬­®© 娬¨ç¥áª®© ॠªæ¨¥©.
1. ¥ª®â®àë¥ ç áâ­ë¥ à¥è¥­¨ï (A, B, λ | ¯à®¨§¢®«ì­ë¥
¯®áâ®ï­­ë¥):
1.
2.
3.
4.

T

5.

T

T
T
T

= (Ax + B )ebt ,


= A exp (a2 λ2 + b)t ± λx + B,


= A exp (b − a2 λ2 )t os(λx) + B,


= A exp (b − a2 λ2 )t sin(λx) + B,


x2
1
= A √ exp − 2 + bt + B,
4a t
t



x2
− 2 + bt + B,
4a t


x
7. T = Aebt erf
+ B,
√
2a t

6.

T

=A

x
t3/2

exp

£¤¥ erf z | ¨­â¥£à « ¢¥à®ïâ­®á⥩.

2. “¯à®é î饥 ¯à¥®¡à §®¢ ­¨¥. ‡

¬¥­ T = ebt u ¯à¨¢®¤¨â ª
ãà ¢­¥­¨î
ª®â®à®¥ à áᬠâਢ ¥âáï ¢ à §¤¥«¥ 1.1.  ç «ì­®¥ ãá«®¢¨¥ ¤«ï ­®¢®© ¯¥à¥¬¥­­®© u ­¥ ¬¥­ï¥âáï, ­¥®¤­®à®¤­ ï
ç áâì ¢ £à ­¨ç­ëå ãá«®¢¨ïå 㬭® ¥âáï ­ äã­ªæ¨î e−bt . “ç¨âë¢ ï
᪠§ ­­®¥ ­¥âà㤭® ¯®«ãç¨âì à¥è¥­¨¥ ¨á室­®£® ãà ¢­¥­¨ï á ­ ç «ì­ë¬¨ ¨ £à ­¨ç­ë¬¨ ãá«®¢¨ï¬¨, ª®â®àë¥ à áᬠâਢ «¨áì ¢ à §¤¥«¥ 1.1. „«ï ¯à¨¬¥à ¯à¨¢¥¤¥¬ ­¨¥ à¥è¥­¨ï ¤¢ãå ⨯¨ç­ëå § ¤ ç.
∂t u = a2 ∂xx u,

3. Ž¡« áâì: −∞ < x < +∞.
T

= f (x)

¯à¨

t=0

Z +∞

exp

(­ ç «ì­®¥ ãá«®¢¨¥)

¥è¥­¨¥:
T

=

1

√
2a πt

−∞



−

(x − ξ )2
+ bt
4a2 t



f (ξ ) dξ.

4. Ž¡« áâì: 0 < x < +∞. Ǒ¥à¢ ï ªà ¥¢ ï § ¤ ç .
T
T

= f (x)
= g (t )

¯à¨
¯à¨

t=0
x=0

(­ ç «ì­®¥ ãá«®¢¨¥)
(£à ­¨ç­®¥ ãá«®¢¨¥)

304

Ǒਫ®¥­¨ï

¥è¥­¨¥:
T

2.

=





Z +∞ 
(x − ξ )2
(x + ξ )2
1
exp −
exp
−
ebt f (ξ ) dξ +
−
√
4a 2 t
4a2t
2a πt 0


Z t
x2
x
g (τ ) dτ
+ √
exp − 2
exp[b(t − τ )℄
.
4a (t − τ )
2a π 0
(t − τ )3/2

∂T
∂t

2

= a2 ∂∂xT2 + bT + (x, t).

‡ ¬¥­ T = ebt u ¯à¨¢®¤¨â ª ãà ¢­¥­¨î ∂t u = a2 ∂xx u + e−bt (x, t),
ª®â®à®¥ ¯®¤à®¡­® à áᬠâਢ ¥âáï ¢ à §¤¥«¥ 1.2.

3.

∂T
∂t

2

= a2 ∂∂xT2 + b ∂T
+ cT + (x, t).
∂x

‡ ¬¥­ T = exp(λt + µx)u, £¤¥ λ = c− 14 b2/a2, µ = − 12 b/a2, ¯à¨¢®¤¨â
ª ãà ¢­¥­¨î ∂t u = a2 ∂xx u + exp(−λt − µx)(x, t), ª®â®à®¥ ¯®¤à®¡­®
à áᬠâਢ ¥âáï ¢ à §¤¥«¥ 1.2.
1.4. “à ¢­¥­¨ï á ¯¥à¥¬¥­­ë¬¨ ª®íää¨æ¨¥­â ¬¨

1.

∂T
∂t

= a2

 2
∂ T
∂r 2

+ 1r

∂T
∂r



.

â® ãà ¢­¥­¨¥ ¢áâà¥ç ¥âáï ¢ ¯«®áª¨å § ¤ ç å ⥯«®¯à®¢®¤­®áâ¨
(⥯«®®¡¬¥­ ªà㣮¢®£® 樫¨­¤à á ®ªàã î饩 á।®©, r | à ¤¨«ì­ ï ª®®à¤¨­ â ).

1. ¥ª®â®àë¥ ç áâ­ë¥ à¥è¥­¨ï

¯®áâ®ï­­ë¥):

1.
2.

T
T

(A,

B, λ

| ¯à®¨§¢®«ì­ë¥

= A + B ln r,
= A + 4a2Bt + Br2 ,



r2
B
3. T = A + exp − 2 ,
t
4a t
Z ζ
dz
4. T = A + B e−z , ζ =
z
1
5. T = exp(−a2 λ2 t)J0 (λr),

£¤¥ J0 (z ) | äã­ªæ¨ï ¥áᥫï.

r2
,
4a2 t

Ǒ.1. ’®ç­ë¥ à¥è¥­¨ï ãà ¢­¥­¨© ⥯«®- ¨ ¬ áᮯ¥à¥­®á

305

2. Ž¡« áâì: 0 < r < R. Ǒ¥à¢ ï ªà ¥¢ ï § ¤ ç .
2.1.

T
T
T

= T0
= TR
=
6 ∞

¯à¨
¯à¨
¯à¨

t=0
r=R
r

=0

(­ ç «ì­®¥ ãá«®¢¨¥)
(£à ­¨ç­®¥ ãá«®¢¨¥)
(£à ­¨ç­®¥ ãá«®¢¨¥)

£¤¥ T0 = onst, TR = onst.
¥è¥­¨¥:
T (r, t) − TR
T0 − TR

=

∞
X

n=1

2
exp
µn J1 (µn )


 
a2 t
r 
,
−µ2n 2 J0 µn
R
R

£¤¥ µn | ª®à­¨ ä㭪樨 ¥áᥫï: J0 (µn ) = 0. Ǒਢ¥¤¥¬ ç¨á«¥­­ë¥
§­ 祭¨ï ¯¥à¢ëå ¯ï⨠ª®à­¥© (á â®ç­®áâìî ¤® ç¥â¢¥à⮣® §­ ª
¯®á«¥ § ¯ï⮩): µ1 = 2,4048; µ2 = 5,5201; µ3 = 8,6537; µ4 = 11,7915;
µ5 = 14,9309. Ǒਠn → ∞ ¨¬¥¥¬ µn+1 − µn → π .
2.2.

T
T
T

¥è¥­¨¥:

= f (r)
=0
=
6 ∞

T (r, t) =

£¤¥

¯à¨
¯à¨
¯à¨

t=0

r=R
r=0

(­ ç «ì­®¥ ãá«®¢¨¥)
(£à ­¨ç­®¥ ãá«®¢¨¥)
(£à ­¨ç­®¥ ãá«®¢¨¥)


 
a2 µ2n t
r 
,
J0 µn
An exp −
2
R
R
n=1
∞
X

Z


R
r 
2
An = 2 2
rf (r)J0 µn
dr.
R
R J1 (µn ) 0
‡¤¥áì µn | ª®à­¨ ä㭪樨 ¥áᥫï: J0 (µn ) = 0.

3. Ž¡« áâì: 0 < r < R. ‚â®à ï ªà ¥¢ ï § ¤ ç .

3.1.

T
∂r T
T

= T0
= gR
6 ∞
=

¯à¨
¯à¨
¯à¨

£¤¥ T0 = onst, gR = onst.
¥è¥­¨¥:

t=0
r=R
r

=0

(­ ç «ì­®¥ ãá«®¢¨¥)
(£à ­¨ç­®¥ ãá«®¢¨¥)
(£à ­¨ç­®¥ ãá«®¢¨¥)



a2 t
1
r2
T (r, t) = T0 + gR R 2 2 −
1−2 2 −
R
4
R

 
∞

2
X
2
2 a t J µ r
−µ
−
exp
n
0 nR ,
µ2n J0 (µn )
R2
n=1


306

Ǒਫ®¥­¨ï

£¤¥ µn | ª®à­¨ ä㭪樨 ¥áᥫï: J1 (µn ) = 0. Ǒਢ¥¤¥¬ ç¨á«¥­­ë¥
§­ 祭¨ï ¯¥à¢ëå ¯ï⨠ª®à­¥© (á â®ç­®áâìî ¤® ç¥â¢¥à⮣® §­ ª
¯®á«¥ § ¯ï⮩): µ1 = 3,8317; µ2 = 7,0156; µ3 = 10,1735; µ4 = 13,3237;
µ5 = 16,4706. Ǒਠn → ∞ ¨¬¥¥¬ µn+1 − µn → π .
3.2.

T

= f (r)

¯à¨
¯à¨
¯à¨

∂r T = g (t)
T =
6 ∞

(­ ç «ì­®¥ ãá«®¢¨¥)
(£à ­¨ç­®¥ ãá«®¢¨¥)
(£à ­¨ç­®¥ ãá«®¢¨¥)

t=0
r
r

=R
=0

¥è¥­¨¥:
T (r, t) =

£¤¥

2

Z

R

Z

t

g (τ ) dτ +
R 0


µ r
a2 µ2 t
exp − 2n J0 n Hn (r, t),
+
R
R
n=1
R2 0
∞
X

Hn (r, t) =

rf (r) dr +

2a



Z

µ r
2 R
1
n
rf (r)J0
dr +
2
2
J0 (µn ) R 0
R
 2 2  
Z
2a t
a µn τ
+
g (τ ) exp
dτ .
2
R

R

0

‡¤¥áì µn | ª®à­¨ ä㭪樨 ¥áᥫï: J1 (µn ) = 0.

4. Ž¡« áâì: 0 < r < R. ’à¥âìï ªà ¥¢ ï § ¤ ç .
T
∂r T
T

= T0
= k(TR − T )
=
6 ∞

¯à¨
¯à¨
¯à¨

t=0

r=R
r=0

(­ ç «ì­®¥ ãá«®¢¨¥)
(£à ­¨ç­®¥ ãá«®¢¨¥)
(£à ­¨ç­®¥ ãá«®¢¨¥)

£¤¥ k = onst, T0 = onst, TR = onst.
¥è¥­¨¥:
T (r, t) − T0
TR − T0


 
µn r 
a2 µ2n t
,
J
=1−
An exp −
0
R2
R
n=1
∞
X

£¤¥
An

=

2J1 (µn )
.
2
µn [J0 (µn ) + J12 (µn )℄

‡¤¥áì µn | ¯®«®¨â¥«ì­ë¥ ª®à­¨ âà ­á業¤¥­â­®£® ãà ¢­¥­¨ï:
µn J1 (µn ) − kRJ0 (µn ) = 0.

Ǒ.1. ’®ç­ë¥ à¥è¥­¨ï ãà ¢­¥­¨© ⥯«®- ¨ ¬ áᮯ¥à¥­®á

2.

∂T
∂t

= a2

+ 2r

 2
∂ T
∂r 2

∂T
∂r



307

.

â® ãà ¢­¥­¨¥ ¢áâà¥ç ¥âáï ¢ ®á¥á¨¬¬¥âà¨ç­ëå § ¤ ç å ⥯«®¯à®¢®¤­®á⨠(⥯«®®¡¬¥­ è à á ®ªàã î饩 á।®©, r | à ¤¨ «ì­ ï
ª®®à¤¨­ â ). ‡ ¬¥­ u(r, t) = rT (r, t) ¯à¨¢®¤¨â ª ãà ¢­¥­¨î á ¯®áâ®ï­­ë¬¨ ª®íää¨æ¨¥­â ¬¨ ∂t u = a2 ∂rr u, ª®â®à®¥ à áᬠâਢ ¥âáï ¢
à §¤¥«¥ 1.1.
1. ¥ª®â®àë¥ ç áâ­ë¥ à¥è¥­¨ï (A, B, λ | ¯à®¨§¢®«ì­ë¥
¯®áâ®ï­­ë¥):
1
1. T = A + B ,
2.

T

3.

T

4.

T

5.
6.
7.

T

r
2
= A + 6a Bt + Br2 ,


r2
B
= A + 3/2 exp − 2 ,
4a t
t


r2
B
= A + √ exp − 2 ,
4a t
r t
2
2
−1
= Ar exp(a λ t ± λr) + B,

= Ar−1 exp(−a2 λ2 t) os(λr) + B,
= Ar−1 exp(−a2 λ2 t) sin(λr) + B.

T
T

2. Ž¡« áâì: 0 < r < R. Ǒ¥à¢ ï ªà ¥¢ ï § ¤ ç .
2.1.

T
T
T

= T0
= TR
6 ∞
=

¯à¨
¯à¨
¯à¨

t=0
r=R
r

=0

(­ ç «ì­®¥ ãá«®¢¨¥)
(£à ­¨ç­®¥ ãá«®¢¨¥)
(£à ­¨ç­®¥ ãá«®¢¨¥)

£¤¥ T0 = onst, TR = onst.
¥è¥­¨¥:
T (r, t) − TR
T0 − TR

2.2.

T
T
T

¥è¥­¨¥:

=2

∞
X
(−1)n+1 R
πnr
n=1

= f (r)
= TR
=
6 ∞

T (r, t) =

¯à¨
¯à¨
¯à¨

∞
X
An
r
n=1

sin

sin

t=0

r=R
r=0

 πnr 
R

exp



a2 π 2 n 2 t
−
.
R2

(­ ç «ì­®¥ ãá«®¢¨¥)
(£à ­¨ç­®¥ ãá«®¢¨¥)
(£à ­¨ç­®¥ ãá«®¢¨¥)



µ r
a2 µ2 t
n
exp − 2n ,
R
R

308

Ǒਫ®¥­¨ï

£¤¥
An

2

=

R

Z

R

0

rf (r) sin

µ r
n
dr.
R

3. Ž¡« áâì: 0 < r < R. ‚â®à ï ªà ¥¢ ï § ¤ ç .
3.1.

= T0
= gR
6 ∞
=

T
∂r T
T

¯à¨
¯à¨
¯à¨

(­ ç «ì­®¥ ãá«®¢¨¥)
(£à ­¨ç­®¥ ãá«®¢¨¥)
(£à ­¨ç­®¥ ãá«®¢¨¥)

t=0
r=R
r

=0

£¤¥ T0 = onst, gR = onst.
¥è¥­¨¥:
T (r, t) = T0 + gR R
−

∞
X



µ3n

n=1

3a 2 t
R2

+

5r2 − 3R2
10R2

−

µ r
2R
sin n exp
os(µn )r
R



a2 µ2n t
−
,
R2

£¤¥ µn | ¯®«®¨â¥«ì­ë¥ ª®à­¨ âà ­á業¤¥­â­®£® ãà ¢­¥­¨ï: tg(µn ) −
− µn = 0. Ǒਢ¥¤¥¬ ç¨á«¥­­ë¥ §­ 祭¨ï ¯¥à¢ëå ¯ï⨠ª®à­¥© (á
â®ç­®áâìî ¤® ç¥â¢¥à⮣® §­ ª ¯®á«¥ § ¯ï⮩): µ1 =4,4934; µ2 =7,7253;
µ3 = 10,9041; µ4 = 14,0662; µ5 = 17,2208.
3.2.

T

= f (r)

¯à¨
¯à¨
¯à¨

∂r T = g (t)
T =
6 ∞

(­ ç «ì­®¥ ãá«®¢¨¥)
(£à ­¨ç­®¥ ãá«®¢¨¥)
(£à ­¨ç­®¥ ãá«®¢¨¥)

t=0
r
r

=R
=0

¥è¥­¨¥:
T (r, t) =

£¤¥
Hn (r, t) =

3

Z

R

r2 f (r) dr +

3a

Z

t

g (τ ) dτ +
R 0


∞
µ r
X
a2 µ2n t
exp − 2 sin n Hn (r, t),
+
R
R
n=1
R3

0

2
os(µn )r



1

Z

R

rf (r) sin
µ2n
Rµn 0
 2 2  
Z t
a µn τ
dτ .
+ a g (τ ) exp
R2
0

µ r
n
dr +
R

Ǒ.1. ’®ç­ë¥ à¥è¥­¨ï ãà ¢­¥­¨© ⥯«®- ¨ ¬ áᮯ¥à¥­®á

309

‡¤¥áì µn | ¯®«®¨â¥«ì­ë¥ ª®à­¨ âà ­á業¤¥­â­®£® ãà ¢­¥­¨ï:
tg(µn ) − µn = 0.

4. Ž¡« áâì: 0 < r < R. ’à¥âìï ªà ¥¢ ï § ¤ ç .
T
∂r T
T

= T0
= k(TR − T )
=
6 ∞

¯à¨
¯à¨
¯à¨

t=0

(­ ç «ì­®¥ ãá«®¢¨¥)
(£à ­¨ç­®¥ ãá«®¢¨¥)
(£à ­¨ç­®¥ ãá«®¢¨¥)

r=R
r=0

£¤¥ k = onst, T0 = onst, TR = onst.
¥è¥­¨¥:
T (r, t) − T0
TR − T0

£¤¥

=1−

∞
X

n=1

An

R
r

sin



µ r
a2 µ2 t
n
exp − 2n ,
R
R

2 sin µn − µn os µn
.
µn µn − sin µn os µn
‡¤¥áì µn | ¯®«®¨â¥«ì­ë¥ ª®à­¨ âà ­á業¤¥­â­®£® ãà ¢­¥­¨ï:
(kR − 1) tg(µn ) + µn = 0.
An

3.

∂T
∂t

=

∂2T
∂x2

=

+ 1 −x2β

∂T
∂x

,

0 < β < 1.

â® ãà ¢­¥­¨¥ ¢áâà¥ç ¥âáï ¢ § ¤ ç å ¤¨ää㧨®­­®£® ¯®£à ­¨ç­®£® á«®ï.

1. ¥ª®â®àë¥ ç áâ­ë¥ à¥è¥­¨ï:
T
T
T
T
T
T
T

= A + Bx2β ,
a, b = onst,
= A + 4(1 − β )Bt + Bx2 ,



x2
= A + Bt exp −
,
4t


x2β
x2
= A + B β +1 exp −
,
4t
t
Z ζ
x2
= A + B z β−1e−z dz, ζ = ,
4t
0
 


β
2
2
x
λx
x +λ
=A+B
exp −
Iβ
,
t
4t
2t




λx
x2 + λ2
xβ
I−β
,
=A+B
exp −
t
4t
2t
β−1

£¤¥ A, B , λ | ¯à®¨§¢®«ì­ë¥ ¯®áâ®ï­­ë¥, Iβ (z ) | ¬®¤¨ä¨æ¨à®¢ ­­ ï
äã­ªæ¨ï ¥áᥫï.

310
2. Ž¡« áâì: 0 6 x < ∞. Ǒ¥à¢ ï ªà ¥¢ ï § ¤ ç .
Ǒਫ®¥­¨ï

¯à¨
¯à¨

= f (x)
= g (t )

T
T

(­ ç «ì­®¥ ãá«®¢¨¥)
(£à ­¨ç­®¥ ãá«®¢¨¥)

t=0
x=0

¥è¥­¨¥:
T

 


ξx
x2 + ξ 2
1
−β
Iβ
dξ +
f (ξ )ξ
exp −
4t
2t
0


Z t
x2
dτ
x2β
−
.
g
(
τ
)
exp
4(t − τ ) (t − τ )1+β
22β (β ) 0

xβ
2t

=

+

Z

∞

— áâ­ë© á«ãç ©: f (x) = a, g(x) = b, £¤¥ a, b | ª®­áâ ­âë.
¥è¥­¨¥:
(a − b)  x2 
T =
γ β,
+ b,
(β )
4t
£¤¥ γ (β, z ) =

Z

z

| ­¥¯®«­ ï £ ¬¬ -äã­ªæ¨ï, (β ) = γ (β, +∞) |

ξ β−1 e−ξ dξ

0

£ ¬¬ -äã­ªæ¨ï.

3. Ž¡« áâì: 0 6 x < ∞. ‚â®à ï ªà ¥¢ ï § ¤ ç .
T

= f (x)

¯à¨
¯à¨



x1−2β ∂x T = g (t)

t=0

x=0

(­ ç «ì­®¥ ãá«®¢¨¥)
(£à ­¨ç­®¥ ãá«®¢¨¥)

¥è¥­¨¥:
T

=

xβ
2t
−





ξx
x2 + ξ 2
f (ξ )ξ 1−β exp −
I−β
dξ −
4t
2t
0


Z t
x2
dτ
22β−1
.
g (τ ) exp −
(1 − β ) 0
4(t − τ ) (t − τ )1−β
Z

∞

4. Ž¡« áâì: 0 6 x < ∞. ’à¥âìï ªà ¥¢ ï § ¤ ç .
T

=0

[x1−2β ∂x T

+ a(Ts − T )℄ = 0

¯à¨
¯à¨

t=0

x=0

(­ ç «ì­®¥ ãá«®¢¨¥)
(£à ­¨ç­®¥ ãá«®¢¨¥)

£¤¥ a ¨ Ts | ­¥ª®â®àë¥ ¯®áâ®ï­­ë¥.
¥è¥­¨¥:
T

=

22β−1
(1 − β )

Z

0

t


ϕ(τ ) exp −


x2
dτ
,
4(t − τ ) (t − τ )1−β

311

Ǒ.2. Ǒ८¡à §®¢ ­¨ï ãà ¢­¥­¨© ⥯«®- ¨ ¬ áᮯ¥à¥­®á

£¤¥ äã­ªæ¨ï ϕ(t) § ¤ ¥âáï ¢ ¢¨¤¥ á⥯¥­­®£® àï¤
ϕ(t) =

(−λtβ )n
,
(nβ + 1)

∞
X

n=0

22β−1a (β )
,
(1 − β )

λ=

ª®â®àë© á室¨âáï ¤«ï ¢á¥å x.

4.

∂T
∂t

2

= a2x1−k ∂∂xT2 ,

0 < k < ∞.

â® ãà ¢­¥­¨¥ ¢áâà¥ç ¥âáï ¢ § ¤ ç å ¤¨ää㧨®­­®£® ¯®£à ­¨ç­®£® á«®ï.
Ǒ८¡à §®¢ ­¨¥
τ

=

2
1 2
4 a (k + 1) t,

=x

ξ

k+1

2

¯à¨¢®¤¨â ª ãà ¢­¥­¨î 3 ¨§ í⮣® à §¤¥« :
∂2T
∂ξ 2

1 − 2β

1
.
ξ
k+1
„«ï 0 6 x < ∞ à¥è¥­¨¥ ¨á室­®£® ãà ¢­¥­¨ï ¯à¨ ­ ¨¡®«¥¥
à á¯à®áâà ­¥­­ëå ãá«®¢¨ïå
∂T
∂τ

=

+

T
T

∂T
,
∂ξ

= T0
= Ts

¯à¨
¯à¨

£¤¥

β

=

ν

=

t=0

x=0

£¤¥ T0 = onst, Ts = onst, ¨¬¥¥â ¢¨¤
T − Ts
T0 − Ts

1
=
γ
(ν )



xk+1
2
ν, ν
,
t

£¤¥ (ν ) = γ (ν, ∞) | £ ¬¬ -äã­ªæ¨ï, γ (ν, ζ ) =
­ ï £ ¬¬ -äã­ªæ¨ï.

Z

ζ

0

1

k+1

,

ζ ν−1 e−ζ dζ | ­¥¯®«-

Ǒ.2. Ǒ८¡à §®¢ ­¨ï ãà ¢­¥­¨© ⥯«®¨ ¬ áᮯ¥à¥­®á
1. ˆ­â¥£à « „î ¬¥«ï. Ž¤­®à®¤­®¥ ãà ¢­¥­¨¥ á ­¥®¤­®à®¤­ë¬ £à ­¨ç­ë¬ ãá«®¢¨¥¬.

¥è¥­¨¥ ªà ¥¢®© § ¤ ç¨
∂T
∂t

T
T
T

= a(x)

=0
¯à¨
= g(t) ¯à¨
=0
¯à¨

∂2 T
∂x2

t=0
x=0
x=l

+ b(x)

∂T
∂x

+ c(x)T

(­ ç «ì­®¥ ãá«®¢¨¥)
(£à ­¨ç­®¥ ãá«®¢¨¥)
(£à ­¨ç­®¥ ãá«®¢¨¥)

(1)
(2)
(3)
(4)

312

Ǒਫ®¥­¨ï

á ­¥áâ 樮­ à­ë¬ £à ­¨ç­ë¬ ãá«®¢¨¥¬ ¯à¨
ä®à¬ã«¥ (¨­â¥£à « „«ï)
T (x, t)

=

Z

t

0

x

= 0 ¬®¥â ¡ëâì ¢ëà ¥­® ¯®

∂W
(x, t − τ )g(τ ) dτ
∂t

ç¥à¥§ à¥è¥­¨¥ W (x, t) ¢á¯®¬®£ ⥫쭮© § ¤ ç¨ ¤«ï ãà ¢­¥­¨ï (1) á ­ ç «ì­ë¬
¨ £à ­¨ç­ë¬ ãá«®¢¨¥¬ (2), (4) (¢ ãà ¢­¥­¨¨, ­ ç «ì­®¬ ¨ £à ­¨ç­®¬ ãá«®¢¨ïå
á«¥¤ã¥â § ¬¥­¨âì T ­ W ) ¡®«¥¥ ¯à®áâë¬ áâ 樮­ à­ë¬ £à ­¨ç­ë¬ ãá«®¢¨¥¬
¯à¨ x = 0:
W = 1 ¯à¨ x = 0
(£à ­¨ç­®¥ ãá«®¢¨¥)
(5)
“ª § ­­ãî ä®à¬ã«ã ¬®­® ¨á¯®«ì§®¢ âì ¨ ¯à¨ l = ∞.
€­ «®£¨ç­ ï ä®à¬ã« ¡ã¤¥â á¯à ¢¥¤«¨¢ ¤«ï ®¤­®à®¤­®£® £à ­¨ç­®£® ãá«®¢¨ï ¯à¨ x = a ¨ ­¥®¤­®à®¤­®£® ­¥áâ 樮­ à­®£® £à ­¨ç­®£® ãá«®¢¨ï ¯à¨ x = b.
2. ˆ­â¥£à « „î ¬¥«ï. ¥®¤­®à®¤­®¥ ãà ¢­¥­¨¥ á ®¤­®à®¤­ë¬ £à ­¨ç­ë¬ ãá«®¢¨¥¬.

∂T
∂t

¥è¥­¨¥ ªà ¥¢®© § ¤ ç¨ ¤«ï ­¥®¤­®à®¤­®£® ãà ¢­¥­¨ï

= a(x, t)
T
T
T

∂2 T
∂x2

= 0 ¯à¨
= 0 ¯à¨
= 0 ¯à¨

+ b(x, t)

=0
=0
x=l

∂T
∂x

+ c(x, t)T + (x, t)

(6)

(­ ç «ì­®¥ ãá«®¢¨¥)
(£à ­¨ç­®¥ ãá«®¢¨¥)
(£à ­¨ç­®¥ ãá«®¢¨¥)

t

x

(7)
(8)
(9)

¬®¥â ¡ëâì ¢ëà ¥­® ¯® ä®à¬ã«¥ (¨­â¥£à « „î ¬¥«ï)
T (x, t)

=

Z

t

U (x, t − τ ; τ ) dτ

0

ç¥à¥§ à¥è¥­¨¥ U (x, t; τ ) ¢á¯®¬®£ ⥫쭮© § ¤ ç¨ ¤«ï ®¤­®à®¤­®£® ãà ¢­¥­¨ï
∂U
∂t

= a(x, t)

∂2U
∂x2

+ b(x, t)

∂U
∂x

+ c(x, t)U

á £à ­¨ç­ë¬¨ ãá«®¢¨ï¬¨ (8), (9) (¢ ª®â®àëå á«¥¤ã¥â § ¬¥­¨âì
­¥®¤­®à®¤­ë¬ ­ ç «ì­ë¬ ãá«®¢¨¥¬, § ¢¨áï騬 ®â ¯ à ¬¥âà τ :
U

= (x, τ ) ¯à¨

t=

0

(10)
T

(­ ç «ì­®¥ ãá«®¢¨¥)

­

U)

(11)

“ª § ­­ãî ä®à¬ã«ã ¬®­® ¨á¯®«ì§®¢ âì ¨ ¯à¨ l = ∞.
3. ‡ ¤ ç¨ á ý®¡ê¥¬­®© ॠªæ¨¥©þ.  áᬮâਬ ªà ¥¢ãî § ¤ çã
∂T
∂t
T
T
T

=0
= T0
= Tl

= a(x)
¯à¨
¯à¨
¯à¨

∂2 T
∂x2

t=0
x=0
x=l

£¤¥ k, T0 , Tl | ­¥ª®â®àë¥ ¯®áâ®ï­­ë¥.

+ b(x)

∂T
− kT
∂x

(­ ç «ì­®¥ ãá«®¢¨¥)
(£à ­¨ç­®¥ ãá«®¢¨¥)
(£à ­¨ç­®¥ ãá«®¢¨¥)

(12)
(13)
(14)
(15)

313

Ǒ.3. Žà⮣®­ «ì­ë¥ ªà¨¢®«¨­¥©­ë¥ á¨áâ¥¬ë ª®®à¤¨­ â

“à ¢­¥­¨¥ (12) ç áâ® ¢áâà¥ç ¥âáï ¢ § ¤ ç å 娬¨ç¥áª®© â¥å­®«®£¨¨, £¤¥
äã­ªæ¨ï T ¨£à ¥â à®«ì ª®­æ¥­âà 樨, ¯ à ¬¥âà k ¨£à ¥â à®«ì ª®­áâ ­âë
᪮à®á⨠®¡ê¥¬­®© 娬¨ç¥áª®© ॠªæ¨¨.
¥è¥­¨¥ § ¤ ç¨ á ®¡ê¥¬­®© ॠªæ¨¥© (12) | (15) ¬®­® ¢ëà §¨âì ¯® ä®à¬ã«¥
T (x, t)

=k

Z

t

0

e(x, τ ) dτ
e−kτ T

+ e−kt Te (x, t)

ç¥à¥§ à¥è¥­¨¥ Te (x, t) ¡®«¥¥ ¯à®á⮣® ¢á¯®¬®£ ⥫쭮© ãà ¢­¥­¨ï ¡¥§ ®¡ê¥¬­®©
娬¨ç¥áª®© ॠªæ¨¨
e
∂T
∂t

= a(x)

e
∂2 T
∂x2

+ b(x)

e
∂T
∂x

(16)

á ⥬¨ ¥ ­ ç «ì­ë¬ ¨ £à ­¨ç­ë¬¨ ãá«®¢¨ï¬¨ (13) | (15) (¢ ª®â®àëå á«¥¤ã¥â
§ ¬¥­¨âì T ­ Te ). “ª § ­­ãî ä®à¬ã«ã ¬®­® ¨á¯®«ì§®¢ âì ¨ ¯à¨ l = ∞.

Ǒ.3. Žà⮣®­ «ì­ë¥ ªà¨¢®«¨­¥©­ë¥ á¨á⥬ë
ª®®à¤¨­ â
Ǒਠá®áâ ¢«¥­¨¨ í⮣® à §¤¥« ¨á¯®«ì§®¢ ­ë ª­¨£¨ [89, 178℄.

ª®®à¤¨­ â. Šà¨¢®«¨­¥©­ë¥
§ ¤ îâáï ª ª ä㭪樨 ¯àאַ㣮«ì­ëå ¤¥ª à⮢ëå ª®®à-

1. Ǒந§¢®«ì­ ï ®à⮣®­ «ì­ ï á¨á⥬
2
3

ª®®à¤¨­ âë x1 ,
¤¨­ â x, y, z :

x

x1

,

x

= x1 (x, y, z ),

x2

= x2 (x, y, z ),

x3

= x3 (x, y, z ).

ˆá¯®«ì§ãï í⨠¢ëà ¥­¨ï ¬®­® ¢ëà §¨âì x, y, z ç¥à¥§ ªà¨¢®«¨­¥©­ë¥ ª®®à¤¨­ âë x1 , x2 , x3 :
x

= x(x1 , x2 , x3 ),

y

= y(x1 , x2 , x3 ),

Š®¬¯®­¥­âë ¬¥âà¨ç¥áª®£® ⥭§®à


gij

∂x ∂x
∂xi ∂xj

z

= z (x1 , x2 , x3 ).

®¯à¥¤¥«ïîâáï ¯® ä®à¬ã« ¬
∂y ∂y
∂xi ∂xj

gij (x1 , x2 , x3 )

=

gij (x1 , x2 , x3 )

= gji (x1 , x2 , x3 );

+

i, j

+

∂z ∂z
∂xi ∂xj

= 1, 2, 3.



1 2 3

x ,x ,x

;

‘¨á⥬ ª®®à¤¨­ â ï¥âáï ®à⮣®­ «ì­®©, ¥á«¨ ¢ë¯®«­ïîâáï ᮮ⭮襭¨ï
gij (x1 , x2 , x3 )

= 0 ¯à¨

i=
6 j.

‚ í⮬ á«ãç ¥ âà¥â¨© ¨­¢ ਠ­â ¬¥âà¨ç¥áª®£® ⥭§®à ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ä®à¬ã«®©
g

= g11 g22 g33 .

¨¥ ¯à¨¢¥¤¥­ë ®á­®¢­ë¥ ¤¨ää¥à¥­æ¨ «ì­ë¥ ®¯¥à â®àë ¢ ®à⮣®­ «ì­®©
ªà¨¢®«¨­¥©­®© á¨á⥬¥ ª®®à¤¨­ â x1 , x2 , x3 . ‘®®â¢¥âáâ¢ãî騥 ¥¤¨­¨ç­ë¥ ­ ¯à ¢«ïî騥 ¢¥ªâ®à ®¡®§­ ç îâáï ~e1 , ~e2 , ~e3 .

314

Ǒਫ®¥­¨ï

ƒà ¤¨¥­â ᪠«ïà

p:

∇p = √

„¨¢¥à£¥­æ¨ï ¢¥ªâ®à
∇ · ~v

=

1

√

g



1 ∂p ~
i
g11 ∂x1 1

√

1 ∂p ~
i
g22 ∂x2 2

+

√

1 ∂p ~
i .
g33 ∂x3 3

= ~i1 v1 + ~i2 v2 + ~i3 v3 :

~v

 r

∂
∂x1

+

v1

g
g11



+

∂
∂x2

 r
v2



g
g22

+

∂
∂x3

 r
v3

g
g33



.

ƒà ¤¨¥­â ᪠«ïà á ¯® ¢¥ªâ®àã ~v :
(~v · ∇)c =
ƒà ¤¨¥­â ¢¥ªâ®à

w
~

v1
∂c
√
g11 ∂x1

v2
∂c
√
g22 ∂x2

+

+

v3
∂c
.
√
g33 ∂x3

¯® ¢¥ªâ®àã ~v :

~ = ~i1 (~v · ∇)w1 + ~i2 (~v · ∇)w2 + ~i3 (~v · ∇)w3 .
(~v · ∇)w

®â®à ¢¥ªâ®à

~v :



√




g11
∂
∂
√
√
~
v g
−
v g
∇ × ~v = i1 √
+
g
∂x2 3 33
∂x3 2 22


√




g
∂
∂
√
√
+
v g
−
v g
+ ~i2 √22
g
∂x3 1 11
∂x1 3 33


√




g
∂
∂
√
√
+ ~i3 √33
v g
−
v g
.
g
∂x1 2 22
∂x2 1 11

Ž¯¥à â®à ‹ ¯« á ᪠«ïà

c ≡

1

√

g



√

∂
∂x1

‹ ¯« ᨠ­ ¢¥ªâ®à

g

g11

~v :

c:

∂c
∂x1



+

∂
∂x2

√

g

g22

∂c
∂x2



+

∂
∂x3

√

g

g33

∂c
∂x3



.


~v = ∇(∇ · ~v ) − ∇ × (∇ × ~v ).

2. –¨«¨­¤à¨ç¥áª¨¥ ª®®à¤¨­ âë ̺, ϕ, z (¯à¨¬¥­ïîâáï â ª¥ ª ª ¯®«ïà­ë¥ ª®®à¤¨­ âë ­ ¯«®áª®á⨠xy). Ǒ८¡à §®¢ ­¨ï ª®®à¤¨­ â (0 6 ϕ 6 2π):

̺=

p

x2

+ y2 , tg ϕ = y/x, z = z
x = ̺ os ϕ, y = ̺ sin ϕ,

z

(sin ϕ = y/̺),
= z.

Š®¬¯®­¥­âë ¬¥âà¨ç¥áª®£® ⥭§®à :
g̺̺

ƒà ¤¨¥­â ᪠«ïà

p:

= 1,

gϕϕ

= ̺2 ,

∇p =

∂p ~
i
∂̺ ̺

+

1

gzz

= 1,

∂p ~
i
̺ ∂ϕ ϕ

+

√

g

∂p ~
i .
∂z z

= ̺.

315

Ǒ.3. Žà⮣®­ «ì­ë¥ ªà¨¢®«¨­¥©­ë¥ á¨áâ¥¬ë ª®®à¤¨­ â
„¨¢¥à£¥­æ¨ï ¢¥ªâ®à

~v :

=

∇ · ~v

1 ∂ (̺v̺ )
̺

+

∂̺

1

∂vϕ

+

̺ ∂ϕ

∂vz
.
∂z

ƒà ¤¨¥­â ᪠«ïà á ¯® ¢¥ªâ®àã ~v :
(~v · ∇)c = v̺
ƒà ¤¨¥­â ¢¥ªâ®à

∂c
∂̺

+

vϕ ∂c
̺ ∂ϕ

+ vz

∂c
.
∂z

¯® ¢¥ªâ®àã ~v :

w
~

(~v · ∇)w
~ = (~v · ∇)w̺~i̺ + (~v · ∇)wϕ~iϕ + (~v · ∇)wz~iz .
®â®à ¢¥ªâ®à
∇ × ~v



=

~v :

1

∂vϕ
∂vz
−
̺ ∂ϕ
∂z

‹ ¯« ᨠ­ ᪠«ïà

‘ä¥à¨ç¥áª¨¥

(0 6 θ 6 π, 0 6 ϕ 6 2π):
r

=

p

x2



~i̺

+

∂
̺ ∂̺



∂v̺

−

∂z

∂vz
∂̺



1

~iϕ +

̺



∂ (̺vϕ )

+ y2 + z 2 ,
x

∂̺

1

∂w
∂̺

̺

ª®®à¤¨­ âë

θ

z
,
r

= ar os

= r sin θ os ϕ,



+

1

∂2 w
∂ϕ2

ƒà ¤¨¥­â ᪠«ïà

= 1,

gθθ

̺2

„¨¢¥à£¥­æ¨ï ¢¥ªâ®à
=

~iz .

r, θ, ϕ. Ǒ८¡à §®¢ ­¨ï ª®®à¤¨­ â

tg ϕ =

y
x

= r sin θ sin ϕ,

y

z



sin ϕ = p

y

x2

= r os θ.

= r2 ,

gϕϕ

= r2 sin2 θ,

√

g

= r2 sin θ.

p:
∇p =

∇ · ~v

∂ϕ



∂2 w
.
∂z 2

+

Š®¬¯®­¥­âë ¬¥âà¨ç¥áª®£® ⥭§®à :
grr

∂v̺

−

c:


w =
3.



∂p ~
i
∂r r

+

1

∂p ~
i
r ∂ϑ θ

+

1 ∂p ~
i .
r sin θ ∂ϕ ϕ

~v :

1 ∂ 2

1
∂
r vr +
r 2 ∂r
r sin θ ∂θ




sin θ vθ +

ƒà ¤¨¥­â ᪠«ïà á ¯® ¢¥ªâ®àã ~v :
(~v · ∇)c = vr

∂c
∂r

+

vθ ∂c
r ∂θ

+

1

∂vϕ

r sin ϕ ∂ϕ

vϕ
∂c
.
r sin θ ∂ϕ

.

+ y2



,

316

Ǒਫ®¥­¨ï

ƒà ¤¨¥­â ¢¥ªâ®à

¯® ¢¥ªâ®àã ~v :

w
~

~ = (~v · ∇)wr~ir + (~v · ∇)wθ~iθ + (~v · ∇)wϕ~iϕ .
(~v · ∇)w

®â®à ¢¥ªâ®à

~v :

1
∇ × ~v =
r sin θ



∂ (sin θ vϕ )
∂θ

+
‹ ¯« ᨠ­ ᪠«ïà
1


w =

r2

∂vθ
−
∂ϕ



1
r



1
sin θ

~i
r

+

∂ (rvϕ )
∂vr
−
∂ϕ
∂r

~iθ

1 h ∂ (rvθ )

+

r

c:



∂
∂r

∂w
∂r

r2



1
r 2 sin θ

+

∂
∂θ



y2



∂r

−

∂vr
∂θ

i

~iϕ .

1
∂2w
.
r 2 sin2 θ ∂ϕ2

+

σ, τ, ϕ. Ǒ८¡à -

¢à 饭¨ï

> −1):

= a2 (σ2 − 1)(1 − τ 2 ) os2 ϕ,

∂w
∂θ

sin θ

4. Š®®à¤¨­ âë ¢ëâï­ã⮣® í««¨¯á®¨¤

§®¢ ­¨ï ª®®à¤¨­ â (σ > 1 > τ
x2



= a2 (σ2 − 1)(1 − τ 2 ) sin2 ϕ,

z

= aστ.

‘¯¥æ¨ «ì­ ï á¨á⥬ ª®®à¤¨­ â u, v, ϕ (0 6 u < ∞, 0 6 v 6 π, 0 6 ϕ 6 2π):
x = a sh u sin v

= h u, τ = os v, ϕ = ϕ,
os ϕ, y = a sh u sin v sin ϕ, z = a h u os v.

σ

Š®¬¯®­¥­âë ¬¥âà¨ç¥áª®£® ⥭§®à :
σ2 − τ 2
σ2 − τ 2
, gτ τ = a2
, gϕϕ = a2 (σ2 − 1)(1 − τ 2 ),
2
σ −1
1−τ2
√
g = a3 (σ2 − τ 2 ), guu = gvv = a2 ( sh 2 u +sin2 v), gϕϕ = a2 sh 2 u sin2 v.

= a2

gσσ

ƒà ¤¨¥­â ᪠«ïà
∇p =

1

r

a

p:

σ2 − 1 ∂p ~
i
σ2 − τ 2 ∂σ σ

„¨¢¥à£¥­æ¨ï ¢¥ªâ®à

~v :



∂
∂σ

∇ · ~v

=

1

a(

σ2

−

τ2

)

+

∂
∂τ

1

+

a

r

h p

h p

(

σ2

−

τ2

)(1 −

ƒà ¤¨¥­â ᪠«ïà á ¯® ¢¥ªâ®àã ~v :
(~v · ∇)c =

vσ
a

r

+ p

i

a

(σ2 − τ 2 )(σ2 − 1) +

vσ

vτ

1 − τ 2 ∂p ~
i
σ2 − τ 2 ∂τ τ

σ2 − 1 ∂c
σ2 − τ 2 ∂σ

+

vτ
a

r

τ2

i

) +

1 − τ 2 ∂c
σ2 − τ 2 ∂τ



(1 −

∂
vϕ
∂ϕ

τ2

p

+ p
a

1

)(

σ2

− 1)

∂p ~
i .
∂ϕ ϕ

σ2 − τ 2

(σ2 − 1)(1 − τ 2 )

vϕ

(

σ2

− 1)(1 −

τ2

)



∂c
.
∂ϕ

.

317

Ǒ.3. Žà⮣®­ «ì­ë¥ ªà¨¢®«¨­¥©­ë¥ á¨áâ¥¬ë ª®®à¤¨­ â
ƒà ¤¨¥­â ¢¥ªâ®à

¯® ¢¥ªâ®àã ~v :

w
~

(~v · ∇)w
~ = (~v · ∇)wσ~iσ + (~v · ∇)wτ~iτ + (~v · ∇)wϕ~iϕ .
‹ ¯« ᨠ­ ᪠«ïà



1


w =

c:

a2 (σ2 −τ 2 )

∂
∂σ

h

(σ2 − 1)

i

∂w
∂σ

+

∂
∂τ

h

(1 −τ 2 )

5. Š®®à¤¨­ âë ᯫîá­ã⮣® í««¨¯á®¨¤

§®¢ ­¨ï ª®®à¤¨­ â (σ > 0, −1 6 τ
x2

i

σ2 −τ 2
∂2w
2
2
(σ − 1)(1 −τ ) ∂ϕ2

+

¢à 饭¨ï

6 1):

= a2 (1 + σ2 )(1 − τ 2 ) os2 ϕ,

∂w
∂τ

.

σ, τ, ϕ. Ǒ८¡à -

= a2 (1 + σ2 )(1 − τ 2 ) sin2 ϕ,

y2



z

= aστ.

‘¯¥æ¨ «ì­ ï á¨á⥬ ª®®à¤¨­ â u, v, ϕ (0 6 u < ∞, 0 6 v 6 π, 0 6 ϕ 6 2π):
x

σ = sh u, τ = os v, ϕ = ϕ,
= a h u sin v os ϕ, y = a h u sin v sin ϕ, z = a sh u os v.

Š®¬¯®­¥­âë ¬¥âà¨ç¥áª®£® ⥭§®à :
σ2 + τ 2
σ2 + τ 2
, gτ τ = a2
, gϕϕ = a2 (1+ σ2 )(1 − τ 2 ),
2
1+ σ
1−τ2
√
g = a3 (σ2 + τ 2 ), guu = gvv = a2 ( sh 2 u + os2 v), gϕϕ = a2 h 2 u sin2 v.
gσσ

= a2

ƒà ¤¨¥­â ᪠«ïà
∇p =

1
a

r

p:

σ2 + 1 ∂p ~
i
σ2 + τ 2 ∂σ σ

„¨¢¥à£¥­æ¨ï ¢¥ªâ®à

~v :



∂
∂σ

1
∇ · ~v =
a(σ2 + τ 2 )

+

∂
∂τ





+

vσ

vτ

1
a

p

r

(

σ2

1 − τ 2 ∂p ~
i
σ2 + τ 2 ∂τ τ

+

τ2

)(

σ2



a

(σ2 + τ 2 )(1 − τ 2 ) +

vσ
a

r

ƒà ¤¨¥­â ¢¥ªâ®à

σ2 + 1 ∂c
σ2 + τ 2 ∂σ
w
~

+

vτ
a

¯® ¢¥ªâ®àã ~v :

r

(1 −



∂
vϕ
∂ϕ

ƒà ¤¨¥­â ᪠«ïà á ¯® ¢¥ªâ®àã ~v :
(~v · ∇)c =

1
τ2

)(

σ2

+ 1)

∂p ~
i .
∂ϕ ϕ

+ 1) +


p

+ p

1 − τ2
σ2 + τ 2

∂c
∂τ

+ p
a

+ τ2
(σ2 + 1)(1 − τ 2 )

p

σ2

vϕ

(σ2 + 1)(1 − τ 2 )

(~v · ∇)w
~ = (~v · ∇)wσ~iσ + (~v · ∇)wτ~iτ + (~v · ∇)wϕ~iϕ .



∂c
.
∂ϕ

.

318

Ǒਫ®¥­¨ï

‹ ¯« ᨠ­ ᪠«ïà

c:

1

w = 2 2 2
a (σ + τ )

∂
∂σ



h

(1+ σ )
2

∂w
∂σ

i

∂
∂τ

+

h

(1 −τ )
2

i

+

σ2 + τ 2
∂2w
(1+ σ2 )(1 −τ 2 ) ∂ϕ2



.

σ, τ, z (¯à¨¬¥­ïîâáï â ª¥

6. Š®®à¤¨­ âë í««¨¯â¨ç¥áª®£® 樫¨­¤à

ª ª í««¨¯â¨ç¥áª¨¥ ª®®à¤¨­ âë ­ ¯«®áª®áâ¨
(σ > 0, −1 6 τ 6 1):

∂w
∂τ

xy ).

Ǒ८¡à §®¢ ­¨ï ª®®à¤¨­ â

= a2 (σ2 − 1)(1 − τ 2 ), z = z.
‘¯¥æ¨ «ì­ ï á¨á⥬ ª®®à¤¨­ â u, v, z (0 6 u < ∞, 0 6 v 6 π):
σ = h u, τ = os v, z = z,
x = a h u os v, y = a sh u sin v, z = z.
Š®¬¯®­¥­âë ¬¥âà¨ç¥áª®£® ⥭§®à :
x = aστ,

gσσ

= a2

y2

σ2 − τ 2
,
σ2 − 1

gτ τ

‹ ¯« ᨠ­:
1

w = 2 2
a ( sh u + sin2 v)

=

σ2 − τ 2
,
1 − τ2

= gvv = a2 ( sh 2 u + sin2 v),

guu

√
σ2 − 1
∂
2
a (σ2 − τ 2 ) ∂σ

= a2

p

σ2 − 1

∂w
∂σ



gzz



∂2 w
∂2 w
+ 2
∂u2
∂v
√
2
1−τ
∂
a2 (σ2 − τ 2 ) ∂τ

+

gzz



= 1,

= 1.
∂2 w
∂z 2

+

=

p

1 − τ2

∂w
∂τ



+

∂2 w
.
∂z 2

Ǒ.4. “à ¢­¥­¨¥ ª®­¢¥ªâ¨¢­®© ¤¨ää㧨¨ ¢
à §«¨ç­ëå á¨á⥬ å ª®®à¤¨­ â
„¥ª à⮢

á¨á⥬

ª®®à¤¨­ â:

–¨«¨­¤à¨ç¥áª ï á¨á⥬

∂C
∂t

+ VR

∂C
∂R

+

Vθ ∂C
R ∂θ

+ VZ

‘ä¥à¨ç¥áª ï á¨á⥬

∂C
∂t

+ VR

∂C
∂R

+

=D

Vθ ∂C
R ∂θ



1
R2

+

∂
∂R

∂C
∂Z

=D



1

∂
R ∂R

ª®®à¤¨­ â:

Vϕ
∂C
R sin θ ∂ϕ



á¬. ãà ¢­¥­¨¥ (3.1.1).

ª®®à¤¨­ â:

R2

∂C
∂R



+

V1 ∂C
√
g11 ∂x1

=

∂C
R
∂R





∂C
∂θ

+

+

∂2C
∂Z 2



1
R2 sin2 θ

∂2 C
∂ϕ2



.



,

1

∂2 C
∂θ 2

R2

.

=

+

1
R2 sin θ

Ǒந§¢®«ì­ ï ®à⮣®­ «ì­ ï á¨á⥬

∂C
∂t



∂
∂θ

sin θ

ª®®à¤¨­ â:

V
∂C
V
∂C
+√2
+√3
=
g22 ∂x2
g33 ∂x3

√

√
g ∂C
g ∂C
D
∂
∂
+
√
g ∂x1
g11 ∂x1
∂x2
g22 ∂x2





+

+

∂
∂x3

√

£¤¥ g11 , g22 , g33 | ª®¬¯®­¥­âë ¬¥âà¨ç¥áª®£® ⥭§®à ; g = g11 g22 g33 .

g ∂C
g33 ∂x3

Ǒ.5. “à ¢­¥­¨ï ¤¢¨¥­¨ï ¨¤ª®á⨠¢ à §«¨ç­ëå á¨á⥬ å ª®®à¤¨­ â

319

Ǒ.5. “à ¢­¥­¨ï ¤¢¨¥­¨ï ¨¤ª®á⨠¢
à §«¨ç­ëå á¨á⥬ å ª®®à¤¨­ â
ˆá¯®«ì§ã¥âáï ¬®¤¥«ì ¢ï§ª®© ­¥á¨¬ ¥¬®© ¨¤ª®áâ¨.
„¥ª à⮢ á¨á⥬ ª®®à¤¨­ â: á¬. ãà ¢­¥­¨ï (1.1.2), (1.1.2).
–¨«¨­¤à¨ç¥áª ï á¨á⥬

ª®®à¤¨­ â.

“à ¢­¥­¨¥ ­¥à §à뢭®áâ¨:

∂VR
∂V
V
1 ∂Vϕ
+
+ Z + R = 0.
∂R
R ∂ϕ
∂Z
R
(FR , Fϕ , FZ | ª®¬¯®­¥­âë ¢­¥è­¥© ®¡ê¥¬­®©

“à ¢­¥­¨ï ¤¢¨¥­¨ï
H VR −

Vϕ2

H Vϕ

+

H VZ

=−

1 ∂P
ρ ∂R

=−

R
VR Vϕ
R

=

1

∂P
ρ ∂Z





ᨫë):

2
VR
− 2
+ FR ,
R2
R ∂ϕ

V
1 ∂P
2 ∂V 
−
+ ν
Vϕ − ϕ2 + 2 R + Fϕ ,
ρR ∂ϕ
R
R
∂ϕ
∂Vϕ

+ ν
VR −

+ ν
VZ + FZ ,

£¤¥ ¤¨ää¥à¥­æ¨ «ì­ë¥ ®¯¥à â®àë H ¨
®¯à¥¤¥«ïîâáï ¯® ä®à¬ã« ¬:
H≡

∂
∂t


≡

∂2
∂R2

‘ä¥à¨ç¥áª ï á¨á⥬

+

R2 sin θVR

“à ¢­¥­¨ï ¤¢¨¥­¨ï:
V 2 + Vϕ2
1
M VR − θ
=−

2ν

−
M Vθ

+

VR Vθ − Vϕ2

tg θ

R

R2

=

+
M Vϕ +




∂P
ρ ∂R

R

VR Vϕ + Vθ Vϕ

Vϕ

∂
R ∂ϕ

+

1

1

+ VZ
+

∂2
.
∂Z 2

∂
∂
(R sin θVθ ) +
∂θ
∂ϕ

RVϕ

∂
R ∂R

+

R2

∂2
∂ϕ2

∂
,
∂Z

ª®®à¤¨­ â.

“à ¢­¥­¨¥ ­¥à §à뢭®áâ¨:
∂
∂R

∂
∂R

+ VR

∂Vθ
∂θ

R2 sin2 θ

=−

1
sin θ

+

1

ν

tg θ




= 0.

+ ν
VR −



∂P
− R
ρ
∂θ

R

+

+

∂Vϕ
∂ϕ

+ ν
Vθ +



2 sin2 θ

∂VR
−2
∂θ

1
∂P
ρR sin θ ∂ϕ

ν

R2 sin2 θ



+ VR + tg θ Vθ + FR ,



2 sin θ

os θ

∂Vϕ
∂ϕ

− Vθ

+ ν
Vϕ +

∂VR
∂ϕ

+ 2 os θ

∂Vθ
− Vϕ
∂ϕ





+ Fθ ,

+ Fϕ ,

£¤¥ ¤¨ää¥à¥­æ¨ «ì­ë¥ ®¯¥à â®àë M ¨
®¯à¥¤¥«ïîâáï ¯® ä®à¬ã« ¬:
M≡


≡

∂
∂t

1
R2

+ VR
∂
∂R

∂
∂R

+

R2

∂
∂R



Vθ ∂
R ∂θ



+

+

Vϕ
∂
,
R sin θ ∂ϕ

1
R2 sin θ

∂
∂θ



sin θ

∂
∂θ



+

R2

1
sin2 θ

∂2
.
∂ϕ2

320

Ǒਫ®¥­¨ï

Ǒ.6. “à ¢­¥­¨ï ¤¢¨¥­¨ï ¨ ⥯«®®¡¬¥­
­¥­ìîâ®­®¢áª¨å ¨¤ª®á⥩
¨¥ ¯à¨¢¥¤¥­ë ãà ¢­¥­¨ï ¤¢¨¥­¨ï ¨ ⥯«®®¡¬¥­ ­¥á¨¬ ¥¬ëå ­¥­ìîâ®­®¢áª¨å ¨¤ª®á⥩, ¯®¤ç¨­ïîé¨åáï ८«®£¨ç¥áª®¬ã ãà ¢­¥­¨î á®áâ®ï­¨ï (7.1.1),
ª®£¤ ª ãé ïáï ¢ï§ª®áâì µ = µ(I2 , T ) ¯à®¨§¢®«ì­ë¬ ®¡à §®¬ § ¢¨á¨â ®â ¢â®à®£®
¨­¢ ਠ­â ⥭§®à ᪮à®á⥩ ¤¥ä®à¬ 樨 I2 ¨ ⥬¯¥à âãàë T . Ǒਠá®áâ ¢«¥­¨¨ í⮣® à §¤¥« ¨á¯®«ì§®¢ ­ë ª­¨£¨ [120, 185, 202℄. “à ¢­¥­¨¥ ­¥à §à뢭®áâ¨
¢ 樫¨­¤à¨ç¥áª®© ¨ áä¥à¨ç¥áª®© á¨á⥬ å ª®®à¤¨­ â á¬. ¢ ¯à¨«®¥­¨¨ 5.
Ǒàאַ㣮«ì­ ï ¤¥ª à⮢

á¨á⥬

“à ¢­¥­¨ï ¤¢¨¥­¨ï:


ρ

∂Vi
∂t

+ Vj

∂Vi
∂Xj



=−



∂T
∂t

∂P
∂Xi

+

ª®®à¤¨­ â.



∂Vi
∂Xj

=λ

∂2 T
∂Xj2

∂
∂Xj

µ



∂µ ∂Vj
∂Xj ∂Xi

+

+ ρFi ,

£¤¥ ρ | ¯«®â­®áâì ¨¤ª®áâ¨; i, j = 1, 2, 3; ¯® ¨­¤¥ªáã j ¢¥¤¥âáï á㬬¨à®¢ ­¨¥.
“à ¢­¥­¨¥ ⥯«®¯¥à¥­®á :
ρcp

+ Vj

∂T
∂Xj



+ 2µI2 ,

£¤¥ λ ¨ cp | ⥯«®¯à®¢®¤­®áâì ¨ 㤥«ì­ ï ⥯«®¥¬ª®áâì ¨¤ª®á⨠(í⨠¢¥«¨ç¨­ë
áç¨â îâáï ¯®áâ®ï­­ë¬¨); ¯® ¨­¤¥ªáã j = 1, 2, 3 ¢¥¤¥âáï á㬬¨à®¢ ­¨¥. Ǒ®á«¥¤­¥¥
á« £ ¥¬®¥ ¢ ¯à ¢®© ç á⨠(7.2.3) ãç¨âë¢ ¥â ¤¨áᨯ ⨢­ë© à §®£à¥¢ ¨¤ª®áâ¨,
¨­¢ ਠ­â I2 ¢ëç¨á«ï¥âáï ¯® ä®à¬ã«¥ (7.1.15).
–¨«¨­¤à¨ç¥áª ï á¨á⥬

“à ¢­¥­¨ï ¤¢¨¥­¨ï:


ρ

∂VR
∂t



ρ

∂VR
∂R

+

Vϕ ∂VR
R ∂ϕ

ϕ

∂t

∂VZ
∂t

+ VR

+ VR

∂Vϕ
∂R

∂VZ
∂R

+

+

Vϕ ∂Vϕ
R

∂ϕ

Vϕ ∂VZ
R ∂ϕ



Vϕ2
∂VR
−
=
∂Z
R
∂τRR
1 ∂τRϕ

+ VZ

= ρFR +

 ∂V

ρ

+ VR

ª®®à¤¨­ â.

+ VZ

∂R
∂Vϕ
∂Z

+

+

= ρFϕ +
+ VZ

∂VZ
∂Z

R

∂τRϕ



= ρFZ +

R ∂ϕ

VR Vϕ

∂R

+

=
∂τRZ
∂R

+

+

∂τRZ
∂Z

+

τRR − τϕϕ
R

=
1

∂τϕϕ

R

∂ϕ

1

∂τϕZ

R

∂ϕ

+

∂τϕZ

+

∂τZZ
∂Z

∂Z

£¤¥ ª®¬¯®­¥­âë ⥭§®à ­ ¯à省¨© ®¯à¥¤¥«ïîâáï ¯® ä®à¬ã« ¬:
τRR
τZZ
τϕZ





1 ∂Vϕ
V
∂VR
,
τϕϕ = −P + 2µ
+ R ,
∂R
R ∂ϕ
R


∂Vϕ
Vϕ
1 ∂VR
∂VZ
= −P + 2µ
,
τRϕ = µ
+
−
,
∂Z
R ∂ϕ
∂R
R
 ∂V



∂VZ
1 ∂VZ
∂V
ϕ
=µ
+
+ R .
,
τRZ = µ
∂Z
R ∂ϕ
∂R
∂Z
= −P + 2µ

+

+

,

2τRϕ
R

,

τRZ
,
R

321

Ǒ.6. “à ¢­¥­¨ï ¤¢¨¥­¨ï ¨ ⥯«®®¡¬¥­ ­¥­ìîâ®­®¢áª¨å ¨¤ª®á⥩
“à ¢­¥­¨¥ ⥯«®¯¥à¥­®á :
ρcp



∂T
∂t

+ VR

∂T
∂R

+

Vϕ ∂T
R ∂ϕ

h 1

=λ

‘ä¥à¨ç¥áª ï á¨á⥬

 ∂V

R

∂t

+

 ∂V

ρ

 ∂V

+




Vθ ∂VR
R ∂θ

+

R2 τRR

∂Vϕ

1 ∂
R2 ∂R





+

R2 τRϕ

∂
R ∂R

+

1
∂
R sin θ ∂θ
Vϕ



∂T
∂R



+

+





1



R sin θ

VR Vθ − Vϕ2

+



R

1

sin θτθθ +
∂Vϕ

∂2 T
∂ϕ2

R2

1

sin θτRθ +

∂Vθ
R sin θ ∂ϕ

+

+

∂2 T
∂Z 2

+

i

+ 2µI2 .

= ρFR +
∂τRϕ

tg θ 

∂τθϕ

τθθ + τϕϕ

−

∂ϕ

R

,

= ρFθ +
τRθ − τϕϕ

+

R sin θ ∂ϕ
VR Vϕ + Vθ Vϕ tg θ

R sin θ ∂ϕ
R


1
1 ∂τϕϕ
∂
sin θτθϕ +
R sin θ ∂θ
R sin θ ∂ϕ

∂θ

+

R

=

V 2 + Vϕ2
∂VR
− θ
R sin θ ∂ϕ
R

1
∂
R sin θ ∂θ
∂Vϕ
Vϕ







Vϕ

+

Vθ
R

+

∂R



Vθ ∂Vθ
R ∂θ

+

R2 τRθ

+ VR

ϕ

∂t

∂VR
∂R

∂Vθ
∂R

+ VR

1 ∂
R2 ∂R

+

ρ

1 ∂
R2 ∂R

θ

∂t

+ VR

∂T
∂Z

ª®®à¤¨­ â.

“à ¢­¥­¨ï ¤¢¨¥­¨ï:

ρ

+ VZ



,

= ρFϕ +

τRϕ + τθϕ

+

tg θ

R

tg θ

R

,

£¤¥ ª®¬¯®­¥­âë ⥭§®à ­ ¯à省¨© ®¯à¥¤¥«ïîâáï ¯® ä®à¬ã« ¬:


1 ∂Vθ
V
∂VR
τRR = −P + 2µ
, τθθ = −P + 2µ
+ R ,
τϕϕ
τRθ
τθϕ



∂R

= −P + 2µ


=µ



=µ

1

1
R sin θ

∂Vϕ
∂ϕ

+

VR
R

+



R ∂θ
Vθ tg θ
R



∂T
∂t

R

,

∂Vθ
1 ∂VR
V
− θ , τRϕ = µ
∂R
R
R sin θ ∂ϕ

Vϕ tg θ
1 ∂Vθ
1 ∂Vϕ
−
.
+
R sin θ ∂ϕ
R ∂θ
R
∂VR
R ∂θ

+

“à ¢­¥­¨¥ ⥯«®¯¥à¥­®á :
ρcp





+ VR

+

Vθ ∂T
R ∂θ

+

∂T
∂R

+

Vϕ

∂T
R sin θ ∂ϕ



∂Vϕ
∂R

−

Vϕ
R



,

=


1 ∂ 
∂T
1 ∂2T i
sin θ
+ 2
+ 2µI2 .
sin θ ∂θ
∂θ
sin θ ∂ϕ2
‚â®à®© ¨­¢ ਠ­â ⥭§®à ᪮à®á⥩ ¤¥ä®à¬ 樨 ¢ áä¥à¨ç¥áª®© á¨á⥬¥
ª®®à¤¨­ â ¨¬¥¥â ¢¨¤:

 
2 

∂VR 2
1 ∂Vθ
V
1 ∂Vϕ
V
V tg θ 2
I2 =
+
+ R +
+ R + θ
+
∂R
R ∂θ
R
R sin θ ∂ϕ
R
R
2
2
V
∂V
V
1  1 ∂VR
1  1 ∂VR
− θ
+
+ ϕ − ϕ +
+
2 R ∂θ
R
2 R sin θ ∂ϕ
∂R
R

Vϕ tg θ 2
1 ∂Vϕ
1  1 ∂Vθ
+
−
.
+
2 R sin θ ∂ϕ
R ∂θ
R
„«ï á⥯¥­­®© ¨¤ª®á⨠(7.1.4) ¤¨áᨯ ⨢­ë© ç«¥­ ¢ ãà ¢­¥­¨ïå ⥯«®¯¥n+1
७®á ¢ëç¨á«ï¥âáï ¯® ä®à¬ã«¥ 2µI2 = k(2I2 ) 2 .

=

λ
R2

h

∂T
∂R

+

∂
∂R



R2



‘Ǒˆ‘ŽŠ ‹ˆ’

€’“›

1. €¡à ¬§®­ ‚. ˆ., ”¨è¡¥©­ ƒ. €. ¥ª®â®àë¥ § ¤ ç¨ ª®­¢¥ªâ¨¢­®© ¤¨ää㧨¨
ª áä¥à¨ç¥áª®© ç áâ¨æ¥ ¯à¨ Re > 1000. // ˆ­.-䨧¨ç. ãà­ «. | 1977. |
’. 32. | N0 6. | ‘. 1053 | 1058.
2. €¡à ¬§®­ ‚. ˆ., ¨¢ª¨­¤ ‚. Ÿ., ”¨è¡¥©­ ƒ. €. ¥áâ 樮­ à­ë© ¬ áá®®¡¬¥­
á £¥â¥à®£¥­­®© 娬¨ç¥áª®© ॠªæ¨¥© ¯à¨ « ¬¨­ à­®¬ ®¡â¥ª ­¨¨ áä¥àë. //
ˆ­.-䨧¨ç. ãà­ «. | 1976. | ’. 30. | N0 1. | ‘. 73 | 79.
3. €¡à ¬®¢¨ç ƒ. ., ƒ¨à订¨ç ’. €., Šà 襭¨­­¨ª®¢ ‘. ž., ‘¥ªã­¤®¢ €. .,
‘¬¨à­®¢ ˆ. Ǒ. ’¥®à¨ï âãà¡ã«¥­â­ëå áâàã©. | Œ.:  㪠, 1984. | 717 á.
4. €ªá¥«ìà㤠ƒ. €., Œ®«ç ­®¢ €. „.  á⢮७¨¥ ⢥à¤ëå ¢¥é¥áâ¢. | Œ.: •¨¬¨ï,
1977. | 269 á.
5. €«¥ªá¥¥­ª® ‘. ‚.,  ª®à类¢ ‚. ., Ǒ®ªãá ¥¢ . ƒ. ‚®«­®¢®¥ â¥ç¥­¨¥ ¯«¥­®ª
¨¤ª®áâ¨. | ®¢®á¨¡¨àáª: ‚Ž  㪠, 1992. | 256 á.
6. €­â ­®¢áª¨© ‹. Š., Š®¯¡®áë­®¢ . Š. ¥áâ 樮­ à­ë© â¥à¬®ª ¯¨««ïà­ë©
¤à¥©ä ª ¯«¨ ¢ï§ª®© ¨¤ª®áâ¨. // Ǒਪ«. ¬¥å. ¨ â¥å. 䨧¨ª . | 1986. |
N0 2. | ‘. 59 | 64.
7. €áâ ¢¨­ ‚. ‘., Š®à®«¥¢ ˆ. Ž., ï§ ­æ¥¢ ž. ‘. Ž ⥬¯¥à âãॠ¯®â®ª ¢
ª ­ «¥ ᮠ᪠窮¬ ⥬¯¥à âãàë ­ á⥭ª¥. // ˆ§¢. € ‘‘‘, Œ¥å. ¨¤. ¨
£ § . | 1979. | N0 5. | ‘. 194 | 198.
8. €áâ à¨â „. Œ áᮯ¥à¥¤ ç á 娬¨ç¥áª®© ॠªæ¨¥©. | ‹.: •¨¬¨ï,
1973. | 224 á.
9. €áâ à¨â „., Œ ààãçç¨ „. Žá­®¢ë £¨¤à®¬¥å ­¨ª¨ ­¥­ìîâ®­®¢áª¨å
¨¤ª®á⥩. | Œ.: Œ¨à, 1978. | 311 á.
10.  ¡¨ç ‚. Œ., Š ¯¨«¥¢¨ç Œ. ., Œ¨å«¨­ ‘. ƒ. ¨ ¤à. ‹¨­¥©­ë¥ ãà ¢­¥­¨ï
¬ ⥬ â¨ç¥áª®© 䨧¨ª¨. | Œ.:  㪠, 1964. | 368 .
11.  ७¡« â⠃. ˆ., —¥à­ë© ƒ. ƒ. Ž ¬®¬¥­â­ëå ᮮ⭮襭¨ïå ­ ¯®¢¥àå­®áâïå à §àë¢ ¢ ¤¨áᨯ ⨢­ëå á। å. // Ǒਪ«. ¬ â. ¨ ¬¥å. | 1963. |
’. 27. | N0 5. | ‘. 784 | 793.
12. ¥©â¬¥­ ƒ., à¤¥©¨ €. ‚ëá訥 âà ­á業¤¥­â­ë¥ ä㭪樨, â. 1. | Œ.:  㪠, 1973. | 296 á.
13. ¥©â¬¥­ ƒ., à¤¥©¨ €. ‚ëá訥 âà ­á業¤¥­â­ë¥ ä㭪樨, â. 2. | Œ.:  㪠, 1974. | 296 á.
14. ¥©â¬¥­ ƒ., à¤¥©¨ €. ‚ëá訥 âà ­á業¤¥­â­ë¥ ä㭪樨, â. 3. | Œ.:  㪠, 1967. | 300 á.
15. ¥à¤ ., ‘âìî à⠂., ‹ ©âäãâ . Ÿ¢«¥­¨ï ¯¥à¥­®á . | Œ.: •¨¬¨ï, 1974. |
688 á.
16. ¨à¨å . ‚. Ž ⥬¯¥à âãà­®© ª®­¢¥ªæ¨¨ ¢ £®à¨§®­â «ì­®¬ á«®¥ ¨¤ª®áâ¨. //
Ǒਪ«. ¬¥å. ¨ â¥å. 䨧¨ª . | 1966. | N0 3. | ‘. 67 | 72.
17. ®£ âëå ˆ. ‘. Š ¢®¯à®áã ®¯à¥¤¥«¥­¨ï ª®íää¨æ¨¥­â ᮯà®â¨¢«¥­¨ï ç áâ¨æ
¨¤ª®© ¨«¨ ⢥म© ä §, ¤¨á¯¥à£¨à®¢ ­­ëå ¢ £ §®¢®¬ ¯®â®ª¥ // †ãà­.
¯à¨ª«. 娬¨¨. | 1987. | ’. 60. | N0 12. | ‘. 2710 | 2712.
18. ®à§ëå €. €., —¥à¥¯ ­®¢ ƒ. Ǒ. Ǒ«®áª ï § ¤ ç ⥮ਨ ª®­¢¥ªâ¨¢­®© ⥯«®¯¥à¥¤ ç¨ ¨ ¬ áá®®¡¬¥­ . // Ǒਪ«. ¬ â. ¨ ¬¥å. | 1978. | ’. 42. | N0 5. |
‘. 848 | 855.
19. ®à¨è ­áª¨© ‚. Œ., Šãâ ⥫ ¤§¥ ‘. ‘., ®¢¨ª®¢ ˆ. ˆ. ¨ ¤à. †¨¤ª®¬¥â ««¨ç¥áª¨¥ ⥯«®­®á¨â¥«¨. | Œ.: €â®¬¨§¤ â, 1976. | 328 á.
20. ®áâ ­¤¨ï­ ‘. €., —¥à­ï¥¢ ‘. Œ. ¥ª®â®àë¥ § ¤ ç¨ ® ­¥¨§®â¥à¬¨ç¥áª®¬
áâ 樮­ à­®¬ â¥ç¥­¨¨ ­¥­ìîâ®­®¢áª®© ¨¤ª®áâ¨. // ˆ§¢. € ‘‘‘, Œ¥å.
¨¤. ¨ £ § . | 1966. | N0 3. | ‘. 85 | 89.
21. ®áâ ­¤¨ï­ ‘. €., —¥à­ï¥¢ ‘. Œ. Ž £¨¤à®¤¨­ ¬¨ç¥áª®¬ ⥯«®¢®¬ ý¢§à뢥þ ­¥­ìîâ®­®¢áª®© ¨¤ª®áâ¨. // „®ª« ¤ë € ‘‘‘. | 1966. | ’. 170. |
N0 2. | ‘. 301 | 304.

322

‘¯¨á®ª «¨â¥à âãàë

323

22. ®áâ ­¤¨ï­ ‘. €., Œ¥à ­®¢ €. ƒ., •ã¤ï¥¢ ‘. ˆ. Ž £¨¤à®¤¨­ ¬¨ç¥áª®¬
⥯«®¢®¬ ý¢§à뢥þ. // „®ª« ¤ë € ‘‘‘. | 1965. | ’. 163. | N0 1. |
‘. 133 | 136.
23. ®ï¤¨¥¢ •., ¥èª®¢ ‚. Œ áᮯ¥à¥­®á ¢ ¤¢¨ãé¨åáï ¯«¥­ª å ¨¤ª®áâ¨. |
Œ.: Œ¨à, 1988. | 137 á.
24. à âã娭 ž. Š. Ž¡â¥ª ­¨¥ £ §®¢®£® ¯ã§ëàï ¯®â®ª®¬ ­¥à ¢­®¬¥à­® ­ £à¥â®©
¨¤ª®á⨠¯à¨ ¬ «ëå ç¨á« å Œ à ­£®­¨. // ˆ­.-䨧¨ç. ãà­ «. | 1977. |
’. 32. | N0 2. | ‘. 251 | 256.
25. à âã娭 ž. Š. ’¥à¬®ª ¯¨««ïà­ë© ¤à¥©ä ª ¯¥«ìª¨ ¢ï§ª®© ¨¤ª®áâ¨. //
ˆ§¢. € ‘‘‘, Œ¥å. ¨¤. ¨ £ § . | 1975. | N0 5. | ‘. 156 | 161.
26. à¥âè­ ©¤¥à ‘. ‘¢®©á⢠£ §®¢ ¨ ¨¤ª®á⥩ (¨­¥­¥à­ë¥ ¬¥â®¤ë à áç¥â ). | ‹.: •¨¬¨ï, 1966. | 536 á.
27. à®ã­è⥩­ . ˆ., ¨¢ª¨­¤ ‚. Ÿ. ‚­ãâ७­ïï § ¤ ç ¬ áá®- ¨ ⥯«®®¡¬¥­
á § ¬ª­ãâ묨 «¨­¨ï¬¨ ⮪ . // „®ª« ¤ë € ‘‘‘. | 1981. | ’. 260. |
N0 6. | ‘. 1323 | 1326.
28. à®ã­è⥩­ . ˆ., ”¨è¡¥©­ ƒ. €. ƒ¨¤à®¤¨­ ¬¨ª , ¬ áá®- ¨ ⥯«®®¡¬¥­ ¢
¤¨á¯¥àá­ëå á¨á⥬ å. | ‹.: •¨¬¨ï, 1977. | 280 á.
29. à®ã­è⥩­ . ˆ., ™¥£®«¥¢ ‚. ‚. ƒ¨¤à®¤¨­ ¬¨ª , ¬ áá®- ¨ ⥯«®®¡¬¥­ ¢
ª®«®­­ëå ¯¯ à â å. | ‹.: •¨¬¨ï, 1988. | 336 á.
30. ã¡­®¢ Œ. Œ., „¨ ­®¢ . Œ., Š §¥­¨­ „. €., Šã⥯®¢ €. Œ., Œ ª¥¥¢ €. €,
‘¥¬¥­®¢ ‘. ‹. Š ¯à®¡«¥¬¥ ­ ­¥á¥­¨ï § é¨â­®£® ¬¥â ««¨ç¥áª®£® ¯®ªàëâ¨ï
­ ¢®«®ª®­­ë© ᢥ⮢®¤. // „®ª« ¤ë € ‘‘‘. | 1994. | ’. 337. | N0 5. |
‘. 624 | 627.
31. ã¥¢¨ç ž. €. Ž ª®­¢¥ªâ¨¢­®© ¤¨ää㧨¨ ª ç áâ¨æ ¬ ª®­¤¥­á¨à®¢ ­­®£®
¯®«¨¤¨á¯¥àá­®£® ®¡« ª ⢥à¤ëå áä¥à. // ˆ­.-䨧¨ç. ãà­ «. | 1972. |
’. 23. | N0 4. | ‘. 709 | 712.
32. ã¥¢¨ç ž. €., Š §¥­¨­ „. €. Ǒ।¥«ì­ë¥ § ¤ ç¨ ® ¯¥à¥­®á¥ ⥯« ¨ ¬ ááë
ª 樫¨­¤àã ¨ áä¥à¥, ¯®£à㥭­ë¬ ¢ ¨­ä¨«ìâàã¥¬ë© §¥à­¨áâë© á«®©. //
Ǒਪ«. ¬¥å. ¨ â¥å. 䨧¨ª . | 1977. | N0 5. | C. 94 | 102.
33. ã¥¢¨ç ž. €., Š®à­¥¥¢ ž. €. Ž ¬¥ä §­®¬ ¬ áá®- ¨ ⥯«®®¡¬¥­¥ ¢
ª®­æ¥­âà¨à®¢ ­­®© ¤¨á¯¥àá­®© á¨á⥬¥. // ˆ­.-䨧¨ç. ãà­ «. | 1973. |
’. 25. | N0 4. | ‘. 594 | 600.
34. ã¥¢¨ç ž. €., ™¥«çª®¢ ˆ. . ¥®«®£¨ç¥áª¨¥ ᢮©á⢠®¤­®à®¤­ëå ¬¥«ª®¤¨á¯¥àá­ëå áãᯥ­§¨©. ‘â 樮­ à­ë¥ â¥ç¥­¨ï. // ˆ­.-䨧¨ç. ãà­ «. |
1977. | ’. 33. | N0 5. | ‘. 872 | 879.
35. ã⪮¢áª¨© €. ƒ. • à ªâ¥à¨á⨪¨ á¨á⥬ á à á¯à¥¤¥«¥­­ë¬¨ ¯ à ¬¥âà ¬¨. | Œ.:  㪠, 1979. | 224 .
36. íâ祫®à „. ‚¢¥¤¥­¨¥ ¢ ¤¨­ ¬¨ªã ¨¤ª®áâ¨. | Œ.: Œ¨à, 1973. | 760 á.
37. ‚ ­-„ ©ª Œ. €«ì¡®¬ â¥ç¥­¨© ¨¤ª®á⨠¨ £ § . | Œ.: Œ¨à, 1986. | 182 á.
38. ‚ ­-„ ©ª Œ. Œ¥â®¤ë ¢®§¬ã饭¨© ¢ ¬¥å ­¨ª¥ ¨¤ª®áâ¨. | Œ.: Œ¨à, 1967. |
312 á.
39. ‚¨âª®¢ ƒ. €., •®«¯ ­®¢ ‹. Ǒ., ˜¥àáâ­¥¢ ‘. . ƒ¨¤à ¢«¨ç¥áª®¥ ᮯà®â¨¢«¥­¨¥ ¨ ⥯«®¬ áá®®¡¬¥­. | Œ:  㪠, 1994. | 282 á.
40. ‚®¨­®¢ Ž. ‚., Ǒ¥â஢ €. ƒ. „¢¨¥­¨¥ ¯ã§ë३ ¢ ¨¤ª®áâ¨. // ˆâ®£¨ ­ 㪨
¨ â¥å­. (¬¥å. ¨¤. ¨ £ § ). | 1976. | ’. 10. | ‘. 86 | 147.
41. ‚®¨­®¢ Ž. ‚., Ǒ¥â஢ €. ƒ. Ž â¥ç¥­¨ïå á § ¬ª­ãâ묨 «¨­¨ï¬¨ ⮪ ¨
¤¢¨¥­¨¨ ª ¯¥«ì ¯à¨ ¡®«ìè¨å ç¨á« å ¥©­®«ì¤á . // ˆ§¢. € ‘‘‘, Œ¥å.
¨¤. ¨ £ § . | 1987. | N0 5. | ‘. 61 | 70.
42. ‚®¨­®¢ Ž. ‚., ƒ®«®¢¨­ €. Œ., Ǒ¥â஢ €. ƒ. „¢¨¥­¨¥ í««¨¯á®¨¤ «ì­®£®
¯ã§ëàï ¢ ¨¤ª®á⨠¬ «®© ¢ï§ª®áâ¨. // Ǒਪ«. ¬¥å. ¨ â¥å. 䨧¨ª . | 1970. |
N0 3. | ‘. 76 | 81.

324

‘¯¨á®ª «¨â¥à âãàë

43. ‚®¨­®¢ Ž. ‚., Ǒ¥â஢ €. ƒ., ˜à £¥à ƒ. . Ž ¬®¤¥«¨ â¥ç¥­¨ï ¢­ãâਠ¨¤ª®©
ª ¯«¨, ®¡â¥ª ¥¬®© £ §®¬. // ˆ§¢. € ‘‘‘, Œ¥å. ¨¤. ¨ £ § . | 1989. |
N0 6. | ‘. 167 | 170.
44. ‚®«®é㪠‚. Œ., ‘¥¤ã­®¢ ž. ‘. Ǒà®æ¥ááë ª® £ã«ï樨 ¢ ¤¨á¯¥àá­ëå á¨á⥬ å. | ‹.: ƒ¨¤à®¬¥â¥®¨§¤ â, 1975. | 320 á.
45. ‚®à®­æ®¢ . ƒ., ’ ­ ­ ©ª® ž. Œ. ’¥¯«®®¡¬¥­ ¢ ¨¤ª¨å ¯«¥­ª å. | Š¨¥¢:
’¥å­iª , 1972. | 196 á.
46. ‚ã«¨á ‹. €., Š èª à®¢ ‚. Ǒ. ’¥®à¨ï áâàã© ¢ï§ª®© ¨¤ª®áâ¨. | Œ.:  㪠,
1965. | 432 á.
47. ƒ «ì¯¥à¨­ „. ˆ., Œ®è¥¢ ‚. ‚., ‘⥯ ­®¢ ‚. ƒ. ’¥à¬®¤¨­ ¬¨ç¥áª¨¥
᢮©á⢠¯« áâ¨ä¨æ¨à®¢ ­­®© í⨫楫«î«®§ë. // Š®««®¨¤­ë© ãà­ «. |
1961. | ’. 23. | N0 1. | ‘. 8 | 11.
48. ƒ¥àèã­¨ ƒ. ‡., †ã客¨æª¨© . Œ. Š®­¢¥ªâ¨¢­ ï ãá⮩稢®áâì ­¥á¨¬ ¥¬®©
¨¤ª®áâ¨. | Œ:  㪠, 1972. | 392 á.
49. ƒ¥àèã­¨ ƒ. ‡., †ã客¨æª¨© . Œ., ¥¯®¬­ï騩 €. €. “á⮩稢®áâì ª®­¢¥ªâ¨¢­ëå â¥ç¥­¨©. | Œ:  㪠, 1989. | 319 á.
50. ƒ®«®¢¨­ €. €. ‚«¨ï­¨¥ íä䥪⮢ Œ à ­£®­¨ ­ £¨¤à®¤¨­ ¬¨ªã ¨ ¬ áᮯ¥à¥­®á ¯à¨ ¨¤ª®áâ­®© íªáâà ªæ¨¨. // „¨áá. ª ­¤. â¥å. ­ ãª. | M.: ˆ”•ˆ
¨¬. ‹.Ÿ.Š ௮¢ , 1989. | 208 á.
51. ƒ®«®¢¨­ €. €., ï§ ­æ¥¢ ž. ‘. „३ä ॠ£¨àãî饩 ª ¯«¨, ¢ë§¢ ­­ë©
奬®ª®­æ¥­âà 樮­­ë¬ ª ¯¨««ïà­ë¬ íä䥪⮬. // ˆ§¢. € ‘‘‘, Œ¥å.
¨¤. ¨ £ § . | 1990. | N0 3. | ‘. 51 | 61.
52. ƒ®«®¢¨­ €. €., ƒã¯ «® ž. Ǒ., ï§ ­æ¥¢ ž. ‘. Ž 奬®â¥à¬®ª ¯¨««ïà­®¬
íä䥪⥠¯à¨ ¤¢¨¥­¨¨ ª ¯«¨ ¢ ¨¤ª®áâ¨. // „®ª« ¤ë € ‘‘‘. | 1986. |
’. 290. | N0 1. | ‘. 35 | 39.
53. ƒ®«®¢¨­ €. €., ƒã¯ «® ž. Ǒ., ï§ ­æ¥¢ ž. ‘. •¥¬®ª®­æ¥­âà 樮­­ë©
ª ¯¨««ïà­ë© íä䥪⠯ਠ¤¢¨¥­¨¨ ª ¯«¨ ¢ ¨¤ª®áâ¨. // ˆ§¢. € ‘‘‘,
Œ¥å. ¨¤. ¨ £ § . | 1988. | N0 1. | ‘. 147 | 154.
54. ƒ®«®¢¨­ €. Œ., †¨¢®â­ €. ”. ‚«¨ï­¨¥ ®¡ê¥¬­®© 娬¨ç¥áª®© ॠªæ¨¨
­ ¬ áᮯ¥à¥­®á ¢­ãâਠª ¯«¨ ¯à¨ ¡®«ìè¨å ç¨á« å Ǒ¥ª«¥. // ‚¥áâ­¨ª Œƒ“.
‘¥à. 1 (¬ â. ¨ ¬¥å.). | 1979. | N0 4. | ‘. 77 | 83.
55. ƒ®«®¢¨­ €. Œ., †¨¢®â­ €. ”. ¥áâ 樮­ à­ë© ª®­¢¥ªâ¨¢­ë© ¬ áᮯ¥à¥­®á ¢­ãâਠª ¯«¨ ¯à¨ ¡®«ìè¨å ç¨á« å Ǒ¥ª«¥. // Ǒਪ«. ¬ â. ¨ ¬¥å. |
1983. | ’. 47. | N0 5. | ‘. 771 | 780.
56. ƒ®«ì¤è⨪ Œ. €. Ǒà®æ¥ááë ¯¥à¥­®á ¢ §¥à­¨á⮬ á«®¥. | ®¢®á¨¡¨àáª:
ˆ’”, 1984. | 164 á.
57. ƒ®­®à €. ‹., ¨¢ª¨­¤ ‚. Ÿ. „¨­ ¬¨ª ª ¯«¨. // ˆâ®£¨ ­ 㪨 ¨ â¥å­. (¬¥å.
¨¤. ¨ £ § ). | 1982. | ’. 17.
58. ƒã¯ «® ž. Ǒ., ï§ ­æ¥¢ ž. ‘. „¨ääã§¨ï ª ç áâ¨æ¥ ¢ á«ãç ¥ ᤢ¨£®¢®£® â¥ç¥­¨ï ¢ï§ª®© ¨¤ª®áâ¨. Ǒਡ«¨¥­¨¥ ¤¨ää㧨®­­®£® ¯®£à ­¨ç­®£® á«®ï. //
Ǒਪ«. ¬ â. ¨ ¬¥å. | 1972. | ’. 36. | N0 3. | ‘. 475 | 479.
59. ƒã¯ «® ž. Ǒ., ï§ ­æ¥¢ ž. ‘. Ž â¥à¬®ª ¯¨««ïà­®¬ ¤¢¨¥­¨¨ ¨¤ª®áâ¨
ᮠ᢮¡®¤­®© ¯®¢¥àå­®áâìî ¯à¨ ­¥«¨­¥©­®© § ¢¨á¨¬®á⨠¯®¢¥àå­®áâ­®£®
­ â省¨ï ®â ⥬¯¥à âãàë. // ˆ§¢. € ‘‘‘, Œ¥å. ¨¤. ¨ £ § . | 1988. |
N0 5. | ‘. 132 | 137.
60. ƒã¯ «® ž. Ǒ., Ǒ®«ï­¨­ €. „., ï§ ­æ¥¢ ž. ‘. Œ áá®â¥¯«®®¡¬¥­ ॠ£¨àãîé¨å ç áâ¨æ á ¯®â®ª®¬. | Œ.:  㪠, 1985. | 336 á.
61. ƒã¯ «® ž. Ǒ., Ǒ®«ï­¨­ €. „., ï§ ­æ¥¢ ž. ‘. ¥ª®â®àë¥ ®¡é¨¥ ᮮ⭮襭¨ï ¨­¢ ਠ­â­®á⨠¢ § ¤ ç å ® ª®­¢¥ªâ¨¢­®¬ ⥯«®- ¨ ¬ áá®®¡¬¥­¥ ¯à¨
¡®«ìè¨å ç¨á« å Ǒ¥ª«¥. // ˆ§¢. € ‘‘‘, Œ¥å. ¨¤. ¨ £ § . | 1981. | N0 6. |
‘. 92 | 97.
62. ƒã¯ «® ž. Ǒ., Ǒ®«ï­¨­ €. „., ï§ ­æ¥¢ ž. ‘. Ž ¤¨ää㧨¨ ª 楯®çª¥ ª ¯¥«ì
(¯ã§ë३) ¯à¨ ¡®«ìè¨å ç¨á« å Ǒ¥ª«¥. // ˆ§¢. € ‘‘‘, Œ¥å. ¨¤. ¨ £ § . |
1978. | N0 1. | ‘. 59 | 69.

‘¯¨á®ª «¨â¥à âãàë

325

63. ƒã¯ «® ž. Ǒ., Ǒ®«ï­¨­ €. „., ï§ ­æ¥¢ ž. ‘. Ž ¬ áá®®¡¬¥­¥ ç áâ¨æ,
à ᯮ«®¥­­ëå ­ ®á¨ ¯®â®ª , ¯à¨ ¡®«ìè¨å ç¨á« å Ǒ¥ª«¥. // ˆ§¢. € ‘‘‘,
Œ¥å. ¨¤. ¨ £ § . | 1977. | N0 2. | ‘. 64 | 74.
64. ƒã¯ «® ž. Ǒ., Ǒ®«ï­¨­ €. „., ï§ ­æ¥¢ ž. ‘. Ž ­¥áâ 樮­ à­®¬ ¬ áá®®¡¬¥­¥ ª ¯«¨ ¢ ¯®â®ª¥ ¢ï§ª®© ¨¤ª®áâ¨. // Ǒਪ«. ¬ â. ¨ ¬¥å. | 1977. |
’. 41. | N0 2. | ‘. 307 | 311.
65. ƒã¯ «® ž. Ǒ., ¥¤­¨ª®¢ €. ., ï§ ­æ¥¢ ž. ‘. ’¥à¬®ª ¯¨««ïà­ë© ¤à¥©ä
ª ¯«¨ ¯à¨ ­¥«¨­¥©­®© § ¢¨á¨¬®á⨠¯®¢¥àå­®áâ­®£® ­ â省¨ï ®â ⥬¯¥à âãàë. // Ǒਪ«. ¬ â. ¨ ¬¥å. | 1989. | ’. 53. | N0 3. | ‘. 433 | 442.
66. ƒã¯ «® ž. Ǒ., ï§ ­æ¥¢ ž. ‘., ‘¥à£¥¥¢ ž. €. „¨ää㧨®­­ë© ¯®â®ª ­
¤¥ä®à¬¨à®¢ ­­ë© £ §®¢ë© ¯ã§ëàì ¯à¨ ¡®«ìè¨å ç¨á« å ¥©­®«ì¤á . // ˆ§¢.
€ ‘‘‘, Œ¥å. ¨¤. ¨ £ § . | 1976. | N0 4. | ‘. 70 | 76.
67. ƒã¯ «® ž. Ǒ., ï§ ­æ¥¢ ž. ‘., “«¨­ ‚. ˆ. „¨ääã§¨ï ª ç áâ¨æ¥ ¢ ®¤­®à®¤­®¬ ¯®áâ㯠⥫쭮-ᤢ¨£®¢®¬ ¯®â®ª¥. // Ǒਪ«. ¬ â. ¨ ¬¥å. | 1975. |
’. 39. | N0 3. | ‘. 497 | 504.
68. ƒã¯ «® ž. Ǒ., Ǒ®«ï­¨­ €. „., Ǒà浪¨­ Ǒ. €. ¨ ¤à. Ž ­¥áâ 樮­ à­®¬
¬ áá®®¡¬¥­¥ ª ¯«¨ ¢ ¯®â®ª¥ ¢ï§ª®© ¨¤ª®áâ¨. // Ǒਪ«. ¬ â. ¨ ¬¥å. |
1978. | ’. 42. | N0 3. | ‘. 441 | 449.
69. ƒã¯ «® ž. Ǒ., Ǒ®«ï­¨­ €. „., ï§ ­æ¥¢ ž. ‘. ¨ ¤à. Ž ª®­¢¥ªâ¨¢­®¬
¬ áá®®¡¬¥­¥ ¢ á¨á⥬¥ ¯¥à¨®¤¨ç¥áª¨ à ᯮ«®¥­­ëå áä¥à. // Ǒਪ«. ¬¥å.
¨ â¥å. 䨧¨ª . | 1979. | N0 4. | ‘. 39 | 41.
70. „ ­ª¢¥àâá Ǒ. ‚. ƒ §®¨¤ª®áâ­ë¥ ॠªæ¨¨. | Œ.: •¨¬¨ï, 1973. | 296 á.
71. „¥¢­¨­ ‘. ˆ. €í஬¥å ­¨ª ¯«®å®®¡â¥ª ¥¬ëå ª®­áâàãªæ¨©. ‘¯à ¢®ç­¨ª. |
‹.: ‘㤮áâ஥­¨¥, 1983. | 332 á.
72. „¨«ì¬ ­ ‚. ‚., Ǒ®«ï­¨­ €. „. Œ¥â®¤ë ¬®¤¥«ì­ëå ãà ¢­¥­¨© ¨ ­ «®£¨© ¢
娬¨ç¥áª®© â¥å­®«®£¨¨. | Œ.: •¨¬¨ï, 1988. | 304 á.
73. †¨¨­ ƒ. ‚. ‹ ¬¨­ à­ë© ¯®£à ­¨ç­ë© á«®© ­¥­ìîâ®­®¢áª®© ¨¤ª®áâ¨
(ª ç¥á⢥­­®¥ ¨áá«¥¤®¢ ­¨¥). // Ǒਪ«. ¬¥å. ¨ â¥å. 䨧¨ª . | 1987. | N0 3. |
‘. 71 | 81.
74. †¨¨­ ƒ. ‚., “䨬楢 €. €. Ž â¥ç¥­¨ïå ¢ ¯«®áª®¬ « ¬¨­ à­®¬ ¯®£à ­¨ç­®¬ á«®¥ ¤¨« â ­â­ëå ¨¤ª®á⥩. // ˆ§¢. € ‘‘‘, Œ¥å. ¨¤. ¨ £ § . |
1977. | N0 5. | ‘. 164 | 168.
75. †ãª ãáª á €., †î£¤ ˆ. ’¥¯«®®â¤ ç 樫¨­¤à ¢ ¯®¯¥à¥ç­®¬ ¯®â®ª¥
¨¤ª®áâ¨. | ‚¨«ì­îá: Œ®ªá« á, 1979. | 237 á.
76. †ã஢ €. ˆ. Ž¡â¥ª ­¨¥ ¯®à¨á⮣® 樫¨­¤à ᤢ¨£®¢ë¬ ¯®â®ª®¬. // ’¥®à.
®á­®¢ë 娬. â¥å­®«. | 1995. | ’. 29. | N0 2. | ‘. 213 | 216.
77. †ã஢ €. ˆ., Ǒ®«ï­¨­ €. „., Ǒ®â ¯®¢ . „. Ž¡â¥ª ­¨¥ ¯®à¨á⮩ ç áâ¨æë
ᤢ¨£®¢ë¬ ¯®â®ª®¬. // ˆ§¢. € ‘‘‘, Œ¥å. ¨¤. ¨ £ § . | 1995. | N0 3. |
‘. 113 | 120.
78. ‡ ©æ¥¢ ‚. ”., Ǒ®«ï­¨­ €. „. „¨­ ¬¨ª áä¥à¨ç¥áª®£® ¯ã§ëàï ¢ ­¥­ìîâ®­®¢áª¨å ¨¤ª®áâïå. // ’¥®à. ®á­®¢ë 娬. â¥å­®«. | 1992. | ’. 26. | N0 2. |
‘. 236 | 242.
79. ‡ ©æ¥¢ ‚. ”., Ǒ®«ï­¨­ €. „. Ž â®ç­ëå à¥è¥­¨ïå ãà ¢­¥­¨© ¯®£à ­¨ç­®£®
á«®ï á⥯¥­­ëå ¨¤ª®á⥩. // ˆ§¢. € ‘‘‘, Œ¥å. ¨¤. ¨ £ § . | 1989. |
N0 5. | ‘. 39 | 42.
80. ‡ ©æ¥¢ ‚. ”., Ǒ®«ï­¨­ €. „. ‘¯à ¢®ç­¨ª ¯® ­¥«¨­¥©­ë¬ ¤¨ää¥à¥­æ¨ «ì­ë¬ ãà ¢­¥­¨ï¬. Ǒਫ®¥­¨ï ¢ ¬¥å ­¨ª¥, â®ç­ë¥ à¥è¥­¨ï. | Œ.:  㪠,
1993. | 464 á.
81. ‡¨­ç¥­ª® €. ‡. Š à áç¥âã £¨¤à®¤¨­ ¬¨ç¥áª®£® ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢¨ï ª ¯¥«ì ¯à¨
¬ «ëå ç¨á« å ¥©­®«ì¤á . // Ǒਪ«. ¬ â. ¨ ¬¥å. | 1978. | ’. 42. | N0 5. |
‘. 955 | 959.
82. ‡¨­ç¥­ª® €. ‡. Œ¥¤«¥­­®¥ ᨬ¬¥âà¨ç­®¥ ¤¢¨¥­¨¥ ¤¢ãå ª ¯¥«ì ¢ ¢ï§ª®©
á।¥. // Ǒਪ«. ¬ â. ¨ ¬¥å. | 1980. | ’. 44. | N0 1. | ‘. 49 | 59.

326

‘¯¨á®ª «¨â¥à âãàë

83. ˆ®ää¥ ˆ. ˆ., Ǒ¨á쬥­ ‹. Œ. ˆ­¥­¥à­ ï 娬¨ï £¥â¥à®£¥­­®£® ª â «¨§ . |
‹.: •¨¬¨ï, 1972. | 462 á.
84. Š £ ­®¢ ‘. €. Ž¡ ãáâ ­®¢¨¢è¥¬áï « ¬¨­ à­®¬ â¥ç¥­¨¨ ­¥á¨¬ ¥¬®© ¨¤ª®á⨠¢ ¯«®áª®¬ ª ­ «¥ ¨ ªà㣫®© 樫¨­¤à¨ç¥áª®© âàã¡¥ á ãç¥â®¬ ⥯«®âë
â७¨ï ¨ § ¢¨á¨¬®á⨠¢ï§ª®á⨠®â ⥬¯¥à âãàë. // Ǒਪ«. ¬¥å. ¨ â¥å. 䨧¨ª . | 1962. | N0 3. | ‘. 96 | 99.
85. Š ¤¥à . €., Ÿ£«®¬ €. Œ. ‚«¨ï­¨¥ è¥à®å®¢ â®á⨠¨ ¯à®¤®«ì­®£® £à ¤¨¥­â
¤ ¢«¥­¨ï ­ âãà¡ã«¥­â­ë¥ ¯®£à ­¨ç­ë¥ á«®¨. // ˆâ®£¨ ­ 㪨 ¨ â¥å­. (¬¥å.
¨¤. ¨ £ § ). | 1984. | ’. 18. | ‘. 3 | 111.
86. Š à᫮㠃., £¥à „. ’¥¯«®¯à®¢®¤­®áâì ⢥à¤ëå ⥫. | Œ.:  㪠, 1964. |
488 á.
87. Š á ⪨­ €. ƒ. Žá­®¢­ë¥ ¯à®æ¥ááë ¨ ¯¯ à âë 娬¨ç¥áª®© â¥å­®«®£¨¨. |
Œ.: •¨¬¨ï, 1973. | 754 á.
88. Š®««¨­§ . ’¥ç¥­¨ï ¨¤ª®á⥩ ç¥à¥§ ¯®à¨áâë¥ ¬ â¥à¨ «ë. | Œ.: Œ¨à,
1964. | 351 .
89. Š®à­ ƒ., Š®à­ ’. ‘¯à ¢®ç­¨ª ¯® ¬ ⥬ ⨪¥. | Œ.:  㪠, 1984. | 832 á.
90. Š®ã« „. Œ¥â®¤ë ¢®§¬ã饭¨© ¢ ¯à¨ª« ¤­®© ¬ ⥬ ⨪¥. | Œ.: Œ¨à,
1972. | 274 á.
91. Š®ç¨­ . ., Š¨¡¥«ì ˆ. €., ®§¥ . ‚. ’¥®à¥â¨ç¥áª ï £¨¤à®¬¥å ­¨ª .
— áâì 1. | Œ.: ƒˆ’’‹, 1955. | 560 á.
92. Šãà¤î¬®¢ ‚. ., Ǒ®«ï­¨­ €. „. Ž ¬ áá®®¡¬¥­¥ ç áâ¨æ, ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३
¢ ᤢ¨£®¢®¬ ¯®â®ª¥. // ˆ§¢. € ‘‘‘, Œ¥å. ¨¤. ¨ £ § . | 1990. | N0 4. |
‘. 137 | 141.
93. Šãâ ⥫ ¤§¥ ‘. ‘. Žá­®¢ë ⥮ਨ ⥯«®®¡¬¥­ . | Œ.: €â®¬¨§¤ â, 1979. |
416 á.
94. Šãâ ⥫ ¤§¥ ‘. ‘. ’¥¯«®¯¥à¥¤ ç ¨ £¨¤à®¤¨­ ¬¨ç¥áª®¥ ᮯà®â¨¢«¥­¨¥. |
Œ.: ­¥à£® ⮬¨§¤ â, 1990. | 367 á.
95. Šã⥯®¢ €. Œ., ‘â¥à¬ ­ ‹. ‘., ‘âî設 . ƒ. ƒ¨¤à®¤¨­ ¬¨ª ¨ ⥯«®®¡¬¥­ ¯à¨ ¯ à®®¡à §®¢ ­¨¨. | Œ.: ‚ëáè ï 誮« , 1977. | 352 á.
96. ‹ ¢à¥­â쥢 Œ. €., ˜ ¡ ⠁. ‚. Œ¥â®¤ë ⥮ਨ ä㭪権 ª®¬¯«¥ªá­®£®
¯¥à¥¬¥­­®£®. | Œ.:  㪠, 1973. | 736 á.
97. ‹ ¬¡ ƒ. ƒ¨¤à®¤¨­ ¬¨ª . | Œ.: ƒ®áâ¥å¨§¤ â, 1947. | 928 á.
98. ‹ ­¤ 㠋. „., ‹¨äè¨æ . Œ. ƒ¨¤à®¤¨­ ¬¨ª . | Œ.:  㪠, ƒ”Œ‹, 1986. |
736 á.
99. ‹¥¢¨æª¨© ‘. Ǒ., ˜ã«ì¬ ­ ‡. Ǒ. „¨­ ¬¨ª ¨ ⥯«®¬ áá®®¡¬¥­ ¯ã§ëà쪮¢ ¢
¯®«¨¬¥à­ëå ¨¤ª®áâïå. | Œ¨­áª:  㪠¨ â¥å­¨ª , 1990. | 175 á.
100. ‹¥¢¨ç ‚. ƒ. ”¨§¨ª®-娬¨ç¥áª ï £¨¤à®¤¨­ ¬¨ª . | Œ.: ”¨§¬ ⫨â, 1959. |
670 á.
101. ‹¥¢¨ç ‚. ƒ., Šàë«®¢ ‚. ‘., ‚®à®â¨«¨­ ‚. Ǒ. Š ⥮ਨ ­¥áâ 樮­ à­®©
¤¨ää㧨¨ ¨§ ¤¢¨ã饩áï ª ¯«¨. // „®ª« ¤ë € ‘‘‘. | 1965. | ’. 161. |
N0 3. | ‘. 648 | 652.
102. ‹¥å⬠å¥à ‘. Ž. Žá ¤¥­¨¥ ç áâ¨æ ¨§ « ¬¨­ à­®£® ¯®â®ª ¢ § ¢¨á¨¬®áâ¨
®â ç¨á« Ǒ¥ª«¥. // ˆ­.-䨧¨ç. ãà­ «. | 1971. | ’. 20. | N0 3. | ‘. 546 |
549.
103. ‹®©æï­áª¨© ‹. ƒ. Œ¥å ­¨ª ¨¤ª®á⨠¨ £ § . | Œ.:  㪠, ƒ”Œ‹, 1987. |
840 á.
104. ‹ëª®¢ €. ‚. ’¥®à¨ï ⥯«®¯à®¢®¤­®áâ¨. | Œ.: ‚ëáè ï 誮« , 1967. | 600 á.
105. Œ ª-‹ å« ­ . ‚. ’¥®à¨ï ¨ ¯à¨«®¥­¨ï ä㭪権 Œ âì¥. | Œ.: ˆ§¤. ¨­®áâà.
«¨â¥à., 1953. | 476 á.
106. Œ¨§ã設 ’., Šãਢ ª¨ ž. ’¥¯«®®¡¬¥­ ¯à¨ « ¬¨­ à­®¬ â¥ç¥­¨¨ ¯á¥¢¤®¯« áâ¨ç­ëå ¨¤ª®á⥩ ¢ ªà㣫®© âàã¡¥. // ‚ á¡. ý’¥¯«®- ¨ ¬ áᮯ¥à¥­®áþ,
’. 3. | Œ¨­áª, 1968.

‘¯¨á®ª «¨â¥à âãàë

327

107. Œ®è¥¢ ‚. ‚., ˆ¢ ­®¢ ‚. €. ¥®«®£¨ç¥áª®¥ ¯®¢¥¤¥­¨¥ ª®­æ¥­âà¨à®¢ ­­ëå
­¥­ìîâ®­®¢áª¨å áãᯥ­§¨©. | Œ.:  㪠, 1990. | 89 á.
108. Œî««¥à •., ‚¥â®èª¨­ €. ƒ., Š §¥­¨­ „. €., Š ­­ Š. ., Šã⥯®¢ €. Œ.
¥®«®£¨ç¥áª®¥ ¯®¢¥¤¥­¨¥ £ §®¨¤ª®áâ­ëå ¯¥­. // †ãà­ « ¯à¨ª«. 娬¨¨. |
1989. | ’. 62. | N0 3. | ‘. 580 | 585.
109.  ©¤¥­®¢ ‚. ˆ. ¥¨§®â¥à¬¨ç¥áª ï ­¥ãá⮩稢®áâì ¤¢¨¥­¨ï ¢ï§ª®¯« áâ¨ç­ëå ¨¤ª®á⥩ ¢ âàã¡ å. // ’¥¯«®ä¨§. ¢ë᮪¨å ⥬¯¥à âãà. | 1990. |
’. 28. | N0 3. | ‘. 512 | 517.
110.  ©¤¥­®¢ ‚. ˆ. Ž¡ ¨­â¥£à «ì­ëå ãà ¢­¥­¨ïå, ®¯¨áë¢ îé¨å à á¯à¥¤¥«¥­¨¥
⥬¯¥à âãàë ¢ ¯«®áª®¬ â¥ç¥­¨¨ ­¥­ìîâ®­®¢áª¨å á।. // Ǒਪ«. ¬¥å. ¨ â¥å.
䨧¨ª . | 1983. | N0 5. | ‘. 103 | 109.
111.  ©¤¥­®¢ ‚. ˆ. Ž ­¥«¨­¥©­ëå ãà ¢­¥­¨ïå ¢â®¬®¤¥«ì­®£® ­¥¨§®â¥à¬¨ç¥áª®£® ¤¢¨¥­¨ï ¢ï§ª®© ¨¤ª®áâ¨. // †ãà­. ¢ëç¨á«. ¬ â. ¨ ¬ â. 䨧¨ª¨. |
1988. | ’. 28. | N0 12. | ‘. 1884 | 1896.
112.  ©¤¥­®¢ ‚. ˆ., Ǒ®«ï­¨­ €. „. Ž ª®­¢¥ªâ¨¢­®-⥯«®¢ëå íä䥪â å ¢ ⥮ਨ
䨫ìâà 樨 ¨ £¨¤à®¤¨­ ¬¨ª¥. // „®ª« ¤ë € ‘‘‘. | 1984. | ’. 279. |
N0 3. | ‘. 575 | 579.
113.  ©¤¥­®¢ ‚. ˆ., Ǒ®«ï­¨­ €. „. Ž ­¥ª®â®àëå ­¥¨§®â¥à¬¨ç¥áª¨å â¥ç¥­¨ïå
¨¤ª®áâ¨. // Ǒਪ«. ¬¥å. ¨ â¥å. 䨧¨ª . | 1990. | N0 3. | ‘. 83 | 92.
114.  ©äí €. Œ¥â®¤ë ¢®§¬ã饭¨©. | Œ.: Œ¨à, 1976. | 456 á.
115.  ª®à类¢ ‚. ., Ǒ®ªãá ¥¢ . ƒ., ˜à¥©¡¥à ˆ. . ‚®«­®¢ ï ¤¨­ ¬¨ª £ §®- ¨
¯ ந¤ª®áâ­ëå á।. | Œ.: ­¥à£® ⮬¨§¤ â, 1990. | 247 á.
116.  â ­á®­ ƒ. ‹. „¨ää㧨®­­®¥ ®á ¤¥­¨¥ í஧®«¥© ­ ®¡â¥ª ¥¬®¬ 樫¨­¤à¥ ¯à¨ ¬ «ëå ª®íää¨æ¨¥­â å § å¢ â . // „®ª« ¤ë € ‘‘‘. | 1957. |
’. 112. | N0 1. | ‘. 100 | 103.
117. ¨£¬ â㫨­ . ˆ. „¨­ ¬¨ª ¬­®£®ä §­ëå á।. —. 1. | Œ.:  㪠, 1987. |
464 .
118. ¨£¬ â㫨­ . ˆ. Žá­®¢ë ¬¥å ­¨ª¨ £¥â¥à®£¥­­ëå á।. | Œ:  㪠, 1978. |
336 á.
119. ¨§¬¥¥¢ ž. ƒ., Œ¨­¥­ª®¢ ‚. €., Œã¬« ¤§¥ €. ˆ. ’¥¯«®¢®© ¢§àë¢ ¯à¨
â¥ç¥­¨¨ ­¥«¨­¥©­®-¢ï§ª¨å á। ¢ ªà㣫®© âàã¡¥. // ˆ­.-䨧¨ç. ãà­ «. |
1988. | ’. 55. | N0 2. | ‘. 212 | 217.
120. Ž£¨¡ «®¢ Ǒ. Œ., Œ¨à§ ¤ ­§ ¤¥ €. •. ¥áâ 樮­ à­ë¥ ¤¢¨¥­¨ï ¢ï§ª®¯« áâ¨ç­ëå á।. | Œ.: ˆ§¤. Œƒ“, 1970. | 416 á.
121. Ǒ ¢«®¢ Š. . Š ⥮ਨ ¯®£à ­¨ç­®£® á«®ï ­¥­ìîâ®­®¢áª¨å ­¥«¨­¥©­®-¢ï§ª¨å
á।. // ˆ§¢. € ‘‘‘, Œ¥å. ¨¤. ¨ £ § . | 1978. | N0 3. | ‘. 26 | 33.
122. Ǒ ᪮­®¢ ‚. Œ., Ǒ®«¥ ¥¢ ‚. ˆ., —㤮¢ ‹. €. —¨á«¥­­®¥ ¬®¤¥«¨à®¢ ­¨¥
¯à®æ¥áᮢ ⥯«®- ¨ ¬ áá®®¡¬¥­ . | Œ.:  㪠, 1984. | 288 á.
123. Ǒ¥à«¬ãââ¥à „. “á⮩稢®áâì 娬¨ç¥áª¨å ॠªâ®à®¢. | ‹.: •¨¬¨ï, 1976. |
256 á.
124. Ǒ¥àਠ„. ‘¯à ¢®ç­¨ª ¨­¥­¥à -娬¨ª , â. 1. | ‹.: •¨¬¨ï, 1969. | 640 á.
125. Ǒ¥â஢ €. ƒ. ‚­ãâ७­¥¥ â¥ç¥­¨¥ ¨ ¤¥ä®à¬ æ¨ï ¢ï§ª¨å ª ¯¥«ì. // ‚¥áâ­¨ª Œƒ“. ‘¥à. 1 (¬ â. ¨ ¬¥å.). | 1988. | N0 3. | ‘. 85 | 88.
126. Ǒ¥â஢ €. ƒ. Šà¨¢®«¨­¥©­®¥ ¤¢¨¥­¨¥ í««¨¯á®¨¤ «ì­®£® ¯ã§ëàï. // Ǒਪ«.
¬¥å. ¨ â¥å. 䨧¨ª . | 1972. | N0 3. | ‘. 90 | 93.
127. Ǒ¥â஢ €. ƒ. ‘ª®à®áâì ¤¨áᨯ 樨 í­¥à£¨¨ ¢ï§ª®© ¨¤ª®á⨠á ãá«®¢¨¥¬ ¤«ï ª á ⥫쭮£® ­ ¯à省¨ï ­ £à ­¨ç­®© «¨­¨¨ ⮪ . // „®ª« ¤ë
€ ‘‘‘. | 1989. | ’. 304. | N0 5. | ‘. 1082 | 1086.
128. Ǒ¥â஢ €. ƒ. –¨àªã«ïæ¨ï ¢­ãâਠ¢ï§ª¨å ¤¥ä®à¬¨à®¢ ­­ëå ª ¯¥«ì, ¤¢¨ãé¨åáï ¢ £ §¥ á ¯®áâ®ï­­®© ᪮à®áâìî. // Ǒਪ«. ¬¥å. ¨ â¥å. 䨧¨ª . | 1989. |
N0 6. | ‘. 127 | 134.
129. Ǒ¥âã客 . ‘. ’¥¯«®®¡¬¥­ ¨ ᮯà®â¨¢«¥­¨¥ ¯à¨ « ¬¨­ à­®¬ â¥ç¥­¨¨ ¨¤ª®á⨠¢ âàã¡ å. | Œ.: ­¥à£¨ï, 1967. | 412 á.

328

‘¯¨á®ª «¨â¥à âãàë

130. Ǒ®¢¨æª¨© €. ‘., ‹î¡¨­ ‹. Ÿ. Žá­®¢ë ¤¨­ ¬¨ª¨ ¨ ⥯«®¬ áá®®¡¬¥­ ¨¤ª®á⥩ ¨ £ §®¢ ¯à¨ ­¥¢¥á®¬®áâ¨. | Œ.: Œ 設®áâ஥­¨¥, 1972. | 252 á.
131. Ǒ®«¥ ¥¢ ‚. ˆ., ã­í €. ‚., ‚¥à¥§ã¡ . €. ¨ ¤à. Œ ⥬ â¨ç¥áª®¥ ¬®¤¥«¨à®¢ ­¨¥ ª®­¢¥ªâ¨¢­®£® ⥯«®¬ áá®®¡¬¥­ ­ ®á­®¢¥ ãà ¢­¥­¨©  ¢ì¥ |
‘⮪á . | Œ.:  㪠, 1987. | 272 á.
132. Ǒ®«ã¡ ਭ®¢ -Š®ç¨­ Ǒ. Ÿ. ’¥®à¨ï ¤¢¨¥­¨ï £àã­â®¢ëå ¢®¤. | Œ.:  㪠,
1977. | 664 á.
133. Ǒ®«ï­¨­ €. „. €á¨¬¯â®â¨ç¥áª¨© ­ «¨§ ­¥ª®â®àëå ­¥«¨­¥©­ëå § ¤ ç ®
¬ áá®- ¨ ⥯«®®¡¬¥­¥ ç áâ¨æ á ¯®â®ª®¬ ¯à¨ ¬ «ëå ç¨á« å Ǒ¥ª«¥. // „®ª« ¤ë
€ ‘‘‘. | 1982. | ’. 264. | N0 6. | ‘. 1322 | 1326.
134. Ǒ®«ï­¨­ €. „. Š ç¥á⢥­­ë¥ ®á®¡¥­­®á⨠¢­ãâ७­¨å § ¤ ç ­¥áâ 樮­ à­®£®
ª®­¢¥ªâ¨¢­®£® ¬ áá®- ¨ ⥯«®®¡¬¥­ ¯à¨ ¡®«ìè¨å ç¨á« å Ǒ¥ª«¥. // ’¥®à.
®á­®¢ë 娬. â¥å­®«. | 1984. | ’. 18. | N0 3. | ‘. 284 | 296.
135. Ǒ®«ï­¨­ €. „. ¥«¨­¥©­ ï § ¤ ç ® ­¥áâ 樮­ à­®¬ ¬ áá®®¡¬¥­¥ ª ¯«¨ ¯à¨
ᮨ§¬¥à¨¬ëå ä §®¢ëå ᮯà®â¨¢«¥­¨ïå. // „®ª« ¤ë € ‘‘‘. | 1983. |
’. 272. | N0 4. | ‘. 820 | 824.
136. Ǒ®«ï­¨­ €. „. Ž¡ ¨­â¥£à¨à®¢ ­¨¨ ­¥«¨­¥©­ëå ­¥áâ 樮­ à­ëå ãà ¢­¥­¨©
ª®­¢¥ªâ¨¢­®£® ⥯«®- ¨ ¬ áá®®¡¬¥­ . // „®ª« ¤ë € ‘‘‘. | 1980. |
’. 251. | N0 4. | ‘. 817 | 820.
137. Ǒ®«ï­¨­ €. „. Ž ¤¨ää㧨®­­®¬ ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨¨ ª ¯¥«ì ¢ ¨¤ª®áâ¨. // ˆ§¢.
€ ‘‘‘, Œ¥å. ¨¤. ¨ £ § . | 1978. | N0 2. | ‘. 44 | 56.
138. Ǒ®«ï­¨­ €. „. Ž ¤¨ää㧨®­­®¬ ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨¨ ⢥à¤ëå ç áâ¨æ ¯à¨ ¡®«ìè¨å ç¨á« å Ǒ¥ª«¥. // Ǒਪ«. ¬ â. ¨ ¬¥å. | 1978. | ’. 42. | N0 2. | ‘. 301 |
312.
139. Ǒ®«ï­¨­ €. „. Ž áâàãªâãॠ¤¨ää㧨®­­®£® á«¥¤ ¯®£«®é î饩 ç áâ¨æë
¢¡«¨§¨ ªà¨â¨ç¥áª¨å «¨­¨©. // ˆ§¢. € ‘‘‘, Œ¥å. ¨¤. ¨ £ § . | 1977. |
N0 3. | ‘. 82 | 86.
140. Ǒ®«ï­¨­ €. „.  á¯à¥¤¥«¥­¨¥ ª®­æ¥­âà 樨 ¢ ¤¨ää㧨®­­®¬ á«¥¤¥ ç áâ¨æë,
­ 室ï饩áï ¢ á⮪ᮢ®¬ ¯®â®ª¥. // ˆ§¢. € ‘‘‘, Œ¥å. ¨¤. ¨ £ § . |
1977. | N0 1. | ‘. 176 | 179.
141. Ǒ®«ï­¨­ €. „. ’à¥å¬¥à­ë¥ § ¤ ç¨ ¤¨ää㧨®­­®£® ¯®£à ­¨ç­®£® á«®ï. //
Ǒਪ«. ¬¥å. ¨ â¥å. 䨧¨ª . | 1984. | N0 4. | ‘. 71 | 81.
142. Ǒ®«ï­¨­ €. „., ‚ï§ì¬¨­ €. ‚. Œ áá®- ¨ ⥯«®®¡¬¥­ ç áâ¨æ á ¯®â®ª®¬. //
’¥®à. ®á­®¢ë 娬. â¥å­®«. | 1995. | ’. 29. | N0 2. | ‘. 141 | 153.
143. Ǒ®«ï­¨­ €. „., ‚ï§ì¬¨­ €. ‚. Œ áá®- ¨ ⥯«®®¡¬¥­ ª ¯¥«ì ¨ ¯ã§ë३ á
¯®â®ª®¬. // ’¥®à. ®á­®¢ë 娬. â¥å­®«. | 1995. | ’. 29. | N0 3. | ‘. 249 |
260.
144. Ǒ®«ï­¨­ €. „., à®å¨­ ‹. ž. Ž ⥯«®®¡¬¥­¥ ⥫ á«®­®© ä®à¬ë. // ’¥®à.
®á­®¢ë 娬. â¥å­®«. | 1990. | ’. 24. | N0 1. | ‘. 12 | 19.
145. Ǒ®«ï­¨­ €. „., Ǒà浪¨­ Ǒ. €. Ž ¤¢ãå § ¤ ç å ª®­¢¥ªâ¨¢­®© ¤¨ää㧨¨ ª
¯®¢¥àå­®áâï¬ ¯«®å®®¡â¥ª ¥¬ëå ⥫. // ˆ§¢. € ‘‘‘, Œ¥å. ¨¤. ¨ £ § . |
1978. | N0 6. | ‘. 104 | 109.
146. Ǒ®«ï­¨­ €. „., ˜¥¢æ®¢ ‚. Œ. Œ áá®®¡¬¥­ ª ¯¥«ì ¨ ç áâ¨æ á ¯®â®ª®¬ ¯à¨
­ «¨ç¨¨ ®¡ê¥¬­®© 娬¨ç¥áª®© ॠªæ¨¨. // ˆ§¢. € ‘‘‘, Œ¥å. ¨¤. ¨
£ § . | 1987. | N0 6. | ‘. 109 | 113.
147. Ǒ®«ï­¨­ €. „., ˜¥¢æ®¢ ‚. Œ. Ž ­¥áâ 樮­ à­®¬ ¬ áá®®¡¬¥­¥ ª ¯«¨
(¯ã§ëàï) ¢ âà¥å¬¥à­®¬ ᤢ¨£®¢®¬ ¯®â®ª¥. // ˆ§¢. € ‘‘‘, Œ¥å. ¨¤. ¨
£ § . | 1986. | N0 6. | ‘. 111 | 119.
148. Ǒ®«ï­¨­ €. „., Šãà¤î¬®¢ ‚. ., „¨«ì¬ ­ ‚. ‚. Œ¥â®¤ ᨬ¯â®â¨ç¥áª®©
ª®à४樨 ¢ § ¤ ç å 娬¨ç¥áª®© â¥å­®«®£¨¨. // ’¥®à. ®á­®¢ë 娬. â¥å­®«. |
1992. | ’. 26. | N0 5. | ‘. 494 | 509.
149. Ǒ®«ï­¨­ €. „., ˜¥¢æ®¢ ‚. Œ., Š®¢ 祢 . ’. ¥«¨­¥©­ë¥ § ¤ ç¨ â¥¯«®- ¨
¬ áá®®¡¬¥­ ¯à¨ ¯¥à¥¬¥­­ëå ª®íää¨æ¨¥­â å ¯¥à¥­®á . // ’¥®à. ®á­®¢ë 娬.
â¥å­®«. | 1990. | ’. 24. | N0 6. | ‘. 723 | 734.

‘¯¨á®ª «¨â¥à âãàë

329

150. Ǒ®¯®¢ „. €. “ç¥â ¯à®¤®«ì­®© ¤¨ää㧨¨ ¯à¨ â¥ç¥­¨¨ ¢ ª ­ «¥. // ˆ§¢. €
‘‘‘, Œ¥å. ¨¤. ¨ £ § . | 1973. | N0 6. | ‘. 63 | 73.
151. Ǒ®â ¯®¢ . „., ‘¥à¥¡à类¢ . ƒ., ’à®è¨­ ‚. ƒ. ‚§ ¨¬®¤¥©á⢨¥ ¯®à¨áâëå
áä¥à¨ç¥áª¨å ⥫, ®¡â¥ª ¥¬ëå ¬¥¤«¥­­ë¬ ¯®â®ª®¬ ¢ï§ª®© ¨¤ª®áâ¨. // ˆ§¢.
€, Œ¥å. ¨¤. ¨ £ § . | 1992. | N0 3. | ‘. 181 | 183.
152. Ǒãå­ ç¥¢ ‚. ‚. „¢¨¥­¨¥ ¢ï§ª®© ¨¤ª®á⨠ᮠ᢮¡®¤­ë¬¨ £à ­¨æ ¬¨. |
®¢®á¨¡¨àáª: ˆ§¤. ®¢®á¨¡. ã­-â , 1989. | 96 á.
153.  ¬¬ ‚. Œ. €¡á®à¡æ¨ï £ §®¢. | Œ.: •¨¬¨ï, 1976. | 656 á.
154. ¢ 祢 ‚. ‹., ‘«¥á ७ª® €. Ǒ. €«£¥¡à «®£¨ª¨ ¨ ¨­â¥£à «ì­ë¥ ¯à¥®¡à §®¢ ­¨ï ¢ ªà ¥¢ëå § ¤ ç å. | Š¨¥¢:  㪮¢ ¤ã¬ª , 1976. | 288 á.
155. ¥¤­¨ª®¢ €. ., ï§ ­æ¥¢ ž. ‘. Ž â¥à¬®ª ¯¨««ïà­®¬ ¤¢¨¥­¨¨ ª ¯«¨ ¯®¤
¤¥©á⢨¥¬ ¨§«ã祭¨ï. // Ǒਪ«. ¬¥å. ¨ â¥å. 䨧¨ª . | 1989. | N0 2. |
‘. 179 | 183.
156. ¥¤­¨ª®¢ €. ., ï§ ­æ¥¢ ž. ‘. Ž â¥à¬®ª ¯¨««ïà­®¬ ¤¢¨¥­¨¨ ª ¯«¨ á
®¤­®à®¤­ë¬ ¢­ãâ७­¨¬ ⥯«®¢ë¤¥«¥­¨¥¬. // Ǒਪ«. ¬ â. ¨ ¬¥å. | 1989. |
’. 53. | N0 2. | ‘. 271 | 277.
157. ¥©­¥à Œ. ¥®«®£¨ï. | Œ.: Œ¨à, 1965. | 224 á.
158. ¨¢ª¨­¤ ‚. Ÿ., ‘¨£®¢æ¥¢ ƒ. ‘. „¢¨¥­¨¥ ª ¯«¨ á ãç¥â®¬ â¥à¬®ª ¯¨««ïà­ëå
ᨫ. // ˆ§¢. € ‘‘‘, Œ¥å. ¨¤. ¨ £ § . | 1982. | No. 4. | ‘. 80 | 86.
159. ¨¤ ., Ǒà ãá­¨æ „., ˜¥à¢ã¤ ’. ‘¢®©á⢠£ §®¢ ¨ ¨¤ª®á⥩. | ‹.: •¨¬¨ï,
1982. | 592 á.
160. ®ãç Ǒ. ‚ëç¨á«¨â¥«ì­ ï £¨¤à®¤¨­ ¬¨ª . | Œ.: Œ¨à, 1980. | 616 á.
161. ë᪨­ ƒ. Œ. €¢â®à¥ä¥à â ª ­¤. ¤¨áá¥àâ 樨. | ‹.: ‹Ǒˆ ¨¬. Œ. ˆ. Š «¨­¨­ , 1976.
162. ï§ ­æ¥¢ ž. ‘. Š®­¢¥ªæ¨ï ¢ ¨¤ª®á⨠¨ íªá¯¥à¨¬¥­âë ¢ ãá«®¢¨ïå ¬¨ªà®£à ¢¨â 樨. | Œ.: Ǒ९ਭ⠈ǑŒ¥å ­¨ª¨ € ‘‘‘. | N0 480, 1990. | 36 á.
163. ï§ ­æ¥¢ ž. ‘. Ž â¥à¬®ª ¯¨««ïà­®¬ ¤¢¨¥­¨¨ ॠ£¨àãî饩 ª ¯«¨ ¢
娬¨ç¥áª¨ ªâ¨¢­®© á।¥. // ˆ§¢. € ‘‘‘, Œ¥å. ¨¤. ¨ £ § . | 1985. |
N0 3. | ‘. 180 | 183.
164. ‘¥¡¨á¨ ’., à¥¤è®ã Ǒ. Š®­¢¥ªâ¨¢­ë© ⥯«®®¡¬¥­. | Œ.: Œ¨à, 1987. | 592 á.
165. ‘¥¤®¢ ‹. ˆ. Œ¥å ­¨ª ᯫ®è­®© á।ë. ’®¬ 1. | Œ.:  㪠, ƒ”Œ‹, 1973. |
536 á.
166. ‘¥¤®¢ ‹. ˆ. Ǒ«®áª¨¥ § ¤ ç¨ £¨¤à®¤¨­ ¬¨ª¨ ¨ íத¨­ ¬¨ª¨. | Œ.:  㪠,
1966. | 448 á.
167. ‘«®¡®¤®¢ . ., —¥¯ãà ˆ. ‚. Š ¢®¯à®áã ® ï祥筮© ¬®¤¥«¨ ¤¢ãåä §­ëå
á।. // ’¥®à. ®á­®¢ë 娬. â¥å­®«. | 1982. | ’. 16. | No. 3. | ‘. 331 | 335.
168. ‘¬®«ì᪨© . Œ., ˜ã«ì¬ ­ ‡. Ǒ., ƒ®à¨á« ¢¥æ ‚. Œ. ¥®¤¨­ ¬¨ª ¨ ⥯«®®¡¬¥­ ­¥«¨­¥©­®-¢ï§ª®¯« áâ¨ç­ëå ¬ â¥à¨ «®¢. | Œ¨­áª:  㪠¨ â¥å­¨ª ,
1970. | 448 á.
169. ‘®ã ‘. ƒ¨¤à®¤¨­ ¬¨ª ¬­®£®ä §­ëå á¨á⥬. | Œ.: Œ¨à, 1971. | 536 á.
170. ‘¯à ¢®ç­¨ª ¯® á¯¥æ¨ «ì­ë¬ äã­ªæ¨ï¬ (¯®¤ ।. €¡à ¬®¢¨æ Œ., ‘⨣ ­ ˆ.) | Œ.:  㪠, 1979. | 832 á.
171. ‘â¥çª¨­ ˆ. . „¨ää㧨®­­®¥ ®á ¤¥­¨¥ í஧®«¥© ¢ ¢®«®ª­¨áâëå 䨫ìâà å. // „®ª« ¤ë € ‘‘‘. | 1966. | ’. 167. | N0 6. | ‘. 1327 | 1330.
172. ’¥à­®¢áª¨© ˆ. ƒ., Šã⥯®¢ €. Œ. ƒ¨¤à®æ¨ª«®­¨à®¢ ­¨¥. | Œ:  㪠,
1994. | 352 á.
173. ’¨å®­®¢ €. ., ‘ ¬ à᪨© €. €. “à ¢­¥­¨ï ¬ ⥬ â¨ç¥áª®© 䨧¨ª¨. |
Œ.:  㪠, 1972. | 736 á.
174. “¨«ª¨­á®­ “. ‹. ¥­ìîâ®­®¢áª¨¥ ¨¤ª®áâ¨. | Œ.: Œ¨à, 1964. | 216 á.
175. ”à ­ª-Š ¬¥­¥æª¨© „. €. „¨ääã§¨ï ¨ ⥯«®¯¥à¥¤ ç ¢ 娬¨ç¥áª®© ª¨­¥â¨ª¥. | Œ.:  㪠, 1987. | 502 á.

330

‘¯¨á®ª «¨â¥à âãàë

176. ”ன­¤®àä¥à ., Œî««¥à •., ‚¥â®èª¨­ €. ƒ., Š §¥­¨­ „. €., Šã⥯®¢
€. Œ. Œ ⥬ â¨ç¥áª®¥ ®¯¨á ­¨¥ ८«®£¨ç¥áª¨å ¬®¤¥«¥© ¯¥­ë. // †ãà­ «
¯à¨ª«. 娬¨¨. | 1986. | ’. 59. | N0 12. | ‘. 2694 | 2701.
177. ”ãªá . €. Œ¥å ­¨ª í஧®«¥©. | Œ.: ˆ§¤. € ‘‘‘, 1955. | 352 á.
178. • ¯¯¥«ì „., à¥­­¥à ƒ. ƒ¨¤à®¤¨­ ¬¨ª ¯à¨ ¬ «ëå ç¨á« å ¥©­®«ì¤á . |
Œ.: Œ¨à, 1976. | 631 á.
179. •¨­æ¥ ˆ. Ž. ’ãà¡ã«¥­â­®áâì. | Œ.: ƒˆ”Œ‹, 1963. | 680 á.
180. •®«¯ ­®¢ ‹. Ǒ., ˜ª ¤®¢ ‚. Ÿ. ƒ¨¤à®¤¨­ ¬¨ª ¨ ⥯«®®¡¬¥­ á ¯®¢¥àå­®áâìî
à §¤¥« . | Œ.:  㪠, 1990. | 272 á.
181. –®© Ǒ. ‚. Œ¥â®¤ë à áç¥â ®â¤¥«ì­ëå § ¤ ç ⥯«®¬ áᮯ¥à¥­®á . | Œ.: ­¥à£¨ï, 1971. | 383 á.
182. ˜¥à¢ã¤ ’., Ǒ¨ªä®à¤ ., “¨«ª¨ —. Œ áᮯ¥à¥¤ ç . | Œ.: •¨¬¨ï, 1982. |
696 á.
183. ˜ª ¤®¢ ‚. Ÿ., ‡ ¯àï­®¢ ‡. „. ’¥ç¥­¨ï ¢ï§ª®© ¨¤ª®á⨠| Œ.: ˆ§¤. Œ®áª.
ã­-â , 1984. | 200 á.
184. ˜«¨å⨭£ ƒ. ’¥®à¨ï ¯®£à ­¨ç­®£® á«®ï. | Œ.:  㪠, 1974. | 711 á.
185. ˜ã«ì¬ ­ ‡. Ǒ. Š®­¢¥ªâ¨¢­ë© ⥯«®¬ áᮯ¥à¥­®á ८«®£¨ç¥áª¨ á«®­ëå
¨¤ª®á⥩. | Œ.: ­¥à£¨ï, 1975. | 352 á.
186. ˜ã«ì¬ ­ ‡. Ǒ.,  ©ª®¢ ‚. ˆ. ¥®¤¨­ ¬¨ª ¨ ⥯«®¬ áá®®¡¬¥­ ¢ ¯«¥­®ç­ëå
â¥ç¥­¨ïå. | Œ¨­áª:  㪠¨ â¥å­¨ª , 1979. | 296 á.
187. ˜ã«ì¬ ­ ‡. Ǒ., ¥àª®¢áª¨© . Œ. Ǒ®£à ­¨ç­ë© á«®© ­¥­ìîâ®­®¢áª¨å
¨¤ª®á⥩. | Œ¨­áª:  㪠¨ â¥å­¨ª , 1966. | 240 á.
188. Ÿ­ª¥ ., ¬¤¥ ”., ‹¥è ”. ‘¯¥æ¨ «ì­ë¥ ä㭪樨. | Œ.:  㪠, 1968. |
344 á.
189. A rivos A. A note of the rate of heat or mass transfer from a small sphere freely
suspended in linear shear eld. // J. Fluid Me h. | 1980. | V. 98. | No. 2. |
P. 299 | 304.
190. A rivos A., Goddard J. D. Asymptoti expansions for laminar for ed- onve tion
heat and mass transfer. Part 1. Low speed ows. // J. Fluid Me h. | 1965. |
V. 23. | No. 2. | P. 273 | 291.
191. A rivos A., Taylor T. D. Heat and mass transfer from single sphere in Stokes
ow. // Phys. Fluids. | 1962. | V. 5. | No. 4. | P. 387 | 394.
192. A rivos A., Shah M. J., Petersen E. E. Momentum and heat transfer in laminar
boundary-layer ows of non-Newtonian uids past external surfa es. // AIChE
J. | 1960. | V. 6. | No. 2. | P. 312 | 317.
193. Anderson J. L. Droplet intera tions in thermo apillary motion. // Int. J. Mult.
Flow. | 1985. | V. 11. | No. 6. | P. 813 | 824.
194. Anderson J. L. Predi tion of the on entration dependen e of ma romole ular
di usion oeÆ ients. // Ind. Engng. Chem. Fundam. | 1973. | V. 12. | No. 4. |
P. 488 |490.
195. As oli E. P., Dandy D. S., Leal L. G. Buoyan y-driven motion of a deformable
drop toward a plan wall at low Reynolds number. // J. Fluid Me h. | 1990. |
V. 213. | No. 2. | P. 287 | 311.
196. Bat helor G. K. Mass transfer from a parti le suspended in uid with a steady
linear ambient velo ity distribution. // J. Fluid Me h. | 1979. | V. 95. |
No. 2. | P. 369 | 400.
197. Bauer H. F. Di usion, onve tion and hemi al rea tion in a hannel. // Int. J.
Heat Mass Transfer. | 1976. | V. 19. | No. 5. | P. 479 | 486.
198. Beavers G. S., Joseph D. D. Boundary onditions at a naturally permeable
wall. // J. Fluid Me h. | 1967. | V. 30. | No. 1. | P. 197 | 207.
199. Beavers G. S., Sparrow E. M., Magnuson R. A. Experiments on oupled parallel
ows in a hannel and boundary porous medium. // Trans. ASME, J. Basi
Eng. | 1970. | V. 92. | No. 4. | P. 843 | 848.

‘¯¨á®ª «¨â¥à âãàë

331

200. Bhavaraju S. M., Mashelkar R. A., Blan h H. W. Bubble motion and mass
transfer in non-Newtonian uids. // AIChE J. | 1978. | V. 24. | No. 6. |
P. 1063 | 1076.
201. Blasius H. Crenzs hi hten in Flussigkeiten mit Kleiner Reibung. // Zeits hr. fur
Math. und Phys. | 1908. | Bd. 56. | S. 1 | 37.
202. Bohme G. Non-Newtonian uid me hani s. (North-Holland series in applied
mathemati s and me hani s; V. 31). | Amsterdam, The Netherlands: Elsevier
s ien e publishers B. V., 1987. | 352 p.
203. Boussinesq M. I. Cal ul du pouvoir refroidissant des ourants uids. // J. de
Math. Pures et Appliques. | 1905. | Bd. 1. | Ser. 6. | S. 285 | 332.
204. Brauer H., S hmidt-Traub H. Kopplung von Sto transport und hemis her
Rea tion und Platten und Kugeln sowie in Poren. // Chemi Ingenieur Te hnik. |
1973. | Bd. 45. | No. 5. | S. 341 | 344.
205. Brenner H. E e t of nite boundaries on the Stokes resista e on arbitrary
parti le. // J. Fluid Me h. | 1962. | V. 12. | Pt. 1. | P. 35 | 48.
206. Brenner H. For ed onve tion-heat and mass transfer at small Pe let numbers
from parti le of arbitrary shape. // Chem. Eng. S i. | 1963. | V. 18. | No. 2. |
P. 109 | 122.
207. Brenner H. On the invarian e of the heat transfer oeÆ ient to ow reversal in
Stokes and potential streaming ows past parti les of arbitrary shape. // J. Math.
Phys. S i. | 1967. | V. 1. | P. 173.
208. Brignell A. S. Solute extra tion from an internally ir ulating spheri al liquid
drop. // Int. J. Heat Mass Transfer. | 1975. | V. 18. | No. 1. | P. 61 | 68.
209. Brown G. M. Heat or mass transfer in a uid in laminar ow in ir ular or at
onduit. // AIChE J. | 1960. | V. 6. | No. 2. | P. 179 | 183.
210. Brunn P. O. Absorption by ba terial ell: Intera tion between reseptor sites
and the e e t of uid motion. // Trans. ASME, J. Biome han. Eng. | 1981. |
V. 103. | No. 1. | P. 32 | 37.
211. Buyevi h Yu. A., Sh hel hkova I. N. Flow of dense suspensions. // Progr.
Aerospa e S i. | 1978. | V. 18. | No. 2-A. | P. 121 | 150.
212. Chao B. T. Transient heat and mass transfer to translating droplet. // Trans.
ASME, J. Heat Transfer. | 1969. | V. 91. | No. 2. | P. 273 | 291.
213. Chervenivanova E., Zapryanov Z. On the deformation of ompound multiphase
drops at low Reynolds Numbers. // Physi o hemi al Hydrodynami s. | 1989. |
V. 11. | P. 243 | 259.
214. Chervenivanova E., Zapryanov Z. On the deformation of two droplets in a
quasisteady Stokes ow. // Int. J. Multiphase Flow. | 1985. | V. 11. | No. 5. |
P. 721 | 738.
215. Chervenivanova E., Zapryanov Z. The slow motion of droplets perpendi ular
to a deformable at uid interfa e. // Quart. J. Me h. Appl. Math. | 1988. |
V. 41. | P. 419 | 444.
216. Chhabra R. P. Bubbles, drops, and parti les in non-Newtonian uids. | London,
Tokyo: CRC Press, 1993. | 432 p.
217. Chhabra R. P., Dhingra S. C. Creeping motion of a Carrean uid past a
newtonian uid sphere. // Can. J. Chem. Engng. | 1986. | V. 64. | No. 6. |
P. 897 | 905.
218. Chwang A. T., Wu T. Y. Hydrodynami s of low Reynolds number ow. Part
2. Singularity method for Stokes ows. // J. Fluid Me h. | 1975. | V. 67. |
No. 4. | P. 787 | 815.
219. Clift R., Gra e J. R., Weber M. E. Bubbles, drops and parti les. | New York |
San Fran is o | London: A ad. Press, 1978. | 380 p.
220. Co hran W. G. The ow due to a rotating disk. // Pro . Cambr. Phil. So . |
1934. | V. 30. | P. 365 | 375.

332

‘¯¨á®ª «¨â¥à âãàë

221. Cox R. G., Zia I. Y. Z., Mason S. G. Parti le motion in sheared suspensions.
XXV. Streamlines around ylinders and spheres. // J. Colloid Interfa e S i. |
1968. | V. 27. | No. 1. | P. 7 | 18.
222. Dankwerts P. V. Absorption by simultaneous di usion and hemi al rea tion
into parti les of various shapes and into falling drops. // Trans. Faradey So . |
1951. | V. 47. | No. 2. | P. 1014 | 1023.
223. Davis E. J. Exa t solutions for a lass of heat and mass transfer problems. //
Can. J. Chem. Engng. | 1973. | V. 51. | No. 5. | P. 562 | 572.
224. Dazki Gu., Tanner R. I. The drag on a sphere in a power-law uid. // J. NonNewtonian Fluid Me h. | 1985. | V. 17. | No. 1. | P. 1 | 12.
225. Deavours C. A. An exa t solution for the temperature distribution in parallel
plate Poiseuille ow. // Trans. ASME, J. Heat Transfer. | 1974. | V. 96. |
No. 4.
226. Dennis S. C. R., Walker J. D. A. Cal ulation of the steady ow past a sphere
at low and moderate Reynolds number. // J. Fluid Me h. | 1971. | V. 48. |
Pt. 4. | P. 771 | 778.
227. Dennis S. C. R., Walker J. D. A., Hudson J. D. Heat transfer from a sphere at
low Reynolds numbers. // J. Fluid Me h. | 1973. | V. 60. | No. 2. | P. 273 |
283.
228. Dullien F. A. L. Statisti al test of Vigners orrelation of liquid-phase di usion
oeÆ ients. // Ind. Engng. Chem. Fundam. | 1971. | V. 10. | No. 1. | P. 41 |
49.
229. Finlayson B. A. The method of weighted residuals and variational prin iples. |
New York: A ad. Press, 1972.
230. Frankel N. A., A rivos A. Heat and mass transfer from small spheres and ylinders
freely suspended in shear ow. // Phys. Fluids. | 1968. | V. 11. | No. 9. |
P. 1913 | 1918.
231. Friedlander S. K. Mass and heat transfer to single spheres and ylinders at low
Reynolds numbers. // AIChE J. | 1957. | V. 3. | No. 1. | P. 43 | 48.
 ber die Warmeleitungsfahigkeit von Flussigkeiten. // Annln. Phys. |
232. Graetz L. U
1883. | Bd. 18. | S. 79 | 84.
233. Hadamard J. S. Mouvement permanent lent d'une sphere liquide et visqueuse
dans un liquide visqueux. // Comp. Rend. A ad. S i. Paris. | 1911. | V. 152. |
No. 25. | P. 1735 | 1739; | 1912. | V. 154. | No. 3. | P. 109.
234. Handbook of Multiphase Systems. / Ed. Hetsroni G. | Washington: Hemisphere
Publ. Corp., 1982.
235. Harper J. F., Moore D. W. The motion of a spheri al liquid drop at high Reynolds
number. // J. Fluid Me h. | 1968. | V. 32. | No. 2. | P. 367 | 391.
236. Harris J. Rheology and Non-Newtonian Flow. | London | New York: Longman,
1977. | 338 p.
237. Hieber C. A., Gebhart B. Low Reynolds number heat transfer from a ir ular
ylinder. // J. Fluid Me h. | 1968. | V. 32. | No. 1. | P. 21 | 28.
238. Hill R., Power G. Extremum prin iples for slow vis ous ow and approximate
al ulation of drag. // Quarterly J. Me h. Appl. Math. | 1956. | V. 9. |
No. 3. | P. 313 | 319.
239. Hirose T., Moo-Young M. Boubble drag and mass transfer in non-Newtonian
uids: reeping ow with power law uids. // Can. J. Chem. Engng. | 1969. |
V. 47. | No. 3. | P. 265 | 267.
240. Hobler T. Minimun Zraszania Powierzn hi. // Chimia Stosowana. | 1964. |
Bd. 2B. | S. 145 | 159.
241. Hophe S. W., Slattery J. C. Upper and lower bounds on the drag oeÆ ient of a
sphere in an Ellis model uid. // AIChE J. | 1970. | V. 16. | P. 224 | 229.

‘¯¨á®ª «¨â¥à âãàë

333

242. Jarzebski A. B., Malinowski J. J. Drag and mass transfer in a reeping ow of a
Carrean uid over drops or bubbles. // Can. J. Chem. Engng. | 1987. | V. 65. |
No. 4. | P. 680 | 684.
243. Jarzebski A. B., Malinowski J. J. Drag and mass transfer in multiple drop slow
motion in a power law uid. // Chem. Eng. S i. | 1986. | V. 41. | No. 10. |
P. 2569 | 2573.
244. Jarzebski A. B., Malinowski J. J. Transient mass and heat transfer from drops
or bubbles in slow non-Newtonian ows. // Chem. Eng. S i. | 1986. | V. 41. |
No. 10. | P. 2575 | 2578.
245. Javery V. Laminar heat transfer in re tangular hannel for the temperature
boundary ondition of the third kind. // Int. J. Heat Mass Transfer. | 1978. |
V. 21. | No. 8. | P. 1029 | 1034.
246. Jones A. S. Extensions to the solution of the Graets problem. // Int. J. Heat
Mass Transfer. | 1971. | V. 14. | No. 4. | P. 619 | 623.
247. Kaplun S., Lagerstrom P. A. Asymptoti expansions of Navier | Stokes solutions
for small Reynolds numbers. // J. Math. Me h. | 1957. | V. 6. | P. 585 | 593.
248. Kassoy D. R. Heat transfer from ir ular ylinders at low Reynolds number. //
Phys. Fluids. | 1967. | V. 10. | No. 5. | P. 938 | 946.
249. Kovat heva N. P., Polyanin A. D., Kurdyumov V. N. Mass transfer from a
parti le in a shear ow with surfa e rea tions. // A ta Me h. (Springer-Verlag) |
1993. | V. 101. | P. 155 | 160.
250. Kovat heva N. T., Polyanin A. D., Zapryanov Z. D. The hange of the di usivity
with the hange of the on entration of the solvent in a solution. // A ta Me h.
(Springer | Verlag) | 1989. | V. 80. | P. 259 | 272.
251. Kronig R., Brink J. C. On the theory of extra tion from falling droplets. // Appl.
S i. Res. | 1950. | V. A2. | No. 2. | P. 142 | 154.
252. Le Clair B. P., Hamiele A. E. A theoreti al and experimental study of the
internal ir ulation in water drops falling at terminal velo ity in air. // J.
Atmosph. S i. | 1972. | V. 29. | No. 4.
253. Le Clair B. P., Hamiele A. E. Vis ous ow through parti le assemblayes
at intermediate Reynolds numbers. | A ell model for transport in bubble
swarms. // Can. J. Chem. Engng. | 1971. | V. 49. | No. 6. | P. 713 | 720.
254. Legros J. C., Limbourg M. C., Petre G. In uen e of a surfa e tension minimum as
a fun tion of temperature on the Marangoni onve tion. // A ta Astronauti a. |
1984. | V. 11. | No. 2. | P. 143 | 147.
255. Leveque M. A. Les lois de la transmission de haleur par onve tion. // Ann.
Mines. | 1928. | Bd. 13. | S. 527 | 532.
256. Marru i G., Apuzzo G., Astarita G. Motion of liquid drops in non-Newtonian
systems. // AIChE J. | 1970. | V. 16. | No. 4. | P. 538 | 541.
257. Masliyah J. H., Epstein N. Numeri al solution of heat and mass transfer from
spheroids in steady axisymmetri ow. // Progress Heat Mass Transfer. |
1972. | V. 6. | P. 613 | 632.
258. Meyyappan M., Wil ox W. R., Subramanian R. S. Thermo apillary migration
of a bubble normal to a plane surfa e. // J. Colloid Interfa e S i. | 1981. |
V. 94. | P. 243 | 257.
259. Mohan V. Creeping ow of a power law uid over a Newtonian uid sphere. //
AIChE J. | 1974. | V. 20. | P. 180 | 182.
260. Mohan V., Venkateshwarlu D. Creeping ow of a power low uid past a uid
sphere. // Int. J. Mult. Flow. | 1976. | V. 2. | P. 563 | 569.
261. Moore D. M. The velo ity of rise of distorted gas bubbles in a liquid of small
vis osity. // J. Fluid Me h. | 1965. | V. 23. | No. 4. | P. 749 | 766.
262. Morrison F. A. Transient heat and mass transfer to a drop in a ele tri eld. //
Trans. ASME, J. Heat Transfer. | 1977. | V. 99. | No. 2. | P. 269 | 274.

334

‘¯¨á®ª «¨â¥à âãàë

263. Nakano Y., Tien C. Creeping ow a power-low uid over a Newtonian uid
drop. // AIChE J. | 1968. | V. 14. | P. 145 | 151.
264. Nakano Y., Tien C. Vis ous in ompressible non-Newtonian ow around uid
sphere at intermediate Reynolds number. // AIChE J. | 1970. | V. 16. |
No. 4. | P. 554 | 569.
265. Newman J. Mass transfer to the rear of a ylinder at high S hmidt numbers. //
J. Ind. Eng. Chem. Fundamentals. | 1969. | V. 8. | No. 3. | P. 82 | 86.
266. Nusselt W. Abhangigkeit der Warmeubergangzahl on der Rohrlange. // VDI
Zeits hrift. | 1910. | Bd. 54. | No. 28. | S. 1154 | 1158.
267. Oellri h L., S hmidt-Traub H., Brauer H. Theoretis he Bere hnung des
Sto transport in der Umgebung einer Einzelblase. // Chem. Eng. S i. | 1973. |
V. 28. | No. 3. | P. 711 | 721.
268. Oliver D. L. R., DeWitt K. J. Surfa e tension driven ows for a droplet in a
mi rogravity environment. // Int. J. Heat Mass Transfer. | 1988. | V. 31. |
No. 7. | P. 1534 | 1537.
269. O'Neill M. E., Stewartson K. On the slow motion of a sphere parallel to a nearly
plane wall. // J. Fluid Me h. | 1967. | V. 27. | P. 705 | 724.
270. Petrov A. G. Inner ow of vi ous drop. // Pro . Third Int. Aeros. Conf., Kyoto,
Japan. | 1990. | P. 339 | 342.
271. Poe G. G. Closed streamline ows past rotating parti les: inertial e e ts, lateral
migration, heat transfer. | Ph.D. dissertation. Stanford University, 1975.
272. Poe G. G., A rivos A. Closed streamline ows past small rotating parti les; heat
transfer at high Pe let numbers. // Int. J. Mult. Flow. | 1976. | V. 2. | No. 4. |
P. 365 | 377.
273. Polyanin A. D. An asymptoti analysis of some nonlinear boundary-value
problems of onve tive mass and heat transfer of rea ting parti les with the
ow. // Int. J. Heat Mass Transfer. | 1984. | V. 27. | No. 2. | P. 163 |
189.
274. Polyanin A. D. Method for solution of some non-linear boundary value problems
of a non-stationary di usion- ontrolled (thermal) boundary layer. // Int. J. Heat
Mass Transfer. | 1982. | V. 25. | No. 4. | P. 471 | 485.
275. Polyanin A. D. Three-demensional problems of unsteady di usion boundary
layer. // Int. J. Heat Mass Transfer. | 1990. | V. 33. | No. 7. | P. 1375 |
1386.
276. Polyanin A. D., Dil'man V. V. An algebrai method for heat and mass transfer
problems. // Int. J. Heat Mass Transfer. | 1990. | V. 33. | No. 1. | P. 183 |
201.
277. Polyanin A. D., Dil'man V. V. New methods of the mass and heat transfer
theory. | 1. The method of asymptoti orre tion and the method of model
equations and analogies. // Int. J. Heat Mass Transfer. | 1985. | V. 28. |
No. 1. | P. 25 | 43.
278. Polyanin A. D., Dil'man V. V. New methods of the mass and heat transfer
theory. | 2. New methods of asymptoti interpolation and extrapolation. // Int.
J. Heat Mass Transfer. | 1985. | V. 28. | No. 1. | P. 45 | 58.
279. Polyanin A. D., Dil'man V. V. Methods of modeling equations and analogies in
hemi al engineering. | London, Tokyo: CRC Press, Begell House, 1994. | 356 p.
280. Polyanin A. D., Dil'man V. V. The method of asymptoti analogies in the mass
and heat transfer theory and hemi al engineering s ien e. // Int. J. Heat Mass
Transfer. | 1990. | V. 33. | No. 6. | P. 1057 | 1072.
281. Polyanin A. D., Dil'man V. V. The method of the ý arry overþ of integral
transforms in non-linear mass and heat transfer problems. // Int. J. Heat Mass
Transfer. | 1990. | V. 33. | No. 1. | P. 175 | 181.

‘¯¨á®ª «¨â¥à âãàë

335

282. Proudman I., Pearson J. R. A. Expansions at small Reynolds number for the
ow part a sphere and ir ular ylinder. // J. Fluid Me h. | 1957. | V. 2. |
No. 3. | P. 237 | 262.
283. Ramkissoon H. Slow ow of a non-Newtonian liquid past a uid sphere. // A ta
Me h. (Springer-Verlag) | 1989. | V. 78. | No. 1 | 2. | P. 73 | 80.
284. Ranger K. B. The ir ular disk straddling the interfa e of a two-phase ow. //
Int. J. Mult. Flow. | 1978. | V. 4. | P. 263 | 277.
285. Rao S. S., Bennett C. O. Steady state te hnique for measuring uxes and
di usivities in binary liquid systems. // AIChE J. | 1971. | V. 17. | No. 1. |
P. 75 | 81.
286. Rednikov A. Ye., Ryazantsev Yu. S., Velarde M. G. Drop motion with surfa tant
transfer in a homogeneous sarronding // Phys. Fluids. | 1994. | V. 6. | No. 2. |
P. 451 | 468.
287. Rimmer P. L. Heat transfer from a sphere in a stream of small Reynolds
number. // J. Fluid Me h. | 1968. | V. 32. | No. 1. | P. 1 | 7. (Corrigenda:
J. Fluid Me h. | 1969. | V. 35. | No. 4. | P. 827 | 829).
288. Rimon J., Cheng S. I. Numeri al solution of a uniform ow over a sphere at
intermediate Reynolds numbers. // Phys. Fluid. | 1969. | V. 12. | No. 5. |
P. 949 | 959.
289. Robertson C. R., A rivos A. Low Reynolds number shear ow past a rotating
ir ular ylinder. Part 2. Heat transfer. // J. Fluid Me h. | 1970. | V. 40. |
No. 4. | P. 705 | 718.
290. Rotem Z., Neilson J. E. Exa t solution for di usion to ow down an in line. //
Can. J. Chem. Engng. | 1966. | V. 47. | P. 341 | 346.

291. Rub zynski M. W. Uber
die forts hreitende Bewegung einer ussigen Kugel in
einem zahen Medium. // Bull. A ad. S i. Cra ovie, Ser. A, S i. Math. | 1911. |
Bd. 1. | S. 40 | 46.
292. Ru kenstein E. Mass transfer between a single drop and ontinuous phase. // Int.
J. Heat Mass Transfer. | 1967. | V. 10. | No. 12. | P. 1785 | 1792.
293. Rushton E., Davies G. A. Settling of en apsulated droplets at low Reynolds
numbers. // Int. J. Mult. Flow. | 1983. | V. 9. | No. 3. | P. 337 | 342.
294. Rushton E., Davies G. A. The slow unsteady settling of two uid spheres along
their line of enters. // Appl. S i. Res. | 1973. | V. 28. | No. 1 | 2. | P. 37 |
61.
295. Sa man P. G. On the boundary ondition at the surfa e of a porous medium. //
Stud. Appl. Math. | 1971. | V. 50. | No. 2. | P. 93 | 101.
296. Sakiadis B. C. Boundary-layer behavior on ontinuous solid surfa es: 2. Boundary
layer on a ontinuous at surfa e. // AIChE J. | 1961. | V. 7. | No. 2. |
P. 221 | 225.
297. Sehlin R. C. For ed- onve tion heat and mass transfer at large Pe let numbers
from axisymmetri body in laminar ow: prolate and oblate spheroids. | M.S.
thesis (Chem. Engng.). Carnegie Inst. of The hn., Pittsburgh, 1969.
298. Sellers J. R., Tribus M., Klin J. S. Heat transfer to laminar ow in a round tube
or at onduit | the Graetz problem extended. // Trans. ASME. | 1956. |
V. 78. | No. 2. | P. 441 | 448.
299. Sih P. H., Newman J. Mass transfer to the rear of sphere in Stokes ow. // Int.
J. Heat Mass Transfer. | 1967. | V. 10. | No. 12. | P. 1749 | 1756.
300. Stimson M., Je rey G. B. The motion of two spheres in a vis ous ow. // Pro .
Roy. So . London. | 1926. | V. A111. | No. 757.
301. Subramanian R. S. Slow migration of a gas bubble in a thermal gradient. //
AIChE J. | 1981. | V. 27. | No. 4. | P. 646 | 654.
302. Subramanian R. S. The Stokes for e in a droplet in an unbounded uid medium
due to apillary e e ts. // J. Fluid Me h. | 1985. | V. 153. | P. 389 | 400.

336

‘¯¨á®ª «¨â¥à âãàë

303. Subramanian R. S. Thermo apillary migration of bubbles and droplets. //
Advan es in Spa e Resear h, Pergamon Press. | 1983. | V. 3. | No. 5. | P. 145.
304. Sykes J. A., Mar hello J. M. Laminar ow of two immersible liquid falling
lms. // AIChE J. | 1969. | V. 15. | No. 2. | P. 305 | 306.
305. Szym zyk J., Siekmann J. Numeri al al ulation of the thermo apillary motion of
a bubble under mi rogravity. // Chem. Eng. Comm. | 1988. | V. 69. | P. 129 |
147.
306. Tables rolating to Mathieu fun tion. | New York, Columbia Univ. Press, 1951.
(ãááª. ¯¥à¥¢®¤: ’ ¡«¨æë ¤«ï ¢ëç¨á«¥­¨ï ä㭪権 Œ âì¥; ᮡá⢥­­ë¥
§­ 祭¨ï, ª®íää¨æ¨¥­âë ¨ ¬­®¨â¥«¨ á¢ï§¨. | Œ.: ‚– € ‘‘‘, 1967. |
279 á.)
307. Tam C. K. W. The drag on a loud of spheri al parti les in low Reynolds number
ow. // J. Fluid Me h. | 1969. | V. 38. | No. 3. | P. 537 | 546.
308. Taylor G. I. Formation of emulsion in pe nable lm of ow. // Pro . Roy. So .
London. | 1934. | V. A146. | No. 858. | P. 501 | 523.
309. Taylor G. I. Vis osity of a uid, ontaining small drops of another uid. // Pro .
Roy. So . London. | 1932. | V. A138. | No. 834. | P. 41 | 48.
310. Taylor T., A rivos A. On a deformation and drag of a falling vis ous drop at low
Reynolds number. // J. Fluid Me h. | 1964. | V. 18. | Pt. 3. | P. 466 | 476.
311. Vignes A. Di usion in binary solutions. // Ind. Engng. Chem. Fundam. |
1966. | V. 5. | No. 2. | P. 189 | 199.
312. Vo hten R., Petre G. Study of the heat of reversible adsorption at the air-solution
interfa e. 2. Experimental determination of the heat of reversible adsorption of
some al ohols. // J. Colloid Interfa e S i. | 1973. | V. 42. | No. 2. | P. 320 |
327.
313. Vo hten R., Petre G., Defay R. Study of the heat of reversible adsorption at the
air-solution interfa e. 1. Thermodynami al al ulation of the heat of reversible
adsorption of nonioni surfa tants. // J. Colloid Interfa e S i. | 1973. | V. 42. |
No. 2. | P. 310 | 319.
314. Waslo S., Gal-Or B. Boundary layer theory for mass and heat transfer in louds of
moving drops, bubbles or solid parti les. // Chem. Eng. S i. | 1971. | V. 26. |
No. 6. | P. 829 | 838.
315. Wasserman M. L., Slattery J. C. Upper and lower bounds on the drag oeÆ ient
of a sphere in a power-law uid. // AIChE J. | 1964. | V. 10. | No. 3. |
P. 383 | 388.
316. Weber M. E. Mass transfer from spheri al drops at high Reynolds numbers. //
Ind. Engng. Chem. Fundam. | 1975. | V. 14. | No. 4. | P. 365 | 366.
317. Weinberger H. F. Variational properties of stady fall in Stokes ow. // J. Fluid
Me h. | 1972. | V. 52. | Pt. 2. | P. 321 | 344.
318. Winnikow S. Letter to the Editors. // Chem. Eng. S i. | 1967. | V. 22. |
No. 3. | P. 477.
319. Young N. O., Goldstein J. S., Blo k M. G. The motion of bubbles in a verti al
temperature gradient. // J. Fluid Me h. | 1959. | V. 6. | Pt. 3. | P. 350 |
356.